ĐẠI SỐ 10 BÀI TẬP & PHƯƠNG PHÁP GIẢI - LÊ HOÀNH PHÒ (TRÍCH ĐOẠN)

8/21/2019 ĐẠI SỐ 10 BÀI TẬP & PHƯƠNG PHÁP GIẢI - LÊ HOÀNH PHÒ (TRÍCH ĐOẠN)

1/150

Th.s. LÊ HOÀNH PHÒ Nhà giáo u t

#

*/ Biên soạn theo sát chương trình và SGK mới✓ Dành cho học sinh lớp 10 ôn tập và nâng cao kĩ năng làm bài

V Đầy đủ - rõ ràng - dễ hiểu

Ấ Ả ĐẠ Ọ Ố Ộ

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QU

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQU

B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N

W.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

ới thiệu trích đoạn bởi GV. Nguyễn Thanh Tú


2/150

LỜI GIỚI THĨỆƯXin trân trọng giói thiệu cùng bạn đọc bộ sách: "Hùih học - Đại số - Giải tích - Bài

tập vàphuongpbápgiảỉ' của Thạc sĩ - nhà giáo uu tú Lê Hoành Phò.

Bộ sách gồm 6 tập: -Hình bọc 12-Bàitập vàphaòDgpbệpgiải ' Đạisố- Giải tích 12-Bài tập và phuơngpháp giải -Hừihhọcll-BàitậpvàphuoagpMpgiải -Đạisổ- Giải tích 11 -Bài tập và phuongpháp giải -Hìnhhọc 10-Bàitập vàpbuongpMpgiải -Đại số 10-Bài tập và pbuongpháp giải

Vói mục đích giúp cho bạn đọc và các em học sinh có thêm tư liệu đễ dễ dàng

iếp cận, nắm vững hệ thống Mến thức cơbản và nâng cao kĩ năng giải các dạng bài tập heo yêu cầu đổi mói, tác giả đã chọn lọc và giói thiệu m ột khối lưọng Miá lón bài tập

điển hình được trình bày rõ ràng, mạch lạc theo từng vấn đề cụ thể. Kèm theo đó là các

phvrong pháp giải điển hình các dạng bài tập này vói các ví dụ minh hoạ.

Cuối mỗi vấn đề là các bài luyện tập chỉ có hiróng dẫn giải hoặc đáp số để các

em tự giải và nâng cao M năng giải bài tập, hệ thống lại các dạng bài tập thtròng gặp

của vấn đề đó.

Vói hon 30 năm trục tiếp đứng lóp, đào tạo, bồi duõng nhiều thế hệ học sinh

đoạt giải cao trong các kì thi Toán quốc gia, quốc tế, tuyển sinh ĐH-CĐ... của tác giả,

chúng tô i tin rằng bộ sách này sẽ là nguòi bạn đồng hành, công cụ hữu ích giúp các em

học sinh hoàn thiện tó nâng làm bài, giải quyết tốt các vấn đề của toán học sơ cấp cũng

ihư đạt được những kết quả cạo trong các kì thi Tốt nghiệp phổ thông, Tuyển sinh Đại

học - cao đẳng sắp đến cũng nhưng yêu thích và hứng thú vói bộ môn toán học hon.

Mặc dù tác giả đã rấ t cố gắng, song sai sót là điều khó tránh khỏi. Chúng tôi rất

mong nhận được những ý kiến đóng góp, xây dụng của quý bạn đọc, các em học sinh...

để trong lần tá i bản sau bộ sách sẽ hoàn thiện hon.

Xin trân trọng cảm on!

Mọi góp ý cho bộ sách xin gỏi về:- Trung tâm Sách giáo dục Anpha, 225C Nguyễn Tri Phuong,'P.9, Q.5,

Tp.HCM.

ĐT: 08.38547464

- Cng tì An Pha VN, 50 Nguyễn Văn Săng, P.Tân Son. Nhì, Q.Tân Phú,

ĐT: 08.62676453. Fax: 08.38107718.

Em ail: alphabo okcenter@ yahoo .com



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




3/150



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




4/150

CHƯƠNG 1: MỆNH ĐẺ TẬP HỌP

1. MỆNH ĐỂVấn đề 1. MỆNH ĐÈ

L í THU YẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP

- Mệnh đề (mệnh đề logic) là một câu khẳng định đúng hoặc một câu

khẳng định sai. Không có mệnh đề vừa đúng vừa sai hoặc không đúng cũng không sai.

— Mệnh đề phủ định cùa mệnh đề P: "Không phải P", kí hiệu p : Nếu p

đủng thì p sai và ngược lại, nếu p sai thì p đúng .

- Mệnh đề kéo theo p => Q: "Nếu p thì Q". Mệnh đề (P => Q) chỉ sai khi p đúng và Q sai.- Mệnh đề đảo của mệnh đề p => Q là mệnh đề Q => p.r- Mệnh đề tương đương p Q: "P nếu và chỉ nếu Q".Mệnh đề (P Q)đúng khi (P => Q) đúng và (Q => P) đúng, do đó mệnh đề (p Q) đúng khi

và chỉ khi p và Q cùng đúng hoặc cùng sai.Chú ý

■ - Câu không phẩi là câu khẳng định (câu cảm thán, câu nghi vấn, câumệnh lệnh,..) hoặc câu khẳng định mà không có tính đúng - sai đều không phải là mệnh đề. Tính đúng -ị sai có thề chưa xác định hoặc không biết nhưng chắc chắn hoặc đúng hoặc sai cũng là mệnh đề.- Mệnh đề (P => Q) chỉ sai khi p đúng và Q sai, còn lại đều đúng cà. Đặc biệt: Nếu p sai thì (P => Q) luôn đúng dù Q đúng hoặc sai. Nếu Q đúng thì (P => Q) luôn đúng dù P đúng hoặc sai.

- Trong thực tế còn đánh giá mệnh đề liên kết với từ "và", "hoặc":(P và Q) đúng o P đúng và Q đúng.(P và Q) sai o p sai hoặc Q sai.(P hoặc Q) đúng p đúng hoặc Q đúng.(P hoặc Q) sai p sai và Q sai.

Như vậy, 2 < 2 (đúng); 2 < 3 (đúng); 2 < 1(sai). Ta hiểu "và" với nghĩa đổng thơi, cả hai, còn hoặc" vơi nghĩa tồn tại, có ít nhất.

CÁC V í DỤVí du 1: Phát biêu nào là mệnh đề lôgic:

a) 5! = 120 b) Hãy đi nhanh lên!c) 2 + 4 = 7 d) CụPhan Châu Trinh mất năm 1945.

Giảia) Khẳng định đúng nảy iả một mệnh đề.b) Không phải là một mệnh đề, câu mệnh lệnh.c) Khẳng định sai này là một mệnh đệ.d) Khẳng định sai này là một mệnh đề.

-ĐS 10 - BT&PPG- 5



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




5/150

Ví du 2: Giải thích các câu sau không phải là mệnh đề:a) Sáng nay trời đẹp quá ! b) Bạn có chăm học không?c) 2n là số chẵn d) 2x + 3 là một số nguyên dương.

Giảia) Câu cảm t.hán, không phải là mệnh đề.b) Câu nghi vấn, không phải là mệnh đề.c) Đây là một mệnh đề chứa biến, không phải là mệnh đệ.d) Đây là một mệnh đề chứa biến, không phải là mệnh đề.Ví du 3:. Tìm giá trị Đ, s của các mệnh đề:

a) 2002 là năm nhuận b) 17 là số nguyên tố

c) 1 + V 2< V3 d) Tích 2 số nguyên liên tiếp thì chia hết cho 2.Giải

a) Mệnh đề sai VI 2002 không là năm nhuận.b) Mệnh đề đúng: 17 là số chỉ chia hết cho 1 và chính nó.

c) Mệnh đề sai vì 1 + ~J2 >1 + 1= 2> V3

d) Mệnh đề đúng, n(n + 1) chia hết cho 2.Ví du 4: Phát biểu nào là mệnh đề Đ:

a) S3 là số vô tì b) Chiến tranh thế giới thứ II kết thúc năm 1946c) 4! = 24 d) Phương trình X2 - X - 1 = 0 vô nghiêm.

Giảia) Mệnh đề Đ l b) Mệnh đề s, chiến tranh thế giởi thứ II kết thúc năm 1945c) Mệnh đề Đ, vì 4! = 1.2.3.4 = 2d) Mệnh đề s vì A> 0 nên phương trình có nghiệm.Ví du 5: Phát biểu nào là mệnh đề S:

a) Phương trình X7 + 3x4 + 2x - 6 = 0 có nghiêm;

b) J~r\ là số nguyên; c) New York là thủ đô củá USA;d) Hoàng Sa thuộc VN.

Giảia) Mệnh đề đúng vì phương trình có nghiệm X = 1.b) Không phải là mệnh đề.c) Mệnh đề s vì thủ đô của USA là Washington DC.d) Mệnh đề Đ.Ví du 6: Cho 2 mệnh đề: P: a.b = 0 và Q: a = 0 và b = 0.

Phát biểu mệnh đề sau và mệnh đó Đ hay s? a) p => Q b) Q =» p.

Giảia) p => Q: Nếu a.b = 0 thì a = 0 và b = 0: sb) Q => P: Nếu a = 0 và b = 0 thì a.b = 0: Đ Ví du 7: Tìm giá trị Đ, s của mệnh đề kéo theo:

a) Nệu 7654321 nguyên tố thì Hà Nội là thủ đô VNb) Nếu Côngô không có Tết thì phương trình 2x2 + 3x + 1 = 0 không có

nghiệm dương.

6 -ĐS ỉ ừ - BT&PPG-



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




6/150

c) Nếu Lê Quý Đôn là người Nam Định thì 1 + 2 + 3 + 4 = 10.Giải

a) Hà Nội là thủ đô VN là khẳng định Đ nên mệnh đề kéo theo Đ.b) Phương trình 2x2 +3x + 1=0 không có nghiệm dương là khẳng định Đ

nên mệnh đề kéo theo Đ.

c) Lê Quý Đôn là người Nam Định khẳng định s nên mệnh đề kéo theo Đ. Ví du 8: Cho tứ giác ABCD. Xét 2 mệnh đề P: tứ giác ABCD là hình vụông,Q: tứ giác ABCD là hình chữ nhật có 2 đường chéo bằng nhau.Phát biểu Q bằng 2 cách và mệnh đó Đ hay s?

