CRITICAL THINKING: LEARNING IN DEPTH: 3Deductive Reasoning / Razonamiento Deductivo

https://thelearningindepthblog.wordpress.com

DEDUCTIVE REASONING

Arguments come in two broad categories: deductive and inductive. This week we examine deductive arguments / deductive reasoning.

Argumentos existen en dos categorías amplias: deductivo y inductivo. Esta semana examenos argumentos deductivos / razonamiento deductivo.

DEDUCTIVE REASONING

Deductive argument: an argument in which the premises are intended to support the conclusion absolutely.

(In an inductive argument, the premises only support the conclusion to some degree of probability.)

Argumento deductivo: un argumento en cuyo las premisas tienen intención apoyar la conclusión totalmente.

(En un argumento inductivo, las premisas sólo apoyan la conclusión a alguna grado de probabilidad.

DEDUCTIVE REASONING

If a deductive argument has a correct logical structure so that the truth of the premises guarantees the truth of the conclusion, the argument is valid (or: deductively valid).

Other ways of saying the same thing: if the premises are true, the conclusion cannot be false.

If you believe the premises you are rationally compelled to believe the conclusion.

Si un argumento deductivo tiene una estructura lógica correcta para que la verdad de las premisas garantiza la verdad de la conclusión, el argumento es válido (o: deductivamente válido).

Otras maneras de decir lo mismo: si las premisas son verdaderas, la conclusión no puede ser falsa.

Si ustedes creen que las premisas, son racionalmente obligado a creer en la conclusión.

DEDUCTIVE REASONING

Still another way of understanding validity:

A valid deductive argument never contains information in its conclusion that is not implicit in its premises.

Otra manera de entender la validez:

Un argumento deductivo válido nunca contiene información en su conclusión de que no está implícito en sus premisas.

DEDUCTIVE REASONING

Example: (the obvious one)

All humans are mortal.

Socrates is human.

Therefore, Socrates is mortal.

Ejemplo: (la más obvia)

Todos los humanos son mortales.

Sócrates es un humano.

Por lo tanto, Sócrates es un mortal.

DEDUCTIVE REASONING

This argument is, however, also deductively valid:

All kumquats are zimhold.

Yodi is a kumquat.

Thus Yodi is zimhold.

What does it mean? Guess what!

Este argumento es, sin embargo, deductivamente válido también:

Todos los kumquats son zimhold.

Yodi es un kumquat.

Así, Yodi es zimhold.

Qué significa? ¡Adivina qué!

DEDUCTIVE REASONING

It doesn’t matter what that argument means, if it means anything. You don’t need to know what it means to know that it is valid.

Because the validity of a deductive argument is a function of its form, not its content.

Any argument with the form All M’s are P’s.

S is an M.

Therefore S is a P

… will be valid.

No importa lo que significa que el argumento, si significa algo. Usted no necesita saber lo que significa saber que es válida.

Porque la validez de un argumento deductivo es una función de su forma, no su contenido.

Cualquier discusión con la forma Todos los de M son P.

S es una M.

Por lo tanto S es un P

... será válida.

DEDUCTIVE REASONING

We just illustrated the difference between an argument and an argument form. An argument always has specific content. An argument form is a general pattern of reasoning. If an argument form is valid, then all arguments with that form—all its substitution instances—will be valid.

Those with premises known to be true will be sound.

In practice, of course, if we know we are working with deductive reasoning, these are the arguments we want.

Ilustremos la diferencia entre un argumento y un forma de argumento. Un argumento siempre tiene un contenido específico. Una forma de argumento es un diseño general de razonamiento. Si una forma de argumento es válido, entonces, todos los argumentos con eso forma - sus casos de substitución -sean válidas.

Aquellos con premisas conocidas para ser verdad habrá sólido.

En la práctica, por supuesto, si sabemos que estamos funciando con el razonamiento deductivo, estos son los argumentos que queremos.

DEDUCTIVE REASONING

In other words, a sound argument has a valid structure and true premises.

In evaluating the soundness of a deductive argument, we are concerned with two things:

(1) Do the premises support the conclusion?

(2) Are the premises true?

(2) takes us outside of logic and involves empirical questions (in science, politics, etc.) and can be hard to determine. (1), however, can be determined by paying attention to an argument’s logical form.

En otras palabras, un argumento de sólido tiene una estructura válida y premisas verdaderas.

En la evaluación de la sólidez de un argumento deductivo, nos estamos preocupa con dos cosas:

(1) ¿Apoyan las premisas a la conclusión?

