DAFTAR ISI - Rumahtematika | … · Web view... yaitu sudut HAD, seperti pada gambar 1 Titik tembus GA dan ABCD adalah titik A. Proyeksi G pada ABCd adalah titik C (buktikan bahwa

DIKTAT GEOMETRI

DISUSUN UNTUK PERKULIAHAN GEOMETRI PADA PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA

FKIP UNIVERSITAS SRIWIJAYA

PENYUSUN:Nyimas Aisyah

UNIVERSITAS SRIWIJAYAFAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

INDERALAYA2009

DAFTAR ISI

Halaman

BAB 1 : Lukisan Dasar ........................................................................................

A. Melukis Sudut .......................................................................................

Latihan ..........................................................................................................

B. Melukis Garis ............................................................................................

Latihan ..........................................................................................................

C. Melukis Segitiga .......................................................................................

Latihan ..........................................................................................................

D. Melukis Bangun Ruang ............................................................................

BAB 1 : Bangun Ruang .......................………..……............................................

A. Bangun Ruang Sisi Datar .........................................................................

Latihan .........................................................................................................

B. Bangun Ruang Sisi Lengkung .................................................................

Latihan .........................................................................................................

BAB 3 : Bangun Datar .......................…….…..……............................................

A. Bangun Datar Segitiga .............................................................................

Latihan .........................................................................................................

A. Bangun Datar Segiempat .........................................................................

Latihan .........................................................................................................

BAB 4 : Geometri Dimensi Tiga ........…….…..……............................................

A. Kedudukan Titik, Garis, dan Bidang dalam Ruang ..................................

B. Proyeksi .....................................................................................................

C. Jarak .........................................................................................................

D. Sudut .........................................................................................................

BAB V: IRISAN BIDANG .................................................................................

A. Menggambar Irisan Bidang dengan Sumbu Afinitas .............................

B. Menggambar Irisan Bidang Menggunakan Perpotongan Bidang Diagonal

C. Menggambar Irisan Bidang Menggunakan Perluasan Bidang Sisi

D. Menggambar Irisan Bidang Menggunakan Bidang Diagonal pada Limas

E. Menggambar Irisan Bidang Menggunakan Perluasan Bidang Tegak

DAFTAR PUSTAKA ...........................................................................................

1

1

6

7

10

11

13

12

14

14

23

26

31

31

31

36

37

41

42

42

45

51

60

65

65

68

70

73

74

78

ii

iii

BAB 1

LUKISAN DASAR

A. MELUKIS SUDUT

1. Melukis Sudut yang Sama Dengan Sudut yang Diketahui

Untuk melukis suatu sudut yang besarnya sama dengan sudut lain dapat ditempuh

dengan beberapa cara. Salah satu cara yang paling mudah adalah dengan mengukur sudut yang

diketahui dengan menggunakan busur derajat. Namun cara ini kurang tepat terutama apabila

pengukurannya kurang teliti. Agar hasil yang diperoleh lebih baik, maka alat bantu yang

digunakan sebaiknya adalah jangka dan mistar. Adapun langkah-langkah untuk melukis sudut

yang sama dengan sudut yang diketahui adalah sebagai berikut.

Diketahui: Sudut A

Lukislah: Sudut B = sudut A

Langkah-langkah melukis:

1. Buat busur lingkaran dengan titik pusat A memotong kedua kaki sudut di C dan D.

Pindahkan busur itu di B memotong garis l di titik E.

2. Buat busur lingkaran dengan titik pusat C melalui titik D. Pindahkan busur itu pada titik

E, sehingga memotong busur pertama tadi di titik F.

3. Tarik garis m memotong titik B dan titik F. Garis l dan m adalah kaki sudut. Sudut B

sama besar dengan sudut A.

1

2. Melukis Sudut-sudut Istimewa

Untuk melukis sudut-sudut istimewa, sebenarnya Anda dapat menggunakan

penggaris dam busur. Namun untuk mendapatkan hasil yang lebih baik lagi, Anda dapat

menggunakan penggaris dan jangka. Adapun langkah-langkah untuk melukis sudut-sudut

istimewa tersebut adalah sebagai berikut.

(a) Sudut 90o (Sudut Siku-siku)

Diketahui: garis l dan titik A

Lukislah: Sudut A = 90o

Langkah-langkah melukis (Cara I):

1. Buat busur lingkaran dengan titik pusat A memotong garis l di B.

2. Pindahkan busur itu ke titik B sehingga memotong busur pertama di C.

3. Pindahkan busur itu ke titik C sedemikian hingga memotong garis yang ditarik melalui titik

B dan C di titik D.

4. Tarik garis m melalui A dan D, maka didapatlah sudut A = 90o (siku-siku).

Langkah-langkah melukis (Cara II):

1. Buat lingkaran sembarang yang memotong garis l di titik A dan B.

2. Tarik garis tengah lingkaran itu melalui titik B dan memotong lingkaran di C

3. Tarik garis m melalui A dan C, maka didapatlah sudut A = 90o (siku-siku).

2

Langkah-langkah melukis (Cara III):

1. Buat busur lingkaran dengan pusat titik A hingga memotong garis l di B dan C.

2. Buat busur lain dengan pusat di titik B

3. Pindahkan busur itu ke titik C hingga keduanya berpotongan di D.

4. Tarik garis m melalui A dan D, maka didapatlah sudut A = 90o (siku-siku).

(b) Sudut 60o

Diketahui: garis l dan titik A pada l.

Lukislah: sudut A = 60o


1. Buat busur sembarang dengan titik pusat A dan memotong garis l di B.

2. Pindahkan busur itu ke titik B dan memotong busur pertama di C.

3. Tarik garis m melalui A dan C, maka didapat sudut A = 60o.

(c) Sudut 45o




1. Ambil titik B sembarang pada garis l.

2. Buat garis t tegak lurus l melalui B

3. Buat busur lingkaran dengan jaris-jaris BA dan titik pusat B yang memotong garis l di C.

3

4. Tarik garis m melalui A dan C, maka didapat sudut A = 45o.

(d) Sudut 30o




1. Buat busur sembarang dengan titik pusat A dan memotong garis l di B.

2. Pindahkan busur itu ke titik B dan memotong busur pertama di C.

3. Pindahkan lagi busur itu ke titik C hingga memotong busur kedua di D

4. Tarik garis m melalui A dan D, maka didapat sudut A = 30o.

Latihan1. Lukislah dengan cermat ketiga garis tinggi segitiga lancip.?

2. Lukislah sudut yang sama besar dengan sudut-sudut di bawah ini.

(a) (b) B

A

3. Lukislah jajargenjang ABCD dengan panjang sisi berdekatan masing-masing 6 cm dan

10 cm. Kedua sisi ini mengapit sudut 60o.

4

B. MELUKIS GARIS

1. Melukis Sebuah Garis Tegak Lurus

Untuk melukis sebuah garis tegak lurus dengan garis lain yang melalui titik di luar

garis lain itu sebenarnya dapat Anda lakukan dengan menggunakan sepasang penggaris siku-

siku saja. Namun untuk mendapatkan lukisan yang lebih baik, Anda dapat menggunakan satu

penggaris dan jangka. Adapun langkah-langkah untuk melukis garis tegak lurus dengan

menggunakan jangka adalah sebagai berikut.

Diketahui: garis l dan titik A di luar garis l.

Lukislah: garis m l melalui A


1. Buat busur sembarang dengan pusat A hingga memotong garis l di B dan C.

2. Pindahkan busur itu ke B dan C sehingga didapat perpotongan busur di D.

3. Tarik garis melalui A dan D, maka didapat garis m garis l.

2. Melukis Dua Garis yang Saling Sejajar

Untuk melukis dua garis yang sejajar dengan garis lain melalui yang diketahui

sebenarnya dapat Anda lakukan dengan menggunakan sebuah penggaris siku-siku dan sebuah

penggaris biasa. Namun untuk mendapatkan lukisan yang lebih baik, Anda dapat menggunakan

satu penggaris dan jangka. Adapun langkah-langkah untuk melukis dua garis yang saling sejajar

dengan menggunakan jangka adalah sebagai berikut.

Diketahui: garis l dan titik A di luar garis l.

Lukislah: garis m // l melalui A

5


1. Buat garis sembarang melalui A dan memotong garis l di B.

2. Lukis sudut dengan A sebagai titik sudut yang besarnya sama dengan sudut B dan

berseberangan dengannya.

3. Didapatlah garis m // l

3. Melukis Sebuah Garis Bagi Sudut

Garis Bagi Sudut adalah garis yang ditarik dari salah satu titik sudut dan membagi

sama besar sudut tersebut. Adapun langkah-langkah melukis garis bagi sudut tersebut adalah

sebagai berikut.

Diketahui: sudut A

Lukislah : garis bagi sudut A


1. Lukis busur lingkaran dengan pusat A dan jari-jari r1, sehingga busur tersebut memotong

kaki-kaki sudut A di titik B dan C.

2. Lukis busur lingkaran dengan pusat B dan C, jari-jari r2, sehingga kedua busur

berpotongan di titik D.

3. Lukis garis yang melalui titik A dan D, maka didapat garis bagi sudut A.

6

4. Melukis Garis Sumbu Sebuah Ruas Garis

Garis Sumbu sebuah ruas garis adalah garis tegak lurus terhadap ruas garis yang

diketahui dan memotong sama panjang ruas garis diketahui tersebut. Untuk melukis sumbu ruas

garis ini diperlukan penggaris dan mistar, dengan langkah-langkah sebagai berikut.

1. Diketahui ruas garis AB

2. Lukis dua busur lingkaran masing-masing di atas dan di bawah ruas garis AB dengan

pusat A dan jari-jari r.

3. Dengan cara yang sama lukis pula dua busur lingkaran dengan pusat B dan jari-jari r,

sehingga busur yang terletak di atas ruas garis AB berpotongan di titik K dan busur yang

terletak di bawah ruas garis AB berpotongan di titik L.

4. Hubungkan K dan L, maka didapat garis KL yang merupakan sumbu ruas garis AB.

5. Membagi Ruas Garis Menjadi n Bagian yang Sama Panjang

Untuk menjamin ketepatan pembagian garis menjadi n bagian yang sama panjang,

maka sebaiknya digunakan penggaris dan jangka. Adapun langkah-langkah membagi ruas garis

tersebut adalah sebagai berikut.

Diketahui: garis AB

Lukislah : pembagian AB menjadi 5 bagia yang sama panjang


1. Buatlah garis g sembarang melalui salah satu ujung ruang garis AB (misalkan di A)

dengan membentuk sudut tertentu (tidak nol) dengan AB.

2. Dengan menggunakan jangka, lukiskan pada garis g titik C, D, E, F, G sedemikian

hingga AC = CD = DE = EF = FG.

7

3. Hubungkan B dan G.

4. Lukiskan garis-garis sejajar GB, yang masing-masing melalui titik-titik C, D, R, F.

Misalkan garis-garis ini memotong AB berturur-turut di K, L, M, dan N.

5. Maka didapatlah pembagian AB menjadi 5 bagian yang sama panjang.

LatihanKerjakan latihan berikut ini!

1. Bagilah garis AB = 6 cm menjadi 6 bagian yang sama panjang.

2. Lukislah garis berat melalui A dan garis bagi melalui B pada Δ ABC tumpul.

3. Lukislah sudut 15o

4. Lukislah belahketupat PQRS, dengan ketentuan sebagai berikut.

a. Salah satu diagonal belahketupat adalah garis g

b. Titik P di luar g

c. P merupakan salah satu titik sudut belahketupat.

5. Lukislah ruas garis yang panjangnya 3/5 dari panjang ruas garis AB = 7 cm.

8

C. MELUKIS SEGITIGA

Untuk melukis segitiga yang diketahui unsur-unsurnys tidak dapat hanya dengan

menggunakan penggaris saja. Anda mungkin tidak akan mengalami kesulitan untuk mengukur

sisi pertama dan kedua, tetapi akan mengalami kesulitan pada saat melukis sisi yang ketiga

segitiga sesuai dengan ukuran yang ditetapkan. Oleh karena itu penggunaan penggaris dan

jangka menjadi keharusan.

1. Melukis Segitiga Jika Diketahui Sisi-sisinya

Diketahui: ruas garis a, b, c

Lukislah : segitiga yang sisi-sisisnya a, b, c


1. Buat ruas garis a = BC

2. Buat busur lingkaran dengan pusatnya salah satu ujung garis a jari-jarinya = b.

3. Buat busur lingkaran dengan jari-jari c dan pusatnya terletak pada ujung lain garis a.

4. Kedua busur tadi berpotongan di A.

5. Maka didapat Δ ABC dengan sisi-sisi a, b, c.

2. Melukis Segitiga Jika Diketahui Sisi, Sudut, Sisi

Diketahui: ruas garis a, sudut α, dan ruas garis b

Lukislah : segitiga


1. Buat ruas garis b = AB

2. Ukur sudut α pada titik B

3. Ukur ruas garis a pada garis yangdidapat, maka didapat Δ ABC.

9

3. Melukis Segitiga Jika Diketahui Sudut, Sisi, Sudut

Diketahui: sudut α, ruas garis a, dan sudut β

Lukislah : segitiga


1. Buat ruas garis a = BC

2. Dengan menggunakan busur derajat, ukur sudut α dengan A sebagai titik sudut dan ukur

sudut β dengan dan B sebagai titik sudut.

3. Dari pengukuran sudut α dan β didapat dua garis yang berpotongan di C.

4. Maka didapat Δ ABC.

4. Melukis Segitiga Jika Diketahui Sisi, Sisi, Sudut

Diketahui: ruas garis a, b dan sudut α

Lukislah : segitiga


1. Buat garis a = BC

2. Ukur sudut α pada titik C dengan menggunakan busur derajat.

10

3. Gambar busur lingkaran dengan pusat B dan jari-jari r, sehingga meotong kaki sudut C

di titik A (Selain A ada titik lain, makakah itu?)

