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Este é um curso mais simples para você que esta precisando de algum material na area de probabilidade e estatistica
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Introduo a Estatstica
JOELMIR FELICIANO
O que Estatstica ?
ESTATSTICA: conjunto de tcnicas que permite,
de forma sistemtica, coletar, organizar, descrever,
analisar e interpretar dados oriundos de estudos
ou experimentos, realizados em qualquer rea do
conhecimento.
?
Algumas Atividades que Envolvem Estatstica.
rea Social: O censo populacional.
rea Industrial: Confiabilidade de Sistemas, Controle Estatstico de
Qualidade, etc.
rea Agropecuria: Identificao de melhores formas de manejo, etc.
rea Bancria: Concesso de Crdito, Aturia.
Marketing: Pesquisas de Mercado, Inferncia, etc.
Principais reas da Estatstica
Estatstica Descritiva: Utilizada na etapa inicial da anlise, quando tomamos contato com os dados pela primeira vez. o conjunto de tcnicas destinadas a descrever e resumir os dados a fim de que possamos tirar concluses a respeito da caracterstica de interesse.
Probabilidade: Teoria matemtica utilizada para se estudar a incerteza oriunda de fenmenos de carter aleatrio.
Inferncia Estatstica: Estudo de tcnicas que possibilitam a extrapolao, a um grande conjunto de dados, das informaes e concluses obtidas a partir de subconjuntos de valores, usualmente de dimenso muito menor.
Exemplos de Aplicao
Comparao entre tratamentos ou processos:
Produo Produo
Tratamento Tipo 1
x11 x12 x1n ... x21 x22 x2n ...
Tratamento Tipo 2
Tipo 1
mais
produtivo
do que o
Tipo 2?
Raciocnio Estatstico
Populao Dados Amostragem
Estatstica
Descritiva
Inferncia Estatstica
(Probabilidade)
Com Suporte Computacional
Tcnicas de Amostragem
JOELMIR FELICIANO
Noes Bsicas
Definio de Populao: Ao grande conjunto de elementos que contm determinada caracterstica
comum, que temos interesse recebe o nome de
populao.
Ex1: Toda a populao brasileira.
Populao 1 Populao 2
Ex2: Toda a populao de sapos brasileiros.
Noes Bsicas
Quando observamos todos os dados, procedemos ao Censo.
Exemplo: Examinar todos os brasileiros quanto a condio de nutrio.
Populao
= ?
Qual a proporo de
brasileiros desnutridos?
Um parmetro uma medida numrica que descreve uma
caracterstica de uma populao. Ex: 20% dos brasileiros esto
desnutridos.
Noes Bsicas
Quase no se trabalha com populao.
Alto custo da pesquisa/experimento (material, pessoal,
logstica, etc);
Resultados demorados;
Razes ticas (experimentos com animais);
Impossibilidade (Linha de produo, sangue, etc).
Motivos Principais
Noes Bsicas: Amostra.
Populao
Estatstica: uma medida numrica que descreve uma
caracterstica de uma amostra. Ex: mdia da altura da pop.
Brasileira, proporo de desnutridos, etc.
Amostra
Definio: subconjunto da populao, em geral com
dimenso sensivelmente menor.
x : Estatstica.
Noes Bsicas: Amostra.
Vantagens da Amostragem.
Baixo custo operacional.
Maior rapidez na execuo da pesquisa ou estudo.
Maior segurana nos resultados
Tipos de Amostragem
Amostra casual simples: Existncia de um frame. Todos os elementos da populao
devem ter chance igual de escolha. Procedimento baseado no sorteio aleatrio.de
escolha.
Figura 1: Sorteio Aleatrio
Tipos de Amostragem
Amostra Estratificada: Na amostra estratificada os elementos so
provenientes de todos os estratos da populao.
Ex: Pesquisas em um cidade; pesquisas em florestas; etc.
Em cada estrato feito o sorteio aleatrio.
Tipos de Amostragem
Amostra Sistemtica: Na amostra sistemtica os elementos so
escolhidos no por acaso, mas por um sistema.
No primeiro perodo o sorteio aleatrio.
Exemplo: Linha de Produo; Pesquisas em formulrios;
etc.
Tipos de Amostragem
Amostra por conglomerado: Amostra feita em vrios estgios.
Maior economia.
Ex: Em uma pesquisa feita no pais, primeiro sorteamos os estados,
depois as cidades, depois os bairros, os setores censitrios, os
domiclios e os indivduos.
