Controlador Adaptativo Backstepping a Estrutura Vari´avel

Universidade Federal do Rio Grande do Norte

Centro de Tecnologia

Programa de Pos-Graduacao em Engenharia Eletrica e Computacao

Controlador Adaptativo Backstepping a Estrutura

Variavel

Kurios Iuri Pinheiro de Melo Queiroz

Orientador: Prof. Dr. Aldayr Dantas de Araujo

Natal/RN - Brasil

Novembro de 2008

Universidade Federal do Rio Grande do Norte

Centro de Tecnologia

Programa de Pos-Graduacao em Engenharia Eletrica e Computacao


Variavel


Dissertacao submetida ao Programa de Pos-

Graduacao em Engenharia Eletrica e Com-

putacao da Universidade Federal do Rio

Grande do Norte como parte dos requisi-

tos para a obtencao do grau de Mestre em

Ciencias.

Orientador: Prof. Dr. Aldayr Dantas de Araujo

Natal/RN - Brasil

Novembro de 2008


Variavel


Dissertacao de Mestrado aprovada em 20 de Novembro de 2008 pela banca axamina-

dora composta pelos seguintes membros:

Prof. Dr. Aldayr Dantas de Araujo (orientador) DEE/UFRN

Prof. Dr. Josenalde Barbosa de Oliveira EAJ/UFRN

Prof. Dr. Ramon Romankevicius Costa COPPE/UFRJ

Aos meus pais - Ivanildo Pinheiro e Maria Luzimar

Ao meu irmao - Kurios Igor

A minha noiva - Janaına

Agradecimentos

A Deus, pelo dom da vida e por tudo o que Ele tem me proporcionado diariamente.

Aos Professores Aldayr Dantas de Araujo e Ricardo Lucio de Araujo Ribeiro, pelos

ensinamentos e orientacoes academicas.

A minha noiva Janaına, que sempre esteve ao meu lado, nos momentos de tristeza e

alegria, muitas vezes abdicando do seu proprio lazer e descanso quando assim precisei.

A todos os meus familiares e amigos, que me incentivaram e me apoiaram nessa etapa

de minha vida. Aos meus amigos Marcus, Erico, Iuri e Allyson que me acompanharam

e me apoiaram nos momentos difıceis. Ao meu amigo Marcelo Duarte, pelas calorosas

discussoes no INPE e pela atencao prestada nos momentos importantes.

Aos amigos do LACI, que me ajudaram sempre que precisei. A todos os professores do

PPGEE, que me transmitiram seus conhecimentos e experiencias profissionais durante este

perıodo. Aos funcionarios da UFRN e a todos que, direta ou indiretamente, contribuıram

para a realizacao deste trabalho.

Conteudo

Lista de Figuras iv

Lista de Tabelas v

Resumo vi

Abstract vii

Glossario de Termos viii

1 Introducao 1

1.1 Consideracoes Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.1 Robustez a Dinamica Nao Modelada e Disturbios . . . . . . . . . . 3

1.2 Controle Adaptativo Backstepping e as Funcoes de Sintonia (Tuning Func-

tions) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3 Abordagem Modular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.4 Controle Adaptativo Backstepping por Realimentacao de Saıda . . . . . . . 6

1.5 Esquema Geral do Controle Backstepping . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.6 Controle por Modos Deslizantes (Sliding Mode Control) . . . . . . . . . . . 7

1.6.1 Solucao de Filippov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.7 Estrutura do Trabalho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2 VS-ABC para Sistemas de Primeira Ordem 13

2.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.2 Controlador Adaptativo Backstepping . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.3 Controlador Adaptativo Backstepping a Estrutura Variavel . . . . . . . . . 19

i

2.4 Resumo dos Controladores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.5 Resultados de Simulacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.5.1 Simulacoes Iniciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.5.2 Os Exemplos de Rohrs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3 VS-ABC para Sistemas com Grau Relativo Unitario 30

3.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.1.1 Filtros de Estimacao (Filtros K) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.2 Controlador Adaptativo Backstepping . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.3 Controlador Adaptativo Backstepping a Estrutura Variavel . . . . . . . . . 36

3.4 Resumo dos Controladores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.5 Resultados de Simulacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4 Conclusoes e Consideracoes Finais 45

Apendices 47

A Conceitos sobre Estabilidade 47

A.1 Definicao de Estabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

A.2 Metodo Direto de Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

A.2.1 Funcoes Definidas Positivas e Negativas . . . . . . . . . . . . . . . . 48

A.2.2 Translacao da Origem do Sistema de Coordenadas . . . . . . . . . . 48

A.2.3 Teoremas sobre Estabilidade (Segundo Lyapunov) . . . . . . . . . . 49

B Producao Cientıfica Relacionada 50

Bibliografia 51

ii

Lista de Figuras

1.1 Esquema geral do controle backstepping. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2 Superfıcie de deslizamento para o sistema de segunda ordem (1.2). . . . . . . . . . . 8

1.3 Comportamento do sistema no deslizamento ideal (a) e real (b). . . . . . . . . . . . 10

1.4 Campo vetorial no modo deslizante (solucao de Filippov). . . . . . . . . . . . . . . 12

2.1 Diagrama de blocos do VS-ABC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.2 Saıda do sistema e do modelo de referencia para o controlador adaptativo backstepping

(a) e para o VS-ABC (b) na ausencia de incertezas parametricas e disturbios - sistema

de primeira ordem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.3 Controle virtual para o controlador adaptativo backstepping (a) e para o VS-ABC (b)

na ausencia de incertezas parametricas e disturbios - sistema de primeira ordem. . . . . 25


(a) e para o VS-ABC (b) na presenca de uma perturbacao aditiva (d = 2) e uma variacao

de 20% nos valores nominais dos seus parametros - sistema de primeira ordem. . . . . 26

2.5 Controle virtual para o controlador adaptativo backstepping (a) e para o VS-ABC (b)

na presenca de uma perturbacao aditiva (d = 2) e uma variacao de 20% nos valores

nominais dos seus parametros - sistema de primeira ordem. . . . . . . . . . . . . . . 26

2.6 Estimativas para os parametros da planta, na presenca (a) e na ausencia (b) de incer-

tezas parametricas e disturbios para o controlador adaptativo backstepping - sistema de

primeira ordem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.7 Saıda do sistema e do modelo de referencia (a) e as estimativas para os parametros (b)

com o controlador adaptativo backstepping na presenca de dinamica nao-modelada e o

sinal r(t) = 0.3 + 1.85sin16.1t como entrada para o modelo de referencia. . . . . . . . 28

2.8 Saıda do sistema e do modelo de referencia para o VS-ABC na presenca de dinamica

nao-modelada e o sinal r(t) = 0.3+1.85sin16.1t como entrada para o modelo de referencia. 29iii


(a) e para o VS-ABC (b) na ausencia de incertezas parametricas e disturbios - grau

relativo unitario. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.2 Sinal de controle para o controlador adaptativo backstepping (a) e para o VS-ABC (b)

na ausencia de incertezas parametricas e disturbios - grau relativo unitario. . . . . . . 42


(a) e para o VS-ABC (b) na presenca de uma perturbacao aditiva (d = 2) e uma variacao

de 20% nos valores nominais dos seus parametros - grau relativo unitario. . . . . . . . 43

3.4 Sinal de controle para o controlador adaptativo backstepping (a) e para o VS-ABC (b)

na presenca de uma perturbacao aditiva (d = 2) e uma variacao de 20% nos valores

nominais dos seus parametros - grau relativo unitario. . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.5 Estimativas para os parametros da planta, na presenca (a) e na ausencia (b) de incertezas

parametricas e disturbios para o controlador adaptativo backstepping - grau relativo

unitario. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

iv

Lista de Tabelas

2.1 Resumo dos controladores adaptativos backstepping e VS-ABC para sistemas de primeira

ordem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.1 Filtros K para sistemas lineares SISO com grau relativo qualquer. . . . . . . . . . . . 34

3.2 Resumo dos controladores adaptativos backstepping e VS-ABC para sistemas com grau

relativo unitario. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

v

Resumo

Neste trabalho, um controlador adaptativo backstepping a estrutura variavel (Vari-

able Structure Adaptive Backstepping Controller, VS-ABC) e apresentado para plantas

monovariaveis, lineares e invariantes no tempo com grau relativo unitario. Ao inves das

tradicionais leis integrais para estimacao dos parametros da planta, leis chaveadas sao

utilizadas com o objetivo de aumentar a robustez em relacao a incertezas parametricas e

disturbios externos, bem como melhorar o desempenho transitorio do sistema. Adicional-

mente, o projeto do novo controlador e mais intuitivo quando comparado ao controlador

backstepping original, uma vez que os reles introduzidos apresentam amplitudes direta-

mente relacionadas com os parametros nominais da planta. Esta nova abordagem, com

uso de estrutura variavel, tambem reduz a complexidade das implementacoes praticas, mo-

tivando a utilizacao de componentes industriais, tais como, FPGAs (Field Programmable

Gate Arrays ), MCUs (Microcontrollers) e DSPs (Digital Signal Processors). Simulacoes

preliminares para um sistema instavel de primeira e segunda ordem sao apresentadas de

modo a corroborar os estudos. Um dos exemplos de Rohrs e ainda abordado atraves

de simulacoes, para os dois cenarios adaptativos: o controlador backstepping adaptativo

original e o VS-ABC.

Palavras-chave: Controle Adaptativo, Robustez, Sistemas com Estrutura Variavel e

Controlador Backstepping Adaptativo.

vi

Abstract

In this work, a Variable Structure Adaptive Backstepping Controller (VS-ABC) for

monovariable, linear time invariant plants with relative degree one is presented. Instead

of traditional integral adaptive laws for estimating the plant parameters, switching laws

are used to increase robustness to parametric uncertainties and disturbances, as well as,

to improve transient response. Moreover, the new controller design is more intuitive

when compared with the original adaptive backstepping controller, since the amplitude

relays are related to the plant nominal parameters. This new approach, using variable

structure, also reduces the practical implementation complexity, encouraging the use of

industrial embedded components, such as, FPGAs (Field Programmable Gate Arrays),

MCUs (Microcontrollers) and DSPs (Digital Signal Processors). Additionally, preliminary

simulation results for an unstable first and second order system are shown in order to

corroborate the theoretical studies. A Rohrs example is also simulated for both adaptive

schemes: the adaptive backstepping controller and the VS-ABC.

