Muestreo de Funciones y la Transformada Discreta de

Fourier

Al implementar simulaciones con la óptica de Fourier en la computadora, es

necesario representar funciones con valores de muestra discretas por matrices , y

aplicar transformaciones y métodos de procesamiento diseñados para estas

señales discretas, para llegar lo más cerca posible a la simulación de espacio

continuo, que sería genial para modelar los elementos físicos con una muestra

estipulada. Sin embargo, la memoria de la computadora y las limitaciones del

tiempo de ejecución no permiten esto. Por lo tanto, la elaboración de simulaciones

prácticas con óptica de Fourier se convierte en un acto de equilibrio con conjunto

de muestreo aceptable y recursos informáticos disponibles.

2.1 Toma de muestras y el teorema del muestreo de Shannon-Nyquist

Considere la función analítica de dos dimensiones (2D) g (x, y) y

supongamos que es muestreada de manera uniforme (Fig. 2.1) en las

direcciones x e y, que se indica por

( ) ( ), , (2.1)g x y g m x n y→ ∆ ∆

donde el intervalo de muestreo son ∆x en la dirección x y ∆y en la

dirección y, y m y n son índices de valores enteros de las muestras. Las

respectivas frecuencias de muestreo son 1 / ∆x y 1 / ∆y. En la práctica,

el espacio muestreado es finito y, suponiendo que se compone de M x

N muestras en las direcciones x e y, respectivamente, m y n se definen

a menudo con los siguientes valores:

,..., 1 , ,..., 1 (2.2)2 2 2 2

M M M Mm n= − − = − −

Esta es una disposición de índice estándar en la que M y N se supone

que son pares. Números pares de muestras se usan en este libro por

razones asociados con la eficiencia de la transformada de Fourier

discreta y la disposición de muestras ,

Figure 2.1 Funciones bidimensional: (a) Analítica y (b) versión de muestra.

de un área física finita (por ejemplo, unidades de m2) es abarcado por

el espacio de muestra, y esto se da por LX X LY, donde LX es la longitud

a lo largo del lado x del espacio muestreado y LY es la longitud a lo

largo del lado y ( Fig. 2.1). LX y LY se conocen como las longitudes de

los lados. Ellos representan las distancias físicas y están relacionados

con los parámetros de muestreo por

, (2.3)X YL M x L N y= ∆ = ∆

Una preocupación de muestreo obvia es si todos los valores

significativos de g (x, y),"Encajan" dentro del área física definida por LX

x LY. El apoyo de g(x, y) se refiere al rango de los valores significativos.

Este concepto se ilustra en la Fig. 2.2 (a) para un eje. Si DX es el soporte

en la dirección x y DY es el soporte en la dirección y, entonces, para que

los valores significativos de g (x, y) estén contenido dentro de la

matriz se requiere,

, (2.4)X X Y YD L D L< <

Otra preocupación es si los intervalos de la muestra son lo

suficientemente pequeños para preservar las características de g (x, y).

Para las funciones que son de banda limitada, en el que el contenido

espectral de la señal se limita a un rango finito de frecuencias, una

función continua puede recuperarse exactamente a partir de las

muestras si el intervalo de la muestra es menor que un valor específico.

El teorema de muestreo de Shannon-Nyquist, extendido a dos

dimensiones, afirma este requisito como

1 1, (2.5)

2 2X Y

x yB B

∆ < ∆ <

Figure 2.2 Illustration of the (a) support DX and (b) bandwidth BX along

the x axis of g(x, y). Bandwidth is commonly defined as a half-width

measure and is illustrated here with a profile of |G(fX, fY)|, the Fourier

transform magnitude of g(x, y).

donde BX es el ancho de banda del espectro de la función continua a lo

largo de la dirección x y BY es el ancho de banda a lo largo de la

dirección y. El ancho de banda se ilustra en la Fig. 2.2 (b). La violación

de la ecuación. (2.5) da lugar a error, en el que componentes

submuestreadas de alta frecuencia en la señal se interpretan

erróneamente como contenido de baja frecuencia. Un parámetro

relacionado es la frecuencia de Nyquist dada por

1 1, (2.6)

2 2NX NYf f

x y= =

∆ ∆

que es la mitad de la frecuencia de muestreo y corresponde a la

frecuencia espacial máxima que puede ser representado

adecuadamente, dado el intervalo ∆x o ∆y.

