Curs EMAE1

Robert PECSI Electrotehnic, maini i acionri electrice, Note de curs.

1

Electrotehnic, maini i acionri electrice

Note de curs pentru studenii Facultii de Utilaj Tehnologic pentru Construcii

Autor: ef lucrri dr. ing. Robert PECSI


2

Cuvnt nainte

Prezenta lucrare se adreseaz studenilor facultii de Utilaj Tehnologic pentru Construcii din cadrul Universitii Tehnice de Construcii Bucureti i este astfel conceput nct s vin ntr-o ct mai mare msur n sprijinul asimilrii informaiilor de baz necesare pentru dobndirea aptitudinilor practice i pentru promovarea cu succes a examinrii aferente.

Lucrarea este conceput pe subiecte de examen i este ct mai clar structurat pentru a permite o facil asimilare a cunotinelor. Lucrarea conine acele informaii teoretice care sunt absolut necesare pentru studentul Facultii menionate i nu are pretenia de a fi o lucrare exhaustiv asupra subiectului tratat.


3

CAPITOLUL 1 ELECTROSTATICA

1.1. Legea conservrii sarcinii electrice

n natur au loc nencetat numeroase i diverse fenomene. n nelesul cel mai general, fenomenul este o manifestare exterioar a esenei unui obiect (sistem), a unui proces etc., care este accesibil n mod nemijlocit. n limbajul curent, fenomenul nseamn o transformare, o evoluie, un proces sau un efect etc. Fenomenele electric reprezint mulimea ordonat a strilor pe care le are un sistem electric n momentele succesive ale unui interval de timp.

Sarcina electric este o mrime fizic ce caracterizeaz din punct de vedere cantitativ proprietile corpurilor electrizate i este responsabil de interaciunea electromagnetic a materiei. Termenii de electrizat, pozitiv i negativ au fost introduse de Benjamin Franklin, n urma experienelor cu maina electrostatic a lui von Guerike. Stabilirea experimental a dou tipuri de interaciune ntre particulele ncrcate electric una de atracie i una de respingere a dus la concluzia c sarcinile electrice sunt de dou feluri (denumite de Franklin pozitive i negative). Corpurile ncrcate cu sarcini electrice de acelai fel se resping iar cele cu sarcini contrare se resping.

Sarcina electric este o mrime fizic scalar notat cu q sau Q. n SI unitatea de msur a sarcinii electrice este 1 Coulomb (1 C).

Cq SI 1= . (1.1)

Experienele fizice au dovedit natura discontinu a materiei. Cele mai mici entiti din care este format materia sunt particulele elementare. n stadiul actual al cunoaterii se consider c electronii, protonii i neutronii sunt particulele elementare care intr n compoziia atomului i a moleculelor ce formeaz materia. S-a descoperit recent c protonii i neutronii au compoziie intern, dar pentru considerentele legate de cursul nostru le putem considera practic indivizibile. Fiecare particul elementar este caracterizat de proprieti intrinseci: masa gravitaional, sarcina electric, spinul, paritatea, stranietatea, etc. n fenomenele electromagnetice ce vor fi studiate de noi au importan doar sarcina electric i masa. Pentru constituenii stabili ai atomului acestea au valorile indicate n tabelul 1.1.


4

Particul elementar Masa gravitaional Sarcina electric

Electron kgme 30109,0 = Ceqe 19106,11 ==

Neutron kgmn 2710674,1 = 0=nq

Proton kgmp 2710672,1 = Ceqp 19106,11 +=+=

Tabel 1.1: Masa i sarcina electric pentru constituenii stabili ai atomului

Observm c cea mai mic valoare posibil a sarcinii electrice este Ce 19106,1 = .

Sarcina electric are trei proprieti fundamentale:

- sarcina electric total a unui sistem izolat din punct de vedere electric se conserv (Legea Conservrii sarcinii electrice):

constqn

kk =

=1; (1.2)

- sarcin electric este cuantificat, putnd lua valori numai multiplii ntregi ai cuantei:

Ce 19106,1 = ; (1.3)

- sarcina electric este relativist invariant.

Prima proprietate enunat mai sus poart numele de legea conservrii sarcinii electrice. Ea a fost i poate fi verificat n numeroase procese fizice. Legea conservrii sarcinii electrice nu contrazice posibilitatea ca sarcina electric s fie creat sau distrus (anihilat), dar ea oblig ca n procesul de creare s apar simultan o pereche de sarcini elementare de semn contrar.

Tot la acest subiect, legat de sarcina electric i de conservarea ei se cuvine s spunem cteva cuvinte despre electrizarea corpurilor. A electriza un corp nseamn a determina n acel corp apariia unei sarcini electrice diferite de zero. Electrizarea se poate face fie prin transport direct de sarcini electrice, fie prin influen.


5

n primul caz, dac un corp ncrcat electric este pus n contact cu un corp fr sarcin, atunci corpul ncrcat va transfera o parte din sarcina sa celuilalt. Contactul poate fi direct sau prin intermediul unui conductor electric. n cazul n care primul corp este ncrcat negativ, acesta va ceda o parte din electronii lui celui de al doilea, n cazul n care primul corp este ncrcat pozitiv, acesta va accepta o parte din electronii celui de al doilea, astfel nct s se stabileasc un echilibru al sarcinilor electrice n sistemul nou format. Indiferent de situaie, electrizarea prin contact duce la ncrcarea cu acelai tip de sarcin electric a celor dou corpuri, suma sarcinilor electrice repartizate n final fiind egal cu sarcina electric iniial.

n cazul electrizrii prin influen, ncrcarea cu sarcini electrice a unui corp se realizeaz fr contactul direct al celor dou corpuri. Explicaia acestui fenomen const n proprietatea intrinsec a sarcinilor electrice de a se respinge dac sunt de acelai semn. Astfel, dac de un corp neutru din punct de vedere electric se apropie un alt corp ncrcat, fr s vin n contact direct cu acesta, sarcina electric de pe corpul neutru se va redistribui astfel nct faa apropiat de corpul ncrcat iniial va cpta o sarcin electric de semn contrar. Dac faa opus este legat la pmnt, acesta fiind un bun conductor electric, excesul de sarcin electric de pe aceast fa va fi preluat. Acest mecanism nu funcioneaz i n cazul corpurilor izolatoare.

1.2. Legea lui Coulomb

Fizicianul Charles Coulomb a msurat n anul 1785, cu ajutorul unei balane de torsiune, forele care se exercit ntre dou corpuri de prob practic punctiforme (avnd dimensiuni neglijabile comparativ cu distana dintre ele), ncrcate electric. Corpurile erau izolate i situate n vid. Variind succesiv valorile absolute ale sarcinilor, semnul acestora precum i distanele dintre corpuri, el a stabilit dependena forelor de interaciune electric de aceste mrimi. Fora de interaciune dintre dou sarcini punctiforme este proporional cu produsul sarcinilor electrice ale corpurilor i invers proporional cu ptratul distanei dintre ele.

221

rqqkF = . (1.4)


6

In sistemul internaional de mrimi i uniti (SI) constanta de proporionalitate are expresia

r

k

=

=04

14

1, (1.5)

unde este o constant ce caracterizeaz proprietile electrice ale mediului n care se afl cele dou corpuri i se numete permitivitate electric, 0 este permitivitatea electric a vidului, iar

0 =r (1.6)

este permitivitatea relativ a mediului respectiv. Permitivitatea electric a vidului este:

mF12

0 10856,8= . (1.7)

Astfel, pentru vid constanta de proporionalitate devine:

2

29109

CmNk . (1.8)

Ca orice mrime vectorial, fora de interaciune electric se caracterizeaz nu numai printr-un modul dar i printr-o direcie i un sens. Direcia forei de interaciune electric este dreapta ce unete cele dou sarcini punctiforme. Sensul forelor depinde de semnele sarcinilor cu care sunt ncrcate cele dou corpuri: sarcinile de acelai semn se resping, cele de semn contrar se atrag. Dac se noteaz cu 12r vectorul de poziie al punctului n care se gsete corpul cu sarcina 2q fa de punctul n care se gsete sarcina 1q , expresia vectorial a forei ce acioneaz asupra corpului al doilea din partea primului este dat de formula:

12312

2112

41 r

rqqF

=

. (1.9)

n cazul unor sarcini non-punctiforme, a unor distribuii de sarcin, se consider n spaiul distribuiei un element de volum infinitezimal, n


7

interiorul cruia sarcina se poate considera punctiform. Vor exista practic o infinitate de fore a cror direcie i sens vor fi date de ecuaia:

12312

2112

41 r

rqdqFd

=

. (1.10)

In acest caz am considerat distribuit volumic numai sarcina 1q , a doua fiind punctiform. Sarcina infinitezimal 1dq d natere la o for 12Fd . Pentru calculul forei totale cu care sarcina distribuit volumic acioneaz asupra sarcinii punctiforme 2q , se nsumeaz toate forele 12Fd pentru totalitatea sarcinilor infinitezimale din distribuie:

( )

=

V rrdqrqF 3

12

12112212

4 . (1.11)

1.3. Intensitatea cmpului electric

Cmpul electric este o form de manifestare a materiei din vecintatea unui ansamblu de sarcini electrice, n care i fac simite prezena fore de natur electric bine determinate ca modul, direcie i sens. Cmpul electric se numete electrostatic dac este invariabil n timp.

Din expresia forei de interaciune electric putem observa c n cazul n care considerm una dintre sarcini ca sarcin de prob, unitar, atunci fora care acioneaz asupra ei din partea celeilalte sarcini depinde numai de natura, valoarea absolut a sarcinii respective i de distana la care se

afl cele dou sarcini reciproc. Astfel, raportul 2

12

qF exprim o caracteristic

a modului n care sarcina 1q genereaz interaciune electric cu sarcinile electrice aflate n vecintatea sa, adic a cmpului electric. Se poate defini atunci cmpul electric prin relaia:

2

121

qFE = . (1.12)


8

In SI, intensitatea cmpului electric se msoar n mV . Fiind raportul dintre o

mrime vectorial i una scalar, intensitatea cmpului electric va fi o mrime vectorial ale crei direcie i sens coincid cu direcia i sensul forei n cazul unei sarcini de prob pozitive. Intensitatea cmpului electric generat de un corp punctiform ncrcat cu sarcina Q , ntr-un punct situat la distana r de acesta are expresia:

rrQE

= 34

1 . (1.13)

In cazul unor distribuii (liniare, superficiale sau volumice) de sarcin intensitatea cmpului electric se calculeaz prin integrarea pe respectiva curb, suprafa sau volum:

( ) ( ) = C dyrryrE 34

1

pentru distribuia liniar; (1.14)

( ) ( ) = S darryrE 34

1

pentru distribuia superficial; (1.15)

( ) ( ) = V dvrryqrE 34

1

pentru distribuia volumic. (1.16)

Fizicianul englez Michael Faraday a propus un mod intuitiv de a reprezenta grafic un cmp de fore prin intermediul liniilor de cmp. O linie de cmp reprezint o curb tangent n orice punct al su la vectorul intensitate al unui cmp vectorial. n cazul cmpului electric, liniile de cmp sunt linii deschise pornind de pe sarcinile electrice pozitive i oprindu-se pe sarcinile electrice negative. Densitatea liniilor de cmp este proporional cu mrimea sarcinilor electrice care genereaz cmpul. n cazul unor sarcini punctiforme, direcia i sensul intensitii cmpului electric sunt:

- radial dinspre corp spre exterior n cazul unei sarcini punctiforme pozitive;

- radial nspre corp n cazul unei sarcini punctiforme negative.


