FUNDACION CENTRO COLOMBIANO DE ESTUDIOS PROFESIONALES. AREA: ESTADISTICA INFERENCIALPERIODO ACADEMICO: I-2013PROBABILIDAD

NOMBRE:

GRADOCOD:FECHA

1. ESTADISTICA.Es una ciencia de la matemtica que permite a un investigador o a un estadstico deducir, evaluar, inferir y decidir conclusiones acerca de una poblacin a partir de una informacin suministrada por una muestra.La estadstica trata de teoremas, herramientas, mtodos y tcnicas que se pueden usar en:a. Recoleccin, seleccin y clasificacin de datos.b. Interpretacin y anlisis de datos.c. Deduccin y evaluacin de conclusiones y de su confiabilidad con base a datos mustrales.POBLACION. (N).Es El conjunto de todos los datos de una comunidad, que son caractersticas medidas o discretas de ciertos objetos o elementos.Los datos de la poblacin pueden ser:Cuantitativas: Medibles.Cualitativas: No medibles.Ej. No1. Ingreso familiar, diarios, semanal, mensual o anual medio de una comunidad de 5.000 familias.N=5.000 familiasSalarios ={2.000.000, 500.000, 1.550.000, 785.000, }Ej. No2. La nota promedio de la nota de Estadstica I semestre, de los 458 estudiantes de ingeniera de la universidad.N= 458 NotasNotas = {3.8, 4, 3.5, 2, 1.5, 1.0, 5, 4.2, 4.3, 3.9, 4,1, ..}Ej. No3. La edad media de los 1.200 estudiantes del CECEP, matriculados al da de hoy.N= 1.200 Edad Estudiantes.Edades = {19, 20, 28, 31, 19, 20, 25, 19, 18, 33, }MUESTRA. (n).Son datos tomados de una poblacin para tomar una decisin despus de un estudio o anlisis.ANALISIS DE DATOS.Es el estudio o anlisis para tomar la decisin.Ej. No1. Se desea hacer el estudio de las notas de los 40 estudiantes de Estadstica Inferencial, del semestre pasado.1.03.54.01.52.52.93.04.1

3.53.20.74.43.82.81.63.0

4.01.44.22.61.70.83.72.5

0.55.03.92.73.64.11.83.5

3.21.52.13.14.33.52.02.9

Poblacin N = 40Mayor nota = 5.0Menor nota = 0.5Rango de datos = 5.0 0.5 = 4.5Datos ordenados.0.51.52.02.73.03.53.84.1

0.71.52.12.83.13.53.94.2

0.81.62.52.93.23.54.04.3

1.01.72.52.93.23.64.04.4

1.41.82.63.03.53.74.15.0

LA MODA. .Es el dato que ms se repite de la poblacin o la muestra.

LA MEDIANA. .Es el trmino que ocupa la posicin de la mitad.

LA MEDIA ARITMETICA O PROMEDIO. .Es la suma de todos los datos, dividido por el nmero de datos.

El promedio de la nota del grado fue 2.85, pero eso no quiere decir que todos los estudiantes perdieron.Perdieron.

Ganaron.

DATOS AGRUPADOS.DISTRIBUCION DE FRECUENCIA.No de Clases.Existe la Reglas de Sturges.

Esto nos indica que se deben tomar 6 clases, pero por facilidad y comodidad de la escala de valoracin, se toman 5 clases.TABLA DE FRECUENCIAS.CLASEMARCAF.A.F.A.A.F.R.F.R.A.

[O; 1)0.5330.0750.075

[1; 2)1.57100.1750.250

[2; 3)2.59190.2250.475

[3; 4)3.513320.3250.800

[4; 5)4.58400.2001.000

HISTOGRAMA.Grafico que representa la Frecuencia Absoluta contra el nmero de datos. F.A/N.Tambin llamado diagrama de barras.

LA MEDIA ARITMETICA.

PARAMETROS DE POBLACION.1. El total: (A) Suma de los datos.2. Proporcin: (). Fraccin de la poblacin que cumple una determinada propiedad.Ej. No1. De la cantidad de 40 estudiantes, el numero de ellos que aprobaron la materia.

Ej. No2. De una poblacin de 500 artculos, 40 son defectuosos.

3. Las medidas de tendencia central. Media, moda y mediana.

4. Medidas de dispersin. Miden la disparidad de los distintos datos de una poblacin.Desviacin Media. (D.M.)Es la medida de los valores absolutos de las diferencias entre los datos y la media aritmtica.

La nota de cada uno de los estudiantes difiere de la media aritmtica, en promedio 0.94.

0.94 0.94Desviacin Estndar. (S)Mide la desviacin promedio de cada uno de los datos respecto a la media aritmtica.

El promedio de cada nota de estadstica, difiere del promedio del grupo en 1.1311.Para datos agrupados.

Pero con la ayuda del Excel este tipo de clculos se hacen ms fciles.

N0DATOSDIFERENCUADRADO

11,00-1,853,4225

23,500,650,4225

34,001,151,3225

40,50-2,355,5225

53,200,350,1225

63,500,650,4225

73,200,350,1225

81,40-1,452,1025

95,002,154,6225

101,50-1,351,8225

114,001,151,3225

120,70-2,154,6225

134,201,351,8225

143,901,051,1025

152,10-0,750,5625

161,50-1,351,8225

174,401,552,4025

182,60-0,250,0625

192,70-0,150,0225

203,100,250,0625

212,50-0,350,1225

223,800,950,9025

231,70-1,151,3225

243,600,750,5625

254,301,452,1025

262,900,050,0025

272,80-0,050,0025

280,80-2,054,2025

294,101,251,5625

303,500,650,4225

313,000,150,0225

321,60-1,251,5625

333,700,850,7225

341,80-1,051,1025

352,00-0,850,7225

364,101,251,5625

373,000,150,0225

382,50-0,350,1225

393,500,650,4225

402,900,050,0025

114,100,0051,1800

2,851,2795

S1,1311

EJERCICIO No1.Hallar todos los parmetros para los datos desagrupados y agrupados. Hacer las correspondientes graficas.1. Peso promedio de 30 estudiantes de una clase. En Kg1006075908470

865865765664

696395806682

8575103768370

768070697287

2. Edad de 32 personas de una empresa dedicada a las ventas.

202524212228

223226232631

253528252336

302130272440

262033292938

212231312725

3. Determnese el porcentaje de datos para cada ejercicio, que caen en cada uno de los intervalos dado.a. b. c.

2. TECNICAS DE CONTAR.FACTORIAL.Para todo nmero natural n, se llama n factorial o factorial de n al producto de todos los naturales desde 1 hasta n:

Por definiciones de factorial se da:1. El factorial de 1: 2. El factorial de 0: Es para facilitar las operaciones con factorial y de proceso lgico.Ejemplo 1: Ejemplo 2: Simplificar y hallar los resultados.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7. 8. EJERCICIOS No2.1. 3.

2. 4. PERMUTACIONES.La Rotacin de todos los elementos de un evento o un conjunto.

Ej. No1. Cuantas palabras de 4 letras pueden formarse con las letras A, B, C, D.

Ej. No2. Una junta de 3 personas, donde se debe elegir, Presidente, Vicepresidente y Tesorero. De cuantas formas diferentes se pueden organizar.

VARIACIONES.Es el nmero de organizaciones diferentes que se pueden obtener de n objetos tomados en grupos de r elementos.

En estos grupos organizados existe el orden. La ubicacin de cada elemento interesa.Ej. No3. Cuantos nmeros de 4 cifras se pueden formar con las cifras 1, 2, 3, 4, 5, 6. Ninguna cifra se puede repetir.n = 6 r = 4. Son Variaciones de 6 en 4.

Segundo mtodo.Se organizan casillas de acuerdo al nmero de elementos de grupo a formar.4 casillas6543

360Ej. No4. Cuntos de estos nmeros son pares.5433

180Para que un numero sea par debe terminar en cifra par, y en el conjunto hay 3 nmeros pares. Van en la ltima casilla, los dems se ubican en las 3 casillas inciales.Segundo mtodo.

Ej. No5. Cuantos son mayores que 400?3543

180En la primera casilla solo pueden ir 4, 5,6, sea 3 nmeros.En la segunda se pueden utilizar 5, pq el usado en la primera casilla no se puede.Y as sucesivamente en las dems.Segundo mtodo.

Ej. No6. Cuantos nmeros se pueden formar si se puede repetir cifras.Se organizan casillas de acuerdo al nmero de elementos de grupo a formar.4 casillas6666

1.296Ej. No7. Cuantos de los nmeros anteriores son pares?6663

648Ej. No8. Cuantos de los nmeros son mayores que 400?3666

648Ej. No8. Cuantos de los nmeros son mayores que 500?2666

432COMBINACIONES.El numero de combinaciones posibles de r elementos tomados de n posibles. El orden de ocupacin no interesa, ni la posicin que ocupan.

Ej. No1. Si un grupo de 3 personas: Carlos, Fernando y Juan para entregar un trabajo, sera lo mismo que: Carlos, Juan y Fernando y as sucesivamente.Ej. No2. Se tiene un grupo de 5 personas para formar juntas directivas de 3 personas.n = 5 r = 3. Combinaciones de 5 en 3, pq no importa el orden.

Ej. No3. De cuantas maneras posibles se pueden formar equipos de baloncesto, de un total de 8 jugadores.

Ej. No 4. De cuantas maneras posibles se pueden formar equipos de baloncesto, de un total de 9 jugadores.

Ej. No 5. Se necesita organizar grupos de trabajo de 3 personas de un total de 8. Cuantos grupos diferentes pueden salir?

Ej. No 6. De cuantas maneras posibles se pueden formar equipos de trabajo de 4 personas, de un total de 9 jugadores.

3. INTRODUCCION A LA PROBABILIDAD.Es el estudio de experimentos o fenmenos aleatorios o de libre determinacin o de libre ocurrencia.Histricamente, la Teora de la probabilidad comenz con el estudio de los juegos de azar, tales como dados, cartas, ruletas y otros, para un determinacin de cmo serian sus resultados para ganar o perder.La probabilidad de un evento A se define:P(A) = EXPERIMENTO: Es la experiencia o fenmeno realizado para su estudio.Lanzar una moneda. Cara, Sello.Lanzar un dado. Posibles resultados: 1, 2, 3, 4, 5, 6.Seleccionar un fusible. Defectuoso, Bueno.Lanzar dos monedas. CS, CC, SS, SC.ESPACIO MUESTRAL: (S)Regularmente se representa con una letra mayscula S, pero de igual manera usted puede utilizar otra diferente.Es el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento o un fenmeno.S = {C, S} S = 2S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} S = 6S = {B, M} S = 2 S = {CS, SC, CC, SS} S = 4 Se lanza simultneamente dos dados. S = 36(1,1)(2,1)(3,1)(4,1)(5,1)(6,1)

(1,2)(2,2)(3,2)(4,2)(5,2)(6,2)

(1,3)(2,3)(3,3)(4,3)(5,3)(6,3)

(1,4)(2,4)(3,4)(4,4)(5,4)(6,4)

(1,5)(2,5)(3,5)(4,5)(5,5)(6,5)

(1,6)(2,6)(3,6)(4,6)(5,6)(6,6)

Se lanzan 3 monedas simultneamente. S = 8

CSCSCSCSCSCSCS

S = {CCC, CCS, CSC, CSS, SCC, SCS, SSC, SSS}Ej. Se lanza un dado y se analiza su resultado: Observamos que el dado puede caer en 1, 2, 3, 4, 5, o 6., por lo tanto el espacio muestral ser:S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}EVENTO (E): Un evento es un conjunto de resultados posibles del fenmeno a analizar. Es un subconjunto del espacio muestral.Dado el evento de que el dado pueda caer en una cifra par, entonces los posibles resultados en que puede caer el dado sern: dos, cuatro y seis, por lo tanto el evento ser:A = { 2, 4, 6 }La combinacin de los eventos se puede dar para formar nuevos eventos:1. A U B si y solo si A o B suceden o ambos.2. A B si y solo si A Y B suceden simultneamente.3. Ac Complemento de A, si y solo si A no sucede.Ej. No 1. Lanzar un dado y observar que salga un nmero primo.