2.2 Ancho de banda Efectivo

Funciones prácticas tales como las definidos en el capítulo 1 no son de

banda limitada. De hecho, cualquier función con soporte finito, como

la función rectángulo o círculo, no puede ser de banda limitada. A

menudo, estas funciones tienen un ancho de banda efectivo que abarca

los valores de frecuencia más significativos. A pesar de que los criterios

planteados por el teorema de Shannon-Nyquist pueden no estar

completamente satisfechos, un intervalo de muestra lo suficientemente

pequeño puede ser hallado para proporcionar una representación

aceptable de la función analítica, donde los efectos de dispersión sean

pequeños.

Por ejemplo, considere una señal cuadrada 2D con la mitad del ancho,

w, dada por:

( ), (2.7)2 2

x yf x y rect rect

ω ω

=

La analítica transformada de Fourier produce el espectro,

( ) ( ) ( )2, 4 sin 2 sin 2 (2.8)X Y X Y

F f f c f c fω ω ω=

Un enfoque para hallar la anchura de banda efectiva ,es encontrar la

anchura espectral (o radio) que contiene un alto porcentaje de la

potencia total en el espectro. Aplicando el teorema de Parseval en la

ecuación. (2.8), la potencia espectral total es,

( ) ( ) ( )2

2 2 2

2 2 2

4 sin 2 sin 2

4 (2.9)2 2

T X Y X Y

Y

P c f c f df df

x xrect rect dxdy

ω ω ω

ωω ω

∞

−∞

∞

−∞

=

= =

∫ ∫

∫ ∫

Un criterios prácticos para el ancho de banda efectivo (B) es incluir 98%

de la potencia espectral total. La conversión a coordenadas polares

para permitir un valor de ancho de banda radial B considerado, nos

lleva a

( ) ( ) ( )2

22 2 2

0 0

14 sin 2 cos sin 2 0,98 (2.10)

B

T

c c sen d dP

π

ω ω ρ θ ω ρ θ ρ ρ θ = ∫ ∫

donde osX Yf c y f senρ θ ρ θ= = . Las integrales en el lado izquierdo se

pueden evaluar numéricamente para diversos valores de B hasta que

la Ec. (2.10) se cumple. Con este enfoque, el ancho de banda efectivo

hallado es ,

5(2.11)B

w≈

Figura 2.3 ilustra la porción del espectro que abarca el 98% de la

potencia espectral. Sustituyendo la Ec. (2.11) en la ecuación. (2.5) para

el ancho de banda da

, (2.12)10

wx∆ ≤

que dice, se requieren al menos 10 muestras a través de la mitad de la

anchura de la función rect (20 a través del ancho completo) para

retener el ancho de banda efectivo indicado en la ecuación. (2,11). Es

importante darse cuenta que la parte del espectro analítico que se

encuentra más allá de la frecuencia de Nyquist no desaparece. Aunque

pequeño en potencia, pueden introducir al contenido dispersiones

notable de frecuencia que son errónea.

Figura 2.3 (a) Magnitud del espectro de Fourier y (b) espectro de potencia de g (x,

y) = rect (x / w) rect (y / w), que comprende 98% de la potencia espectral total.

La Tabla 2.1 muestra los valores de ancho de banda efectivo para la función

círculo , cuadrado, y Gaussiana, calculados de la misma manera. Un ancho de

banda efectivo más grande puede ser usado si hay una necesidad de incluir más de

la potencia espectral.

2.3 Transformada de Fourier Discreta desde la transformada continúa

La DFT, por lo general en la forma de su alta eficiencia desciende de la

transformada rápida de Fourier (FFT) que es una herramienta

fundamental para el modelado de problemas de la óptica de Fourier en

la computadora. El objetivo de esta sección es desarrollar la DFT, una

implementación discreta de la transformada de Fourier continua. La

derivación es útil para entender la escala de las coordenadas

espaciales de la muestra y coordenadas de frecuencia, así como

también, las constantes multiplicativas que resulta en la transformada

discreta. Esta escala es una parte importante para modelar un

problema de la óptica Física. Sólo los aspectos de la DFT y FFT que

son críticos para los enfoques de simulación cubiertos en este libro se

ponen de relieve, por lo que hay muchos más detalles por descubrir (o

descubiertos) en otros recursos.

