1

Cursul 1 Bibliografie

1. Casian-Botez, Irinel, Microunde ,Editura Lumen, Iaşi, 2006, 2. D.Cojoc Amplificatoare de frecvenţă înaltă, Ed. Militară, Bucureşti 1983 3. D.Cojoc Amplificatoare de frecvenţă înaltă şi tranzistoare, Ed.Cantemir,1994, Bucureşti 4. Hatsuaki Fukui, Low-noise microwave, transistors & amplifiers, New York, IEEE Press, 1981 5. E. Holzman, Essentials of RF and microwave grounding, Artech House on Demand, 2006 6. Erik L. Kollberg, Microwave and milimeter-wave mixers, New York, Institute of Electrical and

Electronics Engineers, 1984 7. M.Naforniţă, I.Naforniţă, Microunde.Fundamante,Editura Politehnica Timişoara, 2006 8. I.Naforniţă, Microunde, Institutul Politehnic T.Vuia Timişoara, 1993 9. Ulrich L. Rohde, David P. Newkirk, RF/Microwave circuit design for wireless applications, 2000,

John Wiley & Sons, Inc. 10. G.Rulea, Tehnica microundelor, Ed.Didactică şi pedagogică,1983 11. E. Tebeanu, Oscilatoare de microunde, Ed. Tehnică Bucureşti, 1990 12. The RF and microwave handbook, CRC Press, 2001 13. The electronics handbook editor-in-chief: Jerry C. Whitaker, CRC Press, 2005 14. Microwave principles, Naval education and training professional development and technology

center, USA Navy, 1998 15. EEE .Microwaves Magazine 16. IEEE Transactions on Microwaves Theory and Techniques 17. IET Microwaves, Antennas & Propagations

Evoluţia fără precedent a telecomunicaţiilor din ultimul deceniu şi noile descoperiri tehnologice au impulsionat dezvoltarea ingineriei microundelor, care era cu precădere un domeniu al apărării

Industria microundelor a fost revoluţionată de cererea ascendentă a sistemelor de comunicaţii pentru aplicaţii ca:

• Căutare şi transmitere de date (Wireless paging) • Telefonia mobilă • Televiziunea prin satelit • Reţelele de comunicaţii prin satelit

Diversitatea aplicaţiilor şi mediilor operaţionale, acompaniată de o producţie de masă au împins tot mai sus limitele performanţelor produselor de frecvenţe înalte, la un cost din ce în ce mai redus. Aceasta a atras după sine reducerea costului de implementare a serviciilor cu fir şi fără fir în RF şi microunde:

• Sisteme de poziţionare globală (Global positioning system GPS, Galileo)

• Radarele automatizate de evitare a coliziunilor aeriene • Serviciile BISDN ce includ transmisiile la distanţă prin satelit

(telemedicina, multimedia, videoconferinţa, învăţământul la distanţă) Comunicaţiile viitorului necesită:

2

• bandă largă pentru transmisiile multimedia • capacitate mare de transmisie, pentru a face faţă unui număr tot

mai mare de utilizatori, cu un trafic tot mai ridicat

Tehnologia microundelor este adecvată atât ptr. aplicaţiile recent apărute în comunicaţii cât şi ptr. radiolocaţie, deoarece permite:

• utilizarea unui mare număr de canale independente • o lăţime de bandă semnificativă ptr. comunicaţiile de mare viteză Microundele oferă o bandă absolută largă de frecvenţă f∆ menţinând

relativ redusă variaţia benzii raportate la frecvenţa purtătoarei cff /∆ . Aceasta permite transmisia mai multor canale de date şi de voce decât ar fi fost posibil cu purtătoare de frecvenţă mai redusă sau transmisia în banda de bază. Michael Faraday (1791 - 1867) are meritul de a fi introdus conceptul de câmp şi cel de acţiune, din aproape în aproape, cu viteză finită. James Clerk Maxwell (1831 - 1879) a dezvoltat conceptul de câmp, a aplicat ideile lui Faraday în domeniul electromagnetismului, aparţin lui. În 1864 Maxwell a dezvoltat ecuaţiile matematice pentru descrierea fenomenelor electromagnetice prin abstractizarea şi generalizarea unor legi experimentale descoperite anterior de Coulomb, Faraday, Gauss Heinrich Rudolf Hertz (1857 - 1894) a construit în 1888 un aparat care demonstrează existenţa undelor electromagnetice Termenul de microunde aproximativ impropriu:

• se referă la unde cu o lungime de undă λ aproximativ în domeniul 30 cm (f 1 GHz) -1mm (f=300 GHz)

• λ microundelor > lungimea de undă ptr. f de THz • λ microundelor < lungimea de undă ptr. f radio

Ingineria microundelor se referă la proiectarea şi implementarea sistemelor electronice cu frecvenţe de operare 300Mhz→ 1 GHz, sau până la 300 GHz

3

Spectrul de frecvenţă al undelor electromagnetice şi lungimile de undă asociate Domeniul microundelor:

• UHF – ultrahigh frequency 0,3 GHz -3 GHz • SHF-super high frequency 3 GHz -30 GHz • EHF –extremely high frequency 30 GHz -300 GHz

Deasupra frecvenţei de 300 GHz absorbţia radiaţiei electromagnetice de atmosfera pămăntului este atît de mare încît aceasta poate fi considerată opacă. Atmosfera devine din nou transparentă în domeniul infraroşu şi optic. Limita dintre RF şi Microunde este incertă şi în transformare continuă pe măsură ce tehnologia şi metodele de proiectare evoluează. Orientate iniţial înspre aplicaţii militare microundele cunosc în prezent o triplă expansiune în aplicaţii:

• comerciale • ştiinţifice Ca o consecinţă a variatelor aplicaţii , terminologia şi definirea benzilor

de frecvenţă nu sunt pe deplin standardizate. Există diferenţe semnificative între notaţii atât în literatură, cât şi practice.

Atribuirea IEEE (de la L la W) are în prezent o largă răspândire în tehnică şi practică, în timp ce cea a armatei americane (de la A la N) nu a câştigat popularitate înafara comunităţii militare.

Pentru banda K există 2 definiţii în uz: • 18 GHz−26,5GHz • 10,9 GHz−36 GHz

Banda L are 2 domenii care se suprapun.

4

Banda L are atribuiri diferite de frecvenţă în opinia IEEE şi a armatei americane:

• 0,39 GHz−2 GHz • 40 GHz−60 GHz

Atribuirea benzilor de frecvenţă a) industrială şi IEEE; zonele haşurate

indică variaţii găsite în literatură, zonele înnegrite indică frecvenţele ptr. care există un consens larg; Săgeţile indică definiţiile curente IEEE

Atribuirea benzilor de frecvenţă în armata americană

5

Tendinţele curente în domeniul frecvenţelor înalte sunt: • Reorientarea de la înalta performanţă (aplicaţii militare) indiferent de

preţul implicat înspre fezabilitate (ptr. aplicaţii comerciale) şi preţ de cost minim în condiţiile unei performanţe acceptabile

• Diversitatea aplicaţiilor şi mediilor operaţionale, acompaniată de o producţie de masă au împins tot mai sus limitele performanţelor produselor de microunde, la un cost din ce în ce mai redus.

• Reorientarea de la producţia mică la producţia de masă, care a atras după sine reducerea costului de implementare a serviciilor cu fir şi fără fir în RF şi microunde.

• Dacă primele sisteme prin satelit erau în banda C (2,4-4,2GHz), proiectarea curentă este orientată spre banda K (Ku şi Ka). Aceasta a permis şi răspândirea terminalelor cu apertură redusă şi în zonele în care sistemele celulare nu există, implementarea lor fiind prea scumpă.

• Utilizarea unor tehnologii noi cu mare eficienţă spectrală. De exemplu utilizarea unei modulaţii de amplitudine în cuadratură 256-QAM în sistemul Spaceway în locul modulaţiei QPSK ar duce la creşterea vitezei de transmisie la 400Mb/s de la 100Mb/s şi la o capacitate totală de 17,6 Gb/s, faţă de 4,4 Gb/s în prezent adică de 4 ori mai mare pentru o aceeaşi bandă ocupată ca în prezent.

• Este de aşteptat pe viitor să se utilizeze frecvenţe din ce în ce mai mari pe măsură ce spectrul de frecvenţă devine tot mai redus.

• Frecvenţele înalte vor permite utilizarea unor terminale mai reduse şi potenţial obţinerea unei mobilităţi mai mari

Aplicaţii : -istoric, militare de radiolocaţie Lungimile de undă mici permit realizarea unor fascicole înguste, ce pot fi direcţionate practic cu antene de dimensiuni suficient de mici, generând o rezoluţie adecvată a locaţiei ţintei -comunicaţiile terestre la mare distanţă cît şi cele prin satelit, pentru voce şi imagini :

• comunicaţiile fără fir de voce şi de date, atât spre utilizatori individuali cât şi dinspre aceştia, comune spre oficiile centrale ;

-protocoalele reţelelor LAN ex Bluetooth lucrează în banda de 2,4 GHz -servicii de internet wireless - protocoalele reţelelor MAN metropolitan area networks , ca de ex. WIMAX (world wide interoparebilitz for

6

microwave acces) – în domeniile de 2,5 GHz, 3,5 GHz şi 5,8 GHz -protocoale wide area mobile broadband wireless acces MBWA , care permit accesul mobil fără fir pe suprafeţe mari

• comunicaţiile prin cablu, inclusiv sistemele prin cablu coaxial

ptr. distribuţie video şi acces digital de bandă largă ; • comunicaţiile prin fibră optică ptr. mare şi mică distanţă ; • sistemele hibride, ca de exemplu cele fibră optică-coaxial ; • computere personale

-sisteme radar : • în radiolocaţia şi urmărirea ţintei • evitarea aeriană automată a coliziunilor • detecţia meteorologică

-aplicaţii de încălzire dielectrică bazate prin trecerea radiaţiei de microunde prin diferiţi dielectrici, inclusiv alimente:

• sisteme industriale (de obicei la f 900 MHz) de uscare şi tehnici de procesare a semiconductoarelor care utilizează microundele să genereze plasmă

• consum casnic (cuptorul cu microunde f 2450) -transmiterea puterii la distanţă mare – transmiterea energiei solare captate

pe sateliţi înspre pământ -medicină

Propagarea undei

Conceptul de propagare se referă la modul în care unda electromagnetică se deplasează de la antena de emisie la recepţie. -mijlocul de transport al energiei de la emiţător la receptor. Transmisia informaţiei analogice sau digitale de la un punct la altul este cea mai răspândită aplicaţie în microunde. Avantajele propagării undelor la frecvenţele microundelor :

1. Microundele , datorită frecvenţelor înalte permit benzi largi de frecvenţă fără problemele ridicate de interferenţe

2. O singură purtătoare poate manipula o cantitate uriaşă de informaţie 3. Microundele se propagă de-a lungul unei linii drepte ca razele de

lumină şi nu sunt curbate de ionosferă. Propagarea în linie dreaptă

7

face posibilă transmisia prin sateliţi. Satelit de comunicaţii- staţie de retransmisie în microunde care leagă 2 sau mai multe emiţătoare şi receptoare terestre.

4. Este posibilă proiectarea unor sisteme cu antene de dimensiuni rezonabile

5. Comparativ cu undele electromagnetice. de joasă frecvenţă,. energia microundelor este mai uşor de controlat, concentrat, direcţionat- util în gătit, uscat şi fizica diatermică.

Propagarea undei- prin mediul liber şi structuri ghidate : • Linii de transmisie • Ghiduri

În ingineria mu, practica curentă utilizează modelul empiric , bazat pe măsurători rezultat din ecuaţiile. lui Maxwell. Ingineria mu şi RF tratează cazuri speciale ale fizicii particulelor încărcate electric şi interacţiunilor dintre ele prin intermediul undelor electromagnetice. Ramura ştiinţei care descrie fizica particulelor electrice- electromagnetismul. Electromagnetismul se ocupă cu forţa electromagnetică şi este bazată pe conceptul vectorilor intensitate a câmpului electric E(x,y,z,t), respectiv, intensitate a câmpului magnetic H(x,y,z,t), introduşi ptr. a rezolva acţiunea la distanţă a sarcinilor electrice Ec. Lui Maxwell descriu câmpul în funcţie de surse sarcini şi curenţii asociaţi

Reprezentarea în domeniul timp a ecuaţiilor lui Maxwell

În cinstea lui J.C. Maxwell, formele locale ale legilor generale ale fenomenelor electromagnetice sunt denumite ecuaţiile lui Maxwell.

• Studiul microundelor se bazează pe conceptul vectorilor intensitate a

câmpului electric E(x,y,z,t) respectiv intensitate a câmpului magnetic H(x,y,z,t)

• conform teoremei lui Helmholtz orice vector al unui câmp poate fi unic definit prin rotorul şi divergenţa sa

8

Rotorul câmpului electric, spre exemplu, se notează cu E×∇ şi se calculează în coordonate carteziene cu relaţia:

∂∂

−∂

∂+

∂

∂−

∂∂

+

∂

∂−

∂∂

=∂∂

∂∂

∂∂

=×∇yxxzzyzyxxyzxyx

zyx

EEEEEE

EEE

kji

kji

E

Divergenţa câmpului electric, notată ∇ ⋅ E, are în coordonate

carteziene expresia:

zyxzyx

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂=⋅∇

EEEE

Reamintim că ∇ este simbolul operatorului matematic denumit "nabla" şi are expresia formală:

zyx ∂∂

+∂∂

+∂∂

=∇ kji

fiind un vector. Legea inducţiei electromagnetice

t ∂∂

−−=×∇B

mJE sau t ∂

∂−−=

BmJErot (1.1)

Legea circuitului magnetic

t ∂∂

+=×∇D

eJH sau t ∂

∂+=

DeJHrot (1.2)

Legea fluxului electric eD ρ=⋅∇ sau eD div ρ= (1.3) Legea fluxului magnetic mB ρ=⋅∇ sau mB div ρ= (1.4) unde: Mărimile de stare locale ce caracterizează câmpul sunt:

• intensitatea câmpului electric E, cu unitatea [V/m]. • inducţia magnetică B, cu unitatea [T]. • inducţia electrică sau deplasarea electrică D, cu unitatea [C/m2]. • intensitatea câmpului electric H, cu unitatea [A/m].

9

Mărimile de stare locale ce caracterizează corpurile • ρe este densitatea de sarcină electrică • ρm este densitatea de sarcină magnetică • Je este densitatea curentului electric • Jm este densitatea curentului magnetic

Aceste relaţii arată că variaţiile în timp ale unui câmp reprezintă sursa celuilalt.

Ecuaţiile lui Maxwell în mediul liber Ţinând cont de ε0 - permitivitatea electrică a mediul liber (vidului), se poate exprima inducţia electrică în funcţie de intensitatea câmpului electric cu relaţia:

ED 0ε=

Ţinând cont de μ0 permeabilitatea magnetică se poate exprima inducţia magnetică în funcţie de intensitatea câmpului magnetic cu relaţia:

HB oµ=

unde: m/F10.842,8

10361 12

90−≅

π≅ε

m/H10.566,1210..4 77o

−− ≅π=µ Ecuaţiile lui Maxwell ptr.vid

t ∂∂µ−−=×∇ H

0mJE

t ∂∂ε+=×∇ E

0eJH

0

eEερ

=⋅∇

0H

µρ

=⋅∇ m

10

Undele electromagnetice sunt o soluţie specială a ecuaţiilor lui Maxwell, pe care se bazează ingineria microundelor.

Vom considera o funcţie f de coordonata spaţială z şi timpul t prin

intermediul variabilei z – vt, f(z – vt). Se observă că la momentul t1 > 0 funcţia f(z – vt1) este identică, ca formă, cu f(z), funcţia de la momentul t = 0, dar deplasată în lungul axei z cu vt1. La fel, f(z – vt2) este o versiune deplasată

cu vt2 a funcţiei f(z). Se poate spune că f(z – vt) se “deplasează” sau se “propagă” în timp cu sensul axei z, cu viteza v. Funcţia f(z + vt) se deplasează în timp în sensul invers al axei z, cu viteza – v. Un fenomen fizic descris de o astfel de funcţie p se numeşte "undă". În inginerie, dependent de tehnologie există diferite circumstanţe ale electromagnetismului :

• La un capăt al spectrului de frecvenţă sunt dispozitivele în stare solidă, unde legile electromagnetismul şi cu mecanica cuantică se aplică unui nr. restrâns de sarcini. Aici sunt importante forţele aplicate sarcinilor individuale.

• La celălalt capăt al spectrului de frecvenţă sunt aplicaţiile în care lungimea undelor electromagnetice. << dimensiunile din probleme şi electromagnetismul se reduce la optică, unde sunt pe rol fenomenele undei plane.

f

f(z)

0 f(z− v t1)

z

t1 v t1

t1>0

t2 > t1 f(z− v t2) t2

f

0 z

0 v t2 z

f

t Funcţia f(z− v t) se “propagă” în timp în lungul axei spaţiale z, păstrându-şi forma

11

• In mijlocul spectrului sunt abordate structuri cu o dimensiune comparabilă cu lungimea undelor electromagnetice, unde câmpul electromagnetic este abordat ca o problemă matematică riguroasă, de valori la graniţa de separare a mediilor. Majoritatea aplicaţiilor în microunde sunt la mijlocul spectrului, cu conexiuni în ambele direcţii

În domeniul frecvenţelor înalte s-au dezvoltat descriptori de nivel înalt ai electromagnetismului şi discipline specializate: circuite, filtre, antene, ptr. rezolvarea problemelor inginereşti

După postularea teoriei speciale a relativităţii nu este necesară nici o

modificare a ec. lui Maxwell. Viteza luminii, derivată din aceste ec. este o constantă ptr. toate

sistemele inerţiale de referinţă. De obicei se restrânge investigarea ecuaţiilor lui Maxwell la cazul în

care variaţiile în timp ale câmpului electric şi magnetic sunt armonice.

12

Cursul 2

În inginerie, dependent de tehnologie există diferite circumstanţe ale electromagnetismului :

• La un capăt al spectrului de frecvenţă sunt dispozitivele în stare solidă, unde legile electromagnetismul şi cu mecanica cuantică se aplică unui nr. restrâns de sarcini. Aici sunt importante forţele aplicate sarcinilor individuale.

• La celălalt capăt al spectrului de frecvenţă sunt aplicaţiile în care lungimea undelor electromagnetice. << dimensiunile din probleme şi electromagnetismul se reduce la optică, unde sunt pe rol fenomenele undei plane.

• In mijlocul spectrului sunt abordate structuri cu o dimensiune comparabilă cu lungimea undelor electromagnetice, unde câmpul electromagnetic este abordat ca o problemă matematică riguroasă, de valori la graniţa de separare a mediilor. Majoritatea aplicaţiilor în microunde sunt la mijlocul spectrului, cu conexiuni în ambele direcţii

În domeniul frecvenţelor înalte s-au dezvoltat descriptori de nivel înalt ai electromagnetismului şi discipline specializate: circuite, filtre, antene, ptr. rezolvarea problemelor inginereşti

După postularea teoriei speciale a relativităţii nu este necesară nici o

modificare a ec. lui Maxwell. Viteza luminii, derivată din aceste ec. este o constantă ptr. toate

sistemele inerţiale de referinţă. De obicei se restrânge investigarea ecuaţiilor lui Maxwell la cazul în

care variaţiile în timp ale câmpului electric şi magnetic sunt armonice.

Mărimi vectoriale si fazorii ataşaţi lor

Vom considera numai regimul armonic, monocromatic, cu pulsaţia ω. Menţionăm că pulsaţia ω, cunoscută şi sub denumirea de frecvenţă unghiulară, va fi numită pe scurt "frecvenţă", atunci când nu există posibilitatea de confuzie. Altfel, frecvenţa propriu zisă este notată cu f şi între cele două mărimi există relaţia ω = 2πf.

13

Forma de variaţie în timp şi de repartiţie în spaţiu (sau de variaţie în spaţiu) a unui câmp electric monocromatic cu frecvenţa ω poate fi pusă sub forma:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )z

yx

φ+ tω cos z y, x,k+

+φ+ tω cos z y, x,j+φ+ tω cosz y, x,i=z y, x,

z

yx

E

E EE (1.5)

care nu este comodă în calcul, datorită funcţiilor trigonometrice, care prin derivare şi integrare îşi modifică faza (sau "numele"). De aceea se preferă reprezentarea prin intermediul funcţiilor de tip exponenţială complexă:

( ) ( ) ( ) 1j sin j cose j −=φ+ω+φ+ω=φ+ω ttt (1.6) Vectorului cu componente reale E i se poate ataşa vectorul E cu componente complexe:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )z

yx

+t z

+t y

+t x

j

jj

e z ,y ,xk+

+e z ,y ,xj+e z ,y ,xi=t ,z ,y ,xEφω

φωφω

E

EE (1.7)

Între vectorii E şi E există relaţia evidentă [vezi şi relaţia (1.6)]:

( ) ( ) t,z ,y ,xERe=t,z ,y ,xE (1.8)

unde cu Rez s-a notat partea reală a numărului complex z. Relaţia (1.7) poate fi rescrisă într-o altă formă, deoarece t je ω este un factor comun:

( ) ( ) ( ) ( )[ ] t j jz

jy

jx ee z ,y ,xk+e z ,y ,xj+ez ,y ,xi=t ,z ,y ,xE zyx ωφφφ EEE (1.9)

Se introduc notaţiile:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) z

yx

jzz

jyy

jxx

ez ,y ,x z ,y ,xE

;ez ,y ,x z ,y ,xE ;ez ,y ,x z ,y ,xEφ

φφ

∆

∆∆

E

EE (1.10)

cu ajutorul cărora (1.10) se rescrie sub forma:

( ) ( ) ( ) ( )[ ] e z ,y ,xEkz ,y ,xEj z ,y ,xE it ,z ,y ,xE t jzyx

ω++= (1.11)

14

Vectorul din paranteza dreaptă a relaţiei (1.11) are componentele complexe, aşa cum rezultă din notaţiile (1.10) şi este, în consecinţă, un vector complex. El nu depinde însă de variabila timp t şi se notează cu ( )zyx , ,E :

( ) ( ) ( ) ( ) z ,y ,xE kz ,y ,xE j z ,y ,xE iz ,y ,xE zyx ++= (1.12) Vectorul complex ( )zyx , ,E , definit prin relaţia (1.12), poartă denumirea de fazor ataşat câmpului electric (cu intensitatea ) ( )tzyx , , ,E . Spre deosebire de câmpul electric E, câmp fizic, fazorul nu depinde de variabila timp. Între câmpul electric E şi fazorul ataşat lui există o relaţie ce poate fi dedusă imediat din (1.8), ţinând seama de (1.11) şi (1.12):

( ) ( ) t je z ,y ,x ERe=t ,z ,y ,x ωE (1.13)

Urmând o procedură asemănătoare, se poate ataşa vectorului ( )t ,z ,y ,xH fazorul ( )tzyx , , ,H astfel încât să avem:

( ) ( ) t jez ,y ,x HRe=t ,z ,y ,x ωH (1.14)

Oricărui vector real şi sinusoidal (monocromatic), având frecvenţa ω, A(x,y,z,t), i se poate asocia un fazor complex A(x,y,z) astfel încât

( ) ( ) t je z ,y ,x ARet ,z ,y ,x ω=A .

Reprezentarea în domeniul frecvenţă ale ecuaţiilor lui Maxwell. În regim armonic, monocromatic, se pot obţine forme modificate ale

ecuaţiilor lui Maxwell, în care intră fazorii ataşaţi mărimilor vectoriale E , H , B , D , J .

Fie, spre exemplu, ecuaţia (1.1). Ţinând seama de forma (1.13) ce ataşează vectorului ( )tzyx , , ,E fazorul ( )zyx , , E adică t je Re ω= EE putem scrie:

t

∂∂

−=×∇BE => ( ) ( ) tt zyx

tzyxE B jω jω e , , Re

e , , Re

∂∂

−=×∇ =>

( )[ ] ( )

( )[ ] t

tt

zyxB

tzyxBzyxE

jω

jω jω

e , , j Re

e

, , Ree , , Re

ω−=

=

∂∂

−=×∇

15

Se poate scrie şi că: ( )[ ] ( )[ ] tt zyxBzyxE jω jω e , , j e , , ω−=×∇ şi după simplificarea cu t je ω , posibilă deoarece 0e j ≠ω t , rezultă forma complexă a ecuaţiei (1.1), scrisă pentru fazori: ( ) ( )zyxBzyxE ,, j,, ω−=×∇ ; BE jω−=×∇ unde, în a doua expresie s-a utilizat o formă simplificată de scriere a fazorilor, fără precizarea argumentelor spaţiale x, y şi z.

Procedând ca mai sus, se pot obţine cele patru ecuaţii ale lui Maxwell scrise în complex, pentru fazorii ataşaţi mărimilor vectoriale, ţinand cont şi de existenţa densităţilor de sarcină electrică, respectiv magnetică Je, Jm:

BJmE j- ω−=×∇ (1.15) DJH e jω+=×∇ (1.17) eD ρ=⋅∇ (1.16) mρ=⋅∇ B (1.18) Menţionăm încă odată că ecuaţiile de mai sus sunt valabile numai în regim armonic monocromatic, cu frecvenţa (unghiulară) ω. Ele sunt reprezentarea în domeniul frecvenţă a ecuaţiilor lui Maxwell. Avantajul utilizării fazorilor în locul vectorilor reali este faptul că derivatele in timp se reduc la simple multiplicari. Pe lângă aceste patru ecuaţii se mai folosesc şi aşa numitele ecuaţii de continuitate, care se vor deduce în cele ce urmează. Vom verifica, mai întâi, că divergenţa rotorului unui vector oarecare A este nulă. Avem:

( )

∂

∂−

∂

∂

∂

∂+

∂

∂−

∂

∂

∂

∂+

∂

∂−

∂

∂

∂∂

=

=∂∂

∂∂

∂∂

⋅∇=×∇⋅∇

y

A

x

A

z xz y z

x xyzxyz

zyx

AAA

z

A

AAAz y x

kji

A

Efectuând calculele se găseşte imediat că:

16

( ) AA ∀≡×∇⋅∇ 0, Ţinând seamă de proprietatea de inversare a divergenţei şi derivării, cu A = D obţinem:

( )AA⋅∇

∂∂

=

∂∂

⋅∇t t

, ∀ A

Aplicăm proprietatea anterioară relaţiei (1.2):

0)tD J()H( e =

∂∂

+∇=×∇∇

Ţinand cont de relaţia de relaţiile dintre vectori şi fazorii corespunzători obţinem:

0eJ =ωρ⋅∇ ej+

În mod similar, din relaţia (1.1) obţinem:

0)tB-J()E( m =

∂∂

−∇=×∇∇

Ţinand cont de relaţia de relaţiile dintre vectori şi fazorii corespunzători obţinem:

0mJ =ωρ⋅∇ mj+

De menţionat că: ED

=

ε= HB

=

µ=

Unde =

ε respectiv =

µ reprezintă generalizări ale permitivităţii electrice, respectiv permeabilităţii magnetice, introduse ptr. a caracteriza

( ) 0=⋅∇∂∂⋅∇ DeJt

+

( ) 0BmJ =⋅∇∂∂

⋅∇t

+

17

materiale mai complexe, cum ar fi de exemplu feritele. Aceste mărimi pot fi mărimi complexe sau funcţii tensoriale dependente de frecvenţă.

La interfaţa a două medii (vezi fig)se impun şi următoarele condiţii la limită:

es12 )DD(n ρ=−

ms12 )BB(n ρ=−

ms12 J)EE(n =−−

es12 J)HH(n =−− unde: n este vectorul unitate normal la suprafaţa de separare a celor două medii, cu sensul de la mediul 1 spre mediul 2. ρes este densitatea superficială de sarcina electrică liberă ρms este densitatea superficială sarcina magnetică liberă Jes este densitatea curentului electric la suprafaţa de separare Jms este densitatea curentului magnetic la suprafaţa de separare De observat că ρes ,ρms, Jes, Jms sunt surse libere şi ele nu există decât în conductoare. La separea a două medii dielectrice ele sunt nule.

Unda plană

Unda plană este un model idealizat pentru undă, model ce se poate utiliza atunci când emiţătorul este de dimensiuni mult reduse în comparaţie cu distanţa de la acesta până la punctul în care se investighează câmpul. Pentru ca aproximarea de undă plană să fie valabilă, este necesar ca

18

dimensiunile considerate în planul perpendicular pe direcţia de propagare să fie mult reduse în comparaţie cu aceeaşi distanţă.

Unda plană într-un mediu omogen şi izotrop oarecare

Vom considera o undă plană ce se propagă în lungul axei z. Se reaminteşte că sensul de propagare al energiei este dat de vectorul Poynting definit de relaţia:

∗= ExH21S (1.20)

Factorul de ½ apare datorită utilizării amplitudinilor şi nu a valorilor

efective în definirea fazorilor.

Frontul de undă, constituit din suprafaţa pe care se găsesc punctele

aflate în aceeaşi fază de oscilaţie, este un plan perpendicular pe axa de propagare. Prin tradiţie, ca axă de propagare se alege axa z. Frontul undei plane este arătat în figura de mai sus. Câmpul nu prezintă modificări în spaţiu după axele x şi y (deoarece frontul de undă este plan) şi deci operatorii

∂∂ x

şi ∂∂ y

sunt identic nuli.

Modelul frontului undei plane ce se propagă în lungul axei z

z

E

HH

x ε, µ, σ

0

y

S

frontul undei plane

19

Fie mediul de propagare caracterizat de ε şi µ şi conductivitatea σ. Existenţa unei conductivităţi nenule determină apariţia unor curenţi de conducţie.

EJe = σ Se reaminteşte că

( ) ( ) AAxAx 2∇−∇∇=∇∇ Fie ecuaţia (1.15) în care considerăm Jm zero.

HE µω=×∇ -j (1.21) Aplicăm rotorul în ambii membrii ai ecuaţiei :

( ) ( ) ( )xHjEExEx 2 ∇ωµ−=∇−∇∇=∇∇ În absenţa sarcinilor libere, 0 = esρ , adică 0E =⋅∇ şi ţinând cont de relaţia (1.16) obţinem:

( )EjjE2 σ+ωεωµ=∇ Ecuaţia (1.21) se poate rescrie sub forma: 0 = j + 22 EEE µσω−µεω∇ sau: 0 =

j 1 + 22 EE

εωσ

−µεω∇

Se notează:

j 1 = 22

εωσ

−µεωk (1.22)

Constanta k se numeşte "număr de undă" Obţinem astfel : 0 = + 22 EE k∇ (1.23) Ecuaţia este cunoscută sub numele de ecuaţia undei.

20

În mod similar din ecuaţia (1.16) se obţine 0 = + 22 HH k∇ (1.24) În lipsa pierderilor σ = 0 şi µεω= 22k . În vid unde ε=ε0 şi μ=μ0 obţinem 00k µεω= 0

22 . Se defineşte constanta de propagare γ prin relaţia:

j 1 = = 222

εωσ

−µεω−−γ k (1.25)

şi deci:

j 1 = j + = 2

εωσ

−µεω−βαγ (1.26)

Constanta α, măsurată în [Np/m] sau [dB/m], se numeşte constantă de atenuare. Constanta β, măsurată în [rad/m], se numeşte constantă de fază. Reamintim că operatorul Laplacian, ∇2, notat şi Δ, are în coordonate carteziene expresia::

2

2

2

2

2

22

Δ

zyx ∂∂

+∂∂

+∂∂

==∇

Având în vedere că 0 =

= yx ∂

∂∂∂ şi deci şi 0 =

=

2

2

2

2

yx ∂∂

∂∂ . Ecuaţia

(1.23) se scrie sub forma:

( ) ( ) EkE jEiEkEjEiz zyxzyx =

22

2

++γ++∂∂

Ecuaţia vectorială este echivalentă cu următoarele trei ecuaţii scalare:

zz

yy

xx E

zE

EzE

EzE 2

2

22

2

22

2

2

=

=

=

γ∂∂

γ∂

∂γ

∂∂

;;

Soluţiile celor trei ecuaţii sunt:

21

z

z z

zz

z y

zyy

z x0

zxx

E = EE

+ E= EE

e E EE

γ−γ−

γ−γ−

γ−γ−

0

+0

0

+0

+ o

e +e

e e

+e =

Dar zzz j e e = e β−α−γ− şi deci zz e = e α−γ− , valoare ce scade o dată cu creşterea valorii coordonatei z, z > 0. Unda corespunzătoare este unda directă. Deoarece z zz j e e = e βαγ sau zz e = e αγ , valoarea creşte odată cu creşterea valorii coordonatei z, z > 0. Unda corespunzătoare este unda inversă ce apare datorită reflexiei. În mediul de propagare infinit, omogen şi izotrop, nu apar reflexii şi soluţiile sunt: z

z0zz

y0yz

x0x EEE EEE e = e = e = γ−γ−γ− ;; forme în care s-a renunţat la marcarea cu "+" a amplitudinii

0E .

Prima ecuaţie a lui Maxwell, (1.15) poate fi rescrisă sub forma:

( )zyx

zyx

HkHjHi

EEEz

kji

j00 xE ++µω−=∂∂

=∇

din care, dezvoltând determinantul din membrul stâng rezultă imediat că:

j = 0 j = j = zyx

xy HH

zE

Hz

Eµω−µω−

∂∂

µω−∂

∂− ;; (1.27)

Derivând expresiile (1.26) rezultă:

0 = j = j = zyxxy HHEHE ;; µωγµω−γ (1.28) Se poate deduce, prin împărţire cu xH , respectiv cu yH , din (1.28):

22

j = = γ

µω−

x

y

y

x

HE

H E (1.29)

A doua ecuaţie a lui Maxwell, (1.17), se scrie sub forma particulară:

( ) ( ) + j =

0

00 xH zyx

yx

EkEjEi

HHz

kji

++σωε∂∂

=∇

Singura relaţie interesantă ce se deduce este:

0 = zE (1.30) Observaţii

1. Deoarece 0 = zE şi 0 = zH , ambele componente sunt perpendiculare pe axa de propagare 0z. O astfel de undă, ale cărei componente E şi H sunt transversale pe direcţia de propagare se numeşte undă TEM transversal electromagnetică sau mod de propagare TEM. Unda plană este deci o undă tem.

2. Câmpurile E şi H sunt ortogonale nu numai pe direcţia de propagare , ci şi între ele.

Din (1.29) rezultă şi că:

0 = yyxx H + EHE (1.31)

Cum 0 = = H E zz , relaţia (1.31) este echivalentă cu:

0 = HE ⋅ (1.32)

Prin urmare, în unda plană componentele E şi H ale câmpului electromagnetic sunt ortogonale. Curs 3

23

Se pot roti axele de coordonate astfel încât 0x să fie paralelă cu E, iar axa 0y să fie paralelă cu H. Atunci, aşa cum se vede şi din figura , E are numai componenta xE , iar H are numai componenta yH .

Avem deci:

zjz0 eeiEE β−α−=

zjz0 eejHH β−α−=

Raportul yx HE se exprimă în = AV =

A/mV/m

Ω

şi deci, are dimen-

siunea unei impedanţe. Prin definiţie, impedanţa intrinsecă a mediului, mZ , este:

β+αµω

γµω

jHE = Z

y

xm

j = j = (1.33)

sau:

j -1

1 =

εωσ

⋅εµ

= HE

HE

= Z0

0

y

xm

În cazul mediilor fără pierderi α=0 şi deci γ=jβ . şi deci:

= mZεµ (1.34)

Componentele de câmp ale undei plane devin:

x

Ex

0 S z

Hy

. Axele x şi y pot fi alese paralele cu câmpul E, respectiv câmpul H

24

zj

0eiEE β−= zj

mo eYjEH β−= Cu mY s-a notat admitanţa intrinsecă a mediului

mm Z

1 = Y

Impedanţa intrinsecă a vidului are valoarea:

Ω≅πε

µ 377 120 = =

0

00m

Z (1.35)

Pentru a determina câmpurile fizice E şi H ale undei plane vom considera pentru simplificare, că 0E , 0H şi mZ sunt mărimi reale. În conformitate cu relaţiile (1.8) respectiv (1.9) obţinem:

) ( cose = 0

ztz β−ωα−EiE (1.36)

) ( cose = 0

ztY zm β−ωα−EjH (1.37)

Reprezentarea repartiţiei spaţiale a câmpurilor fizice, (1.36) şi (1.37), poate fi realizată doar la un moment de timp specificat. Spre exemplu, pentru t = 0 rezultă

.

