MODELARE, SIMULARE SI ELEMENTE DE IDENTIFICARE

PROFESOR: OCTAVIAN PROSTEAN (B027B)

CURS1

Modelarea, identificarea si simularea sistemelor.

Terminologii de baza.

Notiunile de modelare, identificare si simulare presupun activitatea complexa

asociata cu constructia modelelor sistemelor reale si simularea (reproducerea)

functionarii lor pe un calculator. In aceasta abordare se considera 3 elemente principale:

- Sistemul real

- Modelul

- Calculatorul,

interesand defapt relatiile dintre ele. Modelarea respectiv identificarea descrie in

principal relatia dintre sistemul real si model, iar simularea se redera la relatia model-

calculator.

Sistemul real reprezinta acea parte a lumii reale care prezinta interese d.p.d.v al

observatorului. Ca o regula generala se poate afirma ca sistemul real este sau poate

deveni o sursa de date de comportare, reprezentata intr-o forma primara ca o

inregistrare, in care x reprezinta orice variabila de interes, T

reprezinta timpul masurat in unitati convenabile.

Datele comportamentale reprezinta inregistrarea traiectotiilor intrarilor sau starilor sau

iesirilor pt anumite intervale de timp semnificative. Ceea ce constituie sistem depinde de

punctul de vedere al observatorului. Sistemul poate fi de exemplu un AO compus din

elemente electronice sau o bucla de reglare care cuprinde si acel amplificator sau de

exemplu o unitate de prelucrare chimica care cuprinde o multitudine de astfel de bucle

de reglare.

Este de remarcat ca multe modele diferite descriu anumite parti ale aceleasi

realitati. Depinde d.p.d.v al observatorului si de intentiile lui care parte a realitatii e

descrisa.

De exemplu: un rezistor electronic ca o componenta fizica poate fi studiata si descrisa din

mai multe puncte de vedere:

R[Ω] poate fi descris de o relatie liniara intre U[V] si I[A]: U=R*I;

R, m[kg], d.p.d.v. al comportarii ca un corp mecanic, unde

Fgravitationala=m*g;

R, J[kg*m2] poate fi considerat ca un corp mecanic in rotatie, M=moment

tensiune [N*m], α=acceleratie unghiulara [rad/s2], M=J*α ;

Se poate afirma, deci, ca o importanta decizie in selectarea modelului e selectia

frontierelor (limitelor) sistemului. Aceste limite stabilesc care parte a realitatii va fi luata

in considerare. Aceasta parte delimitata va fi numita sistem. Celelalte parti care nu

apartin realitatii fac parte din mediul inconjurator. Selectarea frontierelor sistemului

poate fi uneori critica. Daca sunt selectate frontiere prea largi va fi dificil sa se estimeze

parametrii modelului, poate deveni chiar imposibila o analiza corecta a unui astfel de

model, multe din rezultatele importante putand fi mascate in spatele unor detalii

nerelevante. Pentru frontiere prea inguste nu vor fi incorporate in model toate aspectele

relevante ale sistemului.

Dupa trasarea liniei de demaratie intre sistem si mediul ambiant se poate caracteriza

sistemul prin relatii intrare-iesire.

Sistemul real care se analizeaza se numeste sistem /proces tehnic /proces.

Primul pas facut in studiul unui sistem real e constructia modelului lui.

Modelul e o reprezentare a aspectelor esentiale ale unui sistem real care prezinta

cunostinte asupra acelui sistem sub o forma utilizabila [Peter Eykhoff]. Nu e necesar ca

modelul sa fie o descriere amanuntita a mecanismului real al sistemului, el poate doar sa

mimeze comportarea sistemului.

Exemplu: Se poate construi o proteza de brat comandata fara a intelege cum omul

trebuie sa isi foloseasca membrele, importanta fiind partea utilizabila a cunostintelor.

Daca modelul e prea complicat utilitatea lui devine discutabila. O caracteristica esentiala

a construirii modelului e o relativa simplitate. Modelul e reprezentare de complexitati

redusa a unei realitati.

Un model al unui sistem este un instrument care se foloseste pt a raspunde la

intrebari despre sistem fara a face un experiment pe sistem [Lennard Ljung]. Intr-o astfel

de abordare modelele sunt prezente in orice domeniu. De exemplu un model al

comportarii unei persoane permite sa se spuna ca e amabila, acest model ne permite sa

raspundem la o intrebare de tipul cum sa raspundem persoanei repective daca ii cerem o

favoare.

Modele mentale: Exista modele pt sisteme tehnice bazate pe intuitie si experienta. De

exemplu: imaginea unui specialist despre modul cum reactioneaza un proces industrial la

diferite actiuni e un model mental bazat pe antrenament si experienta. Invatatul

condusului unei masini consta partial in dezvoltarea unui model mental al proprietatilor

conducerii masinii

Modele verbale: Comportarea sistemului in anumite conditii e descrisa in cuvinte. E

nevoie de o cunoastere a realitatilor calitative dintre var. sist. Ex: In sociologie,

psihologie, economie. Ex: daca rata bancare creste, creste si rata somajului. Sist. Expert

sunt ex. De modele verbale formalizate. Este important sa deosebim modelele mentale

de cele verbale

Ex: Model mental in condusul unei bicicletei; nu e usor a-l traduce in model verbal;

Modele fizice: - modele care imita sistemul

- Modele iconice – machete construite la scara (macheta unei case)

- Modele analogice – utilizeaza un se de proprietati fizice de o anumita natura

pentru a reprezenta alte proprietati fizice de alta natura

Modele matematice: (abstracte sau simbolice). Atributele fizice ale sistemelor reale sunt

notate printr-un set de variabile, iar relatiile dintre variabile

(distanta,curent,debite,somaj, etc) sunt exprimate ca relatii matematice.

Modele hibride: - imbina caracteristicile modelelor analogice si matematice. Contin si

componente ale sistemului real intr-o conexiune cu un calculator numeric (care

implementeaza un MM)

Toate modelele au un anumit domeniu limitat al validitatii. Anumite modele sunt

valide numai pentru informatii calitative aproximative. Ex: cresterea pretului petrolului

duce la scaderea produsului brut.

Cele mai multe modele verbale sunt de acest tip. Alte modele pot fi valide pt

anumite valori. Ex: un anumit model al pendulului poate fi valid pt val mici ale pozitiei

unghiulare

Desi legile fizicii repr. modele matematice cu un domeniu larg de validitate, chiar si

aceasta este limitata. In domeniul tehnic, intr-o prima instanta validarea e masurata

cantitativ prin concordanta dintre datele sistemului si cele generate de sistem in aceleasi

conditii experimentale.

date sistem real = date generate pe baza de model (modul de a testa validitatea unui model)

Se pot evidentia 3 niveluri de apreciere a validitatii unui model:

- Model valid replicativ (repetitiv) daca datele generate de model concorda cu cele obtinute deja de la sistem.

- Model predictiv valid daca poate prezice datele sistemului - Model structural valid – daca pe langa comportarea sistemului real poate

reflecta modul in care sistemul real functioneaza. Modelul considerat ca reprezentare satisfacatoare a unui sistem real e in general rezultatul unor iteratii parcurgand de fiecare data ciclul: sistem -> model -> validare -> sistem

CURS 2

Sistemul real se considera modelat sau identificat daca e posibila determinarea

comportarii sale ulterioare in cazul aplicarii in intrare a unor excitatii cunoscute. In acest context problema fundamentala a identificarii sau modelarii se traduce in fapt in problema determinarii unui model matematic adecvat pentru sistem, problema abordabila in 2 moduri posibile:

- Pe cale analitica sau prin deductie – determinarea MM pornind de la cunoasterea legilor fizicii care guverneaza dinamica sistemelor respective. Modelele astfel obtinute au un domeniu mare de validitate, mai mult parametrii unor astfel de modele au semnificatii fizice directe. Se vorbeste in aceste cazuri de modelarea analitica sau identificare analitica sau modelare

- Pe cale experimentala sau prin inductie – daca din cunoasterea partiala a functionarii sistemului se poate dispune de o anumita cantitate de cunostinte apriorice care sa faca posibila fixarea structurii modelului, ceea ce mai ramen de facut este determinarea valorilor numerice ale parametrilor care intervin in modelul ales plecand de la o secventa de masuratori ale intrarii si iesirii. Se vorbeste in acest caz de identificare experimentala sau pe scurt identificare

Deci in cadrul identificarii se pot deosebi 2 etape: una calitativa care consta in fixarea structurii modelului si una cantitativa care consta in determinarea valorilor numerice ale coeficientilor structurii alese, etapa denumita exprimarea parametrilor. O posibila schema pt identificarea unei relatii intre cunoasterea structurala apriori si cunoasterea prin masuratori apriori, in etapa de constructie a modelului e data de Eykhoff si e reprezentata in urmatoarea figura:

Intr-o astfel de abordare identificarea analitica ofera informatii apriorice procedurii

de identificare experimentala ( de identificare a parametrilor). Daca este posibila determinarea modelului doar prin deductie, un asemenea model se numeste model de tip cutie alba(white box). Daca nu exista nici o informatie apriori (nici de structura, nici interna) si identificarea e pisibila doar pe cale experimentala se vorbeste de model cutie neagra(black box) . Cantitatea de informatie apriorica depinde in general de cantitatea de aplicatii

Cauzalitatea - E introdusa artificial in problema de analiza sau sinteza in vederea rezolvarilor

dintr-o anumita abordare - Nu e det. Fizic; se spune ca realitatea nu e deranjata de cauzalitate

Ex: Legea lui Ohm : U=R*I sau I=

*U

Din punct de vedere matematic sau fizic relatiile sunt identice, ele difera doar prin prisma abordarii cauza-efect, practic prin asigurarea marimilor de intrare respectiv iesire. Aceasta asigurare e echivalenta cu introducerea cauzalitatii in model in functie de interesele modelistului.

