8/3/2019 Craig J. Benham- Elastic model of supercoiling

1/5

P r o c . N a t l . A c a d . S c i . USAV o l . 7 4 , N o . 6 , p p . 2 3 9 7 - 2 4 0 1 , J u n e 1 9 7 7B i o p h y s i c s

E l a s t i c m o d e l o f s u p e r c o i l i n g( D N A / s u p e r h e l i c i t y / e l a s t i c i t y )

C R A I G J . BENHAM*D i v i s i o n o f B i o l o g y , C a l i f o r n i a I n s t i t u t e o f T e c h n o l o g y , P a s a d e n a , C a l i f o r n i a 9 1 1 2 5C o m m u n i c a t e d b y Max D e l b r u c k , M a r c h 2 5 , 1 9 7 7ABSTRACT A n e l a s t i c m o d e l f o r t h e s u p e r c o i l i n g o f d u p l e xDN A i s d e v e l o p e d . T h e s i m p l e s t a s s u m p t i o n s r e g a r d i n g t h ee l a s t i c p r o p e r t i e s o f d o u b l e - h e l i c a l DN A ( h o m o g e n e o u s , i s o -t r o p i c , o f c i r c u l a r c r o s s s e c t i o n , a n d r e m a i n i n g s t r a i g h t w h e nu n s t r e s s e d ) w i l l g e n e r a t e t w o o r d e r s o f s u p e r h e l i c i t y w h e ns t r e s s e d . R e c e n t e x p e r i m e n t a l r e s u l t s [ B r a d y , G . W . , F e i n , D . B .& B r u m b e r g e r , H . ( 1 9 7 6 ) N a t u r e 2 6 4 , 2 3 1 - 2 3 4 1 . s u g g e s t t h a t i ns u p e r c o i l e d DN A m o l e c u l e s t h e r e a r e r e g i o n s w h e r e t w o d i s t i n c to r d e r s o f s u p e r c o i l i n g a r i s e , a s p r e d i c t e d b y t h i s m o d e l .T h e r o l e o f e l a s t i c i t y i n s u p e r c o i l i n g o f DNA i s i n v e s t i g a t e d b ya s c r i b i n g t o t h e d o u b l e h e l i x t h e p r o p e r t i e s o f a h o m o g e n e o u s ,i s o t r o p i c e l a s t i c r o d . T h e u n s t r e s s e d m o l e c u l e h a s h e l i c a l t w i s to f o n e t u r n p e r t e n b a s e p a i r s . A s a n e l a s t i c o b j e c t , t h i s i d e a l i z e dm o l e c u l e r e s i s t s d e v i a t i o n s f r o m s t r a i g h t n e s s a n d f r o m i t s u n -s t r e s s e d t w i s t w i t h c e r t a i n b e n d i n g a n d t o r s i o n a l s t i f f n e s s e s .L i n e a r DN A w i t h f r e e e n d s m a y d e f o r m s o a s t o r e l i e v e i n -t e r n a l s t r e s s e s . I n i t s c o v a l e n t l y c l o s e d , c i r c u l a r f o r m , h o w e v e r ,t h e m o l e c u l e e x p e r i e n c e s t o r s i o n a l a n d b e n d i n g s t r e s s e s w h i c hc a n n o t b e r e l i e v e d w i t h o u t b r e a k i n g o n e o f t h e s t r a n d s ( n i c k i n g )( 2 ) . S t r e s s e s m a y b e v a r i e d b y e x t e r n a l c o n s t r a i n t s s u c h a s d y ei n t e r c a l a t i o n ( 3 ) .I f t h e s t r e s s e s i n v o l v e d a r e n o t t o o g r e a t , t h e m o l e c u l e m a yr e s p o n d a s a w h o l e b y d e f o r m i n g i n t o a n e q u i l i b r i u m s h a p e .( I n t h i s p a p e r " e q u i l i b r i u m " r e f e r s t o e l a s t i c , n o t t h e r m o d y -n a m i c , e q u i l i b r i u m . ) H o w e v e r , i f t h e s t r e s s e s a r e s u f f i c i e n t l y

l a r g e , t h e y m a y c a u s e l o c a l d e n a t u r a t i o n ( 4 , 5 ) . D i s r u p t i o n o ft h e d o u b l e h e l i x a l t e r s o r d e s t r o y s t h e e l a s t i c p r o p e r t i e s o f t h ed e n a t u r e d r e g i o n s , t h e r e b y p e r m i t t i n g t h e r e l i e f o f e x c e s s t o r -s i o n a l s t r e s s t h r o u g h w i n d i n g o r u n w i n d i n g . I n t h i s c a s e , t h er e g i o n s o f d o u b l e h e l i x b e t w e e n a d j a c e n t d e n a t u r e d p o r t i o n sd e f o r m i n t o e q u i l i b r i u m s h a p e s i n r e s p o n s e t o t h e s t r e s s e s i m -p o s e d o n t h e m .T h e e q u i l i b r i u m s h a p e s p o s s i b l e i n t h e s e s i t u a t i o n s m a y b ef o u n d f r o m K i r c h h o f f ' s t h e o r y o f l i n e a r e l a s t i c r o d s ( 6 ) . T h i sa l l o w s e x p l i c i t c a l c u l a t i o n o f s h a p e s a s d e s i r e d . I t a l s o p e r m i t sa s u g g e s t i v e v i s u a l i z a t i o n o f t h e p o s s i b l e s h a p e s t h r o u g h a r i g -o r o u s a n a l o g y b e t w e e n d e f o r m i n g r o d s a n d s p i n n i n g t o p s .I n s u m m a r y , i t i s f o u n d t h a t t h r e e e q u i l i b r i u m s h a p e s a r ep o s s i b l e . I f t h e s t r e s s e s a r e s u f f i c i e n t l y s m a l l , a s e c t i o n o f d o u b l eh e l i x m a y r e m a i n s t r a i g h t ( n e g l e c t i n g k i n e t i c e f f e c t s ) . I f t h es t r a i g h t s h a p e i s n o t p o s s i b l e , t h e n t h e d o u b l e h e l i c a l s e c t i o n so f t h e i d e a l i z e d m o l e c u l e ( w h i c h m a y b e t h e w h o l e m o l e c u l e )w i l l d e f o r m e i t h e r i n t o a ( s u p e r ) h e l i x ( a f i r s t o r d e r s u p e r c o i l )o r i n t o a s h a p e h a v i n g t w o o r d e r s o f s u p e r h e l i c i t y . D e f o r m a t i o ni n t o a ( s u p e r ) h e l i x r e q u i r e s v e r y p r e c i s e c o n d i t i o n s o n t h e i m -p o s e d l o a d s , a n d i s t h e r e b y u n l i k e l y t o o c c u r i n p r a c t i c e .R e c e n t e x p e r i m e n t a l e v i d e n c e ( 1 ) s u g g e s t s t h a t i n s u p e r c o i l e dDN A a r e f o u n d r e g i o n s e x h i b i t i n g t w o o r d e r s o f s u p e r h e l i c i t y ,a s p r e d i c t e d b y t h e t h e o r y . T h i s s u g g e s t s t h a t t h e e l a s t i c m o d e lm a y b e a d e q u a t e t o p r e d i c t s u p e r c o i l i n g i n D N A .

