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INTRODUCCIÓN A LA METROLOGÍAINTRODUCCIÓN A LA METROLOGÍACurso Académico 2011Curso Académico 2011--1212Curso Académico 2011Curso Académico 2011--1212
Rafael Muñoz BuenoRafael Muñoz BuenoLaboratorio de Metrología y MetrotecniaLaboratorio de Metrología y Metrotecnia
LMMLMM--ETSIIETSII--UPMUPM
TEMA 4. Cuantificación y propagación de la incertidumbre
Índice
Curso Académico 11-12Introducción a la Metrología
1. Concepto de incertidumbre típica combinada.
2. Ley de propagación de la incertidumbre (sin correlación).
3. Incertidumbre expandida
4. Supuesto práctico de la evaluación de incertidumbres.
Concepto de incertidumbre típica combinada
La incertidumbre típica de y (siendo y la estimación del mensurando Y)
es decir, el resultado de medida, se obtiene componiendoapropiadamente las incertidumbres típicas de las estimaciones de
entrada x1 , x2 , ..., xN. Esta incertidumbre típica combinada de la
Curso Académico 11-12Introducción a la Metrología
Incertidumbre típica combinada
Incertidumbre típica
( ) ( )NN xxxfyXXXfY ,...,,..., 2121 =⇒=
[ ])(),...(),()( 21 Nc xuxuxufyu =
entrada x1 , x2 , ..., xN. Esta incertidumbre típica combinada de la
estimación y se nota como uc(y).
Ley de propagación de incertidumbres (i)
( ) ( )NN xxxfyXXXfY ,...,,..., 2121 =⇒=Desarrollo en serie de Taylor de primer orden torno al valor esperado, y gracias alas propiedades de la varianza y el valor esperado (esperanza matemática) llegamos a:
Curso Académico 11-12Introducción a la Metrología
las propiedades de la varianza y el valor esperado (esperanza matemática) llegamos a:
),(2)()(1
1 1
2
2
1
2ji
xj
N
i
N
ij xii
xi
N
i ic xxu
X
f
X
fxu
X
fyu
ji∂∂
∂∂+
∂∂= ∑∑∑
−
= +==
LEY DE PROPAGACIÓN DE LA INCERTIDUMBRE
Ley de propagación de incertidumbres (ii)
),(2)()(1
2
2
2N NN
xxuff
xuf
yu∂∂+
∂= ∑∑∑
−
Consideraciones (i)
Curso Académico 11-12Introducción a la Metrología
),(2)()(1 1
2
1
2ji
ji ij ii
i ic xxu
x
f
x
fxu
x
fyu
∂∂
∂∂+
∂∂= ∑∑∑
= +==
Magnitudes de entrada no correlacionadas
Magnitudes de entrada correlacionadas
Ley de propagación de incertidumbres (iii)
Consideraciones (ii)
Magnitudes de entrada no correlacionadas
Ej. Determinación de una longitud a una temperatura t habiendo realizado la
medida a temperatura t : L = L [1+α (t-t )]
Curso Académico 11-12Introducción a la Metrología
medida a temperatura t0: L = L0 [1+α (t-t0)]
o El coeficiente de dilatación es una magnitud conocida
o La longitud L0 se mide con una cinta métrica
o La temperatura se mide con un sensor de temperatura
Magnitudes de entrada correlacionadas
Ej. Determinación de la densidad de un cuerpo sólido: ρ = m/Vo La masa ha sido medida por comparación usando otras masas patrón
o El volumen ha sido determinado por pesada hidrostática usando lasmismas masas patrón
12
N NN fff ∂∂ ∂ −
Ley de propagación de incertidumbres (iv)
Consideraciones (iii)
Curso Académico 11-12Introducción a la Metrología
),(2)()(1
1 1
2
2
1
2ji
j
N
i
N
ij ii
N
i ic xxu
x
f
x
fxu
x
fyu
∂∂
∂∂+
∂∂= ∑∑∑
−
= +==
Trataremos sólo el caso de magnitudes de entrada no correlacionadas
Ley de propagación de incertidumbres (v)
Donde:
)()( 2
2
1
2i
N
i ic xu
x
fyu ∑
=
∂∂=
Curso Académico 11-12Introducción a la Metrología
Donde:
f ≡ Función de transferencia o función modelo; Y= f (X1,X2,…, XN )
u(xi ) ≡ Incertidumbre típica evaluada (tipo A o tipo B)
uc(y) ≡ Incertidumbre típica combinada
La incertidumbre típica combinada es una desviación típica estimada ycaracteriza la dispersión de los valores que podrían ser razonablemente
atribuidos al mensurando Y.
