Marianne Rönnbom

49NämNareN  Nr 1 • 2009

Dali och Larsson i matematikundervisningenI denna artikel behandlas hur vi kan utveckla språket och bygga upp begreppsförståelse i matematik med hjälp av konst. I olika situationer får eleverna kommunicera kring matematik och lära sig använda adekvata ord. Med hjälp av bilder skapas förståelse.

Hon hejdar sig uppe på krönet av kullen. Snöret, som håller fast den tunglastade kälken med hö, skär in i handen, och hon lossar lite på det och böjer sig fram för att kunna se bättre. Bakom henne sluter sig granarnas skuggor hemlighetsfullt, och gryningsljuset lindar in den snötäckta marken i ett grått dis. På andra sidan av den lilla gläntan ser hon fåren. De står längst bort i hagen tätt hoptryckta med bakarna utåt, som om något nyligen skrämt dem.

(Ur Vargatider av Bisse Falk)

Har författaren med sina ord målat upp en bild i ditt inre? Har hon också för-medlat en sinnesstämning med sin skildring? Har du till och med bestämt hur gammal ”hon” är och hur hon är klädd?

Med det skrivna ordet överför författaren bilder till läsaren, som utifrån sin tidigare referensram skapar inre bilder. Hur är det då med de textuppgifter i matematik som eleverna möter, dessa komprimerade, begreppstyngda texter? Läser eleverna det som står och skapar sina inre bilder, eller letar de bara efter siffror, nyckelord och kodord?

Gudrun Malmer återkommer ofta till att språket spelar en mycket stor roll för begreppsbildningen i matematik, och att det därför är viktigt att barnen tidigt får språklig stimulans (se t ex Malmer 2002). Öppningsföreläsningen på Matematikbiennetten i Malmö 2003 inledde hon med följande ord:

Språket är nyckeln, och det måste vi öva på många olika sätt. Eleverna har kanske en massa ord, men det är inte säkert att de har den rätta sortens ord.

Som lärare måste vi ständigt låta eleverna öva språket på många olika sätt och använda relevanta ord och uttryck. Lev Vygotskij menar att det är när vi använ-der språket som vi utvecklar tankar och begrepp.

Min erfarenhet är att ett stimulerande och utvecklande sätt att arbeta är att låta eleverna två och två beskriva bilder. Använder man då konstbilder som inte alltid överensstämmer med elevernas verklighet, är orden och beskriv-ningarna viktiga.

50 NämNareN  Nr 1 • 2009

En aktivitet där elevernas påverkan på hur lektionen kommer att utveckla sig är stor, kan se ut på följande sätt:

I ett mörklagt klassrum sitter eleverna parvis mitt emot varandra. Den ene har ansiktet vänt mot projektionsduken och den andre sitter med ryggen mot, så att han eller hon inte ser bilden. Då bilden tänds försöker betraktaren att göra en noggrann beskrivning för sin kamrat. Efter fyra, fem minuter, bero-ende på tavlans innehåll, får båda eleverna tillsammans titta på bilden. När den ”inre bilden” möter den yttre bilden kommer en diskussion igång där elevernas språk och förståelse för begrepp utvecklas samtidigt som det är eleverna som ställer frågorna. Läraren går naturligtvis runt och tar del av beskrivningarna för att senare lyfta det som behöver klarläggas och utvecklas.

Ibland kallar eleverna läraren till sig och vill ha hjälp med ett ord. – Hur är det nu? Säger man att dom där nötterna är på eller över eller ovanför

persikorna?Eleverna beskriver ett stil-leben av en 1600-talsmålare, med ett överdåd av frukter och andra föremål som konstnären har placerat på ett bord. För att med ord beskriva denna mål-ning för någon som inte själv ser den, behöver de använda många lägesord och då är det viktigt att använda rätt ord.

Skolverkets rapport (2003) visar att en viktig faktor för elevernas lust att lära mate-matik är en varierad under-visning. Arbetssättet med att beskriva bilder är omväxlande

och utvecklande. Eleverna får under en längre tid beskriva något utan att bli avbrutna. När en elev ser en bild och beskriver den för en kamrat och kamra-ten lyssnar och skapar sin inre bild utvecklas, förutom förmågan att beskriva och att använda adekvata ord och uttryck, förmågan att skapa en inre, tankens, bild. Språket utvecklas också i samtalet då den inre bilden och den yttre bil-den möts.

