coordenadas polares

439Elementos básicos de cálculo integral y series

Apéndice IIOtros sistemas de coordenadas

En este apéndice incluiremos tres nuevos sistemas de coordenadas muy importantes, uno de ellos en el plano y los otrosdos en el espacio. Estos dos últimos desempeñan un papel muy trascendente en algunos cálculos que se presentan conintegrales dobles y triples y que son tediosos y difíciles de efectuar en el sistema de coordenadas rectangulares.

1 Sistema de coordenadas polares

Para definir las coordenadas polares de un punto en el plano fijamos inicialmente en él un punto O llamado origen (polo)y un rayo inicial (eje polar) desde O (figura 1a).

Figura 1

A cada punto P del plano puede asignársele un par de coordenadas, ( , ),r θ llamadas coordenadas polares del punto P

y tales que:

r: distancia dirigida de O a P.

è: ángulo (positivo o negativo y expresado en radianes) formado por el eje polar y el rayo OP (figura 1b).

Observaciones:

i. Para un ángulo dado è, la coordenada r puede ser positiva o negativa, dependiendo de si se toma sobre OP osobre su prolongación. En la figura 2 se ilustra esta situación para diferentes puntosen el plano polar.

440

Figura 2

ii. Un punto ( , )P r θ en coordenadas polares puede tener diferentes representaciones según la escogencia que se

haga de las coordenadas r y θ.

Así por ejemplo, el punto 3,4

Pπ⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

(figura 3a) puede tener las siguientes representaciones:

133, 3,

4 4P P

π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞⇔ − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(figura 3b)

253,4

Pπ⎛ ⎞⇔ −⎜ ⎟

⎝ ⎠(figura 3c)

373,4

Pπ⎛ ⎞⇔ −⎜ ⎟

⎝ ⎠(figura 3d)

493,4

Pπ⎛ ⎞⇔ ⎜ ⎟

⎝ ⎠(figura 3e)

De aquí se deduce que no existe una correspondencia biunívoca entre los puntos ( , )P r θ y los puntos del plano,como sí se cumple en el sistema de coordenadas rectangulares.

Figura 3


1.1 Relación entre las coordenadas rectangulares y polares

Para establecer la relación existente entre los sistemas de coordenadas polares y rectangulares, hacemos coincidir inicial-mente los dos planos. Es decir, el polo del plano polar coincidiendo con el origen del plano cartesiano y el eje polar con eleje x (figura 4).

Figura 4

De esta forma para el punto P podemos establecer las siguientes relaciones, que se deducen fácilmente de la figura 4;

2 2 2 2 2 .x y r r x y+ = ⇔ = ± + (1)

1tan tan .y y

x x− ⎛ ⎞= ⇒ = ⎜ ⎟⎝ ⎠

θ θ (2)

cos cosxx r

r= ⇒ =θ θ. (3)

sen senyy r

r= ⇒ =θ θ. (4)

Si conocemos las coordenadas rectangulares del punto ( , ),P x y entonces usando (1) y (2) podemos determinar

las coordenadas polares ( , )P r θ del mismo punto.

Si conocemos las coordenadas polares ( , )P r θ del punto, entonces usando (3) y (4) podemos determinar las

coordenadas rectangulares ( , )P x y del mismo punto.

Ejemplo 1

Escriba en coordenadas rectangulares los siguientes puntos dados en coordenadas polares:

a. 1(3, ).P π b. 232, .4

Pπ⎛ ⎞−⎜ ⎟

⎝ ⎠

442

Solución

a. Como 3 y =r = πθ , se sigue entonces de (3) y (4) que:

cos 3 cos 3,sen 3 sen 0.

x r x

y r y

= ⇒ = ⋅ π = −= ⇒ = ⋅ π =

θθ

En consecuencia, el punto 1(3, )P π en coordenadas polares tiene su homólogo 1( 3,0)P − en coordenadasrectangulares.

b. Como 32 y 4

rπ

= = −θ , se deduce entonces de (3) y (4):

3cos 2 cos 1,4

3sen 2 sen 1.4

x r

y r

π⎛ ⎞= = − =⎜ ⎟⎝ ⎠

π⎛ ⎞= = − = −⎜ ⎟⎝ ⎠

θ

θ

En consecuencia, el punto 232,4

Pπ⎛ ⎞−⎜ ⎟

⎝ ⎠ en coordenadas polares tiene su homólogo 2 (1, 1)P − en coordenadas

rectangulares.