(2) ¿Son verdad las premisas?

(2) nos lleva afuera de la lógica e involucra cuestiones empíricas (en las ciencias, la política, etc.) y puede ser difícil de determinar. (1), sin embargo, puede ser determinada por prestar atención a la forma lógica de un argumento.

DEDUCTIVE REASONING

Typical logical form:

If an earthquake measures over 6 on the Richter scale, then it will likely do some damage.

Last weekend’s quake measured over 6 on the Richter scale.

Therefore it likely did some damage.

What is this argument’s form?

Is it sound? Why or why not?

Forma lógica típica:

Si un terremoto medidas más de 6 en la escala de Richter, entonces es probable que hacer algún daño.

El temblor de la fin de semana pasada mide más de 6 en la escala de Richter.

Por lo tanto, es probable hizo algún daño.

¿Cuál es la forma de este argumento?

¿Es sólido? ¿Por qué o por qué no?

DEDUCTIVE REASONING

If p, then q

p

Therefore q.

Or in the notation of formal logic:

p ⊃ q

p

∴ q

This is known as a modus ponens.

Si p, entonces q

p

Por lo tanto q.

O en la notación de la lógica formal:

p ⊃ q

p

∴ q

Esto se conoce como un modus ponens.

DEDUCTIVE REASONING

Now consider an example from last week:

If all swans are white, then no swans are black.

Nassim Taleb has seen black swans (it is false that no swans are black).

Therefore it is false that all swans are white.

What is this argument’s formal structure (or form)?

Ahora, consideremos un ejemplo de la semana pasada:

Si todos los cisnes son blancos, entonces no hay cisnes son negros.

Nassim Taleb ha visto cisnes negros (que es falso que no hay cisnes son negros).

Por lo tanto es falso que todos los cisnes son blancos.

¿Cuál es la estructura formal de este argumento (o forma)?

DEDUCTIVE REASONING

If p then q.

Not-q.

Therefore not-p.

Or:

p ⊃ q

~q

∴ ~p

This is called a modus tollens.

Si p entonces q.

No-q.

Por lo tanto no-p.

O:

p ⊃ q

~ q

∴ ~ p

Esto se llama un modus tollens.

DEDUCTIVE REASONING

Let us look at the disjunctive argument form: Either-or arguments:

Either Barack Obama won the presidency in the U.S. or Mitt Romney won.

Mitt Romney did not win.

Therefore Barack Obama did.

What is this argument’s formal structure.

Miremos a la forma de argumento disyuntivo:

Barack Obama ganó la presidencia en los EEUU o ganó Mitt Romney.

Mitt Romney no ganó.

Por lo tanto Barack Obama ganó.

¿Cuál es la estructura formal de este argumento.

DEDUCTIVE REASONING

Either p or q

Not p

Therefore q

(Or: Either p or q

Not q

Therefore p.)

Its formal structure:

p v q or p v q

~p ~q

∴ q ∴ p

This argument form is called a disjunctive syllogism.

p o q

No p

Por lo tanto q

(O: p o q

no q

Por lo tanto p.)

Su estructura formal:

p v q o p v q

~ p ~ q

∴ q ∴ p Este forma de argumento se

llama un silogismo disyuntivo.

DEDUCTIVE REASONING

All the argument forms we have seen are valid. Validity, we should remember, is a property of the form of an argument, not its content.

Valid structure does not require true premises. Remember the ‘cumquat’ example?

That argument was valid but unsound.

A sound argument has a valid structure (form) and true premises.

Todas las formas de argumentos que hemos visto son válidas. Validez, debemos recordar, es una cualidad de la forma de un argumento, no su contenido.

Válido estructura no requiere de premisas verdaderas. Recuerde el ejemplo de 'cumquat'?

Ese argumento era válido pero poco sólido.

Un argumento sólido tiene una estructura (forma) válida y premisas verdaderas.

DEDUCTIVE REASONING

Categorical syllogisms are a large category of argument forms.

There are exactly 256 possible forms a categorical syllogism can take.

Most you will never see. Only a few are valid. Only a few are common.

They have in common that they have two premises and describe a relationship between exactly three categories: because of the information in the two premises, we can validly infer the conclusión.

Silogismos categóricos son una amplia categoría de formas de argumentos.

Hay exactamente 256 formas posibles un silogismo categórico puede tomar.

Más que nunca se verá. Sólo unos pocos son válidas. Sólo unos pocos son comunes.

