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Costruzioni in zonasismicaLezione 7
Sistemi a più gradi di libertà
Lezione 7
Sistemi a più gradi di libertàIl problema dinamico viene formulato con riferimento astrutture con un numero finito di gradi di libertà.
Consideriamo le masse concentrate nei nodi o ai piani della struttura (masseconcentrate). Questo implica un numero limitato di gradi di libertà dinamici.
Lezione 7
Sistemi a più gradi di libertàEquazioni del moto
Caso 1 – telaio shear-type a due piani
Il telaio è soggetto a forze esterne dinamiche: p1(t), p2(t)Trascuriamo la deformazione assiali di travi e colonne e consideriamo le travi
rigide flessionalmenteLe masse sono assunte concentrate a livello di piano
Lezione 7
Sistemi a più gradi di libertàEquations of motion.
Caso 1: telaio shear type a due piani
I gradi di libertà del sistema (cioè il numero di spostamenti indipendenti richiestiper definire la posizione deformata di tutte le masse rispetto alla configurazioneindeformata) sono due: u1, u2.
Lezione 7
Sistemi a più gradi di libertàEquazioni del moto
Caso 1 – telaio shear type a due piani
Equazioni del moto utilizzando la seconda legge di Newton.
( )j Dj Sj j jp t f f m u ( )j j Dj Sj jm u f f p t
dove j=1, 2
Equazioni del moto utilizzando la seconda legge di Newton
1 1 1 1 1
2 2 2 2 2
( )( )
D S
D S
m u f f p tm u f f p t
Lezione 7
Sistemi a più gradi di libertàEquazioni del moto
Caso 1 – telaio shear type a due piani
Equazioni del moto utilizzando la seconda legge di Newton
1 1 1 1 1
2 2 2 2 2
0 ( )0 ( )
D S
D S
m u f f p tm u f f p t
In forma matriciale
Lezione 7
Sistemi a più gradi di libertàEquazioni del moto
Caso 1 – telaio shear type a due piani
D Sm u+ f + f = p(t) in forma matriciale compatta
Lezione 7
Sistemi a più gradi di libertàEquazioni del moto
Caso 1 – telaio shear type a due piani
D Sm u+ f + f = p(t)
1
2
00
mm
1
2
uu
1
2
D
D
ff
1
2
S
S
ff
1
2
( )( )
p tp t
(mass matrix)
Lezione 7
Sistemi a più gradi di libertàEquazioni del moto
Caso 1 – telaio shear type a due piani
Assumendo un comportamento lineare del laio, fs dipende dagli spostamenti uintroducendo la rigidezza laterale di piano kj.
Infatti, il taglio Vj ad ogni piano risulta:
dove j è lo spostamento relativo.
Equazioni del moto
1( )j j j j j jV k u u k
Forze elastiche
Lezione 7
Sistemi a più gradi di libertàEquazioni del moto
Caso 1 – telaio shear type a due piani
Sulla base di queste considerazioni segue:
Equazioni del moto
1 11 S S
a bSf f f 1 1 1 2 1 2( )Sf ku k u u
2Sf 2 2 2 1( )Sf k u u
Il taglio ha segno opposto
Forze elastiche
In forma matriciale:
1 1 2 2 1
2 2 2 2
S
S
f k k k uf k k u
s
f k u
Matrice di rigidezza del sistema
Lezione 7
Sistemi a più gradi di libertàEquazioni del moto
Caso 1 – telaio shear type a due piani
Le forze di smorzamento sono funzione della velocitàIn altre parole, i coefficienti di smorzamento di piano cj sono relativi al taglio dipiano Vj dovuti agli effetti della velocità associata alla deformazione di piano:
Equazioni del moto
1 1 1 2 1 2( )Df cu c u u
2 2 2 1( )Df c u u
Forze di smorzamento
j
1( )j j j j j jV c u u c
Lezione 7
Sistemi a più gradi di libertàEquazioni del moto
Caso 1 – telaio shear type a due piani
Forze di smorzamentoIn forma matriciale
1 1 2 2 1
2 2 2 2
D
D
f c c c uf c c u
Df c u
Matrice di smorzamento delsistema
Lezione 7
Sistemi a più gradi di libertàEquazioni del moto
Caso 1 – telaio shear type a due piani
In accordo alla definizione di forza elastica e di forza di smorzamento, le equazionidel moto assumono la seguente forma:
( )m u c u k u p t
Sono due equazioni differenziali ordinarie negli spostamenti u1(t), u2(t) del sistemasoggetto alle forze esterne.In aggiunta le due equazioni sono accoppiate.