Ej. No 2. Lanzar 3 monedas simultneamente y que salgan dos caras.

Ej. No3. Lanzar dos dados simultneamente y que su suma sea 7.

Ej. No 4. Lanzar dos dados simultneamente y que la suma de los dos sea 11.

La probabilidad de cada uno de los eventos anteriores es:

EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUSIVOS: Se llaman mutuamente exclusivos, si son disyuntos, sea que la interseccin de los conjuntos sea vaca. A B = (No pueden suceder simultneamente).

Ejemplo No 1: Se S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} un espacio muestral, de las posibilidades de salir un numero al ser lanzado un dado y los eventos A = {2, 4, 6} de salir un numero par. B = {1, 3, 5} de salir un nmero impar. C = {2, 3, 5}A B = , Observamos que no hay elementos comunes, por lo tanto los eventos son mutuamente exclusivos.Determinando la probabilidad de cada uno de los eventos.P(A) = = = 0.5 o equivalente a un 50%

P(B) = = = 0.5 o equivalente a un 50%

P(A) = = = 0.5 o equivalente a un 50%

P(S) = = = 1 o equivalente a un 100%

P(C) = = = 0.5 o equivalente a un 50%Formando nuevos eventos con la combinacin de los eventos anteriores A, B y C:A U B = { 2, 4, 6, 1, 3, 5}A U C = { 2, 4, 6, 3, 5 }B C = { 3, 5 }CC = { 1, 4, 6 }Las probabilidades de los nuevos eventos sern:P(AUB) = = = 1 o equivalente a un 100%

P(AUC) = = = 0.83 o equivalente a un 83%

P(BC) = = = 0.33 o equivalente a un 33%

P(Cc) = = = 0.5 o equivalente a un 50%

AXIOMAS DE PROBABILIDAD.Si consideramos el espacio muestral S y los eventos A y B, cuyas funciones de probabilidad son P(S) probabilidad de S. P(A) probabilidad del evento A. P(Cc) probabilidad del evento Cc. Se cumplen los siguientes axiomas:P1 Para todo evento A, se cumple que 0 P(A) 1P2 P(S) = 1P3 Si A y B son eventos mutuamente exclusivos, entonces se cumple que P(AUB) = P(A) + P(B) .Para el ejemplo No 1, observamos que:1. 0 P(A) 1. Observamos que el valor de cada una de las probabilidades es menor que 1 y mayor que 0.2. P(S) = 1. Se ve fcilmente que la probabilidad del espacio muestral S es 1.P (AUB) = P(A) + P (B). La probabilidad de cada evento es P(A) = 0.5 P(B) = 0.5 y la probabilidad de P(AUB) = 1.0TEOREMAS DE LA PROBABILIDAD.Estos teoremas se deducen de los axiomas:T1. La probabilidad del conjunto vacio es 0. P() = 0T2. Si Ac es el complemento del evento A, entonces P(Ac) = 1 - P(A) T3. Si A c B, entonces P(A) P(B)T4. Si a y b son dos eventos, entonces P(A-B) = P(A) - P(AB)T5. Si A y B son dos eventos, entonces P (AUB) = P(A) + P (B) + P(AB)

Ej. No2: Sea S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, el espacio muestral de los resultados del fenmeno dado y los eventos A = {0, 1, 2, 4, 6, 8} y B = {1, 2, 3, 4, 5}.La grafica del conjunto ser: U A B 0 1 3 6 2 4 5 8 9 7 Calculado:A U B = { 0, 1, 2, 4, 6, 8, 3, 5 }A B = { 1, 2, 4 }Ac = { 3, 5, 7, 9 }Bc = { 0, 6, 7, 8, 9 }A B = { 0, 6, 8 }B A = { 3, 5 }Los cardinales de cada uno de los conjuntos:#A = 6, #B = 5, #(AUB) = 8, #(AB) = 3, #(Ac) = 4, #(Bc) = 5 #(A-B) = 3 #(B-A) = 2.Calculando las probabilidades.P(A) = = = = 0.6 equivalente en porcentaje 60%

P(B) = = = = 0.5 equivalente en porcentaje 50%P(AUB) = = = = 0.8 equivalente en porcentaje 80%P(AB) = = = 0.30 equivalente en porcentaje 30%P(A-B) = = = 0.30 equivalente en porcentaje 30%P(B-A) = = = 0.20 equivalente en porcentaje 20%

P(AC) = = = 0.40 equivalente en porcentaje 40%

P() = = = 0.50 equivalente en porcentaje 50%Si aplicamos los teoremas obtenemos:T2. P(AC) = 1 - P(A) = 1 - 0.60 = 0.40T2. P(BC) = 1 - P(B) = 1 - 0.50 = 0.50T4. P(A-B) = P(A) - P(AB) = 0.60 - 0.30 = 0.30T5. P(B-A) = P(B) - P(BA) = 0.50 - 0.30 = 0.20T6. P (AUB) = P(A) + P (B) + P(AB) = 0.60 + 0.50 - 0.30 = 0.80T6. P (AUB) = P(A-B) + P (B-A) + P(AB)= 0.30 + 0.20 + 0.30 = 0.80

4. ESPACIOS FINITOS DE PROBABILIDAD.Sea un espacio muestral finito tal que S = {a1, a2, a3, . an}la probabilidad del espacio muestral ser la suma de las probabilidades parciales e igual a 1.P(S) = P(a1) + P(a2) + P(a3) + + P(an) = 1

EJEMPLO No 1. Lanzamos cuatro monedas una a una y observamos los nmeros de sellos que pueden salir en cada lanzamiento.El espacio muestral sera as:1. Que no salga ningn sello. 0SCCCC2. Que salga un sello y tres caras. 1SSCCC, CSCC, CCSC, CCCS.3. Que salgan dos sellos y dos caras. 2S.SSCC, CSSC, CCSS, SCSC, CSCS, SCCS.4. Que salgan tres sellos y 1 cara. 3SSSSC, CSSS, SCSS, SSCS.5. Que salgan cuatro sellos y o caras. 4SSSSS.El conjunto S = {0, 1, 2, 3, 4} de los posibles resultados de caer las monedas.Observamos que existen 16 posibilidades de salir los resultados.Si calculamos las siguientes probabilidades.1. La probabilidad de que salgan 4 caras o no salga un sello.P(0) = = 0.06252. La probabilidad de que salga un sello.P(1) = = 0.253. La probabilidad de que salgan dos sellos.P(2) = = = 0.3754. Probabilidad de que salgan 3 sellos.P(3) = = = 0.255. Probabilidad de que salgan 4 sellos.P(4) = = 0.0625P(S) = P(0) + P(0) + P(0) + P(0) + P(0) = + + + + = 16. La probabilidad de que por lo menos salga un sello.Los resultados son C = { 1S, 2S, 3S, 4S }P(C) = P(1S) + P(2S) + P(3S) + P(4S)

= + + + = 7. Sea D el evento de que salgan todos sellos o todas caras.Los resultados de D = { 4S, 4C }P(D) = P(4C) + P(4S) = + = =

EJEMPLO No 2. Cuatro caballos A, P, S, Q, intervienen en una carrera. Si A tiene el doble de probabilidades de ganar que P, y P el doble de probabilidades de ganar que S, S el doble de probabilidades de ganar que Q. Cules son las respectivas probabilidades de ganar cada uno de los caballos.Sea p la probabilidad de ganar el menos factible.Q = pS = 2Q = 2pP = 2S = 2(2Q) = 4Q = 4pA = 2P = 2(2S) = 2(2(2Q))) = 8Q = 8pComo el valor total de una probabilidad de un espacio muestral debe ser uno, entonces.P(A) + P(P) + P(S) + P(Q) = 1 8p + 4p + 2p + p = 1 15p = 1 P = Los valores de la probabilidad de ganar cada caballo es de:P(A) = 8p = 8 x =

P(P) = 4p = 4 x =

P(S) = 2p = 2 x =

P(Q) = 1p = 1 x = Cul es la probabilidad de que A o P ganen la carrera.El evento es F = { A, P }P(F) = P(A) + P(P) = + = = = 0.80La probabilidad de que A o P ganen es de o de 0.80, o tambin equivale a decir que tienen el 80% de probabilidades de ganar, que es equivalente a decir que tienen el 20% de probabilidades de perder.

ESPACIOS FINITOS EQUIPROBABLES.Es un espacio muestral S finito de probabilidad, donde cada punto muestral tiene la misma probabilidad.P(A) =

EJ. No1. Se lanzan 2 dados al mismo instante, pero sin identificarlos y se observan cada uno de los resultados.El espacio muestral de los posibles resultados seria:(1, 1) (1, 2) (1, 3) (1, 4) (1, 5) (1, 6) (2, 2) (2, 3) (2, 4) (2, 5) (2, 6)(3, 3) (3, 4) (3, 5) (3, 6)(4, 4) (4, 5) (4, 6)(5, 5) (5, 6)(6, 6)El total de posibilidades de caer los dados son S = 211. Cul es la probabilidad de que la suma sea 6.A = {La suma sea 6 } = { (1, 5), (2, 4), (3, 3) }

2. La probabilidad de B = { La suma sea 5 } = { (1, 4), (2, 3) }

3. La probabilidad C = {Salgan pares} Los nmeros sea iguales.C = { (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6) }

4. La probabilidad D = { La suma sea impar }D ={(1, 2),(1, 4),(1, 6),(2, 3),(2, 3), (3, 4), (3, 6), (4, 5), (5, 6)}

5. La probabilidad de E = { La suma sea 7 } = { (1, 6), (2, 5), (3, 4) }

6. La probabilidad de F = { La suma sea par }7. La probabilidad de G = { Los dos dados sean nmeros impares }8. La probabilidad de H = {Uno de los dados sea un nmero impar }

REGLA DE LA ADICION.Consideremos un juego en el cual debe elegirse una carta de una baraja de pker de 52 cartas. Ganan si la carta elegida es negra o un rey. Cul es la probabilidad de ganar?12345678910111213

PA2345678910JQK

TA2345678910JQK

CA2345678910JQK

DA2345678910JQK

S = Total De cartas = 52 Cartas.E = Evento = Sea negra o rey. = 28.

Ej. No2. Se lanza un dado normal. Ud. gana 5 dlares, si el resultado es par o divisible por 3. Cul es la probabilidad de ganar. S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}P = {2, 4, 6} D = {3, 6} PD = {6}

E = P U D = {2, 4, 6, 3}

Ej. No 3. Un cliente entra a un supermercado. La probabilidad de que compre pan es 0.60; que compre leche es 0.50 y la de que compre pan y leche es 0.30. Cul es la probabilidad de que compre pan, leche o ambos?

