Cycle économique et modélisation de la structure à terme du spread CDS :

Implémentation de la simulation de Monte Carlo au modèle dynamique de Nelson-Siegel

Mémoire

Standley Réginald Baron

Maîtrise en sciences de l’administration – Finance

Maitre ès sciences (M. Sc.)

Québec, Canada

© Standley Réginald Baron, 2016

Cycle économique et modélisation de la structure à terme du spread CDS :

Implémentation de la simulation de Monte Carlo au modèle dynamique de Nelson-Siegel

Mémoire

Standley Réginald Baron

Sous la direction de :

Issouf Soumaré, directeur de recherche

iii

Résumé

Au cours de ces dernières années, le spread du Credit Default Swap (CDS) est devenu l’un des

instruments très utilisé pour mesurer le risque de crédit. La modélisation de la courbe de la

structure à terme du spread CDS s’avère nécessaire, et elle est d’importance capitale pour la

gestion quantitative du risque de crédit. Nous proposons une extension du modèle dynamique

de Nelson Siegel, en modélisant les changements des facteurs bêtas par un processus

autorégressif avec erreurs hétéroscédastiques tenant compte du cycle économique. Par la

technique de Monte Carlo nous simulons, à l’aide d’une copule de Student, les prévisions sur un

et quatre trimestres du spread CDS à différentes maturités. Notre modèle suggère que le niveau

d’influence du cycle économique sur le spread CDS dépend de la maturité. Son impact sur les

spreads à longue échéance est plus significatif que sur les spreads à courte maturité. Notre

modèle AR-GARCH performe mieux, quel que soit l’horizon de prévision analysé dans le cadre

de ce travail, que le modèle vecteur autorégressif (VAR) et le modèle de marche aléatoire.

Mots clés : Spread CDS, cycle économique, modèle dynamique de Nelson Siegel, courbe de la structure

à terme, marginale-copule de Student, technique d’invariance, simulation de Monte Carlo.

iv

Table des matières

Résumé ......................................................................................................................................... iii

Table des matières .......................................................................................................................... iv

Remerciements ................................................................................................................................ v

I. Introduction..............................................................................................................................1

I.1. Mise en contexte ................................................................................................................................1

I.2. Contribution .....................................................................................................................................6

II. Revue de la littérature ...............................................................................................................7

II.1. Structure à terme du spread de crédit ..............................................................................................7

II.2. Structure à terme du spread CDS .....................................................................................................9

II.3. Modèle de Nelson-Siegel, spread de crédit et spread CDS ............................................................10

II.4. Conditions macroéconomiques, spread de crédit et spread CDS...................................................11

III. Le modèle ............................................................................................................................ 12

III.1. Modèle de Nelson - Siegel (NS) ....................................................................................................12

III.2. Modèle dynamique de Nelson Siegel (DNS) ..................................................................................14

III.3. Extension proposée du modèle DNS .............................................................................................15

IV. Données et statistiques descriptives ................................................................................... 16

V. Les résultats empiriques ........................................................................................................ 25

V.1. Modèle Dynamique de Nelson Siegel ............................................................................................25

V.1.1. Modèle DNS avec et sans le cycle économique .....................................................................29

V.2. Extension du modèle Dynamique de Nelson-Siegel (DNS) ...........................................................32

V.2.1. Formulation du modèle proposé..............................................................................................32

V.2.2. Résultats de l`estimation du modèle .......................................................................................35

V.3. Influence du cycle économique et son interaction avec les spreads CDS ......................................40

V.4. Prévisions .......................................................................................................................................42

V.4.1. Analyse des résultats ..............................................................................................................42

V.4.2. Analyse de performance et comparaison du modèle AR-GARCH ..........................................47

VI. Conclusion ....................................................................................................................... 52

Annexe ...................................................................................................................................................54

Références ............................................................................................................................................68

v

Remerciements

La réalisation d’un travail de recherche exige d’énormes sacrifices ; le support des autres,

particulièrement des proches et des professeurs, est d’une importance capitale pour tout ce qui

entend matérialiser ce travail.

En ce sens, je tiens à remercier d’une façon spéciale mon directeur de recherche, Issouf

Soumaré, qui a accepté de m`encadrer tout au long de ce travail. J`ai beaucoup appris de ses

expériences, ses remarques ont été toujours très pertinentes, et surtout ses disponibilités à

répondre à mes questions. Mes remerciements vont aussi à tous ceux d`une manière ou d`une

autre qui ont contribué à la réalisation de ce travail, en particulier le support moral et

l’encouragement de ma famille.

Enfin, je remercie les lecteurs David Ardia et Richard Luger d`avoir accordé leurs temps et leurs

disponibilités pour évaluer ce travail.

1

I. Introduction

I.1. Mise en contexte

Les dérivés de crédit sont des contrats dont la valeur dépend de la solvabilité d’une ou

plusieurs compagnies ou pays. Apparu au début des années 90, le marché des dérivés de crédit a

connu une croissance considérable au cours de cette dernière décennie. En décembre 2004, le

principal notionnel de l’encours total des contrats des dérivés de crédit était environ $ 6 trillions pour

atteindre par la suite 58 trillions en décembre 2007. Toutefois, l’évolution de la taille du marché

mondial des dérivés de crédit s’est ralentie au début de la crise financière. Cette réduction constante

de ce marché, qui a commencé en 2007, a continué dans la deuxième moitié de 2015. Le montant

notionnel des contrats de dérivés de crédit en circulation est passé de $ 15 trillions à la fin de juin

2015 $ à 12 trillions à la fin de décembre 2015 ; ce qui représente seulement 1/5 de son pic à la fin

de 2007, $ 58 trillions (Graphique 1). La valeur de marché des Credit Default Swap (CDS) a

également continué à diminuer, passant de $ 5 trillions en décembre 2008 à $ 0.42 trillion en

décembre 2015 (Graphique 1). Selon le rapport de la banque des règlements internationaux1 (2015),

les récentes baisses de l'activité globale des CDS reflètent principalement une contraction de

l'activité entre les courtiers. Le montant notionnel des contrats déclarés entre les courtiers est passé

de $ 7,7 trillions en décembre 2014 à $ 5.4 trillions en décembre 2015. Les montants notionnels avec

les banques et les entreprises ont également diminué dans la deuxième moitié de 2015, de $ 1.2

trillion à $ 0.85 trillion.2

1 http://www.bis.org/publ/otc_hy1511.pdf 2 http://stats.bis.org/statx/srs/table/d10.1, colonne reporting dealers et banks and securities firms.

http://stats.bis.org/statx/srs/table/d10.1

2

Graphique 1

Volume des dérivés de crédit négociés gré à gré en trillions de dollars É.-U.

Source: Banque des règlements internationaux, données mises à jour le 28 avril 2016

Les dérivés de crédit, qui sont parmi les innovations financières les plus récentes, jouent un

rôle important dans la diversification du risque de crédit auprès d’un large public, et devraient donc

contribuer à l’efficience du marché financier. Les banques sont les principales acheteuses de

protection de crédit et les compagnies d’assurances les vendeuses de protection (Hull, 2015). Parmi

les différents dérivés de crédit, le CDS est le plus populaire. Un CDS est un contrat entre deux

contreparties : un acheteur et un vendeur de protection. L’acheteur de protection transfère le risque

de crédit associé à un actif de référence, obligations ou prêts, au vendeur de protection sans que

l’actif de référence soit cédé par l’acheteur de protection au vendeur de protection. Il s’agit donc

d’une exposition synthétique. L’acheteur de protection, qui est vendeur de risque, sera couvert en

cas de défaut de l’entité de référence. Le vendeur de protection, qui est acheteur de risque, est

rémunéré pour cette prise de risque, à travers le paiement d’une prime. Cette prime, exprimée

annuellement, est généralement payée sur une fréquence trimestrielle (plus rarement sur une base

semestrielle ou annuelle), représente le spread CDS.

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Encours Valeur de Marché

3

Dans la littérature, le spread de crédit, qui représente la différence entre le taux d`intérêt sur les

obligations et le taux sans risque, est souvent utilisé comme mesure de risque de crédit. Cependant,

par rapport à certaines difficultés présentées par le spread de crédit, le spread CDS devient une

mesure alternative. Blanco et al. (2005) montrent que le spread CDS incorpore beaucoup plus

rapidement les nouvelles informations que le spread de crédit. Longstaff et al. (2005) observent que

le risque de défaut associé au spread de crédit est dû en grande partie au problème de liquidité.

Alexander et Kaeck (2006) argumentent que le spread CDS est plutôt considéré comme la meilleure

mesure de risque de crédit, comparé au spread de crédit. Car le prix du CDS est coté comme un

spread à maturité constante, tandis que les spreads de crédit ne sont pas cotés, ils sont calculés en

soustrayant du rendement des obligations le taux d'intérêt sans risque (Baer, 2009). De plus, les

spreads de crédit ne sont pas directement comparables lorsque les échéances des obligations sous-

jacentes diffèrent (Alexander et Kaeck, 2006).

Compte tenu de l’importance du spread CDS comme mesure de risque, la modélisation de sa

structure à terme s’avère nécessaire. Cependant, la plupart des modèles développés servent à

déterminer la courbe de la structure à terme du spread de crédit. Parmi ces travaux, nous y

retrouvons le modèle à facteurs latents ou inobservables (Nelson et Siegel, 1987) et le modèle à

facteurs (Knez et al., 1994, Duffie et Kan, 1996, et Dai et Singleton, 2000). Étant donné que le

spread de crédit et le spread CDS présentent des faits stylistiques similaires, Baer (2009)

implémente le modèle de la courbe de taux d’intérêt de Nelson et Siegel (1987) pour estimer la

structure à terme du spread CDS.

Si les résultats des travaux de Hördahl et al. (2002), Wu (2002), Ang et Piazzesi (2003) et

Diebold et al. (2006) suggèrent que les conditions macroéconomiques influencent la structure à

terme du spread de crédit, il est intéressant de voir si leurs conclusions tiennent pour la structure à

terme du spread CDS. Ainsi, en nous basant sur le modèle à trois facteurs de Nelson-Siegel (Nelson

et Siegel, 1987), nous cherchons à identifier une éventuelle interaction dynamique entre le cycle

économique et la courbe de la structure à terme du spread CDS. Ceci pourrait nous amener d’une

4

part, à déterminer l’effet du cycle économique sur les mouvements futurs de la courbe et d’autre part,

à considérer ou non le climat des affaires dans la modélisation du risque de crédit et de la probabilité

de défaut. Pour y arriver, nous estimons les facteurs bêtas du modèle dynamique de Nelson et

Siegel (Diebold et Li, 2006), en incluant le cycle économique comme une variable explicative

supplémentaire pouvant influencer l’évolution de ces facteurs. Ensuite, pour simuler la prévision de la

structure à terme du spread CDS, nous simulons, par la technique de Monte Carlo, les résidus

découlant de la distribution des facteurs bêtas. La distribution jointe de ces facteurs est calibrée sur

une marginale-copule de Student (Noureldin, 2015). La spécification par la copule de Student permet

de déterminer la structure de dépendance des facteurs bêtas et aussi les mouvements extrêmes

joints de ces facteurs.