9

1.4. Legea lui Gauss

Numrul liniilor de cmp electric ce strbat o suprafa oarecare, normal la liniile de cmp se numete flux al cmpului electric i se noteaz cu E . ntr-un cmp omogen numrul liniilor de cmp ce strbat o suprafa a , deci fluxul electric prin suprafaa respectiv este:

aEE = . (1.17)

In cazul general cmpul electric nu este omogen, iar suprafaa nu este nici plan, nici normal la cmp. n acest caz, pentru a exprima fluxul cmpului electric, se mparte suprafaa n elemente de suprafa att de mici nct n limitele fiecrui element cmpul electric s fie constant ca valoare i orientare, fiecare astfel de element cu aria da se reprezint printr-un vector

ad avnd orientarea dat de regula burghiului drept. Se alege pe conturul care mrginete elementul de arie da un sens de parcurs. Rotind burghiul drept n sensul n care se parcurge conturul, acesta nainteaz n direcia vectorului ad . Dac n limitele elementului de arie jad intensitatea cmpului electric este jE i formeaz unghiul j cu jad , atunci elementul de flux prin elementul de arie jad este:

jjjjjj daEadEd cos== . (1.18)

Pentru a obine fluxul cmpului electric prin ntreaga suprafaa de arie S , se integreaz expresia (1.18) asupra ntregii suprafee:

=S

E adE . (1.19)

Legea lui Gauss afirm c fluxul cmpului electric printr-o suprafa nchis este egal cu sarcina din interiorul ei, mprit la permitivitatea mediului . Dac n interiorul suprafeei nchise nu exist nici o sarcin, atunci fluxul electric total prin acea suprafa nchis este nul.

Pentru a demonstra aceast lege, vom calcula fluxul cmpului electric datorat unei distribuii volumice de sarcini, printr-o suprafa nchis ce nchide o parte sau toate sarcinile sistemului.


10

( ) ( )

=

==

V SS S VE dvadr

ryqaddvr

ryqadE 33 41

41

. (1.20)

Pentru acele sarcini infinitezimale din distribuia volumic ce se afl n interiorul suprafeei S ,

=

= d

rda

radr

23cos

, (1.21)

unde d este elementul de unghi solid sub care se vede elementul de arie ad din locul sarcinii ( )yq . Se observ c elementul de arie ad acoper

acelai unghi solid ca i un element de arie 0ad situat pe o sfer d raz 0r :

44

0

20

20

20

0 =

==SS r

rr

dad . (1.22)

In cazul n care sarcina infinitezimal se afl n exteriorul suprafeei S , liniile de cmp ce pornesc de pe sarcina ( )yq strbat de dou ori suprafaa nchis odat la intrarea n volumul mrginit de suprafa i odat la ieire. Pentru fiecare element de arie de intrare va exista corespunztor i unul de ieire, unghiul solid pentru aceste perechi de elemente de arie de intrare / ieire fiind identic n modul i de semn schimbat. Din acest motiv la integrare, fluxul total cauzat de sarcinile din exteriorul suprafeei este nul. nseamn c:

int1 QadE

S

= . (1.23)

Legea lui Gauss este foarte des utilizat pentru a calcula intensitatea cmpului electric generat de anumite distribuii de sarcin.

1.5. Potenialul electric

Cmpul electric este descris nu numai de mrimea vectorial intensitate dar i de o mrime scalar, numit potenial. Sensul fizic al potenialului electric ntr-un punct este acela de a caracteriza nivelul electric n acel punct, sau capabilitatea punctului de a participa cu o cantitate mai mic


11

sau mai mare de sarcin la un regim dirijat de electroni. De fapt, definiia potenialului electric este cea de energie potenial electric a unei sarcini de prob egale cu unitatea situat n acel punct.

Pentru a deduce expresia potenialului electric, s considerm mai nti o sarcin punctiform Q i n cmpul generat de aceasta, o sarcin q care este deplasat uniform cu ajutorul unei fore exterioare egal i de sens contrar cu fora electric, ntre dou puncte notate cu M i N . Pentru a calcula lucrul mecanic necesar acestei deplasri, vom alege dou drumuri de parcurs ntre cele dou puncte extreme: MAN i MBN , conform figurii 1.1.

Pe arcele de cerc MA i BN lucrul mecanic este nul, deoarece fora este perpendicular pe deplasare, produsul lor scalar fiind nul n acest caz. Pe segmentele AN i MB lucrul mecanic este acelai, fora avnd o simetrie radial i segmentele fiind egale ntre ele. Rezult c lucrul mecanic total pe drumurile MAN i MBN este acelai, deci lucrul mecanic necesar deplasrii corpurilor electrizate n cmp electric nu depind de drum (cmpul electric este conservativ).

Figura 1.1: Deplasarea unei sarcini ntr-un cmp electric

Lucrul mecanic necesar deplasrii sarcinii q pe drumul MBN va fi deci egal cu lucrul mecanic necesar deplasrii sale pe segmentul MB . Fora electric nefiind constant pe acest segment, vom calcula media ei care va fi egal

+Q

M

B

N

A

F ext F

+q

E


12

cu media geometric a forelor din capetele segmentului (aceasta datorit dependenei forei electrice de ptratul distanei).

BMBMBMmed rr

qQrr

qQFFF

=

== 4

14 22 . (1.24)

Lucrul mecanic efectuat este:

=

==BMBM

MBmed rr

qQrrrrqQdFL 11

44 . (1.25)

Bineneles, la aceeai expresie a lucrului mecanic pe drumul MB se poate ajunge i calculnd-o ca o integral pe acest drum a lucrului mecanic elementar efectuat pe o deplasare elementar, pentru care fora se poate considera constant:

( )

=

=

=== BM

r

r

r

r

r

r

B

M rrqQ

rqQdr

rqQdrrFdLL B

M

B

M

B

M

114

14

14 2

. (1.26)

Observm c raportul qL nu depinde de valoarea i natura corpului de

prob, deci este o mrime potrivit caracterizrii cmpului electric n ceea ce privete deplasarea unui corp ntre dou puncte n care se manifest. Prin analogie cu teorema de variaie a energiei poteniale, care ne spune c ntr-un cmp de fore conservativ aa cum am artat c este i cmpul electrostatic variaia energiei poteniale este egal cu lucrul mecanic efectuat, se poate da urmtoarea definiie: potenialul cmpului electric generat de o sarcin punctiform la distana r de aceasta este:

rQV 1

4

=

. (1.27)

Generaliznd noiunea de potenial la cazul cmpului creat de o distribuie discret oarecare de n sarcini punctiforme, obinem:

=

=n

i i

i

rqV

141 . (1.28)

Unitatea de msur a potenialului electric n SI este voltul (1 V). Definiia potenialului electric: Potenialul electric este o mrime fizic scalar egal


13

cu raportul dintre lucrul mecanic efectuat de cmpul electric la deplasarea unui corp de prob ncrcat din acel punct la infinit i sarcina acelui corp

Potenialul electric nu este o mrime univoc determinat, ea se exprim mereu n funcie de o valoare de referin a potenialului unui punct particular ales, valoare care poate fi zero.

.

Diferena de potenial dintre dou puncte, egal cu lucrul mecanic efectuat pentru a deplasa un corp de prob ncrcat ntre cele dou puncte i sarcina corpului de prob se numete tensiune electric.

qLVVU ABBAAB == . (1.29)

Tensiunea electric se msoar tot n V i este o mrime univoc determinat pentru dou puncte clar definite ale unui cmp electric.

n cazul unui cmp electric uniform ( tconsE tan= ) i fora electric ce acioneaz asupra corpului pe distana d va fi constant, iar tensiunea electric va avea expresia:

dEq

dEqq

dFU === . (1.30)

Generalizarea relaiei dintre intensitatea cmpului electric i potenialul su ne conduce la urmtoarea relaie:

( ) ( ) =+=PP

PsdEPVsdEPV

o0 , (1.31)

unde s-a notat cu sd vectorul deplasare infinitezimal, iar potenialul punctului de la infinit s-a considerat nul. Relaia de mai sus se poate exprima n felul urmtor:

Potenialul unui punct din cmpul electrostatic este egal cu integrala de linie a intensitii cmpului electric pe orice drum ntre un punct situat la infinit i punctul dat, luat cu semnul minus.


14

1.6. Capacitatea electrostatic

Fiind dat un conductor izolat i deprtat de alte corpuri, numim capacitate electric a conductorului mrimea fizic egal cu raportul dintre sarcina Q a conductorului i potenialul su:

VQC = . (1.32)

Unitatea de msur n SI a capacitii electrice este faradul (1 F).

Un condensator electric este un ansamblu format din dou conductoare numite armturi, separate ntre ele printr-un mediu dielectric. Armturile se ncarc atunci cnd sunt puse la o diferen de potenial cu sarcini electrice egale i de semn contrar ( 21 qq = ). Se numete capacitate electric a unui condensator mrimea fizic egal cu raportul dintre sarcina q a uneia dintre armturi i tensiunea electric dintre bornele acestuia.

Uq

VVq

VVqC =

=

=12

2

21

1 . (1.33)

Valoarea capacitii unui condensator cu dielectric liniar (permitivitatea independent de cmp) este pozitiv i independent de sarcin i de diferena de potenial, fiind o caracteristic a respectivului condensator.