ELASTIC THEORYTwo c a s e s a r e c o n s i d e r e d h e r e - e l a s t i c d e f o r m a t i o n s o f c l o s e dr i n g s a n d o f l i n e a r r o d s . O n l y u n d e n a t u r e d r e g i o n s o f d o u b l eh e l i x a r e m o d e l e d a s e l a s t i c , w h i c h m a y b e e i t h e r t h e w h o l e r i n go r l i n e a r s e c t i o n s o f t h e r i n g . H o w e v e r , t h e t h e o r y o f d e f o r -m a t i o n o f a r o d w i t h f o r c e s a n d t o r q u e s o n i t s e n d s i n c l u d e s t h ec a s e o f a n e l a s t i c r i n g . T h a t i s , t h e r i n g a t e q u i l i b r i u m m a y b ec u t a t o n e c r o s s s e c t i o n , a n d a s y s t e m o f f o r c e s a p p l i e d t o t h ee n d s c r e a t e d . I f t h i s s y s t e m i s e q u a l t o t h a t b y w h i c h , i n t h eo r i g i n a l c l o s e d r i n g , e a c h s i d e o f t h i s c r o s s s e c t i o n a c t s o n t h eo t h e r , t h e n t h e e q u i l i b r i u m s h a p e s o f r o d a n d r i n g w i l l b ei d e n t i c a l .I n t h i s m o d e l t h e s t r e s s e s e x p e r i e n c e d b y t h e e l a s t i c r o d a r et r e a t e d a s f o l l o w s : C o n s i d e r t h e c r o s s s e c t i o n a t d i s t a n c e s o f r o mo n e e n d ( s = 0 ) . T h a t s i d e o f t h e c r o s s s e c t i o n w h e r e s < s , a c t so n t h e o t h e r s i d e ( s > s e , ) w i t h a s y s t e m o f f o r c e s t h a t i s r e s o l v -a b l e ( 7 , 8 ) i n t o a f o r c e N ( s 0 ) a n d a t o r q u e M ( s 0 ) . D o i n g t h i s a te a c h c r o s s s e c t i o n g i v e s ( v e c t o r - v a l u e d ) f u n c t i o n s N ( s ) , M ( s )d e s c r i b i n g t h e s t r e s s e s i n t h e r o d . ( N o t e t h a t i f o n e b e g i n s a t t h eo p p o s i t e e n d o f t h e r o d t h e f o r c e a n d t o r q u e f o u n d c h a n g e t h e i rs i g n . T h e t w o s i d e s o f a n y c r o s s s e c t i o n a c t o n e a c h o t h e r w i t he q u a l a n d o p p o s i t e s y s t e m s o f f o r c e s . )S o m e c h o i c e s o f N ( s ) a n d M ( s ) w i l l c a u s e a c c e l e r a t i o n o f t h er o d . O t h e r s c a u s e r o t a t i o n , w h i l e s t i l l o t h e r s g i v e r i s e t o d y n a m i cd e f o r m a t i o n s . M o s t c h o i c e s w i l l y i e l d a c o m b i n a t i o n o f a l l t h r e em o t i o n s . T h o s e s y s t e m s N ( s ) , M ( s ) t h a t o c c u r w h e n t h e r o d i si n a n e q u i l i b r i u m s h a p e m u s t s a t i s f y s p e c i a l c r i t e r i a , c a l l e d t h ee q u a t i o n s o f e q u i l i b r i u m ( 8 , 9 ) :

d N / d s + K ( S ) X N = 0dM/ds+K(s)XM + k(s)XN= 0 .

[ l a ][ l b ]

H e r e K ( S ) i s t h e c u r v a t u r e o f t h e r o d a n d k ( s ) i s t h e u n i t t a n g e n tv e c t o r t o t h e r o d ( i n t h e d i r e c t i o n o f i n c r e a s i n g s ) , b o t h e v a l u -a t e d a t e a c h d i s t a n c e s .E q s . l a a n d l b a b o v e a r e t w o f i r s t - o r d e r o r d i n a r y d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s d e s c r i b i n g t h o s e s y s t e m s N ( s ) a n d M ( s ) t h a t a r i s e a te q u i l i b r i u m . T o d e t e r m i n e a u n i q u e s o l u t i o n o n e m u s t s p e c i f yt h e f o r c e a n d t o r q u e t h a t a r i s e a t a s i n g l e c r o s s s e c t i o n , t a k e nh e r e t o b e M ( o ) a n d N ( o ) , t h e t o r q u e a n d f o r c e o n o n e e n d . F o re a c h s u c h c h o i c e t h e r e i s a s i n g l e e q u i l i b r i u m s y s t e m M ( s ) , N ( s )h a v i n g t h o s e v a l u e s f o r M ( o ) a n d N ( o ) .P h y s i c a l l y , t h i s m e a n s t h a t o n e m a y s p e c i f y t h e f o r c e a n dt o r q u e i m p o s e d o n o n e e n d o f t h e r o d a t w i l l . T h e s o l u t i o n o fE q s . l a a n d l b a b o v e u n i q u e l y d e t e r m i n e t h e f o r c e N ( s ) a n dt h e t o r q u e M ( s ) a c r o s s e v e r y o t h e r c r o s s s e c t i o n i f t h e r o d i s i ne q u i l i b r i u m u n d e r t h e s p e c i f i e d l o a d . I n p a r t i c u l a r , t h e f o r c ea n d t o r q u e t h a t m u s t b e i m p o s e d o n t h e o p p o s i t e e n d o f t h e r o df o r e q u i l i b r i u m t o o c c u r a r e s p e c i f i e d .T o d e s c r i b e t h e s h a p e o f t h e r o d w e i n t r o d u c e E u l e r ' s a n g l e s .T h e n l i n e a r e l a s t i c l a w s r e l a t i n g d e f o r m a t i o n s t o s t r e s s e s a r eu s e d t o f i n d t h r e e w e l l - k n o w n d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s , o n e f o r* P r e s e n t a d d r e s s : M a t h e m a t i c s D e p a r t m e n t , L a w r e n c e U n i v e r s i t y ,A p p l e t o n , WI 5 4 9 1 1 .

