LÍMITES

Cuando hablamos de límites, en verdad nos planteamos una pregunta: ¿Hacia que punto, o valor numérico se acercan los valores de una función, cuando nos acercamos hacia un determinado valor numérico del dominio de la misma?Tenemos entonces que desplazarnos a través de la gráfica por valores que se aproximen al punto en mención, tanto por valores que vienen desde la izquierda de él, como de valores que vienen desde la derecha hacia él.

Introducción a los límites

Estamos listos para una nueva idea importante, la noción de límite. Es ésta idea la que distingue el cálculo de otras ramas de las matemáticas. De hecho, podríamos definir el cálculo como un estudio de los límites.

Noción intuitivaConsidere la función determinada por la fórmula F(x)= (x3-1)/(x-

1).

Comencemos analizando la gráfica de la función; tabulemos:

x -1 -½ 0 1 2 f(-1)= ((-1)3-1)/((-1)-1)=(-1-1)/(-1-1)= -2/-2 = +1

y +1 0.75 1 7 f(½) = ((-½)3-1)/((-½)-1)=(-1/8 –8/8)/(-½-2/2)= -9/8/- 3/2=+0.75

f(1)= ((1)3-1)/((1)-1)=(1-1)/(1-1)= 0/0 = Indeterminado

Graficando lo tabulado:

¿Qué pasa de 0 a 2?

Tabulemos mas dentro de ese intervalo, sin tocar el uno.

x 0.5 0.7 0.9 0.999 1.001 1.5 1.7

y 1.75 2.19 2.71 2.997 3.003 4.75 5.59

La grafica tiene una rompimiento en el punto (1,3); no existe ahí. Pero, tratando de analizar la gráfica, podemos pensar que cuando x=1, su imagen (y)=3.

Podemos concluir que el límite de f(x)= (x3-1)/(x-1) = 3;

Pero, en ésta forma es erroneo. Necesitamos aplicar el límite, en el punto donde la función no existe.

Lim f(x)= lim (x3-1)/(x-1)x -> 1 x -> 1

=lim (x2+x+1)(x-1)/(x-1) x -> 1

=lim (x2+x+1) = 12+1+1 x -> 1

= 3

Significado intuitivo de límite

Def.: Decir que lim f(x)=L significa que cuando x está cerca, pero difiere de c, f(x) está cerca de L.

=> Decir que lim f(x)=3, significa que cuando x está cerca de uno, pero no es uno, f(x) está cerca de 3, pero no es 3.

0

1

2

3

4

5

6

7

-2.0

000

-1.0

000

-0.5

000

0.00

00

0.50

00

0.70

00

0.90

00

0.99

90

0.99

99

1.00

00

1.00

10

1.50

00

1.70

00

1.90

00

Ejemplos:

Encuentre:Lim(4x-5)=4(3)-5 = 12-5 = 7 x3

Lim(x2-x-6)/(x-3)=[(32-3-6)]/(3-3) x3 =[(9-9)]/(3-3) = 0 / 0 = Como nos dió infinito el resultado, no se debe resolver así. Debemos factorizar el numerador.

Lim(x2-x-6)/(x-3)=lim (x+2)(x-3)/(x-3) x3 x3

= lim (x+2) = 3+2 = 5 x3

Cuando x se acerca a 3, f(x) se acerca a 5.Lim (x-1)/((x-1))=(1-1)/((1-1)) x1

= 0/0 = 0/0 = Para resolver esta función, necesitamos conocer las propiedades de la raíz.

Propiedades de la raíz.(a*b) = a * b a/b =

a / b (a+b) a + b a-b a

- b a* a = (a*a) = a2 = a

Lim (x-1)/((x-1))= x1

Lim ((x-1)) ((x-1))/((x-1))=

x1

Lim ((x-1)) = (1-1) = 0 = 0

x1

El valor que encontramos al recorrer la gráfica de la función a través de valores menores que el punto del dominio dado, es decir, que vienen desde la izquierda se denomina «límite lateral de f(x) cuando x tiende al valor a por la izquierda» y se denota por:

¿Qué ocurre con f(x) cerca de

x=2, por la izquierda?

