chap 2 - cours vecteurs

1

Seconde

Chapitre 2 Vecteurs

/<D?=NC@M n

Exercices n° NC CNM M

Translation & définition vecteur 1 à 5

Somme & différence de vecteurs 6 à 9

Relation de Chasles 10 & 11

Produit d’un vecteur par un réel 12 à 14

Géométrie avec des vecteurs 15 à 19

Coordonnées d’un vecteur 20 à 22

Norme & opérations ds une bon 23 à 29

Formules sur les quadrilatères Fiche page 15

M : Maîtrisé→ Je maîtrise le cours et les exercices

CNM : Compris Non Maîtrisé → Le cours est compris mais j’ai encore du mal à faire les exercices

NC : Non Compris → Je n’ai pas compris le cours

Chapitre du livre pages 198 à 223

2

Mise en route : p 195 du livre

Point de vue physique :

En physique, les vecteurs sont grandement utilisés, ils permettent de modéliser des grandeurs comme une force, une vitesse, une accélération, une quantité de mouvement ou certains champs (électrique, magnétique, gravitationnel…). Une grandeur vectorielle s'oppose à une grandeur scalaire : la grandeur scalaire a uniquement une valeur mais pas de direction ou de sens.

I. Notion de vecteur Une télécabine se déplace le long d’un câble de � vers �.

Dessiner ci-contre la télécabine lorsqu’elle sera arrivée au terminus �.

On appelle ce déplacement une …………………………… de � vers �.

Déplacer une figure par translation, c’est faire glisser cette figure sans la faire tourner. Pour décrire ce

déplacement, il faut donc donner la direction, le sens et la longueur de ce parcours. Pour cela, on va utiliser un nouvel outil mathématique : les vecteurs.

1. Translation Définition

La translation qui transforme A en B est appelée translation de vecteur ��

AB .

On représente le vecteur AB��

par une flèche et on dit que A est l’origine du vecteur AB��

et que B est son extrémité.

Cas particulier Si les points A et B sont confondus, alors ��⃗ � ��⃗ � ��⃗ � 0�⃗ . On obtient ainsi le vecteur nul, noté 0��⃗ .

Remarque :

Dans l’exemple de la télécabine, on dit que …… est l’image de …… par la translation de vecteur AB��

.

2. Définition d’un vecteur Définition : VECTEUR

Soient A et B deux points du plan tels que A B≠ . Le vecteur ��⃗ est entièrement défini par : sa direction : la droite (AB) son sens : de A vers B sa longueur, appelée norme : la distance AB.

Remarque : Deux vecteurs sont égaux s’ils ont même sens, même direction et même norme, on dit qu’ils sont deux représentants du même vecteur.

Exemples :

Les vecteurs et AB CD��

ont ……………………………………… …………………………………………………………………….

Les vecteurs et AB BA��

ont ……………………………………… …………………………………………………………………….

3

Exercice 1 Sur la figure ci-dessous, et à vue d’œil, dire s’il existe une translation qui transforme la figure (1) en la figure (2). Si oui, dessiner un vecteur de la translation. Si non, décrire la transformation qui transforme la figure (1) en la figure (2).

Exercice 2 A partir de la figure ci-dessous, citer un vecteur :

1. opposé à CD��

: ……

2. de même direction et de même sens que AC��

: ……

3. de même direction et de sens contraire à BC��

: ……

4. égal au vecteur BA��

: ……

Exercice 3 Dans le carré ABCD ci-dessous, on a :

AB

AL

AK

AO

= =

= = = = =

=

= = =

��

��

��

��

Exercice 4

Construire l’image du bateau par la translation de vecteurJK��

.

Exercice 5 Placer les points demandés. Commenter la figure obtenue dans chaque cas. a. D tel que ��⃗ � ��⃗ ; b. H image de E par la translation qui à F associe G ;

c. T tel que !��⃗ � !"��⃗ ; d. Q image de N par la translation de vecteur#$��⃗ .

(2)

(2)

(2)

(2)

(2) (2)

(1)

(1)(1)

(1) (1) (1)

a) b) c)

d) e) f)

4

II. Opération sur les vecteurs

1. Somme et différence de deux vecteurs

Définition : SOMME DE DEUX VECTEURS

La somme de deux vecteurs %�⃗ et &⃗ est le vecteur '⃗ résultant de l’enchaînement des translations de vecteur %�⃗ et de vecteur &⃗. On note alors '⃗ � %�⃗ ( &⃗ (ou '⃗ � &⃗ ( %�⃗ , l’ordre n’a pas d’importance).

