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Cours de gestion financière (M1)
Séance du 19 septembre 2014Rentabilité, diversification du risque
1CAC 40 GR (gross return / dividendes réinvestishttps://indices.nyx.com/fr/products/indices/QS0011131834‐XPAR/quotes
Variance du taux de rentabilité d’un portefeuille de deux titres
,
Séance du 19 septembre 2014 (1)
Plan (Taux de) rentabilité Rentabilité moyenne Rentabilité espérée Variance, écart-type, volatilité Rentabilité d’un portefeuille Espérance du taux de rentabilité d’un portefeuille Variance, écart-type du taux de rentabilité d’un
portefeuille Coefficient de corrélation linéaire Actifs risqués parfaitement corrélés Diversification du risque
2
La rentabilité d’un titre
Correspond au chapitre 2 du livre Ce chapitre a pour objet la constitution de
portefeuilles de titres de manière efficace Il est très utile au préalable d’avoir une bonne
compréhension des actifs et des titres Droits de propriété attachés aux actions et aux
obligations Principalement des actions et des obligations
négociés sur des marchés organisés Modalités d’achat et de vente Revenus (dividendes ou coupons) issus de la
détention de ces titres Plus ou moins values : différence entre prix de vente
et d’achat Rentabilité : effet combiné des revenus et des plus
ou moins values 3
La rentabilité d’un titre
Un investisseur peut être intéressé par ce qui peut s’acheter, se vendre, se louer Immobilier locatif (bureaux, logements) Résidence principale Terrains agricoles ou à bâtir Matières premières
Or Matières premières agricoles
Objets d’art Titres financiers
Actions émises par les sociétés anonymes Obligations émises par les entreprises, les
États Liste non limitative …
4
La rentabilité d’un titre
Classification des actifs Matériels, immatériels Parmi les actifs immatériels
Incorporels, intangibles Une hypothèse importante et implicite faite
dans le cours est que les marchés sont « sans frictions » On évoquera cependant dans la partie
consacrée au financement des investissements les conflits d’agence
Prix des actifs et des passifs parfaitement observables
Ne changeant pas au cours du processus de négociation
Indépendants des quantités achetées ou vendues…
5
6
La rentabilité d’un titre Notion de « titre » Premières sociétés de capitaux : Rome antique
Faciliter le financement des grands travaux Aqueducs, voies romaines
Division de la propriété En parts ou « titres » Par exemple, s’il y a 1000 parts, chaque part
représente 1/1000 des actifs (et donc des revenus) de la « société »
Même système pour les parties communes d’un immeuble en copropriété
Parts cessibles Un détenteur de titre peut les revendre à des
tiers différence avec les « propriétés en
indivision » Titres nominatifs et non pas « titres au
porteur » Intermédiaires pour rapprocher acheteurs
et vendeurs Aujourd’hui : courtiers en Bourse, agences
immobilières
La rentabilité d’un titre
On s’intéressera par la suite à la décision d’investissement et à leur financement par les entreprises.
Nous parlerons donc essentiellement des actions et des obligations émises par les entreprises
L’acheteur d’une action paye le prix d’achat à un vendeur à la date d’achat
Cette transaction peut être réalisée sur une « Bourse » Un marché organisé où se rencontrent acheteurs et vendeurs comme
Euronext Paris Ou sur un marché de « gré à gré »
Il peut revendre cette action à une future date au cours qui prévaut à ce moment sur le marché boursier, représente la plus-value réalisée par l’investisseur
7
La rentabilité d’un titre
À la date , juste avant la revente du titre, le détenteur d’une action peut percevoir un dividende versé par l’entreprise, soit Ce dividende est l’analogue d’un loyer ou d’un revenu lié à
la détention de l’action Il est en général versé une fois par an
Le montant encaissé par l’investisseur à la date est la somme du prix de vente et du dividende Le gain net total lié à l’achat de l’action en et à sa revente
en est Le taux de rentabilité lié à l’opération financière précédente
est le gain net rapporté à l’investissement initial
8
La rentabilité d’un titre
Le taux de rentabilité correspond au taux d’accroissement de la richesse de l’actionnaire entre les dates et Pour l’opération financière consistant en l’achat d’une action en
, revendue en Si l’écart entre et est d’une journée, on parle de taux de
rentabilité quotidien, si l’écart est d’une semaine, on parle de taux de rentabilité hebdomadaire
On parle aussi de taux de rentabilité simple C’est un pourcentage (quantité sans dimension)
Le prix d’une action ne pouvant être négatif, le taux de rentabilité est au pire de 100%
Dans le livre de référence, on utilise le terme taux de rendement
est appelé en général taux de rendement9
Les rentabilités quotidiennes sont en général calculées à partir des cours de clôture
Dernier cours auquel ont lieu des transactions pendant la journée Souvent sur Euronext Paris pour les actions françaises
Il n’y a plus de monopole de la « Bourse de Paris » Euronext « marché réglementé »
Clients particuliers des grandes banques françaises « Système Multilatéral de Négociation »
Site de l’Autorité des Marchés Financiers http://www.amf-france.org/Acteurs-et-produits/Marches-financiers-et-infrastructures/Autres-
lieux-de-negociation/Systemes-multilateraux-de-negociation.html
« Internalisateurs systématiques » http://www.agefi.fr/articles/boursorama-optimise-ses-couts-d-execution-avec-l-appui-de-sg-cib-
1249485.html
Autres plateformes alternatives pour exécuter des ordres de bourse :Blink MTF, BATS Europe Chi-X, Equiduct, Turquoise
Fragmentation des marchés10
La rentabilité d’un titre
Plates-formes de négociations
Parts de marché en France et en Angleterre
11
Source Agefi17 janvier 2013On constate l’importance de Bats Europe Chi‐X et celle des marchés de gré à gré (OTC « Over The Counter »)
http://www.agefi.fr/articles/marches-boursiers-chi-x-bats-talonne-les-marches-reglementes-1252510.html
Dans le tableau de l’Agefi, les marchés « opaques » incluent les « dark pools, les SI et les marchés OTC
Plates-formes de négociations
