Cours chapitre 1 cinématique 2017 - perso.univ-lemans.frperso.univ-lemans.fr/~bcasta/Cours%20L1%20M%e9... · Sommaire! 1. Déﬁnion 2. Référen.el! 3. Repère! 4. Vecteur!vitesse!

Mécanique du point

1.   CINÉMATIQUE du point

janvier 17 1

Objec.fs

•  Connaitre le système de coordonnées cartésiennes et polaires ou cylindriques

•  Connaitre l’expression des vecteurs posi.on, vitesse et accéléra.on dans les systèmes de coordonnées cartésiennes et cylindriques

•  Connaitre la défini.on de quelques mouvements par.culiers

janvier 17 2

Sommaire

1.  Défini.on 2.  Référen.el 3.  Repère 4.  Vecteur vitesse 5.  Vecteur accéléra.on 6.  Exemples de mouvement 7.  Récapitula.f

janvier 17 3

Sommaire

1.   Défini<on –  Défini.on –  Objet

2.  Référen.el 3.  Repère 4.  Vecteur vitesse 5.  Vecteur accéléra.on 6.  Exemples de mouvement 7.  Récapitula.f

janvier 17 4

1.   DÉFINITION •  Etude du mouvement d’un point sans se préoccuper des causes (les forces) qui lui donnent naissance.

•  Objet de la cinéma<que : –  Décrire la posi.on –  La vitesse –  L’accéléra.on

d’un point au cours du temps

janvier 17 5

Sommaire 1.  Défini.on 2.   Référen<el –  Nécessité d’un référen.el –  Défini.on –  Caractéris.que d’un référen.el –  Exemples

3.  Repère 4.  Vecteur vitesse 5.  Vecteur accéléra.on 6.  Exemples de mouvement 7.  Récapitula.f

janvier 17 6

2.   REFERENTIEL •  Nécessité d’un référen.el : – Mouvement d’un point – Observateur qui analyse – Emplacement de l’observateur

•  Un référen.el (ou solide de référence) est un ensemble de points tous fixes les uns par rapport aux autres. L’observateur qui étudie le mouvement d’un point est lui-‐même immobile dans ce référen.el.

janvier 17 7

2.   REFERENTIEL •  Caractéris.que d’un référen.el : – Nom – Repère (Point O et 3 direc.ons fixes)

•  Exemples : – Référen.el de Copernic – Référen.el géocentrique – Référen.el terrestre

janvier 17 8

Sommaire 1.  Défini.on 2.  Référen.el 3.   Repère –  Repère d’espace –  Repère de temps –  Systèmes de coordonnées (cartésiennes, polaires,

cylindriques)

4.  Vecteur vitesse 5.  Vecteur accéléra.on 6.  Exemples de mouvement 7.  Récapitula.f janvier 17 9

3.   REPERES Où se trouve le point ? REPÈRE d’espace

•  Lié au référen.el •  Origine O fixe dans le

référen.el •  Axes de référence (x,y,z). •  Axes liés au référen.el.

janvier 17 10

3.   REPERES A quel moment ? REPÈRE de temps

•  Instant 1, instant 2 •  Date t1, date t2 •  Durée t2 – t1

janvier 17 11

3.   REPERES •  Coordonnées cartésiennes •  Coordonnées polaires •  Coordonnées cylindriques •  Système de coordonnées à choisir en fonc.on du mouvement du point mobile: – Trajectoire circulaire → coordonnées polaires

•  Passage d’un système de coordonnées à un autre

janvier 17 12

3.   REPERES Coordonnées cartésiennes •  Dans le plan •  Dans l’espace

janvier 17 13

3.   REPERES Coordonnées cartésiennes (suite)

• 

•  Vecteur posi.on

•  Base fixe dans le référen.el

janvier 17 14

( )zyx ,,coordonnées longueur (en m)

zyx uzuyuxOM

++=

( )zyx uuu,,

3.   REPERES Coordonnées polaires •  Dans le plan

Coordonnées cylindriques •  Dans l’espace

janvier 17 15

axe polaire

3.   REPERES Coordonnées polaires (suite)

• 


•  Base mobile dans le référen.el

janvier 17 16

( )θρ ,

coordonnée radiale longueur (en m)

coordonnée angulaire (angle polaire, azimut) angle (en rad)

ρρuOM =

( )θρ uu,

3.   REPERES Coordonnées cylindriques (suite)

• 


•  Base mobile dans le référen.el

janvier 17 17

( )z,,θρcote longueur (en m)

zuzuOM

+= ρρ

( )zuuu,, θρ

3.   REPERES Passage polaire → cartésienne ?

janvier 17 18

?

