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Universidade Federal de Minas Gerais – UFMG Instituto de Ciências Exatas
Departamento de Matemática
Monografia de Pós-Graduação - Especialização em Matemática
Curvas Especiais em Superfícies Regulares
Marcos Pacheco
Orientador: Helder Cândido Rodrigues
Belo Horizonte
2008
Para minha esposa Flaviana
Agradecimentos Primeiramente agradeço à profa. Cristina Marques pela coordenação do Curso
de Especialização, pelos ensinamentos de Álgebra que recebi, e principalmente
pela sua empatia, esta enorme habilidade de se colocar no lugar de cada aluno e
ajudá-lo a encontrar o melhor caminho em seus estudos.
Agradeço aos professores, Hamilton Bueno pelos ensinamentos fundamentais
em Análise; Seme Gebara por me motivar ainda mais a trabalhar com
Geometria Diferencial; Francisco Satuf pelos ensinamentos em Álgebra linear
e palavras de encorajamento ao longo do curso.
Agradeço especialmente ao meu orientador Prof. Helder Cândido Rodrigues,
por todo suporte didático e direcionamento durante a elaboração deste trabalho.
Obrigado também pela pronta disponibilidade e paciência em me atender as
inúmeras vezes que o procurei pessoalmente, ou através de constantes e-mails.
Resumo
Este Trabalho tem o objetivo estudar 3 tipos de curvas especiais que temos nas
superfícies em R 3, que são as linhas de curvatura, as linhas assintóticas e,
principalmente as geodésicas pela sua ampla utilização em vários problemas de
Geometria Diferencial. Além das definições e da identificação das equações
diferenciais que determinam estas curvas, vamos também ilustrar através de
exemplos, os traços destas curvas especiais sobre superfícies diversas em R 3 ,
procurando primeiramente as soluções analíticas, e quando não for possível,
utilizando o software Maple, para achar as soluções numéricas e gráficas.
Como aplicação prática de vários conceitos vistos, fazemos também o estudo
do pêndulo de Foucalt, experimento utilizado para demonstrar o movimento
giratório da Terra.
Sumário
Introdução
1. Conceitos básicos 1
1.1. Curvas regulares ...................................................................... 1 1.2. Superfícies regulares ................................................................ 3 1.3. Formas fundamentais e curvatura normal ............................... 7
2. Linhas de curvatura 12
2.1. Definição e equação das linhas de curvatura ............................ 12 2.2. Exemplos de linhas de curvatura ............................................... 14
3. Linhas assintóticas 24
3.1. Definição e equações das linhas assintóticas ........................... 24 3.2. Exemplos de linhas assintóticas ............................................... 26
4. Geodésicas 33
4.1. Vetor aceleração (α’’) .............................................................. 33 4.2. Geodésicas e pré-geodésicas ................................................... 35 4.3. Equações das geodésicas ......................................................... 40 4.4. Exemplos de geodésicas .......................................................... 42 4.5. Superfície de revolução .......................................................... 48 4.6. Menor distância ...................................................................... 51
5. O Pêndulo de Foucault 54
5.1. Campo de vetores Paralelo .................................................... 54 5.2. O pêndulo de Foucault x campo Paralelo ............................ 57
Referências Bibliográficas 60
Introdução O assunto das linhas de curvatura, linhas assintóticas e geodésicas é tratado
em livros introdutórios de Geometria Diferencial. Procurei sintetizar os
resultados mais relevantes que encontrei na bibliografia pesquisada, e
padronizar a notação que varia muito. O grande número de exemplos é
proposital para facilitar o entendimento de conceitos que por vezes são
subjetivos num primeiro contato.
No capítulo 1, relembramos os conceitos básicos de um primeiro curso em
Geometria Diferencial, definindo curvas regulares, fórmulas de Frenet,
superfícies regulares, curvatura normal, primeira e segunda forma fundamental,
curvatura Gaussiana, classificação de pontos numa superfície , etc... Algumas
demonstrações são apenas referenciadas pois são básicas e desta forma seremos
mais objetivos em atingir a proposição final. Este capítulo pode ser omitido
pelo leitor familiarizado com estes conceitos.
No capítulo 2, definimos as linhas de curvatura e deduzimos sua equação
diferencial , dado um ponto da superfície regular x(u,v). Damos exemplos no
parabolóide elíptico, superfície de revolução, parabolóide hiperbólico, e na
superfície x(u,v) = ( sen u, sen v cos u, cos v). Anexamos o programa Maple
usado para gerar a solução numérica deste último exemplo, ressaltando que ele
pode ser facilmente adaptado para outras superfícies menos comuns.
No capítulo 3, definimos as linhas assintóticas em função do vetor velocidade
apontar sempre na direção onde a curvatura normal se anula. Demos também
uma definição alternativa de linhas assintóticas em função do vetor aceleração
ser sempre perpendicular ao vetor normal N da superfície. Utilizando a
fórmula de Euler mostramos que um ponto elíptico não tem linhas assintóticas,
que um ponto hiperbólico tem exatamente duas linhas assintóticas, e deduzimos
a equação destas linhas assintóticas por um ponto não elíptico. Ilustramos com
exemplos no helicóide, superfície de revolução ( para pontos não elípticos),
parabolóide hiperbólico e superfície regrada x(t,v)= α(t) + v (α’(t) + e ) = ( cos
t - v sen t, sen t + v cos t, v )
No capítulo 4, antes de definirmos as geodésicas, demos ênfase ao vetor
aceleração, representado na base ortonormal do triedro de Frenet { τ, n, b },
na base ortonormal { τ, N, τ x N }, e na base { X u , X u , N } . Um bom
conceito do vetor aceleração é essencial para se entender a definição das
geodésicas e suas equações. Os símbolos de Christofell e as equações
diferenciais das geodésicas são apresentadas, formando a base dos cálculos
seguintes. Neste capítulo, a programação Maple é largamente utilizada devido
às dificuldades em se obter as soluções analíticas.
O conceito de pré-geodésica é apresentado, e a seguir, damos exemplos de
geodésicas no cilindro, cone, parabolóide elíptico, parabolóide hiperbólico e
Toro. A superfície de revolução é estudada mostrando que os meridianos são
sempre uma geodésica ( ou pré-geodésica), e os paralelos dependem da
condição f’=0.
Ilustramos com exemplos no toro e no cone que, localmente, a menor distância
entre dois pontos ao longo de uma curva da superfície, está sobre uma
geodésica. Fazemos referência a este fato fundamental, porém não
demonstramos tal proposição, pelo caráter introdutório deste trabalho.
Encerramos com o capítulo 5, apresentando uma aplicação prática da Geometria
Diferencial, onde tratamos o Pêndulo de Foucault, experimento de 1851,
utilizado por Jean Foucault para demonstrar o movimento de rotação da Terra.
Para isto primeiro estudamos o campo de vetores tangentes Paralelo ao longo
de um círculo de latitude constante e adaptamos o comportamento observado
nas oscilações do pêndulo, ao modelo matemático de campo Paralelo.
Marcos Pacheco [email protected]
1
1. Conceitos Básicos 1.1. Curvas regulares
Curva regular em R 3 : Uma curva diferenciável parametrizada é uma aplicação
diferenciável α: I → R 3 de um intervalo aberto I = (a, b) da reta real R em R 3 [M].
A palavra diferenciável na definição acima significa que α é uma correspondência que
leva cada t ∈ I em um ponto α(t) =( x(t), yt), z(t) )∈ R 3 , de tal modo que as funções
reais x(t), y(t), z(t), possuem derivadas em todos os pontos e de todas as ordens.
Dizemos que a variável t é o parâmetro da curva.
Exemplo 1.1: A aplicação α(t) =( a cos t, a sen t, bt ) t ∈ R
é a curva hélice circular, cujos pontos (x, y, z) ∈ R 3 estão representados na figura 1.1
Denotando por x’(t) a derivada primeira de x(t) em t e utilizando notações análogas
para as funções y(t) e z(t) , o vetor ( x’(t), y’(t), z’(t)) = α’(t) ∈ R 3 é chamado de
vetor tangente ( ou vetor velocidade) da curva α(t) em t. A curva α(t) é dita regular se
é diferenciável de classe C ∞ e α’(t) ≠ 0, para qualquer t ∈ R.
A imagem α(I) ⊂ R 3 é chamada o traço da curva α.
Figura 1.1 Curva hélice circular
2
Fórmulas de Frenet Para cada ponto de uma curva regular α(t) ⊂ R 3 , é possível
definir 3 vetores ortonormais ( triedro de Frenet) que são, τ = )t('
)t('
α
α vetor unitário
tangente, n = (t)'
(t)'
ττττ
ττττ vetor unitário normal e b = τ x n, vetor unitário binormal .
Estes vetores se relacionam com suas derivadas primeiras através das fórmulas de
Frenet. [M]. A primeira delas define a curvatura k.
v
1 τ’ = k n k = é definida como a curvatura no ponto α(t) e v = )t(α ′
Se α(t) está parametrizada pelo comprimento de arco ( p. c. a ), τ = α’ e τ’ = α’’
⇒ τ’ = k n ⇒ k = < τ’ , n > = < α’’, n > ⇒ k = )t('α ′ .
Se α(t) não está p. c. a , o vetor velocidade é α’(t) = v τ . Derivando esta expressão,
temos o vetor aceleração, α’’(t) = dt
dv τ + v τ’ , mas τ’ = kv n ⇒
α’’(t) = dt
dv τ + kv 2 n (1.I)
Multiplicando vetorialmente por τ à esquerda,
τ x α’’ = dt
dv τ x τ + kv 2 τ x n ⇒
v
'α x α’’ = kv 2 τ x n ⇒
|v
'α x α’’| =| kv 2 τ x n | ⇒
v
1|α’ x α’’| = kv 2 ⇒ k =
3v
1|α’ x α’’| (1.II)
As demais equações de Frenet, são,
v
1 b’ = υ n υ = é definida como a torção no ponto α(t)
v
1 n’ = - k n – υ b
3
1.2. Superfícies regulares Superfície regular em R 3
Um subconjunto S ⊂ R 3 é uma superfície regular se, para
cada p ∈ S, existe uma vizinhança V de p em R 3, e uma aplicação x : U → V ∩ S
de um aberto U de R 2 sobre V ∩ S ⊂ R 3
tal que [M]:
i. x é diferenciável. Isto significa que se escrevermos
x(u,v) = (x(u,v), y(u,v), z(u,v)) (u,v) ∈ U as funções x(u,v), y(u,v), z(u,v) têm derivadas parciais contínuas de todas as
ordens em U.
ii. x é um homeomorfismo. Como x é contínua pela condição i, isto significa que x
tem inversa x 1− : V ∩ S → U que é contínua.
iii. ( Condição de regularidade) Para todo q ∈ U, a diferencial dx q : R 2→ R
3 é
injetiva.
As variáveis u, v são os parâmetros da superfície. O subconjunto S de R 3
obtido
pela imagem da aplicação x, é denominado traço de x. Iremos nesta monografia,
usando abuso de linguagem, chamar de superfície a aplicação x(u,v).
Exemplo 1.2: A aplicação x(u,v) =( u cos t, u sen t, u), ( u, v) ∈ R 2
é a superfície do cone circular cujos pontos (x, y, z) ∈ R 3 estão representados na
figura 1.3
4
Curvas de Superfície São curvas contidas numa dada superfície. Se x(u,v) é uma
superfície, as curvas de superfície têm parametrização da seguinte forma:
α(t) = x ( u(t), v(t) ) t ∈ R
Exemplo 1.3: x(u,v) = ( u, v, u 2 - v 2 ) ( u,v) ∈ R 2 (parabolóide hiperbólico)
Uma curva de superfície, usando a parametrização u(t) = 2t e v(t) = t 2 é α(t) =(2t, t 2 , 4 t 2 - t 4 )
Curvas Coordenadas de uma superfície x(u,v) são as curvas de superfície, que se
obtém fazendo um dos parâmetros u ou v , constante. Na figura 1.3, correspondem ao
conjunto de curvas que formam o reticulado na superfície.
Figura 1.2 Superfície regular Cone
Figura 1.3 Curva α(t) =( 2t, t 2 , 4 t 2 - t 4 )
sobre a superfície x(u,v) = ( u, v, u 2 - v 2 )
5
α(u) = ( x(u,v 0 ), y((u,v 0 ), z(u,v 0 )) v 0 = constante α(v) = (x(u 0 ,v), y(u 0 ,v), z( u 0 ,v)) u 0 = constante
Plano Tangente: Para cada ponto q ∈ U ⊂ R2 , a matriz da aplicação dx q , na base
canônica de R 2 com coordenadas (u, v), na base canônica de R 3
com coordenadas
(x, y, z ) é :
dx q =
∂
∂
∂
∂∂
∂
∂
∂∂
∂
∂
∂
v
z
u
zv
y
u
yv
x
u
x
=
∂
∂
∂
∂
v
vu
u
vu ),(),( xx = ( X u X v )
onde X u , X v são os vetores tangentes às curvas coordenadas da superfície x(u,v).
A exigência da condição iii na definição de superfície (dx q injetiva), garante a
existência de um plano tangente em cada ponto p da superfície S, sendo este plano
T P S, determinado pelos vetores X u , X v
Qualquer vetor de T P S é uma combinação linear de X u , X v e pode ser escrito como w
= aX u + bX v .