Tipos de Amostragem: Exerccios
1. Obtm-se uma amostra de um produto extraindo-se cada 100 unidade da linha
de produo;
2. Um fabricante de automveis faz um estudo de mercado compreendendo
testes de direo feitos por uma amostra de 10 homens e 10 muheres em cada
uma das quatro diferentes faixas etrias;
3. Geram-se nmeros aleatrios em um computador para selecionar nmeros de
sries de carros a serem escolhidos para uma amostra teste.
A- Identifique o tipo de amostra:
4. Em uma linha de produo so produzidos 1000 comprimidos por hora,
sabendo que a linha funciona por 8 horas seguidas por dia e que deve ser
extrada uma amostra de 400 comprimidos por dia, qual seria o processo de
amostragem mais indicado e como seria a seleo dessa amostra?
Anlise Exploratria de Dados
Estatstica Descritiva 1
Organizao dos dados em
Tabelas?
O que uma varivel ?
Varivel uma caracterstica, propriedade ou atributo de uma unidade da populao, cujo valor pode variar entre as unidades da populao.
Variveis Qualitativas ou Categricas: Quando os possveis valores assumem
atributos ou qualidades. Ex: sexo, cor, escolaridade, doena, condio do ar, condio
da gua, etc.
Tipos de Variveis
Variveis Quantitativas ou de Medidas: Quando seus valores so expressos em
nmeros. Ex: altura, peso, nmero de filhos, pH, concentrao do reagente, etc .
Especificando os tipos de variveis
As variveis qualitativas podem ser classificadas ainda como:
Ordinais: quando o atributo tem uma ordenao natural, indicando intensidade crescente de realizao. Ex: grau de escolaridade, classe social, condio do ar, condio da gua,estado clnico, etc.
Nominais: quando o atributo no se estabelece ordem. Ex: sexo, cor, raa, doena, etc.
J as variveis quantitativas podem ser: Discretas: resultantes de contagens, assumindo assim, em geral valores inteiros. Ex:
nmero de filhos, nmero de peas defeituosas, n de pessoas doentes na regio, etc.
Contnuas: assumem valores em intervalos de nmeros reais e geralmente, so
provenientes de uma mensurao. Ex: peso, altura, pH,concentrao do reagente, etc..
Resumo geral: tipo de varivel
Varivel
Qualitativa
Quantitativa
ordinal
nominal
contnua
discreta
Apresentao dos dados em tabela
Tabela 1.1: Nmero de Nascimentos segundo o sexo
Fonte: E.W.
Sexo Freqncia
Masculino 10
Feminino 8
Total 18
Para efeito de comparao: Tabela de
freqncia relativa
Tabela 1.2: Nmero de Nascimentos segundo sexo.
Fonte: E.W.
Sexo Freqncia Freqncia relativa(%)
Masculino 10 55,56%
Feminino 8 44,44%
Total 18 100,00%
Tabelas de distribuio de freqncia.
Quando os dados so quantitativos contnuos, no conseguimos resumir a
informao da mesma forma anterior. Neste caso precisamos organizar os dados
em uma tabela de distribuio de freqncias. Veja os dados abaixo,
2,522 3,200 1,900 4,100 4,600 3,400
2,720 3,720 3,600 2,400 1,720 3,400
3,125 2,800 3,200 2,700 2,750 1,570
2,250 2,900 3,300 2,450 4,200 3,800
3,220 2,950 2,900 3,400 2,100 2,700
3,000 2,480 2,500 2,400 4,450 2,900
3,725 3,800 3,600 3,120 2,900 3,700
2,890 2,500 2,500 3,400 2,920 2,120
3,110 3,550 2,300 3,200 2,720 3,150
3,520 3,000 2,950 2,700 2,900 2,400
3,100 4,100 3,000 3,150 2,000 3,450
3,200 3,200 3,750 2,800 2,720 3,120
2,780 3,450 3,150 2,700 2,480 2,120
3,155 3,100 3,200 3,300 3,900 2,450
2,150 3,150 2,500 3,200 2,500 2,700
3,300 2,800 2,900 3,200 2,480
3,250 2,900 3,200 2,800 2,450
Tabela 1.7: Peso ao nascer de nascidos vivos, em quilogramas
Fonte: IBGE
Exemplo de tabela de distribuio de
freqncia.
Classe Ponto mdio Freqncia
1,5 |--- 2,0 1,750 3
2,0 |--- 2,5 2,250 16
2,5 |--- 3,0 2,750 31
3,0 |--- 3,5 3,250 34
3,5 |--- 4,0 3,750 11
4,0 |--- 4,5 4,250 4
4,5 |--- 5,0 4,75 1
Tabela 1.9: Peso de recm nascidos.