Giảip Q: tứ giác ABCD là hình vuông khi và chỉ khi tứ giác ABCD là hình chữ nhật có 2 đường chéo bằng nhau.p o- Q: tứ giác ABCD là hình vuông nếu và chỉ nếu tứ giác ABCD là hình chữ nhật có 2 chéo đường bằng nhau.Mệnh đề này Đ, vì tứ giác ABCD là hình chữ nhật có 2 đường chéo bằng nhau !à hình vuông.

Ví du 9: Tìm giá trị Đ, s củạ mệnh đề tương đương:a) Số tự nhiên n chia hết cho 3 khi và chỉ khi tổng các chữ số của n chia

hết cho 3.b) a2 + b2 = 0 tương đương với a = 0 và b = 0.c) Năm nhuận khi và chỉ khi số năm chia hết cho 4.

; Giảia) Mệnh đề tương đương Đ. b) Mệnh đề tương đương Đ.c) Mệnh đề tương đương s.

• ỈBÀI LU Y Ệ N TẬPl - . . .

Bài 1: Câu nào là mệnh đề? Nếu là mệnh đề, cho biết mệnh đề đúng hay sai:a) 5 + 7 + 4 = 15 b) Năm 2000 là năm nhuậnc) Hôm nay trời đẹp! d) Hãy ngồi xuống !ĐS: a) Mệnh đề sai (vì 5 + 7 + 4 = 16)b) Mệnh đề đúng (vì 2000 chia hết cho 4)c) Không phải là mệnh đề (câu cảm thán)d) Không phải là mệnh đề (câu mệnh lệnh).

Bài 2: Câu nào là mệnh đề? Nếu là mệnh đề cho biết mệnh đề đúng hay sai:a) X + 2 = 10 b) là số vô tĩ.c) Hôm nay ià thứ mấy? d) Phương trình X2 + X + 2 = 0 có nghiệm. ĐS: a) Không phải lả mệnh đề (Mệnh đề chứa biến).b) Mệnh đề đúng.c) Không phải là mệnh đề (câu nghi vấn)

d) Mệnh đề sai (A = 1 - 8 = -7 < 0)Bài 3: Cho tam giác ABC. Xét hai mệnh đề.

P: "tam giác ABC vuông" và Q: "AB2 + AC2 = BC2"Phát biểu và cho biết mệnh đề sau đúng hay sai:a) p => Q b) Q => p.ĐS: a) s và b) Đ.

-ĐS 10 - BT&PPG- 7



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




7/150

Bài 4: Mệnh đề nào đúng, sai?

a) Nếu ngày 1/1/2020 là chủ nhật, thì 100 chia hết cho 20.

b) Nếu 1 + 2 = 3 thì Tokyo là thủ đô Nhật Bản.

c) Nếu 352 = 1225 thì 75 - y/3 > 1

d) Nếu ( - + Ĩ Í2 ) = 1 thì 97531 là số nguyên tố.

ĐS: a) Đúng b) Đúng c) Sai d) Đủng.

Bài 5: MệRh đề nào đúng, sai?a) Nếu 122 + 52 = 13 thì 0 > 0

b) Nếu 3 > 3 thì Amata là thủ đô Angola.

c) Nếu 2123 là số lẻ thì 2123 - 1 là số nguyên tố.

d) Nếu 1975 là số hữu tỉ thi V ĩ975 là số hữu tỉ.

ĐS: a) Đúng b) Đúng c) Đúng d) Sai.

Bài 6: Cho tứ giác ABCD. Xét hai mệnh đề:

P: "Tứ giác ABCD là hình vuông".

Q: "Tứ giác ABCD có hai đường chéo vuông góc". Phát biều p bằng 2 cách, mệnh đề này đúng hay sai?ĐS: Mệnh đề sai.

Bài 7: Các mệnh đề sau đây.đúng hay sai?

a) Hai tam giác bằng nhau khi và chỉ khi chúng có diện tích bằng nh

b) Hai tam giác bằng nhau khi và chỉ khi chúng đồng dạng và cỏ cạnh bằng nhau.

c) Một tam giác là tam giác vuông khi và chỉ khi nó có một góc bỉồng của haigóc còn lại.

d) Một tam giác là tam giác đều khi và chỉ khi nó cỏ hai đường p

giác bằng nhau và một góc bằng 60°.ĐS: a) Đây là mệnh đề sai b) Mệnh đề sai

c) Mệnh đề đúng í d) Mệnh đề đúng.

Bài 8: Cho tam giác ABC. Lập mệnh đề p => Q và mệnh đề đảo của nỏ,xét tính đúng sai của chúng khi:a) P: "Góc A bằng 90°" Q: "Cạnh BC lớn nhất"

b) P: "Â = B " Q: 'Tam giác ABC cân".ĐS: a) là mệnh đề đúng. b) là mệnh đề đúng.

Bài 9: Mệnh đề hội (và), kí hiệu p A Q chĩ đúng khi p, Q đều đúng.

Mệnh đề tuyển (hoặc), kí hiệu p V Q chĩ sai khi p, Q đều sai.Tìm giá trị Đ,s của mệnh đề:a) 3 > 3 b) 7 > 5 c) 3 <

ĐS: a) Đ b) Đ c) s.

8 -ĐS 10 - BT&P



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




8/150

vấn đề 2. MỆNH ĐỀ CHỨA BIÉN

L í T H U Y Ế T V PHƯƠNG PHP

- Mệnh đề chứa biến: câu khẳng định chứa một hay nhiều biến nhận giá trị trong tập hợp X nào đó.

-K í hiệu V(với mọi, tất cả, ...): Vx e X, p(x) hây Vx é X: P(x)- Kị hiệu 3 ( tồn tại, có ít nhất,...): 3x € X, P(x) hay Bx é X: P(x)

- Phủ định của mệnh đề:Vx e X , P(x) là mệnh đề 3x £ X, p(x)

3x e X, p(x) là mệnh đề Vx e X, P(x).

Chú ý: Giá trị Đ, s của mệnh'đe chứa dấu V; 3:V x e X, P(x) đúng mọi x0 e X, P(x0) đúng. Ta phải chứng minh đúng, giải thích mệnh đe đúng.Vx e X, P(x) sai có Xo e X, P(x0) sai, Ta phải chỉ ra trường hợp mệnh đề sai.

3x £ X, P(x) đủng cô Xò ẻ X, P(x0) đung. Ta phải chỉ ra trường hợp

mệnh đề đúng.- 3x e X, P(x) sại mọi x0 e X, P(x0) sai.Ta phải chứng minh sai, giải

thích mệnh đề sai.

o Ịc ả c v í DỤ| _ _Ví du 1: Cho mệnh đề chứa biến P(x): X > X2. Mệnh đề sau Đ, S:

a)P (-2) b )P (^ ) , ' c) P(1 ).

Giải

a) P(-2): -2 > 4 là mệnh đề s. b) P(^V- m^nh Đ-

c) P(1): 1 >1 là mệnh đề Đ.Ví du 2: Tìm hai giá trị X để mệnh đề chứa biến sau thành một mệnh đề

đúng và mệnh đề sai.

a) P(x): 6x2 - 5x - 11 = 0 b) Q(x): > 0.X —3

Giảia) Chọn X = -1 : P(—1): 6(—1)2 —5(—1) —11 = 0 đúng.

x = 0: P(0): 6.0-5.0-11 =0 sai.

b) Chọn X = 4: Q(4): g- > 0 đúng, X = 0: Q(0): - ^ > 0 sai.

Ví du 3: Dùng kí hiệu V hoặc ạ để viết các mệnh đề sau:a) Có một số nguyên chia hết cho 7. E < ê Z , * : r b) Mọi số thực cộngvới 0 đều bằng chính nó. ìnceR7:e-r0=x,

c) Có một số hữu tỉ nhỏ hơn nghịch đảo của nó. 3f> e s. f


9/150

Giảia) Bn 6 z, n 7 b) Vx e R, X + 0 = X I

1 Ic) 3p e Ũ, p < - d) Vn ẽ N, n ắ n2.

Vi du 4: Xét tính đúng, sai của các mệnh đề:a) Vx e R, X2 + 1 > 0 CV ỉ '■>! .1'O b) Vx e z, X + 2 * (x + 2 z _ c) 3x e Q, 9x2 - 4 = 0 ■■■■ 3 d) 3x 6 Q, 3x2 - 5 = 0 s. Dxdl c,

Giải 5 '° a) Mệnh đệ đúng, vì X2 + 1 > 1 > 0.b) Mệnh đề sai, vì chọn X = - 2 nguyên thì X + 2 = (x + 2)2 = 0.

2c) Mệnh đề đúng, vì chọn X = ^ hữu tỉ thì 9x2 - 4 = 0.

5 Í5 _d) Mệnh đề sai, vì 3x2 - 5 = 0 X2 = ̂ X = ± J j Ể Q.

Ví du 5: Các mệnh đ sau đây đúng hay sai, giải thích:a) Vx e R, X > - 2 =>X2> 4 - 2 = > x 2< 4 x = ii,c) Vx e R, x > 2 = > x2 > 4 d ) V x s R , x 2 > 4 = > x > 2 S--5

--1 C) ^C ỵ-^ (r ứ;7D Qjàj

a) Mệnh đế sai, VI mệnh đề "x > -2 => X2 > 4" sai khi X = 1.b) Mệnh đề sai, vì mệnh đề "x > -2 => X2 < 4" sai khi X = 5.c) Mệnh đề đúng. Thật vậy, ta có: X > 2 => X -2 > 0 và X + 2 > 0

=> (x - 2)(x + 2) > 0 => X2 - 4 > 0 => X2 > 4.d) Mệnh đềsai, vì "x2 > 4 => X > 2" sai khi X = -3 .Vídu 6 : Các mệnh đề sau đây đúng hay sai? Nếu sai, hãy sửa lại cho

đúng.) a) 3x e R, X > X2. t - L ' b) Vx e R, Ix | < 3 X < 3S

c) Vn e N, n2 + 1 không chia hết cho 3. ỉ d) 3a e Q, a2 = 2. -j-iĩl ■fT-i I ' /b-ĩC-yi' Giải r

X ã 1a) Mệnh đê đúng, chăng hạn x = •

b) Mệnh đề sai. Mệnh đề đúng là: Vx s R, IXI < 3 -3 < X < 3.c) Mệnh đề đúng. Thật vậy:

Xét n = 3k => n2 + 1 = 9k2 + 1, không chia hết cho 3.

Xét n = 3k + 1 hoặc n = 3k + 2.i=> n2 + 1 = 3k' + 2 (k’ e N) không chia hết cho 3.

d) Mệnh đề sai vì az = 2 a = ± \ / 2 £ Q.

