Cydara Cavedon Ripoll

Instituto de Matemática

UFRGS

Minha história (formação, experiência com os calouros

dos cursos de Matemática, a análise de livros didáticos

aprovados pelo MEC)

Primeiro falso “princípio” observado:

Vale para um, vale para dois então vale sempre!

O esforço do MEC

O papel do livro didático

de texto de referência para único referencial

“Não tendo oportunidade e condições para aprimorar sua

formação e não dispondo de outros recursos para desen-

volver as práticas da sala de aula, os professores apóiam

-se quase exclusivamente nos livros didáticos que, muitas

vezes, são de qualidade insatisfatória”. (PCN (1998), p.21-22).

Meu ponto de vista: os cursos de Licenciatura deviam oportuni-

zar a prática de análise de livros didáticos.

Relato dos alunos do Mestrado Profissionalizante em Ensino de

Matemática da UFRGS.

Parece que os cursos de Licenciatura (pelo menos os do sul do

país) não preparam seus alunos para este tipo de trabalho.

Agravante: regularmente o prof. de escola pública é convidado a

escolher livro didático aprovado no PNLD.

Fazer um alerta aos professores de Escola Básica sobre

a realidade que, apesar do esforço do MEC, estamos hoje

enfrentando no país, no que diz respeito a frases encontra-

das em livros didáticos que,

- seja por sua má redação (ambíguas, imprecisas),

- seja pelos erros matemáticos que envolvem,

- seja pela falta de cuidado com o método matemático,

- seja pelo inadequado encaminhamento que dão ao assunto,

são precursoras de “vícios” (relacionados a conteúdos de ma-

temática) que se reconhece em alunos calouros de cursos de

ciências exatas (entre eles, principalmente e mais gravemente,

de matemática)

Objetivo desta palestra:

- É um capítulo do trabalho de dissertação de Rodrigo

Schroeder e faz parte do trabalho de Iniciação Científica

de Julia Domingues. (Implementação de uma seq.did.)

Justificativa para a escolha do tema “funções”

-É fato que o conceito de função foi evoluindo/se expandindo

ao longo do tempo, e algumas frases e nomenclaturas foram

se mantendo. Com isto foram sendo geradas algumas incoe-

rências, em uma quantidade talvez maior do que em outros

conteúdos.

Exemplo: sobre variável dependente e independente:

•função constante: a relação constante entre variáveis é uma

função?

•as chamadas séries temporais (cotação do dólar, índice pluvio-

métrico) obviamente não registram dependência alguma com a

variável tempo.

- Aproveitando a coincidência de neste semestre estar lecionando

uma disciplina para 14 alunos do segundo semestre do curso de

Licenciatura (que ainda não fizeram Cálculo I):

Questão 1 (5 minutos) Complete, da forma mais precisa possí-

vel: Uma função (de um conjunto A em um conjunto B) é .......

Questão 2 Verifique se cada situação abaixo se encaixa como

exemplo de função, segundo a definição de função que você

Apresentou na Questão 1.

i) o dobro de cada número natural

ii) a tabela membros da família de Joana x idade de cada membro

iii) o conjunto dos pontos da curva ao lado (...)

iv) a cotação diária (ao fim do dia) do dólar ao longo do ano 2013

v) a correspondência que associa a cada racional x∈[12, 13] o

denominador da fração irredutível que o representa

vi) o diagrama (...)

Dois objetivos:

1. ver se a ideia de função que os alunos tinham em mente era ampla (ou se resumia a fórmulas)

- “...bijetora, onde cada elemento de A tem mais do que uma ima-

gem em B”;

- “É uma equação com variáveis, cujo resultado é um número real”

(daí a tabela da família não é função porque “não há variáveis”)

- “Não sei definir, mas imagino que seja como uma equação, uma

operação entre os conjuntos”, e, para todos os exemplos “sim”

- Um aluno respondeu com a ideia correta (“regra”), e outro definiu

efetivamente, usando par ordenado... mas (família): “sim, pela

minha definição, mas não há aqui a ideia de transformação de algo

em outra coisa, logo não é função.”

