Prof.ª Sheila Regina Oro

Projeto “Recursos Educacionais Digitais”

Autores: Bruno Baierle e Maurício Furigo

PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA

ESTATÍSTICA DESCRITIVA

ESTATÍSTICA DESCRITIVA

A Estatística Descritiva fornece um resumo dos

dados experimentais:

Medidas centrais: média, moda e mediana;

Medidas de dispersão: variância, desvio padrão e

coeficiente de variação, assimetria e curtose;

Medidas de posição: Percentis, Quartis e Boxplot.

MÉDIA ARITMÉTICA AMOSTRAL(𝑥)

Considera todos os elementos da amostra e o

número de elementos.

𝑥 = 𝑖=1𝑛 𝑥𝑖

𝑛

Onde:

𝑥𝑖: cada observação na amostra;

𝑛: número de observações da amostra.

A média é influenciada por dados extremos

(valores máximos e mínimos).

MÉDIA ARITMÉTICA POPULACIONAL(μ)

A média aritmética da população é a soma dos

valores na população, dividida pelo tamanho da

população;

𝜇 = 𝑖=1𝑁 𝑥𝑖𝑁

Onde:

𝑁: tamanho da população;

𝑥𝑖: i-ésimo valor da variável x;

MODA

A Moda é o valor que mais se repete em umaamostra;

Conjuntos de dados com uma moda sãodenominados unimodais;

Se o conjunto possuir duas modas, é denominadobimodal;

Nem todo conjunto de dados possui moda, quandoisso ocorre, o conjunto é denominado amodal;

MODA

Ex: Encontre a moda nos seguintes conjuntos de

dados:

A: 2, 6, 4, 9, 13, 2, 4, 9, 8, 2;

B: 2, 9, 8, 6, 4, 6, 3, 2;

C: 2, 6, 8, 4, 9, 10, 1, 5.

MEDIANA

A Mediana é o valor que ocupa a posição central;

Ex: Determine a mediana dos seguintes conjunto:

A: 2, 6, 8, 4, 9, 13, 6, 8, 12;

A: 2, 4, 6, 6, 8, 8, 9, 12, 13;

B: 2, 6, 3, 4, 13, 15, 18, 14;

B: 2, 3, 4, 6, 13, 14, 15, 18;

mediana=6+13

2= 9,5

AMPLITUDE

A amplitude dos dados é igual ao maior valor

menos o menor valor;

𝐴𝑚𝑝𝑙𝑖𝑡𝑢𝑑𝑒 = 𝑋𝑚𝑎𝑖𝑜𝑟 − 𝑋𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟

VARIÂNCIA AMOSTRAL(𝑠2)

Fornece a unidade do valor apresentado comoo seu quadrado, o que dificulta, ou impossibilitainterpretação lógica, sendo usadas apenas paracomparação entre conjuntos de dados. Para finsinterpretativos usa-se o desvio padrão.

𝑠2 =1

𝑛 − 1

𝑖=1

𝑛

(𝑥𝑖 − 𝑥)2

Onde:

𝑥𝑖: i-ésimo valor da variável x;

𝑥: média aritmética;

𝑛: tamanho da amostra;

DESVIO PADRÃO AMOSTRAL(s)

Apresenta quanto o valor da média está distante

dos dados do conjunto;

Tanto para a variância como para o desvio padrão,

quanto menor seu valor, mais concentrados estão

os dados, e mais representativo é o valor da média;

𝑠 =2𝑠2

Onde:

𝑆2: variância dos dados.

DESVIO PADRÃO AMOSTRAL(s)

Considerando os resultados a seguir, qual dos dois

conjuntos de dados são mais concentrados?

𝑥𝐴 = 2,97 𝑥𝐵 = 0,67

𝑠𝐵 = 1,20 𝑠𝐵 = 0,5

VARIÂNCIA POPULACIONAL(σ²)

É usada quando não se conhece todas as

observações da amostra;

σ²=1

𝑁

𝑖=1

𝑁

(𝑥𝑖 − μ)²

Onde:

𝑁: tamanho da população;

𝑥: observação na amostra;

μ: média populacional.

DESVIO PADRÃO POPULACIONAL(σ)

O desvio padrão da população é a raiz quadrada

da variância da população;

σ = 𝑖=1𝑁 (𝑥𝑖−𝜇)²

𝑁, ou 𝜎 = 𝜎²

Onde:

𝑁: tamanho da população;

𝜇: média aritmética da população;

𝑥: observação na amostra.