Recordando que la analítica transformada de Fourier de una función g

de dos variables x e y se referencia como,

( ) ( ) ( ), g , exp 2 (2.13)X Y X Y

G f f x y j xf yf dxdyπ∞

−∞

= − + ∫ ∫

En primer lugar, supongamos que g (x, y) se muestrea tal como se

indica en las ecuaciones. (2.1) y (2.2). Para simplificar algunas de las

notaciones, la siguiente sustitución puede utilizarse cuando no se

muestran explícitamente los intervalos reales de la muestra:

( ) ( )g m x,n , (2.14)y g m n∆ ∆ → �

A continuación, las integrales de la ecuación. (2.13) se puede aproximar

usando una suma de Riemann:

/2 1 /2 1

/2 /2

... ... (2.15)N M

n N m M

dxdy x y

∞ ∞ − −

=− =−−∞ −∞

→ ∆ ∆∑ ∑∫ ∫

Debido a que la operación de DFT se lleva a cabo de forma genérica en

una matriz discreta de valores sin información específica del intervalo

de muestreo, los multiplicadores ∆x∆y en la ecuación. (2.15) no están

incluidos en la definición DFT. Sin embargo, estos multiplicadores

necesitan ser aplicados posteriormente en la operación de DFT para la

escala apropiada de un problema físico.

La convención para el dominio de la frecuencia es dividir este "espacio"

continua, indicado por fX y fY, en M y N espaciando uniformemente los

valores de las coordenadas. Esto implica las siguientes sustituciones:

, / 2,..., / 2 1

,q / 2,..., N/ 2 1 , (2.16)

X

Y

pf p M M

M x

qf N

N y

→ = − −∆

→ = − −∆

donde p y q son números enteros de múltiples índices para el

intervalos de muestreo de frecuencia

1 1 1 1, . (2.17)X Y

X Y

f y fM x L N Y L

∆ = = ∆ = =∆ ∆

De hecho, p y q tomar los mismos valores como m y n,

respectivamente, cuando el espacio y las matrices de frecuencia tienen

el mismo número de elementos. Tenga en cuenta que los valores

máximos absolutos de la frecuencia de las coordenadas en la ecuación.

(2.16) son las frecuencias de Nyquist 1 / (2∆x) = fNX y 1 / (2∆y) = fNY .

Incorporando la ecuación. (2.16) en el núcleo de la exponencial

compleja en la ecuación (2.13). se obtiene

( )exp 2 exp 2

exp 2 (2.18)

X Y

p qj xf yf j m x n y

M x N y

pm qnj

M N

π π

π

− + → − ∆ + ∆ ∆ ∆

= − +

Finalmente, sustituyendo las ecuaciones. (2.14) - (2.18) en la ecuación.

(2.13), llegamos a la siguiente forma de la DFT:

( ) ( )/2 1 /2 1

/2 /2

G , g , exp 2 , (2.19)M N

m M n N

pm qnp q m n j

M Nπ

− −

=− =−

= − +

∑ ∑� �

donde ( )G ,p q� representa la DFT de ( )g ,m n� . La inversa transformada de

Fourier discreta (DFT-1) se deriva de una manera similar y se escribe

como,

( ) ( )/2 1 /2 1

/2 /2

1g , G , exp 2 , (2.20)

M N

p M q N

pm qnm n p q j

MN M Nπ

− −

=− =−

= − +

∑ ∑ ��

La aparición del multiplicador 1 / MN en la ecuación. (2.20) requiere

una cierta discusión. El factor es igual al producto ∆x∆y∆fX∆fY [ver Ec.

(2.17)], que se produce cuando evaluamos numéricamente la integral

inversa de Fourier, operada con la no inversa. Este factor permite con

la DFT seguido de la DFT-1, devolver los valores de la función original,

que es consistente con el teorema de la integral de Fourier. La

aplicación de 1 / MN varía con las diferentes herramientas de software.

Por ejemplo, MATLAB implementa la transformada inversa sobre la

base de las definiciones contenidas en las ecuaciones. (2.19) y (2.20),

pero algunas aplicaciones, aplican el factor (MN)-½ tanto en la

transformada directa como inversa. En algunas situaciones de

modelado, vamos a necesitar tener en cuenta este factor.

La inversa y no inversa DFT, no se logran generalmente con una

directa ejecución de las Ecs. (2.19) y (2.20), sino que se logran con los

algoritmos FFT y FFT-1 computacionalmente eficiente. Estos algoritmos

implementan un esquema que no es de importancia específica aquí,

aparte de decir que el resultado es consistente con las ecuaciones. (2.19)

y (2.20). Los algoritmos de FFT son más eficientes cuando M y N tienen

una potencia de 2, aunque los tiempos de cálculo pueden ser casi tan

rápidos con otros valores. Un problema práctico para la aplicación de

FFT se refiere a la disposición y la indexación de los valores de los

datos en una matriz. Este problema será discutido a continuación.

