Czy wolno nam klonować stany

koherentne?

Rafał Demkowicz-Dobrzański CFT PAN

• Kwantowy oscylator harmoniczny

• Dobrze zlokalizowany w przestrzeni fazowej

Stany Koherentne

nnn

n

!exp 2

2

21ˆˆˆ aaH

||astan koherentny:

x

p0)exp( *aa 0)( D

tit e ewolucja:

funkcja Wignera:

22exp

2)(

W

Klonowanie oscylatora

• Idealne klonowanie:

stan wejściowy:

stan „pusty”:

odziaływanie

sprzężenie z otoczeniem

- powinno produkować doskonałe kopie- powinno działać dla wszystkich wejściowych stanów

• Dlaczego klonowanie jest ważne:

- pozwala zrozumieć co jest możliwe a co nie w przetwarzaniu kwantowej informacji- może pomóc w rozpoznaniu stanu kwantowego- ważne z punktu widzenia kryptografii kwantowej

Niemożliwość klonowania

1, H - dwa różne, nieortogonalne stany.

Załóżmy że istnieje maszyna klonująca:

AA

AA

U

U

0

0

Dzięki unitarności:

10

stan wejściowy:

stan „pusty”:

odziaływanie

sprzężenie z otoczeniem

AA

01 AA Sprzeczność!

• Ewolucja unitarna w przestrzeni Hilberta AHHH 21

Niedoskonałe klonowanie

• Niedoskonałe maszyny klonujące

• Wierność

- wiernie klonują tylko wybrane stany (wierne, nieuniwersalne)

- wszystkie stany klonują tak samo, ale niedoskonale (niewierne, uniwersalne)

- klonują pewne grupy stanów lepiej niż inne, ale niedoskonale (niewierne, nieuniwersalne)

outUA 0 Aout HHH 21Ψ

outoutA 12

zredukowane macierze gęstości klonów: 21

A122A1 Tr klonowanie symetryczne: A121A2 Tr

wierność klonowania (fidelity): 1F 10 F

Optymalne klonowanie qubitu

• Qubit

0)exp()2/sin(1)2/cos( i

• Optymalne klonowanie qubitu

• Optymalne klonowanie quditu

n 121

Sfera Blocha

(Buzek, Hillery 1996)

stan pusty

stan wejściowy klon 1

klon 2

0

n 321 2

121

65Fwierność:

223 ddFwierność:

Klonowanie stanów koherentnych

• Klonowanie optycznych stanów koherentnych

może płytka światłodzieląca (50%)?

|stan wejściowy

|0stan pusty

klon 1

klon 2

220 U

bardzo złe klonowanie stanów koherentnych:

-niska wierność jak |duży

-różne stany koherentne klonowane z różną wiernością

Klonowanie stanów koherentnych

• Klonowanie optycznych stanów koherentnych

może najpierw trzeba wzmocnić? (Braunstein et al., PRL 86, 4838 2000)

|stan wejściowy

|0stan pusty

klon 1

klon 2

wzmacniacz

|0Ancilla

a1new = a1+1/2(aA

† + a2)

a2new = a1+ 1/2(aA

† - a2)

aAnew = a1

† + 2aA

wierność dla wszystkich stanów koherentnych tak sama:

32F

(Cerf i Iblisdir, PRA 62, 040301 2000).• Czy to jest optymalne?

Spinowe stany koherentne

H – skończenie wymiarowa przestrzeń Hilberta opisująca stany spinowe obiektu o całkowitym spinie j:

d = dimH= 2j+1 |-j|-j+1, ... , |j-1|j- baza w H

Spinowe stany koherentne otrzymuje się poprzez obroty stanu |-j (”stan podstawowy”)

| = R() |-j

R() – obrót wokół osi n = [sin, -cos] o kąt

W przypadku d = 2 (qubit) wszystkie stany czyste są spinowymi koherentnymi. Dla d 2 stany spinowe koherentne stanowią podzbiór w zbiorze wszystkich stanów czystych w H.

Dla d spinowe stany koherentne przechodzą w zwykłe stany koherentne.

R() = exp[-i(JxsinJycos

R()

Klonowanie spinowych stanów koherentnych

• Optymalne klonowanie spinowych stanów koherentnych(Demkowicz-Dobrzański, Kuś, Wódkiewicz, quant-ph/0307061 (accepted in PRA))

20

21113

F

140

697794

F

Analityczne wartości wierności dla d=3, d=4:

Numeryczne wartości wierności dla d 16

• Czy dla dużych d wierność dąży do 2/3?

Klonowanie spinowych stanów koherentnych

• Ocena zachowania asymptotycznego

Dopasowanie funkcji:

d

d(d)F

Asymptotycznie: F 0.681

Wierność klonowania stanów koherentnych > 2/3 !

Navez i Cerf (nieopublikowane) – znaleźli urządzenie klonujące z F=0.682

Czy potrafimy wytworzyć stan koherentny światła?

• Jaki stan światła produkuje laser?