Ley de propagación de incertidumbres (vi)
Estas derivadas, denominadas coeficientes de sensibilidad (c ), describen
)()( 2
2
1
2i
N
i ic xu
x
fyu ∑
=
∂∂=
f∂
Curso Académico 11-12Introducción a la Metrología
Estas derivadas, denominadas coeficientes de sensibilidad (ci ), describen
cómo varía la estimación de salida y, en función de las variaciones en los
valores de las estimaciones de entrada x1 , x2 , ..., xN
En general, la variación de y producida por una pequeña variación ∆xi en la
estimación de entrada xi viene dada por:
Si esta variación es debida a la incertidumbre típica de la estimación xi, la variación
correspondiente de y es:
ix
f
∂∂
)()( ii
i ∆xx
f∆y
∂∂=
)()()( ii
ii xux
fyu∆y
∂∂==
Ley de propagación de incertidumbres (vii)
Por tanto, la varianza combinada u 2(y) puede considerarse entonces como una
)()()( 2
1
22
2
1
2i
N
iii
N
i ic xucxu
x
fyu ∑∑
==
=
∂∂= )()()( iii
ii xucxu
x
fyu =
∂∂=
Curso Académico 11-12Introducción a la Metrología
Por tanto, la varianza combinada uc2(y) puede considerarse entonces como una
suma de términos, cada uno de ellos representando la varianza estimada
asociada a y, debido a la varianza estimada asociada a cada estimación de
entrada xi.
( ) ∑∑==
==N
ii
N
iiic yuxucyu
1
2
1
22 )()()(
Donde: )()( iii xucyu =
Concepto de incertidumbre típica combinada (viii)
( ) ( )NN xxxfyXXXfY ,...,,..., 2121 =⇒=
[ ]=
Curso Académico 11-12Introducción a la Metrología
[ ])(),...(),()( 21 Nc xuxuxufyu =
Incertidumbretípica combinada
Incertidumbretípica
∑∑==
==N
iii
N
iic xucyuyu
1
22
1
22 )()()(
Coeficiente desensibilidad
Concepto de incertidumbre típica combinada (ix)
Ejemplo (Supuesta no correlación)
Cálculo de la incertidumbre típica combinada en la medida indirecta del área de una placa rectangular
h
( ) ===
A
Curso Académico 11-12Introducción a la Metrología
b( )21, XXfY = ( ) hxbxxfAy === 21,
ii Xx =
[ ]∑= 22 )()( iic xucyu )()()( 22222 hucbucAu hbc +=
22
2 hb
Acb =
∂∂= 2
22 b
h
Acb =
∂∂=
)()()( 22222 hubbuhAuc += )()()( 2222 hubbuhAuc +=
Determinación de la incertidumbre expandida, U (i)
Aunque la incertidumbre típica combinada, uc(y) puede ser utilizada
universalmente para expresar la incertidumbre de un resultado de medida, esnecesario dar una medida de la incertidumbre que defina, alrededor delresultado de medida, un intervalo en el interior del cual pueda esperarseencontrar gran parte de la distribución de valores que podrían ser
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encontrar gran parte de la distribución de valores que podrían serrazonablemente atribuidos al mensurando.
La nueva medida de la incertidumbre, que satisface la exigencia de aportar tal
intervalo se denomina incertidumbre expandida, y se representa por U.
La incertidumbre expandida U se obtiene multiplicando la incertidumbre típica
combinada uc(y) por un factor de cobertura k.
