Unidad 6Control Estadístico de Calidad

Objetivos:

Al nalizar la unidad el alumno:

• Calculará el valor medio de una variable de un lote partiendo de una muestra del mismo.• Calculará la desviación estándar de una variable de un lote partiendo de una muestra del mismo.• Interpretará la tendencia de un listado de observaciones de una variable de un lote.• Establecerá límites de tolerancia en un proceso.

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CALIDAD Y PRODUCTIVIDAD

El que más se repite:

5 veces = 157

Introducción

C omo hemos visto, la inspección de un lote de productos se hace por muestreo debido a múltiples ventajas de t ipo económico y práct ico. En esta unidad presentaremos con más profundidad algunas de las herramientas numéricas, llamadas control estadístico de

calidad , las cuales permiten interpretar los datos de una muestra y estimar el estado del total de un lote basándonos en ella. También veremos que las estimaciones se hacen con cierto grado de confianza . Estos métodos numéricos son importantes para el control de calidad de casi cualquier producto porque permiten asegurar la calidad de un lote a través de la inspección de sólo una parte del total.

6.1. Valor medioSe habla del valor medio de un grupo de datos para indicar cuál es el valor típico de esos

datos. Se pueden hacer diferentes juicios de ese valor típico dependiendo de la naturaleza del grupo. Por ejemplo, un comerciante está por adquirir un embarque de duraznos pero quiere saber no sólo el peso total de éstos, sino su peso típico. Si se acomodara por peso una muestra de 19 duraznos en una fila, podríamos señalar tres diferentes pesos típicos: el durazno que estuviera exactamente a la mitad de la fila, el peso que se repite más veces o el promedio de los pesos de todos. Veamos el ejemplo con números: tomemos el peso en gramos de cada durazno (ver tabla 6.1).

Tabla 6.1. Peso de 19 duraznos en gramos, mediana, mo da, y promedio o media aritmética.

Durazno No.

Peso en g

Mediana

Moda

Promedio o media aritmética

1 146 2 146 3 147 4 150 5 150 6 151 7 151

8 154 El promedio 2 933 / 19 = 1549 155

10 156 Mitad de la la = 156 11 157 12 157 13 157 14 157 15 157 16 160 17 160 18 161 19 161 2 933

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Unidad 6

Una vez ordenados los duraznos en fila observamos que el peso del durazno que está a la mitad de la fila se llama mediana y es de 156 g. Si la fila constara de un número par, es decir, si hubiera 20 duraznos en lugar de 19, se tomaría la media entre el peso de la posición 10 y la 11; si hubiera 18, se tomaría la media entre la 9 y la 10.

Cerca del centro de la fila encontramos un grupo de duraznos que pesan lo mismo, es decir 157 g; este peso que se repite más veces se llama moda . Finalmente, si se suma el peso de todos y se divide entre el número de ellos tenemos la media aritmética o promedio : 2 933/19 = 154 g.

Veamos ahora algunos términos propios de los métodos numéricos que vamos a utilizar en esta unidad. En el ejemplo anterior el conjunto de los pesos de los duraznos ordenado de menor a mayor se llama grupo.

Una lista ordenada de números o de valores se llama grupo .

Si tenemos 19 duraznos en el grupo, el de en medio es el 10º durazno; en este caso, el que pesa 156 g.

La mediana es el valor del dato que ocupa la posición de en medio en un grupo, o el promedio de los datos que ocupan los dos lugares de en medio.

En nuestro caso el peso que más se repite es 157 g, por lo tanto éste es la moda.

La moda es el dato que más se repite en un grupo. Esta medida tiene el inconveniente de que a veces no se repiten datos o los que se repiten no quedan cerca del valor medio.

La suma de los pesos del ejemplo es 2 933 g; al dividir este número entre los 19 duraznos nos da un promedio de 154 g por durazno.

La media aritmética y el promedio de un grupo son lo mismo: la suma de los datos de un grupo dividida entre la cantidad de datos del grupo.