Ej. No 4. Determinar la probabilidad de extraer una carta de una baraja que sea As o Rey.Los eventos:A = Sacar Rey. = {RP, RT, RC, RD} = 4B = Sacar As. = {AP, AT, AC, AD} = 4AUB = { RP, RT, RC, RD, AP, AT, AC, AD} = 8S = 52 Cartas

PROBABILIDAD CONDICIONAL.Ej. No 1. Una caja contiene bolitas blancas y negras, adems, cada una tiene grabada una letra que puede ser A o Z. Si la composicin de la caja es:NEGRA(N)BLANCA(B)TOTAL

A538

Z123

TOTAL6511

Si se selecciona al azar una bolita de la caja. Hallar la probabilidad de:1. Probabilidad de obtener una bolita negra. S = 11

2. Probabilidad de obtener una bolita negra suponiendo que tenga grabada una letra A.S = Bolita con letra A = 8A = Bolitas negras con letra A = 5 3. Probabilidad de obtener una bolita con la letra A. Bolitas con letra A = 8 Total de bolitas = 11

4. Probabilidad de obtener una bolita con la letra A y sea negra. Bolitas negras con letra A = 5 Total de bolitas = 11

5. Probabilidad de B dado A.Probabilidad de obtener una bolita blanca suponiendo que tenga grabada la letra A.A = Bolita con letra A = 8B = Bolitas blancas con la con letra A = 3

Ej. No 2. Se lanza un dado cargado. Dado que el resultado es un nmero par. Cul es la probabilidad de que sea mayor que 3?S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} = Total de resultados del dado. = 6A = {2, 4, 6} = Resultados pares = 3B = {4, 5, 6} = Resultados mayores que 3 = 3AB = {4, 6} = Pares mayores que 3 = 2 Probabilidad de obtener un nmero mayor que 3, dado que sea par.

Analizndolo de otro modo. S = {2, 4, 6}S = 3 nmeros pares; E = {4, 6} =Mayores que 3 = 2

REGLA DE LA MULTIPLICACION.Ej. No1. Se sacan dos cartas simultneamente de una baraja de 52 cartas. Cul es la probabilidad de que ambos sean ases?A = Primera carta As.B = Segunda carta As.

Otro mtodo. Combinaciones de grupos de dos cartas diferentes.

Combinaciones de grupos de dos, de 4 ases posibles.

Ej. No2. Una urna contiene 6 bolitas Blancas y 4 bolitas Negras. Se extraen dos bolitas sucesivamente y sin sustitucin. Hallar.a. Probabilidad de que ambas bolitas sean blancas. Como son 10 bolitas en total, pero Blancas B = 6 y Negras N = 4

Otro mtodo.El espacio muestral. Combinaciones de 10 en 2.

El evento. Grupos de 2 bolitas blancas de las 6 posibles.

b. Probabilidad de que la primera sea blanca y la segunda negra.

Otro mtodo.El espacio muestral. Variaciones de 10 en 2.

El evento. Grupos de 1 bolitas de 6 blancas y 1 de 4 Negras.

c. Probabilidad de que la primera sea negra y la segunda blanca.

Otro mtodo.El espacio muestral. Variaciones de 10 en 2.

El evento. Grupos de 1 bolitas de 4 blancas y 1 de 6 negras.

d. Probabilidad de que ambas bolitas sean negras. Como son 10 bolitas en total, pero Blancas B = 6 y Negras N = 4

Otro mtodo.El espacio muestral. Combinaciones de 10 en 2.

El evento. Grupos de 2 bolitas blancas de las 6 posibles.

Ej. No 3. Se extraen 3 cartas de una baraja de pker en forma sucesiva y sin restitucin. Hallar la:a. Probabilidad de que no haya ningn as entre las 3 cartas?

Como son 52 cartas en total, de las cuales 4 son as. Quedan 48 cartas.

b. Las dos primeras sean As y la ltima Rey.

c. Probabilidad que solo las 2 primeras sean Ases..

d. Probabilidad de un As en la ltima salida.

Ej. No3. De 100 personas que solicitaron empleo de programacin de computadores en una Universidad durante el ao pasado, 40 tenan experiencia anterior (W). 30 tenan certificacin profesional . Sin embargo 20 de los solicitantes tenan experiencia anterior y un certificado y se los incluye en ambos conteo.a. Diagrama de Venn. U W C 20 20 10 50

b. Probabilidad de que un solicitante escogido aleatoriamente tenga experiencia o certificacin.

c. Probabilidad de que un solicitante escogido aleatoriamente tenga experiencia o certificacin pero no ambas..

d. Probabilidad condicional de que un solicitante escogido aleatoriamente tenga un certificado, dado que tiene experiencia anterior. Ej. No 4. De 12 CxC de un archivo financiero de una empresa de zapatos, se examino que 4 contienen un error de procedimiento al contabilizar los saldos.1. Si un auditor selecciona aleatoriamente dos de estas CXC (Sin reemplazo). Cul es la probabilidad que ninguna CXC contenga un error de procedimiento de digitacin? N = 12 Con error E = 4 Sin error SE = 8

2. Si el auditor muestrea 3 CXC. Cul es la probabilidad de que ninguna de las CXC tenga un error de procedimiento?

3. Si el auditor muestrea una sola CXC. Cul es la probabilidad de que esta tenga error?

4. Probabilidad de que por lo menos una tenga error de 2CXC auditadas:

5. Auditadas 3CXC. Cul es la probabilidad de que por lo menos una tenga error.

EJERCICIOS:1. De los estudiantes de una Institucin, el 40% son varones y el 4% son varones que estudian arte. Si se elige uno al azar y este resulta ser un varn. Cul es la probabilidad de que estudie arte? V

36% A 4% 60%

2. Una urna contiene 4 bolitas blancas y 3 rojas.a. Si se sacan dos bolitas sin restitucin. Cul es la probabilidad de que las 2 bolas sean blancas?b. Probabilidad de que las dos bolitas sean rojas?c. La probabilidad de que la primera sea blanca y la segunda roja?d. Se sacan dos bolitas con restitucin. Cul es la probabilidad de que las dos sean blancas?e. Se sacan dos bolitas con restitucin. Cul es la probabilidad de que las dos sean Rojas?f. Se sacan dos bolitas con restitucin. Cul es la primera sea blanca y la segunda roja?3. Tenemos dos urnas. La primera Urna , contiene 8 bolitas blancas y 2 negras y la urna , contiene 3 bolitas blancas y 7 negras. Se elige una urna al azar y se saca una bolita de la urna elegida. Si obtenemos un premio de $100.000 cuando la bolita es blanca. Cul es la probabilidad de ganar en este juego?

B=8N=2B=3N=7Urnas

Existen dos maneras de ganar el juego.1. Si elige la y saca la bolita Blanca.2. Si elige la y saca la bolita Blanca.3. La tabla nos indica la descripcin de 200 personas que entraron a un almacn de equipos de sonido, de acuerdo al sexo y edad:HombreMujerTotal

< 306050110

> 30801090

Total14060200

Determnese la:1. Probabilidad de que una persona escogida aleatoriamente del grupo sea un hombre menor de 30 aos?2. Probabilidad de que al escoger una persona aleatoriamente sea un hombre?3. Probabilidad de que una persona escogida aleatoriamente sea menor de 30 aos dado que es un hombre?4. Probabilidad de que una persona escogida aleatoriamente del grupo sea una mujer menor de 30 aos?5. Probabilidad de escoger aleatoriamente una persona y sea mujer?6. Probabilidad de escoger aleatoriamente una persona y sea menor de 30 aos, dado que es una mujer?7. Probabilidad de escoger una persona mayor de 30 aos?

ESPERANZA MATEMATICA.Laesperanza matemticaovalor esperadode una variable aleatoria discreta, es la suma del producto de la probabilidad de cada suceso por el valor de dicho suceso.

Ej. No1. Consideremos en una tabla el nmero de caras posibles que pueden aparecer cuando se lanzan 3 monedas.NoRESULCARASPROB

1CCC31/8

2CCS21/8

3CSC21/8

4SCC21/8

5SSC11/8

6SCS11/8

7CSS11/8

8SSS01/8

TOTAL8/8

Organizando la tabla de frecuencias de repitencia del numero de caras.NoX CaraFrecuenciaProbabilidadXP(x)

1011/80*1/80

2133/81*3/83/8

3233/82*3/86/8

4311/83*1/83/8

Total88/812/8

El nmero de caras que aparecen en cada ensayo es 0, 1, 2, 3, esperamos obtener un promedio de 1.5 caras por lanzamiento de las 3 monedas. Este es el llamado Esperanza Matemtica.El nombre deesperanza matemticayvalor esperadotienen su origen en los juegos de azar y hacen referencia a la ganancia promedio esperada por un jugador cuando hace un gran nmero de apuestas.Si laesperanza matemticaescero, E(x) = 0, eljuegoesequitativo, es decir, no existe ventaja ni para el jugador ni para la banca.Ej. No2. Una caja contiene 3 bolitas negras y 7 blancas. Se saca una bolita de la caja al azar; si esta es negra gana $500, pero si es blanca pierde $300. Cul es la esperanza matemtica de este juego?

NoX CantidadP(x)X.P(x)

15003/101500/10

2-3007/10-2100/10

-600/10

La esperanza matemtica de este juego para el jugador, es una perdida promedio de $60.Ej. No 3. Una caja contiene 4 bolitas rojas, 6 negras y 8 verdes. Si se saca una bolita al azar de dicha caja:a. Si esta es Roja, gana $3.000.b. Si es Negra, gana $2.000.c. Cuanto debera pagar Ud., si saca una bolita verde para asegurar que el juego es equilibrado.N = 4+6+8=18.

NBolitaX Gana/PierdeP(x)XP(x)

1Roja3.0004/1812000/18

2Negra2.0006/1812000/18

3VerdeX8/188X/18

Total18/18

La esperanza matemtica para un juego equitativo es cero:

Quiere decir que si ud. paga $3.000 cuando la bolita extrada es verde, la esperanza matemtica del juego es cero, por lo tanto Ni pierde, ni gana.Ej. No 4. Un fabricante de TV, utiliza un cierto tipo de componentes electrnicas en el montaje de TV a color. Cada TV requiere de 6 tipos distintos de componentes. Un componente defectuoso no puede ser detectado hasta que el TV haya sido totalmente montado. El costo de deteccin, reparacin y reposicin de un componente defectuoso es de $ 15. El fabricante ha estado comprando estos componentes en lotes de 100 a dos diferentes proveedores. El costo de compra por lote al proveedor A es de $ 100 en tanto que el costo de compra por lote al proveedor B es de $ 120. Basados en experiencias anteriores, las calidades comparadas de los lotes comprados a los dos proveedores son las siguientes:PROVEEDOR ANo Componentes DefectuosasP(X)PagaDefectuosoXp(X)

10.3011534.5

20.2513032.5

30.2014529

40.1516024

50.1017517.5

137.5

PROVEEDOR BNo Componentes DefectuosasP(X)PagaDefectuosoXP(x)

10.6013581

20.3015045

30.1016516.5

142.5

A que proveedor deben comprrsele los componentes electrnicos para minimizar el costo de estos?El costo en cada lote A nos da:100 + 1(15) = 115100 + 2(15) = 100 + 30 = 130100 + 3(15) = 100 + 45 = 145100 + 4(15) = 100 + 60 = 160100 + 5(15) = 100 + 75 = 175El costo en cada lote B nos da:120 + 1(15) = 120 + 15 = 135120 + 2(15) = 120 + 30 = 150120 + 3(15) = 120 + 45 = 165Ej. No 5. Un comerciante estima las ventas diarias de un cierto tipo de pan especial en la siguiente forma:VentaP(x)X=4X=5X=6xP(x)

40.5010085705042.535

50.40100125110405044

60.101001251501012.515

total1.0010010594

El costo por unidad de hogaza de pan es $25 y el precio de venta $50. El pan debe ser ordenado con un da de anticipacin y cada unidad no vendida se entrega a una Institucin de Beneficencia al precio de $10 por unidad. Cuantas unidades debe ordenar el comerciante para maximizar su utilidad esperada diariamente?Tabla de clculos para la venta de pan y compra de insumos.CALCULO4CALCULO5CALCULO6

44x50-4x251004x50-5x25+1x10854x50-6x25+2x1070

54x50-4x261005x50-5x251255x50-6x25+1x10110

64x50-4x271005x50-5x251256x50-6x25150

Se deben realizar 5 rdenes para que la utilidad sea maximizada y corresponde a $105.

DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD.Cuando se asignan valores de probabilidad a todos los valores posibles de una variable aleatoria, sea por inclusin en una lista o por funcin matemtica.Ej. No1. La tabla nos ensea el nmero de camionetas que fueron solicitadas en una agencia de alquiler durante un periodo de 50 das.

NoX DemandaDIASPROBABILIDAD p(X)XP(X)X2X2P(x)

1333/50 = 0.060.1890.54

2477/50 = 0.140.56492.24

351212/50 = 0.241.20256.00

461414/50 = 0.281.683610.08

571010/50 = 0.201.40499.80

6844/50 = 0.080.64645.12

TOTAL501.005.6633.78

La media aritmtica se llama, valor esperado o Esperanza Matemtica.

La varianza de una variable aleatoria , se calcula con respecto a como la media de la distribucin de probabilidad:

La desviacin estndar de la muestra.

DISTRIBUCION BINOMIAL.Se emplea para determinar la probabilidad de obtener un nmero designado de xitos en un proceso.Necesita conocer:a. x = Numero de xitosb. n = Numero de ensayos y observaciones.c. P = Probabilidad de xitos en cada ensayo.Se calcula por medio de la expresin:

Ej. No1. La probabilidad de que un presunto cliente escogido aleatoriamente haga una compra es de 0.20. Si un vendedor visita 6 presuntos clientes, la probabilidad de que haga exactamente 4 ventas ser?X = 4 n = 6 p = 0.20

La probabilidad de que el vendedor haga exactamente 4 ventas es de 0.0153. El porcentaje de hacer 4 ventas, de 6 visitas es de 1.53%.Ej. No 2. La probabilidad de que el vendedor haga cuatro o ms ventas?X = 4 n = 6 p = 0.20

La probabilidad de que el vendedor haga 4 ventas o ms es de 0.01696. El porcentaje de hacer mas de 4 ventas, de 6 visitas es de 1.69%.Ej. No 3. Si la probabilidad de que un presunto cliente escogido aleatoriamente haga una compra es 0.20, la probabilidad de que un vendedor que visita a 15 presuntos clientes, haga menos de tres ventas es?p = 0.20 n = 15 X = 2

El valor esperado o la media aritmtica es:

La varianza:

La desviacin estndar.

Ej. No 4. El numero de ventas esperadas (como un promedio a largo plazo) y la varianza asociada con las visitas a 15 presuntos clientes.P = 0.20 n = 15

DISTRIBUCION NORMAL.Llamada distribucin Gaussiana o de Gauss.Es una distribucin de probabilidad de variable continua de un fenmeno real, que puede ser de:Caractersticas de variables corporales o morfolgicas. Estatura, peso.Caractersticas sociales. Aceptacin, ndice de confianza.Caractersticas sociolgicas. Consumo. Etc.Funcin de densidad

Se dice que una variable aleatoria continua X sigue una distribucin normal de parmetros y y se denota X~N(, ) si su funcin de densidad est dada por:

donde (mu) es la media y (sigma) es la desviacin tpica (2 es la varianza)Se llama distribucin normal "estndar" a aqulla en la que:1. sus parmetros toman los valores = 0 y = 1.2. Variables asociadas a fenmenos naturales que sigue un modelo normal de caractersticas:i. Morfolgicos. Talla, peso, dimetro, permetros.ii. Fisiolgicas. Cantidades suministradas de droga, frmacos.iii. Sociolgicas. Evaluaciones, notas, consumos.iv. Psicolgicas. Grado de aceptacin, satisfaccin.v. Contables. Promedios, ventas, prstamos, cantidades.Es una probabilidad continua que es simtrica como mesocurtica.

Grafica de la campana de GaussImportancia para la inferencia estadstica:1. Las medidas producidas en muchos procesos aleatorios siguen esta distribucin.2. Las probabilidades normales pueden utilizarse generalmente para aproximar otras distribuciones.3. Las distribuciones de estadstica tales como la media de la muestra y la proporcin de la muestra siguen la distribucin normal, sin tener en cuenta la distribucin de la poblacin.

Donde los valores de las constantes y las variables:

Ej. No 1. Un industrial que recibe una remesa grande de bombillos elctricos de 100 Watios. Suponiendo que la vida til promedio de cada bombillo es de 900 horas, con una desviacin estndar de 50 horas.

-3s -2s -1s 0 1s 2s 3s 750 800 850 900 950 1000 1050Segn la distribucin de la grafica habr bombillas que duraran 950 o 1.000 horas y otras que duraran 1.050 o algunas otras menos, tales como 850, 800 horas, etc. 1. Qu porcentaje de bombillas tienen una duracin de menos de 940 horas? Supngase que son 25.000 bombillas.Hallamos las unidades estandarizadas, para . Para encontrar el rea correspondiente a este valor en la campana de Gauss.

A=0.7881

-3s -2s -1s 0 1s 2s 3s 750 800 850 900 950 1000 1050

CONCLUSION: El 78.81% de las bombillas tienen una vida til promedio inferior a 940 hrs.El numero de bombillas que cumplen la condicin de tener menos de 940 hrs promedio de duracin son:NB = NP = (25.000)(0.7881) = 19.702.5 En el pedido se podrn encontrar 19.703 bombillas con una vida til inferior a 940 hrs.2. Qu porcentaje de bombillas tiene duracin mayor o igual a 820 hrs? Hallamos las unidades estandarizadas, para . Para encontrar el rea correspondiente a este valor en la campana de Gauss.

A=0.9452

-3s -2s -1s 0 1s 2s 3s 750 800 850 900 950 1000 1050

CONCLUSION: El 94.52% de las bombillas tienen una vida til promedio superior a 820 hrs.El numero de bombillas que cumplen la condicin de tener ms de 820 hrs promedio de duracin son:NB = NP = (25.000)(0.9452) = 23.630 En el pedido se podrn encontrar 23.630 bombillas con una vida til superior o igual a 820 hrs.3. Qu porcentaje de bombillas tienen una duracin de menos de 865 horas?Hallamos las unidades estandarizadas, para . Para encontrar el rea correspondiente a este valor en la campana de Gauss.

A=0.23885

-3s -2s -1s 0 1s 2s 3s 750 800 850 900 950 1000 1050

CONCLUSION: El 23.88% de las bombillas tienen una vida til promedio inferior a 865 hrs.El numero de bombillas que cumplen la condicin de tener menos de 865 hrs promedio de duracin son:NB = NP = (25.000)(0.23885) = 5.971.25 = 5.971En el pedido se podrn encontrar 5.971 bombillas con una vida til inferior a 865 hrs.4. Qu porcentaje y el numero de bombillas tiene duracin mayor a 990 hrs? Hallamos las unidades estandarizadas, para . Para encontrar el rea correspondiente a este valor en la campana de Gauss.

A=0.03515 -3s -2s -1s 0 1s 2s 3s 750 800 850 900 950 1000 1050

CONCLUSION: El 3.51% de las bombillas tienen una vida til promedio superior a 990 hrs.El numero de bombillas que cumplen la condicin de tener ms de 990 hrs promedio de duracin son:NB = NP = (25.000)(0.03515) = 878.75 = 879 En el pedido se podrn encontrar 879 bombillas con una vida til superior o igual a 990 hrs.5. Qu probabilidad, porcentaje y numero de bombillas tiene duracin mayor o igual a 870 hrs y menor igual a 985 hrs? Hallamos las unidades estandarizadas, para y para . Para encontrar el rea correspondiente a este valor en la campana de Gauss.

A=0.95543A=0.27425 -3s -2s -1s 0 1s 2s 3s 750 800 850 900 950 1000 1050

CONCLUSION: La probabilidad de que una bombilla escogida aleatoriamente tenga una duracin, comprendidas en el intervalo de vida til de hrs es de 0.68118.El 68.11% de las bombillas tienen una vida til promedio comprendida entre 870 y 985 hrs.El numero de bombillas que cumplen la condicin de tener vida til hrs promedio de duracin son:NB = NP = (25.000)(0.68118) = 17.029.60 =17.030 En el pedido se podrn encontrar 17.030 bombillas con una vida til comprendida en el intervalo hrs.El intervalo de bombillas con promedio de duracin entre el intervalo hrs es de:

Ej. No2. La distribucin normal de las edades de los trabajadores de una industria, con media de 50 aos y una desviacin estndar de la poblacin de 5 aos.1. Cul es el porcentaje de trabajadores cuyas edades estn entre 50 y 52.5 aos?

Hallamos las unidades estandarizadas, para y para . Para encontrar el rea correspondiente a este valor en la campana de Gauss.

A=0.69146A=0.15866 -3s -2s -1s 0 1s 2s 3s 35 40 45 50 55 60 65

CONCLUSION.El 53.28% de los trabajadores de la empresa estn en una edad promedio comprendida en el intervalo: aos.2. Cul es la probabilidad de que un trabajador cualquiera no sea mayor a 47 aos?

Hallamos las unidades estandarizadas, para . Para encontrar el rea correspondiente a este valor en la campana de Gauss.

CONCLUSION:El 27.42% de los trabajadores de la empresa tienen una edad menor o igual a 47 aos.Hay una probabilidad de 0.27425 de que un trabajador cualquiera tenga una edad inferior o igual a 47 aos.

A=0.27425 -3s -2s -1s 0 1s 2s 3s 35 40 45 50 55 60 653. Cul es la probabilidad de que un trabajador tenga edad comprendida entre 41 y 58 aos?

Hallamos las unidades estandarizadas, para y para . Para encontrar el rea correspondiente a este valor en la campana de Gauss.

A=0.95543A=0.27425 -3s -2s -1s 0 1s 2s 3s 35 40 45 50 55 60 65

4. Cul es el intervalo de edad para una poblacin distribuida simtricamente con relacin a la media aritmtica, del 80%.

A=0.10000A=0.9000080% -3s -2s -1s 0 1s 2s 3s 43.6 56.4

Este porcentaje equivale a una probabilidad de 0.8, segn el rea en la campana de Gauss.En los extremos quedan 2 reas iguales de 10%, equivalente al 0.1 de probabilidad.Segn la tabla para:A1 = 0.1 Entonces el valor de Z1 = -1.28.A2 = 0.9. Entonces el valor de Z2 = 1.28. Para estos valores hallamos los lmites de los extremos Xi.Como y Z

Despejamos y obtenemos que: Si Z1 = -1.28.

Si Z2 = +1.28.

El intervalo de las edades para el 80% de la poblacin simtricamente distribuida es:

O escrito de manera equivalente:

5. Si el 20% de los trabajadores estn bajo una cierta edad. Cual es esta edad?

A=0.20000 -3s -2s -1s 0 1s 2s 3s 35 40 45 50 55 60 65

El 20% de los empleados corresponden a una probabilidad de 0.20 y en la campana de Gauss, representa una rea de 0.20.A = 0.20, segn la tabla el Z correspondiente es Z = -0.85.Hallamos el valor de la edad.