Figura 1.4 T P S Plano tangente a
S. Figura do livro [M]
6
Vetor unitário Normal N : Dada uma superfície x(u,v) e um ponto q ∈ U ⊂ R2 ,
dizemos que um vetor de R 3 é normal a x(u,v) em q se ele é ortogonal ao plano
tangente em q, ou seja, se é ortogonal a todos os vetores tangentes a x(u,v) no ponto q.
O vetor normal unitário N no ponto q é definido por :
N = x
x
vu
vu
XX
XX
A aplicação acima, N : S → R 3
é diferenciável, e a aplicação linear dN p : T P S →
T P S opera da seguinte maneira [M]: Seja α(t) uma curva contida em S com α(0) = p
e N restrito à curva α(t). O vetor dN p α’(0) = N’(0) é um vetor de T P S que mede a
taxa de variação do vetor normal N, restrito à curva α(t), em t = 0. Assim, dN p α’(0)
mede o quanto N se afasta de N p , em uma vizinhança de p, na direção de α’(0).
1.3. Formas fundamentais e curvatura normal Primeira forma fundamental : É definida pela aplicação I P : T P S → R , dada pela
forma quadrática,
I P (w) = < w, w > P = | w | 2 (módulo do vetor w ao quadrado ) É chamada de Primeira forma fundamental da superfície regular S em p. A primeira forma nos possibilita fazer medidas sobre a superfície ( comprimento de
curvas, ângulos de vetores tangentes, áreas de regiões), sem fazer menção ao espaço
ambiente R 3 , onde a superfície está.
Um vetor tangente w ∈ T P S é o vetor tangente a uma curva da superfície
parametrizada como α(t) = x ( u(t), v(t) ), onde para t = 0, p = α(0) e w = α’(0) .
Aplicando a definição I P (w) = < w, w > temos ,
I P (w) = I P ( α’(0)) = < α’(0), α’(0) >
7
Como α(t) = x ( u(t), v(t) ), temos α’(t) = w = u’ X u + v’ X v
I P (w) = < u’ X
u+ v’ X
v , u’ X
u+ v’ X
v >
= < Xu, X
u> (u’) 2 + 2< X
u, X
v> u’v’ + < X
v, X
v> (v’) 2
= E (u’) 2 + 2F u’v’ + G (v’) 2
onde E, F e G são os coeficientes da primeira forma fundamental na base { X u , X v } de
T P S.
Observe que | X u x X v |² + < X u , X v > ² = | X u |² | X v |² pois | X u x X v | = | X u | | X v |
sen θ e <X u , X v > = | X u | | X v | cos θ. E como | X u |² = E , | X v |² = G e
< Xu, X
v> = F, temos sempre EG - F² > 0.
Curvatura Normal : Seja C uma curva regular em S passando por p ∈ S, k a
curvatura de C em p, e cos θ = < n, N > , onde n é o vetor normal a C e N é o vetor
normal a S em p. O número k n = k cos θ é chamado curvatura normal de C em p.
Ou seja, k n é ± o comprimento da projeção do vetor k.n sobre a normal N à superfície em p. Dado um vetor unitário w ∈ T P S, a interseção de S com o plano contendo w e N é a
curva chamada seção normal de S em p segundo a direção w. É uma curva regular
plana em S, cujo vetor normal em p é ± N. Vimos que a curvatura normal k n , é dada
Figura 1.5 Curvatura Normal
( figura do livro [ M ] )
8
por kn = k cos θ. Como cos θ = < n, N > = ± 1, temos que | k
n| = k ( curvatura da
curva seção normal, de direção w).
Assim, dada uma superfície S regular e um ponto p, para cada direção w ∈ T P S,
temos uma seção normal em S e um valor para a função curvatura normal kn(w).
Podemos medir a curvatura normal na direção w, usando a diferencial dN p , pela
fórmula [G],
k n (w) = 2
),(
w
wwdNp
><− (1.III)
Os vetores unitários e ortogonais e 1 e e 2 ∈ T P S, tais que k1 = k n ( e 1 ) e k 2 = k n ( e 2 )
são os valores mínimo e máximo respectivamente, da curvatura normal no ponto p,
são chamados de direções principais. k1 e k 2 são chamadas de curvaturas principais.
Uma outra forma de calcular a curvatura normal na direção w ( com | w | = 1), é
usando a fórmula de Euler [ K ]: k n (w) = k1 cos 2θ + k 2 sen 2
θ , onde θ é o ângulo de
w com a direção principal e 1 , da base ortonormal { e 1 , e 2 } de T P S.
Segunda forma fundamental : Seja x(u,v) uma superfície parametrizada regular e α(t)
= x ( u(t), v(t) ), com α’(t) = w, uma curva diferenciável nesta superfície. A
aplicação II P : T P S → R, dada pela forma quadrática,
II P (w) = < α’’, N > ( α’’ é o vetor aceleração no ponto p) é chamada segunda forma fundamental da superfície S em p. [K].
Se w ∈ T P S , w = α’(t) = u’ X u + v’ X v . Calculando-se α’’(t) e aplicando-a na
definição de II P (w) acima, pode-se mostrar que [K],
II P (w) = < α’’, N > =
9
= < X uu , N > (u’) 2 + 2 < X uv , N > u’v’ + < X vv , N > (v’) 2
= e (u’) 2 + 2 f u’v’ + g (v’) 2
onde e, f e g são os coeficientes da segunda forma fundamental na base { X u , X v }
de T P S.
A função curvatura normal k n (w), a primeira e segunda forma fundamental, estão
relacionadas pela expressão
k n (w) = w)(
w)(
P
P
I
II =
2'
,''
α
α >>>> <<<< Ν
Quando α(t) = x ( u(t), v(t) ) está parametrizada pelo comprimento de arco, |α’(t)| 2 =
| w | 2 = I P (w) = 1. Neste caso, a segunda forma fundamental é igual à curvatura
normal em p, na direção w.
Curvatura Gaussiana : É o produto das curvaturas principais, K = k 1 k 2 . A curvatura
Gaussiana no ponto p pode ser expressa através dos coeficientes da primeira e segunda
forma fundamental, calculados no ponto p.
K(p)= 2
2
F -G E
f - g e
Curvatura Média : É a semi-soma das curvaturas principais, H = 2
kk 21 +. A curvatura
média no ponto p, também pode ser expressa através dos coeficientes da primeira e
segunda forma fundamental.
H(p) = 2
12F -G E
E g F f 2 -G e +
10
Classificação de pontos numa superfície : Um ponto p numa superfície S é:
a) Elíptico se a curvatura Gaussiana K(p) > 0. Ex. pontos da esfera
b) Hiperbólico se a curvatura Gaussiana K(p) < 0. Ex. ponto de origem num
parabolóide hiperbólico.
c) Parabólico se a curvatura Gaussiana K(p) = 0 e curvatura média H(p) ≠ 0. Ex.
pontos de um cilindro.
d) Planar se a curvatura Gaussiana K(p) = 0 e curvatura média H(p) = 0. Ex.
pontos de um plano.
Como a curvatura Gaussiana K= k 1 k 2 = 2
2
F -G E
f - g e e EG - F 2 > 0 ( pág.7), um ponto
elíptico é caracterizado pela relação eg - f 2 > 0, onde e, f e g são coeficientes da 2ª
forma fundamental. Um ponto hiperbólico é caracterizado por eg - f 2 < 0 e
eg - f 2 = 0, caracteriza um ponto parabólico ou planar.
Um ponto p é dito umbílico se as suas curvaturas principais k 1 e k 2 são iguais, ou seja,
a curvatura normal k n (w) no ponto p, é constante em qualquer direção w. Pode se
demonstrar [K] que um ponto é umbílico, se e somente se, existe um número real λ
tal que, e = λ E , f = λ F , g = λ G
Se F = 0 , f = 0 e Eg = eG, o ponto é umbílico pois G
g =
E
e = λ ⇒ g = λ G
e = λ E . Sendo F = 0 , f = 0 podemos escrever f = λ F .
Observe que, todo ponto planar é umbílico. Quanto aos pontos elípicos, alguns podem
ser umbílicos como por exemplo os pontos de uma esfera. Os pontos hiperbólicos
( K < 0 ) nunca são umbílicos, pois com k 1 = k 2 , nunca teremos uma curvatura
11
Gaussiana K = k 1 k 2 < 0. O mesmo ocorre com os pontos parabólicos (K = 0 e H ≠
0 ), que nunca são umbílicos.
Sendo H a curvatura média e K a curvatura Gaussiana, temos sempre
H 2 - K = 4
)k - (k 2
21 ≥ 0. Assim, se um ponto não é umbílico, ou seja k1 ≠ k 2
temos H 2 - K > 0 .
2. Linhas de Curvatura 2.1. Definição e equação das linhas de curvatura Seja x(u,v) uma superfície parametrizada regular. Uma curva regular α(t) =
x ( u(t), v(t) ) , t ∈ I ⊂ R é uma linha de curvatura da superfície x(u,v), se para todo t
∈ I, o vetor α’(t) é uma direção principal no ponto ( u(t), v(t) ).
Dado um ponto p no plano, a curvatura normal k n (w) em qualquer direção w é
constante e igual a zero. Analogamente, dado um ponto p numa esfera, kn(w) em
qualquer direção também é constante, e neste caso, igual a 1/r, onde r é o raio da
esfera [K].
Assim, qualquer curva traçada num plano ou na superfície de uma esfera, é uma linha
de curvatura, pois toda direção é uma direção principal.
Figura 2.1 Toda curva sobre a esfera é
linha de curvatura
12
Vamos agora obter as equações diferenciais que determinam as linhas de curvatura por
um ponto não umbílico, numa superfície regular x(u,v).
A função curvatura normal no ponto p de uma superfície é
kn(w) =
w)
w)
P
P
(I
(II =
G F E
g f e 22
22
bb a 2a
bb a2a
++
++ onde w = aX
u+ bX
v (2.I)
k n (w) = k1 é uma curvatura principal ( ponto de máximo ou mínimo), se
a
(kn
∂
∂ )w = 0 e
b
(kn
∂
∂ )w = 0
Calculando primeiramente a
(kn
∂
∂ )w, podemos escrever
( 2ae + 2bf ) ( a 2 E + 2abF + b 2 G ) – (a 2 e + 2abf + b 2 g ) ( 2aE -2bF ) = 0
Mas pela equação (2.I), (a 2 e + 2abf + b 2 g ) = k 1 ( a 2 E + 2abF + b 2 G )
Substituindo na equação anterior ⇒ ( 2ae + 2bf ) - k 1 ( 2aE - 2bF ) = 0
( e - k 1E)a + ( f - k1 F )b = 0 (2.II)
Analogamente, calculando b
(
∂
∂ )k n w, obtemos
( f - k 1F)a + ( g - k1 G )b = 0 (2.III)
Explicitando k1 nas equações (2.II) e (2.III ), e igualando temos
ba
ba
F E
f e
+
+ =
ba
ba
G F
g f
+
+
Efa 2 + Egab + Ffab + Fgb 2 = Fea 2 + Geab + Ffab + Gf b 2
13
Que pode ser escrito na forma de determinante
gfe
GFE
- 22 ab ab
= 0
Sendo a linha de curvatura α(t) = x ( u(t), v(t) ), o vetor α’(t) = w = u’X u + v’X v
será uma direção principal, se
gfe
GFE
'' 22 uv' u'-v
= 0 , que pode ser escrita como,
(Fg - fG) v’² + (Eg - eG) u’v’ + (Ef - eF) u’² = 0 (2.IV)
Para Fg ≠ fG temos uma eq. do 2º grau em v’ com ∆ = b² - 4ac =
u’² [ (Eg - eG)² - 4 (Fg - fG) (Ef - eF) ].
Sabemos que a curvatura média H e a curvatura Gaussiana K são respectivamente
H= 2
12F -G E
E g F f 2 -G e + e K=
2
2
F -G E
f - g e ,
o que implica H 2 - K = )FEG(4
12−
[ (Eg - eG)² - 4 (Fg - fG) (Ef - eF) ].
Sendo assim, podemos escrever ∆ = u’² [ 4 (EG - F²) (H 2 - K) ] e, se o ponto não é
umbílico , H² - K > 0 ( pag.11) ⇒ ∆ é sempre positivo pois EG - F² > 0 ( pág. 7).
Sendo ∆ > 0, a equação do 2º grau em v’ acima (2.IV), tem duas raízes :
v’ 1 = )fGFg(2
)eFEf)(fGFg(4)eGEg()EgeG( 2
−
−−−−+− u’
v’ 2 = )fGFg(2
)eFEf)(fGFg(4)eGEg()EgeG( 2
−
−−−−−− u’
Estas duas equações diferenciais determinam as duas linhas de curvatura por um ponto
não umbílico da superfície.
14
Observamos na equação (2.IV) que se F = 0, f = 0 as linhas de curvatura são dadas
pela solução de u’v’ = 0. Ou seja, u = constante ou v = constante, que são as curvas
coordenadas.
Para Fg = fG e Eg - eG ≠ 0, a equação (2.IV) se reduz à equação,
(Eg - eG) u’v’ + (Ef - eF) u’² = 0 que tem 2 soluções u’ = 0 ou v’ = - eGEg
eFEf
−
−u’
Num ponto umbílico , toda direção é principal e na vizinhança deste ponto nada se
pode afirmar de maneira genérica. Por exemplo, a origem de um parabolóide elíptico
é umbílico e existem infinitas linhas de curvatura, já no caso do elipsóide x(u,v) =
( a sen u cos v, b sen u sen v, c cos u ) com a > b > c > 0, não existem linhas de
curvatura por seus pontos umbílicos [K].