2.4 Coordenadas, Indexación, centrado, y desplazamiento

Los muestreo uniforme y rejillas cuadradas, donde ∆y = ∆x, N = M, y

LX = LY = L, se utilizan a menudo en la práctica. Este será el caso para

todos los ejemplos presentados en este curso; por lo que para

simplificar la presentación, a menudo se discute solamente un

conjunto de variables.

Teniendo en cuenta las ecuaciones. (2.1) y (2.2), las coordenadas de las

muestras a lo largo de una dimensión puede ser descrita como

: x : x , (2.21)2 2

L Lx

→ − ∆ − ∆

donde la notación anterior es presentada por MATLAB, e indica que

las coordenadas van desde -L / 2 a L / 2-∆x en pasos de ∆x. Las

coordenadas del eje y se definen de manera similar. Suponiendo una

relación FFT entre los dominios espacial y espectral, entonces de las

ecuaciones. (2.16) y (2.17) se deriva los siguientes elementos:

1 1 1 1: : , (2.22)

2 2Xf

x L x L

→ − − ∆ ∆

indicando, que el rango de la coordina espacial de frecuencia va de -1

/ (2∆x) a 1 / (2∆x) -1 / L en pasos de ∆fX = 1 / L. Una vez más, las

coordenadas para fY son similares.

Las variables de índice entero m y n, así como p y q introducido en las

ecuaciones. (2.2) y (2.16) presentan valores negativo, así como

positivos. Sin embargo, las aplicaciones de software utilizan valores

enteros positivos para la indexación del vector o matriz . En el caso de

MATLAB, indexación para un vector unidimensional(1D) comienza en

(1). Para fines de presentación es conveniente " centrar" la función de

interés en el vector, lo que significa que la coordenada cero

corresponderá a el índice(M/ 2 + 1 ) . Sin embargo, la convención para

los algoritmos de FFT en 1D ,es que el valor de los datos se coloca en la

primera posición de índice ,corresponde al cero de coordenadas. Por lo

tanto, un "cambio" de los valores del vector en el centrado es necesaria

antes de una operación FFT.

La figura 2.4 ilustra los arreglos de valores e índices de una muestra 1D

para una función rect, y su espectro. La disposición en las Figs. 2.4 (a) y

(b) es consistente con el desarrollo del análisis en la Sección 2.1, donde

los índices abarcan valores negativos y positivos. Las Figuras 2.4 (c) y

(d) ilustran la disposición del centrada en el computador con índices

positivos, y las Figs. 2.4 (e) y (f) muestran la disposición del

desplazamiento, que es necesario antes de una FFT o FFT-1. La

conversión entre los acuerdos del centrado y el desplazamiento, se

puede hacer fácilmente con el comando de MATLAB fftshift. La

inversa del cambio para volver a la disposición centrada, se realiza con

ifftshift.

Figure 2.4 Sampling arrangements for 1D spatial (left column) and frequency (right

column) vectors: (a) and (b) analytic; (c) and (d) centered; and (e) and (f) shifted for

FFT operations.

Para una matriz 2D, MATLAB comienza indexación en (1,1). Una

función centrada tiene valor de coordenada cero [x, y] = [0,0]

localizada con el índice (N / 2 + 1, M / 2 + 1). Antes de la FFT en 2D, se

necesita un cambio para colocar el valor de la coordenada cero en el

índice (1,1). En la figura 2.5 están ilustra los arreglos del centrado y el

desplazados, para las matrices 2D. En la Fig. 2.5 se muestra que el

orden de las filas es de arriba hacia abajo, y el orden de las columnas es

de izquierda a derecha. El cambio necesario es en realidad un

intercambio de cuadrantes de la matriz. Una vez más, fftshift y ifftshift

se pueden aplicar para moverse entre las disposiciones del centrado y

desplazado.