Tienen en común que tienen dos premisas y describen una relación entre exactamente tres categorías: a causa de la información en las dos premisas, podemos inferir válidamente a la conclusión.

DEDUCTIVE REASONING

All humans are mortal.

Socrates is human.

Therefore Socrates is mortal

Is one common syllogistic form. There is more than one way of writing its formal representation.

Todos los humanos son los mortales.

Sócrates es un humano.

Por lo tanto, Sócrates es un mortal

Es una forma silogística común. Hay más de una manera de escribir su representación formal.

DEDUCTIVE REASONING

All M’s are S´s.

P is an M.

So S is a P

S is the minor term; P is the major term; M is the middle term.

Here is another form:

(x)(Mx ⊃ Sx)

Ma

∴ Sa

Todos los de M son S's.

P es una M.

Así que S es un P

S es el término menor; P es el término mayor; M es el término medio.

Aquí es otra forma:

(x) (Mx ⊃ Sx)

Ma

∴ Sa

DEDUCTIVE REASONING

Aquí es otra forma silogística:

Todos los chilenos son los sudamericanos.

Algunos chilenos se han vivido en los EE.UU.

Así, algunos sudamericanos han vivido en los EE.UU.

Es expresión formal

Todos los de M son eses. o (x) (Mx ⊃ Sx)

Algunos de M son P. (∃x) (Mx • Px)

Así que algunos de S son P's. ∴ (∃x) (Sx •

Px)

Here is another syllogistic form:

All Chileans are South Americans.

Some Chileans have lived in the U.S.

Thus some South Americans have lived in the U.S.

It’s formal expression

All M’s are S’s. or (x)(Mx ⊃ Sx)

Some M’s are P’s. (∃x)(Mx • Px)

So some S’s are P´s. ∴ (∃x)(Sx • Px)

DEDUCTIVE REASONING

There are various ways of proving that an argument form is valid.

(1) A counter-example—a case in which the premises are true and the conclusion false—will prove invalidity.

(2) A truth table will prove validity or invalidity.

(3) Specific rules will determine the validity or invalidity in the case of categorical syllogisms.

Hay varias maneras de probar que una forma de argumento es válido.

(1) Un contra-ejemplo--un caso en el que las premisas son verdaderas y la conclusión falsa-probará invalidez.

(2) Una tabla de verdad probará validez o invalidez.

(3) Normas específicas determinarán la validez o invalidez en el caso de los silogismos categóricos.

DEDUCTIVE REASONING

(1) Counter-examples can be very time consuming. An argument can look pretty good and not be valid.

For example:

If Chileans are well prepared for earthquakes, then the damage from any particular quake will be minimal.

The damage from last weekend’s quake was minimal.

Hence Chileans must have been well prepared.

(1) Contra-ejemplos pueden tomar mucho tiempo. Un argumento puede parecer bastante bueno y no ser válida.

Por ejemplo:

Si los chilenos están bien preparados para los terremotos, entonces el daño de cualquier temblor particular será mínima.

El daño causado por el temblor del fin de semana fue mínima.

De ahí que los chilenos deben haber sido bien preparado.

DEDUCTIVE REASONING

So what is the problem? The argument looks sound. (If an argument is sound, then by definition it is valid.)

Consider the following parallel argument with the exact same form:

If it is raining, then the ground is wet.

The ground is wet.

Therefore it is raining.

(Obviously there are other reasons the ground may be wet than rain.)

Entonces, ¿cuál es el problema? El argumento parece sonido. (Si un argumento es sólido, entonces por definición es válida.)

Considere el siguiente argumento paralelo con la misma forma exacta:

Si está lloviendo, entonces el suelo está mojado.

El suelo está mojado.

Por lo tanto, está lloviendo.

(Obviamente, hay otras razones el suelo puede estar húmedo de la lluvia.)

DEDUCTIVE REASONING

Using this method to show that an argument is invalid means constructing another argument with the same structure but obviously true premises and a false conclusion.

This can be time consuming.

That is why logicians prefer truth tables.

But what are truth tables?

El uso de este método para mostrar que un argumento no es válido necesita la construcción de un argumento con la misma estructura pero obviamente premisas verdaderas y una conclusión falsa.

Esto puede llevar mucho tiempo.

Es por eso que los lógicos prefieren tablas de verdad.

¿Pero cuáles son las tablas de verdad?

DEDUCTIVE REASONING

(2) Truth tables are devices which will show, decisively, that an argument form in propositional logic has at least one substitution instance with true premises and a false conclusion, and so is invalid.

