DIPARTIMENTO DI INGEGNERIA MECCANICA E STRUTTURALE

FACOLTA’ DI INGEGNERIA, UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI TRENTO

Corso di Aggiornamento su Problematiche Strutturali Verona, Novembre-Dicembre 2005

COMPORTAMENTO ELASTO-PLASTICO DELLE STRUTTURE E

INSTABILITÀ DELL’EQUILIBRIO ELASTICO

Antonio Cazzani

Sommario

1. Comportamento a livello sezionale

2. Il concetto di cerniera plastica

3. Analisi evolutiva

4. Instabilita dell’equilibrio

1

Flessione elasto-plastica

Si considera una trave snella.

Sperimentalmente;

• aumentando il carico fino a collasso le sezioni ruotano ma si manten-gono piane fino a collasso (Bernoulli-Eulero)

• nella parte centrale (M = cost.) il legame momento-rotazione (relativatra due sezioni a a distanza unitaria) qualitativamente simile a quellosforzi-deformazioni.

• nel seguito si considera (per semplicita) una trave a sezione doppia-mente simmetrica

• il materiale sia elastico perfettamente plastico

• Deformazione assiale (Eulero Bernoulli)

ε = yχ,

• se tutte le fibre della sezione sono in campo elastico, gli sforzi assiali

sono dati da:

σ = Eε

• e sono legati al momento flettente dalla relazione:

σ =My

J,

• J = momento d’inerzia della sezione rispetto all’asse neutro

2

• Legame momento curvatura (linea elastica):

χ =ε

y=

σ

Ey=

M

EJ.

• Lo sforzo nelle fibre piu sollecitate (±h/2) raggiunge il limite elastico(σ0) in corrispondenza di un momento flettente pari a:

Me =2σ0J

h≡ Wσ0

3

• W = 2J/h e il modulo di resistenza elastico: e una caratteristicageometrica della sezione.

• Curvatura in corrispondenza del limite elastico (ε0 e la deformazionein corrispondenza dello snervamento).

χe =Me

EJ=

2ε0

h,

• quando il momento supera Me le fibre piu esterne (per y ≥ ye) risultanoplasticizzate e soggette a sforzo costante σ0. Si ha ovunque ε = yχ ein particolare ε0 = yeχ, da cui:

2ye

h=

χe

χ,

• quando tutta la sezione risulta plasticizzata si raggiunge il momentolimite (nella normativa indicato con MRd):

ML = Zσ0,

• dove Z e il modulo di resistenza plastico (nella normativa indicato conWpl), ed e una caratteristica geometrica della sezione al pari di W .

• essendo in generale M =∫

A σydA, nella condizione limite si ha:

ML = σ0

∫

A

|y| dA

e quindi:

Z =

∫

A

|y| dA = 2S,

4

• stati di coazione

M = Zσ0 − Zeσ0 + Weσ0,

5

• rapportando il momento corrente in fase elasto-plastica al momentolimite elastico:

M

Me=

ML

Me

(Z − Ze + We)σ0

ML=

ML

Me

(1− Ze −We

Z

)

• in questa espressione compare il rapporto ML/Me che commisura lerisorse della sezione oltre il limite elastico

• fattore di forma:

α =ML

Me≡ Z

W

6

• il termine (Ze − We)/Z dipende dall’altezza della zona elastica dellasezione; essendo 2ye/h = χe/χ si ha anche:

M

Me=

ML

Me

[1− φ

(χe

χ

)].

• si e cosı ottenuto formalmente il legame momento-curvatura, che infase elasto-plastica sostituisce la legge elastica M = EJχ.

• un calcolo strutturale basato su di un legame M−χ non lineare del tiposopra illustrato e definito dall’EC3 (punto 5.2.1.4) ‘metodo di analisielasto-plastica’

7

Esempio

W =J

(h/2)=

bh2

6,

We =b(2ye)

2

6=

2

3× (by2

e),

Z = 2S = 2× bh

2× h

4=

bh2

4,

Ze =b(2ye)

2

4= by2

e .

Ze −We

Z=

by2e − 2

3by2e

bh2

4

=1

3

(2ye

h

)2

≡ 1

3

(χe

χ

),

M

Me=

3

2

[1− 1

3

(χe

χ

)2]

.

8

9

Il concetto di cerniera plastica

• carico in mezzeria monotonicamente crescente P (t) = λ(t)P0.

