Conduccion en Estado Estable Bidimensional Sin Generacion

Conduccin en estado estable bidimensional sin

generacingeneracinDavid Fuentes Daz

Escuela de Ingeniera MecnicaUniversidad Industrial de Santander

Conduccin bidimensional

Contenido

Introduccin Solucin analtica Solucin grfica Solucin numrica Solucin numrica Trabajo

Marzo 2011 - Esc Ing Mecnica UIS Transferencia de calor bidimensional 2


Introduccin

Considerar un slido prismtico largo en los que los efectos de conduccinen dos dimensiones son importantes. Con dos superficies aisladas y lasotras a diferentes temperaturas, T1>T2.

Las direcciones del vector flujo de calor se representan mediante lneas deflujo de calor, y el vector mismo resulta de los componentes del flujo decalor en las direcciones x y y. Estos componentes estn determinados por laecuacin:ecuacin:

Si la ecuacin se resuelve para T(x,y), es entonces sencillo satisfacer elobjetivo principal, que es determinar las componentes del flujo de calor qxy qy con la aplicacin de las siguientes ecuaciones:


(1) 0=yT

+xT

2

2

2

2

yT

-k=q xT

-k=q "y"

x


Introduccin

Mtodos para la resolucin de la ecuacin general de T.C por conduccin

ANALTICO. Implica obtener una solucin exacta de la ecuacin (1).

GRFICO. Proporciona solo resultados aproximados en puntos discretos. GRFICO. Proporciona solo resultados aproximados en puntos discretos.

NUMRICO (DE DIFERENCIAS FINITAS, DE ELEMENTO FINITOO DE ELEMENTO DE FRONTERA). Se utiliza para obtener resultadosextremadamente precisos en cuanto a geometras complejas.



Solucin analtica

Este mtodo permitir encontrar la distribucin de temperatura resolviendo laecuacin de conduccin de calor en los dos ejes coordenados.

Esta es una ecuacin diferencial de tipo lineal homognea parcial.

Si la ecuacin es valida para T, tambin lo es para una CT

Aplicacin:


Donde a , b , c , d son condiciones de frontera.

Al solucionar esta ecuacin se encuentrancuatro constantes de integracin y se necesitan4 condiciones de frontera, las cuales sepueden clasificar en homogneas y nohomogneas.

El mtodo analtico que se aplica a la solucinse llama SEPARACIN DE VARIABLES.


Solucin analtica

El mtodo analtico que se aplica a la solucin se llama SEPARACIN DEVARIABLES.

Solucin queda acotada entre cero (0) y uno (1)-Solucin queda acotada entre cero (0) y uno (1)-

EJEMPLO:Se tiene un slido con las siguientes condiciones de frontera:1. (a) T(0,y) = T12. (c) T( w,y) = T13. (d) T(x,0) = T14. (b) T(x,h) = T2



Solucin analticaLa Solucin es de la forma :

Condiciones de frontera:

Para la ecuacin:

(o,y)=0(x,0)=0(1,y)=0(x,1)=1

Y(y)X(x)y)(x, =y

W

T1, =0 T1, =0

T2, =1

T(x,y)


Para la ecuacin:

Derivando con respecto de x:

Reemplazado: dydY(y)X(x)

dyd

Y(y)dx

dX(x)dxd

=

=

( ) 22

2

2

22

2

dyYd

Y(y)1

=

dxXd

X(x)1

-0X(x)dy

YdY(y)dx

Xd 2=+

xLT1, =0


Solucin analtica

0=Y-dy

Yd 0=X+

dxXd 222 2

22

SOLUCIN GENERAL:BSen ACos X += xx

( ) 22

2

2

dyYd

Y(y)1

=

dxXd

X(x)1

-

2=


[ ][ ]y-yy-y

DeCeBSen ACos X(x)Y(y)De+Ce=Y

BSen ACos X

++==

+=

xx

xx

Aplicando las condiciones de frontera y despejando:( )

( )[ ]