Condensatoarele pot avea diferite forme, capacitile lor variind n funcie de dimensiuni i de natura dielectricului. Aceste capaciti se calculeaz cu ajutorul legii lui Gauss i a relaiei (1.31). In prezentul curs vom indica doar capacitile unor condensatoare mai des ntlnite:

- condensatorul plan paralel:

S - suprafata unei armaturi

e

q

dSC = ; (1.34)


15

- condensatorul cilindric:

l

a

ab

lCln

2 =

; (1.35)

- condensatorul sferic:

a

abbaC

= 4 . (1.36)

Capacitatea echivalent a unei reele de condensatoare este capacitatea unui condensator care fiind supus la aceeai tensiune ca i reeaua dat se ncarc cu aceeai sarcin electric. Cu alte cuvinte, n exteriorul sistemului nu se constat nici o schimbare la nlocuirea reelei cu condensatorul echivalent.

Avnd n vederea legea conservrii sarcinii electrice pentru sistemele izolate ale armturilor legate n contact i definiia capacitii electrostatice, la legarea n serie a condensatoarelor capacitatea echivalent va fi:

=

= n

i i

serie

C

C

1

11

. (1.37)

n mod similar, la legarea n paralel capacitatea echivalent este:


16

=

=n

iiparalel CC

1. (1.38)

1.7. Energia electrostatic

La ncrcarea unui condensator, pentru aducerea sarcinilor electrice pe fiecare armtur este necesar efectuarea unui lucru mecanic de ctre o surs de energie exterioar. Condensatorul ncrcat reprezint un sistem caracterizat printr-o energie W , egal cu lucrul mecanic necesar ncrcrii sale. Pentru determinarea energiei trebuie calculat lucrul mecanic L necesar pentru deplasarea sarcinii Q de pe o armtur pe alta, astfel nct diferena de potenial dintre armturi s creasc de la 0 la U .

Deoarece n timpul ncrcrii condensatorului, tensiunea dintre armturi nu este constant ci crete de la 0 la U , n expresia lucrului mecanic se introduce media aritmetic a tensiunii:

2UUmediu = . (1.39)

Atunci:

2UQL = . (1.40)

Aadar, energia electrostatic a unui condensator ncrcat este:

CQUCUQW

22

21

21

21

=== . (1.41)


17

CAPITOLUL 2 ELECTROCINETICA

2.1. Conducia electric. Intensitatea curentului electric

Electrocinetica este acea ramur a electromagnetismului care se ocup cu studiul strilor electrice ale conductoarelor parcurse de cureni electrici.

Toate corpurile din natur permit acumularea de sarcini electrice, dar unele permit i deplasarea acestora. n funcie de modul n care corpurile permit deplasarea sarcinilor electrice, acestea se mpart n dou mari categorii: conductoare i izolatoare.

Corpurile conductoare permit deplasarea n interiorul lor a electronilor, pe cnd corpurile izolatoare nu. Diferena dintre corpurile conductoare i izolatoare const n structura lor la nivel atomic, n modul n care atomii care le compun se leag ntre ei. Dac electronii de valen (electronii de pe pturile exterioare ale atomilor) pot fi uor disociai din structurile pe care le creeaz, deplasndu-se liber n interiorul corpului, acel corp devine un conductor. O consecin important a faptului c sarcinile electrice se pot deplasa prin conductoare este acumularea lor numai la suprafaa acestora. Exemple de conductoare sunt: metalele, soluiile electrolitice, gazele ionizate, etc.

n cazul corpurilor izolatoare, numrul electronilor liberi capabili de deplasare este foarte mic, practic zero. Exemple de corpuri izolatoare sunt: hrtia, sticla, ceramica, materialele plastice, gazele uscate, vidul.

Transportul continuu de sarcini electrice n lungul unui fir conductor constituie un curent electric. Cauza care provoac o asemenea deplasare de sarcini electrice este diferena de potenial dintre corpurile pe care le punem n contact prin intermediul conductorului. Ca urmare, sarcinile pozitive aflate n exces pe corpul cu potenial mai ridicat, se deplaseaz prin conductor spre corpul cu potenial sczut. Este important s observm c pentru a explica curgerea curentului electric dinspre corpul cu potenial mai ridicat ctre cel cu potenial sczut se poate admite la fel de bine c sarcinile negative aflate n exces pe corpul cu potenial mai sczut se deplaseaz prin conductor spre corpul cu potenial ridicat. Sensul deplasrii sarcinilor negative este invers celui urmat de micarea sarcinilor pozitive. Mai mult, pentru a explica existena unui curent electric este posibil s imaginm un proces combinat n care o parte din curent se


18

datoreaz unui transport de sarcini pozitive, iar cealalt parte rezult din deplasarea sarcinilor negative, deplasrile avnd loc simultan.

Pentru a sublinia faptul c oricum ne-am reprezenta suportul fizic al curentului electric consecinele fenomenologice sunt aceleai, se admite prin convenie c: Orice curent electric este rezultatul deplasrii unei sarcini pozitive dinspre un corp aflat la un potenial ridicat spre altul aflat la un potenial mai sczut.

Din punct de vedere cantitativ, caracterizarea transportului n interiorul conductoarelor electrice se face cu ajutorul unei mrimi fizice numit intensitate a curentului electric. Pentru conductoare liniare, intensitatea curentului se definete ca fiind sarcina electric ce traverseaz o seciune normal a conductorului n unitatea de timp:

dtdqI = . (2.1)

Unitatea de msur n SI a curentului electric este Amperul (sCA

111 = ).

Printr-un conductor se menine un curent electric att timp ct la capetele conductorului exist poteniale diferite. Acest lucru se realizeaz de obicei prin legarea conductorului la o surs de tensiune. Curentul electric se numete curent continuu dac el este constant n timp ( ( ) consttI = ), condiie ce este realizat atunci cnd tensiunea la capetele conductorului este constant.

2.2. Legea lui Ohm

Este cunoscut faptul c ntr-o gam foarte larg de conductori i n limite largi de temperatur, intensitatea curentului satisface legea experimental a lui Ohm:

UR

UGI == 1 , (2.2)

unde constanta de proporionalitate G este conductana electric a segmentului de conductor considerat, iar

GR 1= este rezistena electric a


19

sa. U este diferena de potenial de la capetele respectivului capt de conductor. Aceast lege a fost dedus experimental de Georg Simon Ohm.

Pe baza legii lui Ohm se deduce c unitatea de msur n SI a rezistenei electrice este o mrime derivat:

[ ]AVR SI 11 == . (2.3)

Aceasta nseamn c un ohm este rezistena electric a unui conductor liniar care este strbtut de un curent de un amper atunci cnd la capetele sale se afl o diferen de potenial de un volt.

Rezistena i conductana conductorilor sunt mrimi fizice care depind att de natura conductorului ct i de caracteristicile geometrice ale acestuia. Mai exact, rezistena electric a unui segment de conductor cu lungimea l i seciunea s este direct proporional cu lungimea i invers proporional cu seciunea:

sl

slR ==

1 . (2.4)

Constanta de proporionalitate este numit rezistivitate electric sau rezisten specific i este o mrime fizic ce depinde numai de natura conductorului i de starea fizic a acestuia (temperatur, puritate, etc.). Unitatea de msur n SI pentru rezistivitatea electric este [ ] mSI =1 , unitate ce se deduce cu uurin din relaia (2.4). Mrimea reciproc, este conductivitatea electric i se msoar n SI n ( ) Siemensm 11 = .

Scris sub forma ecuaiei (2.3), legea lui Ohm descrie comportarea global sau integral a curentului electric n conductorii liniari. Forma local sau diferenial a legii lui Ohm exprim relaia ce exist ntre densitatea de curent j n fiecare punct din conductor i intensitatea cmpului electric n punctul respectiv.

Densitatea de curent se poate exprima n modul ca fiind:

sIj = . (2.5)


20

Conform relaiei (1.29) legtura dintre tensiune i cmpul electric pentru cazul unui cmp uniform paralel cu axul conductorului de lungime l este:

lEU = . (2.6)

Combinnd ecuaiile de mai sus se obine:

EEllE

sRU

sIj ==

=

== 1

. (2.7)

Aceasta este legea lui Ohm n form local sau diferenial i ea leag densitatea de curent i intensitatea cmpului electric definite n acelai punct al conductorului. Pentru a da o exprimare mai, general, vectorial, se poate scrie:

Ej = . (2.8)

Pn n acest punct al expunerii legii lui Ohm, s-a prezentat legea lui Ohm pentru un circuit omogen, adic pentru un circuit n care, n afara tensiunii de la bornele circuitului, conductorului, nu exist alte surse de energie electric. Exist ns i circuite neomogene, n componena crora intr i asemenea surse de energie, aa cum este prezentat n exemplul din figura 2.1.

Figura 2.1.: Exemplu de circuit electric neomogen

Legea lui Ohm n form integral pentru circuitul dat ca exemplu n figura 2.1 se scrie n felul urmtor:

321321

321

rrrRRREEEVVI BA+++++

++= , (2.9)


21

unde s-au notat cu AV i BV potenialele de la extremitile circuitului liniar, cu kE tensiunea electromotoare debitat de sursa k, cu kR rezistena segmentului pasiv de circuit k, iar cu kr rezistena intern sursei de tensiune k.

Legea lui Ohm este o lege de baz a electromagnetismului, a crei cunoatere este absolut necesar pentru rezolvarea majoritii problemelor teoretice sau practice.

2.3. Rezistene echivalente serie, paralel, transformri triunghi stea

Un rezistor echivalent al unei grupri de rezistoare este acel rezistor care supus aceleiai tensiuni la borne ca gruparea considerat las s treac acelai curent, nlocuirea gruprii cu rezistorul echivalent ne-influennd cu nimic comportarea restului circuitului.

n cazul gruprii serie vom dovedi c rezistena echivalent este egal cu suma rezistenelor legate n serie. Pentru aceasta considerm un circuit format din 3 rezistoare legate n serie, ilustrat n figura 2.2. Vom aplica legea lui Ohm pentru a exprima tensiunea de la borne n funcie de curentul din circuit, identic prin toate rezistoarele:

( )321321 RRRIRIRIRIVVVVVVVVU BDDCCABAAB ++=++=++== . (2.10)

Figura 2.2.: Grupare serie de rezistoare

Pentru cazul general a n rezistoare legate n paralel rezistena echivalent se poate exprima prin:

=

=n

kkserie RR

1. (2.11)


22

In cazul gruprii paralel de rezistene, tensiunea de la bornele fiecrei rezistene este aceeai, capetele fiecrui rezistor fiind legate n acelai punct, aa cum indic figura 2.3. In acest caz calculul rezistenei echivalente se realizeaz prin urmtoarele ecuaii.