În figura este dată reprezentarea celor două câmpuri. Descreşterea câmpurilor în lungul axei z este exponenţială. Factorul ce exprimă descreşterea câmpurilor este z e α− . Acesta este motivul pentru care α poartă denumirea de constantă de atenuare.

zz cose =E 0

βα−Ei

zj z cosemY =H 0

βα−E

25

Dacă α = 0 unda este neatenuată în lungul axei z, aşa cum se arată în figura

În ambele cazuri, α ≠ 0 sau α = 0, cele două componente sunt ortogonale: 0=H.E yx .

Se poate realiza şi prezentarea câmpurilor la diverse momente de timp. Spre exemplu, pentru ωπ= 3 / 1t relaţia (1.36) conduce la:

β−

π= α− zz

x 3

cose 0

EE

În figura de mai jos este reprezentată forma de repartiţie a câmpului xE în

lungul axei z la trei momente de timp: 0 1

=t , ωπ

=3

2

t şi ωπ

=32

3t . Se observă

efectul de deplasare a câmpului în sensul pozitiv al axei z.

Componentele Ex şi Hy ale unei unde plane care se propagă fără a fi atenuate

βπ2

E0 t = 0 Ex

z H0 Hy y

x

26

Se defineşte lungimea de undă λ, ca fiind distanţa măsurată pe axa z între două treceri consecutive ale câmpului prin zero, în acelaşi sens. Astfel avem: ( ) ( ) ( )[ ] 0 = + cose = cos e +

0

0λβ−ω⋅β−ω λα−α− ztzt zz EE

sau ( ) [ ] 0 = cos = cos λβ−β−ωβ−ω ztzt Dar ( )π−αα 2 cos = cos de unde rezultă că:

βπ

λ2 =

În figura de mai sus se indică lungimea de undă λ pentru repartiţia de câmp corespunzătoare momentului t = 0. Cele două puncte consecutive de trecere prin zero în acelaşi sens, sunt π / (2β) şi π / (2β) + λ. Pentru unda neatenuată lungimea de undă este şi distanţa între două maxime consecutive. Evident, lungimea de undă poate fi definită mai simplu şi ca distanţă măsurată pe axa z după care modificarea de fază a câmpului este de 2π, la un moment de timp t dat.

Reprezentarea câmpului Ex al undei plane în lungul axei z, la diferite momente de timp

ωπ

=32t

λ+βπ2

βπ2

λ

0E z

0 e α−E

z 0 e α−− E

z

xE

01=t

ωπ

=32

3t

0E−

27

Unda plană în vid

Vidul este caracterizat de 00

= ,= 0, = µµεεσ şi [ ]Ωπ== 1200mm ZZ .

Rezultă

002

00002 = j = = µεωµεω−γ kk ;

În vid unda nu se atenuează iar constanta de propagare este pur imaginară. Constanta de fază are expresia:

με = = 000 ωβ k Viteza luminii în vid este dată de :

m/s 103 με

1 = 8

00

⋅≅c

Relaţiile ce permit calculul expresiilor fazorilor E şi H în vid sunt:

zkE 0 j0

e = −iE

00

j 00

1 = e j = 0

mm

zkm Z

YEY ;−H

şi deci, expresiile câmpurilor fizice devin:

( ) cos 00

= zkt −ωEiE

( )zktYm 000

cos j = −ωEH Lungimea de undă în vid se notează cu λo şi este

00

2 = kπ

λ (2.75) ; fcc = 2 =

0 ωπ

λ

28

Se utilizează şi o relaţie de calcul adaptată domeniului microundelor (domeniu numit şi “centimetric”):

[ ] [ ] GHz = cm = 30 = ;00

ff

λλ

Astfel, la frecvenţa de 1 GHz lungimea de undă în vid este cm 300

=λ . Pentru un mediu oarecare, fără pierderi σ=0, cu ε=ε0 εr şi μ=μ0 μr , cu

εµϖ=β lungimea de undă λ va fi diferită de λ0 din vid, egală cu:

rrrrrr k µε

λ=

µε

π=

µεµεϖ

π=

εµϖ

π=

βπ

=λ 0

000

2222

Termenul 1/√εr μr se numeşte factor de scurtare

Viteza de fază şi viteza de grup Viteza de fază este, prin definiţie, viteza cu care ar trebui să se

deplaseze un observator pentru a "vedea" aceeaşi fază a undei. Faza:

ztt = )( β−ωφ pe care o vede observatorul este o constantă şi deci are derivata nulă:

0 = d d = d zt β−ωφ Se poate deduce expresia vitezei de fază vf , ca fiind:

βω =

dd =

tzv

f

În cazul propagării undei plane printr-un mediu omogen şi izotrop,

fără pierderi (σ = 0), = µεωβ :

1 =µεf

v

Adică, viteza de fază, într-un mediu omogen, izotrop şi fără pierderi, nu depinde de frecvenţa ω.

În vid relaţia devine:

29

m/s 10 3 = =

1 = 8

00

⋅µε

cvf

Viteza de grup este viteza de propagare a energiei. Considerând expresia vectorului Poynting, ea reprezintă energia transportată de undă în unitatea de timp, prin unitatea de suprafaţă. Viteza de grup poate fi calculată şi cu relaţia:

d d1 =

d d =

ωββ

ωgv

În vid = 00 µεωβ Se observă că pentru unda plană în vid

cdd 1

=ϖβ . În

concluzie, pentru unda plană în vid

fg = vv adică viteza luminii

30

Curs 3 Se pot roti axele de coordonate astfel încât 0x să fie paralelă cu E, iar axa 0y să fie paralelă cu H. Atunci, aşa cum se vede şi din figura , E are numai componenta xE , iar H are numai componenta yH .

Avem deci:

zjz0 eeiEE β−α−=

zjz0 eejHH β−α−=

Raportul yx HE se exprimă în = AV =

A/mV/m

Ω

şi deci, are dimen-

siunea unei impedanţe. Prin definiţie, impedanţa intrinsecă a mediului, mZ , este:

β+αµω

γµω

jHE = Z

y

xm

j = j = (1.33)

sau:

j -1

1 =

εωσ

⋅εµ

= HE

HE

= Z0

0

y

xm

În cazul mediilor fără pierderi α=0 şi deci γ=jβ . şi deci:

= mZεµ (1.34)

x

Ex

0 S z

Hy y

. Axele x şi y pot fi alese paralele cu câmpul E, respectiv câmpul H

31

Componentele de câmp ale undei plane devin:

zj0eiEE β−=

zjmo eYjEH β−=

Cu mY s-a notat admitanţa intrinsecă a mediului

mm Z

1 = Y

Impedanţa intrinsecă a vidului are valoarea:

Ω≅πε

µ 377 120 = =

0

00m

Z (1.35)

Pentru a determina câmpurile fizice E şi H ale undei plane vom considera pentru simplificare, că 0E , 0H şi mZ sunt mărimi reale. În conformitate cu relaţiile (1.8) respectiv (1.9) obţinem:

) ( cose = 0

ztz β−ωα−EiE (1.36)

) ( cose = 0

ztY zm β−ωα−EjH (1.37)

Reprezentarea repartiţiei spaţiale a câmpurilor fizice, (1.36) şi (1.37), poate fi realizată doar la un moment de timp specificat. Spre exemplu, pentru t = 0 rezultă

.

În figura este dată reprezentarea celor două câmpuri. Descreşterea câmpurilor în lungul axei z este exponenţială. Factorul ce exprimă descreşterea câmpurilor este z e α− . Acesta este motivul pentru care α poartă denumirea de constantă de atenuare.

zz cose =E 0

βα−Ei

zj z cosemY =H 0

βα−E

32

Dacă α = 0 unda este neatenuată în lungul axei z, aşa cum se arată în figura

În ambele cazuri, α ≠ 0 sau α = 0, cele două componente sunt ortogonale: 0=H.E yx .

Se poate realiza şi prezentarea câmpurilor la diverse momente de timp. Spre exemplu, pentru ωπ= 3 / 1t relaţia (1.36) conduce la:

β−

π= α− zz

x 3

cose 0

EE

În figura de mai jos este reprezentată forma de repartiţie a câmpului xE în

lungul axei z la trei momente de timp: 0 1

=t , ωπ

=3

2

t şi ωπ

=32

3t . Se observă

efectul de deplasare a câmpului în sensul pozitiv al axei z.

Componentele Ex şi Hy ale unei unde plane care se propagă fără a fi atenuate

βπ2

E0 t = 0 Ex

z H0 Hy y

x

33

Se defineşte lungimea de undă λ, ca fiind distanţa măsurată pe axa z între două treceri consecutive ale câmpului prin zero, în acelaşi sens. Astfel avem: ( ) ( ) ( )[ ] 0 = + cose = cos e +

0

0λβ−ω⋅β−ω λα−α− ztzt zz EE

sau ( ) [ ] 0 = cos = cos λβ−β−ωβ−ω ztzt Dar ( )π−αα 2 cos = cos de unde rezultă că:

βπ

λ2 =

În figura de mai sus se indică lungimea de undă λ pentru repartiţia de câmp corespunzătoare momentului t = 0. Cele două puncte consecutive de trecere prin zero în acelaşi sens, sunt π / (2β) şi π / (2β) + λ. Pentru unda neatenuată lungimea de undă este şi distanţa între două maxime consecutive. Evident, lungimea de undă poate fi definită mai simplu şi ca distanţă măsurată pe axa z după care modificarea de fază a câmpului este de 2π, la un moment de timp t dat.

Reprezentarea câmpului Ex al undei plane în lungul axei z, la diferite momente de timp

ωπ

=32t

λ+βπ2

βπ2

λ

0E z

0 e α−E

z 0 e α−− E

z

xE

01=t

ωπ

=32

3t

0E−

34

Se poate realiza şi prezentarea câmpurilor la diverse momente de

timp. Spre exemplu, pentru ωπ= 3 / 1t :

În figura de mai jos este reprezentată forma de repartiţie a câmpului

xE în lungul axei z la trei momente de timp: 0 1

=t , ωπ

=3

2

t şi ωπ

=32

3t . Se

observă efectul de deplasare a câmpului în sensul pozitiv al axei z.

Lungimea de undă λ

Se defineşte lungimea de undă λ, ca fiind distanţa măsurată pe axa z între două treceri consecutive ale câmpului prin zero, în acelaşi sens. Astfel avem: ( ) ( ) ( )[ ] 0 = + cose = cos e +

0

0λβ−ω⋅β−ω λα−α− ztzt zz EE

sau ( ) [ ] 0 = cos = cos λβ−β−ωβ−ω ztzt Dar ( )π−αα 2 cos = cos de unde rezultă că:

βπ

λ2 =

Reprezentarea câmpului Ex al undei plane în lungul axei z, la diferite momente de timp

ωπ

=32t

λ+βπ2

βπ2

λ

0E z

0 e α−E

z 0 e α−− E

z

xE

01=t

ωπ

=32

3t

0E−

)z 3

(cose= z 0x β

πα -EE

35

În figura de mai sus se indică lungimea de undă λ pentru repartiţia de câmp corespunzătoare momentului t = 0. Cele două puncte consecutive de trecere prin zero în acelaşi sens, sunt π / (2β) şi π / (2β) + λ. Pentru unda neatenuată lungimea de undă este şi distanţa între două maxime consecutive. Evident, lungimea de undă poate fi definită mai simplu şi ca distanţa măsurată pe axa z pentru care faza câmpului se modifică cu 2π, la un moment de timp t dat.

Unda plană în vid

Vidul este caracterizat de

00= ,= 0, = µµεεσ şi [ ]Ωπ== 120

0mm ZZ . Rezultă

002

00002 = j = = µεωµεω−γ kk ;

În vid unda nu se atenuează iar constanta de propagare este pur imaginară. Constanta de fază are expresia:

με = = 000 ωβ k Viteza luminii în vid este dată de relaţia:

βπ

=λ=2cT

adică: m/s 103

με1 = 8

00

⋅≅c

Relaţiile ce permit calculul expresiilor fazorilor E şi H în vid sunt:

zkE 0 j0

e = −iE

00

j 00

1 = e j = 0

mm

zkm Z

YEY ;−H

şi deci, expresiile câmpurilor fizice devin:

36

( ) E0

=E zk- tω cosi 0

( )zk- t ω cos Y 0m00E j =H

Lungimea de undă în vid se notează cu λo şi este

00

2 = kπ

λ fcc = 2 =

0 ωπ

λ

Se utilizează şi o relaţie de calcul adaptată domeniului microundelor (domeniu numit şi “centimetric”):

[ ] [ ] GHz = cm = 30 = ;00

ff

λλ

Astfel, la frecvenţa de 1 GHz lungimea de undă în vid este cm 300

=λ . Pentru un mediu oarecare, fără pierderi σ=0, cu ε=ε0 εr şi μ=μ0 μr , cu

εµω=β lungimea de undă λ va fi diferită de λ0 din vid, egală cu:

rr

0

rr0rr00 k2222

µελ

=µε

π=

µεµεωπ

=εµωπ

=βπ

=λ

Termenul

rr

1µε

se numeşte factor de scurtare

Viteza de fază şi viteza de grup Viteza de fază este, prin definiţie, viteza cu care ar trebui să se

deplaseze un observator pentru a "vedea" aceeaşi fază a undei. Faza:

ztt = )( β−ωφ pe care o vede observatorul este o constantă şi deci are derivata nulă:

0 = d d = d zt β−ωφ Se poate deduce expresia vitezei de fază vf , ca fiind:

37

βω =

dd =

tzv

f

În cazul propagării undei plane printr-un mediu omogen şi izotrop,

fără pierderi (σ = 0), = µεωβ :

1 =µεf

v

Adică, viteza de fază, într-un mediu omogen, izotrop şi fără pierderi, nu depinde de frecvenţa ω.

În vid relaţia devine:

m/s 10 3 = =

1 = 8

00

⋅µε

cvf

Viteza de grup este viteza de propagare a energiei. Considerând expresia vectorului Poynting, ea reprezintă energia transportată de undă în unitatea de timp, prin unitatea de suprafaţă. Viteza de grup poate fi calculată şi cu relaţia:

d d1 =

d d =

ωββ

ωgv

În vid = 00 µεωβ Se observă că pentru unda plană în vid

c1

dd

=ωβ . În

concluzie, pentru unda plană în vid

fg = vv adică viteza luminii

Puterea transportată de unda plană printr-o suprafaţă normală pe direcţia de propagare

Considerăm expresia vectorului Poynting aplicată undei plane

∗= ExH21S

38

z22

0m21*zjz

m0zjz

0 eEkY)eeYjE(x)eeiE(21S α−β−α−β−α− ==

Am ţinut cont de regula ixj=k. În absenţa pierderilor, vectorul Poynting este constant.

Puterea activă P transportată de undă printr-o suprafaţă ∆S=(∆x). (∆y), normală pe direcţia de propagare este

( )

⋅×=

∫ ∫∫ ∫∆

∆−

∆

∆−∆ ∆

yd xd k 21RekSdxdyRe= P

2x

2x

2y

2y

*yx

x y

HE

Se substituie xE şi yH şi se obţine:

d de 21Re= 2 *

2

2

2

2

*00

α−

∆

∆−

∆

∆−

∫ ∫ yxYEEP zm

x

x

y

y

Dar =

2

0*00

EEE şi mm YY Re = Re * , aşa că expresia puterii devine:

S e Y Re2

E= y x e Y Re

2E

=P z 2 m

20z 2

m

20 ∆∆∆ α−α−

Pentru z = 0, P se notează cu P0, puterea activă în originea axelor de coordonate:

Transportul puterii de către unda plană

z

Ex

SH

x

0

y

∆S

∆y

∆x

Hy

39

S Y Re2

E =P m

20

0 ∆

Cu această notaţie P devine: e P=e P =P z

0 z2

0pα−α−

Se constată imediat faptul că puterea transportată descreşte exponenţial, constanta de atenuare a puterii, pα , având expresia: 2= αα p Punând ∆S = 1 se obţin puterile transportate prin suprafaţa unitară:

m

20z

0 Y Re2

E =P ; e P= P 0(1)

p(1)(1)

α−

în absenţa pierderilor puterea P nu este atenuată şi avem:

m

20 Y

2E

=P= P 0(1)(1)

deoarece mY este acum o mărime reală. Un caz particular îl reprezintă propagarea undei prin vid. Relaţia rămâne valabilă dacă înlocuim mY cu

30

106532120/1 −⋅≅π= ,m

Y Siemens (S).

Clasificarea mediilor de propagare omogene şi izotrope

Vom considera numai medii de propagare omogene şi izotrope şi vom utiliza drept criteriu de clasificare a acestora valoarea raportului km dintre densitatea curentului de conducţie Jc şi densitatea curentului de

deplasare tDJd ∂

∂= care în regim armonic monocromatic, cu frecvenţa ω

este:

EjJd ωε=

40

Raportului km este:

= k ;

= j

= k mC

m εωσ

εωσ

εω EE

EJ

Ţinând cont de raportul km, constanta de propagare γ devine: ( ) βα−µεω−µεω−γ j + = k j 1 j = k j 1 = mm

2 şi impedanţa intrinsecă a mediului, Zm este: j

k j 1 1 j = Z

mm γ

ωµ=

−⋅

εµ

=γωµ

În funcţie de valoarea raportului km deosebim următoarele medii de

propagare:

1) Dielectricii ideali. În dielectricii ideali nu există curenţi de conducţie (σ= 0) şi deci km = 0. Constanta de propagare γ şi impedanţa intrinsecă a unui astfel de mediu devin: µεωβαµεωγ = , 0 = j = ;

µε

εµ = , = mm YZ

Dielectricul ideal nu prezintă pierderi, iar impedanţa intrinsecă a mediului este reală: mm ZZ = Re . Vidul este un dielectric ideal pentru care

0 = kβ şi [ ]Ωπ 120 = = ZZ mom .

Lungimea de undă în dielectricul ideal, λ, se calculează cu relaţia

1 2 =

1

2 =

2 = 2 =

000 rrrr k µεπ

µε⋅

µεωπ

µεωπ

βπ

λ

dar 2π / k0 este lungimea de undă în vid, λ0. Avem deci:

= 0

rr µε

λλ

41

Pentru cazul particular al dielectricilor ideali cu µr = 1, lungimea de undă se calculează cu relaţia:

0

1 = λε

λr

Reamintim că factorul rr1/ µε este numit "factor de scurtare". Viteza de fază şi viteza de grup se calculează cu relaţiile:

µεωβµεµεω

ωβω

1 =

dd1 =

1 =

= = gf

v v

Mediile pentru care viteza de fază nu este funcţie de frecvenţă au calitatea că păstrează forma unei unde compuse din mai multe componente armonice. Acesta este motivul pentru care astfel de medii se numesc şi “nedispersive”. Dacă însă viteza de fază este o funcţie de frecvenţă, forma undei compuse nu se mai păstrează ca urmare a propagării. Aceste medii de propagare se numesc “dispersive”. 2) Dielectricii cu pierderi mici sunt caracterizaţi de km << 1. Constanta de propagare se calculează aplicând relaţia de aproximare

/2 1 1 xx −≅− valabilă pentru x<< 1:

2

j 1 j = 2

j 1 j j 1 j =

εωσ

−µεω

−µεω≅−µεωγ mm

kk

deci: βαµεωεµσ

≅γ j + = j + 2

În concluzie dielectricii cu pierderi mici au aceeaşi expresie a

constantei de fază ca şi dielectricii ideali: µεωβ = . Într-o primă aproximaţie un astfel de mediu poate fi considerat nedispersiv.

Se observă că propagarea este însoţită de o atenuare a câmpului deoarece α ≠ 0.

Relaţiile de calcul pentru lungimea de undă, viteza de fază şi de grup

rămân aceleaşi ca în cazul dielectricilor ideali.

42

Pentru a calcula impedanţa intrinsecă a mediului se aplică aproximarea, indicată mai înainte, precum şi aproximarea x +1

x 11 ≅−

,

valabilă pentru x<<1 1. Rezultă:

εµ

εµ

εµ

≅−

⋅εµ

≅ mm

mm k

21 j + =

2kj + 1

2kj 1

1 Z

Al doilea termen este mult mai mic în modul decât primul, şi într-o primă aproximaţie, se poate considera:

εµ

≅mZ

Constanta de atenuare are expresia:

2Z

2 mσ

=εµσ

≅α

3) Conductorul ideal. Se caracterizează prin σ→ ∞ şi prin urmare km→ ∞. Se observă imediat că α = ∞, β = ∞ şi deci adâncimea de pătrundere este nulă, δ = 0. În conductorul ideal câmpul electromagnetic nu poate pătrunde. Impedanţa conductorului ideal este nulă. Conductorul ideal este un scurtcircuit ideal pentru câmpul electromagnetic. 4.) Conductori reali Conductorii reali au conductivitatea σ foarte mare, fiind caracterizaţi de 1<< km < ∞. Pentru γ vom scrie:

−

εωσ

⋅µεω≅−−⋅µεω≅γmm

m kkk

2j + 1 j

j

j1 1 j j

Dar 2

j1 = j −±− şi deci, constanta de propagare devine:

( ) ( )j + 1 2

2j + 1 j 1

2 j σµω

±≅

−

σµω±≅γ

mk

Se alege semnul din faţa radicalului în aşa fel încât constanta de atenuare să fie pozitivă, rezultând:

2 j +

2 j + σµωσµω

=βα≅γ

43

şi deci α şi β sunt egale numeric:

2 = σµω

=βα

Deoarece σ este foarte mare, α şi β au valori mari. Exemplu Pentru cupru cu σ≅57,8⋅106 Ω– 1⋅ m–1 şi µr = 1 la frecvenţa f = 1 GHz (ω=2π⋅109 rad / sec ):

4769

10 47,8 2

1041057,8102 = ⋅≅⋅π⋅⋅⋅⋅π

=βα−

Atenuarea câmpurilor este, deci, deosebit de rapidă în mediile conductoare. Prin definiţie adâncimea de pătrundere δ a câmpului electromagnetic este distanţa pentru care câmpul se atenuează de e = 2,1783 ori. Cum factorul de atenuare este e–α z, înlocuind z = δ avem e–α z= e–1 şi rezultă:

σµωα

δ

2 = 1 =

Pentru cupru, la f = 1 GHz adâncimea de pătrundere este: m 2,1 = m 10 2,1 m 10

47,81 = 64- µ⋅≅⋅δ −

o valoare extrem de mică. Pentru 10δ câmpul este practic nul, fiind atenuat cu .

( ) ; 10 4,54 e 510 −δ⋅α− ⋅≅

Dar pentru cazul considerat în exemplul numeric 10δ ≅ 21[µm] = 0,021 [mm], adâncime neglijabilă. Se poate spune că propagarea loc practic la suprafaţa conductorului. Impedanţa intrinsecă a unui mediu conductor Zmc, este:

( )j + 1 2 = j

=

j 1

j 11 =

σµω

σµω

−⋅

εµ

≅−

⋅εµ

mmm c kk

Z

Avem deci:

44

µωσ

≅σµω

≅

2 Re 2

Re mcmc YZ ;

Vom evalua Zmc la f = 1 GHz pentru un conductor de cupru cu

[ ] m 10 57,8 116 −−Ω⋅≅σ :

( ) ( )

[ ] [ ]ΩΩ⋅≅

⋅≅⋅⋅

⋅π⋅⋅π

− m 11,7 = 10 1,17

j+ 110 0,83 j + 110 57,8 2

10 4 10 2 =

2

2-6

-79

mc

mc

Z

Z

Mediul conductor poate fi considerat practic ca un "scurtcircuit" pentru câmpul electromagnetic. Lungimea de undă λ, viteza de fază vf şi viteza de grup vg, se calculează cu relaţiile:

0 2 = 2 = →δπβπ

λ

σµω

2 = f

v

σµω

22 =gv

Mediul conductor este dispersiv deoarece vf este funcţie de frecvenţă. Lungimea de undă în vid la frecvenţa de 1 GHz este cm 30

0=λ .

Determinând pentru cupru β ≅ 47,8.10 4, obţinem lungimea de undă în acest mediu conductor λ ≅ 13.10 – 6 [m] =13 [µm].

Se observă că lungimea de undă scade foarte mult comparativ cu vidul, fiind de ordinul de mărime a adâncimii de pătrundere, δ. Observaţii 1. Materialele pentru care km ∈ (0,1 ÷ 10) intră în categoria

semiconductoarelor. 2. Acelaşi mediu poate avea comportări diferite în funcţie de frecvenţă.

De exemplu, pământul uscat prezintă conductivitatea σ = 10– 3[Ω– 1m– 1], 4 ≅ε r şi 1 ≅µ r . La frecvenţa de 1 kHz valoarea constantei km este:

1 >> 4500 = 4 10

361 10 2

10 = 93

3

⋅⋅π

⋅⋅π −

−

mk

45

şi deci pământul poate fi considerat un conductor destul de bun. La frecvenţa f = 1Mhz valoarea constantei km = 4,5⋅, deci poate fi considerat semiconductor.

La frecvenţa f = 1 GHz valoarea constantei km scade de 109 / 103 = 106 ori şi devine km = 4,5⋅10-3 << 1 ceea ce corespunde unui dielectric destul de bun.

Comportarea pamântului uscat la diferite frecvenţe

f km Clasificare 1kHz 4500 conductor 1MHz 4,5 semiconductor 1GHz 4,5⋅10-3 dielectric

Apa de mare are σ ≅ 4 [Ω– 1m– 1], 80 ≅ε r şi 1=µ r .

La frecvenţa de 1 MHz valoarea constantei km este: 1 >> 900 =

80 10 36

1 10 2

4 = 96 ⋅⋅

π⋅⋅π −

mk

apa de mare fiind, la această frecvenţă, un conductor destul de bun. Se poate calcula adâncimea de pătrundere pentru acest caz, ea fiind δ ≅ 25 [cm]. La frecvenţa de 10 Hz adâncimea de pătrundere în apa de mare este de

56 10 = /1010 ori mai mare şi este de ~ 79 [m].

46

Cursul 4

Reflexia şi refracţia undei plane Fie o undă incidentă plană la suprafaţa de separaţie a două medii omogene şi izotrope. Suprafaţa de separaţie va fi considerată plană şi perpendiculară pe axa z. La incidenţa undei pe suprafaţa de separaţie a celor două medii apare un fenomen de reflexie şi unul de refracţie (transmisie). Deoarece viteza de fază a undei într-un mediu se exprimă prin:

c = 1 =

1 = 00 rrrr

fv

µεµεµεµε

iar viteza luminii la propagarea printr-un mediu optic având indicele de refracţie n faţă de vid este:

ncv =

ne aşteptăm să regăsim legile cunoscute din optică unde indicele de refracţie se substituie cu: rrn µε =

Considerăm cazul particular, reprezentat în figură, în care unda incidentă se propagă în lungul axei z, perpendicular pe planul de separare al

z

ε1, µ1, Zm1 ε2, µ2, Zm2 x

Er

Ht

Et Hr

Ei

Hi 0

y

Unda incidentă normală pe direcţia

47

celor două medii. Tipul de polarizare al undei este liniară, dar nu are importanţă dacă este tratată cu polarizare orizontală sau verticală.

Unda reflectată (Er ,Hr) are sensul invers de propagare al axei z. Prin convenţie câmpul electric îşi păstrează orientarea, dar se schimbă sensul câmpului magnetic în unda reflectată. Condiţiile concrete de pe frontiera celor două medii vor decide care este în realitate situaţia.

Se scriu componentele undei directe, reflectate şi transmise ale câmpului electric, respectiv magnetic. z

ii E 1 0

e = γ− iE ; 0z e E Y = z1i01mi ≥

γ−jH z1e E = r0r

γiE ; 0z e E Y = z1r01mr ≤−

γjH z 2e E = t0t

γ−iE ; e E Y = z 2t02mt

γ−jH Câmpul total din mediul 1 rezultă prin însumarea undei incidente cu unda reflectată. Uneori unda incidentă este numită şi undă directă, în timp ce unda reflectată este numită şi undă inversă. În mediul 2 nu avem decât unda directă. Putem scrie:

( ) e E+eE = + = z1z1 r0i0ri1

γγ−iEEE

( ) e EeE Y = + = z1z1r0i01mri1

γγ−−jHHH

z 2e E = = t0t2γ−iEE e E Y j = HH z 2

t02mt2γ−=

Componentele E şi H tangente la suprafaţa de separare (z=0) sunt continue, aşa că

se poate scrie: E= + t0r0i0 EE

( ) 2mt0r0i01m Y E EE Y =−

Se defineşte coeficientul de reflexie Γ la suprafaţa de separare.

i0

r0

EE

=Γ

Se defineşte coeficientul de transmisie prin suprafaţa de separare:

48

i0

t0

EET =

Se rescriu ecuaţiile de continuitate ale componentelor tangente sub forma:

ET= + i0i0i0 EE Γ deci T1 =Γ+

( ) 2mi0i0i01m Y TE EE Y =Γ− deci 2m1m TY)1(Y =Γ−Γ

Rezolvând sistemul cu necunoscutele Г şi T obţinem:

1m2m

1m2m

2m1m

2m1m

+ ZZ Z Z =

+ YY Y Y = −−

Γ

12

2

21

122

mm

m

mm

m

+ ZZ Z

= + YY Y

T =

În absenţa pierderilor,

11 j = βγ şi

22 j = βγ . Aplicând succesiv inegalităţile

cunoscute din operaţiile cu module se deduce valoarea maximă a câmpului electric în mediul 1:

( ) ( ) + 1 = e + e e +e E = 0

j j 0

1 j 1 j 01

ΓΓ≤Γ ββ−ββ−i

zzi

zzi EEE

( ) + 1 E =E i0max1 Γ Deoarece Γ ≤ 1, unda reflectată nu poate să aibă amplitudinea mai mare decât unda incidentă şi obţinem:

i0max1 E 2 E ≤

În mod similar se deduce valoarea minimă a câmpului în mediul 1

( ) 1 = 1 =

= e e e +e =

00

j j 0

j+ j 01

Γ−Γ−

Γ−≥Γ ββ−ββ−

ii

zzi

zzi

EE

EEE

( ) 0 1 =0min1

≥Γ−i

EE

49

În mediul 1 prin suprapunerea dintre unda directă şi unda inversă apare o aşa numită undă staţionară. Unda staţionară este caracterizată de existenţa unor maxime şi minime de oscilaţie ale câmpului electromagnetic, de valoare şi amplasare fixe pe axa z. Se defineşte raportul de undă staţionară în mediul 1 şi este notat cu S, raportul dintre maximul şi minimul câmpului electric:

min1

max1

EE

= S

Raportul dintre maximul şi minimul câmpului magnetic din mediul 1 este de asemenea S:

1 1 + 1

= = = min1

max1

min1

max1 ≤ΓΓ−Γ

, H

H

E

ES

În absenţa reflexiilor Γ = 0 şi în mediul 1 nu apare unda staţionară. Valoarea raportului de undă staţionară este S = 1. Dacă reflexia este totală 1 = Γ şi în consecinţă, S→∞. Valorile raportului de undă staţionară sunt cuprinse între 1 şi infinit: [ )∞∈ 1, S Raportul de undă staţionară este notat şi cu acronimele RUST sau din limba engleză SWR (stationary - wave ratio). Raportul dintre componentele câmpului electric

xEE

11 = respectiv

magneticy

HH11

= este impedanţa de undă:

zz

zz

mzz

zz

im

i

y

x Z EY

E

H

EZ j j

j j

1 j j

j j

01

0

1

11 e e

e +e = e ee +e = = ββ−

ββ−

ββ−

ββ−

Γ−Γ

Γ−Γ

Când avem o undă care se propagă (adică nu avem reflexie Γ=0) numită şi undă

progresivă, impedanţa de undă este egală cu impedanţa intrinsecă a mediului.

1m1 ZZ =

Aplicând inegalităţile cunoscute de la operaţiile cu module se poate demonstra că:

111 1

mmS ZZZ

S≤≤

50

Minimelor câmpului electric le corespund minime ale impedanţei de undă, respectiv maximelor câmpului electric le corespund maxime ale impedanţei de undă.

Cazuri particulare

1. Medii adaptate Două medii se numesc adaptate dacă, deşi sunt de natură diferită, au Zm1= Zm2. În acest caz, Γ=0 şi T=1. Unda incidentă ajunge integral în mediul 2, astfel încât nu se formează o undă staţionară. Există doar o undă progresivă.

2. Mediul 2 este un conductor ideal (cazul scurtcircuitului) Dacă mediul 2 este un conductor ideal, adică σ2→∞ (Zm2=0), coeficienţii de reflexie şi de transmisie sunt: 0 T ; 1 ≅−≅Γ

Adică, unda reflectată are aceeaşi amplitudine ca şi cea incidentă şi cea transmisă

în conductorul ideal este nulă. Din continuitatea componentelor tangenţiale şi ţinând cont de valorile

coeficienţilor de reflexie şi de transmisie se obţine:

0 TE) 1(E EEE i0i 0r0i 0 01 ==Γ+=+= În concluzie la suprafaţa unui conductor ideal , componenta tangenţială a

câmpului electric este nulă. Deci liniile de forţă ale câmpului electric sunt normale la suprafaţa unui mediu conductor ideal.

Din expresia intensităţii câmpului magnetic în mediul 1 obţinem:

( ) 0YE2EE Y = H 1mi0r0i01m01 ≠=Γ− Deci există componentă tangenţială a câmpului magnetic la suprafaţa unui conductor ideal. În mediul 1 apare o undă staţionară având câmpurile date de relaţiile: ( ) ( ) zz

imyzz

ix E = Y H = EE ββ−ββ− − j j 01

j j 0

e + e ; e e Dacă mediul 1 este vidul,

1mY se înlocuieşte cu

0mY iar β se înlocuieşte cu k0. Formulele

lui Euler aplicate relaţiilor anterioare conduc la: cos 2 = ; sin j 2 =

010z EYHzE E

imyix ββ− Câmpurile fizice corespunzătoare fazorilor Ex şi Hy se deduc:

( ) ttzEz E it

ix sin j + cos sin j 2 Re = e sin j 2 Re = 0 j

0 ωωβ−β− ωE

51

cos2Re cos2Re =

0101ωt)jωt(z EYez EY

imtj

imsincosH y +β=β ω

şi sunt:

tz EY tzE imyix cos cos 2 = ; sin sin 2 = 010 ωβωβ HE unde pentru simplificare am considerat că E0i este o mărime reală şi mediul 1 fără pierderi, adică

1mY este mărime reală.

Se observă că fixând z, toate punctele din spaţiu au aceeaşi fază de oscilaţie a câmpului electric respectiv magnetic. În figura se prezintă o imagine tridimensională corespunzătoare unei unde staţionare. Deoarece suprafaţa de separaţie între mediul 1 şi conductorul ideal este plasată la z = 0 şi mediul 1 este plasat în zona z < 0, relaţiile sunt valabile numai pentru z < 0 . Acesta este motivul pentru care în figura s-a considerat axa "– z" şi nu axa "z". Momentul de timp considerat ca iniţial este t = π/(2ω) (pentru care sin(ωπ/2ω)=1). Se observă că amplitudinea oscilaţiei este dependentă conform relaţiei deduse cu sinβz (deci nu este aceeaşi de-a lungul axei z). Există puncte în care oscilaţia este de amplitudine maximă, adică 2 E0i, numite "ventre". Există puncte în care câmpul electric este minim, de valoare zero, numite "noduri" de oscilaţie . Proiecţia oscilaţiilor în planul x0z este reprezentată în figura de mai jos. Distanţa între două noduri consecutive este o semilungime de undă, λ/2. Aceeaşi distanţă există şi între două ventre consecutive. În cazul în care mediul 2 nu este un conductor ideal, dar este totuşi un conductor bun, minimele de oscilaţie, deşi foarte reduse ca şi amplitudine, nu sunt nule.

t0= π /2ω

t t t t t t

t

– z

Ex

Forma de variaţie a câmpului electric al unei unde staţionare Momentul de timp iniţial considerat este t0= π /(2ω)

52

Aspecte ale propagării undei

Polarizarea undei

Polarizarea undei este o proprietate importantă dezvoltată ptr. a descrie diferitele tipuri de variaţii ale câmpului şi orientări. Polarizarea este specifică undelor transversale (în orice punct oscilaţia se face în plan perpendicular pe direcţia de propagare). Polarizarea este legată de modul în care direcţia de oscilaţie se modifică în timp Există 4 tipuri de polarizare într-un plan perpendicular pe direcţia de propagare:

• Liniară sau plană • Circulară • Eliptică • Aleatoare Pentru polarizarea liniară orientarea câmpului este constantă în timp şi spaţiu.