Numa tabela de distribuio de freqncia tambm podem ser apresentados os
pontos mdios de classe. O ponto mdio dado pela soma dos extremos de uma classe,
dividida por 2. Para a classe 1,5 |--- 2,0, o ponto mdio : (1,5+2)/2=1,75.
Anlise Exploratria de Dados
Estatstica Descritiva 2
Representao Grfica de Dados
Grfico de Setores ou Pizza. Usado para representar variveis qualitativas, quando os
dados apresentam poucas caractersticas.
Figura1.1: Fonte de Emisso de CO na RMSP-2003.
54%
15%
31%
Gasolina Alcool Diesel
Grfico de Barras.
Grfico de barras bastante usado com variveis qualitativas e quantitativas
discretas. Ideal para quando temos vrias classes de categorias.
Figura 1.2: Distribuio das reclamaes via 0800.
13
8
7
25
0
5
10
15
20
25
Fre
q
n
cia
Mau atendimento Troca de mercadoria Mercadoria com defeito Falta de variedade
Reclamaes
Histograma O histograma a representao grfica para variveis quantitativas
contnuas. Este tipo de representao mostra a forma da distribuio
da varivel. de fundamental importncia na aplicao dos conceitos
de inferncia estatstica
Figura 1.3: Histograma do Peso Recm Nascido.
Ponto mdio
Espalhamento
dos dados
Diagramas de Disperso
Quando temos dados emparelhados e desejamos verificar de existe uma
associao entre esses dados, usamos como anlise preliminar o diagrama
de disperso.
Figura 1.5- Diagrama de disperso: Temperatura X Rendimento de PQ.
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
0 20 40 60 80 100 120
Temperatura
Ren
dim
en
to
Anlise Exploratria de Dados
Estatstica Descritiva 3
Medidas de Centralidade.
Medidas de Posio.
Medidas de Centralidade
Mdia Aritmtica de um conjunto de valores o valor obtido somando-se todos eles e dividindo-se o
total pelo nmero de valores.
n
x
x
n
i
i 1
Exemplo 1: Os valores em gramas referentes aos pesos de
recm nascidos de uma pequena cidade em um dia especfico
foram: 2500, 2350, 3400, 3280, 2650, 4010 e 2910.
Assim o peso mdio calculado como:
28,30147
21100
7
2910...23502500
x
Medidas de Centralidade Se os dados apresentam observaes extremas, a mdia pode
no ser a medida mais indicada para centralidade, pois sobre influncia direta de observaes extremas. Por exemplo:
Em uma pesquisa sobre salrio de um Tecnlogo em Qumica Frmaco Industrial observamos os seguintes valores: $1000,00; $1200,00; $1800,00; $2500,00; $2700,00 ; $3200,00 e $15000,00
A mdia : 3914,28. Essa medida representativa para este
conjunto de dados.
Soluo: O uso da mediana.
Mediana (Me) o valor que divide a amostra ou populao em
duas partes iguais.
Para o exemplo, Me = $2500,00
Medidas de Centralidade
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
14000
16000
1 2 3 4 5 6 7
Dados Mdia Mediana
Figura 2.1 : Salrios dos Tecnlogos
Medidas de Centralidade
Como calcular a mediana?
Se o nmero de observaes na amostra ou
populao for impar, ento a mediana ser o elemento de
ordem , ou seja :
n
2
1nxMe21n
Se o nmero for de ordem par, ento a mediana ser a mdia
entre os elementos centrais ou seja:
2
122
nnxx
Me
Exemplos para o clculo da Mediana:
Serie 1: 12, 124, 32, 10, 18, 29 e 100 n= 7; impar
Ordenar : 10, 12, 18, 29, 32, 100 e 124.
29)4(2
1
xxMe
n
Serie 2: 12, 124, 32, 10, 18 e 29 n= 6; par.
Ordenar : 10, 12, 18, 29, 32, 124.
5.232
2918
22
)4()3(1
22
xx
xx
Me
nn
Medidas Separatrizes
As medidas de posio possibilitam um melhor entendimento dos dados, focalizando sua posio relativa em relao ao conjunto como um todo.
Mediana: divide os dados ordenados em duas partes iguais.
Quartis: Dividem os dados ordenados em 4 partes iguais.
Decis: Dividem os dados ordenados em 10 partes iguais.