COEFICIENTE DE VARIAÇÃO(CV)

Representa a dispersão real do conjunto de dados.

𝐶𝑉 =𝑠

𝑥∗ 100

Onde:

𝑠: desvio padrão;

𝑥: média aritmética.

COEFICIENTE DE VARIAÇÃO

Se CV≤30%: os dados são homogêneos;

Se CV≥30%: os dados são heterogêneos;

Dados homogêneos: concentração aceitável (pode-

se realizar comparações entre médias e demais

estudos estatísticos);

Dados heterogêneos: dispersão considerável (os

demais estudos estatísticos ficam comprometidos).

ASSIMETRIA

A assimetria representa a concentração dos valores

em um dos extremos da distribuição;

Neste caso, a distribuição se comporta de forma

simétrica, onde 𝑥 = 𝑀𝑜𝑑𝑎 = 𝑀𝑒𝑑𝑖𝑎𝑛𝑎 .

ASSIMETRIA

Assimetria positiva;

𝑥 > 𝑀𝑒𝑑𝑖𝑎𝑛𝑎 > 𝑀𝑜𝑑𝑎.

ASSIMETRIA

Assimetria negativa;

𝑥 < 𝑀𝑒𝑑𝑖𝑎𝑛𝑎 < 𝑀𝑜𝑑𝑎.

ASSIMETRIA

O coeficiente de assimetria pode ser calculado da

seguinte maneira:

𝐴𝑠𝑠𝑖𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑎 = 𝑥 − 𝑀𝑜

𝑠

Onde:

𝑥: média amostral;

𝑀𝑜: moda;

𝑠: desvio padrão.

ASSIMETRIA

Caso trate-se de uma amostra amodal, o

coeficiente de assimetria pode ser determinado

utilizando a mediana:

𝐴𝑠𝑠𝑖𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑎 =3 ∗ ( 𝑥 − 𝑀𝑑)

𝑠Onde:

𝑀𝑑: mediana;

𝑥: média amostral;

𝑠: desvio padrão.

ASSIMETRIA

A assimetria pode ser determinada também

considerando-se os quartis:

𝐴𝑠 =𝑄3 + 𝑄1 − 2𝑀𝑑

𝑄3 − 𝑄1Onde:

𝑄3 e 𝑄1: 3º e 1º quartis;

𝑀𝑑: mediana.

ASSIMETRIA

Equação de simetria usada pelos softwares Minitab

e Excel:

𝐴𝑠 =𝑛

(𝑛 − 1)(𝑛 − 2)

𝑖=1

𝑛𝑥𝑖 − 𝑥

𝑠

3

Onde:

𝑛: tamanho da amostra;

𝑥𝑖: i-ésima observação da amostra;

𝑥: média amostral;

𝑠: desvio padrão amostral.

ASSIMETRIA

Nas distribuições considera-se:

Simétrica:

𝐴𝑠 < 0,15;

Assimétrica moderada:

0,15 ≤ 𝐴𝑠 < 1;

Fortemente Assimétrica:

𝐴𝑠 ≥ 1.

CURTOSE

A curtose representa o grau de achatamento da

distribuição;

É determinado por:

𝑘 =1

2∗(𝑄3 − 𝑄1)

𝑃90 − 𝑃10Onde:

𝑄3 e 𝑄1: 3º e 1º quartis;

𝑃90 e 𝑃10: 10º e 90º percentis.

CURTOSE

O coeficiente de curtose para a distribuição normal

é 0,263. A curva de distribuição normal é

denominada Mesocúrtica.

CURTOSE

Quando o coeficiente de curtose 𝑘 < 0,263, a curva

é mais alongada, denominada Leptocurtica.

CURTOSE

Quando o coeficiente de curtose 𝑘 > 0,263 , a

distribuição é mais achatada, denominada

Platicurtica.

QUARTIS

Os Quartis dividem os dados em quatro partes

iguais;

Primeiro Quartil: 25% dos valores são menores ou

iguais a 𝑄1, e 75% são maiores ou iguais a 𝑄1.

Terceiro Quartil: 25% dos valores são maiores ou

iguais a 𝑄3, e 75% dos valores são menores ou

iguais a 𝑄3.