Keywords: Adaptive Control, Robustness, Variable Structure Systems and Adaptive

Backstepping Controller.

vii

Glossario de Termos

APPC - Adaptive Pole Placement Controller (Controlador Adaptativo por Posiciona-

mento de Polos)

DMARC - Dual Mode Adaptive Robust Controller (Controlador em Modo Dual Adapta-

tivo Robusto)

FEA - Funcao de Estabilizacao Auxiliar

FS - Funcoes de Sintonia

ISS - Input-to-State Stability

LTI - Linear Time Invariant (Linear e Invariante no Tempo)

MIMO - Multiple Input Multiple Output (Multivariavel)

MRAC - Model Reference Adaptive Controller (Controlador Adaptativo por Modelo de

Referencia)

SG - Small Gain

SISO - Single Input Single Output (Monovariavel)

VS-APPC - Variable Structure Adaptive Pole Placement Controller (Controlador Adap-

tativo por Posicionamento de Polos e Estrutura Variavel)

VSC - Variable Structure Control (Controle por Estrutura Variavel)

VS-MRAC - Variable Structure Model Reference Adaptive Controller (Controlador Adap-

tativo por Modelo de Referencia)

VSS - Variable Structure Systems (Sistemas com Estrutura Variavel)

viii

Capıtulo 1

Introducao

1.1 Consideracoes Preliminares

Tradicionalmente, o principal problema dos sistemas adaptativos esta relacionado com

o seu desempenho transitorio, que e caracterizado como um tema de grande relevancia

em aplicacoes reais. Para os controladores adaptativos convencionais, apesar da especi-

ficacao de um modelo de referencia ou de um polinomio caracterıstico desejado em malha

fechada, os requisitos de desempenho no transitorio nem sempre sao atendidos. Isso se

deve a tais controladores nao considerarem a dinamica presente no processo de estimacao

dos parametros, o que impossibilita o projetista de assegurar limites no comportamento

transitorio do sistema. Alem disso, grandes oscilacoes iniciais sao normalmente observa-

das, uma vez que o sistema esta “aprendendo” sobre o processo atraves das estimativas

para os parametros da planta ou do controlador. Em sistemas de potencia, por exemplo,

nao e desejavel que a tensao controlada nos terminais dos geradores apresente grandes

oscilacoes por um longo perıodo de tempo, sob a prerrogativa de ocasionar grandes proble-

mas aos consumidores da rede. Com o objetivo de melhorar a performance dos sistemas

adaptativos, a tecnica de controle backstepping foi proposta por Ioannis Kanellakopoulos

[1] em colaboracao com Petar Kokotovic e Steve Morse. Posteriormente, novos resultados

para sistemas lineares e nao-lineares foram apresentados em [2], com enfase maior ao caso

nao-linear.

Comparado aos controladores adaptativos tradicionais para sistemas lineares, como

o MRAC (Model Reference Adaptive Controller) em [3] e [4], e o APPC (Adaptive Pole

Capıtulo 1. Introducao 2

Placement Controller) em [5] e [6], o controlador adaptativo backstepping em [7] garante

estabilidade na falta de adaptacao dos parametros estimados, alem de apresentar uma

boa resposta transitoria que pode ser devidamente especificada atraves de algumas cons-

tantes de projeto. Entretanto, estas novas caracterısticas sao obtidas com um aumento

na complexidade da lei de controle, e consequentemente, nos problemas associados a im-

plementacoes praticas, principalmente em sistemas embarcados. O projeto do controla-

dor corresponde a outra desvantagem, comumente presente na maioria dos controladores

adaptativos com uso de leis integrais (excesso de constantes a serem ajustadas). Tais

peculiaridades contribuem para a baixa popularidade dos controladores adaptativos no

meio industrial, cuja fase de projeto pode se tornar relativamente longa e cansativa, ate

mesmo para projetistas mais experientes.

Neste trabalho, um controlador adaptativo backstepping a estrutura variavel (Variable

Structure Adaptive Backstepping Controller, VS-ABC) e proposto, onde as leis integrais

adaptativas do controlador backstepping original sao substituıdas por leis chaveadas. Esta

nova estrategia visa agregar as melhores qualidades de cada tecnica individualmente,

em particular, o rapido transitorio e a robustez a incertezas parametricas e disturbios

externos. Ainda como resultado dessa uniao, o projeto do novo controlador foi simplificado

em relacao ao controlador backstepping original, pois a amplitude dos reles introduzidos

esta associada a parametros fısicos (parametros nominais da planta), como resistencias,

capacitancias, momentos de inercia, etc. O VS-ABC tem como meta ser um controlador

totalmente baseado em sıntese de sinais, proporcionando uma reducao na complexidade

do seu algoritmo e estimulando implementacoes praticas no ambiente industrial.

Estrategias semelhantes, combinando as tecnicas de estrutura variavel e controle adap-

tativo, foram apresentadas em [8] e [9], onde o VS-MRAC (Variable Structure Model

Reference Adaptive Controller) e o VS-APPC (Variable Structure Adaptive Pole Place-

ment Controller) foram propostos, respectivamente, nas suas versoes direta e indireta. A

versao indireta do controlador VS-MRAC (IVS-MRAC) foi apresentada em [10], cujo pro-

jeto do controlador se mostrou mais intuitivo, em virtude da relacao entre os parametros

nominais da planta e a amplitude dos reles. Um controlador em modo dual adaptativo

robusto (Dual Mode Adaptive Robust Controller, DMARC) foi ainda proposto em [11] e

[12], onde as estrategias MRAC e VS-MRAC sao interpoladas com o intuito de incorporar


as vantagens de desempenho transitorio do VS-MRAC, com as propriedades em regime

permanente do MRAC convencional (sinal de controle suave).

Ao comparar o VS-MRAC tradicional com o VS-ABC, devido as diferentes abordagens

adotadas (direta e indireta, respectivamente), observa-se que a fase de projeto e menos

intuitiva no primeiro caso, uma vez que o processo de obtencao dos limitantes para os

parametros do controlador e bastante oneroso. A abordagem indireta proporciona ainda

um processo de “estimacao” individual dos parametros do sistema, extremamente util

em situacoes onde somente parte dos parametros da planta e desconhecida. Caso exista

pelo menos um parametro desconhecido no cenario VS-MRAC, todos os parametros do

controlador devem ser “estimados”, pois o desconhecimento parcial do sistema se espalha

por toda a sua estrutura. Apesar das desvantagens mencionadas, o VS-MRAC apresenta

uma lei de controle mais simples em relacao ao VS-ABC.

Alguns trabalhos anteriores descrevem ainda estrategias baseadas na uniao entre as

tecnicas de controle backstepping e estrutura variavel [13]-[19]. Em [14], o metodo de

controle backstepping e simplificado atraves do uso de filtros com modos deslizantes para

estimacao das derivadas da saıda da planta. Em [18] e [19], os autores propuseram a

estabilizacao de uma classe de sistemas nao-lineares com incertezas, caracterizada pela

existencia de um controle por modos deslizantes de segunda ordem, em conjunto com a

tecnica de backstepping. O algoritmo de controle e composto por n − 1 passos, onde n

corresponde a ordem do sistema, semelhantes aos apresentados em [20], com um controle

por modos deslizantes desenvolvido no ultimo passo e que visa compensar as incertezas

presentes no sistema. O VS-ABC difere dos cenarios supracitados no uso da tecnica de

estrutura variavel, proposta aqui para substituir as leis de adaptacao integrais por leis

chaveadas apropriadas.

1.1.1 Robustez a Dinamica Nao Modelada e Disturbios

Motivados por questoes de ordem pratica, os autores em [21] mostraram que os algo-

ritmos adaptativos originais tornavam-se instaveis na presenca de dinamica nao modelada

e disturbios na saıda da planta. Ao longo dos ultimos anos, varios pesquisadores desenvol-

veram modificacoes adicionais nas leis adaptativas, dentre elas, a zona morta normalizada

[22], a projecao de parametros [23] e a modificacao σ [24], [25], com o objetivo de au-


mentar a robustez dos sistemas adaptativos. A principal ideia por tras das modificacoes

propostas corresponde a limitacao das estimativas dos parametros do controlador (no caso

direto) ou dos parametros da planta (no caso indireto), evitando a instabilidade do sis-

tema pelo uso das leis adaptativas integrais. A inclusao da tecnica de estrutura variavel

nos controladores adaptativos convencionais naturalmente realiza essa limitacao, uma vez

que os reles fazem parte do processo de “estimacao” dos parametros incertos, ao inves do

tradicional mecanismo de integracao.

1.2 Controle Adaptativo Backstepping e as Funcoes

de Sintonia (Tuning Functions)

A estrategia de controle adaptativo backstepping consiste na analise de alguns passos

anteriores a partir da equacao escalar da lei de controle, separada do sistema por um certo

numero de integradores. Considere o conjunto de equacoes

x1 = bx2 − ax1

x2 = x3

x3 = u,

(1.1)

onde a e b correspondem a parametros desconhecidos para um sistema de primeira ordem,

linear e invariante no tempo. O sinal de controle u esta separado do sistema por dois inte-

gradores, nao sendo possıvel a sua aplicacao direta na entrada da planta. A principal ideia

da tecnica backstepping e projetar um controlador recursivamente, considerando algumas

das variaveis de estado (nesse caso, x2 e x3) como Controles Virtuais (Virtual Controls)

e projetando para elas leis de controle intermediarias. As leis adaptativas para estimacao

dos parametros sao obtidas com base na teoria de Lyapunov, porem com a possibilidade de

sobre-parametrizacao (existencia de varias leis de adaptacao para um mesmo parametro).

Este problema foi parcialmente reduzido por Jiang e Praly em [26], e totalmente solucio-

nado por Miroslav Krstic em [27], atraves das Funcoes de Sintonia (Tuning Functions).

Elas correspondem a uma forma mais avancada do controle adaptativo backstepping, com

a vantagem da dinamica do controlador ser a menor possıvel.


1.3 Abordagem Modular

Apesar dos benefıcios apresentados pelo controle adaptativo backstepping e sua abor-

dagem atraves das funcoes de sintonia (FS), algumas desvantagens podem ser observadas.

A principal delas esta relacionada a falta de liberdade na escolha das leis de atualizacao

para os parametros. Na versao adaptativa e por FS, o controlador backstepping nao pode

ser utilizado em conjunto com as tecnicas tradicionais de estimacao, como o metodo do

gradiente ou dos mınimos quadrados. Alem disso, em sistemas com muitos parametros

desconhecidos, a ordem do controlador adaptativo backstepping e alta em virtude da

sobre-parametrizacao, enquanto que no uso das funcoes de sintonia ela e a menor possıvel.

Por outro lado, em sistemas de ordem elevada, as expressoes nao-lineares do controlador

se tornam bem complexas na abordagem por FS, cuja principal fonte de complexidade

encontra-se na interacao entre os blocos de estimacao e de controle. Tais desvantagens

foram removidas pela abordagem Modular do controlador adaptativo backstepping, pro-

posta inicialmente em [28].

Os controladores adaptativos tradicionais para sistemas lineares apresentam um impor-

tante grau de modularidade, devido ao princıpio da equivalencia a certeza: qualquer

estimador pode ser utilizado em conjunto com qualquer controlador adaptativo. Segundo

essa propriedade, caso as estimativas para os parametros da planta (ou do controlador)

convirjam para os seus valores ideais, o desempenho do controlador tendera ao apre-

sentado na situacao em que os parametros sao conhecidos. Inspirada neste cenario, a

abordagem modular do controlador adaptativo backstepping foi idealizada, porem com a

presenca de um obstaculo na aplicacao do princıpio da equivalencia a certeza aos sistemas

nao-lineares. No caso linear, as variaveis de um sistema instavel permanecem limitadas

sobre qualquer intervalo de tempo finito, o que e suficiente para que o bloco de estimacao

forneca valores adequados para os parametros desconhecidos. A situacao e bem diferente

no caso nao-linear, onde podem existir termos (x1x2, ex, x3, etc.) com uma taxa de cres-

cimento alta, e que na presenca de um pequeno erro de estimacao, podem ocasionar o

fenomeno de escape em tempo finito.

