Cutnell, Johnson – Fisica volume 3 Capitolo 25 La relatività ristretta

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Domande 1. Il postulato sulla velocità della luce stabilisce che la velocità della luce nel vuoto, misurata in un qualsivoglia sistema di riferimento inerziale, ha sempre lo stesso valore c indipendentemente dal modo in cui la sorgente della luce e l’osservatore si stanno muovendo, una relativamente all’altro. La velocità della luce nell’acqua è c/n, dove n = 1,33 e rappresenta l’indice di rifrazione dell’acqua: allora la velocità della luce nell’acqua è minore di c. Questo non viola il postulato sulla velocità della luce perché il postulato si riferisce esclusivamente alla propagazione della luce nel vuoto e non in un mezzo materiale. 2. Un osservatore che vede la Terra da un sistema di riferimento inerziale non è nel sistema di riferimento di nessuno dei due orologi e quindi misurerà, per entrambi, un tempo dilatato. La dilatazione dei tempi è regolata dalla relazione 2 2

01 /t t v c! = ! " , dove v è la velocità

relativa tra l’osservatore che ha misurato ∆t0 e l’osservatore che ha misurato ∆t. Entrambi gli orologi si muovono intorno all’asse di rotazione terrestre con la stessa velocità angolare della Terra e con una velocità lineare, per entrambi, v = r! dove r è la distanza tra l’orologio e l’asse di rotazione. Quindi, l’osservatore che si trova nel sistema di riferimento con il valore di velocità lineare più elevato registrerà un intervallo di tempo maggiore e, di conseguenza, l’orologio all’equatore sembrerà procedere più lentamente di un orologio al Polo Nord. 3. Il passeggero sul treno è fermo relativamente all’orologio e, quindi, misura l’intervallo di tempo proprio. Il passeggero sul treno è fermo anche relativamente alla carrozza e, quindi, ne misura la lunghezza propria. Tu sei fermo al passaggio a livello e di conseguenza sei fermo anche relativamente alle traversine dei binari: sei tu che puoi misurarne la lunghezza propria. 4. È possibile per il principio di equivalenza tra la massa e l’energia : infatti, l’energia totale E di un oggetto in movimento è legata alla sua massa e alla sua velocità dall’equazione

2 2 21 /E mc v c= ! . La massa delle particelle riportate nelle tabelle corrisponde all’energia che

esse possiedono quando sono ferme (v = 0 m/s). 5. La luce nell’acqua viaggia alla velocità di 2,26·108 m/s. Una particella elementare dotata di massa può viaggiare nell’acqua a una velocità superiore a questa perché il postulato sulla velocità della luce stabilisce che nessun oggetto dotato di massa può muoversi a una velocità superiore a quella della luce nel vuoto (che vale 3,00· 108 m/s), e non si riferisce alla velocità della luce in un mezzo materiale. 6. Se la velocità della luce fosse infinitamente grande, gli effetti della dilatazione temporale e della contrazione delle lunghezze non sarebbero osservabili. Consideriamo le equazioni relative alla

dilatazione dei tempi e alla contrazione delle lunghezze, rispettivamente 2 2

01 /t t v c! = ! " e

2 2

01 /L L v c= ! . Se c fosse infinitamente grande, il rapporto v

2/ c

2 sarebbe uguale a zero e

risulterebbe !t = !t

0 e

L = L

0 : gli intervalli di tempo e le lunghezze degli oggetti, avrebbero lo

stesso valore in tutti i sistemi di riferimento inerziali, indipendentemente dalle loro velocità relative.

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Test 1. A 2. C 3. C 4. B 5. B 6. A 7. C 8. C 9. B 10. A 11. D 12. D 13. D 14. B 15. B Problemi 1. Indichiamo con A e B le due situazioni riportate nel testo. L’intervallo di tempo proprio ha sempre lo stesso valore, per cui.

!t0( )

A

= !t0( )

B

" !tA

1# vA

2/ c

2 = !tB

1# vB

2/ c

2

Possiamo, così ricavare:

2 2 2 2A A

B A A 2 22 2BB

1 / 1 ( / ) 1 – (0,75 ) (37,0 h) 72 h

1 ( / ) 1 – (0,94 )1 /

v c v c c / ct t t

v c c / cv c

! !" = " = " = =

!!

