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1
Cours de photonique :
confinement de la lumière
Master 1ère année.
mise à jour 2014
Olivier Jacquin
téléphone: 04 76 51 40 15
2
Pré requis.
Optique Géométrique: Lois de Descartes, Indice de réfraction,
Principe de Fermat, équation Iconale.
Électromagnétique: Équations de Maxwell, Propagation des ondes,
Ondes planes, Onde sphérique, Vecteur de Poynting, Réflexion et
Réfraction des ondes planes, Coefficients de Fresnel, Polarisations,
diffraction, faisceaux Gaussiens
Mathématique: Équation différentielles, Fonction de Bessel,
Transformé de Fourier, Intégrale double.
2
3
Plan du cours.
I - Introduction à la notion de mode
Représentation de la lumière
Équation de propagation et solutions
La diffraction
Pourquoi contrôler la propagation de la lumière
État stationnaire d’une cavité cubique : notion de modes
II - Confinement 1D: le guide plan
Principe de guidage à partir de la théorie des rayons: ouverture
numérique
Principe du guidage à partir de l'approche des ondes planes.
Notion de modes et d'équation de dispersion
Principe du guidage à partir de l'approche électromagnétique
Équation de dispersion et mode guidée
Confinement optique, mode à fuite, pertes
4
Plan du cours.
III - Confinement 2D: la fibre optique
Mise en équation du problème
Solution du problème : modes de propagation
Équation de dispersion
Forme et propriétés des solutions
Caractérisation d’une fibre optique
Autres guides 2D
IV – Confinement 3D : cavité optique
Cavités optiques à fibre : modes longitudinaux
Principe des cavités optique à miroir
Stabilité de cavité
Mode fondamental Gaussien
Modes d’ordre supérieur
V – Couplage guide optique laser
Mise en équation du couplage
Pertes de couplage
3
5
La lumière : représentation
hcEkp et
Taille Objet Lois
Photon << Mecanique quantique
Onde ~ Equation de Maxwell
Rayon >> Snell-Descartes
La lumière peut être représentée par une onde E.M. qui caractérisée par sa
longueur d’onde et par son vecteur d’onde k. On peut associer à cette onde une
particule d’énergie E et de quantité de mouvement p, tel que:
Et la polarisation de l’onde, c’est-à-dire l’orientation du champ électrique (au
cours du temps) est reliée au spin du photon. La probabilité de trouver un photon
en point r de l’espace est proportionnelle à l’intensité lumineuse en ce point r.
La lumière peut être également représentée par la direction de propagation de
l’énergie lumineuse (vecteur de Poynting) : un rayon lumineux
On a donc:
6
La propagation d’une onde optique
Une onde optique est donc caractérisée par : 1. Vecteur d’onde k
2. Longueur d’onde
3. Répartition spatiale du champ E.M. correspondante
4. Polarisation
Dans ce cours, on va essentiellement s’intéresser aux trois premiers paramètres
dans des structures (dispositifs) permettant de confiner la lumière. On va
s’intéresser plus particulièrement aux états stationnaires (indépendant du temps)
dans ces structures. On déterminera alors les valeurs possibles pour k et , ainsi
que les formes du champ électromagnétique correspondant à ces états stationnaires.
La propagation d’une onde optique est régie par les équation de Maxwell. Dans le
cadre de l’optique, on s’intéresse généralement à des matériaux transparents, c’est à
dire des diélectriques et non magnétiques. De plus, nous allons limiter notre étude
aux cas de guides réalisés dans des milieux isotropes et linéaires.
Ces conditions simplifient considérablement la formulation et surtout la résolution
des équations de Maxwell.
4
7
Formulation de travail. Dans ces conditions les équations de Maxwell deviennent:
Ces équations vont nous permettre de décrire la propagation d’une onde E.M.
dans un milieu homogène mais cette onde peut rencontrer des discontinuités
optiques. Dans ce cas, pour décrire le comportement de l’onde E.M. on a besoin
des relations de continuités:
0BDivet 0DDiv
t
DHrotet
t
BErot
HB
EnEED
0
2
0r0
+
.magnétique champdu lle tangentiecomposante la de Continuité 0HHS
.magnétiqueflux de densité la de normale composante la de Continuité 0BB.S
.électrique champdu lle tangentiecomposante la de Continuité 0EES
.électriquet déplacemen de densité la de normale composante la de Continuité 0DD.S
:alors a nO 2.milieu leet 1milieu le entre de variationune dire àest c'
milieux, 2 entre éhomogénéitd' itédiscontinu unedéfinit qui orientée S surface uneSoit
21
21
21
21
r
8
Equation d’onde. En travaillant un peu sur les opérateurs mathématiques et en combinant les
équations entre elles on peut obtenir un système d’équations découplées:
3) (Eq. 0 :devient 1 Eq.l' homogènes,milieux les Dans
2) (Eq. 0 :obtient on façon, mêmela De
1) (Eq. ..
.- :déduit en On
..
. :oùd' ... D. : donca on
Det 0D.Or - - ..
:obtient on Maxwelléquations leset A- .. :suivante relationla utilisant En
scalaire. unest C où )( Cgret . A Div, :notations les désormais utilise
2
22
00
2
22
00
2
2
2
22
00
2
22
0
2
0
2
02
22
00
t
EnE
t
HnH
En
n
t
EnE
En
nEEnEn
Ent
EnEE
AA
CadAAArotOn
On doit trouver des solutions qui satisfassent ces équations d’onde. On
traitera les milieux inhomogènes (Eq.1 et Eq.2) comme des milieux
homogènes (Eq.3 et Eq.2) par partie. On étudiera :
1. Onde dans l’espace libre
2. Onde dans une structure confinant la lumière
5
9
Ondes harmoniques
Cette équation d’onde (semblable à celle de Schrödinger) a un grand nombre de
solutions, les solutions les plus simples sont des fonctions qui varient dans le
temps et dans l’espace de façon sinusoïdale: on parle alors d’onde harmonique.
(4) 0 2
22
00
tn
ondel' de vitesseC où 1
C avec
. où 2
2 onded' vecteur le
)sin()(
00
00
C
fréquence
nkestk
rktr
Caractéristiques:
• Solutions monochromatiques (dispersion de r).
• Champ à spectre non monochromatique = superposition d’ondes planes.
Dans ce cas les équations 2 et 3 deviennent:
On doit résoudre l’équation d’onde:
6) (Eq. 0 et 5) (Eq. 0 2222 EknEHknH
10
Ondes harmoniques plane
vide.le dans lumièrela de vitesseC où 1
C avec
. où 2 6) (Eq. E
2 onded' vecteur le 5) (Eq. H
00
0
0
C
fréquenceeeE
nkestkeeH
rkjtj
rkjtj
Caractéristiques:
• Extension infinie : énergie dans tout le plan transverse à la direction de
propagation
• Extension infinie : photon complètement délocalisé mais quantité de
mouvement parfaitement connue (incertitude Heisenberg)
• Une seule direction de propagation
• Champ à extension finie = superposition d’ondes planes.
• Base orthogonale complète sur laquelle on peut décomposer tout champ
E.M.
La solution la plus simple est celle ou 0(r) est une constante. On a alors dans
le plan perpendiculaire à la direction de propagation une amplitude et une
phase constante. On parle alors d’onde harmoniques planes. En notation
complexe on a:
6
11
Ondes sphériques
vide.le dans lumièrela de vitesseC où 1
C avec
. où 2 6) (Eq. r
E
2 onded' vecteur le 5) (Eq.
r
H
00
0
0
C
fréquenceeeE
nkestkeeH
jkrtj
jkrtj
Dans le cas d’une source ponctuelle, la symétrie de l’émission devient alors
sphérique. On doit alors avoir une solution respecte cette symétrie: les surfaces
d’amplitude et de phase constante sont des sphères. On parle alors d’onde
sphériques. En notation complexe on a:
Caractéristiques:
• Extension finie : énergie localisée qui s’éparpillent dans l’espace
• Extension finie : photon parfaitement localisé e r=0 mais quantité de
mouvement complètement indéterminée (incertitude Heisenberg)
• Propagation dans toute les directions de l’espace.
12
Faisceaux gaussien. Le faisceau gaussien est une solution de l’équation d’onde paraxiale c’est-à-dire
dans le cas de l’approximation de variations lentes au cours de la propagation:
z selon npropagatio unepour et 2
2
2
kz
kz
22
0
2
2
0
02
0
22
)(
)(
00
)(
)(
00
1et R(z) 1et )(2
),,(
),,( :avec )(exp)),,(exp(),,(),,,(
),,( :avec )(exp)),,(exp(),,(),,,(
2
22
2
22
z
wz
w
zwzw
w
zarctg
zR
yxkzyx
ezw
wHzyxHkztjzyxjzyxHtzyxH
ezw
wEzyxEkztjzyxjzyxEtzyxE
zw
yx
zw
yx
Caractéristiques:
• Extension finie : énergie localisée qui s’éparpillent dans l’espace,
divergence du faisceau
• Extension finie : photon localisé avec une dispersion de la quantité de
mouvement (incertitude Heisenberg)
• Propagation dans un nombre limité de directions de l’espace
7
13
Diffraction.
aa42.ak
2
1kr
2
1x :a largeur de fente unePour
hpcar
2
1kr
2pr :Heisenbergd' eIncertitud
:a largeur de fente uned' Divergence
:gaussien faisceau und' Divergence0
xxxk
a
L’énergie lumineuse s’éparpille
naturellement dans l’espace libre,
c’est la diffraction. Exemple: la
divergence d’un faisceau gaussien.
Plus on essaie de localiser l’énergie
plus elle s’éparpille dans l’espace
libre au cours de la propagation.
14
Propagation d’un point A à un point B atténuation du signal du à la divergence du
faisceau et à l’interaction avec le milieu environnant (brouillard par exemple)
problème pour les communications optiques.