Plusieurs travaux investiguent sur le lien entre le spread CDS et les conditions

macroéconomiques, mais leurs approches ne permettent pas d’estimer ni de prévoir la structure à

terme du spread CDS. En général, leurs modèles se focalisent sur les déterminants du spread CDS

de maturité 5 ans. Alexander et Kaeck (2008) utilisent un modèle à changement de régime

Markovien pour montrer que l’indice iTraxx Europe CDS est régime dépendant. L’indice se comporte

différemment en période volatile et en période tranquille. Tang et Yan (2009) analysent l’interaction

entre le risque de marché et le risque de crédit mesuré à l’aide du spread CDS. Ils trouvent que le

spread CDS en moyenne baisse avec le taux de croissance du PIB, mais augmente avec la

croissance de la volatilité du PIB. Jang et al. (2013) développent un modèle structurel pour conclure

que le cycle économique influence le spread CDS. L’état courant de l’économie dans leur modèle est

déterminé par la probabilité lissée (Hamilton, 1989), l’économie est en expansion si cette probabilité

est supérieure à 0.5 sinon l’économie est en récession. Kim et al. (2015) utilisent la prime de risque

espérée du marché comme proxy du cycle économique pour analyser son impact sur le changement

des spreads CDS. Leurs résultats montrent que le cycle économique explique à 68 % le changement

observé au niveau du spread CDS.

5

Dans le cadre de notre travail, nous privilégions le modèle de Nelson et Siegel (1987) pour

modéliser la structure à terme du spread CDS en tenant compte du cycle économique. Ce choix est

basé sur la performance de ce modèle que les travaux de Fabozzi et al. (2005), Diebold et Li (2006)

et Shaw et al. (2014) confirment. Notre modèle se rapproche beaucoup plus de l’approche de Baer

(2009) qui consiste à modéliser la structure à terme du spread CDS, par contre son modèle ignore

une éventuelle interaction entre le cycle économique et le spread CDS. Outre le travail de Baer

(2009), aucun des travaux présentés ci-dessus modélisent la structure à terme du spread CDS.

Donc, notre modèle complète les travaux qui prennent en compte l’aspect économique comme

facteur explicatif du spread CDS à maturité de 5 ans, en élargissant l’analyse sur la structure à terme

du spread CDS. Une autre différence importante entre notre travail par rapport aux autres réside

dans notre choix du proxy du cycle économique. Dans notre cas, le cycle économique est mesuré

par l’écart de production estimé à l’aide du filtre de Kalman appliqué au PIB réel trimestriel selon la

méthodologie de Guidara et al. (2013).

6

I.2. Contribution

Nous nous intéressons à modéliser la courbe de la structure à terme du spread CDS et son

interaction avec le cycle économique. Nous implémentons et étendons le modèle dynamique de

Nelson et Siegel (Diebold et Li, 2006). Pour capter la dynamique des trois facteurs appelés niveau,

pente et courbature, nous modélisons et simulons leur distribution jointe, et nous réalisons des

prévisions de ces facteurs à l’horizon de 1 et de 4 trimestres. Cette distribution jointe est estimée par

une copule de Student et des marginales de Student (Noureldin, 2015), afin de capter les co-

mouvements extrêmes des facteurs.

Notre contribution principale est l’implémentation du modèle dynamique de Nelson-Siegel

(DNS) tenant compte du cycle économique pour comprendre les mouvements futurs de la courbe de

la structure à terme du spread CDS. À notre connaissance, aucun travail n’analyse cette éventuelle

interaction entre le cycle économique et le spread CDS utilisant le modèle DNS. Nous suggérons une

nouvelle approche pour modéliser la distribution jointe de la dynamique des facteurs bêtas.

Contrairement à Diebold et Li (2006) qui modélisent cette dynamique par un processus vecteur

autorégressif d’ordre 1, VAR(1), nous proposons un modèle AR(p)-GARCH(1,1). La dynamique des

facteurs bêtas et l’impact du cycle économique sont captés à travers ce modèle, à notre

connaissance cette formulation n’est pas encore appliquée au spread CDS. Tout comme Noureldin

(2015), nous implémentons une copule de Student nous permettant de reproduire les mouvements

extrêmes joints des facteurs bêtas suite aux chocs, à la différence nous appliquons la technique de

simulation de Monte Carlo pour estimer et prévoir la structure à terme du spread CDS. D’une

manière générale, nous contribuons à la littérature en proposant un modèle pour estimer et prévoir la

structure à terme du spread CDS et son interaction avec le cycle économique. Ce travail aura une

grande implication pour l’évaluation des dérivés de crédit et pour la gestion quantitative des risques

de crédit.

Le reste du travail est présenté comme suit. La section 2 présente la revue de la littérature.

La section 3 discute le modèle de Nelson-Siegel, le modèle dynamique de Nelson-Siegel et

l’extension proposée. La section 4 présente les données et les statistiques descriptives. La section 5

présente la spécification de notre modèle et l’analyse les résultats obtenus. La section 6 conclut le

travail.

7

II. Revue de la littérature

II.1. Structure à terme du spread de crédit

Avant le développement récent des CDS, le spread de crédit était l’instrument utilisé pour

mesurer le risque de crédit. La modélisation de la structure à terme du taux d’intérêt a connu des

avancées théoriques et empiriques. Du point de vue théorique, la modélisation de la structure à

terme par l’approche de non-arbitrage est la contribution de Hull et White (1990) et Heath, Jarrow et

Morton (1992). Cette approche cherche une parfaite estimation de la structure à terme à un point

dans le temps pour assurer qu’il n’y aura pas de possibilité d’arbitrage. Une seconde approche

théorique pour modéliser la dynamique de la structure à terme du taux d’intérêt est le modèle

d’équilibre, qui se base sur les modèles affines pour estimer le taux d’intérêt dynamique instantané.

Cette approche est la contribution de Vasicek (1977), Cox et al. (1985) et Duffie et Kan (1996).

Dans la littérature, les travaux mettent l’accent sur trois principaux types de modèles pour le

risque de crédit. D’abord, le modèle structurel introduit par Merton (1974) et Black et Cox (1976)

mettant en relation le spread de crédit aux variables suivantes : le taux d’intérêt sans risque,

l’encours nominal de la dette, la valeur de la firme et la volatilité de l’actif. Ensuite, le modèle forme

réduite, développé par Jarrow et Turnbull (1995) et Duffie et Singleton (1999), fait l’hypothèse que le

défaut survient aléatoirement à cause de certains facteurs exogènes. En dernier lieu, le modèle

d’information incomplète avec Duffie et Lando (2001) combine le modèle structurel et la forme

réduite.

Empiriquement, des travaux montrent que les facteurs structurels cités plus haut expliquent

modestement le risque de crédit, 25 % (Collin-Dufresne et al., 2001). Delianedis et Geske (2001),

Campbell et Taksler (2003), Cremers et al. (2008) ajoutent aux facteurs structurels des variables

comme le risque et la liquidité du marché dont leurs apports marginaux au modèle sont d’environ 10

%. Avramov et al. (2007), Cremers et al. (2008) vont dans le même sens en incorporant d’autres

facteurs non-structurels susceptibles d’influencer le risque de crédit. Les variables qu’ils utilisent

expliquent à plus de 50 % le changement au niveau du spread de crédit.

8

Outre les facteurs cités ci-dessus, d’autres déterminants sont suggérés pour expliquer le

spread de crédit. Pour capter la dynamique du spread de crédit, Jarrow et al. (1997) utilisent un

modèle de Markov à changement de régime. Jarrow et Turnbull (2000) identifient une dépendance

entre le risque de crédit et le risque de marché. Gatfaoui (2002) met l’accent sur la composante

systématique et idiosyncratique du risque de crédit. Ericsson et Renault (2000) et Huang et Kong

(2003) suggèrent la prise en compte des facteurs macroéconomiques dans l’explication du risque de

crédit. Maalaoui et al. (2014) argumentent que le pouvoir explicatif des déterminants du spread de

crédit augmente par la prise en compte du changement de régime sur la période d’analyse. Chamizo

et Novales Cinca (2015) utilisent un modèle économétrique mettant en relation le spread de crédit et

les variables suivantes : la cote de crédit, le secteur économique et la région géographique de l’entité

de référence.

9

II.2. Structure à terme du spread CDS

La littérature récente utilise de plus en plus le spread CDS comme instrument de risque de

crédit à la place du spread de crédit. Shaw et al. (2014) soulignent que la similarité entre la structure

à terme du spread CDS et du spread de crédit facilite la modélisation de la courbe du spread CDS

par les approches utilisées pour le spread de crédit. L’utilisation du CDS présente plusieurs

avantages. D’abord, le spread CDS ne requiert pas une spécification au préalable de la courbe de

taux d’intérêt sans risque (Longstaff et al., 2005 et Ericsson et al., 2006). Ensuite, contrairement au

spread de crédit, le spread CDS reflète rapidement et avec plus de précision l’évolution du risque de

crédit (Ericsson et al., 2009). Enfin, comparées aux obligations corporatives, les caractéristiques du

contrat CDS sont simples et uniformes (Han et Zhou ,2011).

Alexopoulou et al. (2009) affirment que le spread de crédit se rapproche du spread CDS à

long-terme, mais il présente de grandes déviations à court-terme. Toutefois, un meilleur modèle pour

le spread de crédit n’est pas forcément une bonne spécification pour le spread CDS. D’autres

facteurs doivent être considérés pour prendre en compte certaines spécificités du spread CDS.