Si consideramos que el grupo es el conjunto ordenado de los números de una muestra, cualquier valor medio sirve (dependiendo de las circunstancias) para estimar el valor típico de un lote (ver la figura 6.1).

Figura 6.1. Lote, muestra y grupo.

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CALIDAD Y PRODUCTIVIDAD

Recordemos que un lote es un conjunto de objetos que se nos presentan con una serie de características (llamadas variables y atributos) que deseamos juzgar en su conjunto, por ejemplo, "¿cómo salieron los últimos tornillos niquelados que compramos?". Si nos referimos a su tamaño y a su apariencia, podríamos contestar: "la mayoría salieron de 25 mm, y éstos salieron con niquelado promedio de 0.002 mm de espesor".

Las dos expresiones son estimaciones de la media. En la primera, "la mayoría", significa "casi todos", sin particularizar a unos cuantos que llegaron más chicos o más grandes; el "promedio de 0.002 mm" de la segunda nos indica una característica de esa mayoría (que está niquelada con determinado espesor), despreciando a los que son de diferente tamaño o que fueron niquelados a diferente espesor.

Las características que nos interesa evaluar se llaman variables si se miden con una escala. Si la característica que evaluamos solamente puede tomar dos valores: sí o no, o si sólo se puede decir que está presente o no, se denomina atributo .

Ejercicio 1

1. Un trabajador corta 11 piezas de madera con una sierra y obtiene las siguientes longitudes en cm. Calcula el promedio de éstas. 7.3, 8.5, 9.2, 6.0, 9.5, 8.8, 7.6, 8.3, 6.9, 8.8 y 7.1.________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________.

2. Durante una investigación de producción agrícola, se pesó la producción de cinco parcelas. El rendimiento por hectárea de cada una fue: 1 500; 1 450; 1 475; 1 510 y 1 525 kg/H a. ¿Cuál es el promedio de producción de las parcelas? ________________________________________________________________________________________________________________________________________.

6.2. Desviación estándar

El promedio de una variable en una muestra, por ejemplo, el tamaño de algunos de los tornillos que compramos, nos indica el valor que más probablemente vamos a encontrar en el total del lote adquirido, pero no nos dice con absoluta certeza que todos los elementos de ese lote son iguales.

Como ejemplo para demostrar esto tomaremos el peso de 10 costales de cemento de tres diferentes marcas. La siguiente tabla reúne los datos. El promedio de peso en los tres grupos es el mismo, pero en el primer grupo observamos que hay cierta diferencia entre el peso de los costales más ligeros y el de los más pesados, en el segundo grupo todos pesan lo mismo y en el tercer grupo hay una gran diferencia entre el peso de todos. Observa la tabla 6.2.

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Unidad 6

Tabla 6.2. Peso en kg de tres marcas de cemento.

Marca 1 Marca 2 Marca 3

58 60 58 59 60 62 59 60 58 60 60 62 60 60 60 60 60 58 60 60 62 61 60 60 61 60 62 62 60 58 Promedio: 59.6 Promedio: 60 Promedio: 60

A pesar de que el promedio del peso es el mismo en las tres marcas, la variación de los pesos individuales es muy diferente y nos indica que dichas marcas no son iguales; ¿cómo podemos medir esa variación? Primero veamos gráficamente cómo se distribuyen los pesos de los costales de cada marca:

Figura 6.2.

En estas gráficas se han agrupado en casillas la cantidad de costales que tienen un mismo peso; en la 1ª casilla de la Marca 1 tenemos un costal que pesó 58 kg, dos en la de 59 kg, cuatro en la de 60 kg, dos en la de 61 kg y una en la de 62 kg.

Figura 6.3.

En la 2ª gráfica los 10 costales pesan lo mismo y se colocan en la casilla de 60 kg.

161

CALIDAD Y PRODUCTIVIDAD

Figura 6.4.

