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cour transformer de fourie temps continnu
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Signaux et Systmes
Prof. LYHYAOUI [email protected]
ENSA DE TANGER Anne 2014-2015Jean-Baptiste Joseph Fourier
21/03/1768 (Auxerre) - 16/05/1830
2
IV. Transforme de Fourier en Temps Continu
1 - Signaux Apriodiques: Transforme de Fourier Temps Continu
2 - Paires de Transformes de Fourier en Temps Continu
3 - Proprits de la TF Temps Continu
4 - Proprit de la convolution
5 - Proprit de la multiplication
6 - Signaux Priodiques et Transforme de Fourier
7 - Rponse frquentielle dun SLTI rgi par des quations diffrentielles linaires coefficients constants
3
2/)2/sin(
0
0
nn
TAX n = ( ) 2/
)2/sin(
AjX = Enveloppe des chantillonsnXT
nXT
nXT
nXT
20/A
20/A
20/A
( )jX
( )jX
( )jX
0 50 100
0 100 200
0 200 400
5=T
10=T
20=T
4
Rappels: Signaux priodiques (T) puissance finie - Srie de Fourier
Somme infinie d exponentielles complexes relies harmoniquement - Spectre discret
Intgrale de Fourier
( ) tjkk
keXtx 0~
+
=
= ( ) dtetxT
XT
T
tjkk
=2/
2/
0~1
( ) ( ) dtetxT
dtetxT
X tkjT
T
tkjk
+
== 0011 2/
2/
( ) ( ) dtetxjX tj+
= Enveloppe des chantillons T.Xk
t-T1 T10 T 2T-T
......
( )tx~
x(t)
t-T1 T1
( )01 kjXT
X k =
Soit:
( ) ( ) ( ) 000 00 211~
tjkk
tjk
kejkXejkX
Ttx
+
=
+
=
==
T ( ) ( )txtx ~Si d0
( ) ( )
dejXtx tj+
=
21
Or:
IV.1 Signaux Apriodiques: Transforme de Fourier T.C.
T/20 =
5Transforme de Fourier Directe (Analyse)
Signaux apriodiquesPriode T
Energie Finie
Spectre continu apriodique
Transforme de Fourier
Intgrale infinie d exponentielles complexes
Transforme de Fourier Inverse(Synthse)
( ) ( ) dtetxjX tj+
=
( ) ( )
dejXtx tj+
=
21
X(j)x(t)
0 T t
Srie de FourierSomme infinie d exponentielles
complexes relies harmoniquement
Spectre discret apriodique( ) tjk
kkeXtx 0
+
=
=
( ) dtetxT
XT
T
tjkk
=2/
2/
01
1 k20
Xk
2T0 T
( )tx
t
Signaux priodiquesPriode T
Puissance FinieT/20 =
6
Transforme de Fourier en Temps Continu pour des Signaux Apriodiques
( ) ( ) dtetxjX tj+
=
( ) ( )
dejXtx tj+
=
21
( ) ( ) dtetxfX tfj+
= 2
( ) ( ) dfefXtx tfj+
= 2
Pulsation Frquence
7
IV.2 Paires de Transformes de Fourier en TC
Peigne de Dirac
Signaux TF frquence TF pulsation
( ) ( )ttf 00 sin2sin = ( ) ( )[ ]0021 ffffj
+ ( ) ( )[ ]00
+j
( ) ( )ttf 00 cos2cos = ( ) ( )[ ]0021 ffff ++ ( ) ( )[ ]00 ++
( )t 1 11 ( )f ( )2
( ) ( )+
=
=k
T kTttP ( ) +
=
=
kT Tkf
TfP
T11 1 ( )
+
=
=
kT Tk
TjP
T
2222
( )
>1) Dilatation Frquentielle
http://www.jhu.edu/~signals/ctftprops/indexCTFTprops.htmhttp://www.jhu.edu/~signals/ctftprops/indexCTFTprops.htmhttp://www.jhu.edu/~signals/ctftprops/indexCTFTprops.htm
10
Relation de Parseval
( ) ( ) ( ) dffXdjXdttxE +
+
+
=== 22221
Energie total d un signal = Energie par unit de temps intgre sur tous les temps= Densit spectrale d nergie intgre sur toutes les frquences