Ejemplo 2

Escriba en polares ( 0, 0 2 )r > ≤ < πθ los siguientes puntos dados en coordenadas rectangulares:

a. 1 ( 3,1).P − b. 2 ( 2, 2 3).P − −

Solución

En la figura 5 aparecen los puntos localizados en el plano cartesiano, los cuales nos ayudarán a determinarlos en coorde-nadas polares.

Figura 5


a. Como 3x = − e y = 1, se deduce entonces de (1) y (2) que:

2 2 2 2

1

( 3) 1 2,

1 5tan .63

r x y

−

= + = − + =

π⎛ ⎞= − =⎜ ⎟

⎝ ⎠θ

En consecuencia, el punto 2 ( 3,1)P − en coordenadas rectangulares tiene su correspondiente 252,6

Pπ⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

en coor-

denadas polares.

b. Similarmente, como 2 e 2 3x y= − = − (figura 5b), se deduce de (1) y (2) que:

2 2 4 12 4,r x y= + = + =

1 4tan ( 3)3

− π= =θ (puesto que x < 0 y y < 0).

Luego el punto 244,3

Pπ⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

es el correspondiente en coordenadas polares al punto 2 ( 2, 2 3)P − − en coordena-

das rectangulares.

Las ecuaciones (1), (2), (3) y (4) no sólo son útiles para transformar puntos de un sistema a otro, sino que también permitenexpresar una relación de la forma ( )y f x= en una de la forma ( )r f= θ y viceversa, como lo mostraremos en la próximasección.

1.2 Gráfica de ecuaciones en coordenadas polares

La gráfica de una ecuación en coordenadas polares ( , )r θ consiste en todos aquellos puntos P que tienen por lo menosun par de coordenadas que satisfacen la ecuación.

Se llama ecuación polar a la ecuación de una gráfica cuyos componentes se dan en coordenadas r y θ , para distinguirlade la ecuación cartesiana cuyas componentes se dan en términos de x e y.

Ejemplo 3

Escriba la ecuación polar de las siguientes ecuaciones cartesianas:

a. 2 2 16.x y+ = b. 2 2 2 2 2( ) 4( ).x y x y+ = −

444

Solución

a. De acuerdo con (1), 2 2 2 .x y r+ =

Luego, en nuestro caso, 2 2 16.x y+ =

Así que 2 16,r = lo cual implica que 4.r = ±

Esto es, 4r = o 4r = − representa en coordenadas polares la ecuación de una circunferencia centrada en elpolo y radio 4.

Nota: en coordenadas polares, la ecuación r = 4 o 4r = − se lee:

«Cualquiera que sea el ángulo ,θ r = 4»«Cualquiera que sea el ángulo ,θ 4r = − »

Note además que ambas ecuaciones representan la misma circunferencia, pero recorridos en formas diferentes.

b. Usando las ecuaciones (1), (3) y (4) podemos escribir en este caso:

2 2 2 2 2 2 4 2

2 2

2

( ) 4( cos sen ) 4 cos 2( 4cos 2 ) 0

0 4cos 2 .

r r r r r

r r

r r

= − ⇔ =

⇔ − =

⇔ = ∨ =

θ θ θ

θ

θ

Pero r = 0 (ecuación del polo), lo cual indica que la curva pasa por el origen.