Reprezentarile grafice: - Sunt introduse pentru a ajuta in descrierea modelelor ( a detalierii lor) deoarece

vizualizeaza interactiunea dintre variabile - Sunt utilizate in general diverse reprezentari de la cele specifice (particulare)

dependente de componentele reale la cele generale de aplicabilitate larga - Desenul – impresia artistului - Circuitele - specifice unui anumit domeniu de aplicatii cu standardele respective - Diagramele – reprezentari abstracte a dinamcii sistemelor care in general nu

depind de domeniul de aplicatii Secventiale sau seriale sau consecutive

o Organigrame o Diagrame PERT

Paralele sau simultane – in domeniul tehnic Cauzale – BOND Acauzale

In concluzie: Modelul reprezinta o reflexie actuala a intelegerii modelistului asupra realitatii, a componentelor sale si a intercorelatiilor existente. Modelarea e o parte integranta a tuturor stiintelor si tehnologiilor ( filozofie->sociologie -> psihologie -> economie -> fizica -> domenii tehnice). Modelarea reprezinta mai mult o arta decat o tehnica. Consideratii privind simularea: Simulatie -> capacitatea de a reproduce sau imita ceva Simularea reprezinta o tehnica de realizare a experientelor utilizand o structura de calcul, care implica utilizarea unor MM (sau logice) care descriu comportarea sistemelor reale ( sau a unor componente ale lui) pe durata unui interval de timp t. (mic sau mare) Simularea e utilizata atat la proiectarea de sisteme noi cat si la analiza celor existente in scopul imbunatatirii performantelor. Ea presupune implementarea pe o structura de calcul a infromatiilor continutului in MM. Aceasta presupune ca MM sa fie cunoscut, iar pe de alta parte ca repr sist pe structura de calcul sa constituie un sistem echivalent cu cel considerat. C reprezinta tot un sistem fizic – realizarea cu elem de calculator al MM. C si S sunt sisteme echivalente, echivalenta lor fiind asigurata de un MM unic pentru ambele. Se spune ca C il simuleaza pe S daca si numai daca C conserva structura si relatiile din MM. In aceasta acceptiune orice observatie asupra lui e valabila si pentru S. In cazul in care MM conduce la un algoritm complicat de realizare pe structura de calcul poate fi utilizata o prelucrare a lui obtinundu-se o alta forma de model MS – model de simulare, care conserva structura si relatiile din MM (desi si din S) si acesta sa dicteze implementarea pe structura de calcul. In aceasta acceptiune simularea presupune ( S, M, MS, C), MS punand in evidenta orientarea spre o anumita structura de calcul

Se stie ca un sistem neted poate fi descris de un sistem de ec dif. ẋ(t)=f(x(t),u(t)) , x0

y(t)=G(x(t)) - pt sist fizic realizabile

Simularea analogica se bazeaza pe inlocuirea elem. de structura a acestei reprezentari a

sistemului cu elementele fizice ale structurii analogice, care realizeaza functiile f si g,

integrarea ei repectiv crearea leg fizice care asigura structura sistemului

In simularea numerica se porneste de la aceeasi structura, fiecarui element punandui-se

in corespondenta o procedura prin care se implementeaza algoritmul de evaluare a fct

asociate elementelor respective. Legatura dintre elemente e simulata numeric prin

transmiterea valorilor necesare procedurilor de evaluare a functiilor. In simularea

numerica toate marimile iau valori discrete, simularea desfasurandu-se in pasi

corespunzatori momentelor de timp luate in considerare, trecerea de la un pas la altul

fiind asigurata de un progr de control al dinamicii simularii. La fiecare pas are loc

evaluarea tuturor functiilor care constituie simulatorul C.

Modelarea nu e componenta in procesul de simulare a comportarii sistemului

pentru anumite situatii, ce repr un instrument indispensabil in realizarea simularii.

SEMNALE DE TEST ( Intrare )

De importanta esentiala pentru realizarea simularii respective indentificarii

sistemelor e faptul ca sistemul trebuie sa fie excitat. Semnalul de test alaturi de modelul

ales si de abordarea utilizata conditioneaza efectiv rezultatul oricarui experiment de

simulare respectiv identificare. In cazul in care e admisa aplicarea unui semnal de test

libertatea de a alege un astfel de semnal constituie un aspect important, in astfel de

cazuri trebuie luata in considerare largimea de banda a semnalului, energia si

amplitudinea maxime admise precum si proprietatile cu privire la generarea lor si

respectiv prelucrarea informatiilor pt acel semnal de test.

Modele de indentificare utilizand semnale de test sunt metode active care cauta ca

prin aplicarea unor anumite tupuri de semnale sa obtina informatii care fara un effort de

calcul sporit sa conduca la modelul cautat. Se utilizeaza atat semnale de test deterministe

cat si aleatoare. Identificarea cu semnale de tip treapta sau sinusoidale sau binare de

spectru predeterminat se complica mult in cazul proceselor supuse perturbatilor,

tehnicile de corelatie sunt mult mai bine adaptate pentru eliminarea zgomotelor.

Semnalul de test recomandat in aceste cazuri e un proces aleator de tipul zgomotului alb

sau o aproximatie a acestuia, cum ar fi semnalele pseudoaleatoare binare. Exista o mare

libertate de alegere a semnalelor de test daca se dispune de informatie apriorica asupra

sistemului, alegerea semnalelor fiind rareori critica.

Semnale deterministe (aperiodice)

- Semnale de tip impuls si respectiv treapta

Se utilizeaza ca semnale de test pentru informarea in domeniul timpului. Prezinta

interes semnalele care se apropie ca proprietati de:

- Functia impuls Dirac (impul unitar)

- Semnalul treapta unitara

Obtinerea practica a unor astfel de semnale nu e posibila, ele reprezinta forme ideale

avand importanta teoretica in definirea relatiilor pe care se bazeaza modelele avute in

vedere.

In practica se utilizeaza semnale fizic realizabile care sa aproximeze cat mai

bine semnalele de mai sus atat in ceea ce priveste expresia matematica cat si

proprietatile importante pe cele ideale. Astfel timpul de crestere de la 0 -> 1 a semnalului

treapta e mic in comparatie cu constantele de timp principale ale procesului incat el

poate fi neglijat. Ca rezultate immediate ale aplicarii acestor tipuri de semnale e

obtinerea unor modele neparametrice :

Utilizarea unor asemenea tipuri de semnale de test prezinta si unele neajunsuri

astfel utilizarea unui semnale de tip treapta unitara permite obtinerea imediata a

factorului de amplificare, a timpului mort, a cond de tip principale a procesului testat, dar

determinarea directe din raspunsul indicat a const de tip mici e dificila si imprecisa. In

plus un raspuns indicial nu contine informatii despre dinamica procesului in zona

frecventelor inalte

Justificare:

- Se aplica transformata Fourier semnalului de intrare:

Semnalul contine putere doar la pulsatii joase.

Alegerea semnalului de intrare e importanta fct de obiectivele avute in vedere:

- Daca intereseaza numai constanta de timp dominanta e bine un semnal de

intrare de tip treapta, dar exista situatii in care trebuie considerate si const de

tip parazite caz in care e nevoie sa se aleaga un alt tip de semnal de test

In general se numeste semnal bun un semnal de intrare care are un spectru bogat

de frecvente si contine putere pe acele frecvente pt care intereseaza sa se testeze

comportarea procesului.

Semnale sinusoidale:

- Utilizarea lor ca semnale de test permite obtinerea cu usurinta a informatiilor

din domeniul frecventelor

- Prezinta avantaje: se pot limita masuratorile la frecventele de interes, au

proprietatea de ortogonalitate, ipotezele de liniaritate sunt usor de verificat,

permit testarea spectrului procesului intr-o zona larga prin modificari

corespunzatoare frecventeti, multe din problemele de analiza a stabilitatii sunt

formulate pe vaza caracteristicii de frecventa s.a.m.d

Pentru a se obtine prin combinarea unor semnale sinusoidale monofrecventiale de

anumite amplitudini si pulsatii facilitandu-se obtinerea simultana a mai multor puncte ale

caracteristicii de frecventa.