4. Tarik garis BA, maka didapat Δ ABC.

Lukisan (Silahkan Anda coba!)

Latihan

Kerjakan latihan berikut ini!

1. Lukislah Δ ABC, jika diketahui AB = 6 cm, ABC = 75o dan BC = 7,5 cm.

2. Lukislah segitiga siku-siku samakaki dengan panjang kakinya 5 cm

3. Lukislah segitiga samasisi dengan panjang sisi 6 cm.

4. Lukislah Δ ABC, jika diketahui AB = 7 cm, BC = 3 cm, dan BCA = 100o

5. Lukislah Δ ABC, jika diketahui ABC = 60o, BC = 4 cm, dan BCA = 95o.

6. Lukis suatu Δ ABC jika diketahui

a. panjang alasnya AB adalah a satuan

b. tinggi dari titik C ke AB adalah t satuan

c. panjang salah satu kaki (BC) adalah b satuan

7. Lukis suatu Δ ABC jika diketahui

a. panjang alasnya AB adalah a satuan

b. panjang garis tinggi dari C sama dengan t satuan

c. besar sudut puncak C adalah α

8. Hidayat melakukan permainan pada suatu kegiatan pramuka. Hidayat harus menemukan

sebuah benda. Untuk menemukan benda tersebut, Hidayat harus berjalan sejauh 10 langkah

ke depan kemudian berjalan 15 langkah ke arah Tenggara. Setelah mendapatkan benda

tersebut, Hidayat berjalan kembali ke tempat semula. Gambarkan perjalanan Hidayat untuk

mendapatkan benda tersebut sampai kembali ke tempat semula.

11

D. MELUKIS BANGUN RUANGBangun ruang dapat dilukiskan pada bidang datar. Untuk mendapatkan hasil lukis yang

proporsional ada beberapa langkah dan istilah yang diperlukan. Istilah-istilah tersebut adalah

sebagai berikut.

1. Bidang frontal adalah bidang gambar.

2. Bidang ortogonal adalah bidang yang tegak lurus dengan bidang frontal.

3. Garis frontal adalah garis yang terletak pada bidang frontal.

4. Garis ortogonal adalah garis yang tegak lurus terhadap bidang frontal.

5. Sudut surut adalah sudut antaraa bidang frontal dan ke arah kiri ke bidang ortogonal.

6. Perbandingan proyeksi adalah perbandingan panjang garis pada lukisan dengan

panjang garis yang sebenarnya.

Sedangkan langkah-langkah untuk melukiskan kubus adalah sebagai berikut.

1. Lukis bidang frontal dengan ukuran yang sebenarnya.

2. Cari panjang salah satu garis ortogonal dengan menggunakan perbandingan proyeksi.

3. Pada bidang frontal, tentukan titik yaang menjadi titik pertemuan antara garis frontal

dengan garis ortogonal.

4. Dengan menggunakan sudut surut dan ukuran garis ortogonal (langkah 2), buat garis

ortogonal.

5. Buat garis ortogonal lain.

6. Hubungkan titik-titik ujung dari garis ortogonal.

Contoh:

Lukislah kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 4 cm. Perbandingan proyeksinya ⅓, dan

sudut surutnya 450 serta bidang ABFE sebagai bidang frontalnya.

Langkah-langkah melukiskan kubus ABCD.EFGH di atas sebagai berikut.

1. Buat bidang frontal, yaitu bidang ABFE dengan ukuran 4 cm x 4 cm.

2. Salah satu garis ortogonal adalah AD, dengan panjang AD yang sebenarnya 4 cm.

Panjang AD pada lukisan = ⅓ x 4 cm = 1⅓ cm.

3. Titik A adalah titik pertemuan antara garis frontal AB dangaris ortogonal AD.

Pada titik A ini akan dibuat garis ortogonal dengan menggunakan busur derajat.

4. Letakkan titik tengah busur derajat berimpit dengan titik A.

Dari garis frontal AB, tentukan arah 450 berlawanan arah dengan jarum jam, beri tanda.

Tarik garis dari titik A ke tanda yang sudah diberi tadi, ukur dari titik A tersebut garis

sepanjang 1⅓ cm. Itulah garis AD.

12

5. Buatlah garis ortogonal lainnya yaitu, EH, BC, dan FG dengan ukuran 1⅓ cm.

6. Hubungkan titik D dengan titik C, titik C dengan titik G, titik G dengan titik H, dan titik

H dengan titik D, sehingga terbentuklah kubus ABCD.EFGH.

Contoh 2:

Diketahui kubus KLMN.PQRS berukuran 6 cm. Lukislah kubus tersebut dengan bidang LMRQ

sebagai bidang frontal, dengan perbandingan proyeksi ⅓ dan sudut surutnya 600.

Langkah-langkah melukis kubus KLMN. PQRS:

1. Bidang frontal adalah bidang ………., dengan ukuran ………….

2. Salah satu garis ortogonal adalah ……….. .

Panjang LK yang sebenarnya adalah ……….

Panjang LK pada lukisan adalah = ……..……..…….

3. Titik pertemuan garis frontal LM dengan gais orogonal LK adalah titik ……. .

4. Letakkan titik tengah busur berhimpit dengan titik …..

Dari garis frontal horizontal LM. Ditentukan arah ……. berlawanan arah dengan arah

jarum jam, dan diberi tanda. Tarik garis dari titik L ke tampat yang telah diberi tanda tadi.

Ukur dari titik L garis sepanjang 2 cm dan beri nama titik …… .

5. Buat garis ortogonal yang lain yang sejajar dengan LK yaitu:

………………………….

6. Hubungkan titik ……. dengan titik ……. ; titik ……. dengan titik ……. ; titik

……. dengan titik ……. ; dan titik ……. dengan titik ……. .

Latihan

Kerjakan latihan berikut ini!

1. Diketahui limas segiempat beraturan T.ABCD dengan ukuran alasnya 4 cm dan tinggi 6

cm. Titik K berada di tengah-tengah AD dan titik L berada di tengah-tengah BC. Bidang

KLT sebagai bidang frontal, garis KL sebagai garis frontal horizontal dengan sudut surut

600 dan perbandingan proyeksinyaa ½. Lukislah limas tersebut.

2. Diketahui bidang empat beraturan T.ABC dengan TA = AB = 4 cm, D pertengahan

rusuk BC. Lukislah bidang empat tersebut dengan bidang TAD frontal, AD horizontal,

sudut surut 60o , dan perbandingan orthogonal .

13

BAB 2

BANGUN RUANG

A.Bangun Ruang Sisi Datar1. Macam-macam Bangun Ruang Sisi Datar

a. Bangun Ruang Bidang Banyak

Suatu bangun ruang yang dibatasi oleh bidang-bidang datar disebut bidang banyak

(polihedron). Poligon yang membatasi polihedron ini disebut bidang sisi (permukaan). Segmen

garis yang merupakan perpotongan dua bidang sisi disebut rusuk, dan titik ujung rusuk

merupakan titik-titik sudut bangun ruang tersebut. Titik sudut merupakan titik persekutuan tiga

atau lebih rusuk bangun ruang. Beberapa contoh bangun ruang bidang banyak ini adalah bidang

empat (memiliki empat bidang batas), bidang enam (memiliki enam bidang batas), bidang dua

belas (memiliki dua belas bidang batas), dan lain-lain. Perhatikan Gambar 4.1 berikut.

D

A C B

Gambar 4.1. Bidang Empat

Gambar 4.1 merupakan Bidang Empat ABCD.

Bidang batasnya adalah ABC, ABD, BCD, dan ACD.

Rusuknya adalah AB, BC, AC, AD, BD, dan CD

Titik sudutnya adalah A, B, C, D.

Dalam kehidupan sehari-hari, banyak sekali bangun-bangun ruang bidang banyak yang

diujudkan dalam bentuk benda ruang yang dimanfaatkan manusia untuk keperluan sehari-hari.

Beberapa contohnya dapat Anda lihat pada Gambar 4.2 dan Gambar 4.3 berikut.

14

Gambar 4.2 adalah sketsa gambar aquarium terbuat dari kaca. Benda ini berbentuk bidang dua

belas, karena memiliki 12 bidang batas berupa 8 persegi dan 4 segienam beraturan.

Gambar 4.3 adalah sketsa gambar rumah. Benda ini berbentuk bidang tujuh, karena memiliki 7

bidang batas berupa 5 persegi panjang dan 2 segilima.

Pada bagian selanjutnya akan dibahas lebih mendalam beberapa contoh bangun ruang

bidang banyak seperti bidang banyak beraturan, prisma, limas, dan prismoide.

b. Bidang Banyak Beraturan

Bidang banyak ada yang dibatasi oleh satu macam segibanyak, tetapi ada juga yang

dibatasi oleh beberapa macam segibanyak. Jika pembatas hanya terdiri dari satu macam

segibanyak beraturan saja dan kongruen satu sama lain, maka bidang banyak ini dinamakan

bidang banyak beraturan.

Bidang banyak beraturan adalah bangun ruang yang dibatasi oleh sejumlah poligon

beraturan kongruen yang sama pada setiap titik sudutnya. Karena pada setiap titik sudut bertemu

paling sedikit tiga rusuk, maka sudut poligon haruslah kurang dari 120o (Mengapa?). Berarti

poligon pembentuk yang mungkin hanya segitiga samasisi (3, 4, atau 5 segitiga samasisi pada

setiap sudut). Dengan demikian hanya ada lima jenis bidang banyak beraturan yang dikenal

sebagai Platonic. Perhatikan Gambar 4.4 berikut.

15

Gambar 4.4. Bidang Banyak Beraturan

a. Gambar 4.4. (i) adalah gambar bidang empat beraturan (tetraeder). Bangun ini

dibatasi oleh empat daerah/bidang segitiga kongruen. Pada setiap titik sudut terdapat tiga

bidang segitiga samasisi dan tiga rusuk.

b. Gambar 4.4. (ii) adalah gambar bidang enam beraturan yang lebih dikenal

sebagai kubus (hexaeder). Bangun ini dibatasi oleh enam daerah persegi kongruen. Pada

setiap titik sudut terdapat tiga bidang persegi dan tiga rusuk.

c. Gambar 4.4. (iii) adalah gambar bidang delapan beraturan (octaeder). Bangun ini

dibatasi oleh delapan segitiga kongruen. Pada setiap titik sudut terdapat empat bidang

segitiga samasisi, dan empat rusuk.

d. Gambar 4.4. (iv) adalah gambar bidang duabelas beraturan (icosaeder). Bangun

ini dibatasi oleh duabelas segilima. Pada setiap titik sudut terdapat tiga bidang segilima

beraturan, dan tiga rusuk.

e. Gambar 4.4. (v) adalah gambar bidang duapuluh beraturan (dodecaeder).

Bangun ini dibatasi oleh duapuluh segitiga kongruen. Pada setiap titik sudut terdapat lima

bidang segitiga samasisi, dan lima rusuk.

c. Prisma

Prisma adalah bidang banyak yang dibatasi oleh dua poligon yang sejajar dan

beberapa bidang lain yang berpotongan menurut garis-garis sejajar. Dua poligon sejajar tersebut

masing-masing adalah bidang alas dan bidang atas, sedangkan bidang-bidang sisi lainnya

disebut bidang tegak. Setiap sisi poligon bidang atas (garis potong bidang atas dan sisi tegak)

disebut rusuk tegak, dan setiap sisi poligon bidang alas disebut rusuk alas. Rusuk-rusuk lainnya

disebut rusuk tegak. Jarak antara bidang atas dan bidang alas prisma disebut tinggi prisma.

Perhatikan Gambar 4.5 berikut.

16

(i) (ii) (iii) (iv)

Gambar 4.5. Prisma

a. Gambar 4.5. (i) adalah gambar prisma miring. Bangun ini disebut prisma miring

karena rusuk tegaknya tidak tegak lurus bidang alas.

b. Gambar 4.5. (ii) adalah gambar prisma tegak. Bangun ini disebut prisma tegak

karena1 rusuk tegaknya tegak lurus bidang alas.

c. Gambar 4.5. (iii) adalah gambar prisma segi-n. Prisma ini memiliki sisi alas

berbentuk segi-n. Apabila alasnya berbentuk segi-n beraturan, maka disebut prisma segi-n

beraturan.

d. Gambar 4.5. (iv) adalah gambar Parallelepipedum. Prisma ini alasnya berbentuk

jajargenjang. Jika alas parallelepipedum tegak berbetuk persegipanjang, maka disebut

parallelepipedum siku-siku. Jika semua bidang sisi parallelepipedum siku-siku tersebut

kongruen, maka disebut kubus. Parallelepipedum yang semua rusuknya sama panjang

disebut rhomboeder.

d. Limas

Limas atau piramid adalah bangun ruang yang dibatasi sebuah bidang datar atau

bidang alas yang berbentuk segi-n dan oleh bidang-bidang sisi tegak yang berbentuk segitiga.

Garis alas segitiga itu berimpit dengan sisi-sisi segi-n dan titik puncak segitiga-segitiga itu

bertemu atau berimpit di suatu titik Perhatikan Gambar 4.6 berikut.

T

A O P C B

Gambar 4.6 adalah gambar limas segi-3 T.ABC.

Puncak limas adalah T.

Bidang alasnya adalah daerah ABC.

Rusuk alasnya adalah AB, Bc, dan CA.

Rusuk tegaknya adalah TA, TB, dan TC.

TP adalah apotema limas.

17

Gambar 4.6. Limas Segi-3 T.ABC TO adalah garis tinggi limas (Altitude)

Ditinjau dari bentuk alasnya, maka suatu limas dapat dibedakan menjadi:

1. limas segitiga, bidang alasnya berbentuk segitiga

2. limas segiempat, bidang alasnya berbentuk segiempat

3. limas segilima, bidang alasnya berbentuk segilima

Ditinjau dari teratur atau tidaknya bidang alas dan kedudukan titik puncak terhadap bidang sisi,

maka suatu limas dapat dibedakan menjadi:

1. limas sembarang, yaitu apabila bidang alasnya berbentuk segi-n sembarang dan titik

puncaknya juga sembarang.