Solution: confiner la lumière dans deux directions de l’espace fibre optique
Pour l’interaction lumière matière, on ne peut avoir qu’une interaction limitée à
cause de la divergence du faisceau problème pour l’amplification de la lumière
dans les lasers.
Solution: confiner la lumière dans les 3 directions de l’espace Cavité optique
Dans les cavités optiques ou dans les fibres optiques les propriétés de la lumières sont
très proches. Il y a apparition de modes propres (états stationnaires) avec des
vecteurs d’onde, les longueurs d’onde possibles bien particuliers, et une
répartition spatiale d’énergie spécifique à chaque mode. Dans la suite de ce cours
nous allons nous intéresser essentiellement à ces états stationnaires.
Pourquoi confiner la lumière
8
15
Modes électromagnétiques dans une cavité 1D
Considérons une cavité à une dimension aux parois métallisée. Le champ
électrique (stationnaire) dans cette cavité est décrit par l’équation 4, avec les
conditions aux limites de champ nul sur les parois. Pour une cavité orientée
selon x et une polarisation orientée selon y, on a:
x
xxnx
xxyxy
n
a
a
nkxkEx
axkBxkAx(x)Ek(x) ΔE
x
2 où avec )sin()(E:soit
0)(et E 0)0( Eavec )cos()sin()(E 0
xn,0x
xyy
2
Il apparaît une quantification de (énergie), on parle alors de mode
électromagnétique. Dans le cas 1D, à chacun de ces modes correspond un nx
et une répartition spatiale bien défini.
Mode propre :
Nombre de mode:
ca
n
n
a x
x 2 ou
2xx nn
Après quelques aller-retour, les modes non résonnants
ont une intensité nulle
avec diminueN
a avec augmenteN
22mode
aN
a
2xn
3xn
4xn
8xn
12xn
xn
a2xn
16
Modes électromagnétiques dans une cavité 3D
Considérons un photon dans une boite parallélépipédique aux parois
métallisée, de dimension a, b et d. Pour déterminer le champ électrique
(stationnaire) dans cette cavité, on va généralise le cas précédent à trois
dimension (on sépare les variables x, y et z). Dans le cas d’une polarisation
selon y on a alors:
)sin()sin()sin(8
),,( E:devient Echamp du expressionl'
1,à egale boitela dans photon un trouver de éprobabilit E,champ le normalise on Si
et , avec
)sin()sin()sin(),,( E:alors trouveOn
:avec espacel' de directions 3 les selonk décomposerpeut On
0)(et E 0)( E,0)( E,0)0( Eavec 0
y
0y
2222
yyyy
2
zkykxkabd
zyx
d
qk
b
pk
a
nk
zkykxkEzyx
kkkk
dbaEkE
zyx
zyx
zyx
zyx
yy
La condition de résonance correspond toujours ici à un champ nul sur les
parois de la boite. Les modes électromagnétiques sont donc définis par le
triplet (n,p,q).
9
17
Modes
Chaque mode est défini par le triplet (n,p,q), qui correspond à une direction
de propagation et à une longueur d’onde bien définie.
La direction propagation knpq est donnée par :
La longueur d’onde n,p,q est donnée par :
222
,,
222,,
2222
2222
2
2
2soit
d
q
b
p
a
nC
d
q
b
p
a
n
d
q
b
p
a
nkkkk
qpn
qpn
zyx
d
qk
b
pk
a
nk zyx
et ,
Pour avoir résonance, c’est-à-dire établissement d’un état stationnaire dans la
cavité, la lumière doit se propager dans une direction bien définie à une
longueur d’onde bien définie.
18
Nombre de Modes dans une bande spectrale On veut déterminer le nombre de mode contenu dans une bande spectrale.
Pour cela on va déterminer la densité de mode dans l’espace des fréquences.
La variation de kx correspondant au passage d’un mode au suivant est:
42
2
3
2
3
2
33
422
.48
1. N :onded'longueur enfait qui Ce
48
1.4
8
1(k). N
:est k variationuneà onpolarisati unepour ant correspond modes
de nombre le Alors retour).-(aller essationnair états mêmesaux correspond négatifk car
positifk avec sphèrique) (symetrie npropagatio de directions les tout considère On
abd11(k) :est mode de densitéla Donc
à egale volumeun dans contenuest mode un k, des espacel' Dans
et : façon mêmela De
soit 1 :suivant mode au mode und' passage ,
VolumeVolume
kkVolume
kk
Volume
kkk
kkk
dk
bk
aknn
ak
zyx
zyx
zy
xx
10
19
Nombre de Modes dans une bande spectrale
On constate que le nombre de mode augmente avec le volume de la cavité ou
qu’il diminue avec le longueur d’onde. Pour une boite de 1cm3, une longueur
d’onde de 1µm, on a en environ 109 modes pour une polarisation sur une bande
spectrale de 30Ghz (=0,1nm), et autant pour l’autre polarisation.
L’oscillation simultanée d’un grand de mode va limiter la cohérence de la lumière
confinée. L’augmentation de la cohérence passe par la diminution du nombre de
mode (cas idéale monomode). Pour cela, il faudrait une cavité sub-µmétrique,
peu ou pas possible pour des applications laser. On a doit alors essayer de diminuer
le nombre de mode en modifiant alors la géométrie de la cavité, c’est-à-dire en
limitant les directions d’oscillation possibles. On réalise alors un résonateur
ouvert, en privilégiant « une direction » d’oscillation. Le cas le plus simple est
celui de la cavité 1D (2 miroirs plan parallèle):
Soit 2 modes sur la bande spectrale de 30GHz pour une cavité de 1cm. Une seule
direction est susceptible d’osciller. Cependant ce type de cavité est peu stable car le
moindre défaut de parallélisme entre les deux miroirs détruit l’oscillation. On doit
donc garder un « peu de confinement » dans les dimensions transverses à la
direction privilégiée d’oscillation (axe optique de la cavité).
2mode
2aN
20
Confinement transverse
Le confinement transverse peut être obtenu soit en utilisant des miroirs
paraboliques (cavité optique classique):
Soit en piégeant la lumière par réflexion totale entre deux diélectriques dans les
directions transverses (fibre optique).
Afin de limiter le nombre, les directions de propagation trop incliner par rapport à
l’axe optique (direction privilégiée d’oscillation) ne doivent pas osciller, c’est-à-
dire ne doivent pas être confinées.
nc
ng
ng
11
21
Modes transversaux et longitudinaux
Les modes du résonateur sont définis par le triplet (n,p,q). Si on considère que la
direction privilégiée d’oscillation est selon x, cela veut dire que l’on doit avoir pour
l’ensemble des modes possibles:
Ceci implique que l’on peut pas avoir des indices p et q, élevés. On appellera les
modes identifiés à l’indice n, les modes longitudinaux et les modes identifiés aux
indices p et q les modes transversaux.
d
q
a
n
b
p
a
n
d
qk
b
pk
a
nk
kkkk
zyx
zxyx
et soit et ,: Avec
x de axel' de proche npropagatio de n Directioet
12
et 2
4 avec
42 :a on d,b Si
421
22
2,,,,
2
22
2
22
,,
22
2
22
222
,,
pnb
apCn
a
C
nb
qpa
a
n
nb
qpaC
a
nC
a
n
d
q
b
p
C
a
nC
a
n
d
q
b
p
a
nC
d
q
b
p
a
nC
qpnqpn
qpn
qpn
22
Modes transversaux et longitudinaux
Les modes longitudinaux sont beaucoup plus éloignés les un des autres que les
modes transversaux.
Les modes longitudinaux définissent principalement les propriétés spectrale de la
lumière issue de la cavité. On les appelle aussi les modes spectraux. Ils jouent
principalement sur la cohérence temporelle de la lumière issue de la cavité
Les modes transversaux influe principalement sur la répartition d’énergie de la
lumière issue de la cavité (cohérence spatiale).
C/2a
12
23
Détermination des modes transversaux.
Dans la suite du cours, on va principalement s’intéresser aux modes
transversaux possibles dans le résonateur et à la répartition d’énergie
associée. On va commencer par s’intéresser au cas du confinement par
guidage, puis par cavité à miroirs paraboliques.
1. Confinement dans une dimension de l’espace: guide plan, diode laser
2. Confinement dans deux dimension de l’espace : fibre optique, laser à
fibre.
3. Cavités laser à miroirs : laser classique (type He-Ne)
24
Objectif :Démarche suivie
L’objectif est de déterminer dans les cas 1D, 2D et 3D:
1.Les conditions de confinement (stabilité du résonateur)
2.Les états stationnaires (modes propres)
3.La structure spatiale de la lumière pour les confinement 1D, 2D et 3D.
Les point 1 et 2 correspondent aux conditions pour lesquelles la lumière reste
confinée, on utilisera généralement l’optique géométrique et des conditions de
phases.
Le point 3 passe obligatoirement par une résolution des équations de Maxwell.
13
25
Confinement 1D
On piège la lumière entre deux diélectriques
par réflexion totale dans une seule direction
de l’espace: Guides plans (diode laser)
réflexion totale n1 > n2 n1
n2
n2
On a donc à priori un continuum d’angle de propagation
possibles: z< r
On a guidage si: > c ou i < r
21
1
1
22
2121
221
12211
si guidage alorsa On
)cos( :pose on Si
cossoit 0 si totalereflexion On
Si
)cos()cos(soit
2
et )sin()sin(
nn
n
n
nar
nn
nn
nn
z
rz
z
z
n2
n2
n1
1 1
2
2
1
26
Ouverture Numérique: cône de lumière
2
2
2
1
2
1
21ic0
r
2
1ic0
r1ic0
ic0
nnON :où'D
n
n1n)sin(n
cos1n)sin(n
)sin(n)sin(n
)sin(nON
Ouverture numérique : L’ouverture Numérique détermine la divergence de la lumière en sortie de guide (divergence augmente avec n).
AN: n1=1.485 & n=0.015
ON0.2105 soit c=12.15° soit un cône d’acceptante de ~ 24.3°
2
2
2
1 nnON
Ce continuum d’angle pour lequel on a guidage défini ce que l’on appelle
l’ouverture numérique: )sin(nON ic0
14
27
Approche des ondes planes.