En la 3ª gráfica tenemos cuatro costales en la casilla de 58 kg, dos en la de 60 kg y cuatro en la de 62 kg.

Las gráficas que colocan en casillas la cantidad de veces que se repiten las medidas de una variable se llaman histogramas .

Podemos ver que las tres marcas tienen el mismo promedio de peso por costal, pero que el peso individual de los costales varía mucho de marca a marca, unos pesos caen arriba del promedio y otros abajo de éste.

Esa variación alrededor de la media se llama dispersión y para evaluarla debemos recurrir a otra herramienta estadística: la desviación estándar. Como ya vimos en la unidad anterior, esta medida de dispersión de lotes completos se expresa en forma general así:

Esta fórmula sirve para calcular la desviación estándar de un lote completo. Cuando se calcula la desviación estándar de una muestra de dicho lote se divide entre n–1, como se indica en la siguiente fórmula:

Donde:

(sigma minúscula) = desviación estándar.X1 = valor de la primera medición.X2 = valor de la segunda medición.Xn = valor de la última medición.X = promedio de los valores medidos.n = cantidad de muestras que se tomaron.

Con los datos del ejemplo anterior vamos a calcular la desviación estándar del primer grupo de muestras:

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Unidad 6

Tabla 6.3. Peso de los costales de cemento de la marca 1. Cálculo de la desviación estándar.

X X – ' (X – ' )2

58 58 – 60 = –2 –22 = 4 59 59 – 60 = –1 –12 = 1 59 59 – 60 = –1 –12 = 1 60 60 – 60 = 0 02 = 0 60 60 – 60 = 0 02 = 0 60 60 – 60 = 0 02 = 0 60 60 – 60 = 0 02 = 0 61 61 – 60 = 1 12 = 1 61 61 – 60 = 1 12 = 1 62 62 – 60 = 2 22 = 4 Promedio: 60 Suma = 12 n–1 = 10–1 = 9 12 / 9 = 1.333

De la misma manera calculamos la desviación estándar del segundo grupo y nos da 0 kg; la del tercer grupo es 1.886 kg.

Podemos decir que a pesar de tener el mismo promedio de peso, es decir, 60 kg, los grupos de donde salieron las tres muestras no son iguales porque sus desviaciones estándar son diferentes; también podemos decir que la marca 2, la que tiene = 0 kg, es un grupo homogéneo porque su desviación estándar (su variación) es muy baja, de hecho, es nula; la variación de la marca 1 es menor que la de la 3.

Como hemos visto, la muestra es parte de un conjunto mayor. En nuestro ejemplo, al pesar diez costales lo hacemos con el propósito de est imar el peso del conjunto de donde salieron. El promedio de la muestra nos indica cuál será el promedio del peso del lote completo y la desviación estándar nos dirá cuánto podrán variar los pesos alrededor del promedio.

Un producto bien envasado, cuyas medidas y peso no varíen es, ante los ojos del consumidor, mejor que otro que a veces llega incompleto. Aunque el promedio de llenado de muchos envases del producto de un fabricante sea lo especificado, por ejemplo, si el envase dice 250 g y el promedio es 250 g, pero unos traen 220 y otros 280 g, forzosamente algunos consumidores reci birán productos con 220 g y se sentirán defraudados.

La variación es el enemigo de la calidad y de la productividad. Si el productor del ejemplo anterior decide ajustar su máquina de llenado para que ningún envase tenga menos de 250 g, resulta que tendrá que llenar con 280 g para que con la variación de –30 g los envases con menor cantidad salgan con 250 g, pero el promedio ahora será de 280 g y algunos saldrán con 310 g. Esto sería un desperdicio derivado de la variación de la máquina de llenado.

La variación estándar es una medida de la estabilidad de un proceso; mientras menos variación hay, más estable es y mejor calidad produce.

¿Para qué

sirve calcular

la desviación

estándar?