La otra igualdad, 2 4cos 2r = θ, representa la ecuación polar de la ecuación cartesiana dada.

Ejemplo 4

Escriba la ecuación cartesiana de las siguientes ecuaciones polares:

a. 2 2 sen 2r = θ. b. 6 , 0.2 3 sen

r r= >− θ

Solución

a. En primer lugar,

2 22 sen 2 2 2 sen cosr r= ⇔ = ⋅θ θ θ.


Ahora, usando las igualdades (1), (3) y (4), se puede escribir la última igualdad:

2 22 2 2

4 42 2 .y x xy xyx y

r r r x y⎛ ⎞⎛ ⎞+ = ⋅ = =⎜ ⎟⎜ ⎟ +⎝ ⎠⎝ ⎠

Es decir, 2 2 2( ) 4x y xy+ = es la ecuación cartesiana de la ecuación polar dada.

b. La ecuación 6

2 3senr =

− θ puede escribirse en las formas equivalentes:

2 2

6 6 632 3sen 2 32

2 3 6

2 6 3 .

rr r

y r yr

r y

x y y

= ⇔ = =− −−

⇔ − =

⇔ + = +

θ

Esto es, la ecuación 2 22 6 3x y y+ = + es la ecuación cartesiana de la ecuación polar dada.

1.2.1 Algunas gráficas importantes en coordenadas polares

i. La ecuación en su forma polar

( : en radianes)

= 2 n

θ = α α⎧⎪⎨⎪θ α ± π⎩

representa una línea recta que pasa por el polo, formando un ángulo α con el eje polar (figura 6a).

ii. La ecuación en su forma polar

sen cscr b r b= ⇔ =θ θ

representa una recta paralela al eje polar, que corta al rayo 2π

b unidades por encima o por debajo del polo

(figuras 6b y 6c).

iii. La ecuación en su forma polar

cos secr a r a= ⇔ =θ θ

representa una recta paralela al rayo 2π

, que corta al eje polar a unidades a la derecha (a > 0) o a la izquierda

(a < 0) del polo (figuras 7a y 7b).

446

Figura 6

Figura 7

iv. La ecuación en su forma polar:

r = c, c = constante,

representa una circunferencia centrada en el polo y cuyo radio es c (figura 8).

Las curvas r = c o r c= − representan la misma circunferencia, sólo que su recorrido se inicia en el punto (c, 0)o en el punto ( c− , 0) (figuras 8a y b).


Figura 8

v. Considere ahora la ecuación en forma cartesiana:

2 2 2 2 0,x y ax by+ − − =

la cual representa una circunferencia que pasa por el origen, cuyo centro es el punto ( , )C a b y su radio es

2 2 .a b+

Para analizar la ecuación dada la escribiremos en la forma polar así:

2 2 cos 2 sen 0 ( 2 cos 2 sen ) 00 (ecuación del polo)

2 cos 2 sen

r ar br r r a b

r

r a b

− − = ⇔ − − =⇔ =

∨= +

θ θ θ θ

θ θ.

Es decir,

2 cos 2 senr a b= +θ θ (*)

representa la misma circunferencia.

Si b = 0, entonces (*) se transforma en:

2 cosr a= θ,

la cual representa una circunferencia con centro en el punto ( ,0)C a y que pasa por el polo (figuras 9a y 9b).

448

Figura 9

Si a = 0, entonces (*) se transforma en:

2 senr b= θ,

la cual representa una circunferencia con centro en el punto ,2

C bπ⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

y que pasa por el polo (figuras 10a

y 10b).

Figura 10

vi. La gráfica de una ecuación en la forma polar

cos

sen

r a n

r a n

=⎧⎪⎨⎪ =⎩

θ

θ

representa una rosa de n «pétalos» si n es impar, y de 2n «pétalos» si n es par.


Así por ejemplo, la ecuación 2 sen 3r = θ representa una rosa de tres pétalos, como la que aparece en la figura 11a.