+=

=

+

=

WL

npienhnpi

11-2C

Lnpi

SenhL

npi SenC

1n

n

1nnyx,

S

yx

donde


Solucin analtica

y

WT2, =1

=0.75


xL

T1, =0 T1, =0

T1, =0

=0.75

=0.50

=0.25

=0.10


Solucin grfica

El principio bsico de la solucin por este mtodo es que las lneas isotermasson perpendiculares a las lneas de flujo de calor en un punto especfico. Deesta manera, se toma el elemento de anlisis y se trata de dibujar sobre l unsistema de cuadrados curvilneos compuesta por lneas de flujo de calor ylneas isotermas.

Ventajas del mtodo Ventajas del mtodo Conveniente para problemas que tienen fronteras isotrmicas o

adiabticas. Facilidad de implementacin. Permite tener una buena estimacin del campo de temperatura y de la

distribucin del flujo de calor.

Se ha estado reemplazando por los mtodos numricos.



Solucin grfica

Metodologa1. Identificar lneas de simetra en la T.C.2. Las lneas de simetra se comportan como superficies adiabticas (lneas

q=0). Las lneas isotrmicas son perpendiculares a las lneas de simetra.3. Intentar dibujar las lneas de temperatura constante dentro del sistema,

buscando que sean perpendiculares a las lneas abiabticas. El objetivo escrear una red de cuadrados curvilneos.crear una red de cuadrados curvilneos.


2bd+ac

=Y

2cd+ab

=X


Solucin grfica

Determinacin de la T.C.La manera en que se aprovecha una grfica de flujo para obtener latransferencia en un sistema bidimensional es evidente segn se muestra en laecuacin:

2-1kNLMq T=

La razn aritmtica entre el nmero de bandas de flujo de calor (M) y elnmero de incrementos de temperatura (N) se obtiene de la grfica.


N


Solucin grfica

Recomendaciones prcticas para la solucin grfica

1. El trazado del sistema de cuadrados curvilneos es til si las fronteras sonisotermas.

2. Si el cuerpo tiene simetra, las lneas de flujo de calor son los ejes de2. Si el cuerpo tiene simetra, las lneas de flujo de calor son los ejes desimetra.

3. La distancia entre lneas isotermas aumenta con el aumento del rea detransferencia.

4. Las lneas isotermas son perpendiculares a las lneas de flujo de calor.



Factores de forma

Factores de forma para la conduccinEn muchos problemas de conduccin multidimensional intervienen flujos decalor entre dos superficies, cada una de las cuales tiene una temperaturauniforme; las superficies restantes, si las hay, son adiabticas.

EL factor de forma para la conduccin, S, se define de manera que el flujo decalor, entre las superficies sea :calor, entre las superficies sea :

Donde k es la conductividad trmica, T es la diferencia de temperatura entrelas superficies y S, para una grfica de flujo es M L/N.


TkSQ =


Factores de forma

CONFIGURACION FACTOR DE FORMA

Pared Plana

LA

Cilindros Concntricos

212 )/ln(

2rL

rr

L pi

Ntese que no existe una solucin en rgimen r

CONFIGURACION FACTOR DE FORMA

Cilindro Circular y Prisma

Cuadrado Concntricos

rara

L 2)/54.0ln(2

pi

Esfera Enterrada

La temperatura del medio en el infinito tambin es T2

Lrr

2/14

1

1

pi

Para h se obtiene de nuevo el resultado del apartado 3(b)

Cilindro Enterrado

La temperatura del medio en el 1 )/(

2rhCosh

L

pi


estacionario para 2r es decir, para un cilindro en un medio infinito.

