Cours de maths en PDF - exercices corrigés gratuits - sujets ...Created Date Sun Oct 20 19:16:17 2002

L’integrale 20 octobre 2002

L’INTEGRALE DES FONCTIONSCONTINUES PAR MORCEAUX SUR UN

INTERVALLE

PC*2

20 octobre 2002

Introduction et conventions

Dans tout ce cours, la lettre I designe un intervalle quelconque non reduita un point et la lettre J un segment. Les fonctions considerees sont a valeursdans K = R ou C.

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Table des matieres

1 L’integrale des fonctions continues par morceaux sur un seg-ment 51.1 Fonctions de classe Cn par morceaux sur un segment . . . . . 51.2 Revision du cours de premiere annee sur l’integrale des fonc-

tions continues par morceaux sur un segment . . . . . . . . . . 81.3 L’integrale fonction d’une borne . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.3.1 Continuite par morceaux sur un intervalle quelconque . 121.3.2 L’integrale comme fonction d’une borne . . . . . . . . . 14

1.4 Sommes de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.5 La formule fondamentale du calcul differentiel et integral et

ses applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.6 Le changement de variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2 Integration sur un intervalle quelconque 192.1 Suites exhaustives de segments . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.2 Integration des fonctions positives . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.2.1 Definition et caracterisation . . . . . . . . . . . . . . . 202.2.2 Proprietes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.2.3 Etude pratique de l’integrabilite d’une fonction positive 27

Integrabilite des puissances . . . . . . . . . . . . . . . . 27Plan de l’etude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.3 Integration des fonctions de signe quelconque et a valeurs com-plexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.3.1 Proprietes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.3.2 Exemples d’integrabilite . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.3.3 Exemples de calcul d’integrales . . . . . . . . . . . . . 35

2.4 Complements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.4.1 Utilisation d’une serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3


2.4.2 Integration des relations de comparaison . . . . . . . . 41

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Chapitre 1

L’integrale des fonctionscontinues par morceaux sur unsegment

1.1 Fonctions de classe Cn par morceaux sur

un segment

On est prie de consulter le cours "Derivees des fonctions d’une variablereelle a valeurs reelles, complexes ou vectorielles" dont on reprend quelquesgrandes lignes.

Definition 1 (Continuite par morceaux sur un segment). Une fonctionf , definie sur un segment [a, b], est dite continue par morceaux sur [a, b] s’ilexiste une subdivision σ = (t0, t1, . . . , tn) de [a, b] telle que : pour chaquei ∈ {1, 2, . . . , n} existe une application fi, definie et continue sur le segment[ti−1, ti] et verifiant :

fi|]ti−1,ti[ = f|]ti−1,ti[ ie ∀t ∈]ti−1, ti[, fi(t) = f(t)

Une telle subdivision σ est dite adaptee a f .

Remarque 1. On verra que la valeur de f aux points ti n’importe pascontrairement aux limites laterales de f aux points ti qu’on note :

f(ti + 0) = limt→t+i

f(t) = fi+1(ti) pour i < n

5


f(ti − 0) = limt→t−i

f(t) = fi(ti) pour i > 0

En tout autre point de [a, b], f est continue.

Definition 2 (Classe Cn par morceaux). Meme definition en imposantaux fi d’etre de classe Cn.

Definition 3 (Derivee generalisee d’une fonction C1 par morceaux).Soit f une fonction de classe C1 par morceaux sur l’intervalle [a, b]. σ =(ti)0≤i≤n une subdivision adaptee a f et les fi comme ci-dessus. La fonctionf est derivable en tout point t ∈ [a, b] different des ti et la fonction f ′,definie sur [a, b] − {t0, t1, . . . , tn}, se prolonge en une fonction continue parmorceaux sur [a, b] en lui affectant des valeurs arbitraires aux points ti. Onappelera donc derivee generalisee de la fonction f de classe C1 parmorceaux sur [a, b] toute application g continue par morceaux sur [a, b]telle qu’existe une subdivision σ = (ti)0≤i≤n, adaptee a f verifiant :

∀t ∈ [a, b]− {t0, t1, . . . , tn}, g(t) = f ′(t)

bien qu’elle ne soit pas unique une telle application sera notee D f .Il importe de remarquer quelle coıncide avec f ′ sauf sur un sousensemble fini de [a, b] ou elle peut prendre des valeurs parfaitementarbitraires. On definit de facon analogue Dn f pour f de classe Cn parmorceaux sur [a, b].

Exemple 1 (Comprendre le caractere Cn par morceaux). Considerons la fonc-tion f definie sur [−1, 1] par :

f(x) = |x|Elle est continue sur [−1, 1] ; montrons qu’elle est aussi de classe C1 parmorceaux sur cet intervalle : la subdivision σ = (−1, 0, 1) est adaptee a f carles applications :

f1 : [−1, 0]→ R x 7→ −xf2 : [0, 1]→ R x 7→ x

sont de classe C1 respectivement sur les segments [−1, 0] et [0, 1] et que :

∀x ∈]− 1, 0[, f(x) = f1(x)

∀x ∈]0, 1[, f(x) = f2(x)

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On peut alors, par exemple, definir D f par :

D f(x) =

10000 si x = −1

−1 si −1 < x < 0

π si x = 0

1 si 0 < x < 1

−104 si x = 1

Il vient alors que f est derivable en tout point de ] − 1, 0[∪]0, 1[= [−1, 1] −{−1, 0, 1} et qu’en un tel point x : f ′(x) = D f(x). En les points −1, 0,1, la valeur de D f(x) est parfaitement arbitraire. Bien sur, on prouve sanschangement que f est C∞ par morceaux sur [−1, 1] puisque f1 et f2 sont declasse C∞.

On rappelle enfin le resultat suivant qui est tres utile pour rediger rapidementla preuve du caractere Cn par morceaux :

Proposition 1 (Le prouver rapidement). Soit f : [a, c]→ K et a < b <c. f est de classe Cn par morceaux sur [a, c] si et seulement si ses restrictionsaux intervalles [a, b] et [b, c] le sont. Au surplus, si ]α, β[ est un sous intervalleouvert de [a, b] sur lequel la restriction de f est de classe Cn (n ≥ 1) alorson peut imposer :

∀x ∈]α, β[, ∀j ∈ [|1, n|], Dj f(x) = f (j)(x)

Exemple 2 (Retour sur l’exemple precedent). Reprenons x 7→ |x| sur [−1, 1] :

f|[−1,0] est l’application x 7→ −x qui est de classe C∞ sur [−1, 0]

f|[0,1] est l’application x 7→ x qui est de classe C∞ sur [0, 1]

Donc, d’apres la proposition precedente, f est C∞ par morceaux sur [−1, 1].De plus f|]−1,0[ et f|]0,1[ sont de classe C∞ respectivement sur ]− 1, 0[ et ]0, 1[donc on peut imposer :

D f(x) =

{−1 pour x ∈]− 1, 0[

1 pour x ∈]− 1, 0[

et des valeurs arbitraires en les autres points de [−1, 1].

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1.2 Revision du cours de premiere annee sur

l’integrale des fonctions continues par mor-

ceaux sur un segment

Elle a ete vue en premiere annee. On se contentera ici d’un resume suc-cint et d’un rappel des proprietes les plus importantes. On suppose connuel’integrale des applications en escalier sur [a, b] a valeurs complexes et sesproprietes. On notera E([a, b],K) le K-espace vectoriel des applications enescalier de [a, b] dans K ; s’il n’y a pas d’ambiguıte on le notera simplementE .

Definition 4. Soit f une application continue par morceaux sur le segment[a, b] a valeurs reelles. Si ε > 0 il existe deux applications φ et ψ en escaliersur [a, b] telles que :

φ ≤ f ≤ ψ et ∀x ∈ [a, b], 0 ≤ ψ(x)− φ(x) < ε

Il vient alors :

supφ∈Eφ≤f

∫ b

a

φ(x) dx = infψ∈Eψ≥f

∫ b

a

ψ(x) dx

Cette borne commune est alors notee

∫ b

a

f(x) dx .

