Coordenadas polares

El sistema de coordenadas polares es un sistema de coordenadas bidimensional en el cual cada punto del plano se determina por un ángulo y una distancia.

De manera más precisa, se toman: un punto O del plano, al que se le llama origen o polo, y una recta dirigida (o rayo, o segmento OL) que pasa por O, llamada eje polar (equivalente al eje x del sistema cartesiano), como sistema de referencia. Con este sistema de referencia y una unidad de medida métrica (para poder asignar distancias entre cada par de puntos del plano), todo punto P del plano corresponde a un par ordenado (r, θ) donde r es la distancia de P al origen y θ es el ángulo formado entre el eje polar y la recta dirigida OP que va de O a P. El valor θ crece en sentido antihorario y decrece en sentido horario. La distancia r (r ≥ 0) se conoce como la «coordenada radial» o «radio vector», mientras que el ángulo es la «coordenada angular» o «ángulo polar».

En el caso del origen , O, el valor de r es cero, pero el valor de θ es indefinido. En ocasiones se adopta la convención de representar el origen por (0,0º).

Historia

Localización de un punto en coordenadas polares.

Sistema de coordenadas polares con varios ángulos medidos en grados.

Si bien existen ejemplos de que los conceptos de ángulo y radio se conocen y manejan desde la antigüedad, no es sino hasta el siglo XVII, posterior a la invención de la geometría analítica, en que se puede hablar del concepto formal de sistema coordenadas polares.

Los primeros usos empíricos de relaciones entre ángulos y distancias se relacionan con aplicaciones a la navegación y el estudio de la bóveda celeste. El astrónomo Hiparco (190   a.   C. -120   a.   C. ) creó una tabla trigonométrica que daba la longitud de una cuerda en función del ángulo y existen referencias del uso de coordenadas polares para establecer la posición de las estrellas.1 En Sobre las espirales, Arquímedes describe la espiral de Arquímedes, una función cuyo radio depende del ángulo. Sin embargo, estas aplicaciones no hacían uso de un sistema de coordenadas como medio de localizar puntos en el plano, situación análoga al estado de la geometría antes de la invención de la geometría analítica.

En tiempos modernos, Grégoire de Saint-Vincent y Bonaventura Cavalieri introdujeron de forma independiente el concepto a mediados del siglo XVII en la solución de problemas geométricos. Saint-Vincent escribió sobre este tema en 1625 y publicó sus trabajos en 1647, mientras que Cavalieri publicó sus escritos en 1635 y una versión corregida en 1653. Cavalieri utilizó en primer lugar las coordenadas polares para resolver un problema relacionado con el área dentro de una espiral de Arquímedes. Blaise Pascal utilizó posteriormente las coordenadas polares para calcular la longitud de arcos parabólicos.

Sin embargo, el concepto abstracto de sistema de coordenada polar se debe a Sir Isaac Newton, quien en su Método de las fluxiones escrito en 1671 y publicado en 1736, introduce ocho nuevos sistemas de coordenadas (además de las cartesianas) para resolver problemas relativos a tangentes y curvas, uno de los cuales, el séptimo, es el de coordenadas polares.2 En el periódico Acta Eruditorum Jacob Bernoulli utilizó en 1691 un sistema con un punto en una línea, llamándolos polo y eje polar respectivamente. Las coordenadas se determinaban mediante la distancia al polo y el ángulo respecto al eje polar. El trabajo de Bernoulli sirvió de base para encontrar el radio de curvatura de ciertas curvas expresadas en este sistema de coordenadas.

El término actual de coordenadas polares se atribuye a Gregorio Fontana, y fue utilizado por los escritores italianos del siglo XVIII. El término aparece por primera vez en inglés en la traducción de 1816 efectuada por George Peacock del Tratado del cálculo diferencial y del cálculo integral de Sylvestre François Lacroix,3 mientras que Alexis Clairault fue el primero que pensó en ampliar las coordenadas polares a tres dimensiones.

Representación de puntos con coordenadas polares

Los puntos (3,60º) y (4,210º) en un sistema de coordenadas polares.

En la figura se representa un sistema de coordenadas polares en el plano, el centro de referencia (punto O) y la línea OL sobre la que se miden los ángulos. Para referenciar un punto se indica la distancia al centro de coordenadas y el ángulo sobre el eje OL.

El punto (3, 60º) indica que está a una distancia de 3 unidades desde O, medidas con un ángulo de 60º sobre OL.

El punto (4, 210º) indica que está a una distancia de 4 unidades desde O y un ángulo de 210º sobre OL.