On a pour le moment à priori un continuum d’angle possibles pour
lesquelles il y a guidage. Il n’apparaît pas ici de notion de mode transverse
comme on a vu dans partie précédente. Pour faire apparaître la notion de
mode, on doit utiliser une autre approche que celle de l’optique géométrique,
qui est celle des ondes planes. On va alors déterminer la condition
d’existence d’une onde plane (1 direction de propagation) entre diélectrique.
Le guidage se fait toujours par réflexion totale. On va donc utiliser les
coefficients de Fresnel, et on s’intéressera plus particulièrement à la phase
dans le cas de la réflexion totale.
Puis on va déterminer les conditions pour lesquelles une onde plane peut se
propager entre deux diélectriques. Il apparaît alors une condition sur la
phase qui fait apparaître la notion de mode guidé avec une condition sur la
direction de propagation.
28
Notion de polarisation à une interface (rappel).
Soit 2 milieux homogènes
d’indice de réfraction différent:
Milieu 1 Milieu 2
y
z
x
H
E
0
0
k
S
0 E
0 H
y
2et 1milieux les
séparant orientée surface S
On peut décomposer les champs E et H en deux
polarisations :
z
x
TMon polarisati )S k( incidenced'plan au // E
TEon polarisati )S k( incidenced'plan au E
15
29
Coefficients de Fresnel (rappel).
Les relations de continuité donnent les relations entre les champs E.M. incident,
réfléchi et transmis:
sin)cos(
sin)cos(
)cos(E
)cos(ERet
sin)cos(
sin)cos(4
)cos(E
)cos(ET
sin)cos(
sin)cos(
E
Eret
sin)cos(
)cos(2
E
E t 0zEn
222
1
2
21
222
1
2
21
2
0i
2
0r
1
1TE2
22
1
2
21
22
1
2
21
2
0i
2
0t
2
1TE
22
1
2
21
22
1
2
21
0i
0r
22
1
2
21
1
0i
0t
TE
ii
ii
r
i
ii
ii
i
t
ii
ii
TE
ii
i
nnn
nnn
nnn
nnn
nnn
nnn
nnn
n
sin)cos(
sin)cos(
)cos(E
)cos(ERet
sin)cos(
sin)cos(4
)cos(E
)cos(ET
sin)cos(
sin)cos(
E
Eret
sin)cos(
)cos(2
E
E t 0zEn
2
22
1
2
2
2
12
2
22
1
2
2
2
12
2
0i
2
0r
1
1TM2
22
1
2
2
2
11
22
1
2
21
2
0i
2
0t
2
1TM
22
1
2
2
2
12
22
1
2
2
2
12
0i
0r
TM22
1
2
2
2
12
1
0i
0t
TM
ii
ii
r
i
ii
ii
i
t
ii
ii
ii
i
nnn
nn
nnn
nn
nnn
nn
nnn
nnn
nn
nnn
nn
nnn
nn
n
30
Termes de phase à la réflexion totale.
Dans un guide optique le guidage se fait par réflexion totale. Que deviennent
alors les coefficients de Fresnel?
1
21
2211ii
1
212211
n
n)cos( :totaleréflexion
)cos(n)cos(n :oùd' 2
n
n)sin( :totaleréflexion et )sin(n)sin(n
j
2
2i
22
1
2
1i2
2
2i
22
1
2
1i2
TMi
22
1
2
2 e.1
nsinnn
nj)cos(n
nsinnn
nj)cos(n
r 0sinnn
j
2
2i
22
1i1
2
2i
22
1i1
TEi
22
1
2
2 e.1nsinnj)cos(n
nsinnj)cos(nr 0sinnn
)cos(
sin1arctan2
)cos(
sinarctan2
2
2
22
1
1
2
2
22
1
2
2
1
i
i
i
i
nn
n
nn
n
n
où
n
ng
en TEg
en TMn
ng
nn
nnger
z
cij
22
2
2
2
2
2
2
2
1
22
1
2
2
22
1
22
1
arctan2
1
où cos
coscosarctan2 avec .1
Expression en :
n2
n2
n1
1 1
2 2
1
16
31
Ondes planes dans un guide optique . On considère que l’on a une onde plane qui se propage dans le guide optique:
• Fronts d’onde
• Vecteur d’onde.
• Angle z
•
1ère condition de guidage: réflexion totale.
•
2nde condition de guidage:
• plan de phase défini à 2 près.
•
•
•
)cos(n zguide
coeurgainerz nnsoit 0
x
z n
-
nc ng
k
Cœur
Gaine
Gaine
z
m2ABCDPQ
n
ng-2arctanet
)sin(
2.n
2
)sin(2.n2
22
c
2
g
2
R
z
cBCPQ
zcCDAB
x Q
z
-
k
Cœur
Gaine
Gaine
z
A
P C
B
D
32
Notion de mode.
)cos(n viasatisfaite phase deCondition fixés. n ,n λ,
m n
ng2arctan-
n
n2.n
2 :soit m2 Or
n
ng4arctan-
n
n2.2.n
2
n
ng4arctan- )sin(2.2.n
2
22
zcgc
22
c
2
g
2
c
22
c
cPQABCD
22
c
2
g
2
c
22
c
cPQABCD
22
c
2
g
2
zcPQABCD
RABPQCDRBCRABPQABCD
Guidage pour:
• notion de mode.
• Valeurs discrètes de z m [0, r ] notion de mode.
• m [0, N] avec N correspondant au (N +1)ième mode
coeurmgainem nn avec
On retrouve une condition sur la direction de propagation de la
lumière comme le résonateur fermé
17
33
Tracé de l’équation de dispersion.
Equation de dispersion:
notion de mode.
• Evolution: le nombre de mode croit avec d et diminue avec comme
pour le résonateur fermé.
•Très faible dépendance à la polarisation : courbes de dispersion identiques.
coeurmgainem nn avec
m n
ng2arctan-
n
n2.n
2
2
m
2
c
2
g
2
m
c
2
m
2
c
c
d=2, nc=1.48 et ng=1.47
beta en fonction de d/lambda
1,470
1,471
1,472
1,473
1,474
1,475
1,476
1,477
1,478
0 1 2 3 4 5
d/lambda
beta
m=0 TE
m=1 TE
m=0 TM
m=1 TM
beta en fonction de d/lambda
Mode TE.
1,470
1,472
1,474
1,476
1,478
1,480
0 5 10 15
d/lambda
beta
m=0
m=1
m=2
m=3
34
Conditions limites de guidage.
• Epaisseur de coupure: guidage du mième mode si > m
• Longueur d’onde de coupure: guidage du mième mode si < m
m
nn 4ou
nn2
m2
m n
nn2.n
2
:devient dispersion de équation'l alors n Si
m n
ng2arctan-
n
n2.n
2 :a On
2
g
2
c
m2
g
2
c
m
c
2
g
2
c
c
gm
2
m
2
c
2
g
2
m
c
2
m
2
c
c
On a guidage du mième mode si : gainem n
On a dit précédemment que pour augmenter la cohérence on doit limiter le
nombre de mode. On va donc s’intéresser aux conditions limites de guidage,
c’est dire comment limiter le nombre de modes.
18
35
Conditions limites de guidage: graphes.
• Epaisseur de coupure: guidage du mième mode si > m
• Longueur d’onde de coupure: guidage du mième mode si < m
Guidage du mième mode si gainem n
d=2, nc=1.48 et ng=1.47
beta en fonction de lambda pour d=5µm
Mode TE.
1,4700
1,4720
1,4740
1,4760
1,4780
1,4800
0,0 0,5 1,0 1,5 2,0
lambda (µm)
be
ta
m=0
m=1
m=2
m=3
beta en fonction de d pour lambda=1,55µm
1,470
1,472
1,474
1,476
1,478
1,480
0 5 10 15
d (µm)
beta
m=0
m=1
m=2
m=3
36
Conditions limites de guidage.
• Epaisseur de coupure: guidage du mième mode si > m
• Si m diminue alors à constant le nombre de mode augmente.
• Longueur d’onde de coupure: guidage du mième mode si < m
•Si m augmente alors à constant le nombre de mode augmente.
4
ou 2
m2
22
22 m
nn
nn
gc
m
gc
m
Guidage du mième mode si gainem n
Le nombre de mode augmente
avec le n qui assure le
confinement de la lumière.
Augmenter le n revient à
fermer la cavité, le cas limite
étant la paroi métallisée.
0
2
4
6
8
10
12
14
16
0.0100 0.0150 0.0200 0.0250 0.0300 0.0350
deltan
ép
ais
seu
r d
e c
ou
pu
re
m=1
m=2
m=3
19
37
Guides asymétriques.
Substrat et superstrat différents:
n
ng-2arctan
n
ng-2arctan
22
c
2
2g
2
2R
22
c
2
1g
2
1R
m n
ngarctan-
n
ngarctan-
n
n2.n
2 :Soit
m22
2
m
2
c
2
2g
2
m
2
m
2
c
2
1g
2
m
c
2
m
2
c
c
2R1RABPQABCD
Guidage du mième mode si: 1g2g1gm n)n,n( sup
x Q
z
-
k
Cœur
Gaine1: ng1
z
A
P C
B
D
Gaine2:
ng2
ng1
>
n
g2
2
g
2
c
2
1g
2
c
2
2g
2
1g
m2
1g
2
c
2
2g
2
1g
c
2
1g
2
c
c
nn2
nn
nngarctanm
2où d' m nn
nngarctan-
n
nn2.n
2
38
Tracé de l’équation de dispersion.
Equation de dispersion:
d=2
nc=1.48
ng1=1.47
ng2=1.46
m n
ngarctan-
n
ngarctan-
n
n2.n
2
2
m
2
c
2
2g
2
m
2
m
2
c
2
1g
2
m
c
2
m
2
c
c
Guidage du mième mode si: 1g2g1gm n)n,n( sup
beta en fonction de d/lambda
Mode TE.