2. mostrar a eles que incoerências do autor consigo mesmo ocor-

rem (caso isto de fato ocorresse!). Algumas das respostas:

Vamos comentar algumas frases/ideias apresentadas em dois

livros didáticos aprovados no PNLD 2012 e compará-las com a

sequência didática por nós elaborada, concentrando-nos nos tó-

picos:

i) motivação para o estudo de função;

i) definição de função;

i) situações de contextualização forçada;

i) gráfico x esboço de gráfico de função;

i) definição de função Afim

i) igualdade de funções

i) ênfase no contradomínio

i) inversibilidade e função inversa.

A ideia de função

Esta ideia pode estar contemplada entre variáveis não nu-

méricas, em tabelas, em relações de causa e efeito, em

séries temporais, em especiais regras (que não necessaria-

mente são fórmulas), em fórmulas. E então, surge a

questão:

como podemos definir função de modo que todas estas

situações se tornem exemplos de função?

i) Como nos LD é motivado o conceito função:

Livro 2: já na motivação leva o aluno a pensar que uma função

só fica legitimada por uma fórmula, e todos os seis exercícios

propostos nesta motivação acabam sempre com uma

solicitação ao aluno de que seja explicitada uma fórmula para o

relacionamento entre as variáveis em questão (apesar de no

seu exemplo 4 apresentar uma série temporal)

Livro 1: “As funções, descrições algébricas da dependência entre

grandezas, podem, também, ser representadas graficamente, (...)”

- leva a crer que funções restringem-se a variáveis numéricas

- usa inadequadamente o termo “algébrica”, pois trabalha

com funções transcendentes

- como primeiro exercício propõe uma tabela que relaciona

estados e suas capitais, perguntando se o nome da capital

é função do nome do estado

Os autores de LD, em geral, não fazem uso da ideia de par

ordenado para definir função (“árida”, “abstrata”?). No entanto,

pecam ao envolver na definição de função termos imprecisos

matematicamente, tais como “lei”, “regra”, “associação”:

- Livro 2: Dados dois conjuntos não vazios A e B, uma relação

(ou correspondência) que associa a cada elemento de x∈A

um único elemento y∈B recebe o nome de função de A em B.

- Livro 1: Dados dois conjuntos não vazios A e B, uma função de

A em B é uma regra que indica como associar cada elemento

x ∈ A a um único elemento y ∈ B.

ii) Como nos LD é definido função:

- O que propomos: motivou-se o conceito de função com sete

atividades objetivando não deixar que se instalassem as idéias

de que uma função só fica legitimada quando encontramos uma

fórmula para ela, bem como a unicidade de tal fórmula (quando

ela existe).

Duas destas atividades:

x y

-1 -1

0 0

1 1

a) (...)

b) Você consegue determinar uma regra que

explique como a tabela foi gerada?

c) Existem outras regras que geram essa mesma

tabela?

Suponha que na cidade fictícia de Caxiapólis os índices plu-

viométricos nos 10 primeiros dias de um mês sejam dados

pela seguinte tabela:

Dia 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

mm. 23 14 0 0 3 7 11 0 0 16

a) (...)

b) É possível estabelecer alguma relação entre a quantidade de

chuva que cai e a sequência de dias que vai transcorrendo? Em

outras palavras, existe alguma relação entre as grandezas tempo

(dia do mês) e a quantidade de chuva (em mm)? Justifique.

- Sejam A e B dois conjuntos não vazios. Uma função de A

em B é um conjunto f de pares ordenados do produto cartesiano

A x B que satisfaz as seguintes condições:

i) para todo x ∈ A existe y ∈ B tal que (x, y) ∈ f

ii) não existem dois pares ordenados distintos de f com o mes-

mo primeiro elemento .

Nosso objetivo com as sete atividades motivadoras foi também

buscar uma característica comum a todas as situações: o fato

de todas as situações poderem ser representadas/registradas

por meio de pares ordenados (e que tabelas, diagramas, fórmu-

las não são uma característica comum), para então chegarmos à

Definição:

Vantagens desta definição:

- é precisa matematicamente;

- parece que o aluno se sente mais seguro para identificar quan-

do uma dada relação é função, independente de ser numérica ou

não.