2.2. Exemplos de linhas de curvatura
Exemplo 2.1 : Determine as linhas de curvatura no parabolóide elíptico z = x 2 + y 2
parametrizado por x(u,v) = ( u cos v, u sen v, u 2 ) v ∈ R, u ≥ 0
X u = ( cos v, sen v, 2 u ) X v = (- u sen v, u cos v, 0 )
E = < X u , X u > = 1 + 4u 2 F = < X u , X v > = 0 G = < X v , X v > = u 2
X u x X v = 0v cosu v u sen-
2uv senv cos
kji
= 2u ( - u cos v, - u sen v, 1/2 )
| X u x X v | = 2u 4/12 +u
N = 4/1
12 +u
( - u cos v, - u sen v, 1/2 )
X uu = (0, 0, 2 ) X uv = ( - sen v, cos v, 0 ) X vv = ( -u cos v, -u sen v, 0 )
15
e = < X uu , N > = 4/1
12 +u
f = < X uv , N > = 0
g = < X vv , N > = 4/12
2
+u
u
Para termos uma linha de curvatura α(t) =( u(t) cos v(t), u(t) sen v(t), u 2 (t) ) é
necessário que u(t) e v(t) satisfaçam a equação (2.IV) . Substituindo os valores
calculados acima, na equação (2.IV) e multiplicando ambos os lados por 4/12 +u
gfe
GFE
'' 22 uv' u'-v
= 2
22
22
u01
u0u41
u'v' u' -v'
+ = 0 ⇒ u’v’ (4u 4 ) = 0
Com este resultado, teremos linhas de curvatura quando u’ = 0 , ou v’ = 0.
Se u’ = 0 ⇒ u(t) = constante = u 0 , a linha de curvatura é a curva coordenada α(t) =
( u 0 cos v(t), u 0 sen v(t), u 02 )
Se v’ = 0 ⇒v(t) = constante = v 0 , a linha de curvatura é a curva coordenada β(t)=
( u(t) cos v 0 , u(t) sen v 0 , u(t) 2 )
Observe que os coeficientes F = f = 0 ⇒ linhas de curvatura são as curvas
coordenadas, conforme observamos antes. Para ilustrar este resultado, seja o ponto
x( 3.0, 0.5 ) ≈ ( 2.6, 1.4, 9.0 ). As linhas de curvatura por este ponto são
α(t) = (3cos v(t), 3sen v(t), 9 ) e β(t) =( u(t) cos 0.5, u(t) sen 0.5, u(t) 2 )
Figura 2.2 linhas de curvatura pelo ponto
x( 3.0, 0.5 ) ≈ ( 2.6, 1.4, 9.0 )
16
No ponto u = 0 ( origem ), qualquer u(t) ou v(t) satisfazem a equação u’v’ (4u 4 ) =
0.. Isto significa que toda curva de superfície que passa pela origem, tem neste ponto,
o vetor velocidade apontando numa direção principal. Logo na origem, qualquer
direção é uma direção principal, ou seja, a origem é um ponto umbílico.
Como toda curva coordenada v(t) = constante ( que é também uma linha de
curvatura), passa pela origem do parabolóide, podemos dizer que por este ponto
umbílico , passam infinitas linhas de curvatura, e não apenas duas.
Exemplo 2.2 : Determine as linhas de curvatura numa superfície de revolução x(u,v )
= ( f(u)cos v, f(u)sen v, g(u) ).
Uma curva α(u)= ( f(u), 0, g(u) ) contida no plano xz, ao girar em torno do eixo z, gera
uma superfície x (u,v)= ( f(u)cos v, f(u)sen v, g(u) ). Supondo f(u) ≠ 0 e g(u) ≠ 0,
vamos calcular os coeficientes da 1ª e 2ª forma fundamental:
X u = ( f’cos v, f’ sen v, g’ ) X v = (- f sen v, f cos v, 0 )
E = < X u , X u > = f’ 2 + g’ 2 ≠ 0 obs. E = 1 só se α(u) estiver parametrizada pelo
comprimento de arco
F = < X u , X v > = -f’ f cos v sen v + f’ f cos v sen v = 0
G = < X v , X v > = f 2 sen 2 v + f 2 cos 2 v = f 2
X u x X v = 0v cos fv senf-
g'v senf'v cosf'
kji
= f (-g’cos v, -g’sen v, f’ )
| X u x X v | 2 = ( g’f ) 2 cos 2 v + ( g’f ) 2 cos 2 v + ( f’ f’) 2 = ( f’ 2 + g’ 2 )f 2
| X u x X v | = f 22 'g'f +
N = 22 'g'f
1
+(-g’cos v, -g’sen v, f’ )
17
Xuu
= (f’’cos v, f’’sen v, g’’ ) Xuv
= ( -f’sen v, f’cos v, 0 )
Xvv
= ( -f cos v, -f sen v, 0 )
e = < X uu , N > =22 'g'f
1
+( -g’ f’’cos 2 v - g’ f’’sen 2 v + f’ g’’) =
= 22 'g'f
1
+ ( f’ g’’ - g’ f’’)
f = < Xuv
, N > = 22 'g'f
1
+(f’ g’ sen v - f’ g’ sen v) = 0
g = < X vv , N > =22 'g'f
1
+( g’ f cos 2 v + g’ f sen 2 v) =
22 'g'f
1
+g’ f
Para termos uma linha de curvatura α(t) =( f(u(t))cos v(t), f(u(t))sen v(t), g(u(t)) ) é
necessário que u(t) e v(t) satisfaçam a equação
gfe
GFE
'' 22 uv' u'-v
= 22 'g'f
1
+fg'0'f'g' - 'g' ' f
f0'g'f
u'v' u' -v'222
22
+ = 0 ⇒
u’v’ [(f’ 2 + g’ 2 )g’f - f 2 ( f’g’’ – g’f’’)] = 0
u’v’ [(f’ 2 + g’ 2 ) g’ - f ( f’g’’ – g’f’’)] = 0 (2.V)
Se u’ = 0 ⇒ u(t) = constante = u 0 , a linha de curvatura é a curva coordenada α(t) =
( f(u 0 ) cos v(t), f( u 0 ) sen v(t), g( u 0 ) ).
Se v’ = 0 ⇒ v(t) = constante = v 0 , a linha de curvatura é a curva coordenada β(t) =
( f(u(t)) cos v 0 , f(u(t)) sen v 0 , g(u(t)) ).
Nos pontos u, raízes da equação (f’ 2 + g’ 2 ) g’ - f ( f’g’’ – g’f’’) = 0, qualquer u(t)
ou v(t) satisfazem a equação (2.V) . Isto significa que qualquer curva de superfície
18
tem nestes pontos u, os vetores velocidade apontando numa direção principal. Logo
nestes pontos u, , qualquer direção é uma direção principal, ou seja são pontos
umbílicos.
Para estes pontos umbílicos, não existem linhas de curvatura além das curvas
coordenadas, pois só u’ = 0 ou v’= 0 atendem a equação (2.V) para todos os
valores de t. Assim, por estes pontos umbílicos só temos duas linhas de curvatura.
Vamos mostrar a aplicação da teoria acima com um exemplo. Seja a curva α(u)= ( sen
u + 2, 0, u ) no plano xz. Esta curva não está parametrizada pelo comprimento de
arco. Ao girar em torno do eixo z, gera uma superfície x (u,v)=( (sen u + 2)cos v,
(sen u + 2)sen v, u ). Ver figura abaixo, com destaque para a geratriz α(u), sobre a
superfície.
f = sen u + 2 f’ = cos u f’’ = -sen u
g = u g’ = 1 g’’ = 0
Substituindo estes resultados na eq (2.V) temos :
u’v’ [(f’ 2 + g’ 2 ) g’ - f ( f’g’’ – g’f’’)] = 0
u’v’ [cos 2 u + 1 – sen u(sen u + 2)]= 0 (2.VI)
Figura 2.2 Superfície de revolução
gerada por α(u)= ( f(u), 0, g(u) )
19
Se u’ = 0 ⇒ u(t) = constante. Por exemplo, seja u(t) ≡ 2.1. A linha de curvatura é a
curva coordenada α(t) = ( (sen 2.1 + 2 )cos v(t), (sen 2.1 + 2 ) sen v(t), 2.1 )
Se v’ = 0 ⇒ v(t) = constante. Por exemplo, seja v(t) ≡ 0.5 A linha de curvatura é a
curva coordenada β(t) =( sen u(t) +2) cos 0.5, (sen u(t) +2) sen 0.5, u(t) ) . As duas
linhas de curvatura para (u,v) = ( 2.1, 0.5 ) que se interceptam no ponto (x, y, z) ≈
(2.5, 1.4, 2.1 ) podem ser vistas sobre a superfície de revolução abaixo.
As raízes do termo [cos 2 u + 1 – sen u(sen u + 2)] = 0, cujos valores aproximados
são u 1 ≈ 0,666 e u 2 ≈ 2,475 no intervalo [0, 2π ], são os pontos umbílicos da
superfície.
Para estes pontos umbílicos, não existem linhas de curvatura além das curvas
coordenadas, pois só u’ = 0 ou v’= 0 atendem a equação (2.VI) para todos os
valores de t.
A figura abaixo mostra, os pontos umbílicos u 1 e u 2 , na superfície de revolução.
Figura 2.3 Linhas de curvatura pelo
ponto x(2.1, 0.5) ≈ (2.5, 1.4, 2.1 )
20
Exemplo 2.3 : Determine as linhas de curvatura no Parabolóide Hiperbólico dado por
x(u,v) = ( u, v, u 2 - v 2 )
Xu= ( 1, 0, 2u ) X
v= ( 0, 1, -2v )
E = < X
u, X
u> = 1 +4 u 2 F = < X
u, X
v> = -4uv
G = < X v , X v > = 1 + 4v 2
Xu x X
v =
2v-10
2u01
kji
= ( -2u, 2v, 1 )
| Xu x X
v| = 2 4/1vu
22 ++
N = 4/1vu
1
22 ++ ( - u, v, 1/2 )
X uu = (0, 0, 2 ) X uv = ( 0, 0, 0 ) X vv = ( 0, 0, -2 )
e = < X uu , N > = 4/1vu
1
22 ++
f = < X uv , N > = 0
g = < X vv , N > = 4/1vu
1
22 ++
−
Para que α(t) = ( u(t), v(t), u 2 (t) - u 2 (t ) ) seja uma linha de curvatura, u(t) e v(t)
devem satisfazer
Figura 2.4 Pontos umbílicos na
superfície de revolução
21
gfe
GFE
'' 22 uv' u'-v
=
11
v41uv4u41
uv' u' 'v22
−
+−+
0
'- 22
= 0 ⇒
4uvv’ 2 - ( 2 +4v 2 + 4u 2 )u’v’ + 4uvu’ 2 = 0 ( eq. 2º grau em v’ )
∆ = ( -2 -4v 2 - 4u 2 ) 2 u’ 2 - 4(4uv)(4uv u’ 2 ) = 4[ 1+ 4(u 2 - v 2 ) 2 +4(u 2 + v 2 )]
v’ 1 = uv4
)vu(4)vu(41v2u21 2222222 ++−++++ u’
v’ 2 = uv4
)vu(4)vu(41v2u21 2222222 ++−+−++ u’
As soluções destas duas equações diferenciais determinam as duas linhas de curvatura
em cada ponto do Parabolóide Hiperbólico. Não existem pontos umbílicos (vide pag
10 ), pois λ1 =
F
f =
uv4
0
− ≡ 0 e λ
2 =
E
e =
4/1vuu41(
122)2 +++
≠ zero.
Logo λ 1 nunca é igual a λ 2
⇒ Não existe um número real λ tal que f = λ F,
e = λ E , g = λ G
Definindo um ponto no Parabolóide Hiperbólico ( u
0, v
0) juntamente com as
equações diferenciais acima, temos 2 problemas de valor inicial que podem ser
resolvidos por cálculo numérico ( por exemplo método de Euler), cujas soluções (u, v),
quando levadas à superfície x(u,v) = ( u, v, u 2 - v 2 ), geram as duas linhas de
curvatura que se interceptam no ponto dado ( u0, v
0) .
Vamos ilustrar, escolhendo o ponto ( u0, v
0) = (1, 2) ⇒ x (1, 2) = ( 1, 2, -3 )
Observe que neste ponto F ≠ 0, f = 0 e as linhas de curvatura não coincidem com as
curvas coordenadas. Nos pontos das curvas coordenadas ( u = 0 ou v = 0), F =
22
-4uv = 0, f = 0 logo, nestes pontos as linhas de curvatura coincidem com as curvas
coordenadas.
De uma forma geral, podemos achar as linhas de curvatura de uma superfície regular
qualquer, usando diretamente as soluções da equação do 2º grau em v’, deduzidas na
pág.13. Veremos isto no exemplo seguinte.
v’ 1 = )fGFg(2
)eFEf)(fGFg(4)eGEg()EgeG( 2
−
−−−−+− u’ (2.VII)
v’ 2 = )fGFg(2
)eFEf)(fGFg(4)eGEg()EgeG( 2
−
−−−−−− u’
Exemplo 2.4 : Determine as linhas de curvatura na superfície x(u,v) = ( sen u, sen v
cos u, cos v)
Calculando os coeficientes da 1ª e 2ª forma fundamental temos: E = cos 2 u + sen 2 u sen 2 v F = - sen(u)sen(v)cos(u)cos(v)
G = cos 2 u cos 2 v + sen 2 v
Fazendo C = )v(cosucos)vsen(ucos)usen(vsen 242224 ++ , temos
e = C
vsen2− f =
C
)vcos()ucos()v(sen)u(sen− g =
C
ucos 2
−
Figura 2.5 Linhas de curvatura pelo
ponto x (1, 2) = ( 1, 2, -3 )
23
Substituindo estes valores nas equações diferenciais (2.VII) acima, e escolhendo o
ponto x (0.8, 2) ≈ ( 0.7, 0.6, -0.4 ), podemos achar as linhas de curvatura por este
ponto, utilizando o cálculo numérico ( programa em Maple abaixo).
