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Corso Zero di MatematicaDownload disponibile al sito web
http://www.dmi.unict.it/~bonacini/
Paola Bonacini
Università di Catania
Teoria degli insiemiGli insiemi si indicano con le lettere maiuscole. Per dire che un elemento aappartiene ad A scriviamo a ∈ A. Se a non appartiene ad A si scrivea /∈ A. Due insiemi sono uguali se hanno gli stessi elementi.
Per dire che A è un sottoinsieme di B scriviamo A ⊆ B. Con A ⊂ B oA ( B indichiamo che A ⊆ B e A 6= B. L’insieme vuoto ∅ è quello privo dielementi ed è un sottoinsieme di ogni insieme. I sottoinsiemi propri di uninsieme A sono quelli diversi da ∅ e da A stesso.
Simboli:∀ per ogni, qualsiasi∃ esiste, @ non esiste: e | tale che⇒ implica, segue⇔ se e solo se.
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DefinizioneDati due insiemi A e B, l’intersezione di A e B è l’insieme costituito daglielementi che stanno in A e in B e scriviamo:
A ∩ B = {x | x ∈ A e x ∈ B}.
DefinizioneDati due insiemi A e B, l’unione di A e B è l’insieme costituito daglielementi che stanno in A o in B e scriviamo:
A ∪ B = {x | x ∈ A o x ∈ B}.
DefinizioneDati due insiemi A e B, la differenza di A e B è l’insieme costituito daglielementi che stanno in A ma non in B e scriviamo:
A \ B = {x ∈ A | x /∈ B}.
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ProposizioneSiano A, B e C tre insiemi. Allora:1. A ∩ B = B ∩ A (proprietà commutativa dell’intersezione)2. A ∪ B = B ∪ A (proprietà commutativa dell’unione)3. (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) (proprietà associativa dell’intersezione)4. (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) (proprietà associativa dell’unione)5. A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)6. A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) (proprietà distributive)7. A \ (B ∩ C) = (A \ B) ∪ (A \ C)8. A \ (B ∪ C) = (A \ B) ∩ (A \ C) (Leggi di De Morgan).
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Insiemi numericiI principali insiemi numerici sono:
l’insieme dei numeri naturali:
N = {0, 1, 2, 3, . . . }
l’insiemi degli interi relativi:
Z = {. . . ,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, . . . } = {0,±1,±2,±3, . . . }
l’insieme dei numeri razionali, che possono essere scritti come numeridecimali, finiti o periodici:
Q = {mn | m, n ∈ Z, n 6= 0}
l’insieme dei numeri reali R, costituito dai numeri razionali e dainumeri irrazionali, cioè quei numeri la cui rappresentazione decimalenon è né finita né periodica.
Si ha N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R.4 / 102
Cenni di logicaUna proposizione logica è un enunciato, ovvero un insieme di simboli oparole con un senso compiuto, che o è oggettivamente vero odoggettivamente falso. Quindi, ad una proposizione (o enunciato) èpossibile un valore di verità: Vero o Falso.
Sono proposizioni:“Una retta ha infiniti punti” V“Brescia si trova in Calabria” F“2+3=10” F“La mosca è un insetto” V
Non sono proposizioni:“Che ore sono?”“Non fumare!”“Il caffè è buono.”“Carlo è alto.”
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Connettivi logiciLa negazione A (anche indicato con ¬A) di una proposizione A è laproposizione “non A”, che è vera se A è falsa ed è falsa se A è vera.
A: “L’Etna si trova in Sicilia” V e A: “L’Etna non si trova in Sicilia”F;A: “Tutti i numeri dispari sono divisibili per 2” F e A: “Esiste unnumero dispari che non è divisibile per 2” V.
La congiunzione A ∧ B di due proposizioni A e B è la proposizione “A eB” che è vera quando sono entrambe vere ed è falsa altrimenti.
La disgiunzione A ∨ B di due proposizioni A e B è la proposizione “A o B”che è vera quando almeno una di esse è vera e che, quindi, è falsa, solo sesono entrambe false.
Se A: “Splende il sole” e B: “Soffia il vento forte”, alloraA ∧ B: “Splende il sole e soffia il vento forte”A ∨ B: “Splende il sole o soffia il vento forte”.
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Esercizi
1. Se è vero che “tutti gli intellettuali sono interlocutori noiosi”, sarànecessariamente vera anche una delle seguenti affermazioni:1.1 nessun interlocutore noioso è intellettuale1.2 tutti gli interlocutori sono intellettuali noiosi1.3 tutti i noiosi sono intellettuali1.4 tutti gli interlocutori sono noiosi1.5 alcuni interlocutori noiosi sono intellettuali
2. Se è vero che “non tutti i mali vengono per nuocere”, sarànecessariamente vera anche una delle seguenti affermazioni:2.1 quelli che nuocciono non sono mali2.2 i mali non nuocciono2.3 qualche male non viene per nuocere2.4 se non vengono per nuocere non sono mali2.5 se sono mali non vengono per nuocere
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3. Tutti gli abbinamenti esprimono lo stesso concetto tranne in un caso.Indicare quale:3.1 tutte le idee vanno rispettate / non c’è alcuna idea che non vada
rispettata3.2 gli onesti non vanno derisi / nessun onesto deve essere deriso3.3 nessuno è senza colpa / tutti hanno qualche colpa3.4 non sempre chi grida più forte ha ragione / chi parla piano ha sempre
ragione3.5 non tutti sono belli / qualcuno non è bello.
4. L’affermazione “per ogni persona c’è una persona che è più capacedella prima” è equivalente a:4.1 non per ogni persona ogni altra persona è più capace di lei4.2 per ogni persona ogni altra persona è più capace di lei4.3 non esiste alcuna persona tale che nessuno è più capace di lei4.4 esiste una persona tale che ogni altra persona è più capace di lei4.5 esiste una persona che è più capace di tutte le altre persone
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ImplicazioneL’implicazione A→ B (anche indicato con A⇒ B) è un connettivo logicoattraverso il quale, a partire da due proposizioni A e B, si forma una nuovaproposizione, chiamata A implica B, la quale è falsa solo se A è vera e B èfalsa.
A B A→ BV V VV F FF V VF F V
tavola di verità dell’implicazione
A: “Maria ha la patente” e B: “Maria è maggiorenne”A→ B: “Se Maria ha la patente, allora Maria è maggiorenne”
A: “Piove” e B: “Giulia resta a casa”A→ B: “Se piove, allora Giulia resta a casa”
A: “x è multiplo di 4” e B: “x è pari”A→ B: “Se x è multiplo di 4, allora x è pari”.
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Quantificatori
I quantificatori sono operatori logici che esprimono caratteristiche di interecollezioni di oggetti senza doverli enumerare uno per uno. Vi sono iquantificatori universali:
“tutte le persone in quest’aula hanno il cellulare”“ogni animale è domestico”“qualunque numero dell’insieme {±2,±4,±6, . . . } è divisibile per 2”“∀ x ∈ R x2 ≥ 0”
e i quantificatori esistenziali:“esiste un numero positivo divisibile per 5”“alcuni quadrilateri sono quadrati”“qualche numero è primo”“∃ x ∈ N | x2 > x + 1”“∃! x ∈ N | 4x = x + 3”.
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Esercizi1. Negare le seguenti affermazioni:
1.1 Non tutti i cani sono neri.1.2 Ogni animale è domestico.1.3 Chi ama la propria città la tiene pulita.1.4 Non dico che sei ricco.1.5 Tutti gli inglesi sono puntuali.1.6 Non esiste alcun numero maggiore di 100 che sia primo.
2. Stabilire quali dei seguenti sillogismi sono corretti e quali scorretti.2.1 Tutti i mammiferi allattano i piccoli. Nessun serpente allatta i piccoli.
Quindi nessun serpente è un mammifero.2.2 Tutti gli ubriaconi sono teste calde. Tutti i bergamaschi sono teste
calde. Quindi tutti i bergamaschi sono ubriaconi.2.3 Tutti gli scienziati fanno ricerche. Nessuno che fa ricerca è una persona
corruttibile.Quindi nessuna persona corruttibile è uno scienziato.2.4 Alcuni matematici non sanno fare i conti. Alcuni commercianti non
sanno fare i conti.Quindi alcuni commercianti non sono matematici.2.5 Nessuna persona onesta è interessata alle bische. Alcuni politici sono
onesti. Nessun politico è interessato alle bische.2.6 I criceti sono roditori. I pesci non sono mammiferi. I roditori sono
mammiferi. Quindi i criceti non sono pesci.11 / 102
TeoremiUn teorema è un enunciato la cui verità può essere dimostrata a partire dapostulati o da altri teoremi. Una dimostrazione è una sequenza dideduzioni, che partendo affermazioni considerate vere (ipotesi), fa giungerea una nuova affermazione (tesi).