Um novo controlador com importantes propriedades de robustez, o controlador adap-

tativo backstepping ISS (Input-to-State Stability) e apresentado em [2], sendo capaz de

garantir estabilidade mesmo na falta de adaptacao dos parametros estimados. Adicio-


nalmente, esse controlador nao so garante estabilidade na presenca de erros parametricos

constantes, mas tambem na presenca de estimativas/erros que variam com o tempo. Um

segundo controlador foi ainda proposto, chamado de controlador adaptativo backstepping

SG (Small Gain) [2], reduzindo algumas das complexidades do controlador ISS, porem

com um desempenho inferior. O controlador ISS e exclusivo para sistemas nao-lineares,

pois no caso linear e sem adaptacao, ele apresenta uma estrutura nao-linear com expressoes

bem complexas, sem justificativa para o seu uso em sistemas lineares e com adaptacao.

Ja o controlador SG pode ser aplicado aos dois casos, linear e nao-linear.

1.4 Controle Adaptativo Backstepping por Realimen-

tacao de Saıda

A tecnica de controle adaptativo backstepping pode ser utilizada nas duas formas

classicas de controle: por realimentacao de estado (state-feedback), em que as variaveis de

estado estao disponıveis para medicao ou sao obtidas atraves de um observador; ou por

realimentacao de saıda (output-feedback), em que somente a saıda da planta e mensuravel.

No ultimo caso, sao utilizados os filtros K, propostos inicialmente para observadores li-

neares adaptativos por Kreisselmeier [29], e posteriormente modificados para sistemas

nao-lineares [30], [31], [32]. Uma alternativa aos filtros K corresponde a utilizacao dos fil-

tros MT, introduzidos por Marino e Tomei em [33], [34] e [35]. Ambos sao mais complexos

quando comparados aos filtros do cenario adaptativo tradicional para sistemas lineares,

apresentados em [3] e [4]. Em trabalhos futuros, o objetivo final e a utilizacao do VS-

ABC para plantas com grau relativo qualquer em conjunto com os filtros convencionais

mencionados.

1.5 Esquema Geral do Controle Backstepping

A Figura 1.1 apresenta o esquema geral da tecnica de controle backstepping, onde suas

diversas abordagens sao apresentadas. O controlador VS-ABC para plantas com grau

relativo unitario proposto neste trabalho tem como base a abordagem por funcoes de

sintonia, utilizando somente medicoes da entrada e da saıda da planta (filtros K) e com


substituicao das leis integrais do controlador backstepping original por leis chaveadas.

Nessa primeira versao, a escolha inicial das funcoes de sintonia e dos filtros K, ao inves da

abordagem modular em conjunto com os filtros tradicionais, viabilizou de forma direta a

obtencao das provas de estabilidade para o VS-ABC atraves dos algoritmos em [2] e [7].

Futuramente, a estrutura modular do controle backstepping tambem sera alvo de estudos.

Controle Backstepping

AdaptativoNão−adaptativo

ControladorSG

Modular(Tuning Functions)Funções de Sintonia

ControladorISS*

Obs.:

não−lineares.* Exclusivo para sistemas

Simples

Figura 1.1: Esquema geral do controle backstepping.

1.6 Controle por Modos Deslizantes (Sliding Mode

Control)

Desde o famoso artigo de Utkin em 1977 [36], observa-se ao longo dos ultimos anos um

crescente e significante interesse em sistemas com estrutura variavel (Variable Structure

Systems,VSS ) e controle por modos deslizantes (Sliding Mode Control, SMC ). Um dos

aspectos relevantes do SMC corresponde a sua natureza descontınua em relacao a acao de

controle. Ela e responsavel por chavear entre duas estruturas diferentes, que podem ser

inclusive instaveis, de modo a restringir a dinamica do sistema a uma superfıcie chamada

superfıcie de deslizamento. Como vantagens, os sistemas com estrutura variavel pro-

porcionam um bom desempenho transitorio, alem de robustez a incertezas parametricas

e disturbios externos. Entretanto, o sinal de controle apresenta um chaveamento em alta

frequencia, denominado de chattering, e que pode ser indesejavel em algumas aplicacoes.


A presenca de dinamica nao modelada e atrasos no chaveamento sao fatores que podem

ocasionar este fenomeno, como descrito em [37]. Existem varias formas de suavizar o sinal

de controle, dentre elas o uso de regioes lineares nas leis chaveadas [38], [39], a introducao

de filtros de saıda no sinal de controle [40], [41], e recentemente, a estrategia denominada

DMARC que combina estrutura variavel e controle adaptativo em [11] e [12].

Como exemplo de sistemas com estrutura variavel e controle por modos deslizantes,

considere o sistema de segunda ordem,

x1 = x2

x2 = a1x1 + a2x2 + u,(1.2)

em que a1 e a2 sao parametros conhecidos, porem com incertezas. Podemos definir uma

superfıcie de chaveamento s como

s ={x ∈ R

2 | s(x) = cx1 + x2 = 0, c > 0}

, (1.3)

onde se deseja que as variaveis de estado x1 e x2 (dinamica do sistema) permanecam

confinadas, ∀t > 0. De acordo com [42] e [43], se a condicao ss < 0 e satisfeita em uma

vizinhanca de s(x) = 0, os campos vetoriais representados por f+(x) e f−(x) apontam

para s nesta vizinhanca (ver Figura 1.2). Portanto, se uma trajetoria alcanca s(x), ela

e forcada a deslizar sobre esta superfıcie, definindo assim, um modo deslizante ou sliding

mode.

x2

x1

f−(x)

s(x) < 0s(x) > 0

s(x) = cx1 + x2 = 0

x(0)

s(x) < 0

f+(x)

s(x) > 0

Figura 1.2: Superfıcie de deslizamento para o sistema de segunda ordem (1.2).

Vamos analizar a expressao de ss com uso de (1.2) e (1.3),

ss = s(cx1 + x2) = s(cx2 + a1x1 + a2x2 + u). (1.4)


Definindo o sinal de controle da seguinte forma

u(x) =

⎧⎨⎩

u+(x), se s(x) > 0

u−(x), se s(x) < 0,(1.5)

e com a respectiva expressao

u = θ1x1 + θ2x2, (1.6)

obtemos

ss = s[a1x1 + (a2 + c)x2 + θ1x1 + θ2x2]. (1.7)

Utilizando as seguintes leis chaveadas para os parametros do controlador (θ1 e θ2),

θ1 = −θ1sgn(sx1)

θ2 = −θ2sgn(sx2),(1.8)

onde

sgn(sxi) =

⎧⎨⎩

1, se sxi > 0

−1, se sxi < 0,(1.9)

e em seguida substituindo (1.8) em (1.7), temos

ss = s[a1x1 + (a2 + c)x2 − θ1sgn(sx1)x1 − θ2sgn(sx2)x2]

= a1sx1 − θ1|sx1| + (a2 + c)sx2 − θ2|sx2|.(1.10)

Se θ1 > |a1| e θ2 > |a2+c|, a condicao de deslizamento ss < 0 e satisfeita de acordo com

(1.10). E interessante ressaltar que os valores dos parametros θ1 e θ2 determinam a rapidez

com que a trajetoria atinge a superfıcie de deslizamento. Quanto maior a magnitude destes

parametros, mais rapido sera o transitorio do sistema, porem resultando num esforco de

controle maior. Uma vez que a trajetoria se encontra em s, o Controle Equivalente

pode ser definido, originalmente, como o controle contınuo que deve ser aplicado para

manter a trajetoria sobre esta superfıcie, e que consequentemente, satisfaz a condicao

s = 0, de acordo com [43]. Para o exemplo em questao,

s = cx1 + x2 = cx2 + a1x1 + a2x2 + u = 0, (1.11)

e dessa forma,

ueq = −a1x1 − (a2 + c)x2. (1.12)

Normalmente, a obtencao de ueq e realizada atraves da filtragem de u por um filtro passa-

baixa com frequencia de corte suficientemente elevada.


Os parametros do sistema a1 e a2 sao conhecidos com incertezas, mas tambem podem

ser variantes no tempo. Em ambos os casos, a condicao de deslizamento pode ser satisfeita,

desde que os parametros do vetor θ sejam devidamente dimensionados, ou seja,

θ1 > supt>0|a1(t)|θ2 > supt>0|a2(t) + c|.

(1.13)

A implementacao da lei de controle (1.6) apresenta alguns problemas de ordem pratica,

dentre eles, a necessidade de medicao de todas as variaveis de estado do sistema. Isto

nem sempre e possıvel, em virtude de restricoes fısicas e/ou economicas relacionadas a

utilizacao de sensores (fragilidade e/ou alto custo). Nestes casos, uma alternativa inte-

ressante corresponde ao uso de observadores de estado, que frente a essas dificuldades,

proporciona uma reducao no numero de sensores necessarios e, consequentemente, no

custo total dos projetos de controle.

Um segundo problema esta associado diretamente a frequencia de chaveamento (fch)

dos parametros θ1 e θ2 em (1.8). Para que a trajetoria deslize idealmente sobre a superfıcie

de chaveamento s, conforme Figura 1.3(a), e necessario que a frequencia fch seja infinita.

Tal condicao e impossıvel de ser obtida na pratica, em virtude de limitacoes fısicas nos

sistemas de acionamento, provocando assim, o comportamento apresentado na Figura

1.3(b), tambem conhecido como o fenomeno de chattering.

x2

x1

x(0)

s(x) = 0

(a)

x2

x1

x(0)

s(x) = 0

(b)

Figura 1.3: Comportamento do sistema no deslizamento ideal (a) e real (b).


1.6.1 Solucao de Filippov

O uso de controladores com estrutura variavel, inevitavelmente, conduz ao problema

teorico relacionado com a definicao de solucoes para equacoes diferenciais com lado direito

descontınuo. Existem diversas solucoes para tais sistemas, porem dependendo do tipo

especıfico do problema, algumas sao mais apropriadas para descrever o comportamento

de uma dada trajetoria, do que outras. Por exemplo, no caso em que o campo vetorial

e contınuo, a solucao de Euler [44], [45] e bastante util para estabelecer a existencia

da solucao, bem como para estabelecer propriedades matematicas importantes. Dentre

as varias solucoes disponıveis, podemos citar as propostas por Hermes [46], Krasovskii

[47] e Filippov [44]. Esta ultima e particularmente adequada para o tipo de equacoes

diferenciais que surgem em sistemas com estrutura variavel. Segundo Filippov, o valor da

solucao num certo ponto pode ser determinado pelo comportamento da sua derivada em

pontos da vizinhanca.

Em cada ponto da superfıcie de descontinuidade, o campo vetorial que determina a

solucao para x = f(x) pertence ao conjunto convexo mınimo que contem todos os valo-

res de f(x), quando x varia em quase toda a vizinhanca δ (com δ → 0) do ponto sob

consideracao, exceto para um conjunto de medida nula segundo Lebesgue. Se ocorre

deslizamento sobre uma dada superfıcie s, um campo vetorial f∗ em cada ponto desta

superfıcie pode ser determinado a partir dos campos vetoriais f+ e f− direcionados con-

forme Figura 1.4. Desta maneira e obtido um fecho convexo mınimo, que e a base para

o metodo de Filippov. Uma vez que o deslizamento ideal ocorre na superfıcie de cha-

veamento, o campo vetorial permanece em um plano tangencial a superfıcie. Assim, a

equacao para o deslizamento ideal, definida de acordo com Filippov, e dada por

f ∗ = αf+ + (1 − α)f−, 0 ≤ α ≤ 1 (1.14)

onde α e um parametro que depende das direcoes e magnitudes do campos vetoriais f+,

f−, e do gradiente da funcao s(x).