# Linhas curvatura pelo ponto (u,v) da superfície (sin(u), sin(v)*cos(u), cos(v)) restart; with(plots): > C:=(x,y)-> sqrt(((sin(y))^4)*(sin(x))^2 + ((cos(x))^2)*(sin(y))^2 + ((cos(x))^4)*(cos(y))^2): > E:=(x,y)-> ((cos(x))^2 + ((sin(x))^2)*(sin(y))^2): > F:=(x,y)-> -sin(x)*sin(y)*cos(x)*cos(y): > G:=(x,y)-> ((cos(x))^2)*(cos(y))^2 + (sin(y))^2: > e:=(x,y)-> (-(sin(y))^2)/C(x,y): f:=(x,y)-> (-sin(x)*cos(y)*cos(x)*sin(y))/C(x,y): > g:=(x,y)-> -(((cos(x))^2)/C(x,y)): > # Solução equação com radical sinal positivo, pelo ponto x(0.8, 2) e limitando intervalo entre os pontos de divergência u = 0 e u = Pi > s1:={diff(y(x),x)=(e(x,y)*G(x,y)-E(x,y)*g(x,y)+sqrt((E(x,y)*g(x,y)-e(x,y)*G(x,y))^2-4*(F(x,y)*g(x,y)-f(x,y)*G(x,y))*(E(x,y)*f(x,y)-e(x,y)*F(x,y))))/(2*(F(x,y)*g(x,y)-f(x,y)*G(x,y))), y(0.8)=2} > sol:= dsolve(s1, y(x), type=numeric,output=listprocedure): > odeplot(sol,[x,y(x)],0..3):# não passa por zero e Pi pois temos descontinuidade nestes pontos. > # Gerar sequência da solução encontrada, 1a linha de curvatura , sem chegar a zero e Pi. > y:=subs(sol,y(x)):# extrai valor y > X:=[ sin(u),sin(v)*cos(u), cos(v)]: > n:=[3,28,10]:# Estabelece limites da 1a spacecurve. Para valores menores que 0.3 e maiores que 2.8 dá erro de precisão e não gera sequência > cx:=seq(subs({u=j/n[3],v=y(j/n[3])},X), j=n[1]..n[2]): > # Solução equação com radical sinal menos, pelo ponto (0.8,2) e limitando intervalo entre os pontos de digergência u = 0 e u = Pi . > x:='x':y:='y': > s2:={diff(y(x),x)=(e(x,y)*G(x,y)-E(x,y)*g(x,y)-sqrt((E(x,y)*g(x,y)-e(x,y)*G(x,y))^2-4*(F(x,y)*g(x,y)-f(x,y)*G(x,y))*(E(x,y)*f(x,y)-e(x,y)*F(x,y))))/(2*(F(x,y)*g(x,y)-f(x,y)*G(x,y))), y(0.8)=2}: # x menor que zero não pertence ao domínio, mas como a superfície é simétrica, existe curva semelhante no ponto simétrico – v . > sol2:= dsolve(s2, y(x), type=numeric,output=listprocedure): > odeplot(sol2,[x,y(x)],0..3):# não passa por zero e Pi pois temos descontinuidade nestes pontos. > # Gerar sequência da solução encontrada, 2a linha de curvatura , sem chegar a zero e
Pi. > y:=subs(sol2,y(x)):# extrai valor de y. > nd:=[7,24,10]: # Estabelece limites da 2 spacecurve. Para valores menores que 0.7 e maiores que 2.4 dá erro de precisão e não gera sequência > cxd:=seq(subs({u=j/nd[3],v=y(j/nd[3])},X), j=nd[1]..nd[2]): > cxdn:=seq(subs({u=j/nd[3],v=-y(j/nd[3])},X), j=nd[1]..nd[2]):# linha de curvatura para lado simétrico da superfície ( para v negativo) > p1:= plot3d([sin(u),sin(v)*cos(u), cos(v)],u=0..2*Pi,v=0..3.14): > p2:=spacecurve([cx],color=blue, thickness=3):# linha de curvatura correspondente a equaçaõ 1.
24
> p3:=spacecurve([cxd],color=black, thickness=3):p5:=spacecurve([cxdn],color=black, thickness=3):# linha de curvatura refernte equação 2. Vai de u=0.7 a 2.4 pois não consegue aproximar de u=0 nem de u=Pi. >p4:=pointplot3d([sin(0.8),sin(2)*cos(0.8),cos(2)], symbol=diamond, color=white, thickness=3): > plots[display]({p1,p2,p3,p4,p5}):
É importante ressaltar que ao resolvermos numericamente as equações diferenciais é
preciso evitar os valores de u e de v que estejam próximos aos pontos de divergência
(campo de direção com inclinação vertical), pois caso contrário o método numérico
falha. Nos pontos de divergência, a linha de curvatura é interrompida.
Neste exemplo, as linhas de curvatura estão entre as curvas coordenadas u = 0 e u = π
que são os pontos de divergência das equações diferenciais. Vide figura 2.6.
3. Linhas Assintóticas 3.1. Definição e equação das linhas assintóticas Seja x(u,v) uma superfície parametrizada regular. Uma curva regular α(t) =
x ( u(t), v(t) ) , t ∈ I ⊂ R é uma linha assintótica se para cada t ∈ I , o vetor α’(t)= w
é uma direção na qual a curvatura normal é zero, ou seja, k n (w) = 0 .
Uma direção é dita assintótica se a curvatura normal k n (w) nesta direção é zero.
Figura 2.6 Linhas de curvatura pelo
ponto x (0.8, 2 ) ≈ ( 0.7, 0.6, -0.4 )
25
Uma linha reta contida numa superfície é sempre uma linha assintótica pois a
curvatura normal em todos os pontos desta reta é identicamente zero [G].
O número de direções assintóticas em um ponto da superfície, depende da
classificação deste ponto. Assim,
a) Ponto elíptico não tem direção assintótica, pois k n (w) nunca é igual a zero.
b) Ponto hiperbólico tem exatamente duas direções assintóticas.
Pois, pela fórmula de Euler ( pág. 8), kn(w) = k1 cos 2 θ + k 2 sen 2 θ onde k 1 e
k 2 são as curvaturas principais e θ é o ângulo de w com o vetor e 1 da base
ortonormal { e 1 , e 2 } de T P S, sendo e 1 , e 2 as direções principais. Igualando a
equação acima a zero,
0 = k 1 cos 2 θ + k 2 sen 2 θ ⇒ 0 = k1 cos 2 θ + k 2 ( 1- cos 2 θ ) ⇒
⇒ cos 2 θ = 12
2
kk
k
− ⇒ cos θ 1 = +
12
2
kk
k
− e cos θ 2 = -
12
2
kk
k
−
Observe que se k1 e k 2 tivessem mesmo sinal ( ponto elíptico), as soluções acima
seriam impossíveis pois cos 2 θ teria que ser maior que 1.
c) Ponto parabólico ( k 1 k 2 = 0 e (k 1 + k 2 )/2 ≠ 0 ) tem apenas uma direção
assintótica.
Suponhamos k 1= 0 e k 2 ≠ 0 ⇒ 0 = k 1 cos 2 θ + k 2 sen 2 θ ⇒ 0 = 0 + k 2 sen 2 θ
⇒ k 2 sen 2 θ = 0. Como k 2 ≠ 0 ⇒ θ = 0 que é a única direção assintótica,
determinada pelo vetor principal e 1 .
d) Ponto planar ( k 1 k 2 = 0 e (k1 + k 2 )/2 = 0 ) tem infinitas direções assintóticas, isto é, toda direção é uma direção assintótica. 0 = k 1cos 2 θ + k 2 sen 2 θ ⇒ 0 = 0.cos 2 θ + 0.sen 2 θ Qualquer θ ( qualquer direção) atende a fórmula de Euler
26
Assim, toda curva traçada num plano é uma linha assintótica. Por outro lado, como
numa esfera todos os pontos são elípticos, nenhuma curva na esfera é uma linha
assintótica.
As equações diferenciais que determinam as linhas assintóticas por um ponto não
elíptico ( eg - f 2 ≤ 0 ( pag. 10 ), numa superfície regular x(u,v), são obtidas
diretamente da definição: kn(w) = 0.
k n (w) = w)
w)
P
P
(I
(II = 0 ⇒ II P (w) = 0
Sendo w = α’(t) = u’X
u+ v’X
v ⇒ para g ≠ 0 temos a equação do 2º grau em v’
II P (w) = e u’ 2 + 2 f u’v’ + g v’ 2 = 0 (3.I)
∆ = b² - 4ac ⇒ ∆ = 4u’ 2 ( f 2 - eg ) ≥ 0 pois o ponto é não elíptico por hipótese Sendo ∆ ≥ 0, a eq. do 2º grau acima (3.I), tem uma ou duas raízes :
v' 1 = g
)egff( 2 −+−u’ e v’ 2 =
g
)egff( 2 −−−u’
Se g = 0 e e ≠ 0 a equação 3.I se reduz a e u’ 2 + 2 f u’v’ = u’ ( e u’ + 2 f v’) = 0
e tem duas raízes, u’1 = 0 ou u’ 2 = - e
f2v’
Observamos na equação (3.I) que se e = g = 0, as linhas assintóticas são dadas pela
solução de u’v’ = 0. Ou seja, u = constante ou v = constante que são as curvas
coordenadas.
3.2. Exemplos de linhas assintóticas Exemplo 3.1 : Determine as linhas assintóticas no helicóide x (u,v)= ( u cos v, u sen
v, v ).
27
Calculando os coeficientes da 2ª forma fundamental, achamos:
e = 0 f = 2u1
1
+
− g = 0
Os pontos do helicóide são hiperbólicos (eg - f 2 < 0) e portanto têm duas linhas assintóticas . Substituindo na equação (3.I), e u’ 2 + 2 f u’v’ + g v’ 2 = 0 ⇒ u’v’ = 0
Se u’ = 0 ⇒ u(t) = constante = u 0 , a linha assintótica é a curva coordenada x(u 0 , v)
= ( u 0 cos v, u 0 sen v, v ), que é uma hélice circular.
Se v’ = 0 ⇒v(t) = constante = v 0 , a linha assintótica é a curva coordenada x(u, v 0 )
=( u cos v 0 , u sen v 0 , v 0 ) , que é uma reta.
Escolhendo o ponto na superfície x (-3, 4) ≈ ( 1.9, 2.3, 3.0 ), podemos achar as linhas
assintóticas por este ponto, que são as curvas coordenadas. Observe que os
coeficientes e = g = 0 ⇒ linhas assintóticas são as curvas coordenadas, conforme
observamos antes.
Exemplo 3.2 : Determine as linhas assintóticas numa superfície de revolução x (u,v)=
( f(u)cos v, f(u)sen v, g(u) ).
Os valores da 2ª forma fundamental foram calculados no exemplo 2.2
Figura 3.1 Linhas assintóticas pelo
ponto x (-3, 4 ) ≈ ( 1.9, 2.3, 3.0 )
28
e =22 'g'f
1
+ ( f’ g’’ - g’ f’’) f = 0 g =
22 'g'f
1
+g’ f
Substituindo na equação (3.I), e u’ 2 + 2 f u’v’ + g v’ 2 = 0 ⇒
( f’ g’’ - g’ f’’) u’ 2 + g’f v’ 2 = 0 ⇒ v’ 2 = f'g
''g'f''f'g − u’ 2
v' 1 = f'g
''g'f''f'g − u’ e v’ 2 = -
f'g
''g'f''f'g − u’ (3.II)
Como o radicando não pode ser negativo, a superfície de revolução gerada pela curva
α(u)= ( f(u), 0, g(u) ) ao girar em torno do eixo 0z, só apresenta linhas assintóticas
nos pontos onde f'g
''g'f''f'g − ≥ 0
Seja a superfície de revolução x (u,v)= ( (sen u + 2)cos v, (sen u + 2)sen v, u ),
gerada pela curva α(u)= ( sen u + 2, 0, u )
f = sen u + 2 f’ = cos u f’’ = -sen u
g = u g’ = 1 g’’ = 0
v’ = ±f'g
''g'f''f'g − u’ = ±
2)u(sen
)u(sen
+
− u’
2)u(sen
)u(sen
+
− ≥ 0 para π ≤ u ≤ 2π
pois o denominador é sempre positivo.
Escolhendo um ponto x(u0, v
0) não elíptico na superfície de revolução, juntamente
com as equações diferenciais (3.II) acima, temos 2 problemas de valor inicial que
podem ser resolvidos por cálculo numérico ( por exemplo método de Euler), cujas
soluções v = v(u) são as duas linhas assintóticas que se interceptam no ponto dado
x( u 0 , v 0 ) .
