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Cours #6Critre de stabilit de Routh (2ime partie): Cas spciauxChoix dun gain proportionnel K laide du critre de Routh-HurwitzConception de contrleurs PID laide du lieux des racinesContrleurs de type proportionnelContrleurs de type proportionnel driv et avance de phaseRetour sur le cours #5: Exercices concernant le lieux des racines (issus des examens de pratique)*Jean-Philippe Roberge - Fvrier 2011

Jean-Philippe Roberge - Fvrier 2011

Cours #6

Critre de Routh-Hurwitz (I)Lors du cours prcdent, nous avions vu que le critre de Routh-Hurwitz est un outil pratique qui permet de conclure sur la stabilit dun systme dordre quelconque.Nous avions introduit cette matire en prsentant la table de Routh-Hurwitz:*Jean-Philippe Roberge - Fvrier 2011


Critre de Routh-Hurwitz (II)O:*Jean-Philippe Roberge - Fvrier 2011Etc...


Critre de Routh-Hurwitz (III)Exemple 1Avant dcrire la table de Routh, il faut sassurer que la premire condition de stabilit est vrifie : tous les coefficients ai doivent tre positifs. Ensuite:*Jean-Philippe Roberge - Fvrier 2011

s51240s48570s3b1b200s2c1c200s1d1000s0e1000


Critre de Routh-Hurwitz (IV)Exemple 1*Jean-Philippe Roberge - Fvrier 2011

s51240s48570s311/825/800s2-145/11700s1559/145000s07000


Il y a deux changements de signe dans la table de Routh:

Le systme est donc instable et il y a exactement deux racines dans le demi-plan droit du plan complexe (instable).Critre de Routh-Hurwitz (V)Exemple 1*Jean-Philippe Roberge - Fvrier 2011

s51240s48570s311/825/800s2-145/11700s1559/145000s07000


Effectivement, en utilisant la fonction roots() de Matlab:Critre de Routh-Hurwitz (VI)Exemple 1*Jean-Philippe Roberge - Fvrier 2011


La table de Routh est trs pratique, puisquelle permet de conclure assez directement la stabilit dun systme dordre n sans avoir calculer la main toutes les racines du polynme caractristique.Cependant, lanalyse de la table de Routh se fait partir du changement de signe de la premire colonne: il est donc obligatoire de se soucier des deux cas spciaux suivant:1) Un lment de la premire colonne est nul2) Une ligne entire de la table de Routh est nulleCritre de Routh-Hurwitz (VII)Cas spciaux*Jean-Philippe Roberge - Fvrier 2011


Solution pour ce premier cas spcial: lorsquun lment de la premire colonne est nul, on remplace ce dernier par et on continue le dveloppement de la table. la toute fin, on fait tendre vers 0 (depuis la gauche ou la droite) pour effectuer lanalyse de stabilit.Considrons un systme dont la fonction de transfert est la suivante:

Objectif: Conclure sur la stabilit du systme

Critre de Routh-Hurwitz (VII)Cas spcial #1 : Un lment nul dans la premire colonne*Jean-Philippe Roberge - Fvrier 2011


Votre rflexe est dutiliser le critre de Routh pour vrifier la stabilit du systme: Critre de Routh-Hurwitz (VIII)Cas spcial #1 : Exemple tir de [2]*Jean-Philippe Roberge - Fvrier 2011

s51350s42630s30 7/200s2(6 -7)/300s1(42-49-62)/(12-14)000s03000


Le tableau enfin complt, vous pouvez effectu votre analyse en faisant tendre vers 0 ( partir de la gauche ou de la droite). Lanalyse se fait comme suit:Critre de Routh-Hurwitz (IX)Cas spcial #1 : Exemple tir de [2]*Jean-Philippe Roberge - Fvrier 2011Il y a deux changements de signes, donc le systme est instable et possde deux racines instables (dans le demi-plan droit du plan complexe):

Premire colonne de la table de Routh0+0-s51++s42++s3+-s2(6 -7)/-+s1(42-49-62)/(12-14)++s03++


