Conceit Os Basic Os

7/29/2019 Conceit Os Basic Os

1/59

Conceitos basicos de analise

Rodrigo Carlos Silva de Lima

Universidade Federal Fluminense - UFF-RJ

[email protected]


2/59

1


3/59

Sumario

1 Conceitos basicos de analise 4

1.1 Axiomas algebricos de um corpo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.1.1 Subcorpo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.1.2 Lei do corte na adicao e multiplicacao . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2 Inteiros e conjuntos indutivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.3 Racionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.4 Numeros irracionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.5 Potencia de base real e expoente inteiro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.6 Homomorfismo e Isomorfismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.7 Axiomas de ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.7.1 Intervalos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

1.8 Supremo e nfimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

1.8.1 Propriedade Arquimediana dos numeros reais. . . . . . . . . . . . . 33

1.8.2 Q e denso em R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

1.8.3 Intervalos encaixados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

1.8.4 Propriedades basicas de supremo e nfimo . . . . . . . . . . . . . . 38

1.8.5 sup(A + B) = sup(A) + sup(B). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

1.8.6 inf(A + B) = infA + infB. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411.8.7 c > 0, sup(c.A) = c. sup A. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

1.8.8 c > 0, infcA = c infA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

1.8.9 c < 0, inf(cA) = c sup A. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

1.8.10 c < 0, sup(cA) = c infA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

1.8.11 inf(f + g) inf(f) + inf(g) e sup(f + g) sup f + sup g. . . . . . 431.8.12 Classificacao de intervalos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

2


4/59

SUMARIO 3

1.9 A reta estendida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

1.10 Razes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54


5/59

Captulo 1

Conceitos basicos de analise

1.1 Axiomas algebricos de um corpo

Definicao 1 (Corpo). Um corpo e um conjunto K munido de duas operacoes, uma adicao

+ e uma multiplicacao que satisfazem os axiomas que descreveremos a seguir (Chama-dos axiomas de corpo1). Sejam x,y,zelementos quaisquer de K, que serao chamados de

numeros.

Axiomas da adicao

Axioma 1. Para cada par de numeros x e y corresponde um terceiro numero z chamado

de soma de x e y e denotado por x + y.

Axioma 2 (Existencia de elemento neutro para adicao). Existe 0 K tal que x + 0 = x.

Axioma 3 (Comutatividade da adicao). x + y = y + x

Axioma 4 (Associatividade da adicao). (x + y) + z = x + (y + z)

Axioma 5 (Existencia de inverso aditivo). Existe x K tal que

x + (x) = 0.

O elemento x e chamado simetrico de x.1Em ingles e usada a palavra field para o que chamamos de corpo.

4


6/59

CAP ITULO 1. CONCEITOS B ASICOS DE ANALISE 5

Definicao 2 (Subtracao). Definimos a operacao de subtracao como x y := x + (y).

Axiomas da multiplicacao

Axioma 6. Para cada par de numeros x e y corresponde um terceiro numero z chamado

de produto de x e y e denotado por x.y.

Axioma 7 (Comutatividade da multiplicacao). x.y = y.x.

Axioma 8 (Existencia do elemento neutro multiplicativo). Existe 1 K tal que

1.x = x.

Axioma 9 (Associatividade da multiplicacao).

(x.y).z = x.(y.z).

Axioma 10 (Existencia do inverso multiplicativo). Para todo x = 0 K existe x1 Ktal que

x.x1 = 1.

Enfatizamos que 01 nao esta definido. Sempre que consideramos x1, estaremos

supondo x = 0. O elemento x1 e chamado inverso de x.

Observacao 1. Como uma operacao e definida como funcao, entao podemos adicionar e

multiplicar de ambos lados de uma igualdade, sem alterar a igualdade. por exemplo, dado

c fixo no corpo, temos a funcao soma que faz Sc(x) = x + c, se x = y entao Sc(x) = Sc(y),

logo x + c = y + c, o mesmo vale para o produto, temos Pc(x) = x.c funcao, da se x = ytem-se Pc(x) = Pc(y), isto e, x.c = y.c.

x = y x + c = y + c

x = y x.c = y.c c K.


7/59


Definicao 3 (Fracao). Sendo x = 0 definimos a fracao

y

x

= y.x1

chamamos y de numerador e x de denominador da fracaoy

x.

Axioma 11 (Distributividade da multiplicacao).

x(y + z) = xy + xz.

Esses sao os axiomas da adicao e multiplicacao num corpo.

Exemplo 1. Considerando Q, Z e N munidos de multiplicacao e adicao usuais.

O conjunto dos numeros racionais Q e um corpo.

O conjunto dos inteiros Z nao e um corpo, pois nao possui inverso multiplicativo

para todo elementos, por exemplo nao temos o inverso de 2.

O conjunto dos numeros naturais nao e um corpo, pois nao possui simetrico para

cada elemento contido nele.

Exemplo 2. O conjunto dos polinomios de coeficiente racionais Q[t] nao e um corpo, pois

por exemplo o elemento x nao possui inverso multiplicativo, se houvesse haverian

k=0

akxk

tal que xn

k=0

akxk = 1 =

nk=0

akxk+1 o que nao e possvel pois o coeficiente do termo

independente x0 e zero emn

k=0

akxk+1 e deveria ser 1.

Propriedade 1. Sejam Xum conjunto qualquer e Kum corpo, entao o conjunto F(X, K)

munido de adicao e multiplicacao de funcoes e um anel comutativo com unidade, nao exis-

tindo inverso para todo elemento. Lembrando que em um anel comutativo com unidade

temos as propriedades, associativa, comutativa, elemento neutro e existencia de inverso

aditivo, para adicao. valendo tambem a comutatividade, associatividade, existencia de

unidade 1 para o produto e distributividade que relaciona as duas operacoes.


8/59


Demonstracao.

Vale a associatividade da adicao

((f + g) + h)(x) = (f(x) + g(x)) + h(x) = f(x) + (g(x) + h(x)) = (f + (g + h))(x)

Existe elemento neutro da adicao 0 K e a funcao constante 0(x) = 0 x K, da

(g + 0)(x) = g(x) + 0(x) = g(x).

Comutatividade da adicao

(f + g)(x) = f(x) + g(x) = g(x) + f(x) = (g + f)(x)

Existe a funcao simetrica, dado g(x), temos f com f(x) = g(x) e da

(g + f)(x) = g(x) g(x) = 0.

Vale a associatividade da multiplicacao

(f(x).g(x)).h(x) = f(x).(g(x).h(x))

Existe elemento neutro da multiplicacao 1 K e a funcao constante I(x) = 1 x K, da

(g.I)(x) = g(x).1 = g(x).

Comutatividade da multiplicacao

(f.g)(x) = f(x)g(x) = g(x)f(x) = (g.f)(x)

Por ultimo vale a distributividade (f(g + h))(x) = f(x)(g(x) + h(x)) = f(x)g(x) +

f(x)h(x) = (f.g + f.h)(x).

Nao temos inverso multiplicativo para toda funcao, pois dada uma funcao, tal que

f(1) = 0 e f(x) = 1 para todo x = 1 em K, nao existe funcao g tal que g(1)f(1) = 1,

pois f(1) = 0, assim o produto de f por nenhuma outra funcao gera a identidade.


9/59


1.1.1 Subcorpo

Definicao 4 (Subcorpo). Um conjunto A K munido das operacoes +, do corpo kque satisfaz as propriedades

O elemento neutro da adicao 0 pertence ao conjunto.

O elemento neutro da multiplicacao 1 pertence ao conjunto.

A adicao e fechada.

O produto e fechado.

Dado x A implica x A.

Dado x = 0 A tem-se x1 A.

Exemplo 3. O conjunto da forma {x + yp} onde x e y sao racionais e subcorpo dosnumeros reais.

O elemento neutro da adicao 0 pertence ao conjunto. Pois 0 = 0 + 0

p

O elemento neutro da multiplicacao 1 pertence ao conjunto. Pois 1 = 1 + 0

p

A adicao e fechada. Pois x + y

p + z+ w

p = x + z+ (y + w)

p.

O produto e fechado. Pois (x + y

p)(z+ w

p) = xz+ xw

p + yz

p + y.wp.

Dado x A implica x A. Pois dado x + yp temos o simetrico x yp.

Dado x = 0 A tem-se x1 A. Pois dado x + yp temos inversox ypx2 y2p

como inverso multiplicativo.


10/59


Exemplo 4. O conjunto dos elementos da forma a + b onde =3

2 nao e um corpo

pois o produto nao e fechado, vamos mostrar que 2 nao pertence ao conjunto.

Suponha que 2

= a + b entao 3

= a + b2

= 2 substituindo a primeira na segunda

temos que

a + b(a + b) = a + ab + b2 = (b2 + a) + ab = 2 (b2 + a) = 2 ab

se b2 + a = 0 entao =2 abb2 + a

o que e absurdo pois e irracional, entao devemos ter

a = b2, multiplicamos a expressao a + b2 = 2 por , de onde segue a2 + 2b = 2,substituindo 2 = a + b nessa ultima temos

a(a + b) + 2b = a2 + ab + 2b = 2 (2 ab) = 2b + a2

se 2 = ab chegamos num absurdo de =2b + a2

2 ab , temos que ter entao 2 = ab e a = b2

de onde segue 2 = b3, porem nao existe racional que satisfaz essa identidade, da naopodemos escrever 2 da forma a+b com a e b racionais, portanto o produto de elementos

nao e fechado e assim nao temos um corpo.

1.1.2 Lei do corte na adicao e multiplicacao

Propriedade 2 (Lei do cancelamento da adicao). Se x + y = x + z entao y = z.

Demonstracao.

y = 0 + y = (x + x) + y = x + (x + y) = x + (x + z) = (x + x) + z = zlogo y = z.