2. Se immaginiamo un sistema di riferimento solidale col pione, il pione è fermo relativamente a questo sistema di riferimento. Un osservatore in laboratorio è fermo rispetto a questo sistema di riferimento, per lui, quindi, la creazione del pione e il suo successivo decadimento avvengono nello stesso posto, quello in cui si trova il pione e l’intervallo di tempo che intercorre tra i due eventi è l’intervallo di tempo proprio. D’altro canto, il nostro osservatore fermo vede i due eventi avvenire in posizioni diverse (il pione si sta muovendo) e, quindi, misura il tempo dilatato 2 2

0/ 1 /t t v c! = ! " . Quindi:

!t0= !t 1–

v2

c2= 3,5 "10–8 s( ) 1–

0,990c( )2

c2

= 4,9 "10–9 s

Per l’osservatore fermo, la distanza x di cui il laboratorio si sposta prima che il pione decada è il prodotto tra la velocità del laboratorio, relativamente al pione, e l’intervallo di tempo proprio, ossia

0x v t= ! (la velocità del laboratorio relativamente al pione è uguale alla velocità del pione relativamente al laboratorio = 0,990c). Quindi

x = v!t0= 0,990( ) 3,00 "108 m/s( )

0,990c

1 24444 344444,9 "10#9 s( ) =1,5 m

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3. La relazione tra il tempo dilatato misurato dalla persona sulla Terra e il tempo proprio è:

2 20/ 1 ( / )t t v c! = ! " , da cui

2 28 80 1,5 s

1 (3,0 10 m/s) 1 2,4 10 m/s2,5 s

tv c

t

!" # " #= $ = % $ = %& ' & '! ( )( )

4. Il tempo proprio della durata complessiva del viaggio è un anno perché misurato da un osservatore (l’astronauta) che è fermo rispetto all’inizio e alla fine dell’evento e vede questi due momenti nella stessa posizione (all’interno dell’astronave). D’altra parte, per l’astronauta gli orologi terrestri forniscono un intervallo di tempo dilatato di 100 anni. La relazione tra questi due intervalli di tempo

è

!t = !t0

/ 1" v2

/ c2( ) . Quindi, possiamo ricavare

22

0 1anno1 1 0,999 95

100 anni

tv c c c

t

! " #" #= $ = $ =% &% &

!' ( ' (

5. Con l’approssimazione

2 2

1

21– 1–

v v

c c

! " ! "#$ % $ %

& ' & '

la relazione tra l’intervallo di tempo proprio e quello dilatato diventa

2

1

0 21

vt t

c

! "# $% = % &' () *

+ ,- .

Quindi

∆t – ∆t0 = ( )2

1

2

vt

c

! "# $ %

& '=( )

44

8

8,64 10 s 1 7800m/s15giorni 4,4 10 s

1giorno 2 3,00 10 m/s

!" #$ " #= $% & % &$' (' (

6. Il tempo proprio perché il batterio raddoppi la sua popolazione è ∆t0 = 24,0 ore. Il campione

rimasto sulla Terra impiegherà 8 giorni per produrre 256 batteri (256 = 2n da cui n = 8). Il tempo per “raddoppiare” la popolazione nello spazio è:

0

2 2

24,0 h48,0 h 2 giorni

0,8661– 1–

tt

v c

c c

!! = = = "

# $ # $% & % &' ( ' (

In otto giorni terrestri, il campione nello spazio produrrà n' = ( )1

28 = 4 "raddoppiamenti". Nel

campione sul razzo, secondo l’osservatore terrestre, ci sarà un numero di batteri N = 2n' = 24 = 16 7. Per l’equazione sulla contrazione delle lunghezze, il turista misura una lunghezza

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( )( )

( )

22

0 2 2

1,3 m/s1 9,0 km 1 8,1 km

3,0 m/s

vL L

c

= ! = ! =

8.

Una persona a bordo della navicella spaziale misura una lunghezza contratta ( )2 2

01 /L L v c= ! .

