Click here to load reader

Csom ó elm élet

  • View
    55

  • Download
    0

Embed Size (px)

DESCRIPTION

Csom ó elm élet. Gáspár Merse Előd. 2004 . március 23. Egy csom ó mindenre j ó !. Az inkák bürokratikus jegyz ő eszköze : a quipu. A z inka birodalmi hivatalnokok még a XVI. században is ún. Quipucamayocs - ok voltak, azaz csomóköt ő k. - PowerPoint PPT Presentation

Text of Csom ó elm élet

  • CsomelmletGspr Merse Eld2004. mrcius 23.

  • Egy csom mindenre j!Az inkk brokratikus jegyzeszkze: a quipuAz inka birodalmi hivatalnokok mg a XVI. szzadban is n. Quipucamayocs - ok voltak, azaz csomktk. Az feladatuk volt a csomzs s a csomjelek magyarzata.

  • A szimbolikus jelents kelta csomkA kelta csomk a VII. sz. krnykn kerltek rorszgba. Az nmagba zrds az rkkvalsgot szimbolizlja, az egyes csomk pedig: bartsgot, szerencst, knnyeket ...

  • A hegymszk, barlangszok, hajsok csomi leteket menthetnekA halszok, bvszek mestersghez is elengedhetetlen a csomkts

  • AlapfogalmakCsomdiagram (skbrzols,projekci)Csomk, lncok, fonatokHurokbog (hollandi csat)Whitehead-lnc Fonat (gubanc)

  • Matematikai precizitssalAz albbihoz hasonl vgtelen csomkkal most nem szeretnnk foglalkozni!

  • A csomelmlet kezdeteJohann Frederich Carl Gauss (1775 1855 ) Felvetette az alapproblmt: miknt lehet eldnteni a csomdiagram alapjn kt csomrl, hogy ekvivalensek-e? Bevezette kt csom n. hurkoldsi egytthatjt. Tantvnyai elkezdtek foglalkozni a csomk osztlyozsval. Kt csom n. hurkoldsi egytthatja A kt C1 s C2 csomban folyjon ram, amik B1 s B2 mgneses trerssgeket hatroznak meg.

  • Lord Kelvin, William Thomson (1824 1907 ) Kitallta az ter gondolatt, s gy gondolta, az atomok csomt forml rvnyek a lthatatlan terben. Megprblta a keresztezdsi szm szerint osztlyozni a csomkat. A jellseit mg ma is hasznljuk. Kelvin elmlete alapjn remlte, hogy a csomk osztlyozsnak megoldsval megolddik az atomok osztlyozsa is.Tait volt az els, aki rmutatott a csomk s skgrfok kzti kapcsolatra.Peter Guthrie Tait(1831 1901 )

  • Csomk irnytott skgrff alaktsa

  • Tait tblzata a legfeljebb 7 keresztezdsi szm prmcsomkra

  • Kt csomdiagram pontosan akkor definilja ugyanazt a csomt, ha megkaphatk egymsbl a reidemeister-lpsek vges sokszori alkalmazsval.1932-ben befejezte a csomk osztlyozst 9 keresztezdsi szmig.Kurt Reidemeister(1893 1971 )

  • Bizonyts (vzlat) szakaszonknt folytonos kategribanDefiniljuk a - lpst: Egy szakaszonknt folyt. csom egy szakasznak 2 vgpontja legyen x s y. Legyen y olyan trbeli pont, hogy az xyz- hromszg az xy-szakasz kivtelvel diszjunkt a csomtl. Ekkor az xy-szakasz [xz][zy] trttvonalra val cserjt nevezzk -lpsnek. Megmutathat, hogy a -lpsek a csomk ekvivalencijt generljk, azaz ha 2 csom ekvivalens, akkor vges sok - lpssel, vagy annak inverzvel tvihetk egymsba. A -lpsek vetletei a skon pontosan a Reidemeister- lpsek. Q.E.D.

