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Conocimientos Basicos Para Ingresar a FACES, esta es una guia explicativa que te ayudara a la hora de estudiar para la prueba.
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Universidad de Carabobo Facultad de Ciencias Económicas y Sociales
Coordinación Académica Coordinación de Apoyo Docente
CONOCIMIENTOS BÁSICOS PARA
INGRESARA LA FACULTAD DE CIENCIAS
ECONOMICAS Y SOCIALES
Hilda Saer de Asunción Carlos Alvarado B.
Marzo 2005
CONOCIMIENTO BASICOS PARA INGRESAR A LA FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS Y SOCIALES
2
Ediciones de la Facultad de Ciencias Económicas y Sociales de la Universidad de Carabobo ISBN 980-223-214-3 Depósito Legal Lf55319993781130 Primera Edición, abril 1999 Segunda Edición, julio 2000 Tercera Edición ampliada, enero 2001 Cuarta Edición ampliada, noviembre 2001 Quinta Edición ampliada, diciembre 2002
CONOCIMIENTO BASICOS PARA INGRESAR A LA FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS Y SOCIALES
3
La Facultad de Ciencias Económicas y Sociales
es una de las siete facultades de la Universidad de Carabobo, cuya trayectoria y prestigio en la comunidad están cimentados en altos niveles de calidad y excelencia académica, aunado a la mística de trabajo y sentido de pertenencia de su gente.
Desde hace algunos años atrás, debido a este prestigio académico reconocido en el ámbito de la región y fuera de nuestras fronteras, la demanda de estudiantes que quiere engrosar nuestras aulas se ha incrementado de tal manera que la Facultad se ha visto obligada a someter a los aspirantes a un riguroso Proceso Interno de Admisión. La Facultad debido a sus limitaciones de espacio físico, recursos humanos y materiales que impiden satisfacer tal demanda, sólo admite a aquellos estudiantes cuyas características aptitudinales sean congruentes con la excelencia académica que caracteriza a FACES y además a aquellos, que exhiban las mayores probabilidades de éxito, seleccionados rigurosamente a través del proceso de admisión, el cual se administra con transparencia, ética y seriedad.
Este libro preparado por los autores, presenta los criterios que han pronosticado el rendimiento académico en las distintas carreras; las habilidades cuantitativas, las destrezas verbales; el razonamiento abstracto y los antecedentes académicos del estudiante. A través de este material, se explica qué es el Proceso Interno de
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Admisión, cómo participar en él; en qué consisten las pruebas y se incluye un repaso orientador de contenidos básicos sobre los que versa la Prueba de Admisión Interna. En esta oportunidad se ha actualizado el texto con los conceptos correspondientes a logaritmos y a radicación, así como también algunos conceptos elementales sobre ángulos, cálculo de áreas de regiones en el plano cartesiano y algunos aspectos básicos relacionados con los conceptos de razón y proporción.
El proceso de enseñanza aprendizaje se ejecuta fundamentalmente a través de procesos lingüísticos, razón por la cual la evaluación de destrezas verbales es fundamental y se incluye en la prueba. Además de este elemento, el razonamiento básico cuantitativo es columna vertebral de nuestras carreras, constituyéndose en predictor de un rendimiento académico excelente, aún en aquellas carreras en las cuales no se considera esencial, el denominado razonamiento cuantitativo. El razonamiento abstracto, por su parte, se ha convertido en un excelente indicador de desempeño académico, ligado a estudiantes que comienzan y terminan sus estudios satisfactoriamente. Otro de los factores que se consideran está representado por los antecedentes del estudiante, siendo el principal indicador, hasta el momento, el promedio global de calificaciones obtenido en Bachillerato.
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INTRODUCCION
El objeto primordial de la Prueba de Admisión Interna de la Facultad de Ciencias Económicas y Sociales es detectar dentro del universo de aspirantes al ingreso, el grupo de bachilleres que están adecuadamente capacitados para enfrentar con éxito los contenidos curriculares de las diferentes carreras que se dictan en esta Facultad. Por ello, todos los bachilleres que deseen estudiar en esta institución, y que no hayan sido asignados por otra modalidad, deben presentar la prueba. La Prueba Interna de Admisión de la Facultad de Ciencias Económicas y Sociales de la Universidad de Carabobo consta de las siguientes partes:
a) Conocimientos Básicos en Matemática. b) Habilidad Verbal y Comprensión Lectora. c) Razonamiento Abstracto.
Conocimientos Básicos en Matemática Los conocimientos básicos del área de Matemática, son aquellos considerados como habilidades instrumentales mínimas que debe manejar el bachiller aspirante a estudiar alguna de las carreras que se imparten en la Facultad de Ciencias Económicas y Sociales, los cuales deben haber sido adquiridos en sus estudios previos de Educación Básica y Media Diversificada ya que son
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indispensables principalmente en los dos primeros semestres de la carrera universitaria Los tópicos corresponden a Aritmética, Algebra, Geometría y Trigonometría. Los temas específicos de estas áreas son los siguientes:
� Porcentaje. Interés: simple y compuesto � Operaciones con Números Naturales,
Enteros, Racionales y Reales: suma, diferencia, multiplicación, división, potenciación y radicación.
� Logaritmos. Ecuaciones exponenciales y logarítmicas.
� Divisibilidad. � Razones y Proporciones. � Operaciones fundamentales del Algebra:
suma, diferencia, multiplicación y división de polinomios.
� Signos de agrupación y reducción de términos semejantes,
� Productos notables y cocientes notables. � Factorización de expresiones algebraicas � Racionalización. � Potenciación. Radicales � Funciones reales: dominio y rango. � Función lineal y cuadrática. � Resolución de ecuaciones de primero y
segundo grado, con o sin fracciones. � Sistemas de ecuaciones con dos y con tres
variables. � Intervalos en la recta real. � Inecuaciones de primero y segundo grado. � Cálculo de áreas y perímetros de figuras
geométricas: triángulo, cuadrado, rectángulo, etc.
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� Tipos de ángulos. Medida de ángulos. � Identidades trigonométricas. � Teoría de Conjuntos. � Progresiones.
Habilidad Verbal y Comprensión Lectora
Esta prueba mide el manejo que el aspirante tiene del idioma, en lo referente a la amplitud, precisión y comprensión del vocabulario; y el razonamiento verbal. Asimismo, mide la capacidad del aspirante de comprender material escrito y relacionar u ordenar ideas y conceptos. Consta de tres partes:
a) Relaciones analógicas entre palabras. b) Significación de palabras en un contexto c) Comprensión lectora
Razonamiento Abstracto
Esta prueba de Razonamiento Abstracto tiene como objetivo medir la habilidad de describir la ley de formación, regla o principio que rige una secuencia y la capacidad de inducción o de abstracción de relaciones. CONOCIMIENTOS BASICOS DE MATEMATICA
La Matemática indudablemente es una
herramienta fundamental en las áreas de las
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Ciencias exactas; sin embargo, aún, en las Ciencias Sociales, el uso de razonamientos asociados con las Matemáticas, es primordial para tomar decisiones, obtener conclusiones y predecir situaciones con razonable exactitud.
La prueba de Admisión interna relacionada
con la evaluación de los conocimientos y habilidades en esta área, contendrá planteamientos para medir razonamiento, habilidad y algunos conocimientos básicos.
A continuación se plantea un repaso de algunos de los conocimientos básicos que debe manejar quien aspire ingresar a FACES. 1. OPERACIONES ELEMENTALES CON
NUMEROS RACIONALES
Se entiende por números racionales al conjunto de todos los números que se simbolizan de la forma conocida como fracción ba / donde bya son números enteros; es decir,
{ }0,:),( ≠∧Ζ∈Ζ∈ bbaba
Ejemplo: Resolver 2
1
3
2
5
8 −+
Solución
30
53
30
152048
2
1
3
2
5
8 =−+=−+
CONOCIMIENTO BASICOS PARA INGRESAR A LA FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS Y SOCIALES
9
Ejemplo: Resolver 2
15
3
7x
Solución
2
35
6
105
2
15
3
7 ==x
2. ELIMINACION DE SIGNOS Y REDUCCION DE
TERMINOS SEMEJANTES Esta operación consiste en eliminar y reducir términos semejantes, hasta llegar a una mínima expresión algebraica, respetando signos y operaciones con signos.
Ejemplo: Eliminar los signos y reducir los términos semejantes de la siguiente expresión:
+−−++−−3
21979
5
22 22 bbbb
Solución
−+++−−
3
21979
5
22 22 bbbb
−−+−
3
2
5
27282 2 bbb
15
)5(2)2(37282 2 −+−− bbb
CONOCIMIENTO BASICOS PARA INGRESAR A LA FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS Y SOCIALES
10
15
16528 2 +−− bb
3. POTENCIACION
La potenciación es una de las operaciones más importantes en Matemática, es por ello necesario incluirla en el repaso de los aspectos que se consideran de imprescindible manejo en el campo de las Ciencias Sociales y Económicas.
Una potencia se expresa de la forma ma ,
donde ""a se llama base y ""m se denomina exponente. Entre las propiedades de la potenciación se cuentan: 3.1. Propiedades de las potencias: 3.1.1. Producto de potencias de igual base:
nmnm aaa += Es decir, el producto de potencias de igual base es igual a la base elevada a la suma de los exponentes. 3.1.2. Cociente de potencias de igual base:
nm
n
m
aa
a −=
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11
Es decir, el cociente de potencias de igual base es igual a la base elevada a la diferencia de los exponentes: al exponente del numerador se le resta el exponente del denominador. 3.1.3. Potencia de una potencia:
mnnm aa =)(
Es decir, la potencia de potencia en base a, es igual a la base elevada al producto de los exponentes. 3.1.4. Distributiva de la potencia respecto del producto:
nnnn cbacba =)(
Es decir, el producto de factores elevado a la potencia n, es igual al producto de potencias de cada base elevada a la potencia n. 3.1.5. Todo número elevado a la cero es igual a la unidad.
10 =a Los siguientes son ejercicios de aplicación de las propiedades de la potenciación: Ejemplo: Resolver lo planteado en cada caso a) 11245245 222.2.2 == ++
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12
b) 9333
3 2575
7
=== −
c) 124.343 55)5( ==
d) 90025.9.45.3.2)5.3.2( 2222 ===
e) 1)3.4.2( 0753 =
3.2. Potencias de exponente negativo y fraccionario. Además de las potencias con exponente entero y positivo, existen potencias con exponentes negativos y con exponentes que son números racionales. 3.2.1. La potencia negativa se expresa de la siguiente forma:
nn
aa
1=−
Las siguientes expresiones son ejemplos de exponentes negativos:
33
1
5
15
21
2
=
=
−
−
3.2.2. La potencia fraccionaria se expresa de la siguiente forma:
CONOCIMIENTO BASICOS PARA INGRESAR A LA FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS Y SOCIALES
13
n mn
m
aa =
Algunos ejemplos de exponentes fraccionarios, con su expresión equivalente en forma de radical.