Ericsson et al. (2009) analysent la relation entre certains déterminants théoriques du risque de défaut

(la dette de la firme, la volatilité et le taux d’intérêt sans risque) et le spread CDS en utilisant une

régression linéaire. Naifar et Abid (2006) et Di Cesare et Guazzarotti (2010) trouvent que les

déterminants théoriques du spread de crédit expliquent le spread CDS à plus de 50 %. Le modèle

structurel bien qu’utile pour comprendre l’évolution de la structure à terme du crédit, certains facteurs

importants affectant la structure du spread CDS sont manquants (Han et Zhou, 2011). Galil et al.

(2014) trouvent trois principaux déterminants pour expliquer le spread CDS : le rendement des

actions, le changement dans la volatilité du rendement des actions et le changement dans la

médiane du spread CDS dans la classe de la cote de crédit.

10

II.3. Modèle de Nelson-Siegel, spread de crédit et spread CDS

Le modèle de Nelson-Siegel, présenté en détails à la section suivante, est une approche très

utilisée pour modéliser la structure à terme du taux d’intérêt ou du spread CDS. Fabozzi et al. (2005)

et Diebold et Li (2006) trouvent que le modèle de Nelson-Siegel, comparé aux autres modèles de

prévision de la structure à terme du taux d’intérêt, performe mieux, spécialement pour des horizons

longs. Martellini et Meyfredi (2007) utilisent le modèle de Nelson-Siegel pour calibrer la courbe de

taux d’intérêt et estiment la valeur à risque (VaR) du portefeuille à revenus fixes. Baer (2009)

implémente le modèle de Nelson-Siegel pour estimer la structure à terme du spread CDS. La

dynamique des facteurs du modèle est estimée à l’aide d’un processus de vecteur autorégressif

d’ordre 1 (VAR(1)). Les résultats suggèrent que le modèle de Nelson-Siegel fournit de meilleures

prévisions, comparé au processus de la marche aléatoire.

Pour améliorer la performance du modèle, des extensions sont proposées au modèle de

Nelson-Siegel. En particulier, Diebold et Li (2006) introduisent le modèle dynamique Nelson-Siegel

permettant aux facteurs du modèle d’évoluer dans le temps. Ce modèle est renforcé et raffiné par

Hautsch et Ou (2008), Christensen et al. (2009, 2011) et Koopman et al. (2010). De leur côté,

Annaert et al. (2012) proposent la ridge regression, une autre méthode d’estimation du modèle de

Nelson-Siegel, pour pallier le problème de colinéarité des variables et de larges variances des

paramètres estimés. Shaw et al. (2014) approfondissent et appliquent le modèle dynamique de

Nelson-Siegel présenté par Diebold-Li pour estimer la courbe du spread CDS. Le modèle performe

mieux que le modèle de marche aléatoire lors des prévisions hors échantillon et la courbe du spread

reproduit bien les mouvements observés dans les données réelles. Noureldin (2015) propose

d’estimer la dynamique des facteurs bêtas à l’aide d’une copule.

11

II.4. Conditions macroéconomiques, spread de crédit et spread CDS

Un autre facteur important dans la modélisation du risque de crédit est la variable ‘’conditions

macroéconomiques’’. Ericsson et Renault (2000), Huang et Kong (2003) et Zhang et al. (2009)

suggèrent la prise en compte des indicateurs macroéconomiques comme facteurs explicatifs du

spread de crédit. Jarrow et Turnbull (2000) montrent que l’ajout des variables macroéconomiques

pourrait améliorer le modèle forme réduite du spread de crédit. Duffie et al. (2007) utilisent la

croissance de la production industrielle pour mieux prévoir le risque de défaut. Jang et al. (2013)

incorporent au modèle structurel le risque macroéconomique et le risque de saut spécifique à la firme

pour expliquer le spread CDS. Les résultats suggèrent que le spread pourrait dépendre de l’état

courant de l’économie.

Diebold et al. (2006) appliquent le modèle à trois facteurs de Nelson et Siegel (1987) en y

incluant les variables suivantes : l’activité réelle de l’économie, l’inflation et les instruments de la

politique monétaire pour estimer la courbe du taux d’intérêt. L’influence des variables

macroéconomiques sur les mouvements futurs de la courbe du taux est significative. Alexander et

Kaeck (2006) analysent les déterminants de l’indice iTraxx CDS et trouvent que son évolution

dépend de la période, volatile ou tranquille. Ces résultats suggèrent la prise en compte de l’état de

l’économie pour mieux comprendre le comportement du CDS. Tang et Yan (2010) investiguent sur la

relation entre le risque de marché et le risque de défaut. Leurs résultats confirment une relation

négative entre le spread CDS et la croissance du produit intérieur brut (PIB) et une relation positive

du spread avec la volatilité du taux de croissance du PIB. Toutefois, le sentiment de l’investisseur est

le facteur le plus important du spread.

Baum et Wan (2010) concluent que les incertitudes macroéconomiques telles que la volatilité

conditionnelle prédite du taux de croissance du PIB, l’indice de la production industrielle et le

rendement de l’indice Standard & Poor’s (S&P) expliquent mieux le spread CDS que les facteurs

traditionnels comme le taux d’intérêt sans risque. Kim et al. (2015) incluent dans le modèle structurel

la prime de risque espérée du marché (proxy du cycle économique) pour estimer le spread CDS. Les

différences observées dans le spread sont expliquées à 68 % par les variables du modèle dont le

cycle économique est le principal déterminant du spread CDS.

12

III. Le modèle

III.1. Modèle de Nelson - Siegel (NS)

Le modèle de Nelson-Siegel (NS) est un modèle à trois facteurs utilisé pour approximer la

courbe de la structure à terme des taux d’intérêts. Ce modèle a connu un succès pour sa

performance prévisionnelle comparé à d’autres approches. Le modèle NS à l’avantage d’être continu

sur les maturités, contrairement à la méthode bootstrap l’interpolation n’est pas nécessaire avec le

modèle NS car le modèle génère automatiquement le taux pour toute maturité donnée.

Selon les données historiques, la courbe de la structure à terme du taux d’intérêt présente

certaines caractéristiques comme la monotonie, la bosse et parfois la forme S. Nelson et Siegel

(1987) proposent une fonction paramétrique suffisamment flexible pour décrire toute une famille de

formes observées de la courbe de la structure à terme du taux d’intérêt. Cette fonction spécifie la

courbe de taux forward 𝑓(𝜏) comme suit :

𝑓(𝜏) = 𝛽0 + 𝛽1 exp(−𝛾𝜏) + 𝛽2[𝛾𝜏 ∗ exp(−𝛾𝜏) ] (1)

La fonction du taux spot 𝑟(𝜏) à la maturité 𝜏 correspondant est définie par :

𝑟(𝜏) = 𝛽0 + 𝛽1𝐹1(𝜏) + 𝛽2𝐹2(𝜏) (2)

𝐹1(𝜏) = 1−exp(−𝛾𝜏)

𝛾𝜏 (3)

𝐹2(𝜏) = 𝐹1(𝜏) − exp(−𝛾𝜏) (4)

13

Les facteurs latents 𝛽0, 𝛽1, 𝛽2 déterminent respectivement le niveau, la pente et la

courbature de la courbe de taux (Diebold et Li, 2006). Le facteur loading associé à 𝛽0 est 1, une

constante qui ne tend pas vers 0 à la limite ; alors 𝛽0 est vu comme un facteur à long terme. 𝐹1 est

une fonction qui part de 1 et décroit rapidement à 0 ; 𝛽1 est donc considéré comme un facteur à

court-terme. La fonction 𝐹2 part de 0 (ce qui n’est pas le court-terme), augmente jusqu’à son

maximum, ensuite décroit à 0 (ce qui n’est pas le long terme) ; 𝛽2 représente donc un facteur à

moyen terme (graphique 2). Le facteur 𝛾 gouverne le taux de décroissance de la fonction

exponentielle ; un 𝛾 faible produit une décroissance lente et fournit une meilleure approximation pour

les taux à longue maturité ; un 𝛾 élevé produit une décroissance rapide et fournit une meilleure

estimation pour les taux à courte maturité. Diebold et Li (2006) fixent 𝛾 = 0.0609, valeur qui

maximise le facteur 𝐹2 pour une maturité de 2 ans et demie dans leur cas. Conditionnellement à 𝛾 ,

les 𝛽0, 𝛽1, 𝛽2 sont facilement estimés par la méthode des moindres carrés ordinaires (MCO).

Alternativement 𝛾 , 𝛽0, 𝛽1, 𝛽2 peuvent être estimés par les moindres carrés non-linéaires. À très

court terme quand la maturité s’approche de zéro, le facteur courbature tend vers zéro et les taux

forward et spot convergent vers la valeur 𝛽0 + 𝛽1 . À long terme, les facteurs pente et courbature

tendent vers 0, par conséquent le taux spot et le taux forward convergent vers l’unique valeur 𝛽0.

Graphique 2 : Courbes du taux forward et du taux spot

14

III.2. Modèle dynamique de Nelson Siegel (DNS)

Diebold et Li (2006) étendent le modèle NS en permettant aux facteurs latents d’être

dynamiques. Cette évolution de la courbe de taux dans le temps est cruciale pour comprendre son

interaction avec le cycle économique. L’équation suivante est la présentation dynamique du modèle

NS.

Équation de mesure : 𝑟𝑡(𝜏𝑚) = 𝛽0𝑡 + 𝛽1𝑡𝐹1(𝜏𝑚) + 𝛽2𝑡𝐹2(𝜏𝑚) + 𝜀𝑡(𝜏𝑚)

𝑜𝑢 𝑟𝑡(𝜏𝑚) = 𝐹𝛽𝑡 + 𝜀𝑡(𝜏𝑚) (5)

Avec 𝛽𝑡 = (𝛽0𝑡, 𝛽1𝑡, 𝛽2𝑡)′, 𝐹 = (1, 𝐹1 , 𝐹2)

𝐹1(𝜏𝑚) = 1−exp(−𝛾𝜏𝑚)

𝛾𝜏𝑚 , 𝐹2(𝜏𝑚) = 𝐹1(𝜏𝑚) − exp(−𝛾𝜏𝑚)

𝑟𝑡(𝜏𝑚) représente le taux observé à la période t = 1,…..,T pour la maturité 𝜏𝑚, m = 1,….,n.

Équation de transition : (𝛽𝑡 − 𝜇) = 𝐴(𝛽𝑡−1 − 𝜇) + 𝑣𝑡 (6)

Le vecteur 𝛽𝑡 est spécifié à l’aide d’un vecteur autorégressif d’ordre 1, VAR (1) et son estimation est

utilisée pour déterminer les taux à l’équation (5). D’où l’appellation d’équation de transition.