Percentis: Dividem os dados ordenados em 100 partes
iguas.
Medidas Separatrizes
Calculando o percentil (medida geral)
Ordenar a srie de n observaes em ordem crescente de valores, definimos
como 0% posio de ordem 1 e 100% a observao de ordem n. Portanto
uma observao com ordem x ter uma posio p.
Ordem
Posio
n
0%
1 x
100%
P
Medidas Separatrizes Usando a semelhana de tringulos, vamos ter:
0
1
0100
1
P
xn
.observao dessa percentil o :
.observao adeterminad uma de ordem a :
srie. na sobservae de totalnmero :
P
x
n
%100*1
1
n
xP
1100
*)1( P
nx
Medidas Separatrizes: Exemplo1.
Srie de 27 32 64 65 58 62 59 54 29 30 26 48 47
Dados 46 43 38 29 32 35 37 31 43 45 42 37 36
Calcular o valor da observao para o percentil P = 32%.
Srie 26 27 29 29 30 31 32 32 35 36 37 37 38
Ordem 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
Srie 42 43 43 45 46 47 48 54 58 59 62 64 65
Ordem 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26
Primeiro Passo: Ordenar os dados.
Medidas Separatrizes: Exemplo.
Agora vamos encontrar a ordem x correspondente:
91100
32*)126(1
100*)1(
Pnx
Portanto o valor na srie de ordem x=9 35. Ou seja,
o valor que separa a srie de dados entre os 32%
menores valores 35.
Descritiva 4
Medidas de disperso.
Medidas de disperso Problema:
Uma empresa farmacutica realiza um teste com dois
medicamentos para a mesma finalidade em um grupo de 14 pessoas,
sendo que 7 tomaram o medicamento A e as outras 7 o B.O tempo de
reao foi anotado para cada individuo:
Tabela 1: Tempo de reao dos medicamentos.
Fonte: E.W.
As mdias para os dois grupos so iguais. Qual o melhor medicamento?
Mdia
Med.A 15 61 48 16 72 17 16 35
Med.B 35 35 36 34 33 35 37 35
Tempo de Reao
Medida de Disperso S utilizando a mdia como medida resumo para um conjunto de
dados, no vamos ter uma boa representao. Necessitamos de outras
medidas para avaliar o grau de variabilidade, ou disperso dos valores em
torno da mdia. As medidas de disperso medem a representatividade da
mdia. Tempo de Reao dos Medicamentos
0
10
20
30
40
50
60
70
80
1 2 3 4 5 6 7
Pacientes
Tem
po d
e R
eao
Med.A
Med.B
Mdia
Medidas de Disperso
Amplitude Total: Diferena entre o maior e menor valor da srie de dados. No exemplo temos.
43337 :MedB
571572 :MedA
Temos uma idia da disperso.
Problema: Depende dos valores extremos.
No avaliada a disperso dos valores internos.
Medidas de Disperso
Os desvios de uma srie de dados com relao a mdia so dados
por :
.,...,2,1 onde , nixxi
Portanto o desvio mdio seria uma boa taxa de disperso entre os dados. No entanto:
n
i
i xx1
0)(
Medidas de Disperso.
Confirmando o resultado.
Med.A Med.B
ix )( xxi ix )( xxi
15 -20 35 0
61 26 35 0
48 13 36 1
16 -19 34 -1
72 37 33 -2
17 -18 35 0
16 -19 37 2
Soma 0 Soma 0
Medidas de Disperso.
Calculando a varincia amostral para o MedA, temos:
6106
3660
17
)3516(...)3561()3515( 2222
S
Calcular a varincia para o MedB.
666.16
10
17
)3735(...)3535()3535( 2222
S
Medidas de Disperso.
O valor da varincia sempre positivo.
Algumas concluses relacionadas com a varincia.
Quando todos os elementos da srie so iguais, a varincia
igual a zero.
O valor da varincia uma medida em escala diferente dos
dados.
Medidas de Disperso.
Para resolver o problema da diferena de escala entre varincia
e os dados, utilizamos o desvio padro. O desvio padro a
raiz quadrada da varincia.
2SS
Grupo 1: S = 24,698. Grupo 2 : S = 1,29.
Para o exemplo anterior.
Medidas de Disperso.
Coeficiente de variao: Mede a variabilidade em termos relativos, dividindo o desvio padro pela mdia.
%100x
SCVa
Baixa: menor que 10%
Mdio: de 10% a 20%
Alto: de 20% a 30%
Muito Alto: acima de 30%
ndices para avaliar a variao dos dados.