Un aspecto a considerar en los sistemas de coordenadas polares es que un único punto del plano puede representarse con un número infinito de coordenadas diferentes, lo cual no sucede en el sistema de coordenadas cartesianas. O sea que en el sistema de coordenadas polares no hay una correspondencia biunívoca entre los puntos del plano y el conjunto de las coordenadas polares. Esto ocurre por dos motivos:

Un punto, definido por un ángulo y una distancia, es el mismo punto que el indicado por ese mismo ángulo más un número de revoluciones completas y la misma distancia. En general, el punto ( , θ) se puede representar como ( , θ ±  ×360°) o (− , θ ± (2  + 1)180°), donde es un número entero cualquiera.4

El centro de coordenadas está definido por una distancia nula, independientemente de los ángulos que se especifiquen. Normalmente se utilizan las coordenadas arbitrarias (0, θ) para representar el polo, ya que independientemente del valor que tome el ángulo θ, un punto con radio 0 se encuentra siempre en el polo.5 Estas circunstancias deben tenerse en cuenta para evitar confusiones en este sistema de coordenadas. Para obtener una única representación de un punto, se suele limitar a números no negativos  ≥ 0 y θ al intervalo [0, 360°) o (−180°, 180°] (en radianes, [0, 2π) o (−π, π]).6

Los ángulos en notación polar se expresan normalmente en grados o en radianes, dependiendo del contexto. Por ejemplo, las aplicaciones de navegación marítima utilizan las medidas en grados, mientras que algunas aplicaciones físicas (especialmente la mecánica rotacional) y la mayor parte del cálculo matemático expresan las medidas en radianes.7

Conversión de coordenadas

Diagrama ilustrativo de la relación entre las coordenadas polares y las coordenadas cartesianas.

En el plano de ejes xy con centro de coordenadas en el punto O se puede definir un sistema de coordenadas polares de un punto M del plano, definidas por la distancia r al centro de coordenadas, y el ángulo del vector de posición sobre el eje x.

Conversión de coordenadas polares a rectangulares

Definido un punto en coordenadas polares por su ángulo sobre el eje x, y su distancia r al centro de coordenadas, se tiene:

Conversión de coordenadas rectangulares a polares

Definido un punto del plano por sus coordenadas rectangulares (x,y), se tiene que la coordenada polar r es:

(aplicando el Teorema de Pitágoras)

Para determinar la coordenada angular θ, se deben distinguir dos casos:

Para = 0, el ángulo θ puede tomar cualquier valor real. Para ≠ 0, para obtener un único valor de θ, debe limitarse a un intervalo de tamaño

2π. Por convención, los intervalos utilizados son [0, 2π) y (−π, π].

Para obtener θ en el intervalo [0, 2π), se deben usar las siguientes fórmulas ( denota la inversa de la función tangente):

Para obtener θ en el intervalo (−π, π], se deben usar las siguientes fórmulas:

Muchos lenguajes de programación modernos evitan tener que almacenar el signo del numerador y del denominador gracias a la implementación de la función atan2, que tiene argumentos separados para el numerador y el denominador. En los lenguajes que permiten argumentos opcionales, la función atan puede recibir como parámetro la coordenada x (como ocurre en Lisp).

Ecuaciones polares

Se le llama ecuación polar a la ecuación que define una curva expresada en coordenadas polares. En muchos casos se puede especificar tal ecuación definiendo como una función de θ. La curva resultante consiste en una serie de puntos en la forma ( (θ), θ) y se puede representar como la gráfica de una función .

Se pueden deducir diferentes formas de simetría de la ecuación de una función polar . Si (−θ) =  (θ) la curva será simétrica respecto al eje horizontal (0°/180°), si (180°−θ) =  (θ) será simétrica respecto al eje vertical (90°/ 270°), y si (θ−α°) =  (θ) será simétrico rotacionalmente α° en sentido horario respecto al polo.

Debido a la naturaleza circular del sistema de coordenadas polar, muchas curvas se pueden describir con una simple ecuación polar, mientras que en su forma cartesiana sería mucho más intrincado. Algunas de las curvas más conocidas son la rosa polar, la espiral de Arquímedes, la lemniscata, el caracol de Pascal y la cardioide.

Para los apartados siguientes se entiende que el círculo, la línea y la rosa polar no tienen restricciones en el dominio y rango de la curva.

Circunferencia

Un círculo con ecuación (θ) = 1.

La ecuación general para una circunferencia con centro en ( 0, φ) y radio es

En ciertos casos específicos, la ecuación anterior se puede simplificar. Por ejemplo, para una circunferencia con centro en el polo y radio a, se obtiene:8

Línea

Las líneas radiales (aquellas que atraviesan el polo) se representan mediante la ecuación

donde φ es el ángulo de elevación de la línea, esto es, φ = arctan  donde es la pendiente de la línea en el sistema de coordenadas cartesianas. La línea no radial que cruza la línea radial θ = φ perpendicularmente al punto ( 0, φ) tiene la ecuación

Rosa polar

Una rosa polar con ecuación (θ) = 2 sin 4θ.

La rosa polar es una famosa curva matemática que parece una flor con pétalos, y puede expresarse como una ecuación polar simple,

para cualquier constante (incluyendo al 0). Si k es un número entero, estas ecuaciones representan una rosa de k pétalos cuando k es impar, o 2k pétalos si k es par. Si k es racional pero no entero, la gráfica es similar a una rosa pero con los pétalos solapados. Nótese que estas ecuaciones nunca definen una rosa con 2, 6, 10, 14, etc. pétalos. La variable a representa la longitud de los pétalos de la rosa.

Si tomamos sólo valores positivos para r y valores en el intervalo para , la gráfica de la ecuación:

es una rosa de k pétalos, para cualquier número natural . Y si , la gráfica es

una circunferencia de radio

Espiral de Arquímedes

Un brazo de la espiral de Arquímedes con ecuación r(θ) = θ para 0 < θ < 6π.