Alla base delle dimostrazioni bisogna assumere alcune nozioni comeprimitive. Sono delle proposizioni che devono essere assunte come vere eche si chiamano postulati o assiomi.
In Matematica molti teoremi vengono denominati genericamenteproposizioni, perché il nome di “Teorema” viene tradizionalmenteattribuito solo ai teoremi più importanti. Inoltre si usa chiamare lemmauna proposizione che non ha una grande importanza di per sé, ma che èparticolarmente utile per la dimostrazione di altri teoremi. Si chiamainvece corollario un teorema importante che è una conseguenza immediatadi un altro teorema.
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Teoremi
Teorema diretto A→ B: dall’ipotesi A si giunge alla tesi B;“Se un numero è multiplo di 4, allora è pari”
Teorema inverso B → A: si scambiano l’ipotesi e la tesi; esso non èequivalente al teorema diretto;
“Se un numero è pari, allora è multiplo di 4”Teorema contrario A→ B: si negano l’ipotesi e la tesi; esso non èequivalente al teorema diretto, ma è equivalente al teorema inverso;
“Se un numero non è multiplo di 4, allora non è pari”Teorema contronominale B → A: si scambiano e si negano l’ipotesi ela tesi; esso è equivalente al teorema diretto;
“Se un numero non è pari, allora non è multiplo di 4.”
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Dimostrazioni
In Matematica le dimostrazioni possono essere principalmente di 4 tipi:direttecontronominaliper assurdoper induzione
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Doppia implicazione A↔ B: è vera se e solo se A e B sono entrambevere o entrambe false; è equivalente al verificarsi simultaneo delteorema diretto e del teorema inverso
n ∈ N è pari se e solo se n2 è pari.Dire che B è condizione necessaria per A vuol dire che A→ B; direche A è condizione sufficiente per B vuol dire che A→ B
“Se Fido è un cane, allora è un mammifero”Dire che A è condizione necessaria e sufficiente per B vuol dire cheA↔ B“Prendere un voto superiore o uguale a 18 è condizione necessaria e
sufficiente per superare un esame universitario.”
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Esercizi
1. La proposizione “condizione necessaria per essere ricchi è lavoraretanto” equivale a:1.1 se lavoro tanto, allora sono ricco1.2 se non sono ricco, allora lavoro tanto1.3 se sono ricco, allora non lavoro tanto1.4 se non sono ricco, allora non lavoro tanto1.5 se sono ricco, allora lavoro tanto
2. “Chi non lavora non mangia”. Quindi:2.1 “non mangiare” è condizione sufficiente, ma non necessaria, per “non
lavorare”2.2 “mangiare” è condizione sufficiente, ma non necessaria, per “lavorare”2.3 “lavorare” è condizione sufficiente, ma non necessaria, per “mangiare”2.4 “lavorare” è condizione necessaria e sufficiente per “mangiare”2.5 nessuna delle precedenti
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3. Siano Q =“essere un numero pari” e P =“essere divisibile per 2”. Sipuò affermare che:3.1 Q è sufficiente per P, ma non necessaria3.2 Q è necessaria per P, ma non sufficiente3.3 Q è necessaria e sufficiente per P3.4 “un numero sia dispari” è condizione necessaria per far sì che il “il
numero sia pari”3.5 “un numero sia dispari” è condizione necessaria per far sì che il “il
numero sia divisibile per 2”4. Siano Q =“essere un numero multiplo di 4” e P =“essere divisibile
per 2”. Si può affermare che:4.1 Q è sufficiente per P, ma non necessaria4.2 Q è necessaria per P, ma non sufficiente4.3 Q è necessaria e sufficiente per P4.4 “un numero sia multiplo di 4” è condizione necessaria per far sì che il
“il numero sia dispari”4.5 “un numero sia dispari” è condizione necessaria per far sì che il “il
numero sia multiplo di 4”
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Intervalli
Se a, b ∈ R, l’intervallo chiuso di estremi a e b è:
[a, b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}.
L’intervallo aperto di estremi a e b è:
]a, b[= {x ∈ R | a < x < b}.
L’intervallo chiuso a sinistra e aperto a destra è:
[a, b[= {x ∈ R | a ≤ x < b}.
L’intervallo aperto a sinistra e chiuso a destra è:
]a, b] = {x ∈ R | a < x ≤ b}.
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Gli intervalli illimitati sono:
[a,+∞[= {x ∈ R | x ≥ a}]a,+∞[= {x ∈ R | x > a}]−∞, a] = {x ∈ R | x ≤ a}]−∞, a[= {x ∈ R | x < a}]−∞,+∞[= R.
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Potenze a esponenti interiDefinizioneSiano a ∈ R e n ∈ N, n ≥ 1. Si chiama potenza di base a ed esponente nla moltiplicazione di a per sé stesso n volte. Per convenzione, si ponea0 = 1, per a 6= 0.Notiamo che:
00 non ha alcun significato;an ≥ 0 se n è pari, mentre an ha lo stesso segno di a se n è dispari;se n > m ≥ 0, allora:
a > 1 ⇒ an > am
0 < a < 1 ⇒ an < am
se 0 ≤ a < b e n > 0, allora an < bn.DefinizioneSiano a ∈ R, a 6= 0, e n ∈ Z , n < 0. Poniamo:
an =(1a
)−n.
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Radicali
DefinizioneSiano a ∈ R, a > 0, e n ∈ N. Si chiama radice (aritmetica) n-esima di al’unico numero reale b > 0 tale che bn = a. Si scrive b = n
√a, n è detto
indice ed a radicando.Notiamo che:
se a < 0 e n è pari non esiste alcun numero reale b tale che bn = a,in quanto sarebbe bn > 0;se a < 0 e n è dispari, esiste un unico numero reale b tale che bn = aed esso è b = − n√−a;ricordando che:
|a| ={a se a > 0−a se a < 0,
si ha√a2 = |a|, mentre
√a2 = a è sbagliato.
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Potenze a esponente razionale
DefinizioneSia a ∈ R, a > 0, e siano m ∈ Z e n ∈ N, con n > 1. Poniamo:
amn = n√am.
Se mn > 0, poniamo 0
mn = 0.
Dunque, osserviamo che n√a = a
1n .
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Potenze a esponente reale
È possibile definire la potenza ax , con a ∈ R, a > 0, e x irrazionale. Peresempio, consideriamo 3
√2. Sappiamo che
√2 = 1, 41421 . . . . Dunque:
1 ≤√2 ≤ 2 ⇒ 3 = 31 ≤ 3
√2 ≤ 32 = 9
1, 4 ≤√2 ≤ 1, 5 ⇒ 4, 655 = 31,4 ≤ 3
√2 ≤ 31,5 = 5, 196
1, 41 ≤√2 ≤ 1, 42 ⇒ 4, 706 = 31,41 ≤ 3
√2 ≤ 31,42 = 4, 758
1, 414 ≤√2 ≤ 1, 415 ⇒ 4, 7276 = 31,414 ≤ 3
√2 ≤ 31,415 = 4, 7328
1, 4142 ≤√2 ≤ 1, 4143 ⇒ 4, 7287 = 31,4142 ≤ 3
√2 ≤ 31,4143 = 4, 7292
1, 41421 ≤√2 ≤ 1, 41422 ⇒ 4, 72878 = 31,41421 ≤ 3
√2 ≤ 31,41422 = 4, 72883
. . .
E infatti 3√
2 = 4, 728804 . . .
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Proprietà delle potenze
Siano a, b ∈ R, a, b > 0, e x , y ∈ R. Si ha:1. ax · ay = ax+y ;2. ax
ay = ax−y , con a 6= 0;3. (ax )y = ax ·y ;4. ax · bx = (a · b)x ;5. ax
bx =( a
b)x , con b 6= 0;
6. se a > 1, allora ax > 1⇔ x > 0 e ax < 1⇔ x < 0;7. se 0 < a < 1, allora ax > 1⇔ x < 0 e ax < 1⇔ x > 0;8. se a > 1 e x < y , allora ax < ay ;9. se 0 < a < 1 e x < y , allora ax > ay ;10. se a 6= 1, allora x = y ⇔ ax = ay .Osserviamo che le proprietà da 1 a 5 valgono per ogni a, b ∈ R, nel caso incui x , y ∈ N.
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Proprietà delle radici aritmetiche
Siano a, b ∈ R, a, b > 0 e siano k, n ∈ N. Si ha:1. n√a · n√b = n√ab
2.n√an√b = n
√ab
3. n√a · k√a = a
1n · a
1k = a
1n + 1
k = an+kkn = kn√an+k
4.n√ak√a = a
1n
a1k
= a1n · a−
1k = a
1n−
1k = a
k−nkn = kn√ak−n
5. ( n√a)k = n√ak
6. k√
n√a =
(a
1n) 1
k= a
1kn = kn
√a
7. kn√ak = akkn = a
1n = n√a.