Mệnh đề đúng là Va 6 Q, a2 * 2.Ví du 7: Các mệnh đề sau đúng hay sai:

a) Vx e R, Vy e R: X + y = 25 b) Vx e R, 3y e R: X + y = 25

c) 3x e R, vỹ e R: X + y = 25 d) 3x e R, By e R: X + y = 25Giải

a) Mệnh đề sai, chọn X = 0 và y = 2.

10 -Đ S10 - BT&PPG-



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




10/150

) Mệnh đề đúng, vì với mọi X, chọn y = 25 - X.) Mệnh đề sai, vì nếu tồn tại X thì y = 25 - X là duy nhất.) Mệnh đề đúng, vì chọn X = 20 và y = 5.

Ví du 8: Mệnh đề sau đúng hay sai:

a) Vx £ R, Vy £ R: X2 + y2 > 2xy

b) Vx e R, Vy € R: 1X + y 1 < IX1 + I y Ị

c) Vx e R, Vy e R: X + y > 2 yf.

d) Vx e R, Vy 6 R: Ị X - ý I = I XI + I y I o xy < 0.Giải

a) Mệnh đề đúng, vì (x - y)2 > 0 =>X2 + y2 > 2xy.

b) Mệnh đề đúng, vì 2xy < 2 1xy ị .c) Mệnh đề sai, chọn X = y = - 2.

d) Mệnh đề đúng, vì -2xy = 2 1xy I xy < 0.

BÀI LUY ỆN TẬPBài 1: Cho mệnh đề chứa biến P(n): "n2 - 1 chia hết cho 4 với n số nguyên".

Mỗi mệnh đề P(5)".P(2)! P(9)' P(2012) đúng hay sai.ĐS:P( 5) : 52 - 1 =24 chia hết cho 4: mệnh đề đúng.P( 2) : 22 - 1 = 3 chia hết cho 4: mệnh đề sai.P(99) : 992 - 1 = 9800 chia hết cho 4: mẹnh đề đúng.

' P(2 012): 20122 —1 = 2011.2013 chia hết cho 4: mệnh đề sai.Bài 2: Các mệnh đề sau là đúng hay saí?

a) Vx Ê R, X > 1 => < 1. t -2 .x + 1

b) 3x e R, X > 1 => X chia hết cho 6. y . / v'ld) Vx 6 N, X2 chia hết cho 9 => X chia hết cho 9. 3 -■ ' ^ ”ĐS: a) Mệnh đề sai. b) Mệnh đề sai.

c) Mệnh đề đúng, d) Mệnh đề sai.Bài 3: Các mệnh đề sau đúng hay sai:

a) Vx £ R, Vy € R: X + y = 10 b) Vx e R, By e R: X + y = 10 '

c) 3x e R, Vy 6 R: X + y = 10 s d) 3x 6 R, 3y e R: X + y = 10 -9 ĐS: a) Mệnh đề sai, chọn X = 1 và y = 2.b) Mệnh đề đúng, vì với mọi X, chọn y = 10 - X.c) Mệnh đề sai, vi nếu tồn tại X thi y = 10 - X là duy nhất.d) Mệnh đề đúng, vi chọn X = y = 5.

Bài 4: Mệnh đề đúng hoặc sai:

a) Vx 6 R, Vy e R: X > y => - < -X y

b) Vx e R, Vy e R: X > y X3 > y3

ĐS 10 - BT&PPG- 11



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




11/150

c) Vx 6 R, Vy s R: X > y X2 > y2

s d) Vx e R, Vy e R: X > y => Vx > y ỹĐS: a) Mệnh đề sai b) Mệnh đề đúng vi ^

c) Mệnh đề sai d) Mệnh đề sai.Bài 5: Chứng minh các mệnh sau Đ:

a) Vx e R, X2 + 4 > 2x U$ĨI 0. !■=.->(;/- iyv-tĩ)lr0 .

b) Mọi-tam giác đều là tam giác cân. t đ£ú ‐ Soft - r HD: a ) (x - 1)2 + 3 > 0. - V.̂ H

Bài 6: Chứng minh các mệnh sau Đ:

a) 3x € Q,2x2 = 8 b) 3n e N,n2 + 1 1n + 2 chia hết cho 1'c) Tồn tại số nguyên tố chẵn. =2a ) 3 x e Q , 2 x 2 = 8 b) 3n e N,n2 + 11n+ 2 chia hết cho 11 n=B,c) Tồn tại số ngui HD: Chỉ ra ví dụ.

Bài 7: Chứng minh các mệnh sau S:

a) Vx eR , x2 > 0 x - t) b) Vn eN ,n3


12/150

2) Đôi khi xét tính đúng, sai của mệnh đề p phức tạp thì ta chuyền qua xet tính đúng sai của mệnh đề phủ định.

CÁC V í DựVí du 1: Phủ định của các mệnh đề:

a) 33 = 22 b) 2 < 5 c) 6 > 7d) Vã là số vô tỉ.

Giảia) 33 * 2 2 b) 2 > 5 c) 6 < 7 d) Vã là số hữu tỉ.

Ví du 2: Phủ định các mệnh đề:a) 10 không là số nguyên tố. b) 2,3 là số lẻ.c) Pari là thủ đô USA. . d) Đức vô địch World cup ?Q14.

Giảia) 10 là số nguyên tố b) 2,3 không là số lẹ,

' c) Pari không là thủ đô USA. d) Đức không vô địch World cup 2014.Ví du 3: Phủ định các mệnhđề sau và xác định mệnh đề phủđịnh đó đúng

hay sai:a) 1 + 2 = 3 và 23 là số nguyên tố. b) Phương trình X2 - 3x + 2 = 0 có

nghiệm

c) 210 - 1 chia hết cho 11;.' d) Có vô số số nguyên tố.

/ Giải ' a) 1 + 2 * 3 hoặc 23 là hợp số: Sai, vì 1 +-2 = 3 và 23 là số nguyên tố.b) Phương trình X2 - 3x + 2 = 0.;VÔ nghiệrệ: Sai, vì phương trìnhcó nghiệm

X = Ị,c) „2- - 1 không chia hết cho 11: Sai, vì 210 - 1 = 1023 = 11.93.d) Có hữu hạn số nguyên tố: Sai.Ví du 4: Hãv phủ đinh các mênh đề sau:

a) Hôm nay, trong lớp có một học sinh vắng mặt.b) Tất cả các học sinh của lớp này đều lớn hơn 14 tuổi.c) Có một học sinh trong lớp em chưa bao giờ tắm biển.d) Mọi học sinh trong lớp em đều thích môn Toán.

Giảia) Hôm nay, tất cả các học sinh đều có mặt.b) Có một học sinh của lớp nàỵ tuổi không quá 14.c) Mọi học sinh trong lớp em đều đã được tắm biển.d) Có một học sinh trong lớp em không thích môn Toán.

Ví dư 5: Phủ định các mệnh đề:a) Vx 6 R, Vy e R, 2x + y > 3 b) Vx e R, By e R, 2x + y > 3c) 3x R, Vy 6 R, 2x + y > 3 d) 3x e R, 3y e R, 2x + ý > 3.

Giảia) 3x 6 R, 3y e R, 2x + y < 3 b) 3x e R, Vy e R, 2x + y < 3c) Vx s R, 3y Ễ R, 2x + y á 3 d) Vx € R, Vy Ễ R, 2x + y ắ 3.Ví du 6: Xét xem cậc mệnh đề sau đúng hay sai và lập mệnh đề phù định

của mỗi mệnh đề:

-ĐS10 - BT&PPG- 13



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




13/150

a) 3x € Q, 4x2 - 1 = 0 b) 3x e N, n2 + 1 chia hết cho 4.c) Vx 6 R, (X - 1)2 * X - 1 d) Vn e N, n2 > n.e) 3n e N, n(n + 1) là một số chính phương.

Giảia) Mênh de đúng. Phủ định ià: Vx e Q, 4x2 -1 5É0.

b) Mệnhỡề sai. Ta chứng minh mệnh đề phủ định sau là đúng.Vn e N, n2 + 1 không chia hết cho 4.Xét n = 2k, ke N thì n2 + 1 = 4k2 + 1: không chia hết cho 4.Xét n = 2k + 1, k e N thì n2 + 1 = (2k + 1 )2 + 1 = 4k2 + 4k + 2: không chia hết cho 4. 1

c) Mệnh đề sai, chẳng hạn với X = 1. Phủ định lả:3x e R, ( x - 1 ) 2 ==X - 1.

d) Mệnh đề sai, chẳng hạn với n = 0. Phủ định là:3n e N, n2 < n.

e) Mệnh đề đúng, chẳng hạn n = 0. Phủ định là Vn e N, n(n + 1) không

là số chính phương.Ví du 7: Xẹm xét các mệnh đề sau đúng hay sai, lập mệnh đề phủ định của mệnh đề: •a) Vx e R, X2 > 0.b) Vn e N, n2 - 1 là bội của 3.c) 3n ẽ N, 2" + 1 là số nguyêmtố.d) Vn e N, n(n + 1)(n + 2) là bọi số của 6.

\ Giảia) Mệnh đề sai, chẳng hạn X = Q>Mệnh đề phủ định là 3x e R, X2 < 0.b) Mệnh đề sai, chọn n = 3 € N thi n2 - 1 = 8 không là bội số của 3. Mệnh-

đề phủ định là: 3n e N, n2 - 1 không là bội số của 3.c) Mệnh đề đúng, chọn n = 1 s N thì T + 1 = 3 lả số nguyên tố.

Mệnh đề phủ định là: Vn e N, 2n+ i không là số nguyên tố.d) Mệnh đề đúng, .bằng cách xétn= 3m, 3m + 1, 3m + 2 hoặc lí luận tồn

tại số chia hết cho 2 và tồn tại số chia hết cho 3 trong 3 số tự nhiên liên tiếp.

Ví du 8: Xem xét các mệnh đề sau đúng hay sai, iập mệnh đề phủ định của mệnh đề:a) Vx e R, X2 - X + 1 > 0 b) 3n e N, (n + 2)(n + 1) = 0.C) 3x e Q, X2 = 3. d) Vn e N, 2n> n + 2

Giải 1 3

a) Mệnh đề đúng, vì X2 - X + 1 = (* - ^ )2 + ^ > 0, V X.

Mệnh đề phủ định là 3x e R, X2 - X + 1 < 0.b) Mệnh đề sai, vì (n + 2)(n + 1) = 0= >n = -2 hoặc n = -1 đều không thuộc N. .