R2

A

R1

R3

B

I3

I2

I1

I

Figura 2.3.: Grupare paralel de rezistoare

n conformitate cu legea conservrii sarcinii, sarcinile care circul n unitatea de timp prin curentul I se vor mpri prin ramurile paralele ale circuitului, astfel nct:

( )321

321321 IIIdt

dqdt

dqdtdq

dtqqqd

dtdqI ++=++=++== . (2.12)

321 RU

RU

RU

RU ABABAB

e

AB ++= . (2.13)

321

1111RRRRe

++= . (2.14)

Astfel am obinut relaia care exprim rezistena echivalent a unei grupri paralel de rezistoare. n cazul general a n rezistoare conectate n paralel, relaia este:

=

= n

k k

PARALEL

R

R

1

11 . (2.15)

O reea oarecare pasiv de rezistoare se poate echivala cu un rezistor echivalent prin echivalri succesive ale gruprilor paralel i seriem pornind de la celule mai mici ctre echivalarea n final a ntregului circuit. Exist,


23

ns, reele care nu permit un calcul al rezistenei echivalente doar prin aceste celule paralel i serie. n asemenea cazuri este recomandabil utilizarea unei echivalri triunghi stea, adic a dou circuite, una sub form de stea, alta sub form de triunghi care sunt echivalente (adic pot fi nlocuite una cu alta ntr-un circuit mai mare, fr s influeneze cu ceva funcionarea respectivului circuit) atunci cnd ntre laturile stelei i a triunghiului exist anumite relaii bine definite.

Figura 2.4 prezint cele dou circuite stea i triunghi, iar ecuaiile 2.16 i 2.17 exprim relaiile ce exist ntre laturile acestora.

R2

R1

R3

A

O

CB B

A

C

R12R31

R23

Figura 2.4.: Circuite stea i triunghi echivalente

++

=

++

=

++

=

312312

31233

312312

23122

312312

31121

RRRRRR

RRRRRR

RRRRRR

(2.16)

++=

++=

++=

2

131331

1

322223

3

212112

RRRRRR

RRRRRR

RRRRRR

. (2.17)


24

2.4. Surse de tensiune ideale i reale. Gruparea surselor de tensiune.

O surs de tensiune este un dispozitiv capabil s menin la borne o diferen de potenial constant n timp. Sursa se consider ideal atunci cnd tensiunea de la bornele sursei este independent de rezistena de sarcin ce se conecteaz la bornele sale. Caracteristica extern a unei surse de alimentare n curent continuu reprezint dependena tensiunii de la bornele sursei de intensitatea curentului electric absorbit de un consumator extern conectat la surs. Aceast caracteristic pentru o surs ideal de tensiune ar fi o dreapt paralel cu axa tensiunilor, tensiunea la bornele sursei rmnnd constant.

Pentru o surs independent obinuit, real, datorit existenei unei rezistene interne r nenule a sursei, tensiunea la bornele sale nu va mai fi constant i egal cu tensiunea sa electromotoare ci va depinde i de curentul ce se stabilete prin respective surs, i anume:

rIEU = (2.18)

Aceast ecuaie se va concretiza ntr-o caracteristic de alura unei drepte cu pant negativ. Este util de cunoscut i faptul c deteriorarea n timp a unei baterii electrice se produce prin mrirea gradat a valorii rezistenei sale interne.

Mai amintim, de asemenea, i faptul c exist surse de alimentare n curent continuu cu circuite interioare de stabilizare a tensiunii, care sunt capabile s furnizeze o tensiune constant la borne indiferent de sarcina aplicat. Unele surse au chiar facilitatea de a limita curentul care va circula prin ele, facilitate care este deosebit de important pentru protejarea echipamentelor electrice care urmeaz s fie alimentate de la respectiva surs n faa supracurenilor. Astfel, asemenea surse nu vor lsa s se stabileasc n circuit un curent mai mare dect o valoare limit aleas de utilizator, prefernd s-i reduc tensiunea atunci cnd n virtutea legii lui Ohm, curentul ar fi mai mare dect valoarea limit aleas.

Sursele de tensiune se pot grupa i ele n diferite moduri, cele mai des ntlnite cazuri fiind cele ale legrii lor n serie i n paralel.

Legarea n serie a surselor de tensiune (n curent continuu) se realizeaz de obicei prin conectarea bornelor de semn opus ale surselor imediat


25

nvecinate din grupare. Dac avem un numr de n surse, fiecare avnd tensiunea electromotoare kE i rezistena intern kr , tensiunea electromotoare i rezistena intern a gruprii lor serie va fi:

=

=n

kkserie EE

1,

=

=n

kkserie rr

1. (2.19)

La gruparea n paralel a surselor de tensiune, se grupeaz, de obicei, n acest mod numai surse avnd aceeai tensiune electromotoare ( jk EE = pentru njk ,1, ), iar tensiunea electromotoare a sursei echivalente va fi egal i ea cu aceast valoare. Rezistenele lor interne fiind legate n paralel se vor echivala conform gruprii paralel a rezistoarelor pasive.

2.5. Teoremele lui Kirchhoff

In studiul unui circuit electric trebuie definite urmtoarele noiuni:

- nodul care este punctul de intersecie a cel puin trei elemente de circuit;

- latura care este poriunea de circuit cuprins ntre dou noduri;

- ochiul sau bucla care este o succesiune de laturi ce formeaz un contur nchis.

Kirchhoff a dat urmtoarele dou teoreme pentru circuitele electrice:

Prima teorem a lui Kirchhoff:

Suma algebric a intensitilor curenilor electrici ce converg ntr-un nod oarecare al unui circuit electric este egal cu zero, n aceast sum considerndu-se cu semnul + curenii ce ies din nod i cu semnul cei ce intr n nod.

=

=n

kkI

10 . (2.20)

Aceast teorem este o consecina direct a conservrii sarcinii electrice totale ntr-un sistem izolat din punct de vedere electric. Pentru un circuit cu


26

n noduri numrul ecuaiilor independente ce se pot scrie cu prima teorem a lui Kirchhoff este 1n .

A doua teorem a lui Kirchhoff

Pe orice bucl (ochi) al unui circuit electric, suma algebric a tensiunilor electromotoare este egal cu suma algebric a cderilor de tensiune pe elementele pasive (rezistive). Suma algebric ine cont de un sens de parcurgere ales pentru respectiva bucl i atribuie semnul + oricrei tensiuni electromotoare sau cderi de tensiune ce are acelai sens cu sensul de parcurgere ales i semnul tensiunilor electromotoare i cderilor de tensiune ce au sens contrar.

= =

=s

j

n

kkkj IRE

1 1. (2.21)

Intr-un circuit cu n noduri i l laturi, teorema a doua a lui Kirchhoff permite scrierea a 1+ nl ecuaii independente.

Observm c cele dou teoreme a lui Kirchhoff permit scrierea a unui numr total de lnnl =++ 11 ecuaii pentru un circuit cu l laturi, adic exact attea ecuaii cte intensiti ale curenilor exist n circuit. Astfel un circuit electric se poate rezolva (se pot determina curenii din laturi dac se cunosc tensiunile electromotoare i rezistenele din circuit) prin aplicarea teoremelor lui Kirchhoff. Alte metode de rezolvare a circuitelor electrice sunt metoda curenilor ciclici, metoda potenialelor la noduri, metoda generatorului echivalent, etc.

2.6. Energia i puterea electric

Experimental s-a constatat c la trecerea curentului electric printr-un rezistor, se dezvolt o cantitate de cldur egal cu:

tIRQ = 2 . (2.22)

Acest fenomen numit efect termic al curentului electric, are urmtoarea explicaie fenomenologic: electronii n micarea lor dirijat realizeaz ciocniri succesive cu suportul masic al conductorului, ciocniri n cursul crora ei cedeaz din energia cinetic acumulat n timpul cursei libere o


27

cantitate care va contribui la amplificarea micrii termice moleculare, deci la creterea temperaturii conductorului.

Aceast cldur degajat este, de fapt, energia consumat de respectivul rezistor R i transformat n energie termic, cci n virtutea conservrii energiei ceea ce se degaj, este consumat de undeva, adic, n acest caz de la sursele de energie electric din sistem, din circuit.

Desigur, n funcie de natura unui receptor electric, energia electric poate fi transformat i n alte forme de energie (mecanic, luminoas, etc.).

Puterea este o mrime fizic scalar ce exprim viteza de variaie a energiei n timp:

dtdWP = . (2.23)

In cazul n care un sistem dezvolt energie continuu i uniform ceea ce nseamn c energia respectiv va fi direct proporional cu timpul, puterea

se va putea exprima ca raportul dintre energia dezvoltat i timp, t

WP = .

Puterea dezvoltat de un sistem oarecare reprezint capacitatea sistemului de a produce o anumit energie n unitatea de timp. Dou sisteme productoare de energie electric se deosebesc prin puterea pe care o au, adic prin capacitatea lor de a produce energie n unitatea de timp (sau ntr-un interval de timp anume).

Fenomenele energetice ce au loc n circuitele electrice se produc respectndu-se principiul general al conservrii energiei. Astfel, particulariznd teorema general a conservrii energiei la cazul unui circuit electric izolat, putem afirma:

ntr-un circuit electric izolat din punct de vedere electric energia produs de totalitatea surselor de tensiune este egal cu energia consumat de elementele pasive ale circuitului.

OUTIN WW = . (2.24)

Energiile produse de surse sunt pozitive n cazul n care sensul curentului prin latura ce conine sursa este acelai cu sensul n care sursa debiteaz


28

i ele sunt negative n caz contrar (cnd sursa funcioneaz, de fapt, n regim de consumator). Energiile consumate sunt ntotdeauna pozitive.

Scriind acest bilan energetic pentru unitatea de timp, adic mprind ecuaia 2.24 la intervalul de timp, obinem bilanul puterilor ntr-un circuit electric:

= 2IRIE . (2.25) Acest bilan energetic constituie o puternic modalitate de verificare a rezultatelor unei probleme de rezolvare a circuitelor.

2.7. Transportul energiei electrice n curent continuu

Se consider o linie de transport a energiei electrice n curent continuu de la o surs ctre un consumator caracterizat de rezistena R . Linia este alctuit din dou conductoare confecionate dintr-un material avnd rezistivitatea i seciunea transversal S . Distana de la surs la consumator este l . Fie 1U i 2U tensiunile la bornele de intrare i de ieire ale liniei (figura 2.5).