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FunzioniDefinizioneDiremo funzione da un insieme A ad un insieme B una legge f che associaad ogni elemento a ∈ A uno ed un solo elemento b ∈ B.Scriviamo f : A→ B e il corrispondente o immagine di a ∈ A è indicatocon f (a). A è detto dominio di f e B codominio di f . Due funzioni f e gcoincidono se hanno stesso dominio, stesso codominio e se f (a) = g(a)∀a ∈ A.DefinizioneUna funzione f : A→ B si dice suriettiva se:
∀b ∈ B ∃a ∈ A | f (a) = b,
cioè se ogni elemento b ∈ B è immagine di qualche elemento a ∈ A.
DefinizioneUna funzione f : A→ B si dice iniettiva se per ogni x , y ∈ A, con x 6= y , siha f (x) 6= f (y), cioè se f associa ad elementi distinti di A elementi distintidi B.
Equivalentemente, se f è iniettiva si ha:
f (x) = f (y)⇒ x = y .
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DefinizioneUna funzione si dice biettiva (o corrispondenza biunivoca) se è sia iniettivache suriettiva.Dato un insieme A, la funzione iA : A→ A definita da iA(a) = a per ognia ∈ A si chiama funzione identica su A. iA è una funzione sia iniettiva chesuriettiva, cioè è biettiva.DefinizioneDate due funzioni f : A→ B e g : B → C , chiamiamo funzione compostadi f e g (o composizione di f e g) la funzione g ◦ f : A→ C definita da:
(g ◦ f )(a) = g(f (a)) ∀a ∈ A.
DefinizioneSe f : A→ B è biettiva, la funzione che associa ad ogni elemento di Bl’unico elemento di A da cui proviene mediante f è detta funzione inversadi f e si indica con f −1 : B → A.Allora per ogni b ∈ B f −1(b) = a, dove a è l’unico elemento di A tale chef (a) = b. Inoltre, f ◦ f −1 = iB e f −1 ◦ f = iA.
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DefinizioneDati due insiemi A e B chiamiamo prodotto cartesiano di A e B, escriviamo A× B, l’insieme costituito dalle coppie ordinate aventi il primoelemento in A e il secondo in B, cioè:
A× B = {(a, b) | a ∈ A, b ∈ B}.
Si pone A× A = A2 e il piano cartesiano si identifica con R2.
DefinizioneSia f : A→ B una funzione. Si chiama grafico di f il sottoinsieme Gf diA× B formato da tutte le coppie (x , f (x)) al variare di x in A, cioè:
Gf = {(x , f (x)) : x ∈ A}.
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Esempi
x
y
Grafico della funzione f (x) = x2
x
y
Non è il grafico di alcunafunzione
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Esempi
2 4 6 8 10 12 14
−4
−2
2
Grafico di una funzione
2 4 6 8 10 12 14
−4
−2
2
Non è il grafico di una funzione
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Monomi e polinomi
DefinizioneSi chiama monomio un’espressione rappresentata dal prodotto di numeri elettere. Un monomio in forma normale è scritto come prodotto fra unnumero (coefficiente) e una o più lettere diverse tra loro, con i relativiesponenti (parte letterale). Il grado di un monomio è la somma degliesponenti della parte letterale.La somma di due monomi simili è il monomio che si ottiene sommandoalgebricamente i coefficienti (con relativo segno) e lasciando invariata laparte letterale. Il prodotto di due monomi è un monomio che ha percoefficiente numerico il prodotto dei coefficienti numerici e per parteletterale il prodotto delle parti letterali. La potenza, con esponentenaturale, di un monomio è un monomio che ha come coefficiente numericola potenza del coefficiente numerico e come parte letterale la potenza dellaparte letterale.
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La parte letterale del massimo comun divisore (M.C.D.) di monomi è ilprodotto delle sole lettere comuni a tutti i monomi ognuna presa una solavolta con l’esponente minimo. Il coefficiente può essere qualsiasi numero,ma se i coefficienti sono interi si preferisce prendere il M.C.D. deicoefficienti.
La parte letterale del minimo comune multiplo (m.c.m.) di monomi è ilprodotto di tutte le lettere, comuni e non comuni, ognuna presa una solavolta con l’esponente massimo. Il coefficiente può essere qualsiasi numero,ma se i coefficienti sono interi si preferisce prendere il m.c.m. deicoefficienti.
DefinizioneDicesi polinomio un’espressione algebrica formata dalla somma algebrica didue o più monomi, detti termini del polinomio. Il grado di un polinomio èil massimo tra i gradi dei suoi termini. Un polinomio si dice omogeneo setutti i suoi termini hanno lo stesso grado.
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La somma di due polinomi è il polinomio che ha per termini tutti i terminidel primo e del secondo addendo; la differenza di due polinomi è ilpolinomio che si ottiene sommando al primo l’opposto del secondo. Ilprodotto di due polinomi si ottiene moltiplicando ciascun termine delprimo con ciascuno del secondo (e facendo la somma dei termini ottenuti).
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Prodotti notevoli1. Quadrato di un binomio:
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
2. differenza di quadrati:a2 − b2 = (a + b)(a − b)
3. cubo di un binomio:(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
4. somma di cubi:a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2)
5. differenza di cubi:a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2)
6. quadrato di un trinomio:(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc.
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Divisione tra polinomi
DefinizioneSia p(x) un polinomio di grado n. Un numero α ∈ R si dice radice osoluzione del polinomio se p(α) = 0. Le radici di p(x) sono anche detteradici dell’equazione p(x) = 0.
TeoremaSiano a(x) e b(x) due polinomi non entrambi nulli di gradi n e m,rispettivamente, con n ≥ m. Allora esistono e sono unici due polinomiq(x), detto quoziente, e r(x), detto resto, tali che:
a(x) = q(x) · b(x) + r(x).
Inoltre, o r(x) = 0 ( e in tal caso diciamo che b(x) divide a(x)) oppurer(x) è non nullo e ha grado strettamente minore di m.L’algoritmo di divisione tra polinomi si applica nel caso in cui n ≥ m econsente di determinare quoziente e resto.
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Regola di Ruffini
Si tratta di un algoritmo che si può usare se il divisore è un polinomio diprimo grado del tipo x − b. Se il divisore è un polinomio del tipo ax − b,basta dividere sia il dividendo che il divisore per a, per cui anche il restodella divisione risulterà diviso per a. Inoltre, è possibile calcolare il resto rdella divisione p(x) = (x − b)q(x) + r senza eseguire la divisione:
TeoremaIl resto della divisione del polinomio p(x) per x − b è uguale al valore cheil polinomio assume quando al posto della variabile x si sostituisce ilnumero b, cioè:
r = p(b).
Dunque, un polinomio p(x) è divisibile per x − b se e solo se p(b) = 0.
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Sia p(x) = anxn + an−1xn−1 + · · ·+ a1x + a0 un polinomio a coefficientiinteri, cioè tale che an, an−1, . . . , a1, a0 ∈ R, e sia an 6= 0. Allora lepossibili radici razionali di p(x) sono del tipo r
s , dove r è un divisore deltermine noto a0 e s è un divisore di an.
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Equazioni di primo grado in una o due incogniteLa generica equazione di primo grado in un’incognita è del tipo:
ax = b,con a, b ∈ R, a 6= 0. Essa ha sempre una e una sola soluzione x = b
a . Sea = 0, l’equazione ammette soluzioni se e solo se b = 0. In tal caso, èverificata per ogni x ∈ R. Se a = 0 e b 6= 0, non ammette soluzioni. Ciò èda tenere presente nel caso in cui si hanno equazioni parametriche.La generica equazione di primo grado in due incognite è del tipo:
ax + by = c,con a, b, c ∈ R. Quest’equazione ammette infinite soluzioni. Un sistema didue equazioni in due incognite è del tipo:{
ax + by = ca′x + b′y = c ′.
Esso può avere una sola soluzione, infinite soluzioni oppure essereimpossibile, cioè non ammettere alcuna soluzione, ed il metodo dirisoluzione è quello per sostituzione.
