-
Curs 14: Generari de suprafeţe
16 ianuarie 2020
-
14.1 Generalităţi.
O suprafaţă ı̂n spaţiu
are ecuaţia implicită de forma(S1) : F (x , y , z) = 0 (deci
S1 ⊆ R3).Fie două suprafeţe care se intersectează:
(S1) : F (x , y , z) = 0
(S2) : G (x , y , z) = 0
(C ) = (S1)⋂
(S2)⇒ Curba (C ) (̂ın spaţiu) de ecuaţii
(C ) :
{F (x , y , z) = 0G (x , y , z) = 0
Exemplu:
(D) :
{x + y + z = 0−2x − y − z − 5 = 0 dreaptă ca intersecţie de
două
plane.
-
14.1 Generalităţi.
O suprafaţă ı̂n spaţiu are ecuaţia implicită
de forma(S1) : F (x , y , z) = 0 (deci S1 ⊆ R3).Fie două
suprafeţe care se intersectează:
(S1) : F (x , y , z) = 0
(S2) : G (x , y , z) = 0
(C ) = (S1)⋂
(S2)⇒ Curba (C ) (̂ın spaţiu) de ecuaţii
(C ) :
{F (x , y , z) = 0G (x , y , z) = 0
Exemplu:
(D) :
{x + y + z = 0−2x − y − z − 5 = 0 dreaptă ca intersecţie de
două
plane.
-
14.1 Generalităţi.
O suprafaţă ı̂n spaţiu are ecuaţia implicită de forma
(S1) : F (x , y , z) = 0 (deci S1 ⊆ R3).Fie două suprafeţe
care se intersectează:
(S1) : F (x , y , z) = 0
(S2) : G (x , y , z) = 0
(C ) = (S1)⋂
(S2)⇒ Curba (C ) (̂ın spaţiu) de ecuaţii
(C ) :
{F (x , y , z) = 0G (x , y , z) = 0
Exemplu:
(D) :
{x + y + z = 0−2x − y − z − 5 = 0 dreaptă ca intersecţie de
două
plane.
-
14.1 Generalităţi.
O suprafaţă ı̂n spaţiu are ecuaţia implicită de forma(S1) :
F (x , y , z) = 0
(deci S1 ⊆ R3).Fie două suprafeţe care se intersectează:
(S1) : F (x , y , z) = 0
(S2) : G (x , y , z) = 0
(C ) = (S1)⋂
(S2)⇒ Curba (C ) (̂ın spaţiu) de ecuaţii
(C ) :
{F (x , y , z) = 0G (x , y , z) = 0
Exemplu:
(D) :
{x + y + z = 0−2x − y − z − 5 = 0 dreaptă ca intersecţie de
două
plane.
-
14.1 Generalităţi.
O suprafaţă ı̂n spaţiu are ecuaţia implicită de forma(S1) :
F (x , y , z) = 0 (deci S1 ⊆ R3).
Fie două suprafeţe care se intersectează:
(S1) : F (x , y , z) = 0
(S2) : G (x , y , z) = 0
(C ) = (S1)⋂
(S2)⇒ Curba (C ) (̂ın spaţiu) de ecuaţii
(C ) :
{F (x , y , z) = 0G (x , y , z) = 0
Exemplu:
(D) :
{x + y + z = 0−2x − y − z − 5 = 0 dreaptă ca intersecţie de
două
plane.
-
14.1 Generalităţi.
O suprafaţă ı̂n spaţiu are ecuaţia implicită de forma(S1) :
F (x , y , z) = 0 (deci S1 ⊆ R3).Fie două suprafeţe care se
intersectează:
(S1) : F (x , y , z) = 0
(S2) : G (x , y , z) = 0
(C ) = (S1)⋂
(S2)⇒ Curba (C ) (̂ın spaţiu) de ecuaţii
(C ) :
{F (x , y , z) = 0G (x , y , z) = 0
Exemplu:
(D) :
{x + y + z = 0−2x − y − z − 5 = 0 dreaptă ca intersecţie de
două
plane.
-
14.1 Generalităţi.
O suprafaţă ı̂n spaţiu are ecuaţia implicită de forma(S1) :
F (x , y , z) = 0 (deci S1 ⊆ R3).Fie două suprafeţe care se
intersectează:
(S1) : F (x , y , z) = 0
(S2) : G (x , y , z) = 0
(C ) = (S1)⋂
(S2)⇒ Curba (C ) (̂ın spaţiu) de ecuaţii
(C ) :
{F (x , y , z) = 0G (x , y , z) = 0
Exemplu:
(D) :
{x + y + z = 0−2x − y − z − 5 = 0 dreaptă ca intersecţie de
două
plane.
-
14.1 Generalităţi.
O suprafaţă ı̂n spaţiu are ecuaţia implicită de forma(S1) :
F (x , y , z) = 0 (deci S1 ⊆ R3).Fie două suprafeţe care se
intersectează:
(S1) : F (x , y , z) = 0
(S2) : G (x , y , z) = 0
(C ) = (S1)⋂
(S2)⇒ Curba (C ) (̂ın spaţiu) de ecuaţii
(C ) :
{F (x , y , z) = 0G (x , y , z) = 0
Exemplu:
(D) :
{x + y + z = 0−2x − y − z − 5 = 0 dreaptă ca intersecţie de
două
plane.
-
14.1 Generalităţi.
O suprafaţă ı̂n spaţiu are ecuaţia implicită de forma(S1) :
F (x , y , z) = 0 (deci S1 ⊆ R3).Fie două suprafeţe care se
intersectează:
(S1) : F (x , y , z) = 0
(S2) : G (x , y , z) = 0
(C ) = (S1)⋂
(S2)⇒
Curba (C ) (̂ın spaţiu) de ecuaţii
(C ) :
{F (x , y , z) = 0G (x , y , z) = 0
Exemplu:
(D) :
{x + y + z = 0−2x − y − z − 5 = 0 dreaptă ca intersecţie de
două
plane.
-
14.1 Generalităţi.
O suprafaţă ı̂n spaţiu are ecuaţia implicită de forma(S1) :
F (x , y , z) = 0 (deci S1 ⊆ R3).Fie două suprafeţe care se
intersectează:
(S1) : F (x , y , z) = 0
(S2) : G (x , y , z) = 0
(C ) = (S1)⋂
(S2)⇒ Curba (C )
(̂ın spaţiu) de ecuaţii
(C ) :
{F (x , y , z) = 0G (x , y , z) = 0
Exemplu:
(D) :
{x + y + z = 0−2x − y − z − 5 = 0 dreaptă ca intersecţie de
două
plane.
-
14.1 Generalităţi.
O suprafaţă ı̂n spaţiu are ecuaţia implicită de forma(S1) :
F (x , y , z) = 0 (deci S1 ⊆ R3).Fie două suprafeţe care se
intersectează:
(S1) : F (x , y , z) = 0
(S2) : G (x , y , z) = 0
(C ) = (S1)⋂
(S2)⇒ Curba (C ) (̂ın spaţiu)
de ecuaţii
(C ) :
{F (x , y , z) = 0G (x , y , z) = 0
Exemplu:
(D) :
{x + y + z = 0−2x − y − z − 5 = 0 dreaptă ca intersecţie de
două
plane.
-
14.1 Generalităţi.
O suprafaţă ı̂n spaţiu are ecuaţia implicită de forma(S1) :
F (x , y , z) = 0 (deci S1 ⊆ R3).Fie două suprafeţe care se
intersectează:
(S1) : F (x , y , z) = 0
(S2) : G (x , y , z) = 0
(C ) = (S1)⋂
(S2)⇒ Curba (C ) (̂ın spaţiu) de ecuaţii
(C ) :
{F (x , y , z) = 0G (x , y , z) = 0
Exemplu:
(D) :
{x + y + z = 0−2x − y − z − 5 = 0 dreaptă ca intersecţie de
două
plane.
-
14.1 Generalităţi.
O suprafaţă ı̂n spaţiu are ecuaţia implicită de forma(S1) :
F (x , y , z) = 0 (deci S1 ⊆ R3).Fie două suprafeţe care se
intersectează:
(S1) : F (x , y , z) = 0
(S2) : G (x , y , z) = 0
(C ) = (S1)⋂
(S2)⇒ Curba (C ) (̂ın spaţiu) de ecuaţii
(C ) :
{F (x , y , z) = 0G (x , y , z) = 0
Exemplu:
(D) :
{x + y + z = 0−2x − y − z − 5 = 0 dreaptă ca intersecţie de
două
plane.
-
14.1 Generalităţi.
O suprafaţă ı̂n spaţiu are ecuaţia implicită de forma(S1) :
F (x , y , z) = 0 (deci S1 ⊆ R3).Fie două suprafeţe care se
intersectează:
(S1) : F (x , y , z) = 0
(S2) : G (x , y , z) = 0
(C ) = (S1)⋂
(S2)⇒ Curba (C ) (̂ın spaţiu) de ecuaţii
(C ) :
{F (x , y , z) = 0G (x , y , z) = 0
Exemplu:
(D) :
{x + y + z = 0−2x − y − z − 5 = 0 dreaptă ca intersecţie de
două
plane.
-
14.1 Generalităţi.
O suprafaţă ı̂n spaţiu are ecuaţia implicită de forma(S1) :
F (x , y , z) = 0 (deci S1 ⊆ R3).Fie două suprafeţe care se
intersectează:
(S1) : F (x , y , z) = 0
(S2) : G (x , y , z) = 0
(C ) = (S1)⋂
(S2)⇒ Curba (C ) (̂ın spaţiu) de ecuaţii
(C ) :
{F (x , y , z) = 0G (x , y , z) = 0
Exemplu:
(D) :
{x + y + z = 0
−2x − y − z − 5 = 0 dreaptă ca intersecţie de două
plane.
-
14.1 Generalităţi.
O suprafaţă ı̂n spaţiu are ecuaţia implicită de forma(S1) :
F (x , y , z) = 0 (deci S1 ⊆ R3).Fie două suprafeţe care se
intersectează:
(S1) : F (x , y , z) = 0
(S2) : G (x , y , z) = 0
(C ) = (S1)⋂
(S2)⇒ Curba (C ) (̂ın spaţiu) de ecuaţii
(C ) :
{F (x , y , z) = 0G (x , y , z) = 0
Exemplu:
(D) :
{x + y + z = 0−2x − y − z − 5 = 0 dreaptă
ca intersecţie de două
plane.
-
14.1 Generalităţi.
O suprafaţă ı̂n spaţiu are ecuaţia implicită de forma(S1) :
F (x , y , z) = 0 (deci S1 ⊆ R3).Fie două suprafeţe care se
intersectează:
(S1) : F (x , y , z) = 0
(S2) : G (x , y , z) = 0
(C ) = (S1)⋂
(S2)⇒ Curba (C ) (̂ın spaţiu) de ecuaţii
(C ) :
{F (x , y , z) = 0G (x , y , z) = 0
Exemplu:
(D) :
{x + y + z = 0−2x − y − z − 5 = 0 dreaptă ca intersecţie de
două
plane.
-
O familie de curbe,
care depinde de un parametru α ∈ R:
(Cα) :
{F (x , y , z , α) = 0G (x , y , z , α) = 0
Mulţimea tuturor punctelor prin care trec curbele din
(Cα)formează o suprafaţă de ecuaţie (H) : H(x , y , z) = 0
(care seobţine prin eliminarea lui α). Familia (Cα) s.n.familia
degeneratoare pentru (H).De ex: Familiile de generatoare rectilinii
pentru (H1P) sau (PH).
-
O familie de curbe, care depinde de un parametru α ∈ R:
(Cα) :
{F (x , y , z , α) = 0G (x , y , z , α) = 0
Mulţimea tuturor punctelor prin care trec curbele din
(Cα)formează o suprafaţă de ecuaţie (H) : H(x , y , z) = 0
(care seobţine prin eliminarea lui α). Familia (Cα) s.n.familia
degeneratoare pentru (H).De ex: Familiile de generatoare rectilinii
pentru (H1P) sau (PH).
-
O familie de curbe, care depinde de un parametru α ∈ R:
(Cα) :
{F (x , y , z , α) = 0
G (x , y , z , α) = 0
Mulţimea tuturor punctelor prin care trec curbele din
(Cα)formează o suprafaţă de ecuaţie (H) : H(x , y , z) = 0
(care seobţine prin eliminarea lui α). Familia (Cα) s.n.familia
degeneratoare pentru (H).De ex: Familiile de generatoare rectilinii
pentru (H1P) sau (PH).
-
O familie de curbe, care depinde de un parametru α ∈ R:
(Cα) :
{F (x , y , z , α) = 0G (x , y , z , α) = 0
Mulţimea tuturor punctelor prin care trec curbele din
(Cα)formează o suprafaţă de ecuaţie (H) : H(x , y , z) = 0
(care seobţine prin eliminarea lui α). Familia (Cα) s.n.familia
degeneratoare pentru (H).De ex: Familiile de generatoare rectilinii
pentru (H1P) sau (PH).