U = k uc(y)
Determinación de la incertidumbre expandida, U (ii)
Resultado de la medida: Y = y ± U
Lo que significa que:
Curso Académico 11-12Introducción a la Metrología
• La mejor estimación del valor atribuible al mensurando Y es y
• Puede esperarse que en el intervalo que va de y-U a y+U estécomprendida una fracción importante de la distribución de
valores que podrían ser razonablemente atribuidos a Y.
• Un intervalo tal se expresa por y - U ≤ Y≤ y + U
• Siempre que sea posible, debe estimarse e indicarse el nivel de
confianza p asociado al intervalo definido por U.
Determinación de la incertidumbre expandida, U (iii)
Elección de un factor de cobertura
El valor del factor de cobertura k se elige en función del nivel de confianza
requerido para el intervalo y-U a y+U.
• En general, k toma un valor entre 2 y 3. No obstante, en aplicaciones
Curso Académico 11-12Introducción a la Metrología
• En general, k toma un valor entre 2 y 3. No obstante, en aplicaciones
especiales, k puede tomarse fuera de dicho campo de valores.
• Idealmente, debería poderse escoger un valor específico del factor de
cobertura k que proporcionase un intervalo Y = y ± U = y ± k uc(y)correspondiente a un nivel de confianza particular p, por ejemplo, un95 o un 99 por ciento.
• En la práctica, puede suponerse que la elección de un factor k = 2proporciona un intervalo con un nivel de confianza en torno al 95%, y
que la elección de k = 3 proporciona un intervalo con un nivel de
confianza en torno al 99%.
Determinación de la incertidumbre expandida, U (iv)
La guía GUM
La Guía para la Expresión de la Incertidumbre de Medida o GUM(Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement), establece lasreglas generales para la evaluación y expresión de la incertidumbre demedida, previstas para ser aplicadas en una gran variedad de mediciones.
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medida, previstas para ser aplicadas en una gran variedad de mediciones.
La guía GUM, se basa en la Recomendación 1 (CI-1981) del ComitéInternacional de Pesas y Medidas (CIPM) y en la Recomendación INC-1(1980) del grupo de trabajo sobre la expresión de las incertidumbres.Este grupo de trabajo se constituyó previamente por el Bureau Internacionalde Pesas y Medidas (BIPM) en respuesta a una demanda del CIPM.
La Recomendación del CIPM es la única recomendación referida a laexpresión de la incertidumbre de medida, avalada por una organizaciónintergubernamental.
Determinación de la incertidumbre expandida, U (v)
El método GUM: basado en la filosofía GUM (i)
1. Identificar todas las componentes importantes de la incertidumbre demedida:
Curso Académico 11-12Introducción a la Metrología
Existen muchas fuentes que pueden contribuir a la incertidumbre de medida. Aplicar
un modelo del proceso de medida real para identificar las fuentes. La función f debe
incluir todas las magnitudes, incluyendo correcciones y factores de corrección quepueden contribuir significativamente a la incertidumbre del resultado de medición.
2. Determinar xi , valor estimado de la magnitud de entrada Xi , bien a partirdel análisis estadístico de una serie de observaciones, bien por otrosmétodos
( )NXXXfY ,..., 21=
( )Nxxxfy ,..., 21=
Determinación de la incertidumbre expandida, U (v)
El método GUM: basado en la filosofía GUM (i)
3. Evaluar la incertidumbre típica u(xi ) de cada estimación xi
Para una estimación de entrada obtenida por análisis estadístico de series deobservaciones, la incertidumbre típica se obtiene a partir de una evaluación de Tipo A
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observaciones, la incertidumbre típica se obtiene a partir de una evaluación de Tipo A
Para una estimación de entrada obtenida por otros medios, la incertidumbre típica
u(xi ) se obtiene a partir de una evaluación de Tipo B.
n
XsXsxu i
ii
)()()( ==
2)(
axu =
3)(
axu =
6)(
axu =
2)(
axu =
Determinación de la incertidumbre expandida, U (v)
El método GUM: basado en la filosofía GUM (i)
4. Calcular el resultado de medición; esto es, la estimación y del mensurandoY, a partir de la relación funcional f utilizando para las magnitudes de
entrada Xi las estimaciones xi obtenidas en el paso 2.