2. limas beraturan, yaitu apabila bidang alasnya berbentuk segi-n beraturan dan proyeksi

titik puncaknya berimpit dengan titik pusat bidang alas.

e. Prismoide

Prismoide adalah bangun ruang sisi datar yang dibatasi oleh dua bidang sejajar

(bidang alas dan bidang atas) dan bidang-bidang segitiga atau trapesium sebagai bidang sisi

tegak. Prisma dan limas terpancung merupakan bangun khusus prismoide. Perhatikan Gambar

4.7 berikut.

Gambar 4.7

Gambar 4.7 adalah gambar prismoide. Pada Gambar 4.7 (i) dan 4.7 (ii) , ABCDEF dan

ABCDEFGHIJ masing-masing disebut irisan parallel tengan prismoide tersebut, yaitu irisan

bidang atas/alas dan melalui semua titik tengah rusuk tegaknya.

18

2. JARING-JARING DAN LUAS BANGUN RUANG SISI DATAR

Secara sederhana, jaring-jaring sebuah bangun ruang dapat diperoleh apabila bangun

ruang tersebut diiris sepanjang rusuk-rusuk tertentu sedemikian hingga terbentang beberapa

bidang datar pembentuknya. Perhatikan Gambar 4.8 berikut.

Gambar 4.8

Gambar 4.8 adalah gambar sebuah kubus yang diiris sepanjang rusuk yang dicetak tebal.

Apabila direbahkan pada bidang datar, maka terjadilah jaring-jaring kubus seperti pada Gambar

4.8 (ii) dan 4.8 (iii). Masih sangat banyak model jaring-jaring kubus yang dapat dibuat sesuai

dengan rusuk yang diiris. Begitu juga untuk bangun-bangun ruang sisi datar lainnya. Dari

jaring-jaring bangun ruang ini, dengan mudah dapat ditentukan luas sisi bangun ruang tersebut.

Hal ini karena luas sisi bangun ruang pada dasarnya sama dengan jumlah luas sisi-sisi dari

bangun ruang yang dapat dihitung dari jaring-jaring kubus yang tersebut. Bagaimana jika

bangun datar yang terbentuk tidak seluruhnya terdiri dari bangun-bangun datar yang dikenal,

misalnya kotak kue yang berbentuk “love” yang sering digunakan untuk acara lamaran nikah.

3. VOLUM BANGUN RUANG SISI DATAR

Untuk menentukan volum bangun ruang sisi datar, dapat dimulai dengan menentukan

volum kubus dan balok. Volum kubus/balok dapat ditentukan dengan menggunakan mengisi

kubus satuan (kubus-kubus dengan panjang rusuk 1 cm) ke dalam kubus/balok tersebut.

Bilangan yang menunjukkan banyaknya kubus satuan yang mengisi kubus/balok itulah yang

19

dinamakan volum kubus/balok. Volum kubus/balok ini selanjutnya dapat digunakan untuk

menentukan volum bangun-bangun ruang sisi datar lainnya.

a. Menentukan Volum Prisma

Balok adalah suatu prisma yang khusus. Dengan demikian, volum prisma dapat ditentukan

dengan menggunakan volum balok. Hal ini dapat ditunjukkan dengan membagi suatu balok

menjadi dua bagian yang volumnya sama (dibagi menurut salah satu bidang diagonalnya).


H G

E F

D C

A B

Volum prisma ABD.EFH

= x volum balok ABCD.EFGH

= x (luas alas balok x tinggi balok)

= x (luas daerah ABCD x BF)

= ( x luas daerah ABCD) x BF

= luas daerah ABD x BF

= luas alas prisma ABD.EFH x tinggi prisma

Jadi, volum prisma ABD.EFH = luas alas x tinggi

Dengan cara mudah Anda juga dapat menentukan volum prisma segi-n tegak lainnya, karena

prisma segi-n dapat dibentuk dari (n – 2) prisma segitiga tegak.

b. Menentukan Volum Limas

Untuk menentukan volum limas, dapat digunakan suatu kubus yang dibagi menjadi enam

limas yang kongruen atau menggunakan prisma segitiga tegak yang dibagi menjadi tiga limas

yang kongruen. Dengan memperhatikan kekongruenan dan prinsip dasar volum limas di atas,

tunjukkan bahwa volum limas = x luas alas x tinggi.

c. Menentukan Volum Bangun Ruang dengan Prinsip Cavalleri.

Prinsip Cavalleri pertama kali diketemukan oleh Bonaventura Cavalleri, ahli matematika

berkebangsaaan Italia. Berdasarkan prinsip Cavalleri:

“Jika dua benda tingginya sama dan bidang irisan mendatar pada ketinggian yang sama

mempunyai luas yang sama, maka kedua benda tersebut mempunyai volum yang sama”

Prinsip ini berlaku untuk semua bangun ruang termasuk bangun ruang sisi datar.


20

Gambar 4.10

Gambar 4.10 (i) adalah gambar sebuah prisma miring dan Gambar 4.10 (ii) adalah gambar

prisma miring yang dipotong oleh irisan siku-siku (irisan yang tegak lurus rusuk tegaknya).

Jika prisma bagian bawah irisan dipindahkan dan ditempatkan tepat di atas bagian atas irisan

terjadilah bangun ruang baru seperti pada Gambar 4.10 (iii). Panjang rusuk tegaknya tidak

berubah. Dengan demikian diperoleh:

Luas alas prisma miring = luas irisan siku-siku = luas alas prisma tegak

Tinggi prisma miring = tinggi prisma tegak

Jadi : Volum prisma miring = Ls x r dengan Ls adalah luas irisan siku-siku dan r panjang

rusuk tegak.

LatihanUntuk soal nomor 1 – 10, pilih satu jawaban yang Anda anggap paling tepat!

Untuk nomor 1 s.d 4, perhatikan Gambar di atas!

1. Pada kubus ABCD.EFGH di atas, limas G.ABD merupakan bidang empat ............

A. teratur

B. tegak

C. siku-siku

D. sembarang

21

2. Salah satu bangun yang kongruen dengan G.ABD adalah .................

A. E.ABD

B. E.CBD

C. F.ABD

D. F.CBD

3. Bangun ACD.EGF pada kubus di atas merupakan bangun ..............

A. prisma segitiga beraturan

B. prisma segitiga sembarang

C. bidang empat teratur

D. bidang empat sembarang

4. Volum bangun ABD.EFH pada soal nomor 4 adalah ................... cm3

A. 500

B. 500

C. 1000

D. 500

5. Pernyataan berikut benar, kecuali .......

A. Semua parallelpipedum adalah prisma

B. Balok merupakan parallelepipedum tegak

C. Ada rhomboeder yang merupakan parallelepipedum tegak

D. Bidang empat merupakan prisma tegak

6. Dari limas beraturan T.ABCD dibuat semua jaring-jaringnya. Banyaknya jaring-jaring

yang satu sama lain berbeda adalah ……….

A. 6

B. 7

C. 8

D. 9

7.Sebuah limas yang alasnya berbentuk persegi mempunyai luas alas 100 cm2 dan tinggi

12 cm. Luas seluruh limas tersebut adalah ……..

A. 1.200 cm2

B. 400 cm2

C. 360 cm2

D. 260 cm2

E.

22

8.Diketahui prisma segitiga siku-siku dengan sisi-sisi 6 cm, 8 cm, dan 10 cm. Jika tinggi

prisma adalah 15 cm, maka volum prisma adalah ............... cm3

A. 720

B. 360

C. 180

D. 120

9. Limas terpancung dengan alas berupa segitiga samasisi disebut ...........

A. Bidang empat terpancung

B. Bidang empat beraturan terpancung

C. Bidang empat orthocentris terpancung

D. Bidang empat ortogonal terpancung

10. ABCD.EFGH adalah kubus dengan panjang rusuk 6 cm. Volum limas T.ABC

adalah ........ cm3

A. 216

B. 72

C. 36

D. 18

Untuk soal nomor 11, kerjakan dengan tepat dan jelas!

11. Perhatikan Gambar di bawah ini. Pertanyaan:

a. Apa nama bangun S.ABCD?

b. Sebutkan bangun yang

kongruen dengan S.ABCD!

c. Sebutkan nama bangun yang

berbentuk bidang empat!

d. Berapa luas permukaan dan

volum bangun ABQ.EFS?

23

B. BANGUN RUANG SISI LENGKUNG

Jika sebuah bidang datar diputar mengelilingi suatu garis lurus yang termuat pada

bidang itu, maka ruas garis yang terdapat dalam bidang itu akan membentuk suatu bidang

lengkung yang disebut bidang putar. Jadi pada dasarnya bangun ruang sisi lengkung merupakan

bangun yang terjadi apabila bangun datar diputar mengelilingi suatu garis lurus. Akibatnya sisi-

sisi pembentuk bangun ruang sisi lengkung ini sebagian merupakan sisi lengkung. Hal inilah

yang membedakan antara bangun ruang sisi datar dengan bangun ruang sisi lengkung. Namun

secara umum sifat-sifat kedua bangun ruang ini adalah sama.

Oleh karena itu, agar materi bangun ruang sisi lengkung ini mudah Anda pahami,

maka Anda dapat menggunakan materi bangun datar sisi datar sebagai referensi. Seperti pada

bangun datar sisi datar, pembahasan tentang materi bangun ruang sisi lengkung akan diawali

dengan mengenalkan macam-macam bangun ruang sisi lengkung tersebut, sebelum

pembahahasan tentang luas dan volum.

1. MACAM-MACAM BANGUN RUANG SISI LENGKUNG

a. Tabung

Jika persegi panjang ABCD diputar dengan AD sebagai sumbu putar, maka benda putar yang

terjadi disebut tabung. AD disebut poros (sumbu) tabung. Perhatikan Gambar 4.11

berikut.

B’ A B

AD = tinggi tabung

B’B = jari-jari lingkaran atas

C’C = jari-jari lingkaran bawah

C’ C D

Gambar 4.11. Tabung

b. Kerucut

Kerucut adalah bangun ruang yang terjadi apabila segitiga siku-siku diputar dengan salah

satu sisi siku-sikunya sebagai sumbu putar. Perhatikan Gambar 4.12 berikut.

24

T

Gambar 4.12 adalah

gambar Kerucut.

TO = sumbu kerucut

T = titik puncak

TA, TS = garis pelukis

A O B

S

Gambar 4.12 Kerucut

c. Bola

Bola adalah suatu bidang putar yang terjadi bila setengah lingkaran diputar dengan garis

tengahnya sebagai sumbu putar. Karena letak titik-titik pada setengah lingkaran terhadap

titik-titik pusat lingkaran tidak berubah selama perputaran, maka titik-titik pada bidang bola

itu berjarak sama terhadap titik pusat bola. Perhatikan Gambar 4.13 berikut.

PQ = tali busur

AB = garis tengah

A, B = titik-titik diametral

Gambar 4.13. Bola

2. LUAS BANGUN RUANG SISI LENGKUNG

a. Luas Tabung

Tabung terdiri dari tiga sisi, yaitu sisi atas dan sisi alas yang berbentuk lingkaran serta sisi

tegak (berupa bidang lengkung). Sisi tegak ini biasa disebut selimut tabung.

Dengan demikian luas tabung adalah jumlah dari luas sisi atas, luas sisi alas, dan luas sisi

tegak. Untuk menentukannya, Anda dapat menggunakan jaring-jaring tabung seperti pada

Gambar 4.14 berikut.

25

Gambar 4.14. Jaring-jaring Tabung

Gambar 4.14 (i) adalah sebuah tabung dengan jari-jari r dan tinggi t, sedangkan Gambar 4.14

(ii) adalah jaring-jaring tabung tersebut. Dengan menggunakan Gambar 4.14 ini, coba Anda

tunjukkan bahwa luas tabung adalah L = 2 п r2 + 2 п r t

b. Luas Kerucut

Kerucut memiliki dua sisi, yaitu sisi alas berupa daerah lingkaran, dan sisi lengkung yang

biasa disebut selimut tabung. Dengan demikian luas kerucut adalah jumlah dari luas sisi alas

yang berupa lingkaran dan luas selimut. Untuk menentukannya, Anda dapat menggunakan

jaring-jaring kerucut seperti pada Gambar 4.15 berikut.

Gambar 4.15. Jaring-jaring Kerucut

Dengan menggunakan Gambar 4.15 ini, coba Anda tunjukkan bahwa luas kerucut adalah L

= п r2 + п r s

c. Luas Bola

Untuk menentukan luas bola, Anda dapat melakukan kegiatan lab. Mini berikut.

Lab. Mini – Mencari luas bolaBahan : buah jeruk yang bulat (atau bola plastik tipis), kertas manila, lem.

Alat : gunting/pisau, jangka, penggaris

26

Cara kerja:

1. Potonglah jeruk di tengah-tengah

2. Ukurlah garis tengahnya, dan buatlah lingkaran-lingkaran yang garis tengahnya

sama dengan garis tengah jeruk.

3. Kupaslah jeruk

4. Potong-potonglah kulit jeruk menjadi kecil-kecil

5. Tempelkan (dengan lem) potongan-potongan kulit jeruk tersebut di dalam

lingkaran-lingkaran yang telah dibuat, dengan penuh dan tidak tumpang tindih.

Ada berapa lingkaran yang penuh oleh kulit jeruk tersebut? Benarkah ada 4 lingkaran?.