1,470
1,472
1,474
1,476
1,478
1,480
0 5 10 15
d/lambda
beta
m=0
m=1
m=2
m=3
20
39
Résonateur guidé.
On retrouve des résultats identiques à ceux du résonateur fermé aux parois
métalliques. On a ici la possibilité de diminuer le nombre de mode guidé en
jouant sur les paramètres optogéométriques du guide qui sont: l’épaisseur du
guide, la longueur d’onde de travail et la différence d’indice n qui assure le
confinement optique.
Il est possible en choisissant bien ces paramètres d’avoir qu’un seul mode. On
parle de guide monomode. On a alors un seul état de propagation possible.
Si on place des miroirs de par et d’autre du guide on obtient alors un résonateur
optique stable. Les modes longitudinaux sont définis par la longueur L de
résonateur. A chaque mode guidé correspond à mode transverse.
nc
ng
ng
C/2LnCcos(O)
auxlongitudin mode q-
aux transversmode m- doublet mode Un m,q
1,q
0,q
2,q 1,q+1
0,q+1
2,q+1
40
Approche électromagnétique.
On veut déterminer la répartition spatiale associée à chaque modes guidés
(modes transverses), pour cela va désormais utiliser une nouvelle approche
basée sur la théorie de l'électromagnétisme:
• Résolution de l’équation d’onde.
• Détermination de la forme du champ E.M. dans les guides optiques
• Détermination de la constante de propagation du champ E.M.
Soit un guide d ’onde quelconque:
Champ E.M. dans le guide optique:
x z
y
gaine
cœur
gcg
c
nn :guidageait y ilPourqu' constante.n
)y,x(nsupn :poseOn )y,x(nn :indiced' Profil
z.selon invariant Guide y)ρ(x, :coeurdu on Délimitati
t,z,y,xHt,z,y,xHat,z,y,xHat,z,y,xH
t,z,y,xEt,z,y,xEat,z,y,xEat,z,y,xE
radi
N
1i
ii
N
1i
i
radi
N
1i
ii
N
1i
i
21
41
Formes des solutions: modes guidés. La résolution des équations d’ondes Eq.1 et Eq.2 :
• Milieu inhomogène dans le plan transverse.
• Solutions qui satisfont les conditions limites.
• Solutions qui décrivent le confinement transversale de l’énergie E.M..
• Solutions qui propagent l’énergie E.M. dans une direction définie.
Onde planes pas possibles!
Forme des modes guidés Ei "Pseudo ondes planes " :
iiiii
i eff
i eff
zjtj
ii
zjtj
ii
aet 0 a
n.
C :soit
n2
et 2 : où
eey,xHt,z,y,xH
eey,xEt,z,y,xE
i
i
• Solutions monochromatiques.
• constante de propagation: propagation
l’énergie E.M selon l ’axe des z.
• Amplitude(x,y) décrit confinement
transversale de l’énergie E.M..
• Amplitude(x,y) constante selon z et t.
• neff i : indice effectif du ième mode.
42
Champ E.M. dans le guide mais aussi un peu dans la gaine :
• neff i indice de réfraction vue par l’onde E.M. indice moyen de nc et de ng.
• neff i nc.
• Si neff ing alors l’onde E.M. fuit dans la gaine.
• Condition de guidage: neff i réel sinon atténuation au cours de la propagation.
• Condition de guidage: ng <neff nc ou:
Orthogonalité des modes:
• Si les guides sont invariants selon z et non absorbants.
• On peut montrer que :
Pas d’échange d’énergie E.M. entre les modes guidés et pas d’échange
d’énergie E.M. entre les modes guidés et les modes radiatifs.
Propriétés des solutions.
0dAz.HEdAz.HE
0dAz.HEdAz.HE
A
i
*
rad
A
*
radi
A
i
*
j
A
*
ji
CiggiCi knkn knet kn
A= section infinie
transverse à l’axe de
propagation.
22
43
Puissance E.M. transportée.
N
i
ii
N
i
iiguidéetotale
A
ii
A
iiiii
A
jiii
A
ii
A
iiiii
A
jiii
N
i
jiiii
N
i
i
radi
N
i
ii
N
i
i
radi
N
i
ii
N
i
i
NaNaP
dAzHEdAzHENNadAzHEaP
dAzHEdAzHENNadAzHEaP
zHEReaRvecRRR
tzyxHtzyxHatzyxHatzyxH
tzyxEtzyxEatzyxEatzyxE
HReR
1
2
1
2
**2*2
**2*2
1
*2
1
11
11
:oud'
..2
1 avec .
2
1
..2
1 avec .
2
1
.2
1 :a
,,,,,,,,,,,,
,,,,,,,,,,,,
E2
1
La puissance E.M. transportée dans le guide optique est donnée par l’intégrale du
vecteur de Poynting moyen sur une section infinie A transverse à l’axe de
propagation et orientée selon les z Positifs (sens de propagation).
On a:
44
Guide plan symétrique. x
z
n
-
nc ng Cœur
Gaine
Gaine
0et 0
.
xpour )(
xpour )(
2
2
yn
n
nxn
nxn
g
c
Guide plan infini selon
l’axe de propagation:
D’après les Equations
de Maxwell on a:
0
0
2
0
2
0
2
0
0
0
0
0
0
2
0
0
2
0
0
0
0
z
H
x
H
z
En
x
En
TE
Eknjx
H
z
H
kHjz
E
kHjx
E
etTM
Eknjx
H
Eknjz
H
kHjx
E
z
E
zx
zx
yzx
x
y
z
y
z
y
x
y
yzx
0.
0.
2
2
0
2
0
0
0
0
H
En
EknjH
HkjE
k
2 jeux de composantes
indépendants.
*
23
45
Equation de propagation: cas TE. On a donc 2 jeux de composantes indépendants: (Ey, Hx, Hz) et (Hy, Ex, Ez). Dans le 1er
cas le champ électrique est perpendiculaire au plan d’incidence et parallèle à l’interface,
on est donc dans le cas d’une polarisation TE. Le 2nd cas correspond à la polarisation TM.
Pour déterminer le champ E.M. TE il suffit de déterminer Ey pour connaître
complètement le champ E.M. :
xX réduite variablela avec 1 Xpour 0EW
dX
)x(Ed
xX réduite variablela avec 1 Xpour 0EU
dX
)x(Ed
.normalisée Fréquence appeléest Voù VnnkW U: alors aOn
nkWet nk U: poseon
xpour 0Enkdx
)x(Edet xpour 0Enk
dx
)x(Ed
knkn : avec e)x(E)z,x(Eoù d' 0EE :TE Mode
2
k avec 0 Enk E :soit 0 En E :oùd'
x pour 0n
n. domainepar constant est indicel'car Eq.3par régit est E champ Le
y
2
2
y
2
y
2
2
y
2
22
g
2
c
2222
2
g
2222
c
2
y
22
g
2
2
y
2
y
22
c
2
2
y
2
cg
zj
yyzx
2222
00
2
2
46
Solutions de l’équation d’onde. Les solution des équations différentielles précédentes sont connues et sont de la forme:
1 Xpour WXexpDWXexpC)X(E
xX avec 1 Xpour UXsinBUXcosA)X(E
y
y
Détermination de A, B, C et D:
•Nous pouvons remarquer que le guide présente une symétrie par rapport à l’axe z et
que par conséquent nos solutions doivent respecter cette symétrie: les solutions
doivent être symétriques (pairs) ou antisymétriques (impairs) par rapport à l’axe z .
• En raison du confinement de l’énergie E.M., le champ Ey doit décroître avec |X| et
être nul à l’infinie.
• De plus les relations de continuité de la composante tangentielle du champ
électrique impose que Ey soit continu à l’interface (en |X| =1).
On en déduit:
*
24
47
Solutions de l’équation d’onde.
1 Xpour Wexp
XWexp
X
X)X(E
1 Xpour Usin
UXsin)X(E
:rique)(antisymét impairs modes lesPour
y
y
Les solution des équations différentielles précédentes sont connues et sont de la forme:
1 Xpour WXexpDWXexpC)X(E
xX avec 1 Xpour UXsinBUXcosA)X(E
y
y
Détermination de A, B, C et D:
•Nous pouvons remarquer que le guide présente une symétrie par rapport à l’axe z et
que par conséquent nos solutions doivent respecter cette symétrie: les solutions
doivent être symétriques (pairs) ou antisymétriques (impairs) par rapport à l’axe z .
• En raison du confinement de l’énergie E.M., le champ Ey doit décroître avec |X| et
être nul à l’infinie.
• De plus les relations de continuité de la composante tangentielle du champ
électrique impose que Ey soit continu à l’interface (en |X| =1).
On en déduit:
1 Xpour Wexp
XWexp)X(E
1 Xpour Ucos
UXcos)X(E
:e)(symétriqu pairs modes lesPour
y
y
*
48
Expression du champ E.M. L’expression des composantes du champ magnétique s’obtiennent à partir des
relations qui relient Hx et Hz à Ey et qui sont données dans le transparent 6.
1Xpour )Wexp(
)XWexp(
X
X
k
jWH
1Xpour )Ucos(
)UXsin(
k
jUH
H deion Déterminat
1Xpour )Wexp(
)XWexp(
kH
1Xpour )Ucos(
)UXcos(
kH
:pairs modes lespour obtient On
X
E
k
1j
kj
1
x
EH
Ekkj
1
z
EH
0
0z
0
0z
z
0
0x
0
0x
y
0
0
0
0y
z
y
0
0
0
0y
x
Mod
es p
air
s
1Xpour Wexp
XWexp
k
jWH
1Xpour Usin
UXcos
k
jUH
H deion Déterminat
1Xpour Wexp
XWexp
X
X
kH
1Xpour Usin
UXsin
kH
:impairs modes lespour obtient On
X
E
k
1j
kj
1
x
EH
Ekkj
1
z
EH
0
0z
0
0z
z
0
0x
0
0x
y
0
0
0
0y
z
y
0
0
0
0y
x
Mod
es i
mp
air
s
25
49
Détermination de pour les modes TE.
