Csomóelmélet

Gáspár Merse Előd

2004. március 23.

Egy csomó mindenre jó!

•Az inkák bürokratikus jegyzőeszköze: a quipu

Az inka birodalmi hivatalnokok még

a XVI. században is ún.

Quipucamayocs - ok voltak, azaz csomókötők.

Az ő feladatuk volt a csomózás és a

csomójelek magyarázata.

•A szimbolikus jelentésű kelta csomók

A kelta csomók a VII. sz. környékén kerültek írországba. Az önmagába záródás az örökkévalóságot szimbolizálja, az egyes

csomók pedig: barátságot, szerencsét, könnyeket ...

•A hegymászók, barlangászok, hajósok csomói életeket menthetnek

•A halászok, bűvészek mesterségéhez is elengedhetetlen a csomókötés

Alapfogalmak

•Csomódiagram (síkábrázolás,projekció)

•Csomók, láncok, fonatok

Hurokbog (hollandi csat)

Whitehead-lánc Fonat (gubanc)

Matematikai precizitással…

Az alábbihoz hasonló végtelen csomókkal most nem szeretnénk foglalkozni!

A csomóelmélet kezdete

•Johann Frederich Carl Gauss (1775 –1855 )

Felvetette az alapproblémát: miként lehet eldönteni a csomódiagram alapján két csomóról, hogy ekvivalensek-e? Bevezette két csomó ún. hurkolódási együtthatóját. Tanítványai elkezdtek foglalkozni a csomók osztályozásával.

Két csomó ún. hurkolódási együtthatója

A két C1 és C2 csomóban folyjon áram, amik B1 és B2 mágneses térerősségeket határoznak meg.

•Lord Kelvin, William Thomson (1824 –1907 )

Kitalálta az éter gondolatát, és úgy gondolta, az atomok csomót formáló örvények a láthatatlan éterben.

Megpróbálta a kereszteződési szám szerint osztályozni a csomókat. A jelöléseit még ma is használjuk. Kelvin elmélete alapján remélte, hogy a csomók osztályozásának megoldásával megoldódik az atomok osztályozása is.Tait volt az első, aki rámutatott a csomók és síkgráfok közti kapcsolatra.

•Peter Guthrie Tait(1831 –1901 )

Csomók irányított síkgráffá alakítása

Tait táblázata a legfeljebb 7 kereszteződési számú prímcsomókra

Két csomódiagram pontosan akkor definiálja ugyanazt a csomót, ha megkaphatók egymásból a reidemeister-lépések véges sokszori alkalmazásával.1932-ben befejezte a csomók osztályozását 9 kereszteződési számig.

•Kurt Reidemeister(1893 –1971 )

Bizonyítás (vázlat) szakaszonként folytonos kategóriában

Definiáljuk a ∆- lépést: Egy szakaszonként folyt. csomó egy szakaszának 2 végpontja legyen x és y. Legyen y olyan térbeli pont, hogy az xyz- háromszög az xy-szakasz kivételével diszjunkt a csomótól. Ekkor az xy-szakasz [xz][zy] töröttvonalra való cseréjét nevezzük ∆-lépésnek. Megmutatható, hogy a ∆-lépések a csomók ekvivalenciáját generálják, azaz ha 2 csomó ekvivalens, akkor véges sok ∆- lépéssel, vagy annak inverzével átvihetők egymásba. A ∆-lépések vetületei a síkon pontosan a Reidemeister- lépések. Q.E.D.

Csomóinvariánsok

A csomóinvariánsok a csomó deformálásával nem változnak

•Egyszerű csomóinvariánsok: komponensek száma, kereszteződési szám.•Alexander-polinom (James W. Alexander,1928)•Jones-polinom (Vaughan F. R. Jones,1984)•HOMFLY-polinom (az előzők általánosítása,1985)

A csomóinvariánsok kiszámításának módszerei

•Kibogozási reláció (John Horton Conway)•Kauffman féle-állapotmodell

Kibogozási reláció

A Jones-polinom kiszámításának lépései:

•A kibogozni kívánt csomót irányítással látjuk el, és kiválasztunk egy kereszteződést, melynek alapján 3 csomót hozunk létre.

•A kibogozási reláció így szól

•A triviális csomó Jones-polinomja 1, azaz

L+ L- L0

Példa

Háromlevelű csomó kiszámítása

Menetrend

A legegyszerűbb 2 db triviális csomó kiszámítása

Kauffman-féle állapotmodell

•Az összes kereszteződést egymással nem kapcsolódó körökre bontjuk az összes lehetséges módon az alábbi 2 átalakítás segítségével

•A lánc ún. zárójeles polinomja:

,ahol

•A zárójeles polinomból helyetteséssel kapjuk a Jones-polinomot (egy hatványszorzó erejéig).