163

CALIDAD Y PRODUCTIVIDAD

La desviación estándar (Xn-1) y el promedio (X) de una muestra también pueden obtenerse mediante el uso de una calculadora como se muestra en el siguiente ejemplo:

Ejemplo:Se desea calcular la media y desviación estándar de los datos 10, 9, 4, 9, 7, 9, 7, 4, 9, 7, 9.Los datos se agrupan en una tabla de frecuencias:

A continuación se muestra el proceso de cálculo con la secuencia de teclas correspondiente.

Ejercicio 2

1. Una tienda compra 200 bolsas de frijol etiquetadas como de 1 kg; sin embargo el dueño considera prudente verificar el peso en una muestra de 20 bolsas y encuentra los siguientes datos (en gramos): 990, 995, 993, 1 005, 997, 1 003, 991, 1 004, 992, 1 010, 1 001, 999, 998, 997, 1 001, 1 002, 997, 997, 1 000, 1 003. Calcula el promedio y la desviación estándar de la muestra.__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________.

2. La Autopista del Sol desea revisar sus cuotas de peaje y para esto toma una muestra de los automóviles que cruzan por la primera caseta durante una hora y encuentra lo siguiente:

21 automóviles llevaban dos personas.10 pasaron con tres personas.16 pasaron con una persona.

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Unidad 6

3 pasaron con cuatro personas.Calcula el promedio de personas por automóvil y la desviación estándar.

6.3. Tendencia de una variable

El comportamiento de un proceso personal (crecer, subir de peso), escolar (calificaciones, inscripciones, graduaciones), comercial (ventas, gastos, personal), industrial (producción, eficiencia) o económico (inflación, tipos de cambio) pueden evaluarse con un simple promedio, pero esta medida no nos dice cómo era la situación antes o cómo será después del momento en que se tomó el promedio. Los procesos naturales (los que se dan espontáneamente en la naturaleza) o los artificiales (que son resultado de las acciones deliberadas del ser humano) no son estát icos; los niños crecen, la gente sube o baja de peso, las calificaciones mejoran o empeoran, el ingreso, la producción o las ventas de una empresa cambian con respecto al tiempo.

Los datos que representan la evolución de una persona o de un negocio pueden ser variables o atributos ; esa evolución con respecto al tiempo se llama tendencia , y para poder determinar si los datos van subiendo, bajando o son estáticos, debemos observar su comportamiento a intervalos fijos de tiempo, es decir, con cierta frecuencia. Por ejemplo: cuál es la tendencia de la UDI (Unidad de Inversión) de las últimas dos semanas. La siguiente tabla muestra la evolución de la UDI desde el 26 de mayo hasta el 10 de junio de 1998.

Tabla 6.4. Tendencia de la UDI.

Fecha Valor (pesos) 26/05 2.147179 27/05 2.147699 28/05 2.148220 29/05 2.148740 30/05 2.149261 1/06 2.150302 2/06 2.150823 3/06 2.151345 4/06 2.151866 5/06 2.152387 6/06 2.152909 7/06 2.153430 8/06 2.153952 9/06 2.154474 10/06 2.154996

165

CALIDAD Y PRODUCTIVIDAD

Para calcular el porcentaje de cambio (creciente o decreciente) entre dos valores aplicamos el siguiente método general:

La gráfica nos muestra la tendencia ascendente de la UDI, aproximadamente un 0.364 % en 14 días calculado de esta manera:

La tendencia de un grupo de datos se puede expresar diciendo primero si hay un aumento, una disminución, un comportamiento caprichoso o estable (sin cambio). Se debe decir además el porcentaje de cambio entre las lecturas, por ejemplo, entre la primera y la última o entre la más baja y la más alta, u otra combinación que ilustre si los cambios han sido suaves y paulatinos o drásticos.

El siguiente ejercicio resuelto nos ayudará a ver los casos anteriores.

Las tasas primarias de CETES han evolucionado de marzo hasta mayo de acuerdo con la siguiente tabla:

Tabla 6.5. Tendencia de los CETES.