Mệnh đề phủ định là Vn e N: (n + 2)(n + 1) * 0

c) Mệnh đề sai, vì X2 = 3 => X = ± V3 Ể Q

Mệnh de phủ định là Vx ễ Q , x2^ 3.d) Mệnh đề sai, vì chọn n = 1 thì: 2 > 3. Mệnh đề phủ định là: 3n e N, 2n< n + 2.

14 -ĐS 10 - BT&PPG-



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




14/150

BÀI LUYỆN TẬP

Bài 1: Phủ định của các mệnh đề:

a) 3 = 2 b) 1 < 5 c) 4 > 5 d) n/ 2 là số vô tĩ.

ĐS: a) 3 * 2 b) 1 > 5 c) 4 < 5 d) 42 là số hữu tỉ.

Bài 2: Phủ đjnh các mệnh đề:a) 2 không là số nguyên tố. b) 3, 5 là số lẻ.c) New York lậ thủ đô USA. d) Việt Nam vô địch World cup 2050.ĐS: a) 2 lả số nguyên tố. b) 3, 5 không là số lẻ.c) New York không là thủ đô USA.d) Việt Nam không vồ địch World cup 2050.

Bài 3: Phủ định các mệnh đề:a) 1 = 2 và 3 là số nguyên tố. b) 5 < 5 hoặc 1313 là bội số của 3.c) Mọi số nguyên chia hết cho 6 thi chia hết cho 3.d) Có một tam giác vuông có góc nhọn 45°.

ĐS: a) 1 * 2 hoặc 3 là hợp số. b) 5 > 5 và 1313 không là-bội của 3.c) Có số nguyên chia hết cho 6 mà không chia hết cho 3.d) Mọi tam giác vuông đều không có gộc nhọn 45°.

Bài 4: Tìm phủ định của mệnh đề. Mệnh đề phũ định đó Đ,S:a) 6! +1 chia hết chọ 7.b) số 13 là tổng 2 số chính phương c) 1012 +101 là số lẻ.HD: a) s. b) s. c) Đ. ,

Bài 4: Tìm phù định của mệnh đề:a) 2 = 3 - 1 và 1 < 3. b) 0 > 0. c) 2 < 8 hoặc 2 < 0.

Bài 5: Tim phủ định của mệnh đề:

a) Mọi hình tứ giác đều nội tiếp trong đường tròn.b) Tất cả học sinh trường em đều phải học luật giao thông.c) Có một người mang điệnthoại di động trong lớp học này.d) Tồn tại một hình vuông cỏ diện tích bằng 0,12mz

Bài 6: Tìm phủ định của mệnh đề:

a)Vx e R,2x2 - X + 1 > 0 b)Vn 6 N‘,n2+1 là bội của 3

c)Vn € N,5n > n + 2 d) 3x G Q, X2 = 35

e)3n 6 N,2n + 3 là số nguyên tố f) Bx e R,x2 + 1 > X + 9Bài 7: Xác định mệnh đề Đ, s và tim phủ định:

a) 3x 6 R,x2 = 25 b) 3n € N,n(n +1) chia hết cho 37 '

c) Vx e R,(x - 3)2 5* X - 3 d) Vn e N,n2 -í-1 không chia hết cho 4

HD: a) đúng b) đúng c) sai d) đúng.Bài 8: Phủ định các mệnh đề:

a) Vx e R, Vy s R, X + y > 0 b) Vx e R, By 6 R, X + y > 0c) 3x e R, Vy e R, X + y > 0 d) 3x e R, 3y € R, X + y > 0.ĐS:a) 3x 6 R, 3y e R, X + y á 0 b) 3x € R, Vy s R, X + ỵ < 0c) Vx e R, By e R, X + y < 0 d) Vx 6 R, Vy e R, X + y < 0.

-ĐS 10 - BT&PPG- 15



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




15/150

2. SUY LUẬN TON HỌC/ấn đề 1. ĐIỀU KIÊN CẦN, ĐIỀU K IỆN ĐỦ

■ Ịl í t h u y é t v ả p h ư ơ n g p h á p-Đ ịn h lí là một khẳng định đúng, thông thường định lí có dạng:Vx e X, P(x) => Q(x).-Đ iề u kiện cần, điều kiện đủ:

Cho định tí dạng Vx e X, P(x) => Q(x):P(x) là giạ thiet, Q(x) la kết luận.P(x) là điều kiện đủ để có Q(x),

hay: Điều kiện đủ đề có Q(x) là P(x).Q(x) là điều kiện cần để có P(x),

hay: Điều kiện cần để có p(x) là Q(x).-Định lí đảo, điều kiên cần và đủ:Cho định lí dạng: Vx e X, P(x) =>' Q(x)Nếu mệnh đảo Vx e X, Q(x) => P(x) đúng thì đươc gọi (à định lí đảo. Khiđó, ta cố định lí thuận và định lí đảo Vx e X, P(x) Q(x):

P(x) ià điều kiện cần và đủ để có Q(x) hay: Điều kiện cần và đủ để có P(x) là Q(x).Chú ý: Cấu trúc mệnh đề p => Qp => Q: Mệnh đề thuận, Q => P: Mệnh đề đảo

p => Q : Mệnh đề phần, Q => p : Mệnh đề phản đảo.

Hai mệnh đề p => Q và Q => p cùng giá trị đúng, sai.

Hai mệnh đề Q => p và p => Q cùng giá trị đúng, sai.

CÁC V I pụj

í du 1: Phát biêu các định lí sau, sử dụng “điều kiện đủ”:a) Nếu a và b là_2 số hữu tỉ thì tổng 2a + 3b cũng hữu tĩ b) Nếu n chia hết cho 4 thì n chia hết cho 2c) Nếu hai tam giác bằng nhau thì co diện tích bằng nhau.

Giải) Điệu kiện đủ để tồng 2a + 3b hữu tĩ là a và b là 2 số hữu t ỉ .) Điều kiện đủ đề n chia hết cho 2 là n chia hết cho 4.' Điều kiện đủ để hai tam giác có diện tích bằng nhau là chúng bằng nhau. í du 2: Phát biểu các định lí sau, sử dụng “điều kiện cần”:

a) Nệu một số tự nhiên chia hết cho 25 thì nó chia hết cho 5.b) Nếu |a| = |b| thì a = b hoặc a = - bc) Nếu tứ giác T là một hình thoi thì nó có hai đường chéo vuông gócvới nhau.

Giải- Điệu kiện cần để một số tự nhiên chia hết cho 25 là số đó chia hết cho 5.' Điệu kiện cần đểJa| = |b| là a = b hoặc a = - b.' Điêu kiện cần để tứ giác T là một hình thoi là nó có hai đường chéo

vuông góc với nhau.

5 -ĐS10 - BT&PPG



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




16/150

Vt du 3: Tìm giá trị Đ, s các mệnh đề sau đây:a)Tứ giậc có 4 cạnh bằng nhau là điều kiện cần để nó ià một hình vuôngb) Hai số a và b chia hết cho 7 là điều kiện đủ để tổng hai số chia hết cho 7.c) Hai số a và b dương là điều kiện cần để tích ab > 0.

Giảia) Đ vì, nếu tứ giác là một hinh vuông thì có 4 cạnh bằng nhau.b) Đ vì, nếu hai số a và b chia hết cho 7 thì tồng hai số chia hết cho 7.c) s vì, nếu tích ab > 0 thì hai số a và b chưa chắc đã dương, có thể cùng

là số âm.Ví du 4: Tìm giá trị Đ, s các mệnh đề sau đây :

a) a > b là điều kiện cần để có a2 > b2.b) là đ iều kiện đũ đề có X > y.c) m = n là điều kiện đủ để có |m| =|n|.

Giảia) s vì, nếu a2 > b2thi chưa chắc có a > b.

b) Đ vi, nếuVx > Vỹ thì có X > y.

c) Đ vì, nếu m = n thì có ỊmỊ = |n|.Ví du 5: Phát .biểu các định lí sau, sử dụng “điều kiện cần và đủ”:

a) Một tứ giác nội tiếp được trong đừờng tròn khi và chỉ khi 4 đỉnh cáchđều một điểm.

b) Một số nguyên dương n chia hết cho 3 khi và chỉ khi n2 chia hết cho 3.Giải

a) Điều kiện cần và đủ để một tứ giác nội tịểp được trong đường tròn là 4đĩnh của chúng cách đều một điểm. ;

b) Điều kiện cần và đủ đề một số nguyên dựơng n chia hết cho 3 là n2 chia hết cho 3.

Ví du 6: Tìm giá trị Đ, s các mệnh đề sau đâyf a) Một so nguyên dương chia hết cho 3 nếu vàchỉ nếu tổng các chữ số

cùa nỏ chia hết cho 3.b) Tam giác ẠBC vuông khi và chỉ khi AB2 + AC2 = BC2c) a > b là điều kiện cần và đủ đề có 1/a < 1/ b.

Giảia) Đ vì, đây là dấu hiệu chia hết cho 3.b) s vì, tam giác ABC vuông, nhưng chưa chắcđã vuông tạiA nên không

chắc là có AB2 + AC2 = BC2c) s vì còn phụ thuộc dấu của a và b.Ví du 7: Một nhà thông thái b| xử phạt tội chết và bị hành quyết: hoặc-chém

đầu hoặc treo cổ. Trước khi hành quyết nhà vua cho được nói một câu

và giao hẹn: nếu nói đúng thì chém đầu, nếu nói sai thì treo cồ. Nhà thông thái mỉm cười và nói một câu và nhờ đó đã thoát chêt.Bạn hãy cho biết câu nói đó của nhà thông thái nh thế nào?

GiảiCậu nói của nhà thông thái là: "Tôi sẽ bị treo cỗ".- Nếu nhà vua đem nhà thông thái đi chém đầu thì nhà thông thái nói sai. Mà nỏi sại thì phải xử treo cổ chứ không thể chém đẩu nhà thông thải.

-Đ S10 - BT&PPG- 17



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




17/150

Nhà thông thái không bị chém đầu, không bị treo cô cho nên đã thoát chèt.

BÀI LUY ỆN TẬPBài 1: Sử dụng thuật ngữ "điều kiện đủ" để phát biểu:

a) Nếu a và b là hai sộ hữu tỉ thì tổng a + b là số hữu tỉ.b) Nếu hai tam giác bằng nhau thì chúng có diện tích bằng nhau.c) Nếu một số tự nhiên có chữ số tận cùng là chữ số 5 thì nó chia hết cho 5. ĐS:a) Điều kiện đủ để tổng a + b là số hữu tỉ là cả hai số a và b đều là số hữu tỉ.b) Điệu kiện đủ đệ hai tam giác cộ diện tích bằng nhau lả chúng bằng nhau.c) Điều kiện đủ để một số chia hết cho 5 là số đó tận cùng bằng 5.