Remarque On peut enchaîner trois translations ou plus et obtenir, par exemple, %�⃗ ( &⃗ ( )��⃗ .

Propriété : LA RELATION DE CHASLES (admise)

Pour tous points A, B et C du plan : ��⃗ ( ��⃗ � ��⃗ .

Exemples

Dans le carré ABCD ci-contre :

AB LD

OA OB

LB JK

ID JI KJ

+ = + =

+ = + =

+ = + =

+ + = + + =

��

��

��

��

Définitions : OPPOSE D’UN VECTEUR – DIFFERENCE DE DEUX VECTEURS Soient %�⃗ et &⃗ deux vecteurs.

• Le vecteur opposé du vecteur v�

, noté v−�

, est le vecteur tel que

( ) 0v v+ − =� � �

.

• Le vecteur u v−� �

est défini par ( )u v u v− = + −� � � �

.

Exemple Pour tous points A et B, *��⃗ � ��⃗ .

Exemple


BA

KL KJ

LB KL

KC IJ OD

− =

− = + = + =

− − = + =

− − = + + = + + =

��

��

��

��

5

Exercice 6 - Application directe du cours- Sur la figure ci-contre, tracer au crayon de couleur : (les tracés

intermédiaires seront faits au crayon de papier)

1. En bleu : le représentant du vecteur u−�

d’origine A .

2. En rouge : le représentant du vecteur v−�

d’origine B .

3. En vert : le représentant du vecteur u v+� �

d’origine C .

4. En rose : le représentant du vecteur u v−� �

d’origine D . Exercice 7 Sur la figure ci - dessous, construire les points D, E, F et G définis par les égalités :

AD AB CB AE AB AC

BF BA CA CB CG AB DA

= + = +

= + + = +

��

��

Exercice 8 Calculer les sommes vectorielles en utilisant la figure ci-dessous :

.....................................................

.....................................................

.......................................

AE AO

AE DF

BD BA AO

+ =

+ =

− − =

��

��

��

a)

b)

c) ......

......................................................

.............................................

........................................

OC FC

DO BC AE

AB AD

− =

+ + =

+ =

��

��

��

d)

e)

f) ..............

Exercice 9 Une péniche se fait tirer par deux remorqueurs, représentés en B et C par les

vecteurs u�

et v�

. Rappel : En physique une force est représentée par un vecteur selon sa direction, son sens et son intensité Dans quelle direction va se déplacer cette péniche ?

Exercice 10 Compléter les égalités suivantes à l’aide de la relation de Chasles :

.... ....... .... .... ...

.... .... ....... .... ....... ....

CD E A E F

AB C D C A B

= + = +

= + + = + +

��

��

a) b)

c) d)

.... .... ....

D

B D C= +

��

��

e)

Exercice 11 A, B, C et D sont quatre points quelconques du plan. Simplifier au maximum les expressions des vecteurs suivants : %�⃗ � ��⃗ * ��⃗ * ��⃗ &⃗ � ��⃗ * ��⃗ ( ��⃗ * ��⃗ +⃗ � ��⃗ ( ��⃗ ( ��⃗ ( ��⃗ ,⃗ � ��⃗ ( ��⃗ * ��⃗ ( ��⃗ )��⃗ � ��⃗ * ��⃗ * ��⃗ * ��⃗ -⃗ � ��⃗ * ��⃗ ( ��⃗ * ��⃗

Exercice12 ABCD est un parallélogramme de centre O. 1. Démontrer que .��⃗ ( .��⃗ ( .��⃗ ( .��⃗ � 0�⃗ .

2. Démontrer que pour tout point M du plan, on a : #��⃗ ( #��⃗ ( #��⃗ ( #��⃗ � 4#.��⃗

6

2. Produit d’un vecteur par un réel Définition : PRODUIT D’UN VECTEUR PAR UN NOMBRE REEL

Soit %�⃗ un vecteur et soit k un nombre réel.

• Si %�⃗ � 0�⃗ ou si 0k = , alors 0 1 %�⃗ � 0�⃗ .

• Si %�⃗ 2 0�⃗ et si 0k ≠ , alors 0 1 %�⃗ est le vecteur :

∗ de même direction que %�⃗ ;

∗ de même sens que %�⃗ si 0k > , et de sens contraire si 0k < ;

∗ de longueur k fois la longueur de %�⃗ .

Exemple Tracer ci-contre les représentants des vecteurs suivants ayant pour origine le point A.