Conjugaison ( ) ( )jXtxTF
x(t) rel et paire X(j) rel et paire
( ){ } ( )( ){ } ( ) impairejXimpairejXIm
pairejXpairejXRe::
::
x(t) rel et impaire X (j) imaginaire et impaire
Cas particulier: x(t) rel Symtrie conjugue: ( ) ( ) jXjX =
( ) 2jXDensit Spectrale dEnergie
du signal x(t)
11
IV.4 Proprit de la convolution
( ) ( ) ( ) dthxty = +
Recherchons la TF de y(t)=x(t)*h(t)
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) jHjXjYthtxtyTF
==
( ) ( ) dtedthxjY tj +
+
=)( ( ) ( ) ddtethx tj
+
+
=
( ) dejHxjY j+
= )()( ( ) )()()( jXjHdexjH j == +
h(t)x(t) y(t) = x(t) * h(t)
H(f)X(f) Y(f) = X(f) . H(f)
TF TF TF
h(t): rponse impulsionnelle du SLTI
H(j): rponse frquentielle du SLTI
( ) dtethjH tj+
= )(
Rappel: vrai si SLTI Stable
( )
12
IV.5 Proprit de la multiplication
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )fPfSfRtptstrTF
==
Modulation d amplitude
signal modulant porteuse
signal modul
ExempleS(f)
-f1 f1 f
P(f)
-f0 f0
1/2 1/2
-f0-f1 -f0 +f1 f0 -f1 f0 +f1-f0 f0
f
f
R(f)
( ) ( )tftp 02cos =
( ) ( ) ( )[ ]0021 fffffP ++=
( ) ( ) ( )[ ]0021 ffSffSfR ++=
Porteuse:
A/2 A/2
A
13
Exemple: Dmodulation d amplitude
P(f)
-f0 f0
1/2 1/2( ) ( )tftp 02cos =
( ) ( ) ( )[ ]0021 fffffP ++=
( ) ( ) ( )[ ]0021 ffSffSfR ++=
Porteuse:
G(f)
-2f0 2f0
A/4 A/4
-f0 f0
A/2
-f0-f1 -f0 +f1 f0 -f1 f0 +f1-f0 f0
f
R(f)A/2 A/2
Y(f) = G(f) H(f)H(0) A/2
H(f)f
f
f
-fc fc
( ) ( ) ( )tptrtg =
Y(f) = G(f) H(f)
y(t) ~ s(t)
H(f) Filtre Passe-Bas
14
Proprits de la Transforme de Fourier Temps
Continu
15
IV.6 Signaux Priodiques et Transforme de Fourier
( ) ( )0fffX = Considrons l impulsion ( ) ( ) tfjtfj edfefftx 0220 == +
Un signal priodique se dcompose en Srie de Fourier
( ) tfjkk
kp eXtx 02
+
=
=
( ) ( ) dfekffXtx ftjkk
kp 20
+
+
=
=
TF
( ) ( ) dfekffXtx ftjkk
kp 20
+
+
=
=
Par identification ( ) ( )0kffXfXk
kp = +
=
Train d impulsions de Dirac pondres
par les coefficients de Fourier Xk et situes aux frquences f = kf0
signaldupriodeTf
=0
1
......
f0 f0 2f0 3f0-f0-2f0
( )+
=
k
kff 0
A/ Extension de la TF en Temps Continu
16
Comparaison entre la dcomposition en Srie de Fourier d un signal priodique et sa Transforme de Fourier
xp(t)
0 T1 T-TT= 4 T1
X k
k
( )jX p
17
B/ Expression simple de la TF d un signal priodique en TC
......t0 T 2T 3T-T
( ) ( )+
=
=k
T kTttP
T t0
( )tx
Tout signal priodique xp(t) peut tre reprsent comme la somme d une suite infinie de translates de x(t) motif lmentaire sur [0, T] xp(t)
2T0 T t
( )Ttx ( )tx( )Ttx + ( )Ttx 2
3T
......
( ) ( )+
=
=k
p kTtxtx
( ) ( ) ( ) ( ) ( )tPtxkTttxtx Tk
p == +
=
Or: ( ) ( ) ( )kTttxkTtx =
D o:
Proprit de la convolution
( ) ( )
=
=
+
=
+
= Tkf
TkX
TTkffX
TfX
kkp
11
1/T f2/T0
( )fX p
3/T
TX
T11
TX
T21
TX
T11
( )fX
1/T 2/T0 3/T
TX 1
TX 2
TX 1
f
( )011 fkXTT
kXT
X k =
= La TF permet d obtenir
directement les coefficients de Fourier!