3 23
2
2
1
33
22
=
=
4 34
34
3
5
1
5
15 ==
−
Ejemplo: Aplicando propiedades de potenciación,
simplificar la siguiente expresión 4
5
4
3
2
3
2
1
2
2.2.2−
−
Solución
222
2
2
2
2
2
222 14
5
4
1
4
5
4
1
4
5
4
3
2
3
2
1
4
5
4
3
2
3
2
1
=====+−
−
−
−
+−
−
−
4. LOGARITMO
Dada la expresión exponencial man = , se define el logaritmo como el exponente al cual hay que elevar la base para obtener dicho número.
En este caso, el logaritmo en base a del
número m es el exponente n al cual hay que elevar la base a , para que nos resulte el mismo número m .
CONOCIMIENTO BASICOS PARA INGRESAR A LA FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS Y SOCIALES
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Dada la potencia 823 = , entonces 38log2 = .
Otros ejemplos:
8135 = , entonces 581log3 =
62554 = , entonces 4625log5 = 4.1. Propiedades de los logaritmos. Las propiedades de los logaritmos son las siguientes: 4.1.1. El logaritmo de la unidad es cero, en cualquier base.
01log =b
4.1.2. Logaritmo de un producto.
nmnm bbb loglog).(log +=
Es decir, el logaritmo en cualquier base de un producto es igual a la suma de los logaritmos 4.1.3. Logaritmo de un cociente.
nmn
mbbb logloglog −=
Es decir, el logaritmo en cualquier base de un cociente es igual a la diferencia de los logaritmos
CONOCIMIENTO BASICOS PARA INGRESAR A LA FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS Y SOCIALES
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4.1.4. Logaritmo de una potencia.
( ) ana bn
b log.log =
Es decir, el logaritmo en cualquier base de una potencia es igual al exponente multiplicado por el logaritmo de la base.
4.1.5. Logaritmo de una raíz enésima.
n
mm bn
b
loglog =
Ejemplo: En la siguiente expresión logarítmica, determinar el valor de M : Solución )log(.2)log()log( nmnmnmM −−−++=
2)()).((
lognm
nmnmM
−−+=
nm
nmM
−+= log
4.2. Ecuaciones Exponenciales. Son aquellas en las cuales la incógnita se encuentra en el exponente de una potencia. Son ejemplos de ecuaciones exponenciales:
13 35
162−− =
=xx
x
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16
A continuación el método de igualación de las bases para resolver ecuaciones exponenciales. Mediante este método se persigue expresar ambos lados de la ecuación en términos de la misma base con la finalidad de igualar los exponentes; ya que si, las bases son iguales, los exponentes también lo son. Ejemplo: Determinar el valor de x que satisface la
ecuación 21
2 3 =−x
Solución
21
2 3 =−x
13 22 −− =x
13 −=−x
2=x
Ejemplo: Determinar el valor de x que satisface la ecuación xx 255 13 =− Solución
xx 255 13 =−
xx 213 55 =−
xx 213 =−
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17
1=x
Ejemplo: Determinar el valor de x que satisface la ecuación 152 −= xx Solución
152 −= xx
15log2log −= xx
5log)1(2log −= xx
5log5log2log −= xx
5log5log2log −=− xx
5log)5log2(log −=−x
6989.03010.06989.0−
−=x
75.13979.06989.0 =
−−=x
4.3. Ecuaciones logarítmicas Son aquellas en las cuales la incógnita se encuentra en el argumento del logaritmo. Las ecuaciones logarítmicas se resuelven aplicando antilogaritmo en ambos miembros de la igualdad. Los siguientes son algunos ejemplos:
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Ejemplo: Resolver la ecuación 1log)1log( =−+ xx Solución
1log)1log( =−+ xx
11
log =+x
x
101 =+
x
x
110 =− xx
91=x
Ejemplo: Resolver la ecuación logarítmica dada Solución
11
loglog =
++
x
xx
11
log2
=
+x
x
101
2
=+x
x
)1(102 += xx
010102 =−− xx
CONOCIMIENTO BASICOS PARA INGRESAR A LA FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS Y SOCIALES
19
Resolviendo la ecuación de segundo grado, la solución es:
90,090,10 21 −== xyx 5. CONCEPTO DE RAÍZ Se llama raíz enésima de un número, a otro número que elevado a la potencia n reproduce el primero. Si b es la raíz enésima de a , se expresa
ban = , se cumple que .abn = La operación que nos permite obtener una raíz cualquiera de un número se llama radicación, y se
expresa con el símbolo , que se conoce como signo radical. La cantidad a la cual se le va a determinar la raíz, y que va ubicada dentro del signo radical se denomina cantidad subradical. El índice de la raíz se coloca en la parte superior del signo radical, como se indica a
continuación: , 3
, 5
; en el caso de índice dos, este se omite, y se conoce como raíz cuadrada.
A continuación algunas propiedades del proceso de radicación.
5.1 Raíz de un producto La raíz enésima de un producto de factores es igual al producto de las raíces enésimas de dichos factores:
CONOCIMIENTO BASICOS PARA INGRESAR A LA FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS Y SOCIALES
20
nnnn cbaabc ⋅⋅= Ejemplos: Resolver
a) 3 233 2 baba ⋅=⋅
b) 5 35 255 32 33 baba ⋅⋅=⋅
c) 123
1212123
15
5b
ab
a ⋅⋅=
5.2 Multiplicación de radicales La multiplicación de radicales de igual índice es otro radical, cuyo índice es el mismo de los factores, y la cantidad radical es igual al producto de las cantidades subradicales de los factores. Así:
nnnn cbacba ⋅⋅=⋅⋅ Ejemplos: Resolver
a) 3 223 83 533 53 3 66)3)(2(32 aaaaaaa ===⋅
b) 5 335 225 25 2 15)5(3(53 yxxyyxxyyx ==⋅
c) .6
2
632
53
6 63
3
2
5
3
3
62
5
15
2
15
2
5
2
35
2
3
ab
ba
ba
b
a
a
b
b
a
a
b ==
=⋅
d) 3 223 3233 33 2 1510155325 bbcacbaababcbbaa ==⋅ 5.3 Potencia de una raíz La potencia de un radical es otro radical, de igual índice cuya cantidad subradical está elevada a la potencia dada
CONOCIMIENTO BASICOS PARA INGRESAR A LA FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS Y SOCIALES
21
( ) n mmn aa =
Ejemplos:
a) ( ) 33332)2(2 aaa ==
b) ( ) 3 223 6423 2322
3 32 55)5(5 aabbababa ===
c) 54
34
54
84
5
42
5
42 3333
b
aa
b
a
b
a
b
ab ==
=
5.4 Raíz de un cociente La raíz enésima de un cociente es igual al cociente entre las raíces enésimas del dividendo y el divisor. Así:
n
n
n
b
a
b
a =
Ejemplos:
a) b
a
b
a
2
323 =
b) 3
3 2
3
3 23
3
23
3
2
3
2
32
z
yx
z
yx
z
yx ==
c) 5 22
5 2
5 22
5 25
522
25
3
4
3
434
yx
ba
yx
ba
yx
ba ==
5.5 División de radicales de igual índice
CONOCIMIENTO BASICOS PARA INGRESAR A LA FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS Y SOCIALES
22
El cociente de dos radicales de igual índice, es otro radical del mismo índice, cuya cantidad subradical es el cociente entre las cantidades subradicales del dividendo y el divisor.
nn
n
b
a
b
a =
Ejemplos:
a) 225
10
5
10 233
aaa
a
a
a ===
b) 332
2
3 2
3 2
23
23
2
3b
a
ab
ba
ab
ba ==
c) 52
535
23
5 35
5 23
31
155
15
5
yxyx
yx
yx
yx==
5.6 Raíz de una potencia La raíz enésima de una potencia es otra potencia de igual base, cuyo exponente es el coeficiente entre el exponente de la potencia y el índice de la raíz.
n
mn m aa =
Ejemplos:
a) 3
53 5 aa =
CONOCIMIENTO BASICOS PARA INGRESAR A LA FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS Y SOCIALES
23
b) 4
34 3 xx =
c) 2
1
aa = Las potencias de exponente fraccionario se originan cuando en la extracción de la raíz de una potencia el exponente de ésta no es divisible entre el índice de la raíz. 5.7 Multiplicación de radicales de diferente índice En este caso se procede de la siguiente forma: se determina el mínimo común índice (mcm de todos los índices). Este índice se le coloca a todos los radicales. Se divide el mínimo común índice entre cada índice, y a la cantidad subradical se eleva al resultado de la división. Finalmente, se efectúa la multiplicación de los radicales de igual índice. Así:
4 23 32 ba
Se determina el mínimo común índice (mcm de todos los índices). Este índice se le coloca a todos los radicales.
12)4.3( =mcm
Se divide el mínimo común índice entre cada índice, y a la cantidad subradical se eleva al resultado de la división.
12 3212 4 )3()2( ba 12 6312 44 32 ba
CONOCIMIENTO BASICOS PARA INGRESAR A LA FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS Y SOCIALES
24
Se efectúa la multiplicación de los radicales de igual índice, resultando:
12 643412 6344 32)3)(2( baba =
Ejemplo: Efectuar 53 222 352 abbaab El mínimo común índice entre 53,2 y es 30, por tanto las raíces quedan todas con ese índice:
=⋅⋅ 53 222 352 abbaab
30 630 102230 152 )3()5()2( abbaab ⋅⋅=
30 66630 20201030 301515 352 bababa ⋅⋅=
30 666202010301515 )3()5()2( bababa ⋅⋅=
30 26116101530 564161015 352352 baabba == 5.8 División de radicales de diferente índice Para dividir radicales de diferentes índices, se reducen al mínimo común índice y luego se dividen los radicales de igual índice que resultan.
Ejemplo: Efectuar 4 53
6 32
2
3
ba
ba
CONOCIMIENTO BASICOS PARA INGRESAR A LA FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS Y SOCIALES
25
Solución: El mínimo común índice entre 4 y 6 es 12
=4 53
6 32
2
3
ba
ba
12953
2
12 1593
12 642
12 353
12 232
23
2
3
)2(
)3(
baba
ba
ba
ba===
5.9 Raíz de una raíz La raíz de otra raíz es un radical cuyo índice es igual al producto de los índices de los radicales
mnn m aa ⋅=
Ejemplo :
a) 155 3 55 abab =
b) 6 233 23 22 yxyx =
c) 3 30 35 3 66 abab = 5.10 Racionalización de denominadores a) Cuando el denominador es un monomio (formado
por un solo radical.
Ejemplo: Racionalizar ,b
a
CONOCIMIENTO BASICOS PARA INGRESAR A LA FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS Y SOCIALES
26
Se multiplican ambos factores (numerador y denominador) por b y se obtiene:
b
ba
b
ba
b
b
b
a ==⋅2
Ejemplo: Racionalizar ,2
3 2ab
Se multiplican ambos miembros por 3 2ba y se obtiene:
ab
ba
ba
ba
ba
ba
ab
3 2
3 33
3 2
3 2
3 2
3 2
222 ==⋅
b) Cuando el denominador es un binomio (está
formado por dos radicales, se multiplican ambos miembros por la conjugada del denominador.