OBS: Prelucrarea datelor experimentale in cazul utilizarii ca semnal de test a unui

alt semnal periodic cum ar fi teoremele de ompulsuri rectangulare sau triunghiulare se

face perfect similar cu situatia in care semnalul de test e unul sinusoidal.

Ex: Justificare:

-aceasta deoarece orice semnal

periodic poate fi descompus in serii

Fourier, deci practic in componente

fundamentale si in serie de armonici

avand ca pulsatii multiplii ai pulsatiei de

baza. Procesele reale au caracteristici de

tip FTJ retinand numai un nr limitat de componente armonice (sinusoidale) ale

semnalului periodic; in exemplu considerat numai fundamentala

Utilizarea unui tip sau altul de semnal de test periodic depinde in esenta doar de

disponibilitatea in aparatura de generare. Datoria similitudinii in prelucrarea datelor

experimentale in general se opereaza cu semnale sinusoidale in dezv analitice, fiind mult

mai usor de operat matematic cu astfel de tipuri de semnale

Semnale nedeterministe

Zgomotul alb

Se considera un proces (semnal) stohastic u(t) a carui densitate spectrala e

constanta pentru orice valori a lui ω (pulsatia).

Su – densitatea spectrala (de putere) a semnalului u Su(ω) = So = const. , ω Є (-∞ , + ∞ )

So – constanta pozitiva Lumina alba contine toate frecventele, prin analogie notiunea de zgomot alb se

utilizeaza deoarece are densitatea de putere constanta pentru toate frecventele; u(t) numit prin analogie cu optica zgomotala.

CURS 4 Se considera functia de autocorelatie a semnalului u – de forma impulsului Dirac

Functia de intercalatie:

Functia de autocorelatie:

Functia de densitate spectrala:

Functiile de corelatie cu functiile de densitate spectrala de putere sunt perechi Fourier.

In acest context densitatea spectrala a semnalului u este:

Rezolvarea integrarii se bazeaza pe perioada de esantionare a impulsului dirac si anume

∫ dintre produsul unei functii cu un impuls dirac e egala cu valoarea functiei in momentul aplicarii impulsului Dirac

Rezulta deci ca functia de autocorelatie a zgomotului alb e o functie Dirac δ cu aria egala cu densitatea spectrala de putere

Daca in intrarea unui sistem n se aplica un semnal de tip zgomot alb rezulta ( din forma lui Su=const) ca vor fi testate taote modurile procesului, proprietate extrem de utila pentru un semnal de test. Conceptul de zgomot alb e unul fictiv, generarea unui astfel de semnal cu o densitate spectrala constanta intr-o banda definita de frecventa ar necesita un generator de putere infinita. Totusi conceptul e extrem de important in analiza sistemelor liniare, de cele mai multe ori semnalul stohastic aplicat in intrare are o largime de banda cu mult mai mare decat cea pe care sistemul e capabil sa o transfere. In aceste ipoteze presupunerea ca semnalul de intrare e zgomot alb simplifica mult calculul raspunsului sistemului fara a si introduce erori semnificative Dat. Proprietatilor de FTJ pe care le prezinta procesele industriale e suficienta utilizarea unor semnale aleatoare avand densitatea spectrala constanta intr-o banda de frecventa limitata. Se introduce astfel conceptul frecvent utilizat de zgomot alb de banda limitata, care poate fi definiti analitic:

Functia de autocorelatie a unui asemenea semnal:

Realizarea fizica a unui astfel de semnal ar presupune deasemenea existenta unui FTJ ideal care sa atenueze complet si brusc componentele cu pulsatii superioare lui ωc. FTJ reale atenueaza considerabil frecventele inalte dar nu pot conduce la variatii discountinue ale caracteristicii. Semnalele aplicate in practica au functia de densitate spectrala :

Iar functia de autocorelatie:

Cu cat parametrul μ este mai mare functia de autocorelatie va fi o aproximare mai buna a impulsului Dirac. Semnale aleatoare binare

- Semnalele descrise pana in acest moment sunt semnale aleatoare statioanre care evolueaza continuu in timp

- Semnale discontinue ( de tipul semnalului telegrafic ) putand lua numai 2 valori discontinue in amplitutine (-a, +a), (0,+a) iar trecerea de la o valoare la alte are un caracter aleator

In cazul in care schimbarea polaritatii semnalului poate avea loc doar pentru multiplii ai unui interval elementar Δ, deci intervalele de comutare sunt discretizate si pot obtine o functie de autocorelatie.

Un astfel de semnal e cunoscut sub denumirea de semnal aleator binar cu intervale discrete. Printr-o alegere potrivita a implementarii (perioada de esantionare cat mai redusa) aceasta functie de autocorelatie poate aproxima oricat de bine se doreste

impulsul Dirac. Acest tip de semnal are avantajul ca poate fi intarziat cu usurinta utilizand registru de deplasare. Semnalele aleatoare binare, pastrand prop similare cu cele ale zgomotului alb de banda limitata, au o serie de avantaje care decurg din posibilitatile aplicarii tehnicii numerice in utilizarea practica a op necesare det fct de corelatie. Prezinta dezavantajul unei durate de realizare lungi pentru a asigura formele aratate pt functia de autocorelatie.

Forma functiei de autocorelatie aratata poate fi obtinuta pentru secvente ale semnalului de lungime infinita. Pentru secvente finite val celor 2 functii se modifica ( trebuie determinate pentru fiecare caz in parte ). Se prefera utilizarea unor semnale binare periodice, deci deterministe a caror functie de autocorelatie este aproape identica cu cea a semnalelor binare stohastice. Din acest motiv aceste semnale se numesc semnale binare pseudo-aleatoare sau pseudo-aleatoare binare (SPAB).

Semnale Pseudo-Aleatoare Binare (SPAB)

- Sunt semnale deterministe, deci nu aleatoare generate dupa o lege bine cunoscuta care se apropie foarte mult ca proprietati statistice de zgomotul alb. Se prezinta sub forma unor succesiuni de valori binare care se repeta dupa o anumita perioada, cele mai frecvent intalnite fiind cele de perioada maxima, fiind generate re relatii de recurenta liniara. N=2p-1 , p=intreg , N- perioada; Principalele proprietati ale unui astfel de semnal sunt urmatoarele: a) Semnalul se prezinta ca o succesiune de impulsuri de durata Δ si de multiplii

de Δ putand lua valorile (+a,-a) sau (+a,0) b) E un semnal periodic, nr maxim de intervale elementare dintr-o perioada

este N=2p-1 , durata maxima a unei perioade fiind NΔ c) In fiecare perioada numarul de intervale in care semnalul are val (+a) excede

cu o unitate numarul de intervale elementare in care are valoarea (-a); d) Permutarea ciclica in cadrul unei perioade produce un SPAB intarziat fata de

cel permutat e) Suma modulo 2 (produsul) a 2 secvente intarziate una fata de alta produce

tot un SPAB de perioada maxima, dar retardata: Exemplu:

CURS 5: N=2p-1; p=3 => N= 23 – 1 = 7 X1: 1 1 1 -1 -1 1 -1 Reprezentarea grafica a acestui SPAB constra intr-o frecventa de genul:

Pentru N suficient de mare se poate considera secventa centrata. Calculul functiei de autocorelatie pe o perioada

∑

= a2 , k=nN

, k≠ nN

Rezulta deci ca functia de autocorelatie a unui SPAB maximal se apropie de cea a unui zgomot alb.