Bài 2: Sử dụng thuật ngữ "điều kiện cần" để phát biểu:a) Nếu một số tự nhiên chia hết cho 15 thì nó chia hết cho 5.b) Nếu a = b thì a2 = b2

c) Trong mặt phẳng, nếu hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì hai đường thẳng ấy song song với nhau.

ĐS: a) Điều kiện cần để một số chia hết cho 15 là nó chia hết cho 5.b) Điều kiện cần để a = b là a2 = b2.c) Trong mặt phẳng, điều kiện cần để hai đường thẳng phân biệt cùng

vuông góc với đường thẳng thứ ba là ehúng song song với nhau.Bài 3: Sử dụng thuật ngữ "điều kiện cần và đù" đề phát biểu:

a) Một tứ giác nội tiếp được trong một đường tròn khi và chĩ khi tổng hai góc đối diện của nó bằng 180°?

b) X > y nếu và chỉ nếu y f x > ị [ ỹ .

c) Tam gìảc cân khi và chỉ khi C.Ótrung tuyến bằng nhau.ĐS: a) Điều kiện cần và đủ đề tứ giác nội tiếp được trong một đường tròn là tổng hai góc đối diện của nó bằng 180°.

b) Điều kiện cần và đủ để X > y là 3/x > ự ỹ .

c) Điều kiện cần và đủ để tam giác cân là hai trung tuyến của nó bằng nhau.Bài 4: Mệnh đề sau đúng, sai?

5 5a) Điều kiện cần và đủ để a = b là —= T-.

a b

b) Điều kiện đủ để X > y là Vx > -v/ỹ •

c) Điều kiện cần để tam giác ABC vuông là AB2 = BC2 - AC2.d) Điều kiện đù để 'T)? = Ix| là X > 0.

ĐS: a) mệnh đệ sai. b) mệnh đề đúng,c) mệnh đề sai. d) mệnh đề đúng.

Bài 5: Hãỵ sửa lại (nếu cần) các mệnh đề sau đây để được mệnh đề đúng: 'a) Điêu kiện cần và đủ để tử giác T là một hình vuông là nó có bốn

cạnh bằng nhau.b) Điều kiện cần và đủ để tổng hai số tự nhiên chia hết cho 7 là mỗi số

đó chia hết cho 7.

18 -ĐS 10 - BT&PPG-



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




18/150

ĐS: a) Mệnh đề sai b) Mệnh đê saiBài 6: Hậy sửa lạị (nếu cần) cácmệnh đề sau đây đề được mệnh đề đúng:

a) Điều kiện cần để ab > 0 !àcảhai số a và b đều dương.b) Điều kiện đủ để một số nguyên dương chìa hết cho 3 là nỏ chia hết cho 3.ĐS: a) Mệnh đề sai. 'b) Mệnh đề đúng.

Bài 7: Sáu đội bóng ở sáu bảng A,B,C,D,E,F. Hỏi 2 đội bàng nào vào chung kết biết 5 phát biểu sau, 4 phát biểu Đ một nửa và 1 phát biểu sai hoàn toàn:(1): A và C (2): B và E (3): B và F ( 4 ) : AvàF (5): A và D ĐS:AvàE.

Vấn đề 2. PHƯƠ NG PHÁP CHỨNG MINH

L í TH U Y ÉT VÃ PH ƯỚNG PHÁ P- Định lí là một khẳng định đúng, thông thường định lí có dạng:Vx e X, P(x) Q(x). V ; ■

- Chứng minh trực tiếp.Từ X e X, P(x) đúng suy lần lượt đến Q(x) đúng. Do đó, phương pháp chửng minh trực tiếp lả dùng suỵ luận và các kiến thức toán, các định lí và kết quà đã biết để từ giả thiết cho biến đổi và suy dằn dần đến kết luận.Chú ý: . . ■ ■ ■1) Cách phân chia các trường hợp một cách đầy đủ theo bội và dư của một số nguyên tùy ý, cách phân tích thừa Số,... là các cách chứng minh quen thuộc trong số học.2) Biến đổi tương đương là một cách chứng minh khác quen thuộc, thayVI chứng minh khẳng định p, ta biến đổi lương đương về một khẳng định Q đúng, do đó p đúng.

• ỈCẢC V I DỤỊVí du 1: Chứng minh với mọi số tự nhiên n:

a) Nếu n chẵn thì n3 chẵn. b) n(n + 1) chia hết cho 2.Giải

a) Nếu n chẵn thì n = 2k, k tự nhiên. Do đó n3= (2k)3 = 8k3. Vậy n3 chẵn.

b) Ta xét 2 trường hợp n chẵn và n lẻ:Xét n = 2m, m tự nhiên thì n(n + 1) = 2m(2m + 1) chia hết cho 2.Xệt n = 2m + 1 thì n(n + 1) = (2m + 1)(2m + 2) = 2(2m + 1)(m + 1) chia hết cho 2.

Vậy n(n + 1) chia hết cho 2.Ví du 2: Chứng minh: nếu n nguyên dương thì n3 - n chia hết cho 6.Giải

Ta có n3 - n = n( n2 - 1) = n(n - 1)(n + 1) = (n - 1).n.(n + 1).

Vì n - 1, n, n + 1 là 3 số nguyên liên tiếp nên có một số chia hết cho 2 và một số chia hết cho 3 nên tích (n - 1).n.(n + 1) chia hết cho 2.3 = 6.

Ví du 3: Chửng minh:a) Mọi số chính phương có dạng 4k hoặc 4k + 1.b) Mọi số nguyên tố khác. 2 đều là số lẻ.

-ĐS10 - BT&PPG- 19



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




19/150

Giảia) Xét số chính phương (2m)2 và (2m + 1 )2

Ta có: (2m)2 = 4m2 = 4k

và (2m + 1)2 = 4m2 + 4m + 1 = 4 k + 1=> (đpcm).

b) Gọi p là số nguyên tố nên p > 1, chỉ chia hết cho 1 và chính p vì pnên p không chia hết cho 2. Do đó: p lẻ.Chú ý: Mọi số nguyên tố đều là số lẻ trừ số nguyên tố chẵn duy nhất tà

Ví du 4: Cliứng minh với mọi X, ya) X - xy + yz > 0. b) 5x2 + y2 + 4x + 4>4xy

Giải1 3

a) Ta có: X2- xy + y2 = (x - y)2 + ^ y 2 > 0: đúng với mọi X, y.

b) Lập hiệu số, ta có5x2 + y2 + 4x + 4 - 4xy = Sx2 + y2- 4xy + 4x + 4

= (4x2 - 4xy + y2) + (x2 + 4x + 4) = (2x - y)2 + (x + 2)2 > 0: nên suy5x2 + y2 + 4x + 4 >4xy đúng với mọi X, y.

Ví du 5: Chứng minh bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối:a) la + b| < la l + Ibl b) l a - b l < I a I + I b I

Giảia) Vì 2 vế không âm nên, ta có:

|a + b | < l a | + |b|(a + b)2 2. Do đó: - 1 k

1

12

2‐

1 +

< 2 với mọi số nguyên dương n.

BÀI LUY ỆN TẬP

Bài 1: Chứng minh với mọi số tự nhiên n:a) Nếu n lẻ thỉ n3 lẻ. - b) Nếu n chằn thì n4 chẵn.HD:a) Nếu n lẻ thì n = 2k + 1, k tự nhiên, b) Nếu n chẵn thì n - ?k, k tự n

Bài 2: Chứng minh với mọi số tự nhiên n:a) Nếu n chia hết cho 3 thì n(n + 1) chia hết cho 6.b) n(n + 1)(n + 2) chia hết cho 6.

20 -£>510 - BT&PP



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




20/150

HD: a) Nếu n chia hết cho 3 thì n = 3k, k tự nhiên rồi xét k chẵn và k lẻ. Bài 3: Chứng minh với mọi X, y

a) X2 - xy + y2 + 1 > 0. b) 4x2 + 4y2 + 6x + 3 > 4xy1 3

, HD: a) Ta có: X2 - xy + y2 + 1 > 0 (x - ^ y)2 + ~ y2 + 1 >0: đúng.

b) Lập hiệu số, ta có

4X2 + 4y2 + 6x + 3 - 4xy = (x2 - 4xy + 4y2) +3(x2 + 2x + 1)= (x - 2y) + 3(x + 1) > 0.

Bài 4: Chứng minh:a) Nếu a > 2 thì a3 - 4a2 + 5a - 2 > 0.

, » p. » sA-|- bB 3 -Ị- b A + Bb) Nếu a > b, A > B thì — - -----> — ý —.— ^—

HD:a) Ta có: a3 - 4 a 2 + 5 a - 2 > 0 < = > ( a - 1)(a2 - 3a + 2) > 0

C5>(a —1)(a - 1)(a - 2) > 0 0: Đúng vì a > 2.

b) Ta có: o 2(aA + bB) > (a + b)(A + B)

« 2(aA + bB) > aA + aB + bA + bB

Cí> aA + bB - aB - bẢ > 0

o (a - b)(A - B) > 0: đúng vì a > b, A >.JB.Bài 5: Chứng minh bất đẳng thức SVAC vđi mọi số a, b, e, d:

Iac + bd I < Va2 + b2-Vc2 + d ĩ . HD: Bình phương tương đương.

Bài 6: Chứng minh điều kiện cần và đủ để số tự nhiên n không chia hết cho 5 là n2 + 1 và n2 -1 đều không chia hết cho5.HD: Xét n = 5k ±1, 5k ± 2.

Vấn đề 3. PHƯƠNG PHÁP PHẢN CHỨNG

LÍ TH UY ÉT V À PHƯƠNG PHÁP

Dạng Vx € X, P(x) => Q(x).- G i ả sử tồtl tại Xo e X sao cho P(xs) đúng và Q(x0) sai, tức là giả sử điều kiện chứng minh là một mệnh đề sai.- Dùng suy luận và. kiến thức íoán học đễ đi đến mâu thuẫn.

Đôi khi, ta trình bày khác. Đẻ chứng minh A => B, giả sử B sai, từ đó suy dần đến A sai: trái giả thiết.

