Corso di Eccellenza - GeometriaII Anno del Corso di Laurea in Matematica

10, 17, 24 e 31 marzo 2009

“Tutto quello che avreste voluto sapere su S2

e non avete mai osato chiedere (o quasi)”

Andrea Sambusetti

Contenuti di massima

I. Curve speciali sulla sfera(Lunghezze, distanza, geodetiche e lossodromiche)

II. Aree(Calotte, biangoli e triangoli, eccesso angolare)

III. Trigonometria sferica.

IV. Carte geografiche e loro proprieta(Inversioni, proiezione sterografica, proiezioni cilindriche)

V. Magie del gruppo delle isometrie di S2

(Regola del parallelogramma sferico, quaternioni, briciole di S3)

VI. Il pallone da football ed altre stranezze (forse)

(....e niente curvatura?)

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I. Curve speciali sulla sfera.

Problemino I.1 Siano p, q ∈ E2. Dimostrare che la curva piu corta cheunisce p a q e il segmento pq (parametrizzato in modo opportuno).

Indicazioni:– Scrivere una curva γ da p a q in coordinate polari di centro P .– Cosa rappresentano geometricamente i due addendi nella formula |γ′| =

√r′2 + r2ϑ′2?

(Questa strada non e l’unica possibile, ma e utile per l’esercizio seguente).

Problema I.2 (Geodetiche)(i) Siano p, q ∈ S2: dimostrare (senza l’uso del calcolo differenziale) che lacurva piu corta su S2 che unisce p a q e un arco di cerchio massimo.

(ii) Dimostrare la stessa cosa con l’uso di derivate e integrali.

Nota: i cerchi massimi di S2, parametrizzati da lunghezza d’arco, sono detti le geode-tiche (o segmenti geodetici) della sfera. Si noti che una geodetica minimizza la distanzatra i suoi estremi se e solo se la sua lunghezza e al massimo la meta di un cerchio massimo(perche?); in tal caso, si parla di geodetica minimizzante.

Indicazioni per (i):Ricordare che la lunghezza di una curva e definita come `(γ) = supPγ `(Pγ), dove Pγ euna poligonale approssimante per γ.

Indicazioni per (ii): mettere P nel polo nord, e spezzare il vettore γ′ in una componenteradiale (tangente ai meridiani) ed una ortogonale (tangente ai paralleli); adaattare quindil’argomento di I.1.

Problemino I.3(i) Determinare le curve del piano che formano angolo costante con i raggiuscenti dall’origine.(ii) Sia γ una tale curva, diversa da una circonferenza o un raggio. Si considerila parte di γ contenuta nel disco unitario di centro l’origine. Quanti giri faγ attorno all’origine? Quindi quant’e la sua lunghezza? (Zenone insegna).

Indicazione: usare coordinate polari nel piano.

Problema I.4 (Lossodromiche)Una curva su S2 che fa angolo costante con i meridiani e detta lossodromica.(i) Qual e l’interesse pratico?(ii) Determinare una parametrizzazione delle lossodromiche, e descrivernequalitativamente l’andamento.(iii) C’e relazione con le curve del Problema I.3?

Indicazioni:– Scrivere una tale curva γ(t) in coordinate sferiche (λ, ϕ) (dove λ e l’angolo di longitudine,e ϕ l’angolo di latitudine, entrambi pensati come variabili in R), e trovare la relazione chesussiste tra λ(t) e ϕ(t) (risolvendo un’equazione differenziale)– Per (iii), confrontare col Problema III.9.

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II. Aree.

Richiami: cos’e lo spazio tangente.– Dato un sottoinsieme S ⊂ E3, un vettore unitario u si dice tangente ad S in s se esisteuna successione di punti sn ∈ S tali che: sn → s e u = limn→∞

−−→ssn‖−−→ssn‖

.– Lo spazio tangente ad S in un suo punto s e l’insieme (unione di rette per l’origine)

TsS = {λu ∈ E3 |u versore tangente ad S in s, λ ∈ R}

Richiami: sulle applicazioni differenziabili f : U ⊂ E2 → S2.– Una parametrizzazione (di una porzione) di S2 e una funzione f : U ⊂ E2 → S2.– Una parametrizzazione f : U → S2 si dice regolare in p = (x, y) se i vettori {fx(p), fy(p)}sono linearmente indipendenti.– Una carta di S2 e una parametrizzazione regolare e iniettiva f : U → S2.– Il differenziale di una parametrizzazione f : U → S2 in p = (x, y) e l’applicazione lineare(df)p : E2 → E3 definita da (df)p(x1, x2) := fx(p)x1 + fy(p)x2