Soit f une application continue par morceaux sur [a, b] a valeurs complexes.Les applications g = Re f et h = Im f sont continue par morceaux sur [a, b]a valeurs reelles ce qui autorise a poser :∫ b

a

f(x) dx =

∫ b

a

g(x) dx+ i

∫ b

a

h(x) dx

On verifie la coherence de la notation et l’on dispose du theoreme suivant,non vu en premiere annee, mais qui permet d’obtenir tres rapidement les pro-prietes de l’integrale des applications continues par morceaux sur un segmenta valeurs complexes a partir des proprietes correspondantes des applicationsen escalier.

Theoreme 1. Soit f une des application continue par morceaux d’un seg-ment [a, b] dans C alors :

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a) f est limite uniforme sur [a, b] d’une suite d’applications en escalier sur[a, b].

b) Pour toute suite (fn) d’applications en escalier sur [a, b] qui convergeuniformement vers f sur [a, b] on a :

limn→∞

∫ b

a

fn(x) dx =

∫ b

a

f(x) dx

Demonstration. On se limite au cas des fonctions a valeurs reelles. Le cascomplexe s’en deduit immediatement par passage aux parties reelles et ima-ginaires.

Preuve de a) : Soit f une fonction continue par morceaux sur [a, b] a va-leurs reelles. Si n ∈ N, il existe deux applications φn et ψn appartenanta E([a, b],R) telles que :

φn ≤ f ≤ ψn et 0 ≤ ψn − φn ≤ 1

n+ 1

d’ou il decoule, en notant || ||∞ la norme de la convergence uniformesur le R-espace vectoriel des applications bornees de [a, b] dans R, que :

∀x ∈ [a, b], 0 ≤ f(x)− φn(x) ≤ 1

n+ 1d’ou ||f − φn||∞ ≤ 1

n+ 1

Preuve de b) : Soit (fn) une suite d’elements de E([a, b],R) qui convergeuniformement vers f sur [a, b]. Soit ε > 0. A partir d’un certain rangn0 on a :

||fn−f ||∞ <ε

b− a donc ∀x ∈ [a, b], fn(x)− ε < f(x) < fn(x)+ε

b− aMais la fonction φn = fn − ε/(b − a) resp ψn = fn + ε/(b − a) est enescalier sur [a, b] et, d’apres la linearite de l’integrale des fonctions en

excalier sur [a, b], son integrale vaut∫ bafn(x) dx− ε resp

∫ bafn(x) dx+ ε

donc, d’apres la definition de l’integrale de f sur [a, b] :∫ b

a

fn(x) dx− ε ≤∫ b

a

f(x) dx ≤∫ b

a

fn(x) dx+ ε

et donc : ∣∣∣∣∫ b

a

f(x) dx−∫ b

a

fn(x) dx

∣∣∣∣ ≤ ε

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Proposition 2 (Linearite de l’integrale). L’application f 7→ ∫ baf(t) dt

est une forme K-lineaire sur le K-espace vectoriel des applications continuespar morceaux sur [a, b] a valeurs dans K.

Demonstration. Decoules de la linearite de l’integrale sur E([a, b],K) et dutheoreme 1.

Definition 5 (Cas d’un ensemble fini exceptionnel). Si deux fonctionsf et g, continues par morceaux sur [a, b], a valeurs dans K, coıncident sur lecomplementaire d’une partie finie F de [a, b], leurs integrales coıncident.Il s’ensuit que, si f est une application de [a, b] − F dans K qui admet unprolongement g continu par morceaux sur [a, b], on peut convenir que :∫ b

a

f(x) dx =

∫ b

a

g(x) dx

puisque tout autre prolongement de f a [a, b] y est continu par morceaux etde meme integrale que g.

Demonstration. Si f et g different, au plus, sur F , h = f − g est en escalierd’integrale nulle donc

∫[a,b]

f =∫

[a,b]g.

Exemple 3. La fonction definie sur ]0, π[∪]π, 2π] par :

f(x) =sin x

x(x− π)

Se prolonge a [0, 2π] en une fonction continue (notee ici f mais, en pratique,notee encore f) en posant : f(0) = f(π) = − 1

π. On posera alors :∫ π

0

sin x

x(x− π)dx =

∫ π

0

f(x) dx

Proposition 3 (Positivite, croissance). Si f et g sont continues par mor-ceaux sur [a, b] et si f ≤ g sur [a, b] alors :∫ b

a

f(x) dx ≤∫ b

a

g(x) dx

Si f est positive et continue sur [a, b] et d’integrale nulle, elle est nulle.

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Demonstration. La positivite de l’integrale d’une fonction positive decoulede la definition 4 ; la linearite de l’integrale assure sa croissance.La stricte positivite de l’integrale d’une fonction continue telle qu’existe x0 ∈[a, b] tel que f(x0) > 0 provient de ce qu’on peut minorer f par une fonctionen escalier d’integrale strictement positive sur [a, b] (voir cours de premiereannee pour les details et surtout les dessins).

Proposition 4 (Inegalites importantes). Soient f et g, continues parmorceaux sur [a, b], a valeurs dans K, alors :∣∣∣∣∫ b

a

f(x) dx

∣∣∣∣ ≤ ∫ b

a

|f(x)| dx

et l’inegalite de Cauchy-Schwarz :

∫ b

a

|f(x)g(x)| dx ≤√∫ b

a

|f(x)|2 dx

√∫ b

a

|g(x)|2 dx

Demonstration. La premiere peut, par exemple, s’obtenir par passage a lalimite via le theoreme 1. La deuxieme a ete vue en premiere annee, elleest admise pour l’instant et sera demontree dans le cours sur les espacesprehilbertiens.

Exercice 1. Montrer que, si f est continue et si la premiere inegalite est uneegalite alors il existe θ ∈ R tel que :

∀x ∈ [a, b], f(x) = eiθ |f(x)|

Proposition 5 (Relation de Chasles). Soit f une application de [a, c]dans K et b tel que a < b < c. Alors f est continue par morceaux sur [a, c]si et seulement si elle l’est sur [a, b] et sur [b, c] et, dans ce cas :∫ c

a

f(x) dx =

∫ b

a

f(x) dx+

∫ c

b

f(x) dx

Remarque 2. On verra dans la section suivante l’interet de cette relationpour calculer explicitement des integrales de fonctions continues parmorceaux sur un segment.



1.3 L’integrale fonction d’une borne

1.3.1 Continuite par morceaux sur un intervalle quel-conque

Definition 6. Une application f d’un intervalle I dans K est dite continuepar morceaux sur I si, pour tout segment J contenu dans I, f|J est continuepar morceaux sur J .

Proposition 6 (Structure d’espace vectoriel). L’ensemble des applica-tions continues par morceaux sur I a valeurs dans K est un K-sous espacevectoriel de F(I,K).

Demonstration. Facile et donc laissee aux courageux lecteurs.

Proposition 7. Si f et g sont des fonctions continues par morceaux definiessur I, a valeurs dans K, il en est de meme des fonctions :

– fg.– f/g si g ne s’annule pas sur I.– |f |.– Re f , Im f .– Si f est a valeurs reelles, f+ et f−.

Demonstration. On se ramene immediatement au cas des fonctions continuespar morceaux sur un segment.

Exemple 4. Demontrons que la fonction f definie sur I =]0, 1] par la relation :

f(x) =1

x−[

1

x

]est continue par morceaux sur I :Soit J ⊂ I un segment, on peut se limiter au cas ou J est de la forme [1/n, 1]avec n ≥ 2 puisque tout segment contenu dans I est contenu dans un segmentde ce type. Prouvons maintenant que f|J est continue par morceaux sur J .On considere la subdivision σ de J definie par :

σ =

(1

n,

1

n− 1, . . . ,

1

k,

1

k − 1, . . . , 1

)et, pour 2 ≤ k ≤ n, la fonction fk definie sur Jk = [1/k, 1/(k − 1)] par :

fk(x) =1

x− 1

k − 1



qui est continue sur Jk et qui coıncide sur ]1/k, 1/(k − 1)[ avec f .Donc fJ est continue par morceaux sur le segment J , le resultat voulu s’endeduit en liberant J .

Remarque 3. En revanche f n’est pas continue par morceaux sur lesegment [0, 1] car elle y admet une infinite de points de discontinuite.

