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Congruencias y semejanzas de figuras planas
Srta Yanira Castro Lizana
iquestCoacutemo son las figuras mostradas
2
Son ideacutenticas
Ejemplos de CongruenciaEjemplos de Congruencia
ESTA S S I SON F I GU R A S CON GR U EN TESESTA S S I SON F I GU R A S CON GR U EN TES
ESTA S S I SON F I GU R A S CON GR U EN TESESTA S S I SON F I GU R A S CON GR U EN TES
ESTA SESTA S N O SON F I GU R A S CON GR U N TESSON F I GU R A S CON GR U N TES
CongruenciaCongruencia
Dos figuras son congruentes cuando tienen la misma
forma y tamantildeo es decir si al colocarlas una sobre otra son coincidentes en toda su extensioacuten
Criterios de congruencia
Triaacutengulos congruentes
Dos triaacutengulos son congruentes si y soacutelo si sus partes correspondientes son congruentes
A
B C
D
E F
ABC cong DEF
Definicioacuten Dos triaacutengulos ABC y DEF son correspondientes si
Sus lados correspondientes son iguales Sus aacutengulos correspondiente son iguales En la figura
A
EFACDFBCEDAB ===
B
C
E
F D
α β
γ
α
βγ
POSTULADOS DE CONGRUENCIA
Criterio LLL Si en dos triaacutengulos los tres lados de uno son respectivamente congruentes con los de otro entonces los triaacutengulos son congruentes
Criterio LAL Si los lados que forman a un aacutengulo y eacuteste son congruentes con dos lados y el aacutengulo comprendido por estos de otro triaacutengulo entonces los triaacutengulos son congruentes
Criterio ALA Si dos aacutengulos y el lado entre ellos son respectivamente congruentes con dos aacutengulos y el lado entre ellos de otro triaacutengulo entonces los triaacutengulos son congruentes
Criterio LLA Si el lado maacutes largo del triangulo junto con otro lado de eacuteste y el aacutengulo superior del lado maacutes largo del triaacutengulo son congruentes con los del otro triangulo entonces los triaacutengulos son congruentes
Postulado LLL
Si los lados de un triaacutengulo son congruentes con los lados de un segundo triaacutengulo entonces los triaacutengulos son congruentes
A
B C
D
E F
ABC cong DEF
Postulado ALA
Si dos aacutengulos y el lado incluido de un triaacutengulo son congruentes con dos aacutengulos y el lado incluido de otro triaacutengulo los triaacutengulos son congruentes
A B
C
DE
ABC cong CDE
Postulado AAL
Si dos aacutengulos y el lado no incluido de un triaacutengulo son congruentes con dos aacutengulos y el lado no incluido de otro triaacutengulo los triaacutengulos son congruentes
A
B C
D
E
ABC cong EFD
F
Postulado LAL
Si dos lados y el aacutengulo incluido de un triaacutengulo son congruentes a dos lados y el aacutengulo incluido de otro triaacutengulo entonces los dos triaacutengulos son congruentes
A
B
C D
E
ABC cong DEF
F
Ejemplos 1) En la figura se tiene un triaacutengulo
ABC isoacutesceles ( AC = BC) y se ha dividido su base AB en 4 partes iguales iquestCuaacuteles triaacutengulos son congruentes
2) Dado el triaacutengulo rectaacutengulo de lados ab y c se han construido las figuras que estaacuten a sus lados copiaacutendolo varias veces y colocaacutendolo en diferentes posiciones
Analiza los aacutengulos que son congruentes en las distintas posiciones iquestPodriacuteas deducir que el cuadrado que se forma es congruente en ambas figuras
PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS
TEOREMA DE THALES
TEOREMA DE THALES
22
A
B
C
BASE MEDIA
PROPIEDAD
M N 2AC
MN =
ACMN
FIGURAS SEMEJANTES
24
iquestCoacutemo son las figuras mostradas
Son proporcionales
Son semejantes
SemejanzaSemejanza
bull Dos figuras que tienen la misma forma aun con diferentes dimensiones se llaman semejantes
bull Dos figuras son semejantes si sus aacutengulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes proporcionales
bull Los elementos que se corresponden (puntos segmentos aacutengulos hellip) se llaman homoacutelogos
Dos figuras del plano son
semejantes si los cocientes de de los
segmentos determinados por
pares cualesquiera de puntos
correspondientes son iguales
ML
MLes la razoacuten de semejanza
Dos triaacutengulos son semejantes si tienen los lados proporcionales y los aacutengulos iguales
El cocientea b c
ka b c
= = =
se llama razoacuten de semejanza
29
SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS
32
Dado un triaacutengulo de lados 4m 5m y 6m
Multiplica cada uno de los lados por 3
x 3
Los lados del triaacutengulo se han triplicado
4m5m
6mA
B
C
18m
15m
12m
P
Q
R
33
Identificamos algunos elementos
RAZOacuteN DE SEMEJANZA 3
LADOS HOMOacuteLOGOS AB BC AC
PQ QR
PR
Si la altura relativa al lado AC mide a podemos afirmar que la altura relativa a su lado homoacutelogo PR mide 3a
Ademaacutes
Cualquier longitud (lados y liacuteneas notables) en el triaacutengulo ABC se triplica en el triaacutengulo PQR
sim
iquestCuaacutel es el siacutembolo que se utiliza para representar la semejanza de dos triaacutengulos
Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un solo ojo queden alineados el extremo superior del aacuterbol y el de la vara de longitud conocida
Distancias o alturas aplicando semejanza
Los dibujos siguientes ilustran diversas maneras utilizadas habitualmente por las guiacuteas y scouts para estimar alturas y distancias recurriendo a la semejanza de triaacutengulos
En este caso es necesario que la persona pueda observar el extremo superior del aacuterbol reflejado en el espejo
37
CASOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS
Criterios de semejanza de triaacutengulos
existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos
Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)
2 LLL (lado-lado-lado)
3 LAL (lado-aacutengulo-lado)
SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZA
Criterio AA de semejanza Teorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo Criterio LAL de semejanza Teorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo
Criterio LLL de semejanza Teorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
I Primer criterio AA
Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute
αacuteα
βacute
βγacute
γ
Es decir Si α = αacute β = βacute
de lo anterior se deduce que γ = γacuteEntonces ∆ ABC semejante con ∆AacuteBacuteCacute
Ejemplo
iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes
25
65 25
65
iexclSIPor que al tener dos de
sus aacutengulos congruentes cumplen
con el criterio AA
II Segundo criterio LLL
Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
aaacute
El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de semejanza
Es decir
aaacute =
bbacute =
ccacute =K
b bacute
c
cacute
Entonces ∆ ABC semejante con ∆AacuteBacuteCacute
EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales
15 3 = =
35 7
510
Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son
iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL
III Tercer criterio LAL
Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute =
ccacute
c
cacute
y α = αacute
ααacute
Entonces ∆ ABC semejante a ∆ AacuteBacuteCacute
EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
39
= 412
Efectivamente asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales
3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el dibujo ambos son rectos
Algunas aplicaciones de estos conceptos
Ejercicio
Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza
a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una
de las razones65 10 = 65
52 8
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo
podemos ver la proporcionalidad entre las
medidas de los lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
Ejercicio
Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
3
4
5x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3 =
Y4
Z5 =
31 =3
Escala de ampliacioacuten
X3
= 3
Y4 =3
Z5
=3
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
50
30
40
12
16
20
30 12
= 4016
5020
=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una
de las razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
45m
x3m
2m sombra
poste
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el aacutengulo de elevacioacuten que forman los rayos
solares con el suelo
=3x
245
X = 3 bull 45 2Formamos la proporcioacuten
Para terminar una pequentildea demostracioacuten
Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC
CA
B
D
E
Afirmaciones RazonesDemostracioacuten
Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC angcongang
CDEBAC angcongang Por ser Aacutengulos alternos internos entre
Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son semejantes
iquestCoacutemo son las figuras mostradas
2
Son ideacutenticas
Ejemplos de CongruenciaEjemplos de Congruencia
ESTA S S I SON F I GU R A S CON GR U EN TESESTA S S I SON F I GU R A S CON GR U EN TES
ESTA S S I SON F I GU R A S CON GR U EN TESESTA S S I SON F I GU R A S CON GR U EN TES
ESTA SESTA S N O SON F I GU R A S CON GR U N TESSON F I GU R A S CON GR U N TES
CongruenciaCongruencia
Dos figuras son congruentes cuando tienen la misma
forma y tamantildeo es decir si al colocarlas una sobre otra son coincidentes en toda su extensioacuten
Criterios de congruencia
Triaacutengulos congruentes
Dos triaacutengulos son congruentes si y soacutelo si sus partes correspondientes son congruentes
A
B C
D
E F
ABC cong DEF
Definicioacuten Dos triaacutengulos ABC y DEF son correspondientes si
Sus lados correspondientes son iguales Sus aacutengulos correspondiente son iguales En la figura
A
EFACDFBCEDAB ===
B
C
E
F D
α β
γ
α
βγ
POSTULADOS DE CONGRUENCIA
Criterio LLL Si en dos triaacutengulos los tres lados de uno son respectivamente congruentes con los de otro entonces los triaacutengulos son congruentes
Criterio LAL Si los lados que forman a un aacutengulo y eacuteste son congruentes con dos lados y el aacutengulo comprendido por estos de otro triaacutengulo entonces los triaacutengulos son congruentes
Criterio ALA Si dos aacutengulos y el lado entre ellos son respectivamente congruentes con dos aacutengulos y el lado entre ellos de otro triaacutengulo entonces los triaacutengulos son congruentes
Criterio LLA Si el lado maacutes largo del triangulo junto con otro lado de eacuteste y el aacutengulo superior del lado maacutes largo del triaacutengulo son congruentes con los del otro triangulo entonces los triaacutengulos son congruentes
Postulado LLL
Si los lados de un triaacutengulo son congruentes con los lados de un segundo triaacutengulo entonces los triaacutengulos son congruentes
A
B C
D
E F
ABC cong DEF
Postulado ALA
Si dos aacutengulos y el lado incluido de un triaacutengulo son congruentes con dos aacutengulos y el lado incluido de otro triaacutengulo los triaacutengulos son congruentes
A B
C
DE
ABC cong CDE
Postulado AAL
Si dos aacutengulos y el lado no incluido de un triaacutengulo son congruentes con dos aacutengulos y el lado no incluido de otro triaacutengulo los triaacutengulos son congruentes
A
B C
D
E
ABC cong EFD
F
Postulado LAL
Si dos lados y el aacutengulo incluido de un triaacutengulo son congruentes a dos lados y el aacutengulo incluido de otro triaacutengulo entonces los dos triaacutengulos son congruentes
A
B
C D
E
ABC cong DEF
F
Ejemplos 1) En la figura se tiene un triaacutengulo
ABC isoacutesceles ( AC = BC) y se ha dividido su base AB en 4 partes iguales iquestCuaacuteles triaacutengulos son congruentes
2) Dado el triaacutengulo rectaacutengulo de lados ab y c se han construido las figuras que estaacuten a sus lados copiaacutendolo varias veces y colocaacutendolo en diferentes posiciones
Analiza los aacutengulos que son congruentes en las distintas posiciones iquestPodriacuteas deducir que el cuadrado que se forma es congruente en ambas figuras
PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS
TEOREMA DE THALES
TEOREMA DE THALES
22
A
B
C
BASE MEDIA
PROPIEDAD
M N 2AC
MN =
ACMN
FIGURAS SEMEJANTES
24
iquestCoacutemo son las figuras mostradas
Son proporcionales
Son semejantes
SemejanzaSemejanza
bull Dos figuras que tienen la misma forma aun con diferentes dimensiones se llaman semejantes
bull Dos figuras son semejantes si sus aacutengulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes proporcionales
bull Los elementos que se corresponden (puntos segmentos aacutengulos hellip) se llaman homoacutelogos
Dos figuras del plano son
semejantes si los cocientes de de los
segmentos determinados por
pares cualesquiera de puntos
correspondientes son iguales
ML
MLes la razoacuten de semejanza
Dos triaacutengulos son semejantes si tienen los lados proporcionales y los aacutengulos iguales
El cocientea b c
ka b c
= = =
se llama razoacuten de semejanza
29
SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS
32
Dado un triaacutengulo de lados 4m 5m y 6m
Multiplica cada uno de los lados por 3
x 3
Los lados del triaacutengulo se han triplicado
4m5m
6mA
B
C
18m
15m
12m
P
Q
R
33
Identificamos algunos elementos
RAZOacuteN DE SEMEJANZA 3
LADOS HOMOacuteLOGOS AB BC AC
PQ QR
PR
Si la altura relativa al lado AC mide a podemos afirmar que la altura relativa a su lado homoacutelogo PR mide 3a
Ademaacutes
Cualquier longitud (lados y liacuteneas notables) en el triaacutengulo ABC se triplica en el triaacutengulo PQR
sim
iquestCuaacutel es el siacutembolo que se utiliza para representar la semejanza de dos triaacutengulos
Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un solo ojo queden alineados el extremo superior del aacuterbol y el de la vara de longitud conocida
Distancias o alturas aplicando semejanza
Los dibujos siguientes ilustran diversas maneras utilizadas habitualmente por las guiacuteas y scouts para estimar alturas y distancias recurriendo a la semejanza de triaacutengulos
En este caso es necesario que la persona pueda observar el extremo superior del aacuterbol reflejado en el espejo
37
CASOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS
Criterios de semejanza de triaacutengulos
existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos
Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)
2 LLL (lado-lado-lado)
3 LAL (lado-aacutengulo-lado)
SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZA
Criterio AA de semejanza Teorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo Criterio LAL de semejanza Teorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo
Criterio LLL de semejanza Teorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
I Primer criterio AA
Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute
αacuteα
βacute
βγacute
γ
Es decir Si α = αacute β = βacute
de lo anterior se deduce que γ = γacuteEntonces ∆ ABC semejante con ∆AacuteBacuteCacute
Ejemplo
iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes
25
65 25
65
iexclSIPor que al tener dos de
sus aacutengulos congruentes cumplen
con el criterio AA
II Segundo criterio LLL
Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
aaacute
El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de semejanza
Es decir
aaacute =
bbacute =
ccacute =K
b bacute
c
cacute
Entonces ∆ ABC semejante con ∆AacuteBacuteCacute
EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales
15 3 = =
35 7
510
Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son
iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL
III Tercer criterio LAL
Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute =
ccacute
c
cacute
y α = αacute
ααacute
Entonces ∆ ABC semejante a ∆ AacuteBacuteCacute
EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
39
= 412
Efectivamente asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales
3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el dibujo ambos son rectos
Algunas aplicaciones de estos conceptos
Ejercicio
Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza
a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una
de las razones65 10 = 65
52 8
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo
podemos ver la proporcionalidad entre las
medidas de los lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
Ejercicio
Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
3
4
5x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3 =
Y4
Z5 =
31 =3
Escala de ampliacioacuten
X3
= 3
Y4 =3
Z5
=3
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
50
30
40
12
16
20
30 12
= 4016
5020
=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una
de las razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
45m
x3m
2m sombra
poste
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el aacutengulo de elevacioacuten que forman los rayos
solares con el suelo
=3x
245
X = 3 bull 45 2Formamos la proporcioacuten
Para terminar una pequentildea demostracioacuten
Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC
CA
B
D
E
Afirmaciones RazonesDemostracioacuten
Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC angcongang
CDEBAC angcongang Por ser Aacutengulos alternos internos entre
Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son semejantes
Ejemplos de CongruenciaEjemplos de Congruencia
ESTA S S I SON F I GU R A S CON GR U EN TESESTA S S I SON F I GU R A S CON GR U EN TES
ESTA S S I SON F I GU R A S CON GR U EN TESESTA S S I SON F I GU R A S CON GR U EN TES
ESTA SESTA S N O SON F I GU R A S CON GR U N TESSON F I GU R A S CON GR U N TES
CongruenciaCongruencia
Dos figuras son congruentes cuando tienen la misma
forma y tamantildeo es decir si al colocarlas una sobre otra son coincidentes en toda su extensioacuten
Criterios de congruencia
Triaacutengulos congruentes
Dos triaacutengulos son congruentes si y soacutelo si sus partes correspondientes son congruentes
A
B C
D
E F
ABC cong DEF
Definicioacuten Dos triaacutengulos ABC y DEF son correspondientes si
Sus lados correspondientes son iguales Sus aacutengulos correspondiente son iguales En la figura
A
EFACDFBCEDAB ===
B
C
E
F D
α β
γ
α
βγ
POSTULADOS DE CONGRUENCIA
Criterio LLL Si en dos triaacutengulos los tres lados de uno son respectivamente congruentes con los de otro entonces los triaacutengulos son congruentes
Criterio LAL Si los lados que forman a un aacutengulo y eacuteste son congruentes con dos lados y el aacutengulo comprendido por estos de otro triaacutengulo entonces los triaacutengulos son congruentes
Criterio ALA Si dos aacutengulos y el lado entre ellos son respectivamente congruentes con dos aacutengulos y el lado entre ellos de otro triaacutengulo entonces los triaacutengulos son congruentes
Criterio LLA Si el lado maacutes largo del triangulo junto con otro lado de eacuteste y el aacutengulo superior del lado maacutes largo del triaacutengulo son congruentes con los del otro triangulo entonces los triaacutengulos son congruentes
Postulado LLL
Si los lados de un triaacutengulo son congruentes con los lados de un segundo triaacutengulo entonces los triaacutengulos son congruentes
A
B C
D
E F
ABC cong DEF
Postulado ALA
Si dos aacutengulos y el lado incluido de un triaacutengulo son congruentes con dos aacutengulos y el lado incluido de otro triaacutengulo los triaacutengulos son congruentes
A B
C
DE
ABC cong CDE
Postulado AAL
Si dos aacutengulos y el lado no incluido de un triaacutengulo son congruentes con dos aacutengulos y el lado no incluido de otro triaacutengulo los triaacutengulos son congruentes
A
B C
D
E
ABC cong EFD
F
Postulado LAL
Si dos lados y el aacutengulo incluido de un triaacutengulo son congruentes a dos lados y el aacutengulo incluido de otro triaacutengulo entonces los dos triaacutengulos son congruentes
A
B
C D
E
ABC cong DEF
F
Ejemplos 1) En la figura se tiene un triaacutengulo
ABC isoacutesceles ( AC = BC) y se ha dividido su base AB en 4 partes iguales iquestCuaacuteles triaacutengulos son congruentes
2) Dado el triaacutengulo rectaacutengulo de lados ab y c se han construido las figuras que estaacuten a sus lados copiaacutendolo varias veces y colocaacutendolo en diferentes posiciones
Analiza los aacutengulos que son congruentes en las distintas posiciones iquestPodriacuteas deducir que el cuadrado que se forma es congruente en ambas figuras
PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS
TEOREMA DE THALES
TEOREMA DE THALES
22
A
B
C
BASE MEDIA
PROPIEDAD
M N 2AC
MN =
ACMN
FIGURAS SEMEJANTES
24
iquestCoacutemo son las figuras mostradas
Son proporcionales
Son semejantes
SemejanzaSemejanza
bull Dos figuras que tienen la misma forma aun con diferentes dimensiones se llaman semejantes
bull Dos figuras son semejantes si sus aacutengulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes proporcionales
bull Los elementos que se corresponden (puntos segmentos aacutengulos hellip) se llaman homoacutelogos
Dos figuras del plano son
semejantes si los cocientes de de los
segmentos determinados por
pares cualesquiera de puntos
correspondientes son iguales
ML
MLes la razoacuten de semejanza
Dos triaacutengulos son semejantes si tienen los lados proporcionales y los aacutengulos iguales
El cocientea b c
ka b c
= = =
se llama razoacuten de semejanza
29
SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS
32
Dado un triaacutengulo de lados 4m 5m y 6m
Multiplica cada uno de los lados por 3
x 3
Los lados del triaacutengulo se han triplicado
4m5m
6mA
B
C
18m
15m
12m
P
Q
R
33
Identificamos algunos elementos
RAZOacuteN DE SEMEJANZA 3
LADOS HOMOacuteLOGOS AB BC AC
PQ QR
PR
Si la altura relativa al lado AC mide a podemos afirmar que la altura relativa a su lado homoacutelogo PR mide 3a
Ademaacutes
Cualquier longitud (lados y liacuteneas notables) en el triaacutengulo ABC se triplica en el triaacutengulo PQR
sim
iquestCuaacutel es el siacutembolo que se utiliza para representar la semejanza de dos triaacutengulos
Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un solo ojo queden alineados el extremo superior del aacuterbol y el de la vara de longitud conocida
Distancias o alturas aplicando semejanza
Los dibujos siguientes ilustran diversas maneras utilizadas habitualmente por las guiacuteas y scouts para estimar alturas y distancias recurriendo a la semejanza de triaacutengulos
En este caso es necesario que la persona pueda observar el extremo superior del aacuterbol reflejado en el espejo
37
CASOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS
Criterios de semejanza de triaacutengulos
existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos
Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)
2 LLL (lado-lado-lado)
3 LAL (lado-aacutengulo-lado)
SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZA
Criterio AA de semejanza Teorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo Criterio LAL de semejanza Teorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo
Criterio LLL de semejanza Teorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
I Primer criterio AA
Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute
αacuteα
βacute
βγacute
γ
Es decir Si α = αacute β = βacute
de lo anterior se deduce que γ = γacuteEntonces ∆ ABC semejante con ∆AacuteBacuteCacute
Ejemplo
iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes
25
65 25
65
iexclSIPor que al tener dos de
sus aacutengulos congruentes cumplen
con el criterio AA
II Segundo criterio LLL
Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
aaacute
El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de semejanza
Es decir
aaacute =
bbacute =
ccacute =K
b bacute
c
cacute
Entonces ∆ ABC semejante con ∆AacuteBacuteCacute
EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales
15 3 = =
35 7
510
Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son
iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL
III Tercer criterio LAL
Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute =
ccacute
c
cacute
y α = αacute
ααacute
Entonces ∆ ABC semejante a ∆ AacuteBacuteCacute
EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
39
= 412
Efectivamente asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales
3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el dibujo ambos son rectos
Algunas aplicaciones de estos conceptos
Ejercicio
Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza
a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una
de las razones65 10 = 65
52 8
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo
podemos ver la proporcionalidad entre las
medidas de los lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
Ejercicio
Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
3
4
5x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3 =
Y4
Z5 =
31 =3
Escala de ampliacioacuten
X3
= 3
Y4 =3
Z5
=3
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
50
30
40
12
16
20
30 12
= 4016
5020
=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una
de las razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
45m
x3m
2m sombra
poste
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el aacutengulo de elevacioacuten que forman los rayos
solares con el suelo
=3x
245
X = 3 bull 45 2Formamos la proporcioacuten
Para terminar una pequentildea demostracioacuten
Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC
CA
B
D
E
Afirmaciones RazonesDemostracioacuten
Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC angcongang
CDEBAC angcongang Por ser Aacutengulos alternos internos entre
Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son semejantes
CongruenciaCongruencia
Dos figuras son congruentes cuando tienen la misma
forma y tamantildeo es decir si al colocarlas una sobre otra son coincidentes en toda su extensioacuten
Criterios de congruencia
Triaacutengulos congruentes
Dos triaacutengulos son congruentes si y soacutelo si sus partes correspondientes son congruentes
A
B C
D
E F
ABC cong DEF
Definicioacuten Dos triaacutengulos ABC y DEF son correspondientes si
Sus lados correspondientes son iguales Sus aacutengulos correspondiente son iguales En la figura
A
EFACDFBCEDAB ===
B
C
E
F D
α β
γ
α
βγ
POSTULADOS DE CONGRUENCIA
Criterio LLL Si en dos triaacutengulos los tres lados de uno son respectivamente congruentes con los de otro entonces los triaacutengulos son congruentes
Criterio LAL Si los lados que forman a un aacutengulo y eacuteste son congruentes con dos lados y el aacutengulo comprendido por estos de otro triaacutengulo entonces los triaacutengulos son congruentes
Criterio ALA Si dos aacutengulos y el lado entre ellos son respectivamente congruentes con dos aacutengulos y el lado entre ellos de otro triaacutengulo entonces los triaacutengulos son congruentes
Criterio LLA Si el lado maacutes largo del triangulo junto con otro lado de eacuteste y el aacutengulo superior del lado maacutes largo del triaacutengulo son congruentes con los del otro triangulo entonces los triaacutengulos son congruentes
Postulado LLL
Si los lados de un triaacutengulo son congruentes con los lados de un segundo triaacutengulo entonces los triaacutengulos son congruentes
A
B C
D
E F
ABC cong DEF
Postulado ALA
Si dos aacutengulos y el lado incluido de un triaacutengulo son congruentes con dos aacutengulos y el lado incluido de otro triaacutengulo los triaacutengulos son congruentes
A B
C
DE
ABC cong CDE
Postulado AAL
Si dos aacutengulos y el lado no incluido de un triaacutengulo son congruentes con dos aacutengulos y el lado no incluido de otro triaacutengulo los triaacutengulos son congruentes
A
B C
D
E
ABC cong EFD
F
Postulado LAL
Si dos lados y el aacutengulo incluido de un triaacutengulo son congruentes a dos lados y el aacutengulo incluido de otro triaacutengulo entonces los dos triaacutengulos son congruentes
A
B
C D
E
ABC cong DEF
F
Ejemplos 1) En la figura se tiene un triaacutengulo
ABC isoacutesceles ( AC = BC) y se ha dividido su base AB en 4 partes iguales iquestCuaacuteles triaacutengulos son congruentes
2) Dado el triaacutengulo rectaacutengulo de lados ab y c se han construido las figuras que estaacuten a sus lados copiaacutendolo varias veces y colocaacutendolo en diferentes posiciones
Analiza los aacutengulos que son congruentes en las distintas posiciones iquestPodriacuteas deducir que el cuadrado que se forma es congruente en ambas figuras
PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS
TEOREMA DE THALES
TEOREMA DE THALES
22
A
B
C
BASE MEDIA
PROPIEDAD
M N 2AC
MN =
ACMN
FIGURAS SEMEJANTES
24
iquestCoacutemo son las figuras mostradas
Son proporcionales
Son semejantes
SemejanzaSemejanza
bull Dos figuras que tienen la misma forma aun con diferentes dimensiones se llaman semejantes
bull Dos figuras son semejantes si sus aacutengulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes proporcionales
bull Los elementos que se corresponden (puntos segmentos aacutengulos hellip) se llaman homoacutelogos
Dos figuras del plano son
semejantes si los cocientes de de los
segmentos determinados por
pares cualesquiera de puntos
correspondientes son iguales
ML
MLes la razoacuten de semejanza
Dos triaacutengulos son semejantes si tienen los lados proporcionales y los aacutengulos iguales
El cocientea b c
ka b c
= = =
se llama razoacuten de semejanza
29
SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS
32
Dado un triaacutengulo de lados 4m 5m y 6m
Multiplica cada uno de los lados por 3
x 3
Los lados del triaacutengulo se han triplicado
4m5m
6mA
B
C
18m
15m
12m
P
Q
R
33
Identificamos algunos elementos
RAZOacuteN DE SEMEJANZA 3
LADOS HOMOacuteLOGOS AB BC AC
PQ QR
PR
Si la altura relativa al lado AC mide a podemos afirmar que la altura relativa a su lado homoacutelogo PR mide 3a
Ademaacutes
Cualquier longitud (lados y liacuteneas notables) en el triaacutengulo ABC se triplica en el triaacutengulo PQR
sim
iquestCuaacutel es el siacutembolo que se utiliza para representar la semejanza de dos triaacutengulos
Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un solo ojo queden alineados el extremo superior del aacuterbol y el de la vara de longitud conocida
Distancias o alturas aplicando semejanza
Los dibujos siguientes ilustran diversas maneras utilizadas habitualmente por las guiacuteas y scouts para estimar alturas y distancias recurriendo a la semejanza de triaacutengulos
En este caso es necesario que la persona pueda observar el extremo superior del aacuterbol reflejado en el espejo
37
CASOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS
Criterios de semejanza de triaacutengulos
existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos
Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)
2 LLL (lado-lado-lado)
3 LAL (lado-aacutengulo-lado)
SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZA
Criterio AA de semejanza Teorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo Criterio LAL de semejanza Teorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo
Criterio LLL de semejanza Teorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
I Primer criterio AA
Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute
αacuteα
βacute
βγacute
γ
Es decir Si α = αacute β = βacute
de lo anterior se deduce que γ = γacuteEntonces ∆ ABC semejante con ∆AacuteBacuteCacute
Ejemplo
iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes
25
65 25
65
iexclSIPor que al tener dos de
sus aacutengulos congruentes cumplen
con el criterio AA
II Segundo criterio LLL
Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
aaacute
El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de semejanza
Es decir
aaacute =
bbacute =
ccacute =K
b bacute
c
cacute
Entonces ∆ ABC semejante con ∆AacuteBacuteCacute
EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales
15 3 = =
35 7
510
Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son
iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL
III Tercer criterio LAL
Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute =
ccacute
c
cacute
y α = αacute
ααacute
Entonces ∆ ABC semejante a ∆ AacuteBacuteCacute
EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
39
= 412
Efectivamente asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales
3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el dibujo ambos son rectos
Algunas aplicaciones de estos conceptos
Ejercicio
Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza
a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una
de las razones65 10 = 65
52 8
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo
podemos ver la proporcionalidad entre las
medidas de los lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
Ejercicio
Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
3
4
5x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3 =
Y4
Z5 =
31 =3
Escala de ampliacioacuten
X3
= 3
Y4 =3
Z5
=3
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
50
30
40
12
16
20
30 12
= 4016
5020
=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una
de las razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
45m
x3m
2m sombra
poste
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el aacutengulo de elevacioacuten que forman los rayos
solares con el suelo
=3x
245
X = 3 bull 45 2Formamos la proporcioacuten
Para terminar una pequentildea demostracioacuten
Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC
CA
B
D
E
Afirmaciones RazonesDemostracioacuten
Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC angcongang
CDEBAC angcongang Por ser Aacutengulos alternos internos entre
Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son semejantes
Criterios de congruencia
Triaacutengulos congruentes
Dos triaacutengulos son congruentes si y soacutelo si sus partes correspondientes son congruentes
A
B C
D
E F
ABC cong DEF
Definicioacuten Dos triaacutengulos ABC y DEF son correspondientes si
Sus lados correspondientes son iguales Sus aacutengulos correspondiente son iguales En la figura
A
EFACDFBCEDAB ===
B
C
E
F D
α β
γ
α
βγ
POSTULADOS DE CONGRUENCIA
Criterio LLL Si en dos triaacutengulos los tres lados de uno son respectivamente congruentes con los de otro entonces los triaacutengulos son congruentes
Criterio LAL Si los lados que forman a un aacutengulo y eacuteste son congruentes con dos lados y el aacutengulo comprendido por estos de otro triaacutengulo entonces los triaacutengulos son congruentes
Criterio ALA Si dos aacutengulos y el lado entre ellos son respectivamente congruentes con dos aacutengulos y el lado entre ellos de otro triaacutengulo entonces los triaacutengulos son congruentes
Criterio LLA Si el lado maacutes largo del triangulo junto con otro lado de eacuteste y el aacutengulo superior del lado maacutes largo del triaacutengulo son congruentes con los del otro triangulo entonces los triaacutengulos son congruentes
Postulado LLL
Si los lados de un triaacutengulo son congruentes con los lados de un segundo triaacutengulo entonces los triaacutengulos son congruentes
A
B C
D
E F
ABC cong DEF
Postulado ALA
Si dos aacutengulos y el lado incluido de un triaacutengulo son congruentes con dos aacutengulos y el lado incluido de otro triaacutengulo los triaacutengulos son congruentes
A B
C
DE
ABC cong CDE
Postulado AAL
Si dos aacutengulos y el lado no incluido de un triaacutengulo son congruentes con dos aacutengulos y el lado no incluido de otro triaacutengulo los triaacutengulos son congruentes
A
B C
D
E
ABC cong EFD
F
Postulado LAL
Si dos lados y el aacutengulo incluido de un triaacutengulo son congruentes a dos lados y el aacutengulo incluido de otro triaacutengulo entonces los dos triaacutengulos son congruentes
A
B
C D
E
ABC cong DEF
F
Ejemplos 1) En la figura se tiene un triaacutengulo
ABC isoacutesceles ( AC = BC) y se ha dividido su base AB en 4 partes iguales iquestCuaacuteles triaacutengulos son congruentes
2) Dado el triaacutengulo rectaacutengulo de lados ab y c se han construido las figuras que estaacuten a sus lados copiaacutendolo varias veces y colocaacutendolo en diferentes posiciones
Analiza los aacutengulos que son congruentes en las distintas posiciones iquestPodriacuteas deducir que el cuadrado que se forma es congruente en ambas figuras
PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS
TEOREMA DE THALES
TEOREMA DE THALES
22
A
B
C
BASE MEDIA
PROPIEDAD
M N 2AC
MN =
ACMN
FIGURAS SEMEJANTES
24
iquestCoacutemo son las figuras mostradas
Son proporcionales
Son semejantes
SemejanzaSemejanza
bull Dos figuras que tienen la misma forma aun con diferentes dimensiones se llaman semejantes
bull Dos figuras son semejantes si sus aacutengulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes proporcionales
bull Los elementos que se corresponden (puntos segmentos aacutengulos hellip) se llaman homoacutelogos
Dos figuras del plano son
semejantes si los cocientes de de los
segmentos determinados por
pares cualesquiera de puntos
correspondientes son iguales
ML
MLes la razoacuten de semejanza
Dos triaacutengulos son semejantes si tienen los lados proporcionales y los aacutengulos iguales
El cocientea b c
ka b c
= = =
se llama razoacuten de semejanza
29
SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS
32
Dado un triaacutengulo de lados 4m 5m y 6m
Multiplica cada uno de los lados por 3
x 3
Los lados del triaacutengulo se han triplicado
4m5m
6mA
B
C
18m
15m
12m
P
Q
R
33
Identificamos algunos elementos
RAZOacuteN DE SEMEJANZA 3
LADOS HOMOacuteLOGOS AB BC AC
PQ QR
PR
Si la altura relativa al lado AC mide a podemos afirmar que la altura relativa a su lado homoacutelogo PR mide 3a
Ademaacutes
Cualquier longitud (lados y liacuteneas notables) en el triaacutengulo ABC se triplica en el triaacutengulo PQR
sim
iquestCuaacutel es el siacutembolo que se utiliza para representar la semejanza de dos triaacutengulos
Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un solo ojo queden alineados el extremo superior del aacuterbol y el de la vara de longitud conocida
Distancias o alturas aplicando semejanza
Los dibujos siguientes ilustran diversas maneras utilizadas habitualmente por las guiacuteas y scouts para estimar alturas y distancias recurriendo a la semejanza de triaacutengulos
En este caso es necesario que la persona pueda observar el extremo superior del aacuterbol reflejado en el espejo
37
CASOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS
Criterios de semejanza de triaacutengulos
existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos
Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)
2 LLL (lado-lado-lado)
3 LAL (lado-aacutengulo-lado)
SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZA
Criterio AA de semejanza Teorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo Criterio LAL de semejanza Teorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo
Criterio LLL de semejanza Teorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
I Primer criterio AA
Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute
αacuteα
βacute
βγacute
γ
Es decir Si α = αacute β = βacute
de lo anterior se deduce que γ = γacuteEntonces ∆ ABC semejante con ∆AacuteBacuteCacute
Ejemplo
iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes
25
65 25
65
iexclSIPor que al tener dos de
sus aacutengulos congruentes cumplen
con el criterio AA
II Segundo criterio LLL
Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
aaacute
El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de semejanza
Es decir
aaacute =
bbacute =
ccacute =K
b bacute
c
cacute
Entonces ∆ ABC semejante con ∆AacuteBacuteCacute
EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales
15 3 = =
35 7
510
Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son
iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL
III Tercer criterio LAL
Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute =
ccacute
c
cacute
y α = αacute
ααacute
Entonces ∆ ABC semejante a ∆ AacuteBacuteCacute
EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
39
= 412
Efectivamente asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales
3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el dibujo ambos son rectos
Algunas aplicaciones de estos conceptos
Ejercicio
Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza
a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una
de las razones65 10 = 65
52 8
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo
podemos ver la proporcionalidad entre las
medidas de los lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
Ejercicio
Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
3
4
5x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3 =
Y4
Z5 =
31 =3
Escala de ampliacioacuten
X3
= 3
Y4 =3
Z5
=3
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
50
30
40
12
16
20
30 12
= 4016
5020
=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una
de las razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
45m
x3m
2m sombra
poste
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el aacutengulo de elevacioacuten que forman los rayos
solares con el suelo
=3x
245
X = 3 bull 45 2Formamos la proporcioacuten
Para terminar una pequentildea demostracioacuten
Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC
CA
B
D
E
Afirmaciones RazonesDemostracioacuten
Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC angcongang
CDEBAC angcongang Por ser Aacutengulos alternos internos entre
Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son semejantes
Triaacutengulos congruentes
Dos triaacutengulos son congruentes si y soacutelo si sus partes correspondientes son congruentes
A
B C
D
E F
ABC cong DEF
Definicioacuten Dos triaacutengulos ABC y DEF son correspondientes si
Sus lados correspondientes son iguales Sus aacutengulos correspondiente son iguales En la figura
A
EFACDFBCEDAB ===
B
C
E
F D
α β
γ
α
βγ
POSTULADOS DE CONGRUENCIA
Criterio LLL Si en dos triaacutengulos los tres lados de uno son respectivamente congruentes con los de otro entonces los triaacutengulos son congruentes
Criterio LAL Si los lados que forman a un aacutengulo y eacuteste son congruentes con dos lados y el aacutengulo comprendido por estos de otro triaacutengulo entonces los triaacutengulos son congruentes
Criterio ALA Si dos aacutengulos y el lado entre ellos son respectivamente congruentes con dos aacutengulos y el lado entre ellos de otro triaacutengulo entonces los triaacutengulos son congruentes
Criterio LLA Si el lado maacutes largo del triangulo junto con otro lado de eacuteste y el aacutengulo superior del lado maacutes largo del triaacutengulo son congruentes con los del otro triangulo entonces los triaacutengulos son congruentes
Postulado LLL
Si los lados de un triaacutengulo son congruentes con los lados de un segundo triaacutengulo entonces los triaacutengulos son congruentes
A
B C
D
E F
ABC cong DEF
Postulado ALA
Si dos aacutengulos y el lado incluido de un triaacutengulo son congruentes con dos aacutengulos y el lado incluido de otro triaacutengulo los triaacutengulos son congruentes
A B
C
DE
ABC cong CDE
Postulado AAL
Si dos aacutengulos y el lado no incluido de un triaacutengulo son congruentes con dos aacutengulos y el lado no incluido de otro triaacutengulo los triaacutengulos son congruentes
A
B C
D
E
ABC cong EFD
F
Postulado LAL
Si dos lados y el aacutengulo incluido de un triaacutengulo son congruentes a dos lados y el aacutengulo incluido de otro triaacutengulo entonces los dos triaacutengulos son congruentes
A
B
C D
E
ABC cong DEF
F
Ejemplos 1) En la figura se tiene un triaacutengulo
ABC isoacutesceles ( AC = BC) y se ha dividido su base AB en 4 partes iguales iquestCuaacuteles triaacutengulos son congruentes
2) Dado el triaacutengulo rectaacutengulo de lados ab y c se han construido las figuras que estaacuten a sus lados copiaacutendolo varias veces y colocaacutendolo en diferentes posiciones
Analiza los aacutengulos que son congruentes en las distintas posiciones iquestPodriacuteas deducir que el cuadrado que se forma es congruente en ambas figuras
PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS
TEOREMA DE THALES
TEOREMA DE THALES
22
A
B
C
BASE MEDIA
PROPIEDAD
M N 2AC
MN =
ACMN
FIGURAS SEMEJANTES
24
iquestCoacutemo son las figuras mostradas
Son proporcionales
Son semejantes
SemejanzaSemejanza
bull Dos figuras que tienen la misma forma aun con diferentes dimensiones se llaman semejantes
bull Dos figuras son semejantes si sus aacutengulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes proporcionales
bull Los elementos que se corresponden (puntos segmentos aacutengulos hellip) se llaman homoacutelogos
Dos figuras del plano son
semejantes si los cocientes de de los
segmentos determinados por
pares cualesquiera de puntos
correspondientes son iguales
ML
MLes la razoacuten de semejanza
Dos triaacutengulos son semejantes si tienen los lados proporcionales y los aacutengulos iguales
El cocientea b c
ka b c
= = =
se llama razoacuten de semejanza
29
SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS
32
Dado un triaacutengulo de lados 4m 5m y 6m
Multiplica cada uno de los lados por 3
x 3
Los lados del triaacutengulo se han triplicado
4m5m
6mA
B
C
18m
15m
12m
P
Q
R
33
Identificamos algunos elementos
RAZOacuteN DE SEMEJANZA 3
LADOS HOMOacuteLOGOS AB BC AC
PQ QR
PR
Si la altura relativa al lado AC mide a podemos afirmar que la altura relativa a su lado homoacutelogo PR mide 3a
Ademaacutes
Cualquier longitud (lados y liacuteneas notables) en el triaacutengulo ABC se triplica en el triaacutengulo PQR
sim
iquestCuaacutel es el siacutembolo que se utiliza para representar la semejanza de dos triaacutengulos
Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un solo ojo queden alineados el extremo superior del aacuterbol y el de la vara de longitud conocida
Distancias o alturas aplicando semejanza
Los dibujos siguientes ilustran diversas maneras utilizadas habitualmente por las guiacuteas y scouts para estimar alturas y distancias recurriendo a la semejanza de triaacutengulos
En este caso es necesario que la persona pueda observar el extremo superior del aacuterbol reflejado en el espejo
37
CASOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS
Criterios de semejanza de triaacutengulos
existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos
Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)
2 LLL (lado-lado-lado)
3 LAL (lado-aacutengulo-lado)
SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZA
Criterio AA de semejanza Teorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo Criterio LAL de semejanza Teorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo
Criterio LLL de semejanza Teorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
I Primer criterio AA
Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute
αacuteα
βacute
βγacute
γ
Es decir Si α = αacute β = βacute
de lo anterior se deduce que γ = γacuteEntonces ∆ ABC semejante con ∆AacuteBacuteCacute
Ejemplo
iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes
25
65 25
65
iexclSIPor que al tener dos de
sus aacutengulos congruentes cumplen
con el criterio AA
II Segundo criterio LLL
Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
aaacute
El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de semejanza
Es decir
aaacute =
bbacute =
ccacute =K
b bacute
c
cacute
Entonces ∆ ABC semejante con ∆AacuteBacuteCacute
EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales
15 3 = =
35 7
510
Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son
iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL
III Tercer criterio LAL
Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute =
ccacute
c
cacute
y α = αacute
ααacute
Entonces ∆ ABC semejante a ∆ AacuteBacuteCacute
EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
39
= 412
Efectivamente asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales
3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el dibujo ambos son rectos
Algunas aplicaciones de estos conceptos
Ejercicio
Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza
a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una
de las razones65 10 = 65
52 8
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo
podemos ver la proporcionalidad entre las
medidas de los lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
Ejercicio
Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
3
4
5x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3 =
Y4
Z5 =
31 =3
Escala de ampliacioacuten
X3
= 3
Y4 =3
Z5
=3
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
50
30
40
12
16
20
30 12
= 4016
5020
=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una
de las razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
45m
x3m
2m sombra
poste
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el aacutengulo de elevacioacuten que forman los rayos
solares con el suelo
=3x
245
X = 3 bull 45 2Formamos la proporcioacuten
Para terminar una pequentildea demostracioacuten
Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC
CA
B
D
E
Afirmaciones RazonesDemostracioacuten
Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC angcongang
CDEBAC angcongang Por ser Aacutengulos alternos internos entre
Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son semejantes
Definicioacuten Dos triaacutengulos ABC y DEF son correspondientes si
Sus lados correspondientes son iguales Sus aacutengulos correspondiente son iguales En la figura
A
EFACDFBCEDAB ===
B
C
E
F D
α β
γ
α
βγ
POSTULADOS DE CONGRUENCIA
Criterio LLL Si en dos triaacutengulos los tres lados de uno son respectivamente congruentes con los de otro entonces los triaacutengulos son congruentes
Criterio LAL Si los lados que forman a un aacutengulo y eacuteste son congruentes con dos lados y el aacutengulo comprendido por estos de otro triaacutengulo entonces los triaacutengulos son congruentes
Criterio ALA Si dos aacutengulos y el lado entre ellos son respectivamente congruentes con dos aacutengulos y el lado entre ellos de otro triaacutengulo entonces los triaacutengulos son congruentes
Criterio LLA Si el lado maacutes largo del triangulo junto con otro lado de eacuteste y el aacutengulo superior del lado maacutes largo del triaacutengulo son congruentes con los del otro triangulo entonces los triaacutengulos son congruentes