?

??

=

=

=

=

y

x

u

u

yx

u!!

u!!

xu

yu

θ

3.   REPERES Passage polaire → cartésienne

janvier 17 19

θρ

θρ

θθ

θθ

θρ

θρ

uuu

uuu

yx

y

x

cossin

sincos

sincos

+=

−=

=

=

u!!

u!!

xu

yu

θ

3.   REPERES Passage cartésienne → polaire ?

janvier 17 20

?

?

?tan?

=

=

=

=

θ

ρ

θ

ρ

u

uu!!

u!!

xu

yu

θ

3.   REPERES Passage cartésienne → polaire

janvier 17 21

yx

yx

uuu

uuuxy

yx

θθ

θθ

θ

ρ

θ

ρ

cossin

sincos

tan

²²

+−=

+=

=

+=

u!!

u!!

xu

yu

θ

Sommaire 1.  Défini.on 2.  Référen.el 3.  Repère

4.   Vecteur vitesse –  Défini.ons (vitesse moy., instant., angulaire) / Unités –  Expression en coordonnées cartésiennes / polaires / cylindriques –  Expression dans la base de Freinet

5.  Vecteur accéléra.on 6.  Exemples de mouvement 7.  Récapitula.f

janvier 17 22

4.   VECTEUR VITESSE Vitesse moyenne •  Direc.on et sens ceux du

mouvement (de M1 vers M2).

•  La norme renseigne sur la distance parcourue en moyenne par unité de temps.

•  Unités SI –  mètre/seconde –  m.s-‐1

janvier 17 23

tOMOM

ttMM

VmΔ

−=

−= 12

12

21

4.   VECTEUR VITESSE Vitesse instantanée •  Vitesse = dérivée par rapport au temps du vecteur posi.on

•  Durée élémentaire (infiniment pe.te) : dt

•  Vecteur déplacement élémentaire :

( ) ( ) ( )

( ) ( ) lddttVdtld

dtOMdtV

ttOMttOMtV t

=⇒==

Δ

−Δ+= →Δ 0lim

ldOMd =

janvier 17 24

4.   VECTEUR VITESSE Expression en coordonnées cartésiennes •  Vecteur posi.on

•  Vecteur vitesse

•  Norme du vecteur vitesse

janvier 17

( )

( ) ²²² zyxVtV

uzuyuxtV

uzuyuxOM

zyx

zyx

++==

++=

++=

4.   VECTEUR VITESSE Expression en coordonnées polaires / cylindriques •  Vecteur posi.on


•  Norme du vecteur vitesse

janvier 17

( )

( ) ²)²(² zVtV

uzuVuVtV

uzuOM

z

z

++==

++=

+=

θρρ

ρ

θθρρ

ρ

–  Composante radiale

–  Composante orthoradiale

θρ

ρ

θ

ρ

=

=

V

V

4.   VECTEUR VITESSE Cas du mouvement plan (base de Freinet)

•  Vecteur vitesse : Tangent à la trajectoire au point M

" (%)=' ( ↓%  •  Norme du vecteur vitesse ‖" (%)‖="=|'|

janvier 17 27

Base de Freinet •  Base mobile

•  ( ↓%  : vecteur unitaire tangent à la trajectoire et orienté comme celle-‐ci

•  ( ↓,  : vecteur unitaire normal à la trajectoire et tourné vers la concavité

4.   VECTEUR VITESSE Vitesse angulaire •  Posi.on angulaire de M dans le plan Oxy : θ

•  Vitesse angulaire = dérivée par rapport au temps de θ

•  Vecteur vitesse angulaire :