( ) ( ) ( )fPT
fXfXT
p 11.=
Tf 10 =
18
IV.7 Rponse frquentielle dun SLTI rgi par des quations diffrentielles linaires coefficients constants
( ) ( )k
kM
kkk
kN
kk dt
txdbdt
tyda ==
=00
( ) ( ) ( ) jXjHjY =Proprit des SLTI: ( ) ( )( )jXjYjH =
( ) ( )
=
==
k
kM
kkk
kN
kk dt
txdbTFdt
tydaTF00
Or:
( ) ( ) ( ) ( ) jXjbYja kM
kk
kN
kk
=
== 00
( )( )
( )kN
kk
kM
kk
ja
jbjH
=
==
0
0
Hypothse:H(j) existe (converge)
19
V. Transforme de Fourier en Temps Discret
1 - Signaux Apriodiques: Transforme de Fourier Temps Discret
2 - Proprits de la TF Temps Discret
3 - Proprit de la convolution
4 - Proprit de la multiplication
5 - Signaux priodiques et Transforme de Fourier Temps Discret
6 - Calcul de la Transforme de Fourier dune suite numrique
7 - Rponse frquentielle dun SLTI rgi par des quations aux diffrences linaires coefficients constants
Rsum Sries de Fourier - Transformes de Fourier
20
V.1 Signaux Apriodiques: Transforme de Fourier T.D.
Signaux priodiquesPriode N
Puissance Finie
Srie de FourierSomme finie de N exponentielles
complexes relies harmoniquement
Signaux apriodiquesPriode N Energie Finie
Spectre continu et priodique
Transforme de Fourier
Spectre discret et priodique
Intgrale sur une priode d exponentielles complexes
Transforme de Fourier Inverse(Synthse)
Transforme de Fourier Directe (Analyse)
[ ] =
=Nk
nN
kjk eXnx
2
[ ] nNkjNn
k enxNX
21
==
[ ] ( )
deeXnx njj= 221
( ) [ ] njenxeXn
j +
=
=
X(ej)
20
...
x[n]
0 N 2N
...
x[n]
0 N n
k10
X k
N
21
Principales paires de la Transforme de
Fourier Temps Discret
22
V.4 Proprits de la TF Temps Discret
Linarit [ ] [ ] ( ) ( ) jjTF eYeXnynx ++
Dcalage [ ] ( ) 00 njjTF
eeXnnx [ ] ( )( )00 jTFnj eXenx
Priodicit ( )( ) ( ) jj eXeX =+2
Inversion temporelle [ ] ( )jTF eXnx
Drivation [ ] [ ] ( ) ( ) jjTF eXenxnx 11 [ ] ( )
dedXnxjn
jTF
23
Changement d chelle
( )( ) ( )[ ] ( )[ ] [ ] ( ) ( ) kjr
rkj
r
rkjk
n
njk
jk eXerxerkxenxeX
+
=
+
=
+
=
====
( )[ ][ ]
sinonkdemultiplensi
0/
=knx
nx kSoit: xk: version ralentie de x[n]
24
Relation de Parseval
[ ] ( ) ( ) dffXdeXnxE jn
===+
=
1
0
2
2
22
21
Energie total d un signal = Energie par unit de temps somme sur tous les temps= Densit spectrale d nergie intgre sur une priode
Conjugaison [ ] ( )jTF eXnx
x[n] rel et paire X(e j) rel et paire
( ){ } ( )( ){ } ( ) impaireeXimpaireeXIm
paireeXpaireeXRejj
jj
::
::
x[n] rel et impaire X (e j) imaginaire et impaire
Cas particulier: x[n] rel Symtrie conjugue: ( ) ( ) jj eXeX =
( )2jeXDensit Spectrale
dEnergie du signal x(t)
25
V.5 Proprit de la convolution
[ ] [ ] [ ] ( ) ( ) ( ) jjjTF eHeXeYnhnxny ==
h [n]x[n] y [n] = x [n] * h [n]
H(f)X(f) Y(f) = X(f) . H(f)
TF TF TF
h[n]: rponse impulsionnelle du SLTI
H(e j): rponse frquentielle du SLTI
( ) [ ]+
=
=n
njj enheH
Rappel: vrai si SLTI Stable [ ]
26
V.6 Proprit de la multiplication
[ ] [ ] [ ] ( ) ( ) ( )fXfXfYnxnxnyTF
2121 ==
Attention: Convolution priodique
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
deeXeXdfXXfY jjj == 22
12
1
01 2
1
27
Proprits de la Transforme de Fourier Temps
Discret
28
V.2 Signaux priodiques : Extension de la TF Temps Discret
Un signal priodique se dcompose en Srie de Fourier [ ] nNjkNk
kp eXnx2
=
=
[ ]
=
+
==
dfelNkfXnx nfj
lNkkp
21
0
[ ] dfeNkfXnx nfj
lkp
21
0
=
+
=
Par identification ( )
=
+
= NkfXfX
lkp
Train d impulsions de Dirac pondres par les coefficients de
Fourier priodiques et situes aux frquences f = k/N
( ) ( )+
==
kkfffX 0Soit le peigne
de Dirac:
[ ] ( ) ( )
[ ] ( ) ( ) nfjnfjnfj
nfj
k
nfj
edfeffdfeffnx
dfekffdfefXnx
00 220
1
0
20
1
0
20
1
0
21
0
===
==
+
=
( )+
=
k
TFnfj kffe 0
2 0 Montrons que:
......