Problemino II.1 (Spazio tangente ad S2)Sia f : U → S2 una parametrizzazione regolare con f(p) = s ∈ S2:(i) mostrare che TsS2 = {u | u · s = 0};(ii) mostrare Im(df)p ⊂ TsS2, dunque (df)p : E2 → TsS2;(iii) mostrare che se f e regolare in p allora TsS2 = Span(fx(p), fy(p))(pertanto in tal caso (df)p e un isomorfismo E2 ∼= TsS2).

Osservazioni:– In generale, se S e una superficie differenziabile (come per es. S2), lo spazio tangenteTsS e un piano vettoriale di E3, e si ha sempre TsS = Span(fx(p), fy(p)), per la scelta diuna qualsiasi carta f : U → S di S intorno ad s = f(p).– Quando f : U → S2 e una carta, si considera a volte l’inversa f−1 : f(U) ⊂ S2 → U ,il cui differenziale e (per definizione) l’applicazione inversa (df−1)s := (df)−1

p .

Richiami: area.Se f : U ⊂ E2 → S2 e una carta, l’area di V = f(U) e definita da A(V ) =

∫U‖fx∧fy‖dxdy.

– Perche? (Confrontare con il Problema II.4)– Il valoreA(V ) non dipende dalla particolare carta f scelta per parametrizzare V : perche?

Problemino II.2 (Area di S2 in diverse coordinate)(i) Descrivere almeno 5 carte sostanzialmente differenti per S2.(ii) Utilizzarle per calcolare A(S2) in altrettanti modi differenti.

Problema II.3 (Archimede ci da una pista)(i) Si tagli la sfera con piani paralleli a distanza ∆n = 1

ntra loro, e si inscriva

in ogni calotta sferica di spessore ∆n cosı ottenuta un tronco di cono di ugualbasi. Calcolare la somma An delle aree di questi tronchi di cono, e verificareche Archimede aveva visto giusto: A(S2) = limn→∞An.(ii) Sia C(h,∆) = S2 ∩ {h− ∆

2≤ z ≤ h+ ∆

2} la calotta sferica di spessore ∆

tagliata ad altezza h. Descrivere come varia A(C(h,∆)) in funzione di h.

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Problema II.4 (Lampione di Schwarz)Consideriamo il cilindro circolare retto C, di asse z e raggio unitario, com-preso tra i piani z = 0 e z = 1. Tagliamo C in N fette orizzontali di egualealtezza 1/N , ognuna delle quali avente per base un cerchio Ck. Inscrivi-amo nella base C2k−1 di ogni fetta “dispari” un poligono regolare ad n lati;analogamente inscriviamo nella sua faccia superiore (la base della fetta pariC2k) lo stesso poligono regolare, ma con vertici sfasati di π/n. Infine uniamo,in ogni fetta, ogni vertice del poligono inscritto sulla faccia inferiore con i duevertici piu vicini del poligono inscritto sulla faccia superiore.Si ottiene in tal modo un poliedro Pn,N , unione di 2nN triangoli Ti, inscrittonel cilindro C, detto lampione di Schwarz.(i) Si verifichi che, se n→∞ e N →∞, il diametro di ogni triangolo Ti e ladistanza del poliedro Pn,N dal cilindro tendono entrambi a zero.(ii) Si mostri che, ponendo N = n, si ottiene limn→∞A(Pn,n) = 2π = A(C).(iii) Tuttavia, si mostri che variando la relazione tra n ed N , si puo ottenerelimn,N→∞A(Pn,N) 6= 2π e addirittura limn,N→∞A(Pn,N) = +∞ (!).

Osservazione: cosa non funziona, in (iii), che invece non succede nell’approssimazionedi Archimede?

Problema II.5 (Area di un triangolo sferico)

Un triangolo sferico ÌABC e un sottoinsieme di S2 delimitato da tre segmentigeodetici minimizzanti consecutivi AB, BC, CA (il triangolo si dice degenerese i segmenti giacciono su una stessa geodetica).

Un biangolo sferico ÎAB (o lunula) e un sottoinsieme di S2 delimitato da

due segmenti geodetici consecutivi AB, BA (il biangolo si dice degenere se isegmenti giacciono su una stessa geodetica).Dare un esempio di biangolo sferico non degenere (notare che non esistono“biangoli” non degeneri nel piano euclideo!): quanto valgono gli angoli aivertici A,B?(i) Calcolare l’area dei biangoli sferici.