La espiral de Arquímedes es una famosa espiral descubierta por Arquímedes, la cual puede expresarse también como una ecuación polar simple. Se representa con la ecuación

Un cambio en el parámetro a producirá un giro en la espiral, mientras que b controla la distancia entre los brazos, la cual es constante para una espiral dada. La espiral de Arquímedes tiene dos brazos, uno para θ > 0 y otro para θ < 0. Los dos brazos están conectados en el polo. La imagen especular de un brazo sobre el eje vertical produce el otro brazo. Esta curva fue una de las primeras curvas, después de las secciones cónicas, en ser descritas en tratados matemáticos. Además es el principal ejemplo de curva que puede representarse de forma más fácil con una ecuación polar.

Otros ejemplos de espirales son la espiral logarítmica y la espiral de Fermat.

Secciones cónicas

Elipse, indicándose su semilado recto.

Una sección cónica con un foco en el polo y el otro en cualquier punto del eje horizontal (de modo que el semieje mayor de la cónica descanse sobre el eje polar) es dada por:

donde e es la excentricidad y es el semilado recto (la distancia perpendicular a un foco desde el eje mayor a la curva). Si e > 1, esta ecuación define una hipérbola; si e = 1, define una parábola; y si e < 1, define una elipse. Para la elipse, el caso especial e = 0 resulta en un círculo de radio .

Números complejos

Ilustración de un número complejo z en el plano complejo.

Ilustración de un número complejo en el plano complejo usando la fórmula de Euler.

Cada número complejo se puede representar como un punto en el plano complejo, y se puede expresar, por tanto, como un punto en coordenadas cartesianas o en coordenadas polares. El número complejo z se puede representar en forma rectangular como

donde i es la unidad imaginaria. De forma alternativa, se puede escribir en forma polar (mediante las fórmulas de conversión dadas arriba) como

por lo que se deduce que

donde e es la constante de Neper.9 Esta expresión es equivalente a la mostrada en la fórmula de Euler. (Nótese que en esta fórmula, al igual que en todas aquellas en las que intervienen exponenciales de ángulos, se asume que el ángulo θ está expresado en radianes.) Para pasar de la forma polar a la forma rectangular de un número complejo dado se pueden usar las fórmulas de conversión vistas anteriormente.

Para las operaciones de multiplicación, división y exponenciación de números complejos, es normalmente mucho más simple trabajar con números complejos expresados en forma polar que con su equivalente en forma rectangular:

Multiplicación:

Cálculo infinitesimal

El cálculo infinitesimal puede ser aplicado a las ecuaciones expresadas en coordenadas polares. A lo largo de esta sección se expresa la coordenada angular θ en radianes, al ser la opción convencional en el análisis matemático.10 11

Cálculo diferencial

Partiendo de las ecuaciones de conversión entre coordenadas rectangulares y polares, y tomando derivadas parciales se obtiene

Para encontrar la pendiente en cartesianas de la recta tangente a una curva polar r(θ) en un punto dado, la curva debe expresarse primero como un sistema de ecuaciones paramétricas

Diferenciando ambas ecuaciones respecto a θ resulta

Dividiendo la segunda ecuación por la primera se obtiene la pendiente cartesiana de la recta tangente a la curva en el punto (r, r(θ)):

Cálculo integral

La región R está delimitada por la curva r(θ) y las semirrectas θ = a y θ = b.

Sea R una región del plano delimitada por la curva continua r(θ) y las semirrectas θ = a y θ = b, donde 0 < b − a < 2π. Entonces, el área de R viene dado por

La región R se aproxima por n sectores (aquí, n = 5).

Este resultado puede obtenerse de la siguiente manera. En primer lugar, el intervalo [a, b] se divide en n subintervalos, donde n es un entero positivo cualquiera. Por lo tanto Δθ, la longitud de cada subintervalo, es igual a b − a (la longitud total del intervalo) dividido por n (el número de subintervalos). Para cada subintervalo i = 1, 2, …, n, sea θi su punto medio. Se puede construir un sector circular con centro en el

polo, radio r(θi), ángulo central Δθ y longitud de arco . El área de cada sector es entonces igual a

.

Por lo tanto, el área total de todos los sectores es

Cuanto mayor sea n, mejor es la aproximación al área. En el límite, cuando n → ∞, la suma pasa a ser una suma de Riemann, y por tanto converge en la integral

Generalización

Usando las coordenadas cartesianas, un elemento de área infinitesimal puede ser calculado como dA = dx dy. El método de integración por sustitución para las integrales múltiples establece que, cuando se utiliza otro sistema de coordenadas, debe tenerse en cuenta la matriz de conversión Jacobiana:

Por lo tanto, un elemento de área en coordenadas polares puede escribirse como:

Una función en coordenadas polares puede ser integrada como sigue:

donde R es la región comprendida por una curva r(θ) y las rectas θ = a y θ = b.

La fórmula para el área de R mencionada arriba se obtiene tomando f como una función constante igual a 1. Una de las aplicaciones de estas fórmulas es el cálculo de

la Integral de Gauss :

Cálculo vectorial

El cálculo vectorial puede aplicarse también a las coordenadas polares. Sea el vector

de posición , con r y dependientes del tiempo t.