Ejemplo: Racionalizar yx +
3,
Solución: Se multiplican ambos miembros por la expresión conjugada del denominador, es decir,
yx − , obteniendo:
))((
)(33
yxyx
yx
yx
yx
yx −+−
=−−
⋅+
CONOCIMIENTO BASICOS PARA INGRESAR A LA FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS Y SOCIALES
27
yx
yx
yx
yx
−−
=−
−=
)(3)(322
Ejemplo: Racionalizar:23
23
−+
Solución:
)23)(23(
)23(
23
23
23
23 2
+−+=
++⋅
−+
1
625
23
2623
)2()3(
)2(2)3(2)3(22
22 +=−
++=−
++=
625+=
5.11 Radicales semejantes Son aquellos que tienen igual índice e igual cantidad subradical. Así: Son semejantes:
3 22 b , 3 2
21
b− , 3 25 b
5 322 x ,
5 323 x− , 5 327 x
No son semejantes:
a , a2 , a5
CONOCIMIENTO BASICOS PARA INGRESAR A LA FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS Y SOCIALES
28
3 2b ,
3 3b , 3 32b
Para reducir radicales es necesario que estos sean semejantes. La operación de reducción de radicales se efectúa mediante la suma algebraica de los coeficientes de las cantidades radical acompañada del mismo radical. Ejemplos: a) baba 523453 ++−
Se agrupan los radicales semejantes
aaa 35343 =+
bbb 5525 =+− El resultado es: ba 535 +
b) zyxzyx 1048435 22 ++−+− Agrupando los términos semejantes, el resultado es:
zyx 143 2 ++−
6. PROPORCIONALIDAD
Pueden plantearse dos tipos de
proporcionalidad:
CONOCIMIENTO BASICOS PARA INGRESAR A LA FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS Y SOCIALES
29
a) Directa : es aquella que se establece entre
dos cantidades, de tal forma que se verifica que cuando una cantidad varía, la otra experimenta una variación idénticamente proporcional y en el mismo sentido.
b) Inversa : es aquella que se establece entre dos cantidades de tal manera que se verifica que cuando una cantidad varía, la otra experimenta una variación en sentido inverso.
Ejemplo: Diez obreros tardan en hacer un trabajo cuatro días ¿Cuántos obreros serán necesarios para realizar el mismo trabajo en dos días? Como las magnitudes son inversamente proporcionales, se cumplirá que: Siendo Y : el número de obreros X : el número de días Con los datos del problema
xobrero10 obrerosdías
días20
2
4 =
7. RAZÓN Y PROPORCIÓN
Razón es el cociente indicado entre dos cantidades. Si se consideran dos magnitudes a y b, y establecemos una proporcionalidad entre ellos, seria:
CONOCIMIENTO BASICOS PARA INGRESAR A LA FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS Y SOCIALES
30
razónKb
a ==
Proporción es la igualdad de dos razones, se
expresa:
d
c
b
a =
los términos a y d se denominan extremos, b y c medios; asimismo, a y c antecedentes y b y d consecuentes. Propiedades de las proporciones:
a) El producto de los medios es igual al producto de los extremos; es decir,
bcad =
b) La suma de los antecedentes es a la suma de los consecuentes como un antecedente cualquiera es su consecuente; es decir,
d
c
b
a
db
ca ==++
Reparto Proporcional : Muchos problemas se
presentan en la práctica con el objetivo de repartir una determinada cantidad entre varias personas, proporcionalmente a una variable como la edad, años en una empresa, entre otros. Cuando este reparto proporcional se aplica al cálculo de beneficios o pérdidas producidas por un negocio, se le llama Regla de Compañía. Los repartos
CONOCIMIENTO BASICOS PARA INGRESAR A LA FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS Y SOCIALES
31
proporcionales pueden ser directos, si la proporcionalidad es directa; inversos, si la proporcionalidad es inversa.
Ejemplo: Un padre desea repartir Bs 000.000.1 , en forma directamente proporcional a sus edades. Si las edades de los hijos son 3735,28 y años respectivamente, calcular cuanto le corresponde a cada uno?
Sean ZYX ,, la parte proporcional que le
corresponde
100
37
35
28
=++
→→→
zyx
z
y
x
000.10100
000.000.1
28==X
000.280=∴ x
000.10100
000.000.135
==Y 000.350=∴ y
000.10100
000.000.1
37==Z
000.370=∴ z
A los hijos zyx ,, les corresponden
000.370.000.350.,000.280. BsyBsBs respectivamente.
CONOCIMIENTO BASICOS PARA INGRESAR A LA FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS Y SOCIALES
32
8. PRODUCTOS NOTABLES Y COCIENTES NOTABLES
PRODUCTOS NOTABLES
Se denominan productos notables aquellos que cumplen reglas fijas y cuyo resultado puede ser escrito, siguiendo patrones de formación, sin necesidad de recurrir a la multiplicación. Productos notables de 2do. grado
a) Cuadrado de la suma de dos términos:
( ) 222 2 bababa ++=+
Es decir, el cuadrado de la suma de dos términos es igual al cuadrado del primer término, mas el doble producto del producto de los dos términos, mas el cuadrado del segundo término. Este es el llamado trinomio cuadrado perfecto.
Ejemplo: Desarrollar 2
2
52
+ ba
Solución
( ) ( )2
22
2
5
2
5222
2
52
+
+=
+ bbaaba
22
4
25104 baba ++=
b) Cuadrado de la diferencia de dos términos:
CONOCIMIENTO BASICOS PARA INGRESAR A LA FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS Y SOCIALES
33
( ) 222 2 bababa +−=−
Es decir, el cuadrado de la diferencia de dos
términos es igual al cuadrado del primer término, menos el doble producto del producto de los dos términos, mas el cuadrado del segundo término.
Ejemplo: Desarrollar 2
35
2
− ba
Solución
( ) ( )222
335
22
5
23
5
2bbaaba +
−
=
−
22 9
5
12
25
4baba +−=
c) Producto de la suma de dos términos por su
diferencia:
( )( ) 22 bababa −=−+
Es decir, el producto de la suma de dos términos por su diferencia es igual a la diferencia del cuadrado del primer término menos el cuadrado del segundo término.
Ejemplo: Desarrollar ( )( )baba 3232 −+ Solución
CONOCIMIENTO BASICOS PARA INGRESAR A LA FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS Y SOCIALES
34
( )( ) ( ) ( )22 323232 bababa −=−+
22 94 ba −=
d) Producto de dos binomios que tienen un término común:
( )( )bxax ±±
El término común es una letra cualquiera con
coeficiente unitario; el término no común es un número cualquiera. El desarrollo de este producto notable es un trinomio, que se obtiene aplicando las siguientes reglas:
1) El primer término del trinomio, es el producto
de los términos comunes de los binomios. 2) El segundo término es la suma algebraica de
los términos no comunes multiplicado por la letra del término común.
3) El tercer término del trinomio es igual al producto de los términos no comunes.
Ejemplo: Desarrollar ( )( )83 −+ xx Solución
( )( ) 245243883 22 −−=−+−=−+ xxxxxxx
e) Producto de dos binomios de la forma:
( )( )bnxamx ++
CONOCIMIENTO BASICOS PARA INGRESAR A LA FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS Y SOCIALES
35
El procedimiento para obtener el producto de dos binomios, en los cuales los términos en x presentan coeficientes diferentes, consiste en aplicar la propiedad distributiva de la multiplicación y reducir los términos semejantes. Ejemplo: Resolver ( )( )5462 ++ xx Solución
( )( )5462 ++ xx 3024108 2 +++= xxx
30348 2 ++= xx
f) Cubo de la suma de dos términos:
( ) 32233 33 babbaaba +++=+
Es decir, el cubo de la suma de dos términos es igual a la suma del cubo del primer término, mas el triple del cuadrado del primer término por el segundo, mas el triple del primer término por el cuadrado del segundo, más el cubo del segundo término.
Ejemplo: Desarrollar ( )352 ba + Solución
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )32233 5523523252 bbabaaba +++=+
3223 125150608 babbaa +++=
g) Cubo de la diferencia de dos términos:
CONOCIMIENTO BASICOS PARA INGRESAR A LA FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS Y SOCIALES
36
( ) 32233 33 babbaaba −+−=−
Es decir, el cubo de la diferencia de dos términos es igual al cubo del primer término, menos el triple del cuadrado del primer término por el segundo, mas el triple del primer término por el cuadrado del segundo, menos el cubo del segundo término.
Ejemplo: Desarrollar ( )352 ba −
Solución
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )32233 5523523252 bbabaaba −+−=−
3223 125150608 babbaa −+−=
COCIENTES NOTABLES
Los cocientes notables son aquellos que se pueden obtener aplicando regla fijas sin necesidad de realizar las divisiones. a) Cociente de la diferencia de cuadrados de dos
términos entre la suma de las bases: El cociente de la diferencia de cuadrados de dos términos dividido entre la suma de las bases es igual a la diferencia de las bases:
baba
ba −=+− 22
CONOCIMIENTO BASICOS PARA INGRESAR A LA FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS Y SOCIALES
37
Ejemplo: Resolver 7
492
+−
a
a
Solución
77
492
−=+−
aa
a
b) Cociente de la diferencia de cuadrados de dos términos entre la diferencia de las bases:
El cociente de la diferencia de cuadrados de dos términos entre la diferencia de las bases es igual a la suma de las bases:
baba
ba +=−− 22
Ejemplo: Resolver 6
362
−−
a
a
Solución
a
aa
2 36
66
−−
= +
c) Cociente de la suma de cubos de dos
términos entre la suma de las bases:
a b
a b
3 3++
El cociente de la suma de cubos de dos términos dividido entre la suma de las bases es igual: al
CONOCIMIENTO BASICOS PARA INGRESAR A LA FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS Y SOCIALES
38
cuadrado del primer término, menos el producto del primer término por el segundo, más el cuadrado del segundo término.
a b
a ba ab b
3 32 2+
+= − +
Ejemplo: Resolver ba
ba
4
64 33
++
Solución
2233
1644
64baba
ba
ba +−=++
d) Cociente de la diferencia de cubos de dos términos dividida entre la diferencia de las bases:
a b
a b
3 3−−
El cociente de la diferencia de cubos de dos términos dividido entre la diferencia de las bases es igual al cuadrado del primer término, más el producto del primer término por el segundo, más el cuadrado del segundo término.
2233
bababa
ba ++=−−
Ejemplo: Resolver a
a
−−
3
27 3
CONOCIMIENTO BASICOS PARA INGRESAR A LA FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS Y SOCIALES
39
Solución
27
39 3
32−
−= + +a
aa a
9. FACTORIZACION DE EXPRESIONES
ALGEBRAICAS
Factorizar una expresión algebraica consiste en transformarla en otra equivalente que sea el producto de dos o más factores.
a) Factor común monomio Un polinomio admite un factor común si todos sus términos son divisibles por dicho factor. Ejemplo: Factorizar 23 318 aa − Solución
( )163318 223 −=− aaaa b) Factor común polinomio
En este caso, el factor común es a su vez un polinomio.