Definition 7 (Classe Cn par morceaux). On dira que f : I → K est declasse Cn (n ∈ N ∪ {∞}) par morceaux sur un intervalle I, qui n’est pasnecessairement un segment, si et seulement si pour tout segment J ⊂ I, f|Jest de classe Cn par morceaux sur J .Si n ≥ 1, on notera alors D f toute application de I dans K dont la restrictiona tout segment J ⊂ I est une derivee generalisee de f|J . Une telle applicationD f , dont on prouvera l’existence en cours, est de classe Cn−1 par morceauxsur I et s’appelera une derivee generalisee de f sur I.

Remarque 4. D f n’est pas definie de maniere unique. En pratique ilconvient de bien preciser ce qu’on prend pour D f et d’etablirqu’elle est Cn−1 par morceaux.

Proposition 8 (Construction d’une derivee generalisee). Soit f uneapplication de classe C1 par morceaux sur l’intervalle I a valeurs dans K.Pour qu’une application g : I → K soit une derivee generalisee de f sur Iil est necessaire et suffisant que pour tout segment [a, b] ⊂ I il existe unesubdivision σ = (t0, t1, . . . , tn) de [a, b] telle que pour tout i ∈ {1, 2, . . . , n} fsoit de classe C1 sur ]ti−1, ti[ et qu’on ait :

∀x ∈]ti−1, ti[, g(x) = f ′(x)

Exemple 5. Reprenons la fonction f de l’exemple 4 dont on conserve lesnotations. De la meme facon on prouve que f est C∞ par morceaux surI puisque fk ∈ C∞(Jk,R) donc f|J est C∞ par morceaux sur J pour toutsegment J ⊂ I.Posons ∆ = {1/n, n ∈ N∗}. Pour x ∈ I, on definit alors D f(x) par :

−1

x2si x 6∈ ∆

12, 5 sinon



D f , ainsi definie, est bien C∞ par morceaux sur I =]0, 1]. Si J ⊂]0, 1] est unsegment il est inclus dans un segment de la forme [1/N, 1] ou N ≥ 2. Alors,si 1 ≤ n ≤ N , sur tout intervalle ]1/(n+ 1), 1/n[, ou f est C1, on a :

D f(x) = f ′(x) qui est la derivee usuelle de f au point x

ce qui prouve que D f est bien une derivee generalisee de f sur ]0, 1]. Bienentendu, on aurait pu prendre D f(x) = −1

x2 pour tout x ∈ I, c’est par pureprovocation qu’on ne l’a pas fait.

Exercice 2 (Fonctions de Bernoulli). -

1. Montrer qu’il existe une unique suite (Bn)n≥1 de polynomes telle que :B0 = 1B′n = Bn−1 pour n ≥ 0∫ 1

0Bn(t)dt = 0 pour n ≥ 1

Programmer les Bn en Maple.

2. Pour n ≥ 1,on note Bn la fonction 1-periodique qui coıncide avec Bn

sur [0, 1[. Montrer que B1 est de classe C1 par morceaux sur R.

3. Montrer soigneusement que,pour n ≥ 3,Bn admet une derivee continuequi n’est autre que Bn−1.1

1.3.2 L’integrale comme fonction d’une borne

Dans cette section, I designe un intervalle quelconque de R. Les fonc-tions sont a valeurs dans K.

Proposition 9 (Extension de la relation de Chasles). Soit f : I → K,continue par morceaux, a et b deux points de I. On pose :∫ b

a

f(x) dx =

{0 si a = b

− ∫ abf(x) dx si a > b

Avec ces conventions, on a pour tout systeme (a, b, c) de points de I :∫ c

a

f(x) dx =

∫ b

a

f(x) dx+

∫ c

b

f(x) dx

1Les Bn sont les polynomes de Bernoulli et les Bn sont les fonctions de Bernoulli



Remarque 5. Que deviennent les inegalites des propositions 3 et 4 si lesbornes du segment d’integration ne sont plus dans le meme ordre ?

Theoreme 2 (Integrale et primitives). Soit f une fonction continuesur I, a un point de I. L’application Fa de I dans K definie par :

Fa(x) =

∫ x

a

f(t) dt

est de classe C1 sur I et sa derivee vaut f . Il en resulte qu’une fonctioncontinue sur un intervalle y admet des primitives. Deux primitives d’unememe fonction continue sur I different d’une constante.

Proposition 10 (Extension aux fonctions continues par morceauxsur I). Soit f une fonction continue par morceaux sur I, a un point de I.L’application Fa de I dans K definie par :

Fa(x) =

∫ x

a

f(t) dt

est continue sur I en revanche elle n’est pas necessairement deri-vable en tout point de I. Plus precisement : si x0 est un point de I quin’est pas un plus grand element (resp un plus petit element) de I, Fa est de-rivable a droite (resp a gauche) en x0 et sa derivee a droite (resp a gauche)en x0 vaut :

f(x0 + 0) resp f(x0 − 0)

En particulier, si f est continue en x0, Fa est derivable en x0 et sa deriveeen ce point vaut f(x0).

Corollaire 1. Avec les hypotheses et notations de la proposition 10, la fonc-tion Fa est continue et C1 par morceaux sur I. En outre, si f est continueen un point x ∈ I, Fa est derivable en ce point et F ′a(x) = f(x).

Remarque 6. On peut donc choisir DFa de sorte que :

DFa(x) =

{f(x) si f est continue en x

arbitrairement sinon



Exercice 3. Soit f ∈ C(I,K), u et v deux applications de classes C1 d’unintervalle I ′ a valeurs dans I. Que vaut la derivee de :

x 7→∫ v(x)

u(x)

f(t) dt ?

1.4 Sommes de Riemann

Theoreme 3 (Sommes de Riemann). Soit f ∈ C(I,C) :

limn→∞

b− an

n−1∑k=0

f

(a+ k

b− an

)=

∫ b

a

f(x) dx

Demonstration. Demontre en cours sur l’uniforme continuite.

1.5 La formule fondamentale du calcul diffe-

rentiel et integral et ses applications

On verra dans le chapitre sur le calcul integral les diverses manieres d’uti-liser les resultats qui suivent.

Theoreme 4 (Formule fondamentale du CDI). Si f est continue surle segment [a, b] et de classe C1 par morceaux sur [a, b] et si D f estune derivee generalisee de f sur [a, b] alors D f est continue par morceauxsur [a, b] et : ∫ b

a

D f(t) dt = f(b)− f(a)

Corollaire 2. Si f est continue sur l’intervalle I et de classe C1 parmorceaux sur I et si D f = 0 sur I alors f est constante sur I.

Exercice 4. Que devient cette formule si f est simplement de classe C1 parmorceaux sur [a, b] ?

Proposition 11 (Integration par parties). Si f et g sont continues surle segment [a, b] et de classe C1 par morceaux sur [a, b] alors :∫ b

a

D f(t)g(t) dt = [f(t)g(t)]ba −∫ b

a

f(t) D g(t) dt



ou [f(t)g(t)]ba = f(b) g(b)− f(a) g(a).

Theoreme 5 (Formule de Taylor avec reste integral). Si f est declasse Cn et de classe Cn+1 par morceaux sur le segment [a, b], alors :

f(b) =n∑k=0

f (k)(a)

k!(b− a)k +Rn

avec :

Rn =

∫ b

a

(b− t)nn!

f (n+1)(t) dt ou f (n+1) = D f (n)

Ce reste peut encore s’ecrire, en posant b− a = h :

Rn = hn+1

∫ 1

0

(1− u)n

n!f (n+1)(a+ uh) du ou f (n+1) = D f (n)

Remarque 7. Il est essentiel d’appliquer les trois derniers re-sultats a des segments. Si l’on hesite a appliquer directement l’und’entre eux, il est vivement conseille de travailler avec une subdivisionet les fonctions fi correspondantes qui ont l’avantage d’etre de classeCn sur de bons segments.

1.6 Le changement de variables

Theoreme 6 (Changement de variable). Soit f ∈ C(I,K) et φ ∈ C1(J,R)avec φ(J) ⊂ I. alors, si α et β ∈ J , il vient, en posant a = φ(α) et b = φ(β) :∫ b

a

f(x) dx =

∫ β

α

f(φ(t))φ′(t) dt




Chapitre 2

Integration sur un intervallequelconque

L’objet de cette partie est d’etendre la notion d’integrale au cas des fonc-tions continues par morceaux sur un intervalle I qui n’est pas un segment iedu type :

]a, b], [a, b[, ]−∞, b], [a,+∞[, ]c, d[

avec −∞ < a < b < +∞ et −∞ ≤ c < d ≤ +∞. Nous aurons besoin, pourcela de quelques notions preliminaires.