2 3 9 7

8/3/2019 Craig J. Benham- Elastic model of supercoiling

2/5

P r o c . N a t l . A c a d . S c i . USA 7 4 ( 1 9 7 7 )e n t i a l e q u a t i o n s f o r t h e E u l e r a n g l e s o f a s y m m e t r i c r o d a te q u i l i b r i u m :

Pp-p v c o s OA s i n 2 0C A s i n 2 0 c . . o s 0

[ 5 1[ 6 ]

F I G . 1 . T h e E u l e r a n g l e s 0 , p , , r e l a t i n g t h e f i x e d s p a c e a x e s X ,Y , Z t o t h e m o v i n g b o d y a x e s x , y , z .e a c h E u l e r a n g l e . S o l u t i o n o f t h e s e g i v e s t h e e q u i l i b r i u m s h a p eo f t h e r o d u n d e r t h e g i v e n l o a d s .A t e a c h d i s t a n c e s a l o n g t h e r o d a s y s t e m o f l o c a l , b o d yc o o r d i n a t e s x ( s ) , y ( s ) , z ( s ) i s c h o s e n s o t h a t t h e z ( s ) a x i s p o i n t st a n g e n t t o t h e r o d i n t h e d i r e c t i o n o f i n c r e a s i n g s w h i l e t h e x ( s )a n d y ( s ) a x e s a r e p r i n c i p a l a x e s o f t h e c r o s s s e c t i o n . A r e f e r e n c es e t o f s p a c e a x e s X , Y , Z i s f i x e d . T o c o m p a r e t h e o r i e n t a t i o n so f t h e b o d y a n d s p a c e c o o r d i n a t e s y s t e m s , E u l e r ' s a n g l e s 0 , X ,a r e u s e d , a s i n F i g . 1 . R o t a t i o n t h r o u g h t h e s e a n g l e s b r i n g st h e s p a c e a x e s i n t o a l i g n m e n t w i t h t h e b o d y a x e s . F o r a d e -f o r m e d r o d t h e o r i e n t a t i o n o f t h e l o c a l b o d y a x e s c h a n g e s a s t h er o d i s t r a n s v e r s e d , s o E u l e r ' s a n g l e s v a r y w i t h d i s t a n c e , 4 = ( s ) ,A = C ( s ) , 0 = 0 ( s ) .Two c r o s s s e c t i o n s o f t h e r o d s e p a r a t e d b y a n i n f i n i t e s i m a ld i s t a n c e A i s h a v e t h e i r b o d y a x e s i n f i n i t e s i m a l l y r o t a t e d b y av e c t o r A 4 . T h e v e c t o r c u r v a t u r e o f t h e r o d a t a n y p o i n t s i s

K ( S ) = l i m _ d 4 [ 2 ]a S - n o O s d sw h i c h h a s c o m p o n e n t s [ K X ( S ) , K Y ( s ) , i ( s ) ] = K ( S ) i n t h e x ( s ) , y ( s ) ,z ( s ) d i r e c t i o n s . H e r e K r ( S ) , K y ( s ) a r e t h e c u r v a t u r e s o f t h e r o di n t h e p r i n c i p a l d i r e c t i o n s a t d i s t a n c e s , w h i l e i ( s ) i s t h e r a t e o ft w i s t ( i . e . , r o t a t i o n a b o u t t h e t a n g e n t ) . T h e s e m a y b e e x p r e s s e di n t e r m s o f E u l e r ' s a n g l e s a s

K X = I s i n 0 s i n A + c o s i l ' [ 3 a ]K y = s i n 0 c o s A 1 - 0 s i n A,[3b]

T C = c o s 0+ . [ 3 c ]w h e r e t h e d o t s t a n d s f o r d i f f e r e n t i a t i o n w i t h r e s p e c t t o s i n t h el o c a l b o d y c o o r d i n a t e s .T h e e l a s t i c l a w s r e l a t i n g d e f o r m a t i o n s t o l o a d s a r e a s s u m e dt o b e l i n e a r :

M . ( s ) = AK ( s ) , M Y ( s ) = B K y ( S ) , M . ( S ) = C T ( S ) . [ 4 ]T h e c o n s t a n t s A , B a r e t h e b e n d i n g s t i f f n e s s e s i n t h e x , y d i r e c -t i o n s , w h i l e t h e t o r s i o n a l s t i f f n e s s i s C . I f t h e r o d b e n d s a s e a s i l yi n t h e x a n d t h e y d i r e c t i o n s , t h e n A = B a n d t h e r o d i s s y m -m e t r i c . I n t h i s c a s e o n e c a n s h o w t h a t t h e r a t e o f t w i s t T ( S ) i nt h e r o d d e f o r m e d t o e q u i l i b r i u m i s a c o n s t a n t , T ( s ) = T o .F r o m E q . l a i t f o l l o w s t h a t t h e v e c t o r s N ( s ) w h i c h o c c u r a te q u i l i b r i u m a r e c o n s t a n t i n m a g n i t u d e , I N I = N , a n d d i r e c t i o ni n s p a c e a t e v e r y c r o s s s e c t i o n . T h e f i x e d s p a c e Z a x i s i s c h o s e nt o p o i n t i n t h e d i r e c t i o n o f - N .F r o m E q s . 1 b , 3 , a n d 4 a n d t h e c o n d i t i o n o f s y m m e t r y ( A =B ) o n e c a n d e r i v e ( u s i n g a L a g r a n g i a n a n a l y s i s ) t h r e e d i f f e r -

( p O - p y . C o s 0 ) " 2 A 0 2 / 2\N c o s 0 + -2+ =(E- -) = E . [ 7 ]2A s i n 0 2 \2CH e r e p e , p , . a r e t h e g e n e r a l i z e d m o m e n t a c o n j u g a t e t o t h eg e n e r a l i z e d c o o r d i n a t e s q , , 6 . _ T h e y a r e c o n s t a n t s d e t e r m i n a b l ef r o m i n i t i a l c o n d i t i o n s , a s i s E .L e t t i n g u = c o s 0 t h e l a s t e q u a t i o n b e c o m e s

2 = 2= 2 - _ 2 ( p_ ( P o2 f ( u ) = - ( E - N u ) ( 1 -u 2 A1 2 p u 1 8 1T h e f u n c t i o n f ( u ) h a s t h r e e r e a l r o o t s - 1 _ u 2 c + 1 0 s o t h a t u i s n o t i m a g i n a r y . S o l u t i o n o f t h e s e e q u a t i o n sg i v e s t h e e q u i l i b r i u m s h a p e o f t h e r o d t h r o u g h E q . 3 . A u s e f u lv i s u a l i z a t i o n o f t h e p o s s i b l e e q u i l i b r i u m s h a p e s h a s b e e n f o u n db y K i r c h h o f f .T H E KINETIC ANA LOGY AND EQUILIBRIUMSHAPES