Ejemplo: Factorizar ( ) ( )bayxba +++ Solución
( ) ( ) ( )( )yxbabayxba ++=+++
CONOCIMIENTO BASICOS PARA INGRESAR A LA FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS Y SOCIALES
40
Ejemplo: Factorizar ( ) npxnp −−+ Solución
( ) ( ) ( )npxnpnpxnp +−+=−−+
( ) ( )( )1−+=−−+ xnpnpxnp c) Factor común por agrupación de términos En este caso, los términos agrupados deben tener un factor común para aplicar los procedimientos anteriores. Ejemplo: Factorizar el siguiente polinomio:
baaba 82123 2 −+−
Solución
)812()23(82123 22 babaabaaba +−+=−+−
= ( ) ( )23423 +−+ abaa
( )( )baa 423 −+=
d) Trinomio cuadrado perfecto Un trinomio es cuadrado perfecto si el primero y el tercer término tienen raíz cuadrada exacta y además el segundo término es el doble de las raíces cuadradas del primero por el segundo; es decir,
CONOCIMIENTO BASICOS PARA INGRESAR A LA FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS Y SOCIALES
41
Para factorizar un trinomio cuadrado perfecto se extrae la raíz cuadrada del primero y del tercer término y se colocan dentro de un paréntesis separados entre sí por el signo del segundo término, elevando el paréntesis al cuadrado.
Ejemplo: Factorizar el trinomio 29
32 ++ xx
Solución 2
2
2
3
4
93
+=++ xxx
Ejemplo: Factorizar el trinomio 22
49
64 yxyx +−
Solución 2
22
2
32
4
964
−=+− yxyxyx
e) Diferencia de cuadrados perfectos La diferencia de cuadrados perfectos es igual al producto de la suma de las raíces cuadradas por la diferencia de dichas raíces.
( )( )bababa −+=− 22
Para factorizar una diferencia de cuadrados se extrae la raíz cuadrada al minuendo y se extrae la raíz cuadrada del sustraendo y se multiplica la suma de estas raíces por la diferencia entre la raíz del minuendo y la raíz del sustraendo.
Ejemplo: Factorizar 42 814 yx −
CONOCIMIENTO BASICOS PARA INGRESAR A LA FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS Y SOCIALES
42
Solución
( )( )2242 9292814 yxyxyx −+=− f) Diferencia de cubos
La diferencia de dos cubos se descompone en dos factores:
( )( )2233 babababa ++−=− Nótese que:
1) El primer factor es un binomio compuesto por la diferencia de las raíces cúbicas de cada cubo de la suma.
2) El segundo factor es un trinomio compuesto por: el cuadrado de la raíz cúbica del minuendo; más el producto de las dos raíces cúbicas; más el cuadrado de la raíz cúbica del sustraendo Ejemplo: Factorizar 13 −y Solución
( )( )111 23 ++−=− yyyy
g) Suma de cubos 33 ba +
Se factoriza en forma similar a la diferencia de cubos, observándose el cambio en los signos:
2233
bababa
ba +−=++
CONOCIMIENTO BASICOS PARA INGRESAR A LA FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS Y SOCIALES
43
Por lo tanto:
( )( )2233 babababa +−+=+
Ejemplo: Factorizar la siguiente suma de cubos:
129 yx + Solución
( ) ( ) ( )( )24432343129 yyxxyxyx +−+=+
( )( )843643 yyxxyx +−+=
h) Trinomio de la forma cbxx ++2
Es un trinomio con las siguientes condiciones:
1) El coeficiente del primer término es 1. 2) El primer término está elevado al cuadrado. 3) El segundo término es el producto de la raíz
del primer término del trinomio por una cantidad cualquiera positiva o negativa.
4) El tercer término es independiente de los dos términos anteriores; es decir, es un escalar cualquiera positivo o negativo.
Para factorizar un trinomio de esta forma se descompone en el producto de dos binomios tales que:
1) El primer término de cada factor es la raíz cuadrada del término del trinomio que se eleva al cuadrado.
CONOCIMIENTO BASICOS PARA INGRESAR A LA FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS Y SOCIALES
44
2) Los segundos términos deben ser dos números cuya suma sea igual al coeficiente del segundo término del trinomio y el producto sea igual al tercer término independiente del trinomio con su propio signo.
Ejemplo: Factorizar el siguiente trinomio
1272 ++ pp Solución
( )( )341272 ++=++ pppp
i) Trinomio de la forma cbxax ++2
Este trinomio se diferencia del caso anterior, en
que el término que se eleva al cuadrado se multiplica por una constante no unitaria. Para factorizar trinomios de esta forma se aplica el siguiente procedimiento:
1) Se multiplican todos los términos por el
coeficiente del término cuadrático.
acabxaax ++2
2) Se aplica la conmutatividad al producto de
factores siguiente: ( ) ( )axbbxa =
( ) ( )acaxbxa ++22
3) Se aplica el criterio de factorización del
trinomio
CONOCIMIENTO BASICOS PARA INGRESAR A LA FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS Y SOCIALES
45
cbxx ++2
4) Se dividen los factores binomiales por a o por su producto equivalente. Ejemplo: Factorizar el siguiente trinomio
628 2 −− xx Solución
( ) ( ) ( )862888 2 −− xx
( ) ( ) ( )868288 2 −− xx ( ) 488264 2 −− xx
( )( )6888 +− xx
2
68
4
88 +− xx
( )( )3422 +− xx
( )( )3412 +− xx
El resultado es:
=−− 628 2 xx ( )( )3412 +− xx
j) Factorización de un polinomio de grado n, si n Ζ∈
CONOCIMIENTO BASICOS PARA INGRESAR A LA FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS Y SOCIALES
46
Para descomponer en factores a un polinomio
entero de grado n < 2 se aplica el criterio de divisibilidad. Para ello, se aplica el hecho de que todo polinomio entero y racional en x que se anula en
ax= , es divisible por ax− El proceso se realiza mediante la aplicación de
la regla de Ruffini. Ejemplo: Descomponer en factores:
4434 234 −−++ xxxx
Solución Divisores del término independiente ,4,2,1:4 ±±±− Por lo tanto el resultado es:
( )( )( )( )22114434 234 ++−+=−−++ xxxxxxxx Ejemplo: Descomponer en factores:
( )22 23 −−+ xxx
Solución
( ) ( )( )23122 223 ++−=−−+ xxxxxx
10. SIMPLIFICACION DE FRACCIONES ALGEBRAICAS
CONOCIMIENTO BASICOS PARA INGRESAR A LA FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS Y SOCIALES
47
Simplificar una fracción algebraica significa obtener otra fracción equivalente que tenga un menor número de factores comunes que la fracción dada.
Ejemplo: Simplificar: 52
23
27
48
ba
ba
Solución
32323
224
52
23
9
16
.3
.32
27
48
b
a
bba
baa
ba
ba ==
Ejemplo: Simplificar: bcaa
ba22
2
129
81
+
Solución
( ) bc
b
bca
ba
bcaa
ba
43
27
433
81
129
812
2
22
2
+=
+=
+
Ejemplo: Efectuar y simplificar: ab
a
a
a
3
532
−−+
Solución
ba
aaab
ab
a
a
a22 3
)5()3(33
53 −−+=−−+
ba
aabab2
2
3593 +−+=
Ejemplo: Simplificar:
CONOCIMIENTO BASICOS PARA INGRESAR A LA FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS Y SOCIALES
48
6
5
2
3
3
22 −+
+−
−+ aa
a
aa Solución
)3)(2(
5)2(2)3(3
6
5
2
3
3
22 +−
+−++−=−+
+−
−+ aa
aaa
aa
a
aa
)3)(2(
54293
+−+−+−−=
aa
aaa
)3)(2(
)134(
+−−=
aa
a
Ejemplo: Simplificar:
183
86
4
24102
2
2
2
−−++⋅
−+−
aa
aa
a
aa
Solución
=−−++⋅
−+−
183
86
4
24102
2
2
2
aa
aa
a
aa
=+−++⋅
−+−−
)3)(6(
)2)(4(
)2)(2(
)6)(4(
aa
aa
aa
aa
( )( )( )( )32
44
+−+−
aa
aa
CONOCIMIENTO BASICOS PARA INGRESAR A LA FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS Y SOCIALES
49
Ejemplo: Efectuar y simplificar:
−+÷
++−
abba
a 31
21
Solución
−+−÷
++−−=
−+÷
++−
ab
ab
ba
aba
abba
a 3231
21
+−−
+−=
3.
ab
ab
ba
ba
Ejemplo: Reducir:
ba
aba
ba
aba
+−
−+
Solución
ba
abababa
ababa
ba
aba
ba
aba
+−+
−+−
=
+−
−+
)(
)(
ba
ba
aba
aba
ba
abababa
ababa
−+=
−+=
+−+
−+−
=2
2
2
2
)(
)(
11. RESOLUCION DE ECUACIONES
CONOCIMIENTO BASICOS PARA INGRESAR A LA FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS Y SOCIALES
50
RESOLUCION DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO
Ejemplo: Resolver la ecuación: 47612 −=+ xx Solución
247612 −=+ xx
246712 −−=− xx
305 −=x 6−=x
Ejemplo: Resolver la ecuación:
( ) ( )34816 −−=++ xxx
Solución
( ) ( )34816 −−=++ xxx
34816 +−=++ xxx
xx 41117 −=+
11147 −=+ xx
1011 =x
11
10=x
CONOCIMIENTO BASICOS PARA INGRESAR A LA FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS Y SOCIALES
51
RESOLUCION DE ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO
La ecuación de segundo grado es de la forma
02 =++ cbxax , con a diferente de cero
La fórmula para resolverla en su forma completa es:
xb b ac
a= − ± −2 4
2
Ejemplo: Resolver la ecuación: 0154 2 =+− xx Solución
Fórmula a
acbbx
2
42 −±−=
sustituyendo )4(2
)1)(4(4)5()5( 2 −−±−−=x
8
16255 −±=x
8
95 ±=x
8
35 ±=x
CONOCIMIENTO BASICOS PARA INGRESAR A LA FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS Y SOCIALES
52
8
351
+=x 8
352
−=x
1
8
81 ==x
4
1
8
22 ==x
Ejemplo: Resolver la ecuación
5
12
3
321
−=+−+ x
x
x
Solución
05
22
3
321 =−−
+−+ x
x
x
( ) ( ) ( )( ) 022332535 =−+−−++ xxxx
066221510155 2 =+−+−−++ xxxxx
06112 2 =++− xx
06112 2 =−− xx
)2(2
)6)(2(412111 −−±=x
4
4812111 +±=x
4
16911±=x
CONOCIMIENTO BASICOS PARA INGRESAR A LA FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS Y SOCIALES
53
4
1311±=x
4
13111
+=x 4
13112
−=x
6
4
241 ==x
2
1
4
22 −=−=x
RESOLUCION DE ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO POR DESCOMPOSICION EN FACTORES
Ejemplo: Resolver la ecuación 01552 =−+ xx Solución
01522 =−+ xx
( )( ) 035 =−+ xx
Al Igualar cada factor a cero y resolver, resulta:
505 −=∴=+ xx
303 =∴=− xx RESOLUCION DE ECUACIONES INCOMPLETAS DE SEGUNDO GRADO DE LA FORMA
02 =+ bxax Ejemplo: Resolver la ecuación 0324 2 =− xx Solución
CONOCIMIENTO BASICOS PARA INGRESAR A LA FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS Y SOCIALES
54
0324 2 =− xx
( ) 084 =−xx
004 =∴= xx 808 =∴=− xx
RESOLUCION DE ECUACIONES INCOMPLETAS DE SEGUNDO GRADO DE LA FORMA
02 =+ xax En este tipo de ecuación cuadrática, se
obtienen dos raíces reales o dos imaginarias.