Jika demikian, dengan mudah Anda dapat tunjukkan bahwa Luas bola adalah:

LBola = 4 Lingkaran = 4 (п r2)

3. VOLUM BANGUN RUANG SISI LENGKUNG

a. Volum Tabung


Gambar 4.16. Prisma

Pada Gambar 4.16 di atas terlihat bahwa pada dasarnya tabung adalah bangun ruang yang

terjadi apabila rusuk alas prisma bertambah terus sampai mendekati tak berhingga. Jadi,

bagaimana rumus volum tabung jika diketahui jari-jari alasnya r dan tingginya t?

27

b. Volum KerucutLab. Mini – Mencari Volum Kerucut

Bahan : Kertas manila, lem/perekat kertas, beras/pasir

Alat : gunting/pisau, jangka, penggaris, busur derajat,.

Cara kerja:

1. Buatlah model kerucut tanpa bidang alas dari kertas manila

2. Buatlah model tabung tanpa tutup dari kertas manila (Bagaimana caranya?)

3. Isilah kerucut sampai penuh dengan pasor/beras

4. Tuangkan beras/pasir tersebut ke dalam model tabung

5. Ulangi kegiatan a dan b sampai tabung pebuh dengan pasir/beras.

6. Apa kesimpulan yang Anda dapatkan?

c. Volum Bola

Volum bola dapat ditemukan dengan menggunakan kegiatan Lab.Mini seperti di atas

(Bagaimana caranya?) dan dapat juga dengan menggunakan prinsip Cavalleri. Apabila Anda

akan menunjukkannya dengan prinsip Cavalleri, maka Anda harus menggunakan dua

bangun ruang yang tingginya sama. Bangun ruang yang pertama adalah bola itu sendiri (jari-

jari = r), dan bangun yang kedua adalah sebuah tabung dengan jari-jari lingkaran alasnya

adalah r sedangkan tingginya 2r. Di dalam tabung itu dibuat dua buah kerucut. Kerucut yang

satu alasnya terletak di bawah (berimpit dengan lingkaran alas tabung), dan kerucut kedua

alasnya terletak di atas (berimpit dengan lingkaran atas tabung). Titik puncak dari kedua

kerucut ini berimpit, dan terletak tepat pada titik tengah dari sumbu tabung. Perhatikan

Gambar 4.17.

Gambar 4.17. Prinsip Cavalleri

Berdasarkan Gambar 4.17 di atas, tunjukkan bahwa volum bola adalah: VBola = п r3

28

LatihanUntuk soal nomor 1 – 10, pilih salah satu jawaban yang paling tepat!

1. Sebuah tabung yang tinggi dan diameternya sama akan memiliki ketebalan selimut

berbentuk persegi panjang dengan perbandingan panjang dan lebarnya adalah .............

A. : 1

B. 2 : 1

C. 3 : 1

D. d : 1

2. Sebuah tandon air berbentuk tabung bertutup dengan tinggi bagian dalamnya 1,56 m

terbuat dari tembaga. Untuk menjaga agar tembaga awet, maka bagian dalam tabung

dilapisi dengan aspal setebal 1 cm. Volum aspal minimal yang diperlukan untuk melapis

bagian dalam tandon adalah ................... cm3

A. 48871,43

B. 96941,43

C. 48627,07

D. 116062,57

3. Diketahui sebuah tabung tanpa tutp dengan jari-jari alas 6 cm dan tingginya 10 cm. Jika

= 3,14 maka luas tabung tanpa tutup tersebut adalah .......... cm2

A. 602,88

B. 489,84

C. 282,60

D. 706,50

4. Berikut adalah unsur-unsur kerucut, kecuali ...................................

A. sumbu

B. sudut puncak

C. bidang alas

D. titik puncak

5. Pada kerucut lingkaran tegak, berlaku ..........................

A. sudut antara garis-garis pelukis sama dengan sudut bidang alas

B. bidang alas kerucut adalah lingkaran

C. sumbu kerucut tegak lurus bidang alas

D. sudut antara garis-gsris pelukis sama dengan sumbu kerucut

29

6. Diketahu kerucut dengan jari-jari alasnya 5 cm dan tingginya 12 cm. Jika п = 3,14

maka luas selimut kerucut adalah ………. cm2.

A. 62,8

B. 68

C. 188,4

D. 204,1

7. Sudut puncak suatu kerucut = 60o dan tingginya 4 . Volum kerucut = … cm3.

A.

B.

C.

D.

8. Yang termasuk unsur-unsur bola adalah ...................................

A. rusuk

B. garis pelukis

C. diameter

D. apotema

9. Sebuah bola dimasukkan ke dalam tabung. Diameter bola sama dengan diameter tabung

= 12 cm. Jika tinggi tabung = 20 cm dan = 3,14 maka volum tabung di luar bola

adalah .......... cm3

A. 1356,48

B. 904,32

C. 452,16

D. 226,08

10. Jika luas kulit bola 616 cm2 dan = , maka jari-jari bola adalah ................. cm

A. 21

B. 14

C. 7

D. 1

Untuk soal nomor 11 – 13, kerjakan soal-soal berikut ini!

11. Gambarkan jaring-jaring kerucut dengan ukuran garis tengah alas 5 cm dan

tinggi 6 cm.

12. Buktikan volum tabung adalah VTabung = luas alas x tinggi

30

13. Buktikan volum bola adalah VBola = п r3 dengan menggunakan prinsip

Cavalleri.

BAB 3BANGUN DATAR

A. Bangun Datar Segitiga1. Segitiga-segitiga Sebangun

Definisi : Suatu bangun B disebut sebangun dengan bangun C (B C), jika B dapat dikalikan

dengan suatu faktor, sehingga terjadilah bangun B’ yang sama dan sebangun dengan C (B’

C). Perhatikan Gambar 3-1 berikut.

O

C’ C R

A B

A’ B’ P Q

Gambar 3-1

Karena PQR adalah hasil kali ABC, maka :

a. A = ... = .... ; B = ... = ... ; C = ... = ...

b. AB : A’B’ = .... : .... = .... : ...., yang berarti AB : DE = .... : .... = .... : ....

Akibatnya pada ABC dan PQR yang sebangun :

a. sudut-sudut yang seletak sama besar

b. sisi-sisi yang seletak mempunyai perbandingan yang seharga.

Dalil-dalil kesebangunan :

a. ABC dan PQR adalah sebangun, jika kedua segitiga itu mempunyai sepasang

sudut yang sama besar (misalnya A = P), sedangkan sisi-sisi yang mengapit sudut itu

mempunyai perbandingan yang seharga (misalnya AC : PR = AB : PQ).

b. ABC dan PQR adalah sebangun, jika sisi-sisinya mempunyai perbandingan yang

seharga.

31

c. ABC siku-siku di A dan PQR siku-siku di P adalah sebangun, jika satu buah sisi

siku-siku dan sisi miring pada kedua segitiga mempunyai perbandingan yang seharga

(misalnya AB : PQ = BC : QR).

2. Segitiga-segitiga Kongruen

Secara umum ABC dan PQR adalah sama dan sebangun (kongruen) dan ditulis

ABC PQR, jika :

a. sudut-sudut yang seletak sama besar

b. sisi-sisi yang seletak sama panjang.

Perhatikan Gambar 3-2 berikut.

C C’

A B h B’ A’

Gambar 3-2

Secara khusus syarat-syarat untuk dua segitiga kongruen ini adalah sebagai berikut.

Teorema 1 :

Dua buah segitiga akan kongruen jika dua sisi yang bersesuaian sama panjang dan satu sudut

yang diapit kedua sisi tersebut sama besar (S – Sd – S)

Bukti :

Perhatikan Gambar 3-3 di samping.

B = Q (............................)

AB = PQ dan BC = QR (......................)

Tempatkan PQR pada ABC, sedemikian

sehingga titik sudut B berimpit dengan titik sudut Q.

Akibatnya QP akan menutupi BA dan QR akan

menutupi BC.

AB = PQ dan BC = QR P berimpit A dan

R berimpit C

Dengan demikian titik-titik sudut ABC berimpit

dengan titik-titik sudut PQR, yang membuktikan

bahwa : ABC PQR

C

A B

R

32

P Q

Gambar 3-3

Teorema 2:

Dua segitiga akan kongruen jika satu sisi yang seletak sama panjang dan dua sudut yang

seletak pada sisi tersebut sama besar. (Sd – S – Sd).

Teorema 3 :

Dua segitiga akan kongruen jika satu sisi yang seletak sama panjang dan dua susut yang

seletak sama besar (S – Sd – Sd)

Teorema 4 :

Dua segitiga akan kongruen jika ketiga sisi yang seletak sama panjang (S – S – S).

Latihan!

1. Buktikan dalil-dalil kesebangunan segitiga.

2. Buktikan Teorema 2 kekongruenan segitiga.



5. Misalkan ABC PQR dan PQR DEF, buktikanlah bahwa ABC DEF

6. Perhatikan Gambar 3-4 di bawah ini.

P Q

O

S R

Gambar 3-4

Jika PQ = 4 cm dan OQ = 3 cm, tentukanlah panjang OS, SR, dan OR.

33

7. B

E F

A D C Gambar 3-5

Perhatikan Gambar 2-5 di samping.

Diketahui : AB = AC, AD = 4 cm, dan BD = 3 cm

a. Buktikan bahwa :

i . ABD ACE

ii. BFE CFD

b. Tentukanlanh panjang AB, AC, DC, CE, AE, DF.

3. Garis-garis Istimewa dalam Segitiga

1. Garis tinggi

Garis tinggi suatu segitiga adalah garis yang membagi tegak lurus sisi di depan titik sudut

segitiga tersebut.

Perhatikan ABC di samping, dan buktikanlah

bahwa ketiga garis tinggi dalam ABC tersebut

melalui satu titik.

Bukti :

Perhatikan ABC pada Gambar di samping.

Melalui titik A, B, dan C ditarik garis-garis yang

masing-masing sejajar dengan sisi dihadapan titik

sudut itu. Apabila garis-garis itu berpotongan di

D, E, dan F, maka DE // CB, EF // AC, DF // AB.

Perhatikan segi-4 ABFC.

AB // CF, AC // BF ABFC adalah jajargenjang

AB = CF

Analog untuk segi-4 ABCD dan segi-4 ACBF,

sehingga didapat : ..... = ..... dan ..... = .....

CE = .... = .... C ................................. DF

Analog : A ................................. DE

B ................................. EF

Berdasarkan sifat di atas, maka didapat bahwa

OD = ......, OE = ......, dan OF = .......

Karena O AQ, O BR, dan O CP dan AQ,

BR, dan CP adalah garis tinggi pada ABC,

maka terbukti bahwa AQ, BR, dan CP melalui

D C F Q R O A P B

E

(Gunakan sifat berikut : “

Diketahui ruas garis AB. Jika

ada sebuah garis g yang melalui

titik tengah dan tegak lurus ruas

garis itu, maka x g, berlaku

XA = XB”)

34

satu titik, yaitu titik O.

2. Garis berat

Garis berat suatu segitiga adalah garis yang membagi dua sama panjang sisi di depan titik

sudut tersebut. Perhatikan ABC pada gambar di bawah ini.

C

E P’ D

P

A F B

Buktikanlah :

Ketiga garis berat dalam ABC di atas melalui satu titik, yang disebut titik berat segitiga.

Bukti :

Perhatikan ABC di atas.

AD dan BE adalah garis berat dalam ABC BD = DC dan AF = BF.

Misalkan AD dan BE berpotongan di P, akan dibuktikan bahwa CF juga akan melalui P.

Perhatikan CED dan CAB.

CE : CA = CD : CB = 2 : 1 (...................................)

Akibatnya AB // ED dan ED : AB = CE : CA = 1 : 2.

DEP = ABP dan EPD = APB (................................................)

EPD .... APB.

Akibatnya EP : PB = ED : AB = 1 : 2 = DP : AP.

Misalkan CF adalah garis berat yang melalui C dan memotong EB di P’, maka dengan cara

yang sama dapat dibuktikan bahwa EP’ : P’B = 1 : 2.

Dengan demikian diperoleh EP = EB dan EP’ = EB atau .... = .....

Jadi terbukti bahwa CF adalah garis berat yang memotong EB di P.

35

3. Garis bagi

Garis bagi suatu segitiga adalah garis yang membagi dua sudut segitiga menjadi dua bagian

yang sama besar. Perhatikan ABC pada gambar berikut.

C

E D

X

o o * A B

Karena Garis AD adalah garis bagi dari BAC, maka semua titik pada AD letaknya sama

jauh dari AC dan AB (Mengapa ?).

Karena Garis BE adalah garis bagi dari ABC, maka semua titik pada BE letaknya sama

jauh dari BA dan BC (Mengapa ?).

Misalkan AD dan BE berpotongan di titik X, maka berarti X letaknya sama jauh dari AC

dan AB dan juga dari BA dan BC (Mengapa ?).

Jadi X letaknya sama jauh dari CA dan CB, yang berarti bahwa X terletak pada garis bagi

dari ACB atau CX adalah terletak pada garis bagi dari ACB.

Dengan demikian terbukti bahwa ketiga garis bagi ini melalui pada satu titik.

Latihan!1. Dalam sebuah ABC, BD dan AE adalah garis-garis berat yang masing-masing melalui

titik sudut B dan A. Buktikan bahwa garis DE // AB.

2. Dalam sebuah ABC, BD dan AE adalah garis-garis berat yang masing-masing melalui

titik sudut B dan A. Kedua garis berat ini berpotongan di titik Z. Buktikan bahwa :

a) DE = ABb) AZ : ZE = BZ : ZD = 2 : 1

3. Perhatikan Gambar 3-6 berikut.

H

C

36

D o o A B E

Gambar 3-6

Misalkan pada ABC di atas, AD adalah garis bagi dari BAC, BE adalah garis bagi dari

sudut luar CBF dan CH adalah garis bagi dari sudut luar GBC. Buktikan bahwa ketiga garis

bagi ini akan berpotongan pada satu titik.