La monté en puissance des nouvelles plates-formes d’échange : BATS en Europe et aux États-Unis
12
Plates-formes de négociations Si une action est achetée via la plate-
forme Euronext Paris, la transaction n’est pas pour autant effectuée à Paris Après avoir été installés à été installés à
Aubervilliers Suresnes pour les serveurs de sauvegarde
Les ordinateurs d’Euronext Paris sont installés dans le « liquidity center » de Basildon dans la banlieue de Londres
http://www.youtube.com/watch?v=3b821UX-Xw0
13
Palais Brongniart
La rentabilité d’un titre
Rentabilités quotidiennes Il n’y pas de raison pour que le
prix d’achat dans la journée soit égal au cours de clôture
Évolution des cours de l’action Peugeot le 19 septembre
Pas de versement de dividende
Rentabilité , ,,
, %
Mais si l’on avait revendu au plus haut, la rentabilité aurait été de , ,
,, %
Différence non négligeable
14
Variation 2.01%
Dernier échange 19/09/13 17:35:42Ouverture 12.740
Clôture 12.690+ Haut 12.760+ Bas 12.525
Clôture veille 12.440
La rentabilité d’un titre
Notons la rentabilité du « titre » Mettons Peugeot Code ISIN : FR0000121501 ISIN : International Securities
Identification Number Permet d’identifier un titre
négociable sur un marché organisé
Environ 2 millions de titres et de codes ISIN correspondants
Mnémo ou « ticker » : UGpour Peugeot
15
‐15,00%
‐10,00%
‐5,00%
0,00%
5,00%
10,00%
15,00%
1 34 67 100
133
166
199
232
265
298
331
364
397
430
463
496
529
562
595
628
661
694
Rentabilités quotidiennesJanvier 2009 – septembre 2011
La rentabilité d’un titre
Actions Peugeot négociables notamment sur NYSEEuronext NYSE Euronext bourse de
valeurs Entreprise d’investissement
Issue de la fusion en 2007 entre Euronext et le New York Stock Exchange
Environ 3 milliards d’actions échangées quotidiennement sur le compartiment américain de NYSE Euronext
16
Le carnet d’ordres indique les ordres d’achat et de vente à cours limité à un moment donné
La rentabilité d’un titre
La notion de date d’achat et de vente est ambigüe On peut considérer qu’il s’agit du dernier cours traité de la
journée « fixing » de clôture à 17h35 sur Euronext Paris Mais c’est conventionnel
On pourrait choisir plusieurs périodicités : journalière, hebdomadaire, mensuelle, annuelle, « intraday »
On ne peut pas forcément traiter au cours de clôture Ni même à aucun cours réalisé… Problème des jours fériés, des week-ends
Si t-1 correspond au vendredi et t au lundi, doit-on vraiment compter un jour ?
L’heure de la clôture d’Euronext Paris est différente de celle des autres bourses de valeurs
Agrégation temporelle des rentabilités (sans dividende)
17
2 2 1 1 2 1 1, 2 1, 2
1, 1
t t t t t t t t t tt t t t t t
t t tt t
P P P P P P P P P PR R R
P P PP P
La rentabilité d’un titre Grande variabilité des dates de clôture
Problèmes de calcul de valeurs liquidatives de fonds Les rentabilités ne sont pas directement comparables
18
Rentabilité d’un titre et coûts de transaction
Analyse succincte de la taxe sur les transactions financières taxe sur l’acquisition d’actions françaises cotées (TTF actions)
Depuis le 1er août 2012 Capitalisation boursière supérieure à un milliard d’euros Environ 109 grandes sociétés « françaises » concernées Pas toutes les valeurs du CAC40 cependant
ArcelorMittal, Airbus (ex EADS), STMicroelectronics, Solvay (?) Il existe aussi une taxe sur le trading haute fréquence et sur les CDS nus
Équivalente à un « droit d’entrée » 0,20% du prix d’achat (initialement 0,1%) Réminiscence de l’impôt de bourse créé en 1893 (taux de 0,3%) Abrogé en 2007 http://fr.wikipedia.org/wiki/Imp%C3%B4t_sur_les_op%C3%A9rations_de_bourse
Impôt similaire aux États-Unis (supprimé en 1966).19
Rentabilité d’un titre et coûts de transaction
Mode de calcul de la taxe sur les transactions financières http://www.edubourse.com/guide-bourse/taxe-transactions-financieres.php http://bourse.lesechos.fr/infos-conseils-
boursiers/dossier/Le_mode_d_emploi_de_la_nouvelle_taxe_sur_les_transactions_financieres/le-mode-d-emploi-de-la-nouvelle-taxe-sur-les-transactions-financieres-447967.php
Exemple à partir d’un achat au comptant d’actions http://aide.fortuneo.fr/questions/253141-comment-est-calculee-la-taxe-sur-les-transactions-financieres-ttf
Achat de 100 titres Y à 21, Vente de 20 titres Y à 22, Achat de 40 titres Y à 23
Ces opérations sont effectuées sur une même journée de bourse Position nette acheteuse de titres : 100-20 + 40 = 120 Cours d’achat moyen pondéré des titres [(100 x 21)+(40 x 23)]/140
= 21,57 euros TTF (ou TAT) = 120 x 21,57 x 0,20 % = 5,18 euros
Les opérations d’achat-vente dans la journée sont exonérées (seuls les « vrais investisseurs » sont taxés)
20
21
La rentabilité d’un titre
Vie et mort d’une action… Naissance : petite entreprise deviendra
grande Apport personnel du créateur Emprunts bancaires “Business angels”, capital-développement,
fonds d’amorçage, de capital risque, pépinières d’entreprises
Les apporteurs de capitaux externes apportent également une aide en matière de gestion financière
L’entreprise n’est pas en général pas cotée en Bourse
Puis introduction en Bourse Vente d’actions à des actionnaires extérieurs Marché primaire : « marché du neuf »
De nouvelles actions sont créées et vendues aux investisseurs
IPO : « Initial Public Offering »
22
La rentabilité d’un titre
Vie et mort d’une action… Augmentation de capital Une entreprise peut vendre de
nouvelles actions… L’argent récupéré lors de la mise
en vente des actions est utilisé pour financer des investissements
Mécanisme le plus courant prix de vente fixé pendant une certaine période
De l’ordre d’un mois Les acheteurs potentiels
déposent des offres de souscription
Michelin
23
La rentabilité d’un titre
Introduction en Bourse, augmentation de capital Risques pour l’entreprise
Ne pas vendre suffisamment d’actions
Vendre des actions à un prix trop bas
Placement garanti Un « syndicat de banques » achète
les actions à un cours garanti Il revend les actions au « marché »
Investisseurs institutionnels, particuliers
Le risque de baisse des cours ou de « colle » est supporté par les intermédiaires financiers.