Như vậy ta dùng mệnh đề phản đảo: B => A . Cũng như vậy, đễ

ehứng minh một khẳng định p, ta cố thể giả sử p sai rồi suy ra điều vô lí hoặc mâu thuẫn.Chú ý: Dạng số nguyên m theo bội k và dư:- m chẵn (chia hết cho 2) : m = 2k

-ĐS10 - BT&PPG- 21



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




21/150

I

- m lẻ (không chia hết cho 2) : m = 2k + 1- m chia hết cho 3 : m = 3k ^ .- m không chia hết cho 3 : m = 3k + 1 hoặc m = 3k 2, gọp lại

thành m = ăk± 1.- m chia hết cho 5 :m = 5k '- m không chia hết cho 5 : m = 5k +1 hoặc m = 5k + 2, hoặc m - 5k +3,hoặc m - 5k + 4, gộp lại thành m = 5k ±1 hoặc m = 5k±2.

• ICẢC V I DỤịVí du 1: Cho sô tự nhiên n. Chứng minh:

a) Nếu n2 chẵn thì n chẵn.b) Nếu n2 chia hết cho 5 thì n chia hêt cho 5.

Giải

a) Với số tự nhiên n. Giả sử n lẻ.=> n = 2k + 1, k s 2 => n2 = (2k + 1)2 = 4k 2 + 4k + 1.

=> n2 = 2(2k2 + 2) + 1 => n2 lẻ: trái giả thiết.Vậy nếu n2 chẵn thì n chẵn. t

b) Gia sử n2 chia hết cho 5 và n không chia hết cho 5.

Xét n = 5k ± 1, k e N thin2 = (5k ± 1)2 = 25k2 ± 10k + h = 5(5k2 ì 2k) + 1 = 5 k’ + 1 nên n không chia het cho 5. Điều này mâuithuẫn với giả thiết n2 chia hết cho 5.

Xét n = 5k ± 2, k e N thì n2 = (5k ± 2Ý = 25k 2 ± 20 k + 4 = 5(5k2 ± 4k) + 4 = 5 k” + 4 nên n không

chia hết cho 5. Điều này mâu thuẫn vợi giả thiết n2 chia hêt cho 5.Vậy nếu n2 chia hết cho 5 thì n chia hêt cho 5.Vi du 2: Chửng minh:

a) Nếu a + b > 10 thì một trong hai so a và b phảnớn hơn 5.b) Cho n là sổ tự nhiên, nếu 7n + 8 chẵn thì n chẵn.

c) Nếu a và b là 2 số dương thì a + b > 2 >/ãb .Giải

a) Giả sử cả hai số a và b không lớn hơn5 tức !à a < 5 và b < 5, suy ra

a + b < 10, mâu thuẫn với giả thiết.Vậy nếu a + b > 10 thì một trong hai số a và b phải lớn hơn 5.

b) Gia sử n là số tự nhiên lẻ, n = 2k +1 (k e N). Khi đó,7n + 8 = 7(2k + 1) + 8 = 14k + ì 5ià một số lẻ, mâu thuân với giả thiêt. Vậy với n là số tự nhiên, nếu 7n + 8 chẵn thì n chăn.

c) Với a, b dương. Giả sử a + b < 2>/ãb

=> a + b - 2 Jãb {Jã - < 0: vô lí.

Vậy, nếu a và b là 2 số dương thì a + b ằ 2-/ab .

Ví du 3: Chứng minh: ,a) Nếu abc > 0, thì trong 3 số a, b, c có ít nhất một sô dương.b) Nếu X * -1 và y * -1 thì X + y + xy * -1.

-ĐS 10 - BT&PPG-



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




22/150

=> X = -1 hoặc y — 1 (trái giả thiết). Vậ y X + y + xy 5* -1

d u jk Nguyên tắc Dirichlê. Chứngjníinh.

Nếu nhốt nk + 1 con thỏ vào k chuồng (k, n nguyên dương) thi tồn tai một chuông chứa ít nhất n + 1 con.

Giải

Giả sử cả k chuồng đều chứa ít hơn n + 1 con tức là chứa tối đa n con Do đo tông sô thò tối đa trong cả k chuồng là nk con, thieu 1 con: dieu nay mau thuân với giả thiet là nhốt nk + 1 con thỏ vào k chuồng Vậy phải tổn tại một chuồng chứa ít nhất rì + 1 con.

d y_5: Cho hai phương trình: X2 + ax + b = 0 và X2 + cx + d = 0 biếtrăng ac > 2(b + d). Chứng minh rằng ít nhất một trong hai phươngtrình trên có nghiệm.

GiảiPhương trình X2 + ax + b = 0 có A-I = a2 —4b.

Phương trình X2 + cx + d = 0 có A2 = c2 - 4d. '

Giả sử cả hai phương trinh đều vô nghiệm => Ai < 0 và Á2 < 0

Ta có: A, + a 2 = a2 + c2 - 4(b + d). Theo giả thiết ac > 2(b + d) nên'

Ai + Ạ2 > a2 + c2 - 2ac = (a - c)2 > 0: mâu thuẫn

Vậy có ít nhất một trong hai phương trình đã cho có nghiệm.- Chử"9 '™nh: Nếu hai số dương nguyên dương a, b, có tổng bình

phương chia hẽt cho 3, thi cả hai số đó đều chia hết chó 3

GiàiGiả sử a hoặc b không chia hết cho 3

- Xét a và b không chia hết cho 3:

a = 3k ± 1, b = 3m ± 1 => a2 + b2 = (3k ± 1)2 + (3m ± 1 f = 9k2 ± 6k + 9m2 ± 6m + 2 = 3k1+ 2.

-X é t mộtsố chia hết cho 3 còn một số không chia hết cho 3, chẳng han 3 = 3 k , b ■— 3 m ± 1 .

+ b2 = 9kz + (3m ± 1)2 = 9k2 + 9m2 ± 6m + 1 = 3m' + 1

Các ỉrườn3 h(?p đều dẫn đến a2 + b2 không chia hểt cho 3: trái giả thiết.du 7: Chứng minh: y/3 là số vô tỉ.

GiảiTrước hết ta chứng minh mệnh đề:

Vrl € N’ n2 chia h®t cho 3 thì n chia hểt cho 3.Giả sử không chia hết cho 3 => n = 3k ± 1 k e N

=> n2 = (3k ± 1)2 = 9k2 ± 6k + 1 = 3k' + 1

10 - B T & P P G -



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




23/150

=> n2 không chia hết cho 3: trái giả thiết

Áp dụng: Giả sử sfz là số hữu tỉ.

=> V3 = — với n, m nguyên dương, phân số — tối giản

^ V 3 = "

m

mn = 3m (1)

Do đó n2 chia hết cho 3. Theo kết quả trên thì n chia hết cho 3 => n = 3kthế vảcf(1): 9k2 = 3m2 => m2 = 3k2.

Do đó m2 chia hết cho 3 suy ra m chia hết cho 3 nên không tối giảnm

vô lí. Vậy V3 là số vô tì.

Ví du 8: Chứng minh có vô hạn số nguyên tố.

Giải

Giả sử có hữu hạn số nguyên tố, ta có thể sắp xếp n số nguyên tổ nàythành dãy tăng dần 1 < p,< p2 Pii = 1, 2, ... n do đó p không phải là nguyên tố nên p là bội số của sốnguyên tố Pk nào đó.

Mả 1 = p - p1p2...pk nên 1 là bội của Pk => pk = 1: vô lí.Vậy có vô hạn số nguyên tố.

Ví du 9: Cho tam giác ABC. Chứng minh nếu 2 phân giác BM = CN thì tamgiác cân tại A.

GiảiTa chứng minh góc B = c.Giả sử B * c, chẳng hạn B > c nên tồn tại điểm I thuộc đoạn ND để góc IBM = ÍCM

Từ đó tứ giác BIMC nội tiếp được trong đường tròn. Vì góc IBM = ICM

=> góc IBC > BCM '

=> dây Cl > BM => CN > BM: vô lí.

BÀI LUYỆN TẬP

Bài 1: Chứng minh: Nếu a + b > 0 thì có ít nhất một số a hoặc b dương.HD: Giả sử cả a và b đều không dương

=> a < 0 và b < 0 => a + b < 0: trái giả thiết.

Bài 2: Cho số tự nhiên n. Chứng minh:a) Nếu n2 lẻ thì n lẻ. b) Nếu n2 chia hết cho 7 thì n chia hết cho 7

HD: a) Với số tự nhiên n. Giả sử n chẵn => n = 2k, k e Nb) Giả sử n2 chia hết cho 7 và n không chia hết cho 7.

Nếu n = 7k ± 1, k s N thì n2 = 49k2 ± 14k + 1 = 7(7k2 ± 2k) + 1 khôngchia hết cho 7.

’.4 -ĐS 10 - BT&PPG



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




24/150

Nếu n = 7k ± 2, k e N thì n2 = 49k2 ± 28k + 4 = 7(7k2 + 4k) + 4 không chia hết cho 7.

Nếu n = 7k + 3, k e N thì n2 = 49k2 ± 42k + 9 = 7(7k2 ± 6k+1) + 2 không chia hết cho 7.Điều này mâu thuẫn với già thiết r>2 chia hết cho 7.

Bài 3: Chứng minh: a) Nếu a + b < 2 thì một trong hai số a và b phải nhỏ 1.b) Cho n là số tự nhiên, nếu 5n + 4 lẻ thì n lẻ.

HD: a) Giả sử a > 1 và b s 1, suy ra a + b > 2.b) Giả sử n là số tự nhiên chẵn, n = 2k (k e N).

Bài 4: Chửng mình:a) Một tam giác không phải ià tam giác đều thì nó cỏ ít nhất một góc nhỏ

hơn 60°.b) Nếu bỏ 100 viên bi vào 9 cái hộp thì có một hộp chứa ít nhất 12 viên bi.

HD: a) Không mất tính tổng quát, có thề giả sử A > B > c.

b) Giả sử mỗi hộp đều chứa nhiều nhất là 11 viên bi, thế thì 9 hộp chỉ chứa nhiều nhất ià 99 viên bi, trái giả thiết có tất cả. 100 viên bi.

Bài 5: Già sử f(x) = ax2 + bx + c là tam thức bậc hai với hệ số nguyên. Chứng minh rằng: nếu f(x) có nghiệm hữu tỉ thì một trong ba hệ số a, b, c là chẵn. HD: Giả sử a, b, c đều lẻ .thì a = 2k + 1 b = 2m + 1, c = 2n + 1.

Bài 6: Chứng minh J 2 , n/TĨ là số vô tỉ.HD: .Trước hết ta chứng minh mệnh đề:

Vn 6 N, n2 chia hết cho 2 thì n chia hết pho 2.

Vn e N, n2 chia hết cho 11 íhì n chìa hếì cho 11.