4. Buktikan bahwa garis tinggi suatu segitiga sama kaki akan membagi segitiga menjadi dua

segitiga yang kongruen.

5. Garis tinggi pada hipotenusa suatu segitiga siku-siku sama kaki sama dengan setengah

panjang hipotenusanya. Buktikan !

6. Buktikan bahwa kedua garis bagi sudut alas suatu segitiga sama kaki sama panjang.

B. Bangun Datar SegiempatUntuk memahami macam-macam bangun segiempat secara baik, perhatikan Skema berikut.

Segiempat

Layang-layang Jajargenjang Trapesium

Persegipanjang Belahketupat

Persegi

Skema Segiempat

Dari skema di atas terlihat bahwa persegi panjang dan belah ketupat merupakan bentuk khusus

dari jajargenjang, sedangkan persegi adalah bentuk khusus dari persegi panjang atau

belahketupat. Secara rinci tentang bangun-bangun di atas akan dibahas berikut ini.

37

1. Jajargenjang

Definisi :

Jajargenjang adalah sebuah segiempat yang kedua pasang sisi yang berhadapan sejajar.

Dalil-dalil tentang jajargenjang :

1. ABCD adalah jajargenjang sisi AB = CD dan BC = AD.

2. Pada setiap jajargenjang, sudut-sudut yang berhadapan sama besar.

3. Pada setiap jajargenjang, kedua diagonalnya berpotongan di tengah-tengah.

4. Pada segiempat ABCD sisi AB = CD dan BC = AD ABCD adalah jajargenjang.

5. Jika pada suatu segiempat, kedua diagonalnya berpotongan di tengah-tengah, maka

segiempat itu adalah jajargenjang.

6. Pada segiempat ABCD, A = C dan B = D ABCD adalah jajargenjang.

Bukti :

Perhatikan Gambar 3-7 berikut.

D C 1 2 T

2 1

A B Gambar 3-7

(1). Diketahui : ABCD jajargenjang

Buktikan : AB = CD dan AD = BC

Bukti :

Tarik garis bantu BD.

Perhatikan ABD dan CDB

BD = DB (...............................)

B1 = D1 (...............................) ABD CDB ( .........................)

B2 = D2 (...............................)

Sehingga AB = CD dan AD = BC (Terbukti).

(2) ABD CDB A = C dan B1,2 = D1,2 (Terbukti)

(3) Diketahui : ABCD jajargenjang

Buktikan : AT = CT

BT = DT

Bukti :

TAB = TCD (...............................)

38

ATB = CTD (...............................) ATB CTD ( .........................)

AB = CD (...............................)

Sehingga AT = CT dan BT = DT (Terbukti).

2. Persegipanjang

Definisi :

Persegipanjang adalah sebuah jajargenjang yang mempunyai sebuah sudut siku-siku..


1. ABCD adalah persegipanjang panjang diagonal AC = diagonal BD.

2. Diagonal jajargenjang sama panjang jajargenjang itu persegipanjang.

Bukti :

Perhatikan Gambar 3-8 berikut. D C

A B

(1) Diketahui :

Buktikan :

Bukti :

(2) Diketahui :

Buktikan :

Bukti :

39

3. Belahketupat

Definisi :

Belahketupat adalah sebuah jajargenjang yang dua sisinya yang berurutan sama panjang


1. Setiap diagonal belahketupat merupakan garis bagi titik-titik sudut belahketupat itu.

2. Diagonal-diagonal belahketupat berpotongan tegak lurus.

Bukti :

Perhatikan Gambar 3-8 berikut. C 1 2

2 1 2 2 D S4 3 C 1 1

1 2

A

Gambar 3-8

Diketahui : Belahketupat ABCD

Buktikan : (1) A1 = A2, C1 = C2, B1 = B2, D1 = D2

(2) AC BD

Bukti :

(1) AB = BC ( .....................) A2 = ....

AD = CD ( .....................) A1 = ....

A1 = C1 & C1 = C2 (.....................) A1 = A2 (.....................)

AD = AB ( ....................) D2 = ....

CD = BC ( ....................) D1 = ....

D2 = B1 & B1 = B2 (.....................) D1 = D2 (.......................)

(2) Perhatikan ASD dan ASB

AB = AD (...............................)

AS = AS (...............................) ABD CDB ( ............................)

40

BS = DS (...............................)

Sehingga S1 = S 4

Karena S1 = S 4 dan S1 + S 4 = .... o , maka S1 ..... S 4

D. Persegi

Definisi :

Persegi adalah sebuah segiempat yang semua sisi-sisinya sama panjang dan salah satu

sudutnya siku-siku.


1. ABCD adalah persegi AC = BD.

2. Semua sudut pada persegi adalah siku-siku.

Bukti : D C

Perhatikan Gambar 3–9 di samping

A B

(1) Diketahui :

Buktikan :

Bukti :

(2) Diketahui :

Buktikan :

Bukti :

Latihan!1. Tuliskan definisi layang-layang dan dalil-dalil tentang layang-layang beserta buktinya.

41

2. Tuliskan definisi trapesium dan dalil-dalil tentang trapesium beserta buktinya.

3. Tuliskan sifat-sifat yang ada pada jajargenjang, persegipanjang, persegi, belahketupat,

trapesium, dan layang-layang.

BAB 4

GEOMETRI DIMENSI TIGA

Sebelum membahas lebih lanjut tentang sifat-sifat di dalam geometri ruang, akan

diperkenalkan terlebih dahulu beberapa singkatan tertentu yang biasa digunakan dalam

pembicaraan geometri ruang, antara lain :

Titik (a, b) = titik potong garis a dan garis b

Titik (a, ) = titik tembus garis a terhadap bidang

Garis (, ) = garis potong antara bidang dan bidang

Bidang (ABC) = bidang melalui titik-titik A, B, dan C

Bidang (a, P) = bidang melalui garis a dan titik P

Bidang (a, b) = bidang melalui garis a dan garis b

A. Kedudukan Titik, Garis, dan Bidang dalam Ruang

1. Kedudukan Garis terhadap Bidang

Di dalam ruang dimensi tiga, ada tiga kondisi untuk menentukan kedudukan garis terhadap

bidang, yaitu:

(1) Garis terletak pada bidang

Definisi 1.1:

Sebuah garis dikatakan terletak pada sebuah bidang, jika semua titik pada garis itu

terletak pada bidang tersebut.

l α

(2) Garis sejajar bidang

Definisi 1.2:

Sebuah garis dan sebuah bidang dikatakan sejajar, jika garis dan bidang tersebut tidak

memiliki titik persekutuan.

l

42

α

(3) Garis memotong/menembus bidang

Definisi 1.3:

Sebuah garis dikatakan menembus sebuah bidang, jika garis dan bidang itu mempunyai

sebuah titik persekutuan yang disebut titik tembus garis terhadap bidang.

l

● α

2. Kedudukan Dua Garis dalam Ruang

(1) Dua garis saling sejajar

Definisi 1.4:

Dua buah garis dikatakan sejajar, jika dua garis tersebut terletak dalam satu bidang dan

tidak memiliki titik persekutuan.

m

l α

(2) Dua garis saling berpotongan

Definisi 1.5:

Dua buah garis dikatakan berpotongan, jika kedua garis itu terletak dalam satu bidang

dan mempunyai sebuah titik persekutuan.

l

m α

(3) Dua garis saling bersilangan

Definisi 1.6:

Dua buah bidang dikatakan bersilangan, jika kedua garis itu tidak terletak dalam satu bidang dan tidak mempunyai sebuah titik persekutuan.

l

43

m α

3. Kedudukan Dua Bidang dalam Ruang

(1) Dua bidang saling sejajar

Definisi 1.7:

Dua buah bidang dikatakan sejajar, jika kedua bidang itu tidak mempunyai sebuah garis

persekutuan.

α

β

(2) Dua bidang saling berpotongan

Definisi 1.5:

Dua buah bidang dikatakan berpotongan, jika kedua bidang itu mempunyai sebuah

garis persekutuan.

β

(α, β) α

4. Beberapa teorema tentang kedudukan garis dan bidang dalam ruang

Teorema 1.1:

Jika garis l sejajar garis m dan garis m terletak pada bidang α, maka garis l sejajar bidang α

Diketahui: l // m dan m α

Akan dibuktikan : l // α

Bukti : (Coba dibuktikan sendiri)

44

B. Proyeksi

Jika melalui sebuah titik P yang tidak terletak pada bidang α dibuat garis g yang tegak

lurus bidang α dan memotong bidang α dititik P1 maka P1 disebut titik kaki gari stegak lurus

yang dibuat melalui P pada bidang α.

Definisi 1.5 : Proyeksi sebuah titik pada sebuah bidang adalah titik kaki dari garis yang dibuat

melalui titik itu tegak lurus bidang tersebut.

Anda perhatikan Gambar 1.34

α disebut bidang proyeksi

P disebut titik yang diproyeksikan

P1 disebut titik hasil proyeksi atau proyeksi P pada bidang α

G disebut garis pemroyeksi

Kalau setiap bangun geometri dipandang sebagai himpunan titik-titik tertentu maka

proyeksi suatu bangun pada sebuah bidang merupakan bangun lain yang terjadi dari himpunan

proyeksi semua titik dari bangun itu pada bidang tersebut.

Pada gambar 1.35 ditunjukkan bahwa proyeksi dari sebuah kurva S adalah kurva S1.

45

S1 merupakan himpunan proyeksi semua titik pada kurva S pada bidang α. Meskipun

demikian untuk memperoleh proyeksi sebuah bangun pada sebuah bidang tidak harus dicari

proyeksi dari semua titiknya pada bidang tersebut. Antara lain, jika Anda harus menentukan

proyeksi dari sebuah garis lurus.

Anda perhatikan lebih dahulu sifat dari proyeksi sebuah garis lurus pada sebuah bidang

seperti yang dikemukakan dalam teorema berikut.

Teorema 1.3 : Proyeksi sebuah garis pada sebuah bidang pada umumnya merupakan sebuah

garis lagi

Diketahui : garis g dan bidang α

g1 merupakan proyeksi garis g pada bidang

Dibuktikan : g1 merupakan garis lurus

Bukti : Garis-garis pemroyeksi dari titik-titik yang terletak pada garis g merupakan

garis-garis yang memotong garis g dan sejajar satu sama lain, semuanya

terletak pada sebuah bidang, misalnya bidang β.

Bidang β memotong bidang menurut garis lurus (α, β). Garis potong (α, β) tidak lain

adalah garis g1. Dengan perkataan lain proyeksi dari garis g pada bidang α, yaitu g1, merupakan

garis lurus.

Karena sebuah garis lurus letaknya ditentukan oleh dua buah titiknya, maka

mendasarkan pada teorema 1.3 untuk menentukan proyeksi sebuah gris pada sebuah bidang,

Anda cukup memproyeksikan dua buah titiknya saja dari garis itu. Pada Gambar 1.37, titik P

dan Q pada garis g; maka proyeksi g pada bidang α ditentukan oleh titik P1 dan Q1.

46

Setelah Anda mengenal pengertian dari proyeksi dan sifat dari proyeksi sebuah garis

lurus pada sebuah bidang, maka diharapkan Anda dapat memahami pengertian sudut antara

garis dan bidang.

Definisi 1.5 : Jika sebuah garis tidak tegak lurus pada sebuah bidang, maka sudut antara garis

itu dan bidang tersebut adalah sudut lancip antara garis itu dengan proyeksi

garis itu pada bidang tersebut.

Pada gambar 1.38 ditunjukan kepada Anda tentang sebuah garis g yang tidak tegak lurus pada

bidang α. Garis g1 adalah proyeksi garis g pada bidang α. Sehingga sudut antara garis g dan

bidang α adalah sudut lancip antara garis g dan g1, yaitu φ.

Proyeksi sebuah titik pada sebuah bidang adalah titik kali garis yang dibuat melalui titik

itu dan tegak lurus pada bidang tersebut.

Proyeksi sebuah garis tidak tegak lurus pada sebuah bidang, maka yang dimaksud

dengan sudut antara garis itu dan bidang tersebut adalah sudut lancip yang dibentuk oleh garis

itu dengan proyeksinya pada bidang tersebut.

1. Proyeksi Titik Pada Bidang

Definisi : Jika dari titik T ditarik garis TT1 ( T1 pada bidang α ) yang tegak lurus pada bidang α,

maka T1 disebut proyeksi titik T pada bidang α.

T = titik yang diproyeksikan

T1 = proyeksi

TT1 = garis pembuat proyeksi (proyektor)

α = bidang proyeksi

47

2. Proyeksi Garis Pada Bidang

Proyeksi suatu bangun pada suatu bidang adalah himpunan proyeksi semua titik pada

bangun itu ke bidang α.

Jika semua titik pada garis AB diproyeksikan ke bidang α, maka dapat dibuktikan bahwa

semua proyektor terletak pada satu bidang yang disebut bidang proyektor. Dan semua

proyeksinya terletak pada satu garis A1B1 disebut proyeksi garis AB pada bidang α (lihat

gambar (a)).

Jika garis CD tegak lurus pada bidang α, maka proyeksinya pada bidang α berupa

sebuah titik (gambar (b)).

Jika garis PQ memotong bidang α di titik Q,maka untuk melukis proyeksinya cukup

dilukiskan titik P1 yang merupakan proyeksi dari titik P. Garis P1Q adalah proyeksi garis PQ

pada bidang α (lihat gambar(c)).

Sifat : Proyeksi suatu garis lurus pada sebuah bidang pada umumnya merupakan garis lurus.

