Regiões Convexas Regulares Formadas Por Poligonos Regulares

8/6/2019 Regies Convexas Regulares Formadas Por Poligonos Regulares

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Universidade Estadual Vale do AcaraDaniel Caetano de Figueiredo

Regies Convexas RegularesFormadas por Polgonos Regulares

Sobral-CearJunho de 2009


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INTRODUO:

No ano de 2003, ao estudarmos Geometria Plana utilizando o ProgramaAutoCad R14- programa de alta preciso, usado em Engenharia Civil e emdiversos outros campos da Tecnologia, de uma forma geral(Arquitetura,

Engenharia Mecnica, Engenharia Eltrica, por exemplo)-, comeamos aconstruir regies poligonais convexas, utilizando na formao dessas regiesoutros polgonos, tambm convexos, conforme mostram as figuras abaixo; noscasos que se seguem, as regies construdas so um tringulo equiltero e umquadrado .

Ao realizarmos estas construes, colocamos certas condies de restrio.

A condio primordial diz respeito regio formada; esta deve ser umpolgono convexo e regular.


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polgonos convexos regulares que podem ser construdos, utilizando-sepolgonos regulares e convexos para esta construo.

Isto ser demonstrado adiante.

Nosso estudo, falsa modstia parte, autntico; e, acreditamos nahiptese, indito.


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OBJETIVOS DO ESTUDO

Provar que polgonos convexos regulares, formados pelo posicionamentoparticular de outros polgonos convexos, tambm regulares e de ladocongruente ao lado do polgono formado, so em nmero de 4(quatro), esomente quatro; obedecidas, evidentemente, as condies de restrio acimadescritas.


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DEMONSTRAES

Objetivamos demonstrar que, se posicionarmos polgonos regulares econgruentes em determinadas posies particulares, conforme vistas nosanexos, estes polgonos formaro, por sua vez, uma regio interior que ser,tambm, um polgono regular de lado congruente ao lado dos polgonosposicionados que o cercam, acima referidos.

Afirmamos, ainda, que estes polgonos interiores assim formados, sero emnmero de quatro e somente quatro, a saber: o tringulo, o quadrado, ohexgono e o decgono.


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Primeiro Caso: A Regio Formada um Tringulo Equiltero

Por ser um tringulo equiltero,o ngulo da regio formada ter o valor de6oo e o ngulo interno dos polgonos que formam esta regio, assumir ovalor desconhecido ai .

Portanto deveremos ter:

6oo + 2ai = 360o ai = 150

o

Assim, se existir um polgono regular, de lado congruente ao lado dotringulo, e cujo ngulo interno tenha por medida 150o , teremos satisfeita acondio inicialmente proposta. Com o intuito de verificarmos esta afirmao,calcularemos o nmero de lados de um polgono regular cujo ngulo internomede 150o .

ai = nSn

150o

= 180o

(n-2)/n n = 12.

Conclumos, portanto, que o dodecgono ser um dos polgonos externos,com os quais poderemos construir uma regio interior que seja, tambm, umpolgono regular; no caso, conforme visto, tivemos um tringulo equilterocomo regio construda.


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(Vide Anexos no final, referentes aos estudos realizados em 2003)

Se aumentarmos de uma unidade o nmero de lados do polgono interior,regio a ser formada, encontraremos o quadrado.

Teremos, assim, o segundo caso, que ser visto adiante.


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Segundo Caso: A Regio Formada um Quadrado

Notemos que, mais uma vez, deveremos ter um polgono regular, casoexista, cujo ngulo interno medir ai .

Calculemos, portanto, o valor de ai.

90o + 2ai = 360o ai = 135

o

Afirmamos que, se existir um polgono regular, de lado congruente ao ladodo quadrado, e cujo ngulo interno tenha por medida 135o , teremos satisfeitaa condio inicialmente proposta, qual seja, o quadrado pode ser obtidocolocando-se poligonos regulares, cujos lados sero congruente ao lado doquadrado formado.

ai =n

Sn 135o = 180o(n-2)/n n = 8.

Verificamos, assim, que o octgono ser um dos polgonos externos, comos quais poderemos construir uma regio interior que seja, tambm, umpolgono regular; no caso, construimos um quadrado.


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Terceiro Caso: A Regio Formada (seria) um Pentgono

Clculo do ngulo interno do pentgono:

y = 180o (5-2)/5 = 108o .