Resumo descritivo bsico para um
conjunto de dados quantitativos.
n Mdia Mediana Desvio-Padro CV Q1 Q3
n : n de dados na pesquisa
Mdia : mdia aritmtica dos dados (centralidade).
Mediana : valor mediano dos dados (centralidade).
Desvio Padro: Desvio padro dos dados (Disperso).
CV: Coeficiente de Variao (Disperso).
Q1: Primeiro Quartil (Posio).
Q3: Terceiro Quartil (Posio).
Introduo Teoria das Probabilidades
JOELMIR FELICIANO
Conceitos Bsicos
Experimento Aleatrio ou Fenmeno Aleatrio
Situaes ou acontecimentos cujos resultados no podem ser previstos com
certeza.
Exemplos:
Condies climticas do prximo domingo;
Taxa de inflao do prximo ms;
Resultado ao lanar um dado ou moeda;
Tempo de durao de uma lmpada.
Espao Amostral ()
Conjunto de todos os possveis resultado de um experimento aleatrio ou
fenmeno aleatrio.
Exemplos:
1. Lanamento de um dado. ={1,2,3,4,5,6}
2. Tipo sanguneo de um individuo. ={A, B, AB,0}
3. Opinio de um eleitor sobre um projeto. ={Favorvel,Contrrio}
4. Tempo de durao de uma lmpada ={t; t>0)
Evento subconjunto do espao amostral
Notao: A, B, C,...
Exemplos: No exemplo 1, alguns eventos:
A: sair face par: A={2,4,6}
B: Sair face maior que 3 B={4,5,6}
C: sair face 1 C={1}
D: sair face 7 D={ } (evento impossvel)= (conjunto vazio)
Operao com eventos
Sejam os eventos A e B definidos no mesmo espao amostral
AB: Unio dos eventos A e B.
Representa a ocorrncia de pelo menos um dos eventos A ou B
AB: Interseco dos eventos A e B.
Representa a ocorrncia simultnea dos eventos A e B.
A e B so disjuntos ou mutuamente exclusivos quando no tm elementos em comum, isto , AB=
A e B so complementares se sua interseco vazia e sua unio o espao amostral, isto . AB= e AB= .
O complementar de um evento A representado por AouAC
A C = {2, 4, 6} {1} = {1, 2, 4, 6}
A C = {2, 4, 6} {1} =
A B: = {2, 4, 6} {4, 5, 6} = {4, 6}
A B = {2, 4, 6} {4, 5, 6} = {2, 4, 5, 6}
= {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Eventos: A = {2, 4, 6}, B = {4, 5, 6} e C = {1}
Exemplo: Lanamento de um dado
AC = {1, 3, 5}
Probabilidade
Pergunta: Como atribuir probabilidade aos
elementos do espao amostral?
Definies de probabilidades
Definio Clssica ou a priori
Se um experimento aleatrio tiver n() resultados mutuamente exclusivos e
igualmente provveis e se um evento A tiver n(A) desses resultados. A
probabilidade do evento A representado por P(A), dado por:
)(
)()(
n
AnAP
Exemplo: Considere o lanamento de 2 dados balanceados. Calcular a
probabilidade de:
a) Obter soma 7;
b) Obter soma maior que 10;
c) Que o resultado do primeiro dado seja superior ao resultado do segundo.
6,65,64,6
6,55,54,5
6,45,44,4
3,62,61,6
3,52,51,5
3,42,41,4
6,35,34,3
6,25,24,2
6,15,14,1
3,32,31,3
3,22,21,2
3,12,11,1
a) A={(1,6),(5,2),(4,3),(3,4),(2,5),(6,1)} P(A)=n(A)/n()=6/36=1/6
b) B={(5,6),(6,5),(6,6)} => P(B) = 3/36.
c) P(C)= 15/36.
Suponhamos que realizamos um experimento n vezes (n grande) e destas o
evento A ocorre exatamente r
Definio axiomtica
A probabilidade de um evento A define-se com o nmero P(A), tal que satisfaz os
seguintes axiomas:
n
i
i
n
AP
AASeiii
Pii
AAPi
1
n
1i
i
1
)(AP
ento ,exclusivos mutuamente eventos so ,,)(
1)()(
,1)(0)(
Propriedades
)(
)()()()()()()(
,,,.5
)()()()(,,.4
)()(,.3
)(1)(,.2
0)(.1
CBAP
CAPCBPBAPCPBPAPCBAP
entoCBASe
BAPBPAPBAPentoBASe
BPAPentoBASe
APAPentoASe
P
c
Regra da adio de probabilidades
Exemplo 1. Na tabela 1, apresenta-se a composio por raa e sexo de uma
populao de um pas.
