Conjuntos

Conjuntos

• Conjunto: A noção de conjunto é a mesma da linguagem corrente, ou seja, conjunto é sinônimo de coleção, agrupamento, classe, etc. Cada unidade de um conjunto recebe o nome de elemento (Um conjunto é representado por letras maiúsculas A, B, C, etc.). • Elemento: Os objetos que constituem determinado conjunto são chamados de elementos do conjunto (Os elementos são representados por letras minúsculas a, b, c, etc.).

Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar (21) 9-8126-2831 [email protected]

Conjuntos

• Indica-se que um elemento x pertence a um conjunto A escrevendo-se x A. SE x não pertence ao conjunto A, escrevemos x A. • A = {1, 2, 3, 4} e x=3 x A

• 1 • 2

• 3 • 4

A Se x = 3, então x A


Conjuntos • Representação dos conjuntos

• Por enumeração: Podemos representar um conjunto enumerando seus elementos Exemplo: O conjunto dos números pares positivos menores do que 10: {2, 4, 6, 8} • Por propriedade: Quando todos os elementos de um conjunto A, e somente eles, satisfazem a uma certa propriedade, podemos descrever o conjunto A especificando essa propriedade. Para isso, usamos o símbolo | (lê-se: “tal que”)


Conjuntos •Por propriedade: Exemplos: A = {x | x é impar e menor do que 10} = {1, 3, 5, 7, 9} B = {0, 5, 10, 15, 20, ...} = {xN | x é múltiplo de 5} = {xN | x = 5.i , i=0, 1, 2, 3, 4, 5, ...} M = {3, 4, 5, 6, 7, 8} = {x N | 2 < x < 9} Lembrete: x > 1 equivale a valores maiores do que 1, não incluindo o número 1 {2, 3, 4, 5, ...} ; x 1 equivale a valores maiores do que 1, incluindo o número 1 {1, 2, 3, 4, 5, ... };


Conjuntos • Representação dos conjuntos

•Por diagrama: Para a visualização geométrica dos conjuntos usam-se os chamados diagramas de Venn. O diagrama de Venn do conjunto A = {1, 2, 3, 4} é mostrado abaixo:

• 1 • 2

• 3 • 4

A

(Diagrama de Venn)

• Conjunto Vazio: É o conjunto que não possui elemento algum. É representado por .


•A B • A B

• A B • A B

B

Conjuntos Operações de Conjuntos

A

A B

B A

A B

AB


Conjuntos • Sunconjunto: Se A e B são dois conjuntos, pode ocorrer que todo elemento de A seja também de B. Dizemos que A é subconjunto de B, ou que A é parte de B ou, ainda, que A está contido em B. Indicamos por AB. •A B = {x| x A xB} Exemplo: A = {0, 2, 6}, B = {0, 2, 4, 6, 8, 10} e C = {0, 2, 4, 8} Temos: AB, C B, AC, CA Todo conjunto é subconjunto de si mesmo: A AA O conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto: A A


Conjuntos • Intersecção: Se A e B são dois conjuntos quaisquer, sua intersecção é o conjunto dos elementos que pertencem simultaneamente a A e B. A B = {x| xA e xB} • Exemplos: A = {a, b, c} e B = {b, c, d} A B = {b, c} C = {1, 3, 5} e D = {2, 4, 6} C D = E = {1, 5, 10, 15} e W = {5, 15, 25, 35} E W = {5, 15}

d a

b c A B


Conjuntos •União: Se A e B são dois conjuntos quaisquer, sua união é o conjunto dos elementos que pertencem a A ou a B. AB = {x| xA ou xB}

•Exemplos: A = {a, b, c} e B = {b, c, d} A B = {a, b, c, d} C = {1, 3, 5} e D = {2, 4, 6} C D = {1, 2, 3, 4, 5, 6} E = {1, 5} e W = {15, 25} E W = {1, 5, 15, 25}

b c

d a

b c A B


Conjuntos • Diferença: A diferença A – B é o conjunto dos elementos de A que não pertencem a B. A - B = {x| xA e xB}