Como exemplo, escolhendo o ponto x( u 0 , v 0 ) = x(4, 2), as duas linhas assintóticas se
interceptam no ponto x (4, 2) ≈ ( -0.5, 1.1, 4 ).
29
Exemplo 3.3 : Determine as linhas assintóticas no Parabolóide Hiperbólico dado por
x(u,v) = ( u, v, u 2 - v 2 )
Os valores da 2ª forma fundamental foram calculados no exemplo 2.3
e = 4/1vu
1
22 ++ f = 0 g =
4/1vu
1
22 ++
−
Substituindo na equação (3.I), e u’ 2 + 2 f u’v’ + g v’ 2 = 0 ⇒
u’ 2 - v’ 2 = 0 ⇒ u’ 2 = v’ 2 ⇒ v’ 1 = + u’ ⇒ v 1 = u + C 1 ⇒ v’ 2 = - u’ ⇒ v 2 = - u + C 2
Se as curvas assintóticas passam pelo ponto escolhido x( u 0 , v 0 ), podemos determinar
as constantes C 1 e C 2 :
v 0 = u 0 + C 1 ⇒ C 1 = v 0 - u 0
v 0 = - u 0 + C 2 ⇒ C 2 = v 0 + u 0
Escolhendo x( u0, v
0) = x( 1, 2) as duas linhas assintóticas se interceptam no ponto x
(1, 2) = ( 1, 2, -3 ).
V 1 = u+ 1 ⇒ α(u) = ( u, u+1, u 2 - (u + 1) 2 ) = ( u, u+1, -2u -1 )
v 2 = - u + 3 ⇒ α(u) = ( u, - u+3, u 2 - (-u + 3) 2 ) = ( u, - u+3, 6u -9 )
Figura 3.2 Linhas assintóticas
pelo ponto x (4, 2) ≈ ( -0.5, 1.1, 4 )
30
Observe que são equações paramétricas de retas, da forma ( au + x0, bu + y
0, cu +
z 0 ) e não coincidem com as curvas coordenadas (g, e ≠ 0). Vide figura abaixo.
Uma definição alternativa para linhas assintóticas é [G]: Uma curva α(t) contida numa
superfície x(u,v) é uma linha assintótica se e somente se, sua aceleração α’’ é sempre
tangente a x(u,v), ou seja, α’’ é perpendicular a N, o que também significa que α’’ ∈
T P S.
Demonstração: Sem perda de generalidade, podemos assumir α(t) parametrizada pelo
comprimento de arco. Se N é o vetor normal a x(u,v), então < α’, N > = 0, pois
α’ ∈ T P S, perpendicular a N. Derivando a expressão anterior temos,
< α’, N’ > + < α’’, N > = 0 Mas N’ = dN p (α’) ( pag. 5 ) e - k n (α’) = < α’, dN p (α’) > ( pag. 8 ) ⇒
- k n (α’) + < α’’, N > = 0 ⇒ k n (α’) = < α’’, N >
Desta forma, k n (α’) só se anula, se e somente se, < α’’, N > = 0 ou seja, se α’’ é perpendicular a N. □ Superfícies regradas são superfícies geradas por uma reta movendo-se ao longo de
uma curva α(t). A forma geral é x(t,v) = α(t) + v w(t) onde w(t) é um vetor de R 3 e v
∈ R. A curva coordenada x(t 0 , v) = α(t 0 ) + v w(t 0 ) é a equação de uma reta, sendo
portanto uma linha assintótica.
Figura 3.3 Linhas assintóticas (retas)
pelo ponto x (1, 2) = ( 1, 2, -3 ).
31
Exemplo 3.3 Seja a superfície regrada x(t,v)= α(t) + v (α’(t) + e ) onde α(t) = ( cos
t, sen t, 0 ) e e, o vetor ( 0, 0, 1). Determine as linhas assintóticas.
x(t,v) = ( cos t, sen t, 0 ) + v [(-sen t, cos t, 0 ) + ( 0, 0, 1 )]
x(t,v) = ( cos t - v sen t, sen t + v cos t, v )
Note que nessa superfície, x 2 + y 2 - z 2 = 1 , logo é um hiperbolóide.
Computando os coeficientes da 2ª forma fundamental,
e = 2
2
v21
)v1(
+
+− f =
2v21
1
+
− g = 0
concluímos facilmente, que eg - f 2 < 0, ou seja, os pontos são hiperbólicos, e
portanto têm duas direções assintóticas
Podemos identificar facilmente uma linha assintótica nesta superfície, bastando fazer t
= constante = t 0 para termos a curva coordenada x(t 0 , v) = ( cos t 0 - v sen t 0 , sen t 0
+ v cos t 0 , v ) que é uma linha reta. A outra curva coordenada v = constante = v 0 ,
x(t, v 0 ) = ( cos t - v 0 sen t, sen t + v 0 cos t, v 0 ) não é uma linha assintótica. Isto pode
ser verificado aplicando a definição alternativa de linha assintótica vista acima, ou
seja, < x(t, v 0 )’’, N > = 0 para que x(t, v 0 ) seja linha assintótica. Calculando N
restrito à curva v = v 0 achamos,
N = 2
0v21
1
+( cos t - v 0 sen t, sen t + v 0 cos t, - v 0 )
x(t, v 0 )’’ = ( - cos t + v 0 sen t, - sen t - v 0 cos t, 0 )
< x(t, v 0 )’’, N > = 2
0
2
0
v21
)v1(
+
+− ≠ 0 ⇒ x(t, v 0 ) não é linha assintótica
Para acharmos a outra linha assintótica, vamos usar a equação (3.I), e t’ 2 + 2 f t’v’ + g v’ 2 = 0 ⇒ ( 1+ v 2 ) t’ 2 + 2 t’v’ = 0 ⇒
32
t’[( 1+ v 2 ) t’ + 2 v’ ]= 0 ⇒ duas soluções ⇒
t’ =0 ⇒ t = constante ⇒ curva coordenada x(t 0 , v) já determinada acima.
t’ = 2v1
2
+
− v’ ⇒ t = -2 tg 1− v + C
Se a linha assintótica passa pelo ponto x (2
π, -1) = ( 1, 1, -1 ) podemos determinar o
valor da constante C,
2
π = -2 tg 1− (-1) + C ⇒ C =
2
π + 2 tg 1− (-1) =
2
π + 2 (-
4
π) = 0
Assim, t = -2 tg 1− v e temos a 2ª linha assintótica, α (v)=( cos(-2 tg 1− v) – v sen(-2 tg 1− v), sen(-2 tg 1− v) + v cos(-2 tg 1− v), v ]
Fazendo y = tg 1− v ⇒ tg y = v ⇒ cos 2 y = ytg1
12+
=2v1
1
+
⇒ cos (2 tg 1− v) = cos 2 y = 2 cos 2 y - 1 = 2
2
v1
v1
+
−
⇒ sen (-2 tg 1− v) = - sen 2 y = - 2 cos y sen y = 2v1
2
+
−
2v1
v
+ =
2v1
v2
+
−
Podemos simplificar α (v) para α (v)= ( 1, -v, v ), que é uma reta.
Traçando as duas curvas coordenadas e as duas linhas assintóticas por um ponto
escolhido, por exemplo x (2
π, -1) = ( 1, 1, -1 ), vemos que a curva coordenada x(t 0 , v)
= ( cos t 0 - v sen t 0 , sen t 0 + v cos t 0 , v ) reta na figura 3.4, é uma linha assintótica.
A outra curva coordenada, x(t, v 0 ) = ( cos t - v 0 sen t, sen t + v 0 cos t, v 0 ), círculo na
figura 3.4, não é uma linha assintótica, conforme vimos. A segunda linha assintótica é
a reta α (v)= ( 1, -v, v ) .
33
4. Geodésicas 4.1. Vetor Aceleração (α’’) Antes de definirmos o que seja uma curva geodésica, vamos estudar como expressar o
vetor aceleração α’’(t) em diferentes bases de R 3 . No capítulo 1 pag. 2, expressamos
o vetor aceleração, em função dos vetores τ e n do triedro de Frenet, através da
fórmula (1.I).
α’’(t) = dt
dv τ + kv 2 n
Esta expressão de α’’(t) nos mostra que se v= )t(α ′ for constante, dt
dv= 0, e a
aceleração não tem componente tangencial a α(t), restando apenas a componente
normal à curva. Assim, sempre que v for constante, α’’(t) é paralelo a n, unitário
normal de α(t). No caso especial em que α(t) está parametrizada pelo comprimento de
arco ( p.c.a ), v = )t(α ′ = 1, e obviamente α’’(t) é paralelo a n.
Uma outra forma de expressar o vetor aceleração é através da combinação linear dos
vetores ortonormais τ ( unitário tangente), N ( unitário normal à superfície) e τ x N
( produto vetorial de τ e N ). O vetor tangente unitário τ é sempre perpendicular ao
Figura 3.4 Linhas assintóticas (as retas) e
curvas coordenadas pelo ponto x (2
π, -1) =
( 1, 1, -1 ).
34
unitário normal da superfície N, permitindo assim, que tenhamos uma base ortonormal
{ τ, N, τ x N }, pois os vetores são unitários e mutuamente perpendiculares.
Quando a curva não está p.c.a, isto é, )t(α ′ = v, o vetor aceleração α’’(t) tem
componentes A, B e C respectivamente nos vetores unitários τ, τ x N e N.
α’’(t) = A τ + B (τ x N) + C N
Como os vetores são ortomormais, seus coeficientes são determinados por :
i) A = < α’’, τ >
Derivando a igualdade < α’, α’ >= v 2 ⇒ 2< α’’, α’ >= 2 v dt
dv e como τ =
v
α ′ ⇒
< α’’, v τ > = v dt
dv ⇒ < α’’, τ > =
dt
dv = A
ii) B = < α’’, τ x N > = < N, α’’ x τ > (aplicando propriedade do produto misto )
= < N, α’’ x v
'α > =
v
1| N | | α’’ x α’ | cos β onde β é o ângulo entre os vetores
N e α’’ x α’ . De (1.II), | α’’ x α’ |= k v 3 ⇒ B = v
1 k v 3 cos β
Definindo a quantidade k g = k cos β como a curvatura geodésica da curva α(t), temos
B = k g v 2
iii) C = < α’’, N > de (1.III) temos k n = 2v
,'' > < Να ⇒ C = k n v 2
Assim, a equação (4.I) para qualquer α(t), com v ≠ constante, se torna
α’’(t) = dt
dv τ + k g v 2 (τ x N) + k n v 2 N (4.II)
Como os vetores X u , X v , N são linearmente independentes, temos uma terceira forma
de expressar o vetor aceleração, usando a base { X u , X v , N }, não necessariamente
ortogonal. Seja α(t) = x( u(t), v(t) ) ⇒ α’(t) = u’X u + v’X v , e diferenciando
novamente temos,
35
α’’(t) = X uu u’ 2 + X u u’’ + 2 X uv u’v’ + X vv v’ 2 + X v v’’ (4.III)
Os vetores X uu , X uv , X vv podem ser expressos como uma combinação linear dos
vetores da base { Xu, X
v, N } nas seguintes equações [G],
X uu = 111Γ X u + 2
11Γ X v + e N
Xuv
= 112Γ X
u + 2
12Γ Xv + f N (4.IV)
Xvv
= 122Γ X
u + 2
22Γ Xv + g N
Os coeficientes ijkΓ são chamados símbolos de Christoffel e podem ser determinados
em função dos coeficientes da 1ª forma fundamental, conforme equações (4.V) abaixo.
Os índices e, f e g são os coeficientes da 2ª forma fundamental.
111Γ =
)FEG(2
12−
(GE u - 2FF u + FE v ) 211Γ =
)FEG(2
12−
(2EF u - EE v - FE u )
112Γ =
)FEG(2
12−
(GE v - FG u ) 212Γ =
)FEG(2
12−
(EG u - FE v )
122Γ =
)FEG(2
12−
(2GF v - GG u - FG v ) 222Γ =
)FEG(2
12−
(EG v - 2FF v + FG u )
Substituindo as equações (4.IV) em (4.III), obtemos a expressão de α’’(t) na base
{ Xu, X
v, N }:
α’’(t) = ( u’’ + 111Γ u’ 2 + 2 1
12Γ u’v’ + 122Γ v’ 2 ) X u + (4.VI)
( v’’ + 211Γ u’ 2 + 2 2
12Γ u’v’ + 222Γ v’ 2 ) X v + ( e u’ 2 + 2f u’v’ + g v’ 2 ) N
4.2. Geodésicas e pré-geodésicas Uma curva regular α(t) contida em uma superfície x(u,v) é uma geodésica se o vetor
α’’(t) é zero ou perpendicular à superfície no ponto α(t), isto é, α’’(t) é paralelo ao
vetor N, normal à superfície. [P].
36
Proposição 4.1 Qualquer geodésica tem velocidade constante. Demonstração: Se α(t) é uma geodésica, α’’ é paralelo a N ⇒ α’’ ⊥ α’ pois N ⊥
T P S e α’∈ T P S. Logo, < α’’, α’ > = 0
⇒ dt
d 2)t('α =
dt
d< α’, α’ > = 2< α’’, α’ > = 0 ⇒ 2
)t('α = constante ⇒
)t('α = constante . □
Proposição 4.2 A reparametrização de uma geodésica α(t), pelo comprimento de arco
s = s(t), continua sendo uma geodésica.
Demonstração: s(t) = ∫t
0dtt)('α =∫
t
0vdt . Como v é constante, s(t) = v t.