2
222
i
i
2222222
222222
UV
mode. deNotion possibles Uplusieurs fixe VPour
),,, fct(V avec fct(V)U
impair. mode lepour ,2
pour U 0 W
pair. mode lepour 2
-0 pour U 0 W
Vet U 0et W U:'
:si guidéest mode ième Le
W U:soit
et W UAvec
impairs. modes lespour )(cot
pairs modes lespour )tan(
ici
gC
impair
pair
cig
gc
gc
Unk
nn
m
m
oùd
knkn
Vnnk
nknk
UanUW
UUWW en fct de U
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
0 1 2 3 4 5 6 7 8
U
w
Wpair
Wimpair
W en fct de U
0
1
2
3
4
5
6
0 1 2 3 4 5 6
V
U
Vpair
Vimpair
U=V
s’obtient à partir des relations de continuité de la composante tangentielle du
champ magnétique. Hz qui doit être continue à l’interface (en |X| =1). On a alors :
50
Détermination du nombre de mode TE.
3,.... 2, 1, 0,m avec
2m
nk
nkarctnk
:obtienton valeursleurspar et W Uremplaceon )U(ancotUWet )Utan(UW dans Si
22
c
2
2
g
22
22
c
2
Si on respecte les plages de valeurs possibles pour U on obtient les courbes de
dispersion suivantes :
U en fonction de V
0,00
1,00
2,00
3,00
4,00
5,00
6,00
0,00 2,00 4,00 6,00 8,00
V
U
TE0
TE2
TE4
TE1
TE3
U=V
12
N : oud' solutionTE nouvelle unea y il
2
π fois deentier nombre un dépasse V que fois chaque A
Vet U 0Wet U
impairs. modes lespour )(cot
pairs modes lespour )tan(
TE
VInt
UanUW
UUW
Il est important de noter que ces courbes sont valables pour n’importe quel guide plan.
Remarques:
Equation identique à celle obtenue avec les ondes planes en posant: k
)cos(nn :où'd zci eff
26
51
Les composantes des modes TM sont (Hy, Ex, Ez) et les équations d’onde à résoudre sont
les suivantes:
Cas TM (pour information).
x
X avec 1 Xpour 0HWdX
)x(Hdet 1 Xpour 0HU
dX
)x(Hdy
2
2
y
2
y
2
2
y
2
1 X Wexp
XWexp
X
X
n
njW)X(E
1 X Ucos
UXsinjU)X(E
1 X Wexp
XWexp
n
n)X(E
1 X Ucos
UXcos)X(E
1 X Wexp
XWexpkn)X(H
1 X Ucos
UXcoskn)X(H
2
g
2
cz
z
2
g
2
cx
x
0
0
2
cy
0
0
2
cy
1 X Wexp
XWexp
n
njW)X(E
1 X Usin
UXcosjU)X(E
1 X Wexp
XWexp
X
X
n
n)X(E
1 X Usin
UXsin)X(E
1 X Wexp
XWexp
X
Xkn)X(H
1 X Usin
UXsinkn)X(H
2
g
2
cz
z
2
g
2
cx
x
0
0
2
cy
0
0
2
cy
Mod
es p
air
s
Mod
es i
mp
air
s
impairs. modes lespour )U(ancotUnWn
pairs modes lespour )Utan(UnWn :interfacel' à continue E
2
g
2
c
2
g
2
cz
Equation de dispersion:
52
Condition de guidage et nombre de mode
24
:oùd' 12
et 12
VIntN
VIntN
VIntN TotalTMTE
On a vue précédemment, qu’à chaque fois que V dépasse un nombre entier de fois il y
a une nouvelle solution TE. Il en est de même pour les solution TM. On a donc: 2
On a vu qu’il y avait guidage si:
. θ θ n
n)cos(θ nn :oùd' )cos(nn : aon plus eD
guide. le dans confinée pas reste ne énergiel' Pertes, àMilieu complexe ncomplexe
''j' complexe complexe U pure imaginaireest W alors nn Si
VWet U nket W nk UAvec
Vet U 0et W U: si dire àest c' ,knkn :si guidéest mode i Le
rz
c
g
zgi effzci eff
i effi
iiiigi eff
2222
g
22
i
2
i
2
c
2
cig
ième
Le iième est guidé si ng< neffi < nc
27
53
Guide asymétrique.
• La résolution est identique à celle
du guide plan. Cependant on ne
peut plus utiliser le formalisme des
variables réduites U, V, W ce qui
alourdit considérablement la
résolution.
• L’équation de dispersion obtenue
avec l’approche des ondes planes
reste valable.
• Dans le cas du guide plan on peut
avoir réflexion totale à une
interface et pas à l’autre. Dans ce
cas il n’y a pas guidage. La
condition de guidage est alors :
sup(ng1,ng2)<neffnc
x Q
z
-
k
Cœur
Gaine1: ng1
z
A
P C
B
D
Gaine2:
ng2
ng1
>
n
g2
neff
nc ng1 ng2
Modes
guidés
Modes rayonnés
ng1
ng2
nc
54
Application.
Dans un guide plan, on veut déterminer le nombre mode TE, les constantes de
propagation i correspondantes et surtout les cartes de champ de chacun des modes,
et ceci pour les 3 longueurs : 0.8µm, 1.3µm et 1.8µm. Le guide plan est le suivant:
• V(nc, ng, d, )
• Abaques Nombre de mode.
• Abaques U et W.
• U et W et neff.
• U et W Cartes de champs.
U en fonction de V
0,00
1,00
2,00
3,00
4,00
5,00
6,00
0,00 2,00 4,00 6,00 8,00
V
U
TE0
TE2
TE4
TE1
TE3
U=V
x
z
n
d/2
nc ng Cœur
Gaine
Gaine -d/2
nc ng d/2 lambda V U W beta neff
1,48 1,47 2,5 1,8 1,5005 0,9150 1,1893 5,15 1,47630
1,48 1,47 2,5 1,3 2,0821 1,0450 1,8008 7,14 1,47754
1,48 1,47 2,5 0,8 3,3688 1,2050 3,1459 11,61 1,47871
nc ng d/2 lambda V U W beta neff
1,48 1,47 2,5 1,8
1,48 1,47 2,5 1,3 2,0802 1,9400 0,7507 7,11 1,47131
1,48 1,47 2,5 0,8 3,3745 2,3650 2,4070 11,59 1,47510
nc ng d/2 lambda V U W beta neff
1,48 1,47 2,5 1,8
1,48 1,47 2,5 1,3
1,48 1,47 2,5 0,8 3,3735 3,3200 0,5987 11,55 1,47032
pair 0
Pas 1er mode d'ordre supérieur
Pas 2nd mode d'ordre supérieur
Pas 2nd mode d'ordre supérieur
impair 1
pair 2
28
55
Forme du champ E.M.
Mode fondamentale pour lambda=0.8, 1.3 et 1.8µm
-3
-2
-1
0
1
2
3
-5 -3 -1 1 3 5
X en µm
Am
pli
tud
e (
au
)
TE0-0,8µm
TE0-1,3µm
TE0-1,8µm
Mode du guide pour lambda=1.3µm
-3
-2
-1
0
1
2
3
-5 -3 -1 1 3 5
X en µm
Am
pli
tud
e (
au
)
TE0-1,3µm
TE1-1,3µm
xX avec 1 Xpour
Wexp
XWexp
X
X)x(E
1 Xpour Usin
UXsin)x(E :impairs Modes
xX avec 1 Xpour
Wexp
XWexp)x(E
1 Xpour Ucos
UXcos)x(E :pairs Modes
y
y
y
y
D’après les résultats précédents, on trouve:
Mode du guide pour lambda=0.8µm
-3
-2
-1
0
1
2
3
-5 -3 -1 1 3 5
Amplitude (ua)
y e
n µ
m
TE0-1,8µm
TE1-1,8µm
TE2-1,8µm
56
Partie évanescente du champ E.M.
Mode du guide pour lambda=1.8µm
-3
-2
-1
0
1
2
3
-5 -3 -1 1 3 5
X en µm
Am
pli
tud
e (
ua)
TE0-1,8µm
TE1-1,8µm
TE2-1,8µm
1 X
nnkexp
Xnnkexp
X
X)x(E :impairs Modes
nnkexp
Xnnkexp
)x(E:pairs Modes
1 X
nnksin
Xnnksin
)x(E :impairs Modes
nnkcos
Xnnkcos
)x(E :pairs Modes
2
g
2
eff
2
g
2
eff
y
2
g
2
eff
2
g
2
eff
y
2
eff
2
c
2
eff
2
c
y
2
eff
2
c
2
eff
2
c
y
Si on explicite U et W on a:
Partie évanescente :
• Partie du champ E.M. à l’extérieur du guide.
• Caractérise le confinement.
• Le confinement augmente avec neff.
• Les modes d’ordre supérieur sont moins confinés.
• Le mode d’ordre 2 est limite guidé.
neff en fonction de V pour le guide plan étudié
1,47
1,472
1,474
1,476
1,478
1,48
0,00 1,00 2,00 3,00
V
neff
TE0
TE2
TE1
V de notre guide
29
57
Signification de neff. x
z
-
k
Cœur
Gaine
Gaine
z
neff
'k
nc
Chaque mode peut être assimilé à une "pseudo onde plane" qui se propage dans un milieu
homogène d’indice neff dans la direction . L’amplitude de chaque mode guidé est constante
au cours de la propagation. La seule propriété qui nous différentie avec une vraie onde plane
est la limitation spatiale de l’amplitude, qui est caractéristique du confinement de la lumière.
Si on place des miroirs de par et d’autre du guide on obtient alors un résonateur optique
stable pour les modes guidées.