Postulado LLL
Si los lados de un triaacutengulo son congruentes con los lados de un segundo triaacutengulo entonces los triaacutengulos son congruentes
A
B C
D
E F
ABC cong DEF
Postulado ALA
Si dos aacutengulos y el lado incluido de un triaacutengulo son congruentes con dos aacutengulos y el lado incluido de otro triaacutengulo los triaacutengulos son congruentes
A B
C
DE
ABC cong CDE
Postulado AAL
Si dos aacutengulos y el lado no incluido de un triaacutengulo son congruentes con dos aacutengulos y el lado no incluido de otro triaacutengulo los triaacutengulos son congruentes
A
B C
D
E
ABC cong EFD
F
Postulado LAL
Si dos lados y el aacutengulo incluido de un triaacutengulo son congruentes a dos lados y el aacutengulo incluido de otro triaacutengulo entonces los dos triaacutengulos son congruentes
A
B
C D
E
ABC cong DEF
F
Ejemplos 1) En la figura se tiene un triaacutengulo
ABC isoacutesceles ( AC = BC) y se ha dividido su base AB en 4 partes iguales iquestCuaacuteles triaacutengulos son congruentes
2) Dado el triaacutengulo rectaacutengulo de lados ab y c se han construido las figuras que estaacuten a sus lados copiaacutendolo varias veces y colocaacutendolo en diferentes posiciones
Analiza los aacutengulos que son congruentes en las distintas posiciones iquestPodriacuteas deducir que el cuadrado que se forma es congruente en ambas figuras
PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS
TEOREMA DE THALES
TEOREMA DE THALES
22
A
B
C
BASE MEDIA
PROPIEDAD
M N 2AC
MN =
ACMN
FIGURAS SEMEJANTES
24
iquestCoacutemo son las figuras mostradas
Son proporcionales
Son semejantes
SemejanzaSemejanza
bull Dos figuras que tienen la misma forma aun con diferentes dimensiones se llaman semejantes
bull Dos figuras son semejantes si sus aacutengulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes proporcionales
bull Los elementos que se corresponden (puntos segmentos aacutengulos hellip) se llaman homoacutelogos
Dos figuras del plano son
semejantes si los cocientes de de los
segmentos determinados por
pares cualesquiera de puntos
correspondientes son iguales
ML
MLes la razoacuten de semejanza
Dos triaacutengulos son semejantes si tienen los lados proporcionales y los aacutengulos iguales
El cocientea b c
ka b c
= = =
se llama razoacuten de semejanza
29
SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS
32
Dado un triaacutengulo de lados 4m 5m y 6m
Multiplica cada uno de los lados por 3
x 3
Los lados del triaacutengulo se han triplicado
4m5m
6mA
B
C
18m
15m
12m
P
Q
R
33
Identificamos algunos elementos
RAZOacuteN DE SEMEJANZA 3
LADOS HOMOacuteLOGOS AB BC AC
PQ QR
PR
Si la altura relativa al lado AC mide a podemos afirmar que la altura relativa a su lado homoacutelogo PR mide 3a
Ademaacutes
Cualquier longitud (lados y liacuteneas notables) en el triaacutengulo ABC se triplica en el triaacutengulo PQR
sim
iquestCuaacutel es el siacutembolo que se utiliza para representar la semejanza de dos triaacutengulos
Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un solo ojo queden alineados el extremo superior del aacuterbol y el de la vara de longitud conocida
Distancias o alturas aplicando semejanza
Los dibujos siguientes ilustran diversas maneras utilizadas habitualmente por las guiacuteas y scouts para estimar alturas y distancias recurriendo a la semejanza de triaacutengulos
En este caso es necesario que la persona pueda observar el extremo superior del aacuterbol reflejado en el espejo
37
CASOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS
Criterios de semejanza de triaacutengulos
existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos
Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)
2 LLL (lado-lado-lado)
3 LAL (lado-aacutengulo-lado)
SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZA
Criterio AA de semejanza Teorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo Criterio LAL de semejanza Teorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo
Criterio LLL de semejanza Teorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
I Primer criterio AA
Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute
αacuteα
βacute
βγacute
γ
Es decir Si α = αacute β = βacute
de lo anterior se deduce que γ = γacuteEntonces ∆ ABC semejante con ∆AacuteBacuteCacute
Ejemplo
iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes
25
65 25
65
iexclSIPor que al tener dos de
sus aacutengulos congruentes cumplen
con el criterio AA
II Segundo criterio LLL
Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
aaacute
El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de semejanza
Es decir
aaacute =
bbacute =
ccacute =K
b bacute
c
cacute
Entonces ∆ ABC semejante con ∆AacuteBacuteCacute
EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales
15 3 = =
35 7
510
Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son
iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL
III Tercer criterio LAL
Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute =
ccacute
c
cacute
y α = αacute
ααacute
Entonces ∆ ABC semejante a ∆ AacuteBacuteCacute
EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
39
= 412
Efectivamente asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales
3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el dibujo ambos son rectos
Algunas aplicaciones de estos conceptos
Ejercicio
Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza
a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una
de las razones65 10 = 65
52 8
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo
podemos ver la proporcionalidad entre las
medidas de los lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
Ejercicio
Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
3
4
5x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3 =
Y4
Z5 =
31 =3
Escala de ampliacioacuten
X3
= 3
Y4 =3
Z5
=3
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
50
30
40
12
16
20
30 12
= 4016
5020
=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una
de las razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
45m
x3m
2m sombra
poste
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el aacutengulo de elevacioacuten que forman los rayos
solares con el suelo
=3x
245
X = 3 bull 45 2Formamos la proporcioacuten
Para terminar una pequentildea demostracioacuten
Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC
CA
B
D
E
Afirmaciones RazonesDemostracioacuten
Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC angcongang
CDEBAC angcongang Por ser Aacutengulos alternos internos entre
Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son semejantes
POSTULADOS DE CONGRUENCIA
Criterio LLL Si en dos triaacutengulos los tres lados de uno son respectivamente congruentes con los de otro entonces los triaacutengulos son congruentes
Criterio LAL Si los lados que forman a un aacutengulo y eacuteste son congruentes con dos lados y el aacutengulo comprendido por estos de otro triaacutengulo entonces los triaacutengulos son congruentes
Criterio ALA Si dos aacutengulos y el lado entre ellos son respectivamente congruentes con dos aacutengulos y el lado entre ellos de otro triaacutengulo entonces los triaacutengulos son congruentes
Criterio LLA Si el lado maacutes largo del triangulo junto con otro lado de eacuteste y el aacutengulo superior del lado maacutes largo del triaacutengulo son congruentes con los del otro triangulo entonces los triaacutengulos son congruentes
Postulado LLL
Si los lados de un triaacutengulo son congruentes con los lados de un segundo triaacutengulo entonces los triaacutengulos son congruentes
A
B C
D
E F
ABC cong DEF
Postulado ALA
Si dos aacutengulos y el lado incluido de un triaacutengulo son congruentes con dos aacutengulos y el lado incluido de otro triaacutengulo los triaacutengulos son congruentes
A B
C
DE
ABC cong CDE
Postulado AAL
Si dos aacutengulos y el lado no incluido de un triaacutengulo son congruentes con dos aacutengulos y el lado no incluido de otro triaacutengulo los triaacutengulos son congruentes
A
B C
D
E
ABC cong EFD
F
Postulado LAL
Si dos lados y el aacutengulo incluido de un triaacutengulo son congruentes a dos lados y el aacutengulo incluido de otro triaacutengulo entonces los dos triaacutengulos son congruentes
A
B
C D
E
ABC cong DEF
F
Ejemplos 1) En la figura se tiene un triaacutengulo
ABC isoacutesceles ( AC = BC) y se ha dividido su base AB en 4 partes iguales iquestCuaacuteles triaacutengulos son congruentes
2) Dado el triaacutengulo rectaacutengulo de lados ab y c se han construido las figuras que estaacuten a sus lados copiaacutendolo varias veces y colocaacutendolo en diferentes posiciones
Analiza los aacutengulos que son congruentes en las distintas posiciones iquestPodriacuteas deducir que el cuadrado que se forma es congruente en ambas figuras
PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS
TEOREMA DE THALES
TEOREMA DE THALES
22
A
B
C
BASE MEDIA
PROPIEDAD
M N 2AC
MN =
ACMN
FIGURAS SEMEJANTES
24
iquestCoacutemo son las figuras mostradas
Son proporcionales
Son semejantes
SemejanzaSemejanza
bull Dos figuras que tienen la misma forma aun con diferentes dimensiones se llaman semejantes
bull Dos figuras son semejantes si sus aacutengulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes proporcionales
bull Los elementos que se corresponden (puntos segmentos aacutengulos hellip) se llaman homoacutelogos
Dos figuras del plano son
semejantes si los cocientes de de los
segmentos determinados por
pares cualesquiera de puntos
correspondientes son iguales
ML
MLes la razoacuten de semejanza
Dos triaacutengulos son semejantes si tienen los lados proporcionales y los aacutengulos iguales
El cocientea b c
ka b c
= = =
se llama razoacuten de semejanza
29
SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS
32
Dado un triaacutengulo de lados 4m 5m y 6m
Multiplica cada uno de los lados por 3
x 3
Los lados del triaacutengulo se han triplicado
4m5m
6mA
B
C
18m
15m
12m
P
Q
R
33
Identificamos algunos elementos
RAZOacuteN DE SEMEJANZA 3
LADOS HOMOacuteLOGOS AB BC AC
PQ QR
PR
Si la altura relativa al lado AC mide a podemos afirmar que la altura relativa a su lado homoacutelogo PR mide 3a
Ademaacutes
Cualquier longitud (lados y liacuteneas notables) en el triaacutengulo ABC se triplica en el triaacutengulo PQR
sim
iquestCuaacutel es el siacutembolo que se utiliza para representar la semejanza de dos triaacutengulos
Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un solo ojo queden alineados el extremo superior del aacuterbol y el de la vara de longitud conocida
Distancias o alturas aplicando semejanza
Los dibujos siguientes ilustran diversas maneras utilizadas habitualmente por las guiacuteas y scouts para estimar alturas y distancias recurriendo a la semejanza de triaacutengulos
En este caso es necesario que la persona pueda observar el extremo superior del aacuterbol reflejado en el espejo
37
CASOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS
Criterios de semejanza de triaacutengulos
existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos
Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)
2 LLL (lado-lado-lado)
3 LAL (lado-aacutengulo-lado)
SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZA
Criterio AA de semejanza Teorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo Criterio LAL de semejanza Teorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo
Criterio LLL de semejanza Teorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
I Primer criterio AA
Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute
αacuteα
βacute
βγacute
γ
Es decir Si α = αacute β = βacute
de lo anterior se deduce que γ = γacuteEntonces ∆ ABC semejante con ∆AacuteBacuteCacute
Ejemplo
iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes
25
65 25
65
iexclSIPor que al tener dos de
sus aacutengulos congruentes cumplen
con el criterio AA
II Segundo criterio LLL
Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
aaacute
El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de semejanza
Es decir
aaacute =
bbacute =
ccacute =K
b bacute
c
cacute
Entonces ∆ ABC semejante con ∆AacuteBacuteCacute
EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales
15 3 = =
35 7
510
Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son
iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL
III Tercer criterio LAL
Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute =
ccacute
c
cacute
y α = αacute
ααacute
Entonces ∆ ABC semejante a ∆ AacuteBacuteCacute
EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
39
= 412
Efectivamente asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales
3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el dibujo ambos son rectos
Algunas aplicaciones de estos conceptos
Ejercicio
Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza
a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una
de las razones65 10 = 65
52 8
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo
podemos ver la proporcionalidad entre las
medidas de los lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
Ejercicio
Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
3
4
5x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3 =
Y4
Z5 =
31 =3
Escala de ampliacioacuten
X3
= 3
Y4 =3
Z5
=3
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
50
30
40
12
16
20
30 12
= 4016
5020
=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una
de las razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
45m
x3m
2m sombra
poste
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el aacutengulo de elevacioacuten que forman los rayos
solares con el suelo
=3x
245
X = 3 bull 45 2Formamos la proporcioacuten
Para terminar una pequentildea demostracioacuten
Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC
CA
B
D
E
Afirmaciones RazonesDemostracioacuten
Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC angcongang
CDEBAC angcongang Por ser Aacutengulos alternos internos entre
Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son semejantes
Postulado LLL
Si los lados de un triaacutengulo son congruentes con los lados de un segundo triaacutengulo entonces los triaacutengulos son congruentes
A
B C
D
E F
ABC cong DEF
Postulado ALA
Si dos aacutengulos y el lado incluido de un triaacutengulo son congruentes con dos aacutengulos y el lado incluido de otro triaacutengulo los triaacutengulos son congruentes
A B
C
DE
ABC cong CDE
Postulado AAL
Si dos aacutengulos y el lado no incluido de un triaacutengulo son congruentes con dos aacutengulos y el lado no incluido de otro triaacutengulo los triaacutengulos son congruentes
A
B C
D
E
ABC cong EFD
F
Postulado LAL
Si dos lados y el aacutengulo incluido de un triaacutengulo son congruentes a dos lados y el aacutengulo incluido de otro triaacutengulo entonces los dos triaacutengulos son congruentes
A
B
C D
E
ABC cong DEF
F
Ejemplos 1) En la figura se tiene un triaacutengulo
ABC isoacutesceles ( AC = BC) y se ha dividido su base AB en 4 partes iguales iquestCuaacuteles triaacutengulos son congruentes
2) Dado el triaacutengulo rectaacutengulo de lados ab y c se han construido las figuras que estaacuten a sus lados copiaacutendolo varias veces y colocaacutendolo en diferentes posiciones
Analiza los aacutengulos que son congruentes en las distintas posiciones iquestPodriacuteas deducir que el cuadrado que se forma es congruente en ambas figuras
PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS
TEOREMA DE THALES
TEOREMA DE THALES
22
A
B
C
BASE MEDIA
PROPIEDAD
M N 2AC
MN =
ACMN
FIGURAS SEMEJANTES
24
iquestCoacutemo son las figuras mostradas
Son proporcionales
Son semejantes
SemejanzaSemejanza
bull Dos figuras que tienen la misma forma aun con diferentes dimensiones se llaman semejantes
bull Dos figuras son semejantes si sus aacutengulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes proporcionales
bull Los elementos que se corresponden (puntos segmentos aacutengulos hellip) se llaman homoacutelogos
Dos figuras del plano son
semejantes si los cocientes de de los
segmentos determinados por
pares cualesquiera de puntos
correspondientes son iguales
ML
MLes la razoacuten de semejanza
Dos triaacutengulos son semejantes si tienen los lados proporcionales y los aacutengulos iguales
El cocientea b c
ka b c
= = =
se llama razoacuten de semejanza
29
SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS
32
Dado un triaacutengulo de lados 4m 5m y 6m
Multiplica cada uno de los lados por 3
x 3
Los lados del triaacutengulo se han triplicado
4m5m
6mA
B
C
18m
15m
12m
P
Q
R
33
Identificamos algunos elementos
RAZOacuteN DE SEMEJANZA 3
LADOS HOMOacuteLOGOS AB BC AC
PQ QR
PR
Si la altura relativa al lado AC mide a podemos afirmar que la altura relativa a su lado homoacutelogo PR mide 3a
Ademaacutes
Cualquier longitud (lados y liacuteneas notables) en el triaacutengulo ABC se triplica en el triaacutengulo PQR
sim
iquestCuaacutel es el siacutembolo que se utiliza para representar la semejanza de dos triaacutengulos
Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un solo ojo queden alineados el extremo superior del aacuterbol y el de la vara de longitud conocida
Distancias o alturas aplicando semejanza
Los dibujos siguientes ilustran diversas maneras utilizadas habitualmente por las guiacuteas y scouts para estimar alturas y distancias recurriendo a la semejanza de triaacutengulos
En este caso es necesario que la persona pueda observar el extremo superior del aacuterbol reflejado en el espejo
37
CASOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS
Criterios de semejanza de triaacutengulos
existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos
Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)
2 LLL (lado-lado-lado)
3 LAL (lado-aacutengulo-lado)
SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZA
Criterio AA de semejanza Teorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo Criterio LAL de semejanza Teorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo
Criterio LLL de semejanza Teorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
I Primer criterio AA
Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute
αacuteα
βacute
βγacute
γ
Es decir Si α = αacute β = βacute
de lo anterior se deduce que γ = γacuteEntonces ∆ ABC semejante con ∆AacuteBacuteCacute
Ejemplo
iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes
25
65 25
65
iexclSIPor que al tener dos de
sus aacutengulos congruentes cumplen
con el criterio AA
II Segundo criterio LLL
Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
aaacute
El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de semejanza
Es decir
aaacute =
bbacute =
ccacute =K
b bacute
c
cacute
Entonces ∆ ABC semejante con ∆AacuteBacuteCacute
EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales
15 3 = =
35 7
510
Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son
iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL
III Tercer criterio LAL
Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute =
ccacute
c
cacute
y α = αacute
ααacute
Entonces ∆ ABC semejante a ∆ AacuteBacuteCacute
EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
39
= 412
Efectivamente asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales
3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el dibujo ambos son rectos
Algunas aplicaciones de estos conceptos
Ejercicio
Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza
a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una
de las razones65 10 = 65
52 8
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo
podemos ver la proporcionalidad entre las
medidas de los lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
Ejercicio
Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
3
4
5x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3 =
Y4
Z5 =
31 =3
Escala de ampliacioacuten
X3
= 3
Y4 =3
Z5
=3
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
50
30
40
12
16
20
30 12
= 4016
5020
=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una
de las razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
45m
x3m
2m sombra
poste
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el aacutengulo de elevacioacuten que forman los rayos
solares con el suelo
=3x
245
X = 3 bull 45 2Formamos la proporcioacuten
Para terminar una pequentildea demostracioacuten
Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC
CA
B
D
E
Afirmaciones RazonesDemostracioacuten
Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC angcongang
CDEBAC angcongang Por ser Aacutengulos alternos internos entre
Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son semejantes
Postulado ALA
Si dos aacutengulos y el lado incluido de un triaacutengulo son congruentes con dos aacutengulos y el lado incluido de otro triaacutengulo los triaacutengulos son congruentes
A B
C
DE
ABC cong CDE
Postulado AAL
Si dos aacutengulos y el lado no incluido de un triaacutengulo son congruentes con dos aacutengulos y el lado no incluido de otro triaacutengulo los triaacutengulos son congruentes
A
B C
D
E
ABC cong EFD
F
Postulado LAL
Si dos lados y el aacutengulo incluido de un triaacutengulo son congruentes a dos lados y el aacutengulo incluido de otro triaacutengulo entonces los dos triaacutengulos son congruentes
A
B
C D
E
ABC cong DEF
F
Ejemplos 1) En la figura se tiene un triaacutengulo
ABC isoacutesceles ( AC = BC) y se ha dividido su base AB en 4 partes iguales iquestCuaacuteles triaacutengulos son congruentes
2) Dado el triaacutengulo rectaacutengulo de lados ab y c se han construido las figuras que estaacuten a sus lados copiaacutendolo varias veces y colocaacutendolo en diferentes posiciones
Analiza los aacutengulos que son congruentes en las distintas posiciones iquestPodriacuteas deducir que el cuadrado que se forma es congruente en ambas figuras
PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS
TEOREMA DE THALES
TEOREMA DE THALES
22
A
B
C
BASE MEDIA
PROPIEDAD
M N 2AC
MN =
ACMN
FIGURAS SEMEJANTES
24
iquestCoacutemo son las figuras mostradas
Son proporcionales
Son semejantes
SemejanzaSemejanza
bull Dos figuras que tienen la misma forma aun con diferentes dimensiones se llaman semejantes
bull Dos figuras son semejantes si sus aacutengulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes proporcionales
bull Los elementos que se corresponden (puntos segmentos aacutengulos hellip) se llaman homoacutelogos
Dos figuras del plano son
semejantes si los cocientes de de los
segmentos determinados por
pares cualesquiera de puntos
correspondientes son iguales
ML
MLes la razoacuten de semejanza
Dos triaacutengulos son semejantes si tienen los lados proporcionales y los aacutengulos iguales
El cocientea b c
ka b c
= = =
se llama razoacuten de semejanza
29
SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS
32
Dado un triaacutengulo de lados 4m 5m y 6m
Multiplica cada uno de los lados por 3
x 3
Los lados del triaacutengulo se han triplicado
4m5m
6mA
B
C
18m
15m
12m
P
Q
R
33
Identificamos algunos elementos
RAZOacuteN DE SEMEJANZA 3
LADOS HOMOacuteLOGOS AB BC AC
PQ QR
PR
Si la altura relativa al lado AC mide a podemos afirmar que la altura relativa a su lado homoacutelogo PR mide 3a
Ademaacutes
Cualquier longitud (lados y liacuteneas notables) en el triaacutengulo ABC se triplica en el triaacutengulo PQR
sim
iquestCuaacutel es el siacutembolo que se utiliza para representar la semejanza de dos triaacutengulos
Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un solo ojo queden alineados el extremo superior del aacuterbol y el de la vara de longitud conocida
Distancias o alturas aplicando semejanza
Los dibujos siguientes ilustran diversas maneras utilizadas habitualmente por las guiacuteas y scouts para estimar alturas y distancias recurriendo a la semejanza de triaacutengulos
En este caso es necesario que la persona pueda observar el extremo superior del aacuterbol reflejado en el espejo
37
CASOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS
Criterios de semejanza de triaacutengulos
existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos
Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)
2 LLL (lado-lado-lado)
3 LAL (lado-aacutengulo-lado)
SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZA
Criterio AA de semejanza Teorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo Criterio LAL de semejanza Teorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo
Criterio LLL de semejanza Teorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
I Primer criterio AA
Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute
αacuteα
βacute
βγacute
γ
Es decir Si α = αacute β = βacute
de lo anterior se deduce que γ = γacuteEntonces ∆ ABC semejante con ∆AacuteBacuteCacute
Ejemplo
iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes
25
65 25
65
iexclSIPor que al tener dos de
sus aacutengulos congruentes cumplen
con el criterio AA
II Segundo criterio LLL
Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
aaacute
El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de semejanza
Es decir
aaacute =
bbacute =
ccacute =K
b bacute
c
cacute
Entonces ∆ ABC semejante con ∆AacuteBacuteCacute
EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales
15 3 = =
35 7
510
Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son
iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL
III Tercer criterio LAL
Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute =
ccacute
c
cacute
y α = αacute
ααacute
Entonces ∆ ABC semejante a ∆ AacuteBacuteCacute
EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
39
= 412
Efectivamente asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales
3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el dibujo ambos son rectos
Algunas aplicaciones de estos conceptos
Ejercicio
Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza
a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una
de las razones65 10 = 65
52 8
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo
podemos ver la proporcionalidad entre las
medidas de los lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
Ejercicio
Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
3
4
5x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3 =
Y4
Z5 =
31 =3
Escala de ampliacioacuten
X3
= 3
Y4 =3
Z5
=3
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
50
30
40
12
16
20
30 12
= 4016
5020
=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una
de las razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
45m
x3m
2m sombra
poste
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el aacutengulo de elevacioacuten que forman los rayos
solares con el suelo
=3x
245
X = 3 bull 45 2Formamos la proporcioacuten
Para terminar una pequentildea demostracioacuten
Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC
CA
B
D
E
Afirmaciones RazonesDemostracioacuten
Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC angcongang
CDEBAC angcongang Por ser Aacutengulos alternos internos entre
Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son semejantes
Postulado AAL
Si dos aacutengulos y el lado no incluido de un triaacutengulo son congruentes con dos aacutengulos y el lado no incluido de otro triaacutengulo los triaacutengulos son congruentes
A
B C
D
E
ABC cong EFD
F
Postulado LAL
Si dos lados y el aacutengulo incluido de un triaacutengulo son congruentes a dos lados y el aacutengulo incluido de otro triaacutengulo entonces los dos triaacutengulos son congruentes
A
B
C D
E
ABC cong DEF
F
Ejemplos 1) En la figura se tiene un triaacutengulo
ABC isoacutesceles ( AC = BC) y se ha dividido su base AB en 4 partes iguales iquestCuaacuteles triaacutengulos son congruentes
2) Dado el triaacutengulo rectaacutengulo de lados ab y c se han construido las figuras que estaacuten a sus lados copiaacutendolo varias veces y colocaacutendolo en diferentes posiciones
Analiza los aacutengulos que son congruentes en las distintas posiciones iquestPodriacuteas deducir que el cuadrado que se forma es congruente en ambas figuras
PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS
TEOREMA DE THALES
TEOREMA DE THALES
22
A
B
C
BASE MEDIA
PROPIEDAD
M N 2AC
MN =
ACMN
FIGURAS SEMEJANTES
24
iquestCoacutemo son las figuras mostradas
Son proporcionales
Son semejantes
SemejanzaSemejanza
bull Dos figuras que tienen la misma forma aun con diferentes dimensiones se llaman semejantes
bull Dos figuras son semejantes si sus aacutengulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes proporcionales
bull Los elementos que se corresponden (puntos segmentos aacutengulos hellip) se llaman homoacutelogos
Dos figuras del plano son
semejantes si los cocientes de de los
segmentos determinados por
pares cualesquiera de puntos
correspondientes son iguales
ML
MLes la razoacuten de semejanza
Dos triaacutengulos son semejantes si tienen los lados proporcionales y los aacutengulos iguales
El cocientea b c
ka b c
= = =
se llama razoacuten de semejanza
29
SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS
32
Dado un triaacutengulo de lados 4m 5m y 6m
Multiplica cada uno de los lados por 3
x 3
Los lados del triaacutengulo se han triplicado
4m5m
6mA
B
C
18m
15m
12m
P
Q
R
33
Identificamos algunos elementos
RAZOacuteN DE SEMEJANZA 3
LADOS HOMOacuteLOGOS AB BC AC
PQ QR
PR
Si la altura relativa al lado AC mide a podemos afirmar que la altura relativa a su lado homoacutelogo PR mide 3a
Ademaacutes
Cualquier longitud (lados y liacuteneas notables) en el triaacutengulo ABC se triplica en el triaacutengulo PQR
sim
iquestCuaacutel es el siacutembolo que se utiliza para representar la semejanza de dos triaacutengulos
Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un solo ojo queden alineados el extremo superior del aacuterbol y el de la vara de longitud conocida
Distancias o alturas aplicando semejanza
Los dibujos siguientes ilustran diversas maneras utilizadas habitualmente por las guiacuteas y scouts para estimar alturas y distancias recurriendo a la semejanza de triaacutengulos
En este caso es necesario que la persona pueda observar el extremo superior del aacuterbol reflejado en el espejo
37
CASOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS
Criterios de semejanza de triaacutengulos
existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos
Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)
2 LLL (lado-lado-lado)
3 LAL (lado-aacutengulo-lado)
SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZA
Criterio AA de semejanza Teorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo Criterio LAL de semejanza Teorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo
Criterio LLL de semejanza Teorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
I Primer criterio AA
Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute
αacuteα
βacute
βγacute
γ
Es decir Si α = αacute β = βacute
de lo anterior se deduce que γ = γacuteEntonces ∆ ABC semejante con ∆AacuteBacuteCacute
Ejemplo
iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes
25
65 25
65
iexclSIPor que al tener dos de
sus aacutengulos congruentes cumplen
con el criterio AA
II Segundo criterio LLL
Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
aaacute
El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de semejanza
Es decir
aaacute =
bbacute =
ccacute =K
b bacute
c
cacute
Entonces ∆ ABC semejante con ∆AacuteBacuteCacute
EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales
15 3 = =
35 7
510
Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son
iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL
III Tercer criterio LAL
Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute =
ccacute
c
cacute
y α = αacute
ααacute
Entonces ∆ ABC semejante a ∆ AacuteBacuteCacute
EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
39
= 412
Efectivamente asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales
3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el dibujo ambos son rectos
Algunas aplicaciones de estos conceptos
Ejercicio
Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza
a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una
de las razones65 10 = 65
52 8
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo
podemos ver la proporcionalidad entre las
medidas de los lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
Ejercicio
Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
3
4
5x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3 =
Y4
Z5 =
31 =3
Escala de ampliacioacuten
X3
= 3
Y4 =3
Z5
=3
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
50
30
40
12
16
20
30 12
= 4016
5020
=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una
de las razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
45m
x3m
2m sombra
poste
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el aacutengulo de elevacioacuten que forman los rayos
solares con el suelo
=3x
245
X = 3 bull 45 2Formamos la proporcioacuten
Para terminar una pequentildea demostracioacuten
Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC
CA
B
D
E
Afirmaciones RazonesDemostracioacuten
Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC angcongang
CDEBAC angcongang Por ser Aacutengulos alternos internos entre
Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son semejantes
Postulado LAL
Si dos lados y el aacutengulo incluido de un triaacutengulo son congruentes a dos lados y el aacutengulo incluido de otro triaacutengulo entonces los dos triaacutengulos son congruentes
A
B
C D
E
ABC cong DEF
F
Ejemplos 1) En la figura se tiene un triaacutengulo
ABC isoacutesceles ( AC = BC) y se ha dividido su base AB en 4 partes iguales iquestCuaacuteles triaacutengulos son congruentes
2) Dado el triaacutengulo rectaacutengulo de lados ab y c se han construido las figuras que estaacuten a sus lados copiaacutendolo varias veces y colocaacutendolo en diferentes posiciones
Analiza los aacutengulos que son congruentes en las distintas posiciones iquestPodriacuteas deducir que el cuadrado que se forma es congruente en ambas figuras
PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS
TEOREMA DE THALES
TEOREMA DE THALES
22
A
B
C
BASE MEDIA
PROPIEDAD
M N 2AC
MN =
ACMN
FIGURAS SEMEJANTES
24
iquestCoacutemo son las figuras mostradas
Son proporcionales
Son semejantes
SemejanzaSemejanza
bull Dos figuras que tienen la misma forma aun con diferentes dimensiones se llaman semejantes
bull Dos figuras son semejantes si sus aacutengulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes proporcionales
bull Los elementos que se corresponden (puntos segmentos aacutengulos hellip) se llaman homoacutelogos
Dos figuras del plano son
semejantes si los cocientes de de los
segmentos determinados por
pares cualesquiera de puntos
correspondientes son iguales
ML
MLes la razoacuten de semejanza
Dos triaacutengulos son semejantes si tienen los lados proporcionales y los aacutengulos iguales
El cocientea b c
ka b c
= = =
se llama razoacuten de semejanza
29
SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS
32
Dado un triaacutengulo de lados 4m 5m y 6m
Multiplica cada uno de los lados por 3
x 3
Los lados del triaacutengulo se han triplicado
4m5m
6mA
B
C
18m
15m
12m
P
Q
R
33
Identificamos algunos elementos
RAZOacuteN DE SEMEJANZA 3
LADOS HOMOacuteLOGOS AB BC AC
PQ QR
PR
Si la altura relativa al lado AC mide a podemos afirmar que la altura relativa a su lado homoacutelogo PR mide 3a
Ademaacutes
Cualquier longitud (lados y liacuteneas notables) en el triaacutengulo ABC se triplica en el triaacutengulo PQR
sim
iquestCuaacutel es el siacutembolo que se utiliza para representar la semejanza de dos triaacutengulos
Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un solo ojo queden alineados el extremo superior del aacuterbol y el de la vara de longitud conocida
Distancias o alturas aplicando semejanza
Los dibujos siguientes ilustran diversas maneras utilizadas habitualmente por las guiacuteas y scouts para estimar alturas y distancias recurriendo a la semejanza de triaacutengulos
En este caso es necesario que la persona pueda observar el extremo superior del aacuterbol reflejado en el espejo
37
CASOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS
Criterios de semejanza de triaacutengulos
existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos
Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)
2 LLL (lado-lado-lado)
3 LAL (lado-aacutengulo-lado)
SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZA
Criterio AA de semejanza Teorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo Criterio LAL de semejanza Teorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo
Criterio LLL de semejanza Teorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
I Primer criterio AA
Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute
αacuteα
βacute
βγacute
γ
Es decir Si α = αacute β = βacute
de lo anterior se deduce que γ = γacuteEntonces ∆ ABC semejante con ∆AacuteBacuteCacute
Ejemplo
iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes
25
65 25
65
iexclSIPor que al tener dos de
sus aacutengulos congruentes cumplen
con el criterio AA
II Segundo criterio LLL
Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
aaacute
El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de semejanza
Es decir
aaacute =
bbacute =
ccacute =K
b bacute
c
cacute
Entonces ∆ ABC semejante con ∆AacuteBacuteCacute
EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales
15 3 = =
35 7
510
Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son
iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL
III Tercer criterio LAL
Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute =
ccacute
c
cacute
y α = αacute
ααacute
Entonces ∆ ABC semejante a ∆ AacuteBacuteCacute
EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
39
= 412
Efectivamente asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales
3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el dibujo ambos son rectos
Algunas aplicaciones de estos conceptos
Ejercicio
Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza
a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una
de las razones65 10 = 65
52 8
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo
podemos ver la proporcionalidad entre las
medidas de los lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
Ejercicio
Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
3
4
5x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3 =
Y4
Z5 =
31 =3
Escala de ampliacioacuten
X3
= 3
Y4 =3
Z5
=3
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
50
30
40
12
16
20
30 12
= 4016
5020
=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una
de las razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
45m
x3m
2m sombra
poste
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el aacutengulo de elevacioacuten que forman los rayos
solares con el suelo
=3x
245
X = 3 bull 45 2Formamos la proporcioacuten
Para terminar una pequentildea demostracioacuten
Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC
CA
B
D
E
Afirmaciones RazonesDemostracioacuten
Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC angcongang
CDEBAC angcongang Por ser Aacutengulos alternos internos entre
Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son semejantes
Ejemplos 1) En la figura se tiene un triaacutengulo
ABC isoacutesceles ( AC = BC) y se ha dividido su base AB en 4 partes iguales iquestCuaacuteles triaacutengulos son congruentes
2) Dado el triaacutengulo rectaacutengulo de lados ab y c se han construido las figuras que estaacuten a sus lados copiaacutendolo varias veces y colocaacutendolo en diferentes posiciones
Analiza los aacutengulos que son congruentes en las distintas posiciones iquestPodriacuteas deducir que el cuadrado que se forma es congruente en ambas figuras
PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS
TEOREMA DE THALES
TEOREMA DE THALES
22
A
B
C
BASE MEDIA
PROPIEDAD
M N 2AC
MN =
ACMN
FIGURAS SEMEJANTES
24
iquestCoacutemo son las figuras mostradas
Son proporcionales
Son semejantes
SemejanzaSemejanza
bull Dos figuras que tienen la misma forma aun con diferentes dimensiones se llaman semejantes
bull Dos figuras son semejantes si sus aacutengulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes proporcionales
bull Los elementos que se corresponden (puntos segmentos aacutengulos hellip) se llaman homoacutelogos
Dos figuras del plano son
semejantes si los cocientes de de los
segmentos determinados por
pares cualesquiera de puntos
correspondientes son iguales
ML
MLes la razoacuten de semejanza
Dos triaacutengulos son semejantes si tienen los lados proporcionales y los aacutengulos iguales
El cocientea b c
ka b c
= = =
se llama razoacuten de semejanza
29
SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS
32
Dado un triaacutengulo de lados 4m 5m y 6m
Multiplica cada uno de los lados por 3
x 3
Los lados del triaacutengulo se han triplicado
4m5m
6mA
B
C
18m
15m
12m
P
Q
R
33
Identificamos algunos elementos
RAZOacuteN DE SEMEJANZA 3
LADOS HOMOacuteLOGOS AB BC AC
PQ QR
PR
Si la altura relativa al lado AC mide a podemos afirmar que la altura relativa a su lado homoacutelogo PR mide 3a
Ademaacutes
Cualquier longitud (lados y liacuteneas notables) en el triaacutengulo ABC se triplica en el triaacutengulo PQR
sim
iquestCuaacutel es el siacutembolo que se utiliza para representar la semejanza de dos triaacutengulos
Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un solo ojo queden alineados el extremo superior del aacuterbol y el de la vara de longitud conocida
Distancias o alturas aplicando semejanza
Los dibujos siguientes ilustran diversas maneras utilizadas habitualmente por las guiacuteas y scouts para estimar alturas y distancias recurriendo a la semejanza de triaacutengulos
En este caso es necesario que la persona pueda observar el extremo superior del aacuterbol reflejado en el espejo
37
CASOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS
Criterios de semejanza de triaacutengulos
existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos
Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)
2 LLL (lado-lado-lado)
3 LAL (lado-aacutengulo-lado)
SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZA
Criterio AA de semejanza Teorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo Criterio LAL de semejanza Teorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo
Criterio LLL de semejanza Teorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
I Primer criterio AA
Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute
αacuteα
βacute
βγacute
γ
Es decir Si α = αacute β = βacute
de lo anterior se deduce que γ = γacuteEntonces ∆ ABC semejante con ∆AacuteBacuteCacute
Ejemplo
iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes
25
65 25
65
iexclSIPor que al tener dos de
sus aacutengulos congruentes cumplen
con el criterio AA
II Segundo criterio LLL
Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
aaacute
El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de semejanza
Es decir
aaacute =
bbacute =
ccacute =K
b bacute
c
cacute
Entonces ∆ ABC semejante con ∆AacuteBacuteCacute
EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales
15 3 = =
35 7
510
Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son
iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL
III Tercer criterio LAL
Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute =
ccacute
c
cacute
y α = αacute
ααacute
Entonces ∆ ABC semejante a ∆ AacuteBacuteCacute
EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
39
= 412
Efectivamente asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales
3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el dibujo ambos son rectos
Algunas aplicaciones de estos conceptos
Ejercicio
Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza
a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una
de las razones65 10 = 65
52 8
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo
podemos ver la proporcionalidad entre las
medidas de los lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
Ejercicio
Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
3
4
5x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3 =
Y4
Z5 =
31 =3
Escala de ampliacioacuten
X3
= 3
Y4 =3
Z5
=3
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
50
30
40
12
16
20
30 12
= 4016
5020
=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una
de las razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
45m
x3m
2m sombra
poste
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el aacutengulo de elevacioacuten que forman los rayos
solares con el suelo
=3x
245
X = 3 bull 45 2Formamos la proporcioacuten
Para terminar una pequentildea demostracioacuten
Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC
CA
B
D
E
Afirmaciones RazonesDemostracioacuten
Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC angcongang
CDEBAC angcongang Por ser Aacutengulos alternos internos entre
Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son semejantes
2) Dado el triaacutengulo rectaacutengulo de lados ab y c se han construido las figuras que estaacuten a sus lados copiaacutendolo varias veces y colocaacutendolo en diferentes posiciones
Analiza los aacutengulos que son congruentes en las distintas posiciones iquestPodriacuteas deducir que el cuadrado que se forma es congruente en ambas figuras
PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS
TEOREMA DE THALES
TEOREMA DE THALES
22
A
B
C
BASE MEDIA
PROPIEDAD
M N 2AC
MN =
ACMN
FIGURAS SEMEJANTES
24
iquestCoacutemo son las figuras mostradas
Son proporcionales
Son semejantes
SemejanzaSemejanza
bull Dos figuras que tienen la misma forma aun con diferentes dimensiones se llaman semejantes
bull Dos figuras son semejantes si sus aacutengulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes proporcionales
bull Los elementos que se corresponden (puntos segmentos aacutengulos hellip) se llaman homoacutelogos
Dos figuras del plano son
semejantes si los cocientes de de los
segmentos determinados por
pares cualesquiera de puntos
correspondientes son iguales
ML
MLes la razoacuten de semejanza
Dos triaacutengulos son semejantes si tienen los lados proporcionales y los aacutengulos iguales
El cocientea b c
ka b c
= = =
se llama razoacuten de semejanza
29
SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS
32
Dado un triaacutengulo de lados 4m 5m y 6m
Multiplica cada uno de los lados por 3
x 3
Los lados del triaacutengulo se han triplicado
4m5m
6mA
B
C
18m
15m
12m
P
Q
R
33
Identificamos algunos elementos
RAZOacuteN DE SEMEJANZA 3
LADOS HOMOacuteLOGOS AB BC AC
PQ QR
PR
Si la altura relativa al lado AC mide a podemos afirmar que la altura relativa a su lado homoacutelogo PR mide 3a
Ademaacutes
Cualquier longitud (lados y liacuteneas notables) en el triaacutengulo ABC se triplica en el triaacutengulo PQR
sim
iquestCuaacutel es el siacutembolo que se utiliza para representar la semejanza de dos triaacutengulos
Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un solo ojo queden alineados el extremo superior del aacuterbol y el de la vara de longitud conocida
Distancias o alturas aplicando semejanza
Los dibujos siguientes ilustran diversas maneras utilizadas habitualmente por las guiacuteas y scouts para estimar alturas y distancias recurriendo a la semejanza de triaacutengulos
En este caso es necesario que la persona pueda observar el extremo superior del aacuterbol reflejado en el espejo
37
CASOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS
Criterios de semejanza de triaacutengulos
existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos
Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)
2 LLL (lado-lado-lado)
3 LAL (lado-aacutengulo-lado)
SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZA
Criterio AA de semejanza Teorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo Criterio LAL de semejanza Teorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo
Criterio LLL de semejanza Teorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
I Primer criterio AA
Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute
αacuteα
βacute
βγacute
γ
Es decir Si α = αacute β = βacute
de lo anterior se deduce que γ = γacuteEntonces ∆ ABC semejante con ∆AacuteBacuteCacute
Ejemplo
iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes
25
65 25
65
iexclSIPor que al tener dos de
sus aacutengulos congruentes cumplen
con el criterio AA
II Segundo criterio LLL
Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
aaacute
El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de semejanza
Es decir
aaacute =
bbacute =
ccacute =K
b bacute
c
cacute
Entonces ∆ ABC semejante con ∆AacuteBacuteCacute
EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales
15 3 = =
35 7
510
Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son
iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL
III Tercer criterio LAL
Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute =
ccacute
c
cacute
y α = αacute
ααacute
Entonces ∆ ABC semejante a ∆ AacuteBacuteCacute
EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
39
= 412
Efectivamente asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales
3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el dibujo ambos son rectos
Algunas aplicaciones de estos conceptos
Ejercicio
Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza
a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una
de las razones65 10 = 65
52 8
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo
podemos ver la proporcionalidad entre las
