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CONTINUIDAD, definición: � �� ������ �� � ↔ 1) ∃���) 2) lim�→�± ���) = ���)

Ejemplos gráficos de funciones “discontinuas” en a:

6toArq

MATEMÁTICA

2018

En este caso ∃f(a) pero el límite en

a por derecha no es igual a f(a)

En este caso, si bien los límites

laterales son iguales, no existe f(a)

Aquí tampoco existe f(a), de todas

formas si uno de los límites

laterales es infinito la función es

discontinua. Ambos límites deben

ser iguales a f(a) que es un

número real.

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FUNCIÓN DERIVADA: Dada una función f, definiremos para las funciones tratadas, su función derivada f ’. Ésta nos

permitirá estudiar el crecimiento de f.

DERIVADAS DE FUNCIONES TRATADAS: Polinómicas: (en lo siguiente : � ∈ �, � ∈ � )

���) = ��� → �´��) = ����!" Expresamos: ����)# = ����!"

Ejemplo: ���) = −2�% → � ´��) = −2.3�( = −6�( , o sea : �−2�%)# = −6�(

Observación: ��. �)# = �. �* = � ��)# = ���*)# = 0

���)# = � ��)# = 0

DERIVADAS USUALES:

DE UNA ADICIÓN : ,-��) + ℎ��)0# = -#��) + ℎ#��)

DE MULTIPLICACIÓN: ,-��). ℎ��)0# = -#��). ℎ��) + -��). ℎ#��)

DE DIVISIÓN: 12��)3��)4

#= 25��).3��)!2��).35��)

63��)78

DE RAÍZ : ,9-��)0# = 25��)(.92��)

DE EXPONENCIAL: ,�2��)0# = �2��)-#��)

DE LOGARÍTMICA : 6:�-��)7# = 2#��)2��) 6:|-��)|7# = 2#��)

2��)

3

INTERPRETACIÓN GRÁFICA DE f ’(a) : La derivada de f en x=a es igual a la pendiente de la recta tangente

a la gráfica de f en el punto (a,f(a)).

ECUACIÓN DE LA RECTA TANGENTE A LA GRÁFICA DE f EN (a,f(a))

t) y = f’(a)(x-a)+f(a)

m

Ejemplo: Consideramos �: ���) = 2�( . Hallaremos la ecuación de la recta tangente t a la

gráfica en el punto (1,f(1)), o sea (1,2). Para aplicar la fórmula anterior, debemos hallar f’(1),

que nos dará la pendiente (el “m”) de la recta t:

�#��) = 4�( → �#�1) = 4 → �) > = 4�� − 1) + 2, �?�@��A�: B)C = DE − F

f ’(a) es la pendiente de

la recta t Recordamos que en la recta de

ecuación: y=mx+n,

“m” es la pendiente.

Podemos trazar la recta t por

ejemplo con los puntos

(1,2) y (0,-2)

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CRECIMIENTO DE UNA FUNCIÓN: Def: � �� ���@���G���� �@������ �� 6�, H7 ↔ ∀�", �( /�" < �( → ���") < ���()

� �� ���@���G���� A��@������ �� 6�, H7 ↔ ∀�", �( /�" < �( → ���") > ���()

CRECIMIENTO Y DERIVADA: El signo de f ’(x) nos aporta el crecimiento de la función, los siguientes teoremas lo indican: � �#��) > 0 ∀�M6�, H7 → � �� ���@���G���� �@������ �� 6�, H7 � �#��) < 0 ∀�M6�, H7 → � �� ���@���G���� A��@������ �� 6�, H7

EXTREMOS RELATIVOS: Si f ’(a)=0 → la gráfica de f tiene tangente horizontal en (a,f(a)) (m de tangente=0)

Esto último podría darse en los siguientes casos:

“máximo relativo” “mínimo relativo” “punto de inflexión de tangente horizontal”

Algunos ejemplos de1) xexxff )()(: 32 −= (se aporta como dato, que :

Rdf =

+∞=−+∞→

x

xexlím )( 32

∞+∞+

( )[ ]exxxf 32 2 −+=)('

sig f ’(x) + + 0- - - - -

-3 1 x

2) 1)(: +−= xxLxff (con f ’)

Dominio: }0{Rdf =−=

( ) =+−±→

10

xxLlímx

0∞−

xx

xxf −=−= 11

1)(' sig

ejemplos de funciones estudiadas, incluyendo der(se aporta como dato, que : lim�→!N ���� � 0)

sig f(x) + + + 0 - - - -0+ + + +

33−

] ( ) xx exxe 322 −+=

- - 0 + + + + 306321 3 ,)()( ≅=−−= −efef

3 1 x

(con f ’). Se sabe: lim�→ON ���� � $∞

*R= (postergamos el estudio de signo por ser suma)

−∞= ( ) +∞=+−−∞→

1xxLlímx

∞+∞+

)(' xfsig - - - - ∃/ + + + + 0 - - - - f(1)=L1

0 1 x

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funciones estudiadas, incluyendo derivada:

(postergamos el estudio de signo por ser suma)

f(1)=L1-1+1=0

6

3)

52xx

f(x):f2

−−= 4

Anotamos sólo derivada y gráfica (realizar el resto del estudio):

�#��) = (�.�(�!Q)!(��8!R)�(�!Q)8 = (�8!"*�OS

�(�!Q)8 �-�#��) + + 0 − ∄ − 0 + 1 5/2 4

x

16xLxff4 −−=)(:)

Se aporta sólo gráfica, realizar el estudio analítico.

f(1)=1, f(4)=4

Del estudio realizado podemos

deducir el signo de la función, que

se observa en la gráfica.

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RELACIÓN CONTINUIDAD-DERIVABILIDAD. Teorema: si f es derivable en a (∃f ’(a)) → f es continua en a

consecuencia de éste,

Teorema contrarecíproco: si f no es continua en a → f no es derivable en a

CASOS DE “NO DERIVABILIDAD” 1) Por el teorema anterior en todo caso en que f no sea continua, no es derivable.

2) Hay casos en los cuales a pesar de ser f continua, no es derivable:

2.1 Casos de tangente vertical: (recordamos que en las rectas verticales no existe la

pendiente, por tanto es razonable que no exista la derivada que justamente es la

pendiente de la recta tangente)

“punto de inflexión de “punto de retroceso”

tangente vertical”

En estos casos, lim�→� �′��) = ∞

2.2 Puntos “angulosos”:

son casos en los cuales no hay una tangente, sino dos “semitangentes” laterales

distintas. En este caso ∄�#��), existen límites distintos de f ’(x) para x → a por derecha

e izquierda que corresponden a las pendientes de dichas semitangentes.