(ii) Sia assegnato un triangolo sferico ÌABC con angoli ai vertici α, β, γ.Scomporre la sfera in unione (non disgiunta) di biangoli, quindi dedurre che

A(ÌABC) = α + β + γ − π

(iii) Esistono triangoli “simili” (ma non congruenti) in geometria sferica? (cf.Problema V.2)

Osservazioni:– Paragonare con il caso euclideo; qual e la prima differenza qualitativa?– Confrontare questa geometria con i postulati euclidei.– Ritrovare la formula dell’area di un triangolo sferico usando il Teorema di Gauss-Bonnetper una superficie S, con bordo C1 a tratti ∂S, e vertici Vi:∫

S

K +∫∂S

κ+∑Vi

εi = 2πχ(S)

dove K e la curvatura gaussiana della superficie, κ la curvatura geodetica del bordo, ed εigli angoli esterni ai vertici.

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III. Trigonometria Sferica

Problema III.1 (Teorema del Coseno e Teorema di Pitagora sferici)

Consideriamo un triangolo sferico non degenere ÌABC con angoli ai verticiα, β, γ e lati (opposti rispettivamente ai vertici A,B,C) di lunghezza a, b, c.

(i) Siano ~a,~b i vettori unitari tangenti ai lati di ÌABC in C: scomporli nelle

loro componenti rispetto alla base−→OA,−−→OB,

−→OC;

(ii) calcolare cos γ e dedurre il Teorema del Coseno sferico:

cos c = cos a cos b+ sin a sin b cos γ

(iii) Dedurre il Teorema di Pitagora per triangoli rettangoli sferici.

Osservazione: questo e l’analogo del Teorema del Coseno euclideo, che esprime il lato cdi un triangolo in funzione degli altri due a, b e dell’angolo γ tra essi: c2 = a2+b2−2ab cos γ.

Problemino III.2 (Teoremi dei Cateti e Teorema dei Seni)

Consideriamo un triangolo rettangolo sferico ÌABC con angoli ai vertici α, βe γ = π

2, e lati opposti a, b, c. Dimostrare gli analoghi dei Teoremi dei Cateti:

(i) (Teorema del Cateto tramite angolo adiacente) tan a = tan c cos β(ii) (Teorema del Cateto tramite angolo opposto) sin a = sin c sinα

Indicazione: utilizzare i Teoremi del Coseno e di Pitagora appena dimostrati.

Problemino III.3 (Teorema dei Seni)

Consideriamo un triangolo rettangolo non degenere ÌABC con angoli ai verticiα, β e γ e lati opposti a, b, c. Dimostrare l’analogo del Teorema dei Seni:

sin a

sinα=

sin b

sin β=

sin c

sin γ

Problema III.4 (La geometria piana come limite di quella sferica)Considerare dei triangoli sferici con angoli fissati e i cui lati a, b, c → 0.Sviluppare le formule appena trovate al primo ordine siginificativo.Cosa si ottiene? Qual e il significato geometrico di quanto trovato?

Nota: tutti i teoremi appena enunciati su S2 hanno analoghi in H2, che si ottengonosostituendo le funzioni trigonometriche in a, b, c con le corrispettive iperboliche!

Problemino III.5 (What’s good for?)Considerate le coordinate geografiche delle citta sotto riportate, calcolare:(i) la distanza in linea d’aria tra Buenos Aires e Atene;(ii) in che direzione e la Mecca da Jakarta;(iii) la rotta di un areo che parte da Cape Town verso Pechino.

Nota: le direzioni e le rotte geografiche si danno sempre in gradi da Nord, in sensoorario rispetto alla normale uscente dalla sfera terreste

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Coordinate geografiche:ϕ λ

Atene 38◦N 23◦44′ECape Town 33◦56′S 18◦28′E

Buenos Aires 34◦40′S 58◦30′WJakarta 6◦08′S 106◦45′EMecca 21◦26′N 39◦49′E

Pechino 39◦55′S 116◦26′E

Problema III.6 (Dualita polare)Sia a un arco orientato di geodetica di S2; il punto polare di a e il punto

A∗ ∈ S2 tale che il vettore−−→OA∗ e ortogonale al piano su cui giace a, e

rispetto al quale a e percorso in senso antiorario.