𝐴 𝑒𝑡 𝜇 représentent respectivement la matrice et le vecteur de coefficients du modèle à estimer.

(𝑣𝑡𝜀𝑡

) ~𝑖.𝑖.𝑑.

𝑁 [(00

) , (𝑄 00 𝐻

)]

avec, Q une matrice non-diagonale permettant la corrélation entre les chocs au niveau des bêtas et

H une matrice diagonale impliquant la non-corrélation de la déviation du taux à différente maturité par

rapport à la courbe de taux.

15

Les équations (5) et (6) forment le système appelé ‘’espace d’état ’’. Diebold et Li (2006)

estiment ce système en deux étapes : d’abord, ils appliquent la méthode des moindres carrés

ordinaires (MCO) à l’équation (5) pour estimer le vecteur βt, en fixant γ = 0.0609. Ensuite, ils

estiment les paramètres de l’équation (6) à partir du vecteur βt estimé à l’équation (5). Une autre

approche en une étape consiste à appliquer le filtre de Kalman. Cette technique fournit des

estimations du maximum de vraisemblance et des estimations optimales filtrées et lissées des

facteurs sous-jacents (Diebold et al., 2006). Cette procédure permet d’avoir des estimateurs plus

efficaces. Dans notre cas, puisque nous utilisons le spread CDS et non le taux d’intérêt, au lieu de

fixer la valeur de γ , nous utilisons la méthode des moindres carrés non-linéaires, pour estimer

simultanément les paramètres γ , β0, β1, β2.

III.3. Extension proposée du modèle DNS

Dans le cadre de ce travail, nous proposons une modification au modèle dynamique de Nelson

Siegel proposé par Diebold et Li (2006). Contrairement à la modélisation VAR (1) qu’ils proposent

pour comprendre la dynamique des facteurs latents 𝛽𝑖, 𝑖 = 0,1,2, nous suggérons un modèle

AR(p)-GARCH(1,1) incluant le cycle économique comme variable explicative. Nous procédons à des

simulations des résidus pour simuler la distribution jointe des facteurs bêtas, et nous réalisons des

prévisions à l’horizon de 1 et de 4 trimestres des spreads CDS. Contrairement à Diebold et Li (2006)

qui modélisent la courbe de taux d’intérêt, nous modélisons de préférence la courbe du spread CDS.

Nous incorporons au modèle le cycle économique mesuré par l’écart de production pour tenir compte

d’une éventuelle interaction entre les spreads CDS et le climat des affaires.

Comme Noureldin (2015), nous captons la dépendance des facteurs en utilisant une copule. À

la différence, nous modélisons la densité jointe et nous réalisons des prévisions des facteurs par la

technique de simulation de Monte Carlo. Nous utilisons une copule de Student pour prendre en

compte les chocs extrêmes (Une présentation détaillée de la spécification de notre modèle se trouve

à la section V.2.1.).

16

IV. Données et statistiques descriptives

À partir de Bloomberg, nous sélectionnons une base de données exhaustive du spread CDS

pour les maturités 2,3,4,5,6,7,8,9,10,12,15,20,25,30 ans sur une période allant de 1990Q1 à

2015Q4. Plusieurs de ces séries ont des données manquantes à certaines dates et elles ne couvrent

pas toute la période sous étude. L’échantillon choisi est restreint aux contrats CDS exprimés en

dollar canadien au prix à la fin du trimestre et à maturité 2 ,3 ,4 ,5 ,7 et 10 ans qui sont les séries les

plus complètes.

Notons que les données à utiliser pour répliquer ce travail doivent prendre en compte le niveau

de risque de l’entité de référence. Dans le cadre des obligations gouvernementales, il y a aucune

considération à faire. Cependant, le spread CDS provient des entités avec des cotes de crédit

différentes, du plus risqué au moins risqué. L’utilisation de notre modèle nécessite l’homogénéité des

entités de références, car la structure à terme du spread CDS n’est pas la même pour une entreprise

à risque élevé et à risque faible par exemple. Face à notre difficulté pour obtenir une série complète

de données dans le temps et à différente maturité. Nous avons compilé l’ensemble des spreads CDS

exprimés en dollar canadien et nous supposons que ces contrats CDS proviennent tous des entités

de référence similaires.

Proxy du cycle économique

Le proxy du cycle économique est inspiré du travail de Guidara et al. (2013). Il est mesuré par

l’écart de production estimé à l’aide du filtre de Kalman appliqué au PIB réel trimestriel canadien. Les

données sur le PIB réel sont collectées à partir du site de Statistique Canada de 1990Q1 à 2015Q4.

Nous utilisons la présentation du filtre HP en espace d`état, pour estimer le cycle économique en

implémentant l`algorithme du filtre de Kalman (voir annexe). Le filtre décompose le PIB réel en deux

composantes : la partie tendance qui mesure le PIB potentiel et la partie cyclique qui représente le

cycle économique que nous obtenons par la différence entre le PIB réel et le PIB potentiel.

17

Donc, le PIB réel peut écrire comme suit :

yt = gt + xt (7)

gt = 2gt−1 + gt−2 + ut (8)

Avec,

yt ∶ le PIB réel trimestrielle

gt ∶ la tendance

xt ∶ le cycle économique

Étant considérée comme inobservable, la variable gt est estimée par le problème de minimisation

suivante :

mingt

∑ (yt − gt)2 + λ ∑ [(gt+1 − gt) − (gt − gt−1)]

2T−1t=2

Tt=1 (9)

Le ratio de variance entre xt et ut est λ dans la fonction du filtre HP, nous utilisons λ = 1600 tel

que suggéré pour les données trimestrielles. Une fois gt est estimée, nous déduisons xt par la

différence entre yt et gt.

Selon les dates de référence du cycle économique canadien publié par Cross et Bergevin

(2012) membres du C.D. Howe Institute Business Cycle Council3, notre échantillon couvre deux

périodes de pic, mars 1990 (1990:Q1) et octobre 2008 (2008:Q3), deux périodes de creux avril

1992 (1992:Q2) et mai 2009 (2009:Q2). La Figure 1 présente l’évolution du spread CDS à différente

maturité et du cycle économique. Les spreads suivent le mouvement du cycle économique dans

certaines périodes, dans d’autres périodes leurs évolutions vont en sens contraire. Au début de la

période les spreads se décroissent pour évoluer par la suite en dents de scie jusqu’au troisième

trimestre de l’année 2008. Les spreads chutent4 sévèrement entre le quatrième trimestre de l’année

3 http://www.cdhowe.org. 4 Un important débat est lancé sur le spread CDS négatif observé. L’un des arguments avancé est d’ordre technique, un courtier peut être prêt à payer pour décharger un contrat existant si le coût de le garder dépassait le coût de la transaction en raison de charges de capital réglementaire. Plus de détails dans le lien suivant : http://blogs.wsj.com/moneybeat/2015/03/16/negative-cds-not-impossible-citi-poll-finds/.

18

2008 et le deuxième trimestre de l’année 2009 pour présenter par la suite une croissance jusqu’au

dernier trimestre 2015. De plus, nous observons un co-mouvement des spreads, ils semblent être

fortement corrélés (Tableau 2). Le cycle économique a une tendance presque similaire que les

spreads, il décrit les différents changements observés au niveau des spreads. Les spreads CDS

paraissent donc corrélés avec le cycle économique.

Figure 1

Évolution des spreads CDS (en %) et le cycle économique

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

-0,40

-0,20

0,00

0,20

0,40

0,60

0,80

1,00

1,20

CDS2 CDS3 CDS4 CDS5 CDS7 CDS10 CYCLE

19

Les facteurs loading (1, F1, F2) sont présentés à la Figure 2. Le coefficient lambda est estimé

de sorte que la courbe du facteur à moyen terme (F2) atteint son maximum. La valeur optimale de

lambda propre à nos données est estimée à 0.3587, elle correspond à la maturité de 5 ans. Cette

valeur de lambda est semblable au résultat de Shaw et al (2014). Le taux de décroissance de la

pente et de la courbature à zéro dépendent de ce paramètre, un lambda élevé estime mieux la

courbe à court terme et un lambda faible est plus approprié pour la courbe à long terme.

Figure 2

Le Tableau 1 reporte le sommaire des statistiques descriptives sur le spread CDS. Le spread

moyen du CDS présente une tendance légèrement à la hausse, le spread moyen varie entre 24 à 38

points de base. La volatilité des spreads est faible et relativement semblable, elle varie entre 0.18 %

à 0.21 % mais est beaucoup plus faible à courte échéance. La variabilité des spreads comparée à

leur moyenne est plus basse à toutes les maturités. Comme les coefficients d’autocorrélation

l’indiquent, le spread à longue maturité tend à être plus persistant.

20

Tableau 1

Statistiques descriptives, spread CDS

Maturité

(année)

Moyenne écart-type Minimum Maximum rho(1) rho(4) rho(10)

2 0.2406 0.1847 -0.2050 0.8800 0.7655 0.2648 0.0657

3 0.3101 0.1885 -0.1300 1.0000 0.7216 0.3194 0.0801

4 0.3370 0.2001 -0.1450 1.0700 0.7411 0.3621 0.1268

5 0.3291 0.2109 -0.2025 1.0900 0.7748 0.4132 0.1036

7 0.3812 0.1874 -0.2675 0.9900 0.7354 0.3192 0.1168

10 0.3789 0.1857 -0.2925 1.0000 0.7401 0.3386 0.0113

Ce tableau fournit les statistiques descriptives du spread CDS à différentes maturités. Rho (k) désigne l’autocorrélation d’ordre k.

Le Tableau 2 présente la corrélation des spreads CDS entre eux et avec le cycle économique.

Pour les spreads, les coefficients de corrélation varient entre 0.81 et 0.98 et baissent avec les

différences dans les maturités. Par exemple, les corrélations entre le spread CDS 2 ans et les

spreads CDS 3, 4, 5, 7 et 10 ans sont respectivement 0.92, 0.89, 0.88, 0.84, 0.81. Cette forte

corrélation observée entre les spreads CDS explique le co-mouvement des spreads et les

changements dynamiques semblables dans leurs structures à terme. Par contre, les spreads CDS et

le cycle économique semblent être modestement corrélés, la corrélation varie entre 0.24 à 0.45.