'k
nc
ng
ng
C/2Lneffi
auxlongitudin mode q-
aux transversmode m- doublet mode Un m,q
1,q
0,q
2,q 1,q+1
0,q+1
2,q+1
58
Autres applications de l’optique guidée. Avantages de l’optique guidée : possibilité de réaliser de fonction optique
intégrée (de très petite taille).
• Aspect monolithique des dispositifs Grande stabilité.
• Dimensions très petites par rapport à des manipulations en optique de
volume.
• Densité d’énergie importante due au confinement de la lumière : très
intéressant pour de l’amplification ou de l’optique non linéaire.
• Fabrication des puces optiques assez faible Coût.
• Possibilité d’intégrer un grand nombre de fonctions sur une même puce.
Exemple d’un interféromètre de Mach-Zehnder intégré :
électrode
Substrat
électrode
30
59
Confinement 2D
On piège la lumière entre deux diélectriques par réflexion totale dans deux
directions de l’espace: Guides de largeur limitées et fibre optique. Le seule
cas que l’on sait traiter analytiquement est la fibre optique.
Tuyau pour guider la lumière:
Spécifications:
• Guidage dans le milieu le plus réfringent.
• Faibles dimensions transversales: quelques dizaines de µm.
• Le guidage dépend des paramètres opto-géométriques du guide.
• Grande capacité pour transporter de l’information.
Matériaux:
•Plastique de différentes compositions.
•Verres de différentes compositions (applications télécom):
@ Silice + dopant (Ge).
60
Anatomie d’une fibre optique.
n1 > n2 Réflexion totale interne : i>ir= arcsin(n1/ n2).
Deux types de
profils d’indice.
n2 n1
31
61
Fibre optique
r
x
y
z
nc ng
n
ng
nc
y
zj
0
zj
0
i eff
i eff
zjtj
ii
zjtj
ii
cc
e,rH H et e,rEE
:écrires'euvent p
n.
C :soit n
2et 2 : où
eey,xHt,z,y,xH
eey,xEt,z,y,xE
:Magnétiqueet Electrique champs des sexpression les cas, ce Dans
r nrnet r 0pour nrn
escylindriqu escoordoonnéen leon travail
i
i
Champ E.M. dans le guide mais aussi un peu dans la gaine :
• neff i indice de réfraction vue par l’onde E.M. indice moyen de nc et de ng.
• neff i nc et neff ing sinon l’onde E.M. fuit dans la gaine.
• Condition de guidage: neff i réel sinon atténuation au cours de la propagation.
• Condition de guidage: ng <neff nc ou: CiggiCi knkn knet kn
Symétrie cylindrique :
62
Solution de l’équation de propagation.
Fonctions de Bessel:
• 1ère espèce J
• 2nde espèce modifié K
Fonctions de bessel de 1er espèces
-0,5
-0,3
-0,1
0,1
0,3
0,5
0,7
0,9
0 5 10 15
x
A (
ua)
J0(x)
J1(x)
J2(x)
Fonction de Bessel de 2nde espèce
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
0 1 2 3 4 5
x
A (
ua)
K0(x)
K1(x)
K2(x)
Interprétation et manipulation difficile! (juste pour information)
01
1
01
1
0
222
2
0
2
2
0
2
0
2
0
222
2
0
2
2
0
2
0
2
zzzz
zzzz
HnkH
rr
H
rr
H
EnkE
rr
E
rr
E
Symétrie cylindrique : équation d’onde en coordonnées cylindriques:
Solutions
32
63
Courbe de dispersion.
• Courbe exprimée en fonction de b
et V.
• b: constante de propagation
normalisée.
• V valable pour n’importe quelle
fibre.
• Groupe de modes: modes avec b.
• Speudos modes mode LPlm
• Les Modes LPlm ont la même allure.
•Les Modes LPlm ont le même neff.
• Mode HE11 mode fondamentale.
• Le mode HE11 est toujours "guidé".
• Zone monomode: V<2.4
• Nombre de mode: V2/2
pour petit (faible guidage)
et V grand.
HE11 TE01, TM01, HE21 EH11, HE31, HE12 EH21, HE41 TE02, TM02, HE22 HE31, HE51
V coupure 0 2,405 3,832 5,136 5,520 6,380
c
gc
n
nn
64
Forme des champs.
Modes LPlm:
• LP11: TE01 TM01 HE21
• LP21: EH11 HE31
• l est le nombre azimutale :
nombre de période du champ
sur une circonférence. On a 2l
maxima et 2l zéro de l’intensité
du mode.
Fibre monomode
33
65
Etude de la SMF28.
Faible guidage: simplification
des relations de dispersion.
Il nous manque ng,
on prend ng =1.42
66
Nombre de mode de la SMF28. On veut déterminer le nombre de mode en fonction de la longueur d’onde.
Le nombre de mode va être donné par V et par la courbe de dispersion.
Mode HE11 TE01, TM01, HE21 EH11, HE31, HE12 EH21, HE41 TE02, TM02, HE22 HE31, HE51
V coupure 0 2.405 3.832 5.136 5.520 6.380
V enfct de lambda
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
0,98 1,18 1,38 1,58 1,78 1,98
lambda en µm
V
2
g
2
c
222 nnkV
V=2.4
Limite monomode: 1.25µm
La longueur d’onde coupure de monodicité est d’environ 1250nm. On est en accord
avec la feuille de spécification. A 980nm V3.1, on a 4 modes dans la fibre "pas
bon" pour faire du pompage à 980nm. Il faut utiliser une autre fibre: HI1060.
34
67
Résonateur fibré.
Mode LP LP01 LP11 LP21
Mode HE11 TE01, TM01, HE21 EH11, HE33
V coupure 0 2.405 3.832
Si on place des miroirs de par et d’autre de la fibre on obtient alors un résonateur optique
stable pour les modes guidées.
nc
ng
ng
C/2Lneffi
auxlongitudin mode q-
aux transversmode ml,- doublet mode Un m,ql,
1,1,q
0,0,q
2,1,q 1,1,q+1
0,1,q+1
2,1,q+1
68
Les pertes par courbure et confinement. Les résonateurs sont souvent assez long, on enroule alors la fibre optique sur elle-même.
rm
rm
m
alors
0 ou
:guidage de Condition
)cos(
gaineeff
coeureffgaine
coeureff
nnSi
nnn
nnnc , 0° neff , m ng, r
Moins
confiné
Plus
confiné
Quand neff tend vers ng, le mode guidé est à la limite de la réflexion totale, la moindre
modification selon l’axe de propagation va se traduire par des fuites hors du guide. On en
déduit que les modes d’ordre supérieures ont plus de pertes par courbure:
Pertes par courbure.
E1. 55µm E1.3µm m> r
Fuites
.
35
69
Autre application de la fibre optique. Les capacités de transport de l’information augmente avec la fréquence de la
porteuse de l’onde électromagnétique:
Modulation:
•TB : période de la modulation.
•Tporteuse: période de la porteuse.
•TB>> Tporteuse (facteur 5 à 10).
Porteuse:
•Coaxe: 1Ghz (filtre passe bas).
•Radiocommunication: f 10-20Ghz.
•Optique: f 200Thz fortes
possibilités.
70
Comparaison: Fibre-cuivre.
La fibre optique présente de nombreux avantages:
• Faibles pertes par rapport au cuivre pour les hautes fréquences de modulation.
• Nécessite moins de répéteurs pour communication longue distance.
• Fréquence de la porteuse très élevée 1014 contre 109Hz.
• Capacité de transport de l’information plus importante.
• Faible dimension par rapport à un coaxe.
• Pas d'interférences entre les signaux contenus dans deux fibres différentes.
• Possibilité de mettre une très grand nombre de fibres dans un même câble.
36
71
Fabrication des fibres. La fibre optique est un long "cheveux de verre »:
•Très fin.
•Très long (plusieurs dizaine de km).
•Réalisation complexe.
On réalise dans un 1er temps une préforme avec le profil d’indice cœur-gaine,
puis on étire cette préforme afin d’obtenir la fibre:
72
Mesure de l’ON d’une fibre. Par définition, de l’Ouverture Numérique (O.N.) d’une fibre monomode correspond à
l’angle solide dans lequel on a 99% de la puissance transportée par le mode guidé.
• A Chaque Puissance lumineuse.
• I de () Gaussienne. (99% dans 1,5 le diamètre
de la gaussienne.
Mesure du champ lointain d’une fibre:
E(x)
TF de E(x)
Fibre sous
test
Fibre
multimode
(Pigtail)
37
73
Autres de guides optiques 2D
x
0.55 µmInGaAsP
n=3.38
1.5 µm
0.7 µm
y
z
InP
n=3.17
n=1
air
SiO2
Si0.2µm
0.47µm
n=1.5
n=3.5
Guides de largeur limitée: confinement dans les deux directions
transverses à l’axe de propagation:
10µm
Echange d’ions
n~10-2
Guide SC + gravure
Pour les guides de largeur limitée autres que la fibre on a pas de
solutions analytiques. On est obligé de faire des approximations
74
Guides de largeur limitée. Dans le cas de guide de largeur limitée la détermination de neff et des cartes de champ est
non triviale, et doit passer par des méthodes numériques lourdes. On peut cependant avoir
une bonne approximation neff à partir de la méthode des indices effectifs. Cette méthode
consiste à séparer le problème bidimensionnel en deux problèmes unidimensionnels. On
commence par la dimension qui se rapproche le plus d’un guide planaire:
dx
dy nc
ng
dy nc
ng
neff1
ng
dx
neff1
ng
neff
neffII
dx
dy1 dy2
nsub
n0
nc dy2
nsub
n0
nc dy1
nsub
n0
nc
+ dx
neffI
Zone I Zone II Zone II
neffII
neff
38
75
Exemple
8µm
6µm nc
ng
6µm nc
ng
neff1
ng
8µm
neff1
ng
neff
On calcule les paramètres V pour la longueurs d'ondes considérée:
• V980= 1.6720 et V1550=1.0571
A partir des abaques on en déduit les valeur de U ou de W, or :
D'où : neff(980)= 1,51167 et neff(1550)= 1,51120
Le second guide planaire à étudier est donc un guide de 8µm de largeur,
d'indice de gaine 1.51 et d'indice de cœur:
nc=1,51167 pour =980nm et nc=1,51120 pour = 1550nm
On calcule à ces 2 longueurs d'ondes le paramètre V et neff. On trouve:
• V980= 1.8242 et V1550=0.9744
• V980>/2 guide multimode à 980nm
• neff(980)=1,51118 et neff(1550)= 1,51053 Mode 0
2
avecW
U
,222
222
yx
eff
g
c
d
kn
nk
nk
76
Cas de champs de forme Gaussienne. On constate dans les cas du confinement 1D et 2D que le champ EM a une forme
Gaussienne, on peut utiliser les propriétés issues de la théorie des faisceaux Gaussiens
qui donnent la largeur du champ après propagation sur une distance z dans l’espace
libre:
0
22
00
2
x
2
2
0
00
2
0x
00
2
0
x
avec zw
r2exp
zw
wIE
1I :aon intensitéEn
e
zA àrayon leest zw
wn
z1wzw avec
zw
rexp
zw
wAzE
: à égaleest réelle amplitudel' z, distance unesur n propagatio Aprés
e
A àrayon leest w 2w wavec 0zen
w
rexpA0E
:forme la de réelle amplitude une avec xselon polarisé E.M. champun aOn
Propriétés:
• 86% de l’énergie est contenue dans un cercle de rayon w0
• Cercle de rayon w0 amplitude à 1/e en sortie du guide soit le mode guidé.