-
O familie de curbe, care depinde de un parametru α ∈ R:
(Cα) :
{F (x , y , z , α) = 0G (x , y , z , α) = 0
Mulţimea tuturor
punctelor prin care trec curbele din (Cα)formează o suprafaţă
de ecuaţie (H) : H(x , y , z) = 0 (care seobţine prin eliminarea
lui α). Familia (Cα) s.n.familia degeneratoare pentru (H).De ex:
Familiile de generatoare rectilinii pentru (H1P) sau (PH).
-
O familie de curbe, care depinde de un parametru α ∈ R:
(Cα) :
{F (x , y , z , α) = 0G (x , y , z , α) = 0
Mulţimea tuturor punctelor prin care trec curbele din
(Cα)formează o suprafaţă de ecuaţie (H) : H(x , y , z) = 0
(care seobţine prin eliminarea lui α). Familia (Cα) s.n.familia
degeneratoare pentru (H).De ex: Familiile de generatoare rectilinii
pentru (H1P) sau (PH).
-
O familie de curbe, care depinde de un parametru α ∈ R:
(Cα) :
{F (x , y , z , α) = 0G (x , y , z , α) = 0
Mulţimea tuturor punctelor prin care trec curbele din (Cα)
formează o suprafaţă de ecuaţie (H) : H(x , y , z) = 0 (care
seobţine prin eliminarea lui α). Familia (Cα) s.n.familia
degeneratoare pentru (H).De ex: Familiile de generatoare rectilinii
pentru (H1P) sau (PH).
-
O familie de curbe, care depinde de un parametru α ∈ R:
(Cα) :
{F (x , y , z , α) = 0G (x , y , z , α) = 0
Mulţimea tuturor punctelor prin care trec curbele din
(Cα)formează o suprafaţă
de ecuaţie (H) : H(x , y , z) = 0 (care seobţine prin
eliminarea lui α). Familia (Cα) s.n.familia degeneratoare pentru
(H).De ex: Familiile de generatoare rectilinii pentru (H1P) sau
(PH).
-
O familie de curbe, care depinde de un parametru α ∈ R:
(Cα) :
{F (x , y , z , α) = 0G (x , y , z , α) = 0
Mulţimea tuturor punctelor prin care trec curbele din
(Cα)formează o suprafaţă de ecuaţie (H) : H(x , y , z) = 0
(care seobţine prin eliminarea lui α). Familia (Cα) s.n.familia
degeneratoare pentru (H).De ex: Familiile de generatoare rectilinii
pentru (H1P) sau (PH).
-
O familie de curbe, care depinde de un parametru α ∈ R:
(Cα) :
{F (x , y , z , α) = 0G (x , y , z , α) = 0
Mulţimea tuturor punctelor prin care trec curbele din
(Cα)formează o suprafaţă de ecuaţie (H) : H(x , y , z) = 0
(care seobţine prin eliminarea lui α).
Familia (Cα) s.n.familia degeneratoare pentru (H).De ex:
Familiile de generatoare rectilinii pentru (H1P) sau (PH).
-
O familie de curbe, care depinde de un parametru α ∈ R:
(Cα) :
{F (x , y , z , α) = 0G (x , y , z , α) = 0
Mulţimea tuturor punctelor prin care trec curbele din
(Cα)formează o suprafaţă de ecuaţie (H) : H(x , y , z) = 0
(care seobţine prin eliminarea lui α). Familia (Cα)
s.n.familia degeneratoare pentru (H).De ex: Familiile de
generatoare rectilinii pentru (H1P) sau (PH).
-
O familie de curbe, care depinde de un parametru α ∈ R:
(Cα) :
{F (x , y , z , α) = 0G (x , y , z , α) = 0
Mulţimea tuturor punctelor prin care trec curbele din
(Cα)formează o suprafaţă de ecuaţie (H) : H(x , y , z) = 0
(care seobţine prin eliminarea lui α). Familia (Cα) s.n.familia
degeneratoare
pentru (H).De ex: Familiile de generatoare rectilinii pentru
(H1P) sau (PH).
-
O familie de curbe, care depinde de un parametru α ∈ R:
(Cα) :
{F (x , y , z , α) = 0G (x , y , z , α) = 0
Mulţimea tuturor punctelor prin care trec curbele din
(Cα)formează o suprafaţă de ecuaţie (H) : H(x , y , z) = 0
(care seobţine prin eliminarea lui α). Familia (Cα) s.n.familia
degeneratoare pentru (H).De ex:
Familiile de generatoare rectilinii pentru (H1P) sau (PH).
-
O familie de curbe, care depinde de un parametru α ∈ R:
(Cα) :
{F (x , y , z , α) = 0G (x , y , z , α) = 0
Mulţimea tuturor punctelor prin care trec curbele din
(Cα)formează o suprafaţă de ecuaţie (H) : H(x , y , z) = 0
(care seobţine prin eliminarea lui α). Familia (Cα) s.n.familia
degeneratoare pentru (H).De ex: Familiile de generatoare
rectilinii
pentru (H1P) sau (PH).
-
O familie de curbe, care depinde de un parametru α ∈ R:
(Cα) :
{F (x , y , z , α) = 0G (x , y , z , α) = 0
Mulţimea tuturor punctelor prin care trec curbele din
(Cα)formează o suprafaţă de ecuaţie (H) : H(x , y , z) = 0
(care seobţine prin eliminarea lui α). Familia (Cα) s.n.familia
degeneratoare pentru (H).De ex: Familiile de generatoare rectilinii
pentru (H1P) sau (PH).
-
O familie de curbe,
care depinde de doi parametrii α, β ∈ R:
(Cα,β) :
{F (x , y , z , α, β) = 0G (x , y , z , α, β) = 0
Mulţimea tuturor punctelor prin care trec curbele din
(Cα,β)formează o suprafaţă, dacă ı̂ntre α şi β există o
relaţie deforma φ(α, β) = 0, astfel ı̂ncât se poate exprima
unparametru ı̂n funcţie de celălalt.
De ex: Din φ(α, β) = 0⇒ α = ϕ(β), ı̂nlocuim ı̂n(Cα,β)α,β∈R ⇒
(Cϕ(β))β∈R o familie ce depinde doar de unparametru.
-
O familie de curbe, care depinde de doi parametrii
α, β ∈ R:
(Cα,β) :
{F (x , y , z , α, β) = 0G (x , y , z , α, β) = 0
Mulţimea tuturor punctelor prin care trec curbele din
(Cα,β)formează o suprafaţă, dacă ı̂ntre α şi β există o
relaţie deforma φ(α, β) = 0, astfel ı̂ncât se poate exprima
unparametru ı̂n funcţie de celălalt.
De ex: Din φ(α, β) = 0⇒ α = ϕ(β), ı̂nlocuim ı̂n(Cα,β)α,β∈R ⇒
(Cϕ(β))β∈R o familie ce depinde doar de unparametru.
-
O familie de curbe, care depinde de doi parametrii α, β ∈ R:
(Cα,β) :
{F (x , y , z , α, β) = 0G (x , y , z , α, β) = 0
Mulţimea tuturor punctelor prin care trec curbele din
(Cα,β)formează o suprafaţă, dacă ı̂ntre α şi β există o
relaţie deforma φ(α, β) = 0, astfel ı̂ncât se poate exprima
unparametru ı̂n funcţie de celălalt.
De ex: Din φ(α, β) = 0⇒ α = ϕ(β), ı̂nlocuim ı̂n(Cα,β)α,β∈R ⇒
(Cϕ(β))β∈R o familie ce depinde doar de unparametru.
-
O familie de curbe, care depinde de doi parametrii α, β ∈ R:
(Cα,β) :
{F (x , y , z , α, β) = 0
G (x , y , z , α, β) = 0
Mulţimea tuturor punctelor prin care trec curbele din
(Cα,β)formează o suprafaţă, dacă ı̂ntre α şi β există o
relaţie deforma φ(α, β) = 0, astfel ı̂ncât se poate exprima
unparametru ı̂n funcţie de celălalt.
De ex: Din φ(α, β) = 0⇒ α = ϕ(β), ı̂nlocuim ı̂n(Cα,β)α,β∈R ⇒
(Cϕ(β))β∈R o familie ce depinde doar de unparametru.
-
O familie de curbe, care depinde de doi parametrii α, β ∈ R:
(Cα,β) :
{F (x , y , z , α, β) = 0G (x , y , z , α, β) = 0
Mulţimea tuturor punctelor prin care trec curbele din
(Cα,β)formează o suprafaţă, dacă ı̂ntre α şi β există o
relaţie deforma φ(α, β) = 0, astfel ı̂ncât se poate exprima
unparametru ı̂n funcţie de celălalt.
De ex: Din φ(α, β) = 0⇒ α = ϕ(β), ı̂nlocuim ı̂n(Cα,β)α,β∈R ⇒
(Cϕ(β))β∈R o familie ce depinde doar de unparametru.
-
O familie de curbe, care depinde de doi parametrii α, β ∈ R:
(Cα,β) :
{F (x , y , z , α, β) = 0G (x , y , z , α, β) = 0
Mulţimea tuturor punctelor
prin care trec curbele din (Cα,β)formează o suprafaţă, dacă
ı̂ntre α şi β există o relaţie deforma φ(α, β) = 0, astfel
ı̂ncât se poate exprima unparametru ı̂n funcţie de celălalt.
De ex: Din φ(α, β) = 0⇒ α = ϕ(β), ı̂nlocuim ı̂n(Cα,β)α,β∈R ⇒
(Cϕ(β))β∈R o familie ce depinde doar de unparametru.
-
O familie de curbe, care depinde de doi parametrii α, β ∈ R:
(Cα,β) :
{F (x , y , z , α, β) = 0G (x , y , z , α, β) = 0
Mulţimea tuturor punctelor prin care trec curbele din
(Cα,β)formează o suprafaţă, dacă ı̂ntre α şi β există o
relaţie deforma φ(α, β) = 0, astfel ı̂ncât se poate exprima
unparametru ı̂n funcţie de celălalt.
De ex: Din φ(α, β) = 0⇒ α = ϕ(β), ı̂nlocuim ı̂n(Cα,β)α,β∈R ⇒
(Cϕ(β))β∈R o familie ce depinde doar de unparametru.
-
O familie de curbe, care depinde de doi parametrii α, β ∈ R:
(Cα,β) :
{F (x , y , z , α, β) = 0G (x , y , z , α, β) = 0
Mulţimea tuturor punctelor prin care trec curbele din
(Cα,β)
formează o suprafaţă, dacă ı̂ntre α şi β există o relaţie
deforma φ(α, β) = 0, astfel ı̂ncât se poate exprima unparametru
ı̂n funcţie de celălalt.
De ex: Din φ(α, β) = 0⇒ α = ϕ(β), ı̂nlocuim ı̂n(Cα,β)α,β∈R ⇒
(Cϕ(β))β∈R o familie ce depinde doar de unparametru.
-
O familie de curbe, care depinde de doi parametrii α, β ∈ R:
(Cα,β) :
{F (x , y , z , α, β) = 0G (x , y , z , α, β) = 0
Mulţimea tuturor punctelor prin care trec curbele din
(Cα,β)formează o suprafaţă,
dacă ı̂ntre α şi β există o relaţie deforma φ(α, β) = 0,
astfel ı̂ncât se poate exprima unparametru ı̂n funcţie de
celălalt.
De ex: Din φ(α, β) = 0⇒ α = ϕ(β), ı̂nlocuim ı̂n(Cα,β)α,β∈R ⇒
(Cϕ(β))β∈R o familie ce depinde doar de unparametru.
-
O familie de curbe, care depinde de doi parametrii α, β ∈ R:
(Cα,β) :
{F (x , y , z , α, β) = 0G (x , y , z , α, β) = 0
Mulţimea tuturor punctelor prin care trec curbele din
(Cα,β)formează o suprafaţă, dacă ı̂ntre α şi β
există o relaţie deforma φ(α, β) = 0, astfel ı̂ncât se poate
exprima unparametru ı̂n funcţie de celălalt.
De ex: Din φ(α, β) = 0⇒ α = ϕ(β), ı̂nlocuim ı̂n(Cα,β)α,β∈R ⇒
(Cϕ(β))β∈R o familie ce depinde doar de unparametru.
-
O familie de curbe, care depinde de doi parametrii α, β ∈ R:
(Cα,β) :
{F (x , y , z , α, β) = 0G (x , y , z , α, β) = 0
Mulţimea tuturor punctelor prin care trec curbele din
(Cα,β)formează o suprafaţă, dacă ı̂ntre α şi β există o
relaţie
deforma φ(α, β) = 0, astfel ı̂ncât se poate exprima unparametru
ı̂n funcţie de celălalt.