Tableau 2

Matrice de corrélation, spread CDS et cycle économique

CDS2 CDS3 CDS4 CDS5 CDS7 CDS10 Cycle

CDS2 1.0000 CDS3 0.9212 1.0000 CDS4 0.8851 0.9786 1.0000 CDS5 0.8825 0.9407 0.9779 1.0000 CDS7 0.8377 0.9040 0.9417 0.9690 1.0000

CDS10 0.8052 0.8416 0.8727 0.9219 0.9588 1.0000 Cycle 0.4218 0.2658 0.2369 0.3249 0.3373 0.4461 1.0000

Ce tableau présente la corrélation des spreads CDS entre eux et avec le cycle économique.

Le Tableau 3 résume les statistiques descriptives des facteurs bêtas en niveau et en variation.

Le niveau moyen de la courbe du spread est de 0.42 % (β0t), il se rapproche du spread CDS moyen

21

de long terme (Tableau 1), c’est-à-dire à maturité de 10 ans. La pente moyenne est de -1.94 % (β1t),

elle est négative mais elle est associée à la fonction F1 qui est décroissante, ce qui justifie que la

courbe des spreads CDS est croissante. La courbature moyenne est de -1.44 % (β2t). Le facteur

niveau est le moins volatile et le plus persistant, tandis que le facteur pente est le plus volatile et

moins persistant que le facteur niveau (voir la fonction d’autocorrélation, Tableau 3 panel A). Le

facteur courbature a relativement une grande volatilité et présente moins de persistances. Les

coefficients d’asymétrie et de Kurtose montrent que pour tous les facteurs bêtas, les distributions

sont asymétriques et présentent un excès de Kurtose, ce qui indique un rejet de la distribution

normale des facteurs. Les facteurs pris en variation ramènent les séries à des moyennes quasiment

nulles et diminuent leur persistance. Les distributions des variations des facteurs bêtas présentent

des asymétries et un excès de Kurtose, à l’exception de la variation du facteur pente. L’hypothèse de

distribution de Student pour modéliser les changements des facteurs semble être appropriée. Étant

donné qu’il n’y a pas de trop grande évidence de distribution de Student pour le facteur pente, nous

exploitons la flexibilité de la copule qui permet de modéliser les distributions marginales suivant la

distribution propre à chaque facteur.

Au Tableau 3, panel B, nous présentons les corrélations entre les facteurs bêtas en niveau et

en variation entre eux et avec le cycle économique. La corrélation entre les variations des facteurs

bêtas est supérieure à celle des facteurs bêtas pris en niveau, sauf pour la corrélation entre le facteur

pente (𝛽1) et courbature (𝛽2). De même, à part le facteur niveau, la corrélation entre les variations

des facteurs bêtas et le cycle économique est faible, mais parait beaucoup plus élevée que celle des

facteurs bêtas en niveau avec le cycle économique. Donc, il semble plus approprié de modéliser la

variation des facteurs bêtas que les bêtas pris en niveau.

22

Tableau 3

Panel A

Statistiques descriptives des facteurs bêtas estimés en niveau et en variation

Maturité (année) Moyenne écart-type Minimum Maximum Asymétrie Kurtose rho(1) rho(4) rho(10)

Niveau (𝛽0) 0.4179 0.2063 -0.2696 1.0942 0.2770 4.9903 0.7165 0.3832 0.0938

Pente (𝛽1) -1.9401 1.4800 -4.8382 2.5481 0.7476 3.6112 0.5319 0.2690 0.0068

Courbature (𝛽2) -1.4483 1.3488 -3.8323 3.3245 1.0157 4.1817 0.5330 0.2189 -0.0744

Δ𝛽0 -0.0057 0.1406 -0.6720 0.5323 -0.4568 9.0515 -0.2021 0.0234 -0.1392

Δ𝛽1 0.0017 1.4389 -3.8123 3.2216 0.0282 2.8588 -0.4949 -0.0069 0.1500

Δ𝛽2 0.0005 1.3099 -2.9409 4.0897 0.2288 3.2128 -0.4335 0.0376 0.0647 Ce panel fournit les statistiques descriptives des facteurs bêtas (en niveau et en variation) estimés à partir du modèle dynamique de Nielson-Siegel de l`équation 5. Rho (k) désigne l’autocorrélation d’ordre k.

Panel B

Matrice de corrélation des facteurs bêtas en niveau et en variation et le cycle économique

𝛽0 𝛽1 𝛽2 Cycle Δ𝛽0 Δ𝛽1 Δ𝛽2 Cycle

𝛽0 1.0000

Δ𝛽0 1.0000

𝛽1 -0.4867 1.0000

Δ𝛽1 -0.6339 1.0000

𝛽2 -0.3896 0.9433 1.0000

Δ𝛽2 -0.6009 0.8827 1.0000 Cycle 0.3230 -0.0244 -0.0290 1.0000 Cycle -0.1653 0.1103 0.1141 1.0000

Ce panel présente la corrélation des facteurs bêtas (en niveau et en variation) entre eux et avec le cycle économique.

La Figure 3 trace l’évolution de la structure à terme trimestrielle des spreads CDS. Elle illustre

la variation dans le temps observée dans le niveau, la pente et la courbature de la structure à terme

des spreads. Le spread CDS présente différentes formes de structure à terme, un extrait est

présenté à la Figure 4 à certaines dates dans notre échantillon. L’ensemble des faits observés dans

l’évolution du spread sont résumés dans les trois facteurs bêtas (le niveau, la pente et la courbature).

Observant la Figure 4, il parait que les facteurs du modèle sont capables de reproduire une variété

de formes de la courbe du spread : pente croissante, pente décroissante, bosse, bosse inversée, etc.

Par contre, dans certains cas, c’est plus difficile à reproduire, spécialement quand le spread est

dispersé d’une maturité à l’autre. Les différentes formes que présentent les spreads CDS sont

semblables à certains faits stylistiques de la courbe de taux d’intérêt.

23

Figure 3

24

Figure 4

25

V. Les résultats empiriques

Dans cette section, nous présentons d’abord les résultats du modèle dynamique de Nelson-

Siegel (DNS), ensuite nous analysons les différents résultats aboutissant à notre extension du

modèle DNS et nous procédons à la fin à une analyse de performance en comparant notre modèle à

d’autres résultats obtenus dans la littérature.

V.1. Modèle Dynamique de Nelson Siegel

Nous estimons les paramètres (β0t, β1t, β2t et γt ) du modèle DNS par la méthode des

moindres carrés non-linéaires en régressant les données historiques du spread CDS sur les facteurs

loading 1, F1, F2 de l’équation (5). Les estimations de ces paramètres sont utilisées par la suite pour

estimer la courbe de la structure à terme du spread CDS. À la Figure 5, nous présentons l’évolution

de la structure à terme des spreads CDS moyens estimés et observés. Les résultats montrent qu`en

moyenne, les spreads estimés à partir du modèle DNS ne sont pas trop loin des spreads observés

dans les données. Les écarts sont plus prononcés pour les spreads de maturité 5 ans et 7 ans.

Figure 5

26

La figure 6A utilise les données estimées par le modèle DNS et les données réelles pour

comparer la structure à terme du spread CDS dans le temps. Le modèle DNS semble reproduire

raisonnablement bien les mouvements décrits par la courbe des données réelles. Pour mieux

analyser la performance du modèle DNS, nous présentons la courbe des résidus estimés à la Figure

6B et les statistiques descriptives des résidus estimés au Tableau 4. Les résidus estimés

représentent l’écart entre les données réelles et les estimations à partir du modèle DNS. En

moyenne, les résidus semblent être relativement proches de zéro. Cependant, les résultats du test

de significativité (p-value), reportés au Tableau 4, confirment l’existence d’un écart statistiquement

significatif (non nul) entre les estimations du modèle DNS et les données réelles. Nous notons aussi

que seul l’écart estimé pour le spread CDS de maturité 10 ans est statistiquement nul, ce qui traduit

que le modèle DNS semble être meilleur pour expliquer les spreads CDS à long terme confirmant les

conclusions de Fabozzi et al. (2005) et Diebold et Li (2006). De plus, les fonctions d’autocorrélation

présentées au Tableau 4 montrent que les résidus sont autocorrélés et persistants. L’analyse

précédente montre que le modèle DNS appliqué à nos données ne fournit pas de résultats

satisfaisants, donc certains phénomènes ne sont pas captés par le modèle. Ce constat renforce

notre hypothèse que le cycle économique peut jouer un grand rôle dans l’explication de la structure à

terme du spread CDS. L’évolution dans le temps des estimations, par le modèle DNS, des facteurs

bêtas ainsi que leurs variations est présentée à la Figure 7. Dans le panel de droite, la différence

première des facteurs niveau, pente et courbature évolue en moyenne autour de zéro et semble être

volatile.

27

Figure 6A

Figure 6B

28

Figure 7

Tableau 4

Statistiques descriptives des résidus estimés, modèle DNS

Maturité

(année) moyenne p-value écart-type minimum maximum rho(1) rho(4) rho(10)

2 -0.0036 0.0007 0.0106 -0.0371 0.0318 0.5463 0.0478 -0.0235

3 0.0095 0.0006 0.0274 -0.1041 0.0854 0.5095 0.0187 -0.0171

4 0.0050 0.0001 0.0125 -0.0222 0.0585 0.4371 0.1451 -0.0875

5 -0.0212 0.0000 0.0300 -0.1197 0.0499 0.6100 0.1396 -0.0594

7 0.0123 0.0000 0.0236 -0.0424 0.0757 0.7299 0.3692 -0.1145

10 -0.0018 0.2401 0.0158 -0.0442 0.0422 0.6731 0.2503 -0.0771

Ce tableau présente d`une part, les statistiques descriptives des résidus estimés du modèle DNS et d`autre part, le test de nullité des erreurs moyennes. Nous testons H0 : les erreurs sont en moyenne nulles contre H1 : les erreurs sont en moyenne non nulles. Le seuil de significativité est de 1 %, nous décidons H1 si p-value ≤ 0.01. Rho (k) désigne l’autocorrélation d’ordre k.

29

V.1.1. Modèle DNS avec et sans le cycle économique

Dans le Tableau 5, panels A et B, nous essayons d’identifier d’une part si la spécification

AR(1) des changements des facteurs bêtas est valide et d’autre part, si le cycle économique affecte

le modèle DNS. Les p-values associées à chaque coefficient, sont les résultats du test de

significativité de Student. Pour un seuil alpha (1 %, 5 %,10 %), une p-value inférieure à alpha signifie

que statistiquement le coefficient est différent de zéro.