48

Contoh soal:

Diketahui kubus dengan bidang alas ABCD dan rusuk-rusuk tegaknya AE,BF, CG, dan DH.

a. Buktikan bahwa BC tegak lurus bidang ABFE

b. Buktikan bahwa CD tegak lurus AH

c. Tentukan proyeksi dari titik C pada bidang ADHE

d. Tentukan proyeksi dari DE pada bidang ABCD

e. Tentukan sudut antara CH dan bidang EFGH

Jawab :

Jika Gambar 1.39 menunjukkan kubus yang dimaksud, maka:

a. Karena ABCD sebuah kubus, maka:

< CBA siku-siku atau CB ┴ BA

< CBF siku-siku atau CB ┴ BF

BA dan BF pada bidang ABF dan berpotongan

CB ┴ bidang ABFE

b. CD ┴ DA

CD ┴ DH

CD ┴ bidang ADHE

AH pada bidang ADHE, menurut teorema 1.2, maka CD ┴ AH

c. Pada jawaban pertanyaan (b) dikemukakan bahwa CD ┴ bidang ADHE. Berarti bahwa

D adalah titik kaki dari garis yang melalui C dan tegak lurus bidang ADHE; jadi proyeksi

titik C pada bidang ADHE adalah titik D.

d. Untuk memproyeksikan ruas garis DE pada bidang ABCD, ditetapkan dua titiknya, dan

dipilih ujung-ujungnya D dan E. Proyeksi dari titik D pada bidang ABCD adalah titik D

sendiri.

e. Sudut antara CH dengan proyeksinya pada bidang EFGH adalah sudut antara CH dengan

proyeksinya pada bidang EFGH. Proyeksi CH pada bidang EFGH adalah GH. Jadi sudut

antara CH dengan bidang EFGH adalah sudut antara CH dan GH; atau < CHG.

49

Latihan

1. Pada kubus ABCD.EFGH dengan AB = a cm, titik N adalah titik potong diagonal

bidang atas EFGH dan garis CE memotong garis AN di titik K

a. Tentukan perbandingan antara panjang garis EK dan KC

b. Jika titik K’ adalah proyeksi titik K pada bidang ABCD, buktikan bahwa AK’ :

K’C = EK : KC = 1 : 2

2. Diketahui limas T.ABCD. tentukan panjang proyeksi garis TA pada bidang ABCD dan

proyeksi garis TA pada bidang TBD. Jika panjang AB = 4 cm dan TA = 4 cm.

3. Diketahui bidang empat T.ABC, dengan alas ΔABC, AB = BC = 10 cm, AC = 12 cm,

dan TC = 8 cm. Garis TC tegak lurus bidang ABC. Panjang proyeksi garis TC pada

bidang TAB adalah…………..

4. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan AB = 18 cm. titik P adalah titik tengah bidang

EFGH. Dari titik P ditarik garis sejajar garis HB sehingga memotong rususk BF di titik

Q. Panjang proyeksi garis GQ pada bidang ABCD adalah…………

5. Diketahui prisma tegak ABC.DEF, dengan AB = AC = 4 cm dan BC = AD = 4 cm.

Melalui titik D dibuat bidang α yang sejajar dengan garis BC, membentuk sudut 450

dengan bidang ABC, dan memotong garis BE dan CF berturut-turut di titik P dan Q,

sehingga:

a. BP : PE = 1 : 1

b. Proyeksi garis DP pada bidang BCFE adalah 2 cm

c. Luas proyeksi bidang α pada bidang BCFE adalah 8 cm2

d. Volume limas D.PEFQ adalah 16/3 cm3

Pernyataan yang benar adalah…

6. Kubus ABCD.EFGH, memiliki panjang AB = 16 cm. Titik P dan Q bertutut-turut

merupakan titik tengah rusuk AB dan BC. Titik M dan N adalah titik pusat bidang alas

dan bidang alas

a. Proyeksi garis BN pada bidang ACGE adalah MN

b. Panjang proyeksi garis PN pada bidang BDHF adalah 12 cm

c. Panjang proyeksi garis MN pada bidang NPQ adalah 32/3 cm

d. Volume limas N.PBQM adalah 1024 cm3

Pernyataan yang benar adalah…

50

C. Jarak

Dalam Geometri kata jarak diberi arti yang jelas. Kata jarak selalu dikaitkan dengan

hubungan dari dua benda. Dalam Geometri benda-benda dipandang secara umum sebagai

himpunan titik-titik tertentu, misalnya berupa sebuah titik, ruas garis, garis, bidang atau

bangunan Geometri yang lain. Jika secara umum sebuah bangun geometri dinamakan G1 dan G2,

D2 adalah jarak antara bangun G1 dan G 2. maka jelas bahwa jarak sebagai ruas garis terpendek

yang menghubungkan titin k-titik pada kedua bangun.

a. Jarak Titik

Suatu titik hanya ditentukan oleh letaknya, tetapi tidak mempunyai besaran (ukuran),

dikatakan suatu titik tak berdimensi. Sebuah titik dilukiskan dengan tanda nokhtah, kemudian

dibubuhkan dengan nama titik itu. Biasanya nama titik itu menggunakan huruf capital.A,,C,P,Q

atau R. pada gambar diperlihatkan dua buah titik yaitu titik A dan titik B

A. . B (a) titik A (b) titik B

b. Jarak Titik ke Garis

Kalau sebuah titik berada di luar garis maka terdapat jarak antara titik ke garis itu. Jarak

antara sebuah titik A ke garis g (titik A berada di luar garis g) dapat dicari dengan cara

sebagai berikut

Tariklah garis dari titik A tegak lurus terhadap garis , sehingga memotong garis tersebut di B,

maka AB adalah jarak yang dimaksud itu.

Gambar

B g

D1D2D3

51

A

c. Jarak Titik ke Bidang

Untuk Sebuah titik yang berada di luar bidang maka terdapat jarak antara titik ke bidang itu.

Jarak antara titik A ke bidang α (titik A berada di luar bidang α) dapat dicari dengan cara

sebagai berikut

Buatlah garis g melalui titk A dan tegak lurus bidang α sehingga menembus bidang α di titik

B. AB adalah jarak dari titik A ke bidag α yang diminta.

α

A . B

Contoh Soal :

1. Diketahui balok ABCD.EFGH denga panjang rusuk AB = 10 cm, AD = 8cm, dan AE = 6 cm.

Titik O merupakan titik potong diagonal bidang alas AC dan BD. Hitung:.

a) A ke bidang BCGF

b) A ke bidang CDHG

c) O ke bidang ABFE

H G

E F

DO C

A B

a) Jarak titik A ke bidang BCGF adalah AB = 10 cm, sebab AB tegak lurus bidang BCGF.

b) Jarak titik A ke bidang CDHG adalah AD = 8 cm, sebab AD tegak lurus bidang CDHG.

c) Jarak titik O ke bidang ABFE adalah OP = ½ PQ = ½ 8 = 4 cm.

2. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 4 cm. Carilah jarak titik C ke bidang

BDG

H G

E F

D O C

52

. A P B

Jawab:

Jarak titik C ke bidang BDG adalah ruas garis yang dibuat melalui C dan tegak lurus terhadap

garis GP.

Diagonal AC = a√2 = 4√2, sehimgga PC = ½ AC = 2√2 cm.

Perhatikan ∆PCG:

PG2 = 42 + (2√2)2 = 24

PG = 2√6

Sin α = CG/ PG = 4/ 2√6 = 1/3 √6

Perhatikan ∆COP:

Sin α = CO/CP

CO = CP Sin α

CO = 2√2 (1/3 √6)

CO = 4/3 √3 cm

Jadi, jarak titik C ke bidang BDG sama dengan 4/3 √3 cm

Latihan

1. Diketahui kubus ABCD.EFGH.

H G

E F

D C

A B

Tentukan jarak titik D ke bidang ACH.2. Diketahui kubus ABCD.EFGH. dengan rusuk a cm. jika S merupakan proyeksi titik C

pada bidang AFH, maka jarak titik A ke titik S adalah

H G

E F

D C

53

A B

3. Jika panjang rusuk kubus adalah 9 cm. maka hitunglah jarak C ke diagonal FD adalah

H G

E F

D C

A B

d. Jarak antara dua garis sejajar

Dalam hal dua garis sejajar maka terdapat jarak antara dua garis tersebut

Definisi:

Jarak antara dua buah garis sejajar adalah ruas garis yang menghubungkan salah satu

titik pada garis yang satu dengan proyeksi titik itu pada garis yang lain.

Jika garis g sejajar garis h, maka jarak antara kedua garis itu dapat ditentukan dengan cara

sebagai berikut:

Garis g dan h membentuk bidang b (Dalil 4). Buatlah garis k yang memotong tegak lurus

terhadap garis g dan h di titik A dan B. AB adalah jarak antara garis g dan h yang diminta.

Jarak antara dua garis sejajar, seperti AB dan CD pada gambar , adalah ruas garis PQ, garis

tegak lurus diantara dua garis sejajar tersebut.

A P B

C Q D

k A g

B h

54

e. Dua garis bersilangan

Dua buah garis g dan h dikatakan bersilangan (tidak berpotongan dan tidak sejajar),jika

kedua garis itu tidak terletak pada sebuah bidang

Gbr. Garis g bersilangan dengan garis h

Garis h menembus bidang di titik A, sedangkan titik A tidak terletak pada garis g. dalam hal

demikian garis g dan h dikatakan bersilangan.

Latihan!1. H G

Diketahui kubus ABCD EFGH dengan panjang rusuk 6cm.

Hitunglah jarak AF ke bidang CDHG!

A B

2. T.ABC adalah bidang empat beraturan, degan AB = 16. jika P dan Q masing-masing

pertengahan TA dan BC, maka tentukan PQ.

3. Diketahui bidang empat D.ABC beraturan dengan AB = 10, dengan titik P dan Q

masing-masing merupakan titik tengah dari BA dan DC. Hitunglah jarak AB ke CD!

hA

g

D

55

f. Jarak Bidang

1.Jarak Antara Sebuah Titik dan Sebuah Bidang

Definisi

Ruas garis yang menghubungkan titik itu dengan proyeksinya pada bidang tersebut

Panjang ruas garis yang tegak lurus menghubungkan titik tersebut dengan bidang

ARuas garis d yang tegak lurus bidang V

menunjukkan jarak antara

titik A dan bidang V.

A1 merupakan proyeksi titik A pada bidang V d

A1

V

Contoh :

1. Pada sebuah balok yang bidang alasnya ABCD dan rusuk-rusuk tegak AE, BF, CG

dan DH. Tentukanlah ruas garis yang menyatakan jarak antara titik D

dan bidang BCGF!

Jawab :

C merupakan proyeksi D pada bidang BCGF, sehingga

Ruas garis DC merupakan jarak antara titik D dengan bidang BCGF.

2. Panjang rusuk kubus ABCD.EFGH di bawah ini adalah 6 cm.

Hitunglah jarak antara titik F ke bidang ABCD.?

H G

E F

D C

56

A 6 cm B

Jawab:

Ruas garis BF merupakan ruas garis yang menunjukkan jarak antara titik F dengan bidang

ABCD,sehingga jarak yang dimaksudkan adalah 6 cm

2. Jarak Antara Sebuah Garis dan Sebuah Bidang yang Saling Sejajar

Definisi

P l PQ adalah jarak antara garis l dan bidang V

Q V

Contoh :

Diketahui balok ABCD.EFGH dengan panjang AB = 6 cm, BC = 4 cm dan

BF = 8 cm. Hitunglah jarak antara garis AC dan bidang EFGH.?

H G E F

D C

A 8 cm B

Jawab :

Panjang ruas garis yang masing-masing tegak lurus terhadap

garis dan bidang tersebut

Panjang ruas garis PQ dengan Q proyeksi P ke bidang V,

PQ r garis l ,dan PQ rbidang V

57

Jarak antara garis AC dan bidang EFGH dapat diwakili oleh ruas garis AE atau CG, sehingga

jarak yang dimaksud adalah 8 cm

3. Jarak Antara Dua Bidang Definisi

A

V

Ruas garis AA1 merupakan

jarak antara dua bidang tersebut

A1

U

Contoh :

1. Diketahui sebuah balok PQRS.TUVW. Tentukanlah ruas garis yang menyatakan

jarak antara bidang PQUT dan bidang RSWV!

Jawab:

Ruas garis PS, QR, TW dan UV tegak lurus bidang PQUT dan bidang RSWV.

Sehingga ruas garis tersebut dapat dinyatakan sebagai jarak antara bidang PQUT dan

Bidang RSWV

2. Diketahui balok ABCD.EFGH dengan panjang AB = 6 cm, BC = 4 cm dan

BF = 8 cm. Hitunglah jarak antara bidang ABCD dan EFGH.?

H G

E F

8 cm D C 4 cm

Panjang ruas garis yang tegak lurus

terhadap dua bidang tersebut

58

A 6 cm BJawab :

Jarak bidang ABCD dengan bidang EFGH dapat diwakili oleh ruas garis AE, DH, BF dan CG,

sehingga jarak yang dimaksudkan adalah8 cm.

Latihan!

1. Diketahui balok ABCD.EFGH dengan panjang rusuk AB = 10 cm, AD = 8 cm, dan

AE = 6 cm. Titik O merupakan titik potong diagonal bidang alas AC dan BD.

Carilah jarak titik :

a. A ke bidang BCGF d. O ke bidang ABFE

b. A ke bidang CDHG e. O ke bidang BCGF

c. A ke bidang EFGH f. O ke bidang EFGH

2. Diketahui kubus PQRS.TUVW dengan panjang rusuk PQ = 6 cm.

a. Carilah jarak antara PU dan bidang RSWV

b. Carilah jarak antara UW dan bidang PQRS

3. Kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 10 cm. Titik P dan Q berturut-turut adalah

titik tengah FG dan HG. Hitunglah jarak garis PQ ke bidang BDHF!