24
La rentabilité d’un titre Les actions d’une entreprise
peuvent ne plus être cotées en Bourse Ne peuvent plus être achetées ou
vendues sur un marché organisé « private equity »
L’entreprise peut être rachetée par un groupe d’investisseurs intervenant de manière active dans la gestion
Moins d’obligations de communication financière
Plus de facilité pour que les propriétaires puissent réorganiser l’entreprise
L’entreprise peut ultérieurement être réintroduite en Bourse
Pendant la période intermédiaire, on ne dispose pas de cours boursiers et donc de rentabilités boursières Les fonds spécialisés dans cette activité n’ont
pas toujours bonne presse
25
La rentabilité d’un titre Au cours de sa vie, les
actifs de l’entreprise peuvent changer de nature Cessions ou rachat d’actifs IBM a successivement
fabriqué des imprimantes, des grands ordinateurs, des PC
Aujourd’hui fait du conseil dans le domaine des services informatiques
Les caractéristiques des rentabilités peuvent changer
La variabilité des rentabilités de l’action IBM fluctue au cours du temps Bulle internet
La rentabilité d’un titre La durée de vie est
indéterminée Mais l’entreprise est mortelle
Faillite et liquidation des actifs L’action de la banque
Washington Mutual avait des niveaux de cours boursiers très stables de 2004 à mi 2007
Avant de s’effondrer au moment de la crise financière
Rachat par une autre entreprise Suite à une “offre publique
d’achat” en Bourse (OPA, OPE) Ou Spin-off
Vivendi26
Effondrement du cours de l’action Washington Mutual
Crise financière aux États‐Unis
27
La rentabilité d’un titre On dispose pour les actifs cotés en Bourse
d’historiques de cours boursiers Ces cours boursiers ont souvent un
caractère « aléatoire » D’où l’utilisation d’indicateurs
statistiques et de modèles probabilistes pour mieux appréhender les données passées et futures Espérance du taux de rentabilité Écart-type du taux de rentabilité
On vient de voir que l’analyse financière montre que les caractéristiques des sociétés changent au cours du temps Non stationnarité des taux de rentabilité
Peut-on utiliser des données historiques à des fins prospectives ? Quand on investit, on s’intéresse à sa
richesse future
Cours action NYSE EuronextGraphique chandeliers
Rentabilité moyenne
Action Peugeot entre novembre 2010 et novembre 2013 Cours : 3,21 € le 16/11/2012, environ 20 euros d’octobre 2010 à juin
2011, 9,15 euros le 20/09/2013
28
Rentabilité simple entre les dates et
,
Rentabilité moyenne
Les rentabilité simples fluctuent beaucoup selon les périodes retenues
29
0%
+300%
‐85%
‐55%
Rentabilité moyenne Les rentabilités quotidiennes moyennes , correspondant
aux pentes des droites fluctuent aussi beaucoup selon les périodes de calcul
30
, ‐85%,
Selon que l’on regarde la rentabilité totale ou la rentabilité moyenne, on préfère le rose ou le bleu (ou l’inverse !)
, ‐60%
,
Analyse des rentabilités et des cours boursiers
Attention aux illusions d’optique et interprétative
31
Analyse des rentabilités et des cours boursiers
Les deux graphiques précédents représentent l’évolution du cours de l’action Peugeot pour deux sous-périodes entre novembre 2010 et novembre 2013 2011, 9,15 euros le 20/09/2013
32
La rentabilité d’un titre
Agrégation temporelle des rentabilités Pour simplifier les choses, on suppose que le titre ne verse
pas de dividende On considère une période élémentaire d’un jour On s’intéresse à la rentabilité d’un titre pour différents
horizons de placement ,
D’où , ,
Plusieurs manières de définir la rentabilité quotidienne moyenne On retiendra en général la seconde approche Les théoriciens utilisent des log-rentabilités pour éviter ce problème
33
2 2 1 1 2 1 1, 2 1, 2
1, 1
t t t t t t t t t tt t t t t t
t t tt t
P P P P P P P P P PR R R
P P PP P
Finance et probabilitésVariable aléatoire
Exemple du jeu de dés : valeur qui apparaît après le lancer Il y a une valeur prise pour chaque « état de la nature » « état de la nature » : comment retombe le dé peut prendre valeurs, correspondant à six
états possibles que l’on numérotera également de à
Ici, identité entre la numérotation des états de la nature et les valeurs prises par
: variable aléatoire est une fonction dont on ne connait pas les valeurs à
l’avance Remarquons que la notion de variable aléatoire ne fait pas
apparaître de probabilité
34
Finance et lois probabilités
Cas d’un dé non pipé Il y a six faces et les probabilités de tomber sur l’une
autre des faces sont égales Équiprobabilités Au bac, cette année on s’est amusé avec des tétraèdres
On tombe toujours sur une face ! La probabilité de tirer une valeur donnée est donc On notera où
est la probabilité de tirer Loi de probabilité : ensemble des valeurs que l’on peut
tirer associé au probabilités d’obtenir ces valeurs
35
Finance et probabilitésEspérance mathématique
On rappelle que l’on a noté la variable aléatoire représentant la valeur prise par le dé
sont les probabilités associées aux différentes valeurs
On appelle espérance mathématique de la variable aléatoire
La quantité
Soit la moyenne des valeurs prises par pondérée par les probabilités des valeurs prises par les probabilités des valeurs prises par
36
Finance et probabilitésEspérance mathématique (suite)
De manière plus générale, on considère un ensemble d’« états de la nature » numérotés , , … , Ces états peuvent par exemple correspondre aux différents prix
d’actions ou aux différentes valeurs des rentabilités La valeur précise de n’a pas d’importance
Soit une variable aléatoire prend les valeurs , , … , dans les états , , … ,
On note , , … , les probabilités des différents états ⋯ , , … ,
On appelle espérance mathématique de la variable aléatoire et on note la quantité ⋯ Il s’agit de la moyenne des valeurs prises par pondérée par
les probabilités 37
Espérance du taux de rentabilité On parle souvent de « rentabilité espérée »
On rappelle que l’on a défini le taux de rentabilité d’une action entre les dates et comme
, prix en et
Ce taux de rentabilité est connu à la date Au moment de la revente
Mais pas au moment de la date d’achat Car les cours boursiers futurs ne sont pas prévisibles
Sauf pour l’investisseur omniscient (vous saurez vous reconnaître)
On va donc considérer que (vu de la date ), le taux de rentabilité est une variable aléatoire et on va s’intéresser au calcul de son espérance
38
Finance et probabilités
Illustration On suppose que le prix de l’action Orange aujourd’hui (en