Questa lunghezza è anche uguale al prodotto tra la velocità della navicella e l’intervallo di tempo misurato da una persona che si trova nella navicella stessa e che coincide con il tempo proprio perché la persona misura il tempo intercorso tra l’inizio e la fine dell’evento (L = v∆t0). Quindi

( )2 2

01 /L v c! = v∆t0

da cui

!t0=

L0

v1" v

2 / c2( ) =

=

23 000 anni luce( )9,47 #1015 m

1anno luce

$

%&&

'

())

0,9990 3,00 #108 m/s( )1"

0,9990c( )2

c2

*

+

,,,

-

.

///

1 anno

3,16 #107 s

$

%&&

'

()) =1,0 #103 anni

9. La lunghezza L0 che la persona misura al momento dell’atterraggio è la lunghezza propria, perché l’astronave è ferma rispetto alla persona. Allora

0 2 2

2 2

230 m530 m

(0,90 )1 1

LL

v c

c c

= = =

! !

10. I due eventi sono la creazione della particella e la sua successiva disintegrazione, che, relativamente a un sistema di riferimento fisso solidale con il laboratorio, avvengono in due posizioni diverse, perché la particella è in moto relativamente al sistema di riferimento. La lunghezza propria L0 è la

distanza (1,05 · 10−3 m) fornita nel testo, perché è la distanza misurata da un osservatore fermo nel laboratorio. L0 = 31,05 10 m!" La distanza misurata da una persona ipotetica che viaggia solidalmente con la particella è una distanza contratta, perché rilevata da una persona in movimento relativo, quindi è legata alla distanza propria dalla relazione

( ) ( )22

3 40 2 2

0,9901 1,05 10 m 1 1,48 10 mv c

L L

c c

! != ! = " ! = "

Il tempo proprio ∆t0 della particella è la sua vita media misurata in un sistema di riferimento solidale con la particella stessa. In questo sistema di riferimento i due eventi avvengono nella stessa posizione. La vita media propria, allora, sarà uguale al rapporto tra la distanza contratta e la velocità della particella,

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!t0=

L

v=

1,48 "10#4 m

0,990( ) 3,00 "108 m/s( )0,990c

1 24444 34444

= 4,98 "10#13 s

La vita media dilatata della particella sarà, infine, ( )

( )

–13–120

2 2

2 2

4,98 10 s3,53 10 s

0,9901– 1–

tt

v c

c c

! "! = = = "

11. vA = 0,70c e vB = 0,90c,

2 2

A B

A 0 B 02 21 e 1v v

L L L L

c c

= ! = !

La lunghezza propria è la stessa in entrambi i casi, quindi, dividendo membro a membro, si può semplificare ottenendo

LB

LA

=

L0

1!v

B

2

c2

L0

1!v

A

2

c2

=

1!v

B

2

c2

1!v

A

2

c2

LB= L

A

1!v

B

2

c2

1!v

A

2

c2

= 6,5 anni luce( )1!

0,90c( )2

c2

1!0,70c( )

2

c2

= 4,0 anni luce

12. La quantità di moto classica è

q = mv = (2,0 !107 kg)(0,85)(3,00 !108 m/s) = 5,1 !1015 kg !m/s La quantità di moto relativistica è

p =mv

1! v2 / c2=

p0

(1– (0,85c / c)2=

5,1 "1015kg "m/s

(1– (0,85)2= 9,7 "1015kg "m/s

13.

( )( )

( )

( )

57

2 2

2 28

140 m/s1,2 10 kg1,7 10 kg m/s

140 m/s1 1

3,00 10 m/s

mvp

v

c

!= = = ! !

" "

!

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( )( )

( )

( )

57

2 2

2 2

140 m/s1,2 10 kg3,0 10 kg m/s

140 m/s1 1

170 m/s

mvp

v

c

!= = = ! !

" "

14. L’altezza della donna rispetto all’osservatore è 2

01 ( / )h h v c= ! . Per determinare la sua velocità

ricorriamo all’espressione della quantità di moto relativistica, quindi: 2 2

/ 1 /p mv v c= ! , da cui 2 21 /mv p v c= !