In cazul polarizării liniare a undei electromagnetice, vectorul câmp electric E oscilează în fiecare punct de pe direcţia de propagare pe o direcţie constantă în timp. Dacă UEM se propagă în vid sau în mediu omogen şi izotrop fără sarcini libere, oscilaţia se face pe aceeaşi direcţie în orice punct de pe direcţia de propagare. Aceasta se întâmplă practic în atmosfera de joasă altitudine.

Uzual se utilizează: - unde cu polarizare verticală în cazul în care vectorul E rămâne tot timpul perpendicular pe suprafaţa de referinţă, care de obicei este pământul -unde cu polarizare orizontală, în cazul în care vectorul E rămâne tot timpul paralel cu suprafaţa de referinţă

Repartiţia câmpului electric al undei staţionare în lungul axei z, la diferite momente de timp, t0 ÷ t4

ωπ

=65

1t

ωπ

=2

tωπ

=67

3t

ωπ

=23

4tω

π=

20t

0

2E0i

–2E0i

λ / 2 NOD

VENTRU

E

– z

λ / 2

53

Figura de mai jos reprezintă o undă cu polarizare liniară de tip vertical (a) şi una cu polarizare liniară de tip orizontal (b) Fie două unde ortogonale care se propagă în direcţia axei z. Câmpul rezultant poate fi scris ca:

( ) ( ) ( )[ ] t j jy

jx ee z ,y ,xEjez ,y ,xEit ,z ,y ,xE yx ωφφ ⋅+⋅=

Respectiv cele două componente ale câmpului fizic sunt:

)φγ ωcos( Ee ERe 0x)φγ ωj(

0x xzt ztE x +−== +−

x

)φγ ωcos( Ee ERe 0y)φγ ωj(

0y yzt ztE y +−== +−

y Pentru polarizarea liniară diferenţa de fază între componentele pe axa x, respectiv pe axa y trebuie să fie un multiplu de π:

Nnnxy ∈π=φ−φ=φ∆

Dacă se observă unda în direcţia de propagare , vectorul câmpului electric se deplasează de-a lungul unei linii, de unde şi denumirea de "polarizare liniară".

Se demonstrează că între două unde cu polarizare ortogonală, nu apare nici o

interacţiune (interferenţă), chiar dacă au o aceeaşi frecvenţă ω. Astfel încât două unde ortogonale având o aceeaşi frecvenţă pot transporta informaţii distincte, fără a se perturba reciproc.

Fie componentele celor 2 unde:

e Y E = e YE =

e E = e E = z j

m0y2z j

m0x1

z j 0y2

z j 0x1

β−β−

β−β−

− iHjH

jE iE

(S-a considerat sensul de propagare al energiei, dat de vectorul Poynting, sensul pozitiv al axei z, de unde semnul – în faţa componentei H2)

a)Undă cu polarizare verticală b)Undă cu polarizare orizontală

SUPRAFAŢA DE REFERINŢĂ (PĂMÂNTUL)

SUPRAFAŢA DE REFERINŢĂ (PĂMÂNTUL)

E1 = EV

z

y

x

H1 = Hh

E2 = Eh

H2 = HV

x

z

y

54

Unda rezultată prin suprapunerea celor două unde cu polarizare diferită are componentele

21 + = EEE şi

21 + = HHH date de relaţiile:

( ) ( ) e + = e + = j

0x0y j

0y0x z

mz YEEEE β−β− − jiHjiE ;

În absenţa pierderilor avem pentru vectorul Poynting:

( ) ( )

−×× ββ−

2

0y

2

0x

j*0x

*0y

j 0y0x

*

+ 21 =

= e + e + 21 =

21

EEY

YEEEE

m

zm

z

k

jijiHE

Deoarece:

m2

0xz j

m*0x

zj 0x

*11 YE

21 =e Y E e E

21 =

21 kjiHE ββ− ××

( ) m2

0yz j

m*0y

z j 0y

*22 YE

21 =e Y E e E

21 =

21 kijHE ββ− −××

Se poate observa că:

**2211

* 21 +

21=

21 HEHEHE ×××

Prin integrarea ultimei expresii se obţine concluzia că P puterea transportată

de unda rezultantă se exprimă prin suma puterilor P1 şi P2, corespunzătoare celor două unde componente cu polarizare ortogonală:

21 + PP = P

Deoarece în această expresie nu apare o putere de interacţiune dintre unde, nu există influenţă reciprocă (interferenţă).

O undă cu polarizare liniară poate fi generată cu o antenă simplă, ca de ex. un

dipol, sau cu lasere. Undele polarizate circular au o amplitudine constantă a câmpului electric şi

orientare a acestuia ce se roteşte într-un plan transversal pe direcţia de propagare.

55

Componentele Ex respectiv Ey au aceeaşi amplitudine E0x= E0y şi un defazaj

multiplu impar de π/2

Nn)n221(xy ∈π+±=φ−φ=φ∆

Cele două componente ale câmpului electric se rotesc în jurul axei de propagare

în timp şi spaţiu. Oscilaţia rezultantă este constantă în orice moment dar direcţia de oscilaţie se roteşte cu viteza ω. Vectorul câmpului electric descrie un cerc adică proiecţia curbei descrisă de vârful vectorului E pe planul x0y este un cerc.

Dacă vectorul rezultant se roteşte în sens trigonometric, polarizarea circulară se numeşte pozitivă Dacă vectorul rezultant se roteşte în sens invers trigonometric, polarizarea circulară se numeşte negativă

Dacă se are în vedere faptul că unda se propagă în lungul axei z cu viteza de fază vf constantă, vârful vectorului câmp electric descrie în spaţiu o elice înfăşurată pe un cilindru cu secţiunea circulară.

Undele polarizate circular pot fi generate de antene elicoidale sau de 2 surse liniare orientate perpendicular una pe cealaltă şi alimentate cu curent defazat cu 90 grade.

O undă polarizată eliptic are un câmp electromagnetic ce trasează o elipsă în plan transversal, x-y. pe măsură ce variază în timp. O undă polarizată eliptic are amplitudinea oyox EE ≠ şi un defazaj multiplu impar de π/2.

Nn)n221(xy ∈π+±=φ−φ=φ∆

a) Câmp cu polarizare b) Câmp cu polarizare circulară pozitivă circulară negativă

0E

t sin 0

ωE

0 t = ωψ

t cos0

ωE

y

ΔΦ = 90°

x

0Et sin

0ω− E0 t = ω−ψ

t cos0

ωE

y

x

ΔΦ = -90°

56

Vârful vectorului câmp electric descrie în spaţiu o elice înfăşurată pe un cilindru cu secţiunea eliptică.

Polarizarea liniară şi circulară sunt cazuri particulare ale polarizării eliptice.

Polarizările prezentate sunt deterministe, adică câmpul electric poate fi descris ca

o funcţie de timp şi spaţiu. Dacă câmpul electromagnetic este aleatoriu, polarizarea se numeşte aleatoare. Ex sunt undele radiate de soare şi stele.

Propagarea în atmosferă Propagarea undei are loc arareori în condiţiile ideale presupuse anterior. Analiza comunicaţiilor în microunde trebuie să ţină cont de prezenţa

• pământului • ionosferei • precipitaţiilor atmosferice ca ceaţa, ploaia, zăpada şi grindina

Cele două straturi ale atmosferei importante ptr. propagarea undelor radio sunt troposfera şi ionosfera. Troposfera este regiunea atmosferei neionizată, ce se întinde de la suprafaţa pământului până la 15 km. Troposfera influenţează semnificativ propagarea undelor la frecvenţe 100MHz-300GHz, uzual utilizate de radare. Ionosfera este stratul superior al atmosferei, de la altitudinea de 50 km până la o distanţă egală cu raza pământului, de aproximativ 6370 km. Aici ionizarea influenţează propagarea.

Undele electromagnetice se pot propaga deasupra pământului în mai multe moduri, ilustrate şi în figura de mai jos:

• unde de suprafaţă sau terestre (surface wave) - radiate orizontal, care se propagă de-a lungul suprafeţei Pământului

• unde radiate sub un unghi oarecare faţă de suprafaţa pământului, care la rândul lor, se subîmpart în:

• unde troposferice, (space wave) care se propagă prin troposferă respectând legea variaţiei câmpului electromagnetic cu distanţa

• unde ionosferice, (sky wave) care sunt absorbite slab în păturile puţin ionizate ale atmosferei şi ajung la ionosferă unde se produce refracţia lor

57

Moduri de propagare ale undelor

Undele de suprafaţă Undele de suprafaţă se propagă la frecvenţe joase (2-5MHz aprox) şi sunt direcţionate de-a lungul suprafeţei pe care se propagă Intensitatea undelor de suprafaţă variază cu frecvenţa şi variază în funcţie de caracterul suprafeţei pământului. Pentru o frecvenţă dată, unda electromagnetică se propagă mai departe la suprafaţa mării (2 MHz/0,5 Kw/800 km) decât deasupra pământului (2 MHz/0,5 Kw/320 km). Odată cu creşterea frecvenţei, curenţii (de valori mici) induşi în mediu cresc, pierderile de căldură cresc şi ele, iar unda se propagă la distanţă mai mică.

Unda terestră este polarizată vertical, adică câmpul ei electric este perpendicular pe suprafaţa Pământului. Componenta orizontală este absorbită datorită conductibilităţii Pământului.. Deoarece propagarea undelor de suprafaţă depinde de conductivitatea pământului, unda este mai puternic atenuată decât în mediul liber. Undele ionosferice sunt direcţionate către ionosferă. Aceste unde sunt absorbite slab în păturile puţin ionizate ale atmosferei şi ajung la ionosferă care le retransmite către pământ în anumite condiţii şi într-un domeniu de frecvenţă limitat (0-50MHz aprox) Propagarea undelor ionosferice este puternic dependentă de condiţiile ionosferei ( de nivelul de ionizare) şi de frecvenţa semnalului Deoarece în ionosferă, ionizarea şi εr variază treptat, calea undelor radio prezintă o curbură lină şi nu o linie frântă. Cu cât λ este mai mare şi cu cât ionizarea este mai puternică, cu atât mai curbat va fi traseul undei. Trecând prin păturile ionizate, undele nu sunt numai refractate, dar şi absorbite, absorbţia crescând odată cu λ. Deoarece înălţimea şi gradul de ionizare ale păturilor ionosferei variază funcţie de zi, noapte, anotimpuri, drumul undelor spaţiale variază şi el, ceea ce explică fenomenul de extincţie al semnalului (fenomenul de „fading”). Este dificil de luptat cu acest fenomen; mijlocul cel mai eficace îl constituie recepţia simultană pe 2 – 3 antene, la distanţe de 200 –300 m una de alta. Din diagramele de propagare se poate trage concluzia că pentru emisiile radio din cursul nopţii trebuie folosite frecvenţe joase. Pentru emisiile din cursul zilei, pentru aceleaşi distanţe, frecvenţa trebuie mărită.

Atenuarea în atmosferă variază aleator în timp de la zero în atmosferă ideală (limpede) până la zeci de dB. Ca urmare, nivelul semnalului recepţionat suferă modificări, fluctuaţii: rapide, numite scintilaţii şi lente - atenuări (fading). La acestea se

58

adaugă fenomenul numit depolarizare cauzat de rotirea planului de polarizare al oscilaţiilor undelor electromagnetice la trecerea prin medii ionizate (efect Faraday) şi prin zone cu ploaie şi cristale de gheaţă.

Efectul depolarizării la receptor în cazul unei transmisiei a două unde polarizate ortogonal

Atenuarea şi depolarizarea sunt determinate de interacţiunea UEM cu particulele

componente ale atmosferei: electroni şi ioni liberi, atomi şi molecule, vapori de apă, picături de apă (ploaie, ceaţă), particule de gheaţă, particule în suspensie (fum, freon, ...) etc. Aceste interacţiuni depind mult de frecvenţa UEM, devenind deosebit de intense peste 10GHz, cu excepţia efectului Faraday. De fapt, 10GHz este adesea considerată o limită difuză (imprecisă, largă) în legătură cu propagarea UEM în atmosferă: se tratează separat propagarea UEM cu frecvenţe sub şi peste 10GHz. Atenuările datorate absorbţiei moleculare O parte din energia UEM este absorbită de moleculele diverselor gaze şi de apă (vapori) din atmosferă. La anumite frecvenţe apar fenomene de rezonanţă şi absorbţia creşte foarte mult. Cercetările au arătat că există: - absorbţii de rezonanţă cu moleculele de apă (vapori) apar la circa 22.235GHz; - absorbţii de rezonanţă cu moleculele de oxigen apar între 56.5GHz şi 65.2GHz; - alte absorbţii de rezonanţă apar la peste 100GHz.

In afara frecvenţelor de rezonanţă absorbţiile pot fi neglijate, determinând atenuări sub 1dB. Evident, frecvenţele de rezonanţă sunt cu mare grijă evitate. Scintilaţiile ionosferice La unghiuri de elevaţie mici, de ordinul a 5º, UEM parcurg trasee foarte lungi în ionosferă, zonă cu mari concentraţii de electroni liberi şi în general turbulentă. In ionosferă se produc variaţii rapide ale indicelui de refracţie şi deci direcţiile de propagare ale semnalelor se modifică. Această modificare în propagare determină scăderea nivelului semnalului recepţionat, deoarece antenele sunt directive. O altă consecinţă este apariţia interferenţelor între semnalele defazate (care au parcurs drumuri diferite) ceea ce determină variaţii ale amplitudinii şi fazei semnalelor recepţionate. Turbulenţa ionosferică determină şi variaţii rapide ale absorbţiei de energie. Consecinţa acestor fenomene este că puterea semnalului demodulat prezintă variaţii rapide, scintilaţii ionosferice (de ordinul a x0.1Db). Scintilaţiile sunt cu atât mai mari cu cât antenele sunt mai directive şi unghiurile de elevaţie mai mici.

59

Ca urmare, se evită recepţia sub elevaţii mici sau se realizează abordează problema prin proiecte speciale.

Deşi undele de suprafaţa şi cele reflectate de ionosferă sunt importante în multe aplicaţii, vom considera în cele ce urmează doar undele spaţiale -troposferice.

60

Cursul 5

Undele troposferice constă dintr-o undă directă şi una reflectată. Unda directă se

propagă de la emiţător la receptor pe o traiectorie aproape rectilinie, iar unda reflectată se datorează reflexiei de pământ. Undele spaţiale respectă legile opticii.

Figura de mai jos prezintă transmisia energiei între antena de emisie şi cea de recepţie. Puterea undei scade pe măsură ce este radiată de la emiţător la receptor, aşa cum s-a dedus anterior pentru unda plană.

kcose Z2E

P mz 2

2

m

0 α−≈

Presupunând că antena este în mediul liber sau într-unul fără pierderi, puterea recepţionată de antena de recepţie este dată de ecuaţia de transmisie Friis:

t

2

rtr Pr4

GGP

πλ

=

Unde: • Pt este puterea transmisă • Gt (Gr )este câştigul antenei de transmisie (respectiv recepţie) • r este distanţa dintre antene • λ este lungimea de undă

Antena de transmisie şi cea de recepţie în mediul liber

Relaţia de mai sus este valabilă în cazul în care distanţa dintre antene r>2D2/λ, unde D este cea mai mare dimensiune a antenelor. Relaţia de mai sus arată că puterea recepţionată scade cu 20 dB pe decadă proporţional cu distanţa. Dacă propagarea nu este în mediul liber se introduce un factor de corecţie F, numit factor de atenuare, ptr. a lua în considerare efectele mediului

0

m

EEF =

unde • E0 este câmpul electric în mediul liber • Em este câmpul electric într-un mediu oarecare

Expresia puterii devine

61

2t

2

rtr FPr4

GGP

πλ

=

Din motive practice, uzual P se exprimă în dB. Expresia de mai sus devine:

m0rttr LLGGPP −−++= unde

• P este puterea în dB raportată la 1W (10log P(W)/1W) • G este câştigul exprimat în dB • L0 este atenuarea în mediul liber şi se determină din nomograme sau cu relaţia:

λπ

=r4log20L0

• Lm este atenuarea în mediu

Flog -20Lm =

Efectul pământului

Fenomenul de propagare al undei pe căi multiple îndepărtează semnificativ condiţiile de propagare de cazul ideal şi se referă la posibilitatea propagării undei pe diferite traiectorii de la emiţător la receptor. Există în esenţă 2 căi de propagare a undei :

• directă prin atmosferă • indirectă prin reflexie şi refracţie la suprafaţa de separare între atmosferă şi

pământ

Căi de propagare ale undei în atmosferă

Componentele reflectate şi refractate sunt uzual separate în:

• Componenta coerentă – bine definită din punctul de vedere al amplitudinii, fazei şi direcţiei de incidenţă. Principala caracteristică este faptul că respectă legea de reflexie a lui Snell care cere ca unghiul de incidenţă şi reflexie să fie

62

egale şi coplanare. Este o undă plană şi deci este unic specificată prin direcţia sa

• Componenta difuză sau incoerentă este dependentă de natura aleatorie a suprafeţei de dispersie, deci este nedeterministă. Nu este o undă plană şi nu respectă legea de reflexie a lui Snell.

Se defineşte factorul de atenuare care evidenţiază diferenţele faţă de condiţiile propagării în mediul liber

∆−θρΓ+= js DeS1F )(

unde: • Г este coeficientul de reflexie Fresnel- care ţine cont de proprietăţile

electrice ale suprafeţei pământului )1,0(∈Γ Acesta depinde de:

- permitivitatea complexă a suprafeţei εc

0rc

jωε

σ−ε=ε

-unghiul de incidenţă ψ - polarizarea undei, respectiv orizontală sau verticală

• ρs, este coeficientul de rugozitate, )1,0(s ∈ρ şi ţine cont de faptul că pământul nu este suficient de neted pentru a produce o reflexie coerentă decât la un unghi de incidenţă foarte mic. Suprafaţa pământului are dealuri, vegetaţie, păduri , oceane cu valuri. Uzual distribuţia diferitelor obstacole pe suprafaţa pământului este gaussiană.

• D este factorul de divergenţă )1,0(D∈ este semnificativ la unghiuri de incidenţă ψ foarte mici şi ţine cont de împrăştierea razelor reflectate datorită curburii pământului în raport cu o suprafaţa plată.

• Δ este diferenţa de fază între unda directă şi cea reflectată:

)RRR(2d21 −+

λπ=∆

unde R1, R2 şi R3 sunt distanţele în conformitate cu figura de mai jos

63

Geometria reflexiei sferice la suprafaţa pământului

• S(θ) este o funcţie de umbrire , importantă la un unghi de incidenţă mic şi apare datorită efectului de umbrire geometrică - unda incidentă nu poate ilumina porţiunile umbrite de obiecte înalte

Efectul de umbrire la o incidenţă sub un unghi θ

Efectele precipitaţiilor

Particulele de praf din atmosferă şi precipitaţiile (ploaia, cristalele de gheaţă de la altitudini mari, zăpada) influenţează propagarea undelor electromagnetice. Această influenţă este relativ redusă dar neneglijabilă la frecvenţe sub 10GHz şi devine esenţială la frecvenţe mai mari de 10 GHz. Ploaia este factorul dominant care determină atenuare, prin absorbţia energiei undei electromagnetice de către picături, diferenţe de fază, distorsionarea traiectoriei şi depolarizarea undelor electromagnetice. Efectul de depolarizare prezintă un interes deosebit atunci când ptr. dublarea capacităţii de transmisie a sistemului se utilizează polarizări ortogonale ale semnalelor

Fenomenul de depolarizare Ptr. semnalele analogice ploaia are influenţă în special peste 10 GHz.şi ptr cele digitale sub 3 GHz. Ploaia afectează atât legăturile terestre cât şi cele pământ satelit. Atenuarea determinată de ploaie este dată de relaţia:

)()()( RpRlRL em γ= unde:

64

• R este intensitatea ploii (rainfall rate), este cantitatea de apă care cade pe unitatea de suprafaţă în unitatea de timp (kg/m2 s), adică înălţimea stratului de apă colectat în unitatea de timp exprimat în mm/oră (la o ploaie slabă R = 0.25mm/oră, la una intensă R = 20mm/oră; valorile peste 100mm/oră apar rar, pe durate scurte);

• γ(R) este atenuarea specifică (pe unitatea de lungime) măsurată în dB/km, la o intensitate R a ploii;

• le este distanţa caracterizată prin ploaie de intensitate R; • p(R) este procentul de timp dintr-un an în care se realizează R mai mare decât o valoare

dată –care se numeşte probabilitatea de distribuţie cumulativă sau curba excedentului. Acest termen este dependent de cantitatea totală de apă colectată într-un an (media pe mulţi ani) şi de raportul de apariţie a furtunii.

Global, pe arii extinse (ţări, continente), ploaia se caracterizează prin curbe de egală intensitate şi egală probabilitate. Mai exact, pe hartă se trasează curbe care unesc punctele în care o intensitate dată (10mm/h, 20mm/h, ...) depăşeşte un procent de timp pe an (de exemplu 0.01%). Aceste curbe sunt rezultatul medierii rezultatelor observaţiilor pe mulţi ani. Calculele riguroase ţin cont de distribuţia mărimii picăturilor de ploaie, de viteza picăturilor şi de indicele de refracţie. Din punct de vedere ingineresc este unanim acceptată o formulă empirică:

baRR =γ )(

unde a şi b sunt constante tabelate (CCIR Center for Communication Interface Research, Report 564-2, 1982) şi diferă puţin în funcţie de polarizare (orizontală sau verticală). Într-o primă aproximare pentru calcule puţin precise, se pot considera următoarele valori : a=6,9.10-5f2,03 pentru f<2,96GHz; b=0,851.f0,138 pentru f<8,5,GHz

Efectele altor fenomene meteorologice, (vaporii, ceaţa, zăpada şi gheaţa) sunt guvernate de aceleaşi principii ca şi ploaia, dar sunt mai mici cu cel puţin un ordin de mărime.

Propagarea undei electromagnetice prin structuri ghidate

Propagarea eficientă a undei electromagnetice dintr-un punct în altul se poate face în mod ghidat prin linii de transmisie şi ghiduri de undă.

Pe măsură ce creşte frecvenţa, dimensiunile circuitelor devin comparabile sau chiar mai mari decât lungimea de undă. De exemplu la frecvenţa de 100 MHz lungimea de undă în vid este de 300 cm, devenind comparabilă cu dimensiunile unor circuite din aparatul de radio (dimensiunile unui aparat de radio sunt uzual sub 50 cm). Localizarea inductivităţilor, capacităţilor şi a rezistenţelor "pure" nu mai este posibilă, apărând aşa numitele elemente de circuit "parazite". Elementele de circuit sunt "distribuite" în lungul unei structuri de transmisie.

Pentru a studia comportarea semnalelor electronice la frecvenţe înalte, unde acestea se consideră unde electromagnetice, există mai multe concepte. Cea mai simplă, teoria liniilor de transmisie consideră propagarea unidimensională şi variaţiile mărimilor

65

caracteristice pe linie din punctul de vedere al unor parametrii distribuiţi într-un circuit echivalent. Liniile de transmisie sunt destinate transmiterii energiei electromagnetice la f mai mici de 10 GHz (λ>3cm). Pentru ghiduri propagarea undei se studiază pornind de la ecuaţiile lui Maxwell. Majoritatea structurilor de ghidare se bazează pe un mod singular de propagare, restricţionat la o singură direcţie. Aceasta permite clasificarea undelor conform proprietăţii de polarizare în moduri TE (Ez=0) TM (Hz=0) şi TEM(Ez=0, Hz=0).

Linii de transmisie

Generalităţi privind circuitele cu constante distribuite Rezolvarea circuitelor cu constante distribuite (numite şi linii lungi) nu se mai poate realiza aplicând teoremele lui Kirchhoff laturilor şi nodurilor sale. Este necesară determinarea regimului local de tensiune şi curent, pentru fiecare element de circuit de lungime infinitezimală. Fiecărei porţiuni infinitezimale de circuit i se asociază un circuit cu parametri concentraţi, dar având valori infinit mici.

Segmentele de linie se utilizează ca circuite selective rezonante, filtre, circuite de adaptare, cuploare. .

Linia bifilară simetrică

Linia coaxială

Linia microstrip simetrică

66

Figurile de mai sus prezintă câteva tipuri de linii utilizate în domeniul frecvenţelor înalte. Linia bifilară simetrică este compusă din doi conductori înglobaţi într-o panglică de dielectric. Impedanţa ei caracteristică este uzual 300 [Ω]. Linia coaxială este asimetrică şi are un conductor interior - firul "cald" – un conductor exterior - "cămaşa" - şi un dielectric ce umple spaţiul dintre cele două conductoare. Impedanţele caracteristice uzuale sunt 50[Ω] şi 75 [Ω]. Linia microstrip asimetrică este compusă dintr-un conductor ce formează planul de masă şi conductorul "cald", separate de un suport dielectric. Linia microstrip se utilizează în construcţia circuitelor integrate pentru microunde. Impedanţa ei caracteristică este adaptată cerinţelor circuitului integrat.

Ecuaţiile liniei de transmisie omogene în regim armonic Un tronson de linie este caracterizat de:

• rezistenţa liniară pe unitatea de lungime R [Ω/m]; • inductivitatea pe unitatea de lungime, L [H/m]; • conductanţa pe unitatea de lungime, G [Siemens/m]; • capacitatea pe unitatea de lungime, C [F/m]. În cazul liniei omogene mărimile σ, ε, caracteristicile anterior enumerate şi dimensiunile sunt

constante în lungul liniei (sunt independente de variabila z). Considerăm axa pe care se măsoară lungimea axa z. Fie o linie omogenă, fiind date U şi I într-un punct al liniei de transmisie se pune problema determinării acestor variabile într-un punct oarecare pe linie, cunoscând parametrii liniei şi frecvenţa generatorului. Fie un segment de linie de lungime infinitizetimală dz şi schema sa echivalentă, reprezentate în figura de mai jos. Dacă tensiunea şi curentul sunt U(z, t) şi respectiv I (z, t) utilizând legile lui Kirchoff se pot scrie relaţiile:

( ) ( ) ( ) ( )tdUzCdUzG

tzLzR

)U(

d + )(U d = I d ; I

d + I d = dU∂+∂

+−∂∂

−

Segment de linie de lungime infinitezimală dz şi schema sa echivalentă

dz A

A' B'’

B Rdz Ldz

Gdz

dI

(I+dI

Cdz U+dU U

- dU

I

67

Dacă neglijăm termenii infitezimali de ordinul doi, ţinând cont de faptul că dU<<U, obţinem:

( ) ( ) ( ) ( )t

zCzGt

zLzR U

d + U d = I d ; I

d + I d = dU∂∂

−∂∂

−

Se asociază în regimul armonic monocromatic cu frecvenţa ω, tensiunii U(z, t) şi curentului I(z, t), fazorii U(z), respectiv I (z): tωtω zz ItzUtz j j e Re = ) ,(I ; e Re = ) ,(U )()( Ecuaţiile pot fi scrise în complex sub forma: ( ) ( ) z UCGIz ILRU d j + = d ; d j = d ω−ω+− Împărţind relaţiile anterioare la dz se obţin ecuaţiile:

( ) ( )UCG zIILR

zU j + =

d d ; j =

dd ω−ω+− (1)

Se derivează fiecare ecuaţie în raport cu z şi rezultă două ecuaţii cunoscute şi sub denumirea de "ecuaţiile telegrafiştilor"::

( ) ( )z

UCGzI

zILR

zU

d d j + =

dd ;

d d j =

dd 2

2

2

2

ω−ω+−

Se substitue derivatele de ordinul întâi utilizând ecuaţiile (1) anterioare:

( ) ( ) ICGLRzIUCGLR

zU j + ( ) j =

dd ; j + ( ) j =

dd 2

2

2

2

ωω+ωω+ (2)

Se notează cu γ constanta de propagare: ( ) ( ) j + = j + j = βαωω+γ CGLR (3) şi se obţin ecuaţiile diferenţiale ale liniei omogene în regim armonic monocromatic:

IzIU

zU =

dd ; =

dd 2

2

22

2

2

γγ (4)

Această formă reprezintă bine cunoscuta ecuaţie a undei, care ne arată că o linie de transmisie va suporta propagarea unei unde electromagnetice în lungul axei z. Soluţiile acestor două ecuaţii sunt:

68

zzzz CCICCU zz 4

3

2

1

e + e = ; e + e = )()( γγ−γγ−

Se consideră că la z = 0, U = U 0 şi I = I0 ., adică

430210

+ = ; + = CCICCU (5)

Dacă se impun condiţiile iniţiale în ecuaţiile (1) se obţine:

( ) ( )

( ) ( )00 =

4

3

00 =

2

1

j + = e + e

j + = e C + e

UCGCC

ILRC

z

zz

z

zz

ωγγ−−

ωγγ−−

γγ−

γγ−

( ) ( )

( ) ( ) 043

021

U C ωj + G = C - C γI L ωj + R = C C γ −

Se rezolvă sistemul anterior de ecuaţii cu necunoscutele C1 ÷ C4 şi ţinând cont de relaţiile

(3) se obţin soluţiile:

j + j + = ;

j + j + =

j + j +

21 = ;

j + j + +

21 =

2413

002001

LRCGCC

LRCGCC

ICGLRUCI

CGLRUC

ωω

ωω

ωω

ωω

−=

−

Se defineşte impedanţa caracteristică a liniei şi se notează cu Z c expresia:

CGLRZc j +

j + = ωω

(6)

Înlocuind în expresiile constantelor C1 ÷ C4 impedanţa caracteristică :

c

c

c

ccc

Z

IZUC

Z

IZUC

IZUC

IZUC

2 = ;

2

+ = ;

2 = ;

2 = 00

400

300

200

1

−−

−+

0 l z

IS US

ZS I0

U0 Zg

Eg

Linia de transmisie

69

Substituind soluţiile C1 ÷ C4 în expresiile I(z) şi U(z) se obţine:

zczc IZU IZUzU 00 00 e

2 + e

2

+ = )( γγ− −

(7)

z

c

cz

c

c

Z

IZU

Z

IZUzI 00 00 e

2 e

2

+ = )( γγ− −

−

Aceste două ecuaţii reprezintă ecuaţiile liniilor de transmisie sub formă exponenţială. Deoarece

2eezsh

zz γ−γ −=γ

2eezch

zz γ−γ +=γ

Ecuaţiile (7) se pot rescrie şi sub forma hiperbolică:

zsh zch= )( 00 γγ IZUzU c− (8)

zsh

zch

= )( 00 γγcc Z

UZ

UzI −

Linia de transmisie de lungime infinită

Fie o linie de lungime infinită. Se fixează originea într-un punct arbitrar în care tensiunea se notează cu Ui şi curentul Ii. Se calculează U(z) şi I(z) aplicând relaţiile (7), în care U0 şi I0 se înlocuiesc cu Ui şi Ii şi se evidenţiază partea reală respectiv partea imaginară a constantei de propagare γ:

zz

c

icizz

c

ici

zzicizzici

Z IZU

Z IZ+U

zI

IZU IZUzU

j j

j j

e e 2

e e 2

= )(

e e 2

+ e e 2

+ = )(

βαβ−α−

βαβ−α−

−−

−

(9)

Pe linia de lungime l infinită există doar o undă directă

0 l→ ∞

z I(z)

U(z) Ii

Ui

A B

A' B' C’

C

→ ∞

70

Termenii ce conţin factorul z e α− descresc odată cu creşterea distanţei z, deci corespund unor unde a căror amplitudine scade de la generator spre sarcină, adică undelor directe. Termenii ce conţin factorul e zα descresc de la sarcină spre generator şi corespund unor unde inverse, care apar datorită reflexiilor de pe sarcină. Dacă linia este infinit lungă, nu există undă inversă şi egalând cu zero termenul corespunzător din (9) rezultă:

0 = I Z U ici − sau ci

i Z= I

U (10)

În consecinţă impedanţa de intrare a liniei de lungime infinită, măsurată spre dreapta planului AA' -din figura următoare este Z c. Substituind (10) în ecuaţiile (9) rezultă:

zz

c

izzi Z

UzI UzU j j e e = )( ; e e = )( β−α−β−α− (11)

din care se obţine:

ZzIzU

c = )()(

(12)

Linia de lungime infinită B-B ' ÷ C-C ' are la intrarea sa o impedanţă, văzută spre dreapta egală cu impedanţa caracteristică Zc. Linia de lungime infinită poate fi înlocuită cu Zc, (segmentul de linie A-A ' ÷ B-B ' este terminat pe impedanţa caracteristică, Zc ). În concluzie: 1) O linie infinit lungă prezintă la intrarea sa o impedanţă egală cu impedanţa caracteristică. 2) O linie terminată pe impedanţa caracteristică prezintă la intrarea sa, indiferent de lungime, o impedanţă egală cu impedanţa caracteristică

Segmentul B-B’ ÷ C-C' se substituie cu impedanţa sa de intrare Zc. segmentul A-A' ÷ B-B' este terminat pe Zc.

Zc U Ii Ui

A B

A' B' C'

C

Zc

B

B' Zc

→ ∞

71

Cursul 6

Linia de transmisie de lungime l

Se consideră originea în sarcină, aşa cum se arată şi în figura următoare şi se calculează U(z) şi I(z) pentru z = – l . Pentru a determina U(z) şi I(z) se consideră în ecuaţiile (7): U0 = Us, I0 = Is şi z = – l. Se obţin astfel relaţiile:

( ) l I Z+ l U = e I ZU

+ I Z+U

= scsl scslscs sh γch γ

2e

2lU γ−γ −

(13)

( ) l ZU

+ l I = Z

I ZU

ZI Z+U

= lIc

ss

l

c

scsl

c

scs sh γγche2

e2

γ−γ −−

Se consideră o linie fără pierderi, adică R = 0 şi G = 0. Din relaţia (6) rezultă

LC = = ωβγ jj CL = Zc

Cele două relaţii (13) devin în aceste condiţii (α=0):

( ) l I Z + l U = I ZU

+ I Z+U

= lU scsl scsl scs β

− β−β sin jcos β e2

e2

jj (14)

( ) l ZU + l I =

ZI ZU

Z

I Z+U = lI

c

ss

l

c

scsl

c

scs ββ−

− β−β sinjcose2

e2

jj

Impedanţa de intrare, văzută spre dreapta segmentului de linie B-B ' ÷ C-C ', este:

( ) ( )( ) l tg

IU j + Z

l tg Zj + IU

Z= l sin

ZU j + l cos I

l sin I Zj + l cos U = lIlU = lZ

s

sc

cs

s

c

c

ss

scsi

β

β

ββ

ββ

Deoarece Us / Is = Zs, impedanţa Zi(l) este:

Linie terminată pe sarcina ZS

z = – l

l z

IS US ZS I(l)

Zg

Eg U(l)

Z(l)

A B C

A' B' C'

0

72

( )l tg Zj +Zl tg Zj + Z Z= lZ

sc

cs ci β

β (15)

Exprimând în relaţia(15) impedanţele în funcţie de admitanţe Y(l) = 1/ Z(l), Yc = 1/ Zc şi Ys = 1/ Zs se obţine:

( )l tg Y j +Yl tg Y j + YY = lY

sc

cs ci β

β (16)

Din punctul de vedere al formalismului matematic relaţiile (15) şi (16) sunt identice. De observat că în conformitate cu convenţia adoptată sensul pozitiv de deplasare, adică de creştere al lui l, este sensul de la sarcină spre generator.