Tabela 1: Distribuio da populao por raa e sexo.
Sexo
Raa Masculino Feminino
Total
Branca 1726384 2110253 3836637
Outra 628309 753125 1381434
Total 2354693 2863378 5218071
Suponha que selecionamos um habitante desse pas e consideremos os
eventos:
H: "o habitante selecionado do sexo masculino"
Hc:"o habitante selecionado do sexo feminino"
B: "o habitante selecionado da raa branca"
Bc: "o habitante selecionado de outra raa"
H B : "o habitante selecionado de sexo masculino e da raa branca"
H B : "o habitante selecionado de sexo masculino ou da raa branca"
Hc B : "o habitante selecionado de sexo feminino e da raa branca"
Hc B : "o habitante selecionado de sexo feminino ou da raa branca"
Hc Bc :"o habitante selecionado de sexo feminino e de outra raa "
Hc Bc "o habitante selecionado de sexo feminino ou de outra raa"
As probabilidades de cada um destes eventos so:
.880,0404,0739,0549,0
)()()()(
;404,05218071
2110253)(
;855,0331,0735,0451,0
)()()()(
331,05218071
1726384)(
;265,0735,01)(1)(
735,05218071
3836637)(
;549,0451,01)(1)(
;451,05218071
2354693)(
BHPBPHPBHP
BHP
BHPBPHPBHP
BHP
BPBP
BP
HPHP
HP
ccc
c
c
c
Probabilidade Condicional e Independncia
Definio:[Probabilidade condicional] Sejam A e B dois eventos em um mesmo
espao amostral, , a probabilidade condicional de A dado que ocorreu o
evento B, representado por P(A|B) dado por:
Exemplo 2. Selecionamos uma semente, ao acaso, uma a uma e sem
reposio de uma sacola que contem 10 sementes de flores vermelhas e 5
de flores brancas. Qual a probabilidade de que :
(a) a primeira semente seja vermelha. ?
(b) a segunda seja branca se a primeira foi vermelha.?
(1) .0)(,)(
)()|(
BP
BP
BAPBAP
Sejam os eventos:
branca" semente 2 :"V
; vermelha" semente 2A " :
branca" semente 1A :"V
; vermelha" semente 1A " :
ac2
a2
ac
a1
1
A
V
V
(a)
3
2
15
10)( 1 VP
(b) 14
5)|( 12 VVP
c
Essas probabilidades podem ser representados em um diagrama da rvore
de probabilidades, a qual mostrado na figura 1
Figura 1: Diagrama de rvore de probabilidade
Da expresso (1), pode-se deduzir uma relao bastante til,
),|()()( BAPBPBAP
Que conhecida como regra do produto de probabilidades ou probabilidade da
interseo
1 Total
V1c V2
c
V1c V2
V1V2c
V1V2
Probabilidade Resultados
7
3
14
9
15
10
21
5
14
5
15
10
21
5
14
10
15
5
21
2
14
4
15
5
Exemplo 3: No exemplo 2, suponha que temos interesse em determinar a
probabilidade que as duas sementes selecionadas sejam brancas.
21
2
14
4
15
5)|()()P(
brancas" so semente2 e 1 a " : evento O
12121
aa
21
ccccc
cc
VVPVPVV
VV
Teorema 1: Se B um evento em , tal que P(B)>0, ento:
).|()|()|()|(
:,,,.3
)|P(A1)|()|(1)|P(A:ento ,BA, Se .2
0)|(.1
cc
BCAPBCPBAPBCAP
entoCBASe
BBAPouBAPB
BP
Exemplo 3: Na Cidade de So Paulo, a probabilidade de chuva no primeiro dia de
setembro 0,50 e a probabilidade de chuva nos dois primeiros dias de setembro
0,40. Se no primeiro de setembro choveu, qual a probabilidade que no dia
seguinte no chova ?
Soluo: Sejam os eventos: A: chove no primeiro de setembro, B:chove no segundo dia de setembro.
Do enunciado do problema temos : P(A)=0,50 e P(AB)=0,40. A probabilidade
pedida :
20,050,0
40,01
)(
)(1)|(1)|(
*
AP
BAPABPABP c
* Pelo teorema 1.2.