2.1 Suites exhaustives de segments

Definition 8 (d’une telle suite). On appelle suite exhaustive de segmentsde l’intervalle I toute suite (Jn) de segments contenus dans I et verifiant lesproprietes suivantes :

– La suite (Jn) est croissante pour l’inclusion, c’est-a-dire que, pour toutentier n, Jn ⊂ Jn+1.

– Tout element de I appartient a au moins un Jn [et donc a tous lesJn a partir d’un certain rang puisque la suite (Jn) croıt] ce qui s’ecritencore : ⋃

n∈N

Jn = I

Explicitons des exemples dans tous les cas :– Si I est un segment [a, b], on prend Jn = I pour tout n.

19


– Si I =]a, b] avec −∞ < a < b < +∞, on prend Jn = [an, b] ou (an) estune suite decroissante d’elements de ]a, b[ qui converge vers a.

– Si I = [a, b[ avec −∞ < a < b < +∞, on prend Jn = [a, bn] ou (bn) estune suite croissante d’elements de ]a, b[ qui converge vers b.

– Si I =]−∞, b] avec −∞ < b < +∞, on prend Jn = [an, b] ou (an) estune suite decroissante d’elements de ] −∞, b[ qui converge vers −∞.

– Si I = [a,+∞[ avec −∞ < a < +∞, on prend Jn = [a, bn] ou (bn) estune suite croissante d’elements de ]a,+∞[ qui converge vers +∞.

– Si I =]c, d[ avec −∞ ≤ c < d ≤ +∞, on prend Jn = [an, bn] ou an < bnpour tout n, (an) est un suite decroissante d’elements de I qui tendvers c et (bn) est une suite croissante d’elements de I qui tend vers d.

La proposition suivante nous sera utile dans la suite :

Proposition 12. Soit (Jn) une suite exhaustive de segments de I et J = [a, b](avec a < b) un segment contenu dans I. Alors J est contenu dans tous lesJn a partir d’un certain rang.

Demonstration. On sait qu’existent deux entiers p et q tels que a ∈ Jp etb ∈ Jq. Soit N = max(p, q). JN contient Jp et Jq donc a et b donc J parconvexite de JN . Pour n ≥ N , il vient donc J ⊂ JN ⊂ Jn.

2.2 Integration des fonctions positives

2.2.1 Definition et caracterisation

Definition 9. Soit f une application de I dans R continue par morceauxsur I et a valeurs ≥ 0. On dit que f est integrable sur I si l’ensemble S(I)des reels de la forme :∫

J

f(t) dt ou J est un segment contenu dans I

est majore. Ce sous ensemble de R+, qui est clairement non vide, admet doncune borne superieure positive qui est appelee l’integrale de f sur I et qui estnotee (provisoirement) : ∫

I

f(t) dt = supS(I)



Il est clair que, si I est un segment [a, b], toute fonction f , continue parmorceaux et positive sur I, est integrable sur I et que cette notion d’integralecoıncide avec celle connue precedemment ie :∫

[a,b]

f(t) dt =

∫ b

a

f(t) dt

puisque ce dernier reel est, dans ce cas, le plus grand element de S(I).

Telle quelle cette definition n’est pas tres aisee a manipuler, d’ou le resul-tat suivant :

Theoreme 7 (Caracterisation). Soit (Jn) une suite exhaustive de seg-ments de I, posons Jn = [an, bn]. Alors la fonction f positive et continuepar morceaux sur I est integrable sur I si et seulement si la suite de termegeneral : ∫

Jn

f(t) dt =

∫ bn

an

f(t) dt

qui est croissante, est majoree. Si c’est le cas cette suite converge et :

limn→∞

∫Jn

f(t) dt =

∫I

f(t) dt

Sinon f n’est pas integrable sur I et :

limn→∞

∫Jn

f(t) dt = +∞

Demonstration. Supposons d’abord f integrable sur I. Comme Jn est unsegment contenu dans I, il vient :∫

Jn

f(t) dt ∈ S(I) donc

∫Jn

f(t) dt ≤∫I

f(t) dt

La suite de terme general∫Jnf(t) dt est donc croissante (car Jn ⊂ Jn+1 et

que f est positive), majoree par∫If(t) dt, elle converge donc vers une limite

l ≤ ∫If(t) dt ; prouvons l’egalite de ces deux nombres.

Soit ε > 0, le reel∫If(t) dt − ε <

∫If(t) dt ne majore plus S(I) duquel∫

If(t) dt est le plus petit majorant. Il existe donc un segment J ⊂ I tel que :∫

J

f(t) dt >

∫I

f(t) dt− ε



On sait aussi, d’apres la proposition 12, qu’il existe un entier N tel que :

n ≥ N ⇒ J ⊂ Jn

Pour n ≥ N , il vient, vu la positivite de f :∫Jn

f(t) dt ≥∫J

f(t) dt >

∫I

f(t) dt− ε

Le passage de cette inegalite a la limite, quand n→∞ assure que :

l ≥∫I

f(t) dt− ε

En liberant ε, il vient l ≥ ∫If(t) dt et le resultat convoite.

Reciproquement : montrons que, si la suite de terme general∫Jnf(t) dt

est majoree-par un reel M -alors f est integrable sur I. Il suffit, a cet effetd’etablir que S(I) est majore. Soit J ⊂ I un segment. Il existe un entier Ntel que J ⊂ JN et donc :∫

J

f(t) dt ≤∫JN

f(t) dt ≤M

donc M majore S(I), ce qu’on voulait.Enfin si f n’est pas integrable sur I, la suite precedente est croissante et nonmajoree, elle tend donc vers +∞.

2.2.2 Proprietes

Beaucoup de proprietes seront revues dans le cadre plus general des fonc-tions de signe quelconque. On s’interesse ici a celles qui sont specifiques auxfonctions positives et a celles qui nous seront utiles pour etablir efficacementl’integrabilite de telles fonctions.

Proposition 13. Soit f une fonction continue sur I, integrable sur Ipositive et d’integrale nulle sur I alors f est nulle sur I.

Demonstration. Le resultat est suppose connu pour un segment (reviser lapreuve). Soit f une telle fonction, J un segment contenu dans I. D’apres lapositivite de f et la definition de l’integrale de f sur I, il vient :

0 ≤∫J

f(t) dt ≤∫I

f(t) dt = 0



Donc∫Jf(t) dt = 0 et f est nulle sur J . En liberant J on obtient le resultat

voulu.

Exercice 5. Que devient ce resultat si on remplace "continue" par "continuepar morceaux".

Proposition 14. Soit f une fonction continue par morceaux et positive surun intervalle I, I ′ un intervalle contenu dans I alors f est continue parmorceaux sur I ′. En outre, si f est integrable sur I, elle est integrable sur I ′

et : ∫I′f(t) dt ≤

∫I

f(t) dt

Demonstration. Si f est continue par morceaux sur I et si J ⊂ I ′ est unsegment, J est un segment inclus dans I donc f est continue par morceauxsur J , il s’ensuit que f est continue par morceaux sur I ′.Supposons maintenant que f soit en plus positive et integrable sur I, il vientS(I ′) ⊂ S(I) et donc S(I ′) est majore par :

supS(I) =

∫I

f(t) dt

donc supS(I ′) existe et est majore par sup S(I), ce qu’on voulait.

Proposition 15 (Localisation de l’integrabilite). Soit f une fonctioncontinue par morceaux et positive sur un intervalle I.

– Si I est de la forme [a, b[ avec −∞ < a < b ≤ +∞ et si c ∈]a, b[, alorsf est integrable sur I si et seulement si elle est integrable sur [c, b[ ;dans ce cas, on a :∫

[a,b[

f(t) dt =

∫ c

a

f(t) dt+

∫[c,b[

f(t) dt

Lorsqu’on etudie l’integrabilite de f sur [a, b[ on a alors coutume dedire "qu’il n’y a de probleme qu’en b" ou "qu’au voisinage de b".