CONCLUSION:Alrededor del 20% de los trabajadores tienen menos de 45.75 aos.Ej.: Si el 20% lo tomamos al final de la campana.El rea de la grafica segn la tabla corresponde al 0.80 y el valor correspondiente Z = 0.85El 20% de los trabajadores est por encima de cierta edad.

A=0.27425 -3s -2s -1s 0 1s 2s 3s 35 40 45 50 55 60 65

CONCLUSION:Alrededor del 20% de los trabajadores tienen una edad superior a 54.25 aos.Ej. No3. En un regimiento de soldados la estatura media es de 170 cm, si el 10% de estos soldados miden ms de 175 cm. Suponiendo que las estaturas de los soldados de este regimiento estn distribuidas normalmente. Cul es la desviacin estndar?

El 20% de los trabajadores est por encima de cierta edad.

A=0.90000 -3s -2s -1s 0 1s 2s 3s 170

Para la tabla tomamos una rea de la campana de A = 0.9000 y las unidades tipificadas correspondientes son Z = 1.28.

Ej. No4. En una empresa de empaques de sal de cocina, se envasan en recipientes cuyo peso neto tiene distribucin normal de 4.25 gr. Si el 15% de los frascos tiene un peso mayor a 112 gr. 1. Cul es el peso medio de ellos?

El 20% de los trabajadores est por encima de cierta edad.

A=0.8500 -3s -2s -1s 0 1s 2s 3s 170 Para la tabla tomamos una rea de la campana de A = 0.8500 y las unidades tipificadas correspondientes son Z = 1.03.

2. Los del 15% menos a que peso equivalen?

Ej. No 5. Los pesos de 30 estudiantes de una Universidad estn especificados en la siguiente tabla; con edad promedio de 25 aos y una estatura de 172 cm. Se desea realizar un estudio antropomtrico de cada uno de ellos y buenas condiciones de salud para implementar programas de atencin a los Universitarios.Hallar: Media aritmtica y desviacin estndar.NoPESO

152-23,17536,69

260-15,17230,03

375-0,170,03

410024,83616,69

59317,83318,03

69822,83521,36

759-16,17261,36

872-3,1710,03

965-10,17103,36

1064-11,17124,69

1173-2,174,69

12793,8314,69

13760,830,69

1475-0,170,03

1564-11,17124,69

1663-12,17148,03

1762-13,17173,36

1860-15,17230,03

1953-22,17491,36

2055-20,17406,69

2156-19,17367,36

228913,83191,36

238610,83117,36

248812,83164,69

259216,83283,36

269014,83220,03

279115,83250,69

289822,83521,36

2910327,83774,69

3064-11,17124,69

2.2550,007.332,17

75,17244,41

S15,63

1. La probabilidad y cantidad de estudiantes con peso inferior a 60 Kgr., para establecer un programa por intermedio de la EPS, en convenio con la Institucin de P y P.2. La probabilidad de que un estudiante tenga peso superior a 87.3. Si el peso ideal para los estudiantes, segn rangos de la Sociedad Internacional de Salud (SIS) est en el intervalo Kgr.: Cual es la probabilidad de escoger aleatoriamente un estudiante en este peso, para su estudio?4. Si los obesos o llamados con riesgos de salud es el 15% de los estudiantes. Cual sera este peso?5. La poblacin distribuida simtricamente con relacin a la media aritmtica, equivalente al 90% a que intervalo corresponde?

EJERCICIOS:1. El Gerente de produccin de una fabrica piensa que la vida til de una maquina K est distribuida normalmente, con una media de 3000 hrs. Si adems, el gerente piensa que hay una probabilidad 0.50 de que la maquina dure menos de 2632 o ms de 3.368 hrs? Cul ser su desviacin estndar?El 50% tambin es de que la maquina K dure entre A = 0.2500, entonces Z = -0.67, Si X = 2632 evaluamos en:El 20% de los trabajadores est por encima de cierta edad.

A=0.27425 0 2632 3368

2. En la ciudad de Pereira se ha realizado un estudio del comportamiento de la temperatura promedio ambiente, y se estima que la temperatura mxima en el mes de junio sigue una distribucin normal, con media 23 y desviacin tpica 5. Calcular:Recuerde que los datos del problema son: 1. El nmero de das del mes en los que se espera alcanzar temperaturas de ms de 21. Hallamos las unidades estandarizadas. .

0.3446 -4 -3 -2 -1 -0.4 0 1 2 3 4 3 8 13 18 23 28 33 38 43

El rea solicitada es la rayada con rojo, o sea .Como el mes tiene 30 das comercialmente, se da que:30x0.6554 = 19.66 das = 20 das aproximados.CONCLUSION: Durante 20 das del mes de Junio tendremos la posibilidad de tener una temperatura promedio superior a . Durante el 65.54% de das del mes de Junio tendremos temperatura promedio superior a 2. El nmero de das del mes en los que se espera alcanzar menos de 27. Hallamos las unidades estandarizadas. . El rea solicitada es la rayada con rojo, o sea .Como el mes tiene 30 das comercialmente, se da que:30x = 23.64 das = 24 das aproximados.

0.7881 -4 -3 -2 -1 0 0.8 1 2 3 4 3 8 13 18 23 28 33 38 43

CONCLUSION: Durante 20 das del mes de Junio tendremos la posibilidad de tener una temperatura promedio superior a . Durante el 65.54% de das del mes de Junio tendremos temperatura promedio superior a .3. El nmero de das del mes de Junio en los que se espera alcanzar mximas 21 y 27. Hallamos las unidades estandarizadas. . Representa una rea 0.3446 Representa una rea 0.7881

0.78810.3446 -4 -3 -2 -1 -0.4 0 0.8 1 2 3 4 3 8 13 18 23 28 33 38 43

El rea solicitada es la rayada con rojo, o sea la comprendida entre los dos valores de z . El equivalente de 44.35%Como el mes tiene 30 das comercialmente, se da que:30x0.4435 = 13.30 das = 13 das aproximados.

CONCLUSION: Durante 13 das del mes de Junio tendremos la posibilidad de tener una temperatura promedio entre y . Durante el 44.35% de das del mes de Junio tendremos temperatura promedio entre y .4. El nmero de das del mes de Junio en los que se espera alcanzar mximas entre 18.5 y 31.6. Hallamos las unidades estandarizadas. . Representa una rea 0.1894 Representa una rea 0.9573

0.95730.1894 -4 -3 -2 -1-0.88 0 1 1.72 2 3 4 3 8 13 18 23 28 33 38 43

El rea solicitada es la rayada con rojo, o sea la comprendida entre los dos valores de z . El equivalente de 76.79%Como el mes tiene 30 das comercialmente, se da que:30x0.7679 = 23.03 das = 23 das aproximados.CONCLUSION: Durante 23 das del mes de Junio tendremos la posibilidad de tener una temperatura promedio entre y . Durante el 76.79% de das del mes de Junio tendremos temperatura promedio entre y 31.6.5. El nmero de das del mes en los que se espera alcanzar una temperatura de ms de 40.6. El nmero de das del mes en los que se espera alcanzar una temperatura de menos de 30.7. El nmero de das del mes en los que se espera alcanzar una temperatura mxima entre 10.2 y 28.7.El nmero de das del mes en los que se espera alcanzar una temperatura de menos de 30, pero mayor que 15.3.3. Un congresista de nuestro pas decide en su proceder de apoyar o no un proyecto sobre educacin pblica, con los resultados de una encuesta hecha a unos ciudadanos de una poblacin de 200 de los posibles votantes. El congresista apoyara el proyecto solo si por lo menos 100 de los votantes estn a favor de l.a. Cul es la probabilidad de que el congresista apoye el proyecto si solo el 45% de todos los votantes estn a favor de l?n = 200 p = 0.45 Distribucin binomial.Es una aproximacin de la distribucin normalLa media aritmtica es:

La desviacin estndar.

CONCLUSION: El congresista apoyara el proyecto solo cuando 100 o ms (100, 101, 102, 103, .., 2000) votantes estn a favor de l.Hallamos las unidades estandarizadas para votantes, que es el mnimo de votantes que debe haber votado por l.

A=0.92220 -3s -2s -1s 0 1s 2s 3s 90

Z = 1.42, entonces el rea es A = 0.92220

CONCLUSION: La probabilidad de que el congresista apoye el proyecto es 0.0778.Existe el 7.78% de posibilidades que el congresista apoye el proyecto.b. Cul es la probabilidad de que el congresista no apoye el proyecto, si el 52% de todos los votantes estn a favor de l?n = 200 p = 0.52 Distribucin Binomial.La media aritmtica.

La desviacin estndar.

CONCLUSION: El congresista no apoyara el proyecto solo cuando el numero de congresistas que apoyan el proyecto es menos de 100 o ms (99, 98, 97, 96, .., 1) votantes.Hallamos las unidades estandarizadas para votantes, que es el mnimo de votantes que debe haber votado por l.

A=0.26435 -3s -2s -1s 0 1s 2s 3s 104

Z = -0.63, entonces el rea es A = 0.26435

CONCLUSION: La probabilidad de que el congresista no apoye el proyecto de educcin es 0.26435.Existe el 26.43% de posibilidades que el congresista no apoye el proyecto.4. La probabilidad de que un riflero de en el blanco con un tiro es 0.4.a. Cul es la probabilidad de que falle en 4 tiros consecutivos?p = 0.4 n = 4 q = 1 p = 1 0.4 = 0.6

Otra forma de resolverlo

b. Cul es la probabilidad de que el deportista de en el blanco al menos una vez en 4 tiros consecutivos.

c. Cuantos tiros debe disparar para tener una seguridad aproximada de 0.9517 de dar en el blanco por lo menos 1 vez.La probabilidad de que las falle todas es 1 0.95.

EJERCICIO No 1.Qu pasara si los dados estn identificados posiblemente con un color, en el cual uno es verde y el otro es rojo.1. Cul sera el espacio muestral.S = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (6,6)} = 362. Probabilidad de que la suma sea 6.E={(1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1)} = 5

3. Probabilidad de que la suma de los dados sea 5.E = {(1,4), (2,3), (3,2), (4,1)} = 4

4. Probabilidad de que ambos sean iguales (pares o cenas).E = {(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)} = 6

5. Probabilidad de que la suma sea 7.E= {(1,6), (2,5),(3,4), (4,3), (5,2), (6,1)} = 6

6. La probabilidad de que la suma de los dados sea par.E = {(1,1), (1,3), (1,5), (2,2), (2,4), (2,6), (3,1), (3,3), (3,5), (4,2), (4,3), (4,5), (5,1), (5,3), (5,5), (6,2), (6,4), (6,6)} = 18

7. La probabilidad de que los dos dados sean nmeros impares.E = {(1,1), (1,3), (1,5), (2,6), (3,1), (3,3), (3,5), (5,1), (5,3), (5,5)} = 10

8. La probabilidad de que uno de los dados sea un nmero impar.E = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (2,3), (2,5), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (4,1), (4,3), (4,5), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (6,1), (6,3), (6,5)} = 27

9. Compare los resultados y que concluye.Diferentes resultados.

EJEMPLO No 6. Seleccinese una carta al azar de una baraja Espaola corriente de 52 cartas. Determnese la probabilidad de:1. Que al sacar una carta sea una espada. Evento A2. Que sea una figura, J, Q, K. Evento B3. Hallar la P(A) - P(B) - P(AUB) - P(AB) El evento A = {As, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J, Q, K }. Tenemos que son 13 cartas diferentes de espadas, de un total de 52 cartas de la baraja.P(A) = = = 0.25 = 25%El evento B = {Que sea una figura}. Las figuras que se encuentran en la baraja son:ESPADAS: J Q KCOPAS: J Q KOROS: J Q KBASTOS: J Q KEl total de cartas son 12 posibles, de un total de 52 cartas.P(B) = = = 0.2307 = 23.07%AB = {Que la carta sea una Espada y Figura}. Son un total de 3 cartas de 52 posibles.P(AB) = = 0.0576 = 5.76%AUB = {Sea Espada o Figura}. ESPADA: As, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J, Q, KOROS: J, Q, KESPADAS: J, Q, KBASTOS: J, Q, KHay un total de 22 posibilidades de un total de 52 cartas.P(AUB) = = = 0.4230 = 42.30%

EJERCICIOS:1. Sean 2 Boliches escogidos al azar de un grupo de 12, de los cuales 4 de estos son o estn en mal estado y sea:A={Dos boliches en mal estado} = 2B={Dos boliches en buen estado} = 21. El espacio muestral sern los posibles grupos de 2 boliches que se pueden formar de los 12 posibles.