Tal propriedade garante que podemos somar um numero de ambos lados de uma

igualdade e ela continua sendo verdadeira, pois suponha que queremos adicionar a a

igualdade x = y que e equivalente a x + a a = y + a a, por lei do corte segue quex + a = y + a. Entao podemos somar um numero a ambos lados de uma igualdade.

Propriedade 3 (Lei do cancelamento do produto). Se x = 0 e x.y = x.z entao y = z.

Demonstracao. Se x = 0 entao existe x1 tal que x.x1 = 1, logo

y = 1.y = (x.x1).y = x1.(x.y) = x1(x.z) = (x1x)z = z

logo y = z.


11/59


Propriedade 4 (Unicidade do elemento neutro da adicao).

Demonstracao. Supondo que existam o e 0 elementos neutros temos o + 0 = o e

o + 0 = 0 logo 0 = o , o elemento neutro e unico.

Propriedade 5 (Unicidade do elemento neutro da multiplicacao).

Demonstracao. Suponha que existam dois elementos neutros para o produto l e 1 ,

logo l.1 = l e l.1 = 1 assim l = 1.

Propriedade 6 (Unicidade do inverso aditivo).

Demonstracao. Suponha dois inversos z e y para um elemento x, entao temos

x + y = 0 e x + z = 0 logo x + y = z+ x, pela lei do corte segue y = z logo eles sao iguais.

Propriedade 7 (Unicidade do inverso multiplicativo).

Demonstracao. Suponha dois inversos y e z para x segue xy = 1 e xz = 1 logo

xy = xz pela lei do corte segue y = z.

Propriedade 8.

(bd)1

= b1

.d1

.

Demonstracao.

(bd)1.bd = 1

b1.d1.b.d = 1

logo (bd)1 = b1.d1. por unicidade de inverso .

Propriedade 9. (x1)1 = x.

Demonstracao. Pois x.x1 = 1, logo x e o inverso de x1, isto e x = (x1)1.

Corolario 1. (a

b

)1

=b

a

pois (a

b

)1

= (ab1)1 = a1b =b

a.


12/59


Propriedade 10.

a

b.

c

d=

ac

bd.

Demonstracao.

a

b.

c

d= a.b1.c.d1 = ac.b1.d1 = ac.(bd)1 =

ac

bd.

Propriedade 11.

a

d+

c

d=

a + c

d.

Demonstracao.

ad + cd = d1a + d1c = d1(a + c) = a + cd

por distributividade do produto em relacao a soma.

Propriedade 12.

a

b+

c

d=

ad + bc

bd.

Demonstracao.

a

b +c

d =a

b

d

d +c

d

b

b =ad

bd +cb

db =ad + bc

bd .

Propriedade 13.

a.0 = 0.

Demonstracao.

a.(0) = a(0 + 0) = a.0 + a.0

subtraindo a.0 de ambos lados segue

0 = a.0.

Propriedade 14 (Generalizacao para soma de fracoes). Vale que

nk=1

akbk

=

nk=1

(k1t=1

bt)ak(n

t=k+1

bt)

ns=1

bs


13/59


Demonstracao.

n

k=1(k1

t=1bt)ak(

n

t=k+1bt)

ns=1

bs=

nk=1

(k1

t=1bt)ak(

n

t=k+1bt)

(k1t=1

bt)bk(n

t=k+1

bt)=

nk=1

akbk.

Exemplo 5 (Corpo degenerado). Seja um corpo K onde vale 1 = 0 . Tomamos um

elemento qualquer a do corpo entao, a.1 = a = a.0 = 0, logo a = 0, o corpo se resume ao

elemento 0, K = {0}, nesse caso dizemos que o corpo e degenerado.

Propriedade 15. a(1) = a.

Demonstracao.

a(1) + a = a(1 + 1) = a(0) = 0logo a(1) e inverso de a , assim a = (1)a.

Propriedade 16.

(1)(1) = 1.

Demonstracao.

(1)(1) + (1) = (1)(1 + 1) = 0como temos 1 e inverso de (1)(1) e de 1 pela unicidade de inverso segue 1 = (1)(1).

Corolario 2.

(a)(b) = (1)(1)a.b = a.b.

1.2 Inteiros e conjuntos indutivos

Definicao 5 (Conjunto indutivo). Um conjunto A de numeros reais e dito um conjunto

indutivo se ele possui as seguintes propriedades

1 A.

Se x A entao x + 1 A.


14/59


Definicao 6 (Naturais). Podemos definir o conjunto dos numeros naturais como o con-

junto indutivo que pertence a todos conjuntos indutivos. Denotamos tal conjunto por

N

Definicao 7 (Inteiros). Podemos definir o conjunto dos inteiros como o conjunto dos

naturais, dos inversos aditivos dos numeros naturais e o zero. Denotamos o conjunto dos

numeros inteiros por Z

1.3 Racionais

Definicao 8 (Racionais). Definimos o conjunto dos numeros racionais como Q = {a.b1 |a Z, b = 0 Z}.

1.4 Numeros irracionais

Definicao 9 (Numero irracionais). Definimos o conjunto dos numeros irracionais pelo

conjunto que possui os numeros que nao sao racionais.

1.5 Potencia de base real e expoente inteiro

Definicao 10 (Potencia de expoente natural). Definimos an recursivamente como

an+1 = ana

a

0

= 1

com n natural e a real arbitrario . Definimos tambem an = (an)1 para n natural e

a = 0.

Corolario 3.

a1 = a0.a = a.

Corolario 4. 00 = 1.


15/59


Propriedade 17. Se a = 0 entao an= 0 para todo n natural.

Demonstracao. Por inducao sobre n, para n = 0 a0 = 1 que nao e zero. Supondo

an = 0 vamos provar que an+1 nao e zero.

an+1 = an.a

a e invertvel e an tambem, entao an+1 nao e zero.

Sabendo que se a = 0 entao an nao e zero podemos definir an com n natural.

Definicao 11 (Potencia de expoente inteiro). Definimos

an

= (an

)1

com n N e a = R.

Corolario 5.

apap = app = a0 = 1

pois se p natural

apap = ap(ap)1 = 1.

Propriedade 18. Para todo m inteiro vale

am.a = am+1.

Demonstracao. Para m natural vale pela definicao de potencia, agora para m =

n, n > 0 N um inteiro vamos provar an.a = an+1. Para n = 1 temos

a1a = a1+1 = a0 = 1.

Vamos provar agora para n > 1, n 1 > 0

an = (an)1 = (an1a)1 = an+1a1

multiplicando por a de ambos lados an.a = an+1 como queramos demonstrar.

Propriedade 19.

am.an = am+n.


16/59


Demonstracao. Primeiro seja m um inteiro qualquer e n natural, vamos provar a

identidade por inducao sobre n, para n = 0 vale

am.a0 = am = am+0

para n = 1 vale

ama1 = ama = am+1.

Supondo valido para n

am.an = am+n

vamos provar para n + 1

am.an+1 = am+n+1

temos

am.an+1 = amana = am+n.a = am+n+1 .

Agora para n com n natural , se m e natural temos que a propriedade ja foi demonstrada

aman = amn

se m e inteiro negativo temos

a

m

a

n

= a

mn

pois o inverso de aman e aman = am+n propriedade que ja esta provada por m e nserem naturais e amnanm = 1 por unicidade do inverso de = aman = am+n e aman

logo fica provado para n e m inteiros. Para potencia negativa n podemos fazer como sesegue

aman = (am)1(an)1 = (aman)1 = (am+n)1 = amn.

Propriedade 20.

(am)n = amn

para m e n inteiros.

Demonstracao. Primeiro por inducao para m inteiro e n natural

(am)0 = 1 = am.0

(am)1 = am = am.1.


17/59


Supondo valido para n

(am)n = amn

vamos provar para n + 1(am)n+1 = am(n+1)

temos pela definicao de potencia e pela hipotese da inducao que

(am)n+1 = (am)nam = amnam = amn+m = am(n+1)

onde usamos a propriedade do produto de potencia de mesma base. Para n inteiro negativo

(am)n = ((am)n)1 = (amn)(1) = amn.

Propriedade 21. Vale que

(a.b)n = anbn

para todo n natural e a, b R, ou a, b nao nulos e n Z.

Demonstracao. Primeiro para n natural . Por inducao sobre n, para n = 0 temos

(a.b)0 = 1 = a0.b0.

Supondo validade para n, vamos provar para n + 1

(a.b)n+1 = (a.b)n.a.b = an.bn.a.b = an+1bn+1 .

Para expoente inteiro negativo n, n N , a e b nao nulos usamos que

an.bn = (a.b)n

multiplicando por anbn temos que anbn(a.b)n = 1 por unicidade do inverso segue que

(a.b)n = anbn assim as propriedades ficam demonstradas.

Exemplo 6. Sexkyk

=xsys

para todos k, s In, num corpo K, prove que dados, ak

K, k In tais quen

k=1

akyk = 0 tem-se

nk=1

akxk

nk=1

akyk

=x1y1

.


18/59


Chamandox1y1

= p temosxkyk

= p logo xk = pyk e a soma

n

k=1 akxk = p

n

k=1 akyk

logon

k=1

akxk

nk=1

akyk

= p =x1y1

.

Propriedade 22.

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

Demonstracao.

(a + b)2 = (a + b)(a + b) = a(a + b) + b(a + b) = a2 + ab + ba + b2 = a2 + 2ab + b2

Usamos a definicao de potenciacao, propriedade distributiva e comutatividade do produto.

Propriedade 23.

(a b)(a + b) = a2 b2.

Demonstracao.

(a + b)(a b) = a(a b) + b(a b) = a2 ab + ba b2 = a2 b2.

Propriedade 24.

a + x = b x = b a

Demonstracao. Somando a a ambos lados segue

x = b a.

Propriedade 25.

a + b = a + c b = c

Demonstracao. somando a a ambos lados segue b = c.

Corolario 6.

a + x = 0

entao x = a por unicidade de inverso aditivo.