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Disequazioni di primo gradoLe generiche disequazioni di primo grado in un’incognita sono del tipo:
ax + b ≥ 0, ax + b > 0, ax + b ≤ 0, ax + b < 0,
con a, b ∈ R e a 6= 0. Si porta il termine noto b al secondo membro e sidivide per a: se a > 0, il segno della disuguaglianza resta invariato,mentre, se a < 0, esso diventa l’opposto.Le generiche equazioni di secondo grado in due incognite sono del tipo:
ax + by + c ≥ 0, ax + by + c > 0, ax + by + c ≤ 0, ax + by + c < 0,
con a, b, c ∈ R. Dal momento che ax + by + c = 0 è l’equazione di unaretta nel piano e che essa divide il piano in due semipiani, possiamo direche una disequazione di primo grado in due incognite ha come soluzionitutti i punti di uno dei due semipiani, comprendenti o meno la retta data,a seconda della presenza o meno del segno di uguaglianza nelladisequazione. Per sapere quale dei due semipiani scegliere, si considera unpunto qualsiasi in uno dei due (fuori dalla retta data) e si controllanumericamente se la disequazione è verificata o meno per quel punto.
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Equazioni di secondo gradoLa generica equazione di secondo grado è del tipo:
ax2 + bx + c = 0,
con a, b, c ∈ R, a 6= 0. Essa si definisce:incompleta pura se b = 0, cioè se è del tipo ax2 + c = 0;incompleta spuria se c = 0, cioè se è del tipo ax2 + bx = 0;completa se a, b, c sono tutti non nulli.
1. Un’equazione incompleta pura ax2 + c = 0 si risolve portando iltermine noto c al secondo membro e dividendo per a:
x2 = −ca .
Se − ca < 0, essa è impossibile, in quanto x2 ≥ 0 per ogni x ∈ R. Se
− ca > 0, l’equazione ha le due soluzioni distinte:
x1 = −√−ca e x2 =
√−ca .
Se − ca = 0, l’equazione ha due soluzioni coincidenti x1 = x2 = 0.
40 / 102
3. Un’equazione incompleta spuria ax2 + bx = 0 si risolve mettendo x inevidenza:
x(ax + b) = 0ed osservando che per la legge di annullamento del prodotto deveessere x = 0 oppure ax + b = 0. Dunque, otteniamo le due soluzioni:
x1 = 0 e x2 = −ba .
Esse sono distinte per b 6= 0; altrimenti, come già visto, le duesoluzioni sono coincidenti: x1 = x2 = 0.
4. Un’equazione completa ax2 + bx + c = 0 si risolve considerando ildiscriminante:
∆ = b2 − 4ac.Infatti, usando il metodo del completamento dei quadrati:
ax2 +bx +c = a(x2 + b
a x + ca
)= a
(x2 + b
a x + b2
4a2 + ca −
b2
4a2
)=
= a(x + b
2a
)2+ 4ac − b2
4a = a(x + b
2a
)2− ∆
4a41 / 102
Quindi:
ax2 + bx + c = 0⇔(x + b
2a
)2= ∆
4a2 ,
da cui otteniamo che:se ∆ < 0, l’equazione non ammette soluzioni reali;se ∆ = 0, l’equazione ammette due soluzioni reali e coincidenti:
x1 = x2 = −ba ;
se ∆ > 0, l’equazione ammette due soluzioni reali e distinte:
x1 = −b −√
∆2a e x2 = −b +
√∆
2a .
Osserviamo che, nel caso in cui ∆ ≥ 0, si ha:
x1 + x2 = −ba e x1 · x2 = c
a .
42 / 102
Inoltre, se ∆ > 0, allora si osserva che:
ax2 + bx + x = a(x − x1)(x − x2);
se ∆ = 0, si ha:ax2 + bx + c = a(x − x1)2.
Notiamo, poi, che nel caso in cui b è pari, è possibile considerare questaformula che può semplificare i conti:
x1 =−b2 −
√∆4
a e x2 =−b2 +
√∆4
a .
43 / 102
DefinizioneUn polinomio p(x) si dice irriducibile se non esistono due polinomi a(x) eb(x), entrambi di grado maggiore o uguale a 1, tali chep(x) = a(x) · b(x). Un polinomio che non è irriducibile è detto riducibile.
TeoremaI polinomi a coefficienti reali irriducibili sono tutti i polinomi di primogrado e quelli di secondo grado aventi ∆ < 0.Dunque:
tutti i polinomi di grado maggiore o uguale a 3 sono riducibili;tutti i polinomi di grado dispari ammettono almeno una radice reale.
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Disequazioni di secondo gradoLe generiche disequazioni di secondo grado sono del tipo:ax2+bx+c ≥ 0, ax2+bx+c > 0, ax2+bx+c ≤ 0, ax2+bx+c < 0,con a, b, c ∈ R, a 6= 0. Consideriamo ax2 + bx + c ≥ 0, con a > 0.
Se ∆ < 0, allora, essendo:
ax2 + bx + c = a(x + b
2a
)2− ∆
4a ,
la disequazione è verificata per ogni x ∈ R;se ∆ = 0, sia x1 la soluzione dell’equazione ax2 + bx + c = 0; allora,essendo:
ax2 + bx + c = a(x − x1)2,
la disequazione è verificata per ogni x ∈ R;se ∆ > 0, siano x1 e x2 le soluzioni dell’equazione ax2 + bx + c = 0,con x1 < x2; allora, essendo:
ax2 + bx + c = a(x − x1)(x − x2),la disequazione è verificata per x ≤ x1 e x ≥ x2.
45 / 102
Consideriamo ax2 + bx + c > 0, con a > 0.Se ∆ < 0, allora, essendo:
ax2 + bx + c = a(x + b
2a
)2− ∆
4a ,
la disequazione è verificata per ogni x ∈ R;se ∆ = 0, sia x1 la soluzione dell’equazione ax2 + bx + c = 0; allora,essendo:
ax2 + bx + c = a(x − x1)2,
la disequazione è verificata per ogni x ∈ R, x 6= x1;se ∆ > 0, siano x1 e x2 le soluzioni dell’equazione ax2 + bx + c = 0,con x1 < x2; allora, essendo:
ax2 + bx + c = a(x − x1)(x − x2),
la disequazione è verificata per x < x1 e x > x2.
46 / 102
Consideriamo ax2 + bx + c ≤ 0, con a > 0.Se ∆ < 0, allora, essendo:
ax2 + bx + c = a(x + b
2a
)2− ∆
4a ,
la disequazione non ammette soluzioni;se ∆ = 0, sia x1 la soluzione dell’equazione ax2 + bx + c = 0; allora,essendo:
ax2 + bx + c = a(x − x1)2,
la disequazione è verificata solo per x = x1;se ∆ > 0, siano x1 e x2 le soluzioni dell’equazione ax2 + bx + c = 0,con x1 < x2; allora, essendo:
ax2 + bx + c = a(x − x1)(x − x2),
la disequazione è verificata per x1 ≤ x ≤ x2.
47 / 102
Consideriamo ax2 + bx + c < 0, con a > 0.Se ∆ < 0, allora, essendo:
ax2 + bx + c = a(x + b
2a
)2− ∆
4a ,
la disequazione non ammette soluzioni;se ∆ = 0, sia x1 la soluzione dell’equazione ax2 + bx + c = 0; allora,essendo:
ax2 + bx + c = a(x − x1)2,
la disequazione non ammette soluzioni;se ∆ > 0, siano x1 e x2 le soluzioni dell’equazione ax2 + bx + c = 0,con x1 < x2; allora, essendo:
ax2 + bx + c = a(x − x1)(x − x2),
la disequazione è verificata per x1 < x < x2.
48 / 102
Nel caso in cui a < 0 si moltiplica la disequazione per −1, cambiando ilverso della diseguaglianza e ci si riconduce facilmente a uno dei casiprecedenti.
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Disequazioni di grado superiori al secondo
Pe risolvere disequazioni di grado superiore al secondo è opportunoricondurle alla forma normale:
p(x) ≥ 0, p(x) > 0, p(x) ≤ 0, p(x) < 0,
scomponendo il polinomio p(x). Successivamente si studiano i segni deisingoli fattori (mettendo in evidenza, utilizzando il metodo di Ruffini outilizzando alcuni dei prodotti notevoli) e si riportano i risultati sulla rettareale. Applicando la regola dei segni, si determina l’insieme delle soluzioni.
50 / 102
Equazioni binomieLe equazioni binomie sono del tipo axn + b = 0, con a, b ∈ R, a 6= 0. Essesi risolvono ricavando:
xn = −ba .
Dunque:se n è pari e −b
a > 0, ci sono due soluzioni distinte:
x1 = − n
√−ba e x2 = n
√−ba ;
se n è pari e −ba < 0, l’equazione non ammette soluzioni reali;
se n è dispari, l’unica soluzione è:
x = n
√−ba ;
se b = 0, l’unica soluzione è x = 0.51 / 102
Disequazioni binomieLe disequazioni binomie sono del tipo:
axn + b ≥ 0, axn + b > 0, axn + b ≤ 0, axn + b < 0,
con a, b ∈ R, a 6= 0. Come per le disequazioni di secondo grado, èpossibile ricondursi al caso a > 0. Sia n pari.