I undervisningen måste vi sträva efter att alla elever får komma till tals. Ovanstående aktivitet låter alla elever få talutrymme och de får vara aktiva och delaktiga i lektionen. Det finns också stor möjlighet att individualisera. Elever som har svårigheter med det svenska språket, kan ha en lärare sittande bredvid, kanske en modersmålslärare eller lärare i svenska som andra språk.

Det finns också stora möjligheter att integrera med andra ämnen än svenska. Samma bild kan i ett senare sammanhang användas i t ex religion, historia, hemkunskap eller samhälls- och naturkunskap. Jag har även använt bilder på detta sätt i engelskundervisningen.

Naturligtvis använder man den teknik klassrummet har tillgång till. När jag började med detta på 80-talet, hade jag tillgång till ett episkop och varje klass-rum hade en diaprojektor. Nu är tillgången till internet stor och i klassrum-men börjar finnas datorkanoner, som vi kan använda förutom overhead- och diaprojektorer.

van Rabel: Stilleben

51NämNareN  Nr 1 • 2009

Linus frågar: Vad är det en sån kallas, en sån man ritar när man ritar en dörr som är lite öppen? Läraren svarar: Beskriv med dina egna ord så länge, så tar vi upp det tillsammans sedan.

Linus försöker beskriva att när man ritar en dörr ritar man en rektangel, men om den är lite öppen måste man rita en parallelltrapets. Han har ännu inte införlivat ordet parallelltrapets och det har säkerligen inte heller flera andra elever. Då är det viktigt att tala om dessa ord gemensamt i klassen. På ett bläd-derblock kan man skriva upp nya ord eller ord som eleverna är osäkra på. Då finns dessa ord synliga och tillgängliga vid nästa tillfälle eleven behöver dem.

– Du, hur säger man, när man vill tala om hur mycket dörren är öppen? Hur mycket kan man öppna en dörr?

Detta var ett ypperligt tillfälle att låta eleverna möta vinkelbegreppet. Det står lite snett … hänger lite snett … Hur kan man beskriva hur mycket snett något är? Vad är det snett utifrån? Centralt är här lärarens sätt att ställa frågor som utmanar tänkandet. Vad är egentligen en vinkel? Hur kan vi förklara det? Hur definieras den? 1 Lev Vygotskij anser att barnet bara kan utvecklas i sam-spel med en vuxen som introducerar nya krav och förhoppningar. Han menar att om barn utmanas och uppmuntras kan de överträffa sig själva och ta steg framåt i utvecklingen (se t ex Lindqvist, 1999). Detta är viktigt att ta fasta på.

1 För definition av matematiska termer hänvisas till den nyutkomna Matematiktermer för skolan, (Kiselman & Mouwitz, 2008).

Carl Larsson: Gamla Anna © Foto: Nationalmuseum

52 NämNareN  Nr 1 • 2009

Många, mycket och del avÄr det mycket eller många aprikoser? Kan vi säga på båda sätten? Betyder det samma sak, eller kan vi mena olika? Många handlar om antal och mycket används inom volym och tyngd. Vi kan även titta på halvorna. På vilka andra

sätt kan vi dela? Med utgångspunkt i bilden kan vi diskutera symmetri och kärnans placering, vi kan titta på olika förhållanden och fundera över hur stor del av aprikosen som kärnan utgör.

Hur stor är arean av ett citronskal?Kan vi platta ut ett apelsin- eller citronskal och mäta arean av det? Kan vi täcka en cirkel med skalet om vi ska-lar frukten så som på bilden? Hur ska vi kunna beräkna arean av skalet?

Via skalets form kan vi leda in samtalet på olika spi-raler. Vi kan också undersöka andra typer av spiraler och studera snäckor. Sedan är ste-get inte långt till gyllene snit-tet. Med äldre elever kan vi tala om logaritmiska spiraler.

Cirklar och andra runda figurerHur ser hjulet ut från olika håll? Visa eller rita ur fem olika synvinklar? Vad heter dessa geometriska figurer? Vad är namnet på den längsta sträckan genom hju-let? Kan du ställa dig så att du ser detta avstånd bara som ett streck? Hur kan du ta reda på hur långt det är runt om hjulet? Finns det flera sätt att göra det på?