19/59


Corolario 7.

a + x = a

entao x = 0 por unicidade do elemento neutro da adicao.

Corolario 8.

ax = ay

com a = 0 entao x = y, multiplicamos por a1 em ambos lados.

Propriedade 26.

a.b = 0

entao a = 0 ou b = 0.

Demonstracao. Suponha a = 0 entao podemos multiplicar por a1 concluindo que

b = 0. Supondo b = 0 multiplicando por b1 segue a = 0 e se ambos forem 0 temos

obviamente 0.0 = 0.

Propriedade 27.

x2

= x

entao x = 1 ou x = 0.

Demonstracao.

x2 = x, x2 x = 0, x(x 1) = 0assim x = 0 ou x 1 = 0, x = 1.

Propriedade 28.

x2 = a2

entao x = a ou x = a.

Demonstracao.

x2 = a, x2 a = 0, (x a)(x + a) = 0

logo x a = 0, x = a ou x + a = 0, x = a.


20/59


Corolario 9.

x2 = 1

entao x = 1 ou x = 1.

Corolario 10.

a.x = 1

com a = 0 entao x = a1 por unicidade do inverso multiplicativo.

1.6 Homomorfismo e Isomorfismo

Definicao 12 (Homomorfismo de corpos). Sejam A, B corpos. Uma funcao f : A Bchama-se um homomorfismo quando se tem

f(x + y) = f(x) + f(y)

f(x.y) = f(x).f(y)

f(1A) = 1B

para quaisquer x, y A. Denotaremos nesse caso as unidades 1A e 1B pelos mesmossmbolos e escrevemos f(1) = 1.

Propriedade 29. Se f e homomorfismo entao f(0) = 0.

Demonstracao. Temos

f(0 + 0) = f(0) + f(0) = f(0)

somando

f(0) a ambos lados segue

f(0) = 0.

Propriedade 30. Vale f(a) = f(a).

Demonstracao. Pois

f(a a) = f(0) = 0 = f(a) + f(a)

da f(a) = f(a).


21/59


Corolario 11.

f(a b) = f(a) + f(b) = f(a) f(b).

Propriedade 31. Se a e invertvel entao f(a) e invertvel e vale f(a1) = f(a)1.

Demonstracao.

f(a.a1) = f(1) = 1 = f(a).f(a1)

entao pela unicidade de inverso em corpos segue que f(a)1 = f(a1).

Propriedade 32. f e injetora.

Demonstracao. Sejam x, y tais que f(x) = f(y), logo f(x)

f(y) = 0, f(x

y) = 0,

se x = y entao x y seria invertvel logo f(x y) nao seria nulo, entao segue que x = y.

Propriedade 33. f(A) e subcorpo de B.

Demonstracao.

A adicao e fechada, dados a = f(x) e b = f(y) entao a + b f(A) pois

f(x + y) = f(x) + f(y) = a + b.

O produto e fechado, pois f(x.y) = f(x).f(y) = a.b.

a f(A) pois f(x) = f(x) = a.

Se a = 0 entao a1 f(A) pois f(x1) = f(x)1, x = 0 pois se fosse x = 0 entaoa = 0, logo x e invertvel.

Propriedade 34. Se f e bijetora entao a funcao inversa f1 de f e um homomorfismo.

Demonstracao. Sejam a = f1(x) e b = f1(y).

f1(1) = 1 pois f(1) = 1.

f1(x + y) = f1(f(a) + f(b)) = f1(f(a + b)) = a + b = f1(x) + f1(y).

f1(x.y) = f1(f(a).f(b)) = f1(f(a.b)) = a.b = f1(x).f1(y).


22/59


Propriedade 35. Se f : A B com f(x + y) = f(x) + f(y) e f(x.y) = f(x)f(y) parax, y arbitrarios, entao f(x) = 0 x ou f(1) = 1.

Demonstracao. f(1) = f(1.1) = f(1)f(1), logo f(1) = f(1)2 por isso f(1) = 1 ou

f(1) = 0. Se f(1) = 0 entao f(x.1) = f(x)f(1) = 0, f(x) = 0 x.

Propriedade 36. Se f : Q Q e um homomorfismo entao f(x) = x x Q.

Demonstracao. Vale que f(x + y) = f(x) + f(y), tomando x = kh e y = h fixo,

tem-se

f((k + 1)h) f(kh) = f(h)

aplicamos a soma

n1k=0

de ambos lados, a soma e telescopica e resulta em

f(nh) = nf(h)

tomando h = 1 segue que f(n) = n, tomando h =p

nsegue

f(np

n) = f(p) = p = nf(

p

n) f(p

n) =

p

n.

Propriedade 37. Seja K um conjunto onde valem todos os axiomas de corpo, exceto a

existencia de inverso multiplicativo. Seja a = 0. f : K K com f(x) = ax e bijecao a1 K.

Demonstracao. ). A funcao e sobrejetora logo existe x tal que f(x) = 1 = axportanto a e invertvel com a1 = x K.

). Dado qualquer y K tomamos x = ya1 da f(x) = aa1y = y e a funcao esobrejetiva. f tambem e injetiva, pois se f(x1) = f(x2), ax1 = ax2 implica por lei do

corte que x1 = x2.. Em geral f e injetiva

vale a lei do corte por essa observacao.

Propriedade 38. Seja K finito. Vale a lei do corte em A existe inverso para cadaelemento nao nulo de K,

Demonstracao. ). Se vale a lei do corte, pela propriedade anterior tem-se que paraqualquer a = 0 em K, f : K K com f(x) = ax e injetiva, como f e injetiva de K emK que e um conjunto finito, entao f e bijetiva, o que implica a ser invertvel.

). A volta e trivial pois existencia de inverso implica lei do corte.


23/59


Definicao 13 (Isomorfismo). Um Isomorfismo e um homomorfismo bijetor. Dois corpos

sao ditos isomorfos se existir um isomorfismo entre eles. Para todos os efeitos dois corpo

isomorfos sao considerados identicos.

1.7 Axiomas de ordem

Um corpo ordenado e um corpo onde valem os dois axiomas

Axioma 12. Existe um subconjunto nao vazio R+ de K tal que se x e y R+ vale

x + y R+

x.y R+

Os elementos de R+ serao chamados positivos , R+ podendo ser simbolizado tambem por

P.

Axioma 13. 0 / R+ e se x = 0 K vale: Se x R+ entao x / R+ e se x / R+ entao

x

R+.

Exemplo 7. Q e um corpo ordenado.

Corolario 12. Uma das tres possibilidades ocorre, x = 0 ou x R+ ou x R+.Tomamos x R se x = 0 nada precisamos demonstrar, agora temos duas possibilidades:x R+ novamente nada temos a mostrar, agora se x / R+ segue x R+

Propriedade 39. Se a = 0 entao a2 R+.

Demonstracao. Se a R+ entao a.a = a2 R+, se a / R+ entao a R+ e(a)(a) = a2 R+ .

Corolario 13. 1 R+ pois 12 = 1 R+.

Corolario 14. C o corpo dos numeros complexos, nao pode ser tomado como um corpo

ordenado respeitando a ordem de R pois i e nao nulo e vale i2 = 1 que e negativo.


24/59


Definicao 14 (Relacao de ordem). Seja F um conjunto, uma relacao sobre F e ditade ordem se

1. x x x F. Reflexividade.

2. Se x y e y z entao x z . Transitividade.

3. Se x y e y x entao x = y.

Definicao 15 (Ordem lexicografica em C). Podemos definir uma relacao de ordem em C

conjunto dos numeros da forma a + bi, da seguinte maneira, dados z = a + bi, w = c + di

definimos que

z < w

quando a < c, ou se vale a = c entao b < d. Dizemos que z w se z < w ou z = w.

Propriedade 40. Ordem lexicografica em C e uma ordem em C.

Demonstracao.

Vale a reflexividade z

z.

Transitividade. Se x y e y z entao x z. x = a + bi, y = c + di, z = e + f i,temos que se e > c a entao e > a o que implica z > x. Se c = e = a entaof > d > b o que tambem implica z > x. Caso c = e > a entao c > a o que tambem

implica z > x entao em todos os casos temos z > x.

Se y x e z x entao x = y pois vale a c e c a, entao a = c e nao podemoster duas desigualdades estritas pois se nao b > d e d > b o que e absurdo. Entao

deve valer a igualdade.

Definicao 16. Definimos como R o conjunto dos elementos x = 0 tal que x / R+. Oselementos de R serao chamado negativos.

Corolario 15.

R = R+ {0} R

e a uniao e disjunta.


25/59


Definicao 17. Escrevemos x > y ou de maneira equivalente y < x para denotar que

x y R+ e diz-se x e maior que y para x > y e y e menor que x para y < x.

Corolario 16. x > 0 entao x 0 = x R+ e x R+, x 0 R+, x > 0.

Corolario 17. 1 > 0 (Se 1 = 0) pois 1 R+.

Corolario 18. 0 > x x P x / P e x = 0.

Definicao 18. Escrevemos x y ou y x para denotar que x y R+ ou x y =0, x = y.

Propriedade 41 (Transitividade). Se x < y e y < z entao x < z.

Demonstracao. Se x < y e y < z temos y x R+ e zy R+ logo y x + zy =z x R+ logo x < z.

Propriedade 42. Se x > y e z > t entao x + z > y + t.

Demonstracao. De x > y e z > t segue que x + z > y + z e y + z > y + t logo por

transitividade segue que x + z > y + t.

Propriedade 43 (Tricotomia). Dados dois numeros reais x, y uma das possibilidades

ocorre x = y, x < y ou y < x.

Demonstracao. Uma das possibilidades ocorre x y = 0 logo x = y, x y R+ deonde segue y < x ou x y / R+ donde y x R+ que significa x < y .