De ex: Din φ(α, β) = 0⇒ α = ϕ(β), ı̂nlocuim ı̂n(Cα,β)α,β∈R ⇒
(Cϕ(β))β∈R o familie ce depinde doar de unparametru.
-
O familie de curbe, care depinde de doi parametrii α, β ∈ R:
(Cα,β) :
{F (x , y , z , α, β) = 0G (x , y , z , α, β) = 0
Mulţimea tuturor punctelor prin care trec curbele din
(Cα,β)formează o suprafaţă, dacă ı̂ntre α şi β există o
relaţie deforma φ(α, β) = 0,
astfel ı̂ncât se poate exprima unparametru ı̂n funcţie de
celălalt.
De ex: Din φ(α, β) = 0⇒ α = ϕ(β), ı̂nlocuim ı̂n(Cα,β)α,β∈R ⇒
(Cϕ(β))β∈R o familie ce depinde doar de unparametru.
-
O familie de curbe, care depinde de doi parametrii α, β ∈ R:
(Cα,β) :
{F (x , y , z , α, β) = 0G (x , y , z , α, β) = 0
Mulţimea tuturor punctelor prin care trec curbele din
(Cα,β)formează o suprafaţă, dacă ı̂ntre α şi β există o
relaţie deforma φ(α, β) = 0, astfel ı̂ncât
se poate exprima unparametru ı̂n funcţie de celălalt.
De ex: Din φ(α, β) = 0⇒ α = ϕ(β), ı̂nlocuim ı̂n(Cα,β)α,β∈R ⇒
(Cϕ(β))β∈R o familie ce depinde doar de unparametru.
-
O familie de curbe, care depinde de doi parametrii α, β ∈ R:
(Cα,β) :
{F (x , y , z , α, β) = 0G (x , y , z , α, β) = 0
Mulţimea tuturor punctelor prin care trec curbele din
(Cα,β)formează o suprafaţă, dacă ı̂ntre α şi β există o
relaţie deforma φ(α, β) = 0, astfel ı̂ncât se poate exprima
unparametru
ı̂n funcţie de celălalt.
De ex: Din φ(α, β) = 0⇒ α = ϕ(β), ı̂nlocuim ı̂n(Cα,β)α,β∈R ⇒
(Cϕ(β))β∈R o familie ce depinde doar de unparametru.
-
O familie de curbe, care depinde de doi parametrii α, β ∈ R:
(Cα,β) :
{F (x , y , z , α, β) = 0G (x , y , z , α, β) = 0
Mulţimea tuturor punctelor prin care trec curbele din
(Cα,β)formează o suprafaţă, dacă ı̂ntre α şi β există o
relaţie deforma φ(α, β) = 0, astfel ı̂ncât se poate exprima
unparametru ı̂n funcţie de celălalt.
De ex: Din φ(α, β) = 0⇒ α = ϕ(β), ı̂nlocuim ı̂n(Cα,β)α,β∈R ⇒
(Cϕ(β))β∈R o familie ce depinde doar de unparametru.
-
O familie de curbe, care depinde de doi parametrii α, β ∈ R:
(Cα,β) :
{F (x , y , z , α, β) = 0G (x , y , z , α, β) = 0
Mulţimea tuturor punctelor prin care trec curbele din
(Cα,β)formează o suprafaţă, dacă ı̂ntre α şi β există o
relaţie deforma φ(α, β) = 0, astfel ı̂ncât se poate exprima
unparametru ı̂n funcţie de celălalt.
De ex:
Din φ(α, β) = 0⇒ α = ϕ(β), ı̂nlocuim ı̂n(Cα,β)α,β∈R ⇒ (Cϕ(β))β∈R
o familie ce depinde doar de unparametru.
-
O familie de curbe, care depinde de doi parametrii α, β ∈ R:
(Cα,β) :
{F (x , y , z , α, β) = 0G (x , y , z , α, β) = 0
Mulţimea tuturor punctelor prin care trec curbele din
(Cα,β)formează o suprafaţă, dacă ı̂ntre α şi β există o
relaţie deforma φ(α, β) = 0, astfel ı̂ncât se poate exprima
unparametru ı̂n funcţie de celălalt.
De ex: Din φ(α, β) = 0⇒ α = ϕ(β),
ı̂nlocuim ı̂n(Cα,β)α,β∈R ⇒ (Cϕ(β))β∈R o familie ce depinde doar
de unparametru.
-
O familie de curbe, care depinde de doi parametrii α, β ∈ R:
(Cα,β) :
{F (x , y , z , α, β) = 0G (x , y , z , α, β) = 0
Mulţimea tuturor punctelor prin care trec curbele din
(Cα,β)formează o suprafaţă, dacă ı̂ntre α şi β există o
relaţie deforma φ(α, β) = 0, astfel ı̂ncât se poate exprima
unparametru ı̂n funcţie de celălalt.
De ex: Din φ(α, β) = 0⇒ α = ϕ(β), ı̂nlocuim ı̂n(Cα,β)α,β∈R
⇒ (Cϕ(β))β∈R o familie ce depinde doar de unparametru.
-
O familie de curbe, care depinde de doi parametrii α, β ∈ R:
(Cα,β) :
{F (x , y , z , α, β) = 0G (x , y , z , α, β) = 0
Mulţimea tuturor punctelor prin care trec curbele din
(Cα,β)formează o suprafaţă, dacă ı̂ntre α şi β există o
relaţie deforma φ(α, β) = 0, astfel ı̂ncât se poate exprima
unparametru ı̂n funcţie de celălalt.
De ex: Din φ(α, β) = 0⇒ α = ϕ(β), ı̂nlocuim ı̂n(Cα,β)α,β∈R ⇒
(Cϕ(β))β∈R
o familie ce depinde doar de unparametru.
-
O familie de curbe, care depinde de doi parametrii α, β ∈ R:
(Cα,β) :
{F (x , y , z , α, β) = 0G (x , y , z , α, β) = 0
Mulţimea tuturor punctelor prin care trec curbele din
(Cα,β)formează o suprafaţă, dacă ı̂ntre α şi β există o
relaţie deforma φ(α, β) = 0, astfel ı̂ncât se poate exprima
unparametru ı̂n funcţie de celălalt.
De ex: Din φ(α, β) = 0⇒ α = ϕ(β), ı̂nlocuim ı̂n(Cα,β)α,β∈R ⇒
(Cϕ(β))β∈R o familie ce depinde doar de unparametru.
-
14.2. Suprafeţe cilindrice.
Defn. supraf. cilindrice:
S. n. suprafaţa cilindrică suprafaţa generată de o familie
dedrepte (generatoare) paralele cu o dreaptă dată (notată (D)),
careeste supusă unei condiţii geometrice.
(∗) În general, condiţia geometrică este condiţia ca familia
degeneratoare să se sprijine pe o curbă dată, (notată cu (C
))!
ecuaţia lui (C ) este dată (prescurtat) (C ) :
{F = 0G = 0
(∗∗) Dar, mai există şi alte tipuri de condiţii geometrice;
de ex:“tangenţa la o altă suprafaţă.”
Observaţie:
Situaţiile (∗) şi (∗∗) le vom avea şi la următoarele tipuri
desuprafaţe: conice, conoid.
-
14.2. Suprafeţe cilindrice.
Defn. supraf. cilindrice:
S. n.
suprafaţa cilindrică suprafaţa generată de o familie
dedrepte (generatoare) paralele cu o dreaptă dată (notată (D)),
careeste supusă unei condiţii geometrice.
(∗) În general, condiţia geometrică este condiţia ca familia
degeneratoare să se sprijine pe o curbă dată, (notată cu (C
))!
ecuaţia lui (C ) este dată (prescurtat) (C ) :
{F = 0G = 0
(∗∗) Dar, mai există şi alte tipuri de condiţii geometrice;
de ex:“tangenţa la o altă suprafaţă.”
Observaţie:
Situaţiile (∗) şi (∗∗) le vom avea şi la următoarele tipuri
desuprafaţe: conice, conoid.
-
14.2. Suprafeţe cilindrice.
Defn. supraf. cilindrice:
S. n. suprafaţa cilindrică
suprafaţa generată de o familie dedrepte (generatoare)
paralele cu o dreaptă dată (notată (D)), careeste supusă unei
condiţii geometrice.
(∗) În general, condiţia geometrică este condiţia ca familia
degeneratoare să se sprijine pe o curbă dată, (notată cu (C
))!
ecuaţia lui (C ) este dată (prescurtat) (C ) :
{F = 0G = 0
(∗∗) Dar, mai există şi alte tipuri de condiţii geometrice;
de ex:“tangenţa la o altă suprafaţă.”
Observaţie:
Situaţiile (∗) şi (∗∗) le vom avea şi la următoarele tipuri
desuprafaţe: conice, conoid.
-
14.2. Suprafeţe cilindrice.
Defn. supraf. cilindrice:
S. n. suprafaţa cilindrică suprafaţa generată
de o familie dedrepte (generatoare) paralele cu o dreaptă dată
(notată (D)), careeste supusă unei condiţii geometrice.
(∗) În general, condiţia geometrică este condiţia ca familia
degeneratoare să se sprijine pe o curbă dată, (notată cu (C
))!
ecuaţia lui (C ) este dată (prescurtat) (C ) :
{F = 0G = 0
(∗∗) Dar, mai există şi alte tipuri de condiţii geometrice;
de ex:“tangenţa la o altă suprafaţă.”
Observaţie:
Situaţiile (∗) şi (∗∗) le vom avea şi la următoarele tipuri
desuprafaţe: conice, conoid.
-
14.2. Suprafeţe cilindrice.
Defn. supraf. cilindrice:
S. n. suprafaţa cilindrică suprafaţa generată de o familie
dedrepte (generatoare)
paralele cu o dreaptă dată (notată (D)), careeste supusă
unei condiţii geometrice.
(∗) În general, condiţia geometrică este condiţia ca familia
degeneratoare să se sprijine pe o curbă dată, (notată cu (C
))!
ecuaţia lui (C ) este dată (prescurtat) (C ) :
{F = 0G = 0
(∗∗) Dar, mai există şi alte tipuri de condiţii geometrice;
de ex:“tangenţa la o altă suprafaţă.”
Observaţie:
Situaţiile (∗) şi (∗∗) le vom avea şi la următoarele tipuri
desuprafaţe: conice, conoid.
-
14.2. Suprafeţe cilindrice.
Defn. supraf. cilindrice:
S. n. suprafaţa cilindrică suprafaţa generată de o familie
dedrepte (generatoare) paralele cu o dreaptă dată (notată
(D)),
careeste supusă unei condiţii geometrice.
(∗) În general, condiţia geometrică este condiţia ca familia
degeneratoare să se sprijine pe o curbă dată, (notată cu (C
))!
ecuaţia lui (C ) este dată (prescurtat) (C ) :
{F = 0G = 0
(∗∗) Dar, mai există şi alte tipuri de condiţii geometrice;
de ex:“tangenţa la o altă suprafaţă.”
Observaţie:
Situaţiile (∗) şi (∗∗) le vom avea şi la următoarele tipuri
desuprafaţe: conice, conoid.
-
14.2. Suprafeţe cilindrice.
Defn. supraf. cilindrice:
S. n. suprafaţa cilindrică suprafaţa generată de o familie
dedrepte (generatoare) paralele cu o dreaptă dată (notată (D)),
careeste supusă
unei condiţii geometrice.
(∗) În general, condiţia geometrică este condiţia ca familia
degeneratoare să se sprijine pe o curbă dată, (notată cu (C
))!
ecuaţia lui (C ) este dată (prescurtat) (C ) :
{F = 0G = 0
(∗∗) Dar, mai există şi alte tipuri de condiţii geometrice;
de ex:“tangenţa la o altă suprafaţă.”
Observaţie:
Situaţiile (∗) şi (∗∗) le vom avea şi la următoarele tipuri
desuprafaţe: conice, conoid.
-
14.2. Suprafeţe cilindrice.
Defn. supraf. cilindrice:
S. n. suprafaţa cilindrică suprafaţa generată de o familie
dedrepte (generatoare) paralele cu o dreaptă dată (notată (D)),
careeste supusă unei condiţii geometrice.
(∗) În general, condiţia geometrică este condiţia ca familia
degeneratoare să se sprijine pe o curbă dată, (notată cu (C
))!
ecuaţia lui (C ) este dată (prescurtat) (C ) :
{F = 0G = 0
(∗∗) Dar, mai există şi alte tipuri de condiţii geometrice;
de ex:“tangenţa la o altă suprafaţă.”
Observaţie:
Situaţiile (∗) şi (∗∗) le vom avea şi la următoarele tipuri
desuprafaţe: conice, conoid.