Solution pour ce deuxime cas spcial: lorsquune ligne entire de la table de Routh est nulle, la solution est de :1) Former un polynme intermdiaire laide de la ligne prcdent la ligne nulle. 2) Driver ce polynme intermdiaire par rapport s3) Utiliser les coefficients du rsultat de la diffrentiation pour remplacer la ligne de zros.4) Tester finalement les racines du polynme intermdiaire.Critre de Routh-Hurwitz (X)Cas spcial #2 : Une ligne entire de la table est nulle*Jean-Philippe Roberge - Fvrier 2011


Considrons un systme dont la fonction de transfert est la suivante:

Votre objectif est de conclure sur la stabilit de ce systme, vous utilisez donc le critre de Routh et btissez la table en consquence.

Critre de Routh-Hurwitz (XI)Cas spcial #2 : Exemple tir de [2]*Jean-Philippe Roberge - Fvrier 2011


Critre de Routh-Hurwitz (XII)Cas spcial #2 : Exemple tir de [2]*Jean-Philippe Roberge - Fvrier 2011Remarque: Lorsque lon construit la table de Routh, il est permit de multiplier une ligne entire par une constante pour obtenir une forme plus convenable, cest le cas ici pour la deuxime ligne (multiplication par 1/7).La troisime ligne est compltement nulle:

s51680s47 142 656 80s30000


Critre de Routh-Hurwitz (XIII)Cas spcial #2 : Exemple tir de [2]*Jean-Philippe Roberge - Fvrier 2011On considre donc le polynme intermdiaire donn par la ligne qui prcde la ligne de zros, i.e.:On le drive par rapport s:

On utilise les coefficients de ce rsultat pour remplacer la ligne de 0:Aussi, multiplication de la ligne par 1/4

s51680s41680s34 112 300


Critre de Routh-Hurwitz (XIV)Cas spcial #2 : Exemple tir de [2]*Jean-Philippe Roberge - Fvrier 2011On complte finalement le tableau comme lhabitude:Aucun changement(s) de signe, donc il ny a aucunes racines dans le demi-plan droit. Effectivement:Cependant, le systme est marginalement stable: regardez la forme des racines!

s51680s41680s31300s23800s11/3000s08000


Critre de Routh-Hurwitz (XIV)Cas spcial #2 : Exemple tir de [2]*Jean-Philippe Roberge - Fvrier 2011Quavons-nous oubli lors de notre dmarche?Rponse: De vrifier les racines du polynme intermdiaireRemarque: Lorsque, dans une table de Routh, une ligne est compltement nulle, cela signifie que lon se trouve dans lun de ces 2 cas:1) Racines conjugues complexes : s=j2) Racines relles de mmes valeurs mais de signes opposs: : s=Aussi, le polynme intermdiaire est un facteur du polynme caractristique, ce qui implique quil partage aussi une partie des ses racines


Critre de Routh-Hurwitz (XV)Cas spcial #2 : Exemple tir de [2]*Jean-Philippe Roberge - Fvrier 2011Racines du polynme caractristique VS celles du polynme intermdiaire:Polynme caractristiquePolynme intermdiaireIci, par simple observation, il tait possible de constater que le polynme intermdiaire possdait toutes ses racines conjugues complexes: cest pour cette raison que cette tape de la dmarche fut oublie.

Dailleurs, tous les polynmes dordre n qui ont des coefficients positifs (ai) et des termes en s levs une puissance paire possdent tous des racines conjugues complexes!


Critre de Routh-Hurwitz (XVI)Choix dun gain proportionnel K laide de Routh-Hurwitz*Jean-Philippe Roberge - Fvrier 2011Le critre de Routh est souvent utile afin de dterminer pour quelles valeurs de paramtres (gains) du contrleur le systme sera stable.La premire colonne du tableau nous fournira alors les conditions de stabilit en fonction des paramtres du contrleur. Nous avons dj fait quelques exercices qui dmontraient trs bien ce fait.On peut aussi utiliser le critre de Routh pour trouver le gain K au point o le lieu des racines croise laxe des imaginaires.