Parametrii secundari ai liniei

Constanta de propagare γ - relaţia (3) se poate scrie şi ca:

C j

G + L j

R + C L = ωω

ωγ 1 1j

La frecvenţe mari 1 << L

Rω

şi 1 << C

Gω

. Deoarece pentru 1 << x se poate face

aproximarea 211 x/ + x + ≅ şi γ se poate exprima prin relaţia:

ωω

ω≅

ω

ω

ω≅γC

G + L

R + C L C

G + L

R + C L j2j2

1jj2

1j2

1j

Se obţine:

C L LC R +

CLG ω+

≅γ j

21

Impedanţa caracteristică Zc, se poate aproxima astfel:

CL

CG

LR

CL

CG

LR

CL

CG

LR

CL

CGLRZc

≅

−+≅

≅

+

+

≅+

+=

ωω

ω

ω

ω

ωωω

jj1

j1

j1

j1

j1

j + j + =

73

Cu această aproximare a impedanţei caracteristice, constanta de propagare γ devine: ( ) L C

+ R YG ZL CR YG Z cc

cc , 2

; j + + 21 ω≅β≅αω≅γ

Dacă este satisfăcută condiţia:

CG =

LR

avem: L CR YL CLCR

LRL C c j + = j + = j

+ 1 j = 2

ωω

ω

ωγ

Dar G R = RG R =

LC R =Y R c şi deci:

L CR GL CR G = , = ; j + = ωβαωγ Expresia impedanţei caracteristice este:

CL =Zc .

Regimul de adaptare

Fie o linie de transmisie de lungime infinită (pe care nu poate să apară unda inversă). În acest caz există numai undele directe de tensiune şi curent. Punând în relaţiile (11) condiţia de linie de lungime infinită şi

00 I = ZU c rezultă:

zz

czz YUzIUzU j

0 j

0e e = )( ; e e = )( β−α−β−α−

Expresiile tensiunii şi curentului pe linie, ca funcţie de z şi t, sunt:

( )z t cos e U = ee e U Re = )t,z(U z 0

tjz j z 0 β−ωα−ωβ−α− (17)

( )z t cos e Y UeeeIRe = )t ,z( z

c0tjzz

0I β−ωα−ωβ−α−

unde pentru simplificare s-a considerat că pierderile sunt neglijabile, adică U0 şi Y c reale. Tensiunea şi curentul sunt funcţii de forma ( )v tzf − şi deci sunt unde:

În absenţa pierderilor α = 0, Y c este pur real şi cele două relaţii se simplifică la: ( )ztUtz cos = ),(

0β−ωU (18)

( )zt YUtz c cos = ) , (

0β−ωI

74

Relaţiile (18) corespund unor unde ce nu se atenuează. Cele două unde sunt unde directe, deoarece se propagă în sensul axei z, de la generator spre sarcină. Acest regim de funcţionare al liniei, în care există numai undele directe, se numeşte regim de unde "progresive" sau de "adaptare". Se deduc viteza de fază, vf şi viteza de grup, vg , conform definiţiilor. În absenţa pierderilor, sau dacă ele sunt neglijabile se poate scrie:

rr

fc

LCv

µεβω = 1 = =

rr

g LCv

µεβω c = 1 =

dd =

Se poate observa că viteza de fază şi viteza de grup sunt dependente doar de mediul de propagare. În cazul în care dielectricul este aerul şi modul de propagare TEM unda se propagă cu viteza luminii.

Lungimea de undă pe linie, λ, se determină în funcţie de λ 0, lungimea de undă măsurată în vid, cu relaţia:

rrrr

cLC µε

λ

µε⋅

ωπ

ωπ

βπ

λ 0 = 1 2 = 2 = 2 =

În mod obişnuit dielectricul dintre conductorii liniei are 1 = rµ şi deci lungimea de undă pe linie se calculează cu:

0

1 = λε

λr

Factorul rε1/ poartă în tehnică denumirea de "factor de scurtare".

Undele de tensiune şi curent pe linia de transmisie

Fie o linie de lungime finită, terminată pe impedanţa de sarcină Zs. Considerând originea în sarcină ( ss IIUU = , =

00), relaţiile (9) devin:

zz

c

scszz

c

scs

scszz

Z I Z U

Z I + ZU

zI

I Z UzU

j j

z j z j scs

e e 2

e e 2

= )(

e e 2

+ e e 2

I Z+ U = )(

βαβ−α−

βαβ−α−

−−

−

(19)

Se notează:

75

−− 0

+0

= 2

; U= 2

U I Z U I + ZU scsscs

−−

− 0

0+

0

+0 = =

2 ; = =

2I

ZU

Z I Z U

IZU

Z I + ZU

cc

scs

cc

scs

( ) ( ) ( ) ( )

z zzz IzIIzIUzUUzU 0

+0

0

+0

e = ; e = ; e = ; e = γ−−γ−+γ−−γ−+ Relaţiile anterioare se scriu sub forma: ( ) ( )IzUUzU zzzz −+βα−β−α− U+ U= e e + e e = )( j

0 j +

0 (20)

( ) ( )zzII zzz −+βα−β−α− −− I = e e e e I = I(z) j z

0 j +

0

Se definesc coeficienţii de reflexie, pentru tensiune şi curent, prin rapoartele:

( )

( )

zu

zu U

U

zUzUz 2 2

+0

0 e (0) = e

= = )( γγ

−

+

−

ΓΓ (21)

( )

( )

zu

zzi U

U

I

I

zIzIz 2 2

+0

0 2

+0

0 e (0)= e = e

= = )( γγ

−γ

−

+

−

ΓΓ (22)

Deoarece c00 ZIU ++ = şi c00 ZIU −− = coeficientul de reflexie al undei de tensiune, ( )zuΓ ,

este egal cu coeficientul de reflexie al undei de curent, ( ) ( )zz iu Γ=Γ , motiv pentru care se

utilizează notaţia ( )z Γ . Se observă că în absenţa pierderilor, pentru −

0U real avem:

( ) ( )z t cos U = e e U Re = t,z

0t j z j

0U β+ω−ωβ−− (23) ( ) ( )z t cos Y = t,z c

0UI β+ω−− (24)

Relaţii similare se obţin şi ptr. unda directă înlocuind

0U în relaţiile (18) cu +

0U .

( ) ( )z t cos U = e e U Re = t,z

0t j z -j

0U β−ω+ωβ++

( ) ( )z t cos Y = t,z c 0UI β−ω++

Prezenţa undelor directe şi a undelor inverse conduce, prin suprapunerea lor, la apariţia

regimului de undă staţionară, caracterizat prin existenţa unor maxime şi minime de oscilaţie, cu poziţie fixă în lungul liniei (al axei z).

76

În absenţa pierderilor, tensiunea şi curentul pe linie rezultă din particularizarea relaţiilor (20), în care se notează coeficientul de reflexie la z = 0, ( )

0 = 0 ΓΓ .

( ) ( ) ( ) e e = )( ; e + e = j 0

j +0

j 0

j +0

zzzz IzIUzU ββ−ββ− Γ−Γ (25) Deoarece U / I = Zs s s , coeficientul de reflexie va fi în dreptul sarcinii:

( ) scs

cs

scs

scs

+ ZZ ZZ

I + ZU I Z U

Γ−−

ΓΓ−

= = = U

U = 0 = +

0

0

0 (26)

Conform cu (21) sau (22) rezultă pentru ( ) zΓ expresia:

( )z

szz

cs

cs

+ ZZ Z Z

z j 2 j 2 0

j 2 e = e =e = βββ ΓΓ−

Γ (27)

Se poate deduce , deoarece 1 = e j 2 zβ , că:

( ) = z sΓΓ Modulul coeficientului de reflexie nu se schimbă în lungul liniei, se modifică doar faza coeficientului de reflexie. Se pot deduce maximele şi minimele tensiunii şi curentului pe linie: ( ) ( ) max

+0

= + 1 UUzU sΓ≤ ; ( ) ( )min

+0

= 1 UUzU sΓ−≥

( ) ( ) max+0

= + 1 IIzI sΓ≤ ; ( ) ( )min

+0

= 1 IIzI sΓ−≥

Se defineşte raportul de undă staţionară, ca şi în cazul undei plane, prin:

[ )∞∈Γ−

Γ+=== ,1

11

min

max

min

max

s

s

II

UU

S (28)

În literatura de specialitate se foloseşte şi termenul de raport de undă staţionară pentru tensiune VSWR (Voltage Standing Wave Ratio). Cazuri particulare: 1) Linia terminată pe impedanţa caracteristică, cs Z= Z

Coeficientul de reflexie de pe sarcină este, conform relaţiei (26) 0 =0 sΓ=Γ . Adică

nu există reflexii (nu există undă inversă). Regimul liniei este cel de undă progresivă ca şi la linia de lungime infinită, adică de adaptare.

77

2) Linia terminată în scurtcircuit, Pentru 0=sZ din (26) obţinem 1 = =

0−ΓΓ s .

Unda directă se reflectă integral, schimbându-şi faza cu 180° (adică schimbă semnul). Rezultă din relaţiile (25), utilizând formula lui Euler:

zYUzIzUzU c cos 2 = )( ; sin j 2 = )( +

0+0

ββ− (29) Tensiunea pe linie, ( ) , tzU şi curentul pe linie, ( )tz ,I ,devin:

( ) ( ) tzYUtz tzUtz c cos cos 2 = , ; sin sin 2= , +0

+0

ωβωβ IU (30) În figura de mai jos este reprezentată repartiţia tensiunii şi curentului în lungul unei linii

terminate în scurt-circuit pentru diferite valori ale t. De exemplu pentru t=π/ω se obţine. Se remarcă existenţa unor ventre şi noduri pentru tensiune şi curent. Ventrul de curent coincide cu nodul de tensiune şi invers. În dreptul scurtcircuitului din sarcină avem întotdeauna un nod de tensiune şi un ventru de curent. Distanţa între două minime consecutive de tensiune (sau de curent) este de /2λ . Aceeaşi distanţă, /2λ , există şi între două maxime consecutive de tensiune (sau de curent).

3) Linia terminată în gol

Pentru ∞ = Z s , 1 =

lim = = 0 Z + Z

Z ZZ cs

cs

ss

−∞→

ΓΓ .

Unda directă se reflectă integral fără să se producă schimbarea de fază din cazul anterior. Fazorii de tensiune şi curent pe linie se obţin înlocuind 1 = =

0 sΓΓ : zYUzIzUzU c sin j 2 = )( ; cos 2 = )( +

0+0

β−β (31)

Undele de tensiune şi curent de pe linie au expresiile:

Tensiunea şi curentul pe o linie terminată în scurt-circuit, la diferite momente de timp.

U, I

I, t4=3π/2ω U, t3=π/ω

U, t4=3π/2ω U, t1=0 I, t2=π/2ω

U, t2=π/2ω

I, t3=0

I, t1=0

z 0

λ / 2

( ) ( ) 0 = t ,z şi z sin U -2= t ,z +0 IU β

78

tzYUtztzUtz c sin sin 2= ) ,( ; cos cos 2 = ) ,( +0

+0

ωβωβ I U (32) Este evidentă, şi în acest caz, existenţa ventrelor şi nodurilor de tensiune şi curent. În dreptul golului din sarcină avem întotdeauna un nod de curent şi un ventru de tensiune. Şi în acest caz, distanţa dintre două noduri de tensiune sau de curent consecutive este λ/2, ca de altfel distanţa dintre două ventre de tensiune sau de curent consecutive.

79

Cursul 7

Impedanţa de intrare a liniei de transmisie Impedanţa de intrare a liniei de transmisie de lungime l, fără pierderi este raportul U(l) / I(l), conform relaţiei (15):

l tg Zj + Zl tg Z j+ Z

Z = )l(Zsc

csci β

β

. Având în vedere că tangenta este periodică cu perioada π avem: ( ) ( ) l + l tg= l + l tg)ltg(l tg ∆ββ∆β=π+β=β de unde: π∆β = l . Deoarece πλβ 2 = rezultă /2 = λ∆ l . În consecinţă:

( ) ( ) Ζ n l Y = 2

n + l Y ; l Z = 2

n + l Z iiii ∈∀

λ

λ

Impedanţa pe linie este o funcţie periodică, cu perioada λ / 2, unde λ este lungimea de undă măsurată pe linie. Produsul β l este un unghi numit "unghi electric". "Perioada" impedanţei pe linie, exprimată în funcţie de "unghiul electric", este de 180° (π radiani). Se observă din relaţiile (14) că, deoarece ( ) α−πα cos = + cos şi

( ) α−πα sin = + sin , faza tensiunii şi curentului se modifică cu 180° pentru o deplasare pe linie cu lungimea /2λ . Raportul dintre tensiune şi curent, Zi(l) rămâne acelaşi, adică:

βlsinIβl-jZcosU-=)+l (sin I Zj+ )+ l β(cos U=/2)+U(l scsc πβπλ

Peste λ/2 tensiunea şi curentul pe linie îşi schimbă semnul, păstrându-şi valoarea în modul. Raportul lor este deci acelaşi, motiv pentru care Zi(l) este periodică cu λ/2

U (l + λ/2) = –U (l)

U (l) Zi(l)

I (l + λ/2) = – I (l) Zi (l + λ/2) = Zi(l)

l

I (l)

I

U U,I

0 z

λ / 2

80

( ) lsinZU

jlcos-I=)+l ( sin ZU

j + )+l ( cos I = /2+lIc

ss

c

ss ββπβπβλ

( ) )l( U = /2 + lU −λ şi ( ) )l( I = /2 + lI −λ .

În figură este reprezentaă repartiţia tensiunii şi curentului pe linie. Un segment de linie în /2λ păstrează valoarea impedanţei conectată la ieşirea sa, dar inversează faza tensiunii şi a curentului din sarcină. În ceea ce priveşte coeficientul de reflexie, el poate fi scris ca o funcţie de lungimea l, punând lz − = în relaţia (27):

( ) ( )cs

csss

ls + ZZ

ZZlll

−Γβ−βΓΓΓ β− = ; 2sin j 2 cos = e = j 2

Se observă că: ( ) ( )ll =/2+ ΓλΓ ( ) ( )ll Γ−λΓ =/4+ Ca şi impedanţa, coeficientul de reflexie pe linie este periodic cu /2λ . În cele ce urmează se vor prezenta, câteva cazuri particulare, interesante în practică.

1) Impedanţa de intrare pentru segmentul de linie terminat în scurtcircuit

Înlocuind în relaţia (15) ( )∞ = 0 = ss YZ , se obţine pentru impedanţa segmentului de linie terminat în scurtcircuit, expresia:

( )

λπβ

l 2 tgZj =l tgZ j = lZ cci

impedanţa caracteristică cZ fiind, în absenţa pierderilor (sau în prezenţa unor pierderi foarte mici), o mărime reală (sau practic reală). Segmentul de linie terminat în scurtcircuit, ∞ = sY prezintă la intrare admitanţa iY :

( )

( )

λπ−β−

β−

l2 ctg = ctg =

ctg j =

cci

ci

YlYlB

lYlY

81

În figura de mai sus este reprezentată variaţia reactanţei ( )lX i segmentului de linie terminat în scurtcircuit. Pentru ( ) ( ) ∪λ+λλ∪λ∈ /2 /4 /2,/4 0,l … caracterul segmentului de linie este inductiv, 0 > iX . Pentru intervalul ( )/2/4, l λλ∈ caracterul segmentului de linie terminat în

scurtcircuit este capacitiv, 0 Xi < .

Generalizand, pentru

λλλ

∈4

+ 2

,2

kkl , k ∈ N segmentul terminat în scurtcircuit are un

caracter inductiv.

Pentru

λλλλ

∈2

+ 2

,4

+ 2

kkl , k ∈ N segmentul de linie terminat în scurtcircuit are un caracter

capacitiv, 0 < X i . Figura reprezintă o linie cu un scurtcircuit deplasabil în lungul său. Pentru segmentul A-A ' ÷ B2 - B2 ' avem X > 0i şi deci linia se comportă ca o inductivitate. Pentru segmentul A-A ' ÷ B3 - B3 ' linia prezintă un caracter capacitiv. Pentru lungimi ( ) N ,/2 = ∈λ kkl , linia prezintă la intrarea sa un scurtcircuit (ideal),

0 = Zi . Aceasta era de aşteptat deoarece 0 = sZ şi impedanţa liniei este periodică cu λ / 2.

Astfel, segmentul A-A ' ÷ B1- B1 ' are 0 = iX .

Dacă ( ) N , 4

1 + 2 = ∈λ kkl , rezultă ∞ = iZ şi linia corespunde unui circuit deschis.

Un segment de linie de lungime /4λ terminat în scurtcircuit are impedanţa de intrare infinită, ∞ = iZ .

Reactanţa segmentului de linie terminat în scurtcircuit, Xi, ca funcţie de lungimea sa l

INDUCTIV CAPACITIV INDUCTIV CAPACITIV

CARACTER CARACTER CARACTER CARACTER

λ⁄2 λ⁄4 λ⁄8

3λ⁄4 λ

A B4 B3 B2 B1

A’ B’4 B’

3 B’2 B’

1

Zi = j Xi

Zc

Xi

Zi = j Zc tg β l

l

82

Din relaţiile (30) : ( ) ( ) tzYUtz tzUtz c cos cos 2 = , ; sin sin 2= , +

0+0

ωβωβ IU Analizând repartiţia de tensiune şi de curent de pe linie, pentru z aparţinand intervalului 0-λ/4, reprezentate în figura de mai jos se observă că între punctele B-B', tensiunea este mereu nulă,

0 =z fiind un nod de tensiune. Acelaşi punct 0 =z , corespunde unui ventru de curent. La 4/λ−=z avem un ventru de tensiune şi un nod de curent, ceea ce corespunde unei impedanţe infinite (curentul este tot timpul nul).

Pentru segmentul de lungime /8 = λl terminat în scurcircuit avem:

cici YYZZ j = ; j = −

2) Impedanţa de intrare pentru segmentul de linie terminat în gol Trecând la limită relaţia (15) pentru ∞→ sZ , se obţine impedanţa de intrare a segmentului de linie terminat în gol:

( ) )l(jXl2 ctg Z l ctg Zj =lZ icci =

λπ−=β−

Se poate deduce:

( ) lYlY ci tg j = β

( )

λπ=β

l 2 tgY l tgY =lB cci

Variaţia reactanţei ( )lX i pentru segmentul terminat în gol este reprezentată mai jos. În acest mod se pot obţine capacităţi sau inductivităţi în funcţie de lungimea l a segmentului. Modificarea lungimii segmentului terminat în gol este mai greu de realizat tehnic decât cea a

l = λ/4

λ/ 4 z 0 l

U I U, I

Zs = 0

A B

A’ B’ Zi = ∞

Segmentul λ/4 terminat în scurtcircuit

83

lungimii segmentului terminat în scurtcircuit. O variantă constructivă a segmentului terminat în gol, de lungime variabilă sistem telescopic, este cu cele două subsegmente A-A ' ÷ B-B ' respectiv C-C ' ÷ D-D ' culisante unul pe celălalt, astfel încât să se asigure contactul electric. Soluţia constructivă este asemănătoare cu cea utilizată la construcţia instrumentului muzical cunoscut sub denumirea de "trombon".

Un segment de linie de lungime /4λ terminat în gol are impedanţa de intrare nulă 0 = Zi . 3) Variaţia impedanţei de intrare a liniei, la variaţii reduse ∆l ale lungimii l0. Vom presupune că lungimea liniei este l0 şi că apare o variaţie a lungimii ∆l, astfel încât

1 << / 0

ll∆ . Vom ţine seama de dezvoltarea în serie a funcţiei tg x, reţinând numai primii doi termeni:

( ) 0 cos ; << , cos

+ tg + tg00

0200

≠∆∆

≅∆ xxxx

xxxx

Considerând că π+π

≠β 2

0

nl avem:

( ) ( ) ( )ll

lllll cos

1 + tg + tg= + tg0

2000∆β

ββ≅∆ββ∆β

CARACTER

CAPACITIV

CARACTER

INDUCTIV

CARACTER

CAPACITIV

CARACTER

INDUCTIV

0 –Zc 2

λ

Xi

l

8λ

4λ

43λ

λ

Reactanţa segmentului de linie terminat în gol, Xi, ca funcţie de lungimea sa l

l

A CB

DA’ C’

BD

Segment de linie în gol de tipul “trombonului”

84

Introducând relaţia anterioară în relaţia de calcul a impedanţei:

( ) ( ) ( )( ) ( )

cos

2 tg j + tg 1

j

) (

+

02

0222

02

22

0

00

λ∆

βπ

β−β−

−≅

−∆ lllZZl ZZ

ZZlZ

lZ llZ

scsc

sc

i

ii

evident, cu condiţia ca 0 ) (0

≠lZi . Rezultă, deci, concluzia:

λ

⋅∆

λ∆∆ 0

00

= ~ ) (

ll

lllZZ

i

i

Variaţia relativă a impedanţei ) ( lZi , la mici modificări ale lungimii liniei, este proporţională cu

variaţia relativă la lungimea de undă pe linie (λ) a variaţiei lungimii liniei (∆l). La aceeaşi variaţie relativă

0 / ll∆ a lungimii, cu cât l0 este mai mic, cu atât variaţia

relativă a impedanţei de intrare este mai redusă. 4) Variaţia impedanţei de intrare a liniei la variaţii reduse, ω∆ ale frecvenţei

0ω .

Presupunem că 1 << / 0

ωω∆ . Dacă pierderile sunt nule sau neglijabile, L C = ωβ şi deci: ( ) β∆βω∆ωβωβ + = + = ; =

000L C L C

Variaţia de frecvenţă ω∆ este echivalentă cu o variaţie de lungime a liniei ∆ l, definită prin:

( )0

0000

0000 = ; + = + =

ββ∆

∆∆β

ββ∆

ββ lllllll

Folosind relaţia anterioară :

0

000 00

00

0

= ~ )(

;

~

)(

ωω∆

ωω∆ω

∆ω∆

ββ

ω

∆ll

Z

ZL C

l

ZZ

i

i

i

i

Concluzia este că la aceeaşi variaţie relativă de frecvenţă

0/ωω∆ , variaţia relativă a

impedanţei de intrare este cu atât mai redusă cu cât lungimea iniţială 0

l a liniei este mai mică.

85

Diagrama Smith pentru liniile omogene fără pierderi

Se definesc impedanţa respectiv admitanţa normalizată prin relaţiile:

c

nc

n YYY

ZZZ = ; =

unde: cZ ( cY ) este impedanţa (respectiv admitanţa de normalizare), de obicei, impedanţa, (respectiv admitanţa caracteristică a liniei de transmisie). Impedanţa de sarcină sZ , normalizată se notează cu s nZ , iar impedanţa de intrare a segmentului de linie cu i nZ . Impedanţa şi admitanţa caracteristice normalizate sunt:

1= = ; 1 = = c

cc n

c

cc n Y

YY

ZZ

Z

Denormalizarea, adică revenirea de la mărimile normalizate la cele

nenormalizate, se realizează prin înmulţirea cu impedanţa sau admitanţa de normalizare:

cncn Y Y = Y Z Z= Z ⋅⋅ ; Relaţiile (15) şi (16) devin, prin normalizare, respectiv împărţirea numărătorilor şi numitorilor cu

cZ , respectiv cY :

tg j + 1 tgj +

= )(lZlZ

lZs n

s ni n β

β (33)

tg j +

tgj + = )(

lY1lY

lYs n

s ni n β

β (34)

Valorile normalizate reprezintă mărimi adimensionale.

)( + )(

= + )( )(

=)( ; + )( )(

=)( lYYlYY

ZlZZlZ

lZzZZzZ

zic

ic

c i

ci

c i

ci −−Γ

−Γ (35)

Prin împărţirea numărătorului şi numitorului relaţiei (35) cu cZ sau cY rezultă:

)( + 1)( 1

= 1 + )(1 )(

=)( lYlY

lZlZ

li n

i n

i n

i n −−Γ (36)

Deci coeficientului de reflexie )(lΓ nu se modifică prin normalizarea impedanţelor. El este invariant la normalizare.

A

Zin(l)(Yin(l))

C

C’

Zc=1 (Yc=1) C A B

B’

Γ(l)

l

ZSn (YSn)

Linia normalizată

86

Figura reprezintă o linie normalizată, pentru care ( )11 =Y =Z cc . Normalizarea lungimilor l se obţine prin împărţirea acestora cu lungimea de undă λ de pe linie. Se va utiliza lungimea normalizată λ /l , în locul lungimii fizice l. Din relaţia (36) obţinem:

)l( 1)l( + 1 = X j + R = )l(Z iiin Γ−

Γ (37)

Se ştie că ll j 2 e = )( β−ΓΓ . Se notează:

λ

π−β−ϕl 4 = 2 = l (38)

Se rescrie relaţia (37) utilizând formula lui Euler şi se separă partea reală normalizată a impedanţei Ri (rezistenţa) de cea imaginară Xi (reactanţa):

( )( )

sin j + cos 1

sin j + cos + 1 = X j + R ii ϕϕΓ−

ϕϕΓ (39)

Relaţia (39) este dificil de reprezentat în coordonate polare. Se înlocuiesc coordonatele polare ( )ϕΓ , cu coordonatele carteziene (x, y) şi se notează: ϕΓϕΓ sin = ; cos = yx (40) Co notaţiile introduse, relaţia (39) devine:

( )( )

( ) ( )( ) ( ) ( ) 22

22

+ 1 j 2+ 1 =

j + 1 j 1 j + 1 j + + 1 =

= sin j + cos 1

sin j + cos + 1 = j +

yxyyx

yxyxyxyx

XR ii

−−−

−−−−

ϕϕΓ−ϕϕΓ

Se identifică partea reală şi cea imaginară şi se obţin relaţiile:

( ) ( ) 2222

22

+ 1 2 = ;

+ 1 1 =

yxyX

yxyxR ii −−

−−

Din relaţiile anterioare se deduc ecuaţiile:

( ) ( )

2222

22

22

1 = 1 + 1 2 + 1 + 2

; 1+

+ 1

1 = +

1 + +

1 + 2 22

iii

i

i

i

i

i

i

i

i

XXXyyxx

R

RR

Ry

R

RR

Rxx

−−

+

−−

87

Aceste două ecuaţii reprezintă două familii de cercuri, de const. = iR şi respectiv, const. = iX :

( ) 1 +

1 = + 1 +

22

2

ii

i

Ry

RR

x

− (41)

( ) 2

22 1 =1 + 1

ii XXyx

−− (42)

Din (40), deoarece sin2φ+cos2φ=1 se obţine ecuaţia următoare, care reprezintă o a treia familie de cercuri: 222 + = yxΓ (43)

Din relaţia de definiţie a raportului de undă staţionară, ( ) ( ) 1 / + 1 = Γ−ΓS , rezultă:

SS + 1 1 = −

Γ .

Relaţia (43) se poate scrie şi astfel :

= + 1 1 = + 2

222 Γ

−

SSyx (44)

Ecuaţia (44) reprezintă ecuaţia unei familii de cercuri de S = const. sau Γ = const. Dacă ţinem

cont de faptul că 1 ≤Γ , cercul Γ = const. de rază maximă este 1 = + 22 yx . Pentru studiul circuitelor pasive prezintă interes numai interiorul discului delimitat de acest cerc de rază unitară, inclusiv conturul său . Menţionăm că există circuite active, aşa numitele amplificatoare de reflexie, pentru care 1 > Γ . În cele ce urmează vom limita studiul, în acest paragraf, la cazul

1 ≤Γ .

88

Familiile de cercuri const. = iR , const. = iX şi const. =S pentru [ )∞∈ 0, iR ,

( )∞∞−∈ , iX şi respectiv [ )∞∈ , 1S formează aşa numita diagramă Smith sau diagrama cercurilor. Cele trei familii de cercuri sunt ortogonale între ele. În interiorul discului de rază unitară, ce delimitează diagrama Smith se pot reprezenta toate valorile de impedanţe normalizate. Avantajul esenţial al diagramei îl constituie faptul că locul geometric al vectorilor liniei )l(Zin este un cerc cu centrul în origine (cerc const. = S ). Cercurile const. = iR au centrele de coordonate ( )( )0 ,1 + ii RR şi razele 1 + 1 iR .

Cercul 0 = iR are centrul în 0, originea sistemului de axe xoy şi raza egală cu 1. În figura s-a

renunţat la indicele i şi în loc de 0 = iR s-a scris 0 = R , pentru a nu încărca desenul. Cercul

2 = iR are centrul în ( )0 2/3,01

şi raza 1/3. Acest cerc trece prin punctele ( )0 1/3,02

şi

( )0 1, A . Cercul 1/2 = iR are centrul ( )0 2/3,02

şi trece prin punctele ( )0 1/3, ' −A şi

( )0 1, A .

Cercul 2 = S are ecuaţia ( )222 1/3 = + yx . Centrul său este în originea sistemului de coordonate 0 şi raza sa este 1/3. El trece prin punctele ( )0 1/3, ' −A şi ( )0 1/3,0

2. Cercul

S=1 S=X=0

X=0,5

X= –0,5

A A’ B ±180°

X = –

R = 0 X = –

R =

R =

R =

0 02 01 1 x

04’

03’

05’ D –90°

0°

X = 1

ϕ

Γ

M

N X = 2 S = ∞

90° yC1

04

03

05

89

2 = S este tangent pe semiaxa 0 > x cu cercul 2 = R şi este tangent pe semiaxa 0 < x cu cercul 1/2 = R . Proprietatea este general valabilă. Adică:

Cercul const. = S este tangent cu cercul R = S pe semiaxa 0 > x şi este tangent cu cercul

SR 1/ = pe semiaxa 0 < x . Cercul 1 = S se reduce la un punct, originea sistemului de coordonate. Cercul 1 = iR are

centrul în ( )0 1/2, = 0' şi raza 1/2 şi deci trece prin punctele 0 şi A. Cercul S = ∞ este cercul de centru 0 şi de rază 1, confundându-se cu cercul 0 = iR .

Pentru 0 > iX cercurile const. = iX au centrele de coordonate ( )iX1/ 1, şi razele iX1/ .

În figură sunt reprezentate cercurile: 1 = iX , cu centrul în 3

0 , 2 = iX cu centrul în 4

0 şi

0,5 = iX cu centrul în ( )1 2,05

.

Pentru 0 < iX cercurile const. = iX au centrele de coordonate ( )iX1/ - 1, şi razele

iX1/ . Se indică în figură cercurile: 1 = −iX cu centrul în '3

0 , 2 = −iX cu centrul în '4

0 şi

0,5 = −iX cu centrul în ( )1 2,0'5

− .

Cercul 0 = iX are centrul de coordonate ( )∞± 1, şi rază infinită. El se confundă cu axa xx'. Interesant este însă numai segmentul AB. Punctul A corespunde cel puţin unei valori infinite, ∞ = iR sau / şi ∞ = iX şi deci este punctul de circuit deschis, adică de gol. Punctul B corespunde valorilor 0 = iR şi 0 = iX şi deci reprezintă punctul de scurtcircuit. Variaţia unghiului ϕ este l∆β−ϕ∆ 2 = şi deci atunci când l creşte, adică ne deplasăm pe linie de la sarcină spre generator l∆ este pozitiv ceea ce înseamnă că 0 < ϕ∆ . Unghiul ϕ variază orar (antitrigonometric) atunci când parcurgem linia de la sarcină spre generator. Evident, dacă ne deplasăm de la generator spre sarcină 0 < l∆ şi în consecinţă 0 > ϕ∆ , ceea ce corespunde sensului trigonometric (antiorar). Deoarece λπ−ϕ / 4 = l rezultă că O rotaţie completă pe un cerc const. = S corespunde unei lungimi normalizate 0,5 = / λl . Această constatare este în acord cu concluzia mai veche, că impedanţa pe linie este periodică cu perioada /2 λ . Un punct din diagramă, M spre exemplu, reprezintă un coeficient de reflexie M

MϕΓ je şi o

impedanţă MMM XRZ j + = . În exemplul din figură 0,825 ON / OMM ==Γ , o51 ≅ϕM

respectiv j 2 + 0,5 =MZ . Dacă impedanţa de normalizare este [ ]Ω 50 =cZ atunci valoarea

denormalizată corespunzătoare este ( ) [ ]Ω⋅ 100 j + 25 = 50 j 2 + 0,5 =MZ .

90

Figura de mai jos prezintă gradarea diagramei în lungimi normalizate, / λl de la 0 la 0,5. Pentru că impedanţa este periodică pe linie cu λ/2, multiplii de 0,5λ contează în reprezentarea impedanţei. Diagrama permite determinarea impedanţei )(lZi cunoscând impedanţa de sarcină sZ ,

lungimea fizică l şi lungimea de undă pe linie, λ . Exemplul 1 Fie o linie cu ]j25[-25=Zs Ω şi Zc=50Ω reprezentată în figură.

Să se

determine coeficientul de refle

xie în

dreptul

sarcinii şi impedanţ

a de intrare Zi

la dista

nţa l=7,

5 cm faţă

de sarcină ştiind că λ=30cm.

A B C

l = 7,5 cm Zc = 50 Ω

A’ B’ C’

Γ ΓS Zi ZS = 25 – j 25 Ω

Gradarea diagramei Z în lungimi de undă normalizate, l/λ

–90°

± 180°

90°

0° X=0

0,125 0,150

0,200

0,225

0,250

0,275

0,300

0,325 0,350

0,175

0,375 0,400 0,425

0,450

0,500

0,025

0,475

0,050

0,075 0,100

0

R=1

X = – 1

X = 1

RAPORTUL l / λ

0 1

R = 1

R = 0

91

Se normalizează circuitul prin împărţirea impedanţelor cu [ ]Ω= 50 cZ :

0,5 j 0,5 = 50

25 j 25 =Zsn −−

Se reprezintă în diagramă snZ , la intersecţia cercurilor 0,5 = R şi 0,5 = −X obţinându-se punctul M. Coeficientul de reflexie în dreptul sarcinii este:

0,48 MO / OM = S ≅′Γ , o116−≅ϕS

În lungul liniei = = )( Sl ΓΓ constant, deci toate

impedanţele )l(Zin sunt puncte ale cercului const. =S ce trece prin punctul M, având centrul în 0, originea sistemului de coordonate. Valoarea SWR este 2,63 S ≅ , valoarea cercului R constant cu care este tangent pe axa reală pozitivă. Diagramele sunt gradate în lungimi de undă normalizate, l/λ. Pentru cm 7,5 = l şi

cm 30 = λ se obţine l/λ=0,25. Deplasarea de unghi electric corespunzătoare este ( ) o180 = 7,5/30 4 = −≡π−⋅π−ϕ∆ .

Pentru a determina punctul N corespunzător impedanţei )l(Zin se porneşte din M, a cărui coordonată pe cercul corespunzător al distanţelor raportate l/λ este 0,411 şi se execută o rotire în sensul de la sarcină spre generator (antitrigonometric), cu l/λ=0,25 , 0,411+0,25=0,611=0,5+0,161. ( Deplasarea corespunde unui unghi o180 = −ϕ∆ şi se găseşte unghiul corespunzător punctului N ca fiind ooo 296 = 180 116 −−−≈ ceea ce este echivalent cu unghiul ooo 64 = 360 + 296 − .) Coordonatele R şi X ale punctului N sunt 1 =NR şi 1 =X N .

Prin urmare j+ 1 = )(lZ ; denormalizarea conduce la ( ) 50 j + 1 = )(lZ [ ]Ω 50 j + 50 = .

Exemplul 2.