Sia ora T = ÌABC un triangolo sferico con angoli ai vertici α, β, γ e latiopposti a, b, c. Si scelga un verso di percorrenza del bordo abc del triangolo.

Il triangolo polare T ∗ = �A∗B∗C∗ e il triangolo che ha per vertici i punti polariA∗, B∗, C∗ di a, b, c, angoli ai vertici α∗, β∗, γ∗ e lati opposti a∗, b∗, c∗.Mostrare che:(i) (T ∗)∗ = T ;(ii) a∗ = π − α, b∗ = π − β, c∗ = π − γ;(iii) α∗ = π − a, β∗ = π − b, γ∗ = π − c.Da cio segue che per ogni formula trigonometrica sferica vale una formuladuale ottenuta scambiando i valori dei lati con i supplementari dei valori degliangoli (e viceversa); per es., la formula duale del teorema del coseno per un

triangolo sferico ÌABC con angoli ai vertici α, β, γ e lati a, b, c e

cos γ = sinα sin β cos c− cosα cos β

Indicazione: verificare che �−−→OA∗,

−−→OB∗ = �a, b.

IV. Carte geografiche e loro proprieta.

Problema IV.1 (Carte globali per S2?)(i) Esiste una parametrizzazione regolare suriettiva f : U → S2 di un apertodel piano in S2?(ii) Esiste una parametrizzazione regolare iniettiva e suriettiva (cioe una carta“globale”) f : U → S2 da un aperto del piano in S2?(In ogni caso, portare un esempio o giustificare la risposta negativa).

Richiami: cosa significa che una trasformazione “conserva le geodetiche”?Una carta di S2 (o un diffeomorfismo tra aperti di En) conserva le geodetiche se l’immaginedi ogni geodetica e una geodetica. Le carte di S2 che conservano le geodetiche sono note,in cartografia, col nome di carte gnomoniche.

Problema IV.2 (Carta gnomonica)Esibire una carta di S2 che conserva le geodetiche.

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Richiami: cosa significa che una trasformazione “conserva le aree”?Una carta f di S2 (o un diffeomorfismo tra aperti di En) conserva le aree se A(f(S)) =A(S) per ogni insieme (misurabile) S. Una carta di S2 che preserva le aree si dice, incartografia, una carta equivalente.

Problemino IV.3 (Jacobiano)Un diffeomorfismo f : U → V tra aperti di En conserva le aree seJacp(f) := |det(df)p| = 1 per ogni p ∈ U , per la nota formula del cambio divariabili ∫

Vg(q)dq =

∫U

Jacp(f)g(f(p))dp

Mostrare che una carta f : U → S2 conserva le aree se il suo Jacobiano

Jacp(f) := |det[(df)p]BB′| = 1 ∀p

dove [(df)p]EB indica la matrice (2 × 2) del differenziale (df)p rispetto a due

qualsiasi basi ortonormali B, B′ rispettivamente di E2 e Tf(p)S2.

Richiami: cosa significa che una trasformazione “conserva gli angoli”?– Se α, β : I → En sono due curve (differenziabili e regolari) con p = α(t) = β(t),l’angolo tra α e β in p (piu precisamente: in t) e l’angolo formato dai loro vettori tangenti�α′(t), β′(t) (denotato �pα, β oppure �tα, β)– Una carta f di S2 (o un diffeomorfismo tra aperti di En) conserva gli angoli in p seconserva gli angoli tra tutte le curve regolari passanti per p, cioe

�f(P )f ◦ α, f ◦ β = �Pα, β

(Per una carta f : U → S2 cio equivale a chiedere che la sua inversa f−1 conserva gli angoliin s = f(p) tra tutte le curve che giacciono su S2, passanti per s).– Per la formula della derivata di una funzione composta, dire che una carta (o un diffeo-morfismo) f conserva gli angoli in p e equivalente a dire che (df)p conserva gli angoli.Un diffeomorfismo o una carta che conserva gli angoli in ogni punto si dice una trasfor-mazione conforme.

Problemino IV.4 (Trasformazioni conformi lineari e affini)Sia f : En → E′n un’applicazione lineare tra spazi euclidei. Mostrare che leseguenti sono condizioni equivalenti:

(a) f conserva gli angoli(b) esiste λ > 0 tale che ‖f(u)‖2 = λ2‖u‖2 per ogni u ∈ En(c) esiste λ > 0 tale che f(u) · f(v) = λu · v per ogni u, v ∈ En

(d) in coordinate cartesiane su En e E′n, si ha f(X) = λAX, con λ 6= 0, A ∈ O(n)

Una tale trasformazione si dice una similitudine lineare.