) est de €
Il n’y a pas de dividende payé demain (en )
Le prix demain peut prendre trois valeurs € avec une probabilité , € avec une probabilité et € avec une probabilité
Les rentabilités correspondantes sont de , et
L’espérance de rentabilité est donnée par
39
Finance et probabilités
Loi de probabilité action Peugeot
Ou « distribution » des rentabilités
Rentabilités quotidiennes entre janvier 2009 et septembre 2011 En abscisse, les différentes
rentabilités en % À partir des cours de clôture
sur Euronext Paris En ordonnées, probabilités
Histogramme fréquences empiriques Que l’on supposera approcher
les probabilités 40
Histogramme des rentabilités action Peugeot
En abscisse les différents valeurs des rentabilités (arrondies au %)
Rentabilités quotidiennesJanvier 2009 – septembre 2011
‐15,00%
‐10,00%
‐5,00%
0,00%
5,00%
10,00%
15,00%
1 37 73 109
145
181
217
253
289
325
361
397
433
469
505
541
577
613
649
685
Finance et probabilités
Rentabilité quotidienne action Peugeot :
variable aléatoire pouvant prendre des valeurs Ce sont les différentes rentabilités
indiquées en abscisses Avec les probabilités
supposées connues a priori comme dans le jeu de dés
nombre d’« états de la nature » Nombre de valeurs prises par les
rentabilités41
1
( ) ( ) 0,08%K
kE R p k R k
Espérance de
rentabilité quotidienne
Fréquence empirique = nombre de jours où la rentabilité est égale à divisé par le nombre de jours total
Fréquence empirique
Placement sans risque Espérance d’une variable aléatoire constante
La valeur prise par ne dépend pas de l’état de la nature En finance, il s’agira par exemple de la rentabilité d’un placement sans
risque Considérons un placement sans risque de 1 € au taux d’intérêt . Ce placement fait à la date 0 rapporte la somme à la date 1 On aura alors ⋯
En mettant en facteur, on obtient
⋯ Comme ⋯
L’espérance (moyenne) de est égale à l’unique valeur prise par 42
Placement risqué
Les taux de rentabilité fluctuent beaucoup au cours du temps
La variance ou l’écart-type du taux de rentabilité est une mesure de la dispersion des rentabilités Autour de leur moyenne
C’est une mesure simple et très couramment utilisée du risque lié à un titre Il en existe beaucoup d’autres
mesures de risque, mais l’écart-type ou volatilité reste le mètre étalon (benchmark)
43
‐15,00%
‐10,00%
‐5,00%
0,00%
5,00%
10,00%
15,00%
1 35 69 103
137
171
205
239
273
307
341
375
409
443
477
511
545
579
613
647
681
Mètre étalon
Placement risqué
Périodes de forte et faible volatilité du taux de rentabilité
44
Placement risqué
VIX : l’indice de la peur
45
Le VIX est un indice mesurant le niveau de la volatilité des
taux de rentabilité des actions américaines
Plus, il est élevé plus le risque perçu des actions est
élevéFin 2014, nous sommes
revenus au niveau de début 2007 ….
Variance du taux de rentabilité
Variance de la rentabilité Définition la variance de notée Var
est égale à :
Par définition de l’espérance mathématique Var
46
2
1écart à la moyenne
écart quadratique
écart quadratique moyen
Var ( ) ( )K
kR p k R k E R
Variance de la rentabilité
quotidienne de l’action Peugeot
Var 0,000837964R
‐15,00%
‐10,00%
‐5,00%
0,00%
5,00%
10,00%
15,00%
1 46 91 136
181
226
271
316
361
406
451
496
541
586
631
676
La variance est d’autant plusélevée que la dispersion des
rentabilités autour de la moyenne est élevée
Finance et probabilités Définition de l’écart-type des
rentabilités
L’écart-type est une mesure de la dispersion des rentabilités autour de la rentabilité moyenne.
même dimension que la rentabilité Écart-type de la rentabilité quotidienne
de l’action Peugeot
47
VarR R
2 Var R
2,89%
Plus la dispersion autour de la moyenne est élevée, plus l’écart-
type est élevé
Finance et probabilités
48
1%, 1%, 1%, 1% 2 2 2 21 4 1 0 1 4 1 0 1 4 1 0 1 4 1 0 1
Écart-type : illustration numérique On suppose que les 4 dernières rentabilités quotidiennes de
l’action LVMH sont de Les probabilités assignées à chacune de ces quatre journées
sont de L’espérance du taux de rentabilité de l’action est égale à : ⁄ ⁄ ⁄ ⁄ %
La variance du taux de rentabilité est égale à : ⁄ ⁄ ⁄ ⁄
L’écart-type du taux de rentabilité est égal à la racine carrée de la variance soit
L’écart-type est bien lié à la dispersion des rentabilités
Finance et probabilités
Remarque sur la détermination des probabilités Dans l’exemple précédent, on a assigné la même probabilité
à chaque journée de calcul des rentabilités Ceci correspond également à l’histogramme des rentabilités déjà
présenté pour Peugeot
Nombre total de jours Nombre de jours où la rentabilité est de Fréquence correspondante On obtient donc la distribution de probabilité suivante
1% avec la probabilité 0,5 1% avec la probabilité 0,5 On peut retrouver que l’espérance est égale à 0% et l’écart-type à 1%
On parle de distribution empirique des rentabilités49
Finance et probabilités
50
1%, 1%, 1%, 1% 2 2 2 21 4 1 0 1 4 1 0 1 4 1 0 1 4 1 0 1
Écart-type : illustrations numériques (suite) Les 4 dernières rentabilités quotidiennes de l’action LVMH
sont maintenant de Soit le double des valeurs retenues dans l’exemple précédent Les probabilités assignées à chacune de ces 4 journées restent de 1 4⁄
L’espérance du taux de rentabilité de l’action est égale à : ⁄ ⁄ ⁄ ⁄
La variance du taux de rentabilité est égale à : ⁄ ⁄ ⁄ ⁄ L’écart-type du taux de rentabilité est égal à la racine carrée de la
variance soit 2% L’interprétation intuitive de l’écart-type comme dispersion des
rentabilités reste valide Si on multiplie toutes les rentabilités observées par 2, on multiplie
également l’écart-type par 2
Finance et probabilités
51
1%, 1%, 1%, 1% 2 2 2 21 4 1 0 1 4 1 0 1 4 1 0 1 4 1 0 1
Écart-type : illustrations numériques (suite) Les 4 dernières rentabilités quotidiennes de l’action LVMH
sont maintenant de Soit l’opposé des valeurs retenues dans l’exemple précédent Les probabilités assignées à chacune de ces 4 journées restent de 1 4⁄
L’espérance du taux de rentabilité de l’action est égale à : ⁄ ⁄ ⁄ ⁄
La variance du taux de rentabilité est égale à : ⁄ ⁄ ⁄ ⁄ La variance du taux de rentabilité reste égale à L’écart-type du taux de rentabilité; égal à la racine carrée de la variance,
reste égal à 2% comme dans le transparent précédent Si on multiplie toutes les rentabilités observées par 1, on ne change
pas l’écart-type. C’est logique puisque la dispersion des rentabilités autour de la
moyenne n’a pas changé.