Curso Académico 11-12Introducción a la Metrología
5. Determinar la incertidumbre típica combinada uc(y) del resultado de medida
y, a partir de las incertidumbres típicas asociadas a las estimaciones deentrada.
Para una suma o diferencia de componentes, la incertidumbre combinada se calcula como la raízcuadrada de la suma de los cuadrados de las incertidumbres típicas de las componentes.
Para un producto o cociente de componentes se aplica, a las incertidumbres típicas relativas de lascomponentes, la misma regla que para la suma/diferencia.
( ) ∑∑==
==N
ii
N
iiic yuxucyu
1
2
1
22 )()()( )()( iii xucyu =
6. Calcular la incertidumbre expandida:
Multiplicar la incertidumbre combinada por el factor de cobertura k.
Determinación de la incertidumbre expandida, U (vi)
El método GUM: basado en la filosofía GUM (ii)
Curso Académico 11-12Introducción a la Metrología
7. Expresar el resultado de medida en la forma:
UyY ±=
Ejemplo: Calibración de bloques patrón longitudinales, BPL
1. Definición del problema de medición
La longitud de un BPL, de valor nominal 50 mm, se determina por comparacióncon otro bloque patrón conocido, de la misma longitud nominal y del mismomaterial. En la comparación de los dos bloques se obtiene directamente ladiferencia d entre sus longitudes.
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d
l lp
d = l - lp
Ejemplo Calibración de bloques patrón longitudinales, BPL
2. El modelo matemático
plld −=
resttp CCCdll ++++= ∆∆
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),...,( 21 NXXXfY =
resttp CCCdllp
++++= ∆∆Corrección pordilatación térmica
),,,,,,( Edlfl ppp θθαα=
Corrección por resolucióndel comparador
θααα ltltlC t =−=∆=∆ )20( pppppppppt ltltlCp
θααα =−=∆=∆ )20(
Ejemplo Calibración de bloques patrón longitudinales, BPL
dll p +=),...,( xxxfy =
3. Estimación del valor del mensurando, l
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l Valor del mesurando a determinar.
lp Longitud del patrón a 20 °C, tal como figura en su certificado de calibración.
d Diferencia entre los bloques, estimada como la media aritmética de 10 medidas
independientes.
),...,( 21 Nxxxfy =
mmlp 000623,50=nmd 215= mmUl )000838,50( ±=
Ejemplo Calibración de bloques patrón longitudinales, BPL
4. Contribución de varianzas (i)
resttp CCCdllp
++++= ∆∆
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)()( 2
1
22
i
N
iic xuclu ∑=
=
)()()()()()( 22222222222resCtCtCdplc CucCucCucducluclu
resppttp++++= ∆∆ ∆∆
Ley de propagación de la incertidumbre
Ejemplo Calibración de bloques patrón longitudinales, BPL
4. Contribución de varianzas (ii)
resttp CCCdllp
++++= ∆∆
Curso Académico 11-12Introducción a la Metrología
)()()()()()( 22222222222resCpttttdplc CucCucCucducluclu
respp++++= ∆∆∆∆
)()()()()()( 222222resttpc CuCuCudululu
p++++= ∆∆
1=∂
∂=∆
∆
p
pt
tC C
fc1=
∂∂=d
fcd
1=∂∂=
∆∆
tC C
fc
t1=
∂∂=
ppl l
fc 1=
∂∂=
resCres C
fc
Ejemplo Calibración de bloques patrón longitudinales, BPL
5. Incertidumbre debida a la calibración del patrón, u(lp)
El certificado de calibración da como incertidumbre expandida del patrón
U = 0,040 µm, precisando que ha sido obtenida utilizando un factor de
cobertura k = 2. La incertidumbre típica es entonces
Curso Académico 11-12Introducción a la Metrología
cobertura k = 2. La incertidumbre típica es entonces
222 104)( nmlu p ⋅=
Y la varianza será por tanto el cuadrado de la desviación típica:
nmlu p 202
040,0)( ==
Ejemplo Calibración de bloques patrón longitudinales, BPL
6. Incertidumbre debida a la medida de d, u(d)
Se efectúan 10 medidas de la diferencia d entre el bloque patrón y elbloque a calibrar, con una desviación típica de 13 nm. Se considera unadistribución normal, por lo que la incertidumbre típica se obtiene de una
Curso Académico 11-12Introducción a la Metrología
distribución normal, por lo que la incertidumbre típica se obtiene de unaevaluación de tipo A.