•  Sens posi.f : de x vers y zu

θω =janvier 17 28

Sommaire 1.  Défini.on 2.  Référen.el 3.  Repère 4.  Vecteur vitesse

5.   Vecteur accéléra<on –  Défini.on / Unités –  Expression en coordonnées cartésiennes / polaires / cylindriques –  Expression dans la base de Freinet

6.  Exemples de mouvement 7.  Récapitula.f

janvier 17 29

5.   VECTEUR ACCELERATION •  Varia.on du vecteur vitesse par rapport au temps

•  Unités SI – mètre/seconde au carré – m.s-‐2

( ) ( )²

²dtOMd

dttVdta ==

janvier 17 30

5.   VECTEUR ACCELERATION Expression en coordonnées cartésiennes •  Vecteur accéléra.on

janvier 17

( ) zyx uzuyuxta ++=

5.   VECTEUR ACCELERATION Expression en coordonnées polaires / cylindriques •  Vecteur accéléra.on

– Composante radiale

– Composante orthoradiale

janvier 17

( )

θρθρ

θρρ

θ

ρ

θθρρ

2

²

+=

−=

++=

a

a

uzuauata z

5.   VECTEUR ACCELERATION Cas du mouvement plan (base de Freinet) •  Vecteur accéléra.on : + –  Composante tangen.elle : at

•  indique si la valeur de la vitesse change •  mvt uniforme : at = 0

–  Composante normale centripète : an •  toujours posi.ve •  toujours tournée vers le centre de courbure de la trajectoire au point considéré

•  indique que la direc.on du vecteur vitesse change •  mvt rec.ligne: an = 0

janvier 17

.↓% = /'//% 

.↓, = "²/1 

janvier 17 34

5.   ACCELERATION Accéléra<on angulaire •  Vecteur accéléra.on angulaire

janvier 17 35

zudtd

θω=

Sommaire 1.  Défini.on 2.  Référen.el 3.  Repère 4.  Vecteur vitesse 5.  Vecteur accéléra.on

6.   Exemples de mouvement – Mouvements rec.lignes – Mouvements circulaires – Mouvement parabolique

7.  Récapitula.f

janvier 17 36

6.   EXEMPLES de MOUVEMENT •  Mouvements rec.lignes –  Quelconque –  Uniforme –  Uniformément varié –  Sinusoïdal

•  Mouvements circulaires –  Quelconque –  Uniforme –  Uniformément varié –  Sinusoïdal

•  Mouvement parabolique

janvier 17 37

6.   EXEMPLES de MOUVEMENT

Mouvement rec<ligne •  Trajectoire = por.on de droite •  Une seule composante pour :

–  Posi.on :

–  Vitesse :

–  Accéléra.on : •  Origine O : posi.on de M à t = 0

janvier 17 38

( )tx( ) xx uvutxv

==

( ) xx uautxa

==

( )0

00

0 =

==

xtx


Mouvement rec<ligne quelconque •  Vecteur accéléra.on fonc.on quelconque du temps

•  Des condi.ons ou les condi.ons ini.ales (à t=0) permehent de déterminer Vo et x0.

janvier 17 39

( ) ( ) ( ) ( )dttvxdttfxtvtfxa ∫∫ =⇒==⇒==


Mouvement rec<ligne uniforme •  Vecteur vitesse constant

janvier 17 40

( )( )

tVxx

xtVxVx

VxuvutxvuVVtv

xa

xx

x

.0

.

0

00

000

000

=⎭⎬⎫

=

+=⇒=

=⎪⎭

⎪⎬⎫

==

==

==

6.   EXEMPLES de MOUVEMENT Mouvement rec<ligne uniformément varié •  Vecteur accéléra.on constant + mouvement rec.ligne

•  Des condi.ons ou les condi.ons ini.ales (à t=0) permehent de déterminer Vo et x0.

janvier 17 41

( )( )