Se a, b > 0, allora le disequazioni axn + b ≥ 0 e axn + b > 0 sonoverificate per ogni x ∈ R;se a, b > 0, le disequazioni axn + b ≤ 0 e axn + b < 0 non hannoalcuna soluzione reale;se a > 0 e b < 0, siano x1 e x2 le soluzioni dell’equazioneaxn + b = 0, con x1 < x2; allora:
axn + b ≥ 0 ha come soluzioni x ≤ x1 e x ≥ x2;axn + b > 0 ha come soluzioni x < x1 e x > x2;axn + b ≤ 0 ha come soluzioni x1 ≤ x ≤ x2;axn + b < 0 ha come soluzioni x1 < x < x2.
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Sia n pari, a > 0 e b = 0.axn ≥ 0 è verificata per ogni x ∈ R;axn > 0 è verificata per ogni x ∈ R, x 6= 0;axn ≤ 0 è verificata solo per x = 0;axn < 0 è impossibile.
Sia n dispari. Come prima, è possibile ricondursi al caso a > 0. Sia x1l’unica soluzione dell’equazione axn + b = 0. Allora:
axn + b ≥ 0 ha come soluzioni x ≥ x1;axn + b > 0 ha come soluzioni x > x1;axn + b ≤ 0 ha come soluzioni x ≤ x1;axn + b < 0 ha come soluzioni x < x1.
53 / 102
Equazioni trinomieLe equazioni biquadratiche sono del tipo:
ax4 + bx2 + c = 0,con a, b, c ∈ R, a 6= 0. Le equazioni trinomie sono quelle del tipo:
ax2n + bxn + c = 0,con a, b, c ∈ R, a 6= 0. Le biquadratiche sono delle equazioni trinomie conn = 2. Si risolvono per sostituzione ponendo xn = t e risolvendo:
at2 + bt + c = 0.
Se quest’equazione non ha soluzioni reali, allora ancheax2n + bxn + c = 0 non ha soluzioni reali;se quest’equazione ha due soluzioni reali e coincidenti, t = t1 = t2, leuniche soluzioni dell’equazione ax2n + bxn + c = 0 si ottengonorisolvendo xn = t1;se quest’equazione ha due soluzioni reali e distinte, t1 e t2, le unichesoluzioni dell’equazione ax2n + bxn + c = 0 si ottengono risolvendoxn = t1 e xn = t2.
54 / 102
Disequazioni trinomie
Le disequazioni trinomie sono quelle del tipo:
ax2n+bxn+c ≥ 0, ax2n+bxn+c > 0, ax2n+bxn+c ≤ 0, ax2n+bxn+c < 0,
con a, b, c ∈ R, a 6= 0. Il metodo di risoluzione è analogo a quello dirisoluzioni delle equazioni trinomie. Si fa la sostituzione xn = t e si risolvela disequazione at2 + bt + c ≥ 0 (oppure at2 + bt + c > 0 oat2 + bt + c ≤ 0 o at2 + bt + c < 0, a seconda del caso).
Se la disequazione ottenuta è impossibile, allora la disequazione dipartenza è impossibile;se la disequazione ottenuta ha la soluzione t ≥ t1 (oppure t > t1 ot ≤ t1 o t < t1), si risolve la disequazione xn < t1 (oppure,rispettivamente, xn > t1 o xn ≤ t1 o xn < t1).
55 / 102
Equazioni e disequazioni fratteLe equazioni fratte sono del tipo:
p(x)q(x) = 0,
dove p(x) e q(x) sono due polinomi in x . Si risolve il sistema:{p(x) = 0q(x) 6= 0,
cioè si cercano tutte le soluzioni dell’equazione p(x) = 0 che non annullinoil denominatore.Le disequazioni fratte sono del tipo:
p(x)q(x) ≥ 0, ,
p(x)q(x) > 0, p(x)
q(x) ≤ 0, p(x)q(x) < 0,
dove p(x) e q(x) sono due polinomi in x . Si studiano i segni delnumeratore e del denominatore, separatamente, e si riportano i risultatiottenuti sulla retta reale. Applicando la regola dei segni, si determinal’insieme delle soluzioni. Occorre sempre ricordarsi di imporre la condizioneq(x) 6= 0, in quanto denominatore della frazione. 56 / 102
Equazioni con il valore assolutoRicordiamo che:
|a| ={a se a > 0−a se a < 0.
Le equazioni del tipo:|f (x)| = a,
con f (x) funzione in x e a ∈ R, si risolvono in questo modo:se a > 0, si risolvono le equazioni f (x) = a e f (x) = −a;se a = 0, se risolve f (x) = 0;se a < 0, l’equazione non ha soluzioni.
Le equazioni del tipo:|f (x)| = g(x),
con f (x) e g(x) funzioni in x , si risolvono unendo gli insiemi dellesoluzioni dei seguenti sistemi:{
f (x) = g(x)f (x) ≥ 0 ∪
{f (x) = −g(x)f (x) < 0.
57 / 102
Disequazioni con il valore assolutoLe soluzioni delle disequazioni del tipo |f (x)| ≥ a, con a > 0, siottengono unendo le soluzioni delle due disequazioni:
f (x) ≤ −a ∪ f (x) ≥ a;
le disequazioni |f (x)| ≥ a, con a ≤ 0 sono verificate per ogni xappartenente al campo di esistenza di f (x);le soluzioni delle disequazioni del tipo |f (x)| > a, con a > 0, siottengono unendo le soluzioni delle due disequazioni:
f (x) < −a ∪ f (x) > a;
le disequazioni del tipo |f (x)| > 0 sono verificate per ogni xappartenente al campo di esistenza di f (x) tali che f (x) 6= 0;le disequazioni del tipo |f (x)| > a, con a < 0, sono verificate per ognix appartenente al campo di esistenza di f (x);
58 / 102
le soluzioni delle disequazioni del tipo |f (x)| ≤ a, con a > 0, siottengono risolvendo:
−a ≤ f (x) ≤ a;
le disequazioni del tipo |f (x)| ≤ a, con a < 0 non hanno soluzioni;le soluzioni delle disequazioni del tipo |f (x)| ≤ 0 sono le soluzionidell’equazione f (x) = 0;le soluzioni delle disequazioni del tipo |f (x)| < a, con a > 0, siottengono risolvendo:
−a < f (x) < a;
le disequazioni del tipo |f (x)| < a, con a ≤ 0, non hanno soluzioni.
59 / 102
In generale:le soluzioni delle disequazioni del tipo |f (x)| ≤ g(x) si ottengono da:{
g(x) ≥ 0−g(x) ≤ f (x) ≤ g(x),
le soluzioni delle disequazioni del tipo |f (x)| < g(x) si ottengono da:{g(x) ≥ 0−g(x) < f (x) < g(x),
le soluzioni delle disequazioni del tipo |f (x)| ≥ g(x) si ottengonounendo le soluzioni di:{
f (x) ≥ 0f (x) ≥ g(x) ∪
{f (x) < 0f (x) ≤ −g(x),
le soluzioni delle disequazioni del tipo |f (x)| > g(x) si ottengonounendo le soluzioni di:{
f (x) ≥ 0f (x) > g(x) ∪
{f (x) < 0f (x) < −g(x),
60 / 102
Per risolvere le equazioni (o le disequazioni) con due o più valori assoluti sistudiano i segni delle funzioni dentro i valori assoluti, si riportano tali valorisulla retta reale e per ogni intervallo che si ottiene si risolve la relativaequazione (o disequazione), la quale non presenterà più alcun valoreassoluto. Le soluzioni dell’equazione (o disequazione) di partenza sonodate dall’unione delle soluzioni ottenute nei vari intervalli considerati.
61 / 102
Equazioni irrazionaliConsideriamo equazioni del tipo n
√f (x) = g(x).
Se n è dispari, è sufficiente risolvere:
f (x) = [g(x)]n,
Se n è pari, occorre risolvere il sistema:{f (x) = [g(x)]ng(x) ≥ 0;
equivalentemente si può risolvere l’equazione f (x) = [g(x)]n econtrollare quali delle soluzioni ottenute sono soluzioni din√f (x) = g(x) (in quanto potremmo ottenere soluzioni di
n√f (x) = −g(x) e sbagliare!).
Quando abbiamo equazioni con più radicali, occorre elevare a potenza dueo più volte. Tuttavia, alla fine è necessario sostituire le soluzioni trovatenell’equazione di partenza e controllare quali di esse sono soluzionieffettive e quali no.