• sezione a doppio T (con α = 1.14)

• momento in mezzeria M(L/2) = PL/4

• quando il moltiplicatore raggiunge il valore:

λL =4ML

P0L

• la sezione di mezzeria raggiunge le sue risorse ultime

10

• λL rappresenta quindi il moltiplicatore di collasso della trave

• la zona a cavallo del carico concentrato in cui il momento flettenteha superato il limite elastico Me = ML/α e sede di deformazioni siaelastiche che plastiche. L’estensione di tale zona vale:

∆L

L=

ML −Me

ML= 1− 1

α≡ 0.123

• cerniera plastica

• adottare il modello di cerniera plastica equivale a sostituire il legamemomento curvatura della generica sezione con un legame semplificato,formalmente analogo al legame σ − ε del materiale

• il calcolo strutturale semplificato in questo modo e definito dall’EC3(punto 5.2.1.4) ‘metodo di analisi elastica perfettamente plastica’

11

• se la trave e soggetta a un carico uniformemente distribuito p(t) =λ(t)p0, il moltiplicatore di collasso vale:

λL =8ML

p0L2.

• l’ampiezza della zona in cui il momento supera il limite elastico e paria:

∆L

L=

√(1− 1

α

)≡ 0.35

Si osserva che:

• l’ipotesi di formazione di cerniera plastica e piu drastica che nel casoprecedente

• quanto maggiore e il fattore di forma tanto piu semplicistico e loschema di cerniera plastica

12

l’EC3 (punto 5.3.2) suddivide le sezioni trasversali in 4 classi, sulla basedelle loro capacita rotazionali e resistenti:

• la classe 1 comprende sezioni in grado di sviluppare una cerniera pla-stica, con la capacita rotazionale richiesta dall’analisi plastica

• la classe 2 comprende le sezioni in grado di sviluppare il proprio mo-mento resistente plastico (e quindi di raggiungere ML) ma che hannouna capacita rotazionale limitata

• la classe 3 comprende sezioni in cui si puo raggiungere la resistenzaallo snervamento nelle fibre maggiormente compresse ma l’instabilitalocale puo impedire il raggiungimento di ML

• la classe 4 comprende quelle sezioni in cui e necessario mettere inconto gli effetti dell’instabilita locale

Mentre il momento resistente di progetto per una sezione di classe 1 o 2 eML, per le sezioni di classe 3 e Me (ed e ancora minore per quelle di classe4)

L’analisi strutturale basata sullo schema di cerniera plastica e lecita per lesezioni di classe 1, nonche per le sezioni di classe 2, a patto di accertarnel’effettiva capacita rotazionale.

13

Analisi evolutiva

Si suppone che:

• le travi abbiano sezione simmetrica (y = asse di simmetria) e sianosimmetricamente caricate ( xy = piano di flessione);

• le altre azioni interne (N e T ) non abbiano influenza sulla capacitadella sezione di trasmettere momento;

• i cambiamenti di configurazione fino a collasso siano piccoli, ovveroininfluenti sull’equilibrio;

• il diagramma momenti-curvature delle sezioni sia del tipo illustrato inFig. 21(c), ovvero elastico lineare fino a quando il momento raggiungeil valore limite ML (analisi elastica perfettamente plastica); dopodichenella sezione in cui si forma la cerniera plastica possono svilupparsirotazioni teoricamente infinite.

1. Trave semplicemente appoggiata con carico distribuito

• il moltiplicatore di collasso vale:

λe =8ML

p0L2

• in questo esempio il carico limite ultimo della trave coincide con quelloche ne provoca la fuoriuscita dal campo elastico lineare

14

2. Trave doppiamente incastrata con carico distribuito

• al crescere del carico si raggiunge il momento limite nelle sezioni diincastro, e il moltiplicatore vale:

λL =12ML

p0L2

• quando anche nella sezione di mezzeria si raggiunge il momento limite,si forma una terza cerniera plastica e nasce quindi un cinematismo; ilmoltiplicatore vale:

λL =16ML

p0L2

15

• la risorsa plastica della trave e data dal rapporto:

λL

λe=

16

12≡ 1.33.

• se la trave fosse stata dimensionata in base al metodo delle tensioniammissibili si sarebbe ottenuto un valore del carico ammissibile paria λep0 = 12ML/L2. Con un dimensionamento allo stato limite ulti-mo di collasso plastico, si ottiene invece un valore del carico pari aλLp0 = 16ML/L2, maggiore del 33% rispetto al precedente a parita digeometria e materiale.

Dall’esempio appena visto si possono trarre le seguenti osservazioni:

• in campo elasto-plastico non vale il principio di sovrapposizione deglieffetti;

• e possibile una ridistribuzione degli sforzi oltre il limite elastico se lastruttura e iperstatica;

• una struttura iperstatica puo possedere risorse plastiche ben oltre illimite elastico.