Transformarea impedanţei în lungul liniei pentru exemplul 1

B

A

x

0 0

M

M'

N

–1

2 1 0,5

y

S=0,

38

–0,5

1

2

–2

∆ϕ = –180°

0,5

92

Fie o linie de lungime l 22,5 = l cm. Să se determine impedanţa ei de intrare. Raportul

=30

22,5=λl 0,25 0,25 + 0,5 = 0,75 ≡ . În realitate, plecând din M - figura 3.19 - după o

rotire corespunzătoare la 0,5 = / λl pe cercul const. = S se ajunge înapoi în M. Se mai execută apoi o rotire corespunzătoare unei lungimi 0,25 = /λl , ca şi în primul caz, astfel că se ajunge tot în N. Pentru a construi diagrama Smith pentru admitanţa Y vom pleca de la constatarea că

avem aceeaşi relaţia formală pentru )(lYi ca şi pentru Z (l)i . Dar 1 + )(1 )(

= )( lZlZ

li

i −Γ şi

)( +1 )( 1

= )( lYlY

li

i−Γ sau

1 + )(1 )(

= )( lYlY

li

i −−Γ . Înseamnă că relaţia pentru )( lΓ este aceeaşi cu cea

din cazul impedanţei cu condiţia de a o mai înmulţi cu – 1, ceea ce corespunde unei rotiri cu o180 . Rotind deci diagrama Z cu o180 se obţine diagrama Y, aşa cum se arată în figura 3.21,

unde cele două diagrame sunt desenate suprapuse. Sensul de rotire de la sarcină spre generator este acelaşi în ambele diagrame. Se observă că punctul de tangenţă al tuturor cercurilor const. = R (A) este punctul de gol iar opusul său (B) este punctul de scurtcircuit. Punctul de tangenţă al tuturor cercurilor G = const. este punctul de scurtcircuit (B) iar opusul său punctul de gol (A). Şi în cazul diagramei Y, locul geometric al punctelor )(lYi este un cerc const. = S ce are

centrul în 0 şi trece prin punctul ce reprezintă admitanţa de sarcină sY .

Diagramele Z şi Y suprapuse

-90°

0° A

x ±180

90°

B

D

C

y

Y Z

G = 0 R = 0

R = 1 R = 2

B = 0 X = 0 X = 1

X = –1

B = –1

B = 1

M

M’

0 ϕ Γ

Y =1+

Z =1+j

93

De obicei diagrama se ţine cu punctul 0 j + 0 în sus, fie că este diagramă Z, fie că este diagramă Y. Numai modul de măsurare al unghiului, argument al coeficientului de reflexie )( lΓ , se schimbă în funcţie de tipul diagramei, Z sau Y.

Puterea pe linia de transmisie

Fie linia din figură având impedanţa caracteristică cZ , care transferă puterea dezvoltată de generator, către sarcina sZ . Se presupune că generatorul este “adaptat” la linie, adică

cg ZZ = . Puterea incidentă sau puterea directă, transmisă de generator liniei, se calculează cu relaţia:

( )( ) zc

zzc

zz YUYUUIU 2 2+0

* j +0

j +0

*++ e 21=e e e e

21=

21 α−β−α−β−α−

Se poate constata că este o mărime reală. Prin urmare, puterea activă în unda directă este:

lBi

zBi

zci PPYUP 2

0 2

0 2 2+

0e = e = e

21 = αα−α− (3.94)

Unde cu

0BiP s-a notat puterea incidentă în dreptul sarcinii. Evident, s-ar fi putut calcula puterea

P i în funcţie de puterea directă din dreptul generatorului, 0Ai P . Pentru aceasta se consideră axa

z' cu originea în dreptul generatorului. Avem atunci ++0

= gUU , unda directă emisă de generator. Conform cu relaţia ce dă puterea în funcţie de distanţă, putem scrie:

' 2 0

' 2 2+ e = e 21 = zA

iz

cgi PYUP α−α−

Transferul puterii pe linia de transmisie

−U Γ(l)

Pi Pr

Zg

Zs

Eg

Γ(L)

Zc

Γ(0) = ΓS

A C B

0 z = – L z = – l 0

Lzz`

A’ C’ B

Zg

Zi(L) Eg

A’

A −I +I

+U

94

Unda reflectată de pe sarcină, sau unda inversă, transmite puterea în sensul de la sarcină spre generator. Puterea reflectată este:

( )( ) *+2* ++2*++* 21 =

21 )( = )( )(

21 =

21 +−− ΓΓΓΓ IUIUzIzUzIU s

Se constată că şi produsul * 0,5 −− IU este o mărime reală, ca de altfel şi produsul

* ++ 0,5 IU . Puterea reflectată este deci putere activă:

* 21 = −− IUPr

că: ir PzP 2 )( = Γ În dreptul sarcinii, relaţia (3.98), conduce la:

B is

B r PP

02

0 = Γ

şi deci:

lBis

lB rr PPP 2

022

0e =e = α−α− Γ

La generator ajunge puterea reflectată:

LBis

Ar PP 2

02 e = α−Γ

sau, ţinând seama de (3.94): LA

iBi P P 2

00e = α− şi deci, (3.101) devine:

LAis

LAis

Ar PP P 4

02)(2 2

02 e = e = α−α− ΓΓ

a) Puterea incidentă Pi este parţial disipată în sarcina (PS) şi parţial reflectată (Pr)

b) Puterea reflectată de pe sarcină este disipată în Zg

Zg

ZS Eg

A’

A B

B’

Pr

Pi

PS

L Zc

Pr

Zg

Pi

Zc=Zg A

A’

95

Cursul 8

Diagrama Smith pentru admitanţe

Admitanţa de intrare într-o linie Yi (l) are o expresie similară din punctul vedere al formalismului matematic ca şi Z (l)i , conform relaţiei (16). Coeficientul de reflexie

1 + )l(Y1 )l(Y

1 + )l(Z1 )l(Z = )l(

i

i

i

i −−=

−Γ .Se observă că relaţia pentru )( lΓ este cea din cazul

impedanţei înmulţită cu – 1, ceea ce corespunde unei rotiri a sistemului de coordonate cu o180 . Rotind diagrama Z cu o180 se obţine diagrama Y, aşa cum se arată în figura de mai jos, unde cele două diagrame sunt suprapuse. Sensurile de rotire de la sarcină spre generator, respectiv de la generator spre sarcină sunt acelaşi în ambele diagrame.

Se observă pe diagrama Z că punctul de tangenţă al tuturor cercurilor

const. = R (A) este punctul de gol iar opusul său (B) este punctul de scurtcircuit.Prin rotirea sistemului de coorodonate semnificaţia punctelor A şi B se inversează. Punctul B devine punctul de gol şi punctul A devine punctul de scurtcircuit. Unghiurile se citesc diferit pe cele două diagrame. În diagrama Y unghiurile se citesc pornind faţă de punctul de gol (ptr. Y), pozitiv în sens trigonometric şi negativ în sens invers.

Diagramele Z şi Y suprapuse

-90°

0°

A x

±180°

90°

B

D

C

y

Y Z

G = 0

S= ∞

R = 0

R = 1 R = 2

G = 1 G = 2

B = 0 X = 0 X = 1

X = –1

B = –1

B = 1

M

M’

0 ϕ Γ

S =

Y =1+

Z =1+j

96

Şi în cazul diagramei Y, locul geometric al punctelor )(lYi este un cerc const. = S ce are centrul în 0 şi trece prin punctul ce reprezintă admitanţa de sarcină sY . Dacă pe aceeaşi diagramă se reprezintă atât impedanţa Z cât şi admitanţa corespunzătoare Y pentru punct de pe linie, cele două valori vor fi diametral opuse. De exemplu punctului cu Z1=2+2j îi corespunde punctul diametral opus de admitanţă Y1=0,34-0,25j. Această valoare se poate obţine evident şi prin calcul, ca Y1=1/ Z1.

Transferul maxim de putere activă de la generator la sarcină Se demonstrează că transferul maxim de putere activă de la generator la sarcină are loc pentru *

gs Z=Z sau *gs Y=Y .

Fie ggg XRZ j + = şi sss XRZ j + = , ca in figura. Puterea activă disipată în sarcină este:

( ) ( )22+++

21=

21=

2

2

sgsg

gsss

XXRR

ERI RP (45)

Factorul de 1/2 apare datorită utilizării în relaţie a amplitudini şi nu a valorii efective.

Pentru a maximiza sP trebuie ca numitorul să fie minimizat în raport cu

( )2 + sg XX . Condiţia 0 =X + X sg maximizează Ps din punct de vedere al componentei

reactive, astfel încât:

( )

0= + ; +

21= 2

2sg

sg

sgs XX

RR

REP

Puterea are un extrem acolo unde se anulează derivata expresiei sP în raport cu sR , adică pentru gs RR = . Derivata a doua calculată pentru gs RR = este negativă şi deci extremul este un maxim:

Eg

U Zg

ZS

I

a

Ig

U

Yg

YS

I

b Transferul maxim de putere activă de la generator la sarcină

are loc pentru *gs ZZ = sau *

gS YY =

97

*

2

max = , j = j + ; 4

gsggsss

gs ZZXRXR

R

EP −= (46)

Puterea activă disipată în sarcină, pentru generatorul de curent din figura b), este:

( ) ( )

+

21 =

21 = 22

2

2

sgsg

gsss

BBGG

IGGUP

++ (47)

sssggg BGYBGY j + = , j + = formal identică cu cea anterioară. Maximul se obţine pentru 0 = + sg BB şi gs GG = şi are valoarea:

*

2

max = , j = j + ; 4

= gsggssg

gs YYBGBG

G

IP − (48)

Şi în domeniul frecvenţelor foarte înalte condiţia de transfer maxim de putere activă de la generator la sarcină este aceeaşi. Puterea activă disipată în sarcină în cazul în care generatorul este adaptat la linia de transmisie,adică gc ZZ = este:

( ) iss PP 1 = 2Γ−

Se observă că puterea activă disipată în sarcină este maximă în absenţa reflexiei, adică

0 = sΓ . Regimul ce asigură transferul maxim de putere de la generator la sarcină este cel în care avem csg ZZZ = = , numit şi regim de adaptare. El corespunde regimului de undă progresivă, caracterizat de absenţa undei inverse, având raportul de undă staţionară egal cu unitatea 1 = S . De obicei generatorul este adaptat prin construcţie la linie şi condiţia gc Z= Z sau

cg Y = Y este satisfăcută. De cele mai multe ori sarcina nu este adaptată la linie, cs YY ≠ .

Se pune problema determinării mijloacelor tehnice prin care să să se realizeze adaptarea, adică anularea undei inverse. Se recomandă utilizarea în exclusivitate a unor elementele de circuit pur reactive, deoarece elementele rezistive disipă putere activă, reducând astfel nivelul de putere din sarcină.

Adaptarea cu un singur element reactiv

Fie o sarcină dezadaptată cuplată la o linie ca în figura de mai jos 1 = cs YY ≠ (toate admitanţele sunt normalizate). Pornind de la sarcină spre generator se caută poziţia pe linie în care admitanţa văzută spre dreapta este

22BY j + 1 = . Conectând în acel punct

98

admitanţa pur reactivă 11 Bj = Y se obţine pentru segmentul de linie A-A' ÷ C-C' o sarcină echivalentă:

( )

2121' + j + 1 = + = BBYYYs

Pentru ca segmentul de linie spre generator să fie adaptat este necesar ca:

1 = = ' cs YY şi deci = 21

BB − sau:

22'

1 j = j = YIBY m−−

Conform figurii de mai sus spre stânga planului C-C' se vede admitanţa

21 j 1 = +1= BYYst − , deoarece adaptarea la capătul A-A' este asigurată.

Admitanţa ce se vede spre dreapta în C-C ' este 22

j +1= = BYYdr

şi deci

regimul de adaptare se obţine atunci când *= drst YY , ceea ce este în acord cu concluzia

exprimată prin relaţia (48). Rezolvarea problemei de adaptare cere determinarea poziţiei pe linie în care 2

Y are partea reală unitară,

22BY j + 1 = , şi a admitanţei

1Y ce anulează (compensează) partea

reactivă a admitanţei 2Y .

Exemplul 3 a) Să se determine ambele soluţii posibile de adaptare a admitanţei normalizate YS=0,21-j0,26 şi amplasarea acestora pe linie. Se consideră frecvenţa de lucru MHz 500 = f . b) Să se determine valoarea bobinei, respectiv capacităţii utilizate pentru adaptare ştiind că impedanţa caractersitică a liniei este ZC=50Ω. c) Să se determine lungimea tronsoanelor de linie terminate în scurtcircuit utilizate pentru adaptare d) Să se determine lungimea tronsoanelor de linie terminate în gol utilizate pentru adaptare

Yst=1+Y Y1

A A

C A

B A

A' A

C' A

B' A

=λl ?

Yc=1

Yg=1

1

Y2=Ydr

YS Y2

YS

C A

B A

C' A

B'

A A

C A

A' A

C' A

Yi =1 YS'=1

Y1 Y2

a) Segment de linie dezadaptat, b) segmentul l/λ are c) Alegând Y1= - jB2 YS ≠ 1 admitanţa de intrare obţinem YS' = 1

Y2= 1+ jB2

99

Soluţie a) Se reprezintă sY pe diagrama Y (punctul M) fie prin coordonate ( ss BG , ) fie prin coordonatele polare ( ss ϕΓ , ). Pe cercul cu distanţele, în sensul de la sarcină spre generator, coordonata lui YS este 0,458. Se trasează cercul const. = S ce trece prin

sY (punctul M) şi se caută intersecţia sa cu cercul de conductanţă 1=G . Se obţin două

soluţii posibile (1)2

Y şi (2)2

Y amplasate la distanţele λ/(1)l respectiv λ/(2)l faţă de sarcină. Măsurarea distanţelor (1)l şi (2)l se face parcurgând cercul const. = S în sensul de la sarcină spre generator. Cele două soluţii posibile ale admitanţei 2

Y sunt: j 2 + 1 = (1)2

Y şi j 2 1 = (2)2

−Y . Distanţele corespunzătoare de amplasare se determină adunând distanţele normate din sarcină până în soluţiile corespunzătoare adică:

229,0187,0042,0187,0)458,05,0(l )1(

=+=+−=λ

354,0312,0042,0312,0)458,05,0(l )2(

=+=+−=λ

O altă variantă de determinare a distanţelor ia în considerare unghiurile.Unghiul de rotire

corespunzător unei distanţe l este λ

≡λ

πll o720 4 . Din diagramă rezultă cele două

unghiuri de rotire de 165° şi respectiv 255° şi deci :

λ≅λ

λ≅λ

0,354 255 = 720 ; 0,229 165 = 720 (2)(2)

(1)(1)

llll oooo

Cele două soluţii posibile pentru Y1 sunt: j 2 = (1)

1−Y (pentru j 2 + 1 = (1)

2Y ) şi

j 2 = (2)1

Y (pentru j 2 1= (2)2

−Y ). În primul caz adaptarea se realizează conectând transversal pe linie un element concentrat inductiV şi în al doilea caz adaptarea se obţine conectând un element concentrat capacitiv. Admitanţele 1

Y se pot denormaliza prin

înmulţire cu cY . Spre exemplu, pentru Ω 50 =cZ :

1 (1)

1 j 0,04 502-= Y −Ω−= şi 1 (2)

1 j 0,04 502 = Y −Ω= .

Inductanţa L utilizată pentru a obţine adaptarea este.

10 0,5 0,042

1 =L ; 0,04Y = L j

19

(1)1 ≅

⋅⋅π=

ω7,95nH

100

Capacitatea C, utilizată pentru a obţine adaptarea este:

pF 12,7 10 0,5 2

0,04 = ; = j 9(2)

1≅

⋅⋅πω CYC

Distanţa faţă de sarcină unde trebuie conectată bobina L se determină din λ⋅≅ 0,229 l(1) . Considerând factorul de scurtare unitar cm 60 = =

0λλ se obţine cm 21,2 (2) ≅l .Distanţa

faţă de sarcină unde trebuie conectată capacitatea C se determină din λ⋅≅ 0,354 (2)l . Considerând factorul de scurtare unitar cm 60 = =

0λλ rezultă cm 13,74 l(2) ≅ .

c) Elementele reactive utilizate pentru adaptare se construiesc de obicei cu segmente de linie terminate în scurt circuit sau în gol. În figura de mai jos se prezintă linia terminată pe Ys pentru care adaptarea se obţine cu ajutorul unui segment de linie terminat în scurtcircuit şi conectat în paralel pe linia ce leagă generatorul cu sarcina. Calculul lungimii λ/ls a segmentului terminat în scurtcircuit este ilustrat. în diagrama Y .Sarcina segmentului C - C ' ÷ D - D ' este plasată în D -D' şi este un scurtcircuit. Imaginea sarcinii este deci punctul B. Se marchează pe diagramă valoarea admitanţei de intrare pe care dorim să o obţinem în C - C ' 2 j 0 = (1)

1−Y . Se pleacă din B şi se parcurge cercul const. =S care

coincide de cercul de rază 1, 0 = G , în sensul de la sarcină spre generator. Se determină distanţa normată între coordonata lui Y1 şi cea a scurtcircuitului, adică.

A C B

A' C' B'

?=λl

Y2 Y1

D

D'

YS

?'

=λl

A C

B

A'

C'

B' D

D'

YS

l

l’

a) Implementarea admitanţei Y1 din exemplul 3 b)Sistem de adaptare reacordabil cu un segment în scurt cu un element reactiv

Yc=1

101

0,0740,25-0,324l (1)

s ==λ

(Sau se măsoară unghiul de rotire de o53 ~ şi rezultă (1)sl din

λ≅λ 0,074 l 53 = /l 720 (1)s

(1)s

oo ). Pentru cm 4,44l cm, 60= (1)s ≅λ .

A doua soluţie corespunde valorii j 2 + 0 = (2)1

Y cu imaginea 1

P pe diagramă. Pornind din sarcină, punctul B, şi parcurgând cercul const. = S în sensul de la sarcină spre generator

se ajunge în 1

P . Se determină lungimea corespunzătoare 0,4260,250,176l (2)

s =+=λ

(Unghiul de rotire este de ooo 307 = 53 360 − . Se determină (2)sl din oo 307 = /l720 (2)

s λ

sau λ−λ 0,426 =l 0,5 =l (1)s

(2)s deoarece o rotire completă pe cerc corespunde unei

lungimi 0,5λ ). d) Admitanţele (1)

1Y şi (2)

1Y pot fi obţinute şi utilizând segmente de linie terminate

în gol (pe admitanţa de sarcină nulă). Pentru a obţine j 2=(1)1

−Y se pleacă din punctul A, punctul de gol şi se parcurge cercul S ct. în sensul de la sarcină spre generator, până se ajunge în punctul N1. Unghiul de rotire este ooo 233 = 53 +180 . Lui îi corespunde o lungime de segment terminat în gol (1)

gl ce poate fi calculat din oo 233 = /l 720 (1)g λ

rezultă λ 0,324 =l (1)g , valoare ce se putea obţine şi din diagramă (1)

s(1) l + 0,25 =lg λ .

Pentru a obţine j 2 =(2)1

Y se pleacă din A, parcurgându-se arcul S = ∞ în sensul

da la sarcină spre generator până în punctul 1

P . Unghiul de rotire este ooo 127 = 53 180 − . Lungimea segmentului în gol ce realizează admitanţa dorită se determină din

oo 127 = /l 720 (2)g λ sau din λ−λ 0,176 = l 0,25 =l (2)

s(2)

g Problema de adaptare cu un singur element reactiv are întotdeauna soluţie. Dacă

se modifică frecvenţa ω se modifică lungimea de undă, deci lungimile normate. Pentru a realiza adaptarea sarcinii şi la noua frecvenţă, este necesar să putem varia cele două lungimi, (1)l şi (2)l . În figură se prezintă schematic, un dispozitiv de adaptare reacordabil, realizat cu inele glisante pe linia principală ce leagă generatorul cu sarcina. Scurtcircuitului de pe segmentul de adaptare conectat transversal este şi el glisant. Un astfel de dispozitiv este dificil de realizat din punct de vedere tehnic.

102

Deoarece impedanţa pe linie este periodică cu λ 0,5 , pornind din sarcină (Ys) se poate ajunge într-un punct unde j 2 + 1 =(1)

2Y nu numai după parcurgerea unei lungimi

λ≅ 0,229 (1)l ci şi după parcurgerea oricăreia dintre lungimile λ⋅λ 0,5 + 0,229 = nl . Există deci mai multe soluţii pentru C - C ', distanţate între ele cu λ 0,5 . Există şi mai multe lungimi ls(lg) pentru care se poate realiza j 2 =(1)

1−Y , şi anume

λ⋅λ 0,5 m + 0,074 = ls , numerele naturale n şi m fiind independente (alegerea valorii lui n nu influenţează alegerea valorii lui m). Vom prefera întotdeauna cele mai reduse lungimi ce sunt tehnic realizabile.

Cu cât lungimile sunt mai mari cu atât mai mare va fi modulul coeficientului de reflexie ce apare la modificarea frecvenţei. Valoarea l ∆ este ca atât mai mare cu cât n este mai mare şi deci modificarea relativă a impedanţei Y2 este mai mare.

Calculul lungimii segmentelor de linie în scurt, ce realizează admitanţele Y1

(1) şi Y1(2) pentru adaptarea cu 1 element reactiv

G = 0 0

x

y

S = ∞

λ

)(2Sl

λ

)(1Sl

B = 0

B =- 0,5 B = 0,5

0

B

B =- 1 B =1

B =- 2 B = 2

N1' P1'

B'

Y1(1) Y1

(2)

N1 P1

G = 1 90o -90o

103

Este evident că adaptarea se poate obţine şi cu un element reactiv conectat în serie pe linie. Rezolvarea problemei implică utilizarea diagramei Z. Se pleacă din punctul Zs pe cercul const.=S , în sensul de la sarcină spre generator, până la intersecţia cu cercul

1=R şi se determină impedanţa segmentului dinspre sarcină. Se compensează printr-un element reactiv serie partea reactivă a a acestei impedanţe.

Datorită variaţiei frecvenţei poziţia punctului N se deplasează în Q

0o

∆ϕ

S =

B =

0

0

±180

B = – B =1

B = –2 B = 2

Y2(3)

Y2(1)

90 –

Q

N

M YS

G = 0

104

CURSUL 9 Adaptarea sarcinii cu două elemente reactive

Vom presupune că sarcina sY nu este adaptată la linie, 1 = cs YY ≠ . Pe linie se conectează două elemente pur reactive,

1Y şi

2Y , amplasate la distanţa d faţă de sarcină şi

distanţate cu l între ele. Rezolvarea problemei impune determinarea admitanţelor

1Y şi

2Y .

Se reprezintă în diagrama Y punctul sY , admitanţa de sarcină, şi se trasează cercul

const.=1

S ce trece prin sY . Se determină admitanţa 333

B j + = GY , ce reprezintă admitanţa de intrare a tronsonului de linie d terminat în YS. Aceasta se găseşte pe cercul S1 constant, la distanţa λ/l în sensul de la sarcină spre generator. Admitanţa văzută spre dreapta tronsonului CC'-B B' este Y4, suma admitanţelor Y1 şi Y3 montate în paralel, adică:

314 + = YYY

11 j = BY

Deci: ( )

3134 + j + = BBGY .

Egalând partea reală, respectiv cea imaginară în cei doi membrii ai ecuaţiei obţinem:

G = G 34 ( )314 B + B = B

Deoarece Y1 este necunoscută rezolvarea problemei se continuă din planul DD'. Admitanţa de intrare din stânga planului DD' a segmentului de linie spre sarcină este:

1 = + = 52

YYYi

22B j = Y ,

Rezultă:

25B j 1 = −Y .

a) Adaptarea cu două elemente b)Sistem de adaptare reactive amplasate în poziţii fixe reacordabil, cu două elemente reactive

A D C

A' D' C'

λd

? Y2 ?

B

Y1 YS

Yc=1 λl

B' Yi =1 Y5 Y4 Y3

A D C

A' C' B'

D1

D'

YS

B

D1'

C1

C1'

Y5 Y3

Y1 Y2

105

Admitanţa

5Y este deci un punct de pe cercul G = 1, de parte reală 1, notat în figură cu

1G ,

15 GY ∈ . Admitanţa

5Y se obţine pornind din punctul ce reprezintă imaginea

admitanţei 4

Y , rotindu-ne pe un cerc const.=S cu un unghi ce corespunde valorii λ/d , în sensul de la sarcină spre generator. Se roteşte cercul

1G în sensul de la generator spre

sarcină în jurul originii (deci invers) cu unghiul corespunzător valorii λ/d . (Din orice

punct al cercului rotit, R

G1

, am porni, prin deplasare spre generator cu λd/ vom ajunge pe un punct al cercului

1G .) Deci

RGY

14∈ .

Putem determina acum cele două valori posibile ale admitanţei 1Y

( )

( )3

(2)4

(2)1

3(1)433

(1)433

(1)4

(1)1

j =

j = j j + = =

BBY

BBBGBGYYY

−

−−−−

Se trasează cercurile const.=(1)

2S şi const.=(2)

2S prin punctele (1)

4Y respectiv (2)

4Y şi

prin deplasare spre generator cu un unghi corespunzător valorii λ/d se determină cele

Adaptarea sarcinii Ys cu două elemente reactive

0O

±180O B = 0

B = -1 90O B = -1 -90O 0 S=1

ΓS G3

G1R

Y5(1)

Y4(1)

Y3

Y5(2)

Y4(2)

S1=ct

G=ct

S2(2)=ct

λl

ϕs

G1

S2=ct. d/λ

106

două soluţii posibile ale lui Y5, pe cercul unitar. 1

G , corespunzătoare admitanţelor (1)4

Y şi (2)

4Y :

(1)5

(1)5

j + 1 = BY (2)5

(2)5

j + 1 = BY . Dar

52 1 = YY − şi deci:

(1)

5(1)

2 j = BY − ; (2)

5(2)

2 j = BY −

Admitanţele

1Y şi

2Y se realizează fie cu inductivităţi şi/sau capacităţi, fie cu

segmente de linie terminate în scurtcircuit sau în gol. Tehnica stabilirii lungimilor acestor segmente de linie este aceeaşi cu cea care a fost expusă în cazul adaptării utilizând un singur element reactiv. Se recomandă utilizarea celor mai scurte segmente realizabile tehnologic, deoarece dezadaptarea ce apare la modificarea frecvenţei este cu atât mai redusă cu cât aceste segmente sunt mai scurte. În prima figură a acestui subcapitol b) este reprezentat şi un sistem de adaptare cu două elemente reactive, reacordabil atunci când se modifică frecvenţa de lucru. Modificând poziţia barelor de scurtcircuitare C1-C1' şi D1-D1' se pot modifica valorile admitanţelor

1Y , respectiv

2Y , astfel încât să obţinem adaptarea la o nouă frecvenţă de

lucru.

Dacă Y3 cade în interiorul cercului GT fără intersecţie cu cercul G=1 rotit antiorar cu d/λ G3 ∩G1R = ∅ nu se poate realiza adaptarea cu doar două elemente reactive

0o

±180o

90o - 90o

B = 0 G1R

B = -1 B = 1 G1 G = 1

GT

G3

Y3

S1=ct

Y

YS

107

Problema adaptării sarcinii folosind două elemente reactive nu are întotdeauna soluţie. Fie cercul const. = G tangent cu cercul unitar rotit,

RG

1, şi notat cu TG pe figura

următoare. Dacă 3

Y cade în interiorul cercului delimitat de TG , atunci cercul const. = 3

G nu mai intersectează cercul TG şi deci nu există soluţie la problema de adaptare. În acest caz se conectează în paralel cu sarcina, un al treilea element reactiv care determină

mutarea punctului sY pe diagramă. Valoarea celei de-a treia admitanţe, 'sY trebuie în aşa

fel aleasă încât 3

Y să nu cadă în interiorul discului delimitat de cercul TG . Evident soluţia problemei nu este unică. Abilitatea de a alege cele mai scurte segmente de linie

pentru a realiza admitanţele 'sY ,

1Y şi

2Y este hotărâtoare pentru ca dezadaptarea să

rămână în limite acceptabile într-o bandă de frecvenţe cât mai mare.

Problema de adaptare are întotdeauna soluţii dacă se utilizează trei elemente reactive.

A D C B

A' D' C' B'

Yi =1→Y2 Y1 YS YS'

Yc =1

Adaptarea cu trei elemente reactive

108

109

110

111

112

113

114

Transformatorul de adaptare în λ / 4

Adaptarea unei sarcini 1 = cs YY ≠ se poate obţine şi prin folosirea unui segment de linie cu lungimea /4λ (sfert de lungime de undă) cu o admitanţă caracteristică normată, potrivit aleasă.

Structura unui astfel se sistem de adaptare este prezentată în figura de mai sus. Fie

drY admitanţa segmentului de linie C-C' ÷ B-B' văzută spre dreapta şi Yst.

admitanţa văzută spre stânga segmentului de linie A-A' ÷ D-D'. Se notează cu lt lungimea transformatorului în λ⁄4, respectiv a tronsonului D -D ' ÷ C -C ' cu tλ lungimea de undă măsurată pe linie şi cu Yt admitanţa caracteristică a transformatorului. Unghiul electric corespunzător este:

2 =

4 2 = = πλ⋅

λπ

βθ t

ttt l

Deoarece ∞±θ

π→θ = tg

/2lim .

dr

2t

ttdr t

tttdrti Y

Y = l tgY j + Y l tgY j + Y Y

/2lim = Y

ββ

π→θ

Dacă generatorul este adaptat la linie, 1 = = cg YY , atunci admitanţa segmentului

de linie D -D ' ÷ A - A ', văzută spre stânga, este 1 = stY . Pentru a realiza adaptarea în D - D ' este necesar să avem:

dr

2t

ist YY = Y1 = Y =

Rezultă că admitanţa caracteristică a transformatorului de adaptare este:

A D C B

A' D' C' B'

41

=t

tlλ

λl

Ys Yg=1 Ig

Yc=1 Yst=1

Yi

Yt Yc=1

Ydr

Adaptarea sarcinii Ys utilizând un transformator sfert de lungime de undă (în λ⁄4)

115

drdrstt YYYY = = ⋅

sau inversând rezultă impedanţa caracteristică tZ ca fiind:

drdrstt ZZZZ = = ⋅

Se pot realiza linii de lungime λ/4 pentru care admitanţa (impedanţa)

caracteristică este reală. Cum R 1 = ∈stY este necesar să avem şi R ∈drY pentru ca să obţinem R ∈tY . Dar sarcinile nu sunt în general reale. Pentru a folosi această metodă de adaptare este necesar să găsim un punct pe linie în care admitanţa care se vede spre sarcină Ydr are partea imaginară nulă.

În figură se arată cum se determină lungimea λ /l ale segmentului de linie CC ' ÷ BB '. Se trasează cecul const. = S ce trece prin sY , imaginea sarcinii în diagramă. Deplasându-ne din punctul sY în sensul de la sarcină spre generator , pe cercul S ct care trece prin sarcină, se determină două admitanţe reale:

0 j + S1/ = Ydr1 corespunzătoare punctului N şi

0 j + S= Ydr2 , corespunzătoare punctului P

Distanţele corespunzătoare (1)l şi (1)(2) + 0,25 = ll λ . Se pot determina de pe

diagramă din diferenţa coordonatelor corespunzătoare admitanţelor. (Unghiurile de rotire

P

0o

±180o

–90o 90o -180o

B = 0

B= -1 B= 1

Ys M

N

l(1)/λ

S1

1drY =

Γ= Γs

Γ= – Γs

G= 1

λ0,25

λ

(1)(2) ll+=

Ydr2=S

Transformatorul în λ⁄4 are Yt reală ptr. două valori reale ale lui Ydr, 1/S şi S, corespunzâtoare argumentului de 0o şi respectiv de 180o al coeficientul

de reflexie de pe linie

116

corespunzătoare acestor lungimi normate (1)l respectiv (1)(2) + 0,25 = ll λ pot fi citite din diagramă). Punctul N, cu SY /1 = 1 şi 1 > = 1 SZ corespunde unui maxim de tensiune de pe linia neadaptată. Punctul P, cu S= 2Y şi 1 < /1 = 2 SZ corespunde unui minim de tensiune de pe linia neadaptată.

Dacă 1 = Yst şi S/1 = Ydr rezultă /1 = SYt sau SZt = .

Dacă 1 = Yst şi S= Ydr se obţine = SYt sau SZt 1/ = .

Relaţiile anterioare sunt valabile si pentru valori nenormalizate, caz în care se determină tY (sau tZ ) nenormalizat.

Exemplu 5 Să se adapteze o linie având Ω= 50cZ la o sarcină reală Ω75 =sZ , aşa cum se arată în figură,

folosind un transformator de lungime /4λ . Avem Ω50 =stZ şi Ω75 =drZ şi, conform relaţiei

rezultă Ω≅⋅= 61,24 75 50 ZZ=Z drstt . Lungimea tl se ia /4tλ . Ca şi celelalte metode de adaptare prezentate, transformatorul în /4λ realizează, teoretic

o adaptare perfectă la frecvenţele la care 2

)1n2(n + 2

= ltt π

+=ππ

β . Dacă dorim să evaluăm

calitatea unei adaptări ar fi necesar să specificăm comportarea dispozitivului de adaptare în jurul frecvenţei (frecvenţelor) de adaptare "perfectă". Pentru aceasta vom considera că sarcina este reală şi nu depinde de frecvenţă. În consecinţă transformatorul /4λ poate fi cuplat direct pe sarcină. Deci în mărimi normate

R = ∈sdr YY şi st YY = .

Se determină coeficientul de reflexie iΓ introdus de transformator ca urmare a variaţiei frecvenţe. Admitanţa de intrare tY în planul C -C ' este:

tt

tts

tti ll

YY

YY 2 = = tg j + Y tg j + Y

= t

s ⋅λ

πβθ

θ

θ

Conform relaţiei de definiţie a coeficientului de reflexie, dacă se înlocuieşte Yt= √Ys se

obţine:

Γi

B

A' B'

C

C'’

A Zc=50Ω

Zt Zs=75Ω

lt

Adaptarea sarcinii de 75Ω la linia de 50Ω cu un transformator de lungime λ/4

117

( ) ( )( ) ( )

( )( ) θ

−

θ

θ−−−Γ

tg2 j + + 1 1

= tg + j + + 1 tg j + 1

= + 1 1

= 2

2

sss

ss

tsst

tsst

i

i i YYY

YY

YYYYYYYY

YY

Dar în jurul frecvenţelor de adaptare ( )

2 1 + 2 π

≅θ n şi deci 1sin ≅θ dar 1 cos <<θ . Se

poate face deci aproximaţia θ

≅θ cos

1 tg . Cu această aproximare şi ţinând seama de expresia

lui sΓ , ( ) ( )ss s YY + 1 / 1 = −Γ , iΓ devine:

( ) θ⋅

⋅Γ≅

θ

⋅Γ≅Γ

22 cos1

+ 1 4

+ 1

1 tg

+ 1 2

j + 1

1

s

s s

s

s s i

YY

YY

sau în final:

cos 2

+ 1 θΓ≅Γ

c

s s i Y

Y (50)

Relaţia este valabilă numai pentru unghiuri electrice θ apropiate de multipli impari de

/2π . Forma de variaţie a modulului coeficientului de reflexie introdus de transformator este arătată în figură. Dacă admitem un coeficient de reflexie cu maximul modulului M Γ , în banda de adaptare, atunci rezultă unghiul electric corespunzător, mθ ca soluţie a ecuaţiei:

2

< cos 2

+ 1 = π

θθ⋅ΓΓ mms

ssM Y

Y (51)

Banda de frecvenţă a transformatorului, relativă la prima frecvenţă de adaptare se calculează cu:

( )

πθ−π

π

θ−

π∆ m

m

ff 2 2

=

2

2

2 =

(52)

≈ ≈

90o 180o 270o

θm 180o– θBθ

Γi

Γs Γs

Γ M

0 0 βl

Caracteristica de reflexie a transformatorului λ/4

118

Pentru transformatorul din exemplul 5 valoarea normată a admitanţei de sarcină este

2/3 YY

= YC

Ssn = iar valoarea normată a admitanţei transformatorului de adaptare este

/36 = tY . Dacă se cuplează sarcina de Ω 75 direct la linia Ω 50 se obţine un coeficient de reflexie în dreptul sarcinii:

0,2 = 50 + 7550 75 = −

Γs

Admiţând 01,0 201 = sM =ΓΓ , rezultă:

2

< , cos

36 2

32 + 1

= 201 π

θθ⋅ΓΓ mm ss

Se obţine π≅θ 0,484 m . În consecinţă banda de frecvenţă relativă în care modulul coeficientului de reflexie nu întrece valoarea de 0,01 este 0640,≅∆ ff sau 6,4%.