Sea

un vector unitario en la dirección de y

un vector unitario ortogonal a . Las derivadas primera y segunda del vector de posición son:

División:

Exponenciación (Fórmula de De Moivre):

Extensión a más de dos dimensiones

Tres dimensiones

El sistema de coordenadas polares puede extenderse a tres dimensiones con dos sistemas de coordenadas diferentes: el sistema de coordenadas cilíndricas y el sistema de coordenadas esféricas. El sistema de coordenadas cilíndricas añade una coordenada de distancia, mientras que el sistema de coordenadas esféricas añade una coordenada angular.

Coordenadas cilíndricas

Un punto representado en coordenadas cilíndricas.Artículo principal: Coordenadas cilíndricas.

El sistema de coordenadas cilíndricas es un sistema de coordenadas que extiende al sistema de coordenadas polares añadiendo una tercera coordenada que mide la altura de un punto sobre el plano, de la misma forma que el sistema de coordenadas cartesianas se extiende a tres dimensiones. La tercera coordenada se suele representar por h, haciendo que la notación de dichas coordenadas sea (r, θ, h).

Las coordenadas cilíndricas pueden convertirse en coordenadas cartesianas de la siguiente manera:

Coordenadas esféricas

Un punto representado en coordenadas esféricas.Artículo principal: Coordenadas esféricas.

Las coordenadas polares también pueden extenderse a tres dimensiones usando las coordenadas (ρ, φ, θ), donde ρ es la distancia al origen, φ es el ángulo con respecto al eje z (medido de 0º a 180º), y θ es el ángulo con respecto al eje x (igual que en las coordenadas polares, entre 0º y 360º) Este sistema de coordenadas es similar al sistema utilizado para denotar la altitud y la latitud de un punto en la superficie de la Tierra, donde se sitúa el origen en el centro de la Tierra, la latitud δ es el ángulo complementario de φ (es decir, δ = 90° − φ), y la longitud l viene dada por θ − 180°.12

Las coordenadas esféricas pueden convertirse en coordenadas cartesianas de la siguiente manera:

Las coordenadas polares en el espacio tienen especial interés cuando los ángulos determinan la función, como en el caso de la hélice.

n dimensiones

Es posible generalizar estas ampliaciones de forma que se obtenga un sistema de representación para 4 o más dimensiones. Por ejemplo, para 4 dimensiones se obtiene

Aplicaciones

Las coordenadas polares son bidimensionales, por lo que solamente se pueden usar donde las posiciones de los puntos se sitúen en un plano bidimensional. Son las más adecuadas en cualquier contexto donde el fenómeno a considerar esté directamente ligado con la dirección y longitud de un punto central, como en las figuras de revolución, en los movimientos giratorios, en las observaciones estelares, etc. Los ejemplos vistos anteriormente muestran la facilidad con la que las coordenadas polares definen curvas como la espiral de Arquímedes, cuya ecuación en coordenadas cartesianas sería mucho más intrincada. Además muchos sistemas físicos, tales como los relacionados con cuerpos que se mueven alrededor de un punto central, o los fenómenos originados desde un punto central, son más simples y más intuitivos de modelar usando coordenadas polares. La motivación inicial de la introducción del sistema polar fue el estudio del movimiento circular y el movimiento orbital.

Posición y navegación

Las coordenadas polares se usan a menudo en navegación, ya que el destino o la dirección del trayecto pueden venir dados por un ángulo y una distancia al objeto considerado. Las aeronaves, por ejemplo, utilizan un sistema de coordenadas polares ligeramente modificado para la navegación.

Modelado

Los Sistemas son Busterniano simetría radial poseen unas características adecuadas para el sistema de coordenadas polares, con el punto central actuando como polo. Un primer ejemplo de este uso es la ecuación del flujo de las aguas subterráneas cuando se aplica a pozos radialmente simétricos. De la misma manera, los sistemas influenciados por una fuerza central son también buenos candidatos para el uso de las coordenadas polares. Algunos ejemplos son las antenas radioeléctricas, o los campos gravitatorios, que obedecen a la ley de la inversa del cuadrado (véase el problema de los dos cuerpos).

Los sistemas radialmente asimétricos también pueden modelarse con coordenadas polares. Por ejemplo la directividad de un micrófono, que caracteriza la sensibilidad del micrófono en función de la dirección del sonido recibido, puede representarse por curvas polares. La curva de un micrófono cardioide estándar, el más común de los micrófonos, tiene por ecuación r = 0,5 + 0,5 sen θ.13

Campos escalares

Un problema en el análisis matemático de funciones de varias variables es la dificultad para probar la existencia de un límite, ya que pueden obtenerse diferentes resultados según la trayectoria de aproximación al punto. En el origen de coordenadas, uno de los puntos que tienen más interés para el análisis (por anular habitualmente funciones racionales o logarítmicas), este problema puede solventarse aplicando coordenadas polares. En otros puntos es posible realizar un cambio de sistema de referencia y así aplicar el truco.

Al sustituir las coordenadas cartesianas x, y, z... por sus correspondientes equivalencias en coordenadas polares, el límite al aproximarse al origen se reduce a un límite de una única variable, lo que resulta fácil de calcular por ser el seno y el coseno funciones acotadas y r un infinitésimo. Si el resultado no muestra dependencia angular,

es posible aseverar que el límite es indistinto del punto y trayectoria desde el que se ha aproximado.