Elevando al quadrato entrambi i membri 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2

2(1– / ) o

vm v p v c m v p p

c= + =

2 2

2 2 2 2

2 22

2

o p p

v m p vc p

mc

! "+ = =# $# $

% & +

Risolvendo in funzione di v , otteniamo

108

2 2102

22

8

2,0 10 kg m/s2,3 10 m/s

2,0 10 kg m/s(55 kg)

3,00 10 m/s

pv

pm

c

! != = = !

" #! !+ + $ %!& '

E, infine:

22 8

0 8

2,3 10 m/s1 (1,6 m) 1 1,0 m

3,0 10 m/s

vh h

c

! "#! "= $ = $ =% &% & % &#' ( ' (

15. Sappiamo che il pilota misura un intervallo di tempo tra due eventi pari alla metà di quello dilatato,

ovvero 0

1

2t t! = ! . Usando questo dato e la formula relativa alla dilatazione temporale, possiamo

calcolare la quantità di moto relativistica della navicella.

1

0 2t t! = ! e 2 2

0/ 1 /t t v c! = ! " , quindi 2 2 1

21 /v c! = . Da cui

1313

1 12 22 2

1,3 10 kg m/s2,6 10 kg m/s

1 /

mv mvp

v c

! != = = = ! !

"

16. La quntità di moto totale si conserva perché il sistema è isolato. E, dato che la quantità di moto totale iniziale era zero, ne consegue che le quantità di moto finali delle due parti sono uguali e opposte:

p

1= !p

2 . Ovvero

1 1 2 2

2 2 2 21 21 ( / ) 1 ( / )

m v m v

v c v c

!=

! !

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Poniamo che il frammento 2 sia quello con massa maggiore, avremo allora 10,800v c= ,

kg101,67 –27

1 !=m , e kg105,01 –27

2 !=m . Sostituendo i valori noti e manipolando le equazioni precedenti, otteniamo

2 2 2 –27 2 222 1 1

2 2 2 2 2 –27 2 22 2 1

(1,67 10 kg) (0,800 )0,1975

1 ( / ) 1 ( / ) (5,01 10 kg) 1– (0,800 / )

v m v cc

v c m v c c c

!= = =

" # " #$ $ !% & % &

Da cui 2 2 2 2 2 22 2 20,1975 1 ( / ) 0,1975 – 0,1975v c v c c v! "= # =$ %

e 2

2

0,19750,406

1,1975

cv c= ± = ±

Escludiamo la soluzione positiva perché significherebbe che i due frammenti si muovono nella stessa direzione e la quantità di moto totale non sarebbe più nulla. Quindi 2–0,406v c=

17. The mass equivalent is given by E0 = KE = mc2 or

m =KE

c2=

7.8 !10–13 J

3.00 !108 m/s( )2= 8.7 !10–30 kg

18. Sappiamo che quando la velocità di una particella è uguale (o minore) di 0,01c , l’energia cinetica relativistica diventa praticamente uguale a quella non relativistica. La velocità della nostra particella è 0,001 c e, quindi il rapporto tra le due energie cinetiche è uguale a 1,0. Il rapporto tra le due energie cinetiche è:

mc2

1

1– (v2 / c2 )

–1!

"

##

$

%

&&

1

2mv

2= 2

c

v

!

"#$

%&

2 1

1– (v2 / c2 )

–1!

"

##

$

%

&&=

= 2c

0,970c

!

"#

$

%&

2 1

1– (0,970c)2 / c2

–1!

"

##

$

%

&&= 6,6

19. La massa m della caramella è legata alla sua energia a riposo E0 dall’equazione E0 = mc2. Sapendo

che l’auto spende 2,9 · 107 J per percorrere 8,5 km, possiamo calcolare quanti kilometri potrebbe percorre spendendo tutta l’energia corrispondente alla conversione in energia della massa della caramella.