Seja α(t) = ))t(s(β . Derivando duas vezes,
α’(t) = β’(s)dt
ds ⇒ α’’(t) = β’’(s)(
dt
ds) 2 = β’’(s) v 2 ⇒ β’’(s) =
2v
1 α’’(t)
Assim, o vetor aceleração de β(s), após a reparametrização da geodésica α(t), é um
múltiplo escalar de α’’(t), ou seja, se α’’(t) // N ⇒ β’’(s) // N ⇒ β(s) é geodésica.
□
Exemplo 4.1 Verificar que a reta com parametrização α(t) =( t 2 , 5 t 2 , 0 ) não é uma
geodésica do plano xy.
Podemos constatar isto de duas maneiras. Na primeira, α'(t) = ( 2t, 10t, 0 ) ⇒
v = )t(α ′ = 2t 26 não é constante, e pela proposição 4.1, α(t) não é uma geodésica. A
outra maneira é que α’’(t) = ( 2, 10, 0 ) ∈ plano xy . Isto é, α’’(t) ⊥ N e α’’(t) ≠
( 0, 0, 0 ) ⇒ α’’(t) não é paralelo a N ⇒ α(t) não é uma geodésica.
Porém, se reparametrizarmos α(t) com s = t vemos que ))t(s(β é uma geodésica,
pois β(s) = ( s, 5s, 0 ) ⇒ β’(s) = ( 1, 5, 0) ⇒ β’’(s)= 0. Pela definição, β(s) é uma
37
geodésica. Neste caso, em que α(t) reparametrizada se torna uma geodésica, α(t) é
chamada de pré-geodésica. Fato semelhante ocorre nos círculos máximos quando
parametrizados com velocidade não constante. São pré-geodésicas.
Para sabermos se uma curva α(t) = x ( u(t), v(t) ) é uma geodésica, basta analisarmos a
equação (5.II) do vetor aceleração, α’’(t) = dt
dv τ + k g v 2 (τ x N) + k n v 2 N.
Primeiramente v = )t(α ′ deve ser constante para que dt
dv = 0 e, α’’(t) não tenha
componente tangencial. Para não termos componente na direção τ x N, como v ≠ 0, a
curvatura geodésica k g deve ser zero. Precisamos então, de uma forma prática de
calcular a curvatura geodésica de uma curva α(t) qualquer, e verificar se ela é igual a
zero em todos os seus pontos. Vimos acima, quando calculamos o coeficiente B da
equação (4.II) que ,
B = < N, α’’ x v
'α > = k g v 2
Logo, podemos achar a curvatura geodésica de α(t) por:
k g = 3v
1< N, α’’ x α’ >
Porém, como saber se uma curva α(t) = x ( u(t), v(t) ) é uma pré-geodésica ? Se
)t(α ′ ≠ constante, será que α(t) pode ser reparametrizada para β(s), tal que β(s )seja
Figura 4.1 Os círculos máximos na esfera
β(s)= ( cos s, sen s cos v 0 , sen s sen v 0 ),
com v ≠ constante, são pré-geodésicas
38
uma geodésica ? Pode-se demonstrar [G] pág. 568, que para α(t) ser uma pré-
geodésica, basta também que a sua curvatura geodésica seja nula em todos os pontos
α(t).
Exemplo 4.2 Verificar que no cilindro reto x(u,v) = ( cos u, sen u, v ), a seção normal
( interseção por p, entre o cilindro com plano ortogonal ao plano tangente ), não
paralela à base e que não contenha o eixo z, não é uma geodésica ( nem pré-geodésica)
e que a hélice circular, α(t)= ( cos t, sen t, t ) é uma geodésica.
Seja a seção normal α(t)= x ( u(t), v(t) ) , com u(t) = t e v(t)= a cos t a > 0 e
0 ≤ t ≤ 2π
α(t)= ( cos t, sen t, a cos t ) ⇒ α’(t)= (-sen t, cos t, -a sen t ) ⇒ )t(α ′ = tsena122+
α’’(t)= (- cos t,- sen t, -a cos t )
Vamos calcular o vetor normal N do cilindro. Com u(t) = t ⇒ X u = ( -sen t, cos t,
0 ), X v = ( 0, 0, 1 ), X u x X v = ( cos t, sen t, 0 ) ⇒ N = ( cos t, sen t, 0 ). Comparando
α’’(t) com N, vemos que não são paralelos pois N tem a 3ª componente nula. Mas
será que existe alguma parametrização de α(t) que a torne uma geodésica ? Será que
α(t) é uma pré-geodésica ? Conforme vimos acima, basta verificar se a curvatura
geodésica de α(t) é nula em todos os pontos , ou seja, se
k g = 3v
1< N, α’’ x α’ > = 0 ⇒ < N, α’’ x α’ > = 0 pois v ≠ 0
Figura 4.2 Seção normal do cilindro reto
e a hélice circular
p
39
Mas,
asenttcossent
tcosasenttcos
0senttcos
−−
−−− = a cos t ≠ 0 ⇒ α(t) não é pré-geodésica.
Seja agora a hélice circular α(t)= x ( u(t), v(t) ) , com u(t) = t e v(t)= t 0 ≤ t ≤ 2π
α(t)= ( cos t, sen t, t ) ⇒ α’(t)= (-sen t, cos t, 1 ) ⇒ )t(α ′ = 2 (constante)
α’’(t)= (- cos t,- sen t, 0 ). Comparando α’’(t) com N = ( cos t, sen t, 0 ), vemos que
são paralelos (α’’ é múltiplo escalar de N). Assim, α(t) é uma geodésica.
Exemplo 4.3 Verificar se α(t)= ( t, t, t 2 ) é uma pré-geodésica de x(u,v) =( u, v, uv ).
Seja α(t)= x( u(t), v(t) ), com u(t) = t e v(t) = t ⇒ α(t)= ( t, t, t 2 )
α'(t)= ( 1, 1, 2t) ⇒ )t(α ′ = 2t42 + ≠ constante ( não é uma geodésica)
α’’(t)= ( 0, 0, 2 )
N de x(u,v) = ( u, v, uv ), X u = (1, 0, v ), X v = ( 0, 1, u ), X u x X v = ( -v, -u, 1 ),
| X u x X v | = 1vu22 ++ com u(t) = t e v(t) = t ⇒ N =
1t2
1
2 +(-t,- t, 1)
Calculando a curvatura geodésica, k g = 3v
1< N, α’’ x α’ >
1t2
1
2 + 32)2t4(
1
+t211
200
1tt −−
= 1t2
1
2 +
32)2t4(
1
+ ( -2t +2t ) = 0
Logo a curva α(t)= ( t, t, t 2 ) é uma pré-geodésica de x(u,v). Observe que não
precisamos saber qual é a reparametrização de α(t) para afirmarmos que se trata de
uma pré-geodésica.
40
4.3. Equações das geodésicas
Para termos as equações diferenciais que permitem obter as funções u(t) e v(t) das
geodésicas α(t) = x ( u(t), v(t) ) de uma superfície regular x(u,v), basta zerarmos as
componentes dos vetores Xue X
v, do vetor aceleração α’’(t), na equação (4.VI):
α’’(t) = ( u’’ + 111Γ u’ 2 + 2 1
12Γ u’v’ + 122Γ v’ 2 ) X
u +
( v’’ + 211Γ u’ 2 + 2 2
12Γ u’v’ + 222Γ v’ 2 ) X v + ( e u’ 2 + 2f u’v’ + g v’ 2 ) N
Assim, temos o sistema de duas equações diferenciais de 2ª ordem,
u’’ + 111Γ u’ 2 + 2 1
12Γ u’v’ + 122Γ v’ 2 = 0 (4.VII)
v’’ + 211Γ u’ 2 + 2 2
12Γ u’v’ + 222Γ v’ 2 = 0
Se x(u 0 , v 0 ) = p e w = aX u (u 0 , v 0 ) + bX v (u 0 , v 0 ) , o teorema de existência e
unicidade de soluções de equações diferenciais, garante a existência de funções u(t) e
v(t) num intervalo t ∈ ( -ε ,ε ), satisfazendo as equações (4.VII) com as condições
( u(0), v(0) ) = ( u 0 , v 0 ) , dt
du (0) = a,
dt
dv (0) = b
Isto garante a existência e unicidade da geodésica α(t) = x ( u(t), v(t) ), tal que
α(0) = p e α’(0) = w. Vide [K].
É importante ressaltar que as pré-geodésicas α(t) = x ( u(t), v(t) ), não satisfazem as
equações (4.VII), pois as pré-geodésicas não têm velocidade constante. A pré-
geodésica α(t)= ( t, t, t 2 ), do exemplo 4.3, na superfície x(u,v) =( u, v, uv ), não
atende as equações (4.VII) pois,
E = 1 + v 2 , F = uv e G = 1+ u 2 . Pelas equações (4.V) temos os símbolos de
Christoffel:
111Γ = 0 1
12Γ = 22 vu1
v
++ 1
22Γ = 0 211Γ = 0 2
12Γ = 22 vu1
u
++ 2
22Γ = 0
41
Como u(t) = t e v(t) = t , u’ = 1, u’’ = 0 e v’ = 1, v’’ = 0. Levando estes valores
nas equações (4.VII) elas só se verificam para t = 0. Ou seja, as equações (4.VII) não
são satisfeitas pela pré-geodésica α(t).
Exemplo 4.4 Obter as geodésicas do cone x(u,v) = ( u cos v, u sen v, u).
Os coeficientes da 1ª forma são E = 2, F = 0 e G = u 2 . Pelas equações (4.V)
temos os símbolos de Christoffel:
111Γ = 0 1
12Γ = 0 122Γ =
2
u− 2
11Γ = 0 212Γ =
u
1 2
22Γ = 0
Assim, o sistema de equações diferenciais (4.VII) é
u’’ - 2
u v’ 2 = 0 (1)
v’’ + u
2u’v’ = 0 (2)
A equação (2) pode ser reduzida a equação de 1ª ordem, da seguinte maneira,
∫ ′
′′
v
v dt = - 2 ∫
′
u
u dt ⇒ ln v’ = -2 ln u + c ⇒ v’ =
2u
C
Considerando que a geodésica procurada α(t) = x ( u(t), v(t) ) está parametrizada pelo
comprimento de arco ( p. c. a.), podemos assumir, )t(α ′ 2 = E u’ 2 + G v’ 2 = 1
Substituindo v’ = 2u
C na expressão acima, temos u’ =
u
1
2
Cu 22 −
Dividindo v’ por u’ obtemos uma integral que caracteriza as geodésicas do cone.
du
dv =
'u
'v =
22 Cuu
2C
− ⇒ v = C 2 ∫ − 22 Cuu
du
Calculando esta integral, obtemos v = 2 sec 1−
C
u + d e resolvendo em relação a
u, temos finalmente u = C sec
+ D
2
v
42
Ao passarmos da variável t para a variável v, não podemos garantir que α(v) esteja
parametrizada pelo comprimento de arco, e passamos a ter na realidade uma pré-
geodésica. Assim, a equação das pré-geodésicas do cone é α(v) = x( u(v), v ) =
( C sec
+ D
2
vcos v, C sec
+ D
2
vsen v, C sec
+ D
2
v ) (4.VIII)
Se quisermos achar a pré-geodésica pelos pontos x(u, v) = x(1, 0) e x(1, 2
π),
primeiramente substituímos estes valores na equação u = u(v) acima, obtendo o
sistema, 1 = C sec
+ D
2
0 e 1 = C sec
+ D2
2
π
. A seguir achamos as
constantes D = - 24
π e C = cos (D) = cos(-
24
π).
Com estes valores na equação (4.VIII), temos a pré-geodésica da figura 4.3
4.4. Exemplos de geodésicas Nos exemplos que seguem, os sistemas de equações diferenciais obtidos, já não são
tão simples como o do exemplo anterior (cone), o que nos impede de achar uma
Figura 4.3 Pré-geodésica pelos pontos
x( 1, 0) e x( 1, 2
π ) no cone.
43
solução analítica para a função v = v(u). Vamos então adotar a solução numérica via
programação no Maple.
Exemplo 4.5 Geodésicas no parabolóide elíptico x(u,v) = ( u cos v, u sen v, u 2 ).