Figura 11

La ecuación 3 cos 2r = θ representa una rosa de cuatro «pétalos», como la que aparece en la figura 11b.

vii. La gráfica de una ecuación de cualquiera de las formas:

coscon 0, 0

sen

r a b

a b

r a b

= ±⎧⎪ > >⎨⎪ = ±⎩

θ

θ

se denomina limazón (figura en forma de caracol) y su forma depende de la relación entre los valores de a y basí:

Si a = b, se llama cardiode (figura 12).

Si 0 1,a

b< < se llama limazón con nudo (figura 13).

Si 1 2,a

b< < se llama cardioide con hendidura (figura 14).

Si 2,a

b≥ se llama limazón convexo (figura 15)

viii. La gráfica de una ecuación de cualquiera de las formas:

2 2

2 2

cos 2sen 2

r a

r a

= ±

= ±

θ,

θ,

representan curvas en forma de aspa de hélice y se denominan lemniscatas (figura 16).

450

Figura 12

Figura 13

Figura 14

Figura 15


Figura 16

Para trazar todas las curvas mencionadas anteriormente y muchas otras de importancia que aparecen en el cálculo, seprecisa conocer de ellas algunas propiedades adicionales: simetrías, pertenencia o no pertenencia del polo a la curva,tangentes en el origen, valores máximos y mínimos, etc., las cuales para su uso mencionamos a continuación:

1.2.2 Elementos adicionales para trazar curvas en polares

Simetrías

Sea ( )r f= θ la ecuación de una curva en coordenadas polares. Entonces: (1)

i. Si la ecuación (1) no varía al sustituir:

(θ por −θ ) o (r por − r y θ por −π θ ),

entonces la curva es simétrica con respecto al eje polar (figura 17).

Figura 17

452

ii. Si la ecuación (1) no varía al sustituir

(θ por )−π θ o (r por − r y θ por )−θ ,

entonces la curva es simétrica con respecto al rayo 2π

(eje y) (figura 18).

Figura 18

iii. Si la ecuación (1) no varía al sustituir

(r por − r) o (θ por +π θ ),

entonces la curva es simétrica con respecto al polo (origen) (figura 19).

Figura 19

Observación

Dos simetrías implican la tercera. Así por ejemplo, si una curva ( )r f= θ es simétrica con respecto al eje polar y con

respecto al rayo 2π

, entonces también es simétrica con respecto al origen.


Tangentes en el origen

Cuando el polo (origen) pertenece a la curva, al hacer r = 0 en (1) se obtiene ( ) 0.f =θ (2)

La ecuación (2) es una ecuación trigonométrica que al resolverla para θ da:

1 2 3, , , ..., .n= = = =θ α θ α θ α θ α

Entonces, las rectas 1 2 3, , , ..., n= = = =θ α θ α θ α θ α son las rectas tangentes en el origen de la curva

( )r f= θ .

Las tangentes en el origen, conjuntamente con las simetrías, permiten conocer la gráfica de muchas curvas encoordenadas polares con no muchos valores de θ y los correspondientes valores de r.

Máximos y mínimos de r = f ( )θ

En muchas ocasiones los máximos y/o mínimos de r ayudan a construir la gráfica.

Para determinarlos, hallamos los valores de θ para los cuales ( ) 0r f′ ′= =θ o ( )f ′ θ no existe, y los correspon-dientes valores de r.

Ejemplo 5

Trace la gráfica correspondiente a ( ) 2sen 3 .r f= =θ θ (1)

Solución

De acuerdo a 1.2.1 (vi), la gráfica corresponde a una rosa de «tres pétalos». Para trazarla, usemos los elementos adicio-nales descritos en 1.2.2.