Rosa polar

En matemáticas, rosa polar es el nombre que recibe cualquier miembro de una

familia de curvas de ecuación por asemejarse a una flor de pétalos.Esta familia, también conocida como rhodoneas (del griego rhodon, rosa), fue estudiada por el matemático Luigi Guido Grandi, en torno al 1725, en su libro Flores Geometrici.1

Como casos particulares, la rosa de tres pétalos recibe también el nombre de trifolium regular y la de cuatro, el de quadrifolium. Para k=1/2 se obtiene la curva conocida como folium de Durero.

Ecuación

Su expresión general en coordenadas polares es:

Donde a representa la longitud de los pétalos y sólo tiene un efecto de realizar una rotación global sobre la figura. Salvo similaridad, todas estas curvas pueden reducirse a la familia:

2

Aquí la forma queda determinada por el valor del parámetro k:

Si k es un número entero, estas ecuaciones producirán k pétalos si k es impar, o 2k pétalos si k es par.

Si k es racional, entonces la curva es cerrada y de longitud finita. Si k es irracional, su imagen formará un conjunto denso en el disco de radio a.

Rosas definidas por , para valores racionales de k=n/d. La última fila corresponde a valores enteros de k.

La expresión en coordenadas cartesianas de la rosa de cuatro pétalos es

y para la rosa de tres pétalos .

Área

El área de una rosa de ecuación con k natural es igual a:

si k es par, y

si k es impar.http://es.wikipedia.org/wiki/Rosa_polar

Espiral de Arquímedes

Rosa polar de ecuación (θ) = 2 sin 4θ. Su área es, sorprendentemente, la mitad de la del círculo en que está inscrita.

La espiral de Arquímedes (también espiral aritmética) obtuvo su nombre del matemático griego Arquímedes, quien vivió en el siglo III antes de Cristo. Se define como el lugar geométrico de un punto moviéndose a velocidad constante sobre una recta que gira sobre un punto de origen fijo a Velocidad Angular constante.

En coordenadas polares (r, θ) la espiral de Arquímedes puede ser descrita por la ecuación siguiente:

siendo a y b números reales. Cuando el parámetro a cambia, la espiral gira, mientras que b controla la distancia en giros sucesivos.

Arquímedes describió esta espiral en su libro De las Espirales.

Esta curva se distingue de la espiral logarítmica por el hecho de que vueltas sucesivas de la misma tienen distancias de separación constantes (iguales a 2πb si θ es medido en radianes), mientras que en una espiral logarítmica la separación está dada por una progresión geométrica.

Hay que notar que la espiral de Arquímedes tiene dos brazos, uno para θ > 0 y otro para θ < 0. Los dos brazos están discretamente conectados en el origen y sólo se muestra uno de ellos en la gráfica. Tomando la imagen reflejada en el eje Y produciremos el otro brazo.

A veces, el término es usado para un grupo más general de espirales.

La espiral normal ocurre cuando x = 1. Otras espirales que caen dentro del grupo incluyen la espiral hiperbólica, la espiral de Fermat, y el Lituus. Virtualmente todas las espirales estáticas que aparecen en la naturaleza son espirales logarítmicas, no de Arquímedes. Muchas espirales dinámicas (como la espiral de Parker del viento solar, o el patrón producido por una rueda de Catherine) son del grupo de Arquímedes.

Aplicaciones

Mecanismo de una bomba de desplazamiento

La espiral de Arquímedes tiene una plétora de aplicaciones. Por ejemplo, se emplean muelles de compresión, hechos de dos espirales de Arquímedes del mismo tamaño intercaladas, para comprimir líquidos y gases.

Los surcos de las primeras grabaciones para gramófonos (Disco de vinilo) forman una espiral de Arquímedes, haciendo los surcos igualmente espaciados y maximizando el tiempo de grabación que podría acomodarse dentro de la grabación (aunque esto fue cambiado posteriormente para incrementar la cantidad del sonido).

Pedirle a un paciente que dibuje una espiral de Arquímedes es una manera de cuantificar el temblor humano; esta información ayuda en el diagnóstico de enfermedades neurológicas. Estas espirales son también usadas en sistemas DLP de proyección para minimizar el efecto de arcoiris, que simula un despliegue de varios colores al mismo tiempo, cuando en realidad se proyectan ciclos de rojo, verde y azul rápidamente.

Un método para la cuadratura del círculo, relajando las limitaciones estrictas en el uso de una regla y un compás en las pruebas geométricas de la Grecia antigua, hace uso de la Espiral de Arquímedes. También existe un método para trisectar ángulos basado en el uso de esta espiral.

http://es.wikipedia.org/wiki/Coordenadas_polares

Coordenadas cartesianas

Las coordenadas cartesianas o coordenadas rectangulares son un ejemplo de coordenadas ortogonales usadas en espacios euclídeos caracterizadas por la existencia de dos ejes perpendiculares entre sí que se cortan en un punto origen. Las coordenadas cartesianas se definen como la distancia al origen de las proyecciones ortogonales de un punto dado sobre cada uno de los ejes.

Las coordenadas cartesianas se usan por ejemplo para definir un sistema cartesiano o sistema de referencia respecto ya sea a un solo eje (línea recta), respecto a dos ejes (un plano) o respecto a tres ejes (en el espacio), perpendiculares entre sí (plano y espacio), que se cortan en un punto llamado origen de coordenadas. En el plano, las coordenadas cartesianas (o rectangulares) x e y se denominan abscisa y ordenada, respectivamente.