Definio[Independncia de eventos] Dois eventos A e B so independentes se a
informao da ocorrncia ou no de B no altera a probabilidade da ocorrncia
de A. Isto ,
P(A|B)=P(A), P(B)>0
Conseqentemente, temos que dois eventos A e B so independentes se
somente se,
P(AB)=P(A)P(B).
Exemplo 4: Em uma escola 20% dos alunos tem problemas visuais, 8%
problemas auditivos e 4% tem problemas visuais e auditivos. Selecionamos um
aluno desta escola ao acaso:
(a) os eventos de ter problemas visuais e auditivos so eventos independentes?
(b) se aluno selecionado tem problemas visuais, qual a probabilidade de que
tenha problemas auditivos?
(c)qual a probabilidade de no ter problemas visuais ou ter problemas auditivos
?
V: o aluno tem problemas visuais
A: o aluno tem problemas auditivos.
Do enunciado temos: P(V)=0,20, P(A)=0,08 e P(AV)=0,04.
84,008,0
04,0108,008,02,01
)(
)(1)()()(1
)|(1)()()(1)|()()()(1
)()()()()(
.20,020,0
04,0
)(
)()|()(
.),()()( Como
.04,0)(
016,008,02,0)()()(
AP
AVPAPAPVP
AVPAPAPVPAVPAPAPVP
AVPAPVPAVPc
VP
AVPVAPb
tesindependensonoVeAAPVPAVP
AVP
APVPa
c
ccc
Soluo: sejam os eventos:
Teorema 2: Se A , B eventos em so eventos independentes, ento:
tesindependen so (iii)
tesindependen so )(
tes.independen so )(
cc
c
c
BeA
BeAii
BeAi
Exemplo 5: Um atirador acerta 80% de seus disparos e outro (na mesmas
condies de tiro), 70%. Qual a probabilidade de acertar se ambos atiradores
disparam simultaneamente no alvo.? Considere que o alvo foi acertado quando
pelo menos, uma das duas balas tenha feito impacto no alvo.
.94,0]7,01][8,01[1)P(B1)P(B11)()(1)(1)(
:forma segunda uma de resolvidoser pode exemplo, este amenteAlternativ
94,07,08,07,08,0
)(B)P(B)P(B)P(B
)()P(B)P(B)(
,.7,0)(
8,0)P(B 1,2.i ,alvo" o acerta atirador o:"B :eventos os Sejam
21
212121
2121
212121
2
1
cccc
i
BPBPBBPBBP
P
BBPBBP
LogoBP
ei
Teorema de Bayes
Definio [Partio do espao amostral]. Uma coleo de eventos
kBB ,,1 formam uma partio do espao amostral se eles no tm
interseco entre si e sua unio igual ao espao amostral.
k
1i
e ji para
iji BBB
Teorema da probabilidade total. Se kBB ,,1 , formam uma partio
do espao amostral , ento qualquer evento A em , satifaz:
k
i
iikk BAPBPBAPBPBAPBPAP1
11 )|()()|()()|()()(
Teorema Bayes. Se kBB ,,1 , formam uma partio do espao amostral , e A qualquer evento
em , ento:
k
i
ii
iii
BAPBP
BAPBPABP
1
)|()(
)|()()|(
Exemplo 6: Uma montadora trabalha com 2 fornecedores (A e B) de uma
determinada pea. As chances de que uma pea proveniente dos
fornecedores A e B esteja fora das especificaes so 10% e 5%
respectivamente. A montadora recebe 30% das peas do fornecedor A e
70% de B. Se uma pea do estoque inteiro escolhido ao acaso:
(a) Calcule a probabilidade de que ela esteja fora das especificaes.
(b) Se uma pea escolhida ao acaso est fora das especificaes, qual a
probabilidade que venha do fornecedor fornecedor A ?
Soluo:
Sejam os eventos:
A: pea selecionada seja do fornecedor A
B: pea selecionada seja do fornecedor B
E: pea selecionada esteja fora das especificaes
Do enunciado do problemas temos:P(A)=0,30; P(B)=0,70; P(E|A)=0,10 e
P(E|B)=0,05.
(a) P(E)=P(A)P(E|A)+P(B)P(E|B)=(0,30)(0,10)+(0,70)(0,05)=0,065
(b) P(A|E)=?
Pelo teorema de Bayes temos:
0,46065,0
03,0
05,070,010,030,0
10,030,0
)|()()|()(
)|()()|(
BEPBPAEPAP
AEPAPEAP
A soluo do exemplo anterior facilitada pelo diagrama de rvore de
probabilidades.