• Taille de mode défini à 1/e en amplitude ou à 1/e2 en intensité.
• 99% de l’énergie est contenue dans un cercle de rayon 1.5w0
• W(z) augmente lorsque z et augmentent.
• W(z) augmente lorsque n et w0 diminuent.
39
77
Résonateur à miroirs
Le confinement transverse peut être obtenu en utilisant simplement des miroirs
paraboliques (cavité optique classique). Il s’agit 1er résonateurs utilisés pour
réaliser des lasers:
Afin de limiter le nombre de modes (augmenter la cohérence) on limite le nombre
de directions d’oscillation possibles en ouvrant la cavité. Pour qu’une direction de
propagation oscille, la lumière doit rester confinée au voisinage de l’axe de optique
(direction privilégiée de propagation). La lumière reste alors confinée latéralement.
78
Stabilité de cavité
On dit qu’une cavité est stable lorsque le lumière peut rester confinée à l’intérieure.
La stabilité d’une cavité dépend du rayon de courbure R1 et R2 des miroirs qui
la constitue et de la distance L entre ces miroirs. Nous allons donc déterminer
les conditions sur ces paramètres permettant de garder confiner la lumière
latéralement.
Pour cela nous allons utilisé l’optique matricielle et regarder les conditions sur R1 ,
R2 et L permettant à un rayon lumineux de rester au voisinage de l’axe optique,
c’est-à-dire de rester peut incliné par rapport à l’axe optique.
R1 R2
L
40
79
Matrice ABCD: rayons lumineux (rappels)
Nous allons relier le rayon incident au rayon réfracté par une matrice de transfert. Les
rayons sont représentés par un vecteur contenant l’angle optique et la distance KH.
A la sortie du système optique le rayon émergent est donné par un vecteur contenant
l’angle optique ’ et la distance K'H'. On a alors:
K'H' y'avec émergent rayon '
y'et HK yavec incident rayon
y
II
Axe optique
n1 n2
H
K
A A’
’
H'
K'
80
Signification et utilisation de ABCD. Soit un système optique centré constitué de N éléments optiques:
• Premier élément en S1
• Dernier élément en S2
• Chaque élément peut être caractérisé par une matrice Mi
Ce système est caractérisé par la matrice M:
C
n
V
nf
C
n
V
nf
VC
MMMDC
BA
DC
BAM NN
22
11
1.1.
'
y....
y
'
y' avec
n1 n2
S1 S2
f et f’ sont les focales objet et image du système
optique
ii
ii
iDC
BAM
41
81
Matrices ABCD (rappels).
1det(M) 11
01
f
MO F z F ’
Lentille
1det(M) 10
1
LM
n
L z
Propagation libre
1det(M) 1
201
R
Mz
R
Miroir sphérique
2
1
2
1 det(M) 0
01
n
n
n
nM
z
n2 n1
Dioptre plan
82
Mise en équation du résonateur
La cavité est un système périodique dont la période correspond à un aller-retour. À
chaque aller retour la lumière rencontre les mêmes éléments optique. Ceci apparaît
clairement sur le schéma de la cavité déplié.
La matrice ABCD correspondant à un aller retour est :
R1 R2
L
z
f1 f2 f1 f1 f2 f1 f2
L
LRRR
L
R
LR
LL
R
L
R
L
R
L
R
LR
L
R
LR
L
M
f
L
f
L
R
L
R
LM
1221
1221
2
2
1
1
2121
21
221
2
21
221
21
12
21
12
21
1det(M) 11
01
10
11
101
10
1 1
201
10
11
201
10
1
42
83
Condition de stabilité
Le problème de stabilité se ramène à l’étude des valeurs propres de la matrice M
et des vecteur propres associés à ces valeurs propres. La détermination des valeurs
propres revient à calculer:
1et 1pour réaliséeest stabilitéla Donc
II :par donnéest retour aller N après I rayon le
II :par donnéest retour aller un après I rayon le
1 :avoirdoit a on inchangérestant t déterminan le
0
0 :devientretour aller unà associé M matricela et I
:base cettesur Iincident état tout développer alorspeut On associés. propres vecteursles I On
122
propres valeurs :alorsa On
1det(M)car 01 :encoresoit
0 :soit
0det
ba
0
ba0
ba
0
0ba,
2
ba,ba,
2
2
b
N
bba
N
aa
N
bbaa
b
a
bbaa
IcIcM
IcIcM
MIcIc
DADA
DA
BCADDA
DC
BA
84
Condition de stabilité : équation
Si les valeurs propres sont des solutions réelle alors det(M)=1 impose que une
des valeurs propres est forcément supérieure à 1. Dans ce cas, le rayon I diverge et
s’éloigne alors de l’axe optique et le système est instable. Pour que le système soit
stable les valeurs propres doivent être complexes conjuguées :
1gg 0 :alorsa On
1g egéométriqu paramètres les paramètres lesnt introduisa En
111 0 :écrires'peut stabilité de conditionla Donc
11414322224
12DA
22
122
12
12DAor
14
2DA01
4
2DA0
12
DA1-soit 1
2
DA : si complexesont propres valeursLes
:alorsa On
21
i
21
212121
2
122121
2
1221
ba,
i
i
R
L
R
L
R
L
R
L
R
L
R
L
R
L
RR
L
R
L
R
L
R
L
R
L
RR
L
R
L
R
L
R
L
R
L
e
43
85
Condition de stabilité : graphique On peut visualiser cette condition de stabilité sur un diagramme représentant
l'espace g2(g2),. La condition de stabilité est alors représentée par deux hyperboles.
86
Modes transverses: Mise en équation
On va maintenant s’intéresser à la structure électromagnétique à l’intérieur de la
cavité. Le champ doit satisfaire les conditions suivantes :
• Satisfaire les équations de Maxwell
• Le champ doit décroître lorsque l’on s’éloigne de l’axe optique en raison de
la taille finie des miroirs. (confinement latéral de la lumière)
• Le front d’onde doit être adapté au rayon de courbure des miroirs.
Un mode va osciller dans la cavité s’il reste proche de l’axe optique de la cavité
(jusqu’à 20°). On est alors clairement dans le cas de l’approximation paraxiale:
L’équation (5) devient alors :
Equation d’onde paraxiale
z selon npropagatio unepour et 2
2
kz
kz
02 2
2
2
2
zik
yx
44
87
Equation d’onde paraxiale
02 :devient onded' équationL'
z selon npropagatio unepour et : Avec
),,(
),,(
),,(
),,(
0
2
2
2
2
2
2
2
22
2
2
2
2
2
22
2
2
2
2
2
2
2
2
2
zik
yx
kz
kz
ze
zike
zikeezyxk
ye
xeE
ze
zike
zikeezyxk
z
E
zeezyxik
z
E
z
E
y
E
x
EE
ezyxE
EkE
ikzikzikzikzikzikz
ikzikzikzikz
ikzikz
ikz
88
Modes transverses: Solutions
Les solutions de l’équation d’onde paraxiale sont connues. La plus connue est le
faisceaux gaussien et il correspond au mode fondamentale de la cavité à miroir.
Les modes d’ordre supérieure sont décrits par les polynômes d’Hermite ou de
Laguerre selon la symétrie de la cavité.
faisceau du e Divergenc
Rayleighdengeur Lo
z en e
à rayon 1w(z)
z en onded'front du Courbure 1
avec
),,,(
0
2
0
0
2
0
2
)()(2)(00
2
2
2
wZ
Z
zw
z
ZzzR
eeezw
wtzyx
R
R
R
kztizR
kri
zw
r
45
89
Mode stationnaire d’une cavité optique
Un faisceau gaussien est complètement déterminé son waist w0 et la position z0 de
celui-ci. Afin de déterminer les caractéristiques spatiale du mode fondamentale issu
d’une cavité optique on va relier w0 et z0 aux paramètres géométriques de la cavité
optique (R1, R2, L). Pour cela, on doit déterminer les conditions permettant d’avoir
faisceau gaussien stationnaire dans la cavité.
Un faisceau gaussien se réfléchie sur lui-même à la réflexion sur un miroir
sphérique si le rayon de courbure du miroir et si le front d’onde du faisceau
gaussien sont identique au niveau du miroir. On a un champ E.M. stationnaire
dans la cavité optique, si cette condition est satisfaite sur chacun des miroirs
constituants la cavité. le faisceau gaussien fait un aller retour sur lui même.