A f o r m a l l y p r e c i s e a n a l o g y , k n o w n a s K i r c h h o f f ' s t h e o r e m ( 6 ) ,e x i s t s b e t w e e n a r o d a t e q u i l i b r i u m u n d e r t h e i n f l u e n c e o f f o r c e sa p p l i e d t o i t s e n d s a n d a t o p s p i n n i n g a b o u t a f i x e d p o i n t . T h ee q u a t i o n s d e s c r i b i n g t h e s e t w o s i t u a t i o n s a r e i d e n t i c a l , s o a n ys o l u t i o n o f e i t h e r p r o b l e m a l s o s o l v e s i t s a n a l o g u e . I f t h e r o d h a ss y m m e t r y , t h e a n a l o g o u s t o p w i l l a l s o b e s y m m e t r i c , w i t h i t sc e n t e r o f m a s s a n d f i x e d p o i n t l y i n g o n a p r i n c i p a l a x i s . I n t h i ss i t u a t i o n a n e x a c t s o l u t i o n t o t h e e q u a t i o n s f o r t h e m o t i o n o f at o p h a s b e e n f o u n d ( 1 0 , 1 1 ) . B y K i r c h h o f f ' s t h e o r e m , t h i s s o l v e st h e s y m m e t r i c r o d .T o m a k e t h e a n a l o g y p r e c i s e , c o n s i d e r a s y m m e t r i c s p i n n i n gt o p . A t i t s f i x e d p o i n t i t h a s t h r e e p r i n c i p a l ( b o d y ) a x e s w h i c hm o v e w i t h i t . T h e b o d y z - a x i s p a s s e s t h r o u g h t h e f i x e d p o i n ta n d t h e c e n t e r o f m a s s . F i x e d s p a c e a x e s a r e c h o s e n s o t h a t t h es p a c e Z a x i s p o i n t s o p p o s i t e t o M g , t h e f o r c e o f g r a v i t y o n t h et o p . T h e r e l a t i o n s h i p o f b o d y a x e s t o s p a c e a x e s i s g i v e n b yE u l e r ' s a n g l e s , a s b e f o r e . I n p a r t i c u l a r , 0 i s t h e a n g l e b e t w e e nt h e b o d y z a x i s a n d t h e v e r t i c a l . A s t h e t o p s p i n s , t h e b o d y a x e sa r e c a r r i e d a l o n g s o t h a t E u l e r ' s a n g l e s c h a n g e w i t h t i m e .K i r c h h o f f ( 6 ) n o t e d t h a t t h e d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s d e s c r i b i n gt h e m o t i o n o f t h e t o p i n t e r m s o f E u l e r ' s a n g l e s a r e f o r m a l l yi d e n t i c a l w i t h t h o s e f o r t h e e q u i l i b r i u m s h a p e o f a r o d . W i t ht h e a p p r o p r i a t e i n t e r p r e t a t i o n o f t h e v a r i a b l e s g i v e n i n T a b l e1 , E q s . 5 , 6 , a n d 8 a r e f o u n d t o a p p l y t o b o t h c a s e s .A n e a s y w a y t o v i s u a l i z e t h e K i r c h h o f f a n a l o g y i s t o i m a g i n et h a t o n e t r a v e r s e s t h e r o d a t u n i t s p e e d . A s o n e t r a v e l s , t h e r o d ' sb o d y a x e s a p p e a r t o r o t a t e r e l a t i v e t o t h e s p a c e a x e s . T h i s m o -t i o n i s i d e n t i c a l t o t h e m o t i o n o f t h e a x e s e m b e d d e d i n a s p i n -n i n g t o p w h o s e m o m e n t s o f i n e r t i a , m a s s , e t c . , a r e g i v e n b y t h ec o r r e s p o n d e n c e s h o w n i n T a b l e 1 .I n 1 8 1 1 , L a g r a n g e ( 1 0 ) s h o w e d t h a t t h e e q u a t i o n s o f t h es y m m e t r i c t o p a r e i n t e g r a b l e . T h e s o l u t i o n i n v o l v e s e l l i p t i cf u n c t i o n s a n d m a y b e f o u n d , f o r i n s t a n c e , i n r e f 1 1 . B y K i r c h -h o f f ' s t h e o r e m , t h i s g i v e s a s o l u t i o n t o t h e a n a l o g o u s p r o b l e mo f a s y m m e t r i c r o d s u b j e c t e d t o f o r c e s a n d c o u p l e s o n i t se n d s .I n g e n e r a l , t h r e e t y p e s o f m o t i o n o f a s y m m e t r i c t o p a r ep o s s i b l e . F i r s t , i t m a y s p i n a b o u t i t s z - a x i s w h i l e r e m a i n i n gv e r t i c a l ( 0 = 0 ) . S e c o n d , i t m a y p r e c e s s u n i f o r m l y a t a c o n s t a n t

2 3 9 8 B i o p h y s i c s : B e n h a mz

8/3/2019 Craig J. Benham- Elastic model of supercoiling

3/5

P r o c . N a t l . A c a d . S c i . USA 7 4 ( 1 9 7 7 ) 2 3 9 9T a b l e 1 . A n a l o g o u s v a r i a b l e s f o r r o d a n d t o p ;

V a r i a b l e R o d T o ps D i s t a n c e T i m e tA , B , C S t i f f n e s s e s ( I t , I y a , I I , )M o m e n t s o f i n e r t i aX C u r v a t u r e W , A n g u l a r v e l o c i t y( K , , K , . , T ) C u r v a t u r e ( a x W Y P w z )c o m p o n e n t s C o m p o n e n t s o f w- N ( N e g a t i v e o f ) s t r e s s m g , f o r c e o f g r a v i t yr e s u l t a n t ( c o n - ( C o n s t a n t a t a l l t )s t a n t a t a l l s )p 4 , , p C o n j u g a t e m o m e n t a C o n j u g a t e m o m e n t aM T o r q u e A n g u l a r momentum L

a n g l e 0 # 0 . F i n a l l y , a s i t p r e c e s s e s i t m a y a l s o n u t a t e ( b o tt w e e n t w o v a l u e s o f 0 ) . T h e s e c o r r e s p o n d t o t h e a n a l o g o u sr e m a i n i n g s t r a i g h t o r d e f o r m i n g i n t o a h e l i x o f p i t c h a n g l e- 0 ( a f i r s t - o r d e r s u p e r c o i l ) o r d e f o r m i n g i n t o t w o o r d e is u p e r c o i l s . T h e s e s h a p e s m a y b e v i s u a l i z e d a s i n F i g . 2p l o t t i n g o n a u n i t s p h e r e t h e t a n g e n t d i r e c t i o n o f t h e r o d . I fr o d r e m a i n s s t r a i g h t , t h i s d i r e c t i o n d o e s n o t c h a n g e . D em a t i o n i n t o a h e l i x c a u s e s t h e t a n g e n t t o d e s c r i b e a c i r c l e zF i g . 2 B . A r o d d e f o r m e d i n t o t w o o r d e r s o f s u p e r c o i l s ( a t o pp r e c e s s e s a n d n u t a t e s ) g i v e s r i s e t o m o t i o n s o f i t s t a n g e n t sa s t h o s e s h o w n i n F i g . 2 C a n d D .F o r a r o d o f l e n g t h I a t e q u i l i b r i u m , o n o n e e n d o f w h i (i m p o s e d a f o r c e N ( 0 ) a n d a t o r q u e M ( 0 ) t h a t a r e c o a x i a l ,s t r a i g h t c o n f o r m a t i o n i s a l w a y s a n e q u i l i b r i u m s h a p eH o w e v e r , o n l y w h e n1 2 M2 N1- +1 2 4A 2 A

A B

C DF I G . 2 . T h e m o t i o n o f t h e b o d y z - a x i s p l o t t e d o n a u n i t s p h e r ef o r v a r i o u s d e f o r m e d s h a p e s . ( A ) T h e r o d r e m a i n s s t r a i g h t . ( B ) T h em o t i o n t h a t o c c u r s w h e n t h e r o d d e f o r m s i n t o t h e h e l i x . T h e a n a l o g o u st o p p r e c e s s e s u n i f o r m l y . ( C a n d D ) Tw o p o s s i b l e s e c o n d - o r d e r s u -p e r c o i l s , w h i c h c o r r e s p o n d t o a t o p b o t h p r e c e s s i n g a n d n u t a t i n g . I n( C ) t h e E u l e r a n g l e 0 i n c r e a s e s u n i f o r m l y w h i l e i n ( D ) i t c h a n g e s s i g ni n e a c h n u t a t i o n c y c l e .