El valor que encontramos al recorrer la gráfica de la función a través de valores mayores que el punto del dominio dado, es decir, que vienen desde la derecha se denomina «límite lateral de f(x) cuando x tiende al valor a por la derecha» y se denota por:

¿Qué ocurre con f(x) cerca de

x=2, por la derecha?

Definición de límite

El valor numérico único hallado, cuando «x» tiende hacia el valor numérico «a» del dominio, tanto por la izquierda como por la derecha, se denomina: limite de la función f(x) cuando «x» tiende al valor «a»

Se denota por:

Existencia del límite

El límite de una función f(x) cuando «x» tiende al valor numérico «a» del dominio, existe, y es un único valor numérico, si y solo si, se cumple:

En el caso de las figuras anteriores en f(x)=x2, luego de ver los límites laterales por la

izquierda y por la derecha, ¿qué concluye?

Como: =

Límites de funcionesAnalicemos la función:

112

xx

xf

La función está definida para toda x diferente de 1.

Podemos simplificar la función de la siguiente manera:

1

1

11

1

12

x

x

xx

x

xxf x 1

x

y

1

1

–1

0

1

12

x

xxfy

2

x

y

1

1

–1

0

y = x + 1

2

Valores de x menores y mayores 1ue 1

0.91.10.991.010.9991.0010.9999991.000001

1.92.11.992.011.9992.0011.9999992.000001

11

12

x

x

xxf x 1

Decimos que f(x) está muy cercano a 2 conforme x se aproxima a 1.

211

lim2lim2

11

xx

oxfxx

Definición informal de límiteSea f(x) definida en un intervalo alrededor de x0, posiblemente excepto en x0. Si f(x) se acerca de manera arbitraria a L para toda x suficientemente cerca de x0, se dice que f se aproxima al límite L conforme x se aproxima a x0, y se escribe

Lxfx

10

lim

x

y

1

1

–1

0

1

1)

2

x

xxfa

2

x

y

1

1

–1

0

1) xxhc

2

x

y

1

1

–1

0

1,1

1,11

)

2

x

xxx

xgb

2

Funciones sin límite en un punto

0,1

0,0)

x

xyb

La función salta

-3 -2 -1 0 1 2 3-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

x

y

0,0

0,1

)x

xxyb

Crece demasiado

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0,1

sen

0,0)

xx

xyc

Oscila demasiado

Ejercicio

1

1

2 3

y = g(x)

y

x

xgx 1lim

Encontrar

xgx 2lim

xgx 3lim

Límites de PolinomiosTeorema #2

Los límites de polinomios pueden ser calculados por sustitución

Si P(x) = anxn + an–1 xn–1 +...+ a0, entonces

limxc P(x) = P(c) = ancn + an–1 cn–1 +...+ a0

Teorema #3

Los límites de las funciones racionales pueden calcularse por sustitución si el límite del denominador no es cero.

Si P(x) y Q(x) son polinomios y Q(c) 0, entonces

limxc P(x) / Q(x) = P(c) / Q(c)

Eliminación de denominador ceroSi en el cálculo del límite de una fracción el denominador es cero, se puede en algunos casos simplificar la fracción y calcular el límite.

xxxx

x

2

2

1

2lim

hh

h

22lim

0

¿Qué ocurre con f(x) cerca de

x=1?

y

x

1 5

3

2

2f(x)lim1x

2f(x)lim-x

1

2f(x)limx

1

x1 5

2

1

¿Qué ocurre con f(x) cerca de

x=1?

existenof(x)lim1x

1f(x)lim-x

1

2f(x)limx

1

¿Qué ocurre con f(x) cerca de

x=1?