Bài 7: Chứng minh 1 - V 2 , V3 + V5 lả số vô tỉ.Bài 8: Chứng minh rng nu s nguyên dương n không phải là một số

chính phương thì là một số vô tỉ.HD: Một số là số chính phương thì trong dạng phân tích số đó thành thừa số nguyên tố, các số mũ cua mỗi luỹ thừa đếu là sốtự nhiên chẵn.Do đó nếu n không phải là số chính phương, thì trong dạng phân tích sổn thành thừa số nguyên tố có ít nhất một thừa số với sô mũ lẻ.

Bài 9: Chứng minh điều kiện cần yà đủ để 1 tứ giác ngoại tiếp được 1đường tròn lả tổng 2 cặp cạnh đối bằng nhau.HD: dùng tính chất các đoạn tiếp tuyến xuất phát từ 1 điểm đến đường tròn thì bằng nhau.

.

-ĐS 10 - BT&PPG- 25



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




25/150

§3. TẬP HỢP VÀ CÁC PHÉP TOÁN

Vấn đề 1. XÁC ĐỊNH TẬP HỢP

• Ịl ỉ t h u y ể t v à p h ư ơ n g p h á p

- Tập hợp là khái niệm cơ bằn của toán học; Thông thưởng tập hợp gồm các phần tử cùng chung một hay vài tính chất nào đó.- Hai cậch cho tập hợp: liệt kê các phần tử của tập hợp, hoặc chỉ rõ các tính chất đặc trưng chõ các phần tử của tập hợp.- Tập rỗng 0 là tập hợp không ehứa phần tử nào.- Biểu đồ Ven: Minh họa trực quan một tập hợp bời một đường khép kín, không tự cắt.

- Tập con: Tập A là tập con của tập B nếu mọi phần tử của tập A đều thuộc tập B. Kí hiệu A c B.- Tập bằng nhau; Hai tập hợp A và B gọi Ịà bằng nhau nếu mọi phần tử

của tập A đều thuộc tập B và ngược lạĩ. Ki hiệu A = B.- Các tập số:

N: Tập hợp số tự nhiên {0, 1, 2,...}.N* = N \{0 }: Tập hợp các số nguyên dượng.Z: Tập hợp các sộ nguyên. %Q: Tập hợp các số hữu tỉ.R: Tập hợp các số thựG.

- Khoảng, đoạn, nửa khoảng;Khoảng (a; b) = {x £ R l a < X < b}.

Đoạn [a; b] = {x 6 R I a < X < b}.

Nửa khoảng [a; b) = {x e R. I a á X < b}.Nửa khoảng (a; b] = {X 6 R Ị a < X < b}.Khoảng (a;+°o) = {x € R lx> a}.Khoấng (-; b) = {x e R IX < b}.Nửa khoang Ịa; +) = {x e R ịx > a}.

Nửa khoảng (- ; b] = {x e R IX < b}.Tập R = (—; +)

Chú ý: i1) Liệt kê các phần từ của tập hợp, không kề thử tự, hai phần tử bằng nhạu chỉ

kê một lần, có thề dùng dấu đề một tả quy luật. Giảiphươngtrình xongphải xem xét nghiệm X thuộc tập hợp số nào đểchọn và lòại. Ta cũng có thethế thử trên tập số nguyên, số tự nhiên để chọn và loại.

2) Xem xét các đặe điềm, tính chất, quy luật,... để nẻu tính chắt đặc trưng.Tính chất đặc trưng có thể khác nhau nhưng khi liệt kê thì 2 tập hợp phải bằng nhau. ,

• ÌCẢC V ỉ DỤ

Ví du 1: Viết mỗi tập hợp sau bằng cách liệt kê các phần tử:a) A = {x e R I (2 x -x 2)(2x2-3 x -2 ) = 0> b)B = {n e N I 3


26/150

Giả!a) Ta giải phương trình: (2x - x2)(2x2 - 3x - 2) = 0

o 2x - X2 = Ũ hoặc 2x2 - 3x - 2 = 01

(x = 0 hoặc X = 2) hoặc (x = ~ hoặc X = 2)

1

Vậy tập hợp A = {0; 2; - }.

b) Với 3 < n2 < 30 và n e N* nên chọn n = 2; 3; 4; 5.Vậy tập hợp B = {2; 3; 4; 5}.

Ví du 2: Viểt mỗi tập hợp sau bằng cách liệt kê các phần từ:a) A = {X 6 z I 2x3 - 3x2 - 5x = 0}b) B = {x I X = 3k với k € 2 và -4 < X < 12}

Giảia) 2x3 - 3X2 - 5x = 0 «• x(2x2 - 3x - 5) = 0

5 X = 0 hoặc X = -1 hoặc x = ■Chọn X e z nên A = {0; -1 }.

b) B = {-3; 0; 3; 6; 9}.Ví du 3: Liệt kê các phần tử của mỗi tập hợp sau:

a) Tập hợp các bội số dương của 4.b) Tập hợp các ước chung của 8 và 20.

Giảia) Tập hợp các bội số dương của 4 là: {4; 8; 12; 16;b) Tập hợp các ước chung của 8 và 20 là {±1; ± 2, +4}.Vi du 4: Viết mỗi tập hợp sau bằng cách nêu tính chất đặc trưng:

a) A = {2; 3; 5; 7; 11; 13}

b) B = {-3; -2; -1 ; 0; 1; 2; 3} c) c = {-5; 0; 5; 10}Giảia) A là tập hợp các số nguyên tố nhỏ hơn 15.b) B là tập hợp các số nguyên có giá trị tuyệt đối không vượt quá 3.c) c lả tập hợp các số nguyên n không nhò hơn -5, không lớn hơn 15 và

chia hết cho 5.Ví du 5: Viết mỗi tập hợp sau bằng cách nêu tính chất đặc trưng:

a)A = {1; 4;7; 10;...} b) B = {1; 2; 3; 4; 6; 9; 12; 18; 36}.Giải

a) A = {x I x = 3n + 1 , n e N} b) B = {n e N Ị X là ước của 36}Ví du 6: Viết tập hợp sau đây theo cách nêu tính chất đặc trưng:

a) Tập hợp các điểm M trên mật phẳng (P), thuộc đường tròn tâm o vàđường kính 2R.

b) Tập hợp các điểm M trên mặt phẳng (P) thuộc trung trực của đoạn AB.

Giải

a) {M e (P) I OM = R}. b) {M 6 (P) I MA = MB}.

Ví du 7: Trong các tập hợp sau, tập nào là tập rỗng?

a) A = {x e R I X2 - X + 1 = 0} b) B = {x e Q I X2 - 4x + 2 = 0}

-ĐS 10 - BT&PPG- 27



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




27/150

c ) c = {X € z I 6 x 2 - 7 x + 1 = 0 } d ) D = {X e z I I X l < 1 }.

Giải

a) x2 - x + 1= 0 c ó A < 0 nên vô nghiêm => A = 0 .

b) X2 - 4x + 2 = 0 có 2 nghiệm X = 2 ± S2 Ễ Q nên B = 0 .

c) 6x2 - 7x + 1 = 0 có nghiệm X = 1 e z nên c * 0 .

d) Chọn X = 0 e z, lol


28/150

Bài 7: Viết tập hợp sau đây theo cách nêu tính chất đặc trưng:a) Tập hợp các điểm M trên mặt phẳng (P), thuộchình tròn tâm o bán kính R.b) Tập hợp các điềm M trên mặt phẳng (P), thuộc miền chứa B được

phân chia bởi trung trực của đoạn AB.

ĐS: a) {M € (P) I OM < R}; b) {M_ e (P) I MA > MB}.

Bẩi 8: Trong các tập hợp sau, tập hợp nào rỗng?

a) A = {xe R / X - 2x + 3 = 0} b) B = { x e Z / (2x + 5)( 7x + 1) = 0}

C) C = { x s N / | x | < 1}

ĐS: a) và b).Bài 9: Xét xem các cách viết sau đây đúng hay sai?

a) 15 e N; -15 Ế Z; - | e Q; 0 e R; 21 Ể Q

b) 0 e 0 ; >/2 € Q; TC € R; 1,6 e Q; V5 e R

ĐS: a) Đ; S; Đ; Đ; s. b) S; S; Đ; Đ;Đ.Bài 10: Cho B là tập hợp các sổ lẻ có 3 chữ số. Hỏi B có bao nhiêu phần tử?

HD: Ta có: B = {101; 103;...; 999}, các phần tử của B hơn kém 2 đơn vị999 -101

nên số phần t ử ------------- + 1 = 500 (số).

Vấn đề 2. PHÉP TOÁN VÈ TẬP HỢP

Lí TH UY ÉT V À PHƯƠNG PHÁP

- Phép hợp: AOB = {x I X e A hoặc X € B}.

Kết quả: ẨU 0 - Ả, AuA - A, AuB = BỎA

- Phép giao: AnB = {x I X e A và X e B}.? Kết quả: A n 0 = 0 , AnA = A, AnB = BnA

- Phép hiệu: A \ B = {x i X e A và X Ể B}.■ Kết quả: A \0 = A, Ẩ \A .= 0 , 0 VA = 0

- Phần bù của A trong E:Nếu A c E thì CeA = (x I X 6 E và X Ể A}Kết quả: CeA = E \ A , CE0 = E, CeE = 0■ Chú ý: _ - —

1) Sử dụng định nghĩa cáe phép toán u, n , \,... Nếu có một biểu thức chứa nhiều phép toán, ta phải thực hiện phép toán trọng ngoặc trước.

2) [a; bj = {a} u (a; b) u{b}; [a; b) = {a }u (a; b)(a;b] = (à ;b )u{ b}; (a ;b) = [a;b]V{a;b}

3) Minh hoạ trên trục số. Hơn nữa, muốn tìm hợp, giao, hiệu của các đoạnhoặc khoảng ta biểu diễn các đoạn hoặc khoảng trêntrụcOx bời cácđoạn thẳng kể hoặc không kề cắc điểm đầu mút bằngcáchgạch sọcđoạn thẳng này.A n 8: Phần g '»ch sọc chung của A và B.A u B: Phàn gạch sọc chung của A họặc B.A\B: Ph;; gạch sọc của A bớt đi phần gạch sọc bời B.

-ĐS 10 - HĨỞ.PPG- 29



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




29/150

CÁC v í DỤ

Ví du 1: Cho các tập hợp: A = {1 ;2;3;4}, B = {2;4;6;8} và c = {3;4;5;6}. Tìm các tập AuB, AuC, BuC, AnB, ÁnC , b A c , (AỨB) n C , A u (BnC).