3

2

2

3

w u

x v

y u

z v u

=

=

= −

= − +

��

� �

��

� � �

Exemple


2

2

2

BO

LD

LB JK OK

× =

× =

+ − = + + =

��

��

��

Propriété : CARACTERISATION DU MILIEU D ’UN SEGMENT (admise)

Les propositions suivantes sont équivalentes : • Le point I est le milieu du segment [AB]

• AI IB=��

(ou BI IA=��

)

• 1

2AI AB=��

. (ou 1

2BI BA=��

)

• 2AI AB=��

(ou 2BI BA=��

)

7

Exercice13 Sur le quadrillage ci–dessous, construire les points D, E, F et G tels que :

2 2 4 2BD BC CE AB AF BC BG AC= = − = − =��

Exercice14 Sur le quadrillage ci–après, construire les points D, E, F et G tels que :

2 2 2 2 3 2 4AD AB BC BE CA BA BF CB BA CA CG AB AC CB= − = − + = − + = − +��

Exercice 15 Sur le quadrillage ci-contre, placer les points E, F, G, I et J tels que :

5

66

73

45

45

32

5

AE AC

DF AD

AG AB

CH BA

BI BD

DJ CD

=

= −

−=

=

=

=

��

��

��

��

��

��

a)

b)

c)

d)

e)

f)

8

III. Vecteurs et géométrie

1. Translation et parallélogramme

Définition : IMAGE D ’UN POINT PAR UNE TRANSLATION Soient A, B,M et M’ quatre points du plan. On dit que M’ est l’image de M par

la translation de vecteur AB��

si 'AB MM=��

. On la note 345��⃗ .

Propriété : EGALITE DE VECTEURS (admise)

Les propositions suivantes sont équivalentes :

• ��⃗ � ��⃗

• D est l’image de C par la translation de vecteur ��⃗

• ABDC est un parallélogramme

Remarque Attention à l’ordre des lettres dans le parallélogramme !

2. Sommes et différence de vecteurs

Propriété : REGLE DU PARALLELOGRAMME Soient A, B , C et D quatre points distincts du plan. .

ABCD est un parallélogramme si et seulement si ��

AC = AB + AD .

Remarques

• Lorsque l’on somme deux vecteurs on obtient une diagonale du parallélogramme. • Lorsque l’on fait la différence de deux vecteurs on obtient l’autre

diagonale du parallélogramme, en effet : DB AB AD= −��

9

Exercice16 Compléter le tableau suivant :

Langage habituel Langage vectoriel Figure

Le point E est l’image du point …… par …………………………………… ………………………………………………………………………………… 67��⃗ � ��⃗

Le point D est l’image du point A par la translation de vecteur ��⃗ . … …��⃗ � … …��⃗

Le quadrilatère ASTI est un parallélogramme. !6��⃗ � … …��⃗

Le quadrilatère ……… est un parallélogramme. ��⃗ � ��⃗

Le point A est le milieu du segment [BC]. … …��⃗ � … …��⃗

Le point …… est le milieu du segment [……]. 69��⃗ � 9��⃗

Exercice 17

1. On a représenté ci-contre un parallélogramme ABCD. Représenter un parallélogramme BCEF tel que les points A, B et F ne soient pas alignés.

2. Démontrer que AD FE=��

.

3. En déduire que AF DE=��

.

Exercice 18 1. On a placé ci–contre trois points A, B et C.

a. Construire le point D tel que ABCD soit un parallélogramme.

b. Construire le point E, symétrique du point A par rapport au point D.

2. Démontrer que BDEC est un parallélogramme.

Exercice 19 On considère le triangle ABC ci-contre :

1. a. Construire le point D tel que ��⃗ � ��⃗ ( ��⃗ .

b. Démontrer que ��⃗ � ��⃗ .

2. Soit E le point tel que �7��⃗ ( ��⃗ � 0�⃗ .

a. Démontrer que ��⃗ � �7��⃗ puis placer le point E.

b. En déduire l’image du point C par la translation de vecteur ��⃗ .

Exercice 20 Soit un quadrilatère quelconque MONP. 1. Simplifier les sommes vectorielles : #:��⃗ ( :.��⃗ ; #.��⃗ ( $#��⃗ ; #:��⃗ ( .$��⃗ * .:��⃗ .

2. Établir la relation vectorielle : #:��⃗ ( $.��⃗ * $:��⃗ * #.��⃗ � 0�⃗

3. On suppose de plus que, pour tout point A du plan, �#��⃗ ( �:��⃗ * �.��⃗ * �$��⃗ � 0�⃗

Montrer que. $#��⃗ ( .:��⃗ � 0�⃗ . Que peut-on en déduire concernant le quadrilatère MONP ?