Un confuso detalle de datos en la matriz 2D es que MATLAB utiliza

un esquema de indexación fila-columna, donde i indica la fila y j la

columna en (i, j). Esto es en un sentido, un revés de coordenadas

estándar de la notación cartesiana, donde x (eje horizontal o

"columna") aparece en primer lugar e y (eje vertical o "fila") aparece en

segundo lugar. Por lo tanto, los j-índices corresponden a las

coordenadas x, y i-índices corresponden a las coordenadas y. Esto

explica que la (j, i) listada por (N / 2 + 1, M / 2 + 1) se combina con los

valores [x, y] en la Fig. 2.5. Afortunadamente, la utilización de

Símbolos con vectores en MATLAB se ha desarrollado para el sistema

de coordenadas cartesianas; Por lo tanto, este problema es casi

transparente en cuanto a la medida de la programación se refiere. Este

arreglo de matriz se convierte realmente en un problema sólo cuando

los valores de índice entero se utilizan en los códigos.

Figure 2.5 Sampling arrangements for 2D spatial array: (a) centered and (b) shifted

for the 2D FFT.

2.5 Extensión periódica

En términos generales, la totalidad de los teoremas de la transformada

de Fourier que figuran en la Tabla 1.1 se pueden aplicar en el dominio

discreto. Por ejemplo, una convolución se puede realizar mediante el

cálculo de la FFT de dos funciones discretas, multiplicando los

resultados (punto a punto) y calculando la FFT-1. Sin embargo,

resultados de transformadas discretas difieren de resultados analíticos

en una forma que se caracteriza por un concepto conocido como

extensión periódica. A continuación, ofrecemos una ilustración y una

breve discusión de esta propiedad. El tema se trata con mayor

profundidad en otros recursos, tales como el trabajo por Brigham.

Considere la 1D, función analítica f (x) y una versión muestreada dada

por

( ) ( ) (2.23)x x

f x f x comb rectx L

= ∆

La función de peine "escoge" los valores de la muestra a intervalos de

∆x y la función rect establece el espacio total muestreada como L.

Tomando la transformada de Fourier analítica de la ecuación (2.23) da

( ) ( ) ( ) ( )sin (2.24)X X X X

F f F f xcomb xf c Lf= ∗ ∆ ∆ ∗

Este resultado es una función continua en el que el espectro analítico

de F(fX) se repite a intervalos de 1 / ∆x. La convolución con la sinc es

un proceso de "suavizado". Sin embargo, la operación FFT en realidad

produce un resultado de muestra que se puede modelar mediante la

alteración de la ecuación. (2.24) con un término de muestreo

( ) ( ) ( ) ( ){ } ( )sin (2.25)P X X X X XF f F f xcomb xf c Lf Lcomb Lf= ∗∆ ∆ ∗

El nuevo término del peine, define el espacio de la muestra en el

dominio de la frecuencia por 1 / L. Esto es consistente con la ecuación.

(2,17). Por la transformación inversa de la ecuación (2.25), nos

encontramos la función que corresponde al espectro de FP ( fX):

( ) ( ) (2.26)P

x x xf x f x comb rect comb

x L L

= ∗ ∆

Por lo tanto, el concepto de extensión periódica se puede describir de la

siguiente manera: a pesar de que empezamos con una versión

muestreada de f (x) en el dominio espacial, cuando se realiza la FFT, es

como si comenzamos con la función periódica f(x) y produjéramos el

espectro periódico FP(fX) .

Para ilustrar, una función analítica rectángulo se muestra en la Fig. 2.6

(línea continua) junto con una versión muestreada (puntos). La versión

muestreada está contenida en un vector de longitud 20, donde L = 20 y

∆x = 1. La forma de la función periódica, que se extiende (virtualmente)

más allá de la extensión original del vector de la muestra, también se

indica (línea discontinua) . La figura 2.6 (b) muestra la magnitud del

espectro analítico del rectángulo (sólido), el resultado de la FFT

(puntos), y el espectro periódico (de trazos). La Figura 2.6 (b) ilustra las

muestras de FFT siguiendo el espectro periódico. La diferencia más

obvia entre los espectros analíticos y de la muestra en este caso, es en

valores de muestra ligeramente más grande, en los lóbulos de

magnitud con frecuencias más altas. Este efecto resulta de la

dispersión de frecuencias su muestreadas con el espectro del

rectángulo. El concepto de extensión periódica es una forma instructiva

para definir este efecto. En la práctica, mediante el muestreo de una

función que preserve el ancho de banda-eficaz por ejemplo, a nivel de

98%, sólo una pequeña cantidad de dispersión es introducida.

Figure 2.6 Periodic extension illustration: (a) rect function—analytic (solid),

periodic extension (dash) and sampled (dot); and (b) rect spectral magnitude—

analytic (solid), periodic extension (dash) and FFT samples (dot).