Pentru un SPAB maximal continuu functia de autocorelatie are forma:

SPAB-ul de perioada N= 2p – 1 pot fi generat cu usurinta cu un registru de deplasare cu p etaje cu reactia constand din suma modulo 2 a semnalelor sulese de pe anumite etaje ale registrului. ( GT = generator de tact) :

Obtinerea unui SPAB de lungime maxima cu un astfel de registru de deplasare e posibila doar pt anumite combinatii logice pe legatura de reactie; in general rezultand secvente de lungimi mai mici. Determinarea acelor combinatii care sa asigure perioada de lungime maxima cu numarul minim de functii logice de tipul suma modulo 2 constituie o problema de minimizare logica care poate fi solutionata prin metode analitice

- Exprimare matriceala si determinarea functiei caracteristice - Metode grafice cum ar fi diagramele de stare

Starea registrului de deplasare poate fi determinata complet de vectorul de stare x(t)=[x1(t),x2(t),…,xp(t)]T , t=0,1,2…. Functionarea registrului de deplasare cu reactie suma modulo 2 de tipul celui reprezentat in figura poate fi descrisa prin ecuatii de stare clasice:

Starea initiala x(0) a registrului de deplasare poate fi oarecare dar diferita de 0: x(0)≠[0,0,0….,0]T . Starea la orice moment de timp t=n poate fi complet determinata daca se cunosc valoarea coeficientilor ai , i=1..p; si respectiv daca se cunoaste starea initiala x(0) => x(n) = φux(0) – relatia care evidentiaza posibilitatea functionarii periodice a registrului de deplasari daca perioada are N intervale intermediare : X(N) = φux(0) = x(0) φN = I Secventele generate in modelul aratat avand perioada maxima N = 2p – 1 deoarece din nr total de stari posibile 2p se exclude starea 0 se numesc SPAB maximale. Modul in care trebuie construita reactia pentru a obtine SPAB-uri maximale utilizand registre de deplasare cu numar variat de bistabile e dat de tabelul urmator:

OBS: Secventa generata prin relatia de stare mentionata poate lua numai 2 valori : 0 sau 1, de aceea se numeste SPA-Binara; se poate modifica cu usurinta pentru a obtine val +a sau -a : in ecuatia de stare operatia modulo 2 este inlocuita cu modulo m si se va obtine SPAB-uri cu m nivele, care insa nu mai pot fi generate prin hard; generarea prin soft fiint relativ simpla => SPAB-uri – destinate identificarii sistemelor neliniare Intarzierea frecventelor SPAB SPAB-ul obtinut prin relatii de recurenta liniara prezinta avantajul esential de a permite obtinerea simpla a secventelor intarziate necesare in calculul functiilor de corelatie. Suma modulo 2 a doua astfel de semnale decalate in timp cu kΔ, unde k=intreg, genereaza un semnal cu aceleasi proprietati dar decalat la randul sau fata de acesta. Notand cu x semnalul de baza ( de ex cel de la intrarea in primul etaj al registrului ), cu D – op de intarziere cu o unitate Δ, operatia de obtinere a unei variante intarziate a semnalului de baza poate fi scrisa:

Primele variante intarziate Dx, D2x,…,Dpx se obtin direct de la diversele etaje ale registrului de deplasare care genereaza SPAB-ul respectiv. Pe baza lor, folosind relatia scrisa se pot obtine celelalte val intarziate. Pentru a se evita efectuarea in seria a unui numar prea mare de operatii suma modulo 2, care luand in considerare viteza de lucru finita a elem logice pot introduce intarzieri care deplaseaza artificial semnalul SPAB se cauta numarul minim de operatii necesare pentru a obtine secventa intarziata. Utilizand op de intarziere, functionarea generatorului poate fi descrisa cu relatia : ( D5 xor D2)x=x, sau avand in vedere proprietatea operatorului suma modulo 2, diferenta algebrica dintre e si – dispare, considerand D0=I=1 =>(D5 xor D2 xor I) = 0 Tinand cont si de caracteristica liniara al operatorului suma modulo 2 se pot deduce relatiile de generare a diverselor variante intarziate:

MODELE Consideratii generale: Asa cum s-a mentionat deja metoda cea mai satisfacatoare pentru reprezentarea comportarii unui sistem fizic este de-al reprezenta pintr-o descriere matematica. Existand de sine statator, externa realitatii fizic masurabile aceasta reprezentare sau descriere matematica poate fi abordata independent. Modelul unui sistem particular are putere de generalizare si abstractizare, el fiind acelasi pt o clasa de sisteme echivalente cu sistemul considerat initial indiferent de natura fizica a fenomenelor care-l caracterizeaza. Clasificare: Se va realiza in continuare o trecere in revista a principalelor modele fara se urmareasca o tratare exhaustica a problematicii:

- Modelele cu parametrii concentrati sunt descrise prin ecuatii diferentiale (ordinare)

- Modelele cu parametrii distribuiti sunt descrise prin ecuatii cu derivate partiale - Modelele liniare respecta principiul superpozitiei

u1 -> y1 u2 -> y2 αu1 + βu2 -> αy1 + βy2

- Modelele neliniare nu respecta principiul superpozitiei - Modelele invariante au parametrii constanti - Modelele variante nu au parametrii constanti - Modelele continue au t Є R => ec. diferentiale - Modelele discrete au t Є N => ec cu diferente - Modelele deterministe au iesirea det doar de intrari cunoscute - Modelele stohastice (aleatoare): in model sunt incluse si influentele unor marimi

aleatoare care nu sunt masurabile - Modelele SISO au u si y marimi scalare - Modelele MIMO (SIMO/MISO) au cel putin una din marimi vetoriala - MM-II : u->y - caract dependentei directe intrari-iesire - MM-ISI : u->x->y - Modelele MM-II parametrice: parametrii pot fi evidentiati ( de ex: caract. Bode ) Procesele industriale sunt in marea lor majoritate neliniare, totusi in marea majoritate a cazurilor intereseaza comportarea dinamica la variatii mici in jurul unui punct stationar de functionare. Pentru astfel de excursii mici ale variabilelor in jurul punctului de functionare, un model liniar poate aproxima suficient de bine comportarea procesului real

Modele deterministe parametrice cu caracteristica intrare-iesire (MM-II) :

o Ecuatia diferentiala (cazul continuu) o Ecuatia cu diferenta (cazul discret)

Cazul Continuu : ecuatia diferentiala

Forma ecuatiei diferentiale generale care descrie comportarea dinamica a unui sistem (proces) monovariabil este :

Pentru sisteme fizic realizabile trebuie indeplinita conditia na>nb In cazul liniar coeficientii ai si bj nu depinde de u sau y sau derivatele lor. Daca in plus ele nu depinde nici de timp ecuatia este cu coeficienti constanti deci sistemul invariant. Daca coeficientii sunt de tup ai(t), bj(t) ecuatia este variliniara, iar sistemul este variant; In prezent tendinta este de a optimiza cat mai rar modelele continue ( atat operatia de masurare cat si cea de prelucrare a datelor e discreta). Modelele discrete fiind mult mai flexibile decat cele continue, utilizarea lor pentru o analiza, predictie, etc este mult mai simpla. Cazul discret : ecuatia cu diferente

Pentru descrierea comportarii dinamice a sistemelor in care sunt disponibile numai valori esantionare ale semnalelor din intrarea si iesirea sistemelor (sisteme discrete) in locul ecuatiilor diferentiale se utilizeaza ecuatii cu diferente, care pentru cazul SISO are urmatoarea forma generala:

Unde u(t) si y(t) se considera pentru t= 0, T, 2T ….. si T=perioada de esantionare. De obicei se opereaza cu timp normalizat ( impartit la perioada de esantionare). Polinomul A(q-1) = 1 +a1*q

-1 + … + ana*q-na e pol. Armonic B(q-1) = b0 +b1*q

-1 + … + bnb*q-nb q-1 = operator de intarziere cu 1 pas => q-1u(t) = u(t-1) q-ku(t) = u(t-k) Polinoamele A(q-1) , B(q-1) se consideraq prime intre ele. y(t) +a1y(t-1) + anay(t-na) = b0u(t-k) + b1u(t-k-1) + … + bnbu(t-k-nb) Determinarea modelului inseamna determinarea coeficientilor ai,bj si respectiv a parametrului de structura na,nb,k; Proprietati:

Conditia de realizabilitate a modelului – modelul sa fie cauzal : iesirea sa depinda de valori anterioare ale intrarii Daca k=0 => avem transmitere instantanee => y(t) este det. de u(t)

Daca k>0 – conditia de cauzalitate; care pentru continuu era na>nb; Simplificare.Descriere. Se poate considera si cazul k=0 daca polinomul B(q-1) se ia de forma: B(q-1) = b1*q

-1 + … + bnb*q-nb , pentru acest caz k=0 nu mai este o conditie restrictiva

Conditia de stabilitate a modelului: polinomul A(z) sa aibe toate zerourile in afara cercului unitar; z=variabila complexa, arbitrara, inlocuind q-1 Polinomul ZnaA(z-1) = zna + a1zna-1 + … + ana se numeste polinom reciproc si are zerourile in cercul unitar (C.U.) Daca A(z)≠0 pentru oricare z Є C.U. => ZnaA(z-1) ≠ 0; pentru oricare z Є exteriorul cercului unitar Daca A(z) are pe z ca zerouri => polinomul reciproc ZnaA(z-1) va avea pe z-1 ca zerouri.