Ejemplo: Resolver la ecuación 01473 2 =−x Solución
01473 2 =−x
1473 2 =x
3
1472 ±=x 492 ±=x
71 =x 72 −=x
12. SISTEMAS DE ECUACIONES SIMULTANEAS DE PRIMER GRADO CON DOS INCOGNITAS
Un sistema que incluye varias ecuaciones a
resolver, es simultáneo si las ecuaciones se satisfacen con los mismos valores. A continuación se presentan sistemas de dos ecuaciones con dos
CONOCIMIENTO BASICOS PARA INGRESAR A LA FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS Y SOCIALES
55
incógnitas. Resolverlo implica conseguir el par de valores de las incógnitas que satisfacen simultáneamente las dos ecuaciones.
A continuación algunos métodos para resolver un sistema de ecuaciones. a) Método de Igualación
Para resolver un sistema usando el método de igualación se utiliza el siguiente procedimiento:
1) Se despeja una cualquiera de las incógnitas en ambas ecuaciones.
2) Se igualan entre sí los dos valores de la incógnita despejada.
3) Se despeja la incógnita que aparece en la ecuación resultante:
4) Se sustituye el valor obtenido en cualquiera de las ecuaciones iniciales.
5) Se obtiene el valor de la otra variable Ejemplo: Resolver el sistema usando el método de igualación
=−=+
523242
40168
xy
yx
Solución
8
1640 yx
−=
32
5242 −= yx
CONOCIMIENTO BASICOS PARA INGRESAR A LA FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS Y SOCIALES
56
32
5242
8
1640 −=− yy
( ) ( )26212516 −=− yy
26213280 −=− yy 10653 =y
53
106=y
yx
yx
258
1640
−=
−=
53
10625−=x
1=x
b) Método de Reducción
Para resolver un sistema usando el método de reducción se utiliza el siguiente procedimiento:
1) Se efectúan operaciones hasta lograr que los coeficientes de algunas de las incógnitas sean iguales. Esto se logra multiplicando las ecuaciones por constantes adecuadas, diferentes de cero.
2) Se suman algebraicamente miembro a miembro, las ecuaciones con el objeto de eliminar los términos que contienen a las variables con el mismo coeficiente.
CONOCIMIENTO BASICOS PARA INGRESAR A LA FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS Y SOCIALES
57
3) Se despeja el valor de la variable resultante. 4) Se sustituye el valor obtenido en cualquiera
de las ecuaciones originales Ejemplo: Resolver el sistema planteado, usando el método de reducción
=+=−285
623
yx
yx
( )2852
623
=+=−
yx
yx
Solución:
46210
623
=+=−
yx
yx
46210
623
=+=−
yx
yx
5213 =x
413
52 ==x
235 =+ yx
23)4(5 =+ y
3=y
c) Método de Sustitución
CONOCIMIENTO BASICOS PARA INGRESAR A LA FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS Y SOCIALES
58
Para resolver un sistema usando el método de sustitución se utiliza el siguiente procedimiento:
1) Se despeja una de las incógnitas en una cualquiera de las ecuaciones del sistema.
2) Se sustituye la incógnita despejada en la otra ecuación del sistema.
3) Se despeja la variable de la ecuación obtenida.
4) Se sustituye el valor de la variable en la ecuación que resulta al despejar la variable según el primer paso. Ejemplo: Resolver el sistema planteado, usando el método de sustitución
=+=−275
1123
yx
yx
Solución xy 527−=
( )xx 5272113 −+=
xx 1054113 −+=
6513 =x
513
65 ==x
2)5(527 =−=y
13. INTERVALO
CONOCIMIENTO BASICOS PARA INGRESAR A LA FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS Y SOCIALES
59
Si a y b son dos números reales (con a menor que b), entonces el intervalo de extremos a y b es el conjunto de números reales comprendidos entre a y b. Dependiendo de si se incluyen o no se incluyen los extremos, se definen los siguientes tipos:
a) Intervalo cerrado : si a y b son dos números
reales (con a menor que b), el intervalo cerrado de extremos a y b es el conjunto de números reales que son mayores o iguales que a y menores o iguales que b. Se denota [a, b]
b) Intervalo abierto : si a y b son dos números reales (con a menor que b), intervalo abierto de extremos a y b es el conjunto de números reales mayores que a y menores que b. Se denota (a, b)
c) Intervalo cerrado por la izquierda y abierto por
la derecha: si a y b son dos números reales (con a menor que b), intervalo cerrado por la izquierda y abierto por la derecha, es el conjunto de números reales mayores o iguales que a y menores que b. Se denota [a, b)
d) Intervalo abierto por la izquierda y cerrado
por la derecha: si a y b son dos números reales (con a menor b), intervalo abierto por la izquierda y cerrado por la derecha, es el conjunto de números reales mayores que a y menores o iguales que b. Se denota (a, b].
Ejemplo: Representar como intervalo el conjunto siguiente:
CONOCIMIENTO BASICOS PARA INGRESAR A LA FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS Y SOCIALES
60
{ }83),(:),( ≤≤−∧ℜ∈ xyxyx Solución
{ } [ ]8,383),(:),( −=≤≤−∧ℜ∈ xyxyx
Este es un intervalo cerrado por los dos
extremos; incluye el -3 y el 8. Este intervalo contiene los infinitos números reales desde -3 hasta 8.
Ejemplo: Representar en la recta real el siguiente intervalo:
[ )5,3− Solución
Este intervalo cerrado por la izquierda y abierto por la derecha; incluye el -3 pero no el 5. Este intervalo contiene todos los números reales desde -3 inclusive hasta el 5, sin incluirlo.
Ejemplo: Representar el intervalo:
− 2
1,1 real
usando conjuntos
( / / / ]
- 1 0 2
1
[ / / / / / / / / / / ) -3 0 5
CONOCIMIENTO BASICOS PARA INGRESAR A LA FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS Y SOCIALES
61
En este caso, el intervalo es abierto por la izquierda y cerrado por la derecha contiene todos los números reales desde el -1, sin incluirlo, hasta el
21 inclusive. Ejemplo: Representar como intervalo el conjunto siguiente:
{ }∞<≤−∧ℜ∈ xyxyx 7),(:),( Solución
{ } [ )∞−=∞<≤−∧ℜ∈ ,33),(:),( xyxyx
Este es un intervalo cerrado por la izquierda e ilimitado por la derecha. Este intervalo contiene los infinitos números reales mayores o iguales a -3, sin cota superior. Ejemplo: Representar como intervalo el conjunto siguiente:
{ }6),(:),( ≤<−∞∧ℜ∈ xyxyx
Solución
{ } ( ]6,6),(:),( ∞−=≤<−∞∧ℜ∈ xyxyx
Este es un intervalo cerrado por la derecha e
ilimitado por la izquierda. Este intervalo contiene los infinitos números reales menores o iguales a 6, sin cota inferior.
CONOCIMIENTO BASICOS PARA INGRESAR A LA FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS Y SOCIALES
62
( ( ] ] -2 0 1 5 7
Ejemplo: Representar en forma gráfica y de intervalo el siguiente conjunto
{ }π≤≤−∧ℜ∈ xyxyx 2),(:),( Solución
{ } =≤≤−∧ℜ∈ πxyxyx 2),(:),( [ ]π,2− Ejemplo: Graficar y expresar en forma de intervalo la siguiente operación de conjuntos:
( ] ( ]7,15,2 ∪−
Solución
El intervalo obtenido serán los puntos de la recta real que pertenecen al uno o al otro intervalo; es decir, ( ]7,2−
Ejemplo: Graficar y representar el intervalo solución de:
[ ] [ ]8,26,4 I−
Solución
[ ] - 2 0 π
[ ////////////////// ] -4 0 2 6 8
CONOCIMIENTO BASICOS PARA INGRESAR A LA FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS Y SOCIALES
63
El intervalo solución estará formado por los
puntos de la recta real que pertenecen a ambos intervalos, simultáneamente: es decir, [ ]6,2 14. VALOR ABSOLUTO
ax≤ equivale a − ≤ ≤a x a
ax≥ equivale a x a≥ ó x a≤ −
Ejemplo: Representar en forma gráfica y de intervalo el siguiente conjunto:
{ }6≤∧∈= xRxxA
Por definición de Valor Absoluto 6≤x
equivale a 6−≥x y 6≤x es decir 66 ≤≤− x Gráficamente:
El intervalo resultante es [ ]6;6− que resulta de
interceptar los intervalos [ )+∞− ;6 y ( ]6;∞− Ejemplo: Representar en forma de intervalo el siguiente conjunto:
=A { }7≥∧∈ xRxx
[ ] - 6 0 6
CONOCIMIENTO BASICOS PARA INGRESAR A LA FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS Y SOCIALES
64
Por definición de Valor Absoluto 7≥x
equivale a 7≥x ó 7−≤x . El intervalo resultante es la unión de los intervalos ( ]7,−∞− y [ ].,7 +∞ Es decir, ( ]7,−∞− [ )+∞,7U
15. INECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA VARIABLE
Se llama inecuación de primer grado con una
variable a una desigualdad entre dos expresiones reales tales que por lo menos una contiene una variable. Por ejemplo:
35 ≥+x
0135 ≤−+ xx
xx 534 +−≥+
Resolver la inecuación significa encontrar el conjunto de números reales que al ser sustituidos en la inecuación satisfacen la desigualdad; es decir, aquellos valores que hacen que la inecuación, sea proposición verdadera. Ejemplo: Resolver: 08 ≤−x Solución
Se despeja x,
8≤x
CONOCIMIENTO BASICOS PARA INGRESAR A LA FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS Y SOCIALES
65
La solución es el conjunto formado por todos
los números reales menores que 8 , es decir, si se toma cualquier número menor que 8 y se sustituye en 08 <−x , esta desigualdad es verdadera. Ejemplo: Resolver la inecuación expresando en forma de intervalo la solución obtenida:
32
3 ≥+x
Solución
032
)3( ≥−+x
03
063
≥−≥−+
x
x
16. TRIGONOMETRÍA
A continuación, se representa el Círculo trigonométrico y sus relaciones trigonométricas.
distancia
ordenada=αsen
distancia
abscisa=αcos
ααα
cos
sentg =
900
1800 00
3600
r=1
α distancia
CONOCIMIENTO BASICOS PARA INGRESAR A LA FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS Y SOCIALES
66
ααα
sen
costg =c
abscisa
distancia=αsec
ordenada
distancia=αcsc
En el siguiente cuadro se presentan los signos de cada una de las funciones trigonométricas en cada uno de los cuadrantes del círculo trigonométrico Cuadrantes
Funciones I II III IV
Seno + + - - Coseno + - - + Tangente + - + - Cotangente + - + - Secante + - - + Cosecante + + - -
A menudo es necesario conocer los ángulos de
45,60,30 grados. A continuación se explica cómo se deducen. Comenzando por los ángulos de 6030 y grados, los mismos se pueden deducir usando como base un triángulo equilátero cuyo lado mide una unidad, con una de las bisectrices dibujadas.