medidas de los lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
Ejercicio
Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
3
4
5x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3 =
Y4
Z5 =
31 =3
Escala de ampliacioacuten
X3
= 3
Y4 =3
Z5
=3
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
50
30
40
12
16
20
30 12
= 4016
5020
=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una
de las razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
45m
x3m
2m sombra
poste
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el aacutengulo de elevacioacuten que forman los rayos
solares con el suelo
=3x
245
X = 3 bull 45 2Formamos la proporcioacuten
Para terminar una pequentildea demostracioacuten
Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC
CA
B
D
E
Afirmaciones RazonesDemostracioacuten
Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC angcongang
CDEBAC angcongang Por ser Aacutengulos alternos internos entre
Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son semejantes
PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS
TEOREMA DE THALES
TEOREMA DE THALES
22
A
B
C
BASE MEDIA
PROPIEDAD
M N 2AC
MN =
ACMN
FIGURAS SEMEJANTES
24
iquestCoacutemo son las figuras mostradas
Son proporcionales
Son semejantes
SemejanzaSemejanza
bull Dos figuras que tienen la misma forma aun con diferentes dimensiones se llaman semejantes
bull Dos figuras son semejantes si sus aacutengulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes proporcionales
bull Los elementos que se corresponden (puntos segmentos aacutengulos hellip) se llaman homoacutelogos
Dos figuras del plano son
semejantes si los cocientes de de los
segmentos determinados por
pares cualesquiera de puntos
correspondientes son iguales
ML
MLes la razoacuten de semejanza
Dos triaacutengulos son semejantes si tienen los lados proporcionales y los aacutengulos iguales
El cocientea b c
ka b c
= = =
se llama razoacuten de semejanza
29
SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS
32
Dado un triaacutengulo de lados 4m 5m y 6m
Multiplica cada uno de los lados por 3
x 3
Los lados del triaacutengulo se han triplicado
4m5m
6mA
B
C
18m
15m
12m
P
Q
R
33
Identificamos algunos elementos
RAZOacuteN DE SEMEJANZA 3
LADOS HOMOacuteLOGOS AB BC AC
PQ QR
PR
Si la altura relativa al lado AC mide a podemos afirmar que la altura relativa a su lado homoacutelogo PR mide 3a
Ademaacutes
Cualquier longitud (lados y liacuteneas notables) en el triaacutengulo ABC se triplica en el triaacutengulo PQR
sim
iquestCuaacutel es el siacutembolo que se utiliza para representar la semejanza de dos triaacutengulos
Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un solo ojo queden alineados el extremo superior del aacuterbol y el de la vara de longitud conocida
Distancias o alturas aplicando semejanza
Los dibujos siguientes ilustran diversas maneras utilizadas habitualmente por las guiacuteas y scouts para estimar alturas y distancias recurriendo a la semejanza de triaacutengulos
En este caso es necesario que la persona pueda observar el extremo superior del aacuterbol reflejado en el espejo
37
CASOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS
Criterios de semejanza de triaacutengulos
existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos
Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)
2 LLL (lado-lado-lado)
3 LAL (lado-aacutengulo-lado)
SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZA
Criterio AA de semejanza Teorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo Criterio LAL de semejanza Teorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo
Criterio LLL de semejanza Teorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
I Primer criterio AA
Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute
αacuteα
βacute
βγacute
γ
Es decir Si α = αacute β = βacute
de lo anterior se deduce que γ = γacuteEntonces ∆ ABC semejante con ∆AacuteBacuteCacute
Ejemplo
iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes
25
65 25
65
iexclSIPor que al tener dos de
sus aacutengulos congruentes cumplen
con el criterio AA
II Segundo criterio LLL
Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
aaacute
El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de semejanza
Es decir
aaacute =
bbacute =
ccacute =K
b bacute
c
cacute
Entonces ∆ ABC semejante con ∆AacuteBacuteCacute
EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales
15 3 = =
35 7
510
Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son
iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL
III Tercer criterio LAL
Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute =
ccacute
c
cacute
y α = αacute
ααacute
Entonces ∆ ABC semejante a ∆ AacuteBacuteCacute
EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
39
= 412
Efectivamente asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales
3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el dibujo ambos son rectos
Algunas aplicaciones de estos conceptos
Ejercicio
Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza
a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una
de las razones65 10 = 65
52 8
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo
podemos ver la proporcionalidad entre las
medidas de los lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
Ejercicio
Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
3
4
5x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3 =
Y4
Z5 =
31 =3
Escala de ampliacioacuten
X3
= 3
Y4 =3
Z5
=3
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
50
30
40
12
16
20
30 12
= 4016
5020
=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una
de las razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
45m
x3m
2m sombra
poste
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el aacutengulo de elevacioacuten que forman los rayos
solares con el suelo
=3x
245
X = 3 bull 45 2Formamos la proporcioacuten
Para terminar una pequentildea demostracioacuten
Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC
CA
B
D
E
Afirmaciones RazonesDemostracioacuten
Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC angcongang
CDEBAC angcongang Por ser Aacutengulos alternos internos entre
Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son semejantes
TEOREMA DE THALES
TEOREMA DE THALES
22
A
B
C
BASE MEDIA
PROPIEDAD
M N 2AC
MN =
ACMN
FIGURAS SEMEJANTES
24
iquestCoacutemo son las figuras mostradas
Son proporcionales
Son semejantes
SemejanzaSemejanza
bull Dos figuras que tienen la misma forma aun con diferentes dimensiones se llaman semejantes
bull Dos figuras son semejantes si sus aacutengulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes proporcionales
bull Los elementos que se corresponden (puntos segmentos aacutengulos hellip) se llaman homoacutelogos
Dos figuras del plano son
semejantes si los cocientes de de los
segmentos determinados por
pares cualesquiera de puntos
correspondientes son iguales
ML
MLes la razoacuten de semejanza
Dos triaacutengulos son semejantes si tienen los lados proporcionales y los aacutengulos iguales
El cocientea b c
ka b c
= = =
se llama razoacuten de semejanza
29
SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS
32
Dado un triaacutengulo de lados 4m 5m y 6m
Multiplica cada uno de los lados por 3
x 3
Los lados del triaacutengulo se han triplicado
4m5m
6mA
B
C
18m
15m
12m
P
Q
R
33
Identificamos algunos elementos
RAZOacuteN DE SEMEJANZA 3
LADOS HOMOacuteLOGOS AB BC AC
PQ QR
PR
Si la altura relativa al lado AC mide a podemos afirmar que la altura relativa a su lado homoacutelogo PR mide 3a
Ademaacutes
Cualquier longitud (lados y liacuteneas notables) en el triaacutengulo ABC se triplica en el triaacutengulo PQR
sim
iquestCuaacutel es el siacutembolo que se utiliza para representar la semejanza de dos triaacutengulos
Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un solo ojo queden alineados el extremo superior del aacuterbol y el de la vara de longitud conocida
Distancias o alturas aplicando semejanza
Los dibujos siguientes ilustran diversas maneras utilizadas habitualmente por las guiacuteas y scouts para estimar alturas y distancias recurriendo a la semejanza de triaacutengulos
En este caso es necesario que la persona pueda observar el extremo superior del aacuterbol reflejado en el espejo
37
CASOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS
Criterios de semejanza de triaacutengulos
existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos
Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)
2 LLL (lado-lado-lado)
3 LAL (lado-aacutengulo-lado)
SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZA
Criterio AA de semejanza Teorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo Criterio LAL de semejanza Teorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo
Criterio LLL de semejanza Teorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
I Primer criterio AA
Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute
αacuteα
βacute
βγacute
γ
Es decir Si α = αacute β = βacute
de lo anterior se deduce que γ = γacuteEntonces ∆ ABC semejante con ∆AacuteBacuteCacute
Ejemplo
iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes
25
65 25
65
iexclSIPor que al tener dos de
sus aacutengulos congruentes cumplen
con el criterio AA
II Segundo criterio LLL
Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
aaacute
El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de semejanza
Es decir
aaacute =
bbacute =
ccacute =K
b bacute
c
cacute
Entonces ∆ ABC semejante con ∆AacuteBacuteCacute
EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales
15 3 = =
35 7
510
Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son
iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL
III Tercer criterio LAL
Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute =
ccacute
c
cacute
y α = αacute
ααacute
Entonces ∆ ABC semejante a ∆ AacuteBacuteCacute
EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
39
= 412
Efectivamente asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales
3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el dibujo ambos son rectos
Algunas aplicaciones de estos conceptos
Ejercicio
Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza
a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una
de las razones65 10 = 65
52 8
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo
podemos ver la proporcionalidad entre las
medidas de los lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
Ejercicio
Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
3
4
5x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3 =
Y4
Z5 =
31 =3
Escala de ampliacioacuten
X3
= 3
Y4 =3
Z5
=3
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
50
30
40
12
16
20
30 12
= 4016
5020
=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una
de las razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
45m
x3m
2m sombra
poste
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el aacutengulo de elevacioacuten que forman los rayos
solares con el suelo
=3x
245
X = 3 bull 45 2Formamos la proporcioacuten
Para terminar una pequentildea demostracioacuten
Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC
CA
B
D
E
Afirmaciones RazonesDemostracioacuten
Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC angcongang
CDEBAC angcongang Por ser Aacutengulos alternos internos entre
Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son semejantes
TEOREMA DE THALES
22
A
B
C
BASE MEDIA
PROPIEDAD
M N 2AC
MN =
ACMN
FIGURAS SEMEJANTES
24
iquestCoacutemo son las figuras mostradas
Son proporcionales
Son semejantes
SemejanzaSemejanza
bull Dos figuras que tienen la misma forma aun con diferentes dimensiones se llaman semejantes
bull Dos figuras son semejantes si sus aacutengulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes proporcionales
bull Los elementos que se corresponden (puntos segmentos aacutengulos hellip) se llaman homoacutelogos
Dos figuras del plano son
semejantes si los cocientes de de los
segmentos determinados por
pares cualesquiera de puntos
correspondientes son iguales
ML
MLes la razoacuten de semejanza
Dos triaacutengulos son semejantes si tienen los lados proporcionales y los aacutengulos iguales
El cocientea b c
ka b c
= = =
se llama razoacuten de semejanza
29
SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS
32
Dado un triaacutengulo de lados 4m 5m y 6m
Multiplica cada uno de los lados por 3
x 3
Los lados del triaacutengulo se han triplicado
4m5m
6mA
B
C
18m
15m
12m
P
Q
R
33
Identificamos algunos elementos
RAZOacuteN DE SEMEJANZA 3
LADOS HOMOacuteLOGOS AB BC AC
PQ QR
PR
Si la altura relativa al lado AC mide a podemos afirmar que la altura relativa a su lado homoacutelogo PR mide 3a
Ademaacutes
Cualquier longitud (lados y liacuteneas notables) en el triaacutengulo ABC se triplica en el triaacutengulo PQR
sim
iquestCuaacutel es el siacutembolo que se utiliza para representar la semejanza de dos triaacutengulos
Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un solo ojo queden alineados el extremo superior del aacuterbol y el de la vara de longitud conocida
Distancias o alturas aplicando semejanza
Los dibujos siguientes ilustran diversas maneras utilizadas habitualmente por las guiacuteas y scouts para estimar alturas y distancias recurriendo a la semejanza de triaacutengulos
En este caso es necesario que la persona pueda observar el extremo superior del aacuterbol reflejado en el espejo
37
CASOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS
Criterios de semejanza de triaacutengulos
existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos
Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)
2 LLL (lado-lado-lado)
3 LAL (lado-aacutengulo-lado)
SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZA
Criterio AA de semejanza Teorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo Criterio LAL de semejanza Teorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo
Criterio LLL de semejanza Teorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
I Primer criterio AA
Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute
αacuteα
βacute
βγacute
γ
Es decir Si α = αacute β = βacute
de lo anterior se deduce que γ = γacuteEntonces ∆ ABC semejante con ∆AacuteBacuteCacute
Ejemplo
iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes
25
65 25
65
iexclSIPor que al tener dos de
sus aacutengulos congruentes cumplen
con el criterio AA
II Segundo criterio LLL
Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
aaacute
El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de semejanza
Es decir
aaacute =
bbacute =
ccacute =K
b bacute
c
cacute
Entonces ∆ ABC semejante con ∆AacuteBacuteCacute
EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales
15 3 = =
35 7
510
Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son
iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL
III Tercer criterio LAL
Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute =
ccacute
c
cacute
y α = αacute
ααacute
Entonces ∆ ABC semejante a ∆ AacuteBacuteCacute
EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
39
= 412
Efectivamente asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales
3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el dibujo ambos son rectos
Algunas aplicaciones de estos conceptos
Ejercicio
Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza
a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una
de las razones65 10 = 65
52 8
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo
podemos ver la proporcionalidad entre las
medidas de los lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
Ejercicio
Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
3
4
5x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3 =
Y4
Z5 =
31 =3
Escala de ampliacioacuten
X3
= 3
Y4 =3
Z5
=3
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
50
30
40
12
16
20
30 12
= 4016
5020
=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una
de las razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
45m
x3m
2m sombra
poste
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el aacutengulo de elevacioacuten que forman los rayos
solares con el suelo
=3x
245
X = 3 bull 45 2Formamos la proporcioacuten
Para terminar una pequentildea demostracioacuten
Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC
CA
B
D
E
Afirmaciones RazonesDemostracioacuten
Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC angcongang
CDEBAC angcongang Por ser Aacutengulos alternos internos entre
Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son semejantes
22
A
B
C
BASE MEDIA
PROPIEDAD
M N 2AC
MN =
ACMN
FIGURAS SEMEJANTES
24
iquestCoacutemo son las figuras mostradas
Son proporcionales
Son semejantes
SemejanzaSemejanza
bull Dos figuras que tienen la misma forma aun con diferentes dimensiones se llaman semejantes
bull Dos figuras son semejantes si sus aacutengulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes proporcionales
bull Los elementos que se corresponden (puntos segmentos aacutengulos hellip) se llaman homoacutelogos
Dos figuras del plano son
semejantes si los cocientes de de los
segmentos determinados por
pares cualesquiera de puntos
correspondientes son iguales
ML
MLes la razoacuten de semejanza
Dos triaacutengulos son semejantes si tienen los lados proporcionales y los aacutengulos iguales
El cocientea b c
ka b c
= = =
se llama razoacuten de semejanza
29
SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS
32
Dado un triaacutengulo de lados 4m 5m y 6m
Multiplica cada uno de los lados por 3
x 3
Los lados del triaacutengulo se han triplicado
4m5m
6mA
B
C
18m
15m
12m
P
Q
R
33
Identificamos algunos elementos
RAZOacuteN DE SEMEJANZA 3
LADOS HOMOacuteLOGOS AB BC AC
PQ QR
PR
Si la altura relativa al lado AC mide a podemos afirmar que la altura relativa a su lado homoacutelogo PR mide 3a
Ademaacutes
Cualquier longitud (lados y liacuteneas notables) en el triaacutengulo ABC se triplica en el triaacutengulo PQR
sim
iquestCuaacutel es el siacutembolo que se utiliza para representar la semejanza de dos triaacutengulos
Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un solo ojo queden alineados el extremo superior del aacuterbol y el de la vara de longitud conocida
Distancias o alturas aplicando semejanza
Los dibujos siguientes ilustran diversas maneras utilizadas habitualmente por las guiacuteas y scouts para estimar alturas y distancias recurriendo a la semejanza de triaacutengulos
En este caso es necesario que la persona pueda observar el extremo superior del aacuterbol reflejado en el espejo
37
CASOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS
Criterios de semejanza de triaacutengulos
existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos
Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)
2 LLL (lado-lado-lado)
3 LAL (lado-aacutengulo-lado)
SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZA
Criterio AA de semejanza Teorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo Criterio LAL de semejanza Teorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo
Criterio LLL de semejanza Teorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
I Primer criterio AA
Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute
αacuteα
βacute
βγacute
γ
Es decir Si α = αacute β = βacute
de lo anterior se deduce que γ = γacuteEntonces ∆ ABC semejante con ∆AacuteBacuteCacute
Ejemplo
iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes
25
65 25
65
iexclSIPor que al tener dos de
sus aacutengulos congruentes cumplen
con el criterio AA
II Segundo criterio LLL
Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
aaacute
El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de semejanza
Es decir
aaacute =
bbacute =
ccacute =K
b bacute
c
cacute
Entonces ∆ ABC semejante con ∆AacuteBacuteCacute
EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales
15 3 = =
35 7
510
Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son
iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL
III Tercer criterio LAL
Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute =
ccacute
c
cacute
y α = αacute
ααacute
Entonces ∆ ABC semejante a ∆ AacuteBacuteCacute
EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
39
= 412
Efectivamente asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales
3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el dibujo ambos son rectos
Algunas aplicaciones de estos conceptos
Ejercicio
Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza
a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una
de las razones65 10 = 65
52 8
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo
podemos ver la proporcionalidad entre las
medidas de los lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
Ejercicio
Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
3
4
5x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3 =
Y4
Z5 =
31 =3
Escala de ampliacioacuten
X3
= 3
Y4 =3
Z5
=3
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
50
30
40
12
16
20
30 12
= 4016
5020
=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una
de las razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
45m
x3m
2m sombra
poste
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el aacutengulo de elevacioacuten que forman los rayos
solares con el suelo
=3x
245
X = 3 bull 45 2Formamos la proporcioacuten
Para terminar una pequentildea demostracioacuten
Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC
CA
B
D
E
Afirmaciones RazonesDemostracioacuten
Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC angcongang
CDEBAC angcongang Por ser Aacutengulos alternos internos entre
Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son semejantes
FIGURAS SEMEJANTES
24
iquestCoacutemo son las figuras mostradas
Son proporcionales
Son semejantes
SemejanzaSemejanza
bull Dos figuras que tienen la misma forma aun con diferentes dimensiones se llaman semejantes
bull Dos figuras son semejantes si sus aacutengulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes proporcionales
bull Los elementos que se corresponden (puntos segmentos aacutengulos hellip) se llaman homoacutelogos
Dos figuras del plano son
semejantes si los cocientes de de los
segmentos determinados por
pares cualesquiera de puntos
correspondientes son iguales
ML
MLes la razoacuten de semejanza
Dos triaacutengulos son semejantes si tienen los lados proporcionales y los aacutengulos iguales
El cocientea b c
ka b c
= = =
se llama razoacuten de semejanza
29
SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS
32
Dado un triaacutengulo de lados 4m 5m y 6m
Multiplica cada uno de los lados por 3
x 3
Los lados del triaacutengulo se han triplicado
4m5m
6mA
B
C
18m
15m
12m
P
Q
R
33
Identificamos algunos elementos
RAZOacuteN DE SEMEJANZA 3
LADOS HOMOacuteLOGOS AB BC AC
PQ QR
PR
Si la altura relativa al lado AC mide a podemos afirmar que la altura relativa a su lado homoacutelogo PR mide 3a
Ademaacutes
Cualquier longitud (lados y liacuteneas notables) en el triaacutengulo ABC se triplica en el triaacutengulo PQR
sim
iquestCuaacutel es el siacutembolo que se utiliza para representar la semejanza de dos triaacutengulos
Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un solo ojo queden alineados el extremo superior del aacuterbol y el de la vara de longitud conocida
Distancias o alturas aplicando semejanza
Los dibujos siguientes ilustran diversas maneras utilizadas habitualmente por las guiacuteas y scouts para estimar alturas y distancias recurriendo a la semejanza de triaacutengulos
En este caso es necesario que la persona pueda observar el extremo superior del aacuterbol reflejado en el espejo
37
CASOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS
Criterios de semejanza de triaacutengulos
existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos
Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)
2 LLL (lado-lado-lado)
3 LAL (lado-aacutengulo-lado)
SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZA
Criterio AA de semejanza Teorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo Criterio LAL de semejanza Teorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo
Criterio LLL de semejanza Teorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
I Primer criterio AA
Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute
αacuteα
βacute
βγacute
γ
Es decir Si α = αacute β = βacute
de lo anterior se deduce que γ = γacuteEntonces ∆ ABC semejante con ∆AacuteBacuteCacute
Ejemplo
iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes
25
65 25
65
iexclSIPor que al tener dos de
sus aacutengulos congruentes cumplen
con el criterio AA
II Segundo criterio LLL
Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
aaacute
El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de semejanza
Es decir
aaacute =
bbacute =