Propriedade 44 (Ordem total). A relacao e uma relacao de ordem total , isto e, valem

as propriedades

1. Reflexividade x x.

2. Anti-simetria x y e y x entao x = y.

3. Transitividade x y e y z entao x z.


26/59


4. Total . Vale x y ou y x. As 3 primeiras propriedades definem uma relacao deordem e uma relacao de ordem onde vale a quarta propriedade e dita uma relacao

de ordem total .

Demonstracao.

1. Nao vale x > x pois 0 / R+, porem vale x = x, logo vale x x.

2. Nao pode valer simultaneamente x < y e y < x, pois da teramos y x R+ ex y R+. Da mesma forma nao pode valer x y R+ e y = x, logo so pode valerx = y em ambas desigualdades .

3. Segue da transitividade.

4. Segue por tricotomia.

Propriedade 45 (Monotonicidade da adicao). Se x < y e para qualquer z R valex + z < y + z.

Demonstracao. Se y x R+ temos y x = y + z (z+ x) R+ logo x + z < y + z.

Propriedade 46 (Monotonicidade da multiplicacao I). Se x < y e z R+ (z > 0) seguezx < xy.

Demonstracao. Se x < y temos y x R+ e sendo z R+ temos z(y x) =zy zx R+ logo zx < zy. Isto e, multiplicar por um numero positivo nao altera adesigualdade.

Corolario 19. Se z R temos z R+ logo podemos escrever 0 < z ou z < 0.

Propriedade 47 (Monotonicidade da multiplicacao II). Se x < y e z R temosyz < zx.

Demonstracao. Se x < y temos yx R+ e z R, z R+ assim z(yx) R+zx zy R+ logo zy < zx. Multiplicar por um numero negativo altera a ordem dadesigualdade.


27/59


Corolario 20. Se x < 0 e y > 0 segue xy < 0 pois multiplicamos a desigualdade y > 0

por um numero negativo x, xy < x.0 = 0. Isto e o produto de um numero positivo com

um negativo e negativo.

Corolario 21. Se x > 0 e x.y > 0 entao y > 0. y nao pode ser zero (pois se fosse o

produto seria nulo) nem y < 0 (pois se fosse o produto seria negativo), logo por eliminacao

y > 0 .

Corolario 22. Se x < 0 e x.y > 0 entao y < 0. y nao pode ser zero nem y > 0 (pois se

fosse o produto seria negativo), logo por eliminacao y < 0 .

Corolario 23. Se x > 0 entao x1 > 0, pois 1 > 0, x.x1 = 1 > 0 como x e positivo

x1 tem que ser positivo pois se nao o produto seria negativo. Outra maneira de mostrar

essa propriedade e que x.(x1)2 = x1 os dois primeiros fatores sao positivos entao x1 e

positivo .

Da mesma maneira se x < 0 entao x1 < 0 pois x.x1 = 1 > 0.

Corolario 24. Se x > 0 e y > 0 entaox

y

> 0 ey

x

> 0, pois x1 e y1 sao positivos.

Corolario 25. Se x < 0 e y < 0 entao xy > 0, pois x R+ e y R+ logo(x)(y) = xy R+ assim 0 < xy.

Corolario 26. Se x > y entao x < y pois multiplicamos por 1 em ambos lados dadesigualdade.

Propriedade 48. Sejam a, b R tais que b > a > 0 temos entao b2 > a2.

Demonstracao. Da desigualdade b > a multiplicando por b temos b2 > ba e da

mesma desigualdade multiplicando por a tem-se ab > a2 logo b2 > ba > a2 assim b2 > a2.

Definicao 19. Dado um numero real a 0 R o numero a indica o unico numeroreal nao -negativo y tal que y2 = a,

a e chamado raiz quadrada de a

a = y y2 = a, y, a 0.


28/59


Propriedade 49. Sejam a, b R tais que b > a > 0 entao

b >

a.

Demonstracao. Sabemos que b > a da b a > 0, (

b +

a)(

b a) > 0como (b + a) temos que ter (b a) caso contrario o produto seria negativo, assim

b >

a.

Propriedade 50. Sejam x, y > 0 . x < y x1 > y1.

Demonstracao. ). Como y > x e x1 e y1 sao positivos, multiplicamos a desi-gualdade por x1y1 em ambos lados x1y1y > x1y1x implicando x1 > y1, entao

se y > x temos1

x>

1

y.

). Se x1 > y1 . x, y sao positivos, multiplicamos a desigualdade por xy em ambos

lados, de onde segue que y > x.

Corolario 27. Se x < y < 0 entao 0 >1

y>

1

xmultiplicamos a desigualdade por x1y1

de ambos lados

y1 < x1 < 0.

Corolario 28. Se x < 0 < y entao1

x< 0 0.

Propriedade 51. Para todo x R vale x + 1 > x.

Demonstracao. Temos que 1 > 0 somando x a ambos lados x + 1 > x ou entao

1 = x + 1 x R+ logo x + 1 > x.

Propriedade 52. Se y > x vale y >x + y

2> x.

Demonstracao. y > x somando y a ambos lados 2y > x + y como 2e positivo temos1

2positivo, multiplicando por

1

2segue y >

x + y

2.

De y > x somando x temos y + x > 2x multiplicando por 12

y + x2

> x .

Propriedade 53. Dados x, y R, x2 + y2 = 0 x = y = 0.

Demonstracao. ).Suponha que x = 0, entao x2 > 0 e y2 0 de onde segue quex2+y2 > 0 , absurdo entao deve valer x2 = 0 x = 0 logo temos tambem y2 = 0 y = 0,portanto x = y = 0.

). Basta substituir x = y = 0 resultando em 0.


29/59


Exemplo 8. A funcao f : K+ K+ com f(x) = xn, n N e crescente. Sejam x > y > 0entao xn > yn pois xn =

nk=1

x >n

k=1

y = yn, por propriedade de multiplicacao de positivos.

Se f : Q+ Q+, Q+ o conjunto dos racionais positivos, entao f nao e sobrejetiva paran = 2, pois nao existe x Q tal que x2 = 2 Q+.

f(K+) nao e um conjunto limitado superiormente de K, isto e, dado qualquer x Kexiste y K+ tal que yn > x. O limitante superior do conjunto, se existisse, nao poderiaser um numero negativou ou zero, pois para todo y positivo tem-se yn positivo, que e maior

que 0 ou qualquer numero negativo. Suponha que x positivo seja, tomando y = x + 1

temos yn = (x + 1)n

1 + nx > x, logo f(K+) nao e limitado superiormente.

Propriedade 54. Sejam a > 0 em K e f : Z K com f(n) = an. Nessas condicoes fe crescente se a > 1, decrescente se a < 1 e constante se a = 1.

Demonstracao. Para qualquer n Z vale f(n + 1) f(n) = an+1 an = an(a 1),an e sempre positivo, entao o sinal da diferenca depende do sinal de a 1. Se a = 1 valef(n + 1) = f(n) n Z logo f e constante, se a 1 < 0, a < 1 entao f(n + 1) f(n) 0, a > 1 entao f(n + 1) > f(n)

e a funcao e crescente.Perceba que as propriedades citadas valem para todo n Z, por exemplo no caso de

a > 1 temos

< f(4) < f(3) < f(2) < f(1) < f(0) < f(1) < f(2) < f(3) < < f(n) < f(n+1) x ou xn+1 < x se vale a primeira opcao xn+1 e o maximo

do conjunto B, se nao continua sendo x. Vale xn+1 < y ou xn+1 > y, se vale a primeira

entao xn+1 e o mnimo de B, se vale a segunda y continua sendo o mnimo. Em qualquer

dos casos B possui maximo e mnimo, logo por inducao todo conjunto finito em um corpo

ordenado possui maximo e mnimo.

1.7.1 Intervalos

Definicao 20 (Intervalos). Dados a, b K com b > a definimos os seguintes conjuntosque serao chamados de intervalos

intervalos limitados

1.

[a, b] := {x K|a x b}

Chamado de intervalo fechado.

2.

(a, b) =

{x

K

|a < x < b

}Chamado de intervalo aberto.

3.

(a, b] = {x K|a < x b}

Aberto em a e fechado em b.

4.

[a, b) = {x K|a x < b}

Fechado em a e aberto em b.

Se um intervalo e limitado, de um desses tipos acima, definimos o comprimento ou

diametro do intervalo como b a. Em cada um desses intervalos a e chamado de ex-tremo superior e b de extremo inferior.

Intervalos ilimitados


31/59


1.

(, b] = {x K|x b}

Aberto em menos infinito e fechado em b.

2.

(, b) = {x K|x < b}

Aberto em menos infinito e aberto em b. Nos dois intervalos acima b e chamado de

extremo superior menos infinito de extremo inferior.

3.[a, ) = {x K|a x}

Fechado em a e aberto em infinito.

4.

(a, ) = {x K|a < x}

Aberto em a e aberto em infinito. Em ambos intervalos acima a e chamado de

extremo inferior e infinito de extremo superior.

5.

(, ) = K.

No intervalo acima menos infinito e o extremo inferior e infinito e o extremo superior.

Aberto em menos infinito e aberto em infinito e o proprio corpo K.

Um intervalo qualquer definidos acima pode ser denotado por I. O que caracteriza umintervalo I e a propriedade: Se a, b I e a < x < b entao x I.

Definicao 21 (Intervalo degenerado.). [a, a] = {a} e chamado intervalo degenerado

Definicao 22 (Maximo). A admite um maximo se existe um elemento a A tal quea x x A e denotamos tal elemento por a := maxA.


32/59


Propriedade 56 (Unicidade do maximo). O maximo de um conjunto , quando existe e

unico.

Demonstracao. Suponha existencia de dois maximos a e b, temos a b e b a,logo a = b.

Definicao 23 (Mnimo). A admite um mnimo se existe um elemento b A tal queb x x A e denotamos tal elemento por b := minA.

Propriedade 57 (Unicidade do mnimo). O mnimo de um conjunto , quando existe e

unico.