-
14.2. Suprafeţe cilindrice.
Defn. supraf. cilindrice:
S. n. suprafaţa cilindrică suprafaţa generată de o familie
dedrepte (generatoare) paralele cu o dreaptă dată (notată (D)),
careeste supusă unei condiţii geometrice.
(∗) În general,
condiţia geometrică este condiţia ca familia degeneratoare
să se sprijine pe o curbă dată, (notată cu (C ))!
ecuaţia lui (C ) este dată (prescurtat) (C ) :
{F = 0G = 0
(∗∗) Dar, mai există şi alte tipuri de condiţii geometrice;
de ex:“tangenţa la o altă suprafaţă.”
Observaţie:
Situaţiile (∗) şi (∗∗) le vom avea şi la următoarele tipuri
desuprafaţe: conice, conoid.
-
14.2. Suprafeţe cilindrice.
Defn. supraf. cilindrice:
S. n. suprafaţa cilindrică suprafaţa generată de o familie
dedrepte (generatoare) paralele cu o dreaptă dată (notată (D)),
careeste supusă unei condiţii geometrice.
(∗) În general, condiţia geometrică
este condiţia ca familia degeneratoare să se sprijine pe o
curbă dată, (notată cu (C ))!
ecuaţia lui (C ) este dată (prescurtat) (C ) :
{F = 0G = 0
(∗∗) Dar, mai există şi alte tipuri de condiţii geometrice;
de ex:“tangenţa la o altă suprafaţă.”
Observaţie:
Situaţiile (∗) şi (∗∗) le vom avea şi la următoarele tipuri
desuprafaţe: conice, conoid.
-
14.2. Suprafeţe cilindrice.
Defn. supraf. cilindrice:
S. n. suprafaţa cilindrică suprafaţa generată de o familie
dedrepte (generatoare) paralele cu o dreaptă dată (notată (D)),
careeste supusă unei condiţii geometrice.
(∗) În general, condiţia geometrică este condiţia ca
familia degeneratoare să se sprijine pe o curbă dată,
(notată cu (C ))!
ecuaţia lui (C ) este dată (prescurtat) (C ) :
{F = 0G = 0
(∗∗) Dar, mai există şi alte tipuri de condiţii geometrice;
de ex:“tangenţa la o altă suprafaţă.”
Observaţie:
Situaţiile (∗) şi (∗∗) le vom avea şi la următoarele tipuri
desuprafaţe: conice, conoid.
-
14.2. Suprafeţe cilindrice.
Defn. supraf. cilindrice:
S. n. suprafaţa cilindrică suprafaţa generată de o familie
dedrepte (generatoare) paralele cu o dreaptă dată (notată (D)),
careeste supusă unei condiţii geometrice.
(∗) În general, condiţia geometrică este condiţia ca familia
degeneratoare
să se sprijine pe o curbă dată, (notată cu (C ))!
ecuaţia lui (C ) este dată (prescurtat) (C ) :
{F = 0G = 0
(∗∗) Dar, mai există şi alte tipuri de condiţii geometrice;
de ex:“tangenţa la o altă suprafaţă.”
Observaţie:
Situaţiile (∗) şi (∗∗) le vom avea şi la următoarele tipuri
desuprafaţe: conice, conoid.
-
14.2. Suprafeţe cilindrice.
Defn. supraf. cilindrice:
S. n. suprafaţa cilindrică suprafaţa generată de o familie
dedrepte (generatoare) paralele cu o dreaptă dată (notată (D)),
careeste supusă unei condiţii geometrice.
(∗) În general, condiţia geometrică este condiţia ca familia
degeneratoare să se sprijine pe o curbă dată,
(notată cu (C ))!
ecuaţia lui (C ) este dată (prescurtat) (C ) :
{F = 0G = 0
(∗∗) Dar, mai există şi alte tipuri de condiţii geometrice;
de ex:“tangenţa la o altă suprafaţă.”
Observaţie:
Situaţiile (∗) şi (∗∗) le vom avea şi la următoarele tipuri
desuprafaţe: conice, conoid.
-
14.2. Suprafeţe cilindrice.
Defn. supraf. cilindrice:
S. n. suprafaţa cilindrică suprafaţa generată de o familie
dedrepte (generatoare) paralele cu o dreaptă dată (notată (D)),
careeste supusă unei condiţii geometrice.
(∗) În general, condiţia geometrică este condiţia ca familia
degeneratoare să se sprijine pe o curbă dată, (notată cu (C
))!
ecuaţia lui (C ) este dată (prescurtat) (C ) :
{F = 0G = 0
(∗∗) Dar, mai există şi alte tipuri de condiţii geometrice;
de ex:“tangenţa la o altă suprafaţă.”
Observaţie:
Situaţiile (∗) şi (∗∗) le vom avea şi la următoarele tipuri
desuprafaţe: conice, conoid.
-
14.2. Suprafeţe cilindrice.
Defn. supraf. cilindrice:
S. n. suprafaţa cilindrică suprafaţa generată de o familie
dedrepte (generatoare) paralele cu o dreaptă dată (notată (D)),
careeste supusă unei condiţii geometrice.
(∗) În general, condiţia geometrică este condiţia ca familia
degeneratoare să se sprijine pe o curbă dată, (notată cu (C
))!
ecuaţia lui (C ) este dată
(prescurtat) (C ) :
{F = 0G = 0
(∗∗) Dar, mai există şi alte tipuri de condiţii geometrice;
de ex:“tangenţa la o altă suprafaţă.”
Observaţie:
Situaţiile (∗) şi (∗∗) le vom avea şi la următoarele tipuri
desuprafaţe: conice, conoid.
-
14.2. Suprafeţe cilindrice.
Defn. supraf. cilindrice:
S. n. suprafaţa cilindrică suprafaţa generată de o familie
dedrepte (generatoare) paralele cu o dreaptă dată (notată (D)),
careeste supusă unei condiţii geometrice.
(∗) În general, condiţia geometrică este condiţia ca familia
degeneratoare să se sprijine pe o curbă dată, (notată cu (C
))!
ecuaţia lui (C ) este dată (prescurtat)
(C ) :
{F = 0G = 0
(∗∗) Dar, mai există şi alte tipuri de condiţii geometrice;
de ex:“tangenţa la o altă suprafaţă.”
Observaţie:
Situaţiile (∗) şi (∗∗) le vom avea şi la următoarele tipuri
desuprafaţe: conice, conoid.
-
14.2. Suprafeţe cilindrice.
Defn. supraf. cilindrice:
S. n. suprafaţa cilindrică suprafaţa generată de o familie
dedrepte (generatoare) paralele cu o dreaptă dată (notată (D)),
careeste supusă unei condiţii geometrice.
(∗) În general, condiţia geometrică este condiţia ca familia
degeneratoare să se sprijine pe o curbă dată, (notată cu (C
))!
ecuaţia lui (C ) este dată (prescurtat) (C ) :
{F = 0G = 0
(∗∗) Dar, mai există şi alte tipuri de condiţii geometrice;
de ex:“tangenţa la o altă suprafaţă.”
Observaţie:
Situaţiile (∗) şi (∗∗) le vom avea şi la următoarele tipuri
desuprafaţe: conice, conoid.
-
14.2. Suprafeţe cilindrice.
Defn. supraf. cilindrice:
S. n. suprafaţa cilindrică suprafaţa generată de o familie
dedrepte (generatoare) paralele cu o dreaptă dată (notată (D)),
careeste supusă unei condiţii geometrice.
(∗) În general, condiţia geometrică este condiţia ca familia
degeneratoare să se sprijine pe o curbă dată, (notată cu (C
))!
ecuaţia lui (C ) este dată (prescurtat) (C ) :
{F = 0G = 0
(∗∗) Dar,
mai există şi alte tipuri de condiţii geometrice; de
ex:“tangenţa la o altă suprafaţă.”
Observaţie:
Situaţiile (∗) şi (∗∗) le vom avea şi la următoarele tipuri
desuprafaţe: conice, conoid.
-
14.2. Suprafeţe cilindrice.
Defn. supraf. cilindrice:
S. n. suprafaţa cilindrică suprafaţa generată de o familie
dedrepte (generatoare) paralele cu o dreaptă dată (notată (D)),
careeste supusă unei condiţii geometrice.
(∗) În general, condiţia geometrică este condiţia ca familia
degeneratoare să se sprijine pe o curbă dată, (notată cu (C
))!
ecuaţia lui (C ) este dată (prescurtat) (C ) :
{F = 0G = 0
(∗∗) Dar, mai există şi alte tipuri
de condiţii geometrice; de ex:“tangenţa la o altă
suprafaţă.”
Observaţie:
Situaţiile (∗) şi (∗∗) le vom avea şi la următoarele tipuri
desuprafaţe: conice, conoid.
-
14.2. Suprafeţe cilindrice.
Defn. supraf. cilindrice:
S. n. suprafaţa cilindrică suprafaţa generată de o familie
dedrepte (generatoare) paralele cu o dreaptă dată (notată (D)),
careeste supusă unei condiţii geometrice.
(∗) În general, condiţia geometrică este condiţia ca familia
degeneratoare să se sprijine pe o curbă dată, (notată cu (C
))!
ecuaţia lui (C ) este dată (prescurtat) (C ) :
{F = 0G = 0
(∗∗) Dar, mai există şi alte tipuri de condiţii
geometrice;
de ex:“tangenţa la o altă suprafaţă.”
Observaţie:
Situaţiile (∗) şi (∗∗) le vom avea şi la următoarele tipuri
desuprafaţe: conice, conoid.
-
14.2. Suprafeţe cilindrice.
Defn. supraf. cilindrice:
S. n. suprafaţa cilindrică suprafaţa generată de o familie
dedrepte (generatoare) paralele cu o dreaptă dată (notată (D)),
careeste supusă unei condiţii geometrice.
(∗) În general, condiţia geometrică este condiţia ca familia
degeneratoare să se sprijine pe o curbă dată, (notată cu (C
))!
ecuaţia lui (C ) este dată (prescurtat) (C ) :
{F = 0G = 0
(∗∗) Dar, mai există şi alte tipuri de condiţii geometrice;
de ex:“tangenţa la o altă suprafaţă.”
Observaţie:
Situaţiile (∗) şi (∗∗) le vom avea şi la următoarele tipuri
desuprafaţe: conice, conoid.
-
14.2. Suprafeţe cilindrice.
Defn. supraf. cilindrice:
S. n. suprafaţa cilindrică suprafaţa generată de o familie
dedrepte (generatoare) paralele cu o dreaptă dată (notată (D)),
careeste supusă unei condiţii geometrice.
(∗) În general, condiţia geometrică este condiţia ca familia
degeneratoare să se sprijine pe o curbă dată, (notată cu (C
))!
ecuaţia lui (C ) este dată (prescurtat) (C ) :
{F = 0G = 0
(∗∗) Dar, mai există şi alte tipuri de condiţii geometrice;
de ex:“tangenţa la o altă suprafaţă.”
Observaţie:
Situaţiile (∗) şi (∗∗) le vom avea şi la următoarele tipuri
desuprafaţe: conice, conoid.
-
14.2. Suprafeţe cilindrice.
Defn. supraf. cilindrice:
S. n. suprafaţa cilindrică suprafaţa generată de o familie
dedrepte (generatoare) paralele cu o dreaptă dată (notată (D)),
careeste supusă unei condiţii geometrice.
(∗) În general, condiţia geometrică este condiţia ca familia
degeneratoare să se sprijine pe o curbă dată, (notată cu (C
))!
ecuaţia lui (C ) este dată (prescurtat) (C ) :
{F = 0G = 0
(∗∗) Dar, mai există şi alte tipuri de condiţii geometrice;
de ex:“tangenţa la o altă suprafaţă.”
Observaţie:
Situaţiile (∗) şi (∗∗)
le vom avea şi la următoarele tipuri desuprafaţe: conice,
conoid.
-
14.2. Suprafeţe cilindrice.
Defn. supraf. cilindrice:
S. n. suprafaţa cilindrică suprafaţa generată de o familie
dedrepte (generatoare) paralele cu o dreaptă dată (notată (D)),
careeste supusă unei condiţii geometrice.
(∗) În general, condiţia geometrică este condiţia ca familia
degeneratoare să se sprijine pe o curbă dată, (notată cu (C
))!
ecuaţia lui (C ) este dată (prescurtat) (C ) :
{F = 0G = 0
(∗∗) Dar, mai există şi alte tipuri de condiţii geometrice;
de ex:“tangenţa la o altă suprafaţă.”
Observaţie:
Situaţiile (∗) şi (∗∗) le vom avea şi la următoarele tipuri
desuprafaţe:
conice, conoid.
-
14.2. Suprafeţe cilindrice.
Defn. supraf. cilindrice:
S. n. suprafaţa cilindrică suprafaţa generată de o familie
dedrepte (generatoare) paralele cu o dreaptă dată (notată (D)),
careeste supusă unei condiţii geometrice.