Finance et probabilités
52
1%, 1%, 1%, 1% 2 2 2 21 4 1 0 1 4 1 0 1 4 1 0 1 4 1 0 1
Écart-type : illustrations numériques (suite) Les 4 dernières rentabilités quotidiennes de l’action LVMH
sont maintenant de On a rajouté 1% à la première suite de valeurs %, %, %, % Les probabilités assignées à chacune de ces 4 journées restent de 1 4⁄
L’espérance du taux de rentabilité de l’action est égale à : ⁄ ⁄ ⁄ ⁄ %
La variance du taux de rentabilité est égale à : ⁄ ⁄ ⁄ ⁄ La variance du taux de rentabilité reste égale à 1. L’écart-type du taux de rentabilité; égal à la racine carrée de la variance,
reste égal à 1% comme dans le premier transparent. Ici, on a décalé toute les rentabilités d’une quantité constante Ceci change la moyenne, mais pas les écarts à la moyenne La dispersion des rentabilités autour de la moyenne n’a pas changé.
Finance et probabilités Quelques propriétés de la variance :
Ceci résulte directement de la définition
Cas où la rentabilité n’est pas aléatoire : ne dépend pas de l’état de la nature Notons-la cette valeur unique : taux de rentabilité du placement sans risque
Si la rentabilité n’est pas aléatoire, sa variance est nulle
53
Finance et probabilités Propriétés de la variance et de l’écart-type
Si est un « scalaire », alors
Si ou si Alors n’est pas aléatoire et Un placement dont la rentabilité n’est pas
aléatoire est appelé placement sans risque Ou prêt sans risque risk-free On note sa rentabilité ou Rentabilité ne dépend pas de l’état de la nature
54
2Var VarR R
R R
,F fR R
Scalaire = grandeur
non aléatoire
Corrigés : voir transparents suivants
fr
( ) , 1, ,F FR k R k K En particulier, pas de risque de défaut
Finance et probabilités
Corrigé de l’exercice : Revenons à la définition de la variance :
D’après la linéarité de l’espérance D’où, en factorisant par :
Var Var En utilisant la définition de l’écart-type
Où est la valeur absolue de NB : si
55
Finance et probabilités
Corrigé de l’exercice (suite) ou En revenant à la définition de la variance
Il s’agit de la probabilité de l’état k On en déduit que : Et donc que : Pour tout état k tel que est donc constant et égal à son espérance pour tout état
de la nature de probabilité non nulle Les états de probabilité nulle n’ont pas importance économique Et n’interviennent pas dans les calculs d’espérance ou de variance
56
2
1( ) ( ) 0
K
kp k R k E R
Finance et probabilités
On rappelle que Autre écriture de la variance Démonstration :
Prenons l’espérance du terme de droite
est un scalaire En utilisant la linéarité de l’espérance :
On peut donc réécrire le terme en rouge comme
57
Finance et probabilités
Un premier résumé de choses à savoir rentabilité aléatoire, (scalaire)
rentabilités aléatoires,
scalaires 58
La théorie du portefeuille
La théorie du « portefeuille » Correspond au chapitre 2 du livre
Rentabilité d’un titre Rappels sur la notion de titre De prix d’un titre sur un marché
boursier Chronique de rentabilité Modélisation probabiliste
Portefeuille de titres Rentabilité d’un portefeuille en
fonction de sa composition Espérance de rentabilité Écart-type des rentabilités
59
Bourse de Tokyo
Bourse de Shanghai
Rentabilité d’un portefeuille
Notations concernant les rentabilités des titres On peut être amené à considérer différents titres et leurs prix
à différentes dates D’où un double indexage.
, prix (cours) de l’action à la date courante On considère donc qu’un investisseur peut choisir des actions dans
un ensemble de titres est de quelques millions pour un investisseur professionnel C’est plus simple au niveau des notations d’utiliser cet indexage que
de reprendre le code ISIN à 12 caractères (ou le code CUSIP)
, dividende versé à la date
,, , ,
,rentabilité du titre entre et
Si la date courante n’a pas d’importance, on utilise la notation 60
Rentabilité d’un portefeuille Portefeuille : ensemble d’actifs détenus par une
personne physique ou morale Actifs financiers, valeurs mobilières, titres négociables sur un
marché organisé, biens immobiliers, dépôts à vue, à terme, obligations, stock-options, droits à retraite, objets d’art, meubles, véhicules, bijoux, métaux précieux, etc.
Ce qui peut être vendu à un tiers Capital humain ?
Ce qui constitue le patrimoine de la personne physique ou morale Biens, droits et valeurs Duquel il faut déduire les passifs
Impôts à payer, emprunts contractés pour l’acquisition des actifs
Pour simplifier l’exposé, on se concentrera sur les actions (et les obligations)
61
Rentabilité d’un portefeuille Portefeuille de deux actions
Mettons Peugeot et Renault Renault : code ISIN FR0000131906 Mnémo : RNO
On notera et les taux de rentabilité respectifs Pour simplifier les notations, on omettra autant que possible la
référence à la date courante 1 : , , ,
Il s’agit de rentabilités ex-ante, donc de variables aléatoires
On rappelle que ,, , ,
,, ,
, , ,
,
L’intervalle de temps entre et 1 n’est pas précisé Il peut s’agir d’un jour, d’une semaine, d’un mois, d’une année
: nombre d’actions Peugeot et Renault acquises en 1 L’investissement initial dans le portefeuille d’actions est donc
, ,62
Rentabilité quotidienne IBM juin 59‐juin60
Rentabilité d’un portefeuille
Portefeuille de deux actions (suite) L’investissement initial dans le portefeuille d’actions est
donc , ,
La part de la richesse investie dans l’action est notée
,
, ,
La part de la richesse investie dans l’action est notée
,
, ,
Remarquons que Et donc évidemment , et sont connus dès la date et ne sont donc pas
des variables aléatoires, mais des scalaires63
Rentabilité d’un portefeuille Portefeuille de deux actions (suite)
On va maintenant s’intéresser à la rentabilité du portefeuille constitué des deux actions
Il s’agit de la variation relative de la valeur du portefeuille d’actions entre les dates et
Valeur du portefeuille en : , , Prix d’acquisition des actions
Valeur du portefeuille en Prise en compte de la valeur de revente et des dividendes perçus
, , , ,
La rentabilité du portefeuille s’écrit
, , , , , ,
, ,64
Rentabilité d’un portefeuille
Portefeuille de deux actions (suite)
, , , , , ,
, ,
Simplifions cette (horrible) expression Au numérateur, on peut factoriser par les nombres de titres détenus
et , ce qui donne , , , , , ,
Que l’on peut réécrire comme
,, , ,
,,
, , ,
,
D’après les définitions des rentabilités , ,
, ,
, ,
,
, ,
,
, ,
65
66
Rentabilité d’un portefeuille Portefeuille de titres (cas général)
« nombre » de titres détenus , … , ∈ composition du portefeuille , prix du titre à la date , , dividende versé à la date , , … , , vecteur des prix à la date
Valeur du portefeuille en : , , ′ ′ : notation « matricielle » pour transposé de