¿Cuál es la tendencia desde la semana 12 hasta la 19?¿Cuál es la tendencia de las semanas 19 y 20?¿Cuál es la tendencia de las semanas 20 a la 23?Respuestas: de la semana 12 a la 19 la tendencia fue descendente en un 19.5%

Semana %

12 21.5 13 19.8 14 19.6 15 19.7 16 19.5 17 18.0 18 18.0 19 17.3 20 17.3 21 17.8 22 19.0 23 19.1

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Unidad 6

Las semanas 19 y 20 no presentaron cambio y de la 20 a la 23 ha habido un ascenso del 10.4%

Ejercicio 3

1. Un fabricante de rines para automóvil toma una muestra de su producción hecha durante la semana pasada y mide el diámetro de 7 piezas producidas durante diferentes días de esa semana. Las mediciones de dichos rines se encuentran anotadas en la siguiente lista. Prepara una gráfica que represente los datos e indica la tendencia.

Fecha D iámetro 1 13.05 2 13.07 3 13.06 4 13.08 5 13.07 6 13.08 7 13.09

6.4. Límites de tolerancia de un proceso

Los límites de tolerancia de un proceso son los valores mínimo y máximo aceptables que puede tomar una variable que se derive de un proceso operando en condiciones constantes.

Por ejemplo, si una máquina de inyección de plást ico se encuentra b ien ajustada y las condiciones de operación, como son la materia prima, la temperatura y presión de trabajo, se mantienen constantes, las dimen siones de las piezas producidas sólo dependen de la calidad del molde y del desgaste natural que éste tenga por el uso acumulado. La producción de esa pieza en tales condiciones es aceptable mientras no se salga de los límites asignados.

Es importante notar que los límites de tolerancia también son los valores mínimo y máximo que el consumidor está dispuesto a aceptar en las variables de un producto que adquiere. Si un fabricante tiene ciertas tolerancias en su proceso y éstas son mayores que las que le exige el consumidor, es necesario que el fabricante cambie su proceso hasta lograr que sus tolerancias sean menores (más rigurosas) que las exigidas por el consumidor, o que el consumidor acepte que cierto porcentaje de la producción que compra del fabricante va a estar fuera de sus tolerancias especificadas.

¿Qué son los

límites de

tolerancia?

167

CALIDAD Y PRODUCTIVIDAD

¿Qué relación

hay entre la

variabilidad de

un proceso y sus

tolerancias?

6.4.1. Tolerancia y desviación estándar

Cualquier proceso de manufactura tiene cierta variación en las características de las piezas que produce y algunos procesos son más variables que otros, por ejemplo, en las artesanías prácticamente no se logra fabricar dos piezas iguales entre sí, mientras que los troquelados sencillos son muy constantes y las piezas de plástico inyectado varían casi nada.

Existe una relación convencional entre la variabilidad de un proceso

y la tolerancia que se le otorga. D icha relación tiene que ver con la dispersión de las características del producto derivadas de la variabilidad del proceso con el que se fabrica. Como vimos anteriormente, la desviación estándar es la herramienta que se usa para medir la dispersión de una variable alrededor del promedio. Supongamos que una máquina produce balines de acero para rodamientos (baleros) y que a una muestra de los balines se les mide el diámetro; los resultados de la medición se indican en la tabla 6.6.

Tabla 6.6. Diámetros de una muestra de balines.

Frecuencia (cantidad de piezas Medida que tienen la misma medida) mm

1 9.94

1 9.95

3 9.96

8 9.97

12 9.98

16 9.99

22 10.00

16 10.01

12 10.02

8 10.03

3 10.04

1 10.05

1 10.06

Si graficamos los datos de la tabla en un histograma, veremos que el perfil de las barras sugiere una línea en forma de campana:

168

Unidad 6

Figura 6.5. Histograma de distribución de balines.

En esta ilustración acomodamos las medidas de los balines usando casillas separadas, 0.01 mm entre sí, es decir, si dos balines en realidad medían 9.945 y 9.947 mm, ambos quedaron acomodados en la casilla "9.94".