No exemplo 2.1 já calculamos E = 1 +4 u 2 , F = 0 e G = u 2 . Pelas equações
(4.V) temos os símbolos de Christoffel:
111Γ =
2u41
u4
+ 1
12Γ = 0 122Γ =
2u41
u
+
− 2
11Γ = 0 212Γ =
u
1 2
22Γ = 0
Assim, o sistema de equações diferenciais (4.VII) é
( 1 +4 u 2 )u’’ +4u u’ 2 - uv’ 2 = 0
uv’’ + 2u’v’ = 0
Para o ponto x(u, v) = x( 3, 1) com direções ( 1, 1) e (1, 2), podemos resolver o
sistema numericamente, através do programa Maple [O]:
>restart: with(plots): X:=[u*cos(v),u*sin(v),u^2]: n:=[-23,25,10]: n2:=[-28,22,15]:
>eq1:= (1+4*u^2)*diff(u(t),t$2) +4*u*(diff(u(t),t))^2 - u*(diff(v(t),t))^2 = 0:
> eq2:= u*diff(v(t),t$2) + 2*diff(u(t),t)*diff(v(t),t) =0:
>desys:=dsolve({eq1, eq2, u(0)=3, v(0)=1, D(u)(0)=1, D(v)(0)=1},{u(t),v(t)}, type=
numeric, output = listprocedure):
>desys2:=dsolve({eq1, eq2 ,u(0)=3, v(0)=1, D(u)(0)=1, D(v)(0)=2},{u(t),v(t)}, type=
numeric, output = listprocedure):
>dequ:=subs(desys,u(t)): deqv:=subs(desys,v(t)): dequ2:=subs(desys2,u(t)): deqv2:=
subs(desys2,v(t)):
>listp:=seq(evalf(subs({u=dequ(j/n[3]),v=deqv(j/n[3])},X)),j=n[1]..n[2]):
>listp2:=seq(evalf(subs({u=dequ2(j/n2[3]), v=deqv2(j/n2[3])},X)), j=n2[1]..n2[2]):
>p1:=plot3d([u*cos(v),u*sin(v),u^2],u=0..5, v=0..6.28): p2:=pointplot3d([3*cos(1),
3*sin(1), 9], symbol=diamond, color=white, thickness=4):
44
>p3:= spacecurve([listp],color=red, thickness=3): p4:= spacecurve([listp2],color=blue,
thickness=3):
> plots[display]({p1,p2,p3,p4});
Obtemos assim, conforme figura 4.4, duas geodésicas pelo ponto x( 3, 1) ≈ ( 1.5, 2.5,
9 ). Lembramos que, dado um ponto, para cada direção que escolhermos, podemos
traçar uma geodésica.
Exemplo 4.6 Geodésicas no parabolóide hiperbólico x(u,v) = ( u, v, u 2 -v 2 ).
No exemplo 2.3. já calculamos E = 1 +4 u 2 , F =-4uv e G =1+4v 2 . Pelas
equações (4.V) temos os símbolos de Christoffel:
111Γ =
1v4u4
u422 ++
112Γ = 0 1
22Γ = 1v4u4
u422 ++
− 2
11Γ = 1v4u4
v422 ++
−
212Γ = 0 2
22Γ = 1v4u4
v422 ++
Assim, o sistema de equações diferenciais (4.VII) é
u’’ + 1v4u4
u422 ++
u’ 2 - 1v4u4
u422 ++
v’ 2 = 0
Figura 4.4 Geodésicas pelo ponto x( 3, 1)
com direções ( 1, 1) e (1, 2).
45
v’’ - 1v4u4
v422 ++
u’ 2 + 1v4u4
v422 ++
v’ 2 = 0
Para o ponto x(u, v) = x( 1, 2) e direções (3, 2) e (2, 1), podemos resolver o sistema
numericamente, através do programa Maple acima, e obtermos a figura 4.5.
Exemplo 4.7 Geodésicas no toro x(u,v)=( (3+cos v)cos u, (3+cos v)sen u, sen v )
Os coeficientes da 1ª forma são, E =(3+ cos v) 2 F =0 G =1
Pelas equações (4.V) temos os coeficientes de Christoffel:
111Γ =0 1
12Γ = )vcos(3
)v(sen
+
− 1
22Γ = 0
211Γ = ( 3+ cos v) sen v 2
12Γ = 0 222Γ = 0
Com o sistema de equações diferenciais (4.VII) abaixo, e considerando o ponto
x(u, v) = x(0, 2
π), com direções (1, 1) e (1, 3), obtemos as geodésicas da figura 4.6
u’’ - )vcos(3
)v(sen2
+ u’v’ = 0
v’’ + ( 3+ cos v) sen v u’ 2 = 0
Figura 4.5 Geodésicas pelo ponto x( 1, 2)
com direções ( 3, 2 ) e ( 1, 2)
46
Exemplo 4.8 Geodésicas na superfície x(u,v) = ( sen u , sen v cos u, cos v )
Neste caso, os símbolos de Christoffel já apresentam um grau maior de complexidade.
Vamos então usar um programa Maple que calcula automaticamente os coeficientes da
1ª forma, os símbolos de Christoffel e a seguir aplica os resultados no sistema de
equações diferenciais que calcula numericamente a geodésica α(t) = x ( u(t), v(t) ),
dado um ponto da superfície e uma direção.
> restart: with(plots): X:= [sin(u),sin(v)*cos(u), cos(v)]:
>dp:=proc(X,Y) # produto interno de X e Y
> X[1]*Y[1]+X[2]*Y[2]+X[3]*Y[3];
> end:
> Jacf:=proc(X) # Jacobiano de X
> local Xu,Xv;
> Xu:=[diff(X[1],u),diff(X[2],u),diff(X[3],u)];
> Xv:=[diff(X[1],v),diff(X[2],v),diff(X[3],v)];
> simplify([Xu,Xv]);
> end:
> EFG:=proc(X) # Coeficientes 1a forma fundamental
> local E,F,G,Y;
> Y:=Jacf(X);
> E:= dp(Y[1],Y[1]);
> F:= dp(Y[1],Y[2]);
Figura 4.6 Geodésicas pelo ponto
x(0, 2
π) com direções ( 1, 1 ) e (1, 3 ).
47
> G:= dp(Y[2],Y[2]);
> simplify([E,F,G]);
> end:
> Gamaijk:=proc(X) # símbolos de Christoffel da superfície X
> local G111,G112,G122, G211, G212, G222, M, dn;
> M:=EFG(X);
> dn:= 2*(M[1]*M[3]-(M[2])^2);
> G111:=(M[3]*diff(M[1],u)-2*M[2]*diff(M[2],u)+M[2]*diff(M[1],v))/dn;
> G112:= (M[3]*diff(M[1],v)-M[2]*diff(M[3],u))/dn;
> G122:= (2*M[3]*diff(M[2],v)- M[3]*diff(M[3],u) - M[2]*diff(M[3],v))/dn;
> G211:= (2*M[1]*diff(M[2],u) - M[1]*diff(M[1],v) - M[2]*diff(M[1],u))/dn;
> G212:= (M[1]*diff(M[3],u) - M[2]*diff(M[1],v))/dn;
> G222:= (M[1]*diff(M[3],v) - 2*M[2]*diff(M[2],v) + M[2]*diff(M[3],u))/dn;
> simplify([G111, G112, G122, G211, G212, G222]); end;
> G:=Gamaijk(X): # Variável para extrair os símbolos de Christofell
>eq2:= diff(u(t),t$2) + G[1]*(diff(u(t),t))^2 + 2*G[2]*diff(u(t),t)*diff(v(t),t)+
G[3]*diff(v(t),t)^2=0:
>eq1:= diff(v(t),t$2) + G[4]*(diff(u(t),t))^2+ 2*G[5]*diff(u(t),t)*diff(v(t),t) +
G[6]*diff(v(t),t)^2=0:
desys:=dsolve({eq1, eq2, u(0)=0.8, v(0)=2, D(u)(0)=2, D(v)(0)=2},{u(t),v(t)}, type=
numeric, output=listprocedure):
>desys2:=dsolve({eq1, eq2, u(0)=0.8, v(0)=2, D(u)(0)=1, D(v)(0)=4},{u(t),v(t)},
type= numeric, output=listprocedure):
>dequ:=subs(desys,u(t)): deqv:= subs(desys,v(t)): dequ2:=subs(desys2,u(t)): deqv2:=
subs(desys2,v(t)):
>listp:=seq(evalf(subs({u=dequ(j/n[3]),v=deqv(j/n[3])},X)),j=n[1]..n[2]):
>listp2:=seq(evalf(subs({u=dequ2(j/n2[3]), v=deqv2(j/n2[3])},X)), j=n2[1]..n2[2]):
>p1:=plot3d([sin(u),sin(v)*cos(u),cos(v)],u=0..2*Pi,v=0..3.14):
>p2:=pointplot3d([sin(0.8),sin(2)*cos(0.8),cos(2)], symbol=diamond, color=white,
thickness=3):
48
>p3:= spacecurve([listp],color=red, thickness=3): p4:= spacecurve([listp2],color=blue,
thickness=3):# Geodésicas
> plots[display]({p1,p2,p3,p4});
4.5. Superfícies de Revolução Seja a superfície de revolução x(u,v) = ( f(u)cos v, f(u)sen v, g(u) ) dos exemplos 2.2 e
3.2. Os coeficientes da 1ª forma são, E = f’ 2 + g’ 2 , F = 0 e G = f 2 . Pelas
equações (4.V) temos os símbolos de Christoffel:
111Γ =
22g'f
ggff
′+
′′′+′′′ 1
12Γ = 0 122Γ =
22 gf
'ff
′+′
−
211Γ = 0 2
12Γ = f
f ′ 2
22Γ = 0
Temos então o sistema de equações diferenciais (4.VII) abaixo, atentando para o fato
de que f’ =du
df, g’ =
du
dg, mas u’ =
dt
du, v’ =
dt
dv.
u’’ + 22
g'f
ggff
′+
′′′+′′′ u’ 2 -
22 gf
'ff
′+′
− v’ 2 = 0 (1)
v’’ + 2f
f ′ u’v’ = 0 (2)
Figura 4.7 Geodésicas pelo ponto x(0.8, 2)
com direções (2, 2) e (1, 4).
49
A partir deste sistema podemos tirar as seguintes conclusões:
a) Os meridianos ( v = v 0 e u = u(t) ), parametrizados pelo comprimento de arco ( ou
com velocidade constante), são geodésicas.
Demonstração: Como v = v 0 ⇒ v’ = 0 e v’’ = 0, a equação (2), é satisfeita
imediatamente. Para verificarmos a equação (1), seja o meridiano α(u) = ( f(u) cos v0 ,
f(u) sen v0 , g(u) ) parametrizado pelo comprimento de arco (p. c. a.).
α'(u) = ( f’ cos v 0 , f’ sen v 0 , g’ ) ⇒ )u(α ′ 2 = f’ 2 + g’ 2 = 1 ⇒
f’ = 2'g1 − , derivamos temos f’’ = 2
'g1
''g'g
−
− =
'f
''g'g− ⇒ f’f’’ + g’g’’ = 0
Por outro lado, )u(α ′ 2 = f’ 2 + g’ 2 = I P = E u’ 2 + G v’ 2 ⇒
f’ 2 + g’ 2 =( f’ 2 + g’ 2 )u’ 2 + f 2 . 0 ⇒ u’ 2 = 1 ⇒ u’ = ± 1 ⇒ u’’ = 0
Levando estes últimos resultados na equação (1), ela também é satisfeita .
b) Os paralelos ( u = u 0 e v =v(t) ), parametrizados pelo comprimento de arco ( ou
com velocidade constante), são geodésicas se f’ = 0.
Demonstração: Sendo u = u 0 ⇒ u’ = 0 e u’’ = 0. A equação (2) fornece v’’ =
0 ⇒ v’ = constante, o que sempre ocorre se o paralelo está p.c.a. . A equação (1) fica,
22 gf
'ff
′+′
− v’ 2 = 0, e para que o paralelo ( u = constante e v = v(t) ), seja uma
curva , é necessário v’ ≠ 0, caso contrário teríamos u = constante e v = constante, o
que não gera uma curva. Quanto ao fator f, sabemos por definição que para termos
uma superfície de revolução, é necessário f ≠ 0. Logo , a única opção que sobra para
termos a equação (1) satisfeita é f’ = 0.
50
Em outras palavras, para que um paralelo seja uma geodésica, é necessário que este
paralelo seja gerado pela rotação de um ponto da curva geratriz, onde a tangente é
paralela ao eixo de revolução.
Observação: Quando o meridiano ou paralelo ( com f’ = 0), não está parametrizado
com velocidade constante, sabemos que ele sempre pode ser reparametrizado pelo
comprimento de arco, se tornando assim uma geodésica pelas letra a) e b) Logo este
meridiano ou paralelo, é uma pré-geodésica.
c) Uma geodésica parametrizada pelo comprimento de arco, que não é um meridiano
ou um paralelo, tem por equação,
u = c ∫ f
122
22
cf
'g'f
−
+dv + D onde c e D são constantes (4.IX)
Demonstração: Basta seguir passo a passo, o mesmo procedimento usado para achar
as equações geodésicas do cone, exemplo 4.4, pag. 41
Exemplo 4.9 Geodésicas na superfície de revolução x(u,v) = (sen u + 2)cos v,
(sen u+2 )sen v, u ), diferentes de meridiano e paralelo.
Podemos usar a fórmula analítica acima (4.IX), que geralmente nos leva a uma
integral de difícil solução, ou o método computacional que segue. Os coeficientes da
Figura 4.8 Paralelos geodésicos e não
geodésicos. Figura do livro [M].
51
1ª forma são E = cos 2 u + 1, F = 0 e G =( sen u + 2) 2 . Pelas equações (4.V) temos
os símbolos de Christoffel:
111Γ =
1ucos
)u(sen)ucos(2 +
− 1
12Γ = 0 122Γ = -
1ucos
)2)u(sen)(ucos(2 +
+
211Γ = 0 2
12Γ = 2)u(sen
)ucos(
+ 2
22Γ = 0
Assim, o sistema de equações diferenciais (4.VII) é,
u’’ - 1ucos
)u(sen)ucos(2 +
u’ 2 - 1ucos
)2)u(sen)(ucos(2 +
+ v’ 2 = 0
v’’ + 22)u(sen
)ucos(
+u’v’ = 0
Para o ponto x(u, v) = x( 4, 2) e direções (1, 1) e (1, 3), podemos resolver o sistema
numericamente, através do programa Maple do exemplo 4.5 , e obtermos as duas
geodésicas mostradas na figura 4.9.
4.6. Menor distância Vamos definir o termo “ menor distância ” como sendo o menor comprimento entre
dois pontos ao longo de uma curva da superfície.