: ) b e -s r o d' 9 0 ,r s o f2 b yf t h ef o r -a s i nt h a tu c h

2 h i s, t h e1 2 ) .

F I G . 3 . P o s s i b l e s h a p e s o f a n e l a s t i c m o l e c u l e . T h e l i n e p l o t t e di s t h e a x i s o f t h e d o u b l e h e l i x . ( A ) A l i n e a r s e c t i o n d e f o r m s i n t o t w oo r d e r s o f s u p e r c o i l s , a s c o u l d o c c u r t h r o u g h d y e i n t e r c a l a t i o n . ( B ) At o r o i d a l s u p e r h e l i x , o n e p o s s i b l e s h a p e f o r a c o v a l e n t l y c l o s e d r i n g .i s t h e s t r a i g h t s h a p e s t a b l e . F o r v a l u e s o f M , N t h a t d o n o t s a t i s f yE q . 9 t h e s t a b l e s h a p e w i l l h a v e e i t h e r o n e o r t w o o r d e r s o f s u -p e r c o i l i n g .

S u p p o s e n o w t h a t t h e a p p l i e d t o r q u e M ( O ) i s t a n g e n t i a l , M ( O )= M k ( O ) , a n d t h e a n g l e b e t w e e n M ( O ) a n d N ( O ) i s 0 . T h e nc o s 0 0 = U , = U 2 < 1 g i v e s t h e u p p e r l i m i t o f t h e p h y s i c a l r a n g eo f t h e v a r i a b l e u . T h e c i r c l e u = U 2 = u t i s t h e u p p e r b o u n d o nt h e a n a l o g o u s n u t a t i o n i n F i g . 2 C a n d D . T h e o t h e r t w o r o o t so f E q . 8 s a t i s f y2 N A2(1-,2)

[ 9 ] T h e r o d f o r m s a h e l i x p r e c i s e l y w h e n u = U 2 = U o . From t h ea b o v e e q u a t i o n t h i s o c c u r s w h e n u l = U 2 = 1 s o t h e r o d r e -m a i n s s t r a i g h t . T h e r e f o r e , w h e n t h e i n i t i a l t o r q u e i s t a n g e n t i a la n d t h e r o d i s n o t s t r a i g h t , i t s e q u i l i b r i u m s h a p e m u s t h a v e t w oo r d e r s o f s u p e r c o i l i n g ( F i g . 3 A ) , c a l l e d h e r e t h e p r e c e s s i o n a la n d n u t a t i o n a l o r d e r s .I f t h e s t r a i g h t c o n f o r m a t i o n i s n o t s t a b l e a n d t h e i n i t i a l t o r q u ei s n o t t a n g e n t i a l , t h e n a p u r e h e l i x c a n a r i s e o f p i t c h a n g l e 9 0 0- 0 0 a n d e i t h e r o f t w o p o s s i b l e r a d i i . T h e a n a l o g o u s t o pu n d e r g o e s e i t h e r a s l o w o r a f a s t p r e c e s s i o n , w h i c h may b es h o w n t o b e i n t h e same d i r e c t i o n a s t h e t w i s t T ( 1 3 ) .D e f o r m a t i o n i n t o a h e l i x ( a n a l o g o u s t o u n i f o r m p r e c e s s i o n )o c c u r s o n l y i n t h e e x c e p t i o n a l s i t u a t i o n w h e r e t h e t w o s m a l l e s tr o o t s o f f ( u ) i n E q . 8 c o i n c i d e , u I = u 2 . I n g e n e r a l , 0 ( a n d h e n c eu a n d t h e p i t c h a n g l e 9 0 0 - 0 ) w i l l v a r y b e t w e e n t h e l i m i t s 0 1a n d 0 2 w h e r e 0 = 0 . T h e p r e c e s s i o n a n g l e 0 s a t i s f i e s E q . 5 . I f t h en u m e r a t o r o f t h i s e q u a t i o n i s n e v e r z e r o w i t h i n t h e p h y s i c a lr a n g e u I < u < u 2 , t h e n X a l w a y s m o v e s i n o n e d i r e c t i o n , a si n F i g . 2 C . I f u l < p , / p V , < u 2 , t h e n k c h a n g e s s i g n w h e n e v e ru = p o / p v . ( F i g . 2 D ) . I f p O I / p 4 = u 2 ( a s h a p p e n s w h e n t h e a p -

p l i e d t o r q u e i s t a n g e n t i a l ) , t h e r e i s a c u s p o f t h e m o t i o n on t h eu p p e r c i r c l e . A s t h e t a n g e n t i a l c o m p o n e n t M , o f t h e a p p l i e dt o r q u e i n c r e a s e s ( o t h e r t h i n g s r e m a i n i n g e q u a l ) t h e t w o c i r c l e su = u I a n d u = u 2 m o v e c l o s e r t o g e t h e r . T h e n u t a t i o n a l s u -p e r c o i l s b e c o m e i n c o n s p i c u o u s , s o t h e s h a p e a p p r o x i m a t e s ah e l i x o f r a d i u sC T - C T u 02N 2 E [ 1 0 ]

APPLICATIONS T O SUPERCOILINGI n t h i s s e c t i o n t h e r e s u l t s d e v e l o p e d f o r t h e e q u i l i b r i u m s h a p e so f t h i n e l a s t i c r o d s s u b j e c t t o s t r e s s e s a r e a p p l i e d t o s u p e r c o i l i n g

:=M., IL

B i o p h y s i c s : B e n h a m

A

B

8/3/2019 Craig J. Benham- Elastic model of supercoiling

4/5

P r o c . N a t l . A c a d . S c i . USA 7 4 ( 1 9 7 7 )o f D N A . F i r s t , a m o l e c u l a r o r i g i n f o r t h e s t r e s s e s i s p r o p o s e d .T h e n t h e e q u i l i b r i u m s h a p e s p o s s i b l e u n d e r g i v e n s t r e s s e s a r ed e s c r i b e d u s i n g t h e r e s u l t s o f t h e l a s t s e c t i o n . L o c a l d e n a t u r a t i o n( a n d p o s s i b l e k i n k i n g ) a r e m o d e l e d a s t h e b r e a k d o w n o f t h ee l a s t i c l a w s u n d e r h i g h s t r e s s e s . I n t h e s e c a s e s t h e e l a s t i c a n a l y s i sc a n b e a p p l i e d o n l y t o r e g i o n s o f d o u b l e h e l i x . I n t h i s w a y , t h et h e o r y i n c l u d e s d e f o r m a t i o n o f l i n e a r , r o d l i k e e l a s t i c p i e c e s o fd o u b l e h e l i x a s w e l l a s o f c o m p l e t e , c l o s e d r i n g s .