Esferas Concntricas

21

21

4./1/1

4.

rpararbrr

a

pi

pi

Cilindros Excntricos

+

21

221

221

2

2

rr

errCosh

Lpi

Prismas Cuadrados Concntricos

aLbapara

baL

bapara

baL

4.1)/ln(785.02

4.1052.0)/ln(93.0

2

pi

pi


11

11

3)/2ln(2

)/(

rhpararh

LrhCosh

pi

Para 0,/ 1 Srh puesto que es imposible el flujo estacionario

Viga Rectangular Enterrada


bahLbh

a

h

,,

1ln756.2078.059.0

+

Arista de Dos Paredes Adyacentes

5/54.0 LWparaW

(W es la arista interna de un cubo)

Esquina de Tres Paredes Adyacentes

5/15.0 LWparaL


Factores de forma

Recomendaciones para el uso de la tabla de factores de forma

1. No existe generacin de calor interna:2. La conductividad trmica k es constante.3. Ambas superficies deben ser isotrmicas.4. Debe tenerse cuidado en los casos en que el medio es infinito. Por ejemplo

0=Qo

4. Debe tenerse cuidado en los casos en que el medio es infinito. Por ejemploen el punto 7 tanto la superficie plana como el medio infinito deben estar ala T2.

5. El apartado 8 a menudo se usa incorrectamente para calcular la prdida o laganancia de calor de tuberas subterrneas. Es esencial que la tierra querodea a la tubera se encuentre a la misma temperatura que las superficies,lo que rara vez ocurre en la realidad. Adems, el problema de las tuberassubterrneas con frecuencia hay conduccin transitoria.



Problema 1

Considerar un cubo hueco de material aislante de 50 cm de lado interior y 10 cm de espesor. Determinar la potencia necesaria para mantener en condiciones estacionarias una temperatura en su superficie interior de 600 K cuando la temperatura de la superficie exterior del equipo es de 350 K. La conductividad trmica del aislante utilizado, fibra de vidrio, es de 0.11 W/m K a 475 K.

0.5 m


!

0.3 m


Problema 1



Problema 2

Un tubo de agua caliente de 30 m de largo y 10 cm de dimetro de un sistemamunicipal de calefaccin esta enterrado en el suelo 50 cm por debajo de lasuperficie del piso, como se muestra en la figura. La temperatura de lasuperficie exterior del tubo es 80 oC. Si la temperatura superficial de la tierraes 10 oC y la conductividad trmica del suelo en ese lugar es 0.9 W/m oC,determinar la velocidad de la prdida de calor del tubo.



Solucin numrica

Los mtodos numricos se basan en el reemplazo de la ecuacin diferencialpor un conjunto de n ecuaciones algebraicas para las temperaturasdesconocidas en n puntos seleccionados en el medio. La solucin simultaneade estas ecuaciones conduce a valores de la temperatura en esos puntosdiscretos.

Existen varias formas de obtener la formulacin numrica de un problema deExisten varias formas de obtener la formulacin numrica de un problema deconduccin de calor, como los mtodos de las diferencias finitas, de elementosfinitos, de elementos de frontera y de balance de energa (volmenes finitos).

Para aplicar cualquiera de los mtodos se debe:

1. Seleccionar una regin de anlisis. Definir una serie de puntos en unaregin de influencia de la variable dependiente.

2. Convertir la ecuacin diferencial en una ecuacin algebraica.



Este mtodo puede aplicarse a conduccin bidimensional con generacin.

Para obtener la ecuacin de relacin de temperaturas se hace un balance deenerga sobre un elemento finito VC nodo.

VOLMENES INTERNOS

Procedimiento por volmenes finitos

i,j+1

Balance de EnergaQ1 + Q2 + Q3 + Q4 =0

Despejando, si x = y


Q4

Q3

Q2

Q1

i,j i+1,ji-1,j

i,j-1

0,1,,,1,1,,,1 =

+

+

+

++y

TTxk

x

TTyk

yTT

xkx

TTyk jijijijijijijiji

04,1,,11,,1 =+++ ++ jijijijiji TTTTT


Procedimiento por volmenes finitos

Condiciones de frontera Frontera convectiva.

Temperatura de la frontera conocida.

Flujo de calor conocido. Flujo de calor conocido.