62 / 102
Consideriamo il caso particolare delle equazioni del tipo n√f (x) = m
√g(x).
Se n e m sono dispari, è sufficiente elevare a p = m.c.m.(m, n) erisolvere:
[f (x)]pn = [g(x)]
pm ;
se uno tra n e m è pari, occorre risolvere il sistema:[f (x)]
pn = [g(x)]
pm
f (x) ≥ 0g(x) ≥ 0.
63 / 102
Disequazioni irrazionali
Le soluzioni delle disequazioni del tipo n√f (x) ≥ g(x), con n dispari,
si ottengono dalla disequazione f (x) ≥ [g(x)]n. La stessa cosa valeper n
√f (x) > g(x) o n
√f (x) ≤ g(x) o n
√f (x) < g(x), con n dispari.
Le soluzioni delle disequazioni del tipo n√f (x) ≥ g(x), con n pari, si
ottengono unendo gli insiemi delle soluzioni dei due sistemi:{g(x) < 0f (x) ≥ 0 ∪
{g(x) ≥ 0f (x) ≥ [g(x)]n,
le soluzioni delle disequazioni del tipo n√f (x) > g(x), con n pari, si
ottengono unendo gli insiemi delle soluzioni dei due sistemi:{g(x) < 0f (x) ≥ 0 ∪
{g(x) ≥ 0f (x) > [g(x)]n,
64 / 102
Le soluzioni delle disequazioni del tipo n√f (x) ≤ g(x), con n pari, si
ottengono dalle soluzioni del sistema:f (x) ≥ 0g(x) ≥ 0f (x) ≤ [g(x)]n,
le soluzioni delle disequazioni irrazionali del tipo n√f (x) < g(x), con n
pari, si ottengono dalle soluzioni del sistema:f (x) ≥ 0g(x) ≥ 0f (x) < [g(x)]n.
In generale, nel risolvere le disequazioni irrazionali, occorre ricordarsi che:1. elevare a una potenza dispari è sempre possibile, indipendentemente
dal segno;2. si eleva a una potenza pari una disuguaglianza tra quantità positive;3. per n pari è sempre n
√f (x) ≥ 0.
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Esponenziali e logaritmiSiano a, b ∈ R, a, b > 0, e x , y ∈ R. Si ha:1. ax · ay = ax+y ;2. ax
ay = ax−y ;3. (ax )y = ax ·y ;4. ax · bx = (a · b)x ;5. ax
bx =( a
b)x ;
6. se a > 1, allora ax > 1⇔ x > 0 e ax < 1⇔ x < 0;7. se 0 < 1 < a, allora ax > 1⇔ x < 0 e ax < 1⇔ x > 0;8. se a > 1 e x < y , allora ax < ay ;9. se 0 < a < 1 e x < y , allora ax > ay ;10. se a 6= 1, allora x = y ⇔ ax = ay ;11. se 1 < a < b, allora ax < bx per x > 0 e ax < bx per x < 0;12. se 0 < a < b < 1, allora ax < bx per x < 0 e ax > bx per x < 0.
66 / 102
Grafici di funzioni esponenziali
−6 −4 −2 2 4 6
1
2
3
4
5
Grafico della funzione y = 2x
−2 2 4
1
2
3
4
5
Grafico della funzione y =( 1
2)x
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DefinizioneSiano a, b ∈ R, a > 0, b > 0 e a 6= 1. Chiamiamo logaritmo in base a di bl’unica soluzione dell’equazione ax = b, cioè l’unico numero reale al qualeelevare a per ottenere b. Esso si indica con loga b e b è detto argomentodel logaritmo.Si indica con e il numero di Nepero. Esso è un numero irrazionale e si hache e = 2.71828 . . . . Il logaritmo in base e si indica con log oppure anchecon ln (logaritmo naturale). Se la base è 10 si indica con Log.
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Proprietà dei logaritmiSiano a, b, x , y ∈ R, a, b, x , y > 0, a 6= 1.1. aloga b = b;2. loga a = 1;3. loga 1 = 0;4. loga(xy) = loga x + loga y ;5. loga
xy = loga x − loga y ;
6. loga x z = z loga x , per ogni z ∈ R;7. se b 6= 1, allora logb x = loga x
loga b ;
8. se b 6= 1, allora logb a = 1loga b ;
9. log 1ax = − loga x ;
10. se a > 1 e b > 1, allora loga b > 0;11. se a > 1 e 0 < b < 1, allora loga b < 0;12. se 0 < a < 1 e b > 1, allora loga b < 0;13. se 0 < a < 1 e 0 < a < 1, allora loga b > 0.
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Grafici di funzioni logaritmiche
1 2 3 4 5
−6
−4
−2
2
4
6
Grafico della funzione y = log2(x)
1 2 3 4 5
−2
2
4
Grafico della funzione y = log 12
(x)
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Equazioni esponenzialiConsideriamo ax = b, con a, b ∈ R, a > 0. Si ha che:
se b ≤ 0, l’equazione non ammette soluzioni;se b > 0, l’equazione ammette l’unica soluzione x = loga b.
Le equazioni af (x) = ag(x), con a ∈ R, a > 0, sono equivalenti a:f (x) = g(x).
Le equazioni af (x) = bg(x), con a, b ∈ R, a, b > 0, si studianoriferendo tutto ad una sola base ed usando la definizione di logaritmo:
af (x) = aloga[bg(x)] ⇔ f (x) = loga[bg(x)]⇔ f (x) = (loga b) · g(x),dove loga b non è una funzione in x , ma un semplice numero.Le equazioni del tipo af (x) = b, con a, b ∈ R, a, b > 0, rientrano nelcaso precedente e, quindi, basta risolvere f (x) = loga b.Le equazioni del tipo f (ax ) = 0, dove a ∈ R, a > 0, si risolvono persostituzione. Si pone ax = t e si risolve l’equazione f (t) = 0. Set1,. . . ,tn sono le soluzioni dell’equazione f (t) = 0, allora le soluzionidell’equazione di partenza f (ax ) = 0 si ottengono risolvendoax = t1,. . . ,ax = tn.
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Disequazioni esponenzialiPer risolvere le disequazioni esponenziali occorre ricordare questi due fatti:1. se a > 1 e x < y , allora ax < ay ;2. se 0 < a < 1 e x < y , allora ax > ay .
Consideriamo le disequazioni del tipo ax > b, con a > 0 e a 6= 1.Se b ≤ 0, la disequazione è soddisfatta per ogni x ∈ R;se b > 0, essa è equivalente a:
ax > aloga b;se a > 1, si ha x > loga b;se 0 < a < 1, si ha x < loga b.
Per le disequazioni del tipo ax ≥ b si ragiona in maniera analoga.Consideriamo le disequazioni del tipo ax < b, con a > 0 e a 6= 1.
Se b ≤ 0, la disequazione non ha soluzioni;se b > 0, essa è equivalente a:
ax < aloga b;se a > 1, si ha x < loga b;se 0 < a < 1, si ha x > loga b.
Per le disequazioni del tipo ax ≤ b si ragiona in maniera analoga.72 / 102
Le disequazioni del tipo af (x) < ag(x), con a ∈ R, a > 1, sonoequivalenti a:
f (x) < g(x).Stesso discorso vale per le disequazioni del tipo af (x) ≤ ag(x).Le disequazioni del tipo af (x) < ag(x), con a ∈ R, 0 < a < 1, sonoequivalenti a:
f (x) > g(x).Stesso discorso vale per le disequazioni del tipo af (x) ≤ ag(x).Le disequazioni del tipo af (x) < bg(x), con a, b ∈ R, a, b > 0, sistudiano in maniera analoga alle equazioni di questo tipo, riferendotutto ad una sola base ed usando la definizione di logaritmo:
af (x) < aloga[bg(x)].
Se a > 1, abbiamo:f (x) < loga[bg(x)]⇔ f (x) < (loga b) · g(x);
se 0 < a < 1, abbiamo:f (x) > loga[bg(x)]⇔ f (x) > (loga b) · g(x).
Stesso discorso vale per le disequazioni del tipo af (x) ≤ bg(x).73 / 102
Le disequazioni del tipo f (ax ) > 0, dove a ∈ R, a > 0, si risolvonoper sostituzione. Si pone ax = t e si risolve la disequazione f (t) > 0.Ogni intervallo in t corrisponderà ad una disequazione in x :
t < t1 ⇔ ax < t1 e t > t2 ⇔ ax > t2
oppure ad una sistema di disequazioni:
t1 < t < t2 ⇔ t1 < ax < t2 ⇔{ax > t1ax < t2.
74 / 102
Equazioni logaritmicheNelle equazioni logaritmiche occorre sempre ricordare che la base dellogaritmo è un numero positivo diverso da 1 e che l’argomento è semprepositivo. Occorre anche tenere presenti tutte le proprietà dei logaritmi.