  • CsominvarinsokA csominvarinsok a csom deformlsval nem vltoznakEgyszer csominvarinsok: komponensek szma, keresztezdsi szm.Alexander-polinom (James W. Alexander,1928)Jones-polinom (Vaughan F. R. Jones,1984)HOMFLY-polinom (az elzk ltalnostsa,1985)

    A csominvarinsok kiszmtsnak mdszereiKibogozsi relci (John Horton Conway)Kauffman fle-llapotmodell

  • Kibogozsi relciA Jones-polinom kiszmtsnak lpsei:A kibogozni kvnt csomt irnytssal ltjuk el, s kivlasztunk egy keresztezdst, melynek alapjn 3 csomt hozunk ltre.A kibogozsi relci gy szlA trivilis csom Jones-polinomja 1, azaz L+L-L0

  • PldaHromlevel csom kiszmtsaMenetrendA legegyszerbb 2 db trivilis csom kiszmtsa

  • Kauffman-fle llapotmodellAz sszes keresztezdst egymssal nem kapcsold krkre bontjuk az sszes lehetsges mdon az albbi 2 talakts segtsgvelA lnc n. zrjeles polinomja:,aholA zrjeles polinombl helyettesssel kapjuk a Jones-polinomot (egy hatvnyszorz erejig).Az sszes keresztezdsbeli A s A-1-ek szorzataA krk szma az elll diagrambanA-1A

  • PldaA Hopf-lnc kiszmtsaA2A-2AA-1=1AA-1=12211

  • A HOMFLY-polinom A bogoz-relci ltalnostsval kapjuk az albbi relcit, ami polinomok vgtelen seregt definilja. n=0 az Alexander-polinomnak, n=1 a Jones-polinomnak felel meg. Az egyvltozs polinomok vgtelen serege egyrtelmen kiterjeszthet egy ktvltozs polinomm, ezt nevezzk HOMFLY-polinomnak.

  • Alternl csomk Alternl diagram: Ha elidulunk a diagram egy tetszleges pontjbl, akkor a diagram grbje felvltva halad fell s alul. Alternl csom: Ltezik alternl diagramja.Alternl diagramNem alternl diagramA legtbb csom alternl. Az els nem alternl csom 819.Megoldatlan problma: 3 dimenzis defincit adni az alternl csomkra a diagram emltse nlkl.

  • Tovbbi Megoldatlan problmkMely csomkbl kapunk trivilis csomt, ha a minimlis szm keresztezdst tartalmaz diagramjukon 1 keresztezdsben vgrehajtjuk az albbi transzformcik valamelyikt?A hromlevel lhere az egyetlen olyan csom, amelynek van olyan realizcija a trben, hogy nincs olyan sk, mely rinten 3 vagy tbb pontjt a csomnak? Mikor ekvivalens egy csom az inverzvel? (Egy irnytott csom inverze a tkrkpe ellenttes orientcival).

  • Borromean rings & n-Borromean links Ha az egyik komponenst elvgjuk, akkor az egsz darabokra esik szt.

  • Csomk a rszecskefizikbanAz albbi fonatra gy is tekinthetnk, mint rszecskk plyira.Az id teljen felfel.A ktfajta keresztezds jelljn ktfle klcsnhatst a rszecskk kztt.A loklis maximumban legyen annihilci.A loklis minimum jellje rszecskk keletkezst.

  • Csomk a statisztikus fizikbanAz Ising-model Ernst Ising (W. Lenz) doktori disszertcija volt 1924-ben.Azta szmos neves tuds hivatkozott r (Lenz, Heisenberg, Kramers, Montroll, Wannier, Kubo, Onsager).s szmos fizikn kvli terleten is jelents eredmnyeket rt el (neurlis hlzatok, madrcsapatok mozgsa, szvkamrk verse, szociolgiai modelek ).1969 s 1997 kztt tbb mint 120 000 cikk jelent meg az Ising-modellel kapcsolatban!az Ising-model trtnete

  • A Potts-modelA vektor Potts-model (1952) az Ising-model ltalnostsa oly mdon, hogy a spinek q diszkrt irnyban llhatnak. (q=2 az Ising-model ).

    Q=2,3,4 esetn 2 dimenziban ismert a megoldsa Potts ltal.A ma standard Potts-modelnek hvott modelt Potts ugyanabban a cikkben kzlte megjegyzsknt.Q=2 standard Potts-model ekvivalens a q=2 vektor Potts-modellel J2=-2J1 esetn, s q=3-nl pedig 2J2=-3j1 esetn.

  • Q>2 modeleknek q=2-tl eltr kritikus exponensei vannak.q>5 s q=5-re elsrend fzistalakuls van 2 dimenziban.Bevezethet kls tr:

    Az llapotsszeg (Z) szmolsa meglehetsen nehz problma. Jones mutatott r, hogy meglep kapcsolat van a csomelmlettel ezen a tren. Kiderl, hogy az lapotsszeg szmolsa csominvarinsokat szolgltat.