Simetrías

i. Eje polar: cambiar (θ por −θ ) o (r por − r y θ por ).−π θ

Al cambiar θ por −θ en la ecuación (1) resulta:

2 sen 3( ) 2 sen ( 3 ).r = − = −θ θ

Pero sen ( 3 ) sen (3 ).− = −θ θ

Luego

2sen 3 .r = − θ (2)

Al comparar (1) y (2) se deduce que la ecuación de la curva sí varía y, por tanto, la curva no es simétrica conrespecto al eje polar.

454

De otro lado, al cambiar r por − r y θ por ( )−π θ en (1) resulta:

2 sen 3 ( ) 2 sen (3 3 ) 2 sen (3 ) 2 sen 3 .r r− = − = − = ⇒ = −π θ π θ θ θ (3)

Al comparar (1) y (3) se deduce que la ecuación sí varía y, por tanto, la curva no es simétrica con respecto al ejepolar.

ii. Rayo 2π

: cambiar (θ por )−π θ o (r por − r y θ por ).−θ

Al cambiar θ por ( )−π θ en (1) se obtiene:

= 2 sen 3( ) 2 sen (3 3 ) 2 sen 3 ,r − = − =π θ π θ θ

entonces se obtiene

2 sen 3r = θ

y la ecuación de la curva no varía, lo cual indica que 2 sen 3r = θ sí es simétrica con respecto al rayo 2π

.

Geométricamente esto indica que la parte de la gráfica de los cuadrantes I y IV se refleja exactamente en los cuadran-tes II y III.

iii. Con respecto al polo.

No es simétrica con respecto al polo (demuéstrelo por reducción al absurdo).

Tangentes en el origen

Al hacer r = 0 en la ecuación (1), podemos escribir:

0 2 sen 3 .= θ

Resolviendo para θ la ecuación trigonométrica anterior, se obtiene:

3 2 , .n n= ∈θ π

De aquí,

2 , .3n

n= ∈πθ

Esta fórmula proporciona todas las tangentes en el origen.

Esto es,


2 4 60, , , , etc...3 3 3

= = = =π π πθ θ θ θ

son las rectas tangentes a la curva en el origen.

Tabla de valores

La tabla de valores que se adjunta, conjuntamente con la simetría y las tangentes en el origen, es suficiente paratrazar toda la curva.

Tabla 1

Al llevar al plano polar los pares de valores de r y de la tabla 1 se obtiene la porción de curva que aparece en lafigura 20a.

Figura 20

Como la curva es simétrica con respecto al rayo 2π

, entonces la porción de curva en el primer cuadrante se refleja en el

segundo y la porción de curva en el tercer cuadrante se refleja en el cuarto, obteniendo así la gráfica completa que apareceen la figura 20b.

èrad

0º 10º 15º 20º 30º 40º 45º 50º 60º 70º 75º 80º 90º

3è 0

r 0 1 2 1 0

è

2π4

9π5

12π7

18π

3π5

18π

4π2

9π

6π

9π

12π

18π0

6π

4π

3π

2π 2

3π 3

4π 5

6π

π76π 5

4π 4

3π 3

2π

2 3 3 2 1− 2− 3− 2−

456

1.3 Área entre curvas en coordenadas polares

La idea central en esta sección es establecer, usando integrales, una fórmula para determinar el área de una cierta regiónacotada por las gráficas de dos curvas en polares ( )r f= θ , ( )r g= θ y las rectas y = =θ α θ β que pasan por el polo(figura 21a).

Usaremos la aproximación en forma diferencial para calcular el área.

Para ello consideremos el área sombreada como el área de la corona circular de radio exterior ( )r f=ε θ , radio interior

( )ir g= θ y ángulo central dθ (figura 21b).