Attention à la synchronicité
devrait être entier. ‐ Il est plus simple sur le plan
mathématique de considérer des valeurs réelles
‐ Une quantité négative correspond à une vente à découvert
Rentabilité d’un portefeuille
Portefeuille de titres (suite) Pour simplifier la présentation, le nombre de titres investis
reste constant au cours du temps Les quantités investies peuvent être des fractions En pratique ce sont des nombres entiers Divisibilité des titres émis par une entreprise
Rentabilité du titre i entre et : ,, , ,
,
Rentabilité du portefeuille :
Propriété ,,
67
Dividende versé usuellement une fois
par an
Rentabilité d’un portefeuille Portefeuille de titres
Le nombre de titres investis reste constant au cours du temps Les quantités investies peuvent être des fractions Infinie divisibilité des titres émis par une entreprise quantités investies dans les titres peuvent a priori être négatives Possibilité de vendre à découvert (sinon )
Notation : , ,∑ ,
est la fraction de la richesse investie dans l’actif i
Relation entre rentabilité du portefeuille et rentabilité des
titres le constituant : ,68
La théorie du portefeuille : exemples Composition d’un portefeuille diversifié comprenant
des actions (stocks) et des obligations (bonds) Small caps : petites capitalisations Real Estate : immobilier
69
Fraction de la richesse Investie dans différentes
Classes d’actifs
La théorie du portefeuille : exemples
Historique de rentabilités de portefeuille Grande variabilité, une première approche intuitive du
risque
70
En ordon
nées, les re
ntab
ilités a
nnue
lles e
n %
Rentabilités annuelles du portefeuille précédent
La théorie du portefeuille : exemples
Évolution de la valeur de portefeuilles d’actions Éclatement de la bulle internet au Canada, en France, en Allemagne,
au Japon, au Royaume Uni et aux États-Unis Base 100 en 1993
71
Les indices boursiers représentent des
portefeuilles d’actions
Quelques succès beaucoup d’échecs
La théorie du portefeuille : exemples
Évolution de l’indice CAC40 Composition du portefeuille varie au cours du temps Dividendes non réinvestis
72Sur 10 ans, en bleu volumes échangés
Sur deux ans
Crise des dettes souveraines dans la
zone euro
Crise des subprimes + crise de la liquidité bancaire
La théorie du portefeuille : exemples
Fidelity Magellan Fund http://en.wikipedia.org/wiki/Magellan_Fund
Fonds géré de manière active La composition du fonds s’écarte de
celle de l’indice boursier de référence AUM : Assets Under Management Montant total des actifs gérés par une
institution financière, fonds commun, société de gestion de fonds
En 2005, le montant des actifs gérés par ce fond était d’environ 50 milliards de dollars
73
Peter LynchAncien gérant
vedette du fonds
La théorie du portefeuille : exemples
Fidelity Magellan Fund Montant des actifs gérés varie : Valeur liquidative de la part Collecte nette (positive ou négative)
d’épargne Dans les fonds ouverts, le nombre
de parts varie Dans un fonds fermé, on ne peut
vendre ses parts Sauf éventuellement à trouver un
acheteur
74
Évolution d’une part du fondCours en USD
Période Rentabilité du Fond
Rentabilité d’un portefeuille dupliquant
l’indice S&P 5002008 (49.66%) (38.91%)2007 18.84% 3.53%2006 7.22% 15.79%2005 6.42% 4.91%2004 7.49% 10.88%2003 24.82% 26.68%2002 (23.66%) (22.10%)2001 (11.65%) (11.89%)2000 (9.29%) (9.11%)1999 24.05% 21.04%1998 33.63% 28.58%
Rentabilités annuelles comparéesDu fond Fidelity Magellan et de l’indice
Standard & Poors 500
La théorie du portefeuille : exemples
Pourcentage de la richesse investie dans deux fonds Poids représentés par ordre décroissant pour deux fonds Actions privilégiées par les gérants
75
La théorie du portefeuille : exemples Pourcentage de la richesse investie dans les fonds
Pourcentages de richesse investie par secteurs d’activité
Le lecteur attentif remarquera au moins une coquille dans le tableau ci-dessous76
La théorie du portefeuille : exemples
On va s’intéresser aux caractéristiques des rentabilités de portefeuilles de titres
On supposera que la rentabilité d’un titre est une variable aléatoire prenant des valeurs discrètes dont on connait la loi de probabilité
On ne fera pas référence à la date courante et on supposera implicitement que les caractéristiques des rentabilités aléatoires sont stables au cours du temps
Hypothèse de stationnarité
77
Rentabilités quotidiennes de l’indice footsie.Forte augmentation de la volatilité après la
faillite de Lehman Brothers
Histogramme des rentabilités annuelles de l’indice S&P500http://en.wikipedia.org/wiki/S%26P_500
La théorie du portefeuille : exemples
Ordre de grandeur de l’écart-type des rentabilités annuelles de portefeuilles d’actions : 20%
78
La théorie du portefeuille : espérance et écart-type des taux de rentabilité
On s’est intéressé à l’espérance de rentabilité d’un titre et à son écart-type comme une mesure du risque de cet actif
On va maintenant s’intéresser à l’espérance de rentabilité et à l’écart-type de la rentabilité d’un portefeuille de titres Cas de deux titres On omettra la dépendance par rapport au temps
,
Une composition particulière de portefeuille correspond donc au choix de poids alloués à chacune des actions
On va chercher comment et dépendent de
79
La théorie du portefeuille : espérance du taux de rentabilité
Linéarité de l’espérance mathématique Deux variables aléatoires X et Y et deux réels α et β On a alors : Démonstration :
Par définition
En développant le terme de droite, on obtient
En réarrangeant les termes, la somme précédente peut s’écrire
Le terme de droite est égal à Ce que l’on voulait démontrer
80
La théorie du portefeuille : espérance du taux de rentabilité
Considérons l’espérance de rentabilité d’un portefeuille , On pourra éventuellement noter comme dans l’ouvrage de
référence On cherche à déterminer
sont connus (scalaires) : variables aléatoires On rappelle la propriété de linéarité de l’espérance et variables aléatoires, scalaires Alors :
81
La théorie du portefeuille : écart-type du taux de rentabilité
Considérons maintenant la variance de la rentabilité Ou l’écart-type en prenant la racine carrée de la variance
, On pourra noter comme dans le livre
Un résultat classique de probabilités permet d’écrire
est le coefficient de corrélation linéaire entre et
dépend de qui mesure le degré de liaison entre et
82
La théorie du portefeuille : coefficient de corrélation linéaire
Coefficient de corrélation linéaire entre les rentabilités (aléatoires) et
Au numérateur, covariance entre les rentabilités des titres 1 et 2 : et