y

x

1 5

3

2

1

2f(x)lim1x

El límite existe, sin embargo, al ser f(1) ≠ 2, la función es discontinua en

x=1

2f(x)limx

1

2f(x)lim-x

1

1f(1)

Dado el gráfico de f(x) :

f(x)d)f(x)c)

f(x)b)f(x)a)

limlim

limlim

2x0x

3x3x

Propiedades de los límites g(x)limf(x)limg(x)f(x)lim

axaxax

g(x)lim.f(x)limf(x).g(x)limaxaxax

g(x)lim/f(x)limf(x)/g(x)limaxaxax

g(x)limKK.g(x)limaxax

n

ax

n

axf(x)limf(x)lim

1

2

3

4

5

Pasos para calcular límites

Evaluar para saber si se trata de un límite directo o estamos en presencia de una forma indeterminada.

Intentar desaparecer la indeterminación a través de operaciones algebraicas: factorización, productos notables, racionalización, sustitución de alguna identidad trigonométrica, etc.

Indeterminaciones: 0/0 , / , 0· , 1, 00, 0 , -

Evaluar los siguientes límites

x 0

x 4 2

xlim

x 4 2 x 4 2

x x 4 2

x 4 4

x x 4 2

x 4 4

x x 4 2

x

x x 4 2 1

x 4 2

x 0 x 0

x 4 2 1

x x 4 2lim lim

1

0 4 2 2

1

2 x 0

1

x 4 2lim4

1

Ejemplo 1:

Ejemplo 2:

x 0

1 x 1 x

xlim

1 x 1 x 1 x 1 x

x 1 x 1 x

1 x 1 x

x 1 x 1 x

1 x 1

x

x 1 x 1 x

2 x

x 1 x 1 x

2

1 x 1 x

x 0 x 0

1 x 1 x 2

x 1 x 1 xlim lim

x 0

2

1 x 1 xlim

2

1 0 1 0 1

2

1 2

21

Ejemplo 3:

2

3 2x 1

1/3x x 2

x 4x 3xlim

2

3

1/3x x 1

x x x 1

2 x x 1

3 x x x 1

1/3

2

3

1/3x

x x

2

3

2

3 2x 1 x 1

1/31/3x x 2 x

x 4x 3x x xlim lim

2

3

x 1

1/3x

x xlim 2

3

1/31

1 13

2

1/33

3

2

Ejemplo 4:

2x 2

x 2lim

4 x

x 2

2 x 2 x 2

x 24 x

2 x2 x 2 x

2 x

2 x 2 x 1

2 x

1

x 2 x 2lim lim2

x 24 x 2 x

1

x 2

lim 2 x 1

2 2

1

4

Ejemplo 5:

2 2x a

x b a blim , a > b

x a

x b a b x b a bx a x a x b a b

x b a +b

x a x a x b a b

x a

x a x a x b a b

1

x a x b a b

1

x a x alim lim2 2

x b a bx a x a x b a b

1

x alim

x a x b a b 1

a a a b a b

1

a a b1

a ba a b a b

a ba a b

Ejemplo 6:

2

x 4

4x xlim

2 x

24x x2 x

x 4 x 2 x2 x 2 x

x 4 x

2 x

4 x x 2 x

x 4 x 4lim lim

24x x x 2 x

2 x

x 4lim x 2 x 4 2 4 16

Ejemplo 7:

2

3x

x + x + 2lim

x + x +11 2

1 1

22

32 3

x 1 + +x x

x 1 + +x x

2x1 2

2

3

1 + +x x

x1 1

2 31 + +

x x

1 2

1 1

2

2 3

1 + +x x

x 1 + +x x

1 2

1 1

x xlim lim

2 2

3

2 3

1 + +x + x + 2 x x x + x +1 x 1 + +

x x

1 2

1 1

xlim

2

2 3

1 + +x x

x 1 + +x x

1 2

1 1

2

2 3

1 + +

1 + +

0 0

0 0

1 + +1 + +

1

0

Ejemplo 8:

4 2

4 2x

2x 3x + 6lim

3x 5x + 3

3 6

5 3

42 4

42 4

x 2 + +x x

x 3 +x x

3 6

5 3

4 2 2 4

4 2

2 4

2 + +2x 3x + 6 x x 3x 5x + 3 3 +

x xx xlim lim

0 0

0 0

2 + +3 +

2

3

4x3 6

2 4

4

2 + +x x

x5 3

2 43 +x x

3 6

5 3

2 4

2 4

2 + +x x

3 +x x

3 6

5 3

2 4

2 4

2 + +x x

3 +x x

xlim

3 6

5 3

2 4

2 4

2 + +

3 +xlim

Ejemplo 9:

5 3

2x

4x 3x +1lim

x x +1

3 1

1 1

52 5

22

x 4 + +x x

x 1 +x x

3 1

1 1

35 3 2 5

2

2

x 4 + +4x 3x +1 x x

x x +1 1 +x x

x xlim lim

5x3 1

2 5

2

4 + +x x

x1 1

21 +x x

3 1

1 1

32 5

2

x 4 + +x x

1 +x x

3 1

1 1

32 5

2

x 4 + +x x

1 +x x

xlim

3 1

1 1

32 5

2

4 + +=

1 +

0 0

0 0

3 4 + +=

1 +3= =

Ejemplo 10:

3

2

x

2x +1lim

x 5

3 3

22

12 +

x2x +1

5x 5x

x xlim lim

3

2

12 +

= 5

3

22

1x 2 +

xx 5 3

2

1x 2 +

xx 5

3

2

x 12 +

x xx 5x x

xx

3

2

12 +

xx

x 5

x

3

2

12 +

x5x

3

2

12 +

x

5x

xlim 0

3 0

2 +=

2

3=

Conclusión:

x

f(x)lim =

g(x)Dado:

Si [f(x)]º < [g(x)]º, entonces:

x

f(x)lim = 0

g(x)

Si [f(x)]º > [g(x)]º, entonces:

x

f(x)lim =

g(x)

Si [f(x)]º = [g(x)]º, entonces:

x

f(x) Coeficiente del término de mayor grado de f(x)lim =

g(x) Coeficiente del término de mayor grado de g(x)

Límite de una sucesión

ex1limlim )( x1

ax

n

xn

11

Ejemplo 11: n

n+311+lim n

n

n 31 11+ 1+lim n n

n n

n 31 11+ 1+lim limn n

n

311+e lim 31+0e e

n

n+311+lim n

e

Ejemplo 12: n

2n11+lim n

2

n

n11+lim n n

2n11+lim n

2

n

n1lim 1+n 2e

Ejemplo 13:

n

n 111+lim n+2

2

n

n+2 111+lim n+23

n

n+211+lim n+23

n

n+21 11+ 1+lim n+2 n+2

3

n

n+211+n+2lim11+n+2

3

n

n

n+21lim 1+n+211+lim n+2

3

e11+ +2

3

e11+ 30

e

1+

e

Límites trigonométricos

1x

xSenlim

0x

1x Sen

xlim

0x

1x

xTglim

0x

1xTg

xlim

0x

0xSenlim0x

1xCos lim0x

1x

xCos1lim

-0x

1x

1xCoslim

-0x

5

6

7

8

1

2

3

4

x 0

Sen 3xlim

2x

Ejemplo 14:

x 0

Sen 3xlim

2x

x 0

Sen 3l m

3 x3

i2x

3

2

x 0

Sen 3xlim

3x3

2 x 0

Sen 3xlim

3x

31

2

3

2

1

Ejemplo 15:

x 0

Sen x 1 Cos xlim

x Sen 2x

x 0

Sen x 1 Cos xlim

x Sen 2x 2

x 0

Sen x 1 Cos x 1 Cos xlim

x Sen x Cos x 1 Cos x

2

2

x 0

Sen x 1 xCoslimx Sen x Cos x 1 Cos x

x 0

Sen x Sen xlim

2x Sen x Cos x 1 Cos x 2 x 0

Sen xlim

x Cos x 1 Cos x

1 1

2 x 0

Sen xlim

x Cos x 1 Cos x

1 1

2 x 0 x 0

Sen xlim lim

x Cos x 1 Cos x

1 Cos 0º=1

1

2

22 2

24

Ejemplo 16:

x 0

Tg x Sen xlim

1 Cos x

Tg x Sen x1 Cos x

Sen xSen x

Cos x1 Cos x

1

Sen x Sen x Cos xCos x

1 Cos x

1

1

Sen x Cos xCos x

1 Cos x

1

Sen x Cos xCos x 1 Cos x

1Sen x Cos x

Cos x 1 Cos x

Sen xCos x

x 0 x 0

Tg x Sen x Sen xlim lim

1 Cos x Cos x

x 0

x 0

limSen x

limCos xx 0

Sen xlim

Cos x

0

1 0

Ejemplo 17:

π

x4

Tg x 1lim

πx

4

Tg x 1π

x4

πTg x Tg

4π

x4

πSenSenx 4

πCos x Cos4

πx

4

π πSenx Cos Sen Cos x

4 4π

Cos x Cos4

πx

4

π πSenx Cos Sen Cos x

4 4π π

x Cos x Cos4 4

πSen x

4π π

x Cos x Cos4 4

1

πSen x

4ππ Cos x Cosx44

Ejemplo 17:

1

π πx x

4 4

πSen x

Tg x 1 4lim limπ ππx Cos x Cosx4 44

1

πx

4

πSen x

4limππ Cos x Cosx44

1

π πx x

4 4

πSen x

4lim limππ Cos x Cosx44

11

π πCos Cos

4 4

11

2 2

2 2

2

Importante:

π

x h4

; π

Si x h4

π

Si x4

h 0

1

π h 0x4

πSen x

Sen h4lim limπ hx4

Por cambio de variable, tenemos:

49

A partir de la gráfica . . . , ¿en qué valor de a, se cumple:

)(lim xfax

Ejemplo 18:

3xsi,1x1/

3 xsi2,xf(x)

2

30,5

11

Ejemplo 18:

3xsi,1x1/

3 xsi2,xf(x)dondef(x);

2

3xlim

3

lim ( ) 9x

f x

3

lim ( ) 0,5x

f x

(3) 11f

limite no existe y además es discontinua

-4

-1

1

2

0x1,x

0x4,2xf(x)f(x);lim

0x

0

lim ( ) 1x

f x

0

lim ( ) 4x

f x

(0) 4f

limite no existe y además es discontinua

Ejemplo 19:

53

( ) 0AN

Y N NB N

Ejemplo 20:

donde A y B son constantes positivas. ¿Qué le sucede a la cosecha cuando el nivel de nitrógeno se incrementa indefinidamente?

Si se siembra cierto cultivo en una tierra donde el nivel de nitrógeno es N, entonces el volumen de la cosecha Y puede modelarse con la función de Michaelis – Menten:

El efecto de reducción del dolor de una droga puede medirse empleando la función:

2

2

x100P(x) =+0,5x+0,03x

donde p(x) es el porcentaje de alivio del dolor que se espera, cuando seutilicen x unidades de droga.¿Qué le sucede a p(x) cuando x∞?

Ejemplo 21:

Si f(x)= x3,calcular:

h 0

f(x +h) f(x)lim

h

3 3

h 0

(x +h) xlimh

. ..3 2 2 3 3

h 0

+ + -3 3xx x h h +h xlimh

3

h 0

xlim. ..2 2 3 3+ + -3 3xx h h +h x

h

.

h 0

hlim

. . .2 2+3 3xx h+hh

. . .2 2

h 0 h 0

f(x +h) f(x)lim lim +3 3xx h+h

h

. . .2 2

h 0lim +3 3xx h+h .. . 22 + (0)3 3x +0x . 23x