Historia

Se denominan coordenadas cartesianas en honor a René Descartes (1596-1650), el célebre filósofo y matemático francés que quiso fundamentar su pensamiento filosófico en el método de tomar un «punto de partida» evidente sobre el que edificaría todo el conocimiento.

Como creador de la geometría analítica, Descartes también comenzó tomando un «punto de partida» en esta disciplina, el sistema de referencia cartesiano, para poder representar la geometría plana, que usa sólo dos rectas perpendiculares entre sí que se cortan en un punto denominado «origen de coordenadas».

Tres ejemplos de coordinadas asignadas a tres puntos diferentes (verde, rojo y azul), sus proyecciones ortogonales sobre los ejes constituyen sus coordenadas cartesianas.

[editar] Recta euclídea

Un punto cualquiera de una recta puede asociarse y representarse con un número real, positivo si está situado a la derecha de un punto O, y negativo si está a la izquierda. Dicho punto se llama origen de coordenadas O (letra O) y se asocia al valor 0 (cero).

Corresponde a la dimensión uno, que se representa con el eje X, en el cual se define un origen de coordenadas, simbolizado con la letra O (O de origen) y un vector unitario en la dirección positiva de las x: .

Este sistema de coordenadas es un espacio vectorial de dimensión uno, y se le pueden aplicar todas las operaciones correspondientes a espacios vectoriales. También se le llama recta real.

Un punto:

también puede representarse:

La distancia entre dos puntos A y B es:

[editar] Plano euclídeo

Con un sistema de referencia conformado por dos rectas perpendiculares que se cortan en el origen, cada punto del plano puede "nombrarse" mediante dos números: (x, y), que son las coordenadas del punto, llamadas abscisa y ordenada, respectivamente, que son las distancias ortogonales de dicho punto respecto a los ejes cartesianos.

Sistema de coordenadas cartesianas.

La ecuación del eje x es y = 0, y la del eje y es x = 0, rectas que se cortan en el origen O, cuyas coordenadas son, obviamente, (0, 0).

Se denomina también eje de las abscisas al eje x, y eje de las ordenadas al eje y. Los ejes dividen el espacio en cuatro cuadrantes en los que los signos de las coordenadas alternan de positivo a negativo (por ejemplo, las dos coordenadas del punto A serán positivas, mientras que las del punto B serán ambas negativas).

Las coordenadas de un punto cualquiera vendrán dadas por las proyecciones del segmento entre el origen y el punto sobre cada uno de los ejes.

Sobre cada uno de los ejes se definen vectores unitarios (i y j) como aquellos paralelos a los ejes y de módulo (longitud) la unidad. En forma vectorial, la posición del punto A se define respecto del origen con las componentes del vector OA.

La posición del punto A será:

Nótese que la lista de coordenadas puede expresar tanto la posición de un punto como las componentes de un vector en notación matricial.

La distancia entre dos puntos cualesquiera vendrá dada por la expresión:

Aplicación del teorema de Pitágoras al triángulo rectángulo ABC.

Un vector cualquiera AB se definirá restando, coordenada a coordenada, las del punto de origen de las del punto de destino:

Evidentemente, el módulo del vector AB será la distancia dAB entre los puntos A y B antes calculada.

Espacio euclídeo

Si tenemos un sistema de referencia formado por tres rectas perpendiculares entre sí (X, Y, Z), que se cortan en el origen (0, 0, 0), cada punto del espacio puede nombrarse mediante tres números: (x, y, z), denominados coordenadas del punto, que son las distancias ortogonales a los tres planos principales: los que contienen las parejas de ejes YZ, XZ e YX, respectivamente.

coordenadas cartesianas espaciales.

Los planos de referencia XY (z = 0); XZ (y = 0); e YZ (x = 0) dividen el espacio en ocho cuadrantes en los que, como en el caso anterior, los signos de las coordenadas pueden ser positivos o negativos.

La generalización de las relaciones anteriores al caso espacial es inmediata considerando que ahora es necesaria una tercera coordenada (z) para definir la posición del punto.

Las coordenadas del punto A serán:

y el B:

La distancia entre los puntos A y B será:

El segmento AB será:

[editar] Cambio del sistema de coordenadas

Tanto en el caso plano como en el caso espacial pueden considerarse tres transformaciones elementales: traslación (del origen), rotación (alrededor de un eje) y escalado.

[editar] Traslación del origen

Traslación del origen en coordenadas cartesianas.

Suponiendo un sistema de coordenadas inicial S1 con origen en O y ejes x e y

y las coordenadas de un punto A dado, sean en el sistema S1:

dado un segundo sistema de referencia S2

Siendo los centros de coordenadas de los sistemas 0 y 0´, puntos distintos, y los ejes x, x´; e y, y´ paralelos dos a dos, y las coordenadas de O´, respecto a S1:

Se dice traslación del origen, a calcular las coordenadas de A en S2, según los datos anteriores, que llamaremos:

Dados los puntos O, O´ y A, tenemos la suma de vectores:

despejando

Lo que es lo mismo que:

Separando los vectores por coordenadas:

y ampliándolo a tres dimensiones:

Rotación alrededor del origen

Rotación alrededor del origen en coordenadas cartesianas.