10

IV. Vecteur et repérage 1. Repère orthonormé

Définitions

Un repère est constitué d’un point, appelé origine, souvent notée O, et deux vecteurs, souvent notés i�

et j�

,

qui fournissent deux directions et les distances unités sur chacun des axes. (i�

et j�

)

Le repère ( ); ,O i j� �

ci-dessous est dit

quelconque :

Un repère ( ); ,O i j� �

est

orthogonal si i�

et j�

ont des

directions perpendiculaires.

( ); ,O i j� �

est un repère orthonormé

si i�

et j�

ont des directions

perpendiculaires et i j=� �

.

Dans ces repères, tout point M est repéré par un unique couple ( );x y de nombres réels : ses coordonnées.

Remarque

On dit que ( );i j� �

est une base orthonormée.

2. Coordonnées d’un vecteur

Définition :

Dans un repère d’origine O, les coordonnées d’un vecteur %�⃗ sont les coordonnées du

point M tel que .#��⃗ � %�⃗ . Si ( );M x y , alors on note %�⃗ <+ ; ,> ou %�⃗ ?+,@

Et on a :u xi y j= +� � �

Propriété :

Dans un repère, si ( );A AA x y et ( );B BB x y , alors le vecteur ��⃗ a pour coordonnées :

��⃗ <+5 * +4 ; ,5 * ,4 > ou ��⃗ ? +5 * +4 ,5 * ,4@

Démonstration

……………………………………………………………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………………………………………………………..

Exemple

Dans un repère orthonormé, soit ( )3;4A − et ( )5; 1B − , alors AB

= =

��

11

Exercice 21

Dans le repère orthonormé ( ); ,O i j� �

(ci-contre), on considère

les vecteurs , ,u v w� � ��

et z�

. Déterminer leurs coordonnées par

lecture graphique.

u

�

v

�

w

��

z

�

Exercice 22

Dans le repère orthonormé ( ); ,O i j� �

(ci-contre), construire les vecteurs , , ,u v w z� � ��

et le point B tels que :

• u�

a pour origine A et pour coordonnées3

2

−

• v�

a pour extrémité A et pour coordonnées1

4

− −

• w��

est un vecteur de coordonnées 0

2

• 2z i j= − −� � �

• B est le point tel que 5

1BO

−

��

Exercice 23

Dans un repère orthonormé ( ); ,O i j� �

, on considère les points A, B et C de coordonnées respectives ( )0; 1− , 1 1

;2 7

et 1

2;3

. Calculez les coordonnées des vecteurs ,AB AC��

et BC��

.

Exercice 24 En physique une force est représentée par un vecteur selon sa direction, son sens et son intensité. Un système est en équilibre si la somme des forces qui s’exercent sur ce système est nulle.

1. Lire les coordonnées de 1 2,F F��

et 3F��

.

2. Le point O est-il en équilibre ?

12

3. Norme d’un vecteur

Propriété : NORME D’UN VECTEUR

Dans un repère orthonormé du plan, soit x

uy

�

. La norme du vecteur u�

est donné par la formule : 2 2u x y= +�

Démonstration

……………………………………………………………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………………………………………………………..

Propriété : NORME D’UN VECTEUR Dans un repère orthonormé du plan, soient ( );A AA x y et ( );B BB x y . La distance ABest donnée par la formule ::

( ) ( )2 2

B A B AAB AB x x y y= = − + −��

4. Opérations sur les coordonnées

Propriété : EGALITE DE DEUX VECTEURS DU PLAN

Dans un repère du plan, deux vecteurs %�⃗ <+ ; ,> et &⃗ < + A; , ′> sont égaux si et seulement si ils ont les mêmes

coordonnées : %�⃗ ?+,@ � &⃗ C+ ′

, ′D ⇔ F+ � + ′, � , A

Propriété : COORDONNEES DE LA SOMME DE DEUX VECTEURS (admise)

Dans un repère du plan, si %�⃗ <+ ; ,> et &⃗ < + A; , ′>, alors %�⃗ ( &⃗ <+ ( + ′ ; , ( , ′> ou. %�⃗ ( &⃗ C+ ( + ′ , ( , ′D

Démonstration

……………………………………………………………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………………………………………………………..

Propriété : COORDONNEES DU PRODUIT D’UN VECTEUR PAR UN REEL (admise)

Soit k un réel. Dans un repère du plan, si %�⃗ <+ ; ,> alors 0 1 %�⃗ <0 1 + ; 0 1 ,> ou 0 1 %�⃗ C0 1 + 0 1 ,′D.

Démonstration

……………………………………………………………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………………………………………………………..