QUARTIS

Q1Q2

medianaQ3

25% dos

dados

50% dos

dados

75% dos

dados

QUARTIS

𝑄1 = 𝑥 𝑛+14+ 0,75 𝑥 𝑛+1

4+1−𝑥 𝑛+1

4

𝑄3 = 𝑥 3𝑛+34+ 0,25 𝑥 3𝑛+3

4+1−𝑥 3𝑛+3

4

Onde:

𝑛: tamanho da amostra;

𝑥:

O Segundo Quartil 𝑄2= Mediana.

AMPLITUDE INTERQUARTIL

A amplitude interquartil corresponde a diferença

entre o terceiro quartil e o primeiro quartil;

𝐴𝑚𝑝𝑙𝑖𝑡𝑢𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑞𝑢𝑎𝑟𝑡𝑖𝑙 = 𝑄3 − 𝑄1

PERCENTIL

Para determinar o percentil podemos encontrar a

posição que ele ocupa dentro do conjunto de

dados;

𝑝𝑜𝑠𝑖çã𝑜 =𝑝(𝑛 + 1)

100

Ex. 𝑃90 =90(37+1)

100= 34,2

𝑃90 = 0,9 ∗ 1,57 + 0,1 ∗ 1,6 = 1,573

BOXPLOT

É um gráfico desenhado a partir dos valores de 𝑄1,𝑄3, mediana, máximo e mínimo;

É útil para avaliar concentração dos dados entre

estas medidas e para identificar valores atípicos ao

conjunto de dados (ponto discrepante);

É usado também para analisar a variabilidade e a

simetria dos dados.

BOXPLOT

BOXPLOT

BOXPLOT

Percebe-se a existência de um ponto discrepante no gráfico,que pode influenciar os resultados estatísticos.

EXEMPLO

(Landim) Os dados para este exemplo provém de

uma jazida de carvão, localizada no município de

Sapopema-PR, na qual foram obtidos valores para

as variáveis espessura da camada de carvão, teor

de enxofre, teor de cinzas e rendimento para a

obtenção de um produto lavrado com 20% de

cinzas. Como descrito por Cava (1985) e Landim et

al. (1988), esse depósito situa-se a cerca de 20 km

a noroeste de Figueira, no noroeste do Estado do

Paraná, em sedimentos da parte inferior do

Membro Triunfo da Formação Rio Bonito.

TABELA DE DADOSPontos X Y Espessura Cinzas Enxofre Rendimento a 20%

13 1 5 0,8 38,6 15,2 0,81

10 2 5 0,72 22,6 6,1 0,83

14 4 5 0,69 39 7,9 0,67

54 3 4,5 0,8 37,1 10,1 0,99

42 4,5 4,5 0,73 40,8 4,9 0,81

55 0,5 4 1,19 34,1 7,21 1,32

43 1,5 4 0,94 25 5,79 1,32

40 2,5 4 0,96 29,3 7,92 1,12

41 3,5 4 1,05 33 7,03 1,19

26 5 4 1,32 29,7 7,32 1,37

16 1 3,5 1,02 33,7 8,1 0,91

20 2 3,5 1,2 26,13 7,4 1,64

25 3 3,5 1,1 25,41 8,6 1,49

11 4 3,5 1,18 22,8 6 1,4

34 6 3,5 1,3 19,1 8,1 2,13

47 1,5 3 1,55 35,1 7,93 1,75

45 2,5 3 1,57 16,9 6,31 1,9

44 3,5 3 1,3 20,5 6,27 1,89

TABELA DE DADOSPontos X Y Espessura Cinzas Enxofre Rendimento a 20%

49 0,5 2,5 1,18 39,1 5,74 1,3

2 1,5 2,5 1,4 38,6 8,68 1,43

1 2 2,5 1,3 27,5 7,75 1,55

3 2,5 2,5 1,5 25,4 6,87 2,03

12 4 2,5 1,4 24,3 6,9 1,59

5 1,5 2 1,85 57,4 5,6 1,15

4 2,5 2 1,2 22 7,46 1,77

8 3 2 1,23 27 5,99 1,57

39 4 2 1,3 32,1 8,07 1,46

46 0,5 1,5 1,62 36,8 5,24 1,77

37 1,5 1,5 2,09 19,5 5,34 1,21

6 2 1,5 1,6 47,8 5,93 1,44

7 2,5 1,5 1,4 43,1 5,6 1,18

50 3 1,5 1,41 36,6 8,17 1,48

38 3,5 1,5 1,38 39,6 5,12 1,3

57 4 1,5 1,04 31,1 6,39 1,28

48 2 1 1,31 64,8 5,71 1,09

21 3,5 1 1,28 43,24 5,4 1,33

24 2,5 0,5 0,55 27,2 9,01 0,82

EXERCÍCIO

Realize um teste estatístico completo dos dados da

coluna de Espessura.