Dado un sistema de coordenadas en el plano S1 con origen en O y ejes x e y:

y una base ortonormal de este sistema:

Un punto A del plano se representará en este sistema según sus coordenadas:

Para un segundo sistema S2 de referencia girado un ángulo , respecto al primero:

y con una base ortonormal:

Al cálculo de las coordenadas del punto A, respecto a este segundo sistema de referencia, girado respecto al primero, se llama rotación alrededor del origen, siendo su representación:

Hay que tener en cuenta que el punto y son el mismo punto, ; se emplea una denominación u otra para indicar el sistema de referencia empleado. El valor de las coordenadas respecto a uno u otro sistema, sí son diferentes, y es lo que se pretende calcular.

La representación de B1 en B2 es:

Dado que el punto A en B1 es:

con la transformación anterior tenemos:

Y, deshaciendo los paréntesis:

reordenando:

Como:

;

Tenemos que:

Como sabíamos:

Por identificación de términos:

Que son las coordenadas de A en B2, en función de las coordenadas de A en B1 y de .

Escalado

Sea un punto con coordenadas (x,y) en el plano. Si se cambia la escala de ambos ejes en un factor λ, las coordenadas de dicho punto en el nuevo sistema de coordenadas pasarán a ser:

El factor de escala λ no necesariamente debe ser el mismo para ambos ejes.

[editar] Cálculo matricial

Siendo [T] la matriz de transformación y cuyas filas son precisamente las componentes de los vectores unitarios i ' y j ' respecto de los originales i y j, o si se prefiere, cuyas columnas son las componentes de los vectores unitarios originales en el sistema de referencia rotado.

Nota: Las magnitudes vectoriales están en negrita.

http://es.wikipedia.org/wiki/Coordenadas_cartesianas

Plano (geometría)

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Intersección de dos planos en un espacio tridimensional. Representación isométrica de dos planos perpendiculares.

Representación gráfica informal de un plano.

En geometría, un plano es el ente ideal que solo posee dos dimensiones, y contiene infinitos puntos y rectas; es uno de los entes geométricos fundamentales junto con el punto y la recta.

Solamente puede ser definido o descrito en relación a otros elementos geométricos similares. Se suele describir apoyándose en los postulados característicos, que determinan las relaciones entre los entes geométricos fundamentales. .-Cuando se habla de un plano, se está haciendo referencia a la superficie geométrica que no posee volumen (es decir, que es solo bidimensional) y que posee un número infinito de rectas y puntos que lo cruzan de un lado al otro. Sin embargo, cuando el término se utiliza en plural, se está hablando de aquel material que es elaborado como una representación gráfica de superficies de diferente tipo. Los planos son especialmente utilizados en ingeniería, arquitectura y diseño ya que sirven para diagramar en una superficie plana otras superficies que son regularmente tridimensionales.

Un plano queda definido por los siguientes elementos geométricos:

Tres puntos no alineados. Una recta y un punto exterior a ella. Dos rectas paralelas. Dos rectas que se cortan.

Los planos suelen nombrarse con una letra del alfabeto griego.

Suele representarse gráficamente, para su mejor visualización, como una figura delimitada por bordes irregulares (para indicar que el dibujo es una parte de una superficie infinita).

Propiedades del plano ℝ3

En un espacio euclidiano tridimensional ℝ3, podemos hallar los siguientes hechos, (los cuales no son necesariamente válidos para dimensiones mayores).

Dos planos o son paralelos o se intersecan en una línea. Una línea es paralela a un plano o interseca al mismo en un punto o es

contenida por el plano mismo. Dos líneas perpendiculares a un mismo plano son necesariamente paralelas

entre sí. Dos planos perpendiculares a una misma línea son necesariamente paralelos

entre sí. Entre un plano Π cualquiera y una línea no perpendicular al mismo existe solo

un plano tal que contiene a la línea y es perpendicular al plano Π. Entre un plano Π cualquiera y una línea perpendicular al mismo existe un

número infinito de planos tal que contienen a la línea y son perpendiculares al plano Π.

[editar] Ecuación del plano

Un plano queda definido por los siguientes elementos geométricos: un punto y dos vectores

Punto P = (x1, y1, z1)Vector u = (a1, b1, c1)Vector v = (a2, b2, c2)

Esta es la forma vectorial del plano, sin embargo la forma más utilizada es la reducida, resultado de igualar a cero el determinante formado por los dos vectores y el punto genérico X = (x, y, z) con el punto dado. De esta manera la ecuación del plano es:

Donde (A, B, C) es un vector perpendicular al plano, coincide con el producto vectorial de los vectores u y v. La fórmula para hallar la ecuación cuando no está en el origen es:

Posición relativa entre dos planos

Si tenemos un plano 1 con un punto A y un vector normal 1, y también tenemos un plano 2 con un punto B y un vector normal 2.

Sus posiciones relativas pueden ser:

Planos coincidentes: la misma dirección de los vectores normales y el punto A pertenece al plano 2.

Planos paralelos: si tienen la misma direción los vectores normales y el punto A no pertenece al plano 2.

Planos secantes: si los vectores normales no tienen la misma dirección.