Frontera convectiva

i,j+1

02

1''',1,,,1,1,,

=+

+

+

+

+

++ yxqy

TTxk

x

TTyk

yTT

xkyk

xyh

TTg

jijijijijijiji

Balance de energa

( ) 01232 = ++++++ TxhkTTTxhkT

Q1 + Q2 + Q3 + Q4 +Qg=0

Despejando, si x = y, y qg=0


Q4

Q3

Q2

Q1

i,j i+1,j

i,j-1

h, T

( ) 012

232

2,1,,11, =

+

+

++

++ ++ jijijiji T

xhxhkTTT

xhxhkT


Temperatura de la frontera conocida

02

''',1,,,1,1,,=+

+

+

+

++ yxqy

TTxk

x

TTyk

yTT

xkx

TTyk g

jijijijijijijiw

Balance de energa

( ) 052,1,,11, =+++ ++ jijijijiw TTTTT i,j+1

Q1 + Q2 + Q3 + Q4 +Qg=0

Despejando, si x = y, y qg=0


( ) 052,1,,11, =+++ ++ jijijijiw TTTTT

Q4

Q3

Q2

Q1

i,j i+1,j

i,j-1

Tw


Flujo de calor conocido

i,j+1

0''',1,,,1,1,0 =+

+

+

+ ++ yxqy

TTxk

x

TTyk

yTT

xkyq gjijijijijiji

Balance de energa Q1 + Q2 + Q3 + Q4 +Qg=0

Despejando, si x = y, y qg=0 ( ) 03

,1,,11,0 =+++ ++ jijijiji TkTTTkyq


Q4

Q3

Q2

Q1

i,j i+1,j

i,j-1

q0

( ) 03,1,,11,0 =+++ ++ jijijiji TkTTTkyq


Problema 3

En la Figura se muestra una placabidimensional. La conductividad trmica delmaterial de la placa es k=100 W/mK. Lafrontera oeste recibe un flujo de calorconstante de 500 kW/m2 y las fronteras sury este estn aisladas. Si se mantiene lafrontera norte a una temperatura de 100Ccalcule la distribucin de temperatura en la

3

4

7

8

11

12

0.3 m

Norte Temperatura = 100 C

F

l

u

j

o

d

e

c

a

l

o

r

5

0

0

k

W

/

m

2

A

i

s

l

a

d

a

calcule la distribucin de temperatura en laplaca. Usar una malla uniforme con x=y=0.1 m.


1

2

5

6

9

10

F

l

u

j

o

d

e

c

a

l

o

r

5

0

0

O

e

s

t

e

Sur Aislada

E

s

t

e

A

i

s

l

a

d

a

0

.

4

m

x y


Problema 3



Trabajo mtodos numricos

Tabla de contenido Objetivos del trabajo Metodologa de solucin (analtica y

numrica)numrica) Resultados y anlisis de resultados Conclusiones



Trabajo mtodos numricosCalcular la distribucin de la temperatura en la seccin transversal de unelemento combustible radiactivo que tiene la forma de un cilindro largo y hueco(como se muestra en la figura) cuyos dimetros interior y exterior son,respectivamente, d1=16 mm y d2=26mm, fabricado de uranio con conductividadtrmica ku=30 W/m K. Ambas superficies del elemento estn revestidas concamisas de acero inoxidable con conductividad trmica ka=20 W/m K deespesor d=0.5 mm. Se sabe que el calor generado por unidad de volumen(uniforme) en la seccin de uranio es qg=5x107 W/m3.(uniforme) en la seccin de uranio es qg=5x107 W/m3.

El elemento combustible est refrigerado por dixido de carbono (CO22) quecircula por los canales interior y exterior. La temperatura media del CO2 en elinterior es de T1=200 oC, mientras que la temperatura media del CO2 por elexterior es de T2=250 oC. Los coeficientes de transferencia de calor son,respectivamente, h1=250 W/m2 K y h2=60 W/m2 K.

Determinar, el perfil de temperatura, la temperatura mxima que alcanza eluranio, las temperaturas en las superficies de las camisas, y en las superficiesdel uranio.



Figura trabajo


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