I n i t s c o v a l e n t l y c l o s e d , c i r c u l a r f o r m a m o l e c u l e o f d u p l e xDNA h a s l i n k i n g n u m b e r L k ( 1 4 , 1 5 ) , a n i n t e g e r m e a s u r i n g t h en u m b e r o f t i m e s o n e s t r a n d l i n k s t h r o u g h t h e o t h e r . T h i s L kc a n n o t c h a n g e u n l e s s a s t r a n d i s b r o k e n ( n i c k e d ) , s o i t i s f i x e dw h e n t h e s t r a n d s c l o s e . I f t h e h e l i x i s w o u n d w i t h o u t c o n s t r a i n t ,b e f o r e c l o s i n g i t w i l l h a v e e q u i l i b r i u m t w i s t T = T , . W h e nc o v a l e n t l y c l o s e d i n t o a c i r c l e i t s l i n k i n g n u m b e r i s L k = T =T 0 .I t m a y h a p p e n t h a t t h e h e l i x i s u n d e r - o r o v e r - t w i s t e d a t t h et i m e o f c o v a l e n t c l o s u r e , T # T o . ( N o t e t h a t t h e t o t a l t w i s t Ti s r e l a t e d t o T b y 2 - r ( T - T O ) = S T d s . ) T h e t w i s t a l s o m a y b ec h a n g e d b y e x t e r n a l c o n s t r a i n t s ( s u c h a s d y e i n t e r c a l a t i o n ) a f t e rc l o s u r e . T h e d e f i c i e n c y o r e x c e s s t h a t a r i s e s d u e t o e i t h e r o f t h e s ec a u s e s i s e x p r e s s e d a s t h e w r i t h i n g n u m b e r Wr ( 1 4 , 1 5 ) o f t h em o l e c u l e . T h u s ,L k = Wr + T . [

T h i s q u a n t i t y Wr d e p e n d s o n l y o n t h e s h a p e o f t h e a x i s o f t h ed o u b l e h e l i x . A s t h e m o l e c u l e b e n d s , Wr m a y v a r y c o n t i n u o u s l y( 1 4 , 1 5 ) . H o w e v e r , L k i s a t o p o l o g i c a l i n v a r i a n t , w h i c h c a n n o tc h a n g e u n l e s s t h e m o l e c u l e i s n i c k e d . T h u s , c h a n g e s i n s h a p ew i l l c a u s e c o m p e n s a t i n g c h a n g e s i n t h e t o t a l t w i s t T s o a s t ol e a v e L k i n v a r i a n t .I n c o v a l e n t l y c l o s e d m o l e c u l e s e l a s t i c s t r e s s e s m a y a r i s e w h i c hc a n n o t b e r e l i e v e d w i t h o u t c h a n g i n g L k . A s a n e x a m p l e , am o l e c u l e t h a t i s u n d e r w o u n d a t t h e t i m e o f c o v a l e n t c l o s u r e w i l le x p e r i e n c e e l a s t i c s t r e s s e s t r y i n g t o t w i s t i t u p t o t h e e q u i l i b r i u mv a l u e T , I t c a n t w i s t o n l y a t t h e e x p e n s e o f c h a n g i n g W r , t h a ti s , o f b e n d i n g ( E q . 1 1 ) . B u t b e n d i n g c a u s e s e l a s t i c r e s t o r i n gs t r e s s e s a l s o . T h u s , t h e m o l e c u l e s e t t l e s i n t o a n e q u i l i b r i u mc o n f o r m a t i o n b a l a n c i n g i t s t o r s i o n a l a n d b e n d i n g s t r e s s e s .P r e c i s e l y h o w t h e s t r e s s e s a r e p a r t i t i o n e d w i l l d e p e n d u p o n t h er a t i o A / C o f e l a s t i c c o n s t a n t s .C h a n g i n g t h e l i n k i n g n u m b e r L k c a u s e s c o m p e n s a t i n gc h a n g e s i n T a n d Wr ( a n d h e n c e i n e q u i l i b r i u m s h a p e ) i n a c -c o r d a n c e w i t h E q . 1 1 . U s i n g g e l e l e c t r o p h o r e s i s , m o l e c u l e s o fd i f f e r e n t L k m a y b e s e p a r a t e d ( 1 6 , 1 7 ) .T h e l o c a l t w i s t T m a y b e v a r i e d b y e x t e r n a l c o n s t r a i n t s s u c ha s d y e i n t e r c a l a t i o n . I t i s k n o w n t h a t t h e i n t e r c a l a t i o n o fe t h i d i u m b r o m i d e u n t w i s t s ( 1 8 ) t h e s i t e o f b i n d i n g b y 2 6 0 . T h er e g i o n s b e t w e e n b i n d i n g s i t e s , a s e l a s t i c o b j e c t s , w i l l r e s i s t ac o m p e n s a t i n g t w i s t i n g . T h u s , d y e b i n d i n g c a u s e s c h a n g e s b o t hi n t h e t o t a l t w i s t T a n d i n t h e w r i t h i n g n u m b e r Wr ( i . e . , t h es h a p e o f t h e m o l e c u l e ) .

I n o u r m o d e l t h e u n t w i s t i n g c a u s e d b y d y e i n t e r c a l a t i o nc o r r e s p o n d s t o t h e c a s e o f t a n g e n t i a l a p p l i e d t o r q u e o n t h e r o d .T h e e l a s t i c t h e o r y m a k e s t w o p r e d i c t i o n s i n t h i s c a s e . F i r s t , a ne l a s t i c r o d d e f o r m i n g u n d e r a t a n g e n t i a l t o r q u e a l w a y s e x h i b i t st w o o r d e r s o f s u p e r c o i l i n g ( s e e F i g . 3 A ) . S e c o n d , a s t h e t o r q u ei s i n c r e a s e d ( i . e . , a s m o r e d y e i s b o u n d ) , t h i s s h a p e a p p r o x i m a t e sa h e l i x .O n e c a n a l s o p r e d i c t s h a p e s o f c l o s e d r i n g s ( i n t h e a b s e n c eo f l o c a l d e n a t u r a t i o n ) . A n e c e s s a r y ( b u t n o t s u f f i c i e n t ) c o n d i t i o nf o r r i n g c l o s u r e i s t h a t t h e c u r v e o f t a n g e n t s o f F i g . 2 b e c l o s e d .I f t h i s c u r v e a l s o c r o s s e s e v e r y g r e a t c i r c l e , t h e n t h e r e i s ac l o s e d - r i n g s h a p e w i t h t h i s c u r v e a s i t s c u r v e o f t a n g e n t s ( 1 9 ) .O n e p o s s i b l e s h a p e f o r a c l o s e d m o l e c u l e i s a t o r o i d a l h e l i x , a s