En tavla med en tunna, en tamburin och ett glas eller ett foto på ett pariser-hjul, en rockring och ett cykelhjul kan användas för att diskutera innebörden

av t ex rund, oval, cirkel, ellips, diameter och periferi.Naturligtvis är även den egna digitalkameran ypper-

lig att använda. Förutom cyklar och pariserhjul är tra-fikmärken, fönster, dörrar och takåsar användbara att diskutera utifrån. Kyrkor har många intressanta objekt såsom portar, valv och altarskåp som kan utgöra underlag för att upptäcka relationer och undersöka former. Några exempel på det har tidigare presenterats i Nämnaren, bl a från Nidarosdomen i Trondheim (Rønning, 2003) och Varnhems klosterkyrka (Nämnaren, 2004).

Moillon: Korg med aprikoser

deHeem: Stilleben med frukt och hummer (detalj)

53NämNareN  Nr 1 • 2009

Studera några konstnärer Många elever tycker att det är spännande med målningar av Salvador Dali och då t ex alla hans lådor i människorna. Dessa bilder kan inspirera till att gömma saker i askar och lådor och i olika rum, och vara som introduktion till algebra. Man kan hitta på olika händelser som översätts till en ekvation. Detta kan utmynna i att synliggöra ekvationslösning, som på annat sätt är beskri-vet i Algebra för alla (s 64) och i Uppslagsboken (s 72). Dalis speciella ”upplö-sande” eller ”flytande” klockor är också fängslande att diskutera tidsbegreppet utifrån. Underlag för att diskutera skalbegreppet samt ”nära och långt borta” finns i många av hans målningar. Det finns en målning av Dali, Cygnes réfléchis en élephants, där svanar speglas till elefanter. I den finns fantastiska exempel på symmetrier.

Speciellt intressanta är även Andy Warhol, vars likartade målningar uppsatta i rutnät kan inspirera till hur man tecknar multiplikation, Oscar Reutersvärd och hans ”omöjliga figurer”, Piet Mondrians konst som består av linjer och fält, Victor Vasarelys fantasifulla optiska villor samt Paul Klees arbeten med linjer, punkter och kurvor, vilka kan uppmuntra till tolkningar av grafer.

Hela Carl Larssons produktion innehåller enormt mycket att använda. Inredningen är rik på vinklar och vrår och geometriska former. Detaljrike-domen är stor. Det finns många olika kärl att fundera kring volym utifrån. Även gamla mått blir ett naturligt inslag.

I hans målning ovan kan man också finna underlag för att arbeta med tals uppdelning och prealgebra. Vi kan tänka oss att några sitter på stolarna och väntar på sin tur och om vi samtalar om det får vi använda ordningstalen. Hur ligger mattorna på golvet? Det kan ge upphov till diskussion om parallellt och vinkelrätt, och om olika vinklar. Trasmattornas randning kan vara underlag för arbete med mönster och symmetrier. Tavlan heter Gamla Anna – vågar vi också prata om vad ”gamla” Anna innebär?

Det är vad läraren planerar att eleverna ska utveckla som avgör vilken bild som ska väljas. Hur läraren sen formulerar sina frågor och vilka möjligheter eleverna får att kommunicera matematik är viktiga faktorer och centralt i detta sätt att arbeta.

Litteratur

Kiselman, C. & Mouwitz, L. (2008). Matematiktermer för skolan NCM, Göteborgs universitet.

Lindqvist, G. (1999). Vygotskij och skolan. Lund: Studentlitteratur.Malmer, G. (2002). Bra matematik för alla. Lund: Studentlitteratur.Malmer, G. (2003, 4 mars). Öppningsföreläsning. Matematikbiennetten i

Malmö.Nämnaren (2004). Matematik i Varnhems klosterkyrka. Nämnaren 31(2).NämnarenTema: Algebra för alla. (1997). NCM, Göteborgs universitet.NämnarenTema: Uppslagsboken. (2001). NCM, Göteborgs universitet.Rönnbom, M. (1993). Magritte och Dali på mellanstadiet. Svenska i skolan, nr 3. Rønning, F. (2003). En katedral för lärande i geometri. Nämnaren 30(4), s 3-8.Myndigheten för skolutveckling (2008). Mer än matematik. Stockholm: Liber

distribution. Tillgänglig på Skolverkets webbplats, www.skolverket.se Skolverket (2003). Lusten att lära – med fokus på matematik. Rapport nr 221.

Tillgänglig på Skolverkets webbplats, www.skolverket.se