Lezione 7
Sistemi a più gradi di libertàEquazioni del moto
Caso 1 – telaio shear type a due piani
Le equazioni del moto possono essere dedotte anche utilizzando il principio diD’Alambert’s, introducendo le forze d’inerzia fI,1, fI,2 e derivando le altre componentisulla base delle stesse assunzioni.
( )m u c u k u p t
Lezione 7
Sistemi a più gradi di libertàEquazioni del moto
Caso 1 – telaio shear type a due piani
Le equazioni del moto possono essere derivate anche con riferimento alla classicaschematizzazione utilizzando semplici equilibri..
1 1 1 2 2 1 1 1 2 2 1 1
2 2 2 2 1 2 2 1 2
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
mu cu c u u ku k u u p tmu c u u k u u p t
Lezione 7
Sistemi a più gradi di libertàEquazioni del moto
EsempioScrivere le equazioni del moto del telaio shear type in figura trascurando ladeformazione assiale.
Lezione 7
Sistemi a più gradi di libertàEquazioni del moto
massa
rigidezza
Lezione 7
Sistemi a più gradi di libertàEquazioni del moto
Equazioni governanti
Lezione 7
Sistemi a più gradi di libertàEquazioni del moto
Approccio generale per sistemi lineariIl sistema può essere idealizzato come combinazione di treelementi separati:1) Componente rigidezza2) Componente smorzamento3) Componente massa
Lezione 7 Sistemi a più gradi di libertà
1-discretizzazione
Una struttura può essere idealizzata come un assemblaggio dielementi interconnessi nei nodi.Gli spostamenti dei nodi sono i gradi di libertàLe forze esterne applicate dinamicamente proprio nei nodiI momenti esterni sono nulli in molti casi pratici
Approccio generale per sistemi lineari Sistemi a più gradi di libertàLezione 7
2-FORZE ELASTICHEQueste forze sono correlate alla componente di rigidezza con glispostamenti.
Approccio generale per sistemi lineari Sistemi a più gradi di libertàLezione 7
2-FORZE ELASTICHEI coefficienti di rigidezza Kij sono derivati applicando uj=1 etenendo fermi gli altri nodi
La forza relativa al grado di libertà i sarà pari a:
Approccio generale per sistemi lineari Sistemi a più gradi di libertàLezione 7
2-FORZE ELASTICHEL’insieme delle N equazioni può essere scritto in forma matriciale:
O nella forma compatta:
Approccio generale per sistemi lineari Sistemi a più gradi di libertàLezione 7
3-FORZE DI SMORZAMENTOI coefficienti di smorzamento cij possono essere determinatiimponendo una velocità unitaria lungo il grado di libertà j ponendopari a zero le altre velocità
Approccio generale per sistemi lineari Sistemi a più gradi di libertàLezione 7
Il set di N equazioni può essere scritto in forma matriciale:
o in forma compatta:
3-forze di smorzamento
Approccio generale per sistemi lineari Sistemi a più gradi di libertàLezione 7
4-forze d’inerziaI coefficienti relativi alle masse mij possono essere determinatiimponendo un’accelerazione unitaria lungo il grado di libertà j eannullando le altre accelerazioni
Approccio generale per sistemi lineari Sistemi a più gradi di libertàLezione 7
Il set di N equazioni può essere scritta in forma matriciale:
O in forma compatta:
4-forze d’inerzia
Approccio generale per sistemi lineari Sistemi a più gradi di libertàLezione 7
Nella realtà la massa è diffusa negli elementi, ma può essereidealizzata come masse concentrate nei nodi di una strutturadiscretizzata.
4-forze d’inerzia
Approccio generale per sistemi lineari Sistemi a più gradi di libertàLezione 7
L’inerzia rotazionale ha un’influenza trascurabile sulla dinamica inmolte applicazioni pratiche.Le masse concentrate nei nodi sono associate con tutti I gradi dilibertà traslazionali del nodo.