f0 f0 f0+1 f0+2f0-1f0-2
( )+
=
kkff 0
(Hypothse 0
29
0 2N
B/ Expression simple de la TF d un signal priodique en TD
......t0 N 2N 3N-N
[ ] [ ]+
=
=k
N kNnnP
Tout signal priodique xp(t) peut tre reprsent comme la somme d une suite infinie de translates de x[n] motif lmentaire sur [0, N] xp[n]
N n
[ ]Nnx [ ]nx[ ]Nnx + [ ]Nnx 2
3N
......
[ ] [ ]+
=
=k
p kNnxnx
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]nPnxkNnnxnx Nk
p == +
=
Or: [ ] [ ] [ ]kNnnxkNnx =
D o:
Proprit de la convolution
( ) ( )
=
=
+
=
+
= Nkf
NkX
NNkffX
NfX
kkp
11
=
=
NkX
NNkX
NX k
11 La TF permet d obtenir directement les coefficients de Fourier!
( ) ( ) ( )fPN
fXfXN
p 11.=
x[n]
0 N n
f
X(f)
10
f1/N0
Xp (f)
1
NX
N11
NX 1
... ...
... ...
30
V.3 Calcul de la Transforme de Fourier dune suite numrique
Pour calculer la Transforme de Fourier d un signal numrique fini de N points (TFD ou DFT),
- on priodise implicitement le signal et
- on rajoute ventuellement des 0 (Nz), pour avoir une TFD sur (N+Nz) points.
Gnralement le calcul se fait avec N+Nz = 2n points, grce l algorithme de Transforme de
Fourier Rapide (TFR ou FFT) mis au point par Cooley et Tukey (1965)
[ ] [ ]=
=Nk
nN
kjekXnx
2
[ ] [ ] nNkjN
n
enxN
kX21
0
1
==
Remarque: [ ] kXkX =
31
V.7 Rponse frquentielle dun SLTI rgi par des quations aux diffrences linaires coefficients constants
[ ] [ ]knxbknyaM
kk
N
kk =
== 00
( ) ( ) ( ) jjj eXeHeY =Proprit des SLTI: ( ) ( )( )
j
jj
eXeYeH =
Or: linarite + dcalage temporelle
( ) ( ) jkjMk
kjkj
N
kk eXebeYea
=
=
=
00
( )kj
N
kk
kjM
kk
j
ea
ebeH
=
=
=
0
0
Hypothse:H(e j) existe (converge)
32
Rsum Sries de Fourier - Transformes de Fourier
Signaux priodiques
Signaux apriodiques Spectre continu priodique
Spectre discret priodique
[ ] =
=Nk
nN
kjk eXnx
2
[ ] nNkjNn
k enxNX
21
==
[ ] ( )
deeXnx njj= 221 ( ) [ ] njenxeX
n
j +
=
=
X(e j)
20
x[n]
0 N 2N
...
k
x[n]
0 N n
10
X k
N
Signaux apriodiques Spectre continu apriodique
( ) ( ) dtetxjX tj+
= ( ) ( ) dejXtx tj
+
=
21
X(j)x(t)
0 T t
Spectre discret apriodique
( ) tjkk
keXtx 0
+
=
= ( ) dtetxT
XT
T
tjkk
=2/
2/
01
1 k20
Xk
2T0 T
( )tx
t
Signaux priodiques
T/20 =
33
Principales paires de Transforme en Z
Signaux et SystmesIV. Transforme de Fourier en Temps ContinuDiapositive numro 3Diapositive numro 4Diapositive numro 5Diapositive numro 6Diapositive numro 7Diapositive numro 8Diapositive numro 9Diapositive numro 10Diapositive numro 11Diapositive numro 12Diapositive numro 13Diapositive numro 14Diapositive numro 15Diapositive numro 16Diapositive numro 17Diapositive numro 18V. Transforme de Fourier en Temps DiscretDiapositive numro 20Diapositive numro 21Diapositive numro 22Diapositive numro 23Diapositive numro 24Diapositive numro 25Diapositive numro 26Diapositive numro 27Diapositive numro 28Diapositive numro 29Diapositive numro 30Diapositive numro 31Diapositive numro 32Diapositive numro 33