Summer Workshop of Applied MechanicsJune 2002

Department of Mechanics Faculty of Mechanical EngineeringCzech Technical University in Prague

Matematické modelování membránového čerpadla

Chlup H.1, Kratochvíl Z.2, Pražák J.1, Musil J.11 Ústav termomechaniky AV ČRDolejškova 5182 00 Praha 82 VUT v BrněTechnická 2616 69 Brnoe-mail: chlup@it.cas.cz

Klíčová slova: pneumatické membránové čerpadlo, matematický model čerpadla

1 Motivace

Membránová čerpadla speciální konstrukce se užívají jako podpora nebo náhradasrdce. Práce ventilů a čerpadla se blíží fyziologické práci srdce. Vykazují nízkou he-molýzu. Po dobu náhrady je třeba zachovat pulzační tok, což membránové čerpadlosplňuje. Při kontinuálním toku by během několika týdnů docházelo k remodelaci aorty[10], [11].

2 Úvod

Model byl vytvořen na základě experimentů. Byly získány časové průběhy požado-vaných veličin při předem definovaných stavech systému. Parametry vstupující domodelu, které nebyly získány experimentálně, byly stanoveny výpočtem. Časové zá-vislosti žádaných veličin, byly analyzovány a získány jejich funkční závislosti na změněstavu systému. Vložením těchto funkčních závislostí jednotlivých veličin do připrave-ného matematického modelu, byl vytvořen celek, kterým lze prognostikovat chovánímembránového čerpadla. Tento přístup byl zvolen z důvodů obtížně definovatelnézměny geometrie pracovního prostoru čerpadla v závislosti na čase. Na základě zvole-ného algoritmu by bylo možno vytvořit zjednodušený matematický model libovolnéhoprvku sledovaného systému, a to rozborem signálu vstupních, výstupních a pohonnýchveličin.

83

Matematické modelování membránového čerpadla

3 Metody a postupy

Pro účely experimentu byly navrženy dvě experimentální linky obr.1 a obr.2. Jakomedia bylo použito destilované vody bez příměsi. Tato náhrada je v souladu s literatu-rou [4, 5]. Byly prověřovány tepové frekvence 60, 75, 100, 120 tepů/min s vlivem i bezvlivu větrníku simulujícího vliv pružnosti aorty. Pro každou tepovou frekvenci bylynastaveny 4 hodnoty odporu, simulujícího fyzickou zátěž, označené R0, R25, R50,R75, kde R0=0% zastínění světlosti trubice,R25=27,8%, R50=55,6%, R75=83,3%.Pro měření tlaků byla použita absolutní tlaková čidla. Průtok byl sledován vrtulko-vým průtokoměrem, kde byla snímána otáčková frekvence vrtulky.

Obrázek 1: zleva: zásobník kapaliny, průtokoměr na sání, membránové čerpadlo osa-zené tlakovými čidly, elektronika průtokoměru, řídící jednotka tlakového vzduchu po-honu čerpadla, měřící počítač

Obrázek 2: zleva: řídící jednotka tlakového vzduchu pohonu čerpadla, membránovéčerpadlo osazené tlakovými čidly, větrník simulující pružnost aorty, průtokoměr navýtlaku (za konzolou), výtlačná nádrž, sací nádrž

Experimentem byly získány časové průběhy následujících veličin: tlak na sání ps,tlak na výtlaku pv, tlak vzduchu pvz, průtok na výtlaku Qv. Frekvence snímání byla200 Hz. Orientačně byl proměřen vnitřní tlak v čerpadle pin a průtok na sání Qs.