GiảiTheo định nghĩa thì ta có: AuB = {1;2;3;4;6;8}

AuC = {1;2;3;4;5;6}; BuC = {2;3;4;5;6;8}AnB = {2;4}, Ar\C = {3;4}, BnC = {4;6}

và (AỪB) n C = {3;4;6}; Ạ u (BnC) = {1 ;2;3;4;6}.Ví du 2: Cho hai tập hợp A vả B dưới đây. Viết tập AoB, AuB bằng hai cách:

a)A = {x IX là ước nguyên dương của 8}

B = {x IX lả ước nguyên dương của 12}.b)A = {x Ịx là bội nguyên dương của 5}

B = {x |x là bội nguyên dương của 7}.Giải

a) AnB = {x IX là ước nguyên dương của 4} = {1; 2; 4}AuB = {x ix là ước nguyên dương của 8 hoặc 12} = {1; 2; 3; 4; 6; 8; 12}.

b) AnB = {x |x là bội nguyên dương của 5} = {5; 10; 15;...;5n;...}AuB = {x IX là bội nguyên dương của 5 hoặc 7}

= {5;7; 10; 14; 15; 20; 21; 25; 28;. }.Vj du 3: :

Cho A = (-3; 5], B = [1; +oo), ộ = (-co; 3] và D = (3; + ).

Xác định: AnB, CnD, A \ B, b L c , Cr A, Cr D.Giải

AnB = [1; 5], CoD = 0 , A VB = (-3; 1), BuC = R CrA = (-; —3] Ư (5; +oo), CrD = (-oo; 3].

Ví du 4: Xác định 2 tập A, B biết rằng:A \ B = {1 ;5;7;8}, B \ A = {2; 10}, A n B = {3;6;9}

GiảiTa dùng biểu đồ Ven ghi các phần tử của tập rời nhau A \ B, B \ A, A n B. Ta có A = (A n B) u (A \ B)B = ( A n B ) u ( B \ A )

Nên A = {1;5;7;8;3;6;9}; B = {2;10,3;6;9}.Ví du 5: Cho hai đoạn A - [a; a + 2], B = [b; b + 1]Các số a, b thoà điều kiện gì đề A n B * 0

GiảiTa xét trường hợp ngược lại A n B = 0 Điều kiện để A n B = 0 là:a + 2 < b hoặc b + 1 < a, tức là a < b - 2 hoặc a > b + 1.Từ đó suy ra điều kiện để AnB * 0 l à b - 2 < a < b + 1 .

30 -Đ S10 - BT&PPG-



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




30/150

Ví du 6. Cho hai khoảng A = (m; m + 1) và B = (3; 5). Tìm m đề AuB là một khoảng. Hãy xác định khoảng đó.

Giải

Đ ể ý 5 - 3 = 2v à( m + 1 ) - m = 1. Xét các trường hợp:Nếu m < 2 thì m < m + 1 ắ 3 < 5. Do đó, AuB không là một khoảng.

Nếu 2 < m,;< 3 thì 2 < m < 3 < m + 1 < 5. Do đó, A u B là khoảng (m; 5). Nếu 3 < m < 4 thì 3 < m < m + 1 < 5. Do đó, A u B là khoảng (3; 5).Nếu 4 < m < 5 t h ì 3 < m < 5 < m + 1.Dođó, A u B l à khoảng (3; m +■1). Nếu 5 < m thì 3 < 5 < m < m + 1. Do đó, A u B không phải là một khoảng.

Vậy nểu 2 < m < 5 thì A u B là một khoảng.Ví du 7: Cho A = {1;2;3} và B = {1;2;3;4;5}. Tìm tất cả các tập hợp X sao

cho: AuX = B.Giải

Dùng biểu đổ Ven, ta có các tập X phải chứa 2 phần tử 4, 5 và có thể có hoặc không các phần tử 1; 2; 3 còn lậi. Vậy 8 tập X cần tìm là: {4;5},{1 ;4;5},

{2;4;5},{3;4;5}, {1;2;4;5}, {1;3;4;5}, {2;3;4;5} và {1;2;3;4;5}.Ví du 8: Cho A, B là hai tập hợp. Hãy xác định các tập hợp sau:

a) (A n B)uA; b ) ( A u B) nB ; c) (A\ B)u B; d) (A \ B)n(B \ A)Giải

Dùng biểu đồ Ven, ta có:

a) (A n B) u A = A b) (A u B) n B = B

C) ( A \ B ) u B = A u B d ) ( A \ B ) n ( B \ A ) = 0 .Ví du 9 : Kí hiệu số phần tử n của một tập hợp hữu hạn A là Ia I = n. Chứng

minh: ỈA u Bl = Ia | + Ị b | - l A n B l

Giải ATa dùng biểu đồ Ven và ghi số phần tử trong dấu ngoặc, Ịa \b Ị = k,

| B \ A | = m , l A n B l = t .

Vì các tập A \ B, B \ A, A n B đôi một không có phần tử nào chung nên:

Ịa I = k + t, lBỈ = m + t

Do đó |a | + I B| - ÌA o b | = k + 1+ m + 1- 1 = k + 1+ m Rõ ràng Ia u b I = k + 1+ m nên có đpcm Kết quả:

|A \B| < |A | , lAnBl < Ia I, Ia | < | A u B|Ia I = |A\B| + lAọBl, IAr%BI = |a | + !BỈ - | A u B|.

N ể u A n B = 0thì lA u B l = |A| + |B| .

BÀI L UYỆ N TẬPBài 1: Cho A = {0; 1; 2; 3; 4}, B = {2; 3; 4; 5; 6}

a) Tìm các tập A \ B, B \ A, AuB,

b) Tìm các tập (A \ B) u (B \ A), (A \ B) n (B \ A)ĐS: a ) A \ B = {0; 1}; B \ A = {5;6}

-ĐS 10 - BT&FPG- 31



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




31/150

AuB = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6}; AnB = {2; 3; 4}b) (A \ B) u (B \ A) = {0; 1; 5; 6}; (A \ B) r\ (B \ A) = 0 .

Bài 2: Cho tập hợp A các ước số tự nhiên của 18 và tập hợp B các ướctự nhiên của 30. Xác định A, B, AuB, AnB, A \ B, B \ A.HD: A = {1;2;3;6;9;18}vàB = {1;2;3;5;6;10;15;30}nên:

AnB = {1;2;3;6}, AuB = {1;2;3;5;6;9;10;15;18;30}. A \ B = {9; 18}; B \ A = {5;10; 15,30}.

Bàì 3: ChaA = {x eZ I I x| < 3} và B = {te N / (t2- 1)(t - 3) = 0}.Xác định A u B, A n B, A\ B, B \ A.HD: Chú ý tập xác định.

Bài 4: Cho đoạn A = [-5; 1] và khoảng B = (-3; 2). Xác định A u B , A n BA \ B C r B.

ĐS: A u B = [-5; 2), A n B = (-3; 1]

A \ B = [-5; -3], Cr B = R \ B = (-ca; -3 ] u [2; +oo).Bài 5: Cho A = [1;5) và B = {1; 2; 3; 4; 5}

a) Xác định A u B, A n B; b) Xác định A\ B, B\A, R \ A và R \

ĐS: a) A u B = [1; 5], A n B = {1; 2; 3; 4}.Bài 6: Cho A = (-co; m] và B =[5; +oo). Biện luận theo m, tập:

a) A n B b) A \ BHD Xét m < 5, m = 5, m > 5.

Bài 7: Cho A = {xe R / 1X + 4 I < 6} và B = [m - 7; m + 7], Tìm m đề:

a) A u B là 1 đoạn b) A n B chỉ có 1 phần tử

ĐS: b) m = - 17 hoặc m = 9.Bài 8: Một lớp học có 25 học sinh học khá các môn tự nhiên, 24 học si

học khá các môn xã hội, 10 học sinh học khá cả các môn tự nhiên và hội, 3 hộc sinh không học khá cả. các môn tự nhiên và xã hội.

a) Lớp học đó có bao nhiêu học sinh học khá các môn tự nhiên nhưkhông học khá các môn xã hội? Có bao nhiêu học sinh học khá cmôn xã hội nhưng không học khá các môn tự nhiên?

b) Lớp học đó có bao nhiêu học sinh?ĐS: b) Số học sinh của iớp học đó là: 39 + 3 = 42.

Bài 9: Kí hiệu số phần tử n của một tập hợp hữu hạn A là Ị A| = n.Chứng minh:

lAuBuCl = Ia I + Ib I + l c l - l A n B l - l B n A l - I pr ^A l + l A n B n CHD: Ta dùng biều đồ Ven và ghi số phần tử trong dấu ngoặc của c

phần phân chia.Vấn đề 3. TÂP CON , TÃP BẢNG NHAU

• Ịl Í T H U Y Ẻ T V à PHỮƠNG p h á p

- Tập con: Tập A là tập con của tập B nếu mọi phần tử của tập A thuộc tập B. Kí hiệu A c B .

A c B Vx, X e A => X e B.

32 -ĐS10 - BT&PPG



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




32/150

-Tập bằng nhau:Hại tập hợp A và B gọi là bằng nhau nếu mọi phần tử cùa tậ|» A đều thuộc tập B và ngược lại. Kí hiệu A = B. .

A = B Vx, X e A X s B vChú ý:

1) Tập A không phải là tập con của tập B khi có ít nhất một phần tử của A ma không thuọc tập B.11ICI r\i IUI i y .11lu ụ is lạ p u .

2) Khi liệt kê ỉa thường kê từ tập con có số phần tử ít nhất (tập 0 ) đển tậpcon có số phần tử nhiều nhất (là A). Nếu |a | = n thì cỏ 2" tập con của tập A. Đặt A = { X i , x2......xn} và xét B c A ..Tập con B có thể chửa Xi hoặc không chứa x1: 2 cách chọn.Tương tự các phần tử x2, x3,..., Xn đều có 2 cách chọn có thuộc tập con hay không. Do đó số các tập củá A bằng số cách chọh iựa trên:

2.2...2 = 2 . '-VTồng quát, tổng số các tập con có 0, 1, 2,..., n phần tử của tập A có n

phầntừ: r + n , I •

' ■■ .. ' 1-2 1.2.33) Các tập sp N* c N c Z c; Q c: R. .

CÁC v í DỤVí du 1: Tìm tât cả các tập hợp con của tập:.

a)A = {a} b) B = {1,2} c) c = {x; y; z} d) D = {a;b;c;d}Gi�

Documents

ĐẠI SỐ 10 BÀI TẬP & PHƯƠNG PHÁP GIẢI - LÊ HOÀNH PHÒ (TRÍCH ĐOẠN)