  • Csomelmlet a molekulris dinamikbanA DNS egy komplikltan felcsavarodott s sszegubancoldott csom, amit enzimek bogoznak ki.A csomelmlet segtsgnkre van abban, hogy megbecslhessk, milyen nehz is a DNS-t kicsomzni, s ezzel informcit nyerjnk az enzimek mkdsre s tulajdonsgaira.

  • IrodalomjegyzkRimhnyi Richrd: Csomk s 3-sokasgok (MAFIHE jegyzet, 1995)Vaughan F. R. Jones: Knot Theory and Statistical Mechanics (Scientific American, November, 1990)Linkekhttp://www.earlham.edu/~peters/knotlink.htmlhttp://mathworld.wolfram.com/Knot.htmlhttp://en.wikipedia.org/wiki/Knot_theory

    Eladsom cme: Csomk matematikus s fizikus szemmel.

    Mieltt a matematikai rszbe belevgnk, hadd adjak egy kis zeltt, hogy mire is hasznltk a csomkat a trtnelem folyamn, s mire is jk ma.

    A csomkat korn felhasznltk szmolsra, az id mlsnak jelzsre, informci trolsra, de egy rstud ember emlkezetnek felfrisstsre mg ma is hasznra van egy zsebkend sarkra kttt csom. Hrodotosz ie. 440-beli rsa szerint, amikor Dareiosz perzsa kirly bntethadjratra indult az engedetlen szktk ellen, htrahagyta a szvetsges grg erket egy stratgiai fontossg hd rzsre, s egy 60 csomval elltott korbcsot nyjtott t a grgknek. Meghagyta, hogy mindennap fzzenek ki egy csomt, s ha nem trne addigra vissza, mire az sszes csomt kifztk, akkor szlljanak hajra, s vonuljanak haza. Az effle informcitrols s a rovsplck hasznlata az rs legsibb formihoz tertoznak.

    Az inkk pldul sszecsomzott ktlbl s zsinegekbl ll trgy, n. quipu segtsgvel kvettk a trgyak tjt a birodalmon bell. Ez volt az egyetlen brokratikus jegyzeszkz. A vrosokban a csomkt feladata volt a csomzs s a csomjelek magyarzata. A rendszer olyan jl mkdtt, hogy mg a spanyol konkvisztdorok idejn is hasznltk, a 16. szzadban.

    Feltehetleg mindenki jl ismeri a kelta csomkat, amiket ma is elszeretettel hasznlnak dsztsre a legklnbzbb helyeken a legvltozatosabb anyagokkal.Az rdekessgk az, hogy a kelta csomk egyben egy hatalmas szimblumrendszer, mert minden egyes csomnak megvan a sajt jelentse.

    Aztn itt vannak a hegymszk, barlangszok, hajsok csomi, amik leteket menthetnek s mentettek is, pldul a hajsoki vszzadokon t.De elengedhetetlen a csomkts ismerete a halszok s bvszek szmra is.Nade trjnk r a csomelmletre,

    A csomelmlet, mint annyi minden ms, Gaussal kezddtt, a nagy nmet matematikussal.

    A mrtktranszformcinak a klasszikus fizikban csak formlis szerepe van, a mgneses trersg mindent meghatroz.Nem gy a kvantummechanikban, ott ltalban a trerssg tl kvs a vektorpotencil pedig tl sok informcit hordoz a rendszerrl.A kztes t megtallsa sorn csominvarinsokra bukkanunk.Tait skt fizikus.N_m-el jellik az ltala m-ediknek megtallt n keresztezdsi szm csomt.Csominvarinsokat is keresett, de sajnos nem jrt sikerrel.Az ltala tblzatba foglalt csomk viszont segtenek rdekes pldkat s ellenpldkat szolgltatni csomelmleti sejtsekre.Elofordult az is, hogy Tait es az utokor altal sokaig kulonbozonek gondolt csomokrol kesobb kiderult, hogy azonosak.

    A csomk skgrff val alaktsnak ksbb nagy jelentsge lesz.

    Primcsomok definiciojaSchubert, 1949: minden csom elll prmcsomk sszefgg sszegeknt.

    Landau tanitvanya.A lpseket gy kell rteni, hogy a sk egy kis krlapjn hajtjuk ket vgre.Tudjuk, hogy kt csom pontosan akkor ekvivalens egymssal, ha R-lpseken keresztl egymsb

Search related