Rezistena total a liniei este:

SlRl = 2 . (2.26)

Cderea de tensiune pe linia de transport:

21 UUU = . (2.27)


29

R

l

U2

U/2

I

U/2

U1

Figura 2.5.: Transportul energiei electrice n curent continuu

Intensitatea curentului prin circuit este:

RU

RRUIl

21 =+

= , (2.28)

de unde obinem pentru cderea de tensiune pe linie:

IRU l = . (2.29)

Pierderea de putere din linie se calculeaz n mod similar: 2

2121 IRIUIUIUPPP l ==== . (2.30)

Randamentul liniei de transport este:

( ) 111

1

22

2

1

2 1UU

UUU

UU

RRR

IRRIR

PP

ll

=

==

+=

+

== . (2.31)

Observm din ecuaia (2.31) c pentru un randament ct mai bun al transportului energiei electrice, tensiunea 1U trebuie s aib o valoare ct mai mare.


30

2.8. Transferul maxim de putere

Se consider un circuit simplu de curent continuu alctuit dintr-o surs de tensiune electromotoare E i rezisten intern r i un consumator de rezisten R (figura 2.6) i se pune problema determinrii valorii rezistenei R pentru care puterea primit de aceasta este maxim.

Figura 2.6.: Circuit electric simplu format dintr-o surs de tensiune i un rezistor

Puterea consumat n acest consumator este:

( )2

22 E

rRRIRPR +

== . (2.32)

O funcie are un maxim local acolo unde derivata funciei se anuleaz:

( ) ( )( ) ( )3

24

22 2

rRRrE

rRrRRrRE

dRdPR

+

=+

++= . (2.33)

0=dRdPR rR = . (2.34)

Aadar, puterea consumat de rezistor este maxim atunci cnd valoarea ei este egal cu rezistena intern a sursei. n acest caz, puterea consumat n rezistor:

rEPR 4

2

= , (2.35)

iar randamentul cu care funcioneaz n acest caz circuitul este:

E, r R


31

5,0=+

==rR

RPPsursa

R . (2.36)

2.9. Metoda potenialelor la noduri

Metoda de rezolvare a circuitelor electrice de curent continuu prin Teoremele lui Kirchhoff prezint dezavantajul unui numr ridicat de ecuaii, egal cu numrul de laturi ale circuitului. Pentru circuite complexe aceasta poate reprezenta un impediment major i este preferabil utilizarea unor metode de rezolvare ce permit reducerea considerabil a numrului de ecuaii. Una dintre aceste metode este metoda potenialelor la noduri.

Metoda potenialelor la noduri permite reducerea numrului de ecuaii ale sistemului ce se impune spre rezolvare pentru aflarea curenilor din laturile unui circuit la N-1 ecuaii, N fiind numrul de noduri ale circuitului. Metoda apeleaz la o etap anterioar n care se determin prin rezolvarea sistemului de N-1 ecuaii potenialele nodurilor sistemului, urmnd apoi ca s determinm curenii din fiecare latur cu ajutorul legii conduciei electrice (Legea lui Ohm). Sistemul de rezolvat va avea N-1 ecuaii i nu N dei circuitul are N noduri, deoarece potenialul unui nod se poate considera ca fiind nul. Acest lucru este corect pentru c potenialul electric nu este o mrime unic determinat, el depinde ntotdeauna de o referin, iar n cadrul circuitului nostru complet, care este aadar un sistem nchis, suntem liberi s alegem noi referina. Se alege un nod de potenial 0, se determin apoi potenialele celorlalte noduri i apoi curenii din laturile circuitului.

Pentru expunerea metodei vom considera un circuit de curent continuu care are cinci laturi (L=5) i trei noduri (N=3).


32

Figura 2.7. Circuit de curent continuu

Sistemul de ecuaii ce se impune spre rezolvare n cazul metodei potenialelor la noduri are N-1 ecuaii, n acest caz dou ecuaii :

( )

( )

=+

=+

2222121

1212111

sc

sc

IVGVG

IVGVG (2.37),

unde V1 i V2 sunt potenialele nodurilor 1 i 2, potenialul celui de al treilea nod fiind ales ca referin nul; Gii reprezint conductana nodului i i este egal cu suma aritmetic a conductanelor laturilor concurente n nodul i; Gij= Gji reprezint conductana comun nodurilor i i j i este egal cu suma aritmetic, luat cu semnul minus a conductanelor laturilor care unesc direct

cele dou noduri i i j; iar - ( )Isc i reprezint suma algebric a curenilor de

scurtcircuit injectai n nodul i.

Cunoscnd potenialele nodurilor (care se obin prin rezolvarea sistemului, curentul dintr-o latur a circuitului se determin cu relaia:

IE V V

RA B=

+

, (2.38)

2.9. Metoda curenilor ciclici

Metoda curenilor ciclici permite reducerea numrului de ecuaii ale sistemului ce se impune spre rezolvare pentru determinarea curenilor din laturile circuitului, la numrul buclelor independente ale circuitului, care se poate dovedi uor c este n direct relaie cu numrul laturilor i a nodurilor circuitului (b=l-n+1). n acest scop sistemul apeleaz la un pas intermediar, n cadrul cruia considerm c toi curenii din laturile circuitului nostru se pot descompune n nite cureni ciclici care circul doar de-a lungul unei bucle anume. Astfel, curentul printr-o latur ce aparine unei singure bucle independente va fi egal cu acel curent ciclic care circul prin respective bucl, iar curentul printr-o latur ce aparine mai multor bucle independente va fi suma algebric a curenilor ciclici prin acele bucle ce conin respective latur, sum n care curenii ciclici opui ca i sens curentului din latur se iau cu semnul minus. Paii sunt: alegerea buclelor independente i ale sensurilor curenilor ciclici, scrierea sistemului de ecuaii, rezolvarea sa i apoi, determinarea curenilor din latur avnd curenii ciclici.


33

Sistemul de ecuaii dat de metoda curenilor ciclici pentru circuitului din figura 2.7 are L-N+1 ecuaii (n acest caz trei ecuaii) i este:

( )

( )

( )

=++

=++

=++

3333232131

2323222121

1313212111

EIRIRIR

EIRIRIR

EIRIRIR

(2.39),

n care: I1, I2, I3, sunt curenii ciclici, figurai n figura 2.7; Rii reprezint rezistena ochiului i i este egal cu suma aritmetic a rezistenelor laturilor ochiului i; Rij = Rji este rezistena comun ochiului i i j, egal cu suma algebric a rezistentelor laturilor comune celor dou ochiuri (sunt pozitive rezistenele laturilor parcurse de curenii Ii i Ij n acelai sens);

( )E i reprezint suma algebric a t.e.m. ale surselor din laturile ochiului i (sunt pozitive t.e.m. care au acelai sens cu Ii).


34

CAPITOLUL 3 ELECTROMAGNETISMUL

3.1. Fora electromagnetic i momentul electromagnetic

Se numete fora electromagnetic fora la care este supus un conductor parcurs de curent electric n prezena unui cmp magnetic exterior. Aceast for este perpendicular pe cele dou direcii ale conductorului i ale cmpului magnetic, iar sensul su este dat de regula burghiului drept.

n cazul n care conductorul este rectiliniu de lungime l iar cmpul magnetic este omogen, fora electromagnetic are expresia:

sin= lIBF . (3.1)

Mrimea B care intervine n expresia forei electromagnetice caracterizeaz cmpul magnetic n care se gsete conductorul i se numete inducie magnetic. Unitatea ei de msur n SI este 1 Tesla (1 T). Inducia magnetic este o mrime vectorial a crei direcie este tangent n orice punct la sensul liniilor de cmp magnetic. ntr-un cmp magnetic omogen, inducia magnetic are acelai modul, direcie i sens n orice punct al cmpului. Inducia magnetic ntr-un punct oarecare din spaiul de influen al unui cmp magnetic produs de un curent electric depinde de:

- intensitatea curentului care produce cmpul;

- natura mediului n care este situat circuitul (prin permeabilitatea sa magnetic );

- forma circuitului;

- poziia punctului respectiv.

Dac se noteaz cu lI vectorul al crui modul este egal cu produsul dintre lungimea conductorului i intensitatea curentului, are direcia conductorului i sensul curentului, fora electromagnetic se poate exprima ca fiind un produs vectorial:

BlIF = . (3.2)


35

Fora Lorentz este fora electromagnetic ce se exercit asupra unui electron (de sarcin e ) ce se deplaseaz cu viteza medie mv prin seciunea transversal S a conductorului de lungime l . Dac nlocuim n expresia forei electromagnetice (3.2) curentul electric cu expresia fluxului a n electroni ce se deplaseaz prin seciunea transversal S , mvSenI = , obinem expresia forei Lorentz:

( ) Bven

BvlSennFf mm =

== . (3.3)

innd cont c asupra unui purttor de sarcin electric aflat ntr-o zon n care exist i cmp electric, acioneaz i o for electric, fora Lorentz ce exprim aciunea cmpurilor electric i magnetic asupra unei sarcini electrice este:

( )BvEqF += . (3.4) Aciunea cmpului electromagnetic asupra unei bucle prin care trece un curent electric are ca efect apariia unui moment de rotaie. Momentul depinde de forma buclei i de orientarea acesteia fa de cmpul magnetic. Din nsi definiia forei electromagnetice (3.2) se observ c acele laturi ale buclei a cror direcie este paralel cu cea a cmpului magnetic, nu dau nici o for electromagnetic, iar n cazul unei bucle dreptunghiulare, forele electromagnetice ce acioneaz asupra laturilor neparalele cu cmpul magnetic sunt egale n modul i opuse ca i sens. Avem atunci de a face cu un cuplu de fore care va tinde s rsuceasc bucla parcurs de curent n jurul axei sale perpendiculare pe cmpul magnetic.