In cazul MIMO (multivariabil) polinoamele A(q-1) , B(q-1) sunt polinoame matriciale in operatorul de intarziere. A(q-1) = I + 1 +A1*q

-1 + … + Ana*q-na B(q-1) = B0 +B1*q

-1 + … + Bnb*q-nb , unde Ai, Bi sunt matrici Dim Ai = ny x ny Dim Bi = ny x nu Modele deterministe parametrice cu caracteristici intrare-iesire in domeniul operational -cazul continuu : functia de transfer (f.d.t)

F.d.t. se obtine,deci, aplicand transformata Laplace ec. dif. in cazul ci nume pt:

- Cazult discret : f.d.t corespunzator acestui caz se obtine prin aplicarea transformatei Z in c.i. nule => se ajunge pt k=0 la :

Modele deterministe parametrice cu caracteristici de stare: MM-ISI

- Cazul continuu : forma generala a MM-ISI :

- Cazul discret: Prezenta lui D => transmiterea instantanee Conditia de realizabilitate fizica ( cauzalitate) : D=0

Proprietati: - Model instrinsec cauzal ( pt D=0)

Consideratii privind identificarea modelului de stare Rezultat: O transformata liniara nesingulara lasa invarianta f.d.t., adica existand w(t) = Q*x(t), unde Q = matrice nesingulara ( det ≠ 0 => inversabila, inversa = adjuncta/det), adica noul sistem are aceeasi f.d.t. Faptul ca f.d.t. H(z) nu e afectata de o transformare liniara a variabilelor de stare arata doar ca nu toti parametrii modelului de stare vor putea fi determinati din masuratori intrare-iesire. Se spune ca modelul general MM-ISI nu e identificabil.

Se pune intrebarea daca nu exista transformari liniare care sa conduca la modele de stare cu un numar de parametrii < decat reprezentarea generala data si care sa fie identificabil. Exista numeroase astfel de transformari, modelele de stare cu cel mai mic numar de parametrii se numesc forme canonice si sunt identificabile din date de intrare-iesire Ex: forma companion matriceal:

Modele neparametrice:

- Cazul continuu : functia pondere Pentru sisteme liniare invariante relatia de legatura in domeniul timp intre intrare si iesire e data de integrala de convolutie:

h=functie pondere = raspunsul sistemului la impuls Dirac

Functia pondere: sol. a ec. diferentiale date, cand c.i.=0 si cand u=impuls Dirac adica:

Proprietati: Pentru procese realizabile fizic trebuie respectata conditia de cauzalitate h(t)=0 pt t<0 (lat=0 se aplica semnalul de intrare) Daca procesul e stabil si durata regimului tranzitoriu e Tr conditia de stabilitate e h(t)=0 pentru t=Tr (anularea regimului tranzitoriu) Secventa de ponderare – cazul discret al fct. Pondere

Suma de convolutie :

Pentru sisteme multivariabile h(t) e o matrice de dim (ny x nu ) Raspunsul indicial (caz continuu) -intrarea e o treapta unitara :

-pentru procese stabile conditia este h(t)=0 pentru timpi ce depasesc durata regimului tranzitoriu Pentru caz discret: Caracteristici de frecventa -Cazul continuu :

Aplicand transformata Fourier integralei de convolutie ( sau ca reteta inlocuirea lui s cu jω in f.d.t.) se obtine :

H(jω) =

, ω Є (-∞,∞ )

Pentru sisteme fizic realizabile: P(ω) -> 0 , pt ω -> ∞ Q(ω) -> 0 -Cazul discret: Se obtine similar cazului continuu utilizand insa transformata Fourier Discreta (TFD)

Modele stohastice ( aleatoare) Comportarea proceselor reale e diferentiata in general de existenta perturbatiilor. E normal in aceste conditii sa se considere caracteristicile perturbatiilor la fel de importante ca si dinamica proceselor. Abordarile moderne presupun modelarea perturbatiilor ca proces stohastic si exploatarea proprietatilor lor. Deci modelele perturbatiilor trebuie introduse in modelele proceselor din practica. In continuare se considera doar cazul discret pentru a se evita dificultatile care apar in zgomotul alb continuu, dar si in principal, avand in vedere ca prelucrarile de semnal se fac pe cale numerica. Rezultatele sunt valabile formal si pentru cazul continuu Caracteristica intrare-iesire Schema generala a sistemului perturbat :

-iesirea y e influentata nu numai de u, ci si de p1 = perturbatie sau eroare de masura si respectiv p2 = perturbatiile interne sistemului

In general procesele sunt neliniare si se opereaza cu modele linearizate. Faptul ca z(t) e adaugat doar la iesire nu inseamna ca reprezinta doar erorile de masurare, ci dat faptul ca sistemul s-a considerat linearizat se poate practic adauga in iesire (datorita aplicarii principiului superpozitiei indicat de liniaritate) continand de fapt cumulul tuturor perturbatiilor ce actioneaza in diferite puncte. Cazul monovariabil (SISO) Forma generala a structurii modelului dinamic stohastic discret linear este urmatoarea:

Unde z() e un proces stohastic discret cu densitatea spectrala rationala si care poate fi parametrizat utilizand teorema de reprezentare spectrala z(t) = H(q-1)e(t), in care e(t) reprezinta o secventa de variabile aleatoare independente de medie 0 si varianta G2 adica e un zgomot alb discret avand media 0, Ee=0 si Ee2=G2. H(q-1) e un filtru rational stabil Care C(q-1) si D(q-1) reprezinta polinoame armonice in operatorul de intarziere

Modelul general SISO pentru cazul discret :

Care in schema bloc arata astfel :

Comentarii: Forma modelului general e o reprezentare flexibila pentru un proces dinamic discret astfel ecuatia presupune implicit ca timpul mort al sistemului e unitar; presupunerea nu e una restrictiva ci e introdusa pentru simplificarea notatiilor. Daca timpul mort ar fi k ar fi necesara o translatie din u(t-k) -> u(t) ; q-ku(t) = u(t-k) Faptul ca s-a presupus ca c0= d0=1 nu e una restrictiva; daca nu ar fi unitare printr-o simpla cu d0 si prin definirea lui c0

se obtine cazul precedent.

In general in aplicatii modelul general e rareori utilizat ca atare; in general se utilizeaza forme particulare ale lui in care unul sau mai multe din polinoame in operatia de intarziere se considere unitare

ARMAX : Auto Regresive Moving Average with Exagenous Signals Model de tip autoregresie si medie alunecatoare cu semnale exogene In acest caz nd=nf=0 D(q-1) = F(q-1) =1

Semnalul exogen masurabil poate fi si variabila de comanda u(t) caz in care modelul e referit in literatura ca model de tip CARMA (control)

Presupunem ca nu exista nici o marime de intrare masurabila u Nb=0 -> B(q-1) = 0 => A(q-1)y(t) = C(q-1) e(t) (autoregresie si medie alunecatoare) In acest caz y(t) se numeste serie temporala sau serie de timp Daca in plus uc=0 -> C(q-1) =1 => A(q-1)y(t) = e(t) y(t) = a1 y( t - 1 ) – a2 y( t - 2 ) - …. - ane y( t - ne) + e(t) y(t) poate fi exprimat deci ca o functie liniara de val lui regresive Modelele de tip AR furnizeaza polii sistemului : Daca modelul A(q-1)y(t) = C(q-1) e(t) ARMA si consideram na=0 => A(q-1) =1

y(t) = C(q-1) e(t) , MA – medie alunecatoare furnizeaza zerourile sist Daca polinomul A(q-1) e constrans sa contina un factor de tipul ( e - q-1) => model de tip ARIMA – autoregresie integrat si de medie alunecatoare Daca modelul (5) na=nc =0 se ajunge la un model de tipul y(t)=B(q-1)u(t) +e(t) FIR – Finite Impulse Response; model de tip raspuns finit sau functie pindere trunchiata

Considerand secventa de pondere inclusa in suma de convolutie

. Daca se considera sistemul considerat stohastic

Daca in modelul (5) se considera nc = 0 A(q-1)y(t) = B(q-1) u(t) +e(t) model ARX – autoregresie cu semnale de intrare exogene Daca in modelul (4) consideram na=nd=0

y(t) = B(q-1) / F(q-1) u(t) +e(t) model de tip structura erorii de iesire e(t) = y(t) - B(q-1) / F(q-1) u(t) = eroare de iesire

se calculeaza ca diferenta dintre iesirea masurata si iesirea modelului Daca in modelul (4) na=0 > y(t) = B/F u(t) + C/D e(t) - modelul BOX- JENKINS – modelul cel mai utilizat in modelarea seriilor de timp Se utilizeaza frecvent modelele ARMA, AR, MA, si BOX-JENKINS Forma generala a structurii modelului care inglobeaza si cazul multivariabil (MIMO) M(Θ) – clasa de modele definite de valori posibile ale parametrilor Θ. Θ – vectorul parametrilor modelului M(Θ) : y(t) = G (q-1, Θ)u(t) + H(q-1, Θ)e(t) y : ny dimensional u : nu dimensional Θ : nΘ dimensional G,H – filtre de dimensiune corespunzatoare

Toate modelele precedente plus echivalentele lor MIMO pot fi determinate ca si cazuri particulare ale formei generale prezentate Pt ARX: G= B(q-1)/ A(q-1) ; H=1/ A(q-1)