Se poate trage concluzia că transformatorul /4λ asigură o adaptare de calitate bună doar într-o bandă de frecvenţe relativ redusă. Este evident că adaptarea se realizează nu numai la frecvenţa f ci şi la frecvenţele 3f, 5f .... Banda relativă de frecvenţă în care Mi Γ≤Γ este din ce în ce mai mică. Astfel la frecvenţa

3f avem 0,021 = /30,064 /3 ≅∆ ff sau % 6,4 < 2,1% .

119

Cursul 10

Transformatorul de adaptare în λ / 4

Adaptarea unei sarcini 1 = cs YY ≠ se poate obţine şi prin folosirea unui segment de linie cu lungimea /4λ (sfert de lungime de undă) cu o admitanţă caracteristică normată, potrivit aleasă.

Structura unui astfel se sistem de adaptare este prezentată în figura de mai sus. Fie

drY admitanţa segmentului de linie C-C' ÷ B-B' văzută spre dreapta şi Yst.

admitanţa văzută spre stânga segmentului de linie A-A' ÷ D-D'. Se notează cu lt lungimea transformatorului în λ⁄4, respectiv a tronsonului D -D ' ÷ C -C ' cu tλ lungimea de undă măsurată pe linie şi cu Yt admitanţa caracteristică a transformatorului. Unghiul electric corespunzător este:

2 =

4 2 = = πλ⋅

λπ

βθ t

ttt l

Deoarece ∞±θ

π→θ = tg

/2lim .

dr

2t

ttdr t

tttdrti Y

Y = l tgY j + Y l tgY j + Y Y

/2lim = Y

ββ

π→θ

Dacă generatorul este adaptat la linie, 1 = = cg YY , atunci admitanţa segmentului

de linie D -D ' ÷ A - A ', văzută spre stânga, este 1 = stY . Pentru a realiza adaptarea în D - D ' este necesar să avem:

dr

2t

ist YY = Y1 = Y =

Rezultă că admitanţa caracteristică a transformatorului de adaptare este:

drdrstt YYYY = = ⋅

A D C B

A' D' C' B'

41

=t

tlλ

λl

Ys Yg=1 Ig

Yc=1 Yst=1

Yi

Yt Yc=1

Ydr

Adaptarea sarcinii Ys utilizând un transformator sfert de lungime de undă (în λ⁄4)

120

sau inversând rezultă impedanţa caracteristică tZ ca fiind:

drdrstt ZZZZ = = ⋅

Se pot realiza linii de lungime λ/4 pentru care admitanţa (impedanţa)

caracteristică este reală. Cum R 1 = ∈stY este necesar să avem şi R ∈drY pentru ca să obţinem R ∈tY . Dar sarcinile nu sunt în general reale. Pentru a folosi această metodă de adaptare este necesar să găsim un punct pe linie în care admitanţa care se vede spre sarcină Ydr are partea imaginară nulă.

În figură se arată cum se determină lungimea λ /l ale segmentului de linie CC ' ÷ BB '. Se trasează cecul const. = S ce trece prin sY , imaginea sarcinii în diagramă. Deplasându-ne din punctul sY în sensul de la sarcină spre generator , pe cercul S ct care trece prin sarcină, se determină două admitanţe reale:

0 j + S1/ = Ydr1 corespunzătoare punctului N şi

0 j + S= Ydr2 , corespunzătoare punctului P

Distanţele corespunzătoare (1)l şi (1)(2) + 0,25 = ll λ . Se pot determina de pe

diagramă din diferenţa coordonatelor corespunzătoare admitanţelor. (Unghiurile de rotire corespunzătoare acestor lungimi normate (1)l respectiv (1)(2) + 0,25 = ll λ pot fi citite din

P

0o

±180o

–90o 90o -180o

B = 0

B= -1 B= 1

Ys M

N

l(1)/λ

S1

1drY =

Γ= Γs

Γ= – Γs

G= 1

λ0,25

λ

(1)(2) ll+=

Ydr2=S

Transformatorul în λ⁄4 are Yt reală ptr. două valori reale ale lui Ydr, 1/S şi S, corespunzâtoare argumentului de 0o şi respectiv de 180o al coeficientul

de reflexie de pe linie

121

diagramă). Punctul N, cu SY /1 = 1 şi 1 > = 1 SZ corespunde unui maxim de tensiune de pe linia neadaptată. Punctul P, cu S= 2Y şi 1 < /1 = 2 SZ corespunde unui minim de tensiune de pe linia neadaptată.

Dacă 1 = Yst şi S/1 = Ydr rezultă /1 = SYt sau SZt = .

Dacă 1 = Yst şi S= Ydr se obţine = SYt sau SZt 1/ = .

Relaţiile anterioare sunt valabile si pentru valori nenormalizate, caz în care se determină tY (sau tZ ) nenormalizat.

Exemplu 5 Să se adapteze o linie având Ω= 50cZ la o sarcină reală Ω75 =sZ , aşa cum se arată în figură,

folosind un transformator de lungime /4λ . Avem Ω50 =stZ şi Ω75 =drZ şi, conform relaţiei

rezultă Ω≅⋅= 61,24 75 50 ZZ=Z drstt . Lungimea tl se ia /4tλ . Ca şi celelalte metode de adaptare prezentate, transformatorul în /4λ realizează, teoretic

o adaptare perfectă la frecvenţele la care 2

)1n2(n + 2

= ltt π

+=ππ

β . Dacă dorim să evaluăm

calitatea unei adaptări ar fi necesar să specificăm comportarea dispozitivului de adaptare în jurul frecvenţei (frecvenţelor) de adaptare "perfectă". Pentru aceasta vom considera că sarcina este reală şi nu depinde de frecvenţă. În consecinţă transformatorul /4λ poate fi cuplat direct pe sarcină. Deci în mărimi normate

R = ∈sdr YY şi st YY = .

Se determină coeficientul de reflexie iΓ introdus de transformator ca urmare a variaţiei frecvenţe. Admitanţa de intrare tY în planul C -C ' este:

tt

tts

tti ll

YY

YY 2 = = tg j + Y tg j + Y

= t

s ⋅λ

πβθ

θ

θ

Conform relaţiei de definiţie a coeficientului de reflexie, dacă se înlocuieşte Yt= √Ys se

obţine:

Γi

B

A' B'

C

C'’

A Zc=50Ω

Zt Zs=75Ω

lt

Adaptarea sarcinii de 75Ω la linia de 50Ω cu un transformator de lungime λ/4

122

( ) ( )( ) ( )

( )( ) θ

−

θ

θ−−−Γ

tg2 j + + 1 1

= tg + j + + 1 tg j + 1

= + 1 1

= 2

2

sss

ss

tsst

tsst

i

i i YYY

YY

YYYYYYYY

YY

Dar în jurul frecvenţelor de adaptare ( )

2 1 + 2 π

≅θ n şi deci 1sin ≅θ dar 1 cos <<θ . Se

poate face deci aproximaţia θ

≅θ cos

1 tg . Cu această aproximare şi ţinând seama de expresia

lui sΓ , ( ) ( )ss s YY + 1 / 1 = −Γ , iΓ devine:

( ) θ⋅

⋅Γ≅

θ

⋅Γ≅Γ

22 cos1

+ 1 4

+ 1

1 tg

+ 1 2

j + 1

1

s

s s

s

s s i

YY

YY

sau în final:

cos 2

+ 1 θΓ≅Γ

c

s s i Y

Y (50)

Relaţia este valabilă numai pentru unghiuri electrice θ apropiate de multipli impari de

/2π . Forma de variaţie a modulului coeficientului de reflexie introdus de transformator este arătată în figură. Dacă admitem un coeficient de reflexie cu maximul modulului M Γ , în banda de adaptare, atunci rezultă unghiul electric corespunzător, mθ ca soluţie a ecuaţiei:

2

< cos 2

+ 1 = π

θθ⋅ΓΓ mms

ssM Y

Y (51)

Banda de frecvenţă a transformatorului, relativă la prima frecvenţă de adaptare se calculează cu:

( )

πθ−π

π

θ−

π∆ m

m

ff 2 2

=

2

2

2 =

(52)

≈ ≈

90o 180o 270o

θm 180o– θBθ

Γi

Γs Γs

Γ M

0 0 βl

Caracteristica de reflexie a transformatorului λ/4

123

Pentru transformatorul din exemplul 5 valoarea normată a admitanţei de sarcină este

2/3 YY

= YC

Ssn = iar valoarea normată a admitanţei transformatorului de adaptare este

/36 = tY . Dacă se cuplează sarcina de Ω 75 direct la linia Ω 50 se obţine un coeficient de reflexie în dreptul sarcinii:

0,2 = 50 + 7550 75 = −

Γs

Admiţând 01,0 201 = sM =ΓΓ , rezultă:

2

< , cos

36 2

32 + 1

= 201 π

θθ⋅ΓΓ mm ss

Se obţine π≅θ 0,484 m . În consecinţă banda de frecvenţă relativă în care modulul coeficientului de reflexie nu întrece valoarea de 0,01 este 0640,≅∆ ff sau 6,4%.

Se poate trage concluzia că transformatorul /4λ asigură o adaptare de calitate bună doar într-o bandă de frecvenţe relativ redusă. Este evident că adaptarea se realizează nu numai la frecvenţa f ci şi la frecvenţele 3f, 5f .... Banda relativă de frecvenţă în care Mi Γ≤Γ este din ce în ce mai mică. Astfel la frecvenţa

3f avem 0,021 = /30,064 /3 ≅∆ ff sau % 6,4 < 2,1% .

Linia de transmisie ca circuit rezonant Impedanţa de intrare ( )lZi în prezenţa pierderilor este:

( ) ( )( ) l sh Z + l ch Z

l sh Z + l ch ZZ = l sh

ZU + l ch I

l sh IZ + l ch U = l Il U = lZ

sc

csc

c

ss

scsi γγ

γγ

γγ

γγ

Fie pierderile foarte mici şi lungimile l ale segmentelor relativ reduse, astfel încât

1 <<α l şi se pot utiliza aproximările: sin j + cos sh ; sin j + cos ch llll ll ll ββα≅γβαβ≅γ În aceste condiţii, ( )lZi este:

124

( )( ) lZl Zl ZZ

lZl Zl ZZZlZ

scsc

cscsci tg + j + +

tg + j + + = ) (

βααβαα

(53)

Dacă segmentul de linie este terminat în scurtcircuit, Z = 0s , impedanţa sa de intrare este:

( )l l

llZll ZZ l Zl Z

ZlZ ccc

ccci tg j + 1

tgj + = tg j +

tg j + =

βαβα

βαβα

(54)

1) Rezonanţa serie Pentru a obţine rezonanţa serie este necesar ca la frecvenţa de rezonanţă

0ω să fie

îndeplinită condiţia 0 )l(Z rsi ≅ . În cazul ideal, al pierderilor nule, lungimea rsl trebuie să satisfacă condiţia πβ n = l rsrs .

Deoarece:0

rs 2 = ωλπ

β se obţine condiţia:

r r

00

0rs

= ; 2

n = lµε

λλ

λω

ω (55)

unde cu 0ωλ s-a notat lungimea de undă pe linie, la frecvenţa de rezonanţă. Se ştie că impedanţa unui circuit rezonant serie Rs, Ls, Cs, este în jurul frecvenţei de rezonanţă

ssCL / 1 = 0

ω :

( )

2

0

2 4 + 1 =

ωω∆

ω QRZ ss 2 arctg = )( Arg0

ωω∆

ω QZ s (56)

unde factorul de calitate Q se calculează cu relaţia:

R

L =Q s

s0ω (57)

Se poate demonstra că dacă se notează:

αα

β lZ= R ; 2

= Q rscrs

Pentru un tronson de linie terminat în scurtcircuit la rezonanţa serie:

125

( ) 4 + 1 = 2

0

2

ωω∆

ω QRZi () ( )

ωω∆

ωϕ Q 2 arctg = 0

(58)

Se observă că relaţiile sunt identice cu cele ale unui circuit rezonant serie.

În concluzie, segmentul de linie terminat în scurtcircuit, având o lungime 2

n = l 0rs

ωλ este

echivalent cu un circuit rezonant serie, cu factorul de calitate invers proporţional cu constanta de atenuare a liniei, α.

2) Rezonanţa paralel Pentru a obţine rezonanţa paralel este necesar ca la frecvenţa de rezonanţă

0ω să fie

îndeplinită condiţia ∞→ )l(Z rsi Această condiţie este îndeplinită în absenţa pierderilor dacă:

2 + n = lrsrsπ

πβ sau ( )4

1n2l 0rs

ωλ+= , n ∈ N (59)

Se ştie că impedanţa unui circuit rezonant paralel Gp, Lp, Cp, este în jurul frecvenţei de rezonanţă pp CL/ 1 =

0ω :

( ) Q 2 j + 1 G

1 Z

0p

p

ω

ω∆≅ω (60)

Unde factorul de calitate este:

p

p0

GC

= Q ω

(61)

Dacă se notează:

0

000 2 = ; = ;

2 =

βπ

ωαα

βcp YlGQ (62)

Se poate demonstra că linia de lungime ( ) /4 1 + n2 = l 0rs ωλ terminată în scurtcircuit are o aceeaşi impedanţă de intrare ca şi un circuit rezonant paralel, deci se comportă ca şi acesta. Observaţii

1. Dacă sarcina liniilor anterior studiate este golul, circuitele echivalente implementate la rezonanţă se inversează ( ptr.aceleaşi lungimi).

126

Se preferă utilizarea liniilor terminate în scurtcircuit şi nu în gol din punctul de

vedere al posibilităţii de realizare tehnică. 2. Prin definiţie, factorul de calitate al unui circuit rezonant este raportul dintre energia electromagnetică medie înmagazinată şi energia disipată într-o perioadă a semnalului, la frecvenţa de rezonanţă

0ω . În literatura de specialitate există şi următoarele relaţii de calcul ale factorului

de calitate:

0 = 0

0 )d(

)( d 2

= ωωω

ωω XR

Q (63)

0 = 0

0 )d()( d

2 =

ωωωωω B

GQ (64)

unde: )(ωX este reactanţa circuitului rezonant, iar

0R este rezistenţa de pierderi serie, la

frecvenţa de rezonanţă 0

ω şi respectiv )(ωB este susceptanţa circuitului rezonant, iar 0

G este

conductanţa de pierderi paralel, la frecvenţa de rezonanţă 0

ω . Se recomandă relaţia (63) pentru calculul factorului de calitate la rezonanţa serie şi relaţia (64) pentru calculul factorului de calitate la rezonanţa paralelă. 3. Pentru diferitele tipuri de linii, literatura oferă atât relaţii de calcul exacte cât şi aproximări ale parametrilor caracteristici R,L,G şi C. Tabelul de mai jos prezintă câteva aproximări ale parametrilor liniei ptr. linia (ghidul ) plan paralelă, linia bifilară şi linia coaxială. În relaţii w, a,b, D, b reprezintă dimensiuni în conformitate cu notaţiile din figură, μ, ε, σ se referă la mediul dielectric de separare şi μc, σc se referă la conductor. Cu RS s-a notat rezistenţa conductorului, dată de relaţia:

1’

2

2’

1

1 1’

1 2

1’ 2’

1 1’

1

1’

1 1’

1 1’

1

1’

/ 4λ / 4λ

/ 2λ / 2λ

127

c

cs

fRσµπ

=

Odată determinaţi aceşti parametrii ai liniei se pot calcula şi impedanţa caracteristică şi constanta de propagare.

Alte aplicaţii ale liniilor

Alte aplicaţii ale liniilor decât cele anterior menţionate sunt circuitele de simetrizare şi liniile de întârziere.

1. Circuitele de simetrizare, cunoscute în literatura de limbă engleză şi sub denumirea de transformatoare "balun" (de la Balanced-Unbalanced) permit conectarea unor circuite (linii) nesimetrice cu circuite (linii) simetrice ca de exemplu cuplarea: • liniei bifilare cu linia coaxială; • antenei dipol simetric la o linie de transmisie (feeder) simetrică; • antenei dipol simetric la o linie de asimetrică; • liniei simetrice la o linie asimetrică prin aşa numitul pahar de simetrizare în λ/4, cu variantele sale constructive

128

2. Liniile de întârziere realizează şi adaptarea generatorului şi/sau a sarcinii la linia de transmisie şi au de exemplu aplicabilitate în:

• Osciloscoapele de radiofrecvenţă şi microunde în realizarea unei întârzieri între momentul declanşării bazei de timp a osciloscopului şi aplicării semnalului la plăcile de deflexie pe verticală,

• Formarea unor impulsuri scurte de durată stabilă , de obicei se utilizează linii terminate în gol

Ghiduri plate

Ghidurile plate sunt constituite dintr-un substrat de dielectric subţire cu metalizări pentru masă pe două plane (stripline) sau numai pe unul (microstrip).

Substratul dielectric poate fi : • izotrop ca de exemplu alumină (Al2 O3 care este în mod uzual utilizată), sticlă • anizotrop ca de exemplu safir, cuarţ, GaAs sau Si • cu proprietăţi magnetice –ca de exemplu ferite

Aceste structuri de ghidare sunt cel mai des utilizate în tehnologia peliculelor subţiri sau groase şi prin integrarea unor dispozitive active permit realizarea circuitelor integrate pentru microunde (Microwaves integrated circuits) a circuitelor integrate monolitice (Monolitic integrated circuits) sau circuitelor hibride. Controlând dimensiunile metalizărilor se pot realiza linii de transmisie, circuite de adaptare, componente pasive prin diferite tehnologii ale peliculelor subţiri. Figura prezintă mai multe tipuri:

• microstrip • ghiduri plate coplanare (coplanar waveguide); • linie tip canal –slotline • linie coplanară- coplanar stripline

Odată substratul ales caracteristicile liniei sunt determinate prin lăţimea conductoarelor şi/sau spaţiile libere ale suprafeţelor superioare. Cel mai des utilizată este linia microstrip Ghidurile plate coplanare sunt şi ele uzuale la frecvenţele microundelor. Structurile slotline şi liniile coplanare stripline sunt cel mai puţin utilizate în domeniul frecvenţelor microundelor. Practic în tehnologia microstrip pot fi implementate:

• filtre • circuite rezonante • reţele de distribuţie • circuite de adaptare • cuploare • diplexoare

Conductor

Substrat dielectric

Plan de masă

Plan de masă

Conduct Substrat dielectric

129

Se pot adăuga şi componente active prin conexiuni la stratul conductor de masă, cu observaţia

că la frecvenţe mari acestea introduc inductanţe parazite. Modul de propagare este cvasi TEM, numit astfel datorită asemănării cu modurile TEM.

Liniile de câmp se închid nu numai prin dielectricul suportului, cu constanta dielectrică rε , ci şi prin aer ( 1≅ε r ) şi majoritatea puterii este concentrată în zona delimitată de lăţimea benzii microstripului.

Exploatarea ghidului de undă microstrip se face numai în domeniul de frecvenţă pentru care se propagă modul cvasi TEM.

Utilizând substrat cu permitivitate mare şi ecranare se minimizează radiaţia. Impedanţa caracteristică a liniei microstrip este în domeniul 20-125 Ω. O impedanţă caracteristică de 50Ω pe un substrat de alumină de 25 mil poate suporta puteri de ordinul kW, este de bandă largă. (1mil=25,4 μm unitate de măsură ptr.dimensiuni mici, uzuală în SUA, deci a mia parte dintr-un inch 1inch=25,4 mm)

130

Majoritatea metodelor de proiectare prezente în literatură utilizează o aproximare cvasistatică ptr. Zc la frecvenţe joase şi un model de dispersie dependent de frecvenţă Zc(f). Dacă grosimea t a linie i este neglijabilă în raport cu grosimea h a dielectricului, adică

0,005 t/h ≤ (1) sunt aplicabile următoarele relaţii:

1 hwpentru

hw 1 0,04 +

ah12 + 1

1 2

1 + 2

1 + = 2

rref ≤

−

−εεε (2)

[ ] 1 hwpentru ;

hw 0,25 +

wh 8ln 60 = Z

efc ≤Ω

ε (3)

şi:

1 hwpentru ;

wh12 + 1

1 2

1 + 2

1 + = rref ≥⋅

−εεε (4)

()

[ ] 1 hwpentru ;

1,444 + hwln 0,667 + 1,393 +

hw

1 120 = Zef

c ≥Ω

⋅ε

π (5)

Organigrama procedurii de determinare a impedanţei caracteristice şi a permitivităţii electrice efective a dielectricului este reprezentată în figura de mai jos.

131

Lungimea de undă pe linie λ se calculează în funcţie de lungimea de undă în vid 0λ şi constanta dielectrică efectivă, cu relaţia:

efε

λλ 0 = (6)

Exemplul 1 Se doreşte implementarea unei linii microstrip cu impedanţa caracteristică Zc=90 Ω la frecvenţa de 10 GHz. Se alege o linie microstrip cu dimensiunile h=1mm şi w=0,2mm realizată pe un suport de cuarţ având 9,7=ε r . Se verifică dacă este satisfăcută condiţia de aplicare a relaţiilor de proiectare cu pelicule subţiri, adică grosimea t a conductorului liniei să fie neglijabilă în raport cu grosimea dielectricului:

m 1000 0,005 µ⋅≤t sau m 5 µ≤t . Se calculează permitivitatea dielectrică efectivă aplicând relaţia (1) deoarece

1 < 0,2 = 0,2/1 = w/h :

( ) 6,018 0,2 1 0,04 + 5 12 + 1

1 2

1 9,7 + 2

1 +9,7 = 2 ≅

−

⋅−

εef

Se calculează apoi impedanţa caracteristică cu relaţia (2):

( ) [ ]Ω≅⋅⋅ 90,3 0,2 0,25 + 5 8ln 6,01860 = cZ

132

Întrucât valoarea determinată ptr Zc este mai mare decât cea dorită trebuie mărită dimensiunea w , de exemplu cu 10% , se recalculează εef apoi Zc . Se aplică în mod iterativ relaţiile (1) şi (2) pana când impedanţa caracteristică implementată are o eroare acceptabilă. Lungimea de undă pe linia microstrip la frecvenţa de GHz 10 este:

cm 1,22 6,018

3 ≅≅λ

Dacă linia nu este de grosime t neglijabilă, adică 0,005 t /h > , în relaţiile anterior prezentate lăţimea liniei, w, se substituie cu o lăţime "efectivă", wef, calculată cu:

≤

π≥

π

2w ,

2hmin t ,

21

hw ;

th 2ln + 1 t + w = wef (7)

≤

π≥

π

π

2w ,

2hmin t ,

21

hw ;

tw 4ln + 1 t + w = wef (8)

Exemplul 2 Dacă linia din exemplul 1 are grosimea m 50 = µt se poate aplica relaţia (7) deoarece

π21 > 0,2 =

hw

şi minimul dintre 2h

şi 2w

este t > m 100 = m 100 m, 500min µµµ . Lăţimea

efectivă a liniei devine:

mm 0,2 > mm 0,275 = 0,05

1 2ln + 1 0,05 + 0,2 = w ef

⋅π

Cu 1 < /10,275 = h/wef se calculează cu relaţiile (1) şi (2) efε şi cZ

( ) 6,093 0,275 1 0,04 +

0,27512 + 1

1 2

8,7 + 2

10,7 = 2 ≅

−εef

[ ]Ω≅

⋅⋅ 81,98

10,275 0,25 +

0,2751 8ln

6,01860 = cZ

Lungimea de undă pe linie este:

cm 1,22 6,093

3 = ≅λ

133

Cursul 11 Odată determinate Zc şi εef se pot determina efectele dispersiei utilizând formulele de

calcul ale lui Hammerstad şi Jensen ptr. Zc(f) şi ale lui Kobayashi ptr. εef (f). În figurile de mai jos sunt reprezentate caracteristicile de dispersie ale impedanţei caracteristice Zc şi permitivităţii dielectrice ptr. diferite tipuri de linii microstrip pe diferite substraturi, în funcţie de frecvenţă. Se observă că Zc se modifică mai dramatic în funcţie de frecvenţă decât efε Caracteristicile sunt

aproximativ plate până la frecvenţa de 10 GHz şi se modifică semnificativ de la frecvenţa de 70 GHz., care reprezintă maximul frecvenţelor de operare cu linii microstrip. Pe lângă dispersie la frecvenţe mari se complică proiectarea datorită:

• pierderilor prin radiaţie • factorului de calitate redus • propagării şi a altor moduri.

Poate apare un cuplaj între modul cvasi-TEM al liniei microstrip şi cel mai mic mod care se propagă în substrat. Există o relaţie ce aproximează frecvenţa la care acest cuplaj devine semnificativ.

În plus vor apare şi moduri superioare TE şi TM. Frecvenţa limită peste care pot apare şi moduri superioare este dată de relaţia:

( )12h2cf

rc −ε

=

Caracteristicile de dispersie ale liniei de Zc=50Ω pe diferite substraturi -cu linie continuă ptr.substrat cu εr=2,33, h=31 mils, w=90 mils,

134

- cu linie punctată ptr.substrat cu εr=10,2; h=25 mils, w=23 mils, -cu punct şi linie ptr.substrat cu εr=9; h=2,464; mils, w=2,5 mils, În calculele exacte de proiectare se ţine cont de pierderile în linia microstrip, care sunt datorate pierderilor în conductor, dielectric şi efectelor dispersive ale capsulei de protecţie şi ecranare. Se dau în literatura de specialitate relaţii pentru calculul constantei de atenuare şi relaţii ce permit evaluarea influenţei ecranelor metalice ale capsulei de protecţie (cutie) în care este plasată linia. Evident în prezent este posibilă evitarea formulelor prin programarea în CAD

Ghiduri plate coplanare Ghidurile plate coplanare au o linie de semnal şi două linii de masă pe un suport

dielectric cu o metalizare pe o parte. Au fost implementate începând cu 1969, dar au fost mai greu acceptate deoarece nici

până în prezent nu există modele simple şi de încredere ca în cazul liniilor microstrip. Au caracteristici mai bune decât liniile microstrip. Integrarea componentelor active este

mai simplă, deoarece nu necesită legături care străbat dielectricul. Elementele parazite sunt mai reduse decât în cazul liniilor microstrip, astfel încât sunt recomandate ptr. utilizare la frecvenţe înalte acolo unde minimizarea lor este principala preocupare în proiectare.

Suportă 2 moduri fundamentale,unul dorit şi unul nedorit, dacă cele două trasee de masă nu au acelaşi potenţial.

Ghiduri de undă În accepţiunea generală termenul de ghid desemnează orice structură fizică care ghidează undele electromagnetice. În tehnica frecvenţelor înalte prin ghid se înţelege o structură metalică închisă (determinată de paralele la axa z) cu o secţiune fixă, ce conţine dielectric, ca în figura de mai jos.

După forma secţiunii transversale se poate face o clasificare în ghiduri • plan paralele • dreptunghiulare • circulare • coaxiale • eliptice • plate

135

Ghidurile de undă au pierderi de putere mai mici decât la liniile şi sunt capabile să transmită puteri mai mari. Dezavantajele sunt masivitatea, greutatea şi banda limitată. Ori de cate ori este posibil se folosesc liniile microstrip- considerate şi ghiduri plate. Într-un ghid de undă câmpul electromagnetic poate avea o infinitate de structuri. O anumită structură corespunde unor anumite condiţii la limită pe suprafaţa pereţilor şi se numeşte mod. Secţiunea şi dielectricul determină caracteristicile modurilor. Fiecare mod este caracterizat de o frecvenţă de la care începe să se propage, într-un anume ghid, numită frecvenţă critică. Se poate face o clasificare a modurilor ce se propagă în ghiduri în moduri:

• transversal electrice, notate TE (numite şi moduri H) care au componente ale câmpului electric doar în secţiune transversală (Ez =0).

• transversal magnetice, notate TM (numite şi moduri E) au componente ale câmpului magnetic doar în secţiune transversală (Hz =0)

• hibride, de tip EH şi HE. Modurile hibride EH şi HE sunt prezente doar în anumite condiţii, ca de exemplu în ghidurile parţial umplute cu dielectric şi au toate componentele nenule. În acest caz, modurile TE şi TM, nu satisfac condiţiile la limită şi sunt necesare soluţii mai complexe, ca o sumă dintre o undă TE şi o undă TM. Modurile EH sunt caracteristice câmpurilor transversale care sunt controlate mai mult de Hz decât de Ez. Ele se mai numesc şi moduri LSE - longitudinal section electric. Modurile HE sunt caracteristice câmpurilor transversale care sunt controlate mai mult de Ez decât de Hz. Ele se mai numesc şi moduri LSM - longitudinal section magnetic.

Modurile TEM nu se propagă decât în ghidurile coaxiale - structuri metalice închise deoarece ele necesită ptr. propagare fie mediul liber, fie două conductoare (în cazul general ghidurile au un singur conductor metalic în exterior). Majoritatea tipurilor de ghiduri considerate în tehnică sunt omogene, astfel încât se vor aborda doar acestea. Se consideră un sistem de axe rectangulare x y z 0 . Axa longitudinală a ghidului este axa z cea după care presupunem că se propagă energia. Axele x şi y sunt axele transversale.

Vectorul Poynting complex ( )∗× HE 1/2 = S este paralel cu direcţia longitudinală, cea în care se consideră că se propagă energia.

Se scriu vectorii E şi H ca o sumă între componentele lor transversale tE , tH şi longitudinale, zE , zH :

zt E + E = E

zt H + H = H Vectorul Poynting devine:

434214342143421434210

*zz

ltransversavector

*zt

ltransversavector

*tz

zdupăvector

*tt

*z

*tzt )xHE(

21)xHE(

21)xHE(

21)xHE(

21)HH(x)EE(

21S

=

+++=++= (1)

Se reaminteşte că: • Produsul vectorial este un vector normal pe planul determinat de factori

136

• Produsul vectorial a doi vectori coliniari este nul (sin 90°=0) • Produsul scalar a doi vectori ortogonali este nul (cos 90°=0)

Se consideră un ghid dreptunghiular, ca cel reprezentat în figură:

Puterea transportată în lungul axei z se calculează cu:

⋅∫ ∫ yd xd k S 21Re= P

a b

0 0

(2)

Vectorii transversali din relaţia (1) au proiecţie nulă pe versorul k ,deci produsul

lor scalar cu versorul k este nul (cos 90°=0). Primul termen din relaţia (1) este unicul termen care are contribuţie la propagarea puterii şi expresia (2) se reduce la:

( )

⋅×∫ ∫ yd xd k 21Re= P

a b*tt

0 0

HE (3)

Se poate deci constata că au semnificaţie doar componentele câmpului

electromagnetic aflate într-un plan transversal pe direcţia de propagare. Acesta este motivul pentru care în cele ce urmează se vor separa componentele transversale de cele longitudinale.

Vectorii câmpului electric şi magnetic sunt:

)z ,y ,x( E + )z ,y ,x(E = )z ,y ,x(E zt (4)

)z,y,x( H + )z,y,x(H = )z,y,x(H zt (5)

Se reamintesc ecuaţiile câmpurilor E şi H :

0 = + 22 EE k∇

0 = + 22 HH k∇ unde

ωεσ

−µεω

j 1 = 22k .

a t x

y

z

b

Ghid cu secţiune dreptunghiulară

137

Se consideră propagarea după axa z, deci faza undei directe trebuie să fie zt β−ω , ceea ce înseamnă că în expresia fazorilor E şi H apare factorul z j e β− .

Factorul de atenuare este z e α− astfel încât dependenţa câmpurilor de variabila z este dată de factorul zzz j e e = e β−α−γ− pentru unda directă (ce descreşte ca amplitudine odată cu creşterea lui z) respectiv zzz j e e = e βαγ pentru unda inversă.

Se introduc funcţiile de repartiţie ale câmpului electric şi magnetic, după coordonatele transversale x şi y, e, h, respectiv axa z, ez şi hz,prin relaţiile:

[ ] zz yxyxzyx +++ e) ,( + ) ,( = ) ,,( γ−eeE (6)

[ ] z

z yxyxzyx +++ e ) ,( + ) ,( = ) ,,( γ−hhH (7)

Ptr. simplitate nu s-a notat indicele t de la transversal. Datorită sensului invers de propagare a energiei pentru unda inversă, aceasta

trebuie să aibă una dintre componentele transversale de sens opus faţă de cea din undă directă:

Prin convenţie se alege schimbarea semnului componentei câmpului magnetic transversal. Condiţiile la limită vor impune soluţia corectă, rotind eventual ambele componente, electrică şi magnetică, ale câmpului transversal în unda inversă. Relaţia între +

zh şi −zh şi +

ze şi −ze se va stabili ulterior .

[ ] zyxyxzyx z e) ,( + ) ,( = ) ,,( γ−−− eeE (8)

[ ] zz yxyxzyx e) ,( + ) ,( = ) ,,( γ−−− − hhH (9)

Operatorii ∇ şi ∇2 care intervin în scrierea ecuaţiilor ce permit determinarea câmpului electromagnetic au în coordonate carteziene, expresiile:

yxzzyx tt

+

= ;

+ =

+

+

= ∂∂

∂∂

∇∂∂

∇∂∂

∂∂

∂∂

∇ jikkji

2

2

2

22

2

22

2

2

2

2

2

22

+

= ;

+ =

+

+

=

yxzzyxtt

∂

∂

∂

∂∇

∂

∂∇

∂

∂

∂

∂

∂

∂∇

Pentru unda directă γ−≡∂∂ z

şi ( ) ( ) 22

2

=

γγ−⋅γ−≡∂

∂

z.

Ipoteze simplificatoare: • pereţii ghidului sunt perfect conductori ∞→σc

138

• în ghid există un mediu dielectric omogen şi izotrop, cu pierderile caracterizate de σ , o valoare de cele mai multe ori neglijabilă fără sarcini electrice libere (ρv =0) deci ε şi μ sunt mărimi scalare, constante în timp.

• semnalul care se propagă este armonic (ca funcţie de ejωt) deci ω=∂∂ jt

Pentru unda directă ecuaţiile lui Maxwell se pot scrie sub forma (în care am renunţat la semnul "+"). ( ) ( ) ( ) z

zz

zt e + j = e + γ−γ− µω−×γ−∇ hheek (10)

( ) ( ) ( ) ( ) z

zz

zt e + j + = e + γ−γ− ωεσ×γ−∇ eehhk (11)

( ) ( ) 0 = e + z

ztγ−⋅γ−∇ eek (12)

( ) ( ) 0 = e + z

ztγ−⋅γ−∇ hhk (13)

Se simplifică relaţia (10) cu z e γ− şi se dezvoltă:

h j- h j = e( xee)( xezdupaprodus

Z

al transversprodus0coliniarivectprod

z

ltransversaprodus

zt

al transversproduszdupaprodus

t 3214342132132143421µω−µω−×γ−∇+×γ−∇

=..