000000

000

.².21

. xtVtaxvtaxax

axuautxauaataxx

x

++=⇒+=⇒=

=⎪⎭

⎪⎬⎫

==

==


Mouvement rec<ligne sinusoïdal •  Équa.on horaire fonc.on sinusoïdale du type

avec : — ω : pulsa.on (en rad/s) — Xm : amplitude maximale du mouvement — Phase Φ à l’instant t : — ϕ : phase à l’origine

janvier 17 42

( )( ) ( )( ) ( )ϕωω

ϕωω

ϕω

+−==

+−==

+=

tXtaxtXtvx

tXx

m

m

m

cos²sin

cos

( ) ϕω +=Φ tt


Mouvement rec<ligne sinusoïdal (suite) •  Équa.on différen.elle

janvier 17 43

0² =+ xx ω


Mouvement circulaire quelconque •  Voir doc récapitula.f Mouvement circulaire •  Trajectoire = cercle de centre O et de rayon R •  Origine O : centre du cercle et axe Oz perpendiculaire au plan contenant la trajectoire

•  Equa.ons horaires en coordonnées polaires

janvier 17 44

( )tcteR

θθ

ρ

=

==


Mouvement circulaire uniforme (suite) •  Vecteur vitesse angulaire constant

janvier 17 45

( )

( )

θω

θωθθθ

ωθθ

uRv

tt

ctetdtd

0

00

0

0 .0

=

+=⎪⎭

⎪⎬

⎫

==

===

6.   EXEMPLES de MOUVEMENT Mouvement circulaire uniforme (suite) •  Vecteur accéléra.on –  Composante tangen.elle nulle

–  Composante normale

ð Mouvement accéléré à accéléra.on centripète

janvier 17 46

0=ta

ρωω uRuRuRvaa nnn ²²²

00 −====


Mouvement circulaire uniformément varié •  Vecteur accéléra.on angulaire constant

•  Les condi.ons ini.ales (à t=0) ou des condi.ons par.culières permehent de déterminer et .

janvier 17 47

!!! = !!!0 = cte!! = !!!0.t + !!0

! =12!!!0.t

2 + !!0.t +!0

0θ 0θ


Mouvement circulaire sinusoïdal •  Équa.on horaire fonc.on sinusoïdale du type

janvier 17 48

( )ϕωθ +Θ= tm cos


Mouvement parabolique

janvier 17 49


Mouvement parabolique (suite) •  Condi.ons ini.ales

•  Vecteur accéléra.on


janvier 17 50

zxzzxx uvuvuvuvvtv

ztzxtx

αα sincos)0(

0)0(0)0(

00000

0

0

+=+===

===

===

0

0az

xa

=

==

OM! "!!!

=x = v0 x.t

z = 12a0.t

2 + v0z.t


z

x

vtazvx

v00

0

. +=

==


Mouvement parabolique (suite) •  Trajectoire –  Si V0x = 0 è mouvement rec.ligne uniformément varié suivant z

–  Si V0x ≠ 0 è mouvement rec.ligne uniformément varié suivant z + mouvement rec.ligne uniforme suivant x

–  équa.on de la trajectoire

janvier 17 51

z = 12a0

xv0 x

!

"#

$

%&

2

+ v0zxv0 x

!

"#

$

%&

z = 12a0

x2

v02 cos2!

+ x tan!


Mouvement parabolique (suite) •  Flèche h –  Al.tude maxi que peut aheindre le point mobile

•  Portée d –  Distance maxi que peut aheindre le point mobile

janvier 17 52

α²sin2²0g

vh =

α2sin²0gvd =

Sommaire

1.  Défini.on 2.  Référen.el 3.  Repère 4.  Vecteur vitesse 5.  Vecteur accéléra.on 6.  Exemples de mouvement

7.   Récapitula<f è travail perso

janvier 17 53

7.   Récapitula<f •  Système de coordonnées cartésiennes et polaires ou cylindriques + passage de l’un à l’autre

•  Expression des vecteurs posi.on, vitesse, vitesse angulaire, accéléra.on et accéléra.on angulaire dans les différents systèmes de coordonnées

•  Passages du vecteur posi.on au vecteur vitesse, du vecteur vitesse au vecteur accéléra.on

•  Défini.on de quelques mouvements par.culiers

janvier 17 54

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