108o + 2 ai = 360o ai = 126

o

Existir um polgono regular, de lado congruente ao lado do pentgono, ecujo ngulo interno tenha por medida 126o ? Em caso positivo, teremossatisfeita a condio inicialmente proposta.

Afirmamos que este polgono no existe, conforme demonstrado abaixo:

ai =n

Sn 126o = 180o(n-2)/n n = 6,7.


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Logo, no possvel existir polgono com nmero de lados igual a 6,7;conclumos assim que o pentgono no poder ser formado.

Seja agora a regio interna, um hexgono regular:


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Quarto Caso: A Regio Formada um Hexgono

Clculo do ngulo interno do hexgono:y = 180o (6-2)/6 = 120o

Iremos agora verificar se existiria um polgono de ngulo interno a i como(s) qual(quais)seria possvel formar um hexgono regular.

120o + 2ai = 360o ai = 120o

Assim, se existir um polgono regular, de lado congruente ao lado dohexgono, e cujo ngulo interno tenha por medida 120o , teremos satisfeita acondio inicialmente proposta. Para verificarmos se esta condio existiria,iremos calcular o nmero de lados deste polgono.

ai =n

Sn 120o = 180o(n-2)/n n = 6.

Portanto, o hexgono ser um dos polgonos externos, com os quaispoderemos construir uma regio interior que seja, tambm, um polgonoregular; no caso, esta regio interior ser, tambm, um hexgono.(Vide Anexos no final, referentes aos estudos realizados em 2003)


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Notamos, assim, que, medida em que o nmero de lados do polgonointerior aumenta (polgono formado), o nmero de lados dos polgonosexteriores(polgonos que o formam) diminui. Isto facilmente demonstrado;se o nmero de lados do polgono a ser formado, aumenta, seu ngulo internoaumentar de valor, tambm; em consequncia, evidentemente ocorrer que ospolgonos que formaro a regio citada(se existirem), tero a medida dongulo interno decrescendo, e, portanto menor nmero de lados. Iremos,assim, inverter o nosso raciocnio usado at agora, qual seja, ao invs deprocurarmos o polgono exterior capaz de satisfazer s condies propostas,procuraremos o polgono interior que v satisfazer as condies quedesejamos.

Dentro dessa linha de raciocnio, o prximo polgono exterior - se existir-,com o nmero de lados menor que o hexgono, dever ser o pentgono.


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Quinto Caso: A regio interior(polgono regular desconhecido) formada porPentgonos (polgonos externos)

Valor do ngulo interno do pentgono(j calculado anteriormente):

y = 108o

O polgono interno, se existir, dever possui ngulo interno de valor ai .

Teremos, ento:ai + 2y = 360

o ai = 144o

Usando o mesmo raciocnio, afirmamos que, se existir um polgono regularde lado congruente ao lado do pentgono e cujo ngulo interno tenha por

medida 144

o

, teremos satisfeita a condio inicialmente proposta.ai =

n

Sn 144o = 180o(n-2)/n n = 10.

Logo, o decgono regular ser um polgono interno formado quandocolocamos dez pentgonos na posio vista no anexo.(Vide Anexos no final, referentes aos estudos realizados em 2003)


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Concluindo nossa demonstrao, diminuimos o nmero de lados do

polgono exterior de uma unidade; vamos fazer com que o quadrado seja opolgono externo. Verificaremos, ento, se possvel formarmos , comquadrados, uma regio interna que seja, por sua vez, um polgono regular.Vale ainda aqui, evidentemente, a condio de restrio bsica imposta, qualseja, de cada vrtice do polgono formado, partiro apenas trs lados.


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Sexto Caso: A regio interior(polgono regular) (ou seria) formada por

Quadrados

ai + 2.90o = 360o ai = 180

o

A questo : existir algum polgono cujo valor do ngulo interno sejaigual a 180o ?

ai =n

Sn 180o = 180o(n-2)/n 0o n = 360o n =

o

o

o

360 , de onde

conclumos que no existe o polgono procurado.

Conclumos nossas singelas observaes afirmando que, se aumentarmos ongulo interno da regio formada(maior que 180o ), esta regio no mais seriaconvexa; sobre regies no convexas, este estudo no faz parte de nosso

propsito inicialmente estabelecido.