Pelo teorema da probabilidade total temos:
Variveis
Aleatrias
Discretas.
Variveis
Aleatrias
Contnuas.
Distribuies
Amostrais.
Regresso
Linear
Prof. Joelmir Feliciano
Objetivo
Explicar uma varivel quantitativa segundo uma outra
varivel quantitativa.
Exemplos
Preo de um imvel segundo a rea construda
Consumo de combustvel segundo o preo do combustvel e a regio
Valorizao de uma ao segundo a valorizao da bolsa
Taxa de criminalidade segundo a taxa de desemprego
Tempo de reao em um processo qumico segundo a taxa de concentrao do reagente.
Algumas definies
a) diagrama de disperso: representao grfica
entre duas variveis quantitativas
b) correlao: quantifica a fora da relao linear entre
duas variveis quantitativas
c) regresso linear: explicita a forma da relao linear
Exemplo 1: nota da prova e
tempo de estudo
X : tempo de estudo (em horas)
Y : nota da prova
Pares de observaes (Xi , Yi)
Tempo Nota
3,0 4,5
7,0 6,5
2,0 3,7
1,5 4,0
12,0 9,3
Diagrama de Disperso
Coeficiente de correlao linear
O coeficiente de correlao linear
definido como
n
yy
n
xx
n
yxxy
SS
Sr
yyxx
xy
2
2
2
2
Propriedades do coeficiente
de correlao linear
Propriedade
-1 r 1
Classificao da correlao
r = 1, correlao linear positiva e perfeita
r = -1, correlao linear negativa e perfeita
r = 0, inexistncia de correlao linear
Exemplo do clculo da correlao
Tempo ( X ) Nota ( Y ) X2
Y2
XY
3,0 4,5 9 20,25 13,5
7,0 6,5 49 42,25 45,5
2,0 3,7 4 13,69 7,4
1,5 4,0 2,25 16 6
12,0 9,3 144 86,49 111,6
25,5 28 208,25 178,68 184
9960,0
5
2868,178
5
5,2525,208
5
28*5,25184
222
2
2
2
n
y
yn
x
x
n
yxxy
r
Grficos - exemplos da
classificao da correlao
Exemplo para r = 1
Grficos - exemplos da
classificao da correlao
Exemplo para r = -1
Grficos - exemplos da
classificao da correlao
Exemplo para 0 < r < 1
Grficos - exemplos da
classificao da correlao
Exemplo para -1 < r < 0
Grficos - exemplos da
classificao da correlao
Exemplo para r = 0
Grficos - exemplos da
classificao da correlao
Outro exemplo para r = 0
Exerccio.
Considere a relao entre temperatura e rendimento em um processo qumico . Os dados esto
ilustrados abaixo:
Temperatura ( C ) Rendimento (%)
30 35
35 40
40 42
60 70
70 85
90 87
100 91
Construa o diagrama de disperso e encontre o coeficiente de correlao.
Diagrama de disperso
Coeficiente de correlao:
r = 0.9591233
Reta ajustada
Definio de a e b
a : intercepto ou coeficiente linear
b : inclinao ou coeficiente angular
Interpretao
Para cada aumento de uma unidade em X,
temos um aumento de b unidades em Y.
Clculo dos Coeficientes de Regresso.
n
xx
n
yxxy
S
Sb
xx
xy
2
2
n
xx
n
yyxbya
e onde ,
Clculo dos coeficientes de
Regresso. Tempo ( X ) Nota ( Y ) X
2 Y
2 XY
3,0 4,5 9 20,25 13,5
7,0 6,5 49 42,25 45,5
2,0 3,7 4 13,69 7,4
1,5 4,0 2,25 16 6
12,0 9,3 144 86,49 111,6
25,5 28 208,25 178,68 184
5268,02,78
2,41
5
5,2525,208
5
28*5,25184
22
2
n
x
x
n
yxxy
b
9133,21,5*5268,06,5 xbya
Equao da reta: Exemplo Notas
Exerccio.
Considere a relao entre temperatura e rendimento em um processo qumico . Os dados esto
ilustrados abaixo:
Temperatura ( C ) Rendimento (%)
30 35
35 40
40 42
60 70
70 85
90 87
100 91
Encontre a reta ajustada.
Exerccio.
xy 87.007.12
07.12a
86.0b
Reta ajustada
Interpretao: A cada unidade aumentada da temperada, o rendimento
aumenta em mdia em 0.87%.
9591.0R
Coeficiente de Determinao: