1

Диференціювання вектора, заданого в рухомій системі координат

aωaa×+= PP

dtd

dtd ~

У проекціях на осі рухомої системи координат P :

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

ω−ω+=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

ω−ω+=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

ω−ω+=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

PP

PPPP

P

P

PPPP

PP

P

P

PPPP

PP

P

P

aadt

dadtd

aadt

dadtd

aadt

dadtd

12213

3

31132

2

23321

1

a

a

a

ОТЧЕСО-1 – Кафедра ПСОН – НТУУ "КПІ"

2

Закон моментів

OCOOPOP m

dtd wMKK

×ρ−=×ω+ ωω~

У проекціях на осі рухомої системи координат P (OXYZ ):

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

−−=ω−ω+

−−=ω−ω+

−−=ω−ω+

ωωω

ωωω

ωωω

)(

)(

)(

OXCOYCOZOXPYOY

PX

OZ

OZCOXCOYOZPXOX

PZ

OY

OYCOZCOXOYPZOZ

PY

OX

wywxmMKKdt

dK

wxwzmMKKdt

dK

wzwymMKKdt

dK

,

Матрична форма подання вектора обертальної частини кінетичного моменту

POPOP ΩIΚ =ω,

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=ω

ω

ω

ω

OZ

OY

OX

OP

KKK

K

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

OZOYZOXZ

OYZOYOXY

OXZOXYOX

OP

JJJJJJJJJ

I

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

ωωω

=

Z

Y

X

PΩ

ОТЧЕСО-2 – Кафедра ПСОН – НТУУ "КПІ"

3

Рівняння Лагранжа другого роду

qQqqqdt

d=

∂Π∂

+∂Τ∂

−∂Τ∂&

( )OO KωQv ⋅+⋅=Τ21

)( CC m ρgρP ⋅−=⋅=Π

ω+×= OOCO m KvρK

CmvQ = COC ρωvv ×+=

Рівняння Жільбера

qQqqqdt

d=

∂Π∂

+∂Τ∂

−∂Τ∂ ***

&

OKω ⋅=Τ21*

COm ρ⋅−=Π )(* gw

ОТЧЕСО-3 – Кафедра ПСОН – НТУУ "КПІ"

4

Закон прецесії

MHω =×P

Якщо XYZP = – оси Резаля, а Z – вісь власного обертання, тобто

0== YX HH ; ZZ JHH ω== ,

то

MHω =× ⇒ ⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=ω

=ω

HMH

M

YX

XY

0=+ gyrMM

Гіроскопічний момент ωHM ×=gyr

ОТЧЕСО-4 – Кафедра ПСОН – НТУУ "КПІ"

5

Рівняння руху СЗГ

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

=βα−ββα+β=β+ββα−βα

Z

Yee

Xee

MdtdH

MHJJMHJJ

coscossinsin2cos

2 &&&&

&&&&&

ОТЧЕСО-5 – Кафедра ПСОН – НТУУ "КПІ"

6

Рівняння руху СЗГ у формі Булгакова

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=

β−=

α

=β

ZK

K

YKK

XKK

MdtdK

KM

dtd

KM

dtd

cos РПР

⎪⎩

⎪⎨

⎧

ψ+ψ−=

ϑϑ

ψ−ψ−λ=

ψ

KMM

dtd

KMM

dtd

YKXK

XKYK

sincostg

sincos

РНР

ϑψ−ψ

+ϑ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

ϕsin

sincoscos11K

MMKJJdt

d XKYK

e РВР

KYK

e KM

JK

β+=λ tg ⎪

⎩

⎪⎨

⎧

−=λ−

−=λ+

zK

Mxdtdy

zK

Mydtdx

YK

XK

ОТЧЕСО-6 – Кафедра ПСОН – НТУУ "КПІ"

7

Рівняння руху ГМ на нерухомій основі у кутах осциляції

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

+δδ=δδ+δδδ+δδ−+δδ=δδ+δδδδ−δδ η

X

Zee

Xee

MdtdH

MmglHJJMMmglHJJ

122122212

22122222122

1

cossincoscossin''sincossincoscossin'2cos'

&&&&

&&&&&

ОТЧЕСО-7 – Кафедра ПСОН – НТУУ "КПІ"

8

Рівняння руху ГМ на нерухомій основі у кутах Ейлера

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

+ϑ=ϑψ+ϑϑψ−ϑϑ−=ϑϑ−ϑϑϑψ+ϑψ ξ

X

Yee

Xee

MdtdH

MmglHJJMMHJJ

sinsincossin''cossincossin'2sin'