16

L’iperstaticita e condizione necessaria, ma non sufficiente, per garantireche un sistema di travi possieda risorse di resistenza oltre il limite elastico.

λe = λL =8ML

P0L.

17

Sollecitazioni composte

(Diagrammi di interazione)

• si indagano gli effetti dell’interazione tra azione assiale e momentoflettente, al fine di determinare la capacita portante ultima di travitenso o presso-inflesse

• in assenza di momento l’azione assiale (ultima) varrebbe NL = Aσ0

(nella normativa indicata con NRd).

• in presenza del momento M il valore sopportabile e N = Adσ0

• il rapporto tra i due valori e:

N

NL=

Ad

A

• in assenza di azione assiale il valore del momento limite e ML = Zσ0

18

• in presenza di azione assiale, da tale valore va detratta la quantitaMd = Zdσ0. Si ha quindi M = (Z − Zd)σ0, ovvero

M

ML= 1− Zd

Z.

nel caso di una sezione rettangolare:

Z =bh2

4, Zd = bd2

N

NL=

2d

h,

M

ML= 1− 4d2

h2

per cui la relazione tra momento ed azione assiale allo stato limite vale:

M

ML+

(N

NL

)2

= 1.

19

20

σ0 =N

A+

M

2× A2

(h2

)2 1h/2

=N

A+

M

Ah/2

(N

Aσ0+

M

(Ah/2)σ0=

)N

NL+

M

ML≤ 1.

N

NL+

Mx

MLx+

My

MLy≤ 1

21

22

.

dN = −σ+0 b(yn)dyn + σ−0 b(yn)dyn

dM = [−σ+0 b(yn)dyn] yn +

[σ−0 b(yn)dyn

]yn

dM

dN= yn

23

Corso di Aggiornamento per Geometrisu Problematiche Strutturali

aprile 2005

Telai elastoplastici 1

Telai elastoplastici

Antonio Cazzani e Giorgio NovatiDip. di Ingegneria Meccanica e Strutturale

Università di Trento

Telai elastoplastici 2

Il calcolo plastico di travi inflesse

Si basa sull’ipotesi che in regime elastoplastico la struttura possa essere interpretata come formata da tronchi perfettamente elastici connessi da cerniere plastiche localizzate in alcune sezioni.

In ogni sezione lungo la trave è potenzialmente presente una cerniera plastica interpretabile come uno snodo ad attrito (cerniera “arrugginita”) che non ruota finché .

M

φ

0M+0M+

χ

M

1tan EI−

0M−0M−

0 0M M M− +< <posizione limite dell’asse neutro

0M

0M 0M

ϕ

assegeometrico

0MAltre ipotesi (ragionevoli per travi e telai):

- il centro di rotazione relativa di due sezioni adiacenti è sull’asse geometrico della trave (non si ha quindi alcuna elongazione dell’asse geometrico quando si manifesta una rotaz. plast.);- taglio e azione assiale non influenzano il comportamento flessionale.

Analisi evolutiva elasto-plastica di trave doppiamente incastrata con carico uniform. distribuito

bp :

2bp 24λ

2bp 12−λ

Fase elastica: Eλ < λ

carico base

Telai elastoplastici 3

+E b( )pλ − λE bpλ

0M−

0M+

0 = +

EM( ,x)∆ λ − λ

0M 2

EM ( ,x)λ

2E b( ) p 8λ − λ

bpλ

=

cerniera plastica

E E 0: M( ,A e B) Mλ λ = −

0E 2

b

12Mp

λ =

Fase elasto-plastica: E Lλ < λ < λ L E L E 0: M( , K) M( , K) Mλ λ + ∆ λ − λ =

:λ moltiplicatore dei carichi

EI cost.= 0 0 0M M cost. M+ −= − = =

p = λ pbA

K

B

0L 2

b

16Mp

λ =

E Emom. flett. (x) M( ,x) M( ,x)= λ + ∆ λ − λ

p = λL pbA

K

B

situazione di collasso:

0M−

E Espost. trasv. v( ,x) v( ,x)= λ + ∆ λ − λ

p = λ pbA

K

BAnalisi evolutiva elasto-plastica di trave doppiamente incastrata con

carico uniform. distribuito (continuaz.)EI cost.= 0 0 0M M cost. M+ −= − = =

deform.plasticacontenuta

deform.plasticalibera

fEf Lf

deform.elastica

20

E1 Mf32 EI

=

20

L E1 M 8f f

12 EI 3= =

Eλ

Lλ

λdiagramma carico-freccia (in mezzeria)