Az összes kereszteződésbeli A és A-1-ek szorzata

A körök száma az előálló diagramban

A-1A

Példa

A Hopf-lánc kiszámítása

A2 A-2AA-1=1 AA-1=1

2 21 1

A HOMFLY-polinom

• A bogozó-reláció általánosításával kapjuk az alábbi relációt, ami polinomok végtelen seregét definiálja.

• n=0 az Alexander-polinomnak, n=1 a Jones-polinomnak felel meg.• Az egyváltozós polinomok végtelen serege egyértelműen kiterjeszthető egy kétváltozós polinommá, ezt nevezzük HOMFLY-polinomnak.

Alternáló csomók

• Alternáló diagram: Ha elidulunk a diagram egy tetszőleges pontjából, akkor a diagram görbéje felváltva halad felül és alul.• Alternáló csomó: Létezik alternáló diagramja.

Alternáló diagram Nem alternáló diagram

•A legtöbb csomó alternáló. Az első nem alternáló csomó 819.•Megoldatlan probléma: 3 dimenziós definíciót adni az alternáló csomókra a diagram említése nélkül.

További Megoldatlan problémák

•Mely csomókból kapunk triviális csomót, ha a minimális számú kereszteződést tartalmazó diagramjukon 1 kereszteződésben végrehajtjuk az alábbi transzformációk valamelyikét?

•A háromlevelű lóhere az egyetlen olyan csomó, amelynek van olyan realizációja a térben, hogy nincs olyan sík, mely érintené 3 vagy több pontját a csomónak?

•Mikor ekvivalens egy csomó az inverzével? (Egy irányított csomó inverze a tükörképe ellentétes orientációval).

Borromean rings &

n-Borromean links

• Ha az egyik komponenst elvágjuk, akkor az egész darabokra esik szét.

Csomók a részecskefizikában

•Az alábbi fonatra úgy is tekinthetünk, mint részecskék pályáira.•Az idő teljen felfelé.•A kétfajta kereszteződés jelöljön kétféle kölcsönhatást a részecskék között.•A lokális maximumban legyen annihiláció.•A lokális minimum jelölje részecskék keletkezését.

Csomók a statisztikus fizikában

•Az Ising-model Ernst Ising (W. Lenz) doktori disszertációja volt 1924-ben.•Azóta számos neves tudós hivatkozott rá (Lenz, Heisenberg, Kramers, Montroll, Wannier, Kubo, Onsager).•És számos fizikán kívűli területen is jelentős eredményeket ért el (neurális hálózatok, madárcsapatok mozgása, szívkamrák verése, szociológiai modelek ).•1969 és 1997 között több mint 120 000 cikk jelent meg az Ising-modellel kapcsolatban!

az Ising-model története

A Potts-model

•A vektor Potts-model (1952) az Ising-model általánosítása oly módon, hogy a spinek q diszkrét irányban állhatnak. (q=2 az Ising-model ).

•Q=2,3,4 esetén 2 dimenzióban ismert a megoldása Potts által.•A ma standard Potts-modelnek hívott modelt Potts ugyanabban a cikkben közölte megjegyzésként.

•Q=2 standard Potts-model ekvivalens a q=2 vektor Potts-modellel J2=-2J1 esetén, és q=3-nál pedig 2J2=-3j1 esetén.

•Q>2 modeleknek q=2-től eltérő kritikus exponensei vannak.•q>5 és q=5-re elsőrendű fázisátalakulás van 2 dimenzióban.•Bevezethető külső tér:

•Az állapotösszeg (Z) számolása meglehetősen nehéz probléma. Jones mutatott rá, hogy meglepő kapcsolat van a csomóelmélettel ezen a téren. Kiderül, hogy az álapotösszeg számolása csomóinvariánsokat szolgáltat.

Csomóelmélet a molekuláris dinamikában

•A DNS egy komplikáltan felcsavarodott és összegubancolódott csomó, amit enzimek “bogoznak” ki.•A csomóelmélet segítségünkre van abban, hogy megbecsülhessük, milyen nehéz is a DNS-t kicsomózni, s ezzel információt nyerjünk az enzimek működésére és tulajdonságaira.

Irodalomjegyzék

•Rimhányi Richárd: Csomók és 3-sokaságok (MAFIHE jegyzet, 1995)•Vaughan F. R. Jones: Knot Theory and Statistical Mechanics (Scientific American, November, 1990)

Linkek

•http://www.earlham.edu/~peters/knotlink.html•http://mathworld.wolfram.com/Knot.html•http://en.wikipedia.org/wiki/Knot_theory