Au regard des p-values (Tableau 5, panel A), sans tenir compte du cycle économique, les

coefficients des variables AR(1), AR(2) sont statistiquement significatifs au seuil de 1 % pour le

changement du premier facteur bêta (z0). Tandis que pour les changements des autres facteurs

bêtas (z1 et z2), seul le coefficient AR(1) est statistiquement significatif. Si nous considérons le cycle

économique dans le modèle, pour la variation du facteur 𝛽0 notée z0, les coefficients AR(1) et AR(2)

sont statistiquement significatifs au seuil de 1 % et les coefficients du AR(3) et du cycle économique

sont statistiquement significatifs au seuil de 5 %. Par contre, pour les variations des deux autres

facteurs bêtas (z1 et z2) le coefficient de la variable cycle économique est statistiquement nul et seul

le coefficient de la variable AR(1) est statistiquement significatif.

Contrairement au modèle DNS de Diebold et Li (2006), nos résultats suggèrent la prise en

compte du cycle économique, car il n’est pas sans effet sur les changements observés dans le

facteur 𝛽0. De plus, nous notons que le processus AR(1) n’est pas suffisant pour expliquer la

variation du facteur 𝛽0, un processus AR(2) ou AR(3) semble être plus justifié. À la section suivante,

nous allons vérifier si la variance des erreurs pourrait être modélisée par un processus GARCH (1,1).

Afin de vérifier la capacité du modèle de répliquer nos données, nous estimons à l’intérieur de

l’échantillon les spreads CDS à chaque maturité. Le Tableau 5, panel B, présente les statistiques

descriptives des écarts entre les spreads CDS estimés, par les modèles DNS avec et sans le cycle

économique, et les données réelles. Le modèle DNS sans la prise en compte du cycle économique

présente des écarts significatifs (p-value), sauf pour le spread CDS à maturité de 10 ans dont les

écarts sont statistiquement nuls. Cependant, les écarts observés dans le modèle DNS incluant le

30

cycle économique sont statistiquement nuls quelle que soit la maturité considérée. Ces résultats

montrent que l’ajout de la variable cycle économique dans le modèle améliore la précision dans les

estimations des spreads CDS.

Tableau 5

Panel A

Estimations des coefficients du modèle DNS

𝑧0𝑡 𝑧1𝑡 𝑧2𝑡

Variables Coefficients P-value Coefficients P-value Coefficients P-value

Moyenne conditionnelle ( 𝝁𝒊,𝒕 ) sans cycle économique

C -0.0043 0.3222 -0.0166 0.4457 -0.0543 0.3082

AR(1) -0.3238 0.0000 -0.5644 0.0000 -0.5316 0.0000

AR(2) -0.2375 0.0012 -0.0885 0.2098 -0.1073 0.1355

AR(3) -0.0558 0.2357 -0.0875 0.2245 -0.1443 0.0697

AR(4) 0.0301 0.3293 -0.0411 0.3445 -0.0400 0.3304

𝜈𝑖 2.2415 0.0028 8.5409 0.1718 5.1735 0.0618

Moyenne conditionnelle ( 𝝁𝒊,𝒕 ) avec le cycle économique

C -0.0032 0.3598 -0.0217 0.4291 -0.0561 0.3019

AR(1) -0.3990 0.0000 -0.5720 0.0000 -0.5384 0.0000

AR(2) -0.3409 0.0000 -0.1023 0.1870 -0.1167 0.1198

AR(3) -0.1277 0.0417 -0.1077 0.1839 -0.1632 0.0507

AR(4) -0.0436 0.2632 -0.0616 0.2788 -0.0627 0.2477

CYCLE 0.0014 0.0114 -0.0071 0.2006 -0.0057 0.2233

𝜈𝑖 2.0493 0.0034 8.5778 0.1762 5.1807 0.0685 Ce panel présente les résultats de l`estimation des changements des facteurs bêtas sans et avec le cycle économique.

L`estimation des coefficients est réalisée par la méthode de maximum de vraisemblance. Nous supposons que les erreurs sont

homoscédastiques et sont distribuées selon une loi de Student avec 𝜈𝑖 (i = 0, 1, 2) degrés de liberté. Nous testons H0 : les coefficients sont nuls contre H1 : les coefficients sont non nuls. Le seuil de significativité est de 5 %, nous décidons H1 si p-value ≤ 0.05.

31

Panel B

Statistiques descriptives des résidus estimés

Comparaison du modèle DNS avec et sans le cycle économique

Maturité

(année) Moyenne p-value écart-type Minimum maximum rho(1) rho(4) rho(10)

Erreur du modèle sans le cycle économique

2 -0.0036 0.0007 0.0106 -0.0371 0.0318 0.5463 0.0478 -0.0235

3 0.0095 0.0006 0.0274 -0.1041 0.0854 0.5095 0.0187 -0.0171

4 0.0050 0.0001 0.0125 -0.0222 0.0585 0.4371 0.1451 -0.0875

5 -0.0212 0.0000 0.0300 -0.1197 0.0499 0.6100 0.1396 -0.0594

7 0.0123 0.0000 0.0236 -0.0424 0.0757 0.7299 0.3692 -0.1145

10 -0.0018 0.2401 0.0158 -0.0442 0.0422 0.6731 0.2503 -0.0771

Erreur du modèle avec le cycle économique

2 -0.0028 0.8036 0.1149 -0.4233 0.2586 0.2805 0.1103 -0.0295

3 0.0084 0.4702 0.1180 -0.4143 0.4694 0.1069 -0.0599 -0.1078

4 0.0061 0.6113 0.1213 -0.4635 0.4598 0.0698 -0.0244 -0.1864

5 -0.0193 0.0961 0.1174 -0.5501 0.3700 0.0046 0.0706 -0.1967

7 0.0128 0.3019 0.1256 -0.6583 0.4165 0.0616 0.0584 -0.1142

10 -0.0045 0.7294 0.1333 -0.6882 0.4235 0.1682 0.0390 -0.0687

Ce panel présente les statistiques descriptives des résidus estimés du panel A. Nous testons H0 : les erreurs sont en moyenne nulles contre H1 : les erreurs sont en moyenne non nulles. Le seuil de significativité est de 1 %, nous décidons H1 si p-value ≤ 0.01. Rho (k) désigne l’autocorrélation d’ordre k.

32

V.2. Extension du modèle Dynamique de Nelson-Siegel (DNS)

V.2.1. Formulation du modèle proposé

Ici, nous présentons notre modèle qui est une extension du modèle dynamique de Nelson-

Siegel (Diebold et Li, 2006). D`abord, nous modifions le modèle DNS en ajoutant le cycle

économique pour modéliser les changements des facteurs bêtas. Dans le même esprit que Bliss

(1997), Fabozzi et al. (2005), Audrino et Trojani (2007) et Noureldin (2015), nous intéressons aux variations

des facteurs bêtas afin de capter occasionnellement, les variations extrêmes dans la forme de la

courbe du spread CDS d`un trimestre à l`autre. Ensuite, nous éliminons l`hypothèse restrictive de

normalité de la distribution jointe des facteurs. Nous utilisons la copule qui est plus flexible, elle nous

permet d`avoir une distribution capable de capter les mouvements extrêmes de chaque facteur, ainsi

que leurs co-mouvements extrêmes. Nous assumons que la forme fonctionnelle de la copule est

invariante dans le temps, mais nous permettons à ses paramètres d`être dynamique.

Le modèle est ainsi formulé :

𝑠𝑡(𝜏𝑚) = 𝛽0𝑡 + 𝛽1𝑡𝐹1(𝜏𝑚) + 𝛽2𝑡𝐹2(𝜏𝑚) + 𝜂𝑡(𝜏𝑚)

𝑜𝑢 𝑠𝑡(𝜏𝑚) = 𝐹𝛽𝑡 + 𝜂𝑡(𝜏𝑚) (10)

Avec 𝛽𝑡 = (𝛽0𝑡, 𝛽1𝑡, 𝛽2𝑡)′, 𝐹 = (1, 𝐹1 , 𝐹2).

𝑠𝑡(𝜏𝑚), le spread CDS observé au temps t = 1,….,T pour la maturité 𝜏𝑚, m = 1,…., n.

𝜂𝑡 ~𝑖.𝑖.𝑑.

𝑁 (0, 𝜎𝑡2).

𝐹1(𝜏𝑚) =1−exp(−𝛾𝜏𝑚)

𝛾𝜏𝑚 , 𝐹2(𝜏𝑚) = 𝐹1(𝜏𝑚) − exp(−𝛾𝜏𝑚) .

𝛾 : gouverne le taux de décroissance de la fonction exponentielle.

33

La dynamique des changements des 𝛽𝑖𝑡, i = 0,1,2, et t = 1,2,…,T, et l’impact du cycle économique

sont captés à travers un modèle AR (p) - GARCH(1,1) formulé ainsi :

Soit 𝑧𝑡 = ( 𝑧0𝑡, 𝑧1𝑡, 𝑧2𝑡)′ avec, 𝑧0𝑡 = ∆𝛽0𝑡 , 𝑧1𝑡 = ∆𝛽1𝑡 , 𝑧2𝑡 = ∆𝛽2𝑡

Pour i = 0,1,2

𝑧𝑖,𝑡 = 𝜇𝑖,𝑡 + 𝛿𝑖𝑥𝑡 + 𝜎𝑖,𝑡𝜀𝑖,𝑡 (11)

𝜇𝑖,𝑡 = 𝜙0 + ∑ 𝜙𝑗𝑧𝑖,𝑡−𝑗𝑝𝑗=1 (12)

𝜎𝑖,𝑡2 = (1 − 𝑎𝑖 − 𝑏𝑖)𝜎𝑖

2 + 𝑎𝑖(𝜎𝑖,𝑡−1𝜀𝑖,𝑡−1) 2 + 𝑏𝑖𝜎𝑖,𝑡−1

2 (13)

𝑥𝑡 représente le cycle économique estimé à partir des équations (7) à (9).

𝜇𝑖,𝑡 , 𝜎𝑖,𝑡2 représentent respectivement la moyenne et la variance conditionnelle des variations du

facteur bêta i.

𝜀𝑖,𝑡 ~𝑖𝑖𝑑

𝑡(ν𝑖) , avec 𝜈𝑖 le nombre de degrés de liberté.

𝜎𝑖2 > 0 ,𝑎𝑖 ≥ 0, 𝑏𝑖 ≥ 0 , Conditions garantissant la positivité de la variance conditionnelle.