A(q-1)y(H) = B(q-1) u(t) + e(t) Nd A(q-1) si B(q-1) sunt polinoame matriciale in operatia de intarziere de dimensiuni ny x ny sau ny x nu

EXEMPLU :

Semnale (procese) stohastice (aleatoare) Un proces (semnal) aleator (stohastic) reprezinta un proces care se desfasoara in timp si e generat, cel putin in parte de legi probabilistice. D.p.d.v. matematic un proces stohastic e o functie de 2 variabile x(k,t), unde k ia valori in spatiul esantioanelor sau realizarilor, iar t ia valori pe axa reala a timpului. Pentru fiecare k se obtine o realizare particulara a procesului stohastic care se poate nota x(k,t)= xk(t) si care e rezultatul unui experiment, inregistrarea grafica a functiei esantion numindu-se realizare. Un numar finit dar suficient de mare de esantioane constituie spatiul esantioanelor; Xk = x(t) <= valoare particulara

De exemplu: inregistrarea tensiunii de zgomot dintr-un rezistor R mentinut intr-un termostat la temperatura constanta, conectat la intrarea unui amplificator prevazut la iesire cu un voltmetru :

Efectul masuratorii tensiunii de zgomot pentru acelasi interval de timp T; reprezentarea acestor masuratori pe acelasi grafic in functie de timp se obtine o imagine reprezentativa a ansamblului a acestor realizari de tipul celui prezentate in figura. In ultima instanta procesele aleatoare sunt functii de timp ( explicite sau implicite). Experimentele realizare asupra unui proces aleator sunt puse in evidenta prin inregistrari de tipul celui exemplificat, o inregistrare de acest tip fiind o realizare a procesului aleator respectiv. Prin fixarea variabilei independente timp, t, la o valoare particulara t1 sau t2 se obtine un ansamblu de valori xi(t1) , i=1..k care constituie o variabila aleatoare x(t1) Principalele caracteristici utilizate in analiza proceselor stohastice Caracteristici de ansamblu:

- La momentul t : reprezinta caracteristica unei variabile aleatoare care e compusa din ansamblu realizarilor posibile ale procesului la momentul de timp dat.

Caracteristici de timp: - Caracteristica unei variabile aleatoare care reprezinta o realizare particulara a

procesului analizat Valoare medie : medie statistica pe ansamblul realizarilor

In practica nu dispune in general un numar suficient de mare de inregistrari ale unui proces,pentru a se putea dispune de functia de densitate de probabilitate Media temporala (pentru o singura realizare)

Media poate fi privita ca un centru de greutate al distributiilor valorilor posibile ale procesului, cu alte cuvinte valoarea cea mai probabila. Valoarea medie reprezinta in fapt componenta continua a semnalului.

- Valoare medie statistica a patratului (ansamblul realizarilor) sau valoare medie statistica patratica:

Se presupune ca procesul stohastic e centrat Ex=0 , ẋ(t)=x(t)-mx(t) => Eẋ = 0 Operatia de centrare se justifica teoretic prin aceea ca in general intereseaza fluctuatiile fata de valoarea medie si nu fata de originea arbitrara. Implicatia practica a centrarii e importanta; permite o mai nuna utilizare a instrumentelor de masura

Valoarea medie patratica temporala :

Considerand ca x(t) reprezinta tensiunea pe o (sau curentul ce trabate o ) rezistenta de 1Ω , valoare medie patratica poate fi interpretata ca putere medie disipata pe rezistenta P = U*I = U2 / R = I2*R Puterea disipata = Energie / Interval de timp

Abatarea standard este : ϭx = √ In cazul discret : Functiile de autocorelatie (carac. de ord II) :

Functiile de autocovarianta – presupune considerarea proceselor centrate :

Cu cat x(t) fluctueaza mai mult cu atat valoare integralei e mai mare, deci puterea semnalului este mai mare. Functiile de intercalatie – relative la 2 procese stohastice care evolueaza in paralel :

Functiile de intercovarianta:

Functia de autocovarianta normata: Functia de intercovarianta normata:

In cadrul variabilelor aleatoare exista notiunea de coeficient de corelatie:

In cazul coeficientului de corelatie daca se fac o serie de experiente cu variabile aleatoare care au ca rezultat dif. val. Posibile xi,yi ale celor 2 variabile aleatoare, putem avea urmatoarele situatii :

FUNCTIA DE INTERCORELATIE NORMATA:

0 <= fxy (τ) <= 1, rezultat care e utilizat in practica prelucrarii semnalelor ca un criteriu privind pe de o parte gradul de intercalatie (asemanator) a 2 procese, iar pe de alta parte de a stabili daca nu s-a produs o eroare in prelucrare ( ϭxy >1 ) Cazul ϭxy=1 corespunde unor procese total corelate Cazul ϭxy=0 corespunde unor procese independente, necorelate PROCESE STOHASTICE STATIONARE Se numesc procese stohastice stationare procesele ale caror proprietati statistice sunt invariante la schimbarea arbitrara a originii timpului. Practic ipoteza de stationaritate se formuleaza numai pentru densitati in probabilitate pana la ordinul 2 inclusiv, cand se vorbeste de stationaritate in sens larg, spre deosebire de stationaritatea in sens strict, care presupune independenta de momentele de timp a densitatilor de probabilitate de orice ordin

Doua consecinte esentiale:

1) Valorile medii sunt constante in timp 2) Functiile de corelatie (covariante) depinde doar de decalajele temporale τ=t2-t1 si

nu de cele 2 momente de timp t1 si t2

In parctica ipoteza stationaritatii semnalului nu e intru totul valabila, dar deoarece modificarea propr satistice ale semnalelor au loc de obicei mult mai incet decat lungimea intervalelor de timp pe care se determina valoarea acestor functii, ipoteza e acceptata in marea majoritate a situatilor din practica. Proprietatea de ergodicitate Procesele stationare (stohastice) pentru care valorile medii de ansamblu ( obtinute pe ansamblul de realizari ale unui proces stohastic ) sunt egale cu mediile temporale ale unei singure realizari ale aceluiasi proces stohastic se numesc procese ergodice. Ipoteza de ergodicitate e deasemenea respectata in general in practica curenta. Vom lucra in continuare cu procese stationare si ergodice. Este mult mai comod sa se esantioneze un nr suficient de valori dintr-un semnal decat sa se obtina un nr suficient de mare de realizari care sa permita medierea statistica. Interpretarea fizica a ipotezei de ergodicitate: Toate valorile pe care multimea de functii aleatoare x(k,t) le ia momentul t vor fi atinse de acelasi numar de ori de oricare dintre realizarile particulare xk(t), cu conditia ca durata T a inregistrarilor sa fie suficient de lunga. Proprietatea de ergodicitate este utilizata la tratarea in timp real a proceselor aleatoare, deoarece e posibil sa se inlocuiasca cu ansamblul statistice de esantionare cu un singur esantion considerat reprezentatia ale carui medii temporale de diferite ordine inlocuiesc mediile statistice ale ansamblului realizarilor Proprietati ale functiilor de corelatii pentru procese stationare: Se vor puncta doar proprietatile utilizate in mod curent in prelucrarea semnalelor fizice reale.

1) Functia de autocorelatie Functie para : Rx ( τ ) = Rx (-τ ) ; (continuu)

Rx ( i ) = Rx ( -i ) ; (discret) Proprietatea reflecta faptul ca media nu depinde de semnul decalajelor

dintre semnale, ci doar de valoarea lui absoluta max Rx ( τ ) = Rx( 0 ) ; se ajunge la Ex2(t) - pt τ=0 daca x(t) e un proces ergodic centrat ( fara componente periodice) :

deoarece pt val mari ale intervalului de timp schimbul de energie se reduce apreciabil tinzand catre 0 sau catre o valoare constanta in cazul semnalelor necentrate.

2) Functiile de intercalatie Rxy ( τ ) = Ryx ( -τ ) functiile de intercorelatie nu sunt pare pentru acelasi τ

Rxy ( τ ) ≠ Ryx ( τ ) Rxy ( τ ) -> 0 cand τ -> ∞

Observatii:

- Spre deosebire de functia de autocorelatie, intercorelatia nu e in general nici para nici impara, iar valoarea maxima nu se afla obligatoriu la τ=0.