90
Faisceau gaussien d’une cavité optique
R
1
R
2
L
z
z=0
z=z2
z=z1
2
:donc r
2
2
2
2
2
22 :déduit en On
2et
2 : alorsa On
Ldonc orientée, distance en travailleOn
soit
soit
:sont gaussien faisceau du noscillatiod' conditions Les
0zpour 0 R(z)avec 1:a On
2
21
21212
0
2
0
2
21
2121
2
21
1222121
2
21
122112
2
21
12
21
12
21
12
21
21
12
22
2
2
2
22
11
2
1
2
11
2
RRL
LRRLRLRLw
wZO
RRL
LRRLRLRLZ
RRL
LLLRRRRRLRLRL
RRL
LRLRRRLLRLZ
RRL
LRLR
RRL
LRLZ
RRL
LRLz
RRL
LRLz
zz
RzzZRzR
RzzZRzR
z
ZzzR
R
R
R
R
R
R
R
46
91
Faisceau gaussien d’une cavité optique
Cavité plane
Cavité
concave convexe
Cavité
Hémisphérique
Cavité
Concentrique
Cavité
Confocale
Waist de Pas 11 RR
L)-L( L)-L( L
12
1
0 1
2
01
2
2
1
2
2
1
2
1 RwRZ
R
R
R
L
R
LL
zR
RR
2
et 2
2
21
21212
0
21
21
RRL
LRRLRLRLw
RRL
LRLz
0 0
2 L 2
0
2
1
21
2112
wZR
RRL
LRLzRR R
4
4
2
symétrie Par
2L
L
2
2
0
221
112
12 Lw
LZ
RzRR
RR
R
92
Modes transverses d’ordre supérieure
Les solutions d’ordre supérieure de l’équation d’onde paraxiale est donnée par les
polynômes d’Hermite pour une cavité de symétrie rectangulaire et par les
polynôme de Laguerre pour une symétrie cylindrique. Comme pour la fibre les
modes transverses sont caractérisés par le doublet (m,n) qui donne des informations
sur la structure du mode et plus précisément sur le nombre d’extremum dans des
directions bien défini.
Hermite Laguerre
47
93
Modes transverses: Pertes et phase
Les modes d’ordre supérieure ont une extension transverse plus importe que le
mode fondamentale. Dans le cas ou cette extension est plus importante que la taille
des miroir qui constitue la cavité, on a alors des pertes (la lumière ne reste pas dans
la cavité) et le mode en question ne peut pas osciller. Donc le mode qui a le plus
de chance d’osciller est le mode fondamental. Chaque mode d’ordre supérieure à
une phase initiale différente (m,n) (mais même courbure du front d’onde), ce
qui explique que la cohérence spatiale du faisceau diminue quand le nombre
de mode transverse augmente.
Hermite Laguerre
94
Caractérisation: M2
2
reel
reel
théorie
reelM
Un M²>1 peut vouloir dire que l’on a des
mode d’ordre supérieur qui oscille. En effet,
les modes d’ordre supérieure ont une réparti
tion spatiale à variation plus rapide que le
mode fondamental, ce qui se traduit par des
fréquences spatiales plus élevée et donc une
divergence plus importante.
Le M2 est un paramètre qui permet de mesurer la qualité d’un faisceau laser. Il
donne la différence de divergence entre un faisceau gaussien idéal et le faisceau
réelle:
On a un faisceau idéal pour M2=1. En pratique, il est rare que l'on ait à faire à des
modes d'ordre supérieur (on essaie souvent d'avoir un beau faisceau gaussien). Pour
un faisceau «monolobe», d'allure gaussienne, on mesure le facteur M² pour savoir
si on est proche ou pas d'un faisceau parfait.
48
95
Couplage laser/guide optique. On veut désormais déterminer la quantité de lumière que l’on peut couplée entre un laser et
une fibre optique ou un guide optique. Le champ E.M. d’entrée va se répartir sur la base
des modes guidés et des modes radiatifs.
guidée. totalePuissance NaP
mode ième-i lepar guidée Puissance NadAz.HEa2
1P
incidente Puissance NdAz.HE2
1P
t,z,y,xHt,z,y,xHat,z,y,xHet t,z,y,xEt,z,y,xEat,z,y,xE
N
1i
i
2
iéetotaleguid
i
2
i
A
*
ii
2
ii
A
*
0
radi
N
1i
iradi
N
1i
i
E Erad E0 E2 E1
Lumière LASER
Mode fondamental
96
Coefficient de couplage .
..
.
:' .
.
:'
.2
1.
2
1.
2
1
..2
1K
.2
1 .
2
1
,,,,,,,,,et ,,,,,,,,,
**
i
2
*
i
0*
i
*
i
*
i
*
i
*
i
1
*
i
*
i
1
*
i
1
*
i
11
10
1
2
0
AA
i
Aii
A
i
Ai
AA
ii
A
j
N
j
j
A
rad
A
j
N
j
j
A
radj
N
j
j
A
radj
N
i
jradj
N
j
j
N
i
i
N
i
iiguidéetotale
dAzHEdAzHE
dAzHE
P
Poùd
dAzHE
dAzHE
aoùd
dAzHEdAzHEadAzHEaK
dAzHEdAzHEa
dAzHEEadAzHEK
tzyxHtzyxHatzyxHtzyxEtzyxEatzyxE
P
Na
P
P
itéorthogonald'
Propriétés
i ne dépend que de la forme des champs et pas de leur amplitude: Pi= i P0.
49
97
Coefficient de couplage .
2
ii
i
A
*
i
i
2
A
*
i
0
ii
A
*
ii
A
*
i
i
N
1i
i
0
N
1i
i
2
i
0
guidée totale
a :puissanceen normalisés EM champs les considèreOn
(formes). identiquessont champs 1 :EM champs les entrent recouvreme de intégrale dAz.HE
N.N
dAz.HE
P
P :où'd
dAz.HE
dAz.HE
a avec P
Na
P
P
a1 0
a1 1
a2= 0 a3 0
a3 1
a3< a1
Champ de formes
différentes. Injection symétrique pas de
couplage sur les modes impairs.
Champ de formes
différentes.
E symétrique
98
Sources de pertes de couplage.
Différence de taille de mode Diffraction dans l’espace libre.
Décalage latérale Tilt en angle.
w01 w02
dx w01
w01 w01
w01
z
w0 w(z) w0
Cavité
laser
50
99
Guides à 2 dimensions monomodes. On va faire l’approximation scalaire afin de simplifier les calculs. En effet, dans le cas du
faible guidage, on peut montrer que les champs sont polarisés quasi linéairement et qu’en
1ère approximation on peut les mettre sous la forme:
2222
2222
22
2
*
2
*
0
0ix
0
0
22 :alorsa
expet exp
:sGaussienne despar approchés êtrepeuvent champs
: cas ce
H
:guidé ode
H
:incident
yyi
yiy
xxi
xixyx
iyix
i
yx
AA
i
A
i
i
A
i
A
i
i
ic
i
c
ww
ww
ww
wwOn
w
y
w
x
w
y
w
x
Les
dAdA
dA
etdA
dA
aDans
yn
xEm
etyn
xEChamp
Cas traité:
100
Pertes de couplage due à une
désadaptation de mode.
2
y2
2
y1
y2y1
2
x2
2
x1
x2x1yx
2
y2
2
x2
2
2
y1
2
x1
1
ww
ww2
ww
ww2 :alors a On
2D cas
w
y
w
xexp
w
y
w
xexp
:sGaussienne despar approchés E.M. champs Les
Recouvrement entre deux Gaussiennes
de diamètre à 1/e de 10.4µm et de 25µm
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
-30 -20 -10 0 10 20 30
x-y en µm
Am
plit
ud
e (
ua)
1/e
Gaussienne1
Gaussienne2
3 dB de pertes au couplage
recouvrement de 50%
w1xy w2xy
Pertes de couplage due à une désadaptation de mode pour
2w1=10.4µm et différentes valeurs de 2W2.
-4,5
-4
-3,5
-3
-2,5
-2
-1,5
-1
-0,5
0
5 10 15 20 25 30
diamètre du mode 2 (µm)
pert
es (
dB
)
mode1 mode2
51
101
Dépendance en z.
w0 w(z) w0 On a vu que dans le cas de faisceaux
Gaussiens, on peut connaître la largeur du
champ après propagation sur une distance z
dans l’espace libre. Ici, on doit prendre en plus
le terme de phase du à la propagation dans
l’espace libre :
2
4
0
22
2
0
2
4
0
22
2
0
00
22
0
2
*
0
,
2
2
0x,0y
00,
2
0
2
0x,0y
,
22
22
00
0x,0y
2
0
2
0
0
41
41
4
e
zA àrayon leest :où 1 1z : avec
2 :où
22exp
: aon z, distance unesur n propagatio Aprés
e
A àrayon leest w 0zen exp
y
y
y
y
x
x
x
x
yx
yx
A
z
A
A
z
i
yxyxyx
npropagatio
yyxxyx
yx
z
yx
R
wk
zw
w
R
wk
zw
w
zwzw
ww
dAdA
dA
zwwn
zwzwet
z
wnR
nkR
yik
zw
y
R
xik
zw
x
zwzw
wwA
w
y
w
xA
Solution analytique
102
Dépendance en z.
w0=10.4µm
0 =1.55µm
n=1.51
dx =dy =0µm
x= y =0°
w0=9µm
0=1.55µm
n=1.51
dx =dy =0µm
x= y =0°
Pertes en fonction de z
-2
-1,8
-1,6
-1,4
-1,2
-1
-0,8
-0,6
-0,4
-0,2
0
0 20 40 60 80 100z (en µm)
Pert
es (
en d
B)
Pertes en fonction de z
-2
-1,8
-1,6
-1,4
-1,2
-1
-0,8
-0,6
-0,4
-0,2
0
0 20 40 60 80 100z (en µm)
Pert
es (
en d
B)
w0 w(z) w0
2
0
2
0
0w
y
w
xexpA
0zen