𝑎𝑖 + 𝑏𝑖 < 1, Condition de stationnarité.

𝛿𝑖: mesure la sensibilité du facteur bêta i par rapport au cycle économique.

𝜙𝑗: représente les coefficients du processus AR(p), le processus est stationnaire si |𝜙𝑗| < 1, 𝑗 ≠ 0

Les coefficients 𝛽𝑖𝑡 et 𝛾 de l’équation (10) sont estimés par la méthode des moindres carrés non-

linéaires et les coefficients du modèle AR(p)-GARCH(1,1) des équations (11) à (13) sont estimés par

la méthode du maximum de vraisemblance. Pour déterminer le nombre de retards p du processus

AR((p), nous partons d’une valeur assez grande de p, nous estimons le modèle jusqu’à ce que le

pème retard de l’équation (12) est statistiquement significatif.

34

Pour simuler les spreads CDS, nous procédons à la simulation des résidus estimés qui sont

déduits de l’équation (11), Ils sont donnés par :

𝜀𝑖,�̂� = (𝑧𝑖,𝑡 − 𝜇𝑖,�̂� − 𝛿�̂�𝑥𝑡)/𝜎𝑖,�̂� , pour i = 0,1,2.

La distribution jointe des 𝜀𝑖,𝑡 est modélisée par une copule de Student et de distributions marginales

Student avec respectivement ν et 𝜈𝑖 degrés de liberté. La distribution marginale Student permet de

capter les changements significatifs dans le temps de la courbe du spread. La copule de Student est

capable de reproduire les mouvements extrêmes joints des facteurs suite aux chocs.

La distribution jointe des 𝜀𝑖,𝑡, peut se décomposer comme suit :

𝑔(𝜀) = ∏ 𝑔𝑖(𝜀𝑖)2𝑖=0 ∗ 𝑐(𝐺0(𝜀0), 𝐺1(𝜀1), 𝐺2(𝜀2)) (14)

𝑔𝑖 : désigne la densité marginale de 𝜀𝑖 , modélisée par une loi Student.

𝐺𝑖 : représente la fonction cumulative de 𝜀𝑖.

c(.) : représente la fonction densité de la copule de Student.

On note par 𝜃 = (𝜃0′ , 𝜃1

′ , 𝜃2′ , Σ, 𝜈), 𝜃𝑖

′ le vecteur des paramètres de la distribution marginale i, Σ

représente la matrice de corrélation et 𝜈 le nombre de degrés de liberté de la copule. Les paramètres

des distributions marginales et de la copule sont estimés conditionnellement à l’ensemble des

informations au temps t-1 (voir Encadré 1 en annexe).

Notons que pour prévoir les spreads CDS sur un horizon h, il nous faut la prévision de la

variance conditionnelle et celle du cycle économique.

Pour la variance conditionnelle nous appliquons les résultats du GARCH suivants :

Pour h = 1, σi,t+12 = (1 − ai − bi)σ̅i

2 + ai(σi,Tεi,T) 2 + biσi,T

2

Pour h ˃ 1, σi,t+h2 = (1 − ai − bi)σ̅i

2 + (ai + bi)σi,t+h−12

Pour le cycle économique nous procédons en deux étapes :

35

D’abord, nous estimons le PIB réel au temps t+h en supposant qu’il suit un processus AR(1)

PIBt+h = c0 + c1PIBt+h−1 (15)

Ensuite, nous suivons l’approche de Guidara el al. (2013), nous appliquons le filtre de Kalman au PIB

réel t+h pour extraire la variable cycle économique en t+h, soit xt+h (voir Encadré 2 en annexe pour

la procédure complète de l’estimation et de la prévision du modèle). Le cycle économique est extrait

en temps réel, c’est-à-dire nous utilisons le filtre de Kalman à chaque fois qu’une nouvelle prévision

est réalisée.

V.2.2. Résultats de l`estimation du modèle

Dans cette section, nous présentons les résultats de notre modèle présenté ci-dessus.

D’abord, le modèle est estimé sans tenir compte de l’influence du cycle économique. Ensuite, le

facteur cycle économique est intégré dans le modèle afin d’évaluer son impact sur les spreads CDS.

Pour expliquer les changements des facteurs bêtas, nous étendons le modèle DNS en

permettant à la moyenne conditionnelle de suivre un processus autorégressif d’ordre supérieur ou

égal à 1, en modélisant la variance conditionnelle par un processus GARCH(1,1) et en tenant compte

du cycle économique. Nous rappelons que le facteur 𝛽0 est assimilé au spread empirique de long

terme (10 ans), 𝛽1 mesure la pente de la structure à terme du spread et 𝛽2 capte le degré de la

courbature de la courbe du spread.

Selon les résultats de la p-value au Tableau 6, panels A et B, la dynamique du changement du

facteur 𝛽0 est captée par un processus AR(2). Les variations observées aujourd’hui dans le spread

de long terme sont dues d’une part, par son comportement aux deux trimestres antérieurs et d’autre

part, par l’influence du cycle économique. Par contre, le cycle économique est sans effet sur les

changements de la pente de la structure à terme du spread et du degré de la courbature de la courbe

du spread. La dynamique de la variation des facteurs 𝛽1 et 𝛽2 devraient, selon les résultats de la p-

36

value, être modélisée par un processus AR(1). Autrement dit, les variations de ces facteurs sont

influencées par leur propre variation au trimestre précédent.

En ce qui concerne les résultats de l’estimation de la variance conditionnelle, le choix du

processus GARCH semble être justifié. En effet, les coefficients du GARCH(1) sont tous

statistiquement significatifs au seuil de 5 % pour toutes les variations des facteurs bêtas

considérées, et le coefficient ARCH(1) est statistiquement significatif au seuil de 10 % pour le facteur

𝛽0. Aussi, nous remarquons que même si nous n’incluons pas le cycle économique dans le modèle,

les variations des facteurs bêtas suivent le processus GARCH (1,1). Dans notre cas, l’hypothèse de

variance constante du modèle DNS ne tient pas.

La valeur relativement faible et statistiquement significative du nombre de degrés de liberté

(𝜈0) de la distribution de Student observée pour la variation du facteur 𝛽0 justifie un éventuel

mouvement extrême de ce facteur d’un trimestre à l’autre (Tableau 6, panels A et B). Ce résultat

confirme l’excès de Kurtose observé dans l’échantillon (Tableau 3, panel A). Le Tableau 6, panel C,

présente la dépendance des variations des facteurs, captée par la copule de Student dans les

modèles AR-GARCH avec et sans le cycle économique. Elle est à peu près semblable dans les deux

modèles, une forte dépendance est cependant observée entre la variation des facteurs pente et

courbature. Dans les autres cas, elle est faible. Il y a une certaine évidence de co-mouvements

extrêmes dans les changements des facteurs, justifiée par la faible valeur du nombre de degré de

liberté des copules de Student, beaucoup plus faible dans le modèle incluant le cycle économique.

Au Tableau 6, panel D, nous vérifions si sur l’ensemble de l’échantillon il y a une différence

entre le modèle AR-GARCH avec et sans le cycle économique. Selon les résultats, l’influence du

cycle économique semble être négligeable sur l’ensemble de l’échantillon. Car les deux modèles

présentent des résultats assez similaires au regard des p-values. Les deux modèles fournissent des

résultats satisfaisants, car les écarts moyens par rapport aux données réelles sont tous

statistiquement nuls au seuil de 1 %. Ces résultats ne nous permettent pas de faire ressortir

l’influence du cycle économique sur les spreads CDS. Dans la section suivante, nous allons

approfondir l’analyse en comparant les deux modèles sur différents sous-échantillons.

37

Tableau 6

Panel A

Estimations des coefficients du modèle AR-GARCH sans le cycle

économique

𝑧0𝑡 𝑧1𝑡 𝑧2𝑡

Variables Coefficients P-value Coefficients P-value Coefficients P-value

Moyenne conditionnelle ( 𝝁𝒊,𝒕 )

C 0.0000 0.4980 -0.0304 0.4036 -0.0375 0.3593

AR(1) -0.3220 0.0008 -0.5520 0.0000 -0.5161 0.0000

AR(2) -0.2166 0.0166 -0.1195 0.1669 -0.1180 0.1459

AR(3) -0.0770 0.2302 -0.1015 0.2142 -0.1383 0.1044

AR(4) 0.0643 0.2464 -0.0681 0.2771 -0.0475 0.3147

Variance conditionnelle (𝝈𝒊,𝒕𝟐 )

C 0.0022 0.1415 0.2182 0.3346 0.1097 0.2735

GARCH(1) 0.5916 0.0028 0.7731 0.0302 0.8242 0.0000

ARCH(1) 0.3086 0.0735 0.0812 0.2435 0.0825 0.1975

𝜈𝑖 3.8603 0.0043 11.7633 0.2730 6.4613 0.0925 Ce panel présente les résultats de l`estimation des changements des facteurs bêtas sans le cycle économique.

L`estimation des coefficients est réalisée par la méthode de maximum de vraisemblance. Nous modélisons la variance des erreurs par

un processus GARCH (1,1) et nous supposons qu`elles sont distribuées selon une loi de Student avec 𝜈𝑖 (i = 0, 1, 2) degrés de liberté. Nous testons H0 : les coefficients sont nuls contre H1 : les coefficients sont non nuls. Le seuil de significativité est de 5 %, nous

décidons H1 si p-value ≤ 0.05.

38

Panel B

Estimations des coefficients du modèle AR-GARCH avec le cycle économique

𝑧0𝑡 𝑧1𝑡 𝑧2𝑡

Variables Coefficients P-value Coefficients P-value Coefficients P-value

Moyenne conditionnelle ( 𝝁𝒊,𝒕 )

C 0.0002 0.4923 -0.0298 0.4048 -0.0336 0.3727

AR(1) -0.3865 0.0002 -0.5592 0.0000 -0.5261 0.0000

AR(2) -0.2986 0.0024 -0.1306 0.1488 -0.1324 0.1203

AR(3) -0.1683 0.0521 -0.1196 0.1781 -0.1640 0.0717

AR(4) -0.0101 0.4562 -0.0796 0.2456 -0.0708 0.2416

CYCLE 0.0014 0.0103 -0.0063 0.2284 -0.0068 0.1609

Variance conditionnelle (𝝈𝒊,𝒕𝟐 )

C 0.0020 0.1515 0.2076 0.3530 0.0867 0.2815

GARCH(1) 0.6039 0.0011 0.7891 0.0391 0.8448 0.0000

ARCH(1) 0.3197 0.0906 0.0710 0.2735 0.0788 0.1961

𝜈𝑖 3.5853 0.0054 10.8861 0.2645 6.4948 0.1072 Ce panel présente les résultats de l`estimation des changements des facteurs bêtas avec le cycle économique.