RESULTADOS

Média:

𝑥 =1

𝑛 𝑖=1𝑛 𝑥𝑖

𝑥 =0,18+0,72+0,69+⋯+1,28+0,55

37= 1,2286

Mediana

𝑀𝑑 = 1,28

Moda

𝑀𝑜 = 1,3

Amplitude

𝐴𝑚𝑝𝑙𝑖𝑡𝑢𝑑𝑒 = 2,09 − 0,55 = 1,54

RESULTADOS

Variância

𝑠² =1

𝑛−1 𝑖=1𝑛 (𝑥𝑖 − 𝑥)²

𝑠² =1

37−1∗ 0,8 − 1,2286 2 +⋯+ 0,55 − 1,2286 2 = 0,1059

Desvio Padrão

𝑠 = 𝑠² = 0,1059 = 0,3254

Observando o desvio padrão podemos afirmar que

os dados possuem uma variabilidade alta.

RESULTADOS

Coeficiente de variação

𝐶𝑉 =𝑠

𝑥∗ 100 =

0,3254

1,2286∗ 100 = 26,48

Como o coeficiente de variação calculado foi menor

que 30%, os dados podem ser considerados

homogêneos, sendo possível a realização de

comparações entre médias e os demais testes

estatísticos.

RESULTADOS

QUARTIS

𝑄1 = 𝑥 𝑛+14

+ 0,75 𝑥 𝑛+14+1−𝑥 𝑛+1

4

𝑄1 =1,04+1,02

2= 1,03

𝑄3 = 𝑥 3𝑛+34

+ 0,25 𝑥 3𝑛+34+1−𝑥 3𝑛+3

4

𝑄3 =1,4+1,4

2= 1,4

RESULTADOS

ASSIMETRIA

𝐴𝑠 = 𝑥−𝑀𝑜

𝑠=1,2286−1,3

0,3254= −0,2194

𝐴𝑠 =3∗( 𝑥−𝑀𝑑)

𝑠=3∗(1,2286−1,28)

0,3254= −0,47

𝐴𝑠 =𝑄3+𝑄1−2𝑀𝑑

𝑄3−𝑄1=1,4+1,03−(2∗1,28)

1,4−1,03= −0,35

RESULTADOS

Espessura

Fre

qu

en

cy

2,01,81,61,41,21,00,80,6

12

10

8

6

4

2

0

Mean 1,229

StDev 0,3254

N 37

Histograma para a variável EspessuraNormal

RESULTADOS

CURTOSE

𝑃90 =𝑝(𝑛+1)

100=90(37+1)

100= 34,2

𝑃10 =10(37+1)

100= 3,8

𝑃90 = 0,9 ∗ 1,57 + 0,1 ∗ 1,6 = 1,573

𝑃10 = 0,9 ∗ 0,73 + 0,1 ∗ 0,72 = 0,729

𝑘 =1

2∗𝑄3−𝑄1

𝑃90−𝑃10=1

2∗1,4−1,03

1,573−0,729= 0,22

Como 𝑘 = 0,22 < 0,263 , a curva de distribuição é

denominada Leptocurtica.

BOXPLOT ESPESSURA DA CAMADA DE

CARVÃO

No gráfico pode ser observado um outlier, podemostambém confirmar a assimetria moderada dosdados, pois o valor da média é menor que amediana.

REFERÊNCIAS

BARBETTA, Pedro A.; REIS, Marcelo. M.; BORNIA,

Antonio C. Estatística para cursos de engenharia

e informática. 3 ed. São Paulo: Editora Atlas,

2010.

SPIEGEL, Murray R. Estatística. 3 ed. São Paulo:

Pearson Makron Books, 2006.

LEVINE, David M. et al. Estatística, Teoria e

Aplicações. 6 ed. Rio de Janeiro: LTC, 2012.

LANDIM, Paulo M. B. Análise estatística de

dados geológicos. 2 ed. São Paulo: Editora

UNESP, 2003.