Rodrigo: “Esta segurança foi possível ser sentida em uma turma

de primeiro ano do Curso Técnico em Fabricação Mecânica do

Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Rio Gran-

de do Sul. (Caxias do Sul)”

iii) Situações de contextualização forçada

Livro 1: Um cabeleireiro cobra R$ 12,00 pelo corte para clientes com

hora marcada e R$ 10,00 sem hora marcada. Ele atende por dia um

número fixo de 6 clientes com hora marcada e um número variável x de clientes sem hora marcada.

a) Escreva a fórmula matemática que fornece a quantia Q arreca-

dada por dia em função do número x. (Resp: Q=72+10x) (...)

A falta de discussão sobre o domínio descontextualiza a discussão,

confirmada pela resposta ao item (a), o que dá margem ao questio-

namento:

É possível que o cabeleireiro atenda, por exemplo, a 1000 clientes

em um único dia? (com duas possíveis respostas: sim e não). É verdade que, talvez, para o estudante, seja imperceptível essa

falta de cuidado... Mas se perguntássemos ao estudante qual se-

ria o número ideal de atendimentos em um dia, já estaríamos opor-

tunizando o conceito de domínio e de domínio contextual.

Livro 2: (situação análoga):

Uma pista de ciclismo tem marcações a cada 500 metros.

Enquanto um ciclista treina para uma prova, o técnico anota seu

desempenho. O resultado pode ser observado na tabela abaixo.

(x) Instante (min)

0

1

2

3

4

5

...

(y) Distância (m) 0

500

1000

1500

2000

2500

...

(...) A fórmula que relaciona y com x é y = 500x.

- Será que o ciclista não irá se cansar nunca?

- Ressalte-se aqui as reticências na tabela acima, que suge-

rem a continuidade eterna do desempenho do ciclista sempre

segundo a fórmula y = 500x!

Existem sim exemplos contextualizados bem enunciados:

Livro 2: Passageiros e preço da passagem:

Para fretar um ônibus de excursão de 40 lugares, paga-se ao

todo R$ 360,00. Essa despesa deverá ser igualmente repartida

entre os participantes.

Para achar a quantidade que cada um deverá desembolsar (y),

(...) número de passageiros (x).

A fórmula que relaciona y com x é y = 360/x (...)

O domínio embutido no enunciado aqui não dá margem a uma

interpretação errada pelo estudante!

iv) Gráfico x esboço de gráfico

Livro 1: “Vamos construir o gráfico da função dada por f(x) = 2x + 1.

Como, neste caso, D = IR, vamos escolher alguns valores arbitrá-

rios de x e determinar y: (...)” (aqui é construída uma tabela com

cinco valores atribuídos à variável independente)

“Agora o gráfico é o conjunto de todos os pontos (x, y), com x real

e y = 2x + 1, resultando na reta da figura abaixo. (...)”

Mais dois exemplos com domínio IR são apresentados e aborda-

dos de maneira análoga. O autor adota, na grande maioria das ve-

zes, a construção por meio de tabela, e a partir dela já “deduz” que

o gráfico é uma reta (ou uma parábola) só pelo fato de os cinco

pontos tabelados parecerem alinhados, sem qualquer discussão

maior (demonstração de que os infinitos pontos que formam o gráfi-

co estão efetivamente alinhados). Ressaltamos que aí criou-se a

chance para o vício de que o aluno, mais adiante, “deduza” que o

gráfico da função dada por f(x) = x^4 é também uma parábola!!

O autor do Livro 2 tornou-se, com o tempo, um pouco mais cuida-

doso: na edição de 2006 a receita apresentada para a construção

de um gráfico envolvia como terceiro passo :

Nenhum dos autores se arrisca a definir gráfico, e nenhum deles

faz distinção entre gráfico e esboço do gráfico, conduta preocupan-

te no que diz respeito à formação matemática do aluno:

Gráfico é o conjunto de todos os pares que formam a função,

E às vezes somos forçados a nos contentarmos com uma caricatu-

ra para o mesmo, o chamado esboço do gráfico da função.

“Ligamos os pontos construídos no passo anterior por meio de

uma curva, que é o próprio gráfico da função.”