2700
30º
A
CONOCIMIENTO BASICOS PARA INGRESAR A LA FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS Y SOCIALES
67
C M B
1
2 A continuación se traza la altura (h), que por ser el triángulo equilátero, es también: mediana, mediatriz y bisectriz del ángulo del vértice. Si se considera el triángulo ACM, el cual es rectángulo (porque la altura es perpendicular a la base), entonces:
2
2
2
1)1(
−=h por el Teorema de Pitágoras,
que plantea que 222 bac += , siendo c la hipotenusa y a,b los catetos de una triángulo rectángulo.
=−=4
11h
=−
4
14
3
4=
3
2 Si º30=α , entonces,
21
12
130 ==°sen 230csc =°
23
12
330cos ==° 3
3230sec =°
60º 60º
CONOCIMIENTO BASICOS PARA INGRESAR A LA FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS Y SOCIALES
68
33
23
21
30 ==°tg 330tg =°c
Si º60=α , entonces
2
3
12
360 ==°sen
3
3260csc =°
21
121
60cos ==° 260sec =
32
12
360 ==°tg
33
60 =°ctg
Para determinar el valor de las funciones trigonométricas de un ángulo de 45º, se traza un triángulo rectángulo isósceles, a cuyos catetos se les asigna el valor de 1.
En consecuencia: 222 bac += (Pitágoras)
2)1()1( 22 =+=c Luego, si α = 45º
2
2
2
145sen ==°
245csc =°
CONOCIMIENTO BASICOS PARA INGRESAR A LA FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS Y SOCIALES
69
2
2
2
145cos ==° 245sec =°
11
145 ==°tg 145tg =°c
Ejemplo: Determinar el valor numérico de x en las siguientes expresiones:
ooo 45cos6030 2 −+= tgsenx Solución
( )2
23
2
1 2−+=x
2
23
2
1 −+=x
2
2)3(21 −+=x
2
27 −=x
Ejemplo: Resolver º30
º45º304
2
tg
sensenx
+=
Solución
CONOCIMIENTO BASICOS PARA INGRESAR A LA FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS Y SOCIALES
70
2
3
3
2
2
2
1
4
+
=x
3
32
1
2
1
4
3
34
2
2
1
4+
=+
=x
343
334
3
34
3
3
14 ====x
De seguido se presentan las razones trigonométricas fundamentales.
1csc.sensen
1csc
csc
1sen =∴=∴= αα
αα
αα
1sen.coscos
1csc
sen
1cos =∴=∴= αα
αα
αα
1tg.tgtg
1tg
tg
1tg =∴=∴= αα
αα
αα cc
c
∴=ααα
cos
sentg
sen cos tg
cossen
tg
α α α
α αα
=
=
CONOCIMIENTO BASICOS PARA INGRESAR A LA FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS Y SOCIALES
71
=
=∴=
ααα
ααα
ααα
tg
cossen
tgsencos
sen
costg
c
c
c
−=
−=∴=+
αααα
αα22
2222
sen1cos
cos1sen1cossen
1sectgtg1sec 2222 −=∴+= αααα
1csctgtg1csc 222 −=∴+= αααα cc Ejemplo: Comprobar si se verifica la siguiente identidad trigonométrica:
tg .cos senα α α=
Solución
sen
cos.cos sen
αα
α α=
sen senα α=
Ejemplo: Comprobar si se verifica la siguiente identidad trigonométrica:
sen . tg cos
cos
α α αα
c + = 2
Solución
CONOCIMIENTO BASICOS PARA INGRESAR A LA FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS Y SOCIALES
72
2
cos
cossen
cos.sen
=+
α
αααα
2cos
cos.cos =+α
αα
2cos
.cos2 =αα
22 =
17. ANGULOS
Se denomina ángulo a la región angular comprendida entre dos semirectas, cuyo origen se llama vértice. Entre los ángulos se cuentan: Angulo recto : Región angular comprendida entre dos semirrectas perpendiculares. En el sistema sexagesimal un ángulo recto mide 90 grados Angulo agudo: cuando la región angular, comprendida entre las dos semirrectas tiene una magnitud inferior a la de un ángulo recto
90°
CONOCIMIENTO BASICOS PARA INGRESAR A LA FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS Y SOCIALES
73
Angulo obtuso : cuando la región angular comprendida entre las dos semirrectas, tiene una magnitud mayor a la de un ángulo recto. Angulos adyacentes : son aquellos que tienen un lado común y los otros dos lados en una misma línea recta. β α α y β son adyacentes Angulos opuestos por el vértice: son aquellos que tienen el vértice común y los lados que lo forman según las mismas rectas.
β α
CONOCIMIENTO BASICOS PARA INGRESAR A LA FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS Y SOCIALES
74
α y β son opuestos por el vértice Angulos complementarios : son aquellos cuya suma es igual a un ángulo recto.
β α α y β son complementarios Angulos suplementarios : son aquellos cuya suma es igual a dos ángulos rectos.
α β
α y β son suplementarios Angulos formados por una recta que corta a dos rectas paralelas. β α χ δ
CONOCIMIENTO BASICOS PARA INGRESAR A LA FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS Y SOCIALES
75
µ ε
φ ϕ los ángulos que se determinan en este gráfico son los siguientes: Angulos alternos internos , son los que están situados a uno y otro lado de la secante, entre las rectas y con diferente vértice. [ µδεχ yy ; ] Angulos correspondientes : son aquellos que están situados a un mismo lado de la secante, uno dentro y el otro fuera de las rectas y además, con diferente vértice. Un ejemplo de ellos son: [ εαµβ yy ; ] Angulos alternos externos son los que están situados a uno y otro lado de la secante, fuera de las rectas y con diferente vértice. [ ϕαφβ yy ; ] Ejemplo: Hallar el ángulo complementario de
'2335o=α Solución: El complemento de un ángulo de 35° 23’ es igual a:
'233590 oo −=β
'' 23356089 oo −=β
3754o=β
CONOCIMIENTO BASICOS PARA INGRESAR A LA FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS Y SOCIALES
76
110°
El complemento es '3754o Ejemplo: ¿Cuál es el ángulo suplementario de
'16112o Solución: El suplemento de un ángulo de '16112o es:
'16112180 oo −=β
'' 1611260179 oo −=β
'4467o=β El suplementario es '4467o Ejemplo: En la gráfica, las rectas L1 y L2 son paralelas. Si L es una recta secante. ¿Cuáles son
los valores de los ángulos α , β , y γ indicados en la figura? α L
L1 ϕ
β L2 ρ
Solución:
a) En la figura o110=α , por ser ángulos correspondientes
L
γ
CONOCIMIENTO BASICOS PARA INGRESAR A LA FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS Y SOCIALES
77
Luego α + ϕ o180= suplementarios
ϕ oo 110180 −=
α o70=
b) El ángulo ª110== aρ por ser alternos externos
c) Por ultimo, el ángulo ª70== lβ , por
ser opuestos por el vértice.
18. CALCULO DE AREAS Ejemplo: Calcular el área de la zona sombreada sabiendo que la circunferencia tiene radio de cm4 .
El área de la zona sombreada es:
2. RA π=
24.π=A
π16=A
CONOCIMIENTO BASICOS PARA INGRESAR A LA FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS Y SOCIALES
78
El área de la zona rayada representa la mitad de toda la superficie del circulo, por lo tanto, el área buscada es
ππ8
2
16 =
=A
Ejemplo: Dado un circulo inscrito en un cuadrado de lado 1 cm. Determinar el área sombreada de la figura; si el
radio del círculo es 21
Área del cuadrado:
222 1.)1( cmcmA === l Área del círculo:
4
1
2
12
2 πππ =
== rA
Área de zona sombreada:
El área sombreada es igual al área del cuadrado menos el área del círculo.
CONOCIMIENTO BASICOS PARA INGRESAR A LA FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS Y SOCIALES
79
4
3
4
11
ππ =−=A
Ejemplo: Un cuadro ABCD se divide en 4 partes iguales. Calcular el área sombreada del cuadrado ABCD, cuya diagonal es igual a 8 cm. El área del cuadrado es:
=1A 2α
℘ α α
A
El lado se calcula aplicando el teorema de Pitágoras:
2℘ = 2α + 2α 2℘ = 2 2α
2α = 2
64
A B
C D
CONOCIMIENTO BASICOS PARA INGRESAR A LA FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS Y SOCIALES
80
Luego: 22
1 32)24( cmA ==
El área de la región sombreada será:
=A224
4
9632
4
3cmx ==
MODELO DE PREGUNTAS En esta sección, se presenta un grupo de preguntas relacionadas con las diferentes partes que componen la Prueba de Admisión Interna de FACES, esto con el objeto de que el aspirante se vaya familiarizando con el estilo de las preguntas, y de esta forma pueda prepararse adecuadamente para su presentación. Es muy importante que una vez inscrito para presentar la prueba, comience a repasar los conocimientos relacionados con los temas indicados en este folleto como contenidos básicos a ser evaluados, en las áreas de Aritmética, Algebra, Geometría y Trigonometría. Para el día de la presentación de la prueba, debe tener en cuanta algunos puntos importantes: 1. Debe leer bien el enunciado de la pregunta.
Verifique que entiende qué es exactamente lo que le están preguntando.
CONOCIMIENTO BASICOS PARA INGRESAR A LA FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS Y SOCIALES
81
2. No debe insistir mucho tiempo en responder preguntas que le resulten complicadas. Debe seguir, y contestar aquellas que le sean más sencillas. Es mucho mejor responder cinco (5) preguntas fáciles que una (1) difícil. Luego si el tiempo se lo permite, regrese a las preguntas que haya dejado de responder.
3. Siempre que sea necesario, debe ayudarse con dibujos o gráficos en el mismo examen (en el folleto de preguntas, no en la hoja de respuestas): Ello será muy útil en preguntas que involucren relaciones espaciales, Geometría o Trigonometría.
4. Finalmente, debe tener en cuenta algo muy importante: No conteste al azar , ya que ello disminuye su puntuación. Si tiene duda en la respuesta, debe dejarla en blanco.
EJEMPLOS EN EL AREA DE MATEMATICA A continuación se le presentan una serie de preguntas. Seleccione la respuesta correcta, entre las cinco alternativas.