- Aceeasi functie de autocorelatie (intercorelatie) poate apartine unui numar infinit de procese aleatoare, prin urmare caracteristica statistica a proceselor aleatoare nu e posibila doar prin utilizarea acestor tipuri de functii

- Functiile de corelatie sunt functii liniare

Interpretarea (semnul) functiilor de corelatie (covarianta) Aceste caracteristici sau functii permit evidentierea si exprimarea cantitativa a unor legaturi intre marimi variabile, legaturi care nu pot fi observate prin mijloace curente de investigare. Au fost utilizate cele mai variate domenii ( stiintele naturii ) punandu-se problema daca cresterea sau scaderea unei marimi atrage dupa sine o variate a celeilalte. Functiile de corelatie definesc gradul de asemnare a 2 secvente de date, functie de deplasare in timp a uneia dintre ele sau gradul in care o secventa de date e corelata cu ea insasi in functie de intarzierea in timp. Functiile de corelatie a 2 procese aleatoare care

au o evolutie in paralel si se influenteaza reciproc sunt legate de energia mutuala de interactiune dintre cele 2 procese. Functiile de intercorelatie exprima media pe durata de observare T sau 2T a acestor puteri de interactiunie, media putand fi data pentru un τ>0 cand procesul x transfera energie catre y, sau poate fi negativa cand primeste energie. Se poate inampla ca energia mutuala medie pe intervalul T sau 2T pentru o valoare a lui τ sa fie nula => cele 2 procese x,y sunt independente; in realitate energia care trece de la un proces la altul intr-un interval elementar de timp e compensata in medie in celalalt sens in alt interval de durata 2T. Sensul fizic al autocorelatiei terbuie cautat in influenta valorilor trecute ale procesului asupra valorii de la un moment de timp dat, exprimand deci o legatura interna si care in final se reduce tot la un aspect energetic. D.p.d.v cantitativ gradul de intercorelare se exprima prin coeficientul de corelatie sau functia de corelatie normata si care exprima de fapt cantitativ gradul de interfluenta a 2 semnale Densitatea spectrala de putere Functiile de densitate spectrala de putere folosesc pentru caracterizarea proceselor stohastice in domeniul frecventelor. Avand in vedere ca semnalele aleatoare nu sunt absolut integrabile, neindeplinandu-se astfel conditia de existenta a transformatei Fourier, pentru a putea totusi extinde analiza armonica si in acest domeniu al proceselor stohastice se introduce procesul stohastic trunchiat xT(t).

Se poate astfel considera xT(ω) ca transformata Fourier a semnalului trunchiat :

Considerand multimea tuturor realizarilor posibile si evaluand media se def. densitatea spectrala de putere a procesului stohastic x(t) (prin generalizarea notiunilor analizei armonice) In mod analog pentru 2 procese stohastice x(t) si y(t) se defineste densitatea interspectrala de putere (densitate spectrala mutuala )

Unde prin y*(ω) s-a notat expresia complex conjugata a marimii repective TEOREMA WIENER-HINCIN Densitatea spectrala de putere si respectiv densitatea interspectrala de putere reprezinta transformatele Fourier ale functiilor de autocorelatie si respectiv ale functiilor de intercorelatie ( reprezinta extinderea teoremelor corelatiei din cadrul analizei armonice)

- Interpretarea fizica conduce la ideea ca varianta ϭx2 care indica puterea semnalului aleator se obtine insumand la limita valorile lui Sx(ω) pentru diferite valori ale pulsatiei ω, ceea ce conduce la ideea ca S (ω) arata cum se repartizeaza puterea semnalului la diferite frecvente sau cat de puternic e semnalul pentru circuite frecvente

Proprietati ale functiei de densitate spectrala Tinand cont de proprietatea de paritate ale functiei de autocorelatie

Sx(ω) = Sx(-ω) Functia de coerenta Considerandu-se un sistem liniar monovariabil caruia i se aplica la intrare un semnal u stationar si de medie nula, iesirea y va avea aceleasi proprietati :

Functia de coerenta ascociata sistemului e o marime reala notata cu :

Functia de coerenta corespunde coeficientului de corelatie in cazul variabilelor

aleatoare. Pentru un sistem liniar neafectat de zgomot, ideal, functia de coerenta atinge un maxim teoretic = 1 pentru toate frecventele. In cazul in care u si y sunt total necorelate functia de coerenta e o. daca functia de coerenta Є (0,1) pot aparea urmatoare situatii: existenta unor zgomote externe prezente in masuratori sau absenta unei dependente complete intre intrarea si iesirea sistemului, deci sitemul cercetat e unul neliniar sau iesirea e conditionata nu numai de u ci si de posibile alte intrari.

Functia de coerenta poate fi utilizata ca un criteriu pentru a distinge daca un sistem este liniar sau nu.

Exemplu:

Elemente operationale liniare ale calculatoarelor analogice

Producerea relatiilor matematice liniare intr-un calculator analogic se realizeaza cu o precizie ridicata datorita folosirii AO ( Amplificatoare Operationale), avand impedante operationale de intrare si in reactie.

1. Amplificator sumator (inversor) Cel mai frecvent utilizat – sumatorul inversor – se utilizeaza pentru insumarea algebrica a unor tensiuni continue

Functionarea circuitului se bazeaza pe proprietatea punctului de insumare (a) de a avea aproximativ aceleasi potential ca intrarea neinversoare ( = punctul de masa virtual) Pt AO ideal, (a) se afla la potentialul mesei. ir = i1 + i2 + … + in

Deci, daca se neglijeaza erorile de calcul, tensiunea lui la iesire are valoarea:

∑

Particularizand in aceasta relatie numarul de intrari si impedantele operationale , schema poate realiza o serie de operatii matematice.

2. Circuitul diferential ( calcul diferenta )

Aplicand Teorema lui Kirchoff bornei inversoare:

= C

U0-Ui = -

=> U0 = Ui ( 1 +

) –Ui1

Dar Ui- = Ui+ => = Ui2

Introducand in ecuatia precedenta:

U0 = Ui2(1 +

)

– Ui1

Daca se indeplineste conditia:

=

=>

=

Se obtine un Ao sesibil la diferenta de potential dintre intrari

U0 =

Deci tensiunea de iesire este proportionala cu diferenta de potential dintre cele 2 intrari sau fdt teoretica a circuitului diferential :

A=

= -

a) Inmultire cu o constanta

b) Inversarea semnului unei marimi

Alegand Rr=R1 U0=-Ui => α=1

c) Sumarea ponderata Este realizata de schema amplificatorului sumator

d) Integrarea

OBS: In cazul in care conditia initiala dif de 0 si realizeaza incarcarea initiala a condensatoarelor de reactie la o tensiune corespunzatoare initializarii respective.

e) Integrarea – sumarea

f) Diferentierea g)

OBS:

1) In schemele analogice de calcul se evita elementele operationale, de diferentiere, deoarece ele maresc nivelul zgomotelor in raport cu semnalul de utilizat si micsoreaza gradul de stabilitate al schemei. Privind structura ei, schema asigura o amplificare de tensiune care creste cu frecventa datorita scaderii reactantei Xc.

2) In mod curent, elementele operationale folosite in circuitele de intrare si reactie au valori fine. Rezistentele au valori de 0,1 / 1M Ω , iar capacitatile de 1 μF, etc. Din aceasta cauza, coeficientii si constantele de timp pot fi variate doar in trepte. Pentru inlaturarea acestei limitari, circuitele de intrare ale elementelor operationale se pot alimenta prin intermediul unui potentiometru.

Elemente operationale neliniare

- Sunt circuite cu AO care foloses elemente neliniare in reactie (retele de diode si rezistente)

Amplificatoare logaritmice Prin introducerea in bucla de reactie a unei diode/tranzistor (elemente cu caracteristice exponentiala) Amplif logaritmice se folosesc pentru realizarea unor transformari de forma: n^, x*y, x/y (operatia de inmultire se va transforma in operatie de adunare)

La diode cu jonctiune-caracteristica curent-tensiune este exponentiala Amplificatoare analogice

- Realizeaza inmultirea a doua sm analogice

- Dupa AO – multiplicatorul poate fi considerat al doilea bloc functional ca

importanta pentru prelucrarea semnalelor analogice - Cateva scheme care realizeaza operatii matematice de baza

Functia de autocorelatie normata:

Modelarea si simularea analogica a sistemelor

Material: Elemente operationale ale calculatoarelor analogice Modelarea sistemelor reprezentate prin ecuatii diferentiale liniare cu coeficienti constanti. Pentru a realiza modelarea unui MM al sistemului reprezentat pintr-o ecuatie diferentiala cu ajutorul unei structuri analogice, deci practic pentru a realizxa modelul analogic al sistemului, ecuatia diferentiala se aduce la forma in care termenul stang contine derivata de ordinul cel mai mare, iar termenul drept toate celelalte derivate si functia de intrare perturbatoare. Considerandu-se ca o tensiune e proportionala cu derivata de ordinul cel mai mare, prin integrari succesive se obtine derivatele de ordin inferior si deasemenea functia cautata. Se presupune un sitem de ordin 3, descris de model cu forma ecuatiei diferentiale de tipul: a3x(3) + a2x’’ + a1x’ + a0x(t) = b*f(t)

Trebuie tinut cont de faptul ca fiecare element operational introduce o inversare de semn (se utilizeaza doar montaje cu AO inversoare) In acest context modelul analogic care realizeaza rezolvarea ecuatiei diferentiale mentionate e urmatoare:

Pentru ca rezultatele obtinute cu ajutorul structurii analogice sa poate fi utilizate practic e necesar sa existe o proportionalitate intre valorile tensiunilor masurate in circuitul analogic in diferite puncte si variabilele din cadrul relatiilor matematice. De asemenea proportionalitatea trebuie respectata atat in privinta timpului, cat si a frecventelor. Coef de proportionalitate numiti factori de scara se stabilesc astfel incat ecuatiile reproduse in structura analogica sa devina identice cu ecuatiile care trebuie modelate. Acest lucru se realizeaza prin exprimarea tensiunilor cu ajutorul factorilor de scara si a variabilelor corespunzatoare. Tensiunile de lucru ale elementelor operationale sunt limitate datorita saturarii AO si ele lucreaza liniar doar in aceasta plaja de tensiuni ( in general 10 V). Pentru marirea preciziei de calcul e necesar ca valorile maxime ale variabilelor si derivatelor lor sa corespunda variatilor maxime ale tensiunilor din calculator. Stabilirea factorilor de scara.