2

2

&&&&

&&&&&

ОТЧЕСО-8 – Кафедра ПСОН – НТУУ "КПІ"

9

Рівняння руху ГКП на нерухомій основі

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

+=

=βα−ββα+ββ−=ββ+βββα−αβ+

stMRdtdH

LHJJRNHJJJ

coscossinsincoscossin2)cos(

223

22

21

&&&&

&&&&&

ОТЧЕСО-9 – Кафедра ПСОН – НТУУ "КПІ"

10

Прецесійні рівняння руху ГКП на рухомій основі в опорних координатах

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

+=

γββ−

+γ−α+α−=β

γββ

β−−γ

β−βα−α+−=

α

ζη

ηζξ

st

ooooo

oo

oo

oooo

MRdtdH

HRN

HLuu

dtd

HRN

HLuuu

dtd

coscos

sinsin)sincos(

sincoscos

sincoscos

tg)sincos(

ОТЧЕСО-10 – Кафедра ПСОН – НТУУ "КПІ"

11

Прецесійні рівняння руху ГКП на рухомій основі

у відносних координатах

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

+=

ββ−

+α+α−=β

β−βα−α+−=

α

st

cZc

cYc

cYc

cZc

cXc

MRdtdH

HRNuu

dtd

HLuuu

dtd

cossin)sincos(

costg)sincos(

ОТЧЕСО-11 – Кафедра ПСОН – НТУУ "КПІ"

12

Прецесійні рівняння руху ГМ на рухомій основі

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−ω−=αω−β

+ω−−=βω+α

ξ

HM

gV

RV

dtd

HM

gV

RV

dtd

aEaN

YaNaE

&

&

03

0

10

30

'

'

ОТЧЕСО-12 – Кафедра ПСОН – НТУУ "КПІ"

13

Прецесійні рівняння руху МГК на рухомій основі

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=γ

+γ+β+=α⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+ϕω+

β

−α−+ϕ+ϕω−=β⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+ϕω+−

α

ζ

ηξζ

ζξ

gw

HM

wwHmlK

RVK

RV

dtd

HMww

HmlK

RVK

RV

Hmgl

dtd

g

Zggg

)(cossincos

)(tgsinsinsincos

333

1

33

33

ОТЧЕСО-13 – Кафедра ПСОН – НТУУ "КПІ"

14

Рівняння руху ДГ на рухомій основі

[ ] 121 )sincos()sincos()( YcXc

cZc

cZc

cXc

cYc MuuuuJHuJ =β+β⋅β−β−++β &&&

ОТЧЕСО-14 – Кафедра ПСОН – НТУУ "КПІ"

15

Параметри планет Гравітаційна стала γ = 6,6738e-011 м3 / (кг с2)

Планети земної групи

Параметр Меркурій Венера Земля Місяць Марс Радіус поверхні, км 2440 6052 6378 1737 3397 Середня густина, кг/м3 5 430 5 240 5 515 3 340 3 940 Маса, кг 3,3 1023 4,869 1024 5,9742·1024 7,35·1021 6,42·1023 Прискорення сили тяжіння, м/с2 3,726 8,826 9,8062 1,667 3,726 Період власного обертання, діб (с)

58,6462 (5,067·106)

243,0185 (2,1·107)

0,99726963 (8,6164·104)

27,321661 (2,3606·106)

1.02595675 (8,8643·104)

Радіус орбіти, км 5,791·107 1,08 108 1,4946·108 384,4·103 2,28·108 Період обігу орбіти, діб (с)

87,969 (7,60·106)

224,7 (1,9414·107)

365,26 (3,1558·107)

27,396 (2,3606·106)

686,94 (5,9352·107)

Газові гіганти

Параметр Юпітер Сатурн Уран Нептун Радіус поверхні, км 71 492 60 268 25 559 24 764 Середня густина, кг/м3 1 326 687 1 270 1 638 Маса, кг 1,8988·1027 5,685·1026 8,663·1025 1,028·1026 Прискорення сили тяжіння, м/с2 24,81 10,4 8,83 11,18 Період власного обертання, діб (с)

0,41354 (3,573·104)

0,44401 (3,836·104)

0,71833 (6,206·104)

0,67125 (5,8·104)

Радіус орбіти, км 7,786·108 14,34·108 28,7·108 44,9·108 Період обігу орбіти, діб (с)

4 334,6 (3,7451·108)

10 835,3 (9,3617·108)

30 697,8 (26,523·108)

60 079,0 (51,908·108)

ОТЧЕСО-15 – Кафедра ПСОН – НТУУ "КПІ"