Figura 21

De acuerdo a la figura 21b:

2 21 12 2 idA r d r d= −ε θ θ (ejemplo 9 de la sección 18.2)

2 2 2 21 1( ) ( ) ( ) ( ) .2 2

f g d A f g d⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − ⇒ = −⎣ ⎦ ⎣ ⎦∫β

αθ θ θ θ θ θ (1)

Observaciones

i. En la fórmula (1) α y β son las rectas de intersección de las dos curvas, es decir, los valores de θ para los

cuales ( )f θ = ( ).g θ

ii. En muchas ocasiones, la igualdad ( ) ( )f g=θ θ no proporciona todas las rectas de intersección entre ( )r f= θ y ( )r g= θ .

Si en estos casos se quieren conocer todas las rectas de intersección se deben expresar ( )f θ y ( )g θ en todas susrepresentaciones posibles y luego buscar las intersecciones entre todas ellas.En particular, se debe tener en cuenta que si ( )r f= θ es la ecuación de una curva en polares, entonces la misma

curva viene dada por ( 1) ( ), .n r f n n− ⋅ = + ∈θ π


Ejemplo 6

Use coordenadas polares para determinar el área que está fuera del círculo 4 cos ,r = θ pero interior al limazón con nudo1 2 cos .r = + θ

Solución

En la figura 22 aparecen dibujadas las dos curvas y el área sombreada por determinar.

Figura 22

Determinemos inicialmente los puntos de intersección entre las curvas.

Así,

11 2 cos 4 cos cos2

+ = ⇒ =θ θ θ

1 1 cos , .

2 3 3− ⎛ ⎞⇒ = = −⎜ ⎟⎝ ⎠

π πθ

También, 23π

=θ resulta de intersecar 1 2cosr = − + θ (otra forma de la ecuación del limazón usando la observación ii)

con el círculo 4cosr = θ.

Ahora, como la región es simétrica con respecto al eje polar, podemos asumir que el área total 12 .A A=

Pero,

2 2 32 2 21 3 2

2 3 22 2

3 3

1 ( )2

1 1 ,2 2

L c L

L c

A r r d r d

r d r d

π π

π π

π π

π π

= − +

= −

∫ ∫

∫ ∫

θ θ

θ θ

458

donde Lr corresponde al r del limazón y cr corresponde al r del círculo.

Entonces,

23

3

2 3 22 21 3 3

2 3 2

3 3

23

2 (1 2cos ) (4cos )

(1 4cos 2 2cos 2 ) (8 8cos 2 )

[3 4sen sen 2 ] [8 4sen 2 ]

4 3 3[ 3] 2 3 3 .3 3 3

A A d d

d d

π

π

π π

π π

π π

π π

ππ

= = +

= + + + +

= θ+ + − +

π π − π⎡ ⎤= π − − − = − =⎢ ⎥⎣ ⎦

∫ ∫

∫ ∫

θ θ − θ θ

θ θ θ − θ θ

θ θ θ θ

2 Sistema de coordenadas cilíndricas

En este sistema, a un punto 3( , , )P x y z ∈ℜ (espacio euclídeo) le asociamos la terna (r,θ ,z), donde ( , )r θ son las coordena-

das polares de la proyección del punto P sobre el plano x-y. Esto es, (r, )θ son las coordenadas polares del punto

( , ,0)P x y′ (figura 23).

Por esta razón, algunos autores llaman a las coordenadas cilíndricas (r,θ , z) «coordenadas polares de 3ℜ », y en las cualesla tercera componente que mide la altura del punto P al plano x-y coincide con la del sistema rectangular.

Figura 23

Con las restricciones 0r ≥ y 0 2 ,≤ <θ π cualquier punto de 3ℜ que no esté en el eje z tiene una representación única(r,θ , z).

2.1 Relación entre las coordenadas cartesianas y cilíndricas

Como (r, )θ son las coordenadas polares de la proyección P′ sobre el plano x-y, se tiene entonces:

cos ,x r= θ (1)


sen ,y r= θ (2) .z z= (3)

También,

2 2 2 2 2 ,r x y r x y= + ⇔ = + (4)

1tan tan .y y

x x− ⎛ ⎞= ⇒ = ⎜ ⎟⎝ ⎠

θ θ (5)

Si conocemos las coordenadas rectangulares ( , , )P x y z de un punto de 3 ,ℜ entonces, usando (3), (4) y (5),

podemos determinar las coordenadas cilíndricas ( , , )P r zθ del mismo punto, donde el cuadrante al cual pertene-ce θ está determinado por los signos de x e y.