4-forze d’inerzia
Approccio generale per sistemi lineari Sistemi a più gradi di libertàLezione 7
Equazioni del motoTenendo conto delle forze associate agli spostamenti, velocità edaccelerazioni, si possono derivare le equazioni del moto:
Il sistema di N equazioni differenziali ordinarie per ricavare glispostamenti u(t) indotti dalle forze p(t).
I termini fuori diagonale sono noti ed accoppiati. L’accoppiamentodipende dalla scelta dei gradi di libertà.
Approccio generale per sistemi lineari Sistemi a più gradi di libertàLezione 7
esempio
Sistemi a più gradi di libertàLezione 7
Scrivere le equazioni del moto del telaio riportato in figura
Il sistema ha sei gradi di libertà: spostamenti laterali e rotazioni.Il vettore degli spostamenti è:
Sistemi a più gradi di libertàLezione 7
La matrice delle masse è la seguente:
Sistemi a più gradi di libertàLezione 7
La matrice di rigidezza risulta :
Sistemi a più gradi di libertàLezione 7
Il vettore delle forze applicate risulta:
Sistemi a più gradi di libertàLezione 7
Le equazioni del moto sono:
Sistemi a più gradi di libertàLezione 7
CONDENSAZIONE STATICA
Questo metodo è utilizzato per eliminare quei gradi di libertà aiquali corrisponde massa nulla.
Trascurando le deformazioni assiali: 8 gradi di libertà
Sistemi a più gradi di libertàLezione 7
I gradi di libertà rotazionali possono essere eliminati dall’analisi dinamica in quanto non ci sono forze esterne duali ai gradi di libertà rotazionali
CONDENSAZIONE STATICA
Sistemi a più gradi di libertàLezione 7
Le equazioni del moto nel caso di assenza di smorzamento possono essere scritte partizionando le matrici:
dove u0 indica I gradi di libertà con massa nulla e ut i gradi di libertà rimanenti.
CONDENSAZIONE STATICA
Sistemi a più gradi di libertàLezione 7
Le due equazioni che ne derivano sono:
Poichè non ci sono forze esterne associatecon u0, può essere ricavata la seguente relazione tra u0 e ut:
Sostituendo questo risultato si ottiene:
CONDENSAZIONE STATICA
Sistemi a più gradi di libertàLezione 7
Matrice di rigidezza condensata
Appaiono solo i gradi di libertà dinamici.
CONDENSAZIONE STATICA
Sistemi a più gradi di libertàLezione 7
Scrivere le equazioni del moto utilizzando la condensazione statica.
Sistemi a più gradi di libertàLezione 7
Vettore degli spostamenti partizionato:
Sistemi a più gradi di libertàLezione 7
Matrice di rigidezza:
Sistemi a più gradi di libertàLezione 7
E la matrice di rigidezza condensata:
Sistemi a più gradi di libertàLezione 7
Matrice delle masse e vettore delle forze partizionati:
Sistemi a più gradi di libertàLezione 7
Equazioni del moto:
Sistemi a più gradi di libertàLezione 7
Moto alla base
ug è lo spostamento del suoloutj è lo spostamento totale della
massa juj è lo spostamento relativo
rispetto al suolo
Sistemi a più gradi di libertàLezione 7
Possono essere scritte come vettore:
dove 1 è un vettore unitario di ordine N.
Moto alla base Sistemi a più gradi di libertàLezione 7
L’equazione di equilibrio dinamico è:
Solo gli spostamenti relativi u producono forze elastiche e di smorzamento, mentre le forze di inerzia sono relative all’accelerazione totale
Moto alla base Sistemi a più gradi di libertàLezione 7
di conseguenza:
N equazioni differenziali di secondo ordine.La matrice di rigidezza è ottenuta dalla condensazione
Moto alla base Sistemi a più gradi di libertàLezione 7
Il moto alla base può essere trasformato in forze:
Moto alla base Sistemi a più gradi di libertàLezione 7
Derivare le equazioni del moto della struttura in figura (trascurare le deformazioni assiali)
m1
m2
EIcEIc
EIcEIc
EIb
EI=
Moto alla base Sistemi a più gradi di libertàLezione 7