Demonstracao. Suponha que existam dois mnimos para o conjunto A, c e d, por dser mnimo temos c d e por c ser mnimo temos c d de onde segue c = d.

Definicao 24 (Cota superior). Dizemos que c, um numero real, e cota superior de A, se

ele e maximo ou se e maior que todo numero de A, isto e, x A vale c x sendo que cnao necessariamente pertence a A.

Definicao 25 (Cota inferior). Dizemos que d, um numero real , e cota inferior de A, se

ele e mnimo ou se e menor que todo elemento de A, isto e, x A temos d x e maisuma vez d nao necessariamente pertence a A.

Definicao 26 (Conjunto limitado superiormente). Se existe c A tal que x c x B,entao B e dito limitado superiormente.

Definicao 27 (Conjunto limitado inferiormente). Se existe v A tal que v x x B,entao B e dito limitado inferiormente.

Definicao 28 (Conjunto limitado). Um conjunto A e dito limitado, quando ele e limitado

superiormente e inferiormente.

1.8 Supremo e nfimo

Definicao 29 (Supremo). Sejam Kum corpo ordenado e A Kum subconjunto limitadosuperiormente , um elemento b K chama-se supremo do subconjunto A quando satisfaz


33/59


as duas condicoes

1)x A vale x b. Esta propriedade implica que o supremo e cota superior.

2) Se c k| x A vale x c entao b c. Essa segunda condicao diz que o supremo ea menor das cotas superiores, sendo mnimo do conjunto {c K| x c x A}.

Corolario 29 (Unicidade do supremo). O supremo e o mnimo do conjunto das cotas

superiores, pela unicidade do mnimo temos que o supremo quando existe e unico.

Definicao 30 (Infimo). Sejam K um corpo ordenado e A K um subconjunto limitadoinferiormente , um elemento b K chama-se nfimo de A quando e o maximo do conjuntoformado pelas cotas inferiores.

Corolario 30. O nfimo quando existe e unico, pois e maximo de um conjunto.

Definicao 31 (Corpo ordenado completo). Um corpo ordenado K e dito ser completo

quando todo subconjunto de K nao-vazio limitado superiormente possui supremo.

Axioma 14 (Propriedade de completamento- Postulado de Dedekind). Existe um corpo

ordenado completo chamado corpo dos numeros reais e denotado por R.

Propriedade 58. Todo conjunto A R limitado inferiormente possui nfimo.

Demonstracao. Considere o conjunto B = {x | x A }, A e limitado infe-riormente, entao existe c R tal que c < x x A logo c > x e B e limitadosuperiormente. Seja a o supremo B, vale a x x A, da a x o que implicaque a e cota inferior para A. Suponha que exista uma outra cota inferior t > a, entao

a < t

x que implica

a >

t

x significando que

t e uma cota superior para B

menor que o supremo, o que e absurdo, entao a e a maior cota inferior de A, entao seu

nfimo .

Propriedade 59. Se assumimos como axioma em um corpo ordenado que todo conjunto

limitado inferiormente possui nfimo entao todo conjunto limitado superiormente possui

supremo.


34/59


Demonstracao. Seja B o conjunto limitado superiormente, definimos A = {x | x B}, como B e limitado superiormente entao existe c R tal que c x e da x

c

x

B, A e portanto limitado inferiormente e portanto possui um nfimo

t, valendo

x t x B da t x, supondo que t nao seja o supremo de B, entao existe umaoutra cota inferior y com t > y x x e da t < y x e y e uma cota inferior deA maior que t o que e absurdo pois t e nfimo de A.

Corolario 31. Conclumos entao que podemos tomar o axioma que define um corpo

ordenado completo como

Todo conjunto limitado superiormente possui supremo ou todo conjunto limitado

inferiormente possui nfimo, pois as duas proposicoes sao equivalentes.

1.8.1 Propriedade Arquimediana dos numeros reais.

Definicao 32 (Corpo arquimediano). Um corpo K e dito arquimediano quando vale que

N K e um conjunto ilimitado superiormente.

Propriedade 60. Dado um corpo ordenado K , sao equivalentes

1. K e arquimediano.

2. Dados a > 0 e b em K existe n tal que na > b .

3. Dado qualquer a > 0 K existe n N tal que 0 < 1n

< a.

Demonstracao.

1 2. Como K e arquimediano, entao existe n natural tal que n >b

a , logo n.a > bpois a > 0.

2 3 . Tomamos b = 1, a > 1n

> 0.

3 1 . Tomamos a = 1b

, para algum b > 0, logo1

b>

1

nimplicando n > b, como b

e arbitrario positivo, segue a propriedade.

Propriedade 61. Dado um corpo ordenado K , sao equivalentes


35/59


1. K e arquimediano.

2. Z e ilimitado superiormente e inferiormente.

3. Q e ilimitado superiormente e inferiormente.

Demonstracao.

1 2. N Z entao Z e ilimitado superiormente. Suponha por absurdo que Z sejalimitado inferiormente, entao existe a K tal que a < x x Z, logo a > x,porem existe n natural tal que n > a n

Z

< a o que contraria a hipotese.

2 3 . Z Q portanto Q e ilimitado superiormente e inferiormente. 3 1 . Para todo y K existe a

b Q com a,b > 0 naturais tal que a

b> y,

da a > yb, podemos tomar y =x

b, logo a > x, a N, portanto N e ilimitado

superiormente e o corpo e arquimediano.

Propriedade 62. Seja K um corpo ordenado. K e arquimediado > 0 em K existen N tal que 1

2n< .

Demonstracao.

). Como K e arquimediano, entao > 0 existe n N tal que n > 1

n + 1 >n >

1

por desigualdade de Bernoulli temos 2n > n + 1 >

1

1

2n< .

). Se > 0 em K existe n N tal que 12n

< , tomamos =1

x, x > 0 arbitrario

entao x < 2n, com 2n = m N entao K e arquimediano, N nao e limitado superiormente.

Propriedade 63. Seja a > 1, K corpo arquimediano, f : Z K com f(n) = an, entao

f(Z) nao e limitado superiormente.

inf(F(Z)) = 0.

Demonstracao.

Vale que a > 1 entao a = p + 1 onde p > 0, por desigualdade de Bernoulli temos

(p + 1)n 1 + pn. x > 0 K existe n tal que n > xp

pn > x (p + 1)n 1 + pn > x, logo f(Z) nao e limitado superiormente.


36/59


0 e cota inferior de f(Z) pois vale 0 < an n Z. Suponha que exista x tal que0 < x < am m Z, sabemos que existe n N tal que an > 1

xda x >

1

an= an,

absurdo, entao 0 deve ser o nfimo.

Teorema 1 (Propriedade Arquimediana dos numeros reais). Sejam x > 0 e y dois

numeros reais quaisquer entao existe um numero natural n tal que

nx > y.

Demonstracao. Suponha que para todo n e x > 0 tenhamos nx y, logo o conjuntoA = {nx| n } e limitado superiormente e por isso possui supremo, seja s o supremo do

conjunto A, tem-se sx < s e sx nao e cota superior de A pois e menor que o supremo, por nao ser cota superior temos um elemento mx tal que sx < mx para algum naturalm assim s < mx + x = (m + 1)x o que e um absurdo, pois desse modo temos um elemento

do conjunto A maior que uma das suas cotas superiores.

Corolario 32. N nao e limitado superiormente, pois para qualquer y R existe n Ntal que n > y.

Corolario 33. Para todo > 0 existe pelo menos um natural n tal que1

n< . Esse

corolario sai do teorema anterior tomando y = 1, x = pois temos n > 1 implica > 1n

.

Exemplo 9. Seja A = { 1n

| n N} . Mostre que infA = 0. Sabemos que 0 e uma cotainferior, agora vamos mostrar que 0 e a menor delas. Dado 0 < x, x nao pode ser cota

inferior, pois existe n natural tal que1

n< x, logo 0 e o nfimo.

Propriedade 64. Todo conjunto limitado superiormente de numero inteiros possui um

maximo e todo conjunto limitado inferiormente de inteiros possui um mnimo.

Demonstracao. Seja A = {m Z | m < x}, A e um conjunto limitado superior-mente, logo possui supremo s, entao de s1 < s, existe m inteiro em A com s1 < m se da s < m + 1, m + 1 nao pertence ao conjunto, seja t um elemento qualquer de A,

vamos mostrar que t m, se existisse t > m no conjunto, entao t m + 1 > s o que eabsurdo, entao vale para todo t m t A, m e o maximo e por isso o supremo.

Um conjunto limitado inferiormente de inteiros e do tipo B = {m Z | m > x} oconjunto A = {m Z | m < x}, A possui maximo m que e o mnimo de B,


37/59


m y y B logo m y, m e mnimo de B. ( Observe que estamos usando que naoexiste inteiro x, com m < x < m + 1, para m inteiro ).

Propriedade 65. Dado um numero real x, existem unicos inteiros m e m 1 tais que

m 1 x < m.

Demonstracao. Existe um natural n1 tal que n1 > x . Tome

A = {y Z | x < y n1}

e B = {y Z | y x}, A possui um mnimo m que satisfaz m > x e m 1 / A logom

1

B, implicando que

m 1 x < m.

1.8.2 Q e denso em R

Teorema 2. Dados quaisquer numeros reais x e y, existe um numero racionalm

ntal que

x 0, logo existe n natural tal quen(yx) > 1 que implica 1+ nx < ny . Existe tambem um inteiro m com m1 nx < mda m nx + 1 < m + 1

nx < m 1 + nx < ny nx < m < ny

como n > 0 segue que x 1 natural. O conjunto

A = { mkn

I | m, n Z} e denso em I.

Demonstracao. Dado > 0 existe n N tal que kn > 1

, da os intervalos

[m

kn,

m + 1

kn] tem comprimento

m + 1

kn m

kn=

1

kn< .