2. De los 4 boliches en mal estado se pueden formar grupos de 2 boliches.

3. La probabilidad de A ser: P(A) =

4. De los 8 boliches en buen estado se pueden formar grupos de 2 boliches.

5. La probabilidad de B ser: P(B) =

6. Probabilidad de que por lo menos un boliche este en mal estado.Halla uno malo o halla dos malos.

EJERCICIOS:1. Una moneda est cargada (aumentada de peso) de modo que la posibilidad de salir cara (C), sea el doble que la de salir el sello (S). Hallar la probabilidad P(C) y P(S).La probabilidad de salir cara es el doble de la de salir sello.

Por el teorema fundamental de la probabilidad, tenemos que:

Despejando la , tenemos que:

Como la probabilidad de

2. Sea un dado cargado tal que la probabilidad de salir un numero cuando es lanzado el dado es proporcional a dicho numero (Por ejemplo la probabilidad de salir 3 es la mitad de salir 6). Sea A={Un numero par} B={Numero primo} C={Nmero impar} D={Numero par y primo} E={Nmero impar y primo}.La probabilidad de salir cada nmero es:

Por teorema fundamental de probabilidad, tenemos que:

a.) El evento A={2,4,6}

b.) El evento B={3,5}

c.) El evento numero C={1,3,5}

d.) El evento D={2}

3. Determnese la probabilidad p de cada uno de los siguientes eventos finitos equiprobables.1. Que salga un nmero par al lanzar un dado normal.Hallamos el espacio muestral:

El evento es {2,4,6} = 3La probabilidad es:

2. Que resulte un Rey al sacar una carta de una baraja Espaola.El espacio muestral es la baraja espaola, que tiene en cada pinta:As, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, sota, caballo y rey.Son cuatro pintas: Oros, copas, espadas y bastos.S = 48El evento es: Hay 4 reyes, uno por cada pinta.E = 4

3. Que aparezca por lo menos un sello al lanzar tres monedas normales.S = {CCC, CCS, SSC, SSS} = 4E = {CCS, SSC, SSS} = 3

4. Sacar un 4 en una baraja de pker.Espacio muestral.4 pintas: Trbol, pica, corazones y diamantes.As, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J, Q, K., Son 13 cartas por pinta.S = 13x4 = 52El evento:Hay 4 cuatros en la baraja de pker.E = 4

5. Que resulte una figura al sacar una carta de una baraja de Pker.S = 52E = 3x4 = 12

6. Que aparezca una bola blanca al sacar una sola bola de una urna que contiene 4 blancas, 3 rojas y 5 bolas azules.S = Todas las bolas = 4+3+5 = 12E = Las bolas blancas = 4

7. Sacar un As de una baraja Espaola, en un solo intento en una carta.S = Todas las cartas = 4pintas x 12 cartas = 48E = Las pintas x As = 4x1 = 4

4. Se sacan dos cartas al azar de una barja Espaola. Hallar la probabilidad p de que:1. Las dos cartas escogidas sean Espadas.S = Grupos de a dos, formados de las 48 cartas.

E = Grupos formados de a dos cartas de las 12 espadas.

2. Las dos cartas escogidas al azar sean el mismo nmero.S = 1.128E = Grupos de 4(As)+Grupos de 4(2)+ +Grupos de 4(Reyes)=

3. Las dos cartas sean figuras.E = 3 Figuras x 4 pintas = 3x4 = 12. Formar grupos de 2 cartas.

4. La una sea Espada y la otra Bastos.E = De cada pinta se escoge de una.

= 12x12 = 144

5. Las dos sean Ases.E = Grupos de a dos ases.

6. Las dos sean Oros o Figuras.E= Los grupos de a dos Oros + Grupos de 2 figuras.

E = 45+66 = 111

5. De una baraja de 48 cartas se extrae simultneamente dos de ellas. Calcular la probabilidad de que:Hallamos el espacio muestral. Grupos de r=2 cartas de n=48 posibles.

1. Las dos Sean copas.El evento. Son grupos de r=2, de n=12 posibles.

2. Al menos una sea copas.E=Grupos de r=2 cartas en orden, de n=12 posibles.E= Las dos sean copas + Una copa y otra cualquiera.

E = 66+12x36 = 66+432 = 498

3. Una sea copa y la otra espada.E = (Copa, Espada). Se cumple para cada una de las pintas.

E= 12x12 = 144 = 288

6. Una clase est formada por 10 chicos y 10 chicas; la mitad de las chicas y la mitad de los chicos Han elegido francs como asignatura optativa.Organizamos un diagrama de Venn que nos muestre la situacin de los estudiantes

El espacio muestral del problema.E = Chicos + Chicas = 10 + 10 = 201. Cul es la probabilidad de que una persona elegida al azar sea chico o estudio francs?El evento es: Chico o Estudie francs. E = 10 + 5 Chicas que estudian francs = 15

2. Y la probabilidad de que sea chica y no estudi francs? E = 5 chicas que no estudian francs.

7. En una ciudad, el 40% de la poblacin tiene cabellos castaos, el 25% tiene ojos castaos y el 15% tiene cabellos y ojos castaos. Se escoge una persona al azar:Se hace el llenado de la tabla para determinar el espacio muestral y el evento.C.CC No CT

O C151025

O No C255075

T4060100

1. Si tiene los cabellos castaos, cul es la probabilidad de que tenga tambin ojos castaos?

2. Si tiene ojos castaos, cul es la probabilidad de que no tenga cabellos castaos?

3. Cul es la probabilidad de que no tenga cabellos ni ojos castaos?

8. Hallar la probabilidad de que al lanzar al aire dos monedas diferentes, salgan:El espacio muestral de lanzar las dos monedas.S = {CC, SS, CS, SC} = 41. Dos caras.E = {CC} = 1

2. Dos sellos.E = {SS} = 1

3. Una cara y un sello.E = {CS, SC} = 2

9. Hallar la probabilidad de que al levantar unas fichas de domin se obtenga un nmero de puntos mayor que 9 o que sea mltiplo de 4.

10. Un dado est trucado, de forma que las probabilidades de obtener las distintas caras son proporcionales a los nmeros de estas. Hallar:1. La probabilidad de obtener el 6 en un lanzamiento.2. La probabilidad de conseguir un nmero impar en un lanzamiento.

11. Se lanzan dos dados al aire y se anota la suma de los puntos obtenidos. Se pide:1. La probabilidad de que salga el 7.2. La probabilidad de que el nmero obtenido sea par.3. La probabilidad de que el nmero sea mltiplo de tres.

12. Se lanzan tres dados. Encontrar la probabilidad de que:1. Salga 6 en todos.2. Los puntos obtenidos sumen 7.

13. Busca la probabilidad de que al echar un dado al aire, salga:El espacio muestral es:S ={1, 2, 3, 4, 5, 6}1. Un nmero par.E = {2, 4, 6} entonces 3.

2. Un mltiplo de tres.E = {3, 6} entonces 2.

3. Mayor que cuatro.E = {5, 6} entonces 2.

4. Menor que 4.E = {1, 2, 3} entonces 3.

5. Mltiplo de tres, en pares.E = {6} entonces 1.

14. Se sacan dos bolas de una urna que se compone de una bola blanca, otra roja, otra verde y otra negra. Describir el espacio muestral cuando:1. La primera bola se devuelve a la urna antes de sacar la segunda.El espacio muestral est formado por todas las posibilidades que existen de combinar dos bolas.S= {BB, BR, BV, BN, RB, RR, RV, RN, VB, VR, VV, VN, NB, NR, NV, NN} = 16a. Probabilidad que las sacadas sean iguales.El evento.E = {BB, RR, VV, NN} = 4

b. Probabilidad que las sacadas sean diferentes.El evento.E = {BR, BV, BN, RB, RV, RN, VB, VR, VN, NB, NR, NV} = 12

2. La primera bola no se devuelve.El espacio muestral est formado por todas las posibilidades que existen de combinar dos bolas.S= {BR, BV, BN, RB, RV, RN, VB, VR, VN, NB, NR, NV} = 12a. Probabilidad que las sacadas sean iguales.El evento.E = { } = 0

b. Probabilidad que las sacadas sean diferentes.El evento.E = {BR, BV, BN, RB, RV, RN, VB, VR, VN, NB, NR, NV} = 12

15. Una urna tiene 8 bolas rojas, 5 amarilla y 7 verdes. Se extrae una al azar, Cual es la probabilidad de que:Espacio muestral es la suma de todas las bolas.S = 8+5+7 = 201. Sea roja.E = 8

2. Sea verde.E = 7

3. Sea amarilla.E = 5

4. No sea roja.E = Son amarillas o verdes = 5 + 7 = 12

5. No sea amarilla.E = Que sea verde o roja = 8 + 7 = 15

16. Una urna contiene 3 bolas rojas y 7 blancas. Se extraen dos bolas al azar. Escribir el espacio muestral y hallar la probabilidad de:S = {RR, RB, BB, BR},1. Extraer las dos bolas Rojas con reemplazamiento.

2. Extraer las dos bolas Blancas con reemplazamiento.

3. Extraer una bola Roja y otra Blanca con reemplazamiento.

4. Extraer una bola Blanca y otra Roja con reemplazamiento.

5. Extraer las dos bolas Rojas sin reemplazamiento.

6. Extraer las dos bolas Blancas sin reemplazamiento.

7. Extraer una bola Roja y otra Blanca sin reemplazamiento.

8. Extraer una bola Blanca y otra Roja sin reemplazamiento.

17. Se extraen cinco cartas de una baraja de 52. Hallar la probabilidad de extraer:El espacio muestral sern todos los grupos de r=5 cartas de n=52 posibles.

1. 4 ases.E =

2. 4 ases y un rey.E =

3. 3 cincos y 2 sotas.E =

4. Un 9, 10, sota, caballo y rey en cualquier orden.

5. 3 de un palo cualquiera y 2 de otro.Hay 4 formas de elegir el primer palo y 3 de elegir el segundo palo.

6. Al menos un as.Sera igual a 1 los que no tienen ningn as.E =

18. Se dispone de tres cajas con bombillas. La primera contiene 12 bombillas, de las cuales hay cinco fundidas; en la segunda hay ocho bombillas, estando tres de ellas fundida, y la tercera caja hay cinco bombillas fundidas de un total de quince. Cul es la probabilidad de que al tomar una bombilla al azar de una cualquiera de las cajas?