13

Exercice 25

1. Dans le repère orthonormé ( ); ,O i j� �

ci-contre, placer les points( ) ( )2; 3 et 1; 4A B− − − .

2. a. Construire le point C, image de A par la translation de vecteur ( )2;5u −�

.

b. Calculer les coordonnées de C.

3. a. Construire le point D, image du point C par la translation de vecteur BA��

.

b. Calculer les coordonnées de BA��

. c. En déduire les coordonnées de D.

Exercice 26


ci-contre, placer les points

( ) ( ) ( )0;5 , 4;6 et 3;2A B C .

2. Déterminer les coordonnées du point D tel que ABCD soit un

parallélogramme.

3. Démontrer que ABCD est un losange.

Exercice 27



( ) ( ) ( )1;3 , 1;1 , 3;0 A B C− et ( )5;4D

2. Construire les points E et F tels que : 3AE AB=��

et 1

2BF CD= −��

.

3. Calculer les coordonnées de E et F.

Exercice 28

1. a. Dans le repère orthonormé ( ); ,O i j� �


( ) ( )4; 3 , 2; 1A B− − et ( )2;5C .

b. Construire le point D tel que : 1

22

AD AB AC= −��

.

2. Calculer les coordonnées du point D.

3. On définit le point M par la relation : 2MB CM=��

.

a. Calculer les coordonnées du point M tel que 2MB CM=��

,

b. Démontrer, en utilisant la relation de Chasles, que 2

3BM BC=��

.

c. Vérifier sur la figure les résultats des questions 3.a. et 3.b.

14

Exercice 29

On donne le repère orthonormé ( ); ,O i j� �

ci-contre.

1. Placer les points ,A B et C de coordonnées respectives

( ) ( ) ( )2;3 , 3; 1 et 1;1− − .

2. Construire les points 'A et 'B images respectives des points A

et B par la symétrie de centre C.

3. Calculer les coordonnées du vecteur AB��

.

4. En déduire les coordonnées du vecteur ' 'A B��

.

Exercice 30

On se place dans un repère orthonormé du plan ( ); ,O i j� �

.On considère les points : ( )4; 3A − ; ( )3; 2B ; ( )1; 2C − .

Partie A 1. Placer les points ,A B et C dans le repère.

2. Calculer les longueurs ,AB AC et BC .

3. Quelle est la nature du triangle ABC ? Justifier. Partie B

1. Calculer les coordonnées du vecteur AC��

. 2. Le point D est l’image du point B par la translation

du vecteur AC��

. Placer le point D et montrer par le calcul que D a

pour coordonnées ( )8 ; 3− .

3. Quelle est la nature du quadrilatère ABDC ? Justifier.

Exercice 31

Soit ( ); ,O i j� �

un repère orthonormé, et les points A , B et C de

coordonnées respectives ( )1;3− ,( )3;1 et ( )1; 2− − .

1. Placer les points A et Bsur le repère ci-contre.

2. a. Placer le point M tel que 3 0MB MA+ =��

. (On pourra

montrer que 1

4BM BA=��

)

b. Lire les coordonnées du point M.

3. a. Placer le point N tel que 1

4BN BC BA= +��

.

b. Calculer les coordonnées du point M. 4. Quelle est la nature du quadrilatère BCNM ?

15

16

Les formules à retenir En vrac…

Définition : VECTEUR Soient A et B deux points du plan tels que A B≠ .

Le vecteur ��⃗ est entièrement défini par : sa direction : la droite (AB) son sens : de A vers B sa longueur, appelée norme : la distance AB.

Propriété: LA RELATION DE CHASLES (admise) Pour tous points A, B et C du plan : ��⃗ ( ��⃗ � ��⃗ .

Propriété : MILIEU D ’UN SEGMENT (admise) Les propositions suivantes sont équivalentes : • Le point I est le milieu du segment [AB]

• AI IB=��

(ou BI IA=��

)

• 1

2AI AB=��

. (ou 1

2BI BA=��

)

• 2AI AB=��

(ou 2BI BA=��

)

Propriété : EGALITE DE VECTEURS Les propositions suivantes sont équivalentes :

• ��⃗ � ��⃗

• D image de C par AB

t��

• ABDC est un parallélogramme

dans un repère orthonorméx

uy

�

u xi y j= +� � �

B A

B A

x xAB

y y

− −

��

2 2u x y= +�

( ) ( )2 2

B A B AAB AB x x y y= = − + −��

%�⃗ ( &⃗ C+ ( + ′ , ( , ′D 0 1 %�⃗ C0 1 +

0 1 ,′D

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