Au dénominateur, produit des écart-types des rentabilités, et
Si , les prix des actions et tendent à varier dans le même sens
Si , les prix des actions et tendent à varier dans des sens opposés
Si les prix des actions varient de manière indépendante, alors
83
Corrélation positive
Corrélation négative
Définition
La théorie du portefeuille : coefficient de corrélation linéaire
Le coefficient de corrélation linéaire entre et , , est une mesure de la tendance des
rentabilités à varier dans le même sens ou en sens inverse Les propriétés de la covariance , sont rappelées dans
les transparents suivants
On peut aussi écrire le coefficient de corrélation linéaire comme
: rentabilité centrée réduite du titre On rappelle que ,
Le coefficient de corrélation linéaire a une valeur comprise entre et :
84
La théorie du portefeuille : coefficient de corrélation linéaire
Illustrations numériques
On reprend le premier exemple Rentabilités du titre les 4 dernier jours : %, %, %, % Probabilités assignées à chacune de ces quatre journées ⁄ On rappelle que %, %
Ici
On introduit un titre Rentabilités du titre les 4 dernier jours : %, %, %, % Probabilités assignées à chacune de ces quatre journées ⁄ On remarque que
85
La théorie du portefeuille : coefficient de corrélation linéaire
Illustrations numériques Rentabilités du titre les 4 dernier jours : %, %, %, %
Les rentabilités du titre sont maintenant égales à :
On sait que %, % Les valeurs des rentabilités du titre 2 après centrage et réduction
sont :
Ces valeurs normalisées sont identiques à celle du titre 2 dans le transparent précédent
Le calcul du coefficient de corrélation est identique
86
La théorie du portefeuille : coefficient de corrélation linéaire
Illustrations numériques Rentabilité du titre les 4 dernier jours : %, %, %, %
Les rentabilités du titre sont maintenant égales à :
On sait que %, % Les valeurs des rentabilités du titre 2 après centrage et réduction
sont :
Ces valeurs normalisées sont identiques à celle du titre 2 dans le transparent précédent
Le calcul du coefficient de corrélation est identique
87
La théorie du portefeuille : coefficient de corrélation linéaire
Illustrations numériques Rentabilités du titre les 4 dernier jours : %, %, %, % Les rentabilités du titre sont maintenant égales à : %, %, %, % On sait que %, % Les valeurs des rentabilités du titre 2 après centrage et réduction
sont :
Le calcul du coefficient de corrélation donne :
88
La théorie du portefeuille : coefficient de corrélation linéaire
Illustrations numériques Rentabilités du titre les 4 dernier jours : %, %, %, % Les rentabilités du titre sont maintenant égales à : %, %, %, % On vérifie que %, % Les valeurs des rentabilités du titre 2 après centrage et réduction
sont :
Le calcul du coefficient de corrélation donne
89
La théorie du portefeuille : coefficient de corrélation linéaire
Dernier exemple Rentabilités du titre les 6 dernier jours : %, %, %, %, %, % Les rentabilités du titre sont maintenant égales à : %, %, %, %, %, % On vérifie que %, % Les valeurs des rentabilités du titre 2 après centrage et réduction sont :
Le calcul du coefficient de corrélation donne ⁄ ⁄ ⁄
⁄ ⁄ ⁄ ,
Ici, les rentabilités des titres 1 et 2 sont identiques 4 jours sur 6, et opposées les deux autres jours.
90
On peut obtenir différentes valeurs du coefficient de
corrélation alors même que , , , sont identiques
coefficient de corrélation linéaire
Prix non synchrones : perturbations dans les calculs Ajustements statistiques à prévoir pour estimations non biaisées
91
La théorie du portefeuille : compléments mathématiques
Il peut à nouveau être utile de faire quelques rappels de probabilités
Définition de la covariance entre et
Dans le livre, est notée ,
Définition équivalente :
Cette équivalence peut être démontrée à titre d’exercice et résulte de la linéarité de l’espérance
Remarques :
(symétrie)92
La théorie du portefeuille : compléments mathématiques
Vérifiez à titre d’exercice que :
En utilisant la définition de la covariance et la linéarité de l’espérance
2 2
2 En soustrayant les termes en vert à ceux en bleu
2 Var 2Cov , Var
93
La théorie du portefeuille : compléments mathématiques
Covariance entre une variable aléatoire et une (variable aléatoire) constante Cov
En utilisant la linéarité de la variance
Nous avons déjà vu que si est une constante
On obtient donc :
Nous avons vu que, par définition, la rentabilité d’un placement sans risque est constante
Pour toute rentabilité (aléatoire) d’une action ou d’un portefeuille, on a donc Cov
94
La théorie du portefeuille : compléments mathématiques
(Bi)linéarité de la covariance Si sont deux scalaires, une rentabilité aléatoire :
Cov Cov Cov Démonstration pénible à écrire, sans difficulté, à lire tranquillement
D’après la définition de la covariance : Cov , En utilisant la linéarité de l’espérance :
En reportant les expressions en couleur et en factorisant par et Cov ,
Cov , Cov , Cov ,95
La théorie du portefeuille : compléments mathématiques
Application à la gestion de portefeuille (suite)
fractions de la richesse investie dans les titres et
D’après les propriétés de la variance :
D’où le résultat en utilisant : ,
On peut calculer la variance de la rentabilité des portefeuilles constitués du titre et du titre en fonction de
96
1 1 2 2PR X R X R
1 2 2 11 1 XX XX
22 2 21 1 12 1 1 1 2 1 2Var 2 1 1PR X X X X
1 1 2 2
1 1 1 1 2 2 2 22 2
1 1 1 2 1 2 2 2
Var VarVar 2Cov , Var
Var 2 Cov , Var
PR X R X RX R X R X R X R
X R X X R R X R
La théorie du portefeuille : évolution de l’espérance et de l’écart type
Représentation des portefeuilles constitués des titres 1 et 2 dans un plan : où l’écart-type de la rentabilité du portefeuille est en abscisse
« Mesure de risque »
et l’espérance de rentabilité en ordonnée
Composition de portefeuille : valeur de Chaque portefeuille est représenté par un point dans le plan
(écart-type des rentabilités, espérance des rentabilités) L’ensemble de ces points forme une « courbe paramétrée » par
(composition du portefeuille)
97
1 2 1 1 2P PE R E X E R X E R E R
22 2 21 1 1 12 1 1 1 2 1 2Var 2 1 1P PX R X X X X
La théorie du portefeuille : évolution de l’espérance et de l’écart type
Représentation des portefeuilles constitués des titres 1 et 2 dans le plan espérance – écart-type En abscisse l’écart-type du taux
de rentabilité du portefeuille
Écart-type : standard deviation
En ordonnée l’espérance du taux de rentabilité du portefeuille
« Expected return »
À chaque point bleu correspond une valeur particulière de
98
La théorie du portefeuille
99
Cas où Cas particulier où le coefficient de corrélation