1. Cul es la probabilidad de que al tomar una bombilla al azar de la primera caja, est fundida?

2. Cul es la probabilidad de que al tomar una bombilla al azar de la segunda caja, est buena?

3. Cul es la probabilidad de que al tomar una bombilla al azar de la segunda caja, est fundida?

4. Cul es la probabilidad de que al tomar una bombilla al azar de una cualquiera de las cajas, est fundida?

5. Cul es la probabilidad de que al tomar una bombilla al azar de una cualquiera de las cajas, est buena?

6. Cul es la probabilidad de que al tomar una bombilla al azar de una cualquiera de las cajas, est buena o est fundida?

19. En una casa matriz de venta de carros se realiza un sorteo de un vehculo entre sus clientes y se selecciona por sorteo a uno de ellos y se le introducen tres llaveros A, B y C, para poder abrir la puerta del vehculo y as ser el ganador: El primero llavero con cinco llaves y dos abren el auto, el segundo con siete y tres abren el auto y el tercero con ocho y 6 bloquean el auto. Se escoge al azar un llavero. Cul es la probabilidad de que:A. Sea el ganador con el primer llavero.B. Abra el carro con cualquiera de los llaveros.C. No abra con el tercer llavero.D. Con cul de los llaveros tiene mayor probabilidad de ganar.

20. En una urna hay 3 monedas, con las siguientes caractersticas. La primera es una moneda normal, la segunda es una moneda que tiene dos caras y la tercera es una moneda cargada, en la cual la probabilidad de salir cara es de la probabilidad de salir sello.Si se saca una moneda al azar, cul ser la probabilidad de que al lanzarla salga:A. Cara.B. Sello.

21. En una competencia ciclstica, donde solo hay cuatro corredores, que tienen la opcin de ganar. Si Meteln tiene el cudruplo de probabilidad de ganar que Sobarrn, y Sobarrn tiene el doble de probabilidad de ganar que Pedalero y Pedalero el doble de Cipriano.A. Determinar la probabilidad de ganar cada uno.Se plantean las probabilidades de cada uno de los ciclistas en funcin de los dems y se halla la probabilidad de cada uno de ellos., ,

B. Quien ganara la carrera, segn el estudio de la probabilidad?Gana La carrera el de mayor probabilidad, Meteln con .

22. En un centro escolar los alumnos pueden optar por cursar como lengua extranjera ingls o francs. En un determinado curso, el 90% de los alumnos estudia ingls y el resto francs. El 30% de los que estudian ingls son chicos y de los que estudian francs son chicos el 40%. Al elegir un alumno al azar, cul es la probabilidad de que sea chica?

23. Un taller sabe que por trmino medio acuden: por la maana tres automviles con problemas elctricos, ocho con problemas mecnicos y tres con problemas de chapa, y por la tarde dos con problemas elctricos, tres con problemas mecnicos y uno con problemas de chapa.ElctricoMecnicoChapasTotal

Maana38314

Tarde2316

Total511420

A. Cul es la probabilidad de que atiendan un carro y sea de la jornada de la tarde:

B. Cul es el porcentaje de los carros que acuden por problemas mecnicos. Recuerde que hallar el porcentaje y la probabilidad son operaciones equivalentes.

C. Calcular la probabilidad de que atiendan un automvil con problemas elctricos acuda por la maana:

D. Calcular la probabilidad de que atiendan un automvil con problemas mecnicos acuda por la tarde:

24. En un aula de clases hay 100 alumnos, de los cuales: 40 son hombres, 30 usan gafas, y 15 son varones y usan gafas. Si seleccionamos al azar un alumno de dicho curso.GafasSin GafasTotal

Hombres152540

Mujeres154560

Total3070100

A. Cul es la probabilidad de que sea mujer y no use gafas?

B. Cul es la probabilidad de que sea mujer y use gafas?

C. Hallar el porcentaje de los estudiantes que usan gafas

D. La probabilidad de que un estudiante con gafas sea mujer.

E. Probabilidad de que un estudiante sin gafas sea hombre.

F. Sabemos que el estudiante seleccionado no usa gafas, Qu probabilidad hay de que sea hombre?

G. Sabemos que el estudiante seleccionado no usa gafas, Qu probabilidad hay de que sea mujer?

25. En una clase en la que todos practican algn deporte, el 60% de los alumnos juega al ftbol o al baloncesto y el 10% practica ambos deportes. Si adems hay un 60% que no juega al ftbol, cul ser la probabilidad de que escogido al azar un alumno de la clase:

F B 0.30 0.10 0.20

0.40

A. Juegue ni futbol, ni baloncesto.B. Juegue slo al ftbol:C. Juegue slo al baloncesto.D. Practique uno solo de los deportes:E. Que practique baloncesto:F. Si en total en la escuela ha. y 80 estudiantes practicando Deportes. Cul es el nmero de estudiantes que practica Futbol?G. De total de estudiantes de la escuela Deportes. Cul es el nmero de estudiantes que practica Baloncesto?H. Si del total estudiantes practicando Deportes se quiere hallar el nmero de estudiantes que practica solo Futbol?I. Cul es el nmero de estudiantes que practica Futbol y Baloncesto?J. Cul es el nmero de estudiantes que practica Futbol o Baloncesto?

26. Los estudiantes de la Universidad de Miami hacen un bazar con el propsito de recoger fondos para el paseo final de la fundacin del estado.Uno de los juegos de azar que se pueden encontrar en el bazar es:Un disco tiene tres regiones iguales y cada una de ellas iluminadas por un color diferente, Rojo, Verde, Azul. El jugador escoge un color. El disco da vueltas y se detiene en el color que el jugador selecciono, y gana. Marvin decide jugar dos veces y selecciona el color Rojo en ambas ocasiones.Pierde o gana con dos ensayos, ya que decidi jugar dos veces.Cul es la probabilidad de que Marvin:1. Gane en ambas ocasiones.Espacio muestral S = 9Evento 1 = 1

2. Gane una sola vez.Evento 2 = 4

3. No gane.Evento 3 = 1

NJ1J2RESULTA

1RRGana 2

2RVGana 1

3RAGana 1

4VVPierde

5VRGana 1

6VAPierde

7AAPierde

8ARGana 1

9AVPierde

R RULETA V A

OTRO METODO.Terminos de ganar y perder.2 Gana Gana. 1 Gana Pierde y Pierde Gana. 0 Pierde Pierde. La probabilidad de ganar: La probabilidad de perder: Probabilidad de ganar en ambas ocasiones:

Probabilidad de ganar una sola vez:

Probabilidad de no ganar en ambas ocasiones: Perder

Supongase que Marvin decide jugar 4 veces. Encuentrese la probabilida de ganar:1. 4 Veces. GGGG. 2. 3 Veces. GGGP, GGPG, GPGG, PGGG. 3. 2 Veces. GGPP, GPPG, PPGG, PGPG, GPGP, PGGP. 4. 1 Vez. GPPP, PGPP, PPGP, PPPG. 5. O Veces. PPPP.

ESTADISTICA INFERENCIAL.1. La inferencia estadstica o estadstica Inferencial es una parte de la Estadstica que comprende y da los mtodos y procedimientos para deducir propiedades (hacer inferencias) de una poblacin, a partir de una pequea parte de la misma (muestra).2. Es un proceso de anlisis que consiste en inferir las propiedades de una poblacin con base en la caracterizacin de la muestra.Se basa en las conclusiones a la que se llega por la ciencia experimental basndose en informacin incompleta.Genera modelos probabilsticos a partir de un conjunto de observaciones.Del conjunto de observaciones que van a ser analizadas, se eligen aleatoriamente slo unas cuantas, que es la muestra, y a partir de dicha muestra se estiman:1. Los parmetros del modelo.2. Se contrastan las hiptesis establecidas, con el objeto de determinar si el modelo probabilstico es el adecuado al problema real que se ha planteado.La utilidad de la inferencia estadstica, consiste en que si el modelo se considera adecuado, puede usarse para la toma de decisiones o para la realizacin de las previsiones convenientes.La inferencia estadstica parte de un conjunto de observaciones de una variable, y a partir de estos datos infiere o genera un modelo probabilstico; por tanto es la consecuencia de la investigacin emprica, cuando se est llevando a cabo, y como consecuencia de la ciencia terica, cuando se estn generando estimadores, o mtodos, con tal o cual caracterstica para casos particulares. La inferencia estadstica es, en consecuencia, un planteamiento inductivo.

TECNICAS DE MUESTREO.Para realizar un anlisis estadstico, se puede efectuar:1. Toda la poblacin.2. Una parte de la poblacin.Si estudiamos toda la poblacin, podemos conocer e identificar exactamente la distribucin que presenta la variable o las variables estudiadas en dicha poblacin. Por ejemplo, en la mayora de los casos, los censos son inviables o como mnimo innecesarios. Los censos son lentos y caros (hay que examinar una gran cantidad de individuos, lo cual requiere tiempo y dinero) y poco flexibles (debido a su complejidad, es muy difcil modificarlos cuando se han puesto en marcha). Tratar una gran cantidad de individuos, para ser estudiados requiere disponer de personal entrenado, instalaciones (laboratorios, centros de tratamientos de datos, recopilacin...), recursos, en estos casos, un censo puede ser irrealizable, o bien puede realizarse sin los recursos necesarios, de modo que, los datos obtenidos pueden contener errores y por tanto, no necesariamente van a proporcionar una buena informacin.Una alternativa a los censos ser la medicin de estas variables en una parte de la poblacin, es decir, en una muestra. Trabajar con una muestra de la poblacin tiene la ventaja de que:1. Es ms rpido.2. Ms barato.3. Los resultados obtenidos pueden ser ms precisos,De modo que, si la muestra se elige correctamente, la informacin que obtenemos permite una estimacin razonable de la situacin de la poblacin.Cuando nos planteamos tomar una muestra, surgen dos preguntas:1. Qu individuos o datos debo incluir en la muestra?2. Cuntos individuos o datos debo tomar?Para un ejemplo en particular, 1. Cuando el objetivo es conocer la cantidad de enfermedad o cuando queremos realizar un estudio epidemiolgico cuyos resultados debemos extrapolar a la poblacin general, un requisito indispensable es que la muestra sea representativa de la poblacin general, por tanto la muestra debe tomarse al azar. 2. Cuando el objetivo es conocer si una enfermedad existe o no en una poblacin, tambin podemos tomar una muestra aleatoria, pero en la mayora de los casos, lo ms apropiado ser tomar una muestra sesgada, de modo que analizaremos aquellos individuos que tienen mayor posibilidad de estar enfermos.La mejor opcin para obtener una muestra representativa es:1. Elegir los individuos al azar mediante un muestreo aleatorio, es decir, seleccionando los individuos de manera que todos ellos tenga la misma probabilidad de formar parte de la muestra. 2. Cuando estos no es posible la alternativa ser elegir a los individuos segn un muestreo de conveniencia. El mtodo para elegir la muestra recibe el nombre de muestreo.MUESTREO.Es una herramienta de la investigacin cientfica. Su funcin bsica es que parte de una realidad en estudio (poblacin o universo) debe examinarse con la finalidad de hacer inferencia sobre dicha poblacin.El error que se comete debido a hecho de que se obtienen conclusiones sobre cierta realidad a partir de la observacin de solo una parte de ella y se denomina error de muestreo.Obtener una muestra adecuada significa lograr una versin simplificada de la poblacin, que reproduzca de algn modo sus rasgos bsicos.Nos da las herramientas, tcnicas y mtodos, para realizar una investigacin cientfica, de procesos estadsticos para la seleccin de una muestra.1. FUNCIONES:A. DETERMINACION DE LOS DATOS.1. Cules.2. Cuantos. Para el estudio y la inferencia.B. AHORRO.1. Tiempo.2. Dinero.3. Personal.4. Espacio.C. PROPIEDADES.1. Cuantitativa: Representativa. Cantidad.2. Cualitativa: Caractersticas de la poblacin. Propiedades.2. TIPOS DE MUESTREO.A. PROBABILISTICO O ALEATORIO.Propiedades de los elementos de la poblacin cumple:1. Misma probabilidad de escogencia.2. Probabilidad de escogencia conocida.3. Probabilidad con reemplazo o sin l.4. El error se da en forma de probabilidad.A.1. ALEATORIO SIMPLE.Sus elementos:1. Se ordenan en tablas: Asignar nmeros a los elementos de la poblacin. Se escogen con balotas o tablas especiales.2. Escogencia al azar.