Osservazioni:– Pertanto, una carta f : U → S2 (o un diffeomorfismo tra aperti di En) conserva gli angoliin p se e solo se il suo differenziale (df)p e una similitudine lineare.– In particolare, una trasformazione affine f : En → En conserva gli angoli se e solo sef(X) = λAX + b, con λ 6= 0, A ∈ O(n), b ∈ En. Una tale trasformazione si dice unasimilitudine.

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Problema IV.5 (Trasformazioni conformi non affini)L’ inversione di centro c e raggio r e l’applicazione ic,r : En \ {c} → En \ {c}che manda un punto p nel punto ic,r(p) che giace sullo stesso raggio uscente

da c e contenente p, e tale che ‖−→cp‖ · ‖−−−−→c ic,r(p)‖ = r2.

(i) Esplicitare ic,r(x1, x2, x3) e mostrare che ic,r e un diffeomorfismo.(ii) Mostrare che ic,r e conforme.(iii) Esibire almeno un altro esempio (sostanzialmente differente) di trasfor-mazione conforme di E2 che non sia ne una similitudine ne un’inversione(ne una loro composizione!)

Osservazioni:– Paragonare con il caso dei diffeomorfismi f : En → En che conservano le distanze: neesistono che non siano affini?– Le inversione hanno la proprieta di conservare la famiglia costituita dalle rette e daicerchi. Sapreste dimostrarlo? Quali sono le rette che vengono trasformati in cerchi?– L’inversione e una trasformazione fondamentale, a causa del Teorema di Liouville:

ogni diffeomorfismo conforme tra aperti di En (per n > 2) e una similitudineoppure e la composizione di un’inversione con una similitudine.

Da cio segue che l’insieme di tutte le trasformazioni conformi di Sn = En ∪ {∞}(per n > 2) e il gruppo:

GM(n) = {f : Sn → Sn | f(X) = λAj(X), λ ∈ R+, A ∈ O(n), j = id oppure j = io,1}

che e detto gruppo di Moebius.

Definizioni: linee standard, linee/insiemi di isometria e di equivalenza di una carta.Sia f : U → S2 una carta:– una curva γ di U si dice una linea standard se le lunghezze misurate lungo f ◦ γ sono lestesse delle lunghezze misurate lungo γ;– l’insieme dei punti p in cui (df)p e un’isometria si dice l’insieme (o le linee) di isometria;– l’insieme dei punti p in cui Jacpf = 1 si dice l’insieme (o le linee) di equivalenza.

Problemino IV.6 (“Carta di Eratostene”)Longitudine e latitudine (λ, ϕ) corrispondono alla carta E : U → S2 detta diEratostene:

(i) La carta E conserva le geodetiche? E equivalente? E conforme?(ii) Trovare le linee standard, di equivalenza e di isometria.

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Problemino IV.7 (Carta di Mercatore)La carta di Mercatore e ottenuta da quella di Eratostene eseguendo unariparametrizzazione (crescente, non lineare) y = y(φ) dell’asse φ, in modoche gli angoli vengano conservati:

(i) Descrivere esplicitamente la carta di Mercatore M : U → S2;(ii) mostrare che M manda lossodromiche in rette;(iii) trovare le linee standard, di equivalenza e di isometria.

Osservazione: le proprieta (ii) e la conformita fanno della carta di Mercatore la cartapiu utile nella navigazione e nel carteggio, in quanto le rotte corrispondono a delle lineerette nella carta, e gli angoli possono essere misurati sulla carta senza errori.

Problemino IV.8 (Carta di Lambert, o di Archimede)La carta di Lambert e ottenuta da quella di Eratostene eseguendo una ri-parametrizzazione (crescente, non lineare) z = z(φ) dell’asse φ, in modo chele aree vengano conservate:

(i) Descrivere esplicitamente la carta di Lambert L : U → S2;(ii) trovare le linee standard e di isometria.