)kk

Aşa cum se vede în figura de mai sus, componentele vectorilor ce intervin în relaţiile anterioare sunt de două feluri: transversale şi longitudinale. Egalând componentele longitudinale şi transversale din cei doi membrii ai ecuaţiei anterioare se obţin relaţiile:

zt he j = µω−×∇ (14)

heke j = µω−×γ−×∇ zt (15)

ek×

k

x

z

y

∇t × e ∇t

∇t × ze

ze

e

a) Componentele câmpului electric şi magnetic ce apar în ecuaţiile lui Maxwell amplasate în plan transversal respectiv pe direcţia de propagare a undei

∇t zh×

hzhk ×

zh∇t × h

x

y

z

∇t

k

b)

139

Dar zz e = ke şi ( ) ( )ztzt ee = ∇×−×∇ kk , deci relaţia (15) se poate pune şi sub forma: ( ) he kk j= + e zt µω×γ∇× (16) Dacă se dezvoltă a doua ecuaţie a lui Maxwell (11) se obţine: ( ) ( ) ( )zzt + j = + eehhk εω×γ−∇ (17)

e j e j = )hk( xhh)k( xhzdupaprodus

Z

al transversprodus0coliniari.vect.prod

z

ltransversaprodus

zt

al transversproduszdupaprodus

t 32132132132143421321εω+εω×γ−∇+×γ−∇

=

Componentele sunt reprezentate în figura de mai sus. După axa z se separă :

eh j = t εω×∇ (18)

Ţinând cont de faptul că zz h = kh şi ( ) ( )ztztzt hh = = ∇×−×∇×∇ kkh , se obţine:

( ) zzt e j = h k + h k εω−×γ∇× (19)

Se dezvoltă ecuaţia (12):

0)ke.k()e.k(ee z0lariperpendicuvectori0lariperpendicuvectori

ztt =γ−γ−∇+∇==

Ţinând cont de faptul că: ze = e = zz kkke ⋅⋅ se obţine:

zt e = γ⋅∇ e (20) Similar se dezvoltă relaţia (13) şi ţinând cont de faptul că zzz hh = = kkkh ⋅⋅ . Se

ajunge la:

zt h = γ⋅∇ h (21)

Ecuaţiile (16), (17), (18), (19), (20) şi (21) pot fi particularizate pentru cele trei tipuri de moduri, TE, TM şi TEM. Ecuaţia undei pentru câmpul electric este:

( ) ( ) ( ) 0 = e e + e k + e e + e z z

2z z

22t

γ−γ−γ−∇

140

După simplificare cu e-γz şi separare în componentele longitudinale şi transversale se obţin următoarele ecuaţii:

( ) 0 = e + k + e z22

z2t γ∇ (23)

( ) 0 = e + k + e 222

t γ∇ (24)

În mod similar pentru câmpul magnetic din ecuaţia undei se obţine:

( ) ( ) ( ) 0 = e + k + e + z z

2z z

22t

γ−γ−γ+∇ hhhh Din relaţia de mai sus rezultă următoarele ecuaţii::

0 = + 22 hh ct k∇ (25)

( ) 0 = h + k + h z22

z2t γ∇ (26)

Moduri transversal electrice, TE

Determinarea câmpurilor presupune cunoaşterea celor trei componente ale câmpului electric respectiv ale celor trei componente ale câmpului magnetic.

Modurile TE sunt caracterizate de 0 = ze dar 0 ≠zh . Se introduce notaţia:

22222c + = + k = k γµεωγ (27)

unde ck este numărul de undă critic. Ecuaţia (26) ce permite determinarea componentei

zh se poate pune sub forma: 0 = h k + h z

2cz

2t∇ (28)

Se scrie şi ecuaţia pentru componenta transversală h. Ea este: 0 = + 22 hh ct k∇ (29) Aplicăm relaţiei (18) operatorul rotor transversal la stânga şi dezvoltăm dublul produs vectorial, ţinând cont de faptul că 0 = ze : ( ) ( ) 0 = = 2 hhh ttttt ∇−⋅∇∇×∇×∇

141

Din relaţia (21) zt h = γ⋅∇ h şi din (29) = 22 hh ct k−∇ astfel încât vectorul h se poate scrie în funcţie de zh :

( )ztc

hk

= 2

∇γ

−h (30)

Separând componentele transversale după axa x şi y, relaţia (30) se poate pune sub forma:

xh

kh z

2c

x ∂∂γ

−= (31)

yh

kh z

2c

y ∂∂γ

−= (32)

Se pune în relaţia (16) 0 = ze şi se obţine hek j = µω×γ . Această relaţie se multiplică vectorial la stânga cu versorul k şi se dezvoltă dublul produs vectorial: ( ) ( ) ( )[ ] hkkkeekkekk j = = ×µω⋅−⋅γ××γ Deoarece 0 = ek ⋅ (cos 90°=0) şi 1 = kk ⋅ (cos 0°=1) se deduce:

( )h ke ×γ

µω− j = (33)

Separând componentele transversale după axa x şi y, relaţia (33) se poate pune sub forma:

( ) ( )xyyxyx h h j = h + h x j = e + e i jjikji −γ

µω−

γµω

−

din care obţinem:

hx

y

y

x Zhe

he

= j = = γ

µω− (34)

Se poate constata ortogonalitatea componentelor transversale e şi h din unda TE: 0 = + = yyxx hehe h e ⋅ (35)

142

Raportul componentelor câmpurilor transversale este impedanţa de undă a modului TE sau a undei H:

j = j = 22 kk

Zc

h−

µωγ

µω (36)

În baza relaţiilor anterior determinate se poate constata că toate componentele câmpului electromagnetic pot fi exprimate în funcţie de una singură. Se alege hz pentru că este singura componentă după axa z. Rezolvarea unui mod TE direct, se face determinând hz din relaţia (28). Cu relaţia (30), respectiv relaţiile (31) şi (32) se determină componentele hx şi hy ale funcţiei de repartiţie transversale a câmpului magnetic h şi apoi aplicând relaţia (33) se determină e, respectiv ex şi ey cu (34). Pentru unda directă menţionând explicit semnul "+", se poate scrie:

0 = + +2+2zczt hkh∇ (37)

( )+2

+ = ztc

hk

∇γ

−h (38)

( )++ j = h ke ×γ

µω− (39)

Ecuaţiile ce permit calculul undei inverse −− h ,zh şi −e , se determină din relaţiile

(28), (30) şi (33) înlocuind −γ cu +γ , deoarece factorul de undă inversă este z +e γ . Se obţin ecuaţiile:

0 = + 22 −−∇ zczt hkh (40)

( )−− ∇γ

ztc

hk

= 2

h (41)

( )−− ×γ

µω h ke j = (42)

Conform convenţiei făcute + = ee− şi + = hh −− . Dacă se înlocuieşte în stânga relaţiei (38) + = hh −− se obţine:

( )+− ∇γ

− zt2c

h k

- = h (43)

Comparând (41) cu (43) se obţine:

( ) ( )−∇γ

−∇γ

− ztc

ztc

hk

hk

= = 2

+2

+h

143

de unde se deduce că h = hz z

+− ceea ce înseamnă că, în unda inversă, componenta magnetică longitudinală nu-şi schimbă sensul în raport cu componenta corespondentă din unda directă. Se pot deci scrie, pentru undele directe ++ , HE şi respectiv pentru undele inverse

−E , −H , expresiile:

( )

γ−

γ−

z

z

z

+

+

e =

e =

h + hH

eE (44)

( )

− γ−

γ−

z

z

z

e =

e =

h + hH

eE (45)

144

Cursul 12

Ghiduri de undă cu secţiune dreptunghiulară

Ghidul de undă dreptunghiular este un conductor tubular cu secţiune dreptunghiulară, ai cărui pereţi se realizează dintr-un material de înaltă conductivitate, aluminiu, cupru sau cupru argintat pe suprafaţa interioară şi mediul interior dintr-un dielectric de bună calitate, vid sau aer uscat. Grosimea t a pereţilor este determinată doar din considerente de rezistenţă mecanică, adâncimea de pătrundere a câmpului electromagnetic fiind extrem de redusă.

Ghidurile de undă cu sunt, probabil, cele mai utilizate în mod curent la construcţia emiţătoarelor şi receptoarelor de înaltă frecvenţă. În figura anterioară a fost reprezentat un ghid de undă cu secţiune dreptunghiulară (GUD) cu dimensiunile interioare a pe axa Ox, b pe axa Oy şi grosimea pereţilor t. Se numesc ghiduri "normale" (GUDN) ghidurile care au raportul dimensiunilor:

2 = ba

Ghidurile "anormale" au dimensiunile în alt raport decât 2 la 1.

În cele ce urmează se consideră ghidul de lungime infinită, cu pereţii realizaţi dintr-un conductor ideal, în care câmpul nu pătrunde şi deci, nu se pierde putere. În interiorul ghidului se presupune că este dielectric aerul uscat, cu 0 , , 00 ≅σµ≅µε≅ε . Nici în dielectricul ghidului nu apar pierderi, astfel încât constanta de atenuare este nulă,

0 = α şi deci constanta de propagare γ este pur imaginară:

βγ j =

În consecinţă din relaţia (27) se obţine: 2 2

02

0022 k = = β−β−µεωck (46)

sau:

βγ−−µεωβ j = ; = = 220

200

2cc kkk (47)

GUD poate propaga doar modurile TE, TM sau modurile hibride deoarece are o singură suprafaţă conductoare. Nu poate propaga un mod TEM. Condiţiile la frontieră sunt:

• La suprafaţa unui conductor ideal , liniile de forţă ale câmpului electric sunt normale. Componenta tangenţială a câmpului electric este nulă.

• La suprafaţa unui conductor liniile de forţă ale câmpului magnetic sunt tangenţiale. Componenta normală a câmpului magnetic este nulă.

145

Moduri TE în ghiduri de undă cu secţiune dreptunghiulară

Ecuaţia (26) ce permite determinarea componentei zh se scrie explicit sub forma:

0 = +

+

22

2

2

2

zczz hk

yh

xh

∂

∂

∂

∂ (48)

Având în vedere forma frontierei domeniului în care există unda zh , un dreptunghi cu laturile paralele cu axele, ecuaţia diferenţială de mai sus are o soluţie hz de forma: )( )( = ) ,( ygxfyxhz ⋅ (49) Se substituie forma (49) a soluţiei în ecuaţia (48) şi se obţine:

0)( )( d

)(d )( + d

)(d )( 22

2

2

2

=+ ygxfky

ygxfx

xfyg c

Se împarte ecuaţia anterioară cu produsul )( )( ygxf ⋅ :

22

2

2

2

= d

)(d )(

1 + d

)(d )(

1ck

yyg

ygxxf

xf−

Primul termen din membrul stâng al ecuaţiei de mai sus este o funcţie numai de x şi cel de-al doilea termen o funcţie numai de y. Suma termenilor este o constantă, deci fiecare termen trebuie să fie o constantă:

22

22

2

2

= d

)(d )(

1 ; = d

)(d )(

1yx k

yyg

ygk

xxf

xf−− (50)

unde: 222 = + cyx kkk (51) Soluţiile ecuaţiilor (50) sunt: ykCykCxkCxkCxf yyxx sin + cos = g(y) ; sin + cos = )( 4321 (52) În consecinţă funcţia de repartiţie y) (x,hz are expresia:

( ) ( ) )( )(sin + cossin + cos=) ,( 421 ygxfykCykCxkCxkCyxh yy3xxz ⋅= (53)

146

Se impun condiţiile la limită, la pereţii ghidului. Componenta de repartiţie transversală a câmpului magnetic are componente normale nule la pereţii ghidului, adică:

0 = h.n unde n este normala la frontiera domeniului, dirijată spre interiorul ghidului, spaţiul în care există câmpul.

Dacă se exprimă h cu relaţia (30) şi se ţine cont că pentru x=0, n=i, se obţine relaţia:

( ) ( )

[ ]by

ygxfxfygk

hk

xc

xztc

x

0,

0= )(' )( +)(' )( j= j= 0 = 20 = 20 =

∈∀

⋅β

−∇⋅β

−⋅ jiiihn

Deoarece i.i=1 şi i.j=0 în expresia de mai sus termenul al doilea este nul şi rămâne doar :

0)x(f)y(g0x

' ==

( ) ( ) [ ]bygxfxfygk

x = ac

x = a 0,y 0,= )(' )( +)(' )( j = 2 ∈∀⋅−β

−⋅ jiihn

În expresia de mai sus termenul al doilea este nul şi rămâne doar :

0)x(f)y(gax

' ==

( ) [ ] 0, 0,= )(' )( +)(' )( j = 0 = 20 = axygxfxfygk

yc

y ∈∀⋅β

−⋅ jijhn

În expresia de mai sus primul termen este nul şi condiţia se reduce la:

0=ylaj căPentru =n

a=xpentru- Deoarece i=n

147

0)x(f)y(g

0y' =

=

( ) ( ) [ ]axygxfx fygk

y = bc

y = b 0, 0,= )(' )( +)(')( j = 2

∈∀⋅−β

−⋅ jijhn

Expresia de mai sus are primul termen este nul şi condiţia se reduce la:

0)x(f)y(gby

' ==

Deoarece f(x)≠0 şi g(y) ≠0, relaţiile anterioare se reduc la:

0 = )(' = )(' ; 0 = )(' = (x)' 0 = 0 = y = byx = ax ygygxff adică:

0 = + sin ; 0 = 212 xxx kCakCkC

0 = + sin ; 0 = 434 yyy kCbkCkC

Se determină 0 = = 42 CC , astfel încât rezultă:

0 = bksin C= aksin C y3x1 Soluţia 0 = C = C 31 nu poate fi acceptată deoarece câmpul ar fi identic nul. În concluzie, soluţiile posibile sunt date de ecuaţiile:

0 = sin = sin bkak yx Soluţiile celor două ecuaţii de mai sus sunt xk şi yk date de :

NN n ,b n = k ; m ,

a m = k yx ∈π∈π

Se exprimă numărul de undă critic, ck , în funcţie de dimensiunile ghidului, a şi b, şi de numerele întregi m şi n, numite numere de mod. Deoarece ck depinde de m şi n, se notează n m ck :

22

2c mn b

n +a m = k

π

π (54)

b=ypentruj- căPentru =n

148

Se înlocuiesc constantele C1, C2 în relaţia (52) pentru a determina f(x) respectiv

g(y)

axmcosC)x(f 1

π= b

yncosC)y(g 3π=

Se notează:

031 HCC =

unde H0 este intensitatea câmpului magnetic. Se obţine soluţia pentru zh înlocuind în relaţia (53) 0 = = 42 CC , ţinând cont de notaţia introdusă C1C3=H0 şi de valorile obţinute ptr. kx respectiv ky:

b

y n cos a

x m cos H = )y ,x(h 0zππ (55)

Aplicând relaţiile (31) şi (32) şi considerând βγ j = , se determină hx şi hy:

x h

k j = h z2c

x ∂∂β

− b

y n cos a

x msin a

m kj H = )y ,x(h 2

c0x

πππβ (56)

y h

k j = h z2c

y ∂∂β

− b

y nsin a

x m cos b

n kj H = )y ,x(h 2

c0y

πππβ (57)

Funcţia de repartiţie ) ,( yxe se determină din relaţia (34:

xhyyhx hZe hZe − = ; =

Se înlocuiesc valorile anterior determinate pentru hx şi hy şi se obţine:

b

y nsin a

x m cos b

n kj Z H = )y ,x(e 2

ch0x

πππβ (58)

b

y n cos a

x msin a

m kj Z H = )y ,x(e 2

ch0y

πππβ− (59)

Constanta de fază depinde de ck , adică de cele două numere de mod, m şi n, astfel că se notează cu mnβ . Din relaţia (47) rezultă:

149

22

0022

c mn20 mn b

n a

m = k k =

π

−

π

−µεω−β (60)

Condiţia de propagare a undei este ca faza ei să fie de forma: zt β−ω . Această formă se obţine numai dacă β este o mărime reală, nenulă, adică dacă

22

0022

c mn20 b

n + a m > ; k > k

π

π

µεω

Din punctul de vedere al propagării unui mod, ghidul se comportă ca un filtru trece sus. Se introduce noţiunea de frecvenţă critică cω , (sau cf ) prin relaţia:

22

002c mn

2c mn b

n + a

m = =k

π

π

µεω (61)

Se înlocuieşte 00

1cµε

= şi se obţine:

22

c mnc mn b n +

a m c = c k =

π

π

ω

22

c mnc mn

c mn b n +

a m

2c = k

2c =

2 =f

ππω (62)

Modul TE, caracterizat de numerele naturale m şi n se numeşte mod TE mn sau undă H mn. Se observă, analizând relaţiile (56)-(59), că pentru m=n=0 se anulează toate componentele de câmp, cu excepţia componentei hz. Deoarece un câmp magnetic variabil în timp implică existenţa unui câmp electric variabil în timp se poate concluziona că în GUD nu se poate propaga modul TE00. Cea mai scăzută frecvenţă critică se obţine pentru m=1 şi n=0 şi corespunde modului TE

10 . Din (62) se deduce:

acfc 2

= 10

Dacă m=0 şi n=1 modul care se propagă este TE01 şi are frecvenţa critică:

bcfc 2

= 01

Pentru un ghid de undă normal ba 2 = şi în consecinţă:

150

1010 2 = = cc f acf

Modul TE 20, corespunzător valorilor m=2 şi n=0 are frecvenţa critică:

1020 2 = = cc f acf

Frecvenţele critice corespunzătoare primelor cinci moduri TE ce se pot propaga într-un ghid cu secţiunea dreptunghiulară, normal ( ba 2 = ) sunt reprezentate în figura de mai jos. În domeniul de frecvenţe:

acf

ac < < 2

se poate propaga numai modul TE10. Ecartul de frecvenţă în care se propagă acest singur mod este de o octavă. Se reaminteşte că octava este un domeniu de frecvenţă cuprins între o frecvenţă şi dublul acesteia. De exemplu, este o octavă între 1 KHz şi 2 KHz, între 1 MHz şi 2 MHz, între 10 GHz şi 20 GHz. Modul TE10 cu cea mai mică frecvenţă critică se numeşte mod TE dominant sau mod TE fundamental. Atunci când nu există posibilitatea de a apărea confuzii, frecvenţa critică a modului TE dominant se notează simplu cf (în loc de 10cf ). Modul TE dominant are frecvenţa critică

mai mică decât modul TM dominat. De aceea, TE10 este considerat modul dominant sau fundamental absolut. Modul dominant este modul în care utilizat în mod uzual în tehnică.

Se introduce noţiunea de lungime de undă critică a modulului definit de numerele de mod

m şi n, c mnλ , ca lungimea de undă măsurată în vid, corespunzătoare frecvenţei critice:

b n +

a m

2 = k2 =

fc =

22c mnc mn

c mn

πλ (63)

151

Lungimile de undă critice corespunzătoare primelor patru moduri în GUDN sunt date de relaţiile:

ac 2 = 10λ bc 2 = 01λ

/2= = 1001 cc a λλ /2= = 1020 cc a λλ

Condiţia de propagare prin ghid a unei unde cu frecvenţa f poate fi scrisă şi sub formele:

c mn002c00

2 > > ωω⇒µεωµεω sau c mn

c mn fc <

fc ; f > f

adică:

c mnf > f c mn0 < λλ Lungimea de undă în ghid a modulului TEmn, la frecvenţa f, ce satisface condiţia de propagare, se calculează cu relaţia:

2

c mn

00

2

c mn

0

2

0

c mn0

2c mn

20n m

g mn

1k

2=

f f 1

=

=

k k 1k

2 =kk

2=2=

λλ

−

π

−

λ

−

π

−

πβ

πλ

În concluzie:

2c mn

0g mn

ff 1

=

−

λλ sau 2

c mn

0

0g mn

1

=

λλ

−

λλ (64)

unde 0λ este lungimea de undă în vid corespunzătoare frecvenţei f. Impedanţa de undă a modului TE mn se calculează cu relaţia de definiţie (36):

=

k k 1k

=kk j

j=Z2

0

c mn0

02c mn

20

0h mn

−

µω

−

µω

152

2c mn

0

02

c mn00

0

f f 1

1 =

f f 1

=

−

εµ

−µεω

µω

unde 00 /εµ este impedanţa intrinsecă a vidului, π=εµ 120 = Z

0

00 m .

2c mn

2c mn

0mh mn

f f 1

120 =

f f 1

Z =Z

−

π

−

(65)

Se poate observa, analizând relaţiile (64) şi (65), că atunci când frecvenţa f descreşte apropiindu-se indefinit de mult de fcmn, lungimea de undă în ghid, λgmn şi impedanţa de undă Zhmn tind spre infinit. În concluzie unda nu se propagă pentru m n c f = f . Componentele fazorilor câmpurilor E şi H pot fi scrise, atât pentru unda directă, cu indicele (+),E+ ,H+ ,cât şi pentru unda inversă, cu indicele E ,H- (-), ţinând cont de relaţiile (44), (45) şi (56)−(59).

z j 2c

h0x e b

y nsin a

x m cos b n

k j ZH = E β± πππβ m

z j 2c

h0y e b

y n cos a

x msin a m

k j ZH = E β± πππβ

− m

z j 2c

0x e b

y n cos a

x msin a m

k jH = H β± πππβ

± m

z j 2c

0y e b

y nsin a

x m cos b n

k jH = H β± πππβ

± m

z j 0z e

by n cos

ax m cos H = H β± ππ m (67)

Modulul dominant, TE10

Se înlocuiesc m=1 şi n=0 în funcţiile de repartiţie şi se obţine:

ax sin

a

a

j Z H = e 2h0yππ

π

β−

153

ax sin

a

a

jH = h 20xππ

π

β

ax cosH= h 0z

π

Deoarece sunt cunoscute doar solicitările electrice maxim admise (nu şi cele magnetice), se

face notaţia:

aYEHaZHE hh

j = j = 0000 βπ

⇒πβ

−

Funcţiile de repartiţie ale modului dominant, TE10, sunt în funcţie de E0:

ax sin E = e 0y

π

ax sin Y E = h h0x

π−

ax cos

a j Y E = h h0z

πβ

π (68)

Constanta de fază este:

2

20 =

π

−βa

k (69)

Condiţia de propagare :

cc f ff 2<< , unde ( )acff cc 2/ = = 10 .

Componentele fazorilor câmpurilor E şi H din modul dominant sunt:

e ax sin E =E z j

0yβ± π m

z j

h0x e ax sin YE = H β± π mm

z j

h0z e ax cos

a jY E = H β± π

βπ m (71)

Expresiile câmpurilor fizice ale undei directe se scriu considerând 0E real:

154

( ) z -t cosax sin E= 0y βω

πE

( )

z - t cos ax sin Y E = h0x βω

πH

( )z - t sin ax cos

a Y E= h0z βω

πβπ

H (72)

Reprezentarea liniilor de forţă ale câmpurilor E şi H este posibilă numai fixând momentul de timp. La momentul de timp 0 = t expresiile (72) ale câmpurilor fizice sunt:

z cosax

sin E= 0y βπ

E

z cos ax

sin Y E = h0x βπ

H

z sin ax

cos a

Y E= h0z βπ

βπ

H (73)

În figura de mai sus sunt reprezentate liniile de forţă ale câmpurilor E şi H, în conformitate cu relaţiile (73), într-o secţiune longitudinală prin ghid cu un plan paralel cu planul x0z. Expresiile (73) nu sunt dependente de variabila y, deci componentele câmpului electromagnetic sunt constante pe axa Oy. Pentru a facilita înţelegerea reprezentării s-au desenat

şi formele de variaţie ale funcţiilor axzz cos , sin , cos π

ββ şi ax sin π

. Structura de câmp este

periodică în lungul axei y cu perioada gλ . Ea se deplasează în sensul pozitiv al axei z, cu viteza de fază v f .

155

Structura liniilor de forţă a câmpului într-o secţiune transversală, amplasată la /2 = gz λ (marcată cu A -A în figura anterioară) este reprezentată în figura de mai jos. Se observă că intensitatea câmpului electric Ey este maximă la /2 = ax (şi este independentă de y). Câmpul scade în amplitudine înspre pereţii laterali şi este nul la 0 =x şi ax = , (în calitate de componentă electrică tangenţială) adică pe pereţii laterali.

156

Cursul 13

1) Lungimea de undă în ghid, impedanţa de undă şi variaţia lor cu frecvenţa

Lungimea de undă în ghid în modul dominant, λg10, se calculează cu relaţia (64) înlocuind λcmn cu λc10, respectiv fcmn cu fc10:

20

20

010g

a f 2c 1

=

a 2 1

=

−

λ

λ

−

λλ

Impedanţa de undă în modul dominant se determină cu relaţia (65), în care fcmn se

înlocuieşte cu 10cc ff = :

0

10gmo

210c

mo10h

Z =

ff 1

Z = Zλ

λ

−

Se observă din relaţii că pe măsură ce frecvenţa creşte, 010g λ→λ şi mo10h Z Z → , ceea

ce înseamnă că propagarea se apropie tot mai mult de cea din spaţiul liber şi unda din ghid are tot mai mult caracteristicile unei unde TEM. În figura de mai jos este reprezentată variaţia lungimii de undă λg10 şi a impedanţei de undă Zh10, în modul dominant, atunci când se modifică frecvenţa.

Exemplu Fie un ghid dreptunghiular normal cu cm 5 = a şi cm 2,5 = b . Să se determine λ0 , λg şi Zh la frecvenţele de 3,5 GHz, 5,9 GHz şi 10GHz Frecvenţa critică a modului dominant este GHz 3 = ) 5 2 30/( ⋅ . Modul dominat se propagă singur în domeniul de frecvenţă de la 3 la 6 GHz. Peste 6 GHz pot să apară şi alte moduri.

0 fc 2fc 3fc f

ZONA DE PROPAGARE

120π

240π

Zh

Zmo

0 fc 2fc 3fc f

ZONA DE PROPAGARE

λg

λo

Variaţia impedanţei Zh şi a lungimii de undă λg cu frecvenţa

157

Fie GHz 3,5 = f , cm 8,57 0 ≅λ şi ( ) ≅−λ 23/3,5 18,57 = g cm 8,57 > cm 16,38 ≅ .

Dacă: GHz 5,9 = f , cm 5,08 0 ≅λ şi ( ) ≅−λ 23/5,915,08 =g cm 5,08 > cm 5,91 .

Pentru GHz 10 = f , cm 3 0 ≅λ şi ( ) ≅−λ 23/1013=g cm 3 > cm 3,15 . Se observă că pe măsură ce creşte f: 0λ→λ g .

La GHz 3,5 = f , ΩΩ≅⋅ 377 > 721 16,38/8,57377 =hZ .

Pentru GHz 5,9 = f ΩΩ≅⋅ 377 > 439 5,91/5,08377 =Z h

La GHz 10 = f 3,15/3377 =Z h ⋅ ΩΩ≅ 377 > 396 ~ .

Se observă că pe măsură ce f creşte , impedanţa de undă mo10h Z Z → 2) Viteza de fază şi viteza de grup.

Se reaminteşte că viteza de fază este, prin definiţie, viteza cu care ar trebui să se deplaseze un observator pentru a "vedea" aceeaşi fază a undei, adică:

βω

==dtdzvf

Pentru ghidul de undă dreptunghiular, în modul TE10 relaţia devine:

( ) ( )c

ff

c

kkkkkv

ccc

f > / 1

= / 1

=

= = 22

00 22

0−−

ω

−

ωβω

Viteza de grup este viteza de propagare a energiei transportate de unda electromagnetică şi este egală cu viteza de propagare a amplitudinii undei. Pentru medii dispersive viteza de grup nu se identifică cu viteza de fază şi este dependentă de frecvenţă. Se consideră una dintre componentele campului electromagnetic modulată în amplitudine.

tcos)tcosm1(EE 0 ωω∆+= unde:

• ω este pulsaţia semnalului purtător • Δω este pulsaţia semnalului modulator • m este gradul de modulaţie în amplitudine

Se descompune oscilaţia de mai sus în trei componente armonice :

( )[ ] ( )[ ]t cos2

m E +t cos2

m E+t cosE= E 000 ω∆+ωω∆−ωω

158

Se presupune că aceste oscilaţii se propagă în ghid. Deoarece cele trei armonici au frecvenţe diferite, ω, ω-Δω şi ω+Δω ele au şi constante de fază diferite, respectiv β, β-Δβ şi β+Δβ.

Unda corespunzătoare este de forma:

( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( )[ ] z t cos2

m E +

+ z t cos2

m E+ z t cosE= E

0

00

β∆+β−ω∆+ω

β∆−β−ω∆−ωβ−ω

Într-o formă sintetică se poate scrie:

( ) ( ) ( )z t cos z t cosm E + z t cosE=E 00 β∆−ω∆β−ωβ−ω Deci se poate scrie:

( )[ ] ( )z t cos z t cos m + 1E= E 0 β−ωβ∆−ω∆

Viteza de grup este viteza de propagare a amplitudinii undei, adică a anvelopei de modulaţie.

Viteza de grup este viteza cu care ar trebui să se deplaseze un observator astfel încat să se constate o fază constantă a semnalului cand cele trei componente ale undei modulate se suprapun. Anvelopa are faza z t β∆−ω∆ deci condiţia ca faza undei să fie constantă este:

0 = zd td ⋅β∆−⋅ω∆

Relaţia anterioară este valabilă numai la limită când deviaţia de frecvenţă este infinit mică, ωd , respectiv la o variaţie infinit mică a constantei de fază βd .

β∆ω∆

→ω∆→ω∆

lim= dtdz = v

00

g

În concluzie, viteza de grup adică viteza de transport a informaţiei de către unda

modulată cu deviaţia de frecvenţă dω este:

ωββω

/dd1 =

dd = gv

Pentru propagarea undei prin GUD, derivand relaţia 220 = ckk −β în raport cu ω se obţine:

( ) ( )200

200

002

002

00

/1

d

/1

d

d d

ffffk ccc −

ωµε=

−µεω

ωµεω=

−µεω

ωµεω≅β

159

şi deci: ( ) cffcv cg < / 1 = dd = 2−

βω

Viteza de grup este mai mică decât viteza luminii, ceea ce este în conformitate cu teoria relativităţii. Observaţii

1.Se observă că atunci când ∞→ f , cvg → şi deci propagarea se apropie, şi din acest motiv, de propagarea undei prin spaţiul liber.

2.Pentru cff → , 0 →gv , ceea ce corespunde faptului că unda cu frecvenţa cf nu se mai poate propaga prin ghid.

3) Puterea transmisă prin ghidul de secţiune dreptunghiulară în modul dominant

Puterea transmisă prin ghid în modul dominant este dată de relaţia:

( )

⋅×∫ ∫a b

xy yxP0 0

* d d Re 21 = kHE

Substituind Ey şi Hx din relaţia (71) - componentele undei directe – se obţine:

( )

∫ ∫∫ ∫

∫ ∫

π−π

⋅×

π−

π ββ−

a bh

a bh

a

o

b

o

zh

z

yxaxYEyx

axYE

yxaxYE

axEP

0 0

20

0 0

22

0

j *0

j 0

d d 2

/ 2 cos 1 2

= d d sin 2

=

= d d e sin e sin e R 21 = kij

Dacă se calculează integrala de mai sus, se obţine puterea transportată de unda directă a

modului dominat, prin secţiunea transversală a ghidului:

22

02

0 1 4

=

4 =

−

ff

ZEa b

ZEa bP c

moh (74)

Se notează cu mP puterea maximă ce poate fi transmisă prin ghid:

mo

m ZEa b

P 4

=

20 (75)

Relaţia (74) devine cu notaţia anterioară:

2

1 =

−

ffPP c

m (76)

Concluzii practice:

160

Din relaţia anterioară se observă că pentru: • f>fc adică în banda de trecere a ghidului, puterea este reprezentată prin puterea

activă transmisă de-a lungul ghidului • f=fc puterea se anulează • f<fc nu se transmite putere activă în GUD. Puterea este reactivă

Exemplu Să se determine puterea maximă ce poate fi transmisă printr-un ghid dreptunghiular normal cu dimensiunea cm 5 = a , ştiind că dielectricul interior este aerul uscat, care se străpunge la

kV/cm 27 0 ≅strE . Se calculează aplicând relaţia (75) puterea maximă ce poate fi transmisă prin ghid, la limita de străpungere. Pentru cm 5 = a şi cm 2,5 = b puterea maxim maximorum mmP este:

( ) MW 6 = W 10 6 10 27 377 42,5 5 = 623 ⋅≅⋅⋅

⋅⋅

mmP

În funcţie de frecvenţă puterea maximă transmisibilă rezultă aplicând relaţia (76). În

exemplul considerat, pentru GHz 5 = f se propagă numai modul dominat, deci:

( ) MW 4,8 = 3/5 110 6 = 26 −⋅mP .

Dacă se depăşeşte acest nivel de putere apare o descărcare electrică în ghid, la /2 = ax , acolo unde intensitatea câmpului este maximă. În instalaţiile tehnice nu se ia în considerare E0str de 27 kV/cm, ci se adoptă un coeficient de siguranţă ξ, astfel încat relaţia (75) devine:

mo

20

m Z 4 E a b

= Pξ

Pentru un coeficient de siguranţă de 0,2 se obţine kW 240 = mmP . La frecvenţa de GHz 5 = f , nivelul maxim de putere ce poate fi vehiculată, cu coeficientul de siguranţă 0,2 este

kW 192 = 0,8 240 = ⋅m P . În figura de mai jos este reprezentată dependenţa raportului mmm PP / de raportul f fc / .

Din punct de vedere tehnic, ghidul se exploatează pentru ( )0,9 ; 0,5 / ∈ffc raportul mmm PP / fiind cuprins între 0,436 şi 0,866.

161

4) Curenţii de deplasare şi de conducţie superficială. Densitatea curenţilor de deplasare în ghid dJ este definită prin relaţia:

zyd a

xEt

j = E = D

= J β−πεωεω

∂∂ j

000 esinjj

Deoarece π/2j ej = şi π/2= βλ/4 densitatea Jd se poate scrie şi:

( ) ( )/4λ z jβ 00

2 βj00 esinesin g/z

d yd axE

axEJ −−π−− π

εωπ

εω j= j= j=J

(77) Deci curenţii de deplasare au aceaşi distribuţie ca şi campul electric în ghid ,

zy a

xEE j 0 e sin = β−π

dar sunt decalaţi cu 4

= gzλ

în sensul pozitiv al axei z.

În consecinţă la momentul 0 = t la /43 = gz λ , curenţii de deplasare sunt de intensitate maximă şi de sens contrar axei Oy. Deplasând structura de câmp electric cu /4gλ în sensul pozitiv al axei z se obţin liniile curentului de deplasare indicate în figura de mai jos .

mm

m

PP

0 0,5 0,9 1 fc/f

0,866

0,436

1,0

Dependenţa de frecvenţă a puterii maxime transmisibile prin GUD

162

Pe lângă curenţii de deplasare din dielectric, în pereţii conductori apar curenţi de conducţie superficială. Fie o secţiune în peretele ghidului de undă S=ΔhΔl limitată de un contur închis C în conformitate cu figura de mai jos se poate scrie legea lui Ampere.

∫∫∫ ωε+⋅⋅SSABCD

EjSd J = d H l

Deoarece componenta tangenţială a câmpului electric este nulă, integrala de mai sus se reduce la:

∫∫ ⋅⋅SABCD

Sd J = d H l

La suprafaţa unui mediu conductor componenta normală a campului magnetic este nulă,

campul fiind tangenţial. În conductor datorită valorii mari a conductivităţii σ c campul magnetic se atenuează rapid. Deci se poate considera campul magnetic la adincimea de patrundere a curenţilor superficiali nul (HDC=0). Pentru conturul ABCD, cu AB =∆l şi BC = ∆h, foarte mici, astfel încât H şi J să fie constante se poate scrie:

lJl h) (Jlim l H S0h∆=∆∆=∆⋅

→∆

Deoarece curentul J este refulat spre suprafaţă şi el devine curent "superficial. Deci:

H=JS şi HnJ = ×S

Curenţii de conducţie superficială închid curenţii de deplasare din dielectric, adică formează curbe închise. Densitatea de curent superficial, SJ , se măsoară în [A/m].

sJ A B C D

H

n

σc AB = ∆l BC = ∆h

Curenţii de conducţie superficială în pereţii conductori

z H

z

N

y

x

P

M

J J

JJs

Jd Jd

FANTA DE

z λCurenţii de deplasare şi de

conducţie superficială

163

În figura de mai jos sunt reprezentaţi curenţii superficiali ce circulă pe suprafaţa interioară a pereţilor conductori ai ghidului de undă şi. curenţii de deplasare din dielectricul unui ghid dreptunghiular normal pentru modul TE10. S-a considerat un ghid cu cei doi pereţi laterali pliaţi în sus la nivelul planului peretelui de sus , adică la y=b. Practicând fante în pereţi, fante ce perturbă liniile de curenţi superficiali, în dielectricul lor apar curenţi de deplasare ce radiază energie în afara ghidului. O fantă de tipul 1 are în dielectricul ei curenţi de deplasare importanţi şi deci, radiază energie înafara ghidului. O astfel de fantă se numeşte "radiantă". Fanta de tipul 2 se numeşte "neradiantă" deoarece are curenţi de deplasare reduşi în dielectricul ei şi radiaţia ei este neglijabilă.

O fantă practicată la /2 = ax , paralelă cu axa z este o fantă neradiantă, în dreptul căreia câmpul electric din ghid este de intensitate maximă. Ea se numeşte fantă “de măsurare” şi serveşte la măsurarea intensităţii câmpului electric din ghid.prin introducerea unei "antene" prin ea. În antenă se induce o tensiune ce se detectează şi se măsoară. Antena de măsurare poate fi deplasată în lungul axei z, cu ajutorul unui cărucior special cu cremalieră.