Critre de Routh-Hurwitz (XVII)Choix dun gain proportionnel K laide de Routh-Hurwitz*Jean-Philippe Roberge - Fvrier 2011Soit le systme suivant, command par un contrleur de type proportionnel:

O:


Critre de Routh-Hurwitz (XVIII)Choix dun gain proportionnel K laide de Routh-Hurwitz*Jean-Philippe Roberge - Fvrier 2011La fonction de transfert du systme en boucle ferme est donc:Il faut donc que:

Si K=0 ou K=1386, certaines des racines seront directement sur laxe imaginaire: systme marginalement stable indsirable

s3177s218Ks1(1386-K)/180s0K0


Critre de Routh-Hurwitz (XIX)Choix dun gain proportionnel K laide de Routh-Hurwitz*Jean-Philippe Roberge - Fvrier 2011

1)

2)

3)K=0K=1000K=1386


Critre de Routh-Hurwitz (XX)Choix dun gain proportionnel K laide de Routh-Hurwitz*Jean-Philippe Roberge - Fvrier 2011Autre exemple:


Critre de Routh-Hurwitz (XXI)Choix dun gain proportionnel K laide de Routh-Hurwitz*Jean-Philippe Roberge - Fvrier 2011


Conception de PID laide du lieux des racines (I)*Jean-Philippe Roberge - Fvrier 2011


Conception de PID laide du lieux des racines (II)*Jean-Philippe Roberge - Fvrier 2011Dans plusieurs cas, un contrleur PID permet de rpondre aux spcifications du comportement dsir, par exemplele dpassement P le temps de rponse 2%lerreur en rgime permanentEtc


Conception de PID laide du lieux des racines (III)*Jean-Philippe Roberge - Fvrier 2011Un contrleur proportionnel-driv permet damliorer la rponse en rgime transitoire et, jusqu un certain degr, lerreur en rgime permanent.Un contrleur proportionnel-intgral permet damliorer la rponse en rgime permanent (en tant que suiveur ainsi que rgulateur). Un contrleur PID constitue une combinaison de ces deux contrleurs.Par ailleurs, dans le domaine temporel:


Conception de PID laide du lieux des racines (IV)Contrleur de type P*Jean-Philippe Roberge - Fvrier 2011Il existe plusieurs outils de conception de contrleurs ; nous utiliserons comme outil principal de design le lieu des racines. Pour illustrer cette mthode, commenons par considrer le systme ci-dessous:


Conception de PID laide du lieux des racines (V)Contrleur de type P*Jean-Philippe Roberge - Fvrier 2011Le contrleur le plus simple est un contrleur proportionnel, qui na quune seule constante K comme fonction de transfert. En particulier, il ne permet pas de modifier de faon indpendante les valeurs de et de n. Ce dernier fait sera illustr par notre exemple. Le polynme caractristique du systme en boucle ferm est:


Conception de PID laide du lieux des racines (VI)Contrleur de type P*Jean-Philippe Roberge - Fvrier 2011Utilisons les rgles dEvans pour tracer le lieu des racines:Le point de dpart des deux branches du lieu des racines dbute aux positions des ples du systme en boucle ouverte, donc en s1 = 0 et s2 = -5 Le centre de gravit des asymptotes sera:

Angles des asymptotes:

Points dintersection:


Conception de PID laide du lieux des racines (VII)Contrleur de type P*Jean-Philippe Roberge - Fvrier 2011Angles de dpart:

Ple #1: Ple #2:


Conception de PID laide du lieux des racines (VIII)Contrleur de type P*Jean-Philippe Roberge - Fvrier 2011Rappel temps de rponse 2%:

Dans lexemple que nous venons dtudier, toute paire de ples complexes qui se trouvent sur chacune des branches, il ne correspond quune mme valeur de n :

Si on augmente K de faon sloigner de lorigine et ainsi augmenter la valeur de n, alors il faut forcment diminuer par le mme facteur.

Par consquent, on se trouve dans limpossibilit de diminuer le temps de rponse du systme!

Pour pouvoir mieux rpondre aux diverses spcifications, il faut considrer des contrleurs de formes plus gnrales (PI, PD ou PID).