1.7 Estrutura do Trabalho

Este trabalho esta organizado da seguinte forma:


x2

x1

s(x) = 0

f+

f−

f∗

Figura 1.4: Campo vetorial no modo deslizante (solucao de Filippov).

• O capıtulo 2 apresenta o desenvolvimento matematico do controlador adaptativo

backstepping e do VS-ABC para sistemas de primeira ordem, utilizando a teoria

de Lyapunov. Resultados de simulacao para um sistema instavel e para um dos

exemplos de Rohrs sao apresentados.

• O capıtulo 3 descreve a prova de estabilidade do controlador adaptativo backstepping

e do VS-ABC, com base na teoria de Lyapunov, para o caso de sistemas com grau

relativo unitario. Resultados de simulacao para um sistema de segunda ordem

instavel sao apresentados de modo a corroborar os estudos.

• O capıtulo 4 apresenta algumas conclusoes, perspectivas deste trabalho e futuras

pesquisas.

Capıtulo 2

VS-ABC para Sistemas de Primeira

Ordem

2.1 Introducao

Este capıtulo apresenta o desenvolvimento matematico dos controladores adaptativos

backstepping e VS-ABC para sistemas de primeira ordem, SISO (Single Input, Single

Output) e LTI (Linear Time Invariant). O objetivo e apresentar os princıpios basicos

da tecnica VS-ABC a partir do seu desenvolvimento e analise para uma planta escalar

com parametros desconhecidos. Simulacoes preliminares para um sistema instavel sao

ainda apresentadas, alem de testes de robustez na presenca de incertezas parametricas e

disturbios. Adicionalmente, um dos exemplos de Rohrs e apresentado com a finalidade de

se verificar a robustez do VS-ABC na presenca de dinamica nao-modelada e disturbios.

Considere o seguinte sistema generico de primeira ordem, SISO e LTI,

x1 = bu − ax1, (2.1)

onde a e b sao parametros constantes, porem desconhecidos ou conhecidos com incertezas.

Introduzindo o erro de saıda

z = x1 − yr, (2.2)

o objetivo de projeto e desenvolver uma lei de controle capaz de estabilizar (2.1), regu-

lando z a zero e mantendo todos os sinais em malha fechada uniformemente limitados.

Inicialmente, algumas suposicoes sao necessarias:

Capıtulo 2. VS-ABC para Sistemas de Primeira Ordem 14

• Hipotese H1: A referencia yr e um sinal do tipo degrau.

• Hipotese H2: O sinal do ganho de alta frequencia (sgn(b)) e conhecido.

Atraves da hipotese H1 e das equacoes (2.1) e (2.2), a derivada do erro de saıda pode

ser obtida como,

z = x1 = bu − ax1. (2.3)

Seja a lei de controle dada por

u = �u, (2.4)

onde � corresponde a uma estimativa para � = 1/b, e definindo

a = a − a

� = � − �,(2.5)

obtemos,

z = b�u − ax1 = −b�u + u − ax1. (2.6)

A partir da seguinte lei de controle auxiliar

u = −c1z + ax1, c1 > 0, (2.7)

a expressao (2.6) pode ser reescrita como

z = −c1z − b�u − ax1. (2.8)

Selecionando a respectiva candidata a funcao de Lyapunov

V =1

2z2 +

1

2γ1

a2 +|b|2γ2

�2 > 0, (2.9)

onde γ1 > 0 e γ2 > 0, sua derivada pode ser obtida da seguinte forma

V = zz +1

γ1

a ˙a +|b|γ2

� ˙� = zz − 1

γ1

a ˙a − |b|γ2

� ˙�, (2.10)

uma vez que a e � sao constantes. Substituindo (2.8) na equacao acima,

V = z (−c1z − b�u − ax1) − 1

γ1

a ˙a − |b|γ2

� ˙�

= −c1z2 + a

(−x1z − 1

γ1

˙a

)− |b|

γ2

�[γ2sgn(b)uz + ˙�

].

(2.11)


e escolhendo as seguintes leis de adaptacao,

˙a = −γ1x1z (2.12)

˙� = −γ2sgn(b)uz, (2.13)

onde γ1 e γ2 sao os ganhos adaptativos, obtemos

V (z, a, �) = −c1z2 ≤ 0. (2.14)

O resultado acima garante que [z, a, �]T = [0, 0, 0]T e um ponto de equilıbrio estavel.

Atraves do teorema de LaSalle-Yoshizawa [2], e possıvel mostrar que z(t) → 0 quando

t → ∞.

A lei de controle proposta atraves das equacoes (2.4) e (2.7) pode apresentar novas

caracterısticas de robustez na presenca de incertezas parametricas e disturbios, a partir

da substituicao das leis integrais (2.12) e (2.13) por leis chaveadas adequadas. Considere

a seguinte candidata a funcao de Lyapunov

V =1

2z2, (2.15)

e a sua derivada atraves de (2.8),

V = zz = z(−c1z − b�u − ax1) = −c1z2 − b�uz − ax1z. (2.16)

Utilizando as leis chaveadas

a = −asgn(x1z), a > |a| (2.17)

� = −�sgn(b)sgn(uz), � >1

|b| , (2.18)

em (2.16), temos

V = −c1z2 − (�buz + �|buz|) − (ax1z + a|x1z|). (2.19)

Finalmente,

V ≤ −c1z2 < 0, (2.20)

o que garante z = 0 como um ponto de equilıbrio globalmente assintoticamente estavel,

de acordo com o teorema A.2.2 do apendice A.


2.2 Controlador Adaptativo Backstepping

Considere o mesmo sistema de primeira ordem da secao anterior, em que a entrada de

controle e agora separada deste atraves de um integrador:

x1 = bx2 − ax1

x2 = u.(2.21)

Introduzindo as duas variaveis de erro

z1 = x1 − yr(t) (2.22)

z2 = x2 − �yr − α(t), (2.23)

o objetivo de projeto e forcar a saıda do sistema x1 a rastrear o sinal de referencia yr, re-

gulando z = [z1, z2]T a zero e mantendo todos os sinais em malha fechada uniformemente

limitados. Para o desenvolvimento do controlador adaptativo backstepping, algumas su-

posicoes sao necessarias:

• Hipotese H3: A referencia yr(t) pode ser a saıda de um modelo de referencia

com uma entrada r(t) contınua por partes, ou um sinal cuja primeira derivada e

conhecida, limitada e contınua por partes.

• Hipotese H4: O sinal do ganho de alta frequencia (sgn(b)) e conhecido.

A variavel x2 e somente uma variavel de estado e nao corresponde a entrada de controle

do sistema. Ela sera chamada de Controle Virtual (Virtual Control), como mencionado

no capıtulo anterior, e α(t) de Funcao de Estabilizacao (Stabilizing Function), pois sera

utilizada no processo de estabilizacao do sistema. A variavel z2 representa o desvio entre

o sinal aplicado na entrada do sistema (x2) e o que deveria ser aplicado (α(t)), caso o inte-

grador posicionado entre o sinal de controle e a entrada da planta nao existisse. A adicao

do termo −�yr na expressao de z2 esta relacionada com o desenvolvimento matematico

do controlador e sera explicado posteriormente.

Passo 1. A partir da equacao para o erro de saıda (2.22), a sua derivada pode ser obtida

com uso de (2.21):

z1 = x1 − yr = bx2 − ax1 − yr. (2.24)


Substituindo (2.23) em (2.24), temos

z1 = bz2 + b�yr + bα − ax1 − yr. (2.25)

Seja a funcao de estabilizacao α(t) dada por

α = �α, (2.26)

e definindo

a = a − a

b = b − b

� = � − �,

(2.27)

obtemos,

z1 = bz2 + bz2 + b�yr + b�α − ax1 − yr

= bz2 + bz2 − b�yr + yr − b�α + α − ax1 − yr.(2.28)

Entao, a escolha

α = −c1z1 + ax1, c1 > 0, (2.29)

resulta na equacao

z1 = bz2 + bz2 − b�(yr + α) − ax1 − c1z1. (2.30)

Selecionando a seguinte candidata a funcao de Lyapunov,

V1 =1

2z1

2 +1

2γ1

a2 +1

2γ2

b2 +|b|2γ3

�2 > 0, (2.31)

com γ1 > 0, γ2 > 0 e γ3 > 0, vamos examinar a sua derivada:

V1 = z1z1 +1

γ1

a ˙a +1

γ2

b ˙b +|b|γ3

� ˙�. (2.32)

Considerando a e b constantes, por suposicao, temos

V1 = z1z1 − 1

γ1

a ˙a − 1

γ2

b˙b − |b|

γ3

� ˙�, (2.33)

e substituindo (2.30) em (2.33),

V1 = −c1z12 + bz1z2 + bz1z2 − b�(yr + α)z1 − ax1z1 − 1

γ1

a ˙a − 1

γ2

b˙b − |b|

γ3

� ˙�. (2.34)


Passo 2. Diferenciando (2.23) e utilizando (2.21), (2.26), (2.27) e (2.29), obtemos

z2 = x2 − ∂(�yr)

∂t− α

= u − ∂(�yr)

∂t− ˙�α − � ˙α

= u − ∂(�yr)

∂t− ˙�α − �

(∂α

∂z1

z1 +∂α

∂a˙a +

∂α

∂x1

x1

)

= u − ∂(�yr)

∂t− ˙�α − �

[∂α

∂z1

z1 +∂α

∂a˙a +

∂α

∂x1

(b + b)x2 − ∂α

∂x1

(a + a)x1

].

(2.35)

Uma nova candidata a funcao de Lyapunov que inclua z2 e necessaria. Vamos utilizar

V2 = V1 +1

2z2

2 > 0, (2.36)

e em seguida analisar a sua derivada atraves de (2.34) e (2.35):

V2 = V1 + z2z2

= −c1z12 + a

(−x1z1 − 1

γ1

˙a + �z2∂α

∂x1

x1

)+ b

(z1z2 − 1

γ2

˙b − �z2

∂α

∂x1

x2

)

+z2

[bz1 + u − ∂(�yr)

∂t− �

(∂α

∂z1

z1 +∂α

∂a˙a + b

∂α

∂x1

x2 − a∂α

∂x1

x1

)− ˙�α

]

−|b|γ3

�[γ3 sgn(b)(yr + α)z1 + ˙�

].