84

Matematické modelování membránového čerpadla

Z experimentálně a početně získaných dat byly vytvořeny pomocí metody nejmen-ších čtverců [7] ”náhradní funkce” pro efektivnější zpracování záznamů. Ze známéhozáznamu průtoku byl vypočten průběh střední rychlosti (2) [1, 2, 3].

v (t) = Q (t) /S (1)

Zrychlení kapaliny bylo získáno výpočtem z průběhu rychlosti pomocí metodykonečných diferencí (3). Byla využito centrálních diferencí [9].

a (t)i =. 12 ·∆t

·(v (t)i+1 − v (t)i−1

)(2)

Náhradní funkce byla řešena pomocí rozkladu periodických kmitů do upravenéFourierovy řady (4) [6, 7].

u (t) = um0 +n∑

i=1

[umi · sin (2 · π · f · i · t) + ϕi] (3)

Vypočtené amplitudy a fázové posuvy jednotlivých superponovaných sinovýchprůběhů dané veličiny byly při konstantní tepové frekvenci a různých nastaveníchtělního odporu porovnány a byla stanoveny jejich funkční závislosti, kde jako pro-měnná vystupovala základní frekvence. Pro zvolenou tepovou frekvenci dané veličinybyl získán předpis pro amplitudu kmitů a fázové posuvy všech složek superpono-vaných sinových průběhů. Předpisy byly vytvořeny pomocí polynomů druhého ažčtvrtého stupně obr.3, obr.4. Střední hodnoty jednotlivých sledovaných veličin jsouzávislé pouze na velikosti tělního odporu.Matematický model byl vytvořen aplikováním Bernoulliho rovnice pro reálnou

kapalinu (4) na sací a výtlačnou větev okruhu čerpadla a využitím rovnice kontinuitya jejich modifikací [1, 2, 3, 8].

p1ρ+

v212− U1 =

p2ρ+

v222− U2 +

2∫1

at · dl + Yzm1,2 + Yzl1,2 (4)

Byla provedena substituce místní ztrátové energie na tlakovou energii prostřed-nictvím tlakové diference (5).

Yzm = ξ · v2

2=∆p

ρ(5)

Vztah pro zrychlení kapaliny (6) v sací a výtlačné větvi čerpadla.

av (t) · D2v = ac (t) · D2c (6)

85

Matematické modelování membránového čerpadla

Obrázek 3: Graf závislostí amplitudy a faz. posuvu pvz na tep. frekvenci

Obrázek 4: Graf závislostí stř. hodnot pvz při různých tep. frekvencí zátěži

86

Matematické modelování membránového čerpadla

Rovnice kontinuity pro korelaci rychlostí (7) v sací a výtlačné (10) větvi čerpadla.

vv (t) · D2v = vc (t) · D2c (7)

Změna geometrického objemu čerpadla byla modelována jako změna objemu ná-hradního tělesa - válce. Podstava válce byla vypočtena z reálného průměru vetknutímembrány. Měnící se parametr určující změnu objemu čerpadla v čase byla výškaválce x

x (t) =4 · Qs (t) ·∆t

π · D2c(8)

Výpočet integrálu zrychlení v Bernoulliho rovnici pro sací a výtlačnou větev

v∫c

at · dl = av (t) ·(

Lv +4 · Qs (t) ·∆t · Dv

π · D3c

)(9)

V okruhu bylo zjištěno turbulentní proudění (vypočtené střední Re cca. 35000).Byl definován vztah pro ztrátovou energii třením po délce potrubí

YZLv (t) =0, 316 · Lv ·

(4·Qv(t)π·D2v

)24

√4·Qv(t)γ·π·Dv

· Dv · 2(10)

Potenciální energie je reprezentována výškou vodních sloupců, v sací a výtlačné(11) nádrži, nad kótou umístění tlakových čidel na sání a na výtlaku čerpadla. Výškyvodních sloupců jsou závislé na nastavení tělního odporu

Uv = g · hv (R) (11)

Veličina popisuje energetickou ztrátu, úbytek tlaku, která je potřebná pro ”defor-maci” (prolomení) membrány. Velmi zjednodušeným způsobem zde supluje vlastnostimembrány. Tato veličina byla získána porovnáním tlakového spádu na čerpadle s tla-kem vzduchu pohonné jednotky získaným experimentálním měřením před vstupemdo pneumatické části čerpadla. Do Bernoulliho rovnic dosazujeme časové průběhyjednotlivých veličin.Model výtlačné větve čerpadla (12) (výtlaku) byl získán dosazením vztahů (5),

(8), (9), (10), (11) do obecného řešení Bernoulliho rovnice pro reálnou kapalinu (4)a vymezením hranic platnosti rovnice obr.6. Model sací větve čerpadla byla získánaidentickým způsobem.