Na edição de 2012, trocou pela frase (vaga, mas correta)

“Quando o domínio não é finito, podemos construir uma tabela e

obter alguns pontos do gráfico; entretanto, o gráfico da função se-

rá constituído por infinitos pontos.”

- O que propomos: oportunizar ao aluno situações nas quais

fica evidente que várias informações podem se perder ao se

tentar desenhar o gráfico de uma função no plano cartesiano,

motivando a introdução da nomenclatura esboço de gráfico e

ressaltando a diferença entre gráfico e esboço do gráfico.

Por exemplo, convidar o aluno a refletir sobre representar os

gráficos das funções f:IR IR e g:QIR, dadas por

f(x) = 3x = g(x).

Os esboços possuem diferenças imperceptíveis a olho nú, mas

certamente os gráficos são distintos.

Ressaltamos que nenhum autor faz uso de alguma função cujo

domínio é o conjunto Q dos números racionais.

v) Definição de função Afim

Livro 1: Uma função f: IR IR chama-se função afim quando

existem dois números reais a e b tais que f(x) = ax + b, para todo

x ∈ IR.

Livro 2: Chama-se função polinomial do 1º grau, ou função afim,

qualquer função f de IR em IR dada por uma lei da forma f(x) =

ax + b, em que a e b são números reais dados e a ≠ 0.

- não uniformidade: a ≠ 0; (reta não vertical não necessariamen-

te é gráfico de função afim...);

-“dada por”: então f(x)=(x^3+x)/ (x^2 +1) não é afim!

- domínio para ambos os autores é IR, porém ambos apresen-

tam como exemplos situações contextualizadas que não têm IR

para domínio:

Livro 2: “Antônio Carlos pegou um táxi para ir à casa de sua

namorada que fica a 15 km de distância. O valor cobrado

engloba o preço da parcela fixa (bandeirada) de R$ 4,00 mais

R$ 1,60 por quilômetro rodado.(...)

Para encontrar a fórmula que expressa p(x) em função de x,

fazemos: p(x) = 1,60x + 4,00 que é um exemplo de função

polinomial do 1º grau ou função afim.”

Livro 1: “Um motociclista percorre uma estrada movimentando-se

de acordo com a função s(t)=100t-50, (s(t)=posição) (...)

A função s(t)=100t-50 é uma função afim (...)”

O agravante no Livro 1 é o autor anteriormente afirmar: “... uma

função consta de três componentes: domínio, contradomínio e lei

de correspondência.”

(Ressalto: nenhum dos autores discute o que são funções iguais.)

O que propomos de definição:

Uma função f: IR → IR que pode ser escrita na forma f(x) = ax + b,

onde a e b são constantes reais, é chamada Função Afim.

Uma função f: A → IR, com A IR, que pode ser escrita na forma

f(x) = ax + b, onde a e b são constantes reais, é chamada Função

do tipo Afim.

Nenhum dos autores aborda “Quando é que duas funções são

iguais?”, mas

Livro 1: “... uma função consta de três componentes: domínio,

contra-domínio e lei de correspondência.”

vi) Igualdade de funções

A frase acima sugere que uma função só fica univocamente deter-

minada a partir da terna (domínio, contradomínio, lei), o que impli-

ca que as funções que só diferem pelo contradomínio

f: Z → IR e g: Z → 2Z com com f(x) = 2x = g(x) são distintas.

Para refletir: Será que realmente queremos que as funções f e g,

cujos gráficos são formados exatamente pelos mesmos pares or-

denados, sejam funções diferentes, a tal ponto de, por exemplo,

uma ser inversível e a outra não?

- Voltando às funções f: Z → IR e g: Z → 2 Z com com

f(x)=2x =g(x), se pensamos na essência da ideia de função, diríamos apenas que, qualquer uma delas está associando a cada número inteiro o seu dobro, e ressaltamos que esta maneira de falar e fazer aparecer funções é tão natural quanto os exemplos do táxi ou do ciclista, todos não destacando o contradomínio...

vii) A ênfase dada ao contradomínio

-Ressaltamos que em ambos os livros é definida a função expo-

nencial como uma função f: IR → IR*+ (fazendo repentinamente

voltar à cena o CD, depois de tanto calcarem em "gráficos“, onde

o CD não se faz explícito...)