(2.37)

Os termos a, b e � podem ser eliminados de V2 escolhendo-se as seguintes leis de adaptacao,

˙a = γ1

(−x1z1 + �z2

∂α

∂x1

x1

)(2.38)

˙b = γ2

(z1z2 − �z2

∂α

∂x1

x2

)(2.39)

˙� = −γ3 sgn(b)(yr + α)z1, (2.40)

onde γ1, γ2 e γ3 sao os ganhos adaptativos. Finalmente, a lei de controle pode ser escolhida

como

u = −bz1 +∂(�yr)

∂t+ �

(∂α

∂z1

z1 +∂α

∂a˙a + b

∂α

∂x1

x2 − a∂α

∂x1

x1

)+ ˙�α−c2z2, c2 > 0, (2.41)

de modo a tornar (2.37) uma funcao semi-definida negativa:

V2(z1, z2, a, b, �) = −c1z12 − c2z2

2 ≤ 0. (2.42)


O resultado acima garante que [z1, z2, a, b, �]T = [0, 0, 0, 0, 0]T e um ponto de equilıbrio

estavel. Atraves do teorema de LaSalle-Yoshizawa [2], e possıvel mostrar que z(t) → 0

quando t → ∞.

O termo −�yr introduzido na expressao do erro (2.23), entre o sinal que esta sendo

aplicado na entrada da planta (x2) e o seu valor desejado (α(t)), tem como objetivo

eliminar −yr em (2.24). Este cancelamento tambem pode ser realizado atraves da funcao

de estabilizacao auxiliar (α), acrescida de yr a partir de (2.29). Entretanto, tal modificacao

provocaria a presenca de um termo adicional em (2.35), referente a derivada parcial de

α em relacao a yr, e que inevitavelmente se refletiria num acrescimo da lei de controle

proposta em (2.41). E interessante ressaltar que o nao cancelamento de −yr em (2.23)

inviabiliza a obtencao do resultado (2.42), devido a presenca de um termo na derivada da

funcao de energia, cujo sinal e indefinido.

2.3 Controlador Adaptativo Backstepping a Estru-

tura Variavel

Seguindo os passos 1 e 2 descritos na secao anterior, leis chaveadas serao propostas

para substituir as leis adaptativas integrais (2.38-2.40), utilizadas para garantir a estabi-

lidade da origem de acordo com (2.42).

Passo 1. Vamos comecar com a equacao (2.30), usando b + b = b, conforme (2.27)

z1 = bz2 − b�(yr + α) − ax1 − c1z1, (2.43)

e a seguinte candidata a funcao de Lyapunov

V1 =1

2z1

2, (2.44)

cuja derivada e

V1 = z1z1 = bz1z2 − b�(yr + α)z1 − ax1z1 − c1z12. (2.45)

Passo 2. Neste novo projeto, o termo z2 nao sera expandido da mesma forma como em


(2.35). A partir de (2.23) e (2.21), temos

z2 = u − ∂(�yr)

∂t− α. (2.46)

Selecionando a candidata a funcao de Lyapunov (2.36) e obtendo a sua derivada com uso

de (2.45) e (2.46), temos

V2 = V1 + z2z2

= −c1z12 + bz1z2 − b�(yr + α)z1 − ax1z1 + z2

[u − ∂(�yr)

∂t− α

].

(2.47)

Utilizando-se a seguinte lei de controle

u = −c2z2 − bz1 +∂(�yr)

∂t+ α, (2.48)

e as leis chaveadas

a = −a sgn(x1z1), a > |a| (2.49)

b = b sgn(z1z2), b > |b| (2.50)

� = −� sgn(b) sgn [(yr + α)z1] , � >1

|b| , (2.51)

em (2.47), entao:

V2 = −c1z12 − c2z2

2 − (b|z1z2| − bz1z2)

−(a|x1z1| + ax1z1) −[� |(yr + α)z1| |b| + 1

b(yr + α)z1b

].

(2.52)

O novo resultado e

V2(z1, z2) ≤ −c1z12 − c2z2

2 < 0, (2.53)

garantindo que [z1, z2]T = [0, 0]T e um ponto de equilıbrio globalmente assintoticamente

estavel, de acordo com o teorema A.2.2 do apendice A.

A presenca do termo −�yr na expressao de z2 pode ser justificada por motivos seme-

lhantes aos apresentados na secao anterior. Sua inclusao em (2.23) permite a obtencao

do resultado (2.53), e adicionalmente, possibilita uma reducao na quantidade de termos

em (2.48).

Teorema 2.3.1 Seja o sistema (2.21), as equacoes de erro (2.22-2.23), as leis chaveadas

(2.49-2.51) e o sinal de controle (2.48). Se as hipoteses H3 e H4 sao satisfeitas, todos


os sinais em malha fechada sao uniformemente limitados, e o rastreamento da saıda do

sistema x1(t), em relacao ao sinal de referencia yr(t), e alcancado assintoticamente:

limt→∞

[x1(t) − yr(t)] = 0. (2.54)

Prova. Considere a candidata a funcao de Lyapunov (2.36) para o sistema (2.21) em

malha fechada. A derivada de (2.36) pode ser obtida como uma funcao definida negativa,

atraves das equacoes de erro (2.22-2.23), das leis chavedas (2.49-2.51) e do sinal de con-

trole (2.48). Utilizando-se o teorema A.2.2 (apendice A), o resultado (2.54) e encontrado.

O sinal de controle do VS-ABC nao deve ser implementado como descrito em (2.48),

pois o carater descontınuo das variaveis �(t) e α(t) impede a obtencao de suas derivadas,

e consequentemente de u(t). Entretanto, esta dificuldade pode ser superada obtendo-se o

controle virtual a partir de

x2(t) = −∫

c2z2 dt −∫

bz1 dt + �yr + α. (2.55)

Uma vez que o integrador na entrada da planta faz parte do controlador, e nao do

sistema a ser controlado, a expressao acima pode ser utilizada, sem perdas de desempenho

no VS-ABC.

Cálculo dosErros

Cálculo daFEA

Cálculo de

Cálculo de

Planta

�

u(t)

c2

∫

c1

α

α

z1

a

b z1α

x2 x1

z2 x1

x2 αyr�

x1z1

x1

�

yr

sgn(b)

� z1

−c2z2 − bz1

�yr + α

z2

Figura 2.1: Diagrama de blocos do VS-ABC.

O diagrama de blocos do VS-ABC e apresentado na Figura 2.1, onde o bloco FEA

e responsavel pelo calculo da funcao de estabilizacao auxiliar, α. As leis chaveadas pro-

postas em (2.49-2.51) simplificam a implementacao do algoritmo de controle, uma vez


que a “estimacao dos parametros” e obtida atraves de reles, ao inves das leis adaptativas

integrais (2.38-2.40). Por exemplo, o calculo de a em (2.49) nao requer a multiplicacao

de z1 por x1, mas somente a analise dos seus sinais, o que e uma tarefa bem simples em

sistemas digitais. Dessa forma, o numero de operacoes e reduzido, bem como o numero

de instrucoes necessarias para a execucao do algoritmo. Em sistemas embarcados, devido

as restricoes de software e hardware normalmente encontradas, dentre elas, o numero re-

duzido de perifericos e a limitacao de algumas Unidades Logicas Aritmeticas (ULA), esta

nova caracterıstica e bem interessante.

No processo de obtencao de � atraves das leis chaveadas (2.49) e (2.51), e da funcao

de estabilizacao auxiliar (2.29), observa-se a presenca de um termo com o calculo da

funcao sinal de sinal, o que pode ocasionar problemas quando a frequencia de chaveamento

e infinita. Porem, neste caso especıfico, e possıvel contornar tal situacao pela simples

manipulacao algebrica das expressoes envolvidas. Substituindo-se a equacao (2.29) em

(2.51), temos:

� = −� sgn(b) sgn [(yr + α)z1]

= −� sgn(b) sgn [(yr − c1z1 + ax1)z1]

= −� sgn(b) sgn (yrz1 − c1z21 + ax1z1) .

(2.56)

Em seguida, substituindo-se (2.49) na equacao acima,

� = −� sgn(b) sgn (yrz1 − c1z21 + ax1z1)

= −� sgn(b) sgn {yrz1 − c1z21 + [−a sgn(x1z1)]x1z1}

= −� sgn(b) sgn (yrz1 − c1z21 − a|x1z1|) .

(2.57)

2.4 Resumo dos Controladores

A Tabela 2.1 apresenta um resumo das equacoes desenvolvidas neste capıtulo para os

controladores adaptativos backstepping e VS-ABC.


Tabela 2.1: Resumo dos controladores adaptativos backstepping e VS-ABC para sistemas de primeira

ordem.

Equacoes Comuns

Erros:

z1 = bx2 − ax1

z2 = x2 − �yr − α(t)

Funcao de Estabilizacao:

α = �α

α = −c1z1 + ax1

Controlador Adaptativo Backstepping

Lei de Controle:

u = −bz1 +∂(�yr)

∂t+ �

(∂α

∂z1

z1 +∂α

∂a˙a + b

∂α

∂x1

x2 − a∂α

∂x1

x1

)+ ˙�α − c2z2

Leis Adaptativas:

˙a = γ1

(−x1z1 + �z2

∂α

∂x1

x1

)

˙b = γ2

(z1z2 − �z2

∂α

∂x1

x2

)

˙� = −γ3 sgn(b)(yr + α)z1

VS-ABC

Lei de Controle:

u = −c2z2 − bz1 +∂(�yr)

∂t+ α

Leis Chaveadas:

a = −a sgn(x1z1), a > |a|

b = b sgn(z1z2), b > |b|

� = −� sgn(b) sgn [(yr + α)z1] , � >1

|b|


2.5 Resultados de Simulacao

2.5.1 Simulacoes Iniciais

Considere o sistema descrito por (2.21), com b = 2 e a = −3, e um modelo de referencia

dado por

yr = 3r − 3yr. (2.58)

O comportamento do sistema na ausencia de incertezas parametricas e disturbios e apre-

sentado nas Figuras 2.2(a) e 2.2(b), respectivamente, para o controlador adaptativo backs-

tepping e para o VS-ABC. Os ganhos adaptativos utilizados no primeiro caso foram

γ1 = γ2 = γ3 = 100 e as constantes auxiliares, c1 = c2 = 18. No ultimo, as amplitu-

des dos reles foram a = 3.5, b = 2.5 e � = 1, enquanto que as constantes auxiliares,

c1 = c2 = 1. Nas duas situacoes, o sinal de entrada para o modelo de referencia foi

r(t) = 1, a condicao inicial para a planta, x1(0) = 0.4, e as demais condicoes iniciais nu-

las. Os controles virtuais sao apresentados nas Figuras 2.3(a) e 2.3(b). Observa-se que o

VS-ABC apresentou um melhor transitorio quando comparado ao controlador adaptativo

backstepping.

As Figuras 2.4(a) e 2.4(b) mostram os resultados de simulacao para o mesmo sistema,

porem com uma perturbacao na entrada da planta (d = 2), adicionada em t = 3s, e

uma variacao de 20% nos valores nominais dos seus parametros, em t = 6s. O controle

virtual para o controlador adaptativo backstepping e para o VS-ABC podem ser analisados

atraves das Figuras 2.5(a) e 2.5(b). As estimativas para os parametros da planta sao ainda

apresentadas nas Figuras 2.6(a) e 2.6(b), respectivamente, na presenca e na ausencia

de incertezas parametricas e disturbios para o controlador adaptativo backstepping. No

momento em que a perturbacao foi somada a entrada da planta, picos nas estimativas

dos parametros sao observados para o cenario adaptativo backstepping, refletindo num

acrescimo do controle virtual. Esta desvantagem nao e apresentada pelo VS-ABC, como

observado atraves das equacoes (2.49-2.51).


