CRITTOGRAFIA

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Goals

• Learn what problems can (and cannot) be addressed using cryptography

• Become convinced that:

– Designing a decent cryptosystem is extremely – Designing a decent cryptosystem is extremely difficult

– Using cryptography requires building a substantial (but easily overlooked) infrastructure

– Wide-spread use of cryptography requires overcoming legal and social barriers

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Esiste un cifrario perfetto?

• Dobbiamo distinguere tra

– perfect secrecy: Confidenzialità sempre garantita

– computational secrecy: Confidenzialità garantita

solo se le risorse dell’avversario sono limitatesolo se le risorse dell’avversario sono limitate

• Robustezza

– Conquistata sul campo

– Relazione con problemi matematici difficili

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Esiste un cifrario perfetto?

• What does it mean to comunicate in “perfect secrecy”?– As long as information is finite, impossible to attain

• One can always “guess” the contents of n bits that are communicated with finite (non-zero) that are communicated with finite (non-zero) probability 1/2n

• “Perfect secrecy” has to be interpreted as: can information be communicated such that its contents are revealed with probability no better than guessing?

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Alcune definizione

• Crittografia: progetto di cifrari sicuri ed

efficienti

• Crittoanalisi: metodi, strumenti e tecniche

per attaccare i cifrari (valutare la loro per attaccare i cifrari (valutare la loro bontà)

• Crittologia: Crittografia + Crittoanalisi

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Lo scenario

C: m---> c D: c--->m

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Cifratura e decifrazione

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Cifratura e decifrazione: terminologia

• plaintext: input alla funzione di cifratura

• ciphertext: output dalla funzione di cifratura

• secret key (symmetric) cryptography:

– Le chiavi di cifratura e decifrazione sono le stesse– Le chiavi di cifratura e decifrazione sono le stesse

– Funzioni C e D sono spesso le stesse

• public key (asymmetric) cryptography:

– Le chiavi di cifratura e decifrazione sono diverse

– Funzioni C e D sono diverse

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L’intruso X

• Motivo: curiosità, spionaggio, malvagità, …

• Ruolo– Passivo: si limita ad ascoltare

– Attivo: può inserirsi nella comunicazione o – Attivo: può inserirsi nella comunicazione o modificarla

• Informazioni in suo possesso:– Cipher-text attack: serie di crittogrammi c1,..., cn

– Known plain-text attack: collezione di coppie (mi, ci)

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Definizioni e notazione

• Funzione di cifratura

– Ck(m) = c cifratura di m con chiave k

• Funzione di decifrazione

– Dk(c) = m decifrazione di c con chiave k– Dk(c) = m decifrazione di c con chiave k

• Matematicamente Dk è l’inversa di Ck:

– Dk(Ck(m)) = m

– Se Dk(Ck(m)) = Ck(Dk(m)) = m, allora commutativa

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Come realizzare C e D?

Due grandi famiglie:

• Cifrari per uso ristretto:

– La sicurezza si basa sul fatto che C e D sono tenute

nascostenascoste

– quindi non è previsto l’uso di una chiave segreta

• Cifrari per uso generale:

– C e D sono note a tutti

– La sicurezza si basa sull’utilizzo di una chiave segreta nota solamente al mittente e al destinatario

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Chiave segreta: una metafora fisica

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Cifrari simmetrici o a chiave privata

• DES (Data Encryption Standard)– 64 bits in/out, 56 bits key

– Computationally (in)secure. $1M tries all DES keys in 7 hrs using 1993 hardware cracking machine

• Triple-DES

AES (Advanced Encryption Standard) “Rijndael”• AES (Advanced Encryption Standard) “Rijndael”– Variable block length & variable key length (128, 192, 256)

• IDEA (International Data Encryption Algorithm)– 64 bits in/out, 128 bit key

– Computationally secure: at 1 billion key-tries/sec/processor, system of a billion processors requires 1013 years to try every possible key (1000x longer than age of the universe)

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Cifrari simmetrici

• Ruolo di Ck e Dk completamente interscambiabile

• Mittente ~ Destinatario:– Conoscono la stessa chiave k– Entrambi possono cifrare e decifrare– Incontro segreto per accordarsi sulla chiave– Incontro segreto per accordarsi sulla chiave– Segretezza della chiave dipende da entrambi– Cifratura e decifrazione sono molto efficienti in pratica

• Quali sono i difetti di questi cifrari?– Occorre scambiarsi la chiave– Per O(n) utenti, abbiamo bisogno di O(n²) chiavi segrete

– Troppe per essere memorizzate e scambiate segretamente

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Cifrari asimmetrici o a chiave pubblica

• Is it possible to exchange information in secrecy without having to first agree on a key?