Si las casillas en donde se acomodan las medidas se hacen cada vez más pequeñas, por ejemplo, la casilla 9.94 se subdivide en 9.940 y 9.945, el borde superior del histograma va teniendo cada vez escalones más pequeños, hasta que, si hubiera un número infinito de casillas, el borde superior de las columnas trazaría una curva continua que se llama curva ( o campana) de distribución normal y que se ilustra en la siguiente figura.

Figura 6.6. Curva de distribución normal.

Las curvas de distribución normal no son todas iguales, algunas son más agudas y otras más chatas dependiendo de la dispersión de los elementos de un conjunto. Mientras menos variables son las medidas (menos dispersas, casi todas miden lo mismo) más aguda es la curva; mientras más variables son las medidas (más dispersas) más chata es la curva.

169

CALIDAD Y PRODUCTIVIDAD

Figura 6.7. Dos curvas de distribución normal con diferente dispersión de sus datos.

Veamos estos conceptos con el ejemplo de los balines, usando los datos originales:

Tabla 6.7.

f i x

i

frecuencia Diám. mm f

i por x

i

fi por x

i2

1 9.94 9.94 98.8036 1 9.95 9.95 99.0025 3 9.96 29.88 297.6048 8 9.97 79.76 795.2072 12 9.98 119.76 1 195.2048 16 9.99 159.84 1 596.8016 22 10.00 220.00 2 200.0000 16 10.01 160.16 1 603.2016 12 10.02 120.24 1 204.8048 8 10.03 80.24 804.8072 3 10.04 30.12 302.4048 1 10.05 10.05 101.0025 1 10.06 10.06 101.2036 104 10.00 1 040.00 10 400.049 suma promedio 10.00 =0.02

Donde: = Sumafix

i2 = f

1x2

1 + f

2x2

2+ ...+f

nx2

n

fi = frecuencia

xi = valor de la variable

n = número de muestras

Para calcular cuando los datosson muchos, se puede usar estapresentación de la fórmula originalpara el cálculo de:

Sustituyendo:

= 0.02

170

Unidad 6

El valor de = 0.02 mm se dice que es una desviación estándar de este grupo de valores. Una medida, por ejemplo, 9.99 ó 10.01 mm está "dentro" o "a menos" de una desviación estándar porque no rebasa los límites de 10.00 ± 0.02 mm.

Si graficamos estos valores podremos ver más claramente algunos conceptos:

Figura 6.8. Promedio, desviación estándar y curva equivalente de un histograma.

Ya vimos que la tolerancia son los límites inferior y superior de una medición aceptables para un consumidor, y que un fabricante puede producir. La forma más simple para acordar los límites de tolerancia es definirlos en términos de desviaciones estándar. Por ejemplo, "se aceptarán los balines que midan 10.00 mm ± 1 ". Esto quiere decir que los balines que midan 9.98 mm o menos, o 10.02 mm o más, serán rechazados.

Aunque esa fijación de límites es convencional, el consumidor tratará de adquirir con la menor variación posible lo que compra y el fabricante tratará de vender con la mayor tolerancia posible. En la realidad la variación es el peor enemigo de la calidad. Cuando un fabricante logra disminuir la variación de sus productos, al acordar con su cliente las tolerancias logra que mayor número de sus productos sean aceptados y disminuye el desperdicio (¿recuerdas la teoría de Crosby?).

¿Cómo se jan los límites de

tolerancia?

171

CALIDAD Y PRODUCTIVIDAD

Ejercicio 4

1. Una fábrica de llaveros y artículos promocionales ha producido un lote de llaveros de cuero de forma circular. El inspector de calidad toma una muestra de 10 piezas y mide el diámetro en mm de cada una, encontrando los siguientes datos. Calcula el promedio y la desviación estándar de la muestra. También grafica los datos.