(∗) În general, condiţia geometrică este condiţia ca familia
degeneratoare să se sprijine pe o curbă dată, (notată cu (C
))!
ecuaţia lui (C ) este dată (prescurtat) (C ) :
{F = 0G = 0
(∗∗) Dar, mai există şi alte tipuri de condiţii geometrice;
de ex:“tangenţa la o altă suprafaţă.”
Observaţie:
Situaţiile (∗) şi (∗∗) le vom avea şi la următoarele tipuri
desuprafaţe: conice, conoid.
-
Dreapta (D)
poate fi dată:
(I )
{P1 = 0P2 = 0
(II ) se dă −→v (a, b, c) vectorul director al lui (D).
-
Dreapta (D) poate fi dată:
(I )
{P1 = 0P2 = 0
(II ) se dă −→v (a, b, c) vectorul director al lui (D).
-
Dreapta (D) poate fi dată:
(I )
{P1 = 0
P2 = 0
(II ) se dă −→v (a, b, c) vectorul director al lui (D).
-
Dreapta (D) poate fi dată:
(I )
{P1 = 0P2 = 0
(II ) se dă −→v (a, b, c) vectorul director al lui (D).
-
Dreapta (D) poate fi dată:
(I )
{P1 = 0P2 = 0
(II ) se dă −→v (a, b, c)
vectorul director al lui (D).
-
Dreapta (D) poate fi dată:
(I )
{P1 = 0P2 = 0
(II ) se dă −→v (a, b, c) vectorul director al lui (D).
-
Dreapta (D) poate fi dată:
(I )
{P1 = 0P2 = 0
(II ) se dă −→v (a, b, c) vectorul director al lui (D).
-
În cazul (∗)|(I ):
Scriem sistemul P1 = α (1)P2 = β (2)F = 0G = 0
Rezolvăm sistemul cu trei ecuaţii (convenabil alese, de mai
sus!)şi ı̂nlocuind soluţiile ı̂n a patra ⇒φ(α, β) = 0 (relaţia
de compatibilitate).Revenind la (1) şi (2) ı̂nlocuind α cu P1,
respectiv β cu P2 ı̂nrelaţia de compatibilitate ⇒
φ(P1,P2) = 0 ,− > ecuaţia suprafeţei cilindrice.
-
În cazul (∗)|(I ):Scriem sistemul
P1 = α (1)P2 = β (2)F = 0G = 0
Rezolvăm sistemul cu trei ecuaţii (convenabil alese, de mai
sus!)şi ı̂nlocuind soluţiile ı̂n a patra ⇒φ(α, β) = 0 (relaţia
de compatibilitate).Revenind la (1) şi (2) ı̂nlocuind α cu P1,
respectiv β cu P2 ı̂nrelaţia de compatibilitate ⇒
φ(P1,P2) = 0 ,− > ecuaţia suprafeţei cilindrice.
-
În cazul (∗)|(I ):Scriem sistemul
P1 = α (1)
P2 = β (2)F = 0G = 0
Rezolvăm sistemul cu trei ecuaţii (convenabil alese, de mai
sus!)şi ı̂nlocuind soluţiile ı̂n a patra ⇒φ(α, β) = 0 (relaţia
de compatibilitate).Revenind la (1) şi (2) ı̂nlocuind α cu P1,
respectiv β cu P2 ı̂nrelaţia de compatibilitate ⇒
φ(P1,P2) = 0 ,− > ecuaţia suprafeţei cilindrice.
-
În cazul (∗)|(I ):Scriem sistemul
P1 = α (1)P2 = β (2)
F = 0G = 0
Rezolvăm sistemul cu trei ecuaţii (convenabil alese, de mai
sus!)şi ı̂nlocuind soluţiile ı̂n a patra ⇒φ(α, β) = 0 (relaţia
de compatibilitate).Revenind la (1) şi (2) ı̂nlocuind α cu P1,
respectiv β cu P2 ı̂nrelaţia de compatibilitate ⇒
φ(P1,P2) = 0 ,− > ecuaţia suprafeţei cilindrice.
-
În cazul (∗)|(I ):Scriem sistemul
P1 = α (1)P2 = β (2)F = 0
G = 0
Rezolvăm sistemul cu trei ecuaţii (convenabil alese, de mai
sus!)şi ı̂nlocuind soluţiile ı̂n a patra ⇒φ(α, β) = 0 (relaţia
de compatibilitate).Revenind la (1) şi (2) ı̂nlocuind α cu P1,
respectiv β cu P2 ı̂nrelaţia de compatibilitate ⇒
φ(P1,P2) = 0 ,− > ecuaţia suprafeţei cilindrice.
-
În cazul (∗)|(I ):Scriem sistemul
P1 = α (1)P2 = β (2)F = 0G = 0
Rezolvăm sistemul cu trei ecuaţii (convenabil alese, de mai
sus!)şi ı̂nlocuind soluţiile ı̂n a patra ⇒φ(α, β) = 0 (relaţia
de compatibilitate).Revenind la (1) şi (2) ı̂nlocuind α cu P1,
respectiv β cu P2 ı̂nrelaţia de compatibilitate ⇒
φ(P1,P2) = 0 ,− > ecuaţia suprafeţei cilindrice.
-
În cazul (∗)|(I ):Scriem sistemul
P1 = α (1)P2 = β (2)F = 0G = 0
Rezolvăm sistemul cu
trei ecuaţii (convenabil alese, de mai sus!)şi ı̂nlocuind
soluţiile ı̂n a patra ⇒φ(α, β) = 0 (relaţia de
compatibilitate).Revenind la (1) şi (2) ı̂nlocuind α cu P1,
respectiv β cu P2 ı̂nrelaţia de compatibilitate ⇒
φ(P1,P2) = 0 ,− > ecuaţia suprafeţei cilindrice.
-
În cazul (∗)|(I ):Scriem sistemul
P1 = α (1)P2 = β (2)F = 0G = 0
Rezolvăm sistemul cu trei ecuaţii
(convenabil alese, de mai sus!)şi ı̂nlocuind soluţiile ı̂n a
patra ⇒φ(α, β) = 0 (relaţia de compatibilitate).Revenind la (1)
şi (2) ı̂nlocuind α cu P1, respectiv β cu P2 ı̂nrelaţia de
compatibilitate ⇒
φ(P1,P2) = 0 ,− > ecuaţia suprafeţei cilindrice.
-
În cazul (∗)|(I ):Scriem sistemul
P1 = α (1)P2 = β (2)F = 0G = 0
Rezolvăm sistemul cu trei ecuaţii (convenabil alese, de mai
sus!)
şi ı̂nlocuind soluţiile ı̂n a patra ⇒φ(α, β) = 0 (relaţia de
compatibilitate).Revenind la (1) şi (2) ı̂nlocuind α cu P1,
respectiv β cu P2 ı̂nrelaţia de compatibilitate ⇒
φ(P1,P2) = 0 ,− > ecuaţia suprafeţei cilindrice.
-
În cazul (∗)|(I ):Scriem sistemul
P1 = α (1)P2 = β (2)F = 0G = 0
Rezolvăm sistemul cu trei ecuaţii (convenabil alese, de mai
sus!)şi
ı̂nlocuind soluţiile ı̂n a patra ⇒φ(α, β) = 0 (relaţia de
compatibilitate).Revenind la (1) şi (2) ı̂nlocuind α cu P1,
respectiv β cu P2 ı̂nrelaţia de compatibilitate ⇒
φ(P1,P2) = 0 ,− > ecuaţia suprafeţei cilindrice.
-
În cazul (∗)|(I ):Scriem sistemul
P1 = α (1)P2 = β (2)F = 0G = 0
Rezolvăm sistemul cu trei ecuaţii (convenabil alese, de mai
sus!)şi ı̂nlocuind soluţiile ı̂n a patra ⇒
φ(α, β) = 0 (relaţia de compatibilitate).Revenind la (1) şi
(2) ı̂nlocuind α cu P1, respectiv β cu P2 ı̂nrelaţia de
compatibilitate ⇒
φ(P1,P2) = 0 ,− > ecuaţia suprafeţei cilindrice.
-
În cazul (∗)|(I ):Scriem sistemul
P1 = α (1)P2 = β (2)F = 0G = 0
Rezolvăm sistemul cu trei ecuaţii (convenabil alese, de mai
sus!)şi ı̂nlocuind soluţiile ı̂n a patra ⇒φ(α, β) = 0
(relaţia de compatibilitate).Revenind la (1) şi (2) ı̂nlocuind
α cu P1, respectiv β cu P2 ı̂nrelaţia de compatibilitate ⇒
φ(P1,P2) = 0 ,− > ecuaţia suprafeţei cilindrice.
-
În cazul (∗)|(I ):Scriem sistemul
P1 = α (1)P2 = β (2)F = 0G = 0
Rezolvăm sistemul cu trei ecuaţii (convenabil alese, de mai
sus!)şi ı̂nlocuind soluţiile ı̂n a patra ⇒φ(α, β) = 0 (relaţia
de compatibilitate).
Revenind la (1) şi (2) ı̂nlocuind α cu P1, respectiv β cu P2
ı̂nrelaţia de compatibilitate ⇒
φ(P1,P2) = 0 ,− > ecuaţia suprafeţei cilindrice.
-
În cazul (∗)|(I ):Scriem sistemul
P1 = α (1)P2 = β (2)F = 0G = 0
Rezolvăm sistemul cu trei ecuaţii (convenabil alese, de mai
sus!)şi ı̂nlocuind soluţiile ı̂n a patra ⇒φ(α, β) = 0 (relaţia
de compatibilitate).Revenind la (1) şi (2)
ı̂nlocuind α cu P1, respectiv β cu P2 ı̂nrelaţia de
compatibilitate ⇒
φ(P1,P2) = 0 ,− > ecuaţia suprafeţei cilindrice.
-
În cazul (∗)|(I ):Scriem sistemul
P1 = α (1)P2 = β (2)F = 0G = 0
Rezolvăm sistemul cu trei ecuaţii (convenabil alese, de mai
sus!)şi ı̂nlocuind soluţiile ı̂n a patra ⇒φ(α, β) = 0 (relaţia
de compatibilitate).Revenind la (1) şi (2) ı̂nlocuind α cu P1,
respectiv β cu P2 ı̂nrelaţia de compatibilitate ⇒
φ(P1,P2) = 0 ,− > ecuaţia suprafeţei cilindrice.
-
În cazul (∗)|(I ):Scriem sistemul
P1 = α (1)P2 = β (2)F = 0G = 0
Rezolvăm sistemul cu trei ecuaţii (convenabil alese, de mai
sus!)şi ı̂nlocuind soluţiile ı̂n a patra ⇒φ(α, β) = 0 (relaţia
de compatibilitate).Revenind la (1) şi (2) ı̂nlocuind α cu P1,
respectiv β cu P2
ı̂nrelaţia de compatibilitate ⇒
φ(P1,P2) = 0 ,− > ecuaţia suprafeţei cilindrice.
-
În cazul (∗)|(I ):Scriem sistemul
P1 = α (1)P2 = β (2)F = 0G = 0
Rezolvăm sistemul cu trei ecuaţii (convenabil alese, de mai
sus!)şi ı̂nlocuind soluţiile ı̂n a patra ⇒φ(α, β) = 0 (relaţia
de compatibilitate).Revenind la (1) şi (2) ı̂nlocuind α cu P1,
respectiv β cu P2 ı̂nrelaţia de compatibilitate ⇒
φ(P1,P2) = 0 ,− > ecuaţia suprafeţei cilindrice.
-
În cazul (∗)|(I ):Scriem sistemul
P1 = α (1)P2 = β (2)F = 0G = 0
Rezolvăm sistemul cu trei ecuaţii (convenabil alese, de mai
sus!)şi ı̂nlocuind soluţiile ı̂n a patra ⇒φ(α, β) = 0 (relaţia
de compatibilitate).Revenind la (1) şi (2) ı̂nlocuind α cu P1,
respectiv β cu P2 ı̂nrelaţia de compatibilitate ⇒
φ(P1,P2) = 0 ,
− > ecuaţia suprafeţei cilindrice.
-
În cazul (∗)|(I ):Scriem sistemul
P1 = α (1)P2 = β (2)F = 0G = 0
Rezolvăm sistemul cu trei ecuaţii (convenabil alese, de mai
sus!)şi ı̂nlocuind soluţiile ı̂n a patra ⇒φ(α, β) = 0 (relaţia
de compatibilitate).Revenind la (1) şi (2) ı̂nlocuind α cu P1,
respectiv β cu P2 ı̂nrelaţia de compatibilitate ⇒
φ(P1,P2) = 0 ,− > ecuaţia suprafeţei cilindrice.