– Si I est de la forme ]a, b] avec −∞ ≤ a < b < +∞ et si c ∈]a, b[, alorsf est integrable sur I si et seulement si elle est integrable sur ]a, c] ;dans ce cas, on a :∫

]a,b]

f(t) dt =

∫]a,c]

f(t) dt+

∫ b

c

f(t) dt



On peut donc remplacer l’etude de l’integrabilite de f sur ]a, b] parl’etude de l’integrabilite de f sur ]a, c]. L’integrabilite de f depend doncessentiellement du comportement local de f au voisinage de a. C’estpourquoi on convient de dire qu’on etudie l’integrabilite de f "au voi-sinage de a".

– Si I est de la forme ]a, b[ avec −∞ ≤ a < b ≤ +∞ et si c ∈]a, b[, alorsf est integrable sur I si et seulement si elle est integrable sur ]a, c] etsur [c, b[ ; dans ce cas, on a :∫

]a,b[

f(t) dt =

∫]a,c]

f(t) dt+

∫[c,b[

f(t) dt

On peut donc ramener l’etude de l’integrabilite de f sur ]a, b[ a l’etudede l’integrabilite de f au voisinage de a et au voisinage de b.

Demonstration. On se limite a etudier le troisieme cas, les deux autres sontproposes aux lecteurs a titre d’exercice d’apprentissage du cours 1.On a vu que, si f est integrable sur ]a, b[, elle est integrable sur tout sousintervalle de ]a, b[ et donc sur ]a, c] et [c, b[. Reciproquement, supposons fintegrable sur chacun de ces deux intervalles. Soit (bn) une suite croissanted’elements de ]c, b[ qui tend vers b et (an) une suite decroissante d’elements de]a, c[ qui tend vers a. La suite (Jn), avec Jn = [an, bn] est une suite exhaustivede segments de ]a, b[ et :∫ bn

an

f(t) dt =

∫ c

an

f(t) dt+

∫ bn

c

f(t) dt

Le membre de droite de cette egalite converge donc vers :∫]a,c]

f(t) dt+

∫[c,b[

f(t) dt

Le membre de gauche aussi d’ou le resultat d’apres le theoreme 7.

Proposition 16 (Etude au voisinage d’une seule borne). Soit f unefonction continue par morceaux, positive sur I = [a, b[ avec −∞ < a < b ≤+∞. La fonction Fa, definie sur [a, b[ par :

Fa(x) =

∫ x

a

f(t) dt

est croissante sur [a, b[. Deux cas se presentent alors :1me consulter en cas d’echec



– Si f est integrable sur I :

limx→b

Fa(x) =

∫[a,b[

f(t) dt

– Si f n’est pas integrable sur I :

limx→b

Fa(x) = +∞

Les lecteurs enonceront un resultat analogue pour un intervalle de la forme]a, b]. Ce resultat permet, par exemple, l’etude de l’integrabilite de f sur Ilorsqu’on sait calculer Fa.

Demonstration. La croissance de Fa provient de la positivite de f . commeFa n’est pas derivable il faut la prouver directement. Si x, y ∈ I avecx < y, il vient :

Fa(y)− Fa(x) =

∫ y

x

f(t) dt ≥ 0 car f ≥ 0 sur [x, y] et x < y

– Si f est integrable sur I. Pour x ∈ I, Fa(x) ∈ S(I) donc Fa est crois-sante et majoree sur I par

∫If(t) dt ; d’apres le theoreme de la limite

monotone elle admet une limite finie l quand x → b. Si (bn) est unesuite croissante d’elements de ]a, b[ qui converge vers b, il vient d’apresle theoreme 7 :

limn→∞

Fa(bn) =

∫I

f(t) dt

donc l =∫If(t) dt, ce qu’on voulait.

– Si f n’est pas integrable sur I, le meme choix de (bn) assure, toujoursen vertu du theoreme 7 :

limn→∞

Fa(bn) = +∞

donc Fa est croissante sur I, non majoree et donc tend vers +∞ auvoisinage de b.



Remarque 8. Sous les hypotheses de la proposition 16, si b est fini etsi f admet une limite en b, elle se prolonge en une fonction f continuepar morceaux sur le segment [a, b] ; f est alors integrable sur [a, b[ et :∫

[a,b[

f(t) dt =

∫ b

a

f(t) dt

Il suffit d’appliquer la proposition 16 en observant que la fonction :

x 7→∫ x

a

f(t) dt

est continue sur [a, b]. Les lecteurs feront de meme dans les autres casde figure.

Proposition 17 (Integrabilite par domination). Soient f et g deux fonc-tions positives et continues par morceaux sur I. On suppose que f ≤ g sur Ialors :

– Si g est integrable sur I, f aussi et :∫I

f(t) dt ≤∫I

g(t) dt

– Si f n’est pas integrable sur I, g non plus.

Demonstration. Supposons l’integrabilite de g. Soit (Jn) une suite exhaustivede segments de I. Il vient, pour tout entier naturel n :∫

Jn

f(t) dt ≤∫Jn

g(t) dt

La suite majorante converge, par hypothese, la suite de terme general∫Jnf(t) dt

est donc croissante et majoree donc converge, d’ou l’integrabilite de f sur I.Le passage de l’inegalite precedente a la limite quand n → ∞ assure alorsvia le theoreme 7 : ∫

I

f(t) dt ≤∫I

g(t) dt

La contraposee de ce premier cas entraıne la validite du second.

Proposition 18 (Integrabilite par equivalence). Soient f et g deuxfonctions positives et continues par morceaux sur I = [a, b[ avec −∞ < a <b ≤ +∞.



– Si f = O(g) sur I ou meme seulement au voisinage de b, l’integrabilitede g sur I entraıne celle de f et donc la non integrabilite de f sur Ientraıne la non integrabilite de g.

– Si f ∼ g au voisinage de b, les deux fonctions f et g sont simultanementintegrables ou non integrables sur I.

On retiendra donc que c’est pareil que pour les series a termespositifs.Les lecteurs enonceront et etabliront une proposition analogue dans le cas ouI =]a, b] et −∞ ≤ a < b < +∞.

Demonstration. On distingue les deux situations :– Supposons g integrable sur I. Si f = O(g) sur I c’est qu’il existe M > 0

tel que f ≤M g sur I et il suffit d’appliquer directement la proposition17. Si f = O(g) au voisinage de b, il existe c ∈ [a, b[ et M > 0 tels quef ≤M g sur [c, b[. f est donc integrable sur [c, b[ d’apres la proposition17 et donc sur I d’apres la proposition 15.

– Si f ∼ g au voisinage de b, il vient alors f = O(g) au voisinage de b etg = O(f) au voisinage de b ; il suffit d’appliquer le resultat du premiercas.

2.2.3 Etude pratique de l’integrabilite d’une fonctionpositive

Dans cette section, si f est une fonction continue par morceaux, positive,integrable sur un intervalle (a, b) d’un des types precedents, on notera sonintegrale : ∫ b

a

f(t) dt au lieu de

∫(a,b)

f(t) dt

Integrabilite des puissances

Comme pour les series de Riemann, les fonctions puissances jouent unrole de reference pour appliquer l’une des propositions 17 ou 18. Les resultatssuivants doivent etre connus :

Proposition 19 (Integrales de reference). La lettre α designe un reel.



– Soient −∞ < a < b < +∞. L’application :

t 7→ (t− a)α resp t 7→ (b− t)α

est continue et positive sur ]a, b] resp [a, b[. Elle y est integrable si etseulement si α > −1 .

– L’application t 7→ |t|α est positive et continue sur [a,+∞[ resp ] −∞, a] avec a > 0 resp a < 0. Elle est integrable sur cet intervalle si etseulement si α < −1 .

Demonstration. On commence par t 7→ (t − a)α sur ]a, b]. Si α ≥ 0, elle seprolonge en une fonction continue sur [a, b] donc integrable. Si α < 0, onapplique le resultat de la proposition 16 : soit x = a+ h ∈]a, b] :∫ b

x

(t− a)α dt =

∫ b

a+h

(t− a)α dt

=

{1

α+1((b− a)α+1 − hα+1) si α 6= −1

ln(b− a)− lnh si α = −1

Cette expression a une limite finie, quand h→ 0, si et seulement si α > −1.Les lecteurs etudieront eux memes les autres cas.