87

Matematické modelování membránového čerpadla

Obrázek 5: Porovnání experimentu a modelu průběhu tlaku na sání.

Obrázek 6: Porovnání experimentu a modelu průběhu tlaku na výtlaku

88

Matematické modelování membránového čerpadla

pv = (pvz − pmn) +ρ

2·

((4 · Qv

π · Dv · Dc

)2−(4 · Qv

π · D2v

)2−2 · av ·

(Lv +

4 · Qs ·∆t · Dv

π · D3c

))− pchv − YZLv − Uv

(12)

4 Diskuse, závěr

Zjednodušený matematický model je konstruován tak, aby pro celý řetězec výpočtupostačilo zadat střední hodnotu tlaku vzduchu, střední hodnoty, základní frekvenci,nastavení tělního odporu. Provedením experimentů byly nalezeny takové závislostia provázanost jednotlivých veličin, že toto zadání pro získání přibližných průběhůtlaků na sání a výtlaku čerpadla postačuje. Na výtlaku dochází k mírnému fázovémuposuvu modelových a experimentálně získaných záznamů. Zřejmě je to způsobenoodchylkou polohy modelových a experimentálních vztažných bodů nebo chybou přizpracovávání modelu. V modelu také nejsou pro zatím uvažovány ztrátové energiezískané vlivem náhlého rozšíření a zúžení průtočného průřezu. Ztráty na chlopníchbyly získány výpočtem ze setrvačné síly kapaliny na plochu chlopně a následně bylaurčena ztrátová tlaková energie. Pro zlepšení výsledků by bylo třeba experimentálníokruh osadit větším počtem měřících čidel, nebo jiným způsobem získat podkladypro energetickou bilanci okruhu a především bezprostředního okolí čerpadla. Tímtopostupem by byla zvýšena shoda modelového záznamu s experimentem. Pro danýpostup modelování je shoda modelu a experimentu je dobrá.

Literatura

[1] Macur M.: Úvod do analytické mechaniky a kontinua, Díl II., VUT Brno, Brno1996

[2] Medek J.: Hydraulické pochody, VUT Brno, Brno 2000

[3] Bláha J., Brada K.: Příručka čerpací techniky, ČVUT, Praha 1997

[4] Valenta J., Konvičková S.: Biomechanika srdečně cévního systému člověka, ČVUT,Praha 1997

[5] Ottová-Leitmannová A.: Základy biofyziky, Alfa, Bratislava 1993

[6] Brepta R., Půst L., Turek F.: Mechanika kmitání, Sobotáles, Praha 1994

[7] Rektorys K.: Přehled užité matematiky, SNTL, Praha 1981

89

Matematické modelování membránového čerpadla

[8] Tomáš F., Fleischner P.: Čerpadla, Sbírka příkladů část I., VUT Brno, Brno 1982

[9] Teasař V.: Mezní vrstvy a turbulence, ČVUT v Praze, Praha 1991

[10] Nishimura T. et al.: Prolonged nonpulsatile left heart bypass with reduced syste-mic pulse pressure causse morphologicalchanges in the aortic wall. Artif. Organs,1998, 22,2, pp. 405-410

[11] Tayama E. et al.: The safety systém for the rotary blood pump, combination ofvalve and LVAD pulsatille mode: in vivo test, rtif Organs.: 1998, 22(4), pp.342-345

90