-
În cazul (∗)|(II ):
Dacă −→v (a, b, c) ∦ Ox ,y ⇒ c 6= 0 şi putem scrie:
x−αa =
y−βb =
zc
F = 0G = 0
c 6=0⇒
cx−az
c = α (1)cy−bz
c = β (2)F = 0G = 0
apoi, se procedează similar cu (∗)|(I ).
-
În cazul (∗)|(II ):Dacă
−→v (a, b, c) ∦ Ox ,y ⇒ c 6= 0 şi putem scrie:
x−αa =
y−βb =
zc
F = 0G = 0
c 6=0⇒
cx−az
c = α (1)cy−bz
c = β (2)F = 0G = 0
apoi, se procedează similar cu (∗)|(I ).
-
În cazul (∗)|(II ):Dacă −→v (a, b, c) ∦ Ox ,y
⇒ c 6= 0 şi putem scrie:
x−αa =
y−βb =
zc
F = 0G = 0
c 6=0⇒
cx−az
c = α (1)cy−bz
c = β (2)F = 0G = 0
apoi, se procedează similar cu (∗)|(I ).
-
În cazul (∗)|(II ):Dacă −→v (a, b, c) ∦ Ox ,y ⇒ c 6= 0
şi putem scrie:
x−αa =
y−βb =
zc
F = 0G = 0
c 6=0⇒
cx−az
c = α (1)cy−bz
c = β (2)F = 0G = 0
apoi, se procedează similar cu (∗)|(I ).
-
În cazul (∗)|(II ):Dacă −→v (a, b, c) ∦ Ox ,y ⇒ c 6= 0 şi
putem scrie:
x−αa =
y−βb =
zc
F = 0G = 0
c 6=0⇒
cx−az
c = α (1)cy−bz
c = β (2)F = 0G = 0
apoi, se procedează similar cu (∗)|(I ).
-
În cazul (∗)|(II ):Dacă −→v (a, b, c) ∦ Ox ,y ⇒ c 6= 0 şi
putem scrie:
x−αa =
y−βb =
zc
F = 0G = 0
c 6=0⇒
cx−az
c = α (1)cy−bz
c = β (2)F = 0G = 0
apoi, se procedează similar cu (∗)|(I ).
-
În cazul (∗)|(II ):Dacă −→v (a, b, c) ∦ Ox ,y ⇒ c 6= 0 şi
putem scrie:
x−αa =
y−βb =
zc
F = 0
G = 0
c 6=0⇒
cx−az
c = α (1)cy−bz
c = β (2)F = 0G = 0
apoi, se procedează similar cu (∗)|(I ).
-
În cazul (∗)|(II ):Dacă −→v (a, b, c) ∦ Ox ,y ⇒ c 6= 0 şi
putem scrie:
x−αa =
y−βb =
zc
F = 0G = 0
c 6=0⇒
cx−az
c = α (1)cy−bz
c = β (2)F = 0G = 0
apoi, se procedează similar cu (∗)|(I ).
-
În cazul (∗)|(II ):Dacă −→v (a, b, c) ∦ Ox ,y ⇒ c 6= 0 şi
putem scrie:
x−αa =
y−βb =
zc
F = 0G = 0
c 6=0⇒
cx−az
c = α (1)cy−bz
c = β (2)F = 0G = 0
apoi, se procedează similar cu (∗)|(I ).
-
În cazul (∗)|(II ):Dacă −→v (a, b, c) ∦ Ox ,y ⇒ c 6= 0 şi
putem scrie:
x−αa =
y−βb =
zc
F = 0G = 0
c 6=0⇒
cx−az
c = α (1)
cy−bzc = β (2)
F = 0G = 0
apoi, se procedează similar cu (∗)|(I ).
-
În cazul (∗)|(II ):Dacă −→v (a, b, c) ∦ Ox ,y ⇒ c 6= 0 şi
putem scrie:
x−αa =
y−βb =
zc
F = 0G = 0
c 6=0⇒
cx−az
c = α (1)cy−bz
c = β (2)
F = 0G = 0
apoi, se procedează similar cu (∗)|(I ).
-
În cazul (∗)|(II ):Dacă −→v (a, b, c) ∦ Ox ,y ⇒ c 6= 0 şi
putem scrie:
x−αa =
y−βb =
zc
F = 0G = 0
c 6=0⇒
cx−az
c = α (1)cy−bz
c = β (2)F = 0
G = 0
apoi, se procedează similar cu (∗)|(I ).
-
În cazul (∗)|(II ):Dacă −→v (a, b, c) ∦ Ox ,y ⇒ c 6= 0 şi
putem scrie:
x−αa =
y−βb =
zc
F = 0G = 0
c 6=0⇒
cx−az
c = α (1)cy−bz
c = β (2)F = 0G = 0
apoi, se procedează similar cu (∗)|(I ).
-
În cazul (∗)|(II ):Dacă −→v (a, b, c) ∦ Ox ,y ⇒ c 6= 0 şi
putem scrie:
x−αa =
y−βb =
zc
F = 0G = 0
c 6=0⇒
cx−az
c = α (1)cy−bz
c = β (2)F = 0G = 0
apoi,
se procedează similar cu (∗)|(I ).
-
În cazul (∗)|(II ):Dacă −→v (a, b, c) ∦ Ox ,y ⇒ c 6= 0 şi
putem scrie:
x−αa =
y−βb =
zc
F = 0G = 0
c 6=0⇒
cx−az
c = α (1)cy−bz
c = β (2)F = 0G = 0
apoi, se procedează similar cu (∗)|(I ).
-
În cazul (∗)|(II ):Dacă −→v (a, b, c) ∦ Ox ,y ⇒ c 6= 0 şi
putem scrie:
x−αa =
y−βb =
zc
F = 0G = 0
c 6=0⇒
cx−az
c = α (1)cy−bz
c = β (2)F = 0G = 0
apoi, se procedează similar cu (∗)|(I ).
-
Pb:
Să se determine ecuaţia suprafeţei cilindrice cu
generatoareleparalele cu:
(D) :x − 1
5=
y − 23
=z − 1
2
şi curba directoare (pe care se sprijină)
(C ) :
{x2 + y2 = 25z = 0
Demonstraţie.
”La tablă!”
Întrebare: Ce curbă este (C )?
-
Pb:
Să se determine
ecuaţia suprafeţei cilindrice cu generatoareleparalele cu:
(D) :x − 1
5=
y − 23
=z − 1
2
şi curba directoare (pe care se sprijină)
(C ) :
{x2 + y2 = 25z = 0
Demonstraţie.
”La tablă!”
Întrebare: Ce curbă este (C )?
-
Pb:
Să se determine ecuaţia suprafeţei cilindrice
cu generatoareleparalele cu:
(D) :x − 1
5=
y − 23
=z − 1
2
şi curba directoare (pe care se sprijină)
(C ) :
{x2 + y2 = 25z = 0
Demonstraţie.
”La tablă!”
Întrebare: Ce curbă este (C )?
-
Pb:
Să se determine ecuaţia suprafeţei cilindrice cu
generatoareleparalele cu:
(D) :x − 1
5=
y − 23
=z − 1
2
şi curba directoare (pe care se sprijină)
(C ) :
{x2 + y2 = 25z = 0
Demonstraţie.
”La tablă!”
Întrebare: Ce curbă este (C )?
-
Pb:
Să se determine ecuaţia suprafeţei cilindrice cu
generatoareleparalele cu:
(D) :x − 1
5=
y − 23
=z − 1
2
şi curba directoare (pe care se sprijină)
(C ) :
{x2 + y2 = 25z = 0
Demonstraţie.
”La tablă!”
Întrebare: Ce curbă este (C )?
-
Pb:
Să se determine ecuaţia suprafeţei cilindrice cu
generatoareleparalele cu:
(D) :x − 1
5=
y − 23
=
z − 12
şi curba directoare (pe care se sprijină)
(C ) :
{x2 + y2 = 25z = 0
Demonstraţie.
”La tablă!”
Întrebare: Ce curbă este (C )?
-
Pb:
Să se determine ecuaţia suprafeţei cilindrice cu
generatoareleparalele cu:
(D) :x − 1
5=
y − 23
=z − 1
2
şi curba directoare (pe care se sprijină)
(C ) :
{x2 + y2 = 25z = 0
Demonstraţie.
”La tablă!”
Întrebare: Ce curbă este (C )?
-
Pb:
Să se determine ecuaţia suprafeţei cilindrice cu
generatoareleparalele cu:
(D) :x − 1
5=
y − 23
=z − 1
2
şi curba directoare
(pe care se sprijină)
(C ) :
{x2 + y2 = 25z = 0
Demonstraţie.
”La tablă!”
Întrebare: Ce curbă este (C )?
-
Pb:
Să se determine ecuaţia suprafeţei cilindrice cu
generatoareleparalele cu:
(D) :x − 1
5=
y − 23
=z − 1
2
şi curba directoare (pe care se sprijină)
(C ) :
{x2 + y2 = 25z = 0
Demonstraţie.
”La tablă!”
Întrebare: Ce curbă este (C )?
-
Pb:
Să se determine ecuaţia suprafeţei cilindrice cu
generatoareleparalele cu:
(D) :x − 1
5=
y − 23
=z − 1
2
şi curba directoare (pe care se sprijină)
(C ) :
{x2 + y2 = 25
z = 0
Demonstraţie.
”La tablă!”
Întrebare: Ce curbă este (C )?
-
Pb:
Să se determine ecuaţia suprafeţei cilindrice cu
generatoareleparalele cu:
(D) :x − 1
5=
y − 23
=z − 1
2
şi curba directoare (pe care se sprijină)
(C ) :
{x2 + y2 = 25z = 0
Demonstraţie.
”La tablă!”
Întrebare: Ce curbă este (C )?
-
Pb:
Să se determine ecuaţia suprafeţei cilindrice cu
generatoareleparalele cu:
(D) :x − 1
5=
y − 23
=z − 1
2
şi curba directoare (pe care se sprijină)
(C ) :
{x2 + y2 = 25z = 0
Demonstraţie.
”La tablă!”
Întrebare: Ce curbă este (C )?
-
Pb:
Să se determine ecuaţia suprafeţei cilindrice cu
generatoareleparalele cu:
(D) :x − 1
5=
y − 23
=z − 1
2
şi curba directoare (pe care se sprijină)
(C ) :
{x2 + y2 = 25z = 0
Demonstraţie.
”La tablă!”
Întrebare:
Ce curbă este (C )?
-
Pb:
Să se determine ecuaţia suprafeţei cilindrice cu
generatoareleparalele cu:
(D) :x − 1
5=
y − 23
=z − 1
2
şi curba directoare (pe care se sprijină)
(C ) :
{x2 + y2 = 25z = 0
Demonstraţie.
”La tablă!”
Întrebare: Ce curbă este (C )?
-
14.3. Suprafeţe conice.
Defn. supraf. conice:
S. n. suprafaţă conică o suprafaţa generată de o familie
dedrepte, care trec printr-un punct fix V (x0, y0, z0) (vârful
conului)şi care mai satisfac o condiţie geometrică.
Vârful poate fi dat astfel:
(I ) V (x0, y0, z0)
(II ) V :
P1 = 0P2 = 0P3 = 0
(intersecţie de 3 plane);
-
14.3. Suprafeţe conice.
Defn. supraf. conice:
S. n. suprafaţă conică o suprafaţa generată de o familie
dedrepte, care trec printr-un punct fix V (x0, y0, z0) (vârful
conului)şi care mai satisfac o condiţie geometrică.
Vârful poate fi dat astfel:
(I ) V (x0, y0, z0)
(II ) V :
P1 = 0P2 = 0P3 = 0
(intersecţie de 3 plane);
-
14.3. Suprafeţe conice.
Defn. supraf. conice:
S. n.
suprafaţă conică o suprafaţa generată de o familie
dedrepte, care trec printr-un punct fix V (x0, y0, z0) (vârful
conului)şi care mai satisfac o condiţie geometrică.
Vârful poate fi dat astfel:
(I ) V (x0, y0, z0)
(II ) V :
P1 = 0P2 = 0P3 = 0
(intersecţie de 3 plane);
-
14.3. Suprafeţe conice.
Defn. supraf. conice:
S. n. suprafaţă conică
o suprafaţa generată de o familie dedrepte, care trec
printr-un punct fix V (x0, y0, z0) (vârful conului)şi care mai
satisfac o condiţie geometrică.
Vârful poate fi dat astfel:
(I ) V (x0, y0, z0)
(II ) V :
P1 = 0P2 = 0P3 = 0
(intersecţie de 3 plane);
-
14.3. Suprafeţe conice.
Defn. supraf. conice:
S. n. suprafaţă conică o suprafaţa generată
de o familie dedrepte, care trec printr-un punct fix V (x0, y0,
z0) (vârful conului)şi care mai satisfac o condiţie
geometrică.