Osservazioni: tale carta e ottenuta proiettando ogni punto p di S2 sul cilindro C alei tangente lungo l’equatore, nella direzione della retta per p ortogonale all’asse NS, equindi, sviluppando il cilindro sul piano: essa corrisponde cioe a prendere su S2 coordinatecilindriche (longitudine e altezza λ, z).– Dare una dimostrazione elementare del fatto che L preserva le aree (senza differenziale).– La proprieta di equivalenza fa della carta di Lambert una carta adatta a studi geografico-statistici. Di seguito le immagini di ulteriori simili proiezioni cilindriche, allo scopo diottenere carte con linee standard/d’isometria che tagliano particolari regioni del globo(i.e. l’Europa):

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Problema IV.9 (Proiezione stereografica)La proiezione stereografica (standard) e la carta πN : E2 → S2 ottenutaproiettando ogni punto p del piano z = 0 sulla sfera, nella direzione dellaretta congiungente p con il polo nord N (variando N e il piano di proiezione,si ottengono tutte le carte geografiche comunemente dette “stereografiche”).

(i) Verificare che πN conserva gli angoli;(ii) verificare che πN trasforma le geodetiche di S2 in segmenti o archi dicerchio del piano;(iii) trovare le linee standard, di equivalenza e di isometria.(iv) C’e’ qualche relazione con l’inversione studiata in III.5?

Problema IV.10 (La ricerca di una carta “perfetta”)(i) E possibile trovare una carta di S2 che conserva geodetiche e angoli?(ii) E possibile trovare una carta di S2 che conserva angoli e aree?(iii) E possibile trovare una carta di S2 che conserva aree e geodetiche?(iv) E possibile trovare una carta di S2 che conserva le distanze?

Osservazione: la curvatura di una superficie S e una funzione K(p) su S che e uninvariante di isometria; cioe, se f : S → S′ e un’applicazione tra superfici che conservale distanze, allora S ed S′ hanno ugual curvatura in punti corrispondenti (i.e. K(f(p) =K(p). Com’e naturale, la curvatura del piano e nulla, mentre e quella di una sfera diraggio r e uguale a 1/r2; da cio segue facilmente che la risposta a (iv) e negativa.(Ciononostante, non e necessario ricorrere alla nozione di curvatura per rispondere a (iv)).

V. Magie del gruppo delle isometrie di S2.

Richiami: cos’e un’isometria.– La sfera e uno spazio metrico: e dotata cioe di una funzione distanza d : S2 × S2 → R

d(A,B) = inf{`(γ) | γ curva da A a B}che soddisfa le proprieta:

d(A,B) ≥ 0 ∀A,B e d(A,B) = 0⇔ A = B

d(A,B) = d(B,A) ∀A,Bd(A,C) ≤ d(A,B) + d(B,C) ∀A,B,C

– Un’isometria di uno spazio metrico (X, d) e un’applicazione f : X → X tale che

d(f(A), f(B)) = d(A,B) ∀A,B ∈ X

– Si noti che un’isometria di uno spazio metrico e sempre iniettiva.– Un’isometria f : X → X di uno spazio metrico puo non essere suriettiva?

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Problema V.1 (Il gruppo delle isometrie di S2)(i) Mostrare che ogni isometria f : E3 → E3 e un’applicazione affinef(X) = AX + b, dove A ∈ O(3).(ii) Mostrare che ogni isometria f : S2 → S2 si estende ad un’ isometriaf : E3 → E3.(iii) Mostrare che il gruppo delle isometrie della sfera e Is(S2) ∼= O(3).

Note:– Le isometrie di En sono dette anche congruenze (o trasformazioni rigide); per(iii), ilgruppo delle isometrie di S2 coincide con il sottogruppo delle congruenze lineari di En.– Due sottoinsiemi S, S′ di En sono detti congruenti se esiste una congruenza f : En → En

tale che f(S) = S′.– Notare che se due sottoinsiemi S, S′ ⊂ S2 sono congruenti, allora esiste una congruenzalineare (cioe che conserva S2) tale che f(S) = S′ (perche?)

Problema V.2 (Tripla omogeneita di S2)(i) Mostrare che triangoli sferici con lati uguali sono congruenti;(ii) Mostrare che triangoli sferici con angoli uguali sono congruenti.La proprieta (i) si enuncia anche dicendo che Is(S2) agisce transitivamentesu terne di punti a ugual distanza.

Problema V.3 (“Regola del parallelogramma” su S2)

Siano R~a,α, R~b,β due rotazioni di assi orientati ~a e ~b ed angoli α, β ∈ (0, π).La composizione R = R~b,β ◦R~a,α e ancora una rotazione: sapreste calcolarnel’asse e l’angolo? Questo esercizio vi insegna come fare, geometricamente.Siano A,B i cerchi massimi orientati lasciati invariati rispettivamente dallerotazioni R~a,α e R~b,β, e sia o ∈ A∩B. Si consideri quindi il triangolo sferico

∆ = { o , A = R−1~a,α

2(o) , B = R~b,β

2(o) }

e chiamiamo C la geodetica su cui giace il lato AB.Siano infine ∆−,∆+ i triangoli sferici simmetrici di ∆ rispetto ai vertici A,B.