ccacute =K
b bacute
c
cacute
Entonces ∆ ABC semejante con ∆AacuteBacuteCacute
EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales
15 3 = =
35 7
510
Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son
iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL
III Tercer criterio LAL
Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute =
ccacute
c
cacute
y α = αacute
ααacute
Entonces ∆ ABC semejante a ∆ AacuteBacuteCacute
EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
39
= 412
Efectivamente asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales
3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el dibujo ambos son rectos
Algunas aplicaciones de estos conceptos
Ejercicio
Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza
a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una
de las razones65 10 = 65
52 8
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo
podemos ver la proporcionalidad entre las
medidas de los lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
Ejercicio
Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
3
4
5x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3 =
Y4
Z5 =
31 =3
Escala de ampliacioacuten
X3
= 3
Y4 =3
Z5
=3
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
50
30
40
12
16
20
30 12
= 4016
5020
=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una
de las razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
45m
x3m
2m sombra
poste
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el aacutengulo de elevacioacuten que forman los rayos
solares con el suelo
=3x
245
X = 3 bull 45 2Formamos la proporcioacuten
Para terminar una pequentildea demostracioacuten
Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC
CA
B
D
E
Afirmaciones RazonesDemostracioacuten
Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC angcongang
CDEBAC angcongang Por ser Aacutengulos alternos internos entre
Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son semejantes
24
iquestCoacutemo son las figuras mostradas
Son proporcionales
Son semejantes
SemejanzaSemejanza
bull Dos figuras que tienen la misma forma aun con diferentes dimensiones se llaman semejantes
bull Dos figuras son semejantes si sus aacutengulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes proporcionales
bull Los elementos que se corresponden (puntos segmentos aacutengulos hellip) se llaman homoacutelogos
Dos figuras del plano son
semejantes si los cocientes de de los
segmentos determinados por
pares cualesquiera de puntos
correspondientes son iguales
ML
MLes la razoacuten de semejanza
Dos triaacutengulos son semejantes si tienen los lados proporcionales y los aacutengulos iguales
El cocientea b c
ka b c
= = =
se llama razoacuten de semejanza
29
SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS
32
Dado un triaacutengulo de lados 4m 5m y 6m
Multiplica cada uno de los lados por 3
x 3
Los lados del triaacutengulo se han triplicado
4m5m
6mA
B
C
18m
15m
12m
P
Q
R
33
Identificamos algunos elementos
RAZOacuteN DE SEMEJANZA 3
LADOS HOMOacuteLOGOS AB BC AC
PQ QR
PR
Si la altura relativa al lado AC mide a podemos afirmar que la altura relativa a su lado homoacutelogo PR mide 3a
Ademaacutes
Cualquier longitud (lados y liacuteneas notables) en el triaacutengulo ABC se triplica en el triaacutengulo PQR
sim
iquestCuaacutel es el siacutembolo que se utiliza para representar la semejanza de dos triaacutengulos
Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un solo ojo queden alineados el extremo superior del aacuterbol y el de la vara de longitud conocida
Distancias o alturas aplicando semejanza
Los dibujos siguientes ilustran diversas maneras utilizadas habitualmente por las guiacuteas y scouts para estimar alturas y distancias recurriendo a la semejanza de triaacutengulos
En este caso es necesario que la persona pueda observar el extremo superior del aacuterbol reflejado en el espejo
37
CASOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS
Criterios de semejanza de triaacutengulos
existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos
Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)
2 LLL (lado-lado-lado)
3 LAL (lado-aacutengulo-lado)
SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZA
Criterio AA de semejanza Teorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo Criterio LAL de semejanza Teorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo
Criterio LLL de semejanza Teorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
I Primer criterio AA
Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute
αacuteα
βacute
βγacute
γ
Es decir Si α = αacute β = βacute
de lo anterior se deduce que γ = γacuteEntonces ∆ ABC semejante con ∆AacuteBacuteCacute
Ejemplo
iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes
25
65 25
65
iexclSIPor que al tener dos de
sus aacutengulos congruentes cumplen
con el criterio AA
II Segundo criterio LLL
Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
aaacute
El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de semejanza
Es decir
aaacute =
bbacute =
ccacute =K
b bacute
c
cacute
Entonces ∆ ABC semejante con ∆AacuteBacuteCacute
EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales
15 3 = =
35 7
510
Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son
iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL
III Tercer criterio LAL
Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute =
ccacute
c
cacute
y α = αacute
ααacute
Entonces ∆ ABC semejante a ∆ AacuteBacuteCacute
EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
39
= 412
Efectivamente asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales
3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el dibujo ambos son rectos
Algunas aplicaciones de estos conceptos
Ejercicio
Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza
a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una
de las razones65 10 = 65
52 8
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo
podemos ver la proporcionalidad entre las
medidas de los lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
Ejercicio
Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
3
4
5x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3 =
Y4
Z5 =
31 =3
Escala de ampliacioacuten
X3
= 3
Y4 =3
Z5
=3
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
50
30
40
12
16
20
30 12
= 4016
5020
=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una
de las razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
45m
x3m
2m sombra
poste
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el aacutengulo de elevacioacuten que forman los rayos
solares con el suelo
=3x
245
X = 3 bull 45 2Formamos la proporcioacuten
Para terminar una pequentildea demostracioacuten
Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC
CA
B
D
E
Afirmaciones RazonesDemostracioacuten
Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC angcongang
CDEBAC angcongang Por ser Aacutengulos alternos internos entre
Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son semejantes
SemejanzaSemejanza
bull Dos figuras que tienen la misma forma aun con diferentes dimensiones se llaman semejantes
bull Dos figuras son semejantes si sus aacutengulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes proporcionales
bull Los elementos que se corresponden (puntos segmentos aacutengulos hellip) se llaman homoacutelogos
Dos figuras del plano son
semejantes si los cocientes de de los
segmentos determinados por
pares cualesquiera de puntos
correspondientes son iguales
ML
MLes la razoacuten de semejanza
Dos triaacutengulos son semejantes si tienen los lados proporcionales y los aacutengulos iguales
El cocientea b c
ka b c
= = =
se llama razoacuten de semejanza
29
SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS
32
Dado un triaacutengulo de lados 4m 5m y 6m
Multiplica cada uno de los lados por 3
x 3
Los lados del triaacutengulo se han triplicado
4m5m
6mA
B
C
18m
15m
12m
P
Q
R
33
Identificamos algunos elementos
RAZOacuteN DE SEMEJANZA 3
LADOS HOMOacuteLOGOS AB BC AC
PQ QR
PR
Si la altura relativa al lado AC mide a podemos afirmar que la altura relativa a su lado homoacutelogo PR mide 3a
Ademaacutes
Cualquier longitud (lados y liacuteneas notables) en el triaacutengulo ABC se triplica en el triaacutengulo PQR
sim
iquestCuaacutel es el siacutembolo que se utiliza para representar la semejanza de dos triaacutengulos
Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un solo ojo queden alineados el extremo superior del aacuterbol y el de la vara de longitud conocida
Distancias o alturas aplicando semejanza
Los dibujos siguientes ilustran diversas maneras utilizadas habitualmente por las guiacuteas y scouts para estimar alturas y distancias recurriendo a la semejanza de triaacutengulos
En este caso es necesario que la persona pueda observar el extremo superior del aacuterbol reflejado en el espejo
37
CASOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS
Criterios de semejanza de triaacutengulos
existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos
Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)
2 LLL (lado-lado-lado)
3 LAL (lado-aacutengulo-lado)
SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZA
Criterio AA de semejanza Teorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo Criterio LAL de semejanza Teorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo
Criterio LLL de semejanza Teorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
I Primer criterio AA
Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute
αacuteα
βacute
βγacute
γ
Es decir Si α = αacute β = βacute
de lo anterior se deduce que γ = γacuteEntonces ∆ ABC semejante con ∆AacuteBacuteCacute
Ejemplo
iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes
25
65 25
65
iexclSIPor que al tener dos de
sus aacutengulos congruentes cumplen
con el criterio AA
II Segundo criterio LLL
Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
aaacute
El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de semejanza
Es decir
aaacute =
bbacute =
ccacute =K
b bacute
c
cacute
Entonces ∆ ABC semejante con ∆AacuteBacuteCacute
EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales
15 3 = =
35 7
510
Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son
iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL
III Tercer criterio LAL
Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute =
ccacute
c
cacute
y α = αacute
ααacute
Entonces ∆ ABC semejante a ∆ AacuteBacuteCacute
EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
39
= 412
Efectivamente asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales
3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el dibujo ambos son rectos
Algunas aplicaciones de estos conceptos
Ejercicio
Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza
a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una
de las razones65 10 = 65
52 8
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo
podemos ver la proporcionalidad entre las
medidas de los lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
Ejercicio
Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
3
4
5x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3 =
Y4
Z5 =
31 =3
Escala de ampliacioacuten
X3
= 3
Y4 =3
Z5
=3
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
50
30
40
12
16
20
30 12
= 4016
5020
=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una
de las razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
45m
x3m
2m sombra
poste
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el aacutengulo de elevacioacuten que forman los rayos
solares con el suelo
=3x
245
X = 3 bull 45 2Formamos la proporcioacuten
Para terminar una pequentildea demostracioacuten
Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC
CA
B
D
E
Afirmaciones RazonesDemostracioacuten
Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC angcongang
CDEBAC angcongang Por ser Aacutengulos alternos internos entre
Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son semejantes
Dos figuras del plano son
semejantes si los cocientes de de los
segmentos determinados por
pares cualesquiera de puntos
correspondientes son iguales
ML
MLes la razoacuten de semejanza
Dos triaacutengulos son semejantes si tienen los lados proporcionales y los aacutengulos iguales
El cocientea b c
ka b c
= = =
se llama razoacuten de semejanza
29
SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS
32
Dado un triaacutengulo de lados 4m 5m y 6m
Multiplica cada uno de los lados por 3
x 3
Los lados del triaacutengulo se han triplicado
4m5m
6mA
B
C
18m
15m
12m
P
Q
R
33
Identificamos algunos elementos
RAZOacuteN DE SEMEJANZA 3
LADOS HOMOacuteLOGOS AB BC AC
PQ QR
PR
Si la altura relativa al lado AC mide a podemos afirmar que la altura relativa a su lado homoacutelogo PR mide 3a
Ademaacutes
Cualquier longitud (lados y liacuteneas notables) en el triaacutengulo ABC se triplica en el triaacutengulo PQR
sim
iquestCuaacutel es el siacutembolo que se utiliza para representar la semejanza de dos triaacutengulos
Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un solo ojo queden alineados el extremo superior del aacuterbol y el de la vara de longitud conocida
Distancias o alturas aplicando semejanza
Los dibujos siguientes ilustran diversas maneras utilizadas habitualmente por las guiacuteas y scouts para estimar alturas y distancias recurriendo a la semejanza de triaacutengulos
En este caso es necesario que la persona pueda observar el extremo superior del aacuterbol reflejado en el espejo
37
CASOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS
Criterios de semejanza de triaacutengulos
existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos
Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)
2 LLL (lado-lado-lado)
3 LAL (lado-aacutengulo-lado)
SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZA
Criterio AA de semejanza Teorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo Criterio LAL de semejanza Teorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo
Criterio LLL de semejanza Teorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
I Primer criterio AA
Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute
αacuteα
βacute
βγacute
γ
Es decir Si α = αacute β = βacute
de lo anterior se deduce que γ = γacuteEntonces ∆ ABC semejante con ∆AacuteBacuteCacute
Ejemplo
iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes
25
65 25
65
iexclSIPor que al tener dos de
sus aacutengulos congruentes cumplen
con el criterio AA
II Segundo criterio LLL
Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
aaacute
El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de semejanza
Es decir
aaacute =
bbacute =
ccacute =K
b bacute
c
cacute
Entonces ∆ ABC semejante con ∆AacuteBacuteCacute
EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales
15 3 = =
35 7
510
Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son
iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL
III Tercer criterio LAL
Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute =
ccacute
c
cacute
y α = αacute
ααacute
Entonces ∆ ABC semejante a ∆ AacuteBacuteCacute
EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
39
= 412
Efectivamente asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales
3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el dibujo ambos son rectos
Algunas aplicaciones de estos conceptos
Ejercicio
Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza
a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una
de las razones65 10 = 65
52 8
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo
podemos ver la proporcionalidad entre las
medidas de los lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
Ejercicio
Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
3
4
5x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3 =
Y4
Z5 =
31 =3
Escala de ampliacioacuten
X3
= 3
Y4 =3
Z5
=3
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
50
30
40
12
16
20
30 12
= 4016
5020
=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una
de las razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
45m
x3m
2m sombra
poste
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el aacutengulo de elevacioacuten que forman los rayos
solares con el suelo
=3x
245
X = 3 bull 45 2Formamos la proporcioacuten
Para terminar una pequentildea demostracioacuten
Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC
CA
B
D
E
Afirmaciones RazonesDemostracioacuten
Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC angcongang
CDEBAC angcongang Por ser Aacutengulos alternos internos entre
Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son semejantes
Dos triaacutengulos son semejantes si tienen los lados proporcionales y los aacutengulos iguales
El cocientea b c
ka b c
= = =
se llama razoacuten de semejanza
29
SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS
32
Dado un triaacutengulo de lados 4m 5m y 6m
Multiplica cada uno de los lados por 3
x 3
Los lados del triaacutengulo se han triplicado
4m5m
6mA
B
C
18m
15m
12m
P
Q
R
33
Identificamos algunos elementos
RAZOacuteN DE SEMEJANZA 3
LADOS HOMOacuteLOGOS AB BC AC
PQ QR
PR
Si la altura relativa al lado AC mide a podemos afirmar que la altura relativa a su lado homoacutelogo PR mide 3a
Ademaacutes
Cualquier longitud (lados y liacuteneas notables) en el triaacutengulo ABC se triplica en el triaacutengulo PQR
sim
iquestCuaacutel es el siacutembolo que se utiliza para representar la semejanza de dos triaacutengulos
Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un solo ojo queden alineados el extremo superior del aacuterbol y el de la vara de longitud conocida
Distancias o alturas aplicando semejanza
Los dibujos siguientes ilustran diversas maneras utilizadas habitualmente por las guiacuteas y scouts para estimar alturas y distancias recurriendo a la semejanza de triaacutengulos
En este caso es necesario que la persona pueda observar el extremo superior del aacuterbol reflejado en el espejo
37
CASOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS
Criterios de semejanza de triaacutengulos
existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos
Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)
2 LLL (lado-lado-lado)
3 LAL (lado-aacutengulo-lado)
SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZA
Criterio AA de semejanza Teorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo Criterio LAL de semejanza Teorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo
Criterio LLL de semejanza Teorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
I Primer criterio AA
Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute
αacuteα
βacute
βγacute
γ
Es decir Si α = αacute β = βacute
de lo anterior se deduce que γ = γacuteEntonces ∆ ABC semejante con ∆AacuteBacuteCacute
Ejemplo
iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes
25
65 25
65
iexclSIPor que al tener dos de
sus aacutengulos congruentes cumplen
con el criterio AA
II Segundo criterio LLL
Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
aaacute
El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de semejanza
Es decir
aaacute =
bbacute =
ccacute =K
b bacute
c
cacute
Entonces ∆ ABC semejante con ∆AacuteBacuteCacute
EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales
15 3 = =
35 7
510
Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son
iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL
III Tercer criterio LAL
Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute =
ccacute
c
cacute
y α = αacute
ααacute
Entonces ∆ ABC semejante a ∆ AacuteBacuteCacute
EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
39
= 412
Efectivamente asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales
3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el dibujo ambos son rectos
Algunas aplicaciones de estos conceptos
Ejercicio
Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza
a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una
de las razones65 10 = 65
52 8
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo
podemos ver la proporcionalidad entre las
medidas de los lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
Ejercicio
Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
3
4
5x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3 =
Y4
Z5 =
31 =3
Escala de ampliacioacuten
X3
= 3
Y4 =3
Z5
=3
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
50
30
40
12
16
20
30 12
= 4016
5020
=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una
de las razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
45m
x3m
2m sombra
poste
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el aacutengulo de elevacioacuten que forman los rayos
solares con el suelo
=3x
245
X = 3 bull 45 2Formamos la proporcioacuten
Para terminar una pequentildea demostracioacuten
Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC
CA
B
D
E
Afirmaciones RazonesDemostracioacuten
Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC angcongang
CDEBAC angcongang Por ser Aacutengulos alternos internos entre
Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son semejantes
29
SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS
32
Dado un triaacutengulo de lados 4m 5m y 6m
Multiplica cada uno de los lados por 3
x 3
Los lados del triaacutengulo se han triplicado
4m5m
6mA
B
C
18m
15m
12m
P
Q
R
33
Identificamos algunos elementos
RAZOacuteN DE SEMEJANZA 3
LADOS HOMOacuteLOGOS AB BC AC
PQ QR
PR
Si la altura relativa al lado AC mide a podemos afirmar que la altura relativa a su lado homoacutelogo PR mide 3a
Ademaacutes
Cualquier longitud (lados y liacuteneas notables) en el triaacutengulo ABC se triplica en el triaacutengulo PQR
sim
iquestCuaacutel es el siacutembolo que se utiliza para representar la semejanza de dos triaacutengulos
Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un solo ojo queden alineados el extremo superior del aacuterbol y el de la vara de longitud conocida
Distancias o alturas aplicando semejanza
Los dibujos siguientes ilustran diversas maneras utilizadas habitualmente por las guiacuteas y scouts para estimar alturas y distancias recurriendo a la semejanza de triaacutengulos
En este caso es necesario que la persona pueda observar el extremo superior del aacuterbol reflejado en el espejo
37
CASOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS
Criterios de semejanza de triaacutengulos
existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos
Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)
2 LLL (lado-lado-lado)
3 LAL (lado-aacutengulo-lado)
SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZA
Criterio AA de semejanza Teorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo Criterio LAL de semejanza Teorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo
Criterio LLL de semejanza Teorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
I Primer criterio AA
Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute
αacuteα
βacute
βγacute
γ
Es decir Si α = αacute β = βacute
de lo anterior se deduce que γ = γacuteEntonces ∆ ABC semejante con ∆AacuteBacuteCacute
Ejemplo
iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes
25
65 25
65
iexclSIPor que al tener dos de
sus aacutengulos congruentes cumplen
con el criterio AA
II Segundo criterio LLL
Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
aaacute
El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de semejanza
Es decir
aaacute =
bbacute =
ccacute =K
b bacute
c
cacute
Entonces ∆ ABC semejante con ∆AacuteBacuteCacute
EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales
15 3 = =
35 7
510
Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son
iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL
III Tercer criterio LAL
Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute =
ccacute
c
cacute
y α = αacute
ααacute
Entonces ∆ ABC semejante a ∆ AacuteBacuteCacute
EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
39
= 412
Efectivamente asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales
3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el dibujo ambos son rectos
Algunas aplicaciones de estos conceptos
Ejercicio
Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza
a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una
de las razones65 10 = 65
52 8
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo
podemos ver la proporcionalidad entre las
medidas de los lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
Ejercicio
Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
3
4
5x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3 =
Y4
Z5 =
31 =3
Escala de ampliacioacuten
X3
= 3
Y4 =3
Z5
=3
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
50
30
40
12
16
20
30 12
= 4016
5020
=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una