Moduri TE superioare în ghidurile de undă cu secţiunea dreptunghiulară

Uneori se utilizează şi moduri superioare în ghidurile de undă. Particularizarea ecuaţiilor

(66) permite calculul câmpurilor fizice E şi H ale oricărui mod TEmn. Modurile TEmo se obţin din modul TE10 prin multiplicarea cu m pe axa Ox. De exemplu

modul TE20 se obţine prin multiplicarea cu 2 pe axa Ox a structurii campului TE10:

b

a

b 1

Fantă radiantă

2

Fantă neradiantă

Fantă de

Măsurare

0 λg/4 λg/2 3λg/2 λg

Curenţii de conducţie superficială şi de deplasare ptr. TE10 aghidului

164

zchzz

zhx

zx

zy

z

chy

axak

YEHa

xHH

axYEH

ax

aHH

axEE

ax

akZHE

j 2

00

j 0

j 2c

0

j 0

j 2o

e 2 cos 2

j = ; 2 cos =

e 2sin = ; e 2sin 2 k j =

e 2sin = ;e 2sin 2 j =

β−

β−β−

β−β−

πβπ

π

π−

ππβ

πππβ−

Cu 0E real, la momentul 0 = t , expresiile câmpurilor fizice sunt:

z βin s a

x π 2cos β π 2ak YE=

;z β osc a

x π 2sin YE = ; z β cosa

x π 2sin E=

2c

h0z

h0x0y

H

HE −

4

3 gλ

2gλ

4gλ

gλ

H

E

z 0

Modul TE20 în ghidul de undă dreptunghiular

x

165

Moduri TM în ghidurile de undă cu secţiune dreptunghiulară

Modurile TM au funcţia de repartiţie 0 = zh şi 0 ≠ze . În ecuaţiile câmpului electromagnetic se substituie hz=0 şi se determină ez (x,y) unica componentă a campului diferită de zero în direcţia de propagare, din ecuaţia:

0 = ) ,( +

) ,( +

) ,( 2

2

2

2

2

yxeky

yxex

yxezc

zz

∂∂

∂∂

(78)

Se caută o soluţie de forma:

)( )( = ) ,( ygxfyxez care introdusă în (78) conduce, după împărţirea cu )( )( ygxf , la ecuaţia:

0 = d

)(d )(

1 + x

)( )(

12

2

2

2

yyg

ygdxfd

xf

Cum cei doi termeni sunt independenţi, ei se reduc la câte o constantă:

22

22

2

2

= d

)( d )(

1 ; = d

)( d )(

1yx k

yyg

ygk

xxf

xf−− (79)

Cele două constante satisfac relaţia:

Repartiţia câmpului Ey într-o secţiune transversală, în modul TE20

2a

0

y

x a

a

0 Ey

Ey

z = 0 b

4a

43a

E0 sin a

x π2

x

z = 0

166

222 = + cyx kkk Soluţiile ecuaţiilor (79) sunt de forma: ykCykCygx kCxkCxf yyxx sin + cos = )( ; sin + cos = )( 4321 Deci ez este de forma:

( )( )ykCykCxkCxkCyxe yyxxz sin + cos sin + cos = ) ,( 4321 (80)

Se impun condiţiile la limită la pereţii ghidului. Pentru 0 = x şi 0 = ) (0, yez în calitate de componentă electrică tangenţială la suprafaţa conductorului ideal:

0xk cos C g(y)C= )y ,0(e0xx11z ==

=

[ ] 0 = C b 0, y , 0 )y(g 1⇒∈∀≠

Dacă 0 = y , avem 0 = 0) ,(xez , tot în calitate de componentă electrică tangenţială la suprafaţa peretelui conductor. Rezultă:

0yk cosCf(x) C = )0 ,x(e0yy33z ==

=

0 = C ]a [0, x , 0 )x(f 3⇒∈∀≠

Se obţine astfel pentru ) ,( yxez , expresia: yksin xksin E = )y ,x(e yx0z Impunând condiţia la limită pentru ax = şi by = se obţine:

[ ] 0 = sin 0, 0 = sin sin = ) ,( 0 akby yk akEyae xyxz ⇒∈∀

[ ] 0 = sin 0, 0 = sin sin = ) ,( 0 bkax bk xkEbxe yyxz ⇒∈∀

şi deci: NN n , bπn = k ; m ,

aπ m = k yx ∈∈

Numărul de undă critic este funcţie de numerele de mod m şi n:

b n +

a m = k

222c mn

π

π

167

Soluţia pentru funcţia de repartiţie ze este:

b

y nsin a

x msin E = )y,x( e 0zππ

(81)

Pentru βγ j = şi ze dat de (81) rezultă:

∂∂

∂∂β

− y e j+

x e i

k j = e j + e i zz

2c

yx

şi deci: b

y nsin a

x m cos a

m k jE = )y ,x(e 2

c0x

πππβ− (82)

b

y n cos a

x msin b

n k jE = )y ,x(e 2

c0y

πππβ− (83)

Se calculează componentele xh şi yh

b

y n cos a

x msin b

n k jY E = )y ,x(h 2

ce 0x

πππβ (84)

b

y nsin a

x m cos a m

k jY E = )y ,x(h 2

ce 0y

πππβ− (85)

Constanta de fază a modului TM mn este:

b

n a

mμ = k k = 22

oo22

mn c2omn

π

−

π

−εω−β

Condiţia de propagare a modului Tmn este

bn

am

2c =c = f ; f > f

22

c mnc mnc mn

+

λ

Relaţia de calcul a lungimii de undă în ghid este aceeaşi cu cea utilizată în cazul modurilor TE:

168

Admitanţa de undă a modului TM mn este

f

f1

Y=

f

f1 με

=k k

= j j=Y

2c mn

mo2

c mn00

02c mn

20

00e mn

−

−ω

εω

−

εωβεω

Impedanţa de undă a ghidului pentru modul TM este deci:

( )2c mnm oe mn f/f 1 Z = Z −

Forma de variaţie a impedanţei de undă a ghidului pentru modul TM este cea din figura

de mai sus. La frecvenţa critică, mn cf = f impedanţa de undă e mnZ este nulă şi ghidul reprezintă un scurtcircuit. Prin urmare nu se poate propaga unda la frecvenţă critică . Propagarea poate avea loc numai pentru frecvenţe mai mari: mn cf > f . Pe măsură ce frecvenţa creşte, o me Z Z → şi propagarea se apropie de cea din spaţiul liber.

Componentele E şi H ale câmpurilor modurilor TMmn se pot scrie atât pentru unda directă (+), cât şi pentru unda inversă (–), utilizând expresiile (81) ÷ (85) ale funcţiilor de repartiţie precum şi relaţiile ce permit calculul câmpurilor:

z j

2c

0x e b

y nsin a

x m cos a

m k jE = E β± πππβ

− m

z j 2c

0y e b

y n cos a

x msin b

n k jE = E β± πππβ

− m

z j 0z e

by nsin

ax msin E = E β± ππ

± m

z j

2c

e0x e b

y n cos a

x msin b n

k j YE = H β± πππβ

± m

z j

2c

e0y e b

y nsin a

x m cos a m

k jYE = H β± πππβ mm (86)

f 0 fc 2fc 3fc

Zmo

Ze

120π

Variaţia impedanţei de undă Ze

169

1)Modul dominant TM11 În cazul modurilor TM nici unul din numerele de mod nu poate fi nul, după cum se observă în relaţiile (86) ce permit calculul componentelor câmpurilor E şi H. Modul cu cea mai mică frecvenţă este TM11. Ea are pentru un ghid dreptunghiular normal valoarea:

5 2

= 4 + 1 2

= 1 + 1 2

= 222211 ac

aac

bacfc

Se constată că modul TE10, având frecvenţa critică ( ) ( ) 52 / < 2 / acac , este modul dominant între toate tipurile de moduri ce se pot propaga printr-un ghid cu secţiune dreptunghiulară. Câmpurile fizice ale modului dominant şi repartiţiile lor la momentul 0 = t , sunt (pentru unda directă):

( )

z βsin by πsin

ax πcos

aπ

kβE=

z β t ωsin by πsin

ax πcos

aπ

kβE

2c

0

2c

0

x

x

−

−=

E

E

( )

z βsin by πcos

ax πsin

bπ

kβE=

z β t ωsin by πcos

ax πsin

bπ

kβE=

2c

0y

2c

0 y

−

−

E

E

( )

cos sin sin =

cos sin sin =

0

0

zby

axE

ztby

axE

z

z

βππ

β−ωππ

E

E

( )

z βsin by πcos

ax πsin

bπ

kβYE=

z β t ωsin by πcos

ax πsin

bπ

kβYE=

2c

e0x

2c

e0x

H

H −−

( )

z βsin by πsin

ax πcos

aπ

kβYE=

z β t ωsin by πsin

ax πcos

aπ

kβYE=

2c

e0y

2c

e0y

−

−

H

H

170

Deoarece câmpurile depind şi de variabila y, liniile de forţă ale câmpurilor sunt mai dificil de reprezentat. În figura de mai sus sunt reprezentate liniile de forţă ale câmpurilor E şi H în două secţiuni. Prima secţiune este paralelă cu planul x0z şi este plasată la /2 = by şi cea de a doua secţiune este transversală pe axa de propagare z şi corespunde valorii /4 = gz λ . Structura de câmp este periodică în lungul axei z, perioada fiind gλ . Ea se deplasează în timp, în lungul axei z, cu viteza de fază a câmpului.

2) Puterea transmisă prin ghid în modurile TM. Interacţiunea modurilor Se calculează într-un mod similar cu cel pentru modurile TE puterea transportată printr-o secţiune transversală a ghidului de undă pentru modurile TM:

h mn

20

a

0

b

0

2

y mn + 2

x mne n m mn ZE

8

a b = yd xd EE Y 21 = P ∫ ∫

Se pune problema existenţei unei interacţiuni între modurile TM distincte ce se propagă simultan prin acelaşi ghid. Se evaluează integrala:

( ) yd xd H E H E = Ia

0

b

0

*x k ly m n

*y k lx mn∫ ∫ −

şi se poate demonstra că 0 = I . În consecinţă între modurile TM distincte nu apare interacţiune. În aceeaşi manieră se poate demonstra că nici între modurile TE şi TM, ce se propagă simultan prin acelaşi ghid, nu există interacţiune. Concluzia este că fiecărui mod i se asociază câte o schemă echivalentă ce nu depinde de schemele echivalente ale celorlalte moduri. Un ghid se va echivala cu tot atâtea linii de transmisie

câte moduri distincte se propagă prin ghidul respectiv.

Moduri transversal electromagnetice, TEM

Repartiţia câmpurilor E şi H în modul TM11

4

3 gλ

2gλ

4gλ

gλ

z 0

H E

y =

b/2

z

x

y

E

z = λg/4 x

171

Modurile (undele) TEM au ambele componente longitudinale nule, 0 = ze şi 0 = zh . Deci din ecuaţia (18) se obţine:

0 j =⋅γ

µω=−= he

x

y

y

x

he

he

(87)

Ecuaţiile undei câmpului electric, respectiv magnetic sunt:

0 = + 22 ee kt∇ + 0 = + 22 hh kt∇ (88) şi deci, în cazul modurilor TEM:

ωε

σ j 1 ε μω= k =γ 222

−−− (89)

Ghidul de undă coaxial Este un ghid cu două conductoare distincte, motiv pentru care poate propaga modul transversal electric şi magnetic, TEM. Ghidul coaxial sau linia coaxială sunt de fapt identice. Atunci când tratăm coaxialul ca şi ghid de undă, urmărim determinarea componentelor câmpului electro-magnetic din dielectric.

În figura este reprezentat un ghid coaxial. Diametrul conductorului interior este bd 2 = iar diametrul al conductorului exterior este aD 2 = .

Ghidul coaxial

φ 2b

z

x

y

V0

φ 2a

172

Se consideră dielectricul din ghid omogen şi cu constanta dielectrică rε . Dacă nu se ţine cont de proprietăţile magnetice ale dielectricului 0 = µµ .

Modul TEM în ghidul coaxial

Se ştie că operatorii divergenţa şi Laplace pot fi exprimaţi şi în coordonate cilindrice:

ϕ∂∂

∂∂

∇∂∂

∇∂∂

ϕ∂∂

∂∂

∇ ϕϕ 1 +

= ;

+ =

+

1 +

=

rrzzrr rttr aakkaa

2

22

2

2

2

2

22

22

+ =

+

1+

1+

=

zzrrrrt

∂

∂∇

∂

∂

ϕ∂

∂∂∂

∂

∂∇

2

2

22

22

1+

1+

=

ϕ∂

∂∂∂

∂

∂∇

rrrrt

Se caută o soluţie a câmpului electromagnetic având ambele funcţii de repartiţie longitudinală nule, 0 =e z , 0 = zh . În conformitate cu relaţia (33) zt hμ ω j = −×∇ e deoarece 0 =zh se obţine: 0 = e×∇ t Deoarece rotorul unui gradient este nul câmpul transversal poate fi exprimat ca şi gradientul unei funcţii potenţial, ) ,( ϕΦ r , prin relaţia: Φ∇− = te (90) Se introduce relaţia (90) în ecuaţia undei (24) se obţine: ( ) ( ) 0 = Φ + Φ 0 = + 2222

tcttc kkt ∇−∇−∇⇒∇ ee Operatorii 2

t∇ şi t∇ sunt liniari şi deci, succesiunea în care se aplică poate fi schimbată: ( ) ( ) ( ) 0 = Φ + Φ 0 = Φ + Φ 2222

ctctt kk tt ∇∇⇒∇∇∇ (91) Deoarece zt e j = β⋅∇ e şi 0 = ze se obţine: ( ) 0 = Φ 0 = ttt ∇−⋅∇⇒⋅∇ e şi deci: 0 = 2Φ∇ t (92)

173

Introducând rezultatul obţinut în (91) se obţine:

( ) 0 = 2Φ∇ ct k ceea ce înseamnă că funcţia ) ,( 2 ϕΦ rkc este o constantă. Funcţia de repartiţie ) ,( ϕΦ r nu poate

fi o constantă deoarece s-ar reduce la zero câmpul E şi singura soluţie posibilă este 0 = 2ck .

0 = = = 2

0022 22 β−εµεωβ− rc kk (93)

sau: kk rr = = = 000 εεµεωβ (94) S-a considerat numai soluţia cu semnul "+", cealaltă soluţie cu semnalul "–", corespunzând undei inverse. Valoarea nulă a numărului de undă critic conduce la valoarea nulă a frecvenţei critice :

0 = 2

= cc kcfπ

(95)

Valoarea deosebită a ghidului coaxial (şi a ghidurilor cu două conductoare în general) este că poate propaga unde electromagnetice cu orice frecvenţă, 0 > f , ca şi spaţiul liber. Câmpul radial nu depinde de ϕ , astfel încât funcţia potenţial nu depinde de ϕ , ci doar de

r: )( = ) ,( rr ΦϕΦ . Relaţia (92), scrisă în coordonate cilindrice, cu operatorul ϕ∂

∂

identic nul

este:

0 = d

)( d + d

)( d 0 = d

)( d 1 +

d)( d

2

2

2

2

rr

rrr

rr

rrr ΦΦ

⇒ΦΦ

Relaţia de mai sus poate fi pusă şi sub forma:

0 = d

)( d dd

Φ

rrr

r

Derivata unei constante este nulă, deci:

r

C = r d

)r( dsau C = r d

)r( d r 11

ΦΦ (96)

Dacă se integrează relaţia anterioară (96) se obţine: 21 + ln = )( CrCrΦ Conductorul exterior, de rază r=a, este conectat la masă, deci potenţialul său este nul. Se notează cu 0V potenţialul conductorului interior, de rază r=b. Punând aceste condiţii la limită în soluţia (96), obţinem sistemul de ecuaţii ce permite calculul constantelor C1 şi C2:

174

0 = + ln = )( 21 CaCaΦ 021 = + ln = )( VCbCbΦ Soluţiile sistemului sunt:

ab

aVC

ab

VC

ln

ln = ;

ln = 0

20

1 − (96)

Cu aceste două constante expresia funcţiei potenţial devine:

abar

Vrln

ln = )( 0Φ (97)

Relaţia (90) se poate pune sub forma:

0 d

)( Φ d = + r r ⋅−− ϕϕϕ a aaar

reer

din care se deduce că 0 = ϕe (ceea ce s-a şi presupus când s-a notat )( = rΦΦ ) şi:

bar

V

abr

Vr

Cr

rerln

1 = ln

1 = = d

)( d = 001 −−Φ

− (98)

În coordonate cilindrice relaţia (87) se poate scrie sub forma:

hr

r Zhe

he = j = =

γµω

− ϕ

ϕ

Se deduce deci:

mo0

0

00

0

0

00 1 = 1 =

=

= j j

= Zkh

e

rrrr

r

εε

µ

εεµεω

µω

ε

µω

β

µω

ϕ

şi

bar

VYh r

ln 1 = 0

moεϕ (99)

Componentele câmpurilor E şi H din unda directă şi din unda inversă sunt:

175

e ln

ε = ; e

ln = 00 ε j mo0 ε j 0 zkrrzkr

rr

bar

YV

bar

V mmϕ

±ϕ

± ± aHaE (100)

fizice ale undei directe sunt date de expresiile:

( )z εk t ω cos

baln r

V= r0

0 r −E

( )z εk t ω cos

baln r

YV= r0

mo0 −H

În figura de mai sus sunt reprezentate liniile de forţă ale celor două câmpuri la momentul 0 = t şi /2 = gz λ .

Prin conductorul interior, respectiv exterior, circulă curenţi de radiofrecvenţă, refulaţi la suprafaţa conductorilor la r=a respectiv r=b . Sensul lor este evident opus, aşa cum este cazul celor doi conductori ai liniei de transmisiune. Densitatea de curent superficial, pentru conductorul interior, la r=b este:

zkrr

zkrrrsb

bab

YVbab

YVb

0

0

j mo0

j mo0

e ln

=

eln

=)(=

ε−

ε−ϕϕ

ε

ε××

k

aaHnJ

Integrând sbJ pe conturul conductorului de rază b se obţine unda de curent directă,

(z)I+ ce se propagă pe linia coaxială:

Hϕ Er

x

y

Repartiţia câmpului din coaxial, în modul TEM

176

zrrzkrr

ba

YVb

bab

YV k j mo02

0

j mo0 00 e ln

2 = d e

ln = (z)I ε−

πε−+ επ

ϕε

∫

Unda de tensiune directă ce se propagă pe linia coaxială este:

zkrV j 0

0e = (z) U ε−+ Impedanţa caracteristică a liniei se defineşte ca raport al undelor directe de tensiune şi curent:

ln 138 22ln 138 ln 60 = ln

2 =

(z)I(z)U =

dD

ba

ba

baZ

Zrrrr

moc ε

=ε

≅εεπ+

+

Puterea transportată pe linia coaxială este:

( ) 20

rmoa

b

2

0 2

rmo2

0a

b

2

0

*re V

baln

Y 2

21 == dr d

ba ln r

YV

21 = d r d r k H E R

21 = P

επϕ

ε

ϕ⋅× ∫ ∫∫ ∫ππ

ϕ

Substituind expresia impedanţei caracteristice a coaxialului, puterea este:

cZ

VP

2

0

21 =

Lungimea de undă în ghid, gλ , este dată de relaţia:

Hϕ(b) µ = µo

ran =

ro εεε =

Jsb b

Curentul superficial din conductorul interior

177

r

gr

g k ε

λλλ

επ

βπ

λλ 0

0

= = ; 2 = 2 = =

178

Cursul 14

Comportarea ghidurilor sub frecvenţa critică

Dacă frecvenţa câmpului excitat este mai mică decât frecvenţa critică a unui mod, constanta de propagare este pur reală:

Dintre cele două soluţii posibile doar cea cu "+" este admisă, pentru că unda scade cu distanţa faţă de locul de excitare. Fazorii câmpului au ca factor e-αz , o mărime reală şi faza câmpurilor fizice va fi ωt=2πft şi nu ωt-βz. Deci toate punctele considerate în lungul axei z vor fi în aceeaşi fază de oscilaţie la un moment dat. Amplitudinea undei scade cu distanţa şi Ey este o undă ce pulsează în timp, fără modificări de fază:

Dacă se introduce o antenă în câmp la o distanţă faţă de sursă în ea se induce o tensiune electromotoare, invers proporţională cu distanţa (deoarece campul este variabil în timp). Deşi unde nu se propagă se transmite energie prin campul electromagnetic. Dacă fc >> f raportul fc/f>>1 şi constanta de atenuare devine independentă de frecvenţă

1fff2 1

kkk = k k =

2

0

c00

2

0

cc

20

2c α=−

µεπ=−

−γ

1ffc >

tωjzαyy eeeE −−=

tω cosee= tα-yyE

179

ff

cfπ2α c.≅

Pe acest principiu se construiesc atenuatoarele subcritice, ca cel reprezentat în figură. El

este format din 2 ghiduri coaxiale şi o porţiune circulară, de lungime variabilă. Dacă se alege diametrul ghidului cilindric astfel încat frecvenţa sa critică să fie mult mai mare decat cea mai mare frecvenţă de lucru se obţine un atenuator subcritic liniar, deoarece

zλ

π2

0

ceEE −

=

Atenuarea A este:

[ ] elogzλπ2

EE

log20dBAc0

=−=

Atenuatorul are scara liniară în funcţie de lungimea z.

De exemplu, dacă se alege fc a modului TM01 ce se excită în ghidul cilindric GHz 20 fc ≥ şi se lucrează la o frecvenţă maximă de 2GHz, se poate obţine un atenuator liniar. Raza ghidului cilindric se obţine cm6,320/405,2.30a =≥ .

Atenuatoarele subcritice nu disipă puterea undei incidente, ci doar o reflectă, motiv ptr. care se numesc atenuatoare de reflexie.

Dispozitive pasive reciproce pentru microunde

Dispozitivele reciproce sunt cele pentru care sensul de circulaţie al puterii este indiferent,

adică ele pot transmite putere în ambele sensuri: -excită câmp electromagnetic -extrag energia La interconectarea (excitarea) ghidurilor de undă de diferite tipuri se respectă două

principii:

180

-se utilizează un excitator ce produce un câmp electric (sau magnetic) într-o secţiune transversală a ghidului astfel încât liniile de câmp să coincidă ca direcţie cu cele ale modului dorit;

-excitatorul generează în pereţii ghidului curenţi având o distribuţie şi o direcţie identică cu a curenţilor generaţi de unda ce se propagă în modul dorit

Pentru excitarea ghidurilor de undă se pot utiliza

• cuplajul capacitiv • cuplajul magnetic (inductiv) • cuplajul prin fantă de cuplaj

Cuplajul capacitiv Este realizat prin intermediul unui coaxial, cuplat la generatorul de semnal, al cărui fir

central pătrunde în interiorul ghidului la o adâncime d<b.

Dacă prin ghidul dreptunghiular se propagă modul TE10, frecvenţa f este cuprinsă în intervalul (c/2a , c/a)

Conductorul central al coaxialului este amplasat la x=a/2 , deoarece ptr. modul TE10 câmpul electric Ey este acolo maxim şi are adâncime de pătrundere d<b. La distanţa l ghidul se termină cu un scurtcircuit.

b d

Prad l

181

Cuplajul se amplasează într-un maxim şi de-a lungul axei z, astfel încât faţă de scurtcircuit să avem

4λ

)1n2(l g+=

Din punctul de vedere al ansamblului generator cablu coaxial, radiaţia de putere a antenei poate fi echivalată cu disiparea de putere într-o rezistenţă R0.

Se poate demonstra că rezistenţa de radiaţie văzută la capătul coaxialului, echivalentă ansamblului antenă ghid este:

Se impune R0 la frecvenţa de lucru, astfel încât să se realizeze adaptarea rezistenţei de radiaţie cu cablul coaxial R0=Zc, adică cu impedanţa caracteristică a coaxialului. Pentru a avea adaptare de putere şi la celălalt capăt al coaxialului ar trebui să se îndeplinească şi condiţia Zg=Zc. În aceste condiţii puterea reflectată este nulă şi toată puterea generatorului este radiată înspre ghid. Fiind alese R0 şi poziţia l în lungul ghidului se determină din expresia lui R0 adâncimea de pătrundere d a firului central al coaxialului. Dacă se modifică frecvenţa generatorului se modifică k0, Zh şi deci R0 se îndepărtează de condiţia de adaptare, deoarece sinβl devine diferit de valoarea 1. Coeficientul de reflexie devine:

c0

c0

ZRZRΓ

+−

=

Pgen

Prad= Pdis

Prefl

R0

Pgen

Prad

Prefl

2dktg)lβ(sin

abkZ2R o22

20

h0 =

182

Dacă se cunoaşte puterea radiată în ghid se poate determina amplitudinea câmpului electric din relaţia

220

20 1

4

= 4

=

−

ff

ZEa b

ZEa bP c

moh

Astfel incit cunoscând pe E0 se pot scrie expresiile câmpului electromagnetic în ghid ptr. undele directe cu funcţiile de repartiţie ale modului TE10

ax sin E = e 0y

π

ax sin Y E = h h0x

π−

ax cos

a j Y E = h h0z

πβ

π

Dacă se utilizează 2 pistoane de scurtcircuitare se poate realiza adaptarea într-o bandă mai largă de frecvenţe.

Dezavantajul major al acestor cuplaje este că produc intensificări locale ale campului electric, în special între varful cuplajului şi peretele opus. La puteri mari aceasta creşte riscul conturnării. De aceea se utilizează o formă rotunjită, ca o ciupercă sau ca un papuc.

183

Pentru excitarea unor moduri superioare se utilizează grupuri de excitatoare alimentate corespunzător ca fază, ca exemplul din figura de mai jos.

Excitarea modului TE20

Cuplajul magnetic Riscul intensificării campului electric la puteri mari şi spaţii mici poate fi evitat prin utilizarea unor cuplaje inductive, sub forma unor semispire de dimensiuni neglijabile, amplasate acolo unde liniile campului magnetic ptr. un anume mod sunt maxime. De exemplu, pentru TE10 cuplajul inductiv este amplasat ca în figură la x=a/2, y=b/2 şi z=0.

Pgen

Prad

Prefl

184

Astfel de cuplaje se folosesc la magnetroane ptr. extragerea energiei, având în vedere dimensiunea lor redusă . Cuplajul inductiv nu poate asigura impedanţe mari şi deci adaptarea sa la cablu coaxial este dificilă. În plus nu se poate regla ca dimensiuni în vederea adaptării într-o bandă largă. Cuplajul prin fanta de cuplaj O fantă de cuplaj circulară de dimensiune r0 <<λg<λ0 se poate echivala cu un dipol electric de moment electric P şi un dipol magnetic de moment magnetic M, constante (cu localizare într-un punct) date de relaţiile următoare:

Momentul electric P radiază un câmp electromagnetic ca o antenă de tip vergea, adică radiaţia dipolului electric este omnidirecţională. La o anumită distanţă, intensitatea câmpului electric este aceeaşi, indiferent de direcţie. Fanta circulară se comportă ca un ghid circular exploatat subcritic. Pentru a nu se introduce atenuări mari este necesar ca grosimea peretelui t<<λ0.

n00ne Er32EP εα ==

tg3

0tgm Hr34HM −=−= α

185

Printr-o astfel de fantă practicată într-un perete transversal conductor se pot cupla 2 ghiduri ca în figura următoare. Schema echivalentă a ansamblului perete transversal-fantă circulară este reprezentată alăturat.

Dacă se consideră cele 2 ghiduri infinite, atunci admitanţa lor de intrare este 1 şi se poate determina admitanţa ansamblului perete-fantă ca fiind egală cu: O astfel de fantă se poate utiliza pentru cuplarea unui ghid cu o cavitate rezonantă, utilizată de exemplu ptr. măsurarea frecvenţei semnalului din ghid, ca în figura următoare:

Cuploare Un ghid de undă este un cuadriport, format din 2 ghiduri. Ghidul prin care se injectează semnal se numeşte principal şi cel prin care se extrage semnal se numeşte secundar. Cuplajul se realizează fie prin fante de cuplaj, fie prin tronsoane de ghid, implementate inclusiv în tehnologie microstrip.

β30r8ab3jY −≅

186

Cuplor cu o fantă de cuplaj Parametrii cuplorului sunt: 1. Cuplajul

2. Directivitatea

3. Atenuarea de transmisie

4. Atenuarea de izolare.

5. Banda în care se utilizează cuplorul, definită ca intervalul de frecvenţe în care directivitatea are o valoare mai mare decât un prag, considerat acceptabil. Cuplorul este un dispozitiv reciproc, adică dacă se injectează semnal în portul 2, portul 4 devine port cuplat direct şi portul 3 devine port cuplat invers. Există cuploare:

• direcţionale – extrag energia într-un singur sens • bidirecţionale – extrag energia în ambele direcţii- utilizate în radare şi sisteme de

comunicaţii

i

cd

PPC = [ ]

i

cd

PPlog10dBC −=

ci

cd

PPD =

[ ]ci

cd

PPlog10dBD =

i

tt P

PA = [ ]i

tt P

Plog10dBA −=

ci

i

PPI = [ ] DC

PPlog10

PPlog10dBI

ci

cd

i

cd +=+−=

187

Cuplorul ideal are • D=∞, Pci=0 ptr. toate frecvenţele • C, D, At constante într-o bandă cat mai largă de frecvenţe

În funcţie de numărul şi forma fantelor de cuplaj există cuploare:

• Cu o fantă circulară (numit cuplor Bethe) • Cu 2 fante eliptice înclinate • Cu ghiduri perpendiculare,cu 2 fante, de tip cruce (numit şi cuplor Moreno) • Cu fante multiple circulare • Cu fantă de dimensiune λ/2

Cuplorul Bethe Este format din 2 ghiduri suprapuse, cuplate slab printr-o fantă de cuplaj de dimensiune r0<< λg , astfel încât se poate echivala cu un dipol electric şi unul magnetic. Se neglijează modurile superioare modului dominant precum şi influenţa fantei de cuplaj asupra ghidului principal. Se notează cu C+ unda directă şi cu C- unda inversă, rezultând ca suma dintre contribuţia dipolului electric, respectiv magnetic.

+++ += 21 CCC

−−− += 21 CCC

188

Cuplor bidirecţional

Efectul de directivitate se obţine în două condiţii, respectiv fie la portul 4, fie la portul 3 nu se transmite putere. Adică:

1. 0CCşi0CC 34 ≠=== −+ sau 2. 0CCşi0CC 43 ≠=== +− Dacă se impune condiţia (1) ptr. modul TE10 se obţine: fc10<f< fc10√2 Condiţia (2) are întotdeauna soluţie indiferent de frecvenţă ptr. modul TE10 pentru că se

obţine 10cf32f ≥ , condiţie care este îndeplinită. Deci ptr. orice frecvenţă se poate determina

amplasarea fantei, dimensiunea ei, astfel încât sa se obţină un cuplor direcţional. O versiune a cuplorului Bethe ptr. care se obţine directivitatea de orice tip, este cel din

figura de mai jos, care are axele rotite la unghiul θ şi fanta de cuplaj la x=a/2. Rotirea nu afectează polarizabilitatea electrică ci doar momentul magnetic.

Pentru cuplorul Bethe cuplajul, respectiv directivitatea sunt date de următoarele relaţii:

2

20

30

β2K

θcos3r4

baβlog20C +⋅

⋅⋅

⋅−=

2

20

2

20

βkθcos

βkθcos

log20D−

+=

189

g0r λ<<

θ

Cuplorul Bethe

Exemplu

a) Să se dimensioneze un cuplor Bethe pentru frecvenţa f0 = 10 GHz utilizând un ghid de undă dreptunghiular cu a = 2,5 cm, b = 1,25 cm, ştiind că C = 40 dB.

b) Să se determine banda de frecvenţă în care D ≥ 40 dB. a) Dimensionarea unui cuplor Bethe înseamnă determinarea valorilor pentru 0r şi θ .

Modul dominant este TE10 ;GHz6a2cf

10c ==⇒

.cm75,3

ff

1

λλ;cm3fcλ

2

0

c

0g

00

10

=

−

===

;λπ2β

λπ2K

g00 ==

781,0

ff

12

1λλ

21

β2Kθcos

2

0

c

2

0

g2

20

10

=

−

=

==

.42833864,38θ 00 ′′′==⇒

190

Pentru a determina valoarea razei 0r se fac înlocuirile necesare în formula atenuării de cuplaj:

=+⋅⋅

⋅⋅

−= 2

20

30

β2K

θcos3r4

baβlog20C

dB40θcos23r4

baβlog20

30 =⋅

⋅⋅

⋅−=

2r117,1log 3

0 −=

01,0r117,1 30 =

.cm207,0r0 =⇒

b) Se notează: ;xβ2

K2

20 =

;100xθcosxθcos40

xθcosxθcoslog20D ≥

−+

⇒≥−+

=

( ) 7655,0781,010199xx101θcos99xθcos100xθcos 1111 =⋅=⇒=⇒−=+

( ) 7967,0781,099101xx99θcos101xθcos100xθcos 2222 =⋅=⇒=⇒+−=+ Deci, x ia

valorile: .7967,0x7655,0 ≤≤ Trebuie determinate valorile corespunzătoare frecvenţelor:

;

x211

ff

ff12

1x c2

c −=⇒

−

=

;GHz182,10f1 =⇒ .GHz829,9f2 =⇒ Frecvenţa va avea valorile cuprinse în intervalul:

191

.GHz182,10fGHz829,9 ≤≤ Banda relativă de frecvenţe în care directivitatea D ≥ 40 dB, este:

.%53,310

829,9182,10ffΔ

0

=−

=

Diafragme Diafragmele, inductivă, capacitivă şi combinaţia lor, numită fereastră rezonantă sunt

dispozitive pasive nedisipative (deci pur reactive) realizate prin introducerea unui perete conductor, cu o deschidere, amplasat transversal pe direcţia de propagare a undei. Ele sunt utilizate fie pentru a adapta sarcina la ghid (diafragma inductivă şi capacitivă), fie în comutatoarele de antenă (fereastra rezonantă - pentru separarea emisiei de recepţie, deoarece se utilizează o antenă unică). Figura de mai jos prezintă cele 3 tipuri de diafragme şi circuitele lor echivalente.

Diafragma inductivă A; Diafragma capacitivă B; Fereastra rezonantă C; Diafragma inductivă Este un dispozitiv pasiv ce produce o intensificare a câmpului magnetic în deschiderea d

a peretelui conductor, amplasat simetric (ca în figura de mai sus), deci are un caracter inductiv. Deoarece grosimea peretelui conductor t<< λg<< λ0 poate fi considerată un element concentrat cu susceptanţa dată de relaţia:

Impunând valoarea susceptanţei pentru a realiza adaptarea, se obţine deschiderea d a

ferestrei. Diafragma capacitivă

0

adπsin

11aλ

B2

gl <

−=

192

Este un dispozitiv pasiv ce produce o intensificare a câmpului electric în deschiderea d a peretelui conductor, amplasat simetric (ca în figura de mai sus), deci are un caracter capacitiv. Deoarece grosimea peretelui conductor t<< λg<< λ0 dispozitivul poate fi considerat un element concentrat cu susceptanţa dată de relaţia:

Impunând valoarea susceptanţei pentru a realiza adaptarea, se obţine deschiderea d a ferestrei.

Fereastra rezonantă Dacă este îndeplinită condiţia:

Unde a' respectiv b' reprezintă deschiderea peretelui pe axa Ox, respectiv Oy. Circuitul echivalent are la rezonanţă o admitanţă nulă. Această proprietate este utilizată

în comutatoarele de antenă, cu antenă unică pentru separarea emisiei de recepţie. Alte tipuri de dispozitive pasive utilizate în domeniul frecvenţelor înalte, aşa numite şi

discontinuităţi, cu circuitele lor echivalente, sunt reprezentate în figura de mai jos.

b2dπsin

1lnλb4B

2gC =

2

'0

'

'

20

a2λ1

1ba

a2λ1

1ba

−

=

−