(i) Dimostrare che R(∆−) = ∆+;

(ii) dedurre che R e la rotazione di cerchio invariante C ed angolo 2AB.

Provare con questo metodo per esempio a calcolare:• angolo e asse della composizione di due rotazioni di angolo π rispetto

a due assi ortogonali (p.es. ~a = 1√2

(1, 0, 1), ~b = 1√3

(1, 1,−1)).

• angolo e asse della composizione di due rotazioni di angolo π rispettoa due assi ~a,~b che formano tra loro angolo γ (p.es. ~a = 1√

2(1, 0, 1),~b =

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(√

2, 2√

3,√

2)).

• l’angolo di rotazione della composizione di due rotazioni di π4

rispetto

a due assi ~a,~b che formano tra loro angolo γ t.c. cos γ = 1−√

2.

Nota: per apprezzare la semplicita di questa formula, e importante (almeno una voltanella vita) provare a comporre due rotazioni qualsiasi esprimendole come matrici, molti-plicandole tra loro, quindi trovando l’autospazio della matrice risultante e il nuovo angolodi rotazione).

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Problemino V.4 (Quaternioni di Hamilton)Siano i, j, k tre simboli. Lo spazio dei quaternioni e l’insieme

H = {t+ xi + yj + zk | t, x, y, z ∈ R}dove t+ xi + yj + zk e una semplice espressione formale. Su questo spazio sidefiniscono le seguenti operazioni:

Moltiplicazione per un numero reale :

λ(t+ xi + yj + zk) = λt+ λxi + λyj + λzk

Somma + :

(t+xi+yj+zk)+(t′+x′i+y′j+z′k) = (t+ t′)+(x+x′)i+(y+y′)j+(z+z′)k

Prodotto · :– si definiscono prima i prodotti

i2 = i · i = −1 j2 = j · j = −1 k2 = k · k = −1

i · j = k j · k = i k · i = j

– quindi si impone che · sia distributiva rispetto a +, e si riarrangiano itermini nel giusto ordine. Per es.:(2 + 3j− k) · (i + 2k) = 2i + 4k + 3j · i + 6j · k− k · i− 2k2 = 2i + 4k− 3k + 6i− j + 2 = 2 + 8i− j + k

Prodotto scalare ≺ ·, · � :

≺ t+ xi + yj + zk, t+ xi + yj + zk � = tt′ + xx′ + yy′ + zz′

Inoltre, dato q = t+ xi + yj + zk ∈ H si pone:

Re[q] = t (la parte reale di q)V e[q] = xi + yj + zk (la parte vettoriale di q)q = t− xi− yj− zk (il coniugato di q)|q| = √< q, q > (la norma di q)

Mostrare che:(i) (H,+, ·) e un corpo (i.e. un campo non commutativo), che contiene unacopia naturale di R e C come sottocampi; per questo pensiamo a H come adun’ estensione di R e C.

(ii) H ha una struttura naturale di R-spazio vettoriale di dimensione 4 (conbase {1, i, j,k}) e di C-spazio vettoriale di dimensione 2 (con base {1, j}).(iii) (H,≺ ·.· �) e uno spazio euclideo (con base ortonormale {1, i, j,k}), esi identifica in modo naturale con E4; inoltre, c’e un’identificazione naturale,che utilizzeremo sempre nel seguito:

E3 = {xi + yj + zk | x, y, z ∈ R} ⊂ H(che spiega la notazione usuale per i versori degli assi coordinati in E3).

(iv) H contiene due sottogruppi interessanti rispetto al prodotto:

K = {1, i, j,k} (gruppo di Klein)H1 = {q ∈ H | |q| = 1} (gruppo dei quaternioni unitari)

Mostrare quindi che K e isomorfo al gruppo diedrale di ordine 4 (il gruppodelle simmetrie del quadrato).