- Consideramos um mal encaminhamento para FRVR no Ensino

Médio a ênfase dada ao CD.

E é aqui que o que propomos se distancia bastante, eu diria,

do que é normalmente tratado nos LD de EM:

se o objetivo do estudo de funções no EM, a partir de um certo

momento, é estudar FRVR, quando então situações contextuali-

zadas são estudadas sem qualquer menção ao CD, então por

que nesta primeira abordagem de FRVR não considerarmos a-

penas funções da forma f : A → IR onde AIR?

Vantagens:

- coerência com a definição via conjunto de pares ordenados;

- nomenclatura aliviada (sobrejetividade)

- ênfase apenas no domínio e no conjunto imagem

Ao tratarem da função inversa, em ambos os livros são introdu-

zidos antes os conceitos de função injetiva, sobrejetiva e bijeti-

va. Observa-se que esta nomenclatura se deve principalmente à

forma com que os autores definem função inversa.

Livro 1: Dada uma função f: A B, bijetiva, denomina-se fun-

ção inversa de f a função g: B A tal que (...)

O que propomos (em consonância com a definição de função

como conjunto de pares ordenados e com a falta de`ênfase no

CD): motivamos a inversibilidade de uma função a partir da

ideia que os alunos trazem de operação inversa:

viii) Inversibilidade e função inversa.

Com isso, ambos os autores forçam a inversibilidade da função

exponencial, enfatizando o contradomínio (que, repentinamente,

é ressucitado!) f: IR → IR*+

Motivação: crescemos ouvindo falar que a operação “subtrair 3” é

a operação inversa da operação “somar 3”.

Na linguagem de funções: f(x) = x + 3 e g(x) = x – 3.

Com a linguagem de funções, é possível também mostrar que a

ação de subtrair 3 desmancha a ação de somar 3 e vice-versa:

de fato, para um valor a: f g

a → b = f(a) = a +3 → g(b) = b – 3 = a + 3 – 3 = a,

voltando assim ao valor inicial a. Ou seja: g desmancha a ação de f.

Analogamente, para um valor c: g f

c → d = g(c) = c - 3 → f(d) = d + 3 = c - 3 + 3 = c,

voltando assim ao valor inicial c. Logo: f desmancha a ação de g .

Na linguagem de funções dizemos também que duas funções f e

g são inversas uma da outra, se uma desmancha a ação da outra.

Mais adiante, seguindo esta ideia de “desmanchar a ação de uma

função”, reconhece-se que nem sempre desmanchar é possível,

aparecendo aí o conceito e a definição de função injetiva (exclusi-

vamente!) como condição necessária e também suficiente para u-

ma função ser inversível. Então os alunos são convidados a desmanchar a ação da função

f dada por f(x) = 2x + 5 desmanchando, em um primeiro momento,

as operações na ordem adequada, obtendo assim para função

inversa a função g dada por g(x)=(x-5)/2.

Em um segundo momento, quando também nos dedicamos a in-

verter funções mais complexas, usamos a condição de que para

uma função f injetora (e portanto inversível), sua inversa g deve

satisfazer a condição f(g(x))=x. Então,ainda utilizando o exemplo

acima:

f(x) = 2x + 5 x= f(g(x))= 2 g(x) + 5, ou seja, x=2 g(x) + 5

e portanto g(x)=(x-5)/2.

Motivo de surpresa para nós, esta última condição foi mais u-

sada pelos alunos do que imaginávamos.

Acreditamos que isto é devido ao fato de muitos alunos

terem se sentido mais seguros com o que, afinal, se

assemelha a uma receita, principalmente para aquelas

funções que tinham mais operações envolvidas em sua

fórmula.

Convidamos vocês a compararem este procedimento com a

receita usualmente apresentada nos LD para inverter uma

função, onde nada é explicado, por exemplo, a mágica “agora

troque x por y”.

Mais uma vez, à Comissão Organizadora e aos participantes

do Simpósio,...

Obrigada pela atenção,