• Exemplos: A = {a, b, c, d} e B = {a, b} A - B = {c, d} C = {a, b, c, d} e D = {a, b, e} C - D = {c, d} F = {a, b, c, d} e J = {e, f} F - J = {a, b, c, d}

c d

a b

A B

d c

a b

C

D

e d c

a b

F

J

e f


Conjuntos • Número de elementos da reunião entre conjuntos: Seja n(A) e n(B) números de elementos do conjunto A e B, respectivamente. Temos a seguinte propriedade válida para todo conjunto A e B: n(AB) = n(A) + n(B) – n(AB) • Exemplo: A = {a, b, c} n(A) = 3 B = {b, c, d, e} n(B) = 4 A B = {b, c} n(A B ) = 2 A B = {a, b, c, d, e} n(A B) = 5

n(A) + n(B) – n(AB) = 3 + 4 – 2 = 5 = n(AB)

d e

a

b c A B


Conjuntos

Exercício: Se o conjunto A tem 30 elementos, o conjunto B tem 50 elementos e há 10 elementos que pertencem a A e B simultaneamente, quantos elementos pertencem: a) Somente a A (e não a B) ? b) Somente a B (e não a A) ? c) Quantos elementos possuem os dois conjuntos juntos ?


Conjuntos


Conjuntos


Conjuntos


Conjuntos Numéricos

N = {0, 1, 2, 3, 4, ...} Conjunto dos Naturais

N* = {1, 2, 3, 4, ...} Conjunto N – {0}



Par: Um número é par quando dividido por 2 apresenta resto zero (ou resulta em um número inteiro) 16 2 = 8 (resto 0)

Ímpar: Um número é ímpar quando dividido por 2 apresenta resto diferente de zero (ou resulta em um número não inteiro) 15 2 = 7 (resto 1) (=7,5)

Divisíveis por 2: todo número par é divisível por 2 12, 18 e 20 são pares são divisíveis por 2


Conjuntos Numéricos Divisíveis por 3: todo número que a soma dos valores absolutos dos algarismos é um número divisível por 3 174 = 1+7+4 = 12, que é divisível por 3 171 = 1+7+1 = 9, que é divisível por 3

Divisíveis por 4: todo número em que os últimos 2 algarismos forem divisíveis por 4 ou terminarem em 00 100 é divisível por 4, porque termina em 00 712 é divisível por 4, porque 12 é divisível por 4 Divisíveis por 5: todo número terminado em 5 ou 0 175 é divisível por 5, porque termina com 5


Conjuntos Numéricos Divisíveis por 6: todo número divisível por 2 e 3 simultaneamente 216 é divisível por 6, porque é divisível por 2 e 3 Divisíveis por 7: Todo número que obedece o seguinte procedimento: Seja o número 1113. Retiramos o algarismo da unidade, duplicamos ele subtraímos do número restante. Repetimos isto até encontrar um número suficiente pequeno que possamos reconhecer, que é divisível por 7: 1113 111-6 = 105 105/7=15 1113 é divisível por 7

59325 5932-10=5922 592–4 = 588 58 – 16 = 42 / 7 = 6 59325 é divisível por 7


Conjuntos Numéricos Divisíveis por 8: Quando terminado por 000 ou quando os 3 últimos algarismos forem divisíveis por 8 1328 é divisível por 8, porque 328 é divisível por 8 3000 é divisível por 8, porque termina em 000 Divisíveis por 9: Quando a soma dos algarismos do número é divisível por 9 3243+2+4 = 9 que é divisível por 9 324 é divisível por 9 Divisíveis por 10: Quando termina em 0 170 é divisível por 10, porque termina em 0


Conjuntos Numéricos Divisíveis por 11: Seja um número formado por n algarismos temos que se a soma dos algarismos nas posições ímpares menos a soma dos algarismos nas posições pares forem divisíveis por 11 o número também será divisível por 11; 39827 3+8+7-(9+2) = 18 – 11 = 7 Não é divisível por 11 12349 1+3+9-(2+4) = 13 – 6 = 7 Não é divisível por 11 90728 9+7+8-(0+2) = 25 – 3 = 22 É divisível por 11


Conjuntos Numéricos Exercícios


Conjuntos Numéricos Seja D(a) o conjunto dos divisores de a; D(5) = {1, 5} D(8) = {1, 2, 4, 8} D(13) = {1, 13}

Números Primos: Número divisível pela unidade e por ele mesmo. Exemplo: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, ... Podemos reconhecê-los fazendo divisões pelos sucessivos primos 2, 3, 7,... até encontrar um quociente menor que o divisor e resto diferente de zero


Conjuntos Numéricos Números Primos: Exemplo: O número 23 é primo ? 23 2 = 11 resto 1 23 3 = 7 resto 2 23 5 = 4 resto 3 Como o quociente é menor que o divisor e o resto diferente de zero, temos que o número é primo.