Conception de PID laide du lieux des racines (IX)Contrleurs PD et avance de phase*Jean-Philippe Roberge - Fvrier 2011La fonction de transfert dun contrleur de type PD scrit comme suit:Le terme Kp donne lieu un composant de la commande qui est directement proportionnel lerreur.Le terme Kds procure un composant qui est proportionnel la drive de lerreur.Ce contrleur PD ajoute la fonction de transfert en boucle ferme un zro s = 1/PD. Le lieu des racines correspondant la fonction de transfert en boucle ouverte C(s)P(s) = Kd(s + 11)P(s) est prsent la figure suivante.


Conception de PID laide du lieux des racines (X)Contrleurs PD et avance de phase*Jean-Philippe Roberge - Fvrier 2011


Conception de PID laide du lieux des racines (XI)Contrleurs PD et avance de phase*Jean-Philippe Roberge - Fvrier 2011Pour bien comprendre comment lajout du zro modifie la forme du lieu, effectuons un bref rappel:i) La relation damplitude:

ii) La relation dangle:

Ce systme de deux quations tant quivalent lquation originale, un point s se trouve sur le lieu des racines si et seulement sil rpond ces deux quations.


Conception de PID laide du lieux des racines (XII)Contrleurs PD et avance de phase*Jean-Philippe Roberge - Fvrier 2011Langle de G(s) tant donn par:

Soit la partie imaginaire de s positive, Alors la contribution dun terme (s s0) est illustre ci-dessous:


tant donne la forme de notre expression pour langle de G(s), on voit que les zros apportent une contribution positive langle pour un s partie imaginaire positive, alors que les ples y apportent une contribution ngative. Leffet de lajout du contrleur PD est donc dapporter une contribution positive langle de la fonction de transfert G(s):Pour que la relation dangle soit toujours remplie, la contribution des ples doit devenir plus ngative. On peut vrifier que ceci veut dire que le lieu se dplace vers la gauche et vers la partie ngative de laxe des rels. Lajout dun contrleur PD permet donc dobtenir des ples en boucle ferme avec des rapports damortissement augments pour une pulsation naturelle n donne.Conception de PID laide du lieux des racines (XIII)Contrleurs PD et avance de phase*Jean-Philippe Roberge - Fvrier 2011


Conception de PID laide du lieux des racines (XVI)Contrleurs PD et avance de phase*Jean-Philippe Roberge - Fvrier 2011


Conception de PID laide du lieux des racines (XVII)Contrleurs PD et avance de phase*Jean-Philippe Roberge - Fvrier 2011


Conception de PID laide du lieux des racines (XVIII)Contrleurs PD et avance de phase*Jean-Philippe Roberge - Fvrier 2011


Conception de PID laide du lieux des racines (XIX)Contrleurs PD et avance de phase*Jean-Philippe Roberge - Fvrier 2011Un contrleur PD ne devrait pas tre implant sous la forme idaleK + Kds = Kd(s + 1/PD). En effet, le module de la rponse frquentielle de ce contrleur est:

qui saccrot sans borne en fonction de la frquence .Un contrleur avec cette fonction de transfert serait donc non souhaitable, et amplifierait de faon excessive le bruit de mesure. Par consquent, un contrleur rel a souvent la forme dun contrleur avance de phase :

Noter que le module de la rponse frquentielle dun tel systme tend vers KA lorsque tend vers 0, et vers KA lorsque tend vers linfini.Cest ce qui introduit la matire du prochain cours!


Exercices

Retour sur le cours #5 (I)Exercices*Jean-Philippe Roberge - Fvrier 2011


Retour sur le cours #5 (II)Exercices*Jean-Philippe Roberge - Fvrier 2011


Retour sur le cours #5 (III)Exercices*Jean-Philippe Roberge - Fvrier 2011


Retour sur le cours #5 (IV)Exercices*Jean-Philippe Roberge - Fvrier 2011


*Jean-Philippe Roberge - Fvrier 2011Prochain coursContrleurs avance de phaseContrleurs proportionnel-intgral (PI) et retard de phaseFin des exercices des examens de pratiqueRponse vos questions


Rfrences*[1]Modern Control Systems Richard C. Dorf & Robert H. Bishop[2]Control Systems Engineering Norman S. Nise[3]Notes de cours (ELE3202) Richard Gourdeau & John Thistle[4]Linear System Theory Wilson J. Rugh



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