Le equazioni loga x = b, con a > 0, a 6= 1, hanno soluzione x = ab,per definizione di logaritmo.Le equazioni del tipo logx a = b, con a > 0, per definizione dilogaritmo sono equivalenti a:{
xb = ax > 0, x 6= 1.
Le equazioni loga f (x) = loga g(x), con a > 0, a 6= 1, equivalgono a:f (x) = g(x)f (x) > 0g(x) > 0,
dove stiamo usando la condizione di esistenza dei logaritmi; possiamonotare che nel sistema è sufficiente usare una sola delle duecondizioni, o f (x) > 0 o g(x) > 0.
75 / 102
Le equazioni del tipo loga f (x) = b, con a > 0, a 6= 1, sonoequivalenti a: {
f (x) = ab
f (x) > 0,
ma, dovendo essere necessariamente a > 0, bisogna semplicementerisolvere l’equazione f (x) = ab.Le equazioni del tipo f (loga x) = 0, dove a ∈ R, a > 0 e a 6= 1, sirisolvono per sostituzione. Si pone loga x = t e si risolve l’equazionef (t) = 0. Se t1,. . . ,tn sono le soluzioni dell’equazione f (t) = 0, allorale soluzioni dell’equazione di partenza f (loga x) = 0 si ottengonorisolvendo loga x = t1,. . . ,loga x = tn.
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Disequazioni logaritmichePer risolvere le disequazioni logaritmiche occorre ricordare questi due fatti:1. se a > 1 e 0 < x < y , allora loga x < loga y ;2. se 0 < a < 1 e 0 < x < y , allora loga x > loga y .
Le disequazioni del tipo loga x > b, con a > 0, a 6= 1, equivalgono a:loga x > loga ab,
per cui:se a > 1, abbiamo: {
x > ab
x > 0 ⇒ x > ab,
se 0 < a < 1, abbiamo:{x < ab
x > 0 ⇒ 0 < x < ab;
Per le equazioni del tipo loga x ≥ b si ragiona in maniera analoga.Per a > 1 si ha x ≥ ab, mentre per 0 < a < 1 si ha 0 < x ≤ ab.Occorre ricordare che l’argomento del logaritmo deve esserestrettamente positivo.
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Le disequazioni del tipo loga x < b, con a > 0 e a 6= 1, equivalgono a:loga x < loga ab;
se a > 1, abbiamo: {x < ab
x > 0 ⇒ 0 < x < ab,
se 0 < a < 1, abbiamo: {x > ab
x > 0 ⇒ x > ab;
Per le equazioni del tipo loga x ≤ b si ragiona in maniera analoga.Per a > 1 si ha 0 < x ≤ ab, mentre per 0 < a < 1 si ha x ≥ ab.Consideriamo le disequazioni loga f (x) < loga g(x), a > 0 e a 6= 1.
Se a > 1, è equivalente a: f (x) < g(x)f (x) > 0g(x) > 0;
se 0 < a < 1, essa è equivalente a:f (x) > g(x)f (x) > 0g(x) > 0.
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Per le disequazioni del tipo loga f (x) ≤ loga g(x) si ragiona inmaniera analoga.Le disequazioni del tipo f (loga x) > 0, dove a ∈ R, a > 0 e a 6= 1, sirisolvono per sostituzione. Si pone loga x = t e si risolve ladisequazione f (t) > 0. Ogni intervallo in t corrisponderà ad unadisequazione in x :
t < t1 ⇔ loga x < t1 e t > t2 ⇔ loga x > t2
oppure ad una sistema di disequazioni:
t1 < t < t2 ⇔ t1 < loga x < t2 ⇔{
loga x > t1loga x < t2.
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TrigonometriaDefinizioneChiamiamo angolo ciascuna delle due parti di piano individuate da duesemirette aventi origine comune. Tale punto è detto vertice dell’angolo.
DefinizioneChiamiamo arco di circonferenza l’intersezione tra la circonferenza e unangolo α al centro della circonferenza stessa. Si dice che l’arco dicirconferenza insiste sull’angolo α.Gli angoli vengono misurati in gradi sessagesimali o in radianti. Nel primocaso l’unità di misura è la 360a parte dell’angolo giro, che viene indicatacon 1◦ ed è un grado sessagesimale.
Fissiamo un sistema di riferimento cartesiano ortogonale O~x~y ed un’unitàdi misura u. Consideriamo una circonferenza di centro O e raggio r e unangolo AOB. Tale angolo stacca un’arco di circonferenza di lunghezza l .La misura in radianti di AOB è il rapporto l
r ed è un numero puro, privo didimensioni.
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Ciò è possibile in quanto vale questa:
ProposizioneDate due circonferenze concentriche C e C ′ di raggi r e r ′, sia α un angoloal centro di entrambe le circonferenze. Siano l e l ′ le lunghezze dei duearchi di C e C ′ che insistono su α. Allora:
l : l ′ = r : r ′.
rα
r ′
ll ′
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Dunque:lr = l ′
r ′ .
Questo numero è precisamente la misura in radianti dell’angolo α. Inoltre,si dimostra che vale questa relazione:
l = πr180α
◦,
dove α◦ è l’ampiezza dell’angolo α in gradi. Dunque, la relazione che legala misura α◦ di un angolo α in gradi e la misura αrad di α in radianti è:
αrad = πα◦
180 .
Dunque, un angolo di 360◦ misura 2π in radianti, un angolo di 180◦ inradianti misura π, un angolo di 90◦ misura π
2 radianti e così via.
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È possibile dare un orientamento agli angoli.DefinizioneSia fissata una coppia ordinata di due semirette a e b, aventi verticecomune O. L’angolo orientato individuato dalle due semirette è l’angolo dicui deve ruotare a per sovrapporsi a b. In particolare, l’angolo si diràorientato positivamente se l’angolo orientato è descritto mediante unarotazione in senso antiorario del lato a; altrimenti, se è descritto medianteuna rotazione in senso orario, è detto orientato negativamente.
a
O
b
α
Angolo orientato positivamente
b
O
a
α
Angolo orientato negativamente
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Fissiamo nel piano un sistema di riferimento cartesiano ortogonale, cioèfissiamo un’unità di misura, un punto O, detto origine degli assi, e duerette orientate ~x e ~y , perpendicolari tra loro, tali che l’angolo ~x~y siaorientato positivamente. Chiamiamo circonferenza goniometrica lacirconferenza di centro l’origine e raggio 1: x2 + y2 = 1. Utilizzeremo talecirconferenza per misurare gli angoli.
Sia A = (1, 0) e sia P un punto sulla circonferenza. Consideriamo l’angoloAOP: esso sarà orientato positivamente o negativamente a seconda dicome il punto si muove sulla circonferenza, se in senso antiorario od orario.
La misura in radianti dell’angolo AOP è la lunghezza del percorsoeffettuato da P sulla circonferenza a partire da A nel descrivere l’angolo,preso con il segno positivo, se orientato positivamente, oppure negativo, seorientato negativamente. Se il punto P percorre più di un giro, nellamisura in radianti di AOP si tiene conto dei k giri fatti aggiungendo 2kπ(oppure −2kπ) alla misura dell’arco AP. In tal modo, un qualsiasi numeroreale x può rappresentare la misura in radianti di un angolo orientato.
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P
O A5π3
−π3
P
OA
94π
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x
y
0◦
30◦
60◦90◦
120◦
150◦
180◦
210◦
240◦270◦
300◦
330◦
360◦
45◦135◦
225◦ 315◦
π6
π4
π3
π22π
33π4
5π6
π
7π6
5π4 4π
3 3π2
5π3
7π4
11π6
2π
(√3
2 ,12
)(√
22 ,√
22
)(
12 ,√
32
)
(−√
32 ,
12
)(−√
22 ,√
22
)(−1
2 ,√
32
)
(−√
32 ,−
12
)(−√
22 ,−
√2
2
)(−1
2 ,−√
32
)
(√3
2 ,−12
)(√
22 ,−
√2
2
)(
12 ,−
√3
2
)
(−1, 0) (1, 0)
(0,−1)
(0, 1)
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DefinizioneSia x ∈ R e sia P il punto sulla circonferenza goniometrica ad essoassociato, cioè tale che la misura in radianti dell’angolo AOP sia x .L’ascissa del punto P si chiama coseno di x , e si indica con cos x , el’ordinata di P si chiama seno di x , e si indica con sen x . Se x 6= π
2 + kπ,k ∈ Z, detto P ′ il punto intersezione della retta OP con la tangente allacirconferenza in A, chiamiamo tangente di x l’ordinata di P ′ e si indicacon tg x .