Si conocemos las coordenadas cilíndricas ( , , )P r zθ de un punto de 3 ,ℜ entonces, usando las ecuaciones (1),

(2) y (3), podemos determinar las coordenadas cartesianas ( , , )P x y z del mismo punto.

Estas ecuaciones también serán usadas en el próximo curso Cálculo III para transformar la ecuación de una superficie deun sistema de coordenadas a otro.

Así por ejemplo, la superficie:

2 2 23 0x y z+ − =

que está en coordenadas cartesianas es equivalente a:

2 23 0r z− = en coordenadas cilíndricas.

Ejemplo 7

Exprese en coordenadas cartesianas el punto P(4, 3π

, 2) dado en coordenadas cilíndricas:

Solución

Como r = 4, θ = 3π

y z = 2, se tiene entonces de (1), (2) y (3) que:

1cos 4cos 4 2,3 2

x r= = = ⋅ =πθ

3sen 4sen 4 2 3,3 2

y r= = = ⋅ =πθ

2.z =

460

Por tanto, P(2, 2 3 , 2) son las coordenadas cartesianas del mismo punto.

Ejemplo 8

Escriba las coordenadas cilíndricas del punto cuyas coordenadas cartesianas son P(4, 0, 1).

Solución

Como 4, 0, 1x y z= − = = , se tiene entonces de (3), (4) y (5) que:

2 2 4,r x y= + =

1 10tan tan 04

− −⎛ ⎞= = =⎜ ⎟−⎝ ⎠θ π (puesto que x < 0),

z = 1.

De esta forma, las coordenadas cilíndricas del punto dados son (4, ,1).P π

2.1.1 Algunas ecuaciones de superficies importantes en coordenadas cilíndricas

i. r = c (radio polar constante, cualquiera que sea el valor de θ y de z) representa un cilindro circular recto de radio cy cuyo eje es el eje z (figura 24a).

ii. =θ α (ángulo θ constante, independiente de los valores de r y z) representa un semiplano unido al eje z,formando un ángulo α con el eje x (figura 24b).

iii. z = k (z es constante para todos los valores de r y θ ) representa un plano horizontal paralelo al plano x-y(figura 24c).

Figura 24


3 Sistema de coordenadas esféricas

Otro sistema coordenado de 3ℜ y de gran importancia en el cálculo es el de las coordenadas esféricas, y en el cual acada punto P(x, y, z) en coordenadas rectangulares le corresponde el punto ( , , ),P ρ θ ϕ donde:

ρ : distancia del punto P(x, y, z) al origen de coordenadas.θ : ángulo que forma la proyección del punto P sobre x-y con la parte positiva del eje x.

ϕ : ángulo que forma el vector OP con la parte positiva del eje z (figura 25).

Los rangos de variación de cada una de estas coordenadas dependen de la manera como se efectúa la medición.

Así:

0≥ρ , 0 2≤ <θ π , 0 .≤ ≤ϕ π

Figura 25

3.1 Relación entre las coordenadas cartesianas y esféricas

Las relaciones que aparecen en la figura 25 para x, y, z, r se deducen fácilmente como sigue:

En el triángulo rectángulo ORP se tiene:

sen sen ,RPRP= ⇒ =ϕ ρ ϕ

ρ

sen ,OQ RP r= = = ρ ϕ (1)

cos cos .OROR QP z= ⇒ = = =ϕ ρ ϕ

ρ (2)