Quantidade de divisores de um número: Primeiro decompomos um número em fatores primos, e apresentamos na forma fatorada. Adicionamos 1 ao expoente de cada fator e multiplicamos cada expoente


Conjuntos Numéricos Quantidade de divisores de um número: Exemplo: Número de divisores de 100 e 60 ? 100 = 22.52 (2+1).(2+1) = 3.3 = 9 (O número 100 apresenta 9 divisores) 60 = 22.3.5 (2+1).(1+1).(1+1) = 3.2.2 = 12 (O número 60 apresenta 12 divisores) 99 = 32.11 (2+1).(1+1) = 3.2 = 6 (O número 99 apresenta 6 divisores)


Conjuntos Numéricos Máximo Divisor Comum (MDC): O M.D.C de dois números, indicado por mdc(a,b), é o maior elemento do conjunto D(a) D(b) (se os dois números estiverem fatorados em números primos, será o produto de fatores comuns elevado ao menor expoente)

Exemplo: mdc(20, 36) = mdc(22.5,22.32) = 22 = 4 mdc(8, 12) = mdc(23,22.3) = 22 = 4


Conjuntos Numéricos Mínimo Múltiplo Comum (MMC): o M.M.C de dois números, indicado por mmc(a,b), é o produto de fatores primos comuns e não comuns elevado ao maior expoente

Exemplo: mmc(20, 36) = mmc(22.5,22.32) = 22.5.32 = 180 mmc(8, 12) = mmc(23,22.3) = 23.3 = 24

Propriedades: Se a e b são primos entre si mdc(a,b) = 1 Se b é divisor de a então mdc(a,b) = b mmc(a,b).mdc(a,b) = a.b









Z* = {.., -3, -2, -1, 1, 2, 3, ...}

Conjunto Z – {0}

Z = {.., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}

Conjunto dos Inteiros

Z+ = {0, 1, 2, 3, ...} Conjunto Z positivos

Z- = {... -3, -2, -1} Conjunto Z negativos



Q= {p/q | p Z, q Z, q 0 }

Conjunto dos Racionais

Z+* = {1, 2, 3, ...} Conjunto Z positivos – {0}



Exemplos:

1,3 = 13/10 0,243 = 243/1000 3,17 = 317/100

0,222... = 2/9

10 x 0,222... = 2,222... - 0,222... - 0,222...

9 x 0,222... = 2

0,222... = 2/9

1,444... = 13/9 1,444... = 1 + 0,444...

10 x 0,444... = 4,444... - 0,444... - 0,444...

9 x 0,444... = 4

1,444...=1+4/9= 9/9+4/9 =13/9

0,999... = 1

10 x 0,999... = 9,999... - 0,999... - 0,999...

9 x 0,999... = 9

0,999... = 9/9 = 1

0,5 = 1/2 0,75 = 3/4 1,25 = 5/4



I Conjunto dos Irracionais

Exemplos:

= 3,1415926... = 1,414213... = 1,73205...

e = 2,1782818....

= 1,6180339...

log(101) = 2,00432...



R

Conjunto dos Reais

Q I Z N




Números Romanos

Alguns valores inteiros são representados por letras romanas específicas:

Para representar outros números são utilizadas as seguintes regras:

• Algarismos de menor ou igual valor à direita são somados ao algarismo de maior valor: XV = 10+5=15 • Algarismos de menor valor à esquerda são subtraídos do maior valor: IV = 5-1=4 • Qualquer algarismo não pode ser repetidos lado a lado por mais de 3 vezes: CCC = 300 e CD = 400 • 2013 = MMXIII = 1000+1000+10+3 • 2014 = MMXIV = 1000+1000+10+4


Símbolo Valor

I 1

V 5

X 10

L 50

C 100

D 500

M 1000

Números Romanos


Documents

Conjuntos