Existe um menor inteiro m + 1 tal que x + m + 1kn

dam

kn (x , x + ) pois

se fosse x + p valeas bs bp, isso mostra que qualquer bp e cota superior para A, entao vale c bp, paratodo p, vale entao c Ak k N.

Propriedade 69. Sejam (Ik) uma sequencia de intervalos limitados dois a dois disjuntos

tais que Ik Ik+1 k N e a interseccao I =k=1

Ik nao e vazia.

Nessas condicoes I e um intervalo que nao e um intervalo aberto.

Demonstracao. Sejam ak e bk extremidades de Ik entao vale ak bp, k, p N. Assequencias (ak) e (bk) sao limitadas, (ak) e nao-decrescente e (bk) nao-crescente, logo elas

sao convergentes sendo lim an = a, lim bn = b.

Dado x I nao pode valer x < a, pois existe xn tal que x < xn < a e (xn) enao-decrescente, da mesma maneira nao pode valer b < x, pois da existe yn tal que

b < yn < x e yn e nao-crescente. Com isso conclumos que I [a, b].

Se a = b, entao I [a, a] = {a} de onde segue I = {a}.

Se a < b entao x com a < x < b an < a < x < b < bn, logo (a, b) I [a, b].Da conclumos que I e um intervalo com extremos a e b.

Como os In sao dois-a-dois distintos entao (an) ou (bn) tem uma infinidade de termos

distintos. Digamos que seja (an), entao n N existe p N tal que an < an+p a


39/59


logo a (an, bn) I, como a I entao I nao pode ser um intervalo aberto, sendodo tipo [a, b) ou [a, b].

Exemplo 10. Sendo Ak = [k, ) (fechados nao limitados) temos uma sequencia deintervalos que sao conjuntos fechados porem a intersecao

k=1

Ak = A

e vazia, pois suponha que exista t A, da existe k > t e t / [k, ) = Ak logo nao podepertencer a intersecao de todos esses conjuntos.

Da mesma maneira existe uma sequencia decrescente de intervalos abertos limitados

com intersecao vazia, sendo Bk = (0,1

k) (limitados, nao fechados)

k=1

Bk = B

B e vazio, pois se houvesse um elemento nele x > 0, conseguimos k tal que1

k< x da x

nao pertence ao intervalo (0,1

k) = Bk portanto nao pode pertencer a intersecao.

1.8.4 Propriedades basicas de supremo e nfimo

Propriedade 70 (Propriedade de aproximacao). Sejam A um conjunto limitado superi-

ormente e c = sup A. Entao para todo > 0 existe x A tal que c < x c.Essa propriedade nos diz que existem elementos de A, arbitrariamente proximos do

seu supremo.

Demonstracao. Se nao houvesse x

A tal que x > c

entao c

seria uma cota

superior menor que o supremo, o que e absurdo.

Propriedade 71 (Propriedade de aproximacao para o nfimo). Sejam A um conjunto

limitado inferiormente e c = infA. Entao para todo > 0 existe x A tal quec x c + .

Essa propriedade nos diz que existem elementos de A, arbitrariamente proximos do

seu nfimo.


40/59


Demonstracao. Se nao houvesse x entre c e c + entao c + seria uma cota inferior

, maior que o nfimo, o que contradiz a sua definicao.

Propriedade 72. Sejam A R nao vazio limitado e c R, entao

1. c sup(A) > 0 x A tal que c < x.

2. c inf(A) > 0 x A tal que c + > x.

Demonstracao.

1. ). Para todo > 0 vale que c < sup(A). Dado > 0 fixo, se nao existissex

A tal que c

< x entao c

seria cota superior menor que o supremo, o que

e absurdo, contraria o fato do supremo ser a menor das cotas superiores.

). Suponha por absurdo que fosse c > sup(A), poderamos tomar c sup(A) = da c c + sup(A) = sup(A) < x o que e absurdo.

2. ). Para todo > 0 vale que c + < inf(A). Dado > 0 fixo, se nao existissex A tal que c + > x entao c + seria cota superior menor que o nfimo, o que eabsurdo, contraria o fato do nfimo ser a menor das cotas inferiores.

). Suponha por absurdo que fosse c < inf(A), poderamos tomar inf(A)

c =

da x < c + inf(A) c = inf(A) o que e absurdo.

Propriedade 73. Sejam A e B conjuntos nao vazio de numero reais. Se A e limitado

inferiormente e B A entao toda cota inferior de A e cota inferior de B.

Demonstracao. Se c e cota inferior de A vale c x para todo x A, em especialvale c y para todo y B, pois y B implica y A.

Propriedade 74. Se A e limitado inferiormente e B

A entao inf(A)

inf(B).

Demonstracao. infA e cota inferior de A, logo tambem e cota inferior de B, sendo

cota inferior de B vale infA infB, pois infB e a maior cota inferior de B.

Propriedade 75. Se A e limitado superiormente e B A entao sup(A) sup(B).

Demonstracao. Toda cota superior de A e cota superior de B, logo o sup(A) e cota

superior de B, como sup(B) e a menor das cotas superiores de B segue que sup(A) sup(B).


41/59


Corolario 34. Se A e B sao conjuntos limitados com B A entao vale sup(A) sup(B) inf(B) inf(A) pois temos sup(A) sup(B) e inf(A) inf(B), tendo

ainda que sup(B) inf(B).Propriedade 76. Sejam A, B R tais que para todo x A e todo y B se tenhax y. Entao sup A infB.

Demonstracao. Todo y B e cota superior de A, logo sup A y para cada y poissup A e a menor das cotas superiores, essa relacao implica que sup A e cota inferior de B

logo sup A infB, pois infB e a maior cota inferior.

Propriedade 77. sup A = infB para todo > 0 dado , existam x A e y B comy x < .

Demonstracao. .) Usamos a contrapositiva. Nao podemos ter infB < sup Apela propriedade anterior, entao temos forcosamente que infB > sup A, tomamos entao

= infB sup A > 0 e temos y x para todo x A e y B pois y infB esup A x de onde segue x sup A, somando esta desigualdade com a de y tem-sey x infB sup A = .

, Se sup A = infB. Entao para qualquer > 0, sup A

2 nao e cota superior deA, pois e menor que o sup A (que e a menor cota superior), da mesma maneira infA +

2nao e cota inferior de B, entao existem x A e y B tais que

sup A 2

< x sup A = infB y < infB + 2

infB 2

< x y < infB + 2

de onde segue infB 2

< x, x < 2

infB e y < infB + 2

somando ambas tem-se

y x < .Sejam A, B R, conjuntos limitados .

Propriedade 78. O conjunto A + B = {x + y | x A, y B} tambem e limitado.

Demonstracao. Se A e limitado , existe t tal que |x| < t para todo x A e se B elimitado existe u tal que |y| < u y B. Somando as desigualdades e usando desigualdadetriangular segue |x| + |y| < u + t e |x + y| |x| + |y| < u + t logo o conjunto A + B elimitado.


42/59


1.8.5 sup(A + B) = sup(A) + sup(B).

Propriedade 79 (Propriedade aditiva). Vale sup(A + B) = sup(A) + sup(B).

Demonstracao. Como A, B sao limitados superiormente, temos sup A := a e sup B :=

b, como vale a x e b y para todos x, y A, B respectivamente segue que a + b x + ylogo o conjunto A + B e limitado superiormente. Para todo e qualquer > 0 existem x, y

tais que

a < x +

2, b < y +

2

somando ambas desigualdades-segue-se que

a + b < x + y +

que mostra que a + b e a menor cota superior, logo o supremo, fica valendo entao

sup(A + B) = sup(A) + sup(B).

1.8.6 inf(A + B) = infA + infB.

Propriedade 80. inf(A + B) = infA + infB.

Demonstracao. Sejam a = infA e b = infB entao x, y A, B tem-se a x, b yde onde segue por adicao a + b x + y, assim a + b e cota inferior de A + B. x, y A, Btal que > 0 vale x < a +

2e y < b +

2pois a e b sao as maiores cotas inferiores,

somando os termos das desigualdades segue x + y < a + b + , que implica que a + b e a

maior cota inferior logo o nfimo.

Para a proxima propriedade considere cA = {cx | x A}.

1.8.7 c > 0, sup(c.A) = c. sup A.

Propriedade 81. Se c > 0 entao sup(c.A) = c. sup A.

Demonstracao. Seja a = sup A. Para todo x A tem-se x a, de onde seguecx ca, assim ca e cota superior de cA. Seja d tal que d < ca entao d

c< a logo

d

cnao e

cota superior de A, implicando a existencia de pelo menos um x tal qued

c< x, d < cx

de onde segue que d nao e cota superior de cA, assim ca e a menor cota superior de cA

logo o supremo.


43/59


1.8.8 c > 0, infcA = c infA.

Propriedade 82. Se c > 0, infcA = c infA.

Demonstracao.

Seja a = infA, entao vale a x para todo x, multiplicando por c segue ca cxde onde conclumos que ca e cota inferior de cA. Seja d tal que ca < d, entao a 0, infcA = c infA.

Demonstracao.

Seja a = infA, entao vale a x para todo x, multiplicando por c segue ca cxde onde conclumos que ca e cota inferior de cA. Seja d tal que ca < d, entao a ca tem-sed

c< a como a e supremo, isso significa que existe x A tal que d

c< x logo d > cx,

assim esse d nao e cota inferior, implicando que ca e a menor cota inferior, entao nfimo

do conjunto.

1.8.10 c < 0, sup(cA) = c infA.

Propriedade 85. Se c < 0 entao sup(cA) = c infA.

Demonstracao. Seja b = infA entao vale b x para todo x A, multiplicandopor c segue cb cx assim cb e cota superior de cA. Agora tome d tal que cb > d segue


44/59


b d assim esse d nao pode ser cota

superior de cA, entao cb e a menor cota superior, logo o nfimo.

Propriedade 86. Sejam A B tal que B e limitado superiormente. Se para cada b Bexiste a A tal que b a entao sup A = sup B.