• Anno 1976: punto di svolta! (Diffie-Hellman• Anno 1976: punto di svolta! (Diffie-Hellmane Merkle)

• Passo in avanti sostanziale:

– Dal punto di vista teorico

– Dal punto di vista economico

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Chiave pubblica: una metafora fisica

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Chiave pubblica: una metafora fisica

• Is it possible to exchange information in secrecy without having to first agree on a key?– A has a private lock, LockA, and its

corresponding key KA

corresponding key KA

– A -> B: Send (a copy of) open LockA to B

– B: Put the secret in a chest and secure with LockA by closing it

– B -> A: Send chest to A

– A: Use KA to open LockA , remove secret

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Cifrari asimmetrici o a chiave pubblica

• Obiettivo: rompere il legame tra Ck e Dk

– Chiunque sappia come cifrare non deve sapere come decifrare

– Chiave k scomposta in due parti k[priv], k[pub]:

• La chiave k viene creata da Dest• La chiave k viene creata da Dest

• k[priv] tenuta segreta da Dest e usata per ottenere Dk[priv]

• k[pub] resa pubblica da Dest e usata da tutti per

cifrare messaggi verso Dest

• Difficile andare da k[pub] a k[priv] !!

• Concetto funzione “one-way trap-door”:– Difficile andare da Ck[pub] a Dk[priv] (senza k[priv]) !

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Funzioni One-way con trapdoor

• Funzioni facili da calcolare,

• difficili da invertire,

• a meno che ... non si conosca qualche • a meno che ... non si conosca qualche informazione aggiuntiva ...

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Funzioni One-way con trapdoor

• Lucchetto:

– è facile da chiudere

è difficile da aprire– è difficile da aprire

– se non si possiede la chiave

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Funzioni One-way con trapdoor

• Cassetta delle lettere:

– è facile imbucare una lettera

– è difficile estrarre una lettera– è difficile estrarre una lettera

– se non si possiede la chiave

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Panacea delle comunicazioni segrete?

• Cifrari asimmetrici sono più costosi !• Sistemi ibridi = asimmetrici + simmetrici !!

– Mitt e Dest scelgono “pubblicamente” una chiave “segreta” K utilizzando un cifrario asimmetrico

– Mitt e Dest comunicano con un cifrario simmetrico basato su K

– K viene sostituita più volte nel corso di una comunicazione (session)

– K viene sostituita più volte nel corso di una comunicazione (session)

• Lentezza degli asimmetrici incontrata solo nello scambio sporadico delle session-key

• Incontro face-to-face per scambio chiavi segrete (nei simmetrici) aggirato attraverso l’uso dei cifrari asimmetrici per raggiungere l’accordo

• N2 chiavi segrete (nei simmetrici) nascoste dall’uso delle session-key (usa e getta)

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Proprietà di crittografia

• Confidenzialità è l’unico requisito dei sistemi crittografici moderni?

• Oggigiorno se ne richiedono altri 3:– Integrità: Deve essere possibile per Dest stabilire che il

messaggio ricevuto non ha subito modifiche parziali o messaggio ricevuto non ha subito modifiche parziali o totali (sostituzione)

– Autenticazione: Deve essere possibile per Dest accertare che il messaggio ricevuto proviene proprio da Mitt

– Non-repudiation: Mitt non può sottrarsi dall’ammettere che è stato lui a spedire il messaggio, e Dest può convincere una terza persona (giudice) che questo è il caso (ottenuta con l’uso delle Firme Elettroniche)

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CIFRARI STORICI

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Prologo

• Crittografia manuale

• Sono note tecniche statistiche per forzarli!

• Nota:• Nota:

– Messaggi e crittogrammi composti di lettere

– Chiave segreta: esiste oppure no (degenere)

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Cifrario di Cesare

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Cifrario a sostituzione

• Ammettiamo tutte le possibili permutazioni dell’alfabeto– sono (26! – 1), un numero spropositatamente

grande!

• Chiave k = <BFRULMZQWEA...> = una • Chiave k = <BFRULMZQWEA...> = una permutazione

• Questo cifrario è sicuro? No, attacco statistico– Istogrammi di frequenza delle lettere nelle frasi in

italiano

– Istogrammi di frequenza delle lettere nel crittogramma

Burstnet informatica © 27

Cifrario polialfabetico

• Usa più cifrari a sostituzione seconda la posizione delle lettere nel messaggio in chiaro

– Monoalfabetico ogni |k| caratteri– Monoalfabetico ogni |k| caratteri

– Attacco statistico possibile, ma difficile

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Cifrario poligramma

• Invece di sostituire singole lettere nel messaggio in chiaro, sostituire blocchi di lettere