22 8,16)( nmdu =
Y la varianza será por tanto el cuadrado de la desviación típica:
nmnm
n
dsdsdu 1,4
10
13)()()( ====
Ejemplo Calibración de bloques patrón longitudinales, BPL
7. Incertidumbre debida dilatación térmica del bloque patrón, u(C∆tp )
pppt lCp
θα=∆
)()()()()()()( 2222222pppppppppt luululCu θααθθα ++=∆
Se acepta una modelo de dilatación lineal, con lo que:
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(Coef. De dilatación térmica) = 11,5 x 10-6 °C-1
)()()()()()()( pppppppppt luululCup
θααθθα ++=∆
pα
pθ (Desviación de la temperatura del bloque a la temperatura de referencia de 20 ºC
durante la medición: tp - 20). La temperatura media del bloque durante la medición fue
de 19,9 ºC±0,02 ºC, considerándose una distribución rectangular. Por tanto: θ = -0,1 ºC
Cu p º1005,0)( 6−⋅=α Decisión del evaluador
3º02,0
)(C
θu p =nmCu
pt 6,6)(∆
=
Ejemplo Calibración de bloques patrón longitudinales, BPL
8. Incertidumbre debida dilatación térmica del bloque, u(C∆t )
θαpt lC ≈∆
)()()()()()()( 2222222pppt luululCu αθαθθα ++=∆
Se acepta una modelo de dilatación lineal, con lo que:
Curso Académico 11-12Introducción a la Metrología
(Coef. De dilatación térmica) = 11,5 x 10-6 °C-1
)()()()()()()( pppt luululCu αθαθθα ++=∆
α
θ (Desviación de la temperatura del bloque a la temperatura de referencia de 20 ºC
durante la medición: tp - 20). La temperatura media del bloque durante la medición fue
de 19,9 ºC±0,02 ºC, considerándose una distribución rectangular. Por tanto: θ=-0,1 ºC
Cu º1005,0)( 6−⋅=α Decisión del evaluador
3º02,0
)(C
θu =nmCu t 6,6)(
∆≈
Ejemplo Calibración de bloques patrón longitudinales, BPL
9. Incertidumbre debida a la resolución de la máquina u(res)
mm 01,02/01,0 µµ
Se sabe que la resolución del equipo de medida es E = 0,01 µm. Por lo tanto,considerando distribución rectangular:
Curso Académico 11-12Introducción a la Metrología
nmmm
resu 9,212
01,0
3
2/01,0)( === µµ
22 3,8)( nmresu ⋅=
Y la varianza será por tanto el cuadrado de la desviación típica:
Ejemplo Calibración de bloques patrón longitudinales, BPL
10. Incertidumbre típica combinada uc(l)
)()()()()()( 222222resttpc CuCuCudululu
p++++= ∆∆
2222222 3,81,441,448,1610·4)( nmnmnmnmnmlu ++++=
Curso Académico 11-12Introducción a la Metrología
2222222 3,81,441,448,1610·4)( nmnmnmnmnmluc ++++=
nmluc 3,84,888,1610·4)( 2 +++=
nmluc 6,22)( =
Ejemplo Calibración de bloques patrón longitudinales, BPL
11. Incertidumbre expandida, U
La incertidumbre expandida U se obtiene multiplicando la incertidumbre típica
combinada uc(l) por un factor de cobertura k.
Curso Académico 11-12Introducción a la Metrología
nmluU c 2,45)(2 =⋅=
Para el ejemplo, consideraremos un factor de cobertura k=2,equivalente a unnivel de confianza del 95%.