de las razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
45m
x3m
2m sombra
poste
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el aacutengulo de elevacioacuten que forman los rayos
solares con el suelo
=3x
245
X = 3 bull 45 2Formamos la proporcioacuten
Para terminar una pequentildea demostracioacuten
Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC
CA
B
D
E
Afirmaciones RazonesDemostracioacuten
Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC angcongang
CDEBAC angcongang Por ser Aacutengulos alternos internos entre
Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son semejantes
32
Dado un triaacutengulo de lados 4m 5m y 6m
Multiplica cada uno de los lados por 3
x 3
Los lados del triaacutengulo se han triplicado
4m5m
6mA
B
C
18m
15m
12m
P
Q
R
33
Identificamos algunos elementos
RAZOacuteN DE SEMEJANZA 3
LADOS HOMOacuteLOGOS AB BC AC
PQ QR
PR
Si la altura relativa al lado AC mide a podemos afirmar que la altura relativa a su lado homoacutelogo PR mide 3a
Ademaacutes
Cualquier longitud (lados y liacuteneas notables) en el triaacutengulo ABC se triplica en el triaacutengulo PQR
sim
iquestCuaacutel es el siacutembolo que se utiliza para representar la semejanza de dos triaacutengulos
Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un solo ojo queden alineados el extremo superior del aacuterbol y el de la vara de longitud conocida
Distancias o alturas aplicando semejanza
Los dibujos siguientes ilustran diversas maneras utilizadas habitualmente por las guiacuteas y scouts para estimar alturas y distancias recurriendo a la semejanza de triaacutengulos
En este caso es necesario que la persona pueda observar el extremo superior del aacuterbol reflejado en el espejo
37
CASOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS
Criterios de semejanza de triaacutengulos
existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos
Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)
2 LLL (lado-lado-lado)
3 LAL (lado-aacutengulo-lado)
SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZA
Criterio AA de semejanza Teorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo Criterio LAL de semejanza Teorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo
Criterio LLL de semejanza Teorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
I Primer criterio AA
Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute
αacuteα
βacute
βγacute
γ
Es decir Si α = αacute β = βacute
de lo anterior se deduce que γ = γacuteEntonces ∆ ABC semejante con ∆AacuteBacuteCacute
Ejemplo
iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes
25
65 25
65
iexclSIPor que al tener dos de
sus aacutengulos congruentes cumplen
con el criterio AA
II Segundo criterio LLL
Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
aaacute
El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de semejanza
Es decir
aaacute =
bbacute =
ccacute =K
b bacute
c
cacute
Entonces ∆ ABC semejante con ∆AacuteBacuteCacute
EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales
15 3 = =
35 7
510
Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son
iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL
III Tercer criterio LAL
Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute =
ccacute
c
cacute
y α = αacute
ααacute
Entonces ∆ ABC semejante a ∆ AacuteBacuteCacute
EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
39
= 412
Efectivamente asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales
3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el dibujo ambos son rectos
Algunas aplicaciones de estos conceptos
Ejercicio
Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza
a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una
de las razones65 10 = 65
52 8
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo
podemos ver la proporcionalidad entre las
medidas de los lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
Ejercicio
Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
3
4
5x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3 =
Y4
Z5 =
31 =3
Escala de ampliacioacuten
X3
= 3
Y4 =3
Z5
=3
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
50
30
40
12
16
20
30 12
= 4016
5020
=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una
de las razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
45m
x3m
2m sombra
poste
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el aacutengulo de elevacioacuten que forman los rayos
solares con el suelo
=3x
245
X = 3 bull 45 2Formamos la proporcioacuten
Para terminar una pequentildea demostracioacuten
Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC
CA
B
D
E
Afirmaciones RazonesDemostracioacuten
Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC angcongang
CDEBAC angcongang Por ser Aacutengulos alternos internos entre
Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son semejantes
33
Identificamos algunos elementos
RAZOacuteN DE SEMEJANZA 3
LADOS HOMOacuteLOGOS AB BC AC
PQ QR
PR
Si la altura relativa al lado AC mide a podemos afirmar que la altura relativa a su lado homoacutelogo PR mide 3a
Ademaacutes
Cualquier longitud (lados y liacuteneas notables) en el triaacutengulo ABC se triplica en el triaacutengulo PQR
sim
iquestCuaacutel es el siacutembolo que se utiliza para representar la semejanza de dos triaacutengulos
Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un solo ojo queden alineados el extremo superior del aacuterbol y el de la vara de longitud conocida
Distancias o alturas aplicando semejanza
Los dibujos siguientes ilustran diversas maneras utilizadas habitualmente por las guiacuteas y scouts para estimar alturas y distancias recurriendo a la semejanza de triaacutengulos
En este caso es necesario que la persona pueda observar el extremo superior del aacuterbol reflejado en el espejo
37
CASOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS
Criterios de semejanza de triaacutengulos
existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos
Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)
2 LLL (lado-lado-lado)
3 LAL (lado-aacutengulo-lado)
SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZA
Criterio AA de semejanza Teorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo Criterio LAL de semejanza Teorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo
Criterio LLL de semejanza Teorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
I Primer criterio AA
Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute
αacuteα
βacute
βγacute
γ
Es decir Si α = αacute β = βacute
de lo anterior se deduce que γ = γacuteEntonces ∆ ABC semejante con ∆AacuteBacuteCacute
Ejemplo
iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes
25
65 25
65
iexclSIPor que al tener dos de
sus aacutengulos congruentes cumplen
con el criterio AA
II Segundo criterio LLL
Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
aaacute
El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de semejanza
Es decir
aaacute =
bbacute =
ccacute =K
b bacute
c
cacute
Entonces ∆ ABC semejante con ∆AacuteBacuteCacute
EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales
15 3 = =
35 7
510
Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son
iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL
III Tercer criterio LAL
Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute =
ccacute
c
cacute
y α = αacute
ααacute
Entonces ∆ ABC semejante a ∆ AacuteBacuteCacute
EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
39
= 412
Efectivamente asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales
3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el dibujo ambos son rectos
Algunas aplicaciones de estos conceptos
Ejercicio
Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza
a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una
de las razones65 10 = 65
52 8
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo
podemos ver la proporcionalidad entre las
medidas de los lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
Ejercicio
Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
3
4
5x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3 =
Y4
Z5 =
31 =3
Escala de ampliacioacuten
X3
= 3
Y4 =3
Z5
=3
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
50
30
40
12
16
20
30 12
= 4016
5020
=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una
de las razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
45m
x3m
2m sombra
poste
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el aacutengulo de elevacioacuten que forman los rayos
solares con el suelo
=3x
245
X = 3 bull 45 2Formamos la proporcioacuten
Para terminar una pequentildea demostracioacuten
Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC
CA
B
D
E
Afirmaciones RazonesDemostracioacuten
Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC angcongang
CDEBAC angcongang Por ser Aacutengulos alternos internos entre
Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son semejantes
sim
iquestCuaacutel es el siacutembolo que se utiliza para representar la semejanza de dos triaacutengulos
Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un solo ojo queden alineados el extremo superior del aacuterbol y el de la vara de longitud conocida
Distancias o alturas aplicando semejanza
Los dibujos siguientes ilustran diversas maneras utilizadas habitualmente por las guiacuteas y scouts para estimar alturas y distancias recurriendo a la semejanza de triaacutengulos
En este caso es necesario que la persona pueda observar el extremo superior del aacuterbol reflejado en el espejo
37
CASOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS
Criterios de semejanza de triaacutengulos
existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos
Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)
2 LLL (lado-lado-lado)
3 LAL (lado-aacutengulo-lado)
SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZA
Criterio AA de semejanza Teorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo Criterio LAL de semejanza Teorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo
Criterio LLL de semejanza Teorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
I Primer criterio AA
Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute
αacuteα
βacute
βγacute
γ
Es decir Si α = αacute β = βacute
de lo anterior se deduce que γ = γacuteEntonces ∆ ABC semejante con ∆AacuteBacuteCacute
Ejemplo
iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes
25
65 25
65
iexclSIPor que al tener dos de
sus aacutengulos congruentes cumplen
con el criterio AA
II Segundo criterio LLL
Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
aaacute
El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de semejanza
Es decir
aaacute =
bbacute =
ccacute =K
b bacute
c
cacute
Entonces ∆ ABC semejante con ∆AacuteBacuteCacute
EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales
15 3 = =
35 7
510
Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son
iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL
III Tercer criterio LAL
Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute =
ccacute
c
cacute
y α = αacute
ααacute
Entonces ∆ ABC semejante a ∆ AacuteBacuteCacute
EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
39
= 412
Efectivamente asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales
3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el dibujo ambos son rectos
Algunas aplicaciones de estos conceptos
Ejercicio
Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza
a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una
de las razones65 10 = 65
52 8
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo
podemos ver la proporcionalidad entre las
medidas de los lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
Ejercicio
Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
3
4
5x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3 =
Y4
Z5 =
31 =3
Escala de ampliacioacuten
X3
= 3
Y4 =3
Z5
=3
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
50
30
40
12
16
20
30 12
= 4016
5020
=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una
de las razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
45m
x3m
2m sombra
poste
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el aacutengulo de elevacioacuten que forman los rayos
solares con el suelo
=3x
245
X = 3 bull 45 2Formamos la proporcioacuten
Para terminar una pequentildea demostracioacuten
Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC
CA
B
D
E
Afirmaciones RazonesDemostracioacuten
Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC angcongang
CDEBAC angcongang Por ser Aacutengulos alternos internos entre
Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son semejantes
Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un solo ojo queden alineados el extremo superior del aacuterbol y el de la vara de longitud conocida
Distancias o alturas aplicando semejanza
Los dibujos siguientes ilustran diversas maneras utilizadas habitualmente por las guiacuteas y scouts para estimar alturas y distancias recurriendo a la semejanza de triaacutengulos
En este caso es necesario que la persona pueda observar el extremo superior del aacuterbol reflejado en el espejo
37
CASOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS
Criterios de semejanza de triaacutengulos
existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos
Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)
2 LLL (lado-lado-lado)
3 LAL (lado-aacutengulo-lado)
SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZA
Criterio AA de semejanza Teorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo Criterio LAL de semejanza Teorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo
Criterio LLL de semejanza Teorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
I Primer criterio AA
Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute
αacuteα
βacute
βγacute
γ
Es decir Si α = αacute β = βacute
de lo anterior se deduce que γ = γacuteEntonces ∆ ABC semejante con ∆AacuteBacuteCacute
Ejemplo
iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes
25
65 25
65
iexclSIPor que al tener dos de
sus aacutengulos congruentes cumplen
con el criterio AA
II Segundo criterio LLL
Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
aaacute
El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de semejanza
Es decir
aaacute =
bbacute =
ccacute =K
b bacute
c
cacute
Entonces ∆ ABC semejante con ∆AacuteBacuteCacute
EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales
15 3 = =
35 7
510
Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son
iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL
III Tercer criterio LAL
Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute =
ccacute
c
cacute
y α = αacute
ααacute
Entonces ∆ ABC semejante a ∆ AacuteBacuteCacute
EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
39
= 412
Efectivamente asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales
3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el dibujo ambos son rectos
Algunas aplicaciones de estos conceptos
Ejercicio
Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza
a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una
de las razones65 10 = 65
52 8
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo
podemos ver la proporcionalidad entre las
medidas de los lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
Ejercicio
Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
3
4
5x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3 =
Y4
Z5 =
31 =3
Escala de ampliacioacuten
X3
= 3
Y4 =3
Z5
=3
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
50
30
40
12
16
20
30 12
= 4016
5020
=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una
de las razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
45m
x3m
2m sombra
poste
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el aacutengulo de elevacioacuten que forman los rayos
solares con el suelo
=3x
245
X = 3 bull 45 2Formamos la proporcioacuten
Para terminar una pequentildea demostracioacuten
Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC
CA
B
D
E
Afirmaciones RazonesDemostracioacuten
Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC angcongang
CDEBAC angcongang Por ser Aacutengulos alternos internos entre
Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son semejantes
Distancias o alturas aplicando semejanza
Los dibujos siguientes ilustran diversas maneras utilizadas habitualmente por las guiacuteas y scouts para estimar alturas y distancias recurriendo a la semejanza de triaacutengulos
En este caso es necesario que la persona pueda observar el extremo superior del aacuterbol reflejado en el espejo
37
CASOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS
Criterios de semejanza de triaacutengulos
existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos
Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)
2 LLL (lado-lado-lado)
3 LAL (lado-aacutengulo-lado)
SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZA
Criterio AA de semejanza Teorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo Criterio LAL de semejanza Teorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo
Criterio LLL de semejanza Teorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
I Primer criterio AA
Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute
αacuteα
βacute
βγacute
γ
Es decir Si α = αacute β = βacute
de lo anterior se deduce que γ = γacuteEntonces ∆ ABC semejante con ∆AacuteBacuteCacute
Ejemplo
iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes
25
65 25
65
iexclSIPor que al tener dos de
sus aacutengulos congruentes cumplen
con el criterio AA
II Segundo criterio LLL
Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
aaacute
El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de semejanza
Es decir
aaacute =
bbacute =
ccacute =K
b bacute
c
cacute
Entonces ∆ ABC semejante con ∆AacuteBacuteCacute
EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales
15 3 = =
35 7
510
Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son
iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL
III Tercer criterio LAL
Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute =
ccacute
c
cacute
y α = αacute
ααacute
Entonces ∆ ABC semejante a ∆ AacuteBacuteCacute
EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
39
= 412
Efectivamente asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales
3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el dibujo ambos son rectos
Algunas aplicaciones de estos conceptos
Ejercicio
Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza
a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una
de las razones65 10 = 65
52 8
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo
podemos ver la proporcionalidad entre las
medidas de los lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
Ejercicio
Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
3
4
5x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3 =
Y4
Z5 =
31 =3
Escala de ampliacioacuten
X3
= 3
Y4 =3
Z5
=3
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
50
30
40
12
16
20
30 12
= 4016
5020
=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una
de las razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
45m
x3m
2m sombra
poste
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el aacutengulo de elevacioacuten que forman los rayos
solares con el suelo
=3x
245
X = 3 bull 45 2Formamos la proporcioacuten
Para terminar una pequentildea demostracioacuten
Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC
CA
B
D
E
Afirmaciones RazonesDemostracioacuten
Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC angcongang
CDEBAC angcongang Por ser Aacutengulos alternos internos entre
Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son semejantes
37
CASOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS
Criterios de semejanza de triaacutengulos
existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos
Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)
2 LLL (lado-lado-lado)
3 LAL (lado-aacutengulo-lado)
SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZA
Criterio AA de semejanza Teorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo Criterio LAL de semejanza Teorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo
Criterio LLL de semejanza Teorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
I Primer criterio AA
Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute
αacuteα
βacute
βγacute
γ
Es decir Si α = αacute β = βacute
de lo anterior se deduce que γ = γacuteEntonces ∆ ABC semejante con ∆AacuteBacuteCacute
Ejemplo
iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes
25
65 25
65
iexclSIPor que al tener dos de
sus aacutengulos congruentes cumplen
con el criterio AA
II Segundo criterio LLL
Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
aaacute
El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de semejanza
Es decir
aaacute =
bbacute =
ccacute =K
b bacute
c
cacute
Entonces ∆ ABC semejante con ∆AacuteBacuteCacute
EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales
15 3 = =
35 7
510
Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son
iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL
III Tercer criterio LAL
Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute =
ccacute
c
cacute
y α = αacute
ααacute
Entonces ∆ ABC semejante a ∆ AacuteBacuteCacute
EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
39
= 412
Efectivamente asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales
3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el dibujo ambos son rectos
Algunas aplicaciones de estos conceptos
Ejercicio
Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza
a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una
de las razones65 10 = 65
52 8
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo
podemos ver la proporcionalidad entre las
medidas de los lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
Ejercicio
Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
3
4
5x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3 =
Y4
Z5 =
31 =3
Escala de ampliacioacuten
X3
= 3
Y4 =3
Z5
=3
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
50
30
40
12
16
20
30 12
= 4016
5020
=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una
de las razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
45m
x3m
2m sombra
poste
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el aacutengulo de elevacioacuten que forman los rayos
solares con el suelo
=3x
245
X = 3 bull 45 2Formamos la proporcioacuten
Para terminar una pequentildea demostracioacuten
Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC
CA
B
D
E
Afirmaciones RazonesDemostracioacuten
Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC angcongang
CDEBAC angcongang Por ser Aacutengulos alternos internos entre
Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son semejantes
Criterios de semejanza de triaacutengulos
existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos
Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)
2 LLL (lado-lado-lado)
3 LAL (lado-aacutengulo-lado)
SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZA
Criterio AA de semejanza Teorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo Criterio LAL de semejanza Teorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo
Criterio LLL de semejanza Teorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
I Primer criterio AA
Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute
αacuteα
βacute
βγacute
γ
Es decir Si α = αacute β = βacute
de lo anterior se deduce que γ = γacuteEntonces ∆ ABC semejante con ∆AacuteBacuteCacute
Ejemplo
iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes
25
65 25
65
iexclSIPor que al tener dos de
sus aacutengulos congruentes cumplen
con el criterio AA
II Segundo criterio LLL
Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
aaacute
El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de semejanza
Es decir
aaacute =
bbacute =
ccacute =K
b bacute
c
cacute
Entonces ∆ ABC semejante con ∆AacuteBacuteCacute
EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales
15 3 = =
35 7
510
Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son
iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL
III Tercer criterio LAL
Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute =
ccacute
c
cacute
y α = αacute
ααacute
Entonces ∆ ABC semejante a ∆ AacuteBacuteCacute
EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
39
= 412
Efectivamente asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales
3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el dibujo ambos son rectos
Algunas aplicaciones de estos conceptos
Ejercicio
Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza
a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una
de las razones65 10 = 65
52 8
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo
podemos ver la proporcionalidad entre las
medidas de los lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
Ejercicio
Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
3
4
5x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3 =
Y4
Z5 =
31 =3
Escala de ampliacioacuten
X3
= 3
Y4 =3
Z5
=3
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
50
30
40
12
16
20
30 12
= 4016
5020
=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una
de las razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
45m
x3m
2m sombra
poste
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el aacutengulo de elevacioacuten que forman los rayos
solares con el suelo
=3x
245
X = 3 bull 45 2Formamos la proporcioacuten
Para terminar una pequentildea demostracioacuten
Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC
CA
B
D
E
Afirmaciones RazonesDemostracioacuten
Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC angcongang
CDEBAC angcongang Por ser Aacutengulos alternos internos entre
Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son semejantes
Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)
2 LLL (lado-lado-lado)
3 LAL (lado-aacutengulo-lado)
SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZA
Criterio AA de semejanza Teorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo Criterio LAL de semejanza Teorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo
Criterio LLL de semejanza Teorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
I Primer criterio AA
Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute
αacuteα
βacute
βγacute
γ
Es decir Si α = αacute β = βacute
de lo anterior se deduce que γ = γacuteEntonces ∆ ABC semejante con ∆AacuteBacuteCacute
Ejemplo
iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes
25
65 25
65
iexclSIPor que al tener dos de
sus aacutengulos congruentes cumplen
con el criterio AA
II Segundo criterio LLL
Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
aaacute
El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de semejanza
Es decir
aaacute =
bbacute =
ccacute =K
b bacute
c
cacute
Entonces ∆ ABC semejante con ∆AacuteBacuteCacute
EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales
15 3 = =
35 7
510
Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son
iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL
III Tercer criterio LAL
Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute =
ccacute
c
cacute
y α = αacute
ααacute
Entonces ∆ ABC semejante a ∆ AacuteBacuteCacute
EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
39
= 412
Efectivamente asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales
3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el dibujo ambos son rectos
Algunas aplicaciones de estos conceptos
Ejercicio
Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza
a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una
de las razones65 10 = 65
52 8
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo
podemos ver la proporcionalidad entre las
medidas de los lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
Ejercicio
Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
3
4
5x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3 =
Y4
Z5 =
31 =3
Escala de ampliacioacuten
X3
= 3
Y4 =3
Z5
=3
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
50
30
40
12
16
20
30 12
= 4016
5020
=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una
de las razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
45m
x3m
2m sombra
poste
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el aacutengulo de elevacioacuten que forman los rayos
solares con el suelo
=3x
245
X = 3 bull 45 2Formamos la proporcioacuten
Para terminar una pequentildea demostracioacuten
Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC
CA
B
D
E
Afirmaciones RazonesDemostracioacuten
Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC angcongang
CDEBAC angcongang Por ser Aacutengulos alternos internos entre
Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son semejantes
SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZA
Criterio AA de semejanza Teorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo Criterio LAL de semejanza Teorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo
Criterio LLL de semejanza Teorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
I Primer criterio AA
Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute
αacuteα
βacute
βγacute
γ
Es decir Si α = αacute β = βacute
de lo anterior se deduce que γ = γacuteEntonces ∆ ABC semejante con ∆AacuteBacuteCacute
Ejemplo
iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes
25
65 25
65
iexclSIPor que al tener dos de
sus aacutengulos congruentes cumplen
con el criterio AA
II Segundo criterio LLL
Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
aaacute
El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de semejanza
Es decir
aaacute =
bbacute =
ccacute =K
b bacute
c
cacute
Entonces ∆ ABC semejante con ∆AacuteBacuteCacute
EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales
15 3 = =
35 7
510
Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son
iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL
III Tercer criterio LAL
Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute =
ccacute
c
cacute
y α = αacute
ααacute
Entonces ∆ ABC semejante a ∆ AacuteBacuteCacute
EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
39
= 412
Efectivamente asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales
3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el dibujo ambos son rectos
Algunas aplicaciones de estos conceptos
Ejercicio
Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza
a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una
de las razones65 10 = 65
52 8
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo
podemos ver la proporcionalidad entre las
medidas de los lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
Ejercicio
Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
3
4
5x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3 =
Y4
Z5 =
31 =3
Escala de ampliacioacuten
X3
= 3
Y4 =3
Z5
=3
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
50
30
40
12
16
20
30 12
= 4016
5020
=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una
de las razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
45m
x3m
2m sombra
poste
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el aacutengulo de elevacioacuten que forman los rayos
solares con el suelo
=3x
245
X = 3 bull 45 2Formamos la proporcioacuten
Para terminar una pequentildea demostracioacuten
Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC
CA
B
D
E
Afirmaciones RazonesDemostracioacuten
Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC angcongang
CDEBAC angcongang Por ser Aacutengulos alternos internos entre
Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son semejantes
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
I Primer criterio AA
Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute
αacuteα
βacute
βγacute
γ
Es decir Si α = αacute β = βacute
de lo anterior se deduce que γ = γacuteEntonces ∆ ABC semejante con ∆AacuteBacuteCacute
Ejemplo
iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes
25
65 25
65
iexclSIPor que al tener dos de
sus aacutengulos congruentes cumplen
con el criterio AA
II Segundo criterio LLL
Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
aaacute
El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de semejanza
Es decir
aaacute =
bbacute =
ccacute =K
b bacute
c
cacute
Entonces ∆ ABC semejante con ∆AacuteBacuteCacute
EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales
15 3 = =
35 7
510
Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son
iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL
III Tercer criterio LAL
Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute =
ccacute
c
cacute
y α = αacute
ααacute
Entonces ∆ ABC semejante a ∆ AacuteBacuteCacute
EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
39
= 412
Efectivamente asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales
3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el dibujo ambos son rectos
Algunas aplicaciones de estos conceptos
Ejercicio
Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza
a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una
de las razones65 10 = 65
52 8
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo
podemos ver la proporcionalidad entre las
medidas de los lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
Ejercicio
Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
3
4
5x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3 =
Y4
Z5 =
31 =3
Escala de ampliacioacuten
X3
= 3
Y4 =3
Z5
=3
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
50
30
40
12
16
20
30 12
= 4016
5020
=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una
de las razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
45m
x3m
2m sombra
poste
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el aacutengulo de elevacioacuten que forman los rayos
solares con el suelo
=3x
245
X = 3 bull 45 2Formamos la proporcioacuten
Para terminar una pequentildea demostracioacuten
Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC
CA
B
D
E
Afirmaciones RazonesDemostracioacuten
Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC angcongang
CDEBAC angcongang Por ser Aacutengulos alternos internos entre
Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son semejantes
Ejemplo
iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes
25
65 25
65
iexclSIPor que al tener dos de
sus aacutengulos congruentes cumplen
con el criterio AA
II Segundo criterio LLL
Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
aaacute
El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de semejanza
Es decir
aaacute =
bbacute =
ccacute =K
b bacute
c
cacute
Entonces ∆ ABC semejante con ∆AacuteBacuteCacute
EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales
15 3 = =
35 7
510
Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son
iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL
III Tercer criterio LAL
Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute =
ccacute
c
cacute
y α = αacute
ααacute
Entonces ∆ ABC semejante a ∆ AacuteBacuteCacute
EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
39
= 412
Efectivamente asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales
3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el dibujo ambos son rectos
Algunas aplicaciones de estos conceptos
Ejercicio
Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza
a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una
de las razones65 10 = 65
52 8
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo
podemos ver la proporcionalidad entre las
medidas de los lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
Ejercicio
Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
3
4
5x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3 =
Y4
Z5 =
31 =3
Escala de ampliacioacuten
X3
= 3
Y4 =3
Z5
=3
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
50
30
40
12
16
20
30 12
= 4016
5020
=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una
de las razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
45m
x3m
2m sombra
poste
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el aacutengulo de elevacioacuten que forman los rayos
solares con el suelo
=3x
245
X = 3 bull 45 2Formamos la proporcioacuten
Para terminar una pequentildea demostracioacuten
Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC
CA
B
D
E
Afirmaciones RazonesDemostracioacuten
Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC angcongang
CDEBAC angcongang Por ser Aacutengulos alternos internos entre
Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son semejantes
II Segundo criterio LLL
Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
aaacute
El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de semejanza
Es decir
aaacute =
bbacute =
ccacute =K
b bacute
c
cacute
Entonces ∆ ABC semejante con ∆AacuteBacuteCacute
EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales
15 3 = =
35 7
510
Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son
iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL
III Tercer criterio LAL
Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute =
ccacute
c
cacute
y α = αacute
ααacute
Entonces ∆ ABC semejante a ∆ AacuteBacuteCacute
EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
39
= 412
Efectivamente asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales
3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el dibujo ambos son rectos
Algunas aplicaciones de estos conceptos
Ejercicio
Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza
a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una
de las razones65 10 = 65
52 8
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo
podemos ver la proporcionalidad entre las
medidas de los lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
Ejercicio
Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
3
4
5x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3 =
Y4
Z5 =
31 =3
Escala de ampliacioacuten
X3
= 3
Y4 =3
Z5
=3
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
50
30
40
12
16
20
30 12
= 4016
5020
=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una
de las razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
45m
x3m
2m sombra
poste
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el aacutengulo de elevacioacuten que forman los rayos
solares con el suelo
=3x
245
X = 3 bull 45 2Formamos la proporcioacuten
Para terminar una pequentildea demostracioacuten
Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC
CA
B
D
E
Afirmaciones RazonesDemostracioacuten
Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC angcongang
CDEBAC angcongang Por ser Aacutengulos alternos internos entre
Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son semejantes
EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales
15 3 = =
35 7
510
Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son
iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL
III Tercer criterio LAL
Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute =
ccacute
c
cacute
y α = αacute
ααacute
Entonces ∆ ABC semejante a ∆ AacuteBacuteCacute
EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
39
= 412
Efectivamente asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales
3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el dibujo ambos son rectos
Algunas aplicaciones de estos conceptos
Ejercicio
Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza
a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una
de las razones65 10 = 65
52 8
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo
podemos ver la proporcionalidad entre las
medidas de los lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
Ejercicio
Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
3
4
5x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3 =
Y4
Z5 =
31 =3
Escala de ampliacioacuten
X3
= 3
Y4 =3
Z5
=3
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
50
30
40
12
16
20
30 12
= 4016
5020
=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una
de las razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
45m
x3m
2m sombra
poste
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el aacutengulo de elevacioacuten que forman los rayos
solares con el suelo
=3x
245
X = 3 bull 45 2Formamos la proporcioacuten
Para terminar una pequentildea demostracioacuten
Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC
CA
B
D
E
Afirmaciones RazonesDemostracioacuten
Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC angcongang
CDEBAC angcongang Por ser Aacutengulos alternos internos entre
Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son semejantes
III Tercer criterio LAL
Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute =
ccacute
c
cacute
y α = αacute
ααacute
Entonces ∆ ABC semejante a ∆ AacuteBacuteCacute
EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
39
= 412
Efectivamente asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales
3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el dibujo ambos son rectos
Algunas aplicaciones de estos conceptos
Ejercicio
Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza
a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una
de las razones65 10 = 65
52 8
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo
podemos ver la proporcionalidad entre las
medidas de los lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
Ejercicio
Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
3
4
5x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3 =
Y4
Z5 =
31 =3
Escala de ampliacioacuten
X3
= 3
Y4 =3
Z5
=3
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
50
30
40
12
16
20
30 12
= 4016
5020
=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una
de las razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
45m
x3m
2m sombra
poste
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el aacutengulo de elevacioacuten que forman los rayos
solares con el suelo
=3x
245
X = 3 bull 45 2Formamos la proporcioacuten
Para terminar una pequentildea demostracioacuten
Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC
CA
B
D
E
Afirmaciones RazonesDemostracioacuten
Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC angcongang
CDEBAC angcongang Por ser Aacutengulos alternos internos entre
Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son semejantes
EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
39
= 412
Efectivamente asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales
3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el dibujo ambos son rectos
Algunas aplicaciones de estos conceptos
Ejercicio
Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza
a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una
de las razones65 10 = 65
52 8
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo
podemos ver la proporcionalidad entre las
medidas de los lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
Ejercicio
Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
3
4
5x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3 =
Y4
Z5 =
31 =3
Escala de ampliacioacuten
X3
= 3
Y4 =3
Z5
=3
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
50
30
40
12
16
20
30 12
= 4016
5020
=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una
de las razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
45m
x3m
2m sombra
poste
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el aacutengulo de elevacioacuten que forman los rayos
solares con el suelo
=3x
245
X = 3 bull 45 2Formamos la proporcioacuten
Para terminar una pequentildea demostracioacuten
Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC
CA
B
D
E
Afirmaciones RazonesDemostracioacuten
Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC angcongang
CDEBAC angcongang Por ser Aacutengulos alternos internos entre
Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son semejantes
Algunas aplicaciones de estos conceptos
Ejercicio
Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza
a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una
de las razones65 10 = 65
52 8
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo
podemos ver la proporcionalidad entre las
medidas de los lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
Ejercicio
Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
3
4
5x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3 =
Y4
Z5 =
31 =3
Escala de ampliacioacuten
X3
= 3
Y4 =3
Z5
=3
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
50
30
40
12
16
20
30 12
= 4016
5020
=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una
de las razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
45m
x3m
2m sombra
poste
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el aacutengulo de elevacioacuten que forman los rayos
solares con el suelo
=3x
245
X = 3 bull 45 2Formamos la proporcioacuten
Para terminar una pequentildea demostracioacuten
Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC
CA
B
D
E
Afirmaciones RazonesDemostracioacuten
Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC angcongang
CDEBAC angcongang Por ser Aacutengulos alternos internos entre
Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son semejantes
Ejercicio
Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza
a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una
de las razones65 10 = 65
52 8
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo
podemos ver la proporcionalidad entre las
medidas de los lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
Ejercicio
Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
3
4
5x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3 =
Y4
Z5 =
31 =3
Escala de ampliacioacuten
X3
= 3
Y4 =3
Z5
=3
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
50
30
40
12
16
20
30 12
= 4016
5020
=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una
de las razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
45m
x3m
2m sombra
poste
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el aacutengulo de elevacioacuten que forman los rayos
solares con el suelo
=3x
245
X = 3 bull 45 2Formamos la proporcioacuten
Para terminar una pequentildea demostracioacuten
Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC
CA
B
D
E
Afirmaciones RazonesDemostracioacuten
Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC angcongang
CDEBAC angcongang Por ser Aacutengulos alternos internos entre
Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son semejantes
Ejercicio
Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
3
4
5x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3 =
Y4
Z5 =
31 =3
Escala de ampliacioacuten
X3
= 3
Y4 =3
Z5
=3
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
50
30
40
12
16
20
30 12
= 4016
5020
=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una
de las razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
45m
x3m
2m sombra
poste
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el aacutengulo de elevacioacuten que forman los rayos
solares con el suelo
=3x
245
X = 3 bull 45 2Formamos la proporcioacuten
Para terminar una pequentildea demostracioacuten
Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC
CA
B
D
E
Afirmaciones RazonesDemostracioacuten
Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC angcongang
CDEBAC angcongang Por ser Aacutengulos alternos internos entre
Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son semejantes
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
50
30
40
12
16
20
30 12
= 4016
5020
=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una
de las razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
45m
x3m
2m sombra
poste
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el aacutengulo de elevacioacuten que forman los rayos
solares con el suelo
=3x
245
X = 3 bull 45 2Formamos la proporcioacuten
Para terminar una pequentildea demostracioacuten
Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC
CA
B
D
E
Afirmaciones RazonesDemostracioacuten
Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC angcongang
CDEBAC angcongang Por ser Aacutengulos alternos internos entre
Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son semejantes
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
45m
x3m
2m sombra
poste
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el aacutengulo de elevacioacuten que forman los rayos
solares con el suelo
=3x
245
X = 3 bull 45 2Formamos la proporcioacuten
Para terminar una pequentildea demostracioacuten
Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC
CA
B
D
E
Afirmaciones RazonesDemostracioacuten
Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC angcongang
CDEBAC angcongang Por ser Aacutengulos alternos internos entre
Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son semejantes
Para terminar una pequentildea demostracioacuten
Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC
CA
B
D
E
Afirmaciones RazonesDemostracioacuten
Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC angcongang
CDEBAC angcongang Por ser Aacutengulos alternos internos entre
Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son semejantes
Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC
CA
B
D
E
Afirmaciones RazonesDemostracioacuten
Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC angcongang
CDEBAC angcongang Por ser Aacutengulos alternos internos entre
Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son semejantes