• Esempio (blocchi da 3)– AAA -> SOM

– AAB -> PLW

– ABA -> RTQ

– ABB -> SLL

– …

• Nasconde informazione sulla frequenza di singole lettere e di due lettere

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Cifrario a trasposizione

• Maintain the same set of letters in the cyphertext as in the plaintext but change their order

• Can be repeated multiple times

• Basis for “rotor machines” such as Enigma and Purple that were used during World War IIthat were used during World War II

• In general, transposition is a permutation of the letters

• With a given period (7)

• May be expensive to implement (memory)

• Attacks based on frequency can reveal the language

• Large periods make attacks difficult

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CIFRARI PERFETTI: ONE-TIME PAD

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One-time pad: esempio

Burstnet informatica © 32

Pregi e difetti

• Se ogni bit della chiave è generato casualmente, allora conoscere un bit del crittogramma non fornisce nessuna informazione aggiuntiva sul corrispondente bit del messaggio: cifrario perfettodel messaggio: cifrario perfetto

• La chiave (pad):– è lunga (quanto il messaggio)

– si consuma (one-time)

– occorre scambiarsela

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DES:DATA ENCRYPTION STANDARD

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Un po’ di storia…

• Nel 1972, l’NBS (National Bureau of Standards. OggiNIST: National Institute of Standards and Technology) iniziò un programma per proteggere le comunicazioni non classificate

• Lo scenario era interessante:– NSA (National Security Agency) disponeva di molte

conoscenze in materia di cifrari e metodi di decrittazioneconoscenze in materia di cifrari e metodi di decrittazione– Esistevano molti prodotti pressoché oscuri, non certificati e

non compatibili

• Nel 1973, l’NBS pubblicò un “call for proposals”:– Sistema a chiave segreta (certificazione e chiarezza)– Realizzabile in hardware (compatibilità)

• Bando andò pressoché deserto

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… ancora un po’

• In un bando successivo IBM propose un sistema simile al suo prodotto Lucifer (operazioni logiche su gruppi di bit)

• Poco dopo NSA certificò Lucifer con il nome di DES: fece commenti e propose variazioni– Chiave ridotta da 128 bit a 64 bit

Modifiche significative alla funzione S-box– Modifiche significative alla funzione S-box

• Diverse agenzie replicarono in modo allarmato !!• Dopo alcune indagini il DES fu certificato e reso

pubblico nel 1977• Primo esempio di cifrario robusto (con certificazione

NSA) che i ricercatori potevano studiare• È stato certificato pressoché ogni 5 anni, dal 1998 non è

più considerato sicuro. Ad esso si preferisce il Triplo-DES

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Caratteristiche principali di DES

• Codifica Simmetrica

• Codifica a blocchi

• Blocco = 64 bit• Blocco = 64 bit

• Chiave = 64 Bit (solo 56 usati, altri 8 per parità)

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Operazioni di base

• Permutazione

• Sostituzione

• Espansione

• Contrazione• Contrazione

• Shift Circolare (destro e sinistro)

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Permutazioni

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Sostuzione

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Espansione

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Contrazione

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Scelta permutata

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DES Overview

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RSA:RIVEST, SHAMIR, ADELMAN

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E’ necessaria la chiave segreta?

• A manda a B il suo lucchetto aperto

• B chiude lo scrigno con il lucchetto ricevuto da A e glielo spedisce

• A riceve lo scrigno e lo apre !!!• A riceve lo scrigno e lo apre !!!

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Funzioni one-way con trapdoor

• Un lucchetto è una funzione one-way con trapdoor !

• Infatti tutti possono chiudere un lucchetto pur senza possedere la chiavepur senza possedere la chiave

• Nessuno può aprire un lucchetto senza avere la chiave

• La cassetta delle lettere è un’altra funzione one-way con trapdoor

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Chiave pubblica

• Per ottenere un protocollo a chiave pubblica occorre trovare una funzione matematica one-way con trapdoor!

• Cioè una funzione facile da calcolare e • Cioè una funzione facile da calcolare e difficile da invertire a meno di possedere qualche informazione aggiuntiva (chiave)

• La Teoria dei numeri ci viene in aiuto…

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RSA

• Generazione delle chiavi

• Codifica. Encryption: C(m)

• Decodifica. Decryption: D(c)• Decodifica. Decryption: D(c)

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RSA: generazione delle chiavi

Scelgo due numeri primi grandi p, q

Calcolo n = pq

φ(n) = (p-1) * (q-1)

Scelgo e minore di n tale per cui GCD(e, φ(n)) = 1Scelgo e minore di n tale per cui GCD(e, φ(n)) = 1

Calcolo d tale per cui dxe mod φ(n) = 1

Chiave Pubblica = (e,n)

Chiave Privata = (d,n)

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RSA: encryption

C(m) = me mod n

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RSA: decryption

D(c) = cd mod n

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