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Ecco una lista delle proprieta fondamentali di cui godono le operazioni sopradefinite (verificarle tutte). Per ogni q, q′ ∈ H, valgono:

(q) = q q + q′ = q + q′ qq′ = qq′ (1)

q = q ⇔ q ∈ R q = −q ⇔ q ∈ E3 (2)

t ∈ R ⇒ tq = qt e tq = tq = qt (3)

q ∈ R⇔ q2 ∈ R+ q ∈ E3 ⇔ q2 ∈ R− (4)

|q|2 =≺ q, q �= qq ≥ 0 1 e |q|2 =≺ q, q �= 0⇔ q = 0 (5)

q 6= 0 ⇒ q−1 = q/|q|2 e |q−1| = |q|−1 (6)

|qq′| = |q||q′| (7)

Re[qq′] = Re[q]Re[q′] − ≺V e[q], V e[q′]� (8)

V e[qq′] = Re[q]V e[q′] + V e[q]Re[q′] + V e[q] ∧ V e[q′] (9)

Nota: Una realizzazione matriciale dei quaternioni si ottiene prendendo

H′ =ßÅ

a b−b a

ã| a, b ∈ C

™con le usuali operazioni di somma e prodotto righe per colonne. Definendo l’applicazioneR-lineare f : H→ H′ sulla base {1, i, j, k} come

f(1) =Å

1 00 1

ãf(i) =

Åi 0o −i

ãf(j) =

Å0 1−1 0

ãf(k) =

Å0 ii 0

ãsi ottiene allora un isomorfismo di corpi.

Problema V.5 (Rotazioni e quaternioni)Per ogni u ∈ H1 definiamo ρu : H→ H come ρu(q) = uqu−1.Mostrare che:

(i) l’applicazione ρu e un automorfismo di H;(cioe un omomorfismo biettivo del corpo H in se)

(ii) la restrizione ρu|R e l’identita;

(iii) la restrizione ρu(E3) ⊂ E3, e che ρu|E3 e una rotazione.

Scrivere ora u nella forma u = cosϑ+ sinϑ v, con v vettore unitario di E3

(e possibile?), e scegliere una base ortonormale v1, v2 del piano z⊥ ⊂ E3.Mostrare quindi che:

(v) la rotazione ρu|E3 ha asse z;

(vi) l’angolo di rotazione di ρu|E3 rispetto all’asse orientato z e 2ϑ.

(vii) Infine, dedurre che si puo definire un’applicazione ρ : H1 → SO(3), eche questa applicazione e un omorfismo di gruppi, e suriettiva e ha kerneluguale a ±1.Come si possono comporre allora due rotazioni con l’uso di quaternioni?A quali quaternioni corrispondono le rotazioni di π

2?

Ricalcolare con questo metodo asse e angolo delle rotazioni del ProblemaV.3, ottenute per composizione.

1ma ≺ q, q′ �6= qq′ in generale.

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Problema V.6 (Sfera tridimensionale S3)La sfera (unitaria) tridimensionale S3 e l’insieme dei punti di R4 a distanzaunitaria dall’origine.

(i) (Per chi ha fatto un po’ di topologia) Mostrare che S3 si ottiene topo-logicamente dalla palla chiusa unitaria B(o, 1) = {P ∈ R3 | d(o, p) ≤ 1}identificando tutti i punti del suo bordo S2 ad un unico punto: esiste cioe unomeomorfismo B(o, 1)/∼S2

∼= S3.

(ii) Verificare che S3 si identifica in modo naturale con H1.Questa interpretazione rispetto ad (i) ha il vantaggio di mostrare che S3 hauna struttura naturale di gruppo, oltre che di spazio topologico.E la sfera S1 di dimensione 1? E la sfera S2?

(iii) Sia SU(2) = {A∈GL(2,C) | A−1 = At} il gruppo delle matrici unitarie 2.Usare la descrizione matriciale dei quaternioni (cf. Nota al Problemino V.4)per mostrare che H1 si identifica precisamente a SU(2).

(iv) L’ultimo punto del Problema V.5 ci dice inoltre che H1/{±1} ∼= SO(3)(come gruppi): per questo, H1 e detto anche il gruppo Spin di SO(3). Questarelazione si esprime anche dicendo che H1 (ovvero la sfera S3) e il rivestimentouniversale a due fogli del gruppo delle rotazioni SO(3).

Il gruppo dei quaternioni unitari e denotato per questi motivi con vari nomi,a seconda della struttura che si vuole sottolineare: S3, H1, SU(2), Spin(3).

2queste sono precisamente le matrici che preservano la forma hermitiana standard≺ Z,W �= z1w1 + z2w2 di C2 (verificarlo).

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