Muestra Diámetro número en mm

1 30.0 2 29.8 3 30.0 4 29.6 5 29.8 6 30.0 7 30.4 8 30.2 9 30.0 10 30.2

2. Considerando las siguientes mediciones de una pieza diferente producida a máquina, calcula el promedio y la desviación estándar de los datos.

Datos: 10.2, 10.3, 10.1, 9.9, 9.95, 9.8, 10.25, 10.0, 9.87, 9.93.

3. De un lote de fruta se extrae una muestra de 20 piezas para determinar su peso. ¿Cuál será el límite de tolerancia en gramos si el promedio de la muestra es de 110 g, la desviación estándar es de 5 g, y las partes acuerdan que se aceptarán ± 2?

4. Se investiga una gasolinera mediante el aforo de sus bombas y se encuentra que en 30 pruebas de 100 litros bombeados a tanques de volumen conocido, el promedio de la lectura de sus bombas fue de 99.8 l y su desviación estándar fue de 0.8 l. ¿Cuáles son los límites de tolerancia que tienen las bombas de la gasolinera?

172

Unidad 6

Resumen

Las herramientas estadísticas son aplicables en casi todas las circunstancias en la industria, en el comercio y en la vida diaria, pero las ventajas de inspeccionar un lote completo a través de una muestra sólo pueden ser cosechadas si se aplican correctamente las pruebas matemáticas.

H emos visto algunas herramientas, las más importantes y comunes, pero existen otras que son específicas para ciertos tipos de inspección por muestreo y que caen fuera del alcance de este texto introductorio al tema de calidad.

173

CALIDAD Y PRODUCTIVIDAD

Autoevaluación

1. El valor medio de un grupo de datos es:

a ) El más grande.b) El que está en medio de la lista.c) El valor típico de la lista. d) El menor más el mayor entre dos.

2. ¿Cuál es la mediana del siguiente grupo de números: 3.4, 4.4, 4.8, 4.5, 5.1, 4.6, 5.5, 4.7, 3.5, 3.6, 4.2?

a) 4.5b) 5.1c) 4.4d) 5.5

3. El gerente de un supermercado ha ordenado poner un exhibidor de sandías; para hacerlo más atractivo el encargado ha ordenado todas las sandías por tamaño de menor a mayor y ha colocado el letrero con el precio en la que está exactamente en medio de la fila. ¿Dónde puso el letrero?

a) En el promedio.b) En la mediana.c ) En la moda.d) En el grupo.

4. Una fábrica debe proveer uniformes a sus trabajadores. Para tener en almacén la talla que más se usa, el gerente de personal elaboró un inventario de tallas que están en la siguiente lista y escoge la talla que corresponde a la "moda" de las medidas. ¿Cuál es la medida escogida?Lista de tallas: 32, 34, 36, 34, 36, 38, 36, 36, 32, 40, 44, 38, 30.

a) 36b) 32c) 30 d) 35

5. ¿Qué es un grupo de números?

a) El menor y el mayor de un conjunto de números.b) Un conjunto ordenado de números.c) Los valores numéricos de una muestra.d) El alcance de un conjunto.

6. ¿Qué son las variables de un lote?

a) Los datos que cambian en una muestra.b) Los números que representan un lote.c) Los parámetros desconocidos de un lote.d) Las características que nos interesa evaluar.

174

Unidad 6

7. ¿Cuál es una medida de dispersión?

a) El promedio de los datos.b) La diferencia entre el mayor y el menor.c ) El promedio de las diferencias.d) La desviación estándar.