Plan de l’etude

– On etudie d’abord l’intervalle ou la fonction est continue par morceauxde maniere a decider s’il faut faire une etude d’integrabilite en une ouen deux bornes. Si f se prolonge par continuite en une bornefinie, il est inutile de faire l’etude en cette borne en vertu dela remarque 8.

– On fait l’etude d’integrabilite separement en chaque borne. Supposons,par exemple, qu’on decide d’etudier l’integrabilite de f sur l’intervalle[c, b[ (−∞ < c < b ≤ +∞) sur lequel f est continue par morceaux etpositive, on suggere d’etudier les cas suivants dans l’ordre :

1) Calcul direct d’une primitive de f : sur [c, b−h] avec 0 < h <b − c. Ce cas est assez rare et n’a d’interet, compte tenu de lalongueur des calculs, que si l’on desire la valeur de l’integrale quis’obtient en faisant tendre h vers 0.



2) Recherche d’un equivalent simple de f en b : la proposition 18permet de conclure.

3) Essai de domination : Si la methode precedente echoue, on essaie(suivant l’intuition qu’on a du resultat a prouver) soit de dominerf , au voisinage de b, par une fonction integrable, soit de dominerune fonction positive non integrable par f . A cet effet, il peut etreutile d’utiliser une technique analogue aux series ie du type tαf(t)si b = +∞ ou (b− t)αf(t) si b est fini.

4) Changement de variable, integration par parties : cf exemples.

5) Autres methodes : Dans certaines situations moins elementairescf la partie 2.4.

Exemple 6 (Integrabilite du logarithme). sur ]0, b]. La fonction | ln | est posi-tive et integrable sur ]0, b]. En effet elle est continue sur cet intervalle et, sih > 0 : ∫ 1

h

| ln x| dx = −∫ 1

h

ln x dx = − [h lnh− h]1h

quand h→ 0, cette derniere expression admet pour limite 1.On aurait pu aussi observer que :

| ln x| = O(x−1/2

)quand x→ 0

Exemple 7 (Fonction gamma). Soit x un reel, etudions l’integrabilite sur]0,+∞[ de la fonction f definie par :

t 7→ tx−1 e−t

a) Determination de l’intervalle ou f est continue par morceaux :Si x ≥ 1, f se prolonge en une fonction continue sur [0,+∞[. Le seulprobleme se posera au voisinage de +∞. Si x < 1, la fonction f estcontinue sur ]0,+∞[, on etudiera donc son integrabilite sur ]0, 1] et sur[1,+∞[ (le choix de la borne intermediaire 1 est purement arbitraire).

b) Integrabilite sur ]0, 1] : Comme on vient de l’ecrire, si x ≥ 1, f seprolonge continument a [0, 1]. Elle y est donc integrable.Si x < 1. On cherche d’abord un equivalent de f au voisinage de 0 :

f(t) ∼ tx−1 quand t est au voisinage de 0

Or t 7→ tx−1 est integrable sur ]0, 1] si et seulement si x− 1 > −1 ie six > 0. En conclusion, f est integrable sur ]0, 1] si et seulement si x > 0.



c) Integrabilite sur [1,+∞[ : f est continue sur [1,+∞[, on ne peut entrouver un equivalent plus simple quand t → +∞. Comme l’exponen-tielle tend tres vite vers 0 quand t → +∞, on essaie de dominer f auvoisinage de +∞ :

limt→+∞

t2f(t) = 0 ie f(t) = o(t−2)

quand t→ +∞Or t 7→ t−2 est integrable sur [1,+∞[, il en est donc de meme de f .

En conclusion : f est integrable sur ]0,+∞[ si et seulement si x > 0. Onnote

γ(x) =

∫ +∞

0

tx−1 e−t dt

Exemple 8 (Integrales de Bertrand). Etudier l’integrabilite sur ]0, 1[, puis sur]1,+∞[ de :

t 7→ tα| ln t|βOu α et β sont deux reels fixes.

Exercice 6. Etudier l’integrabilite sur ]0,+∞[ de :

t 7→ exp (−| ln(t)|α)

ou α > 0.

2.3 Integration des fonctions de signe quel-

conque et a valeurs complexes

La definition s’apparente a celles des series absolument convergentes.

Definition 10 (Integrabilite). On dit qu’une fonction f , continue par mor-ceaux sur un intervalle I, a valeurs reelles ou complexes est integrable surI si et seulement si la fonction |f |, qui est continue par morceaux sur I, avaleurs reelles positives, est integrable sur I.

Theoreme 8 (Integrale des fonctions a valeurs reelles). Soit f unefonction continue par morceaux, a valeurs reelles, integrable sur un intervalleI, alors les fonctions f+ et f− sont continues par morceaux, a valeurs reellespositives et integrables sur I. On pose alors par definition :∫

I

f(t) dt =

∫I

f+(t) dt−∫I

f−(t) dt



Demonstration. Conferer la proposition 7. L’integrabilite de ces deux fonc-tions provient des inegalites 0 ≤ f+ ≤ |f | et 0 ≤ f− ≤ |f | et de la proposition17.

Theoreme 9 (Integrale des fonctions a valeurs complexes). Soit fune fonction continue par morceaux, a valeurs complexes, integrable sur unintervalle I, alors les fonctions g = Re f et h = Im f sont continues parmorceaux, a valeurs reelles, integrables sur l’intervalle I. On pose alors pardefinition : ∫

I

f(t) dt =

∫I

g(t) dt+ i

∫I

h(t) dt

Demonstration. Conferer la proposition 7. L’integrabilite de ces deux fonc-tions provient des inegalites 0 ≤ |g| ≤ |f | et 0 ≤ |h| ≤ |f | et de la proposition17.

Ces definitions sont penibles a manier, heureusement on a la :

Proposition 20. Soit f une fonction continue par morceaux sur un inter-valle I, a valeurs complexes, supposee integrable sur I. Si (Jn) est unesuite exhaustive de segments de I, alors :

limn→∞

∫Jn

f(t) dt =

∫I

f(t) dt

Demonstration. Pour les fonctions a valeurs reelles c’est une consequence dutheoreme 7, applique a f+ et f−, et de l’identite f = f+−f−. Le cas complexes’en deduit immediatement via les parties reelles et imaginaires.

Remarque 9 (Coherence). Les lecteurs verifieront que cette notion ge-neralise bien toutes les notions d’integrale precedemment definies (fonc-tions continues par morceaux sur un segment et fonctions continues parmorceaux positives sur un intervalle).

Remarque 10 (Tres importante). contrairement au theoreme 7, iln’y a pas de reciproque lorsque les fonction ne sont pas avaleurs positives. Prenons l’exemple de la fonction t 7→ t sur I = R.



La suite (Jn), avec Jn = [−n, n] est une suite exhaustive de segmentsde I, on a :

limn→∞

∫Jn

f(t) dt = 0

et pourtant f n’est pas integrable sur I car limx→+∞∫ x

0|f(t)| dt = +∞.

Exercice 7. Etudier l’integrabilite, sur ]0, 1], puis sur [1,+∞[ de :

t 7→ tz Ou z ∈ C

2.3.1 Proprietes

Proposition 21 (Linearite et application). Si f et g sont des fonctionsa valeurs complexes, continues par morceaux, integrables sur un intervalle I,pour tout couple (α, β) de complexes, la fonction h = αf + βg est integrablesur I et : ∫

I

h(t) dt = α

∫I

f(t) dt+ β

∫I

g(t) dt

Il d’ensuit que l’ensemble E1(I,K) constitue des fonctions continues par mor-ceaux sur I (resp continues), a valeurs dans K est un K-sous espace vectorieldu K-espace vectoriel des fonctions continues par morceaux (resp continues)sur I, a valeurs dans K et que l’application :

f 7→∫I

f(t) dt

est une forme lineaire sur E1(I,K).