1. El resultado de la siguiente operación
−−4
1
2
1
3
2
es:
a) 5
2
b) 5
2−
c) 12
7−
CONOCIMIENTO BASICOS PARA INGRESAR A LA FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS Y SOCIALES
82
d) 12
5
e) 12
5−
La alternativa correcta es la (d) 2. Al efectuar la siguiente multiplicación de factores
( )( )88 +− yy el resultado es:
a) 642 +y
b) 642 −y
c) 1682 −− xy
d) 1682 +− xy
e) 6482 −− xy La alternativa correcta es la (b)
3. La expresión 5
4
4
5 − es igual a:
a) 10
5
b) 1
c) 4
5
d) 3
e) 10
1
La alternativa correcta es la (a)
CONOCIMIENTO BASICOS PARA INGRESAR A LA FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS Y SOCIALES
83
4. Si xxf 3)( = , el valor de )2(f es igual a:
a) 2 b) 3 c) 8 d) 9 e) 6
La alternativa correcta es la (d)
5. Si 1
1)(
+=
xxf ¿Para qué valores racionales de
x , )(xf no es un número racional?:
a) 1 b) 2 c) 1− d) 2− e) 0
La alternativa correcta es la (c)
6. Al simplificar la fracción
x
11
1
− resulta:
a) 2
1−x
b) x
x−1
c) x
x
−−
2
1
CONOCIMIENTO BASICOS PARA INGRESAR A LA FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS Y SOCIALES
84
d) x
x
−1
e) 1−x
x
La alternativa correcta es la (e)
7. Si 15
=+−
x
yx 4=xy entonces el valor de y es:
a) 5− b) 1 c) 0 d) 2 e) 4
La alternativa correcta es la (a)
8. Si 0)4(
)4)(62(
)2(
)2)(3( =−
−−+−
−−x
xx
x
xx, entonces x es
igual a:
a) 0 b) 2 c) 1 d) 4 e) 3
La alternativa correcta es la (e) 9. El resultado de la suma
)24()68()1012()1416()1820( −−−+−+−+−− es:
a) 2−
CONOCIMIENTO BASICOS PARA INGRESAR A LA FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS Y SOCIALES
85
b) 10− c) 0 d) 10 e) 2
La alternativa correcta es la (e) 10. Al racionalizar el denominador de la fracción
32
23
+−
el resultado es: a) 625+−
b) 265− c) 625−−
d) 625−
e) 625+ La alternativa correcta es la (d) EJEMPLOS SOBRE HABILIDAD VERBAL PRIMERA PARTE: AMPLITUD DE VOCABULARIO La utilización de preguntas como las que se presentan en las partes I y II, pretenden apreciar la amplitud de vocabulario del aspirante. Para ello, debe evidenciar precisión en el uso del vocabulario mediante la selección de expresiones análogas u opuestas.
CONOCIMIENTO BASICOS PARA INGRESAR A LA FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS Y SOCIALES
86
Similitud entre Palabras
A continuación, se da una palabra base, seguida de cinco palabras. Seleccione aquella cuyo significado sea similar al de la palabra base.
1. Obvio es similar a:
a) fácil b) viable c) evidente d) subjetivo e) preciso
La alternativa correcta es la (c) 2. Carnada es similar a:
a) ardid b) pretexto c) señuelo d) artificio e) estrategia
La alternativa correcta es la (c) 3. Extenso es similar a:
a) largo b) ancho c) despejado d) vasto e) infinito
La alternativa correcta es la (d) 4. Polémica es similar a:
a) contraposición
CONOCIMIENTO BASICOS PARA INGRESAR A LA FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS Y SOCIALES
87
b) controversia c) contraataque d) contradicción e) contraseña
La alternativa correcta es la (b) 5. Sosiego es similar a:
a) paz b) paciencia c) tolerancia d) descanso e) tranquilidad
La alternativa correcta es la (e) Antagonismo entre Palabras A continuación, se da una palabra base, seguida de cinco palabras. Seleccione aquella palabra cuyo significado sea opuesto al de la palabra base.
6. Incapaz es opuesto a:
a) dispuesto b) inteligente c) competente d) estudioso e) diligente
La alternativa correcta es la (c) 7. Inerme es opuesto a:
a) armado b) diestro c) abastecido
CONOCIMIENTO BASICOS PARA INGRESAR A LA FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS Y SOCIALES
88
d) experto e) equipado
La alternativa correcta es la (a) 8. Arcaico es opuesto a:
a) estético b) precursor c) primitivo d) novedoso e) moderno
La alternativa correcta es la (e) 9. Discordia es opuesto a:
a) pacto b) arreglo c) unidad d) consenso e) acuerdo
La alternativa correcta es la (e) 10. Exilio es opuesto a:
a) refugio b) albergue c) asilo d) destierro e) embajada
La alternativa correcta es la (c) Relación entre Pares de Palabras
CONOCIMIENTO BASICOS PARA INGRESAR A LA FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS Y SOCIALES
89
En esta parte se evalúa la habilidad para identificar la relación que une un par de palabras. Normalmente el tipo de relación que se establece puede ser: • Similitud, cuando los pares de palabras están
relacionados por el significado entre las parejas de palabras. Por ejemplo:
11. Amar es a querer como:
a) Comunicar es a manifestar b) Creer a dudar c) Nominar es a votar d) Difundir es a divulgar e) Ganar es a perder
La respuesta correcta es la (d) • Oposición, cuando los pares de palabras se
encuentran relacionados por lo opuesto que son ambas parejas. Por ejemplo:
12. Guerra es a paz, como: a) lado es a cuadrado b) luna es anoche c) noche es a día d) cuerda es a arco e) hoy es a presente
La respuesta es la alternativa (c). • Parte a Todo, cuando en la relación, la primera
palabra es un aspecto, una parte de lo que se menciona en la segunda palabra. Por ejemplo:
CONOCIMIENTO BASICOS PARA INGRESAR A LA FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS Y SOCIALES
90
13. País es a continente, como
a) tierra a mar b) mano es a cuerpo c) madre es a hija d) brillar es a relucir e) mentira es a verdad
La alternativa (b) es la correcta • Todo a Parte, es lo inverso a la relación anterior,
la primera palabra es la que engloba a la segunda. Por ejemplo:
14. Continente es a país, como:
a) escalera es a elevador b) actualidad es a contemporaneidad c) género es a número d) relativo es a absoluto e) cuerpo es a mano
La respuesta es la alternativa (e) • Causa-Efecto, cuando la relación que se tiene
entre los pares de palabras, establece una implicación de una con otra, sea que la primera es causa de la segunda o viceversa. Ejemplo:
15. Infección es a fiebre, como:
a) campeonato es a atleta b) guerra es a destrucción c) locura es a cordura d) reloj es a orden e) rutina es a caos
CONOCIMIENTO BASICOS PARA INGRESAR A LA FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS Y SOCIALES
91
La alternativa correcta es la (b) A continuación se presenta un par de palabras relacionadas, seguidas de cinco pares de palabras. Seleccione la alternativa que expresa mejor una relación semejante a la que se da en el par de palabras que sirve de base. 15. Matrimonio es a unión como:
a) Viudez es a soledad b) Soltería es a libertad c) Divorcio es a separación d) Casamiento es a enlace e) Noviazgo es a ilusión
La alternativa correcta es la (d) 16. Perro es a fidelidad como:
a) Mariposa es a esplendor b) Zorro es a astucia c) Tigre es ferocidad d) Gallo es a colorido e) Ave es a candor
La alternativa correcta es la (b) 17. Vestido es a abrigo como:
a) Dinero es a ostentación b) Visita es a emoción c) Mueble es a reposo d) Camino es a comunicación e) Casa es a protección
La alternativa correcta es la (e)
CONOCIMIENTO BASICOS PARA INGRESAR A LA FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS Y SOCIALES
92
18. Subalterno es a Jefe como:
a) Esclavo es a siervo b) Comerciante es a empresario c) Obrero es a patrón d) Dirigente es a oficinista e) Empleado es a principal
La alternativa correcta es la (c) 19. Fuego es a Ceniza como:
a) Terremoto es a escombro b) Erosión es a lluvia c) Inundación es a lluvia d) Huracán es a viento e) Tornado es a nube
La alternativa correcta es la (a) Uso de Palabras en Contexto Esta parte mide la habilidad de seleccionar palabras que sustituyan otras, que están subrayadas, sin que se cambie el sentido del texto. Tácticas para responder este tipo de preguntas: a) No debe elegir ninguna alternativa que cambie el
sentido original del texto. b) Verifique que el par de palabras concuerde
perfectamente con las dos que se sustituyen. c) Si desconoce el significado de la palabra
subrayada trate de descubrir si por el contexto en que se encuentra puede deducirlo.
CONOCIMIENTO BASICOS PARA INGRESAR A LA FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS Y SOCIALES
93
d) Recuerde que no debe contestar por tanteo, porque las respuestas incorrectas disminuyen la puntuación. Si no está seguro o no conoce la respuesta, lo mejor es dejarla en blanco.
Cada una de las siguientes oraciones tiene una o más palabras subrayadas. Seleccione de las cinco alternativas, aquella cuya sustitución no altere el sentido de la oración.
20. En las economías de mercado, la propaganda
tiene como finalidad introducir los productos que se anuncian: a) destino b) objetivo c) sentido d) centro e) hito
La alternativa correcta es la (b) 21. Los recursos naturales deben ser administrados
con prudencia. a) manejados-cautela b) tutelados-cordura c) repartidos-mesura d) organizados-discernimiento e) otorgados-circunspección
La alternativa correcta es la (a) 22. La práctica de un gobierno está fundada en los
principios y éstos en teorías: a) acción b) costumbre
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c) rutina d) facilidad e) consciencia
La alternativa correcta es la (a) 23. En el ámbito universitario los estudios de
arqueología son muy recientes. a) espacio-modernos b) contorno-frescos c) ambiente-nuevos d) círculo-originales e) recinto-desconocidos
La alternativa correcta es la (c) 24. El Deporte se ha convertido en un elemento
esencial de la cultura humana. a) mudado-importante b) trocado-notable c) mutado-destacado d) cambiado-trascendente e) transformado-indispensable
La alternativa correcta es la (e) SEGUNDA PARTE: COMPRENSION LECTORA Esta parte mide la habilidad para captar tanto el sentido explícitamente anotado en el texto, como el sentido implícito. En el primer caso, se trata de identificar las ideas principales y secundarias que aparecen en el texto. En el segundo caso, se debe ser capaz de “ver” a través de la lectura, qué idea nos está tratando de trasmitir el autor, por ejemplo: sus sentimientos (amor, odio, disgusto), opinión
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(favorable, desfavorable), estilo (romántico, prosaico), posición ante la vida o de los hechos (optimista, pesimista). En este tipo de prueba, se pueden hacer varios tipos de preguntas: a) Idea Principal, en este caso se
preguntará....¿Cuál es el tema del texto? o también, de las siguientes alternativas, ¿cuál refleja mejor el contenido del párrafo en general (idea principal), no, a los detalles que se brindan? Generalmente, aunque no siempre, la idea principal está al comienzo, explícitamente anotada, pero igualmente puede estar a la mitad o al final del texto.
b) Detalles del texto, en este caso, la pregunta se refiere explícitamente a aspectos que están en el párrafo, por ejemplo, preguntas como: “El autor considera que.........”; “Según la lectura, el número de casos............”, son ejemplos de esta categoría.
• Ideas implícitas, son preguntas que no aparecen explícitamente en el texto, pero pueden inferirse de acuerdo a las posiciones o argumentos presentados. Son ejemplos típicos de este tipo, preguntas como “después de la lectura, se puede concluir que .......”; “La frase..............implica que el autor está de acuerdo con la teoría e la relatividad”.
c) Ideas implícitas, son preguntas que no aparecen explícitamente en el texto, pero pueden inferirse de acuerdo a las posiciones o argumentos presentados. Son ejemplos típicos de este tipo, preguntas como: “después de la lectura, se puede
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concluir que.........”; “la frase................implica que el autor está de acuerdo con la teoría de la relatividad”.
Tácticas para responder este tipo de preguntas: Deben tomarse en consideración las siguientes recomendaciones: 1. Lea primero la pregunta y luego el texto,
comenzando por el título del párrafo que puede estar al comienzo o al final en pequeñas letras. Esto normalmente le indica cuál es la materia que se trata en el mismo. El leer primero la pregunta le guiará en su lectura hacia la identificación de la idea principal.