Vârful poate fi dat astfel:
(I ) V (x0, y0, z0)
(II ) V :
P1 = 0P2 = 0P3 = 0
(intersecţie de 3 plane);
-
14.3. Suprafeţe conice.
Defn. supraf. conice:
S. n. suprafaţă conică o suprafaţa generată de o familie
dedrepte,
care trec printr-un punct fix V (x0, y0, z0) (vârful
conului)şi care mai satisfac o condiţie geometrică.
Vârful poate fi dat astfel:
(I ) V (x0, y0, z0)
(II ) V :
P1 = 0P2 = 0P3 = 0
(intersecţie de 3 plane);
-
14.3. Suprafeţe conice.
Defn. supraf. conice:
S. n. suprafaţă conică o suprafaţa generată de o familie
dedrepte, care trec printr-un punct fix V (x0, y0, z0)
(vârful conului)şi care mai satisfac o condiţie
geometrică.
Vârful poate fi dat astfel:
(I ) V (x0, y0, z0)
(II ) V :
P1 = 0P2 = 0P3 = 0
(intersecţie de 3 plane);
-
14.3. Suprafeţe conice.
Defn. supraf. conice:
S. n. suprafaţă conică o suprafaţa generată de o familie
dedrepte, care trec printr-un punct fix V (x0, y0, z0) (vârful
conului)
şi care mai satisfac o condiţie geometrică.
Vârful poate fi dat astfel:
(I ) V (x0, y0, z0)
(II ) V :
P1 = 0P2 = 0P3 = 0
(intersecţie de 3 plane);
-
14.3. Suprafeţe conice.
Defn. supraf. conice:
S. n. suprafaţă conică o suprafaţa generată de o familie
dedrepte, care trec printr-un punct fix V (x0, y0, z0) (vârful
conului)şi care mai satisfac
o condiţie geometrică.
Vârful poate fi dat astfel:
(I ) V (x0, y0, z0)
(II ) V :
P1 = 0P2 = 0P3 = 0
(intersecţie de 3 plane);
-
14.3. Suprafeţe conice.
Defn. supraf. conice:
S. n. suprafaţă conică o suprafaţa generată de o familie
dedrepte, care trec printr-un punct fix V (x0, y0, z0) (vârful
conului)şi care mai satisfac o condiţie geometrică.
Vârful poate fi dat astfel:
(I ) V (x0, y0, z0)
(II ) V :
P1 = 0P2 = 0P3 = 0
(intersecţie de 3 plane);
-
14.3. Suprafeţe conice.
Defn. supraf. conice:
S. n. suprafaţă conică o suprafaţa generată de o familie
dedrepte, care trec printr-un punct fix V (x0, y0, z0) (vârful
conului)şi care mai satisfac o condiţie geometrică.
Vârful poate fi dat astfel:
(I ) V (x0, y0, z0)
(II ) V :
P1 = 0P2 = 0P3 = 0
(intersecţie de 3 plane);
-
14.3. Suprafeţe conice.
Defn. supraf. conice:
S. n. suprafaţă conică o suprafaţa generată de o familie
dedrepte, care trec printr-un punct fix V (x0, y0, z0) (vârful
conului)şi care mai satisfac o condiţie geometrică.
Vârful poate fi dat astfel:
(I ) V (x0, y0, z0)
(II ) V :
P1 = 0P2 = 0P3 = 0
(intersecţie de 3 plane);
-
14.3. Suprafeţe conice.
Defn. supraf. conice:
S. n. suprafaţă conică o suprafaţa generată de o familie
dedrepte, care trec printr-un punct fix V (x0, y0, z0) (vârful
conului)şi care mai satisfac o condiţie geometrică.
Vârful poate fi dat astfel:
(I ) V (x0, y0, z0)
(II ) V :
P1 = 0
P2 = 0P3 = 0
(intersecţie de 3 plane);
-
14.3. Suprafeţe conice.
Defn. supraf. conice:
S. n. suprafaţă conică o suprafaţa generată de o familie
dedrepte, care trec printr-un punct fix V (x0, y0, z0) (vârful
conului)şi care mai satisfac o condiţie geometrică.
Vârful poate fi dat astfel:
(I ) V (x0, y0, z0)
(II ) V :
P1 = 0P2 = 0
P3 = 0(intersecţie de 3 plane);
-
14.3. Suprafeţe conice.
Defn. supraf. conice:
S. n. suprafaţă conică o suprafaţa generată de o familie
dedrepte, care trec printr-un punct fix V (x0, y0, z0) (vârful
conului)şi care mai satisfac o condiţie geometrică.
Vârful poate fi dat astfel:
(I ) V (x0, y0, z0)
(II ) V :
P1 = 0P2 = 0P3 = 0
(intersecţie de 3 plane);
-
14.3. Suprafeţe conice.
Defn. supraf. conice:
S. n. suprafaţă conică o suprafaţa generată de o familie
dedrepte, care trec printr-un punct fix V (x0, y0, z0) (vârful
conului)şi care mai satisfac o condiţie geometrică.
Vârful poate fi dat astfel:
(I ) V (x0, y0, z0)
(II ) V :
P1 = 0P2 = 0P3 = 0
(intersecţie de 3 plane);
-
În cazul (∗)|(I ):
x−x0α =
y−y0β = z − z0
F = 0G = 0
⇒
x−x0z−z0 = α (1)y−y0z−z0 = β (2)
F = 0G = 0
⇒
(procedăm cu metode similare suprafeţelor cilindrice)
φ(α, β) = 0(1)(2)⇒
φ(x − x0z − z0
,y − y0z − z0
) = 0 − > ecuaţia suprafeţei conice.
-
În cazul (∗)|(I ):
x−x0α =
y−y0β = z − z0
F = 0G = 0
⇒
x−x0z−z0 = α (1)y−y0z−z0 = β (2)
F = 0G = 0
⇒
(procedăm cu metode similare suprafeţelor cilindrice)
φ(α, β) = 0(1)(2)⇒
φ(x − x0z − z0
,y − y0z − z0
) = 0 − > ecuaţia suprafeţei conice.
-
În cazul (∗)|(I ):
x−x0α =
y−y0β = z − z0
F = 0
G = 0
⇒
x−x0z−z0 = α (1)y−y0z−z0 = β (2)
F = 0G = 0
⇒
(procedăm cu metode similare suprafeţelor cilindrice)
φ(α, β) = 0(1)(2)⇒
φ(x − x0z − z0
,y − y0z − z0
) = 0 − > ecuaţia suprafeţei conice.
-
În cazul (∗)|(I ):
x−x0α =
y−y0β = z − z0
F = 0G = 0
⇒
x−x0z−z0 = α (1)y−y0z−z0 = β (2)
F = 0G = 0
⇒
(procedăm cu metode similare suprafeţelor cilindrice)
φ(α, β) = 0(1)(2)⇒
φ(x − x0z − z0
,y − y0z − z0
) = 0 − > ecuaţia suprafeţei conice.
-
În cazul (∗)|(I ):
x−x0α =
y−y0β = z − z0
F = 0G = 0
⇒
x−x0z−z0 = α (1)
y−y0z−z0 = β (2)
F = 0G = 0
⇒
(procedăm cu metode similare suprafeţelor cilindrice)
φ(α, β) = 0(1)(2)⇒
φ(x − x0z − z0
,y − y0z − z0
) = 0 − > ecuaţia suprafeţei conice.
-
În cazul (∗)|(I ):
x−x0α =
y−y0β = z − z0
F = 0G = 0
⇒
x−x0z−z0 = α (1)y−y0z−z0 = β (2)
F = 0G = 0
⇒
(procedăm cu metode similare suprafeţelor cilindrice)
φ(α, β) = 0(1)(2)⇒
φ(x − x0z − z0
,y − y0z − z0
) = 0 − > ecuaţia suprafeţei conice.
-
În cazul (∗)|(I ):
x−x0α =
y−y0β = z − z0
F = 0G = 0
⇒
x−x0z−z0 = α (1)y−y0z−z0 = β (2)
F = 0
G = 0
⇒
(procedăm cu metode similare suprafeţelor cilindrice)
φ(α, β) = 0(1)(2)⇒
φ(x − x0z − z0
,y − y0z − z0
) = 0 − > ecuaţia suprafeţei conice.
-
În cazul (∗)|(I ):
x−x0α =
y−y0β = z − z0
F = 0G = 0
⇒
x−x0z−z0 = α (1)y−y0z−z0 = β (2)
F = 0G = 0
⇒
(procedăm cu metode similare suprafeţelor cilindrice)
φ(α, β) = 0(1)(2)⇒
φ(x − x0z − z0
,y − y0z − z0
) = 0 − > ecuaţia suprafeţei conice.
-
În cazul (∗)|(I ):
x−x0α =
y−y0β = z − z0
F = 0G = 0
⇒
x−x0z−z0 = α (1)y−y0z−z0 = β (2)
F = 0G = 0
⇒
(procedăm cu metode similare suprafeţelor cilindrice)
φ(α, β) = 0(1)(2)⇒
φ(x − x0z − z0
,y − y0z − z0
) = 0 − > ecuaţia suprafeţei conice.
-
În cazul (∗)|(I ):
x−x0α =
y−y0β = z − z0
F = 0G = 0
⇒
x−x0z−z0 = α (1)y−y0z−z0 = β (2)
F = 0G = 0
⇒
(procedăm cu metode similare suprafeţelor cilindrice)
φ(α, β) = 0(1)(2)⇒
φ(x − x0z − z0
,y − y0z − z0
) = 0 − > ecuaţia suprafeţei conice.
-
În cazul (∗)|(I ):
x−x0α =
y−y0β = z − z0
F = 0G = 0
⇒
x−x0z−z0 = α (1)y−y0z−z0 = β (2)
F = 0G = 0
⇒
(procedăm cu metode similare suprafeţelor cilindrice)
φ(α, β) = 0(1)(2)⇒
φ(x − x0z − z0
,y − y0z − z0
) = 0 − > ecuaţia suprafeţei conice.
-
În cazul (∗)|(I ):
x−x0α =
y−y0β = z − z0
F = 0G = 0
⇒
x−x0z−z0 = α (1)y−y0z−z0 = β (2)
F = 0G = 0
⇒
(procedăm cu metode similare suprafeţelor cilindrice)
φ(α, β) = 0(1)(2)⇒
φ(x − x0z − z0
,y − y0z − z0
) = 0
− > ecuaţia suprafeţei conice.
-
În cazul (∗)|(I ):
x−x0α =
y−y0β = z − z0
F = 0G = 0
⇒
x−x0z−z0 = α (1)y−y0z−z0 = β (2)
F = 0G = 0
⇒
(procedăm cu metode similare suprafeţelor cilindrice)
φ(α, β) = 0(1)(2)⇒
φ(x − x0z − z0
,y − y0z − z0
) = 0 − > ecuaţia suprafeţei conice.
-
În cazul (∗)|(I ):
x−x0α =
y−y0β = z − z0
F = 0G = 0
⇒
x−x0z−z0 = α (1)y−y0z−z0 = β (2)
F = 0G = 0
⇒
(procedăm cu metode similare suprafeţelor cilindrice)
φ(α, β) = 0(1)(2)⇒
φ(x − x0z − z0
,y − y0z − z0
) = 0 − > ecuaţia suprafeţei conice.
-
În Cazul (∗)|(II ):
Scriem sistemul
P1 − αP3 = 0P2 − βP3 = 0F = 0G = 0
, apoi similar cu (∗)|(I ).
Problemă:
Să se determine ecuaţia suprafeţei generată de fasciculul
dedrepte care trec prin V (2, 0, 0) şi sunt la distanţa d = 1
faţăO(0, 0, 0).
”Desen şi rezolvare la tablă!”
-
În Cazul (∗)|(II ):
Scriem sistemul
P1 − αP3 = 0P2 − βP3 = 0F = 0G = 0
, apoi similar cu (∗)|(I ).
Problemă:
Să se determine ecuaţia suprafeţei generată de fasciculul
dedrepte care trec prin V (2, 0, 0) şi sunt la distanţa d = 1
faţăO(0, 0, 0).
”Desen şi rezolvare la tablă!”
-
În Cazul (∗)|(II ):
Scriem sistemul
P1 − αP3 = 0
P2 − βP3 = 0F = 0G = 0
, apoi similar cu (∗)|(I ).
Problemă:
Să se determine ecuaţia suprafeţei generată de fasciculul
dedrepte care trec prin V (2, 0, 0) şi sunt la distanţa d = 1
faţăO(0, 0, 0).
”Desen şi rezolvare la tablă!”
-
În Cazul (∗)|(II ):
Scriem sistemul
P1 − αP3 = 0P2 − βP3 = 0
F = 0G = 0
, apoi similar cu (∗)|(I ).
Problemă:
Să se determine ecuaţia suprafeţei generată de fasciculul
dedrepte care trec prin V (2, 0, 0) şi sunt la distanţa d = 1
faţăO(0, 0, 0).