4. Sebuah kubus dengan rusuk a cm. Bidang alasnya ABCD, rusuk-rusuk tegaknya

AE,BF,CG dan DH.

a. Carilah jarak antara bidang ACH dan bidang BEG

b. Carilah jarak antara bidang BDE dan bidang CFH

5. Sebuah kubus yang bidang alasnya PQRS dan rusuk-rusuk tegaknya PT, QU, RV

dan SW. Panjang rusuk kubus tersebut adalah 12 cm.Hitunglah jarak antara rusuk VW

dengan bidang diagonal RSTU!

6. Perhatikan gambar di samping! T

AT, AB, dan AC saling tegak lurus di A.

Hitunglah jarak titik A ke bidang TBC! 5 cm

A 5 cm C

5 cm B

59

D. Sudut

1. Sudut antara garis dan bidang

Jika sebuah garis tidak tegak lurus pada sebuah bidang, maka sudut antara garis itu dan

bidang tersebut adalah sudut lancip antara garis itu dengan proyeksi garis itu pada bidang

tersebut. Adapun sudut antara garis dan bidang dapat ditentukan sebagai berikut:

1. Tentukan titik tembus garis g pada bidang α, misal T g 2. Proyeksikan g pada bidang α, Misal proyeksi g pada bidang α adalah g’. θ 3. (g, α) = (g, g’)= θ β T Sudut antara garis g dan bidang α adalah α

g’ sudut lancip antara garis g dan g’, yaitu θ

Contoh Soal:

1. ABCD.EFGH adalah sebuah kubus. Tentukan titik tembus antara garis dan bidang

berikut serta beri nama sudut yang dibentuk antara keduanya.

a. Garis AH dan bidang ABCD

b. Garis AG danbidang ABCD

c. Garis HF dan bidang BCGF

Jawab:

H G H G H G

E E E

C C CA B A B A B

Gambar 1 Gambar 2 Gambar 3

F D

F

D

F

D

60

a. Titik tembus HA dan ABCD adalah titik A. Proyeksi H pada ABCD adalah titik D

(Buktikan bahwa Hd tegak lurus ABCD). Sudut antara HA danABCD adalah sudut

antara HA dan DA, yaitu sudut HAD, seperti pada gambar 1

b. Titik tembus GA dan ABCD adalah titik A. Proyeksi G pada ABCd adalah titik C

(buktikan bahwa GC tegak lurusABCD). Jadi, proyeksi GA pada ABCD adalah CA.

Sudut antara GA dan ABCD adalah sudat antara GA dan CA, yaitu sudut GAC,

seperti pada gambar 2.

c. Titik tembus HF pada BCGF adalah titik F (buktikan bahwa HG tegak lurusBCGF).

Jadi, proyeksi HF pada BCGF adalah GF. Sudut antar HF dan BCGF adalah sudut

anatar HF dan GF yaitu sudut HFG, seperti pada gambar 3.

2. Diketahui limas tegak beraturan T.ABCD dengan rusuk 4 cm dan rusuk tegaknya 6 cm.

a. Tunjukkan sudut antara garis AB dengan bidang ACT.

b. Hitunglah besar sudut antara garis AB dengan bidang ACT.

Jawab:

a. Jika pusat diagonal alas ABCD kita sebut P, maka proyeksi garis AB terhadap

bidang ACT adalahgaris AP, sehingga sudut antara AB dan bidang ACT adalah

BAP

b. Perhatikan segitiga siku-siku ABP. Jika sudut tersebut kita namakan α, maka:

T

sin α =

sin α =

sin α = C P D

α = 45° A B

2. Sudut antara dua bidang

Sudut antara dua bidang yang berpotongan adalah sudut yang terbentuk antara dua

garis pada masing masing bidang, dimana kedua garis itu tegak lurus pada suatu garis

perpotongan kedua bidang. Adapun sudut antara dua bidang dapat ditentukan sebagai berikut:

n 1. Ambil sembarang titik T pada garis g g 2. pada bidang α, buat garis m tegak lurus pada garis g

melalui T.

61

β 3. pada bidang β, buat garis n tegak lurus pada garis g melalui T. T m 4. (α, β) = (m, n) = θ α Sudut antara bidang α dan bidang β adalah sudut yang terbentukantara garis,

m dan garis n, yaitu θ. Contoh Soal:

1. Pada kubus ABCD.EFGH, hitunglah sudut antara bidang BDE daan BDG.

Jawab :

H G

E

C

A B

Misalkan panjang sisi kubus ABCD.EFGH adalah a satuan. Pada gambar diperlihatkan

bidang BDE dan BDG yang berpotongan dengan garis potong BD. Misalkan P titik pusat

ABCD. Karena pada kubus ABCD.EFGH berlaku BD tegak lurus ACGE, maka BD tegek

lurus EP, EP pada bidang BDE dan BD tegek lurus GP, GP pada bidang BDG. Jadi,

θ = EPG adalah sudut antara bidang BDE dan BDG.

Pada segitiga APE yang siku-siku di A diperoleh

Tan APE = = = ,

Sehingga APE = 54,73°.

Dengan cara yang sama diperoleh CPG = 54,73°.

Jadi, θ = EPG = (BDE,BDG) = 180° - 2. 54,73° = 70.5°

2. Bidang empat (tetrahedron) T.ABC mempunyai alas segitiga siku-siku ABC, dengan sisi

AB = AC. TA = 5 dan tegak lurus pada alas. Jika BC = 10, maka sudut antara TBC dan

bidang alas adalah.....

F

D θ P

62

Jawab T

C

A S

B

AS tegak lurus BC

Karena sudut BAC = 90° dan AB = AC, maka ABC = ACB = CAS = 45°.

Karena ACS = CAS = 45°, maka AS = CS = BC = . 10 = 5

Perhatikan segitiga TAS

tg α = =

tg α = , maka α = 60°

3. Sudut antara dua garis yang bersilangan

Dua buah garis dikatakan bersilangan jika keduanyatidak terletak dalam sebuah bidang. Jadi,

sudut antara dua garis yang bersilangan adalah sudut yang diperoleh dari dua garis yang

berpotongan yang masing-masing garis sejajar dengan garis yang bersilangan.

Adapun sudut antara dua garis yang bersilangan dapat ditentukan sebagai berikut:

1. Misal garis m dan garis n adalah dua garis yang saling bersilangan.

Tentukan garis m’ yang sejajar dengan A

m garis m dan garis n’ yang sejajar dengan m’ garis n yang saling berpotongan. θ 2. Anggap titik potong adalah titik O. B n’ O AOB = θ n Maka sudut θ yang terbentuk antara garis

63

m’ dan garis n’ atau AOB adalah sudut yang terbentuk antara dua garis yang bersilangan, yaitu θ.

Contoh Soal:

Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 4 cm.

a. Tunjukkan sudut antara garis CF dan garis EG.

b. Hitunglah sudut antara garis CF dan garis EG.

Jawab:

G H

F

D

B

A

a. Garis yang sejajar EG dan

memotong CF adalah garis AC. Dengan demikian, sudut antara garis CF dan garis EG

diwakili oleh sudut ACF.

b. Pada segitiga ACF, tampak bahwa

AC = CF = AF (diagonal sisi), sehingga segitiga tersebut merupakan segitiga sama sisi,

oleh sebab itu sudut antara garis CF dan garis EG adalah 60°.

Latihan!

1. Pada kubus ABCD.EFGH, hitunglah sudut antara garis BG dengan bidang ACGE dan

BA dengan bidang ACGE.

2. P.ABCD merupakan limas beraturan. Panjang sisi persegi adalah 2 cm dan panjang

rusuk tegak PA adalah cm. Jika α adalah sudut antara bidang PAB dan bidang PCD.

Hitunglah sin α.

3. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 4. Titik T pada perpanjangan CG sehingga

CG = GT. Jika sudut antara TC dan bidang BDT adalah α, maka tan α = ... (UMPTN 1999)

4. Pada bidang empat T.ABC, bidang alas ABC merupakan sama sisi, TA teagk lurus pada

bidang alas, panjang TA sama dengan 1 dan besar sudut TBA adalah 30°. Jika α adalah

sudut antara bidang TBC dan bidang alas, maka tan α = ... (UMPTN 1998)

5. Diketahui bidang empat T.ABC. TA segitiga = TB = 5, TC = 2, CA = CB = 4, AB = 6.

Jika α sudut antara TC dan bidang TAB, maka cos α = ... (UMPTN 1992)

E

αC

64

BAB V

IRISAN BIDANG

Jika suatu bidang datar memotong suatu bangun ruang maka akan diperoleh bidang irisan.

Suatu bidang yang memotong bangun ruang maka perpotongannya disebut bidang irisan. Untuk

menentukan irisan bidang dengan bangun ruang dapat digukana 3 cara yaitu menggunakan :

1. sumbu affinitas

2. perpotongan bidang diagonal

3. perluasan bidang sisi.

A. Menggambar Irisan Bidang dengan Sumbu Afinitas

1. Pengertian IrisanPerhatikan gambar di samping!

Melalui titik PQRST dibuat bidang α.

Bidang α memotong bidang ABCD di

P dan Q, memotong bid. AEHD di

Q dan R, memotong bidang ABFE di

P dan T, memotong bidang BCSF di Sumbu afinitas

T dan S, serta memotong bidang CDHG di R dan S.

Garis-garis potong QR, RS, ST, TP, dan PQ ini membentuk bidang yang disebut irisan atau

penampang antara bidang α dengan kubus ABCD.EFGH.

Definisi Irisan:

“Irisan antara bidang dengan bangun ruang adalah sebuah bangun datar yang dibatasi

oleh garis-garis potong antara bidang itu dengan bidang-bidang sisi dari bangun ruang,

sehingga irisan itu membagi bangun ruang menjadi dua bagian.”

F

D

A B

C

E

GH

P

Q

R

K

S

T

L

65

2. Pengertian Sumbu Afinitas

Perhatikan gambar di atas! Bidang irisan PQRST berpotongandengan bidang alas ABCD

pada garis potong PQ. Garis potong PQ disebut sumbu afinitas atau garis dasar atau garis

koliniasi.

Definisi Sumbu afinitas:

“Sumbu afinitas adalah garis potong antara bidang irisan dengan bidang alas bangun

ruang yang diirisnya. Sumbu afinitas terletak pada bidang irisan dan bidang alas.”

Sumbu afinitas memegang peranan yang sangat penting untuk menyelesaikan gambar irisan

suatu bidang dengan bangun ruang.

3. Menggunakan Sumbu Afinitas dalam Menggambar Irisan

1. Aksioma yang diperlukan dalam melukis bidang irisan:

a. Dua titik menentukan garis.

b. Garis dapat diperpanjang pada kedua ujungnya.

c. Bidang dapat diperluas.

2. Langkah menggambar bidang irisan dengan sumbu afinitas:

a. Pilih dua titik pada bidang irisan yang terletak sebidang pada bangun ruang.

b. Lukislah garis yang melalui dua titik tersebut.

c. Perpanjang garis-garis pada alas bangun ruang sehingga memotong garis pada

langkah 2.

d. Hubungkan 2 titik baru pada bidang alas bangun ruang. Garis yang diperoleh adalah

sumbu afinitas.

e. Lengkapi gambar irisan bidang tersebut.

Contoh:

1. Lukislah bidang irisan kubus ABCD.EFGH yang melalui titik P, Q, dan R!

F

D

A B

C

E

GH

P

RQ

66

Jawab:

Langkah penyelesaian:

a. Lukislah garis yang melalui titik R dan Q.

b. Perpanjang garis DC sehingga memotong RQ di S

c. Lukislah garis yang menghubungkan titik P dan S. Garis PS akan memotong BC di

T. PT adalah sumbu afinitas.

d. Hubungkan titik R dan P, serta titik Q dan T.

Sumbu afinitas

LATIHAN

Soal 1 dan 2 menggunakan kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 4 cm.

1. Titik K terletak pada pertengahan rusuk AD, titik L terletak pada rusuk DH sehingga DL

= ¾ DH. Bidang α melalui garis KL dan sejajar dengan rusuk AB.

a. Gambarlah irirsan bidang α dengan kubus.

b. Sebutkan bentuk bangun datar irisan itu, kemudian hitung luasnya.

2. Titik-titik K dan L adalah pertengahan rusuk AD, AB, dan BF. Bidang α melalui titik-

titik K, L, M.

a. Gambarlah irisan bidang α dengan kubus.

b. Sebutkan bentuk bangun datar irisan itu, kemudian hitung luasnya.

c. Misalkan irirsan yang diperoleh pada soal (a) bertindak sebagai alas sebuah limas

dengan titik puncak E, hitunglah:

A B

CD

EF

GH

P

Q

R

S

T

67

(i) panjang rusuk sisi limas,

(ii) tinggi limas, dan

(iii) volume limas

3. Terdapat prisma segitiga beraturan ABC.DEF dengan panjang AB = 4 cm dan AD

= 5 cm.

a. Gambarlah prisma itu dengan bidang ABED frontal, AB horisontal, sudut surut 60o

dan perbandingan ortogonal ½ .

b. Titik K pada AB sehingga AK : AB = 1 : 3, titik L pertengahan BE. Bidang α

melalui titik F, K, dan L. Gambarlah irirsan bidang α dengan prisma.

4. Terdapat limas segiempat beraturan T.ABCD dengan AB = TA 4 cm. Titik K pada

perpanjangan AB sehingga BK = AB, titik L pada perpanjangan CB sehingga BL=BC,

dan titik M pertengahan rusuk TB. Bidang α melalui titik-titik K, L, dan M. Gambarlah

irisan antara bidang α dan limas T.ABCD.

B. Menggambar Irisan Bidang Menggunakan Perpotongan Bidang Diagonal

Definisi: Bidang diagonal adalah suatu bidang yang melalui dua rusuk tegak yang tidak

berurutan.

Definisi tersebut memiliki akibat bahwa pada prisma segitiga tidak memiliki bidang

diagonal sebab sebarang dua rusuk tegak yang dipilih pasti berurutan.

Perhatikan gambar pada prisma segilima ABCDE.FGHIJ, beberapa bidang diagonalnya

adalah: ACHF,ADIF, BEJG. Lihat gambar!

Dalil :

Banyaknya diagonal prisma segi-n.

Banyaknya bidang diagonal prisma segi-n adalah ½ n(n-1).

Dalil tersebut merupakan perluasan banyaknya diagonal segi-n. Perlu kita ketahui bahwa

setiap perpotongan dua bidang diagonal pada prisma merupakan suatu garis yang sejajar

salah satu rusuk tegak. Pada gambar pada prisma ABCD.EFGH bidang diagonal ACGE dan

bidang diagonal BDHF berpotongan menurut garis MN, maka garis MN // AE.

68

CONTOH:

Diketahui prisma ABCD.EFGH pada gambar

Titik P pada rusuk AE, titik Q pada rusuk BF, titik R pada rusuk DH. Bidang α melalui

ketiga titik tersebut. Dengan pertolongan perpotongan bidang diagonal lukis irisan bidang α

dengan prisma ABCD.EFGH.

Penyelesaian:

Langkah-langkah: (Perhatikan gambar)

a. Melukis garis MN yang merupakan perpotongan bidang diagonal ADGE dan bidang

diagonal BDHF.

b. Menentukan titik tembus CG pada bidang irisan dengan cara:

Tentukan titik O merupakan perpotongan garis MN dengan garis QR, keduanya

pada bidang BDHF.

Perpanjangan garis PO memotong rusuk tegak CG di titik S. Titik S merupakan

titik tembus CG dengan bidang irisan. Dengan demikian bidang PQRS adalah

bidang irisan, bidang α dengan prisma ABCD.EFGH.

69

Catatan

Dengan menggunakan pertolongan bidang diagonal memiliki keuntungan tidak

memerlukan tempat yang luas. Cara ini memiliki kelemahan yaitu apabila prisma segi-n

dan n cukup besar lukisan terlihat rumit.

C. Menggambar Irisan Bidang Menggunakan Perluasan Bidang Sisi

Prinsip utama dari cara ini adalah menentukan perpotongan dua bidang tegak prisma,

masing-masing memuat minimal satu titik dan titik tersebut terletak pada bidang irisan.

Contoh

Diketahui prisma ABCDE.FGHIJ

Titik K pada rusuk AF, titik L pada rusuk BG, titik M pada rusuk DI. Bidang α melalui

ketiga titik tersebut. Dengan menggunakan perluasan bidang sisi tegak, lukis irisan bidang α

dengan prisma ABCDE.FGHIJ.

Penyelesaian :

1) Lukis garis XY yang merupakan perpotongan bidang tegak ABGF dan CDIH dengan

cara menentukan titik X yang merupakan perpotongan garis AB dan DC pada bidang

alas. Menentukan titik Y yang merupakan perpotongan FG dan IH pada bidang atas.

2) Titik tembus CH pada bidang irisan ditentukan dengan cara menentukan titik S yang

merupakan perpotongan garis KL dengan XY. Menentukan titik N yang merupakan

perpotongan garis SM dan rusuk CH.

70

3) Lukis garis UV yang merupakan perpotongan bidang tegak CBGH dan DEJI dengan

cara menentukan titik U yang merupakan perpotongan garis BA dan DE pada bidang

alas. Menentukan titik V yang merupakan perpotongan GF dan IJ pada bidang atas.

4) Titik tembus EJ pada bidang irisan ditentukan dengan cara menentukan titik T yang

merupakan garis LN dengan UV. Menentukan titik R yang merupakan perpotongan garis

MT dan rusuk EJ.

Kesimpulan: KLNMR merupakan penampang irisan bidang α dengan prisma

ABCDE.FGHIJ.

Catatan : Perluasan bidang tegak tidak selalu berpotongan, yaitu apabila kedua bidang

tegak tersebut sejajar. Apabila dijumpai hal yang demikian dapat dipilih alternative

penyelesaian berikut:

1. Digunakan perluasan bidang tegak yang sejajar.

2. bidang irisan memotong kedua bidang tegak yang sejajar, maka perpotongannya berupa

dua garis sejajar.

Contoh:

Diketahui prisma ABCDE.FGHIJ pada gambar ! AB // ED.

Titik P pada rusuk AF, titik Q pada rusuk BG, titik R pada rusuk EJ. Bidang α melalui

ketiga titik tersebut. Dengan menggunakan perluasan bidang tegak, lukis irisan bidang α

dengan prisma ABCDE.FGHIJ.

71

Penyelesaian:

Mengingat AB // ED, maka bidang ABGF // bidang EDIJ, sehingga perluasan kedua bidang

tersebut tidak berpotongan. Oleh karena itu sebagai langkah pertama yang diperluas adalah

bidang tegak yang lain yaitu: bidang sisi tegak AEJF dan BCHG yang berpotongan di XY.

Cara melukis garis XY sebagai berikut.

1. Menentukan titik X yang merupakan garis EA dan CB pada bidang alas.

Menentukan titik Y yang merupakan perpotongan JF dan HG pada bidang atas.

2. Titik tembus CH pada bidang irisan ditentukan cara menentukan titik S yang

merupakan perpotongan garis RP dengan XY. Menentukan titik N yang merupakan

perpotongan garis SQ dan rusuk CH. Lihat gambar !

3. Lukis garis UV yang merupakan perpotongan bidang tegak ABGF dan DCHI dengan

cara menentukan titik U yang merupakan perpotongan garis AB dan DC pada bidang

alas. Menentukan titik V yang merupakan perpotongan FG dan IH pada bidang atas.

4. Titik tembus DI pada bidang irisan ditentukan dengan cara menentukan titik T yang

merupakan perpotongan garis PQ dengan UV. Menentukan titik K yang merupakan

perpotongan garis TN dan rusuk DI.

Lihat gambar !

Kesimpulan:

PQNKR merupakan penampang irisan bidang α dengan prisma ABCDE.FGHIJ.

72

C. Menggambar Irisan Bidang Menggunakan Bidang Diagonal Pada Limas

Definisi :

Bidang diagonal limas merupakan suatu bidang yang melalui puncak dan dua titik sudut

pada alas yang tidak berurutan.

Definisi tersebut memiliki akibat bahwa limas segitiga tidak memiliki bidang diagonal sebab

sebarang dua titik sudut yang dipilih pasti berurutan.

Dalil :

Banyaknya diagonal segi-n

Banyaknya bidang diagonal limas segi-n adalah(1/2)n(n-1).

Dalil tersebut merupakan perluasan banyaknya diagonal segi-n, bukti dari dalil tersebut

dapat kita lihat kembali pada geometri datar.

Bagaimana melukis irisan bidang α dengan menggunakan pertolongan bidang diagonal?

Perlu kita ketahui bahwa perpotongan dua bidang diagonal pada limas merupakan suatu

garis. Pada gambar bidang diagonal TAC dan bidang diagonal TBD berpotongan menurut

garis TM.

Contoh:

Diketahui limas T.ABCD pada gambar di bawah ini.

Titik R pada rusuk TA, Titik L pada rusuk TB, Titik M pada rusuk TC.

Bidang α melalui ketiga titik tersebut. Dengan pertolongan-pertolongan bidang diagonal

lukis irisan bidang α dengan limas T.ABCD.

73

Penyelesaian:

Untuk menyelesaikan soal tersebut dikerjakan dengan langkah-langkah sebagai berikut:

1. Dilukis garis potong bidang diagonal TAC dengan bidang diagonal TBD yaitu garis PT

dengan cara sebagai berikut:

a. Titik P merupakan perpotongan garis AC dan BD pada alas.

b. Garis hubung P dengan T merupakan perpotongan kedua bidang diagonal.

2. Menentukan titik tembus TD pada bidang irisan dengan cara:

a. Tentukan titik O yang merupakan perpotongan garis KM dengan garis PT.

b. Perpanjangan garis LO memotong rusuk TD di titik N. Titik N merupakan titik

tembus PD dengan bidang irisan. Dengan demikian bidang KLMN adalah bidang

irisan pada limas. Cara ini tidak memerlukan tempat yang luas, tetapi terlihat rumit

jika langkah-langkah yang dilukis menjadi satu.

E. Menggambar Irisan Bidang Menggunakan Perluasan Bidang Tegak

Prinsip utama dari cara ini adalah menentukan perpotongan dua bidang tegak limas, masing-

masing memuat satu titik tersebut terletak pada bidang irisan.

Contoh:

74

Diketahui limas T.ABCD. Titik R pada rusuk TA, Titik L pada rusuk TB, Titik M pada

rusuk TC. Bidang α melalui ketiga titik tersebut. Dengan pertolongan-perpotongan bidang

diagonal lukis irisan bidang α dengan limas T.ABCD. Penyelesaian:

a. Lukis perpotongan bidang tegak TAB dan TCD dengan cara:

b. Titik tembus TD pada bidang irisan ditentukan dengan cara menentukan titik S yang

merupakan garis LK dengan TR. Menentukan titik N yang merupakan titik perpotongan

garis SM dan rusuk TD. Lihat gambar!

Dengan demikian bidang KLMN adalah irisan bidang α dengan limas T.ABCD.

Catatan: Perpotongan perluasan dua bidang sisi tegak yang berupa garis lurus tidak selalu

menembus bidang alas. Kejadian demikian terjadi apabila rusuk alas yang termuat pada

bidang tegak yang diperluas sejajar. Lihat gambar !

Perhatikan bahwa perluasan dua bidang tegak yang memuat rusuk alas sejajar

perpotongannya merupakan suatu garis yang melalui puncak dan sejajar rusuk alas tersebut.

Lihat gambar !

Sifat tersebut dapat digunakan untuk menyelesaikan latihan berikut .

75

Contoh diketahui limas T.ABCD, alas ABCD berbentuk jajaran genjang. titik Q pada rusuk

TA, titik Q pada rusuk TB, titik R pada rusuk TD.

Bidang α melalui ketiga titik tersebut. Dengan pertolongan perpotongan bidang diagonal

lukis irisan bidang α dengan limas T.ABCD.

Langkah penyelesaian:

a. Lukis garis g melalui T dan sejajar AB atau DC, garis tersebut merupakan

perpotongan dari perluasan bidang TAB dan TDC.

b. Tentukan titik tembus TC pada bidang α dengan cara menentukan titik S yang

merupakan perpotongan garis QP dengan garis g. Selanjutnya garis hubungan SR

akan memotong TC di N. Perhatikan gambar

Dengan demikian bidang PQNR adalah bidang irisan pada limas.

76

LATIHAN

1. Sebuah prisma segilima ABCDE.FGHIJ, P pada ID, Q pada CH dan R pada BG. Bidang

α melalui P,Q, dan R. Lukis penampang irisan bidang α prisma tersebut!

2. Pada prisma ABCDE.FGHIJ pada gambar ditentukan titik K, L dan M berturut K pada

AF, L pada BG dan M pada DI. Tentukan irisan bidang α melalui K, L dan M dengan

prisma ABCDE.FGHIJ.

3. Diketahui limas T.ABCDE!

Titik P pada rusuk TA, titik Q pada rusuk TC, titik R pada rusuk TD. Bidang α melalui

ketiga titik tersebut. Lukis irisan bidang α dengan limas T.ABCDE!

4. Diketahui limas T.ABCDE!

Titik P pada rusuk TA, titik Q pada rusuk TB, titik R pada rusuk ED. Bidang α melalui

ketiga titik tersebut. Lukis irisan bidang α dengan limas T.ABCDE!

5. Sebuah limas T.ABCDE dengan titik K pada rusuk TE. Titik H pada rusuk TC, dan titik

R pada rusuk TD. Bidang α melalui ketiga titik tersebut. Lukis irisan bidang α dengan

limas T.ABCDE!

77

DAFTAR PUSTAKA

Depdiknas. (2004). Bangun Ruang Sisi Datar. Jakarta: Direktorat PLP Depdiknas.

________. (2004). Bangun Ruang Sisi Lengkung. Jakarta: Direktorat PLP Depdiknas

Iswadi, Joko. (1993). Geometri Ruang. Jakarta: Depdikbud.

Murzaini, Raja Leni. 2005. Melukis Irisan Antara Bidang dan Bangun Ruang dengan Menggunakan Sumbu Afinitas. http://leni.wordpress.com/bahan_ajar/irisan_made_leni/. Diakses tanggal 17 Februari 2007.

Rahayu. Budi Endah. (2003). Media Pembelajaran (Lukisan Dasar). Bahan Pelatihan Terintegrasi Berbasis Kompetensi Guru Mata Pelajaran Matematika. Jakarta: Direktorat PLP Depdiknas.

Soewardi. (1984). Melukis Bentuk Geometri. Jakarta: PT Gramedia.

Sunardi & Haryanta. (1997). Matematika untuk Kelas II SLTP. Jakarta: Cempaka Putih.

Suwarsono. (2003). Media Pembelajaran (Geometri Dimensi Tiga). Bahan Pelatihan Terintegrasi Berbasis Kompetensi Guru Mata Pelajaran Matematika. Jakarta: Direktorat PLP Depdiknas.

Tampomas, Husein. 1999. Seribu Pena Matematika SMU kelas 3. Jakarta: Erlangga.

Tim Penyusun. 2003. Panduan Materi SMA/MA (IPA). Jakarta: DEPDIKNAS.

Winarno. 2004. Bimbingan Pemantapan Matematika IPA. Bandung Yrama Widya.

Wirodikromo, Sartoto. (1995). Matematika untuk SMU Kelas 1 Caturwulan 2. Jakarta: Erlangga.

78

http://leni.wordpress.com/bahan_ajar/irisan_made_leni/

Documents

DAFTAR ISI - Rumahtematika | … · Web view... yaitu sudut HAD, seperti pada gambar 1 Titik tembus GA dan ABCD adalah titik A. Proyeksi G pada ABCd adalah titik C (buktikan bahwa