2. Subraye aquello que considere importante para la comprensión de la idea principal.
3. Lea todas las alternativas de respuestas que se presentan. Aquí es importante que tome en cuenta que cuando la pregunta refiera aspectos del texto, no responda por lo que sabe, piense o sienta. ¡Cuidado! Siempre las preguntas se refieren al texto, al autor, a lo que está implícito, pero no a lo que usted sabe o piensa.
4. Como siempre, no asuma que encontró la respuesta antes de haber considerado las restantes.
5. Si tiene duda entre dos (2) respuestas, es mejor que la deje en blanco.
6. Traten de leer lo más rápidamente que pueda, sin que ello implique que pierda la capacidad de comprensión. Si ello sucediese, disminuya la velocidad de la lectura.
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A continuación se presentan algunos ejercicios para que practique lo antes mencionado. Para ello el interesado debe leer con mucha atención y detenimiento el trozo de lectura y posteriormente seleccionar la alternativa correcta entre las cinco (5) que se le presentan en las diferentes preguntas alusivas al contenido de la lectura.
EJEMPLO UNO
Aunque la ciencia moderna sólo existe desde
hace unos pocos cientos de años, casi no hay un solo aspecto de la vida cotidiana, en el mundo occidental, que no haya sido transformado por ella. La aplicación del conocimiento científico ha dado como resultado la introducción de adelantos en la agricultura, en las comunicaciones y en los transportes, en la salud y la higiene y en nuestro nivel de vida en general. La domesticación de la potencia del vapor y el agua para poner en funcionamiento nuestras maquinarias, y la desviación de cursos de aguas para convertir desiertos en viñedos son solamente dos ejemplos de los usos benéficos de la ciencia como instrumento para el mejoramiento de un medio hostil.
Claro que algunos resultados prácticos de la ciencia no son tan alegres. El enorme aumento del poder destructivo de las armas ha hecho que la amenaza de la guerra se convierta en una amenaza para la civilización misma. Sin embargo, a pesar de estos aspectos infortunados de las conquistas científicas, en conjunto, el desarrollo de la ciencia y sus aplicaciones han sido beneficiosos para la humanidad.
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Por terribles que sean los estragos de las explosiones atómicas, el sacrificio de vidas humanas que implican, parece ser mucho menor que el de las grandes plagas que antiguamente se esparcía en Europa y diezmaba su población. Estas plagas han sido completamente extirpadas por la moderna ciencia médica. El valor práctico de la ciencia reside en la ida más fácil y más pletórica que han posibilitado los avances tecnológicos basados en el conocimiento científico. Pero su aspecto práctico no es el único valor de la ciencia. La ciencia es conocimiento y como tal un fin en sí mismo. Las leyes y los principios descubiertos por la investigación científica tienen un valor intrínseco, independiente de toda estrecha utilidad que puedan poseer. Este valor intrínseco reside en la satisfacción de la curiosidad, en la realización del deseo de conocer. Se ha reconocido desde hace mucho tiempo que Aristóteles escribió: “...aprender algo es el más grande de los placeres, no solamente para el filósofo, sino también para el resto de la humanidad, por pequeña que sea su capacidad para ello..”. Si consultamos a uno de los más distinguidos científicos contemporáneos, Albert Einstein, éste nos dice: “Existe una pasión por la comprensión como existe una pasión por la música. Esta pasión es común en los niños, pero la mayoría de la gente la pierde posteriormente. Sin esta pasión no hubiera habido matemática, no ciencia natural”. El conocimiento científico no solamente da al que lo posee el poder de satisfacer sus diversas
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necesidades prácticas, sino que es también, en sí mismo la satisfacción directa de un deseo particular, el deseo de saber.
(Copi, Inrving M. Introducción a la Lógica. Editorial EUDEBA, 171, PP. 368-369)
1. Según el contenido del fragmento, el tema central lo constituye: a) El confort como consecuencia del auge
tecnológico b) El poder de la tecnología c) La ciencia y su valor en sí misma d) Los avances tecnológicos e) La satisfacción de dominar la naturaleza
La alternativa correcta es la (c) 2. Para el autor, el valor intrínseco de las leyes y
principios descubiertos por la investigación científica radica en: a) Su aspecto teórico b) La formulación de nuevas teorías científicas c) El exterminio de epidemias en el mundo d) El aumento del poder del hombre e) La satisfacción de dominar la naturaleza
La alternativa correcta es la (b) 3. Según ese expresa en el texto, el valor utilitario de
la ciencia reside en su: a) Naturaleza b) Sabiduría c) Aplicación d) Experimentación e) Desarrollo
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La alternativa correcta es la (c) 4. El autor considera que el conocimiento científica
satisface al hombre como: a) Realización colectiva b) Placer de descubrir c) Deseo de transcendencia d) Manifestación de su ego e) Expresión de la tradición
La alternativa correcta es la (b) 5. Según el autor, el confort que ha logrado el
hombre moderno se debe al: a) Conocimiento científico b) Conocimiento práctico c) Desarrollo de la medicina d) Pragmatismo del individuo e) Conocimiento de sí mismo
La alternativa correcta es la (a) EJEMPLO DOS
La burocracia está todavía en los negocios, a pesar de más de una década de esfuerzos de privatización y un consenso creciente de que los gobiernos manejan la economía no tan bien como en el sector privado en una multitud de actividades. El reporte de un grupo de investigadores del Banco Mundial concluye que aunque se hable mucho de privatización, aún en la mayoría de los países de bajos ingresos y en vías de desarrollo, las
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empresas estatales son tan importantes como hace 20 años. El estudio, además de mostrar los efectos sociales negativos de las empresas estatales en casi todo el mundo, analiza las estrategias eficientes para privatizar y señala errores en las privatizaciones. La mayor reducción de las empresas estatales , según el estudio, se ha dado en los países industrializados, en los ex-socialistas y en algunos de mediano ingresos. Los países con menores ingresos, los más pobres siguen con un enorme sector empresarial manejado por la burocracia, lo que se convierte en un obstáculo para salir de la miseria. Es estudio muestra una relación entre mayor pobreza y una mayor carga de paraestatales. A pesar de una multitud de datos objetivos sobre la ineficiencia y daños socioeconómicos causados por las empresas propiedad de los gobiernos, por diversas circunstancias en muchos países todavía tienen gran importancia. Parece que importantes grupos de presión política, escudándose en manipulados conceptos de nacionalismo y soberanía, sabotean los procesos de privatización que, como demuestra el Banco Mundial, son hasta ahora más ruido que realidad en la mayoría de los países pobres y subdesarrollados.
(PAZOS, Luis, Revista Visión. Diciembre de 1996. Vol. 87. Nº 11, p.25)
6. El tema central del artículo es:
a) Las empresas del gobierno b) La privatización
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c) El Banco Mundial d) Los países más pobres e) Los países subdesarrollados
La alternativa correcta es la (b) 7. La privatización se ha dado en mayor grado:
a) En los países más pobres b) Países con grupos con presión política c) Países industrializados y exsocialistas d) Grupos con altos conceptos de nacionalismo e) Los países con bajos ingresos
La alternativa correcta es la (c) 8. La burocracia, según el artículo, está presente en:
a) Los países desarrollados b) Las empresas de negocios c) Las empresas estatales d) Los países con altos ingresos e) Los países totalitarios
La alternativa correcta es la (b) EJEMPLOS DE HABILIDAD NUMERICA 1. La suma de dos números impares distintos,
mayores que 7 y menores que 12 es:
a) 15 b) 21 c) 14 d) 20 e) 22
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La alternativa correcta es la (d). 2. Una empresa vendió 800 artículos durante 1996.
En 1997 duplicó la venta, y en 1998 vendió la mitad del total vendido en los años 19971996 y . Entonces el promedio de venta durante los tres años fue:
a) 1600 b) 1200 c) 800 d) 3600 e) 2400
La respuesta es la alternativa (b) 3. Juan dispone de 4 horas para recreación, utiliza
5
1
del tiempo para juegos y el resto lo dedica a oír música ¿Cuánto tiempo, en minutos, dedica a oír música?.
a) 20 b) 102 c) 48 d) 27 e) 192
La alternativa correcta es la (e) 4. Si el cuadrado de un número positivo menos su
doble es igual a 0 , entonces el número es igual a:
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a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4
La respuesta es la alternativa (b) 5. Una persona lleva al Banco tres cheques para
depositarlos en su cuenta, si se sabe que: el 1ro y el 2do suman 000.35.Bs ; el 2do y el 3ro suman
000.30.Bs y el 1ro y el 3ro suman 000.15.Bs ¿Cúal era el monto del primer cheque?
a) 000.10 b) 000.12 c) 000.15 d) 000.20 e) 000.13
La alternativa correcta es la (a) 6. En una lámina de metal se corta un trozo que
representa el %40 de toda la lámina. Si el pedazo no cortado pesa Kg3,36 entonces el peso del trozo cortado es: a) .2,24 Kg b) .3.36 Kg c) .5,60 Kg d) .6,40 Kg e) Kg10,16
La alternativa correcta es la (a)
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7. En una tienda se ofrece un descuento del %25 .
Si al comprar un artículo se ahorra 21.Bs , entonces el costo original del artículo es de bolívares: a) 24 b) 28 c) 32 d) 36 e) 84
La alternativa correcta es la (e) 8. Una docena de naranjas cuesta 192 bolívares y
una docena de mandarinas cuesta 96 bolívares. Si Carlos compra 4 naranjas y 3 mandarinas y paga con un billete de cien bolívares ¿Cuánto es el vuelto que recibe?
a) 16 b) 12 c) 8 d) 18 e) 22
La alternativa correcta es la (b) 9. Si X es promedio de cuatro números enteros y
cada uno de éstos aumenta en una unidad, entonces el nuevo promedio es: a) x b) 1+x c) 1−x d) 4+x
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e) 2+x La alternativa correcta es la (b) 10. Si el cuadrado de un número positivo menos su
doble más uno es igual a cero, entonces el número es igual a: a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4
La alternativa correcta es la (b) 11. Un comerciante compró cierto número de
artículos y el precio de cada artículo era la cuarta parte del número de artículos comprados. Si pagó un total de 000.40.Bs el número de artículos comprados fue:
a) 20 b) 10 c) 400 d) 200 e) 100
La alternativa correcta es la (c)
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BIBLIOGRAFIA Curso Propedéutico FACES. Matemática Básica. Tríptico informativo de la Escuela de Economía. Facultad de Ciencias Económicas y Sociales de la Universidad de Carabobo Alvarado Carlos; Asunción Hilda Saer; Font Ivonne; Mostafá Mirella. Folleto Informativo de la Prueba de Admisión Interna. Ediciones de la Facultad de Ciencias Económicas y Sociales de la Universidad de Carabobo.Valencia. 1997 Navarro E. Problemario de Análisis y Geometría Analítica. Caracas, 1992 Revista de la Facultad de Ciencias Económicas y Sociales de la Universidad de Carabobo. Oficina de Planificación, 1999
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ANEXOS
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Ediciones de la Facultad de Ciencias Económicas y Sociales
de la Universidad de Carabobo
Marzo 2005
8.000 ejemplares