Demonstration. Soit J un segment inclus dans I. Il vient, en vertu des pro-prietes des integrales des fonctions continues par morceaux sur un segment :∫J

|h(t)| dt ≤ |α|∫J

|f(t)| dt+ |β|∫J

|g(t)| dt ≤ |α|∫I

|f(t)| dt+ |β|∫I

|g(t)| dt

L’ensemble des reels de la forme∫J|h(t)| dt, obtenus en liberant J , est donc

majore d’ou l’integrabilite de |h| sur I c’est-a-dire de h.Soit alors (Jn) une suite exhaustive de segments de I : il vient, d’apres la



linearite de l’integrale des fonctions continues par morceaux sur unsegment : ∫

Jn

h(t) dt = α

∫Jn

f(t) dt+ β

∫Jn

g(t) dt

La proposition 20 autorise le passage a la limite de cette inegalite :∫I

h(t) dt = α

∫I

f(t) dt+ β

∫I

g(t) dt

Ce qu’on voulait. Le reste est laisse aux lecteurs.

Remarque 11 (La scission). necessite quelques precautions. Par exemplela fonction h definie sur ]0, 1] par :

h(t) =et−1

t

est integrable sur ]0, 1] car elle se prolonge en une fonction continue sur[0, 1]. Pourtant aucune des deux fonctions :

t 7→ et

tet t 7→ −1

t

n’est integrable sur ]0, 1].

Proposition 22 (Croissance). Si f et g sont des fonctions a valeursreelles, continues par morceaux, integrables sur un intervalle I et telles quef ≤ g, alors ∫

I

f(t) dt ≤∫I

g(t) dt

Demonstration. Soit (Jn) une suite exhaustive de segments de I. On utilisela proposition 20 pour passer l’inegalite :∫

Jn

f(t) dt ≤∫Jn

g(t) dt

a la limite quand n→∞.



Proposition 23 (Inegalite pour l’integrale du module). Si f est unefonction a valeurs complexe, continue par morceaux et integrable sur un in-tervalle I : ∣∣∣∣∫

I

f(t) dt

∣∣∣∣ ≤ ∫I

|f(t)| dt

Demonstration. Meme methode que pour la proposition precedente.

Exercice 8. Soit f une application continue et integrable d’un intervalle Idans K. On suppose que l’inegalite de la question precedente est une egalite.Demontrer que :

1. Si K = R, f est de signe constant.

2. Si K = C, il existe un reel θ tel que :

∀t ∈ I, f(t) = |f(t)| eiθ

Proposition 24 (Chasles et localisation). Si f est une fonction a va-leurs complexe, continue par morceaux et integrable sur un intervalle I, elleest continue par morceaux et integrable sur tout sous intervalle I ′ ⊂ I. Ausurplus, si c est un point interieur a I 2 et si l’on pose Ig = I∩] −∞, c] etId = I ∩ [c,+∞[, qui sont donc des intervalles non reduits a un point, f estintegrable sur I si et seulement si elle est integrable sur Ig et Id et :∫

I

f(t) dt =

∫Ig

f(t) dt+

∫Id

f(t) dt

Demonstration. Les propositions 14 et 15 ont etabli ces resultats pour lesfonctions a valeurs reelles positives. On s’y ramene :Si f est integrable sur I, |f | aussi donc |f | est integrable sur I ′ en vertu dela proposition 14 ; f est donc integrable sur I ′.Pour prouver la deuxieme partie de la proposition, on etudie d’abord le casou f est a valeurs reelles et on applique la proposition 15 a f+ et f−. Le casdes fonctions complexes s’en deduit via le passage par les parties reelles etimaginaires.

2ie n’est pas une extremite de I



Proposition 25 (Comportement a l’infini). Soit f une fonction a va-leurs complexes, continue par morceaux et integrable sur [a,+∞[. Si l’onsuppose que f possede une limite l en +∞ alors l = 0. EN RE-VANCHE f peut fort bien etre integrable sur [a,+∞[ sans avoir delimite en +∞. De maniere generale, on retiendra qu’on peut de-duire l’integrabilite de f sur un intervalle I de son comportementasymptotique aux bornes de I mais que la seule hypothese d’inte-grabilite de f sur I ne permet pas de decrire de facon simple lecomportement asymptotique de f aux bornes de I.

Demonstration. Supposons f(x)→ l 6= 0 quand x→ +∞ alors :

|f(x)| ∼ |l| > 0 quand x→ +∞

Or la fonction x 7→ |l| n’est pas integrable sur [a,+∞[ car :∫ x

a

|l| dt = |l|(x− a)→ +∞ quand x→ +∞

donc, d’apres la proposition 18, |f | donc f n’est pas integrable sur [a,+∞[.Les lecteurs construiront, au moins avec un dessin, une fonction f continue,positive et integrable sur [0,+∞[ mais qui n’a pas de limite en +∞. Onprendra, par exemple, pour graphe de f , une suite de triangles isoceles debase Ox et dont la serie des aires converge.

2.3.2 Exemples d’integrabilite

Rien de nouveau par rapport a la section 2.2.3 puisque prouver l’integra-bilite de f c’est prouver l’integrabilite de |f | ≥ 0.

Exemple 9. Prouver l’existence des integrales suivantes :∫ π/2

0

(x− π/4) ln(cos x) dx

∫ +∞

−∞

(1 + x) ln(|1 + x|)x4 + x2 + 1

dx

2.3.3 Exemples de calcul d’integrales

On aura besoin de deux resultats techniques :



Proposition 26 (Cas d’une etude en seule borne). Soit f une fonctiona valeurs complexes, continue par morceaux, sur I = [a, b[ avec −∞ < a <b ≤ +∞. On suppose que f est integrable sur I. Alors la fonction Fa,definie sur I = [a, b[ par :

Fa(x) =

∫ x

a

f(t) dt

est continue sur I et :

limx→b

Fa(x) =

∫I

f(t) dt

EN REVANCHE L’EXISTENCE D UNE LIMITE EN b POURFa NE GARANTIT L’INTEGRABILITE DE f QUE LORSQUECELLE-CI EST A VALEURS REELLES POSITIVES

En effet, on verra en cours que la fonction :

x 7→∫ x

0

sin t

tdt

possede une limite quand x → +∞ quoique la fonction t 7→ sin tt

, prolongeepar continuite en 0 ne soit pas integrable sur [0,+∞[. Cette limite sera notee :∫ →+∞

0

sin t

tdt

Demonstration. Lorsque f est a valeurs reelles positives c’est la proposition16, lorsque f est integrable, a valeurs reelles, on applique cette proposition16 a f+ et f− puis f = f+ − f−, enfin lorsque f est a valeurs complexes, onse ramene au cas precedent via les parties reelles et imaginaires de f .

Exemple 10. Soit f ∈ C2([0,+∞[,R). Montrer que l’existence des deux inte-grales : ∫ +∞

0

f 2(x) dx et

∫ +∞

0

(f”(x))2 dx

entraine celle de∫ +∞

0(f ′(x))2 dx et que lim

x→∞f(x) = 0.



Proposition 27 (Cas d’une etude en les deux bornes). Soit f unefonction a valeurs complexes, continue par morceaux sur I =]a, b[ avec −∞ ≤a < b ≤ +∞. On suppose f integrable sur ]a, b[. On sait alors, que pourx ∈]a, b[, f est integrable sur ]a, x]. La fonction definie sur ]a, b[ par :

x 7→∫

]a,x]

f(t) dt

Possede alors une limite quand x→ b :

limx→b

∫]a,x]

f(t) dt =

∫]a,b[

f(t) dt

Demonstration. Fixons c ∈]a, b[ ; pour a < x < c < y < b, il vient :∫ y

x

f(t) dt =

∫ c

x

f(t) dt+

∫ y

c

f(t) dt

Or f est integrable sur ]a, c] et [c, b[ donc, pour x > c :∫]a,x]

f(t) dt =

∫]a,c]

f(t) dt+

∫ x

c

f(t) dt

D’ou le resultat annonce via les propositions 26 et 24.

Remarque 12 (Notation definitive). Si f est une fonction continuepar morceaux et integrable sur un intervalle (a, b) d’un destypes precedents, on notera definitivement son integrale :∫ b

a

f(t) dt au lieu de

∫(a,b)

f(t) dt

Exemple 11. Existence et calcul de∫ 1

−1

(t3 + 1) ln

(1− t1 + t

)dt



Exemple 12. Existence et calcul de :∫ +∞

1

(t− 2) dt

(t2 + 1)√t2 − 1

Exemple 13. Existence et calcul de :∫ −1

−∞

√t

1 + t

dt

t2

Exercice 9. Existence et calcul de :∫ +∞

0

ch t dt

(1 + sh t)√

ch2 t+ sh t

Exercice 10. Existence et calcul de :∫ b

a

x dx√1− x− x2

Ou a < b sont les racines du trinome x2 + x− 1

Exercice 11. Calculer : ∫ 2π

0

dx

cos4 x+ sin4 x

en examinant la periode de l’integrande.