- Se realizeaza pe baza analizei ecuatiei reproduse de fiecare tip de element operational. Se ca efectua analiza ecuatiei pentru integratoare si sumatoare fara a se lua in considerare echivalarea de semne introduse de aceste elemente.

Integratorul: - Realizeaza operatia :

- Relatia (1) corespunde ecuatiei :

Definirea factorului de scara ca fiind N=variabila reala/variabila calculator Pentru exemplul considerat se pot introduce urm factori de scara:

Exprimand marimile din ec(1) corespunzatoare structurii de calcul cu ajutorul factorilor de scara se obtine:

Relatia (3) trebuie sa fie in aceste conditii identica cu relatia (2) = >

Rezulta deci ca, constanta de timp a integratorului Kij, care in montajul integratorului are valoarea Kij=1/RiCj se determina in cadrul modelarii analogice cunoscand val max a functiei xj, a derivatei ei si repectiv factorul de scara de timp, Nt;

Sumatorul

- Realizeaza operatia de insumare a tensiunilor de intrare U = ∑

- Simbol :

- Ec matem:

Definind factorii de scara corespunzatori si exprimand marimile din prima relatie cu ajutorul acestori factori de scara se ajunge la urmatoarea relatie:

Identificand relatia obtinuta cu cea precedenta se poate scrie:

Elementul de inmultire

Factorul 1/10 se introduce pentru a limita valoarea maxima a tensiunii Uz de la iesirea elementului de inmultire la 10V, in cazul in care atat Ux cat si Uy ating simultan aceasta valoare. Ecuatia matematica corespunzatoare e z=x*y; introducandu-se factorii de scara :

Procedand analog prin inlocuirea in prima relatie si identificarea cu cea de-a doua se ajunge la relatia:

, ajungandu-se la final prin identificare la

Nz = 10NxNy Generatorul de functii

- Realizeaza o functie sau marime u(ωc,tc) care sa corespunda functiei de intrare f(ω,t)

- Considerand factorii de scara corespunzatori si realizand identitatea relatiilor obtinute se ajunge la NtNω=1

Analiza ecuatiei reproduse de catre elementele operationale conduce la concluzia necesitatii cunoasterii valorilor maxime ale functiei cautate si ale derivatelor acesteia pentru a se putea calcula factorul de scara. Schema reala pentru realizarea ecuatiei diferentiale in care marimile care intervin sunt tensiuni electrice este urmatoarea:

Trebuiesc calculati factorii de scara:

Se presupun cunoscute apriori valorile lui xmax, x’max, x’’max, x’’’max si valoarea maxima a functiei de intrare. Aceste valori sunt utilizate in calculul constantei de timp ale integratoarelor si in calculul coeficientilor. Astfel pentru constantele de timp ale integratoarelor avem :

Coeficientii:

Cu aceste valori calculate => ecuatia structurii analogice

EXEMPLU FINAL: (cu toata metodologia impusa referitoare la alegerea factorilor de scara) Fie ecuatia: x(4) + 0,75x(3) + 2,5x(2) + 3ẋ + 4x = 60sin2t , cu conditiile intiale : x(0) = 0 ; ẋ(0) = 12 ; x(2) (0) = 0 ; x(3)(0) = -48 ; Se dau valorile maxime: xmax=6; ẋmax=12; x(2)max=24; x(3)max=48; x(4)max=96 ; Ecuatia devine: X(4)= - 0,75 X(3) – 2,5 X(2) - 3ẋ - 4x + 60sin2t

Factorii de scara vor fi:

Nx0 =

=

=

= 0,6

Nx1 =

=

=

= 1,2

Nx2 =

=

=

= 2,4

Nx3 =

=

=

= 4,8

Nx4 =

=

=

= 9,6

Nt = 1; Coeficientii sumatorului:

α0 = a0

= -4

= - 0,25

α1 = a1

= -3

= - 0,625

α2 = a2

= -2,5

= - 0,625

α3 = a3

= -0,75

= - 0,375

=

*

=

*

= 0,626

Constantele de integrare

K10 =

K21 =

K32 =

K43 =

Conditii initiale:

Nx0 =

-> u0(0) =

=

= 0 V

u1(0) =

=

= 10 V

u2(0) =

=

= 0 V

u3(0) =

=

= -10 V

Determinarea valorilor maxime In determinarea sau stabilirea factorilor de scara e necesara estimarea initiala a valorilor maxime ale functiei cautate si ale derivatelor ei. Calculul factorilor de scara se face plecand de la ideea ca pentru valori maxime ale functiei si derivatelor ei corespund valori maxime ale tensiunilor in strucutura analogica. Cautandu-se astfel imbunatatirea preciziei de calcul dat imbunatatirii raportului semnal util zgomot. Se utilizeaza informatii rezultate din rezolvarea unor probleme anterioare, din examinarea sistemului, fizice descrise de ecuatia care se modeleaza sau informatii obtinute prin incercari succesive realizate pe tructura analogica aproximand din ce in ce mai bine aceste valori maxime.

De exemplu in cazul aproximarii valorile maxime pentru sistemele modelate prin ecuatii diferentiale liniare cu coeficienti constanti, in conditii initiale nule, in care marimea de intrare e o treapta de amplitudine A. x(n)(t) + an-1x(n-1)(t) + … + a0x(t) = Au-1(t) , u-1(t) = treapta unitara Estimarea valorilor maxime ale variabilei si derivatelor ei se poate face utilizand relatiile lui Jackson :

Daca ecuatia diferentiala este de ordinul 2 : y’’(t) + 2ωr y’(t) +ωr

2 y(t) = u(t) si daca u(t) e o treapta unitara, in conditia in care amortizarea e neglijabila y e o functie sinusoidala

- Raspunsul indicial al unui ET-PT2 :

Caz in care valorile maxime pot fi obtinute : |y|max = 2A |y’|max = ωrA |y’’|max = ωr

2A

Determinarea factorului de scara pentru timp In determinarea acestui factor trebuie tinut cont de erorile introduse de elementele operationale liniare sau neliniare si respectiv de echipamentul de inregistrare. Pe masura ce timpul de solutionare creste, cresc si erorile elementelor integratoare, datorita integrarii diverselor tensiuni parazite, de deriva etc. Efectul integrator e unul de cumulare continua. La frecvente inalte coeficientul de amplificare al AO se micsoareaza, relatiile de calcul nemaifiind valabile. Ca si in cazul precedent cunoasterea sistemului fizic care se modeleaza prin ecuatii diferentiale poate fi utila in aprecierea factorului de timp. Determinarea valorilor pentru scara de frecventa poate fi facuta prin determinarea valorilor frecventelor prin rezolvarea ecuatiei caracteristice a ecuatiei diferentiale care modeleaza sistemul. Daca rezolvarile sunt dificile frecventele de oscilatie pot fi aproximate analizand constantele de timp si pulsatiile proprii ale sistemului. Modelarea analogica a sistemelor liniare direct din functia de transfer Daca f.d.t. are o forma mai complicata in sensul ca are si zerouri e dificil de estimat valorile maxime ale derivatelor lui y. in aceste cazuri e posibila modelarea directa pornindu-se de la f.d.t. in care trebuie puse in evidenta elementele integratoare de tipul 1/s. Coeficientii f.d.t. n pot ajusta la valori convenabile utilizand o schimbare in scara frecventelor care atrage o schimbare corespunzatoare in scara timpului. Coeficientii relatiilor: S’=ks t’= t/k

care printr-o schimbare convenabila in scara frecventelor a fost adusa la o forma acceptabila in sensul ca are toti coeficientii in gama ( 10-1 10 1) F.d.t. se scrie sub forma :

Dupa ridicarea raspunsului trebuie facuta corectia in scara timpului conform t’=t/k ;