0 0.5 1 1.5 2 2.50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Tempo (Segundos)

Saíd

a

(a)

0 0.5 1 1.5 2 2.50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Tempo (Segundos)Sa

ída

(b)

Figura 2.2: Saıda do sistema e do modelo de referencia para o controlador adaptativo backstepping (a) e

para o VS-ABC (b) na ausencia de incertezas parametricas e disturbios - sistema de primeira ordem.

0 0.5 1 1.5 2 2.5−5

−4

−3

−2

−1

0

1

Tempo (Segundos)

Con

trol

e V

irtu

al

(a)

0 0.5 1 1.5 2 2.5−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

Tempo (Segundos)

Con

trol

e V

irtu

al

(b)

Figura 2.3: Controle virtual para o controlador adaptativo backstepping (a) e para o VS-ABC (b) na

ausencia de incertezas parametricas e disturbios - sistema de primeira ordem.


0 1 2 3 4 5 6 7 80

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Tempo (Segundos)

Saí

da

(a)

0 1 2 3 4 5 6 7 80

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Tempo (Segundos)

Saí

da

(b)


para o VS-ABC (b) na presenca de uma perturbacao aditiva (d = 2) e uma variacao de 20% nos valores

nominais dos seus parametros - sistema de primeira ordem.

0 1 2 3 4 5 6 7 8−9

−8

−7

−6

−5

−4

−3

−2

−1

0

1

Tempo (Segundos)

Con

trol

e V

irtua

l

(a)

0 1 2 3 4 5 6 7 8−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

6

Tempo (Segundos)

Con

trol

e V

irtua

l

(b)

Figura 2.5: Controle virtual para o controlador adaptativo backstepping (a) e para o VS-ABC (b) na

presenca de uma perturbacao aditiva (d = 2) e uma variacao de 20% nos valores nominais dos seus

parametros - sistema de primeira ordem.


2.5.2 Os Exemplos de Rohrs

As ultimas simulacoes tratam dos exemplos de Rohrs. Em [21], os autores demonstra-

ram que um sistema estavel de primeira ordem, em conjunto com um controlador adap-

tativo tradicional, tornou-se instavel na presenca de dinamica nao-modelada e disturbios

externos. Um dos varios exemplos propostos pelos autores sera reproduzido aqui, con-

siderando-se o controlador adaptativo backstepping e o VS-ABC. Como em aplicacoes

praticas, a presenca de dinamica nao-modelada e disturbios externos (ruıdos de medicao,

por exemplo) e muito comum, todo sistema de controle deve ser capaz de operar nestas

condicoes, sem tornar-se instavel.

Considere o sistema de primeira ordem, com um par de polos complexos conjugados

desconsiderados no processo de modelagem, descrito por

y(t) =2

(s + 1)· 229

(s2 + 30s + 229)u(t), (2.59)

um modelo de referencia dado por (2.58) e todas as condicoes iniciais nulas, exceto para

as estimativas

a(0) = 0.9, b(0) = 1.7, �(0) = 0.4. (2.60)

As Figuras 2.7(a) e 2.7(b) apresentam a saıda da planta e as estimativas para os parametros

na presenca de dinamica nao-modelada para o controlador adaptativo backstepping, onde

os ganhos adaptativos utilizados foram γ1 = γ2 = γ3 = 1, as constantes auxiliares,

c1 = c2 = 1, e a entrada do modelo de referencia,

r(t) = 0.3 + 1.85sin16.1t. (2.61)

Embora, as condicoes iniciais para as estimativas dos parametros estivessem proximas aos

valores desejados, o sistema se tornou instavel como previsto por Rohrs.

A Figura 2.8 apresenta os resultados para o VS-ABC nas mesmas condicoes do caso

anterior. Neste novo cenario, a instabilidade nao ocorreu, entretanto a saıda da planta

nao rastreou a saıda do modelo de referencia. Analisando-se os resultados, o VS-ABC

apresentou um desempenho melhor, uma vez que o controlador adaptativo backstepping

se tornou instavel na presenca da dinamica nao-modelada. As amplitudes dos reles foram

a = 3.5, b = 2.5 e � = 1, enquanto que as constantes auxiliares, c1 = c2 = 1. Todas as

condicoes iniciais foram nulas.


0 1 2 3 4 5 6 7 8−20

−15

−10

−5

0

5

10

Tempo (Segundos)

Par

âmet

ros

a

�

b

(a)

0 1 2 3 4 5−2.5

−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

Tempo (Segundos)P

arâm

etro

s

b

�

a

(b)

Figura 2.6: Estimativas para os parametros da planta, na presenca (a) e na ausencia (b) de incertezas

parametricas e disturbios para o controlador adaptativo backstepping - sistema de primeira ordem.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9−3

−2

−1

0

1

2

3

Tempo (Segundos)

Saíd

a

(a)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9−100

−80

−60

−40

−20

0

20

40

60

80

100

Tempo (Segundos)

Parâ

met

ros

b

a

�

(b)

Figura 2.7: Saıda do sistema e do modelo de referencia (a) e as estimativas para os parametros (b)

com o controlador adaptativo backstepping na presenca de dinamica nao-modelada e o sinal r(t) =

0.3 + 1.85sin16.1t como entrada para o modelo de referencia.


0 1 2 3 4 5 6 7 8 9−0.5

0

0.5

1

Tempo (Segundos)

Saíd

a

Figura 2.8: Saıda do sistema e do modelo de referencia para o VS-ABC na presenca de dinamica nao-

modelada e o sinal r(t) = 0.3 + 1.85sin16.1t como entrada para o modelo de referencia.

Capıtulo 3

VS-ABC para Sistemas com Grau

Relativo Unitario

3.1 Introducao

Considere o sistema SISO, LTI e com grau relativo unitario (ρ = n−m = 1), descrito

por

y(s) =B(s)

A(s)u(s) =

bmsm + · · · + b1s + b0

sn + an−1sn−1 + · · · + a1s + a0

, (3.1)

onde os coeficientes bm · · · b0 e an−1 · · · a0 sao constantes, porem desconhecidos ou conhe-

cidos com incertezas. Introduzindo a variavel do erro de saıda

z = y − yr(t), (3.2)

nosso objetivo e forcar y (saıda do sistema) a seguir o sinal de referencia yr, regulando

z → 0, e mantendo todos os sinais em malha fechada uniformemente limitados. Para tal,

algumas suposicoes sao necessarias:

• Hipotese H1: A referencia yr(t) pode ser a saıda de um modelo de referencia

com uma entrada r(t) contınua por partes, ou um sinal cuja primeira derivada e

conhecida, limitada e contınua por partes.

• Hipotese H2: O sinal do ganho de alta frequencia (sgn(bm)) e conhecido.

• Hipotese H3: A planta e de fase mınima, ou seja, o polinomio B(s) = bmsm +

· · · + b1s + b0 e Hurwitz.

Capıtulo 3. VS-ABC para Sistemas com Grau Relativo Unitario 31

• Hipotese H4: O grau relativo do modelo de referencia deve ser igual ao grau

relativo da planta (ρr = ρ).

As suposicoes acima sao semelhantes as apresentadas no controle adaptativo por mo-

delo de referencia tradicional.

3.1.1 Filtros de Estimacao (Filtros K)

No cenario proposto, somente medicoes da entrada e da saıda da planta serao con-

sideradas, e dessa forma, filtros de estimacao para substituir as medicoes das variaveis

de estado serao necessarios. Como mencionado, o projeto do VS-ABC sera baseado na

utilizacao dos filtros K, desenvolvidos por Kreisselmeier em [29].

O sistema (3.1), para qualquer grau relativo, pode ser representado na forma canonica

observavel

x1 = x2 − an−1y

...

xρ−1 = xρ − am+1y

xρ = xρ+1 − amy + bmu

...

xn−1 = xn − a1y + b1u

xn = −a0y + b0u

y = x1,

(3.3)

ou, mais compactamente, como

x = Ax − ya +

⎡⎢⎣ 0(ρ−1)×1

b

⎤⎥⎦ u

y = eT1 x,

(3.4)

onde

A =

⎡⎢⎢⎢⎣

0 In−1

...

0 · · · 0

⎤⎥⎥⎥⎦ , a =

⎡⎢⎢⎢⎣

an−1

...

a0

⎤⎥⎥⎥⎦ , b =

⎡⎢⎢⎢⎣

bm

...

b0

⎤⎥⎥⎥⎦ .


A representacao do sistema (3.4) pode ainda ser reescrita como

x = Ax + F (y, u)T θ

y = eT1 x,

(3.5)

onde

F (y, u)T =

⎡⎢⎣

⎡⎢⎣ 0(ρ−1)×(m+1)

Im+1

⎤⎥⎦ u −Iyn

⎤⎥⎦ , (3.6)

e o vetor de parametros

θ =

⎡⎣ b

a

⎤⎦ =

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

bm

...

b0

an−1

...

a0

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

=

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

θ1

...

θm+1

θm+2

...

θ2n

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

. (3.7)

Para a estimacao de estado, os seguintes filtros serao usados

ξ = A0ξ + ky

ΩT = A0ΩT + F (y, u)T ,

(3.8)

onde o vetor k = [k1 · · · kn]T e escolhido de forma que a matriz

A0 = A − keT1 , (3.9)

seja Hurwitz, e P existe tal que

PA0 + AT0 P = −I, P = P T > 0. (3.10)

Utilizando (3.8), a estimacao de estado e dada por

x = ξ + ΩT θ, (3.11)

sendo possıvel demonstrar que o erro de estimacao

ε = x − x, (3.12)


desaparece exponencialmente, uma vez que

ε = A0ε. (3.13)

Um passo adicional em (3.8) corresponde a reduzir a dinamica do filtro Ω, explorando

a estrutura de F (y, u) em (3.6). Sejam as m + 1 primeiras colunas de ΩT denotadas por

υm, · · · , υ1, υ0, e as demais n colunas por Ξ,

ΩT = [υm, · · · , υ1, υ0, Ξ] . (3.14)

Em virtude da dependencia especial de F (y, u) em relacao a u, as equacoes para as m+1

primeiras colunas de ΩT sao governadas por

υj = A0υj + en−ju, j = 0 · · ·m. (3.15)

Isto significa que, gracas a estrutura particular de A0,

Aj0en = en−j, j = 0 · · ·n − 1, (3.16)

os vetores υj podem ser obtidos do filtro,

λ = A0λ + enu, (3.17)

atraves da expressao algebrica

υj = Aj0λ, j = 0 · · ·m. (3.18)

Similarmente, Ξ, governado por

Ξ = A0Ξ − Iy, Ξ ∈ Rn×n, (3.19)

pode ser obtido a partir do filtro

η = A0η + eny, (3.20)

atraves da expressao algebrica

Ξ = − [An−1

0 η, · · · , A0η, η]. (3.21)

Finalmente, com a identidade

An0en = −k, (3.22)


o vetor ξ em (3.8) pode ser obtido de (3.20) com uso da expressao

ξ = −An0η. (3.23)

Os filtros K se encontram resumidos na Tabela 3.1. Em comparacao com os con-

troladores adaptativos tradicionais, observa-se que a ordem total dos filtros K e 2n, e

adicionalmente, pode ser reduzida para 2(n − 1), explorando o fato de que u e y estao

disponıveis para medicao. Mais detalhes podem ser encontrados em [7] e [29]

Tabela 3.1: Filtros K para sistemas lineares SISO com grau relativo qualquer.