linéaire entre les deux rentabilités est égal à
On rappelle que : ,
correspond à la situation où la liaison statistique entre les deux rentabilités est la plus forte Si , alors ,
En effet, le numérateur est Le dénominateur est
Pourquoi s’intéresser à ce cas particulier ? On considèrera en outre que ,
, Quantités investies dans les deux titres positives Les calculs d’écart-type des portefeuilles sont plus simples
que dans le cas général Écart-type fonction affine de la composition du portefeuille Représentation simple des portefeuilles dans le plan écart-type –
espérance des rentabilités Il s’agit d’un segment de droite
Comparaisons utiles avec le cas général Concavité de la frontière efficiente
Facilite l’analyse de la Capital Market Line (CML) Les portefeuilles sur la CML sont parfaitement corrélés
Permet une introduction à la notion d’arbitrage100
La théorie du portefeuille , ,
La théorie du portefeuille
Le cas correspond à une situation extrême de liaison parfaite entre les rentabilités et On peut démontrer que Si et seulement si avec
Relation affine entre les deux rentabilités Pas de terme de bruit comme dans une régression linéaire Pas de « diversification du risque » Représentation simple des portefeuilles dans le plan écart-type –
espérance des rentabilités S’il existe un actif sans risque, on peut en outre montrer que le
titre 2 est un portefeuille composé du titre 1 et de l’actif sans risque (et vice versa) En l’absence d’« opportunité d’arbitrage » (voir la suite des transparents)
101
La théorie du portefeuille
Évaluation de l ’écart-type du portefeuille quand On part de la formule générale
Qui devient
(« carré parfait »)
: valeur absolue de , si , si
102
La théorie du portefeuille
103
1 1 1 21pE X E R X E R
1 1 1 21P X X
10 1X
Le segment de droite reliant les points A et B représente l’ensemble des
portefeuilles combinant les titres 1 et 2 pour un niveau de corrélation égal à 1
Espérance de rentabilité
Écart‐type de la rentabilité
proportion de la richesse investie dans le titre 1
2 2E E R
1 1E E R
1et 0 1X
Segment de droite
La théorie du portefeuille
Corrélation Segment de droite ?
104
1 1 1 21pE X E R X E R
1 1 1 21P X X
Le segment de droite reliant les points A et B représente l’ensemble des
portefeuilles combinant les titres 1 et 2, en quantités positives, pour un niveau de
corrélation égal à 1
Espérance de rentabilité
Écart‐type de la rentabilité
1 1X
1 0X
2 1 1 2pE E X E E
2 2E E R 2 1 1 2P X
1 22 2
1 2p P
E EEE
Relation affine entre espérance de rentabilité et écart‐type des rentabilités
10 1X
1 1E E R
La théorie du portefeuille
Le cas correspond à une situation extrême de liaison parfaite entre les rentabilités et
Cas général Variance et espérance de rentabilité pour donné variance de la rentabilité du portefeuille
Fonction affine du coefficient de corrélation la variance de taux de rentabilité du portefeuille est d’autant plus
faible que le coefficient de corrélation est faible
espérance de rentabilité du portefeuille L’espérance de rentabilité ne dépend pas du coefficient de
corrélation 105
La théorie du portefeuille
106
proportion de la richesse
investie dans le titre 1
proportion de la richesse investie dans le
titre 2
10 1X
Chaque courbe représente l’ensemble des portefeuilles combinant les titres 1 et 2 pour un niveau de corrélation , donné
,
La théorie du portefeuille
107
Une diminution du coefficient de corrélation , fait diminuer l’écart‐type de la rentabilité sans en changer l’espérance (flèche rouge)
proportion de la richesse
investie dans le titre 1
proportion de la richesse investie dans le
titre 2
Seul , varie,
La théorie du portefeuille
108
proportion de la richesse
investie dans le titre 1
Pour ce portefeuille, le risque est plus faible que pour chacun des
titres pris isolément
proportion de la richesse investie dans le
titre 2
10 1X
Le concept de diversification
Actions Michelin (1), Carrefour (2)
Coefficient de corrélation :
, le risque d’un portefeuille équipondéré n’est que de
109
1 235%, 42%
12 0,32 1 2 50%X X
30%P
P
Le concept de diversification
Rappel
Titres symétriques
Portefeuille équipondéré Comme
110
2 2 2
1 1 1,
I I I
P i i ij i j i ji i j j i
X X X
I: Nombre de titres
, 1, ,i i I , , 1, ,ij i j n
2 2 22 2
2 21 1 1,
1
( 1)
11 1 1I I I
Pi i j j i
I I
I I
I I I I
La théorie du portefeuille : diversification
Le concept de diversification Variance du portefeuille décroit en fonction du nombre de titres La variance tend vers une limite égale à
Risque incompressible
111
22 2 11P I I
Risque incompressible
PRisque pouvant être éliminé
par la diversificationEn pratique
réduction assez rapide du risque en fonction du nombre de titres
112
Théorie du portefeuille et diversificationNe pas mettre tous ses œufs dans le même panier
113
Théorie du portefeuille : diversification Risques non diversifiables ?
À droite une mauvaise diversification des risques
Même cause affectant tous les ouvriers
Facteurs économiques communs Sources de risque affectant
simultanément tous les secteurs de l’économie
Phénomènes de contagion Propagation d’une difficulté
locale à l’ensemble de l’économie
Sauf cas de dépendance négative
Lyxor ETF CAC 40 Daily Double Short
Rentabilité rentabilité CAC 40
114
Théorie du portefeuille : diversification Risques non « diversifiables » ? Le tableau ci-contre montre
qu’une « mauvaise année » Comme 2008
Les performances des actifs risqués peuvent être fortement négatives Uniformément négative Par taille Par zone géographique Par secteur d’activité
Ceci ne remet pas en cause le principe de diversification
Théorie du portefeuille : diversification
La diversification du risque n’élimine pas tous les risques
Elle réduit néanmoins le risque Et ceci se fait sans diminution de
l’espérance de rentabilité La tendance à la diversification
internationale et l’interconnexion des économies rendent les krachs financiers globaux Endettement des collectivités locales
en devises … Trésorerie d’entreprises ayant acheté
des CDO de subprimes …115
Théorie du portefeuille : diversification, illustration numérique
Reprenons un de nos exemples précédents avec deux titres Rentabilités du titre les 4 dernier jours égales à : %, %, %, %, %, % Rentabilités du titre les 4 dernier jours égales à : %, %, %, %, %, %
Considérons un portefeuille équipondéré Les rentabilités sont données par %, %, %, % L’espérance de rentabilité est % La variance du taux de rentabilité est égale à ⁄
⁄ ⁄ ⁄ ⁄ L’écart-type est égal à ⁄ , % Diminution du risque sans diminution de l’espérance de rentabilité Cette diminution du risque n’est effective que les 2 dernières journées
116