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d =E

0

2,9 !107 J( ) / 8,5 ! km( )=

mc2

2,9 !107 J( ) / 8,5 km( )=

=325 !10"3 kg( ) 3,0 !108 m/s( )

2

2,9 !107 J( ) / 8,5 km( )= 8,6 !109 km

20. L’energia necessaria per riscaldare l’acqua è: Q = cm ∆T = [4186 J/(kg ⋅ °C)](4,0 kg)(60,0 °C – 20,0 °C) 56,7 10 J= ! ∆E0 = (∆m)c2, da cui

∆m = ∆E0/c2 = (6,7·105 J)/(3,00 ·108 m/s)2 = –127,4 10 kg! 21. L’energia E0 prodotta in un anno è il prodotto tra la potenza generata P e il tempo considerato t.

Questa energia è equivalente a una massa m secondo l’equazione E0 = mc2. Quindi

2

2da cui

Ptmc Pt m

c

= =

=3,0 !109 W( ) 3,15 !107 s( )

3,00 !108 m/s( )2

=1,1 kg

22. Per il teorema lavoro-energia, il lavoro che deve essere speso su un elettrone per accelerarlo da fermo alla velocità di 0,990c è uguale all’energia cinetica dell’elettrone alla sua velocità finale di 0,990c. Quindi:

L = Kfin= mc

21

1– (v2

/ c2)

–1!

"

##

$

%

&&=

= (9,11 '10–31

kg)(3,00 '108m/s)

21

1– (0,990c)2

/ c2

–1!

"

##

$

%

&&= 5,0 '10

–13J

23. Il ritmo R al quale il quasar perde massa è dato dal rapporto tra la sua massa e il tempo durante il quale la massa viene persa: /R m t= , dove 2

0/m E c= e l’energia media è il prodotto tra la potenza

media (che rappresenta il ritmo al quale il quasar irradia energia) e il tempo,0

.E Pt= Traducendo in formule, otteniamo

0

20

2

E

Em cR

t t c t

= = =

( )

4124

2 2 28

1 1,0 10 W1,1 10 kg/s

3,00 10 m/s

P t P

tc c

! " #= = = = #$ %

& ' #

24. A ogni variazione di energia corrisponde una variazione di massa data dalla relazione:

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0

2

Em

c

!! =

Supponiamo che etotale

2mm = rappresenti la massa totale del sistema quando i due elettroni sono a distanza infinita. Quando i due elettroni saranno avvicinati al punto che la loro nuova massa diventi il doppio di quella precedente, potremo scrivere: totale totale

2m m m+ ! = Quando i due elettroni sono a distanza infinita, la loro energia potenziale è nulla, mentre quando si trovano a distanza r, la loro energia potenziale elettrica è

2ke

Ur

=

Il sistema ha, cioè, subito una variazione di energia :

2

0– 0

keE U

r! = =

Combinando, e elaborando, le equazioni precedenti, otteniamo in successione 0

totale totale22

Em m

c

!+ =

2

totale2

1 kem

rc

! "=# $

# $% &

E, infine

2 2 9 2 2 –19 2–15

2 2 –31 8 2totale e

(8,99 10 N m /C )(1,60 10 C)1,40 10 m

2 2(9,11 10 kg)(3,00 10 m/s)

ke ker

m c m c

! ! != = = = !

! ! 25. La velocità dell’ Enterprise 2, misurata da un osservatore terrestre è

21 1e

2e21 1e

21+

v vv

v v

c

+=

dove v2e = velocità di Enterprise 2 relativamente alla Terra v21 = velocità di Enterprise 2 relativamente a Enterprise 1 v1e = velocità di Enterprise 1 relativamente alla Terra Quindi:

( ) ( )( )( )

21 1e2e

21 1e22

0,31 0,650,80

0,31 0,651+1+

v v c cv c

v v c c

cc

+ + + += = = +

+ +

2

totale totale2

12

kem m

rc

! "+ =# $

# $% &

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26. Indichiamo vES = velocità del veicolo esplorativo relativamente alla navicella spaziale. vEO = velocità del veicolo esplorativo relativamente a un osservatore terrestre = +0,70c vSO = velocità della navicella spaziale relativamente a un osservatore terrestre = +0,50c Per la formula della composizione delle velocità

