Corrigé DS 1

S2I - Sciences Industrielles pour l’Ingénieur(e) DS1 2020-2021

MP - MP* 1 / 9 Lycée Thiers - Marseille

Corrigé DS1

Problème 1 : Etude d’un robot de consolidation de parois rocheuses : Le

"ROBOCLIMBER" (Mines-Ponts PSI 2011)

Question 1. Equilibre statique de l’ensemble {plateforme + train de tubes}

On isole l'ensemble � = �plateforme + train de tubes�, Bilan des Actions Mécaniques Extérieures :

• Gravité : ��→�� = �−!. #$%%%⃗0%⃗ () (connu)

• Paroi sur Σ en A = Liaison sphère/plan en A : ��*+,- .→�� = �/. . #⃗0%⃗ (. ,0 1(inconnu)

• Paroi sur Σ en B = Liaison sphère/plan en B : ��*+,- 2→�� = �/2. #⃗0%⃗ (2(condition de décollement)

• Câble sur Σ: ��3â56�→�� = � 7%⃗0%⃗ (1 ,0 8(inconnu)

• Réaction due à l’effort de la foreuse sur Σ: ��9,+�0��→�� = � :. #⃗0%⃗ (;(recherché)

Σ étant supposé en équilibre dans le référentiel terrestre galiléen, on applique le théorème du moment

statique au point H projeté sur la direction <⃗$ :

=>?%%%%%%⃗@AB.C⃗ ∧ −! ⋅ #⃗$ + >F%%%%%%⃗@A.C⃗GH.I⃗ ∧ /2 ⋅ #⃗ + >J%%%%%%⃗@B.AK .C⃗G(�MH).I⃗ ∧ : ⋅ #⃗O . <⃗$ = 0

PQ R STU V − PWX − QPY Z = [

Condition de non basculement au point B : maintien du contact en B l'effort normal en B positif ou nul.

WX ≥ [ ⇒ Z ≤ Y_ R STU V

pente Fmax non- basculement : K̀ ! abc d Force de poussée admise

par le CdC

Conclusion

45 degrés 14850 N 10000 N Il n’y aura pas

basculement

80 degrés 3650 N 3000 N Il n’y aura pas

basculement

Dans le cas d’une paroi verticale: α = �B Fnop = 0 N. Le basculement sera immédiat : le forage est alors

impossible.



Question 21. Schéma-blocs traduisant le comportement du vérin

Les équations de comportement du vérin sont établies pour des petites variations de positions autour de la

position centrale (qr = qB). De ce fait (conditions initiales nulles sur les fonctions), on peut appliquer la

Transformée de Laplace aux termes de ces équations :

st(u) = v. u. w(u) + xB2 . u. !(u)(y. uB + z. u + {)w(u) = v. !(u) + :9,+*|�(u) }!(u) = B2x.� ~t(u) − v. u. w(u)�w(u) = r�.��M�.�M� �v. !(u) + :9,+*|�(u)�

Les équations de comportement du vérin se schématisent comme ci-dessous :

On modifie ce schéma pour rendre le retour unitaire :

Ou directement à partir des équations : w(u) = r�.��M�.�M� �B2��x � r�.� t(u) − w(u)� + :9,+*|�(u)�

Question 22. Schéma-blocs de l'asservissement

Lorsque la réponse #(�) est égale à la consigne #�(�), le bon fonctionnement du comparateur impose un

écart �(u) nul si l'adaptateur présente la même transmittance que le capteur de position : �(�) = ��

Remarque : Le gain {�� de la servovalve était donné dans l’annexe 4.

1yuB + zu + { +

+

v. u

+ -

1 2Fq. u v

P(p)

1y. uB + z. u + { +

+ 2FvBq +

-

1v. u

S.P(p)

{�x VERIN + -

Fforage(p)

ImZ(p)

ImZc(p)

Servovalve Correcteur

Capteur de position

Adaptateur



Question 23. Schéma-blocs à retour unitaire

Question 24. Précision statique

La réponse du système à une entrée en échelon de 0,1 m, donnée en annexe 5 , est oscillante amortie vers

une position finale de 0,1 m ; égale à la consigne.

L'erreur en régime établi est donc nulle : le système est précis.

Question 25. Respect du critère de rapidité du cahier des charges

A partir de la réponse donnée en annexe 5, on lit le temps de réponse à 5, instant où la réponse du système

entre et reste dans la zone �5%de 0,1 m, soit l'intervalle ~0,095 ; 0,105� en m : T5% = 0,35 s.

Le critère rapidité n'est pas vérifié

VERIN �(u):�x(u){� + -

Fforage(p)

± 5% de 0,1 m

T5% ≈ 0,35 s



Question 29. Critique du système corrigé

Critère Réponse système corrigé annexe 6 Cahier des charges Conclusion

Précision Réponse en régime établi de 0,1 m à un

échelon de 0,1 m: Erreur statique nulle.

Ecart statique nul vérifié

Rapidité ��% = [, [�Y U ��% = [, �� U vérifié

Question 30. Comportement du système en régulation

Le cahier des charges en régulation ne fait intervenir qu'une précision dynamique (dépassement) qui doit

être inférieur à 20 mm ; l'écart maximal observé sur la courbe en annexe 7 est inférieur à 0,06 mm :

le cahier des charges est vérifié

Remarque : la fréquence des percussions n’est pas la fréquence propre de la plateforme.

± 5% de 0,1 m

T5% ≈ 0,073 s

Dépassement max

Ers=0

Effort de poussée seul

Percussion



�� ¡¢*C

Problème 2 : Ourdissoir sectionnel (Centrale MP 2007)

1) Fermeture géométrique

La fermeture angulaire donne :

(£⃗r, £⃗K) + (£⃗K, £⃗`) + (£⃗`, £⃗r) = 0%⃗ ; soit ¤(¥) + ¦(¥) − §(¥) = [ .

La fermeture vectorielle donne :

¨J%%%%%⃗ + J©%%%%%⃗ + ©�%%%%%⃗ + �¨%%%%%⃗ = 0%⃗ soit ª«B . ¬⃗r + . £⃗` − c. ¬⃗K − ~®$ − (�)�. £⃗r − ¯. ¬⃗r = 0%⃗ .

En projection dans la base B1:

Sur £⃗r : °. STU § (¥) + U. U±² ¤ (¥) − ³[ + ´(¥) = [

Sur ¬⃗r : µSQ + ° U±² § (¥) − U STU ¤ (¥) − ¶ = [

2) Diamètre maximal d’enroulement du fil

Le diamètre maximal d’enroulement sera obtenu lorsque le fil

atteindra le point F et que l’angle β sera maximal.

La courbe de la figure 6 montre que βmaxi =10,5°.

Le diamètre s’exprime par la relation

∅¸¹º = µS + Q» U±² §¸¹º = �Q¼_, �½½

3) Valeur de u pour laquelle une variation ¾´ entraine la plus grande variation (¾¿)¸¹ºÀ. Relation autour

du point de fonctionnement.

On lit sur les figure 6 et 7, �Á�ÁÂ�¢*C = 0,05 deg/mm

obtenu pour � = 6 deg et u = 87,5mm.

La valeur de u pour laquelle une variation Δu entraine la

plus grande variation Δ� est Ç = ¼�, �¸¸

En première approximation on peut écrire : ��Ç È É�ÉÇ ;

soit autour de ce point de fonctionnement : (¾¿)¸¹ºÀ = [, [� �Ç



4) Expression littérale de ¾´¾�½

La chaine de transmission donnée dans l’énoncé se traduit autour du point de fonctionnement par :

¾´¾�½ = �°. µ½T¥µ°ÊSÊ . �½. RË±UYÌ[

5) Expression littérale du rapport de réduction kr

L’angle d’arrêt est donné ¾�½ = YÌ[ PÊÍ, le CdC impose (¾¿)¸¹ºÀ = �[, [Q� PÊÍ = [, [� PÊÍ, or

d’après les questions 3) et 4) : ¾�¾�½ = [, [�YÌ[ = �°. µ½T¥µ°ÊSÊ . �½. RË±UYÌ[ × [, [�

�° = µ°ÊSÊµ½T¥. �½. RË±U �W: �° = Q_[��[ × (�[/_Ì) × Y �°� [, Ì�

10) Expression littérale de l’angle maximal de rotation effectué par le tambour en un temps ¾� et angle

de freinage �Ï.

Hypothèse roulement sans glissement entre le fil et le tambour, et vitesse de défilement V constante :

Ð = µQ . �Ñ Sur l’intervalle de temps ¾�, l’angle de rotation est donc ¾� = Q.Ðµ . ¾� , la valeur maximale étant obtenue

pour le diamètre d’enroulement D minimal soit µS = ÒQ[½½.

L’arrêt devant se faire en 1 tour maximum : �Ó = Q. � − ¾�

ÔÕ: (¾�)¸¹º = Q × Ì[[/Ì[ÒQ[. �[GY × Q�. �[GY = [, �Ò °ÖP UT±¥ YY, Ì PÊÍ

�Ó = Q. � − [, �Ò = �, � ×¹É ØÙÀÚ YQÌ, _ ÉÛÜ



12) Expressions littérales des actions des pistons 1 et 2 sur le disque, sous forme de torseur en O, en

fonction de RÝ�, P� et Ï.

Localement au point M:

�P�Þ(��→P)� = ßPW%%%%%%⃗ Þ(��→P) + P�%%%%%⃗ Þ(��→P)[%%⃗ àÞavec :

• PW%%%%%%⃗ Þ(��→P) = !H�. �c. £$%%%⃗ normal à la surface de contact,

• P�%%%%%⃗ Þ(��→P) s’oppose à la vitesse de glissement Ð(Þ,P/��)%%%%%%%%%%%%%%%%%%⃗ et à la limite du glissement : P�%%%%%⃗ Þ(��→P) = −Ï. RÝ�. PU. ��%%%%⃗

( ds : surface élémentaire autour du point M)

Globalement au point O :

La pression RÝ� étant constante, par symétrie et faibles dimensions de la surface du piston p1:

• /�r→A%%%%%%%%%%%%⃗ = á !H�. �c. £$%%%⃗� = !H�. v. £$%%%⃗ , avec v = �.Aâ�` .

• 7�r→A%%%%%%%%%%%⃗ = á −ã. !H�. �c. �abc�ä~r . {$%%%%⃗ − cæç�ä~� . ¬$%%%⃗ �� á −ã. !H�. ��. è1. {$%%%%⃗ − �. ¬$%%%⃗ é�

cbæ� 7�r→A%%%%%%%%%%%⃗ = −ã. !H�. v. {$%%%%⃗ + ã. !H� ê ��ëììíììî$ �*+ �ï¢éñ+-�¬$%%%⃗

yò,�r→A%%%%%%%%%%%%%%%%⃗ = 0%⃗ car O est centre de symétrie de la surface S, et supposé dans l’énoncé.

��(��→P)� = }RÝ�. �. P�Q_ . ó[%%%⃗ − Ï. RÝ�. �. P�Q_ . �[%%%%⃗[%%⃗ ô

õ

De même pour le piston p2 :

��(�Q→P)� = }−RÝ�. �. P�Q_ . ó[%%%⃗ − Ï. RÝ�. �. P�Q_ . �[%%%%⃗[%%⃗ ô

õ

13) Donner l’expression du couple de freinage �Ï en fonction de RÝ�, P� , Ï et Ê et de la pression RÝ� . Le couple de freinage est la somme des moments sur l’axe de rotation (�ö, ó[%%%⃗ ) des actions des 4 pistons sur

le disque.

Pour les 2 pistons p1 et p2 : Þ%%%⃗ �÷,(�∪Q�P±U¶´Ê) ⋅ ó[%%%⃗ = �öõ%%%%%%%⃗ ∧ �−RÝ�. �.P�QQ . Ï. �[%%%%⃗ ¡ ⋅ ó[%%%⃗ =−RÝ�. �.P�QQ . Ï. Ê ( ¨öù%%%%%%%⃗ = −ú. ¬$%%%⃗ )

Pour les 2 freins (soit 4 pistons) on obtient �Ï = RÝ�. û. P�Q. Ï. Ê en module.

En tenant compte du résultat donnée dans l’énoncé il vient : RÝ� = Q.üÊ¶�.ÐQû.P�Q.Ï.Ê.ýÏ.µSQ .

AN : RÝ� = Ì�, �. �[�RÖ ØÙÀÚ Ì� þÖ° .



14) Vérification du premier critère de la fonction de service « réagir en cas de casse ».

Ce critère est vérifié puisqu’avec une pression de 80 bar le tambour s’arrêtera en moins d’un tour.

20) Expressions de F1(p) à F6(p).

Dans le domaine de Laplace, en supposant les conditions initiales nulles, les équations deviennent :

• J¯ ��æbç é®úa�æ¯ ú: �(�) = �(�) + (�. +». �). �(�)

• J¯ ��æbçc �ú ab u®��ú: �(�) = �.�Þ(�); �Þ(�) = �. �(�) • J¯ ��æbç éa�çæ¯ ú: üÊ¶. �.�Þ(�) = �Þ(�) − ��. �Q. �Ï±³U(�)

• Par ailleurs �Ï±³U(�) = �(�) + �. �.��(�)

On identifie les fonctions de transfert :

Z�(�) = ��M».� , ZQ(�) = � , ZY(�) = �üÊ¶.� , Z_(�) = � , Z�(�) = . � , ZÌ(�) = ��. �Q .

21) Schéma-blocs d’un système asservi ?

Le schéma-blocs de la figure 11 ne correspond pas au modèle d’un système asservi car il n’y a ni

amplificateur, ni capteur, la tension U n’est pas une consigne, il s’agit de la modélisation du moteur à

courant continu dans un cas particulier.

22) Expression de ��(�) en fonction de U(p) et C(p)

Par principe de superposition

• si C(p)=0, le schéma-blocs se simplifie ainsi :

��(�)�(u) �� $ = :r. :B. :K. :�1 + :K. :�. :�B + :r. :B. :K. :̀

H1 ��(�)�(u) �� $ = :r. :B. >11 + :r. :B. >1. :̀ /:�

Avec >1 = ��.��rM��.��.��



• si U(p)=0, le schéma-blocs se simplifie ainsi :

��(�) = Z�. ZQ. ZY. ZÌ� + Z�. ZQ. ZY. Z_ + ZY. Z�. ZÌQ .�(�) − ZY. ZÌQ� + Z�. ZQ. ZY. Z_ + ZY. Z�. ZÌQ . �(�)

23) Réécriture de ��(�) = �(�)~�.�(�) − (� + ». �). ��. �Q. �(�)�, gain statique de H(p).

Avec :r(u) = r�M�.�, :B(u) = �, :K(u) = r

��.�, :̀ (u) = �, :�(u) = �. u, :�(u) = {r. {B :

��(�) = Z�. ZY. ZÌ� + Z�. ZQ. ZY. Z_ + ZY. Z�. ZÌQëìììììììììíìììììììììî�(�)

. �ZQ@�

.�(�) − ZÌ/Z�ëìíìî��.�Q.(�+».�) . �(�)�

Avec >(u) = {1.{2�ú¯.u.(�+ .u)rM �2

�ú¯.u.(�+ .u)+�.u.è{1.{2é2�ú¯.u

= {1.{2�ú¯.u.(�+ .u)M�2+�.u.(�+ .u).({1.{2)2

�(�) = ��. �Q�Q� + �üÊ¶ + . (��. �Q)Q� .�

�Q . � + �üÊ¶ + . (��. �Q)Q� . »�Q . �Q

!Ö±² U¥Ö¥±¶´Ê PÊ �(�) : ��. �Q�Q

23) suite- Vitesse de rotation en régime stationnaire ��". D’après le théorème de la valeur finale : ω$" = lim�→$ u.ω$(u)

Au voisinage de u = 0 ∶ >(u) È {1.{2�2 ; (� + . u). {r. {B È �. {r. {B

ω$" = lim�→$ u. {1. {2�2 . &�.�$u − �. {r. {B. �u' ��" = ��. �Q�Q . ~�.�[ − �. ��. �Q. ��

��(�)�(u) �( $ = −:�. >2. :�1 + (−:�). (−:�. >1. :�)

Avec >2 = ��rM�).��.��.�*

��(�)�(u) �( $ = −:K. :�B1 + :r. :B. :K. :̀ + :K. :�. :�B

H2

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