η = A0η + eny

λ = A0λ + enu

Ξ = − [An−1

0 η, · · · , A0η, η]

ξ = −An0η

υj = Aj0λ, j = 0 · · ·m

ΩT = [υm, · · · , υ1, υ0, Ξ]

3.2 Controlador Adaptativo Backstepping

Nesta secao, o controlador adaptativo backstepping para plantas com grau relativo

unitario (ρ = 1) sera desenvolvido com base na sua descricao para o caso geral, apresentado

pelos autores em [7]. Devido a hipotese H3, o projeto do controlador fica restrito a

equacao

x1 = x2 − an−1y + bmu = x2 − yeT1 a + bmu. (3.24)

Atraves de (3.11) e (3.12), a variavel x2 pode ser obtida como

x2 = ξ2 + ΩT(2)θ + ε2

= ξ2 +[υm,2, υm−1,2, · · · , υ0,2, Ξ(2)

]θ + ε2.

(3.25)


Substituindo o resultado acima em (3.24), temos

x1 = ξ2 +[υm,2, · · · , υ0,2, Ξ(2) − yeT

1

]θ + ε2 + bmu

= ξ2 + [w1 · · ·w2n] θ + ε2 + bmu

= ξ2 + wT θ + ε2 + bmu,

(3.26)

onde w e o vetor regressor. Assim, a derivada do erro de saıda (3.2) com uso de (3.26) e

dada por

z = y − yr = x1 − yr = ξ2 + wT θ + ε2 + bmu − yr. (3.27)

Seja a lei de controle

u = �u, (3.28)

onde � e uma estimativa para � = 1/bm, e em seguida definindo

θ = θ − θ

� = � − �,(3.29)

obtemos

z = ξ2 + wT θ + ε2 + bm�u − yr

= ξ2 + wT θ + ε2 − bm�u + u − yr.(3.30)

Considere a seguinte candidata a funcao de Lyapunov

V =1

2z2 +

1

2θT Γ−1θ +

|bm|2γ

�2 +1

4d1

εT Pε > 0, (3.31)

com Γ−1 > 0, γ > 0 e d1 > 0, e sua derivada atraves de (3.10) e (3.13)

V = zz − θT Γ−1 ˙θ − |bm|

γ� ˙� − 1

4d1

εT ε. (3.32)

Substituindo (3.30) em (3.32),

V = z(ξ2 + wT θ + ε2 − bm�u + u − yr)

−θT Γ−1 ˙θ − |bm|

γ� ˙� − 1

4d1

εT ε,(3.33)

e selecionando a lei de controle auxiliar como

u = −c1z − d1z − ξ2 − wT θ + yr, c1 > 0, (3.34)


temos

V = −c1z2 − d1z

2 + zε2 − 1

4d1

εT ε

+θT Γ−1[Γwz − ˙

θ]− |bm|

γ�

[γsgn(bm)uz + ˙�

].

(3.35)

Para eliminar os termos θ e � em (3.35), as leis de adaptacao podem ser escolhidas como

˙θ = Γwz, (3.36)

˙� = −γsgn(bm)uz, (3.37)

onde Γ e γ sao os ganhos adaptativos. Entao,

V = −c1z2 − d1z

2 + zε2 − 1

4d1

εT ε

= −c1z2 − d1

(z − 1

2d1

ε2

)2

− 1

4d1

(ε12 + ε3

2 + · · · + εn2),

(3.38)

e finalmente,

V (z, θ, �, ε) ≤ c1z2 ≤ 0. (3.39)

O resultado acima garante que [z, θ, �, ε]T = [0, 0, 0, 0]T e um ponto de equilıbrio

estavel, de acordo com o teorema A.2.1 do apendice A. Novamente, atraves do teorema

de LaSalle-Yoshizawa [2], e possıvel mostrar que z(t) → 0 quando t → ∞.

3.3 Controlador Adaptativo Backstepping a Estru-

tura Variavel

A partir dos passos descritos na secao anterior, leis chaveadas serao propostas para

substituir as leis adaptativas integrais (3.36-3.37). Considere a candidata a funcao de

Lyapunov

V =1

2z2 +

1

2d1

εT Pε > 0, (3.40)

e sua respectiva derivada

V = zz − 1

2d1

εT ε. (3.41)


Substituindo (3.30) e (3.34) em (3.41), obtemos

V = −c1z2 + wT θz − bm�uz − 1

4d1

εT ε − d1z2 + zε2 − 1

4d1

εT ε

= −c1z2 + wT θz − bm�uz − 1

4d1

εT ε

−d1

(z − 1

2d1

ε2

)2

− 1

4d1

(ε12 + ε3

2 + · · · + εn2).

(3.42)

Entao,

V ≤ −c1z2 +

2n∑i=1

θiwiz − bm�uz − 1

4d1

εT ε, (3.43)

e utilizando as leis chaveadas

θi = θisgn(wiz), θi > θi (3.44)

� = −�sgn(bm)sgn(uz), � >1

|bm| , (3.45)

em (3.43), temos

V ≤ −c1z2 − 1

4d1

εT ε +2n∑i=1

(θiwiz − θi|wiz|)

−bm(�uz + �|uz|).(3.46)

O novo resultado e

V ≤ −c1z2 − 1

4d1

εT ε < 0, (3.47)

garantindo que [z, ε]T = [0, 0]T e um ponto de equilıbrio globalmente assintoticamente

estavel, uma vez que (3.47) e uma funcao definida negativa.

Teorema 3.3.1 Seja o sistema (3.1), os filtros da Tabela 3.1, a equacao do erro de saıda

(3.2), as leis chavedas (3.44-3.45) e o sinal de controle dado por (3.28) e (3.34). Se as

hipoteses H1-H4 sao satisfeitas, todos os sinais em malha fechada sao uniformemente

limitados, e o rastreamento da saıda do sistema y(t), em relacao ao sinal de referencia

yr(t), e alcancado assintoticamente:

limt→∞

[y(t) − yr(t)] = 0. (3.48)

Prova. Considere a candidata a funcao de Lyapunov (3.40) para o sistema (3.1) em

malha fechada. A derivada de (3.40) pode ser obtida como uma funcao definida negativa,


atraves da equacao do erro (3.2), das leis chavedas (3.44-3.45) e do sinal de controle dado

por (3.28) e (3.34). Utilizando-se o teorema A.2.2 (apendice A), o resultado (3.48) e

encontrado.

Assim como no caso do VS-ABC para sistemas de primeira ordem, o uso das leis cha-

veadas (3.44-3.45) simplifica o algoritmo de controle, bem como reduz a quantidade de

calculos envolvidos na obtencao das “estimativas”para os parametros da planta. Como

exemplo, o calculo de θi em (3.44) nao requer a multiplicacao de wi por z, mas somente a

analise dos seus sinais. Ainda no processo de obtencao das “estimativas”, de forma seme-

lhante ao que acontece no capıtulo anterior com �, observa-se a presenca da funcao sinal de

sinal, de acordo com as expressoes (3.34), (3.44) e (3.45). Novamente, e possıvel contornar

tal situacao pela simples manipulacao algebrica das expressoes envolvidas. Substituindo-

se a equacao (3.34) em (3.45), temos:

� = −�sgn(bm)sgn(uz)

= −�sgn(bm)sgn[(−c1z − d1z − ξ2 − wT θ + yr)z

]

= −�sgn(bm)sgn(−c1z2 − d1z

2 − ξ2z − wT θz + yrz)

= −�sgn(bm)sgn(−c1z2 − d1z

2 − ξ2z − w1θ1z − · · · − w2nθ2nz + yrz).

(3.49)

Em seguida, substituindo-se (3.44) na equacao acima,

� = −�sgn(bm)sgn[−c1z

2 − d1z2 − ξ2z − θ1sgn(w1z)w1z − · · · − θ2nsgn(w2nz)w2nz + yrz

]= −�sgn(bm)sgn(−c1z

2 − d1z2 − ξ2z − θ1|w1z| − · · · − θ2n|w2nz| + yrz).

(3.50)

3.4 Resumo dos Controladores

A Tabela 3.2 apresenta um resumo das equacoes desenvolvidas neste capıtulo para

os controladores adaptativos backstepping e VS-ABC. E interessante ressaltar que as ex-

pressoes para a lei de controle, (2.4) e (2.7), para as leis adaptativas, (2.12) e (2.13), e

para as leis chaveadas, (2.17) e (2.18), apresentadas na introducao do capıtulo anterior,

podem ser obtidas a partir das equacoes do VS-ABC para sistemas com grau relativo

unitario.


Tabela 3.2: Resumo dos controladores adaptativos backstepping e VS-ABC para sistemas com grau

relativo unitario.

Equacoes Comuns

Erro de Saıda:

z = y − yr

Sinal de Controle:

u = �u

u = −c1z − d1z − ξ2 − wT θ + yr

Vetor Regressor:

wT = [w1 · · ·w2n]

=[υm,2, · · · , υ0,2, Ξ(2) − yeT

1

]

Filtros K: ver tabela 3.1

Controlador Adaptativo Backstepping

Leis Adaptativas:˙θ = Γwz

˙� = −γsgn(bm)uz

VS-ABC

Leis Chaveadas:

θi = θisgn(wiz), θi > θi

� = −�sgn(bm)sgn(uz), � >1

|bm|


3.5 Resultados de Simulacao

Nesta secao, simulacoes para uma planta instavel de segunda ordem com grau rela-

tivo unitario serao apresentadas, alem de testes de robustez na presenca de incertezas

parametricas e disturbios. Considere o sistema descrito por

y(s) =s + 1

s2 − 3s + 2u(s), (3.51)

e um modelo de referencia por

yr(s) =s + 1

s2 + 4s + 4r(s). (3.52)

Os filtros K foram implementados como descritos na Tabela 3.1

η = A0η + e2y

λ = A0λ + e2u(3.53)

Ξ = − [A0η, η]

ξ = −A20η

υ1 = A0λ

υ0 = λ

ΩT = [υ1, υ0, Ξ] ,

(3.54)

onde a matriz

A0 =

⎡⎣ −k1 1

−k2 0

⎤⎦ , (3.55)

e Hurwitz, devido a escolha do vetor

k = [k1 k2]T = [2 1]T . (3.56)

O comportamento do sistema na ausencia de incertezas parametricas e disturbios e

apresentado nas Figuras 3.1(a) e 3.1(b), respectivamente, para o controlador adaptativo

backstepping e para o VS-ABC. Os ganhos adaptativos utilizados no primeiro caso foram

Γ =

⎡⎣ 100 0

0 100

⎤⎦ , γ = 100, (3.57)


e as constantes auxiliares, c1 = d1 = 18. No segundo, as amplitudes dos reles foram

θ1 = 1.5, θ2 = 1.5, θ3 = 3.5, e θ4 = 2.5, enquanto as constantes auxiliares, c1 = d1 = 18.