Momentul cuplului electromagnetic ce acioneaz din partea unui cmp magnetic asupra unei bucle dreptunghiulare de dimensiunile lL este:

sinsinsin2

2 === BmBlLIlFM em (3.5)

In ecuaia (3.5), este unghiul dintre B i normala la planul buclei parcurse de curent, iar cu lLIm = s-a notat momentul dipolar al circuitului. Pentru bucle de circuit de alt form dect dreptunghiular, acest moment dipolar are alt expresie, dar legtura dintre inducia cmpului magnetic i momentul electromagnetic rmne valabil. Momentul dipolar al unui circuit


36

se poate defini i vectorial ca fiind un vector perpendicular pe planul circuitului, cu sensul dat de regula burghiului sensul de avans al unui burghiu drept care se rotete n sensul curentului din circuit. n acest caz, putem scrie pentru momentul cuplului electromagnetic:

BmM = . (3.6)

3.2. Legea Biot-Savart i formula lui Laplace

Se consider un conductor rectiliniu, infinit de lung, prin care i manifest prezena un curent constant de intensitate I i un punct M oarecare, situat la distana r de conductor. Biot i Savart au stabilit pe cale experimental c inducia magnetic produs de curentul din conductor n punctul considerat este:

rIB

=

2 , (3.7)

unde permeabilitatea magnetic caracterizeaz proprietile magnetice

ale mediului i are n SI unitatea de msur

mH . Permeabilitatea

magnetic a vidului este o constant universal i are valoarea:

mH7

0 104= . (3.8)

Raportul dintre permeabilitatea magnetic a unui mediu oarecare i permeabilitatea magnetic a vidului este o mrime adimensional numit permeabilitate magnetic relativ:

0 =r . (3.9)

Inducia magnetic este tangent la linia de cmp ce trece prin punctul M i are sensul acesteia. Liniile de cmp magnetic produse de curentul printr-un conductor infinit de lung sunt cercuri concentrice, cu centrele pe axa conductorului i situate n plane perpendiculare pe conductor. Sensul liniilor de cmp este dat de regula burghiului drept. Observm aici c : spre deosebire de liniile de cmp electric ce pleac de pe sarcinile pozitive


37

electrice i se termin pe sarcinile negative, liniile de cmp magnetic sunt curbe nchise, ce nu au nceput i sfrit. Acest lucru a condus pe muli fizicieni s considere c nu exist o particul elementar responsabil de interaciunea magnetic.

Plecnd de la relaia experimental stabilit de Biot i Savart, Laplace a obinut pe cale analitic expresia induciei magnetice produse de un element dl al unui circuit conductor de form oarecare ( )C , n care i manifest prezena un curent electric de intensitate I , ntr-un punct M situat la distana r de elementul de circuit considerat, ntr-o direcie ce face cu elementul de circuit dl un unghi :

Figura 3.1.

sin

4 2

=

rdlIdB . (3.10)

Direcia vectorului Bd este tangent la linia de cmp ce trece prin punctul M i are sensul acesteia. Vectorial se poate scrie pentru inducia magnetic elementar:

34 rrdlIdB =

. (3.11)

Inducia total n punctul considerat se obine nsumnd induciile elementare produse de fiecare element de curb a circuitului:

( )=C

dBB . (3.12)

Aceast formul a lui Laplace permite calculul induciei magnetice produse de un circuit de form oarecare n orice punct al spaiului.

dl

I

r

(C)

dB M


38

3.3. Intensitatea cmpului magnetic

Din expresia (3.7) a legii Biot Savart se observ c acelai curent electric ce parcurge un acelai conductor infinit de lung produce cmpuri magnetice diferite n funcie de mediul n care se afl conductorul. Termenul comun al acestor inducii magnetice se numete intensitate a cmpului magnetic, este o mrime vectorial independent de mediu, dependent numai de intensitatea curentului electric ce genereaz cmpul magnetic, de forma i dimensiunile circuitului i de poziia circuitului considerat. Pentru cmpul magnetic produs de un conductor infinit de lung prin care i manifest prezena un curent constant de intensitate I i un punct M oarecare, situat la distana r de conductor, intensitatea cmpului magnetic are valoarea:

[ ]mArIH

=2 . (3.13)

Direcia i sensul intensitii cmpului magnetic sunt aceleai ca cele ale induciei magnetice. Relaia dintre aceste dou mrimi este ntotdeauna:

HB = . (3.14)

In mediile neferomagnetice dependena dintre B i H este liniar iar permeabilitatea magnetic constant. n mediile feromagnetice dependena dintre B i H este neliniar i este dat de curba de histerezis a materialului respectiv. Pe aceast curb de histerezis (fig. 3.2.) se disting urmtoarele poriuni:

- poriunea OM, practic liniar, n care permeabilitatea magnetic este aproximativ constant;

- poriunea MN, numit i cotul curbei, n care apare o dependen neliniar ntre B i H ;

- poriunea NP sau zona de saturaie, n care unor creteri mari ale intensitii cmpului magnetic corespund variaii mici ale induciei magnetice, n aceast zon scznd cu creterea lui H .


39

Figura 3.2.: Curba de histerezis pentru materiale feromagnetice

3.4. Legea circuitului magnetic (teorema lui Ampre)

Fie n conductoare oarecare n care i manifest prezena cureni de intensitile NIII ,,, 21 i o curb nchis ( )C care nconjoar aceste conductoare. Se numete curent total sau solenaie suma algebric a intensitilor tuturor curenilor care strbat suprafaa delimitat de curba ( )C .

=

==n

kkt II

1. (3.15)

Semnul cu care intervin curenii n sum depinde de sensul de parcurgere a conturului, n funcie de care se determin cu regula burghiului drept sensul pozitiv al normalei la suprafaa delimitat de ( )C . Curenii sunt pozitivi n sum dac au acelai sens cu normala i negativi n caz contrar. De exemplu, pentru figura 3.3 solenaia este:

I1

(C)

n I2I3

I4 I5

Htdl

H

54321 IIIIIIt +++== (3.16)

N

H O

M


40

Figura 3.3.

Fiecare din cei n cureni produce un cmp magnetic. Aceste cmpuri se compun n fiecare punct din spaiul lor de influen, dnd natere unui cmp magnetic rezultant. Se consider M un punct oarecare de pe curba ( )C i dl un element de lungime de pe curb n jurul acestui punct. Intensitatea cmpului magnetic H formeaz cu direcia elementului de curb un unghi notat cu , iar componenta pe direcia elementului de curb a acestei intensiti are valoarea:

cos= HHt . (3.17)

Conform legii circuitului magnetic, suma algebric a produselor dlHt dintre componentele tangeniale ale intensitii cmpului magnetic i elementele de lungime corespunztoare din componena unui contur nchis este egal cu solenaia sau curentul total ce strbate suprafaa delimitat de respectivul contur. Produsele dlHt sunt pozitive dac vectorii tH i dl au acelai sens i sunt negative n caz contrar.

== tt IdlH sau == tC

IdlH)(

. (3.18)

Legea circuitului magnetic permite calculul intensitii cmpului magnetic i a induciei magnetice n orice punct din spaiul de influen al unui cmp magnetic, att n interiorul ct i n exteriorul conductoarelor.

Produsele dlH se numesc cderi de tensiune magnetic pe poriunile respective ale circuitului. Solenaia mai poate i numele de tensiune magnetomotoare.

O aplicaie foarte simpl a legii circuitului magnetic: calculul intensitii cmpului magnetic prin interiorul unui miez toroidal pe care este bobinat un conductor parcurs de un curent electric I , bobinajul avnd N spire, iar miezul toroidal avnd raza R .


41

R

N

I

Figura 3.4.

( )RINHINRH

==

2

2 .

3.5. Inductana proprie a unui circuit

Fie un circuit oarecare n care i manifest prezena un curent electric de intensitate I . Curentul produce un cmp magnetic ale crui linii de cmp sunt cercuri concentrice cu centrul pe axul conductorului, perpendiculare n orice punct al conductorului pe axul su. Sensul liniilor de cmp se determin cu regula burghiului drept.

Fluxul magnetic printr-o suprafa oarecare reprezint numrul liniilor de cmp care strbat perpendicular suprafaa respectiv i el este o mrime fizic scalar definit prin relaia:

SBm = . (3.19)

Unitatea sa de msur n SI este un Weber (1 Wb).

Fluxul magnetic propriu al circuitului ( )C reprezint totalitatea liniilor de cmp magnetic produse de curentul din acel circuit, care strbat suprafaa delimitat de ( )C . Acest flux magnetic se poate exprima i sub forma:

ILm = , (3.20)

unde L se numete inductivitate sau inductan proprie a circuitului ( )C i depinde de forma i dimensiunile circuitului i de natura mediului n care se gsete circuitul.


30

Inductana proprie a unui circuit este o constant a circuitului atunci cnd acesta este nedeformabil i se gsete ntr-un mediu neferomagnetic sau ntr-un mediu feromagnetic dar departe de zona de saturaie a dependenei

( )HBB = . n SI inductana se msoar n Henri (1 H).

n cazul n care circuitul este alctuit din mai multe spire nseriate, se definete fluxul total ca suma fluxurilor care strbat toate spirele circuitului:

= km . (3.21)

Dac spirele sunt identice, jkjk ,,= i fluxul total va fi:

= Nm , (3.22)

iar inductana proprie a circuitului capt expresia:

INL = . (3.23)

3.6. Inductana mutual dintre dou circuite

Fie dou circuite oarecare n care i manifest prezena cureni de intensitate 1I i, respectiv, 2I . Curentul 1I produce un cmp magnetic i o parte din liniile de cmp ale acestuia strbat suprafaa mrginit de circuitul al doilea. Totalitatea liniilor de cmp produse de circuitul 1 i care strbat mrginit de circuitul 2 dau un flux magnetic 12 (primul indice corespunde circuitului surs, iar al doilea suprafeei traversate). Este evident c acest flux va fi proporional cu intensitatea curentului electric ce l genereaz:

11212 IM = , (3.24)

unde factorul de proporionalitate se numete inductana mutual a circuitului 1 fa de circuitul 2 i se definete prin relaia:

1

1212 I

M = . (3.25)


31

Dac cele dou circuite sunt nedeformabile, i pstreaz poziia relativ una fa de cealalt i se gsesc ntr-un mediu neferomagnetic sau ntr-un mediu feromagnetic dar departe de zona de saturaie a dependenei

( )HBB = , 12M este o constant. n caz contrar 12M depinde de 1I .

n SI inductana mutual se msoar n Henri (1 H).

n mod analog, inductana mutual a circuitului 2 fa de circuitul 1 i se definete prin relaia:

2

2121 I

M = . (3.26)

Se poate demonstra c cele dou inductane mutuale sunt egale ntre ele.

3.7. Legea induciei electromagnetice

Fenomenul induciei electromagnetice a fost descoperit de Faraday n 1831 pe cale experimental: el a deplasat un circuit conductor nchis fa de un magnet permanent i a constatat apariia unui curent electric n respectivul circuit atta timp ct avea loc micarea relativ a circuitului fa de cmpul magnetic. Schimbnd sensul de deplasare, se schimba i sensul curentului. Aceleai fenomene au aprut i n cazul deplasrii magnetului fa de circuitul meninut fix.

Cauza apariiei tensiunii electromotoare (t.e.m.) n circuit i deci a curentului electric o constituie variaia n timp a fluxului magnetic care traverseaz suprafaa delimitat de circuit. Aceast t.e.m. a fost denumit t.e.m. indus, iar fenomenul inducie electromagnetic. Concluzia experimental a fost c t.e.m. indus este proporional cu viteza de variaie n timp a fluxului magnetic prin suprafaa delimitat de circuit:

dtdke m= . (3.27)

Factorul de proporionalitate are valoarea -1 i se determin conform principiului lui Lentz, ce deriv din principiul general al aciunii i reaciunii: orice efect al unui fenomen se opune cauzei care l-a produs, pn la stabilirea unui echilibru.


