Mécanique  du  point    

3.   OSCILLATEURS  MECANIQUES  Ø  Oscillateurs  forcés  

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Sommaire  

1.  Objec2fs  2.  Oscilla2ons  forcées  3.  Etude  de  l’élonga2on  4.  Etude  de  la  vitesse  

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1.   OBJECTIFS  •  Savoir  u2liser  la  nota2on  complexe  pour  la  résolu2on  du  problème  de  l’oscillateur  forcé.  

•  Comprendre  qu’un  oscillateur  peut,  en  étant  excité  et  sous  certaines  condi2ons  d’amor2ssement,  entrer  en  résonance.  

•  Assimiler  la  no2on  de  résonance  en  mécanique  en  faisant  la  différence  entre  l’évolu2on  de  l’amplitude  et  celle  de  la  vitesse  en  fonc2on  de  la  fréquence  de  pulsa2on.  

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2.   OSCILLATEURS  FORCES  

a)  DéfiniIons  •  Oscillateur  harmonique  •  Oscillateur  amor2  

⇒   Oscilla2ons  libres  de  période  déterminée  par  les  caractéris2ques  de  l’oscillateur  

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•  Remédier  à  l’amor2ssement  des  oscilla2ons  (ex.  balancier  d’horloge)  –   apporter  l’énergie  juste  nécessaire  pour  compenser  les  pertes  et  entretenir  les  oscilla2ons  – le  système  con2nue  à  osciller  avec  la  même  période  que  celle  fixée  par  le  système  

⇒   Oscilla2ons  entretenues  

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•  Forcer  l’oscillateur  à  osciller  à  une  fréquence  différente  de  celle  avec  laquelle  il  oscille  librement  

⇒   Oscilla2ons  forcées  •  Amplitude  des  oscilla2ons  ↗↗  dans  certaines  condi2ons  

⇒   Résonance  ⇒  rupture    

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b)  Le  pendule  élasIque  verIcal  

• Quatre  cas  1)  Ressort  AB  au  repos  :  •  longueur  l0  

2)  {Ressort  +  masse}  à  l’équilibre  :  

•  longueur  le  •  allongement  Δle  

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3)  {Ressort  +  masse}  déformé  :  •  allongement  Δl  =  l  –  l0  =  Δle  +  x(t)  

4)  {Ressort  +  masse}  soumis  à  une  vibra2on  extérieure  :  

•  déplacement  de  A  par  rapport  à  sa  posi2on  d’origine  Ω

•  allongement  Δl  =  Δle  +  x(t)  –  X(t)  

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O  

Ω fixe  

A A AA

B  

l0  

Δle  x(t)  

X(t)  

x  

ux  

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•  Résolu2on  du  problème  de  dynamique  →  équa2on  différen2elle  du  mouvement  

avec  F(t)      force  excitatrice  sinusoïdale      

e      amplitude  des  oscilla2ons  F0  =  ke      amplitude  de  la  force  excitatrice  

 

)()(.)(.)(.)(. tFtXktxktxtxm ==++ α

)cos()cos()( 0 tFtketF ωω ==

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•  Équa2on  obtenue  

 ⇒  équa2on  différen2elle  de  

l’oscillateur  amor2  auquel  on  applique  une  force  excitatrice  F  

Fxkxxm =++ ... α

c)  SoluIon  de  l’équaIon  différenIelle  •  SG  =  SG  ESSM  +  SP  EASM  – Solu2on  Générale  de  l’Equa2on  Sans  Second  Membre  :  correspond  au  régime  transitoire  avec  retour  à  la  posi2on  d’équilibre  (cf.  oscillateur  amor2)  – Solu2on  Par2culière  de  l’Equa2on  Avec  Second  Membre  :  correspond  au  régime  permanent    →  mouvement  sinusoïdal  de  même  pulsa2on  que  la  force  excitatrice  mais  de  phase  différente  (déphasage  ϕ)  

janvier  17   12  )cos()( 0 ϕω += tXtx

EvoluIon  de  l’amplitude  de  l’oscillateur  en  foncIon  de  la  pulsaIon  de  l’excitateur  pour  différentes  valeurs  de  l’amorIssement  

L’amplitude  passe  par  un  maximum  pour  une  valeur  proche  mais  inférieure  à  la  pulsa;on  propre  sauf  si  l’amor;ssement  devient  trop  fort.  

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EvoluIon  de  la  phase  de  l’oscillateur  en  foncIon  de  la  pulsaIon  de  l’excitateur  pour  différentes  valeurs  de  l’amorIssement  

A  basse  fréquence  le  résonateur  est  en  phase  avec  l’l’excitateur  puis  vibre  en  opposi;on  de  phase  avec  celui-­‐ci  à  haute  fréquence.  A  la  fréquence  propre,  les  deux  systèmes  sont  en  quadrature.  

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ÉvoluIon  de  la  vitesse  du  résonateur  en  foncIon  de  la  pulsaIon  de  l’excitateur  pour  différentes  valeurs  de  l’amorIssement.    

La  résonance  de  vitesse  se  produit  toujours  à  la  pulsa;on  propre  du  résonateur  et  elle  est  d’autant  plus  aigüe  que  l’amor;ssement  est  faible.  

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   ÉvoluIon  de  la  phase  de  la  vitesse  du  résonateur  par  rapport  à  la  phase  de  l’excitateur  en  foncIon  de  la  pulsaIon  de  l’excitateur  pour  différentes  valeurs  de  l’amorIssement.    

A  la  résonance  la  vitesse  du  résonateur  et  la  force  excitatrice  sont  en  phase.  

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Bandes  passantes  observées  pour  deux  valeurs  de  l’amorIssement  

Pour  une  valeur  de  Q  élevée,  la  résonance  est  aiguë  et  la  bande  passante  étroite.  

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