Correcion de la Segunda Prueba

2 de diciembre de 2014

Ejercicio N1z+2

z2(z1j)dz |z 1 j| = 1

c

z+2

z2

z(1+j)dz =

Puntos donde la funcion no es analitica :

z1 = 0 z2 = 1 + j

z1 / C

f(z) = z+2z2 z0 = 1 + j

f(z0) =(1+j)+2

(1+j)2= 3+j2j

z+2

z2(z1j)dz = 2j(3+j2j ) = (3 + j)

Ejercicio N2

CALCULAR

C

zz22 dz, donde C es |z| = 3

FRACCIONES PARCIALES

zz22 =

Az +

Bz+

A = 12

B = 12

1

C

z

z2 2dz =

C1

1

2(z )dz +

C2

1

2(z + )dz

APLICANDO LA FORMULA DE INTERGRAL DE CAUCHY

C1

12(z)dz = 2j f(z0)

C1

12(z)dz = 2j f(

12 )

C1

12(z)dz= j

C2

12(z+)dz= 2j f(z0)

C2

12(z+)dz= 2j f(

12 )

C2

12(z+)dz = j

C

zz22 dz = j j = 0

Ejercicio N3

z53z3+1

(2z+1)(z2+1)dz donde r : z = 1

z53z3+1z2+4

2z+1

f(z) = z53z3+1z2+4 es analitica dentro y sobre la curva

: z = 1, z0 = 12z53z3+1

(2z+1)(z2+4)dz = 2i( 132+

38+1

14+4

) = 2i( 43272 ) =43136

Ejercicio N4

V erificar que u(x, y) es armonica

Encontrar v(x, y) tal que :

f (x, y) = u (x, y) + jv (x, y)

u (x, y) = x2 y2

ux = 2x

uy = 2y

2ux2

= 2 2uy2

= 2

2

2ux2

+ 2uy2

= 0

2 2 = 0

vy =

ux = 2x

vx =

uy = 2y

v (x, y) = 2xy + h (x)

vx = 2y + h

(x) = 2y

2y + h (x) = 2y

h (x) = 0

h (x) = k

v(x, y) = 2xy + k

f(z) = (x2 y2) + j(2xy + c)

3