[editar] Distancia de un punto a un plano

Para un plano cualquiera y un punto cualquiera

no necesariamente contenido en dicho plano Π, la menor distancia entre P1 y el plano Π es:

De lo anterior se deduce que el punto P1 pertenecerá al plano Π si y solo si D=0.

Si los coeficientes a, b y c de la ecuación canónica de un plano cualquiera están

normalizados, esto es cuando , entonces la fórmula anterior de la distancia D se reduce a:

[editar] Semiplano

Se llama semiplano, en geometría, a cada una de las dos partes en que un plano queda dividido por una recta.

[editar] Postulados de la división de un plano

En cada pareja de semiplanos que una recta r determina sobre un plano, existen infinitos puntos tales que:

1. Todo punto del plano pertenece a uno de los dos semiplanos, o a la recta que los determina.

2. Dos puntos del mismo semiplano, determinan un segmento que no corta a la recta r.

3. Dos puntos de semiplanos diferentes, determinan un segmento que corta a la recta r. Ésta, la recta, es un conjunto de infinitos puntos alineados, sin principio ni fin.

http://es.wikipedia.org/wiki/Plano_%28geometr%C3%ADa%29

Espacio euclídeo

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En matemáticas, el espacio euclídeo es un tipo de espacio geométrico donde se satisfacen los axiomas de Euclides de la geometría. La recta real, el plano euclídeo, al espacio tridimensional de la geometría euclidiana son casos especiales de espacios euclídeos de dimensiones 1, 2 y 3 respectivamente. El concepto abstracto de espacio euclídeo generaliza esas construcciones a más dimensiones.

El término euclídeo se utiliza para distinguir estos espacios de los espacios curvos de las geometrías no euclidianas y del espacio de la teoría de la relatividad de Einstein. Para resaltar el hecho de que un espacio euclídeo puede poseer n dimensiones, se suele hablar de "espacio euclídeo n-dimensional" (denotado , o incluso )

Introducción

Un espacio euclídeo es un espacio vectorial normado sobre los números reales de dimensión finita, en que la norma es la asociada al producto escalar ordinario. Para cada número entero no negativo n, el espacio euclídeo n-dimensional es el conjunto:

junto con la función distancia obtenida mediante la siguiente definición de distancia entre dos puntos (x1, ..., xn) e (y1, ..., yn):

Esta función distancia está basada en el teorema de Pitágoras y es llamada Distancia euclidiana.

[editar] Estructuras sobre el espacio euclídeo

Los espacios euclidianos y sus propiedades han servido de base para generar gran cantidad de conceptos matemáticos relacionados con la geometría, la topología, el álgebra y el cálculo. Aunque el espacio euclídeo suele ser introducido, por razones didácticas, como espacio vectorial, en realidad sobre él se pueden definir muchas más estructuras. El espacio euclídeo es además de un espacio vectorial un caso de:

Un espacio de Hilbert de dimensión finita, con el producto escalar ordinario. Un espacio de Banach de dimensión finita, con norma inducida por el producto

escalar interior. Un espacio métrico completo, con distancia inducida por la norma anterior. Un espacio topológico, inducido por la métrica euclídea. Un grupo de Lie, con la operación de adición. Un álgebra de Lie con el producto vectorial.

[editar] El espacio euclídeo como espacio métrico

Por definición, E n es un espacio métrico, y es por tanto también un espacio topológico; es el ejemplo prototípico de una n-variedad, y es de hecho una n-variedad diferenciable. Para n ≠ 4, cualquier n-variedad diferenciable que sea homeomorfa a E n es también difeomorfa a ella. El hecho sorprendente es que esto no es cierto también para n = 4, lo que fue probado por Simon Donaldson en el año 1982; los contraejemplos se llaman 4-espacios exóticos (o falsos).

[editar] El espacio euclídeo como espacio topológico

Se puede decir mucho sobre la topología de E n, Pero esperaremos a una próxima edición de este artículo. Un resultado importante, el invariancia del dominio de Brouwer, es el de que cualquier subconjunto de E n que sea homeomorfo a un subconjunto abierto de E n es en sí mismo abierto. Como consecuencia inmediata de esto se tiene que E m no es homeomorfo a E n si m ≠ n -- un resultado intuitivamente "obvio" que sin embargo no es fácil de demostrar.

[editar] El espacio euclídeo como espacio vectorialArtículo principal: Vector (espacio euclídeo).

El n-espacio euclídeo se puede considerar también como un Espacio vectorial n-dimensional real, de hecho un Espacio de Hilbert, de manera natural. El producto escalar, de x = (x1,...,xn) e y = (y1,...,yn) está dado por:

http://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_eucl%C3%ADdeohttp://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_vectorial

Espacio vectorial

Este artículo está orientado a proporcionar un tratamiento riguroso y abstracto del concepto de espacio vectorial. Para una introducción más accesible al concepto, véase Vector

http://es.wikipedia.org/wiki/Vector

En matemáticas, un espacio vectorial es una estructura algebraica creada a partir de un conjunto no vacío, una operación interna (llamada suma, definida para los elementos del conjunto) y una operación externa (llamada producto por un escalar, definida entre dicho conjunto y un cuerpo matemático), con 8 propiedades fundamentales.

A los elementos de un espacio vectorial se les llama vectores y a los elementos del cuerpo, escalares.