0L 2

b

16Mp

λ =

0E 2

b

12Mp

λ =

E

L

D

Rf

Scarico elastico lungo LDla freccia residua (in D):

4 2L b 0

R Lp 1 Mf f

384 EI 24 EIλ

= − =

momento residuo (in D):

+

=

0M− 0M−

04 M3

0M

02 M3

−

momento a collasso incipiente

momento elastico per carico λLpb dal basso 01 M3

risorsaplastica:

L

E

4 1.333

λ= =

λ

Telai elastoplastici 4momento residuo (risulta costante)

Trave incastrata alle estremita con carico conc. in mezzeria

EI cos t.=0 0M M cost.+ −= − =

PA

BCL’iperstaticita’ e’ condizione necessaria ma

non sufficiente affinche’ possa attuarsi una ridistribuzione dei momenti.

In questo caso non avviene alcuna ridistribuzione.

All’aumentare del carico si formano contemporaneamente 3 cerniere plastiche.

2 2

Telai elastoplastici 5

0E L

8MP P= =

2 2

LP

CM

BM

AM

A B CPM M M8

= = =

+−−

P

f

f

Telai elastoplastici 6

Struttura isostatica: comportamento elasto-plastico •Non presenta alcuna risorsa plastica (le uniche risorse

plastiche sono quelle che si manifestano a livello sezionale).

•Il collasso avviene al raggiungimento del momento limite in una sezione (nodo D): la cerniera plastica che si forma (in D) trasforma la struttura in un meccanismo.

•Questo comportamento e’ tipico di tutti i sistemi isostatici.

b3 P4

− λb

1 P4

− λ

M( , x)λ

E E 0: M( , D) Mλ λ = −

0E L

b

4 M3 P

λ = λ =

+0 0EI cost. ; M M cost. −= = − =

λ bP / 2 λ bP

A

B C D

G+

in D

Meccanismo di collasso:

λL bPλL bP /2

A G

DB C

La situazione di collasso plastico

La situazione limite, per λ=λL, detta anche di collasso plastico, è così caratterizzata:bpλ

la struttura è sede di un meccanismo di collasso plastico; “meccanismo”: spostam. rigido infinitesimo delle aste, compatibile con i vincoli int. ed esterni;“plastico”: nel meccanismo la rotazione di ciascuna cerniera deve essere concorde con il verso del momento limite ivi presente.

EI cost.=

0 0 0M M cost. M+ −= = =

momento flettentea collasso (per λ=λL):

per λ = λL i momenti sono “conformi” cioè in equilibrio con i carichi (amplificati da λL) e compatibili con la resistenza locale:

0 L 0M (x) M( ,x) M (x)− +≤ λ ≤

0M−

0M+

0

un fattore di carico λL + δλ di poco superiore al valore limite non è tollerabile dalla struttura: i carichi in eccesso non possono essere equilibrati da incrementi di momento compatibili con i limiti di resistenza; se imposti, compiono lavoro positivo che si traduce in energia cinetica.

meccanismo di collasso:L bpλ

Telai elastoplastici 7

Telai elastoplastici 8

Analisi evolutiva elasto-plastica di trave con incastro e due appoggi, con carico concentrato

Efase elastica: λ < λ

1 1 E 1 1 EM ( ,x) M( ,x) M ( ,x)λ = λ + ∆ λ − λ

b3 P

56−λ

bPλ

b9 P56

−λb

1 P7

λ M( ,x)λ

1 EM ( ,x)∆ λ − λ

E b3( ) P

32− λ − λ

E b13( ) P64

λ − λ

E 11^ fase el-plast. : λ < λ < λ

1 E 1 1 E 0: M( ,B)+ M ( , B) Mλ λ ∆ λ − λ =

1 2 L2^ fase el-plast. : λ < λ < λ = λ

2 1 2 2 1 0: M( ,C)+ M ( ,C) Mλ λ ∆ λ − λ = −

1 b( )Pλ − λ

2/ 2/

A

2 1M ( ,x)∆ λ − λ

E E 0: M( ,A) Mλ λ = − in A

in B

in C

2/ 2/

A B C D

1 b1( ) P2

− λ − λ

risorsaplast.: L

E

8 1.2866.22

λ= =

λ

L bPλA B C D

Meccanismo di collasso:

+

+0 0EI cost. ; M M cost. −= = − =

b 0P = M

E =6.22 λ

1=6.769 λ

2 L 8 λ = λ =

carico base

CB D

2/ 2/

E b( )Pλ − λA B C D

= cerniera plastica

2 2 1 1 2 2 1M ( ,x) M ( ,x) M ( ,x)λ = λ + ∆ λ − λ

momentia collasso

Telai elastoplastici 9

Analisi evolutiva di travature elastoplastiche sotto carichi crescenti proporz. (calcolo passo-passo)

• E’ una successione di analisi elastiche ognuna riguardante una nuova struttura meno iperstatica di quella del passo precedente*, fino alla formazione di un meccanismo.

• Se il sistema e’ caricato da forze concentrate, il momento flettente ha dei massimi in corrispondenza dei punti di applicazione dei carichi e delle sezioni di estremita’ delle travi; sono queste le “sezioni critiche” dove potranno attivarsi le cerniere plastiche.

• Oltre a fornire il carico di collasso, l’analisi passo-passo fornisce informazioni sulle azioni interne e sul regime deformativo (spostamenti e rotaz. plastiche) lungo tutto il processo di carico [azioni interne e deformazioni sono influenzate da eventuali “distorsioni” (cedim. vincolari, difetti di assemblaggio, variazioni di temperatura) ]

• Alternativa al calcolo passo-passo: e’ possibile determinare il carico di collasso e il meccanismo di collasso con metodi diretti (“analisi limite”) che non richiedono alcuna informazione sull’evoluzione della riposta strutturale.

* a meno di scarichi locali

Meccanismi di collasso plastico completi ( o “totali”)e incompleti (o “parziali”)

A G

DB C

meccanismo incompleto(3 cerniere plastiche)

A G

DB

C

struttura 3 volte iperst.

A G

DB C

meccanismo completo(4 cerniere plastiche)

A G

DB C

meccanismo completo(4 cerniere plastiche)

Telai elastoplastici 10

Le azioni interne presenti a collasso in una struttura che sviluppi un meccanismo “completo” sono staticamente determinate (cioe’ possono essere calcolate con consideraz. di equilibrio in base ai momenti plastici e al moltiplicatore di collasso.Cosi’ non e’ per i meccanismi “incompleti” (iperstatiche residue).

Requisiti:

1. adeguata resistenza;2. adeguata capacita’ di rotazione

plastica (ad M ≅ M0);3. adeguata rigidezza in campo

elastico

1. in modo da poter trasmettere il mom. plastico M0 (il più piccolo dei due relativi ai due elementi da connettere);

2. così da permettere che avvenga una redistribuzione dei momenti con successiva formazione di cerniere plastiche in altre posizioni;

3. in modo da non indurre (in campo elastico) un allontanamento progressivo della configurazione deformata rispetto all’indeformata.

Requisiti a cui devono soddisfare le connessioni in una strutt. in acciaio per l’analisi in campo elasto-plastico

Motivazioni:

capacita’ di rotazionerichiesta

θ

0M

M

A

C

B

= rotaz. relativa

= momento trasmesso

comport. idealedi riferimento

con incrudimento

D

Solo la connessione Aè adeguata.

Telai elastoplastici 11

Esperienze comparativesu nodi saldatiin acciaio Fe360 e Fe510

tratto da libro Massonet, Save (1980)

Per il nodo tipo 2 il momento plasticoteorico non viene raggiunto (l’anima del nodoentra prematuramente in regime plastico).

Telai elastoplastici 12

Telai elastoplastici 13

h

L / 2 L / 2

m Problema di impatto su trave elasto-plastica

t1 = istante in cui la massa m viene lasciata cadere daaltezza h [ v(t1) = 0 , con v = velocita’ della massa]

L / 2 L / 2

θ θ

maxw

maxwL / 2

θ =

hmax(h w )+

m t2 = istante del contatto con la trave

t3 = istante in cui si realizza lo spostamento massimo wmax secondo il meccanismo di travedi figura con cerniera plastica in mezzeria[ v(t3) = 0 , con v = velocita’ della massa]

Forme di energia predominanti nel fenomeno: energia potenziale (EP), energia cinetica (EC),energia dissipata nella cerniera plastica (ED).

Bilancio energetico tra istanti t1 e t3 : (trascurando energia elastica)1 3EP(t ) EP(t ) ED− =

max4wcon 2L

ϕ = θ =

φ (rotaz. plast.)

pM

M

energia dissipata

max pmg(h w ) M+ = ϕ

Progetto trave: dati m, h, L, wmax , si determina M p richiesto.

maxp

max

mg L(h w )M4 w

+=