sen x
cos xx
tg x
O
P
Q A
P ′
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Per ogni x ∈ R si ha:sen2 x + cos2 x = 1;−1 ≤ sen x ≤ 1 e −1 ≤ cos x ≤ 1, mentre tg x può assumere qualsiasivalore reale;per similitudine tra i triangoli OPQ e OP ′A si ha che:
tg x = sen xcos x ,
per x 6= π2 + kπ, k ∈ Z;
si definisce la cotangente di x in questo modo:
ctg x = cos xsen x ,
per x 6= kπ, k ∈ Z;sen(x + 2kπ) = sen x , cos(x + 2kπ) = cos x e tg(x + kπ) = tg x ; sidice che le funzioni seno e coseno sono periodiche di periodo 2π e chela funzione tangente è periodica di periodo π;sen(−x) = − sen x , cos(−x) = cos x e tg(−x) = − tg x ;sen(2π − x) = − sen x , cos(2π − x) = cos x e tg(2π − x) = − tg x ;sen(π
2 + x) = cos x , cos(π2 + x) = − sen x e tg(π
2 + x) = − ctg x ;sen(π
2 − x) = cos x , cos(π2 − x) = sen x e tg(π
2 − x) = ctg x .88 / 102
sen(π + x) = − sen x e cos(π + x) = − cos x ;sen(π − x) = sen x , cos(π − x) = − cos x e tg(π − x) = − tg x ;sen(x + y) = sen x cos y + cos x sen y (formula di addizione);cos(x + y) = cos x cos y − sen x sen y (formula di addizione);tg(x + y) = tg x+tg y
1−tg x tg y (formula di addizione);sen(x − y) = sen x cos y − cos x sen y (formula di sottrazione);cos(x − y) = cos x cos y + sen x sen y (formula di sottrazione);tg(x − y) = tg x−tg y
1+tg x tg y (formula di sottrazione);sen(2x) = 2 sen x cos x (formula di duplicazione);cos(2x) = cos2 x − sen2 x = 2 cos2 x − 1 = 1− 2sen2 x (formula diduplicazione);tg(2x) = 2 tg x
1−tg2 x (formula di duplicazione);
sen x2 = ±
√1−cos x
2 , cos x2 = ±
√1+cos x
2 e tg x2 = ±
√1−cos x1+cos x (formule
di bisezione).
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Le formule parametriche, utili nella risoluzione di alcune equazioni edisequazioni, sono:
sen x = 2t1+t2
cos x = 1−t2
1+t2
tg x = 2t1−t2 ,
dove t = tg x2 e x 6= π + 2kπ, k ∈ Z.
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radianti gradi sensensen coscoscos tgtgtg ctgctgctg
0 0◦ 0 1 0 non è definito
π
6 30◦ 12
√32
√33
√3
π
4 45◦√22
√22 1 1
π
3 60◦√32
12
√3
√33
π
2 90◦ 1 0 non è definito 0
π 180◦ 0 −1 0 non è definito
32π 270◦ −1 0 non è definito 0
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Grafico della funzione f (x) = sen x
x
y
y = sen x
π2 π 3π
2 2π−π2−π
1
-1
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Grafico della funzione f (x) = cos x
x
y
y = cos x
π2 π 3π
2 2π−π2−π
1
-1
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Grafico della funzione f (x) = tg x
x
yy = tan x y = tan x y = tan x y = tan x
π20 π 3π
2 2π−π2−π
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Funzioni arcoseno, arcocoseno e arcotangenteDefinizioneDato x ∈ [−1, 1], chiamiamo arcoseno di x , e si indica con arcsen x l’unicoα ∈
[−π
2 ,π2]tale che senα = x .
Dunque, arcsen: [−1, 1]→[−π2 ,
π
2
]e questo è il grafico della funzione
arcoseno:
−1 1
−π2
π
2
x
y
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DefinizioneDato x ∈ [−1, 1], chiamiamo arcocoseno di x , e si indica con arccos xl’unico α ∈ [0, π] tale che cosα = x .Dunque, arccos : [−1, 1]→ [0, π] e questo è il grafico della funzionearcocoseno:
−1 1
π
x
y
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DefinizioneDato x ∈ R, chiamiamo arcotangente di x , e si indica con arctg x l’unicoα ∈]− π
2 ,π2 [ tale che tgα = x .
Dunque, arctg : R→]− π
2 ,π
2 [ e questo è il grafico della funzionearcotangente:
−3 −2 −1 1 2 3
−π2
π
2
x
y
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Equazioni goniometriche
Le equazioni del tipo sen x = a:non hanno soluzione se a < −1 oppure se a > 1;se −1 ≤ a ≤ 1, hanno soluzioni x = arcsen a + 2kπ ex = π − arcsen a + 2kπ, k ∈ Z.
Le equazioni del tipo cos x = a:non hanno soluzione se a < −1 oppure se a > 1;se −1 ≤ a ≤ 1, hanno soluzioni x = arccos a + 2kπ ex = − arccos a + 2kπ, k ∈ Z.
Le equazioni del tipo tg x = a hanno sempre soluzioni ed esse sonodel tipo x = arctg a + kπ, k ∈ Z.Le equazioni del tipo a sen x + b cos x = 0, con a, b ∈ R, a, b 6= 0, siportano nella forma tg x = −b
a e si risolvono come visto inprecedenza.
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Le equazioni del tipo a sen x + b cos x + c = 0, con a, b, c ∈ R,a, b, c 6= 0, si risolvono graficamente. Poniamo cos x = X esen x = Y . Risolvere l’equazione a sen x + b cos x + c = 0 vuol direrisolvere il sistema: {
aY + bX + c = 0X 2 + Y 2 = 1,
dal momento che sen2 x + cos2 x = 1.Se il sistema non ha soluzioni, allora l’equazione data non ha soluzioni.Se il sistema ha come soluzioni due punti coincidenti in (x0, y0) (cioè laretta è tangente alla circonferenza in tale punto), esso corrisponderà adun ben preciso angolo α, che sarà quell’angolo tale che:{
cosα = x0senα = y0.
Le soluzioni dell’equazione data saranno x = α + 2kπ, k ∈ Z.Se il sistema ha due soluzioni distinte (x0, y0) e (x1, y1), i due puntitrovati corrisponderanno a due angoli α e β tali che:{
cosα = x0senα = y0
e{
cos β = x1senβ = y1.
Le soluzioni dell’equazione sono x = α + 2kπ e x = β + 2kπ, k ∈ Z.99 / 102
È anche possibile risolvere le equazioni del tipoa sen x + b cos x + c = 0 usando le formule parametriche.Le equazioni del tipo sen f (x) = sen g(x) portano a due possibilità:
f (x) = g(x) + 2kπ e f (x) = π − g(x) + 2kπ,
con k ∈ Z, da cui otteniamo tutte le soluzioni dell’equazione data.Le equazioni del tipo cos f (x) = cos g(x) portano a due possibilità:
f (x) = g(x) + 2kπ e f (x) = −g(x) + 2kπ,
con k ∈ Z, da cui otteniamo tutte le soluzioni dell’equazione data.Le equazioni del tipo sen f (x) = cos g(x) possono essere risolteconsiderando cos g(x) = sen(π
2 − g(x)). Dunque, basta risolvere:
sen f (x) = sen(π2 − g(x)),
che rientra tra i casi precedenti.Le equazioni del tipo tg f (x) = tg g(x) portano alla condizione:
f (x) = g(x) + kπ,
con k ∈ Z. A questo punto è sufficiente risolvere tale equazione.100 / 102
Le equazioni del tipo f (sen x) = 0 o f (cos x) = 0 o f (tg x) = 0 sirisolvono per sostituzione.In generale, le equazioni di grado maggiore di 1 a volte vengonorisolte riconducendosi a una delle forme già viste utilizzando leformule riguardanti seno, coseno e tangente illustrate in precedenza.È anche possibile utilizzare le formule parametriche.
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Disequazioni goniometriche
Per le disequazioni di primo grado nella sola sen x oppure cos xoppure tg x occorre innanzi tutto risolvere l’equazione di primo gradoassociata e poi, riferendosi al piano cartesiano e alla circonferenzagoniometrica, si determinano gli intervalli desiderati.Le disequazioni del tipo a sen x + b cos x + c ≥ 0 ea sen x + b cos x + c > 0 si risolvono mediante lo stesso metodografico utilizzato per l’equazione associata e poi, sempre riferendosi alpiano cartesiano e alla circonferenza goniometrica, si determinano gliintervalli desiderati. È anche possibile risolvere queste disequazioniusando le formule parametriche per seno e coseno.Per le disequazioni di grado maggiore di 1 si procede come per leequazioni, facendo riferimento alle varie formule trigonometriche.
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