Nas duas situacoes, o sinal de entrada para o modelo de referencia foi r(t) = 1, a condicao

inicial da planta, x1(0) = 0.15, e demais condicoes iniciais nulas. Os sinais de controle

sao apresentados nas Figuras 3.2(a) and 3.2(b). Observa-se que o VS-ABC apresentou

um melhor transitorio, quando comparado ao controlador adaptativo backstepping.

As Figuras 3.3(a) e 3.3(b) apresentam os resultados de simulacao para o mesmo sis-

tema, entretanto com a presenca de um disturbio aditivo na entrada da planta (d = 2),

no instante t = 7s, e uma variacao de 20% nos valores nominais dos seus parametros,

em t = 13s. O sinal de controle para o controlador adaptativo backstepping e para

o VS-ABC podem ser analisados atraves das Figuras 3.4(a) e 3.4(b). As estimativas

para os parametros da planta sao ainda apresentadas nas Figuras 3.5(a) e 3.5(b), res-

pectivamente, na presenca e na ausencia de incertezas parametricas e disturbios para o

controlador adaptativo backstepping. Nota-se que o VS-ABC novamente apresentou um

melhor desempenho, quando comparado ao cenario backstepping original.


0 2 4 6 8 100

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

Tempo (Segundos)

Saí

da

(a)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

Tempo (Segundos)S

aída

(b)


para o VS-ABC (b) na ausencia de incertezas parametricas e disturbios - grau relativo unitario.

0 2 4 6 8 10−3

−2.5

−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

Tempo (Segundos)

Sin

al d

e C

ontr

ole

(a)

0 2 4 6 8 10−6

−4

−2

0

2

4

6

Tempo (Segundos)

Sin

al d

e C

ontr

ole

(b)

Figura 3.2: Sinal de controle para o controlador adaptativo backstepping (a) e para o VS-ABC (b) na

ausencia de incertezas parametricas e disturbios - grau relativo unitario.


0 5 10 15 200

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

Tempo (Segundos)

Saí

da

(a)

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

Tempo (Segundos)

Saí

da

(b)


para o VS-ABC (b) na presenca de uma perturbacao aditiva (d = 2) e uma variacao de 20% nos valores

nominais dos seus parametros - grau relativo unitario.

0 5 10 15 20−3

−2

−1

0

1

2

3

Tempo (Segundos)

Sin

al d

e C

ontr

ole

(a)

0 5 10 15 20−6

−4

−2

0

2

4

6

8

Tempo (Segundos)

Sin

al d

e C

ontr

ole

(b)

Figura 3.4: Sinal de controle para o controlador adaptativo backstepping (a) e para o VS-ABC (b) na

presenca de uma perturbacao aditiva (d = 2) e uma variacao de 20% nos valores nominais dos seus

parametros - grau relativo unitario.


0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

Tempo (Segundos)

Par

âmet

ros

θ4

θ2

θ3

θ1

(a)

0 2 4 6 8 10−0.4

−0.3

−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

Tempo (Segundos)

Par

âmet

ros

θ4

θ3

θ1

θ2

(b)

Figura 3.5: Estimativas para os parametros da planta, na presenca (a) e na ausencia (b) de incertezas

parametricas e disturbios para o controlador adaptativo backstepping - grau relativo unitario.

Capıtulo 4

Conclusoes e Consideracoes Finais

Neste trabalho, um controlador adaptativo backstepping a estrutura variavel (Varia-

ble Structure Adaptive Backstepping Controller, VS-ABC) foi proposto para plantas com

grau relativo unitario. Simulacoes para um sistema de primeira e segunda ordem foram

apresentadas com o objetivo de corroborar os estudos teoricos. Como previsto, a uniao

entre as duas tecnicas supracitadas proporcionou uma melhoria no transitorio e na robus-

tez do sistema a incertezas parametricas e disturbios, quando comparado ao controlador

adaptativo backstepping original. E interessante ressaltar que nos exemplos apresenta-

dos, o VS-ABC rejeitou as perturbacoes na entrada da planta, bem como as variacoes

parametricas. Muito embora ambos possuam o mesmo numero de parametros, o projeto

do VS-ABC se mostrou mais intuitivo, uma vez que o processo de sintonia das constantes

auxiliares e dos ganhos adaptativos necessitou de varios testes preliminares para o cenario

backstepping. Adicionalmente, o algoritmo de controle tambem foi simplificado devido as

leis chaveadas propostas.

Algumas perpectivas e trabalhos futuros sao:

• Aplicacoes praticas: controle de velocidade de motores de inducao, controle de

corrente em sistemas de acionamento e controle de processos.

• Uso da tecnica adaptativa backstepping a estrutura variavel em observadores.

• Estimacao de fluxo em maquinas de inducao atraves de observadores adaptativos

backstepping a estrutura variavel.

• Extensao do controlador para uma classe de sistemas nao-lineares.

Capıtulo 4. Conclusoes e Consideracoes Finais 46

• Desenvolvimento do VS-ABC com base na abordagem modular do controle backs-

tepping.

• Generalizacao para sistemas de ordem e grau relativo qualquer.

• Suavizacao do sinal de controle atraves de funcoes sigmoides, regioes lineares, etc.,

proporcionando uma consequente reducao na amplitude do sinal de controle.

• Comparacao entre o VS-ABC e controladores semelhantes: VS-MRAC e VS-

APPC.

Apendice A

Conceitos sobre Estabilidade

A.1 Definicao de Estabilidade

Considerando sistemas descritos por equacoes diferenciais nao-lineares da forma

x = f(x), x(0) = x0 (A.1)

onde f e uma funcao vetorial nao-linear n × 1, x e um vetor de estado n × 1 e cada

elemento deste vetor e uma variavel de estado. Um valor particular do vetor de estado e

tambem chamado de ponto, porque ele corresponde a um ponto no espaco de estado. O

numero de variaveis de estado n e chamado ordem do sistema. Uma solucao de x(t) para

(A.1) corresponde a uma curva no espaco de estado com t variando de zero a infinito.

Definicao A.1.1 Um estado x∗ e dito ser um ponto de equilıbrio do sistema descrito

por (A.1) se f(x∗) = 0, ou seja, se x(0) = x∗ implica x(t) = x∗, para todo t ≥ 0.

Definicao A.1.2 O ponto de equilıbrio x∗ e dito ser estavel se para um ε > 0 existe um

δ(ε) tal que |x0 − x∗| < δ implica |x(t; x0) − x∗| < ε para todo t ≥ 0. Caso contrario, o

ponto de equilıbrio e instavel.

Definicao A.1.3 O ponto de equilıbrio x∗ e dito ser assintoticamente estavel se este

e estavel e se existe um δ(ε) tal que |x0 − x∗| < δ implica limt→∞ |x(t; x0) − x∗| = 0.

Definicao A.1.4 O conjunto de todos x0 ∈ Rn tal que x(t; x0) → x∗ quando t → ∞ e

chamado regiao de atracao do ponto de equilıbrio x∗.47

Apendice A. Conceitos sobre Estabilidade 48

Definicao A.1.5 O ponto de equilıbrio x∗ de (A.1) e globalmente assintoticamente

estavel se este e estavel e cada solucao de (A.1) tende a x∗ conforme t → ∞ (isto e, a

regiao de atracao de x∗ e todo o Rn).

A.2 Metodo Direto de Lyapunov

Este metodo utiliza funcoes de energia para a verificacao de estabilidade do sistema. Se

a energia total de um sistema e continuamente dissipada, seja este sistema linear ou nao-

linear, tende a convergir para um ponto de equilıbrio. Portanto, pode-se tirar conclusoes

sobre a estabilidade de um sistema observando a variacao de uma funcao de energia.

A.2.1 Funcoes Definidas Positivas e Negativas

Definicao A.2.1 Uma funcao V (x) e definida positiva (V (x) > 0) em uma vizinhanca

de x = 0, se V (x) > 0, ∀x tal que ‖x‖ < ε, ε > 0, x = 0 e V (0) = 0.

Definicao A.2.2 Uma funcao V (x) e semidefinida positiva (V (x) ≥ 0) em uma vizi-

nhanca de x = 0, se V (x) ≥ 0, ∀x tal que ‖x‖ < ε, ε > 0 e V (0) = 0.

Definicao A.2.3 Uma funcao V (x) e definida negativa (V (x) < 0) em uma vizinhan-

ca de x = 0, se V (x) < 0, ∀x tal que ‖x‖ < ε, ε > 0, x = 0 e V (0) = 0.

Definicao A.2.4 Uma funcao V (x) e semidefinida negativa (V (x) ≤ 0) em uma vi-

zinhanca de x = 0, se V (x) ≤ 0, ∀x tal que ‖x‖ < ε, ε > 0 e V (0) = 0.

A.2.2 Translacao da Origem do Sistema de Coordenadas

Seja x∗ um ponto de equilıbrio de (A.1), ou seja, f(x∗) = 0. Para analisar o compor-

tamento do sistema em uma vizinhanca de x∗, e feita a seguinte translacao do ponto de

equilıbrio para a origem

x = x − x∗

˙x = x − x∗ = x

˙x = f(x + x∗)

Ponto de equilıbrio: x = 0 (para x = 0 ⇒ ˙x = f(x∗) = 0).

Apendice B. Producao Cientıfica Relacionada 49

A.2.3 Teoremas sobre Estabilidade (Segundo Lyapunov)

Teorema A.2.1 Se para o sistema (A.1), existe uma funcao V (x) continuamente dife-

renciavel tal que

(i) V (x) > 0

(ii) V (x) ≤ 0

entao x∗ = 0 e estavel.


renciavel tal que

(i) V (x) > 0

(ii) V (x) < 0

entao x∗ = 0 e assintoticamente estavel.


renciavel tal que

(i) V (x) > 0

(ii) V (x) ≤ 0

(iii) V (x) → ∞ quando ‖x‖ → ∞

entao x∗ = 0 e globalmente assintoticamente estavel.

Teorema A.2.4 (Teorema de LaSalle) Se para o sistema (A.1), existe uma funcao

V (x) continuamente diferenciavel tal que

(i) V (x) > 0

(ii) V (x) ≤ 0

(iii) nao existe x = 0 tal que V (x) = 0, para todo t ≥ 0

entao x∗ = 0 e assintoticamente estavel.

Apendice B

Producao Cientıfica Relacionada

Para evidenciar a divulgacao dos resultados obtidos e relacionados a esta dissertacao

de mestrado, seguem abaixo alguns artigos publicados ou submetidos ate o momento:

1. A proposta inicial do controlador VS-ABC foi apresentado em [48] e [49], para

o caso de plantas de primeira ordem, objetivando introduzir os conceitos basicos

desta nova estrategia de controle. Simulacoes para um sistema instavel (com e sem

perturbacao) e para um dos exemplos de Rohrs foram apresentadas.

2. O VS-ABC foi proposto para plantas com grau relativo unitario em [50], utilizando

somente medicoes da entrada e da saıda da planta. Para tal, os filtros K foram em-

pregados, em substituicao a medicao das variaveis de estado do sistema. Simulacoes

para uma planta instavel de segunda ordem, na presenca de uma perturbacao aditiva

constante em sua entrada, foram ainda incluıdas neste trabalho.

50

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Documents

Controlador Adaptativo Backstepping a Estrutura Vari´avel