tÝnh ®¹o hμm cña hμm sè b»ng ®Þnh nghÜa vμ c«ng thøc Bµi 1: Dïng ®Þnh nghÜa tÝnh ®¹o hµm cña c¸c hµm sè sau:

a. 43)( += xxf T¹i x0 = -1

b.x

xxf+

=1

)( T¹i x0 = 0

Bµi 2: T×m ®¹o hµm cña hµm sè b»ng c«ng thøc:

a. y = (x-1)(x-2)(x-3) b. y= )13sin(1 +++ xx

c. y = xx

+−

11

d. y = xtgx + sincos3x

e. f. y = xxf sincoslog)( 2= )12sin(3 +x

Bµi 3: T×m ®¹o hµm cña hµm sè b»ng c«ng thøc:

a. y = ln( ππ xx . ) b. y = xxxx.

c. y = xcos21

21

21

21

21

21

+++ x∈(0;2π

) d. y = cotg3(2x+4π

)

e. y = 322 +− xx f. y = xx

g. y = h. y = (3xxxx 2 + 1)2x+1

tÝnh giíi h¹n b»ng ®¹o hμm

Bµi 1: TÝnh c¸c giíi h¹n:

I1 = 0

sinlimx

xx→

I2 = 0

e 1limax

x x→

− I3 =

0lim

ax bx

x

e ex→

− I4 =

sin 2 sin

0lim

x x

x

e ex→

−

I5 = 2

0

1lim1 1

x

x

ex x→

−+ − −

I6 = ln 1lim

x e

xx e→

−−

I7 = 0

7 5lim4 3

x x

x xx→

−−

I8 = 20

7 3limx x

x x x→

−+

I9 = 2

2

2lim2

x

x

xx→

−−

I10 = 3

sin 3lim2cos 1x

xxπ

→ − I11 =

0lim

n n

x

x a ax→

+ −

I12 = 0

1 1limn

x

axx→

+ − I13 =

axbabx

ax −−−−

→lim I14 =

3

42

2 6lim1 1x

x xx→

+ − +− −

I15 = 1

1lim1

n

mx

xx→

−−

I16 = 6

sin( )6lim

3 cos2

x

x

xπ

π

→

−

− I17 =

4

2sin2lim

1x

x

tgxπ→

−

−

I18 = 3 2

21

5 7lim1x

x xx→

− − +−

I19 = 0

1 . 1 1lim , ,n m

x

ax bx m n Nx→

+ + −∈

1

I20 = 3

0

8 2limsin10x

xx→

+ − I21 =

3

2

4

1lim

2sin 1x

tgxxπ

→

−−

§¹o hμm cÊp cao

Bµi 1: Chøng minh c¸c c«ng thøc:

a. n

nn

xnx )!1.()1()(ln

)1()( −−=

−

b. )2

sin(sin )( πnxxn += Tõ ®ã suy ra: , n)())(sin( nbax + ∈N

c. )2

cos(cos )( πnxxn += Tõ ®ã suy ra: , nnbax ))(cos( + ∈N

Bµi 2: TÝnh f(n)(x), víi f(x) = 1

1+x

Bµi 3: a. Cho 1

)(2

−=

xxxf TÝnh f(n)(x), tõ ®ã tÝnh f(n)(2).

b. Cho x

xxf−+

=1

1)( TÝnh f(n)(x), tõ ®ã tÝnh f(n)(0).

c. Cho f(x) = x(3x+2)2(2x+3)3 TÝnh f(6)(x), f(7)(x).

Bµi 4: a. Cho f(x) = 23

352 +−

−xx

x TÝnh f(n)(x).

b. Cho f(x) = 1223

2

2

−++−

xxxx

TÝnh f(n)(x).

c. Cho f(x) = cos3x.cosx TÝnh f(n)(x)

Bµi 5: Cho ®a thøc: P(x) = 01

1

1... axaxaxa n

n

n

n++++ −

−

a. Chøng minh r»ng: ak = !

)0()(

kP k

b. T×m hÖ sè cña x2 cña ®a thøc: P(x) = (2x-1)12 + (3x-2)25. c. H·y khai triÓn ®a thøc: P(x) = 2x5 – 3x4 +2x3 – 2x2 + x + 2 theo nhÞ thøc (x-1) tøc lµ:

P(x) = a5(x-1)5 + a4(x-1)4 +a3(x-1)3 + a2(x-1)2 + a1(x-1) + a0.

Mét sè bμi to¸n kh¸c Bµi 1: Cho hµm sè: y = 2ex.sinx.

Chøng minh: 2y – 2y’ + y’’ = 0. Bµi 2: Chøng minh:

a. NÕu y = Th× : y + y’ + y’’< 4e sinxeb. NÕu y = cos3x Th× : )33(

41)( +≤ nny

c. NÕu y = Th× : y’’’ – 13y – 12y = 0 xx ee −+ 24

2

Bµi 3: TÝnh vi ph©n cña hµm sè: a. y = x3 – 4x T¹i x = 2. b. y = xcos3x T¹i x = π

Bµi 4: Chøng minh:

a. nÕu y = xxx

xln

ln1−+

Th× : 2x2dy = (x2y2 + 1)dx

b. Cho y = x−− 12 Th× : 0.1 =−− dxdyx c. Cho xy = 1+lny Chøng minh : y2dx + (xy-1)dy = 0.

Bµi 5: TÝnh gÇn ®óng:

a. cos31o b. 399 c. 3 215 d. 92log 91

e. ln(1,001) f. 3 001,8 g. 4 17 h. cos(60o30’).

Bµi 6: TÝnh tæng: Tn(x) = 1+ 2x + 3x2 + ... + nxn-1

¸p dông tÝnh: Tn(1) vµ Tn(2).

Bµi 7: Cho hµm sè : y = sinx + 31

sin3x + 51

sin5x.

Gi¶i ph¬ng tr×nh : f’(x) = 0. Bµi 8: Cho hµm sè f(x) = 2x2 + 16cosx – cos2x

a. TÝnh f’(x), f’’(x). Tõ ®ã tÝnh f’(0), f’(π ). b. Gi¶i ph¬ng tr×nh f’’(x) = 0.

TÝnh ®¬n ®iÖu cña hµm sè

I – T×m c¸c kho¶ng ®¬n ®iÖu cña hµm sè:

Bµi 1: T×m c¸c kho¶ng ®ång biÕn, nghÞch biÕn cña hµm sè:

a. y = 4x3 + 5x2 – 22x + 1 b. y = x4 - 6x2 + 8x + 1

c. 1

12

−−+

=x

xxy d. 11

−+

=xxy

e. 662 +−+= xxxy f. xxy sin2−= , x∈(0;2π )

g. 2ln −−= xxy h. 1−= xey

i. 542 −+= xxy j. 1

12 +−

+=

xx

xy

Bµi 2: T×m c¸c kho¶ng ®ång biÕn, nghÞch biÕn cña c¸c hµm sè: a. y = sinx + cosx , x∈(0;2π ) b. y = x2ex

c. y = sin2x – sinx + 2 d. xxxy22cos

21sin

23

−+=

e. 11

2

2

+++−

=xxxxy f. y = lnx(lnx-1)

g. xey

x

= h. y = xlnx

3