L`estimation des coefficients est réalisée par la méthode de maximum de vraisemblance. Nous modélisons la variance des erreurs par

un processus GARCH (1,1) et nous supposons qu`elles sont distribuées selon une loi de Student avec 𝜈𝑖 degrés de liberté. Nous testons H0 : les coefficients sont nuls contre H1 : les coefficients sont non nuls. Le seuil de significativité est de 5 %, nous décidons H1 si

p-value ≤ 0.05.

39

Panel C

Corrélation entre les facteurs bêtas en variation

Captée par la copule de Student

ARGARCH sans le cycle économique ARGARCH avec le cycle économique

Corrélation

Corrélation

Δ𝛽0 Δ𝛽1 Δ𝛽2 Δ𝛽0 Δ𝛽1 Δ𝛽2

Δ𝛽0 1.0000

1.0000

Δ𝛽1 0.3122 1.0000

0.2752 1.0000

Δ𝛽2 0.3156 0.9684 1.0000

0.2728 0.9706 1.0000

𝜈 3.29 3.26 Ce panel fournit la matrice des corrélations des facteurs bêtas (en variation) estimée par une copule de Student avec 𝜈 degrés de liberté.

Panel D

Statistiques descriptives des résidus estimés

Comparaison du modèle AR-GARCH avec et sans le cycle économique

Maturité

(année) moyenne p-value écart-type Minimum maximum rho(1) rho(4) rho(10)

Erreur du modèle sans le cycle économique

2 -0.0094 0.4129 0.1165 -0.4726 0.2103 0.3629 0.0434 0.0016

3 0.0016 0.8865 0.1137 -0.4574 0.4192 0.1485 -0.1448 -0.0603

4 -0.0008 0.9425 0.1164 -0.5036 0.4086 0.1109 -0.1097 -0.1377

5 -0.0263 0.0206 0.1140 -0.5883 0.3182 0.0773 0.0018 -0.1544

7 0.0058 0.6334 0.1229 -0.6944 0.3186 0.1336 -0.0021 -0.0750

10 -0.0116 0.3740 0.1325 -0.7228 0.2581 0.2597 0.0127 -0.0452

Erreur du modèle avec le cycle économique

2 -0.0095 0.4060 0.1156 -0.4651 0.2083 0.3633 0.0277 0.0115

3 0.0017 0.8793 0.1146 -0.4450 0.4056 0.1767 -0.1493 -0.0738

4 -0.0006 0.9571 0.1179 -0.4887 0.3942 0.1525 -0.1079 -0.1558

5 -0.0260 0.0219 0.1141 -0.5719 0.3034 0.0991 -0.0126 -0.1588

7 0.0061 0.6156 0.1231 -0.6763 0.3032 0.1576 -0.0128 -0.0784

10 -0.0112 0.3835 0.1311 -0.7034 0.2823 0.2610 -0.0144 -0.0174

Ce panel présente les statistiques descriptives des résidus estimés des panels A et B. Nous testons H0 : les erreurs sont en moyenne nulles contre H1 : les erreurs sont en moyenne non nulles. Le seuil de significativité est de 1 %, nous décidons H1 si p-value ≤ 0.01. Rho (k) désigne l’autocorrélation d’ordre k.

40

V.3. Influence du cycle économique et son interaction avec les spreads CDS

Afin de mesurer l’impact du cycle économique sur l’évolution du spread CDS à différentes

maturités, nous comparons la qualité de prévisions du modèle incluant ou non la variable cycle

économique à l’intérieur de l’échantillon. À partir d’une fenêtre glissante, nous utilisons des sous-

échantillons de 50 observations; ce qui donne sur l’ensemble de l’échantillon, 55 sous-échantillons

(voir Encadré 1 en annexe pour plus de détails). Pour chaque sous-échantillon, nous estimons pour

les différentes maturités, à l’aide des deux modèles, la dynamique du spread CDS (�̂�𝑡). Pour chaque

modèle, nous évaluons la racine carrée de l’erreur moyenne par la formule suivante5 :

𝑅𝑀𝑆𝐸 = √1

50∗ ∑ (𝑠𝑡 − �̂�𝑡)2

50𝑡=1 avec 𝑠𝑡 le spread réel et �̂�𝑡 l’estimation du spread à partir du

modèle sans ou avec le cycle économique. Le modèle qui estime mieux la courbe du spread CDS

est celui dont le RMSE est minimale. Ensuite, nous analysons d’autres statistiques descriptives des

erreurs présentées dans le Tableau 7.

Dans le Tableau 7, nous comparons le modèle DNS avec et sans le cycle économique et le

modèle AR-GARCH avec et sans le cycle économique. Sur chaque sous-échantillon, nous estimons

le RMSE pour les modèles avec et sans le cycle économique. Ensuite, nous procédons par un test

unilatéral de Student c’est-à-dire, nous testons l’hypothèse nulle qu’il n’y a pas de différence entre les

modèles (RMSEsans cycle = RMSEavec cycle) contre l’hypothèse alternative que le modèle avec le cycle

économique performe mieux que celui sans le cycle économique (RMSEsans cycle ˃ RMSEavec cycle ).

Les p-values associées aux RMSEs du modèle DNS sont toutes inférieures à 1 %, ce qui conduit à

l’acceptation de l’hypothèse alternative selon laquelle le cycle économique a une influence

significative sur les spreads CDS quelle que soit la maturité. Nous aboutissons à ces mêmes

résultats pour le modèle AR-GARCH, à la différence pour le spread CDS à maturité de 10 ans il n’y a

pas de différence significative entre les modèles. Si sur l’ensemble de l’échantillon (Tableau 6, panel

D) ce n’était pas assez visible l’impact du cycle économique sur les spreads CDS, il semble toutefois

qu’il y a une certaine évidence au niveau des différents sous-échantillons (Tableau 7) que le cycle

économique n’est pas sans effet sur les spreads CDS.

5 Root Mean Square Error.

41

L’influence du cycle économique sur le spread CDS que suggère notre modèle est consistante

aux résultats des travaux d’Alexander et Kaeck (2006,2008), Zhang et al. (2009), Tang et Yan

(2010), Baum et Wan (2010), Jang et al. (2013) et Kim et al (2015), qui argumentent tous en faveur

de la prise en compte du cycle économique comme facteur macroéconomique pouvant jouer un rôle

significatif et économiquement important pour comprendre l’évolution du spread CDS. À la différence,

leurs modèles ne permettent pas de déterminer la structure à terme du spread CDS. Comme

contribution, nous suggérons un modèle capable d’estimer et de prévoir la structure à terme du

spread CDS tout en tenant compte de son interaction avec le cycle économique.

Tableau 7

Comparaison des modèles DNS et AR-GARCH avec et sans le cycle économique

Maturité

(année) DRMSE p-value

écart-

type minimum maximum rho(1) rho(4) rho(10)

Modèle DNS

2 0.0030 0.0005 0.0065 -0.0061 0.0126 0.9641 0.8164 0.4496

3 0.0054 0.0007 0.0120 -0.0101 0.0211 0.9676 0.8327 0.4732

4 0.0052 0.0028 0.0133 -0.0120 0.0224 0.9668 0.8328 0.4750

5 0.0031 0.0188 0.0108 -0.0118 0.0177 0.9634 0.8224 0.4609

7 0.0053 0.0059 0.0151 -0.0147 0.0238 0.9652 0.8381 0.4799

10 0.0056 0.0006 0.0122 -0.0099 0.0212 0.9652 0.8362 0.5069

Modèle AR-GARCH

2 0.0009 0.0018 0.0022 -0.0025 0.0066 0.6632 0.4264 -0.0303

3 0.0020 0.0004 0.0042 -0.0082 0.0116 0.5932 0.1242 -0.0848

4 0.0028 0.0000 0.0046 -0.0072 0.0133 0.6363 0.2003 -0.0863

5 0.0021 0.0001 0.0038 -0.0048 0.0126 0.7242 0.3698 -0.0461

7 0.0016 0.0000 0.0024 -0.0038 0.0062 0.5592 0.1478 -0.0983

10 0.0003 0.2289 0.0027 -0.0034 0.0069 0.7705 0.4499 0.1664

Dans ce tableau, nous comparons d`une part, le modèle DNS avec et sans le cycle économique et d`autre part, le modèle AR-GARCH avec et sans le cycle économique. Pour y arriver, nous testons pour chaque modèle, H0 : DRMSE = 0 contre H1 : DRMSE ˃ 0. DRMSE = RMSEsans cycle – RMSEavec cycle . Le seuil de significativité est de 1 %, nous décidons H1 si p-value ≤ 0.01. Le meilleur modèle est celui dont le RMSE est le plus faible. Rho (k) désigne l’autocorrélation d’ordre k.

42

V.4. Prévisions

V.4.1. Analyse des résultats

Pour prévoir le spread CDS, nous suivons un ensemble d’étapes. Nous identifions les 𝜀𝑖,𝑡

estimés dans l’équation (11) comme invariants. L’examen graphique des résidus estimés (Figure 8)

montre que les 𝜀𝑖,�̂� sont indépendants et identiquement distribués. À l’aide des paramètres des 𝜀𝑖,�̂�,

nous simulons, par la technique de Monte Carlo, 100000 observations pour les trimestres suivants.

Cette simulation est réalisée suivant une distribution copule de Student avec des distributions

marginales de Student. Les 𝜀𝑖,𝑡 simulés sont remplacés dans l’équation (11) pour trouver les 100000

changements possibles des facteurs bêtas (𝑧𝑖𝑡). Ensuite, nous déduisons les 100000 simulations

des bêtas en ajoutant 𝑧𝑖𝑡 aux derniers bêtas observés dans l’échantillon. En dernier lieu, les 100000

bêtas simulés sont introduits au modèle DNS, de l’équation (10) pour simuler les 100000 spreads

CDS pour les trimestres suivants (voir Encadré 2 pour plus de détails).

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Figure 8

Test invariant du facteur niveau Test invariant du facteur pente

Test invariant du facteur courbature

Les résultats de la simulation des bêtas