i n F i g . 3 B . T h i s a r i s e s w h e n u 1 = - u 2 a n d t h e r e a r e m 4 u p e r -c o i l s i n o n e t r i p a r o u n d t h e r i n g .S u f f i c i e n t l y l a r g e e l a s t i c s t r e s s e s m a y c a u s e l o c a l d e n a t u r a t i o n( a n d p e r h a p s a l s o k i n k i n g ) o f t h e m o l e c u l e ( 4 , 5 ) . T h e d i s r u p t i o no f t h e d o u b l e h e l i x a l t e r s o r d e s t r o y s t h e e l a s t i c p r o p e r t i e s o f t h er e g i o n s i n v o l v e d . T h e d e n a t u r e d r e g i o n s c o u l d t a k e u p e x c e s s i v e( o r d e f i c i e n t ) t w i s t ( 3 ) b y a d i s o r g a n i z e d w i n d i n g , t h e r e b y r e -l i e v i n g ( a t l e a s t p a r t i a l l y ) t h e e x c e s s s t r e s s e s o n t h e d o u b l e - h e l i c a lp o r t i o n s . I n t h e s i m p l e s t c a s e t h e r e c o u l d b e a t h r e s h o l d t w i s tr a t e r b e y o n d w h i c h a l l f u r t h e r s t r e s s e s g o i n t o d e n a t u r a t i o n .

DISCUSSION A N D CONCLUSIONST h e e l a s t i c m o d e l o f s u p e r c o i l i n g p r e s e n t e d r e s t s u p o n t h e a s -s u m p t i o n t h a t d o u b l e - h e l i c a l DNA h a s t h e e l a s t i c p r o p e r t i e so f a h o m o g e n e o u s , i s o t r o p i c , s y m m e t r i c a l r o d . T h e t h e o r ym a k e s q u a l i t a t i v e p r e d i c t i o n s o f e q u i l i b r i u m s h a p e s i n v o l v i n gt w o o r d e r s o f s u p e r c o i l i n g . R e c e n t e x p e r i m e n t a l e v i d e n c e ( 1 )s u g g e s t s t h a t n a t i v e c l o s e d , c i r c u l a r PM2 v i r a l DNA e x h i b i t sr e g i o n s w i t h t w o o r d e r s o f s u p e r c o i l i n g , a s w o u l d a r i s e f r o m t h ea b o v e e l a s t i c p r o p e r t i e s .B e f o r e q u a n t i t a t i v e p r e d i c t i o n s o f s h a p e a r e p o s s i b l e , t h eb e n d i n g - s t i f f n e s s A a n d t o r s i o n a l s t i f f n e s s C o f DNA m u s t b ee v a l u a t e d . A n e x p e r i m e n t a l d e t e r m i n a t i o n o f a n e f f e c t i v eb e n d i n g s t i f f n e s s o f l i n e a r DNA h a s b e e n m a d e f r o m s e d i -m e n t a t i o n d a t a ( 2 0 ) . I t m a y b e p o s s i b l e t o d e t e r m i n e t h e t o r -s i o n a l s t i f f n e s s C f r o m e x i s t i n g d a t a o n t h e f r e e e n e r g y o f s u -p e r c o i l i n g ( 1 6 , 2 1 ) . T h e p r e s e n t t h e o r y a l s o s u g g e s t s m e t h o d sf o r e v a l u a t i n g C e i t h e r f r o m E q . 9 f o r t h e o n s e t o f s u p e r c o i l i n go r f r o m E q . 1 0 f o r t h e s h a p e a t l a r g e t w i s t ( a s s u m i n g n o d e n a -t u r a t i o n ) .T h i s m o d e l a s s u m e s t h e s i m p l e s t e l a s t i c p r o p e r t i e s . T h es y m m e t r y c o n d i t i o n i s t h a t t h e b e n d i n g s t i f f n e s s e s i n t h e t w op r i n c i p a l d i r e c t i o n s a r e e q u a l , A = B . T h i s m a y n o t b e s t r i c t l yc o r r e c t o n t h e s c a l e o f t h e d o u b l e h e l i x . N e v e r t h e l e s s , i t i s ar e a s o n a b l e a p p r o x i m a t i o n i f t h e b e n d s i n v o l v e d i n s u p e r c o i l i n ga r e s p r e a d o v e r s e v e r a l t u r n s o f t h e d o u b l e h e l i x ( a s i s s u g g e s t e db y t h e x - r a y d a t a o f r e f . 1 ) . T h e p r e s e n t m o d e l i s b e i n g r e f i n e dt o i n c l u d e p o s s i b l e a s y m m e t r i e s , a s w e l l a s s h e a r a n d d e f o r -m a t i o n o f t h e c r o s s s e c t i o n .A n i m p o r t a n t a s s u m p t i o n i m p l i c i t i n t h e p r e s e n t t h e o r y i s t h ea b s e n c e o f c r o s s i n g f o r c e s . T h e s e a r i s e w h e n t h e m o l e c u l e t r i e st o c r o s s i t s e l f i n g e t t i n g t o i t s e q u i l i b r i u m s h a p e . T h e m o l e c u l ei s b a r r e d f r o m e q u i l i b r i u m , a n d s e t t l e s i n s t e a d i n t o a m e t a s t a b l es t a t e . I n a k i n e t i c e n v i r o n m e n t i t m a y e v e n t u a l l y r e a c h e q u i -l i b r i u m i n s p i t e o f c r o s s i n g f o r c e s .T h e i o n i c a n d s o l v e n t i n f l u e n c e s o n t h e DN A c o u l d b e s u b -s u m e d i n t o t h e e f f e c t i v e e l a s t i c p r o p e r t i e s , b u t k i n e t i c a n ds t a t i s t i c a l e f f e c t s m u s t b e i n v e s t i g a t e d s e p a r a t e l y . L a n d a u a n dL i f s h i t z ( 2 2 ) a n d o t h e r s h a v e d e v e l o p e d t h e s t a t i s t i c s o f l o n g -c h a i n , l i n e a r e l a s t i c p o l y m e r s . H o w e v e r , u n c o n s t r a i n e d l i n e a rm o l e c u l e s c a n r e l i e v e s t r e s s e s b y b e n d i n g a n d t w i s t i n g f r e e l y .T h e s i t u a t i o n i s d i f f e r e n t f o r a c o v a l e n t l y c l o s e d m o l e c u l e , f o rn o w t h e m o l e c u l e c a n n o t b e n d a n d t w i s t - t o r e l i e v e s t r e s s e s . ( A l s ot h e e n t r o p i c c o n t r i b u t i o n i s s m a l l e r d u e t o t h e i d e n t i f i e d e n d s . )I t i s c o n s t r a i n e d t o s h a p e s t h a t s a t i s f y E q . 1 1 . T h e e f f e c t s o fc l o s u r e ( t h r o u g h t h e l i n k i n g n u m b e r L k ) c a n i m p o s e a h i g h l yo r g a n i z e d g l o b a l s t r u c t u r e o n t h e m o l e c u l e .F i n a l l y , a c a r e f u l a n a l y s i s o f t h e r o l e o f l o c a l d e n a t u r a t i o ni n s u p e r c o i l i n g i s n e e d e d .T h e c o n c l u s i o n s o f t h e p r e s e n t a n a l y s i s w h e n t a k e n i n c o n -j u n c t i o n w i t h t h e e x p e r i m e n t a l r e s u l t s o f B r a d y e t a l . ( 1 ) s u g g e s tt h a t e l a s t i c p r o p e r t i e s c a n a c c o u n t f o r s u p e r c o i l i n g , a n d t h a ts t u d i e s o f s u p e r c o i l i n g , i n t u r n , m a y p e r m i t d e t e r m i n a t i o n o ft h e e l a s t i c c o n s t a n t s o f DNA.