8. Un taller de pintura desea publicar que el espesor de la pintura que aplica a los automóviles varía menos de 0.001 mm. Para comprobarlo hace un estudio de espesores en diversos puntos de un auto que resultan en lo siguiente: 0.040, 0.041, 0.039, 0.038, 0.040, 0.041, 0.039, 0.040, 0.038, 0.040. ¿Cuánto es la desviación estándar? (haz el cálculo a cinco decimales).

a) 0.40108 mmb) 0.03900 mmc) 0.00107 mmd) 0.04000 mm

9. El tipo de cambio diario de una moneda con respecto a otra ha variado como se anota en la tabla:

Día 1 2 3 4 5 6 7

Tipo de cambio 190 192 182 185 173 176 171 ¿cuál es el cambio porcentual del último día con respecto al primero?

a) Disminución del 11.11%b) Aumento del 10%c) Disminución del 10% d) Aumento del 11.11%

10. Basándose en los siguientes datos, ¿cuáles son los límites de tolerancia de las siguientes medidas de una población, considerando que no deben ser fijados a más de una desviación estándar del promedio?

10.4 9.8 9.9 10.3 10.5 10.1 10.2 10.0 9.7 9.9

a) 9.72 y 10.54b) 9.90 y 10.50c) 9.70 y 10.40d) 9.81 y 10.35

11. Una rosticería de pollos los compra por peso, pero los vende por pieza; le interesa que el peso unitario sea lo más parejo posible, es decir, que tenga el mínimo posible de variación. ¿cuál de las siguientes ofertas tiene la menor dispersión?

a) El proveedor dice que cualquiera de sus pollos pesa no menos de 1.5 kg ni más de 1.9 kgb) Otro proveedor garantiza que en promedio sus pollo pesan 1.7 kg ± 0.2 kgc) Otro más ofrece que sus pollos pesan 1.6 kg ± 10%d) El último indica que el peso promedio es de 1.75 kg con una sigma de 0.11 kg

175

CALIDAD Y PRODUCTIVIDAD

Respuestas a los ejercicios

1. Suma = 88; promedio = 88/11 = 82. Suma = 7 460; promedio = 7 460/5= 1 492 kg/H a

1. La suma de los pesos de todas las bolsas es: 19 975; entre 20: = 998.75 g

x x – (x – )2

990 990 – 998.75 = –8.75 76.563 995 995 – 998.75 = –3.75 14.063 993 993 – 998.75 = 5.75 33.063 1 005 1 005 – 998.75 = 6.25 39.063 997 997 – 998.75 = –1.75 3.063 1 003 1 003 – 998.75 = 4.25 18.063 991 991– 998.75 = –7.75 60.063 1 004 1 004 – 998.75 = 5.25 27.563 992 992 – 998.75 = –6.75 45.563 1 010 1 010 – 998.75 = 11.25 126.56 1 001 1 001– 998.75 = 2.25 5.063 999 999 – 998.75 = 0.25 0.063 998 998 – 998.75 = –0.75 0.563 997 997 – 998.75 = –1.75 3.063 1 001 1 001 – 998.75 = 2.25 5.063 1 002 1 002 – 998.75 = 3.25 10.563 997 997 – 998.75 = –1.75 3.063 997 997 – 998.75 = –1.75 3.063 1 000 1 000 – 998.75 = 1.25 1.563 1 003 1 003 – 998.75 = 4.25 18.063 Suma: 19 975 Suma: 493.757 Media: 19 975/20 Entre n–1: 20–1= 19 493.757/19 = 25.987

= 998.75 g Desviación estándar: = 5.098 g

Ej. 1

Ej. 2

176

Unidad 6

2. En promedio cada automóvil pasa con 2 personas, la desviación estándar es: 0.88 personas.

1.

La tendencia es aumentar el diámetro de los rines a razón de 0.31% semanal:

1.

2. de los datos: 10.03; de los datos: 0.172.3. 2 son: 2 5 g = 10 g; por lo tanto se aceptarán las frutas que pesen más de 100 g y menos de 120 g.4. 99.8 l – 0.8 l = 99.00 (límite inferior) y 99.8 l + 0.8 l = 100.62 (límite superior).

Ej. 3

Ej. 4

177

CALIDAD Y PRODUCTIVIDAD

1. c)2. a)3. b)4. a)5. b)6. d)7. d)8. c)9. c)10. d)11. d)

Respuestas a la autoevaluación