32

Aplicat circuitelor electrice, principiul lui Lentz se enun astfel: Sensul t.e.m. ntr-un circuit este astfel nct curentul pe care l genereaz n cazul n care circuitul este nchis se opune (prin cmpul magnetic generat de acest curent) modului de variaie al fluxului magnetic inductor. Dac fluxul inductor crete, sensul liniilor cmpului indus va fi opus sensului liniilor de cmp inductor. Dac fluxul inductor descrete, cmpul indus va avea acelai sens cu acesta.

innd seama i de principiul lui Lentz, se poate scrie forma final a legii induciei electromagnetice:

dtde m= . (3.28)

Se definete i tensiunea electromotoare autoindus ca fiind acea tensiune electromotoare de inducie ce apare ca urmare a variaiei fluxului magnetic propriu al circuitului (adic al intensitii curentului chiar prin acel circuit).

dtdIL

dtde mL =

= . (3.29)

3.8. Justificarea energetic a legii induciei electromagnetice

Se consider dou bare metalice paralele, bine lefuite, pe care poate aluneca fr frecare un conductor rectiliniu, perpendicular pe cele dou bare (fig. 3.5.). Conductorul este conectat la o surs de energie electric avnd tensiunea electromotoare E , iar rezistena total a circuitului R . Atunci, conform legii lui Ohm, intensitatea curentului prin circuit are valoarea:

REI =0 . (3.30)


33

Figura 3.5.: Conductor deplasat n cmp magnetic

Se introduce sistemul ntr-un cmp magnetic omogen de inducie B perpendicular pe planul celor dou bare. Asupra conductorului se va exercita atunci o for electromagnetic ce are modulul:

lIBF = . (3.31)

Fora este perpendicular pe liniile de cmp i pe conductor, iar sensul ei este dat de regula minii stngi (fiind cel indicat n figura 3.5.). Sub aciunea acestei fore conductorul se va deplasa. Fie dx deplasarea conductorului n timpul dt . Energia debitat de sursa de tensiune va trebui s acopere energia consumat prin efect Joule i energia mecanic necesar deplasrii conductorului. Ecuaia de bilan energetic, scris n energii i apoi n puteri este:

mJs dWdWdW += mJs PPP += . (3.32)

Cele trei puteri, puterea debitat de surs, puterea consumat prin efect Joule i puterea mecanic necesar deplasrii conductorului au expresiile:

==

=

=

dtdxlIBvFP

IRPIEP

mm

J

s2

. (3.33)

nlocuind n (3.31) i simplificnd cu I , obinem:

B E

R

F

dx

l


34

dtdIR

dtdsBIR

dtdxlBIRE m+=+=+= , (3.34)

unde ldxds = este suprafaa descris de conductor n micarea sa iar dsBd m = este fluxul magnetic prin suprafaa descris de conductor.

Curentul prin circuit are expresia:

Rdt

dEI

m= , (3.35)

unde termenul dt

de m= are dimensiunile unei tensiuni i se numete

tensiune electromotoare de inducie. Observm c t.e.m. de inducie are sens contrar tensiunii electromotoare E cnd fluxul magnetic inductor crete i are acelai sens cu E cnd fluxul magnetic scade.

Se poate considera problema i invers: acelai sistem ca cel figurat n figura 3.5. doar c n acest caz conductorul este deplasat cu ajutorul unei fore exterioare, iar sursa E este pasivizat, rmnnd n locul ei doar un circuit electric nchis cu rezistena total R . n virtutea faptului c lucrul mecanic executat de fora exterioar pentru deplasarea cu vitez constant

dtdxv = a conductorului trebuie s se regseasc n energia electric

consumat prin efect Joule n circuit, obinem:

JmJm PPWW == 2IRdtdxF = . (3.36)

Pentru ca viteza de deplasare s fie constant, va trebui ca fora exterioar s fie egal cu fore electromagnetic i putem scrie:

dtdeIR

dtdsBIR

dtdxlIB m=== 2 . (3.37)


35

CAPITOLUL 4 CURENTUL ALTERNATIV MONOFAZAT

4.1. Funcii periodice, alternative i sinusoidale

Semnalele electrice la modul cel mai general sunt variabile n timp dup o funcie oarecare ( )tf . n cazul n care valorile funciei se repet dup un interval de timp T , numit perioad, acea funcie se numete periodic:

( ) ( ) ( ) +==+= nTntfTtftf ,... . (4.1)

Numrul de perioade din unitatea de timp se numete frecven i se msoar n SI n Hertz (Hz).

Tf 1== . (4.2)

O funcie periodic este alternativ dac valorile ei se repet cu semn schimbat dup fiecare semiperioad:

( )

+=

2Ttftf . (4.3)

Un caz i mai particular de funcie periodic, alternativ este funcia sinusoidal, care este ntotdeauna de forma:

( )0max sin += tYy , (4.4)

unde s-a notat cu:

- y valoarea variabil n timp a mrimii alternative sinusoidale, valoare ce se numete valoare instantanee i indic la fiecare moment de timp ce valoare are semnalul respectiv;

- maxY amplitudinea semnalului sinusoidal;

- T

f == 22 pulsaia funciei sinusoidale;

- 0 faza iniial a funciei.


36

O mrime sinusoidal se poate reprezenta fie n funcie de timp, fie n funcie de produsul dintre pulsaie i timp. Dou mrimi sinusoidale sunt n faz dac trec simultan prin 0 i prin valorile maxime, respectiv minime. O funcie sinusoidal este defazat naintea alteia dac trece prin 0 i prin valorile maxime, respectiv minime naintea ei i este defazat n urm n caz contrar.

Diferena dintre fazele a dou mrimi sinusoidale se numete defazaj:

( ) ( ) 02010201 =++= tt . (4.5)

Dac defazajul este nul se spune c mrimile sunt n faz, dac este egal cu se spune c sunt n opoziie de faz.

O funcie de timp sinusoidal, de frecvena dat, este complet caracterizat de dou valori scalare: amplitudinea sau valoarea efectiv i faza iniial. Prin definiie, valoarea efectiv a unei mrimi sinusoidale de curent alternativ este valoarea echivalent e unei mrimi de curent continuu care manifestndu-i prezena prin acelai rezistor ca i curentul alternativ dat, produce aceeai cantitate de cldur n unitatea de timp. Valoarea efectiv se noteaz prin litera mare corespondent simbolului mrimii sinusoidale respective.

Este de subliniat i de reinut c valoarea efectiv este cea indicat de aparatele de msur n curent alternativ, c legile electrotehnicii se verific doar n valori instantanee, nu i n valori efective

Conform definiiei de mai sus putem scrie ecuaiile pentru intervalul de timp de o perioad a semnalului de curent alternativ:

.

( ) ( )

=

=

=

===

=

=

TIRttIR

dttIRtIRdttiRQ

TIRQQQ

T

TTT

ca

cc

ccca

2max

0

2max

0

2max0

22max0

2

2

21

22sin

21

22cos1sin

. (4.6)

Din ecuaiile (4.6) se deduce valoarea efectiv a unei mrimi alternative sinusoidale (fie c este vorba de un curent sau de o tensiune):


37

2maxYY = . (4.7)

Avnd n vedere faptul c mrimea sinusoidal de curent alternativ ( ) ( ) += tYty sin2 este univoc determinat, la o frecvena dat, de

valoarea efectiv i de faza iniial, acesteia i se poate asocia un vector liber caracterizat de un modul egal cu valoarea efectiv i de un unghi n sens trigonometric fa de o direcie aleas de referin egal cu faza iniial. Drept exemplu, n figura 4.1 sunt reprezentate fazorial dou mrimi sinusoidale:

( )

( )

+=

+=

3100sin210

6100sin25

2

1

tty

tty

. (4.8)

Figura 4.1.: Reprezentarea fazorial a mrimilor sinusoidale

Cu ajutorul acestei reprezentri fazoriale se poate uura efectuarea multor operaii de adunare, scdere a mrimilor sinusoidale, ea fcndu-se dup regulile de adunare, scdere a vectorilor.

Construciile grafice realizate cu ajutorul fazorilor se numesc diagrame fazoriale.

4.2. Producerea tensiunii electromotoare alternative sinusoidale

Se consider o spir plan, de suprafa S , care se rotete ntr-un cmp magnetic omogen de inducie B , n jurul unui ax perpendicular pe direcia laturilor de cmp, cu vitez unghiular constant (figura 4.2). La

O

60

3O x

Y 1

Y 2


38

momentul iniial se consider c suprafaa spirei este perpendicular pe direcia liniilor de cmp magnetic, iar dup un interval de timp oarecare t normala la suprafaa spirei va face cu liniile de cmp magnetic un unghi de

t (acest lucru se deduce direct din ecuaia micrii de rotaie cu vitez unghiular constant t+= 0 ). Fluxul magnetic care traverseaz suprafaa spirei la un moment dat este:

( ) ( ) ( )ttSBSBt === coscos , (4.9)

unde s-a notat cu liter mic valoarea instantanee i cu liter mare valoarea maxim a fluxului.

Figura 4.2.: Producerea tensiunii electromotoare sinusoidale

Fluxul magnetic este variabil n timp i, conform legii induciei electromagnetice a lui Faraday, n spir se induce o tensiune electromotoare indus:

( )tdtde == sin . (4.10)

Observm c prin aceast modalitate, n spira rotit cu vitez unghiular constant ntr-un cmp magnetic constant se induce o tensiune electromotoare sinusoidal alternativ. Valoarea maxim a tensiunii electromotoare induse este:

= SBEmax . (4.11)

N

S

B n

n


39

Observm, de asemenea, c tensiunea electromotoare este defazat fa

de fluxul magnetic n urm cu 2 .

4.3. Circuite simple n regim de curent alternativ

In cadrul acestui subiect se trateaz comportamentul unor elemente de circuit pasive atunci cnd acestea sunt supuse unei tensiuni sinusoidale de forma:

( ) ( )tUtu = sin2 . (4.12)

Pentru un element de circuit oarecare supus unui regim de lucru alternativ sinusoidal se definete impedana ca fiind raportul dintre valoarea efectiv a tensiunii de la bornele sale i valoarea efectiv a curentului ce l parcurge:

IUZ = . (4.13)

Unitatea de msur n SI pentru impedan este Ohmul ( ).