”Desen şi rezolvare la tablă!”
-
În Cazul (∗)|(II ):
Scriem sistemul
P1 − αP3 = 0P2 − βP3 = 0F = 0
G = 0
, apoi similar cu (∗)|(I ).
Problemă:
Să se determine ecuaţia suprafeţei generată de fasciculul
dedrepte care trec prin V (2, 0, 0) şi sunt la distanţa d = 1
faţăO(0, 0, 0).
”Desen şi rezolvare la tablă!”
-
În Cazul (∗)|(II ):
Scriem sistemul
P1 − αP3 = 0P2 − βP3 = 0F = 0G = 0
,
apoi similar cu (∗)|(I ).
Problemă:
Să se determine ecuaţia suprafeţei generată de fasciculul
dedrepte care trec prin V (2, 0, 0) şi sunt la distanţa d = 1
faţăO(0, 0, 0).
”Desen şi rezolvare la tablă!”
-
În Cazul (∗)|(II ):
Scriem sistemul
P1 − αP3 = 0P2 − βP3 = 0F = 0G = 0
, apoi similar cu (∗)|(I ).
Problemă:
Să se determine ecuaţia suprafeţei generată de fasciculul
dedrepte care trec prin V (2, 0, 0) şi sunt la distanţa d = 1
faţăO(0, 0, 0).
”Desen şi rezolvare la tablă!”
-
În Cazul (∗)|(II ):
Scriem sistemul
P1 − αP3 = 0P2 − βP3 = 0F = 0G = 0
, apoi similar cu (∗)|(I ).
Problemă:
Să se determine
ecuaţia suprafeţei generată de fasciculul dedrepte care trec
prin V (2, 0, 0) şi sunt la distanţa d = 1 faţăO(0, 0, 0).
”Desen şi rezolvare la tablă!”
-
În Cazul (∗)|(II ):
Scriem sistemul
P1 − αP3 = 0P2 − βP3 = 0F = 0G = 0
, apoi similar cu (∗)|(I ).
Problemă:
Să se determine ecuaţia suprafeţei generată
de fasciculul dedrepte care trec prin V (2, 0, 0) şi sunt la
distanţa d = 1 faţăO(0, 0, 0).
”Desen şi rezolvare la tablă!”
-
În Cazul (∗)|(II ):
Scriem sistemul
P1 − αP3 = 0P2 − βP3 = 0F = 0G = 0
, apoi similar cu (∗)|(I ).
Problemă:
Să se determine ecuaţia suprafeţei generată de fasciculul
dedrepte
care trec prin V (2, 0, 0) şi sunt la distanţa d = 1
faţăO(0, 0, 0).
”Desen şi rezolvare la tablă!”
-
În Cazul (∗)|(II ):
Scriem sistemul
P1 − αP3 = 0P2 − βP3 = 0F = 0G = 0
, apoi similar cu (∗)|(I ).
Problemă:
Să se determine ecuaţia suprafeţei generată de fasciculul
dedrepte care trec prin V (2, 0, 0)
şi sunt la distanţa d = 1 faţăO(0, 0, 0).
”Desen şi rezolvare la tablă!”
-
În Cazul (∗)|(II ):
Scriem sistemul
P1 − αP3 = 0P2 − βP3 = 0F = 0G = 0
, apoi similar cu (∗)|(I ).
Problemă:
Să se determine ecuaţia suprafeţei generată de fasciculul
dedrepte care trec prin V (2, 0, 0) şi sunt la distanţa
d = 1 faţăO(0, 0, 0).
”Desen şi rezolvare la tablă!”
-
În Cazul (∗)|(II ):
Scriem sistemul
P1 − αP3 = 0P2 − βP3 = 0F = 0G = 0
, apoi similar cu (∗)|(I ).
Problemă:
Să se determine ecuaţia suprafeţei generată de fasciculul
dedrepte care trec prin V (2, 0, 0) şi sunt la distanţa d = 1
faţăO(0, 0, 0).
”Desen şi rezolvare la tablă!”
-
În Cazul (∗)|(II ):
Scriem sistemul
P1 − αP3 = 0P2 − βP3 = 0F = 0G = 0
, apoi similar cu (∗)|(I ).
Problemă:
Să se determine ecuaţia suprafeţei generată de fasciculul
dedrepte care trec prin V (2, 0, 0) şi sunt la distanţa d = 1
faţăO(0, 0, 0).
”Desen şi rezolvare la tablă!”
-
14.4. Suprafeţe de rotaţie.
Defn. supraf. de rotaţie:
S.n. suprafaţa de rotaţie suprafaţa generată de rotirea
uneicurbe (C ) ı̂n jurul unei drepte date (D) (numită axa de
rotaţie)
Problemă:
Să se afle ecuaţia suprafeţei de rotaţie obţinută prin
rotirea curbei
C :
{(x − 2)2 + z2 − 1 = 0y = 0
ı̂n jurul axei Oz .
”Desen şi rezolvare la tablă!”
-
14.4. Suprafeţe de rotaţie.
Defn. supraf. de rotaţie:
S.n. suprafaţa de rotaţie suprafaţa generată de rotirea
uneicurbe (C ) ı̂n jurul unei drepte date (D) (numită axa de
rotaţie)
Problemă:
Să se afle ecuaţia suprafeţei de rotaţie obţinută prin
rotirea curbei
C :
{(x − 2)2 + z2 − 1 = 0y = 0
ı̂n jurul axei Oz .
”Desen şi rezolvare la tablă!”
-
14.4. Suprafeţe de rotaţie.
Defn. supraf. de rotaţie:
S.n.
suprafaţa de rotaţie suprafaţa generată de rotirea uneicurbe
(C ) ı̂n jurul unei drepte date (D) (numită axa de rotaţie)
Problemă:
Să se afle ecuaţia suprafeţei de rotaţie obţinută prin
rotirea curbei
C :
{(x − 2)2 + z2 − 1 = 0y = 0
ı̂n jurul axei Oz .
”Desen şi rezolvare la tablă!”
-
14.4. Suprafeţe de rotaţie.
Defn. supraf. de rotaţie:
S.n. suprafaţa de rotaţie
suprafaţa generată de rotirea uneicurbe (C ) ı̂n jurul unei
drepte date (D) (numită axa de rotaţie)
Problemă:
Să se afle ecuaţia suprafeţei de rotaţie obţinută prin
rotirea curbei
C :
{(x − 2)2 + z2 − 1 = 0y = 0
ı̂n jurul axei Oz .
”Desen şi rezolvare la tablă!”
-
14.4. Suprafeţe de rotaţie.
Defn. supraf. de rotaţie:
S.n. suprafaţa de rotaţie suprafaţa generată
de rotirea uneicurbe (C ) ı̂n jurul unei drepte date (D)
(numită axa de rotaţie)
Problemă:
Să se afle ecuaţia suprafeţei de rotaţie obţinută prin
rotirea curbei
C :
{(x − 2)2 + z2 − 1 = 0y = 0
ı̂n jurul axei Oz .
”Desen şi rezolvare la tablă!”
-
14.4. Suprafeţe de rotaţie.
Defn. supraf. de rotaţie:
S.n. suprafaţa de rotaţie suprafaţa generată de rotirea
uneicurbe
(C ) ı̂n jurul unei drepte date (D) (numită axa de
rotaţie)
Problemă:
Să se afle ecuaţia suprafeţei de rotaţie obţinută prin
rotirea curbei
C :
{(x − 2)2 + z2 − 1 = 0y = 0
ı̂n jurul axei Oz .
”Desen şi rezolvare la tablă!”
-
14.4. Suprafeţe de rotaţie.
Defn. supraf. de rotaţie:
S.n. suprafaţa de rotaţie suprafaţa generată de rotirea
uneicurbe (C )
ı̂n jurul unei drepte date (D) (numită axa de rotaţie)
Problemă:
Să se afle ecuaţia suprafeţei de rotaţie obţinută prin
rotirea curbei
C :
{(x − 2)2 + z2 − 1 = 0y = 0
ı̂n jurul axei Oz .
”Desen şi rezolvare la tablă!”
-
14.4. Suprafeţe de rotaţie.
Defn. supraf. de rotaţie:
S.n. suprafaţa de rotaţie suprafaţa generată de rotirea
uneicurbe (C ) ı̂n jurul unei drepte date (D)
(numită axa de rotaţie)
Problemă:
Să se afle ecuaţia suprafeţei de rotaţie obţinută prin
rotirea curbei
C :
{(x − 2)2 + z2 − 1 = 0y = 0
ı̂n jurul axei Oz .
”Desen şi rezolvare la tablă!”
-
14.4. Suprafeţe de rotaţie.
Defn. supraf. de rotaţie:
S.n. suprafaţa de rotaţie suprafaţa generată de rotirea
uneicurbe (C ) ı̂n jurul unei drepte date (D) (numită axa de
rotaţie)
Problemă:
Să se afle ecuaţia suprafeţei de rotaţie obţinută prin
rotirea curbei
C :
{(x − 2)2 + z2 − 1 = 0y = 0
ı̂n jurul axei Oz .
”Desen şi rezolvare la tablă!”
-
14.4. Suprafeţe de rotaţie.
Defn. supraf. de rotaţie:
S.n. suprafaţa de rotaţie suprafaţa generată de rotirea
uneicurbe (C ) ı̂n jurul unei drepte date (D) (numită axa de
rotaţie)
Problemă:
Să se afle
ecuaţia suprafeţei de rotaţie obţinută prin rotirea
curbei
C :
{(x − 2)2 + z2 − 1 = 0y = 0
ı̂n jurul axei Oz .
”Desen şi rezolvare la tablă!”
-
14.4. Suprafeţe de rotaţie.
Defn. supraf. de rotaţie:
S.n. suprafaţa de rotaţie suprafaţa generată de rotirea
uneicurbe (C ) ı̂n jurul unei drepte date (D) (numită axa de
rotaţie)
Problemă:
Să se afle ecuaţia suprafeţei de rotaţie
obţinută prin rotirea curbei
C :
{(x − 2)2 + z2 − 1 = 0y = 0
ı̂n jurul axei Oz .
”Desen şi rezolvare la tablă!”
-
14.4. Suprafeţe de rotaţie.
Defn. supraf. de rotaţie:
S.n. suprafaţa de rotaţie suprafaţa generată de rotirea
uneicurbe (C ) ı̂n jurul unei drepte date (D) (numită axa de
rotaţie)
Problemă:
Să se afle ecuaţia suprafeţei de rotaţie obţinută prin
rotirea curbei
C :
{(x − 2)2 + z2 − 1 = 0y = 0
ı̂n jurul axei Oz .
”Desen şi rezolvare la tablă!”
-
14.4. Suprafeţe de rotaţie.
Defn. supraf. de rotaţie:
S.n. suprafaţa de rotaţie suprafaţa generată de rotirea
uneicurbe (C ) ı̂n jurul unei drepte date (D) (numită axa de
rotaţie)
Problemă:
Să se afle ecuaţia suprafeţei de rotaţie obţinută prin
rotirea curbei
C :
{(x − 2)2 + z2 − 1 = 0
y = 0
ı̂n jurul axei Oz .
”Desen şi rezolvare la tablă!”
-
14.4. Suprafeţe de rotaţie.
Defn. supraf. de rotaţie:
S.n. suprafaţa de rotaţie suprafaţa generată de rotirea
uneicurbe (C ) ı̂n jurul unei drepte date (D) (numită axa de
rotaţie)
Problemă:
Să se afle ecuaţia suprafeţei de rotaţie obţinută prin
rotirea curbei
C :
{(x − 2)2 + z2 − 1 = 0y = 0
ı̂n jurul axei Oz .
”Desen şi rezolvare la tablă!”
-
14.4. Suprafeţe de rotaţie.
Defn. supraf. de rotaţie:
S.n. suprafaţa de rotaţie suprafaţa generată de rotirea
uneicurbe (C ) ı̂n jurul unei drepte date (D) (numită axa de
rotaţie)
Problemă:
Să se afle ecuaţia suprafeţei de rotaţie obţinută prin
rotirea curbei
C :
{(x − 2)2 + z2 − 1 = 0y = 0
ı̂n jurul axei Oz .
”Desen şi rezolvare la tablă!”
-
14.4. Suprafeţe de rotaţie.
Defn. supraf. de rotaţie:
S.n. suprafaţa de rotaţie suprafaţa generată de rotirea
uneicurbe (C ) ı̂n jurul unei drepte date (D) (numită axa de
rotaţie)
Problemă:
Să se afle ecuaţia suprafeţei de rotaţie obţinută prin
rotirea curbei
C :
{(x − 2)2 + z2 − 1 = 0y = 0
ı̂n jurul axei Oz .
”Desen şi rezolvare la tablă!”
-
În general,
fie (C :)
{F = 0G = 0
curba care se rote