462

Ahora, en el triángulo OTQ se tiene:

sen senyy r

r= ⇒ =θ θ

sen sen .y⇒ = ρ ϕ θ (3)

cos cosxx r

r= ⇒ =θ θ

sen cos .x⇒ = ρ ϕ θ (4)

De otro lado, usando las ecuaciones (1), (2), (3) y (4) podemos deducir además:

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2sen cos sen sen cosx y z+ + = + +ρ ϕ θ ρ ϕ θ ρ ϕ

2 2 2 2 2 2 sen (cos sen ) cos= + +ρ ϕ θ θ ρ ϕ

2 2 2 2 2 2 2 2 sen cos (sen cos ) .= + = + =ρ ϕ ρ ϕ ρ ϕ ϕ ρ

Esto es,

2 2 2 2 2 2 2 ? .x y z x y z+ + = ⇔ + +ρ ρ (5)

También,

1tan tan .y y

x x− ⎛ ⎞= ⇒ = ⎜ ⎟⎝ ⎠

θ θ (6)

1 1

2 2 2cos cos .z z

x y z

− −⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎜ ⎟= ⇔ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ + +⎝ ⎠

ϕ ϕρ (7)

Si conocemos las coordenadas rectangulares ( , , )P x y z de un punto de 3 ,ℜ entonces, usando (5), (6) y (7),

podemos determinar las coordenadas esféricas ( , , )P ρ θ ϕ del mismo punto.

Si conocemos las coordenadas esféricas ( , , )P ρ θ ϕ de un punto P de 3 ,ℜ entonces, usando (2), (3) y (4),

podemos determinar las coordenadas rectangulares ( , , )P x y z del mismo punto.

Ejemplo 9

Escriba las coordenadas esféricas del punto cuyas coordenadas cartesianas son ( 2, 2 3, 4)P − .


Solución

Como 2, 2 3, 4x y z= − = = , se tiene entonces de (5), (6) y (7) que

2 2 2 2 2 2( 2) (2 3) 4 4 2.x y z= + + = − + + =ρ

1 1 2tan tan ( 3) .3

y

x− −⎛ ⎞= = − =⎜ ⎟⎝ ⎠

πθ

1 1

2 2 2

4cos cos .44 2

z

x y z

− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟= = =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠+ +⎝ ⎠

πϕ

Por tanto, 24 2, ,3 4

P⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

π π son las coordenadas esféricas del punto en mención.

Ejemplo 10

Escriba las coordenadas rectangulares del punto cuyas coordenadas esféricas son 4, ,6 6

P⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

π π .

Solución

Como 4,=ρ 6

=πθ ,

6=πϕ , se tiene entonces de (2), (3) y (4):

3cos 4 cos 4 2 3.6 2

z = = ⋅ = ⋅ =πρ ϕ

1 1sen sen 4 sen sen 4 1.6 6 2 2

y = = ⋅ = ⋅ ⋅ =π πρ ϕ θ

1 3sen cos 4 sen cos 4 3.6 6 2 2

x = = ⋅ = ⋅ ⋅ =π πρ ϕ θ

Por tanto, ( 3, 1, 2 3)P son las coordenadas cartesianas del punto 4, ,6 6

P⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

π π en coordenadas esféricas.

3.1.1 Algunas ecuaciones de superficies importantes en coordenadas esféricas

i. c=ρ (todos los puntos de 3ℜ cuya distancia al origen es constante) representa una esfera de radio c y centrada en (0, 0, 0) (figura 26a).

ii. =θ α (ángulo θ constante, independiente de los valores de ρ y ϕ ) representa un semiplano unido al ejez formando un ángulo α con el eje x (figura 26b).

464

iii. =ϕ β (ángulo β constante, independiente de los valores de ρ y θ ) representa:

Un cono abierto hacia arriba (figura 26c) si 0 .2

< <πβ

Un cono abierto hacia abajo (figura 26d) si .2< <

π β π

iv.2

=πϕ representa el plano x-y.

Figura 26

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coordenadas polares