But first, we need to see the basic vocabulary of symbolic logic. We have been constructing it, little by little already.

Las tablas de verdad son dispositivos que se mostrarán, con decisión, que una forma de argumento en lógica de proposicional tiene al menos una caso de sustitución con premisas verdaderas y una conclusión falsa, por lo que no es válido.

Pero primero, tenemos que ver el vocabulario básico de la lógica simbólica. Hemos construido, ya poco un poco.

DEDUCTIVE REASONING

El vocabulario de la lógica proposicional (el idioma más fácil de la lógica simbólica):

(1) Las constantes proposicionales que representan determinadas proposiciones: A, B, C, D, etc, utilizan para representar los argumentos particulares.

(2) las variables proposicionales que significan cualquier proposición: p, q, r, s, etc., utilizan para representar las formas de argumentos.

(3) Los operadores o conectivos que forman la gramática o sintaxis de la lógica simbólica: ~, •, v, ⊃, y ≡.

The vocabulary of propositional logic (the easiest language of symbolic logic):

(1) Propositional constants which stand for particular propositions: A, B, C, D, etc., used to represent particular arguments.

(2) Propositional variables which stand for any proposition: p, q, r, s, etc., used to represent argument forms.

(3) Operators or connectives, which form the grammar or syntax of symbolic logic: ~, •, v, ⊃, and ≡.

DEDUCTIVE REASONING

Truth tables can be used, then, to define the meanings of the operators. For example, given that there are just two truth values:

p ~p

T F

F T

This truth table defines the meaning of the ‘tilde’ in logic.

Las tablas de verdad se pueden utilizar, a continuación, definir los significados de los operadores. Por ejemplo, dado que hay sólo dos valores de verdad:

p ~p

V F

F V

Esta tabla de verdad define el significado de la "tilde" en la lógica.

DEDUCTIVE REASONING

Truth tables for other connectives:

The conjunction:

p q p • q

T T T

T F F

F T F

F F F

Tablas de verdad para otras conectivas:

La conjunción:

p q p • q

V V V

V F F

F V F

F F F

DEDUCTIVE REASONING

The disjunction:

p q p v q

T T T

T F T

F T T

F F F

La disyunción:

p q p v q

V V V

V F V

F V V

F F F

DEDUCTIVE REASONING

The conditional:

p q p ⊃ q

T T T

T F F

F T T

F F T

Please note that the p is called the antecedent and the q is called the consequent.

El condicional:

p q p ⊃ q

V V V

V F F

F V V

F F V

Tenga en cuenta que el p es llamado el antecedente y el q se llama el consecuente.

DEDUCTIVE REASONING

What we embark on now is also called truth-functional logic, because the truth of compound propositions is a function of the truth values of the simple or atomic propositions they are built out of.

Lo que nos embarcamos ahora también se llama lógica veritativo-funcional, porque la verdad de proposiciones compuestas es una función de los valores de verdad de las proposiciones simples o atómicos, se construyen.

DEDUCTIVE REASONING

Applying this to argument forms or arguments themselves requires understanding that any argument form can be rewritten as a conditional. For example:

p ⊃ q

p

∴ q

can be rewritten as:

[(p ⊃ q) • p ] ⊃ q

Aplicando esto a las formas de argumento o argumentos mismos requiere el entendimiento de que cualquier forma de argumento puede ser reescrito como un condicional. Por ejemplo:

p ⊃ q

p

∴ q

se puede reescribir como:

[(p ⊃ q) • p] ⊃ q

DEDUCTIVE REASONING

We can then construct a truth table for this proposition form:

p q (p ⊃ q) (p ⊃ q] • p

V V V V

V F F F

F V V F

F F V F

All T´s in the final column proves validity of form.

Entonces, podemos construimos un tabla de verdad para esta forma de proposición:

[(p ⊃ q] • p ] ⊃ q

V

V

V

V

Todo V en la columna final demuestra la validez de la forma.

DEDUCTIVE REASONING

Now, let us test the argument we might have been unsure of.

It’s form: p ⊃ q

q

∴ p Rewrite it:

[p ⊃ q] • q] ⊃ p

Let us test it for validity:

Probemos el argumento de que podría haber sido inseguro.

Es forma:

p ⊃ q

q

∴ p

Reescribi:

[p ⊃ q] • q] ⊃ p

Lo probemos para la validez:

DEDUCTIVE REASONING

[p ⊃ q] • q] ⊃ p

p q p ⊃ q (p ⊃ q) • q

V V V V

V F F F

F V V V

F F V F

The one substitution instance results in an F in the final column; the argument form is invalid.