EO OS

ESEO OS

21

v vv

v v

c

+=

+

La velocità vOS (dell’osservatore terrestre relativamente alla navicella spaziale) non è data, ma sappiamo che vOS = – vSO = – (+0,50c) = –0,50c. Quindi:

( )( )( )

EO OSES

EO OS22

0,70 0,500,31

0,70 0,5011

v v c cv c

v v c c

cc

+ + + != = = +

+ !++

27. Indichiamo: vAB = velocità della galassia A relativamente alla galassia B vAT = velocità della galassia A relativamente alla Terra vTB = velocità della Terra relativamente alla galassia B Per la regola della composizione delle velocità

AT TB

AB

AT TB

21

v vv

v v

c

+=

+

Se supponiamo che la galassia A si stia muovendo a destra, nella direzione +x , la sua velocità relativamente alla Terra è

AT0,75v c= + . La galassia B si muove in direzione –x con una velocità

di 0,55c relativamente alla Terra , e quindi vBT = –0,55c. Ma vTB = – vBT, da cui vTB = – (–0,55c) = +0,55c. Infine

( )( )AT TB

ABAT TB2 2

0,75 0,550,920

0,75 0,551 1

v v c cv c

v v c c

c c

+ + += = = +

+ ++ +

28. Indichiamo vST = velocità del mezzo di Salvataggio rispetto alla Terra. vSR = velocità del mezzo di Salvataggio rispetto Razzo = –0,55c. vRT = velocità del Razzo rispetto alla Terra = +0,75c Per la composizione delle velocità.

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SR RT

STSR RT

22

–0,55 0,750,34

(–0,55 )( 0,75 )11

v v c cv c

v v c c

cc

+ += = = +

+++

La lunghezza del mezzo di salvataggio per l’osservatore terrestre è:

( )2 2ST

0 2 2

0,341 (45 m) 1 – 42 mv c

L L

c c

= ! = =

29. Indichiamo

1 2P Pv = velocità della particella 1 (P1) rispetto alla particella 2 (P2)

1P Lv = velocità della particella 1 (P1) rispetto a un osservatore in Laboratorio = +2,10 · 108m/s

2P Lv = velocità della particella 2 (P2) rispetto a un osservatore in Laboratorio = –2,10 · 108m/s

Avremo:

1 2

1 2

1 2

P L LP

P P

P L LP

21

v v

vv v

c

+=

+

dove 2 2

LP P Lv v= ! ( )8 82,10 10 m/s 2,10 10 m/s.= ! ! " = + "

Quindi, per la composizione relativistica delle velocità:

( )( )1 2

1 2

1 2

8 8PL LP 8

PP 8 8PL LP

2 2

2,10 10 m/s 2,10 10 m/s2,82 10 m/s

2,10 10 m/s 2,10 10 m/s1 1

v v

vv v

c c

+ + ! + != = = + !

+ ! + !+ +

E la quantità di moto di una particella in un sistema di riferimento solidale con l’altra è:

( )( )1 2

1 2

–25 8P P –16

2 28

P P

8

2,16 10 kg 2,82 10 m/s1,8 10 kg m/s

2,82 10 m/s1–1–

3,00 10 m/s

mvp

v

c

! + != = = ! !

" # " #!$ % $ %$ % !& '& '

30. L’energia totale di ogni particella è:

E =mc

2

1–v

c

!

"#$

%&

2=

9,11 '10–31

kg( ) 3,00 '108 m/s( )

2

1–0,20c

c

!

"#

$

%&

2= 8,4 '10

–14J

L’energia della radiazione elettromagnetica è il doppio di ciascuna, quindi: 132 1,7 10 JE E!" = = # .

Cutnell, Johnson – Fisica volume 3 Capitolo 25 La relatività ristretta

© Zanichelli 2009

31.