Definicao 33 (Funcao limitada). Seja A R, f : A R e dita limitada quando oconjunto f(A) = {f(x) | x A}, se f(A) e limitado superiormente entao dizemos que f elimitada superiormente e caso f(A) seja limitado inferiormente dizemos que A e limitado

inferiormente.

Seja uma funcao limitada f : V R.

Definicao 34.

sup f := sup f(V) = sup{f(x) | x V}

Definicao 35.

inff := inff(V) = inf{f(x) | x V}

Propriedade 87. A funcao soma de duas funcoes limitadas e limitada.

Demonstracao. Vale |f(x)| M1 e |g(x)| M2 x A entao

|f(x) + g(x)| |f(x)| + |g(x)| M1 + M2 = M

portando a funcao soma f+ g de duas funcoes limitadas e tambem uma funcao limitada.

1.8.11 inf(f + g) inf(f) + inf(g) e sup(f + g) sup f + sup g.Sejam f, g : V R funcoes limitadas e c R.

Propriedade 88.

sup(f + g) sup f + sup g.

Demonstracao.

Sejam

A = {f(x) | x V}, B = {g(y) | y V}, C = {g(x) + f(x) | x V}


45/59


temos que C A + B, pois basta tomar x = y nos conjuntos, logo

sup(A + B) sup(f + g)

sup(A) + sup(B) = sup f + sup g sup(f + g)

Exemplo 11. Sejam f, g : [0, 1] R dadas por f(x) = x e g(x) = x

Vale sup f = 1, sup g = 0, f + g = 0 logo sup(f + g) = 0 vale entao

sup f + sup g = 1 > sup(f + g) = 0.

Temos ainda inff = 0, infg = 1, f + g = 0, inf(f + g) = 0 logo

inff + infg = 1 < inf(f + g) = 0.

As desigualdades estritas tambem valem se consideramos as funcoes definidas em [1, 1],nesse caso sup f + sup g = 2 e inff + infg = 2 e sup(f + g) = 0 = inf(f + g).

Propriedade 89.

inf(f + g) inf(f) + inf(g).

Demonstracao. De C A + B segue tomando o nfimo

inf(A + B) = inf(A) + inf(B) = inf(f) + inf(g) inf(C) = inf(f + g).

Propriedade 90. Se c > 0

sup(cf) = c sup(f)

inf(cf) = c inf(f).

Se c < 0

sup(cf) = c inf(f)

inf(cf) = c sup(f).

Basta aplicar o resultado que ja provamos para conjuntos.


46/59


Propriedade 91. Vale a desigualdade

sup(f + g) inf(f) + sup(g) inf(f + g).Demonstracao.

1. Vale que sup(f) + sup(g) sup(f + g), da

sup(f + g) + sup(f) sup(f + g f)

sup(f + g) inf(f) sup(g) sup(f + g) sup(g) + inf(f)

2. Da mesma maneira, temos inf(f + g) inf(f) + inf(g) e dainf(f + g g) inf(f + g) + inf(g)

inf(f) inf(f + g) sup(g) inf(f) + sup(g) inf(f + g)logo fica provado o resultado.

Demonstracao. sup B e uma cota superior de A (ver depois)

Definicao 36. Sejam A e B conjuntos nao vazios, definimos A.B =

{x.y

|x

A, y

B

}.

Propriedade 92. Sejam A e B conjuntos limitados de numeros positivos, entao vale

sup(A.B) = sup(A). sup(B).

Demonstracao. Sejam a = sup(A) e b = sup(B) entao valem x a e y b, x A, y B da x.y a.b, logo a.b e cota superior de A.B. Tomando t < a.b segue que t

a< b

logo existe y B tal que ta

< y dat

y< a logo existe x A tal que t

y< x logo t < x.y

entao t nao pode ser uma cota superior, implicando que a.b e o supremo do conjunto.

Propriedade 93. Sejam A e B conjuntos limitados de numeros positivos, entao vale

inf(A.B) = inf(A). inf(B).

Demonstracao. Sejam a = inf(A) e b = inf(B) entao valem x a e y b, x A, y B da x.y a.b, logo a.b e cota inferior de A.B. Tomando t > a.b segue que t

a> b

logo existe y B tal que ta

> y dat

y> a logo existe x A tal que t

y> x logo t < x.y

entao t nao pode ser uma cota inferior, implicando que a.b e o nfimo do conjunto.


47/59


Propriedade 94. Sejam f, g : A R funcoes limitadas entao f.g : A R e limitada.

Demonstracao. Vale que |f(x)| < M1 e |g(x)| < M2 entao |f(x)g(x)| < M1M2 =M x A , portanto f.g : A R e limitada.

Propriedade 95. Sejam f, g : A R+ limitadas superiormente, entao

sup(f.g) sup(f)sup(g).

Demonstracao. Sejam C = {g(x).f(x) | x A} , B = {g(y). | y A} e A ={f(x) | x A} . Vale que C A.B para ver isso basta tomar x = y nas definicoes acima,da

sup(A.B) sup(C)sup(A)sup(B) sup(C)sup(f)sup(g) sup(f.g).

Propriedade 96. Sejam f, g : A R+ limitadas inferiormente, entao

inf(f.g) inf(f)inf(g).

Demonstracao. Sejam C = {g(x).f(x) | x A} , B = {g(y). | y A} e A ={f(x) | x A} . Vale que C A.B, da

inf(A.B) inf(C)

inf(A)inf(B) inf(C)inf(f)inf(g) inf(f.g).

Exemplo 12. Sejam f, g : [1, 2] R dadas por f(x) = x e g(x) =1

x , vale sup f = 2,sup g = 1 sup f. sup g = 2 e sup(f.g) = 1, pois f.g = 1 logo

sup fsup g > sup(f.g).

Da mesma maneira inff = 1, infg =1

2vale inff. infg =

1

2e inf(f.g) = 1 portanto

inff. infg < inf(f.g).


48/59


Propriedade 97. Seja f : A R+ limitada superiormente entao sup(f2) = (sup f)2.

Demonstracao. Seja a = sup f tem-se f(x) a x da f(x)2 a2 entao a2 ecota superior de f2, e e a menor cota superior pois se 0 < c < a2 entao c < a logoexiste x tal que

c < f(x) < a e da c < f(x)2 < a2 logo a2 e a menor cota superior

sup(f2) = sup(f)2.

Propriedade 98. Seja f : A R+ entao inf(f2) = (inff)2.

Demonstracao. Seja a = inff tem-se f(x) a x da f(x)2 a2 entao a2 e cotainferior de f2, e e a maior cota inferior pois se a2 < c entao a c, entao c e o nfimo.


50/59


Propriedade 103. Sejam f : A R limitada, m = inff, M = sup f e w = M m,entao

w = M m = sup{|f(x) f(y)| | x, y A}.

Demonstracao. Sejam x, y A arbitrarios , sem perda de generalidade podemosconsiderar f(x) f(y) entao

m f(y) f(x) M

e da

|f(x) f(y)| M m = w,logo w e cota superior, vamos mostrar que e a menor. Para qualquer > 0 existem

x, y A tais que f(x) > M 2

e f(y) < m +

2e da

|f(x) f(y)| f(x) f(y) > M m = w

logo w e a menor das cotas superiores.

Propriedade 104. Dada uma sequencia (at) e um numero c maior que todos elementos

dessa sequencia, entao vale

at

nk=1

ak +n+n0k=n+1

c

n0 + n< c

para n0 suficientemente grande.

Demonstracao.

at

n

k=1 ak +n+n0

k=n0+1 cn0 + n

< c atn0 + atn atn nada precisamos mostrar pois

atn0 < cn0, agora analisamos o caso den

k=1

ak < atn, isto e, 0 < nat n

k=1

ak


51/59


atn0 + atn sup(B),entao tomando = sup(A) sup(B) > 0, existe x A tal que x > c = sup(A) sup(A) + sup(B) = sup(B), por hipotese existe y x > sup(B) com y B, o que eabsurdo, pois nao pode existir um elemento maior que o supremo.

Propriedade 107. Sejam B A nao vazios, A limitado inferiormente, se x A existey B tal que y x entao inf(B) = inf(A).


52/59


Demonstracao. B e limitado inferiormente pois esta contido em um conjunto limi-

tado e vale que inf(A) inf(B), pois B A, suponha que fosse c = inf(A) < inf(B),entao tomando = inf(B)

inf(A) > 0, existe x

A tal que x < c + = inf(A)

sup(A) + inf(B) = inf(B), por hipotese existe y x < inf(B) com y B, o que eabsurdo, pois nao pode existir um elemento menor que o nfimo.

Definicao 37 (Corte de Dedekind). Um corte de Dedekind e um par ordenado (A, B)

onde A, B Q nao vazios, tais que A nao possui maximo, A B = Q e x A, y Bvale x < y .

Seja C o conjunto dos cortes de Dedekind.

Propriedade 108. Em (A, B) vale sup(A) = inf(B).

Demonstracao. Ja sabemos que vale sup(A) inf(B), pois x A, y B valex < y implica sup(A) < y e sup(A) ser cota inferior implica sup(A) inf(B), suponhapor absurdo que fosse sup(A) < inf(B), entao o intervalo (sup(A),inf(B)) nao possui

valores x A, pois se nao x > sup(A), nem y B pois da y < inf(B), mas como existemracionais em tal intervalo, pois Q e denso e A B = Q, chegamos em um absurdo.

Propriedade 109. Existe bijecao entre R e C o conjunto dos cortes.

Demonstracao. Definimos f : C R como f(A, B) = sup(A) = inf(B).

f e injetora, suponha f(A, B) = f(A, B) entao sup(A) = inf(B) = sup(A) =

inf(B).

Dado x A vamos mostrar que x A.

x < sup(A) = inf(B)

y,

y

B, da x

A

a inclusao A A e analoga. Entao vale A = A.