Seja o cone x(u,v) = ( u cos v, u sen v, u) do exemplo 4.4, cujas pré-geodésicas são
dadas por,
Figura 4.9 Geodésicas pelo ponto x(4, 2) com
direções (1, 1) e (1, 3).
52
α(v) = ( C sec
+ D
2
vcos v, C sec
+ D
2
vsen v, C sec
+ D
2
v )
e que nos permitiu traçar a pré-geodésica pelos pontos P 1 = x(1, 0) e P 2 = x( 1, 4
3π),
na fig. 4.10. Tracemos agora pelos mesmos pontos, o arco do círculo paralelo ( z = 1).
Qual é a menor distância entre P 1 e P 2 , considerando os dois caminhos dados ?
O cálculo do comprimento de arco L 1 entre P 1 e P 2 via geodésica, aplicando a
fórmula L 1 = ∫ ′2
1
v
v)t(α dv [M] , pode ser feito utilizando os seguintes comandos
Maple: > d:= -3*Pi/(8*sqrt(2)): c:= cos(d): > alfa:=[c*sec(v/sqrt(2)+d)*cos(v),c*sec(v/sqrt(2)+d)*sin(v),c*sec(v/sqrt(2)+d)]: > valfa:= diff(alfa,v): > norma:=sqrt(valfa[1]^2+valfa[2]^2+ valfa[3]^2): > evalf(int(norma,v=0..3*Pi/4)): # L 1 distância via geodésica 2.0929 A distância L 2 entre P 1 e P 2 via arco do círculo paralelo z = 1, pode ser calculado
pela fórmula L 2 = (v 2 - v 1 ) r , onde r = z =1 ⇒ L 2 = 3π /4 ≈ 2.3561. Ou seja,
L 1 < L 2
Seja agora o toro x(u,v)=( (3+cos v)cos u, (3+cos v)sen u, sen v ) do exemplo 4.7,
cuja solução numérica do sistema de equações diferenciais nos permitiu traçar a
Figura 4.10 Qual a menor distância entre os
pontos indicados ?
P1 P2
53
geodésica pelo pontos P 1 = x(0, 2
π). Esta geodésica ( na fig. 4.11), passa também pelo
ponto P 2 = x(4
3π,
2
π ), conforme podemos confirmar graficamente plotando o ponto
x(4
3π,
2
π ). Tracemos agora pelos mesmos pontos, o arco do círculo paralelo z =
sen 2
π = 1. Qual é a menor distância entre P 1 e P 2 considerando os dois caminhos
dados ?
O cálculo do comprimento de arco L 1 entre P 1 e P 2 via geodésica, pode ser feito
através dos seguintes comandos Maple, onde “listp” é a seqüência de pontos (x, y, z )
que plotaram a geodésica no espaço:
S:=0: for i from 1 to 43 # número de pontos na sequência listp > do > dist:= sqrt( (listp[i+1][1]-listp[i][1])^2 + (listp[i+1][2]-listp[i][2])^2 + (listp[i+1][3]-listp[i][3])^2 ); > S:= S + dist; > od: S; # distância via geodésica 6.1009 A distância L 2 entre P 1 e P 2 via arco do círculo paralelo z = 1, pode ser calculado
pela fórmula L 2 = (v 2 - v 1 ) r , onde r =3 ⇒ L 2 = 3 x 3π /4 ≈ 7.0685. Ou seja,
L 1 < L 2
Estes resultados ilustram uma propriedade fundamental de uma geodésica, que é o fato
de que localmente, ela minimiza o comprimento de arco entre dois pontos.
Figura 4.11 Qual a menor distância
entre os pontos indicados ?
P1
P2
54
A proposição que não iremos demonstrar ( [M] pag. 351 ) é que dados os pontos P 1 e
P 2 suficientemente próximos, o arco da geodésica por estes pontos tem comprimento
menor ou igual que qualquer outra curva regular da superfície, que ligue P 1 e P 2 .
5. O Pêndulo de Foucault 5.1. Campo de vetores Paralelo Neste trabalho, vamos nos restringir aos campos de vetores tangentes. Um campo de
vetores tangentes à superfície S, é uma aplicação w que associa a cada ponto p da
superfície, um vetor w(p) = a X u + b X v no plano tangente.
Primeiramente vamos escolher as bases em que vamos trabalhar. Seja a esfera S 2 =
x(u,v)= ( R cos u cos v, R sen u cos v, R sen v ), onde 0 ≤ u ≤ π2 e - 2
π ≤ v ≤
2
π .
As curvas coordenadas β(v) = x(u 0 , v) e α(u) = x(u, v 0 ) são respectivamente os
meridianos ( longitudes) e paralelos ( latitudes). Os vetores tangentes a estas curvas
são α’ = ( -R sen u cos v 0 , R cos u cos v 0 , 0 ) e β’ = ( -R cos u 0 sen v, -R sen u 0
sen v, R cos v 0 ).
Como < α’, β’ > = 0 , os vetores E 1 = '
'
α
α = ( - sen u, cos u, 0 ), E 2 =
'
'
β
β= ( - cos
u 0 sen v, - sen u 0 sen v, cos v ) e N = ' x '
' x '
βα
βα = ( cos u cos v, sen u sen v, sen v )
formam uma base ortonormal em R 3 e { E1 , E 2 } formam uma base ortonormal no
plano tangente T P S.
55
Um vetor w de R 3 pode ser escrito como w = a E1 + b E 2 + c N, mas um residente
na esfera ( restrita a duas dimensões), verá o vetor w apenas pela sua projeção no
plano tangente, ou seja, a E 1 + b E 2 .
Um campo de vetores V(u) tangentes à esfera S 2 , é dito Paralelo ao longo da curva
α(u), se du
dV(u) não tem componentes em E 1(u) ou E 2 (u) , ou seja, se
du
dV(u) =
c(u)N(u).
Obs. Uma definição de geodésica em termos de campo de vetores Paralelo é a
seguinte: Uma curva a(t) é uma geodésica, se o seu campo de vetores a’(t) é um
campo de vetores Paralelo ao longo de a(t), ou seja, se dt
da’(t) = a’’(t), não tem
componentes em X u ou X v . Veja que esta definição está de acordo com a equação
4.VI de a’’(t) , obtida no capítulo anterior.
Vamos achar as condições necessárias para que um campo de vetores tangentes à
esfera, seja Paralelo ao longo do círculo de latitude v 0 .
Figura 5.1 Base ortonormal { E 1 , E 2 , N }
56
Lema: Um campo de vetores Paralelo V(u) tem módulo constante.
Demonstração: Como V(u) é um campo Paralelo, ⇒ du
d < V(u), V(u) > =
2 )u(V),u(Vdu
d = 2 < c(u)N(u), V(u) >= 0 pois N(u) e V(u) são perpendiculares.
⇒ < V(u), V(u) > = constante ⇒ |V(u)| = constante. □
Como V(u) é um vetor tangente à esfera, V(u) ∈ T P S, e podemos escrever V(u) =
A(u) E1(u) + B(u) E 2 (u). Sendo |V(u)| = const. ⇒ | V(u) | 2 = A(u) 2 + B(u) 2 = L 2
⇒ A(u) = L cos θ(u) e B(u) = L sen θ(u) onde θ(u) é o ângulo de V(u) até
E 1(u). Supondo L =1 para maior simplicidade, temos a expressão para o campo de
vetores Paralelo .
V(u) = cos θ(u) E1 (u) + sen θ(u) E 2 (u)
du
dV(u) = - sen θ
du
dθE 1 + cos θ
du
dE 1 + cos θ
du
dθE 2 + sen θ
du
dE 2
Mas du
dE 1 = ( - cos u, sen u, 0 ) = sen v 0 E 2 - sen v 0 N
du
dE 2 = ( sen u sen v 0 , - cos u sen v 0 , 0 ) = - sen v 0 E 1
Figura 5.2 Campo de vetores tangentes à
esfera, Paralelo ao longo do círculo de
latitude v 0
57
Obs: Veja que E 1 e E 2 não são campos Paralelos, pois suas derivadas têm
componentes em E 1 ou E 2 .
Substituindo as derivadas acima, a expressão final para du
dV(u) fica,
du
dV(u) = - sen θ ( sen v 0 +
du
dθ )E 1 + cos θ ( sen v 0 + du
dθ )E 2 - cos θ sen v 0 N
Para que V(u) seja um campo Paralelo, du
dV(u) não pode ter componentes em E1 (u)
ou E 2 (u). Considerando também que sen θ e cos θ não podem ser simultaneamente
zero, temos que ter du
dθ= - sen v 0 . Integrando de 0 a u ⇒
θ(u) = θ(0) – ∫u
00
du)v(sen ⇒ θ(u) = θ(0) – u sen v 0
Concluímos portanto que num campo de vetores tangentes a S 2 , Paralelo ao longo
do círculo de latitude v 0 , o ângulo de rotação (θ), de V(u) em relação a E 1(u), varia
de -2π sen v 0 quando u varia de 0 a 2π , ou seja, quando damos uma volta completa
no círculo de latitude v 0 . Este ângulo de rotação é chamado de holonomia.
Obs: Sendo V(u) um campo Paralelo, para os residentes na esfera não deveria haver
esta rotação de V(u) em relação a E 1 (u) . Mas lembramos que o campo de vetores
E 1(u) ao longo do círculo paralelo v 0 não é um campo Paralelo. Assim, toda
mudança de ângulo de V(u) , deve ser atribuída à mudança de direção de E1 (u) .
5.2. O pêndulo de Foucault x campo Paralelo Uma aplicação prática dos conceitos vistos no parágrafo anterior, é a explicação para o
movimento de precessão ( giro do plano de oscilação ) observado no pêndulo de
Foucault [F]. Em 1851, Jean Foucault construiu um pêndulo consistindo de uma
pesada bola de ferro suspensa por um longo cabo de 67m, com o objetivo de
demonstrar a rotação da Terra. Foucault observou que o plano de oscilação do
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pêndulo gira ( precessão) com um período de T = 24/ sen v 0 horas, sendo v 0 a latitude
(paralelo) onde o experimento é realizado. Ele concluiu que isto se deve à rotação da
Terra.
Para modelarmos o comportamento do pêndulo de Foucault à teoria de campo
Paralelo, vamos considerar a Terra sem rotação e o pêndulo se deslocando com
velocidade constante sobre o círculo de latitude v 0 , durante 24 horas. Isto é
equivalente à situação real, com a Terra girando e o pêndulo fixo na Terra. Vamos
considerar ainda que :
1- O longo cabo provoca uma pequena oscilação do pêndulo, podendo ser
considerada como reta e portanto um vetor tangente à Terra. Em cada momento
t, temos um vetor oscilação V(t) e todos estes vetores podem ser colocados ao
longo do círculo paralelo v 0 , x( u, v 0 ) = α(u), associando cada t, a um único
vetor sobre α(u). Temos então um campo de vetores V(u) para as oscilações do
pêndulo.
2- Como nos movemos lentamente ao longo do círculo de latitude v 0 , a força
centrípeta no pêndulo é desprezível ( ≈ 1/290) comparada com a força mg.
Assim, a única força sentida pelo pêndulo é na direção normal N, ou seja, o
Figura 5.3 Pêndulo de Foucault com
movimento de precessão
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plano vertical de oscilações do pêndulo não sofre ação de nenhuma força
tangencial, o que implica du
dV(u) = c(u)N(u).
Com estas considerações podemos dizer que o campo de vetores associados às
oscilações do pêndulo de Foucault V(u), é Paralelo ao longo do círculo de latitude v 0 .
Assim, aplicando o estudo feito sobre campo Paralelo, ao deslocarmos o pêndulo ao
longo de todo o círculo de latitude v 0 , o campo de vetores Paralelo V(u), deve girar de
-2π sen v 0 ( holonomia), conforme concluímos no parágrafo anterior. A velocidade
angular de rotação dos vetores ( oscilações) é ω = 2π sen v 0 rads / 24 h e o período
T = ω
π2 =
24/)v(sen2
2
0π
π =
)v(sen
24
0
horas
Este é exatamente o valor obtido para o período da precessão (rotação do plano de
oscilações), em experimentos na Física.
Conclusão: Se nos experimentos o pêndulo está num ponto fixo sobre a Terra, e o
resultado observado é o resultado supondo o pêndulo se movendo no paralelo v 0 , o
que explica a rotação do plano de oscilações ( holonomia) do pêndulo ? A resposta
só pode ser aquela dada por Foucault : A Terra gira ao longo dos seus círculos de
latitude ( paralelos) .
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Referências bibliográficas [O] John Oprea - Differential Geometry and its aplications, Prentice Hall, New
Jersey ( 1997).
[P] Elementary Differential Geometry – Andrew Pressley, Springer –Verlag, London
(2007).
[M] Manfredo P. Carmo - Geometria Diferencial de Curvas e Superfícies, Sociedade
Brasileira de Matemática, Brasil (2006).
[K] Keti Tenenblat - Introdução à Geometria Diferencial, Editora Universidade de
Brasília, Brasil (1998).
[G] Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces with MATHEMATICA –
Gray, Abbena and Salamon, Chapman & Hall/CRC, New York (2006).
[F] Geometry and the Foucault Pendulum – John Oprea , Ameri. Math. Monthly, 102
(1995), pp. 515-522
[V] Maple Fundamentos e Aplicações – Viviana Cocco Mariani, LTC, Brasil (2005).