2 4 0 0 B i o p h y s i c s : B e n h a m

8/3/2019 Craig J. Benham- Elastic model of supercoiling

5/5

P r o c . N a t l . A c a d . S c i . U S A 7 4 ( 1 9 7 7 ) 2 4 0 1T h e c o s t s o f p u b l i c a t i o n o f t h i s a r t i c l e w e r e d e f r a y e d i n pat'bythe

payment o f page c h a r g e s f r o m f u n d s m a d e a v a i l a b l e t o s u p p o r t t h er e s e a r c h w h i c h i s t h e s u b j e c t o f t h e a r t i c l e . T h i s a r t i c l e m u s t t h e r e f o r eb e h e r e b y m a r k e d " a d v e r t i s e m e n t " i n a c c o r d a n c e w i t h 1 8 U . S . C . 1 7 3 4 s o l e l y t o i n d i c a t e t h i s f a c t .1 . B r a d y , G . W . , F e i n , D . B . & B r u m b e r g e r , H . ( 1 9 7 6 ) N a t u r e 2 6 4 ,2 3 1 - 2 3 4 .

2 . B a u e r , W . & V i n o g r a d , J . ( 1 9 6 8 ) J . M o l . B i o l . 3 3 , 1 4 1 - 1 7 1 .3 . W a n g , J . C . ( 1 9 6 9 ) J . M o l . B i o l . 4 3 , 2 5 - 3 9 .4 . D e a n , W . W . & L e b o w i t z , J . ( 1 9 7 1 ) N a t u r e Ne w B i o l . 2 3 1 ,5 - 8 .5 . B e e r m a n , T . A . & L e b o w i t z , J . ( 1 9 7 3 ) J . M o l . B i o l . 7 9 , 4 5 1 -4 7 0 .6 . K i r c h h o f f , G . ( 1 8 5 9 ) J . F . M a t h ( C r e l l e ) 5 0 , 2 8 5 - 3 1 3 .7 . S y m o n , K . R . ( 1 9 6 0 ) M e c h a n i c s ( A d d i s o n - W e s l e y , R e a d i n g , M A ) ,2 n d e d . , pp. 2 2 8 - 2 2 9 , 4 6 1 - 4 6 8 .8 . L o v e , A . E . H . ( 1 9 2 7 ) A T r e a t i s e o n t h e M a t h e m a t i c a l T h e o r yo f E l a s t i c i t y ( D o v e r , New Y o r k ) , 4 t h e d .9 . L a n d a u , L . D . & L i f s h i t z , E . M . ( 1 9 5 9 ) T h e o r y o f E l a s t i c i t y( A d d i s o n - W e s l e y , R e a d i n g , M A ) , pp. 7 9 - 8 5 .

1 0 > - L a g r a n g e , J . L . ( 1 8 1 1 - 1 8 1 5 ) M e c a n i q u e A n a l y t i q u e , r e v i s e de d .1 1 . M a c M i l l a n , W . D . ( 1 9 3 6 ) D y n a m i c s o f R i g i d B o d i e s ( D o v e r , NewY o r k ) , p p . 2 1 6 - 2 5 6 .1 2 . G r e e n h i l l , A . G . ( 1 8 8 3 ) J . I n s t . M e c h . E n g . L o n d o n , 1 8 2 - 2 2 5 .1 3 . H a d a m a r d , J . ( 1 8 9 5 ) B u l l . S c i . M a t h . , 2 S e r . 1 9 , 2 2 8 - 2 3 0 .1 4 . F u l l e r , F . B . ( 1 9 7 1 ) P r o c . N a t l . A c a d . S c i . USA 6 8 , 8 1 5 - 8 1 9 .1 5 . C r i c k , F . H . C . ( 1 9 7 6 ) P r o c . N a t l . A c a d . S c i . USA 7 3 , 2 6 3 9 -2 6 4 3 .1 6 . D e p e w , R . E . & W a n g , J C . ( 1 9 7 5 ) P r o c . N a t l . A c a d . S c i . U SA7 2 , 4 2 7 5 - 4 2 7 9 .1 7 . B a u e r , W . & V i n o g r a d , J . ( 1 9 7 4 ) i n B a s i c P r i n c i p l e s i n N u c l e i cA c i d C h e m i s t r y , e d . T ' s o , P . ( A c a d e m i c P r e s s , Ne w Y o r k ) , pp.2 6 5 - 3 0 3 .1 8 . S o b e l l , H . M . , T s a i , C . , G i l b e r t , S . , J a i n , S . & S a k o r e , T . D . ( 1 9 7 6 )P r o c . N a t l . A c a d . S c i . USA 7 3 , 3 0 6 8 - 3 0 7 2 .1 9 . V i g o d s k y , M . ( 1 9 4 5 ) M a t h . S b o r n i k 1 6 , 7 3 - 8 0 .2 0 . G r a y , H . B . & H e a r s t , J . ( 1 9 6 8 ) J . M o l . B i o l . 3 5 , 1 1 1 - 1 2 9 .2 1 . P u l l e y b l a n k , D . E . , S h u r e , M . , T a n g , D . , V i n o g r a d , J . & V o s b e r g ,H . P . ( 1 9 7 5 ) P r o c . N a t l . A c a d . S c i . US A 7 2 , 4 2 8 0 - 4 2 8 4 .2 2 . L a n d a u , L . D . & L i f s h i t z , E . M . ( 1 9 5 8 ) S t a t i s t i c a l P h y s i c s ( A d -d i s o n - W e s l e y , R e a d i n g , M A ) , p p . 4 8 7 - 4 8 2 .

B i o p h y s i c s : B e n h a m