( )2 2

01– /L L v c= . Da cui

2 2

8 8

0

0,500 m= 1 = (3,00 10 m/s) 1 = 2,60 10 m/s

1,00 m

Lv c

L

! " ! "# $ # $% & % &% & ' (' (

32. L’intervallo di tempo per 8,0 respiri nel tuo sistema di riferimento fermo è ∆t0 = 1,0 min. Lo stesso tempo misurato da un osservatore terrestre è:

0

2 2 2 2

1,0 min 1,0 min, 4,5 min

1 / 1 (0,975 ) 1 (0,975)

tt

v c c / c

!! = = = =

" " " Quindi, per l’osservatore terrestre, il tuo ritmo respiratorio è: 8,0 respiri

1,8 respiri al minuto4,5 min

=

33. La quantità di moto relativistica si esprime come

p =mv

1! v2/ c2

=q

1! v2/ c2

Quando il modulo della quantità di moto relativistica è il triplo di quella non relativistica l’espressione precedente diventa:

3q =q

1! v2/ c2

da cui 1! v2/ c2 = 1

3

Elaborando le relazioni precedenti, otteniamo

2 2

2 2

81 1

9 9 91 o 1v v

c c

! = = ! =

Per cui 8 8

90,943 2,83 10 m/sv c c= = = !

34. Per il secondo postulato della relatività speciale, tutti gli osservatori misureranno lo stesso valore della velocità della luce, indipendentemente dalle loro velocità relative. Quindi gli alieni vedono il raggio laser avvicinarsi alla velocità c. Indichiamo ora le velocità relative come: vIA = velocità degli Ioni relativamente alla navicella degli Alieni vIC = velocità degli Ioni relativamente al Cruiser intergalattico = +0,950c vCA = velocità del Cruiser intergalattico relativamente alla navicella degli Alieni = +0,800c

Cutnell, Johnson – Fisica volume 3 Capitolo 25 La relatività ristretta

© Zanichelli 2009

La relazione tra queste velocità è:

( )( )IC CA

IAIC CA

2 2

0,950 0,8000,994

0,950 0,8001 1

v v c cv c

v v c c

c c

+ + += = = +

+ ++ +

Gli alieni vedono il raggio laser allontanarsi dal Cruiser alla velocità U = 1,000c – 0,800c = 0,200 c Gli alieni vedono gli ioni allonatanarsi dal Cruiser alla velocità U′ = 0,994c – 0,800c = 0,194 c 35. La relazione tra quantità di moto relativistica ed energia totale è

2 2 42 2 2 2 4 2

2 o

E m cE p c m c p

c

!= + =

Conosciamo il valore dell’energia totale, ma non quello della massa. Sappiamo però che E0 = mc2 , per cui l’equazione precedente diventa

2 22 2 42 0

2 2

E EE m cp

c c

!!= =

Sappiamo, inoltre che E = K + E0, da cui E0 = E − K, e, con quest’ultima sostituzione, otteniamo finalmente

( )22 2 2

2 0

2 2

E E E E Kp

c c

! ! != =

( ) ( ) ( ) ( )

( )

2222 15 15 157

2 28

5,0 10 J 5,0 10 J 2,0 10 J1,3 10 kg m/s

3,0 10 m/s

E E Kp

c

! "# ## # $ $ $% &= = = $ $$

36. La contrazione delle lunghezze riguarda i lati del rettangolo che si trovano nella direzione del moto. Perché il rettangolo appaia un quadrato, tutti i lati devono avere una lunghezza L = 2,0 m. Quindi il movimento avviene in direzione del lato più lungo, e la lunghezza propria, in queste condizioni, è quella del lato che si contrae, cioè L0 = 3,0 m. Dall’equazione 2 2

01 ( / )L L v c= ! , ricaviamo la

velocità con cui si sposta il rettangolo 2 2

0

2,0 m1 1 0,75

3,0 m

Lv c c c

L

! " ! "= # = # =$ % $ %$ % & '& '

Per l’osservatore in moto a questa stessa velocità, ma lungo il lato più corto, la lunghezza propria diventa L0 = 2,0 m , da cui

2 2

0

0,751 (2,0 m) 1 1,3 m

v cL L

c c

! " ! "= # = # =$ % $ %

& ' & ' Le dimensioni osservate del rettangolo sono, allora

3,0 m ! 1,3 m( ) , perché il lato lungo non

subisce contrazione alcuna a seguito del movimento lungo il lato corto.