Dado y B, vamos mostrar que y B.

x < sup(A) < inf(B) y

com isso y B. De maneira similar, B B portanto B = B. Como vale B = Be A = A entao a funcao e injetiva.


53/59


A funcao e sobrejetiva. Para qualquer y R, tomamos os conjuntos (, y)Q = Ae B = [y, ) Q, A nao possui maximo, para todo x A e y B tem-se y > x eQ = [(

, y)

Q]

[ [y,

)

Q], alem disso vale sup(A) = y = inf(B), portanto

f(A, B) = y e a funcao e sobrejetora, logo sendo tambem injetora f e bijecao.

1.8.12 Classificacao de intervalos

Propriedade 110. Um conjunto I R e um intervalo a < x < b com a, b Iimplica x I.

Demonstracao.

). Se I e um intervalo entao ele satisfaz a propriedade descrita.). Se a definicao tomada de intervalo for: dados a, b elementos de I se para todo x

tal que a < x < b entao x I, logo o conjunto I deve ser um dos nove tipos de intervalos.Caso I seja limitado, infI = a e sup I = b, se a < x < b, existem a, b tais que

a < x < b logo x I, isto e, os elementos entre o supremo e o nfimo do conjuntopertencem ao intervalo. Vejamos os casos

infI = a, sup I = b sao elementos de I, logo o intervalo e da forma [a, b].

a / I, b I, o intervalo e do tipo (a, b]. a I e b / I, o intervalo e do tipo [a, b).

a / I e b / I tem-se o intervalo (a, b). Com isso terminamos os tipos finitos deintervalos.

Se I e limitado inferiormente porem nao superiormente.

a I , gera o intervalo [a, ).

a / I, tem-se o intervalo (a, ).Se I e limitado superiormente porem nao inferiormente.

b I , gera o intervalo (, b].

b / I, tem-se o intervalo (, b).O ultimo caso, I nao e limitado

I = (, )


54/59


1.9 A reta estendida

Definicao 38 (Reta estendida). Definimos a reta estendida R, como o conjunto

R := R {}{}

, isto e, fazemos a adjuncao de dois pontos e , chamados pontos ideais, tal quepara elementos de R vale a ordem ja definida. Os pontos de R chamamos de finitos e e de pontos infinitos. Dado x R arbitrario definimos que vale

< x < .

Dado x R definimos as operacoes

x + = + x =

x = + x = .

Se x > 0 definimos

x. = .x = , x() = ().x = .

Se x < 0 definimos

x. = .x = , x() = ().x = .

Podemos denotar tambem R = [.] e = +.x R, definimos

x

=x

= 0.

a = 0,a

:= .a1 e a

:= .a1.Definiremos tambem 0 . = .0 = 0 e 0 .() = (). 0 = 0, porem essa

definicao nao e usual, sendo deixada por muitos autores como indefinida, porem e usada

na teoria de integracao.

Definicao 39. Se um conjunto A nao e limitado inferiormente, definimos infA = .

Definicao 40. Se um conjunto A nao e limitado superiormente, definimos sup A = .com essas definicoes, todo conjunto nao vazio em R possui supremo e nfimo em R.


55/59


1.10 Razes

Propriedade 111. Sejam x > 0, a > 0. Se xn < an entao x < a.

Demonstracao. Se a = x entao an = xn absurdo, se x > a entao xn > an absurdo,

por tricotomia segue entao que x < a.

Propriedade 112. Dado qualquer n > 0 N e a 0 R , entao existe um unico b Rtal que b 0 e bn = a.

Demonstracao. Unicidade. Suponha que existam b1 e b2 com b2 > b1 > 0 entao

bn2 > bn1 o que e absurdo.

Se a = 0, tomamos b = 0 e da 0n = 0. O caso de 0 < a 1 recai sobre o caso dea 1, pois se existe a = bn com a 1 entao (1

b)n =

1

a 1.

Definimos o conjunto

Ca = {x > 0, x R | xn a}Ca e nao vazio pois 1 Ca, pois 1n = 1 a, alem disso e limitado superiormente por(1 + a)n, pois xn a < (1 + a)n da xn < (1 + a)n que implica x < 1 + a. Como o conjuntoe limitado superiormente e nao vazio entao ele possui um supremo b. Vamos mostrar que

b nao satisfaz bn

> a nem bn

< a, entao por tricotomia vale bn

= a.

Suponha bn < a entao definimos

:= a bn > 0

M = max{(

n

k

)bnk, k In}

e

>0 = min{1,

nM}, da M 1 pois

(n

n

)bnn = 1 e

nMimplicando nM e 1 que implica

k < Tem-se

(b + )n = bn +n

k=1

(n

k

)bnkk bn +

nk=1

M = bn + nM bn + = a.

Entao b + pertence ao conjunto Ca o que e absurdo pois b e o supremo.


56/59


Suponha bn > a entao definimos

:= bn a > 0

, usamos as mesmas definicoes para e M. Tem-se

(b )n = bn +n

k=1

(n

k

)bnk(1)kk bn

nk=1

M = bn nM bn = a.

Como b nao e o supremo, entao existe x Ca tal que b < x < b e da(b )n < xn a o que contradiz b a, absurdo. Como nao vale bn < a nembn > a entao vale bn = a.

Definicao 41 (Raiz n-esima). Para cada n N e a R com a 0 definimos a n-esimaraiz de a como o unico numero real b tal que b 0 e bn = a e denotamos por

b = n

a = a1n .

No caso de n = 2 escrevemos

a ao inves de 2

a.

Definicao 42 (Potencia racional). Dado qualquer numero racional r, podemos escrever

r = mn

com n > 0 e definimos

am

n := (am)1

n

para cada a > 0 R.

Definicao 43 (Raiz negativa de ndice mpar). Se n e mpar e a 0 R entao definimos

(a) 1n = (a 1n ).

Propriedade 113. Se a > b > 0 entao a > b.

Demonstracao. Por tricotomia existem tres possibilidades

a =

b nesse caso a2 = b2 e da (a b)(a + b) = 0, implicando a = b, que nao

pode acontecer pois a > b ou implicando a = b, que nao pode acontecer pois umdeles seria negativo, contrariando a hipotese.

b >

a da b2 > a2 entao (ba)(a + b) > 0, porem ba < 0 e a + b que e absurdo.


57/59


Segue entao por tricotomia que

a >

b.

Exemplo 14. Sejam X = {x Q+ | x2 < 2} e Y = {y Q+ | y2 > 2}. Se x >

2

entao x2 > 2. Se y < 2 entao y2 < 2, disso conclumos que que vale X (0, 2) eY (

2, ), pois

2 e irracional logo nao pode ser elemento de X ou Y. Iremos

mostrar que nao existe sup X nem infY em Q apesar dos conjuntos serem limitados.

Da observacao anterior segue tambem que X e Y sao disjuntos e x Xey Yvale x < y.

X nao possui elemento maximo. Seja x X entao x2 < 2, 0 < 2 x2, vale tambem

que 2x + 1 > 0, da 0 2, tem-se

y2 2 > 0 e 2y > 0, logo existe um racional r tal que 0 < r < y2 22y

, logo

r2y < y2 2, y2 2ry > 2. Vale ainda que y r Y pois

(y r)2 = y2 2ry + r2 > y2 2ry > 2

logo vale (y r)2 > 2. Vale tambem y r > 0 pois de 2r y < y2 2 seguer 0, logo y r Y, perceba ainda que y r < y entao

o conjunto Y realmente nao possui mnimo.

Suponha que exista sup X = a, vale a > 0, nao pode ser a2 < 2 pois da a X,mas X nao possui maximo. Se a2 > 2 entao a Y, porem Y nao possui mnimoo que implica existir c Y tal que x < c < aX o que contradiz o fato de a sera menor cota superior (supremo). Sobre entao a possibilidade de ser a2 = 2, que

implica a =

2, numero irracional o que e absurdo, logo nao existe supremo para

X.


58/59


Seja a = infY, nao pode valer a2 > 2 pois se nao a Y, mas y nao possui mnimo.Se a2 < 2 entao a X, porem X nao possui maximo, da conseguimos c X tal

que a > c > y y Y o que implica que a nao pode ser cota inferior, deve valerentao que a2 = 2 o que e absurdo, logo Y nao possui nfimo em Q. Conclumos

entao que X nao possui supremo e Y nao possui nfimo.

Propriedade 114. Se a, b R+ e q N entao

(a.b)1

q = a1

q .b1

q

Demonstracao. Se fosse (a.b)

1q

> a

1q

.b

1q

ou (a.b)

1q

< a

1q

.b

1q

ao elevar a q teramosab > ab o que e absurdo logo vale (a.b)

1q = a

1q .b

1q .

Propriedade 115. Definimos que am

n = (am)1n agora vamos provar que tambem vale

(a1

n )m = am

n .

Demonstracao. Primeiro provamos para m natural. Para m = 1 a propriedade vale.

Supondo a validade para m vamos provar para m + 1

(a1

n )m+1 = (a1

n )ma1

n = (am)1

n a1

n = (am.a)1

n = (am+1)1

n = am+1

n .

Propriedade 116. Se a, b R+ e r, s racionais entao

ar+s = aras

(ar)s = ars

(a.b)r = ar.br.

Demonstracao.

ap

q+ rs = a

ps+qr

qs = (a1

qs )ps+qr = (aps

qs ).(aqr

qs ) = (ap

q ).(ar

s ).

Primeiro mostramos que (a1q )

1p = (a

1pq ) pois y = ((a

1q )

1p )p = (a

1q ) elevando a q temos

ypq = a logo y = a1pq . Agora demonstramos o caso geral

(as

q )t

p = (((a1q )s)

1p )t = (((a

1q )

1p )s)t = (a

st

qp .


59/59


Vale que (a.b)1q = a

1q .b

1q elevando a p Z tem-se (a.b)pq = apq .bpq como queramos

demonstrar.

Documents

Conceit Os Basic Os