Circuit de curent alternativ format dintr-un rezistor i o surs

Se consider circuitul simplu din figura 4.3.

u(t) R

Figura 4.3.: Circuit cu rezistor

Acestui circuit se aplic legea lui Ohm pentru circuite omogene i se obine pentru expresia curentului alternativ ce parcurge rezistorul:

( ) ( ) ( )tRU

Rtuti == sin2 (4.14)

Se deduse imediat faptul c: Impedana unui rezistor este egal cu rezistena sa ohmic i faptul c un rezistor nu defazeaz curentul fa de tensiune.


21

Puterea instantanee absorbit de rezistor este:

( ) ( ) ( ) ( )tIUtitutp == 2sin2 . (4.15)

Reprezentarea fazorial a tensiunii i a curentului pentru acest circuit este redat n figura 4.4.

Figura 4.4.: Diagrama fazorial pentru circuitul simplu de curent alternativ cu rezistor

Circuit de curent alternativ format dintr-o bobin ideal i o surs

Se consider circuitul simplu din figura 4.5 n care o bobin ideal fr rezisten proprie i de inductivitate L este alimentat de la o surs de tensiune electric alternativ. Dac sursa ar fi de tensiune continu, bobina ideal s-ar comporta ca un conductor ce ar scurtcircuita bornele sursei. n cazul sursei de tensiune alternativ, n circuit i va manifesta prezena un curent tot alternativ ( ) ( ) += tIti sin2 . Acest curent va produce un cmp magnetic variabil i el, iar conform legii induciei electromagnetice, n circuit va apare i o tensiune electromotoare indus:

( )dtdiL

dttdei ==

. (4.16)

u(t) L

Figura 4.5.: Circuit cu bobin ideal

Aplicnd cea de a doua teorem a lui Kirchhoff pentru acest circuit se obine:

dtdiLueu i ==+ 0 . (4.17)

Din aceast ecuaie se obine pentru curent:

( ) ( )

=

=

== 2sin2

1cos21sin21

tUL

tUL

dttL

UdtuL

i .

(4.18)


25

Putem deci afirma c: Impedana unei bobine ideale este egal cu reactana sa inductiv LXZ LL == i o bobin ideal defazeaz curentul

cu 2 n urma tensiunii.

Puterea instantanee din acest circuit este:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )tUIttIUttIUtitutp 2sincossin22

sinsin2 ==

== .

(4.19)

Observm c puterea instantanee este o mrime alternativ sinusoidal cu frecvena dubl fa de cea a tensiunii i a curentului.


Figura 4.6.: Diagrama fazorial pentru circuitul simplu de curent alternativ cu o bobin ideal

Circuit de curent alternativ format dintr-un condensator i o surs

Se consider un circuit alctuit dintr-un condensator de capacitate C alimentat de la o surs de tensiune sinusoidal (4.12). Rezistena dielectricului dintre armturile condensatorului se consider a fi infinit, astfel c nu exist fenomen de conducie ntre armturi. Din acest motiv, dac se aplic o tensiune constant la bornele unui condensator, acesta se va ncrca ntr-un interval de timp foarte scurt, numit regim tranzitoriu, dup care n respectivul circuit nu va exista un regim dirijat de purttori de sarcin ( 0=I ).

La aplicarea unei tensiuni sinusoidale la bornele condensatorului, armturile acesteia se vor ncrca i se vor descrca cu frecvena tensiunii aplicate, n circuit stabilindu-se un curent sinusoidal ntre bornele sursei i armturile condensatorului:

O x

I

U


26

( ) ( ) += tIti sin2 . (4.20)

Figura 4.7 ilustreaz acest circuit simplu format dintr-un condensator i o surs de tensiune alternativ sinusoidal.

u(t) C

Figura 4.7.: Circuit simplu cu un condensator

Cantitatea de electricitate cu care se ncarc armturile condensatorului este:

UCq = . (4.21)

Intensitatea curentului prin circuit este prin definiie :

( )tUCdtduC

dtdqi cos2 === .

(4.22)

Apelnd la relaiile de baz ale trigonometriei, obinem:

( ) .2

sin2

+=

tUCti (4.23)

Putem deci afirma c: Impedana unui condensator este egal cu reactana

sa capacitiv C

XZ CC ==

1 i o bobin ideal defazeaz curentul cu 2

naintea tensiunii.


( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )tUIttIUttIUtitutp 2sincossin22

sinsin2 ==

+== .

(4.24)

Observm c puterea instantanee este o mrime alternativ sinusoidal cu frecvena dubl fa de cea a tensiunii i a curentului.



26

Figura 4.8.: Diagrama fazorial pentru circuitul simplu cu un condensator

4.4. Circuit de curent alternativ cu rezistor, bobin ideal i condensator conectate n serie

Se consider un circuit format dintr-un rezistor, o bobin ideal i un condensator conectate n serie i alimentate de la o surs de tensiune (4.12). n circuit i va manifesta prezena un curent tot alternativ ( ) ( ) += tIti sin2 .

u(t)

C

L

R

Figura 4.9.:Circuit RLC serie

Aplicnd cea de a doua teorem a lui Kirchhoff pentru acest circuit i innd cont de ecuaiile (4.14), (4.17) i (4.22), obinem:

++= idtCdtdiLiRu 1 . (4.25)

nlocuind expresiile sinusoidale ale tensiunii i ale curentului se obine:

( ) ( ) ( ) ( )

+

+++= tC

ItILtIRtU coscossinsin . (4.26)

Avnd n vedere c raportul dintre valoarea efectiv a tensiunii i cea a curentului este prin definiie impedana, obinem:

O x

I

U


26

( ) ( ) ( ) ( )[ ] +++= tXXtRtZ CL cossinsin1

. (4.27)

Ecuaia (4.27) este satisfcut pentru orice moment de timp, deci n

particular i pentru 0=t , respectiv pentru 2

=t . Pentru primul moment de

timp ecuaia devine:

( )R

XXtgXXR CLCL

==+ 0cossin . (4.28)

Dac acest prim moment de timp a permis determinarea defazajului curentului fa de tensiune, cel de al doilea conduce la calculul impedanei (deci a valorii efective a curentului):

( ) ( ) sincos2

cos2

sin =

++

+= CLCL XXRXXRZ . (4.29)

Se nlocuiesc expresiile cosinusului i ale sinusului n funcie de tangenta deja cunoscut:

( )( )( )

( )( )

( )2222

22

222

222

1sin

;1

1cos

CL

CL

CL

CL

CL

CL XXRXXR

XXRZ

XXR

XXtg

tgXXR

Rtg

+=+

+=

+

=

+=

+=

+=

.

(4.30)

In acest mod s-au determinat impedana unui circuit RLC serie i defazajul pe care un asemenea circuit l introduce ntre tensiune i curent. Se observ c n funcie de valoarea defazajului exist trei regimuri de funcionare ale acestui circuit (regimuri a cror definiie este valabil i pentru un circuit oarecare de curent alternativ):

- regimul de rezonan sau rezistiv n care defazajul dintre tensiune i curent este nul 0= , regim care pentru circuitul RLC serie presupune egalitatea dintre reactana bobinei i a condensatorului ( CL XX = );


27

- regimul inductiv n care defazajul ia valori negative, curentul fiind defazat n urma tensiunii 0 );

- regimul capacitiv n care defazajul ia valori pozitive, curentul fiind defazat naintea tensiunii 0> , regim care pentru circuitul RLC serie presupune ( CL XX < ).

Se observ de asemenea faptul c defazajul dintre tensiune i curent este

pentru un circuit pasiv cuprins n intervalul

+

2,

2 , un defazaj mai mare

n modul dect 2 nsemnnd un curent i o putere activ negativ, deci

faptul c respectivul circuit produce energie activ n loc s consume.


( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] +=+== tIUttIUtitutp 2coscossinsin2 . (4.31)

Aceast putere instantanee este o mrime periodic compus din doi termeni un termen constant i unul de frecvena dubl, ce oscileaz n jurul unei valori medii cos IU . Chiar dac receptorul este unul pasiv dac el nu este unul pur rezistiv, exist momente cnd puterea instantanee este negativ, adic ea este n acele momente cedat dinspre receptorul pasiv spre surs. n acele momente energia acumulat n cmpul magnetic al bobinelor sau n cmpul electrostatic al condensatoarelor este parial restituit sursei de alimentare.

Reprezentarea fazorial a tensiunii i a curentului pentru acest circuit pentru cele trei regimuri definite mai sus este redat n figura 4.10. In aceste diagrame se alege intensitatea curentului ca ax origine de faz, deoarece n cazul circuitului considerat, curentul este elementul comun pentru toate componentele circuitului.


28

UUC

I

Regim de rezonanta

Regim inductiv

Regim capacitiv

OIUR=U

UB

UC

O UR

UCUB

I

U

URO

UB

Figura 4.10.: Diagramele fazoriale pentru cele trei regimuri ale unui circuit RLC serie

4.5. Puteri n regimul de curent alternativ sinusoidal

Se consider un circuit de curent alternativ la bornele creia se aplic o tensiune sinusoidal i prin care se manifest un curent de intensitatea:

( ) ( )( ) ( )

+=

=

tIti

tUtu

sin2

sin2. (4.32)

Puterea instantanee la bornele acestui circuit de curent alternativ are expresia:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] +=+== tIUttIUtitutp 2coscossinsin2 . (4.33)

Observm c aceast putere instantanee este o mrime periodic compus din doi termeni un termen constant i unul de frecvena dubl.


29

Din expresia puterii instantanee se mai observ c aceasta oscileaz cu frecvena dubl n jurul unei valori medii cos IU . Chiar dac receptorul este unul pasiv dac el nu este unul pur rezistiv, exist momente cnd puterea instantanee este negativ, adic ea este n acele momente cedat dinspre receptorul pasiv spre surs. n acele momente energia acumulat n cmpul magnetic al bobinelor sau n cmpul electrostatic al condensatoarelor este parial restituit sursei de alimentare.

Prin definiie se numete putere activ notat cu P , valoarea medie a puterii instantanee pe un numr ntreg de perioade.

( ) ( )

( )

=

+

=

+

=

=

cos2sin2

cos1

2coscos11

00

000

IUtIUtIUTn

P

dttIUdtIUTn

dttpTn

P

nTnT

nTnTnT

. (4.34)

Puterea activ se msoar n SI n wai (W). n orice circuit electric de curent alternativ elementele care consum puterea activ sunt rezistoarele. Puterea activ exprim capabilitatea unui sistem de a produce lucru mecanic.

Puterea reactiv se definete ca produsul dintre valorile efective ale tensiunii i ale curentului

Documents

Curs EMAE1