2.4 Complements

2.4.1 Utilisation d’une serie

Dans certains cas on peut se servir de series pour prouver l’integrabilited’une fonction. On utilise le resultat suivant qu’il faut savoir redemontrer :

Proposition 28. Soient– f une fonction continue par morceaux, positive sur un intervalle I =

[a, b[ avec −∞ ≤ a < b ≤ +∞.– (an)n∈N une suite strictement croissante d’elements de I avec a0 = a

et lim an = b.



– In =∫ an+1

anf(x) dx ≥ 0.

Alors la fonction f est integrable sur I si et seulement si la serie∑

n≥0 Inconverge, et dans ce cas :

∫ b

a

f(x)dx =∞∑n=0

In

Demonstration. La suite ([a, bn]) est une suite exhaustive de segments de Iet : ∫ bn

a

f(x)dx =n∑k=0

Ik

Le resultat s’en deduit immediatement.

Exemple 14. La fonction f definie sur ]0,+∞[ par :

f(x) =cos x

1 + xα| sin x|est integrable sur ]0,+∞[ si et seulement si α > 1.

Demonstration. La fonction f est continue sur ]0,+∞[. Il s’agit d’etudierl’integrabilite de :

g(x) = |f(x)| = | cos x|1 + xα| sin x|

Cas ouα > 0 : La fonction g se prolonge en une fonction continue sur[0,+∞[. Le probleme provient de ce que la fonction sinus du deno-minateur peut prendre des valeurs "petites". L’idee consiste a se placersur un intervalle [an, an+1] ou xα ne varie pas trop en un sens qu’on vapreciser. Posons :

In =

∫ (n+1)π

nπ

g(x)dx

On va chercher un equivalent de In qui permettra d’etudier la naturede la serie

∑In.∫ (n+1)π

nπ

| cos x|dx1 + ((n+ 1)π)α| sin x| ≤ In ≤

∫ (n+1)π

nπ

| cos x|dx1 + (nπ)α| sin x|



Les integrales encadrantes se calculent. En notant Jn celle de gauche,la π-periodicite de la fonction integree permet d’etablir que :

Jn =

∫ π

0

| cos x|dx1 + (nπ)α| sin x|

= 2

∫ π/2

0

cos xdx

1 + (nπ)α sin x

Le changement de variable sin x = t assure :

Jn = 2

∫ 1

0

dt

1 + (nπ)αt=

2α lnn

(nπα)

Donc, puisque Jn ∼ Jn+1 quand n→∞ :

In ∼ 2α lnn

(nπα)

De l’etude, deja faite, de cette serie a termes positifs, il decoule :Pour α > 0, f est integrable sur I si et seulement si α > 1

Cas ou α < 0 : La fonction g se prolonge encore par continuite en 0 (pour-quoi ?). On voit qu’au voisinage de l’infini :

g(x) =| cos x|

1 + xα| sin x| ∼ | cos x|

En effet g(x) s’ecrit sous la forme | cos x| (1 + ε(x)) avec limx→+∞

ε(x) = 0.

Or la fonction x 7→ | cos x| n’est pas integrable sur [0,+∞[ (pourquoi ?),donc g non plus.

Cas α = 0 : On peut calculer∫ X

0g(x)dx mais le plus simple est encore de

calculer In comme ci-dessus. On trouve :

In = 2 ln 2

donc∑In diverge et f n’est pas integrable.



Exercice 12. Integrabilite sur ]0,+∞[ de :

f(x) =x

1 + xα| cos(x ln x)| ?

On introduira la fonction u reciproque de x 7→ x ln x sur [1,+∞[ (dont ontrouvera un equivalent en +∞) et la suite

(u(π

2+ nπ)

).

Exercice 13. Soient α et β deux reels. La fonction :

f : x ∈]0,+∞[ 7→ sin(x) xβ e−xα

est integrable sur ]0,+∞[ si et seulement si α > 0 et β > −2.

Exercice 14. Discuter suivant α et β l’integrabilite de la fonction x 7→sin(lnβ x) xα sur ]1,+∞[.

2.4.2 Integration des relations de comparaison

Theoreme 10 (Hors programme). I = [a, b[ avec −∞ < a < b ≤ +∞.Soit f une fonction continue par morceaux sur I a valeurs complexes et gune fonction continue par morceaux sur I a valeurs reelles positive auvoisinage de b. On suppose que f = o(g) au voisinage de b, alors, quandx→ b :

– Si g est integrable sur I , il en est de meme de f et :∫ b

x

f(t) dt = o

(∫ b

x

g(t) dt

)– Si g n’est pas integrable sur I :∫ x

a

f(t) dt = o

(∫ x

a

g(t) dt

)

Demonstration. Comme pour les series.

Exemple 15. La serie∑

e−√

lnn diverge et, quand n→∞ :

n∑k=0

e−√

lnn ∼∫ n

0

e−√

ln t dt ∼ n e−√

lnn



Theoreme 11 (Integration des developpements limites). Soit f uneapplication de classe C1 de I dans K. On suppose que f ′ admet, au voisinagede a ∈ I, le developpement limite suivant :

f ′(x) =n∑k=0

ak(x− a)k + o ((x− a)n)

Alors f admet, au voisinage de a, le developpement limite d’ordre n + 1suivant :

f(x) = f(a) +n∑k=0

ak

(k + 1)(x− a)k+1 + o

((x− a)n+1

)

Demonstration. Soit g la fonction de classe C1 definie sur I par :

g(x) = f(x)− f(a)−n∑k=0

ak

(k + 1)(x− a)k+1

Il vient, quand t→ a :f ′(t) = o ((t− a)n)

Si a n’est pas plus grand element de I, il existe b ∈ I tel que b > a et g′ estintegrable sur [a, b] puisqu’elle y est continue. Le theoreme d’integration desrelations de comparaison assure alors que, quand x→ a+ :∫ x

a

g′(t) dt = o

(∫ x

a

(t− a)n dt

)Donc

g(x) = o((x− a)n+1

)quand x→ a a droite

Meme chose a gauche de a si a n’est pas plus petit element de I et le resultat.

Exemple 16 (Exemple d’integration d’un developpement asymptotique). Onveut un developpement asymptotique a trois termes de arcsin au voisinagede 1. On considere :

f : x ∈ [0, 2[ 7→ arcsin(1− x)



f est de classe C1 sur ]0, 2[ :

f ′(x) =−1√

x(2− x)=−1√2x

(1 +

x

4+ o(x)

)quand x→ 0. On considere alors, pour x ∈]0, 2[ :

g(x) = f ′(x) +1√2x

+

√x

4√

2

Pour 0 < x < 2, g est integrable sur ]0, x] car elle se prolonge continument a[0, x]. En outre, quand t→ 0 :

g(t) = o(√

t)

donc |g(t)| = o(√

t)

On en deduit que∫ x

0g(t) dt = o

(∫ x0

√t dt)

soit :

f(x) =π

2−√2

√x−√

2x3/2

12+ o

(x

32

)On se borne a quelques exercices

Exercice 15. Developpement asymptotique a deux termes de :∫ x

0

dt4√

1 + t4

au voisinage de +∞.

Exercice 16. Meme question avec :∫ x

0

e−√

ln t dt

Exercice 17. Meme question avec :∫ x

0

sin t

tdt

Exercice 18. Etude complete (Definition, continuite, variations, etudes lo-cales, courbe representative) de la fonction f definie par :

f(x) =

∫ x

0

t2 dt√|t4 − 1|(On commencera par donner un sens a cette ecriture qui ne correspond pasa une situation figurant stricto sensu dans le programme. )



Exercice 19. Etude au voisinage de 1 de la fonction f definie sur ]0, 1[ par :

f(x) =

∫ x2

x

dt

ln t

En deduire la valeur de : ∫ 1

0

(1− t) dt

ln t


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