[p ⊃ q] • q] ⊃ p

V

V

F

V

La uno caso de substitución resulta en un F en la columna última; la forma de argumento no es válido.

DEDUCTIVE REASONING

Categorical arguments must be handled differently.

There are four standard forms for categorical propositions:

All S is P (universal affirmative)

No S is P (universal negative)

Some S is P (particular affirmative)

Some S is not P (particular negative)

Singular propositions—propositions about individuals—are handled the same as universal affirmatives.

Argumentos categóricos deben ser manejados de manera diferente.

Hay cuatro formas estándar para proposiciones categóricas:

Todo S es P (la afirmativa universal)

No S es P (la negativa universal)

Algún S es P (la afirmativa particular)

Algún S no es P (la negativo particular)

Proposiciones singulares--proposiciones sobre individuos--se manejan de la misma como las afirmativas universales.

DEDUCTIVE REASONING

A categorical proposition distributes a term if it refers to the entire category (to all members in that category).

All S is P distributes S but not P

No S is P distributes both S and P

Some S is P distributes neither S nor P

Some S is not P distributes P but not S.

Universals distribute subject term.

Negatives distribute predicate term.

Una proposición categórica distribuye un término si se refiere a toda la categoría (a todos los miembros de esa categoría).

Todo S es P distribuye S sino no P

No S es P distribuye ambos S y P

Algún S es P distribuye ni S ni P

Algún S no es P distribuye P sino no S.

Los universales distribuyen término de sujeto.

Negativos distribuir término predicado.

DEDUCTIVE REASONING

Returning to our standard example:

All humans are mortal

Socrates is human.

So Socrates is mortal.

Which terms are distributed?

Volviendo a nuestro ejemplo estándar:

Todos los humanos son mortales

Sócrates es un humano.

Así que Sócrates es un mortal.

¿Qué términos se distribuyen?

DEDUCTIVE REASONING

There are three basic sets of conditions a categorical syllogism must meet in order to be valid:

The middle term—the one that appears in each premise—must be distributed at least once.

If a term is distributed in the conclusion it must be distributed in the premise where it appears.

At least one premise must be affirmative; and if both premises are affirmative the conclusion must also be affirmative. (You cannot have a negative premise and an affirmative conclusion.)

Hay tres grupos básicos de las condiciones de un silogismo categórico debe cumplir para poder ser válida:

El término medio-que aparece en cada local-debe ser distribuido al menos una vez.

Si un término se distribuye con la conclusión a la que se debe distribuir en la premisa de que lo que parece.

Al menos una premisa debe ser afirmativa; y si ambas premisas son afirmativas la conclusión también debe ser afirmativa. (No se puede tener una premisa negativa y una conclusión afirmativa.)

DEDUCTIVE REASONING

All humans are mortal

Socrates is human

So Socrates is mortal

… satisfies all these conditions, so it is valid.

Todos los humanos son mortales

Sócrates es un humano

Así que Sócrates es un mortal

... satisface todas estas condiciones, por lo tanto, es válido.

CONCLUDING NOTES

Where do we go from here?

Deductive logic offers one important set of tools for the structure of reasoning.

It is only a beginning.

Aristotle actually distinguished three levels of persuasive communication:

Grammar: the study of syntax.

Logic structure of arguments, and semantics

Rhetoric The study of persuasive communicationt

¿A dónde vamos desde aquí?

La lógica deductiva ofrece un importante conjunto de herramientas para la estructura de razonamiento.

Es sólo un comienzo.

Aristóteles realmente distingue tres niveles de la comunicación persuasiva:

Gramática el estudio de la sintaxis

Lógica estructura de los argumentos y la semántica

Retórica el estudio de la comunicación persuasiva

CONCLUDING NOTES

We are assuming we understand grammar and are pursuing logic. Deductive logic is about logical form.

Inductive logic will give us additional tools.

Estamos suponiendo que entendemos la gramática, y perseguimos la lógica. La lógica deductiva es acerca de la forma lógica.

La lógica inductiva nos dará herramientas adicionales.

SOURCES

Patrick J. Hurley, A CONCISE INTRODUCTION TO LOGIC, 11th Ed. (Boston, MA: Wadsworth, 2012), chs. 4 – 8.

Ludwig Wittgenstein, TRACTATUS LOGICO-PHILOSOPHICUS, Ogden trans. (London, UK: Routledge ed, 1992)