VENTAJAS. Sencillo. Fcil comprensin. Calculo fcil y rpido. Varianza. Media. Desviacin estndar. Basada en la teora estadstica.Uso de software.Anlisis de datos.DESVENTAJAS. Listados de la poblacin.Poblaciones pequeas. Fcil.Poblaciones grandes. Extenso y complicado. Muestras pequeas no es representativo.A.2. SISTEMATICO.Sus elementos se escogen para muestras grandes:1. Primer elemento al azar: 2. Los dems condicionados por el primer elemento.

PROCEDIMIENTO. Listado de elementos de la poblacin. Determinar tamao de la muestra. Definir constante de elevacin o k de salto.

Elegir numero de arranque (1, K). Seleccionar elementos.VENTAJAS. Fcil aplicacin. No siempre es necesario listado de elementos. Poblacin ordenada asegura cobertura. DESVENTAJAS. Estimaciones sesgadas.A.3. ESTRATIFICADO.Sus elementos o poblacin se divide en:1. Clase.2. Grupos de estudio, que sean:3. Todos aportan a la muestra. Homogneos. Iguales condiciones. De las mismas caractersticas de variables. Ejemplos de Variables.1. Sexo.2. Peso.3. Edad.4. Ciudad, etc.

PROCEDIMIENTO. Proporcional.Grupos.Porcentaje. Optima.Escogen de grupos ms variables.VENTAJAS. La muestra representa la poblacin por la variabilidad. Estimaciones ms precisas.DESVENTAJAS. Distribucin de las variables en la poblacin. Anlisis ms complicados por la diversidad de grupos. Ms cantidad de variables a analizar.A.4. CONGLOMERADO.Sus elementos de la poblacin se divide en:1. N Grupos.2. Todos los grupos deben ser: Variados. Completos. Representativos.3. La variacin en cada grupo es menor que la variacin entre los grupos.1. Sexo.2. Peso.3. Edad.4. Ciudad, etc.

PROCEDIMIENTO. Proporcional.Grupos.Porcentaje. Optima.Escogen de grupos ms variables.VENTAJAS. Es ms eficientes para poblaciones:Grandes.Dispersas. Reduce costos. Listados cortos, no necesario el completo de la poblacin.DESVENTAJAS. El error estndar es mayor, que en los otros procesos. Calculo de error estndar es ms complejoB. NO PROBABILISTICO O NO ALEATORIO.Propiedades de los elementos de la poblacin cumple:1. Diferente probabilidad de escogencia.2. Probabilidad de escogencia desconocida.3. No es representativa la muestra.4. El error no se da en forma de probabilidad.5. Muestra es costosa.6. El investigador debe conocer el tema. Especialista.Consiste en la eleccin por mtodos no aleatorios de una muestra cuyas caractersticas y condiciones sean similares a las de la poblacin objetivo. En este tipo de muestreos la representatividad la determina el investigador de modo subjetivo, siendo este el mayor inconveniente del mtodo ya que no podemos cuantificar la representatividad de la muestra.Presenta casi siempre sesgos y por tanto debe aplicarse nicamente cuando no existe alternativa.B.1. POR CUOTA.Llamado tambin accidental.Sus elementos de la poblacin se divide en: Estratos. 1. Se toma proporcin de cada uno de los estratos. es decir, la parte proporcional de poblacin que representan.2. Se dividen por variables comunes. Sexo, talla, edad, profesin, estado civil, etc. Se diferencia del muestreo estratificado en que una vez determinada la cuota, el investigador es libre de elegir a los sujetos de la muestra dentro de cada estrato. Se necesita conocer muy bien la poblacin y tenerla bien definida.

Por ejemplo, la Consejera de Sanidad desea estudiar la incidencia de las drogas en la adolescencia. Lo que deberamos hacer sera: A. Conocer por los informes de la Consejera de Educacin cuales son los centros ms afectados por el problema.B. Fijar un nmero de sujetos a entrevistar proporcional a cada uno de los estratos (cuotas).C. Dejar en manos de los responsables del trabajo de campo a que sujetos concretos se deber entrevistar.B.2. OPINATICO INTENCIONAL.Este tipo de muestreo se caracteriza por un esfuerzo deliberado de obtener muestras "representativas" mediante la inclusin en la muestra de grupos supuestamente tpicos. Es muy frecuente su utilizacin en sondeos preelectorales de zonas que en anteriores votaciones han marcado tendencias de voto.Desventaja que se puede sesgar la muestra.B.3. CASUAL O INCIDENTAL.Se trata de un proceso en el que el investigador selecciona directa e intencionadamente los individuos de la poblacin. El caso ms frecuente de este procedimiento el utilizar como muestra:A. Los individuos a los que se tiene fcil acceso (los profesores de universidad emplean con mucha frecuencia a sus propios alumnos). B. Un caso particular es el de los voluntarios.C. Personas conocidas o amigos.B.4. BOLA DE NIEVE.Se localiza a algunos individuos, los cuales conducen a otros, y estos a otros, y as hasta conseguir una muestra suficiente. Este tipo se emplea muy frecuentemente cuando se hacen estudios con poblaciones "marginales", delincuentes, sectas, determinados tipos de enfermos, etc. LA MUESTRA.Las dos preguntas importantes de cada una de las muestras.1. Que individuos de la poblacin debo escoger para la conformacin de la muestra? Observar las caractersticas de la poblacin, para la muestra. Propiedades de cada uno de los elementos de la muestra. Determinar las condiciones de los elementos. Que es lo que se va a estudiar?2. Cuantos elementos de la poblacin debo tomar para formar la muestra? Tamao. Representatividad. Ahorro.a. Tiempo.b. Dinero.c. Personal. Efectividad.3. Determinar las conclusiones, la inferencia y minimizar los errores.TAMAO DE LA MUESTRA.Regularmente cada estudio dentro de sus especificidades tiene:Es una parte de la poblacin.1. Que individuos se deben escoger.A. Caractersticas de cada uno de los elementos.B. Propiedades que deben tener.C. Condiciones que se deben cumplir.D. Que se va estudiar.2. Cuantos se deben escoger.A. Tamao de la muestra. Numero.B. Representativa.C. Ahorro:a. Tiempo.b. Dinero.c. Personal.Esto se realiza para poder en estadstica Inferencial de:Concluir y decidir sobre toda una poblacin, pero pensando en la efectividad de la aplicacin.1. Tamao de la muestra apropiado y debe cumplir con unas propiedades.a. Aceptable.b. Idnea.c. Conseguida con el mnimo esfuerzo.Como se puede obtener el tamao de la muestra.a. Programas de computacin.b. Formulas especficas de la estadstica.c. Criterios especficos del investigador.2. Elementos de conformacin para la muestra.Error estndar: Mide el intervalo de confianza.Se calcula o se tiene como dato de ayuda:1. Media aritmtica.2. Probabilidad o porcentaje.3. Diferencia de medias.3. La muestra debe ser:A. Representativa.B. Completa. Todas las caractersticas y variables.C. Precisin estadstica: Disminuye el error estndar.

TALLER EN CLASE.Usted debe extractar cada uno de los conceptos y definiciones de las tcnicas del muestreo y resolver los siguientes ejercicios.1. La secretaria de salud pblica desea determinar por medio de un estudio el ndice de satisfaccin de los hospitales oficiales en el rea de hospitalizacin y ciruga, para eso decide encuestar 300 pacientes de un total de 3.600, distribuidos entre todos.1. Cul sera el mtodo ms aconsejable para la escogencia de la muestra. Y porque.Sistemtico 2. El nmero de Instituciones elegidas para a toma de dicha muestra.

3. Cuantos pacientes de cada una de las instituciones escogeran para la encuesta.300/12 25.4. Que decidira Ud. en caso de que en una de las Instituciones se encontrara un nmero de paciente inferior al nmero de pacientes escogidos.2. Como los gustos cambian con la edad y se sabe que en el barrio Vila Ftima, viven 2.400 nios, 3.200 jvenes, 6.000 adultos y 1.500 ancianos, y se desean unificar los criterios de gustos de ocio. Si se decide elegir la muestra de la anterior poblacin.1. Cul sera el mtodo ms adecuado que Ud. utilizara. Porque.2. Determinar el tamao muestral correspondiente a cada estrato. 3. Si Ud. decide escoger una cuota fija por porcentaje para cada uno de los grupos del barrio, Cual sera el ms adecuado y cuanto aportara cada grupo a la muestra.4. Que recomendaciones haran ustedes para la escogencia de la muestra.NOTA: Deben aparecer todas las operaciones para que el ejercicio tenga validez.3. Los investigadores de problemas de convivencia y drogadiccin en Cali desean determinar las edades de la poblacin con mayor ndice de consumo. Han determinado tomar una muestra representativa para que dicho estudio sea bien fundamentado.1. Como clasificara la poblacin.2. Como los conseguira.3. Que mtodo de recoleccin de informacin y datos Ud. tomara.4. Que mtodo de muestreo utilizara.

DISTRIBUCION MUESTRAL DE MEDIA.CARACTERISTICAS DE LA MEDIA.

Cada muestra de tamao n que se pueda extraer, proporciona una muestra.Cada media se puede considerar como una variable aleatoria, para estudiar su distribucin.La distribucin de la media sigue la distribucin normal.

Si la distribucin no sigue una distribucin normal, pero , aplicamos el Teorema del Limite Central.EJEMPLO DEDUCCION.Para una poblacin de 4 estudiantes en los cuales se les evalu un examen de estadstica, con calificacin del y resultados , se desea determinar:1. Media aritmtica de la Poblacin.

2. Desviacin estndar de la poblacin.3.

CON SUSTITUCION.Hay sustitucin del elemento que se saca.NoMUESTRAMEDIAD.MS

1111-39

2132-24

3153-11

417400

5312-24

6333-11

735400

837511

9513-11

1053400

1155511

1257624

1371400

1473511

1575624

1677739

42,5

1. La media aritmtica de cada una de las muestras es:

Se observa que la media aritmtica de la poblacin y la muestra son iguales.

2. La Desviacin estndar de la muestra es:

Podemos observar que la Desviacin Estndar de la muestra es igual a la Desviacin Estndar de la poblacin dividida por la raz de los elementos de la muestra.

3. Si realizamos una tabla de frecuencias de las medias aritmticas de las muestras:NoMediafrecuenciaProbabilidad

111

222

333

444

553

662

771

16

4. Si calculamos la esperanza matemtica, equivaldra a la media aritmtica de la media muestral:

5. Determine la varianza por medio de:

Si la Desviacin estndar es la raz cuadrada de la varianza:

SIN SUSTITUCION: No se pueden sustituir los elementos de la muestraNoMUESTRAMEDIAD.MDE.

1132-24

2153-11

317400

4312-24

535400

637511

7513-11

853400

957624