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UMA CONCLUSO MUITO IMPORTANTE

Afirmamos, ainda, que um determinado plano, infinito, poder ser todocoberto, sem deixar espaos vazios, usando-se a combinao de polgonosestudados:

1. Hexgonos:


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2. Quadrados e Octgonos:


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3. Tringulos e Dodecgonos:


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No poderemos cobrir um plano usando apenas decgonos e pentgonos.

Notemos que, alm dos decgonos, que aparecem na cor vermelha, e dospentgonos, em diversass cores, constatamos, ainda, uma regio no convexa,na cor branca.

Brevemente, se Deus quiser, provaremos o que afirmamos.

(nas pginas seguintes, nossos Estudos realizados em 2003, na ntegra)


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UNIVERSIDADE ESTADUAL VALE DO ACARA

UM BREVE ESTUDO

ACERCA DE REGIES CONVEXAS FORMADASPOR POLGONOS REGULARES

DANIEL CAETANO DE FIGUEIREDO


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SOBRAL-CEAR2003

UM BREVE ESTUDO ACERCA DE REGIES CONVEXAS FORMADASPOR POLGONOS REGULARES

Vamos demonstrar que, se posicionarmos polgonos regulares e congruentesem determinadas posies particulares, conforme vistas nos anexos, estespolgonos formaro, por sua vez, uma regio interior que ser, tambm, umpolgono regular de lado congruente ao lado dos polgonos posicionados queo cercam, acima referidos.Afirmamos, ainda, que estes polgonos interiores assim formados, sero em

nmero de quatro e smente quatro, a saber: o tringulo, o quadrado, ohexgono e o decgono.

: Por construo

6oo + 2ai = 360o ai = 150

o

Se existir um polgono regular, de lado congruente ao lado do tringulo, e cujongulo interno tenha por medida 150o , teremos satisfeita a condioinicialmente proposta.

ai =n

Sn 150o = 180o(n-2)/n n = 12. Logo o dodecgono ser um dos

"polgonos externos", com os quais poderemos construir uma regio interiorque seja, tambm, um polgono regular; no caso, teremos um tringulo.


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Aumentando de uma unidade o nmero de lados do "polgono interior",encontraremos o quadrado.

Por construo:

90o + 2ai = 360o ai = 135

o

Se existir um polgono regular, de lado congruente ao lado do quadrado, ecujo ngulo interno tenha por medida 135o , teremos satisfeita a condioinicialmente proposta.

ai = n

Sn 135o = 180o(n-2)/n n = 8. Logo o octgono ser um dos

"polgonos externos", com os quais poderemos construir uma regio interiorque seja, tambm, um polgono regular; no caso, teremos um quadrado.


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Aumentando de uma unidade o nmero de lados do "polgono interior",encontraremos o pentgono.

Por construo:

Clculo do ngulo interno do pentgono:y = 180o (5-2)/5 = 108o .

108o + 2ai = 360o ai = 126

o

Se existir um polgono regular, de lado congruente ao lado do pentgono, e

cujo ngulo interno tenha por medida 126o , teremos satisfeita a condioinicialmente proposta.

ai =n

Sn 126o = 180o(n-2)/n n = 6,7. Logo, como no existe polgono

com nmero de lados igual a 6,7 - conclumos que o pentgono no poder serformado.


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Seja agora a regio interna, um hexgono regular:

Por construo:

Clculo do ngulo interno do hexgono:y = 180o (6-2)/6 = 120o

120o + 2ai = 360o ai = 120

o

Se existir um polgono regular, de lado congruente ao lado do hexgono, e

cujo ngulo interno tenha por medida 120o

, teremos satisfeita a condioinicialmente proposta.

ai =n

Sn 120o = 180o(n-2)/n n = 6. Logo o hexgono ser um dos

"polgonos externos", com os quais poderemos construir uma regio interiorque seja, tambm, um polgono regular; no caso, teremos, tambm, umhexgono.


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Finalmente, vamos fazer com que o quadrado seja o "polgono externo".Verificaremos, ento, se possvel formarmos , com quadrados, uma regiointerna que seja, por sua vez, um polgono regular.

Por construo:

ai + 2.90o = 360o ai = 180

o

Existir algum polgono cujo valor do ngulo interno seja igual a 180o ?

ai =n

Sn 180o = 180o(n-2)/n 0o n = 360o n =

o

o

o

360 , de onde

conclumos que no existe o polgono procurado.


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ANEXOS (Regies formadas: tringulo, quadrado, hexgono e decgonoregulares)


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Documents

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